Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 24 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 242 m² ≈ 1809,56 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1809.56 m² ⋅ 5 m ≈ 9047,79 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅24 m ≈ 150.8 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1809.56 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 24 m
≈ 3619.11 m² + 5 m ⋅ 150.8 m
≈ 3619.11 m² + 753.98 m²
≈
4373,1 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 678.6 cm² = und den Radius r = 18 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 678.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 182 cm² ≈ 1017,88 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1017.88 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1017.88 cm² ⋅ 6 cm ≈ 6107,26 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 24938 cm³ = und den Radius r = 42 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 24938
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 422 cm² ≈ 5541,77 cm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 cm ≈ 263.89 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 cm² + 4.5 cm ⋅ 2π ⋅ 42 cm
≈ 11083.54 cm² + 4.5 cm ⋅ 263.89 cm
≈ 11083.54 cm² + 1187.52 cm²
≈
12271,06 cm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,3 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,3 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,7 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (6 cm)2 - π (5,7
cm)2
= 56,549 cm2 - 51,035 cm2
=
5,514 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:
V = 5,514 cm2 ⋅ 600 cm = 3308 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 3308 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 26464 g = 26,464 kg.
