Aufgabenbeispiele von Zylinder

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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 66 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 66 2 cm = 33cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 332 cm² ≈ 3421,19 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3421.19 cm² ⋅ 5 cm ≈ 17105,97 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅33 cm ≈ 207.35 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3421.19 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 33 cm
≈ 6842.39 cm² + 5 cm ⋅ 207.35 cm
≈ 6842.39 cm² + 1036.73 cm²
7879,11 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3421.2 cm³ = und die Höhe h = 9 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 9 = 3421.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

28,278 r 2 = 3421,2

28,278 r 2 = 3421,2 |:28,278
r 2 = 120,98451 | 2
r1 = - 120,98451 -10,999
r2 = 120,98451 10,999

Wir erhalten also r = 11 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅11 cm ≈ 69.12 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 cm ⋅ 2π ⋅ 11 cm
≈ 9 cm ⋅ 69.12 cm
622,04 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 565.5 m² = und die Höhe h = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 10 = 565.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

62,83r = 565,5

62,83r = 565,5 |:62,83
r = 9,0005

Wir erhalten also r = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 m² ≈ 254,47 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 m² ⋅ 10 m ≈ 2544,69 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,39 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,39 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,11 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6,5 cm)2 - 1 2 π (6,11 cm)2
= 66,366 cm2 - 58,641 cm2
= 7,725 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 7,725 cm2 ⋅ 400 cm = 3090 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3090 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 24720 g = 24,72 kg.