Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2$

= 1 - $\frac{16}{25}$

= $\frac{9}{25}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{3}{5}$ = 0.6

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(75°) und cos(75°) ablesen:

sin(75°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(75°) ≈ 0.97

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.1 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.1 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 5.7° setzt, so sieht man, dass der sin(5.7)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.1 ist.

sin(5.7°) ≈ 0.1

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(247°) und cos(247°) ablesen:

cos(247°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(247°) ≈ -0.39

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = 0.5 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.5 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 60° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 300° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.5 ist.

cos(60°) ≈ 0.5 und cos(300°) ≈ 0.5

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 250° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 250° + 360° = 610°, oder β = 250° + 2 ⋅ 360° = 970°, oder auch γ = 250° - 360° = -110° ...

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 210° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -210°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -210° + 360° = 150°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 40 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6.75 s

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 6.75 s erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

15 s ≙ 360°
1 s ≙ $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{15}}$ ° = 24°
6.75 s ≙ 24 ⋅ 6.75° ≈ 162°

sin(162°) ≈ 0.31, entsprechend ist 40 ⋅ sin(162°) ≈ 12.36

Also ist nach 6.75 s der y-Wert 12.36 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 42 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 42 m +12.36 m
= 54.36 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 6 m

Die gegebenen Höhe von h = 6 m entspricht gerade der Höhe 6 m - 42 m = -36 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 40 ⋅ sin(α) = -36 gilt.

40 ⋅ sin(α) = -36 |: 40

sin(α) = -0.9 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ -64.2°

Wir suchen aber Winkel zwischen 0 und 360°. Außerdem wissen wir ja, dass wenn man 360° dazu addiert, dass man dann wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis raus kommt. Es gilt also sin(α) = sin(α + 360°). Somit ist unser gesuchter Winkel α = -64.2° + 360° ≈ 295.8°.

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 15 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{24}$ s
295.8° ≙ $\frac{1}{24}$ ⋅ 295.8 s ≈ 12.325 s

Somit ist nach 12,325 s die Höhe h = 6 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 40 ⋅ sin(α) = -36 bzw. sin(β) = -0.9. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-( - 64.2 ) = 244.2°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 15 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{24}$ s
244.2° ≙ $\frac{1}{24}$ ⋅ 244.2 s ≈ 10.175 s

Somit ist nach auch 10,175 s die Höhe h = 6 m erreicht.