Aufgabenbeispiele von Prismen
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Volumen eines Prismas
Beispiel:
Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:
A = ⋅ 14 cm ⋅ 5 cm = 35 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 35 cm² ⋅ 8 cm = 280 cm³
Volumen eines Prismas 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 cm. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 92 |-()2
hc2 = 92 - ()2 = 92 - 4.52 = 81 - 20.25= 60.75
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 7.794
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1
Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G =
a2 =
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 35.1 cm² ⋅ 60 cm ≈ 2104.4 cm³
Prismavolumen rückwärts
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 3667.6 cm³, die Höhe h = 70 cm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G =
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
hc2 + (
hc2 = x2 - (
Daraus ergibt sich:
hc =
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G =
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 52.39 einsetzen:
52.39 ≈
121 ≈ x2
x ≈
Für x = 11 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 52.4 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 3667.6 cm³