Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Hochpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Extrempunkte

Da Extrempunkte immer eine waagerechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f''(x) = 0. Wir suchen also die Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f', um einen Tiefpunkt oder um keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel der Funktion f'' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen demnach alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f''.

Man erkennt bei x = -3 einen VZW in der Funktion f'' von - nach +. Dementsprechend muss der Graph der Funktion f' bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Da der Graph von f'' bei x = 0 die x-Achse berührt und f'' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Funktion f' an derselben x-Stelle auch keinen Extrempunkt haben. Stattdessen ist dort ein Sattelpunkt (also ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente) zu finden.

Wendepunkte

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, muss man lediglich die Extrempunkte im Graphen der Ableitungsfunktion f'' finden.

Wendestellen sind bei x = -2 und x = 0 zu erkennen.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;0] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 die geringste Steigung (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Man erkennt am Graph von f '' 3 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 6 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -1 + 2 = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-1) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(0|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $-\mathrm{0,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(2) = 3.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 und g(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1)= f(-1)⋅g(-1) = ( - 2 )⋅( - 2 ) = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-1) als auch g'(-1) als Steigung m=$-1$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-1) = g'(-1) = $-1$.

Somit gilt:
h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
= $-1$⋅( - 2 ) + ( - 2 )⋅ $\left(-1\right)$
= $4$.