Aufgabenbeispiele von Geraden

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parallele Gerade durch einen Punkt

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(1|2|4), B(5|1|7) und C(1|5|4).

Die Gerade g ist parallel zur Geraden durch A und B und geht durch den Punkt C. Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wir stellen zuerst mit dem Ortsvektor von A als Stützvektor und dem Verbindungvektors AB als Richtungsvektor die Gerade durch A und B auf:

AB = ( 5-1 1-2 7-4 ) = ( 4 -1 3 )

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0A + t ⋅ AB , also :

x = ( 1 2 4 ) + t ⋅ ( 4 -1 3 )

Da die gesuchte Gerade ja parallel zur Geraden durch A und B sein soll, können wir für diese doch einfach den gleichen Richtungsvektor AB = ( 4 -1 3 ) nehmen. Lediglich als Stützvektor ersetzen wir nun den Ortsvektor von A mit dem von C:

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0C + t ⋅ AB , also :

x = ( 1 5 4 ) + t ⋅ ( 4 -1 3 )

Punkt auf Geraden prüfen

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( 0 3 1 ) +t ( -6 6 3 ) .

Überprüfe, ob der Punkt P(-7|9|4) auf der Geraden liegt und zeichne diesen in die Abbildung rechts ein.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt P sein müsste, bzw. auf die rote Fläche, wenn er nicht auf g liegt.

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Um zu überprüfen, ob P auf der Geraden g liegt, setzen wir diesen einfach in die Geradengleichung ein:

( -7 9 4 ) = ( 0 3 1 ) +t ( -6 6 3 )

-7 = 0 -6t |-0
9 = 3 +6t |-3
4 = 1 +3t |-1

-7 = -6t, also t = 7 6
6 = 6t, also t = 1
3 = 3t, also t = 1

Da es kein t gibt, das in allen drei Gleichungen zu einer wahren Aussage führt, liegt der Punkt P(-7|9|4) also nicht auf der Geraden.

Parameter bestimmen, dass P auf g

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(a|-5|-3) auf der Geraden g: x = ( -2 -14 -12 ) +t ( -1 -3 -3 ) ?

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Wenn der Punkt P auf der Geraden liegen soll, kann man dessen Ortsvektor ja in die Geradengleichung ganz links für das x einsetzen:

( a -5 -3 ) = ( -2 -14 -12 ) +t ( -1 -3 -3 )

Wir betrachten nun jede Zeile für sich und versuchen das t zu bestimmen, falls kein a in der Zeile vorkommt:

a = -2-1⋅t

-5 = -14-3⋅t=> -3⋅t = 9 also t = -3

-3 = -12-3⋅t=> -3⋅t = 9 also t = -3

Setzen wir nun diese t = -3 in die 1-te Zeile ein, so erhalten wir:
a = -2+3, also gilt: a = 1

2 Darstellungen einer Geraden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( 2 4 -1 ) +t ( -3 -12 3 ) .

Bestimme die restlichen Koordinaten des Stütz- und Richtungsvektor, so dass die beiden Geradengleichungen zur selben Geraden g gehören.

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Wir beginnen mit dem Richtungsvektor, der ja ein Vielfaches des Richtungsvektors der gegebenen Geraden ( -3 -12 3 ) sein muss.

Es muss also gelten:

( -3 -12 3 ) = r ⋅ ( x1 x2 1 )

Man sieht schnell, dass r = 3 sein muss.

Somit muss auch -3 = 3 ⋅ x1, also x1 = -1 sein .

Somit muss auch -12 = 3 ⋅ x2, also x2 = -4 sein .

Der gesuchte Richtungsvektor ist also ( -1 -4 1 ) und wir können g entweder als x = ( 2 4 -1 ) +t ( -3 -12 3 ) oder als x = ( 2 4 -1 ) +t ( -1 -4 1 ) schreiben.

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt auf der Geraden mit 1 in der x1-Koordinate, den wir als Stützvektor benutzen können.

Um diesen zu bestimmen nehmen wir am besten die Geradendarstellung mit den kleineren Zahlen im Richtungsvektor. Wir suchen also s2 und s3 damit gilt:

( 1 s2 s3 ) = ( 2 4 -1 ) +t ( -1 -4 1 )

Hier betrachten wir natürlich die 1. Zeile, in der steht:
1 = 2 + t ⋅ ( - 1 ) | -2
-1 = t ⋅ ( - 1 )
1 = t

Wenn wir also t=1 in die Geradengleichung einsetzen erhalten wir als Ortsvektor eines Geradenpunkts ( 2 4 -1 ) +1 ( -1 -4 1 ) = ( 1 0 0 ) .

Dieser hat an der x1-Koordinate die geforderte und kann als Stützvektor benutzt werden. Die gesuchte Geradengleichung ist damit:
x = ( 1 0 0 ) +t ( -1 -4 1 )

2. Gerade mit best. Lage finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g durch x = ( 4 -1 1 ) +t ( -3 1 -5 ) .

Gib eine Gerade an, die windschief zu g ist.

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Da die beiden Geraden windschief zueinander sind, darf der Richtungsvektor von h nicht gleich dem von g oder ein Vielfaches davon sein. Am geschicktesten ist es, wenn man als Richtungsvektor von h einen ganz einfachen Vektor nimmt, z.B.: ( 1 0 0 ) .

Als Stützvektor von h könnten wir beispielweise den Stützvektor von g nehmen und ihn in der x2-Koordinate um eins erhöhen, also ( 4 0 1 ) .

