Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 8 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (8 mm)² = 9 mm² + 64 mm² = 73 mm²

d1 = $\sqrt{73}$ mm ≈ 8.544 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ mm)² + (7 mm)² = 73 mm² + 49 mm² = 122 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 64 mm² + 49 mm² = 122 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{122}$ mm ≈ 11.045 mm

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Um die graue Bodendiagonale d_B als Ankathete von α zu bestimmen, müssen wir diese erst mit dem Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Bodendreieck berechnen:

d_B² = a² + b² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61

d_B = $\sqrt{61}$ ≈ 7.81

Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist d_B = 7.81 m und die Länge der Gegenkathete c = 9 m.

Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{GK}}{\mathrm{AK}}$ = $\frac{9}{7.81}$

α = arctan($\frac{9}{7.81}$) ≈ 49°

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Ankathete (vom gegebenen Winkel 45°) c = 9 cm ist.

Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

cos(45°) = $\frac{\mathrm{9\; cm}}{d}$ | ⋅ d :cos(45°)

d = $\frac{\mathrm{9\; cm}}{\mathrm{cos(45°)}}$ ≈ 12.73 cm

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 cm und c = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (6 cm)² + (3 cm)² = 36 cm² + 9 cm² = 45 cm²

d1 = $\sqrt{45}$ cm ≈ 6.708 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{45}$ cm)² + (5 cm)² = 45 cm² + 25 cm² = 70 cm²

d = $\sqrt{70}$ cm ≈ 8.367 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 6.71 cm + 8.37 cm + 5 cm ≈ 20.07 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$⋅6.71 cm⋅ 5 cm ≈ 16.77 cm²

Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.

Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen a und b in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:

sin(58°) = $\frac{a}{d}$ ; also gilt a = d ⋅ sin(58°) ≈ 0,848 d

cos(58°) = $\frac{b}{d}$ ; also gilt b = d ⋅ cos(58°) ≈ 0,5299 d

Somit gilt für das Volumen V des Quaders:

V = 5 ⋅ 0,848 d ⋅ 0,53 d = 182

2.247 d² = 182 | :2.247

d² ≈ 81

d ≈ 9

Um nun die gesuchte Kantenlänge a zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:

sin(58°) = $\frac{a}{d}$ ;
also gilt
a = d ⋅ sin(58°) ≈ 9 ⋅ 0,848 ≈ 7,6

Die gesuchte Breite a (von links nach rechts) ist somit a ≈ 7.63 mm