Aufgabenbeispiele von am Schaubild ohne Stammfkt.
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Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.
Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 einen Hochpunkt haben.
Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.
Wendepunkte in f (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.
Monotonie (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;1] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Wir erkennen: Im Intervall [1;2] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Wir erkennen: Im Intervall [2;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Extrempunkte der Ableitung
Beispiel:
(Die Lösungen sind ganzzahlig)
Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -1 das geringste Gefälle (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.
Minimaler Grad bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Gezeichnet ist der Graph von f.
Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?
Man erkennt am Graph von f 2 Extrempunkte, also muss f' ( - die Ableitung von f - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.
Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 1 höher, also f vom Grad 3 sein.
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.
Am Schaubild kann man f '(1) = 0 ablesen.
Die gesuchte Stelle ist also x = 1.
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(-3) + f '(-3).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-3) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(-3) = -1 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(-3) + f '(-3) =
-1 +
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).
Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -2 entnehmen.
Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-2)
g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-2) = 1.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(-1|1) und Q2(3|1), also bei
x1 = -1 und x2 = 3
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(3)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(3) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(3)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(3)) = f() = .
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.
Am Schaubild kann man f '(-2) = 0 und f '(2) = 0 ablesen.
Die gesuchten Stellen sind also x1 = -2 und x2 = 2.
Produktregel am Schaubild
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(-1) und h'(-1).
Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 und g(-1) = -2 entnehmen.
Also gilt h(-1)= f(-1)⋅g(-1) =
Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)
Also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-1) als auch g'(-1) als Steigung m= der Geraden ablesen, also gilt f'(-1) = g'(-1) = .
Somit gilt:
h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
= ⋅
= .