Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 7.5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 4 cm = 14 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 14 cm² ⋅ 7.5 cm = 105 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{7}{2}$)² = 7² |-($\frac{7}{2}$)²

h_c² = 7² - ($\frac{7}{2}$)² = 7² - 3.5² = 49 - 12.25= 36.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{\mathrm{36,75}}$ ≈ 6.062

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 ⋅ 6.062 ≈ 21.2

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = a² = 49 ≈ 21.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=80 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 21.2 cm² ⋅ 80 cm ≈ 1697.4 cm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{6547.2}}{\mathrm{70}}$ ≈ 93.53

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{\mathrm{93.53}}{6}$ ≈ 15.59 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ a ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 15.59 einsetzen:

15.59 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

36 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{36}}$ ≈ 6

Für x = 6 mm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 15.6 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 6547.2 mm³