Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -2 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -1 eine maximale Steigung (m ≈ 4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Bei x = 1 ist dagegen ein maximales Gefälle (m ≈ -4) in f', also ein Tiefpunkt in f'' zu erkennnen.

Man erkennt am Graph von f ' 2 Extrempunkte, also muss f '' ( - die Ableitung von f ' - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 4 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -4 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -4 + 0 = $-4$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|3) und Q₂(-3|3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-\frac{1}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 0 + 2 = $2$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 2 und g(0) = 2 entnehmen.

Also gilt h(0)= f(0)⋅g(0) = 2⋅2 = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=0 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(0) als auch g'(0) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(0) = g'(0) = $-2$.

Somit gilt:
h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)
= $-2$⋅2 + 2⋅ $\left(-2\right)$
= $-8$.