So können wir sicher sein, dass sich g und h keinen gemeinsamen Punkt haben können, weil ja alle Punkte auf der Geraden h nun 0 als x2-Koordinate und 1 als x3-Koordinate haben. Aber der einzige Punkt auf g, der 1 als x3-Koordinate hat, muss ja -1 als x2-Koordinate haben, weil ja dann der Parameter t in der Geraden g den Wert 0 annehmen muss. Somit kann es keinen Punkt P(x1|0|1) auf g geben und damit keinen gemeinsamen Punkt mit h (auf der alle Punkte die Form P(x1|0|1) haben.

Es ergibt sich also als eine möglich Gerade h: x = ( 4 0 1 ) +t ( 1 0 0 )

Gegenseitige Lage zweier Geraden

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden

g: x = ( 1 -3 2 ) +t ( 0 0 1 ) und h: x = ( -7 3 0 ) +t ( 0 0 3 )

Berechne ggf. den Schnittpunkt.

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Die beiden Richtungsvektoren ( 0 0 1 ) und ( 0 0 3 ) der Geraden sind linear abhängig (Vielfache voneinander). Wir müssen also prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind.
Setzen wir daher den Stützvektor der zweiten Geraden ( -7 3 0 ) in die erste Gerade ein.

( -7 3 0 ) = ( 1 -3 2 ) +t ( 0 0 1 )
( -8 6 -2 ) =t ( 0 0 1 )

Es gibt kein t, welches diese Gleichung erfüllt. Der Stützvektor ( 1 -3 2 ) der ersten Geraden liegt also nicht auf der Geraden x = ( -7 3 0 ) +t ( 0 0 3 ) .
Somit sind die beiden Geraden parallel.

Parameter einer Geraden bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g: x = ( 4 0 -3 ) +t ( -3 -5 -1 ) und h: x = ( a 10 -1 ) +t ( -6 -10 b ) .

Bestimme die Parameter a und b so, dass die Geraden g und h sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend sind.

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Wenn die beiden Geraden sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend sein sollen, dürfen die beiden Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sein, es muss also gelten:

r ⋅ ( -3 -5 -1 ) ( -6 -10 b ) (für alle r)

Man erkennt leicht, dass wegen der 1. und 2. Zeile ein Gleichheit nur für r = 2 möglich sein kann. Wenn wir also b = 2 ⋅ -1 = -2 setzen so gilt 2 ( -3 -5 -1 ) = ( -6 -10 b ) .

Somit darf b alles nur nicht -2 sein, also z.B. b = -1.

Mit diesem b wissen wir nun, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden keine Vielfache voneinander sind. Somit kann die gegenseitige Lage der beiden Geraden nur noch sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend oder zueinander windschief sein.

Damit nun die beiden Geraden aber auch wirklich sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend und nicht zueinander windschief sind, müssen wir sicherstellen, dass g und h einen gemeinsamen Punkt haben.
Der einfachste Fall zum Rechnen wäre, wenn zufällig bereits der Aufpunkt von h (a|10|-1) auf g liegen würde. Deswegen untersuchen wir mal, ob es ein a gibt, so dass der Aufpunkt von h (a|10|-1) auf g liegt.

Wir setzen also ( a 10 -1 ) = ( 4 0 -3 ) +t ( -3 -5 -1 ) ,

Dazu betrachten wir die 2. Zeile :

10 = -5t | -10 +5t
5t = -10 |:5
t = -2

und die 3. Zeile:

-1 = -3 - t
-1 = -t -3 | +1 + t
t = -2

In beiden Fällen muss t also -2 sein. Setzen wir nun dieses t = -2 auch noch in die 1. Zeile ein, so erhalten wir:

a = 4 + ( -2 ) ( - 3 ) = 10.

Für a = 10 würde also der Aufpunkt von h (10|10|-1) auf der Geraden g liegen, denn

( 10 10 -1 ) = ( 4 0 -3 ) +-2 ( -3 -5 -1 )

Also haben für a = 10 die beiden Geraden g und h den gemeinsamen Punkt (10|10|-1) und sind sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend.

Punkt auf Geraden mit Abstand d

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(-5|-5|-4) und B(-3|-8|2).

Berechne den Abstand von A und B.

Welche Punkte auf der Geraden durch A und B haben den Abstand 14 vom Punkt A?

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Zuerst berechnet man den Vektor AB = ( -3-( - 5 ) -8-( - 5 ) 2-( - 4 ) ) = ( 2 -3 6 ) .
Damit können wir gleich mal den Abstand zwischen A und B berechnen: dAB=| AB | = 2 2 + (-3)2 + 6 2 = 7

Für die Gerade durch A und B gilt:
gAB: x = OA + t ⋅ AB , also x = ( -5 -5 -4 ) +t ( 2 -3 6 )

Da der gesuchte Abstand 14 gerade 2 mal so lang ist wie die Länge des Richtungsvektors ( 2 -3 6 ) (| AB |=7), muss für die Ortsvektoren der gesuchten Punkte gelten:

OP1 = OA + 2 ⋅ AB = ( -5 -5 -4 ) +2 ( 2 -3 6 ) = ( -1 -11 8 ) , also 2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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OP2 = OA - 2 ⋅ AB = ( -5 -5 -4 ) -2 ( 2 -3 6 ) = ( -9 1 -16 ) , also -2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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Die gesuchten Punkte sind also P1(-1|-11|8) und P2(-9|1|-16).