Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(65°) und cos(65°) ablesen:

sin(65°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(65°) ≈ 0.91

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.7 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.7 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 44.4° setzt, so sieht man, dass der sin(44.4)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.7 ist.

sin(44.4°) ≈ 0.7

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(216°) und cos(216°) ablesen:

cos(216°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(216°) ≈ -0.81

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.7 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.7 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 134.4° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 225.6° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.7 ist.

cos(134.4°) ≈ -0.7 und cos(225.6°) ≈ -0.7

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 350° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 350° + 360° = 710°, oder β = 350° + 2 ⋅ 360° = 1070°, oder auch γ = 350° - 360° = -10° ...

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 210° als negativen Winkel 210° -360° = -150° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-150°) = -30°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -30° + 360° = 330°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 8 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 4.5 s

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 4.5 s erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

10 s ≙ 360°
1 s ≙ $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{10}}$ ° = 36°
4.5 s ≙ 36 ⋅ 4.5° ≈ 162°

sin(162°) ≈ 0.31, entsprechend ist 8 ⋅ sin(162°) ≈ 2.47

Also ist nach 4.5 s der y-Wert 2.47 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 10 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 10 m +2.47 m
= 12.47 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 10 m

Die gegebenen Höhe von h = 10 m entspricht gerade der Höhe 10 m - 10 m = 0 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 8 ⋅ sin(α) = 0 gilt.

8 ⋅ sin(α) = 0 |: 8

sin(α) = 0 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 0°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 10 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{36}$ s
0° ≙ $\frac{1}{36}$ ⋅ 0 s ≈ 0 s

Somit ist nach 0 s die Höhe h = 10 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 8 ⋅ sin(α) = 0 bzw. sin(β) = 0. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-0 = 180°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 10 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{36}$ s
180° ≙ $\frac{1}{36}$ ⋅ 180 s ≈ 5 s

Somit ist nach auch 5 s die Höhe h = 10 m erreicht.