Wenn man die Skizze betrachtet erkennt man leicht, dass ein $\frac{\mathrm{164}}{\mathrm{360}}$-Kreis mit Radius r = 91 cm abgebildet ist.

Für den vollen Kreis gelten die Formeln
A = π ⋅ r² und U = 2π r

Also A = π ⋅ 91² cm ≈ 26015,53 cm² und U = 2 ⋅ π ⋅ 91 cm ≈ 571,77 cm

Damit gilt für den abgebildeten Kreisausschnitt:

A = $\frac{\mathrm{164}}{\mathrm{360}}$ ⋅ 26015,53 cm² ≈ 11851,519 cm²

b = $\frac{\mathrm{164}}{\mathrm{360}}$ ⋅ 571,77 cm ≈ 260,47 cm

Die Formel für die Bogenlänge eines Kreisausschnitts heißt:

b = $\frac{\alpha }{\mathrm{360}}$ ⋅ 2π r

Setzt man die gegebenen Werte ein, so erhält man:

67 = $\frac{\alpha }{\mathrm{360}}$ ⋅ 2π ⋅ 23

67 = α ⋅ 0.4014 |: 0.4014

166.9 ≈ α

Somit gilt für den gesuchten Mittelpunktswinkel α ≈ 166.9°.