Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 mm und b = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 mm)² + (6 mm)² = 49 mm² + 36 mm² = 85 mm²

d1 = $\sqrt{85}$ mm ≈ 9.22 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{85}$ mm)² + (9 mm)² = 85 mm² + 81 mm² = 166 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 mm² + 36 mm² + 81 mm² = 166 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{166}$ mm ≈ 12.884 mm

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist b = 8 cm und die Länge der Gegenkathete c = 5 cm.

Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{GK}}{\mathrm{AK}}$ = $\frac{5}{8}$

α = arctan($\frac{5}{8}$) ≈ 32°

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Ankathete (vom gegebenen Winkel 56°) b = 6 mm ist.

Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

cos(56°) = $\frac{\mathrm{6\; mm}}{d}$ | ⋅ d :cos(56°)

d = $\frac{\mathrm{6\; mm}}{\mathrm{cos(56°)}}$ ≈ 10.73 mm

Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.

Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen c und b in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:

sin(50°) = $\frac{c}{d}$ ; also gilt c = d ⋅ sin(50°) ≈ 0,766 d

cos(50°) = $\frac{b}{d}$ ; also gilt b = d ⋅ cos(50°) ≈ 0,6428 d

Somit gilt für das Volumen V des Quaders:

V = 8 ⋅ 0,766 d ⋅ 0,643 d = 252.1

3.939 d² = 252.1 | :3.939

d² ≈ 64

d ≈ 8

Um nun die gesuchte Kantenlänge c zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:

sin(50°) = $\frac{c}{d}$ ;
also gilt
c = d ⋅ sin(50°) ≈ 8 ⋅ 0,766 ≈ 6,1

Die gesuchte Höhe c ist somit c ≈ 6.13 m