Zuerst berechnen wir die rechteckige Bodenfläche als Grundfläche:

G = a ⋅ b = 9 mm ⋅ 4 mm = 36 mm²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 36 mm² ⋅ 6 mm ≈ 72 mm³

Zuerst berechnen wir die Bodenfläche als Grundfläche. Da ja beim rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten jeweils die Höhen zueinander sind, lässt sich der Flächeninhalt sehr einfach berechnen als:

G = $\frac{1}{2}$ a ⋅ b = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 mm ⋅ 6 mm = 27 mm²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 27 mm² ⋅ 7 mm ≈ 63 mm³

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{73}}$ mm ≈ 8,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 72,93 + 9 = 82

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{81.93}}$ mm ≈ 9 mm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ($\frac{1}{2}$b)² = h_b ²

h_b² = 9,8² - 4² = 96,04 - 16 = 80,04

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{80.04}}$ mm ≈ 8,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 8,95² - 8² = 80,04 - 64 = 16,04

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{16.04}}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Wir sehen, dass der gesuchte Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck liegt, so dass wir den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden zu können:

Die Länge der (gestrichelt dargestellten) Ankathete auf der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt von h und dem von s müssen wir aber erst noch berechnen. Dabei erkennen wir an der Skizze, dass diese Strecke die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks auf der Bodenfläche ist, dessen beide Katheten gerade jeweils $\frac{1}{2}$a ist. Dadurch gilt für die gestrichelte Ankathete d :

d² = ($\frac{1}{2}$a)² + ($\frac{1}{2}$a)²
= 3² + 3²
= 9 + 9
= 18
also d = $\sqrt{\mathrm{18}}$ ≈ 4.24

In dem Dreieck mit dem Winkel α gilt:

cos(α) = $\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{Hyp}}$ = $\frac{d}{s}$ = $\frac{\mathrm{4.24}}{\mathrm{7.3}}$ ≈ 0.58

Somit gilt: α ≈ 54.5°

Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Da der untere Pyramidenstumpf das $\frac{3}{5}$-fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide hat, muss diese kleine obere Pyramide das $\frac{2}{5}$-fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide, also h' = 3.6 cm, als Höhe haben.

Um auf die Seitenlänge des oberen Schnittquadrats zu kommen, betrachten wir jeweils das rechtwinlige Dreieck, deren Katheten die Höhe und die halbe Bodendiagonale und deren Hypotenuse die Kante s sind, in der ganzen und in der oberen Teilpyramide.

Wegen der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke (oder mit dem 1. Strahlensatz) erkennt man so, dass auch die Kante s von dem Schnittquadrat im Verhältnis $\frac{2}{5}$:$\frac{3}{5}$ geteilt wird.

Wenn man jetzt die rechte Seitenfläche betrachtet, erkennt man mit dem 2. Strahlensatz, dass sich wenn die Kante im oberen kleinen Teildreck $\frac{2}{5}$ der ganzen Kante s ist, dass dann auch die Seitenlänge des Schnittquadrats $\frac{2}{5}$ der Seitenlänge des Bodenquadrat a=8 cm ist,
also a₂= $\frac{2}{5}$ ⋅ 8 cm = 3.2 cm.

Für das Volumen der ganzen Pyramide gilt:

V₁ = $\frac{1}{3}$ ⋅ G₁ ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 8 cm ⋅ 8 cm ⋅ 9 cm = 192 cm³.

Für das Volumen der kleinen oberen Pyramide gilt:

V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ G₂ ⋅ h₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ a₂ ⋅ a₂ ⋅ h₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 3.2 cm ⋅ 3.2 cm ⋅ 3.6 cm ≈ 12.29 cm³.

Somit gilt für das Volumen des Pyramidenstumpfs :

V = V₁ - V₂ = 192 cm³ - 12.29 cm³ ≈ 179.71 cm³.

Die Oberfläche des Pyramidenstumps besteht aus der Boden- und der Deckelfläche sowie aus 4 kongruenten Seitenflächen.

Die Bodenfläche ist quadratisch und dadurch sehr leicht zu berechnen: A_B = (8 cm)² =64 cm².

Da wir ja inzwischen auch die Seitenlänge der oberen Schnittfläche kennen, ist auch die Deckelfläche leicht zu berechnen:
A_D = (3.2 cm)² =10.24 cm².

Die Seitenflächen haben die Form eines Trapezes. Die Längen der Ober- und Unterkanten kennen wir bereits, somit muss nur noch die Höhe dieses Trapezes berechnet werden.

Dazu berechnen wir zuerst die Höhe der dreieckigen Seitenflächen der vollen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²
= (9)² + (4)² = 81 + 16 = 97
also h_b² = $\sqrt{\mathrm{97}}$ ≈ 9.85

Auch hier gilt wieder aufgrund des Strahlensatzes, dass die Schnittfläche die Seitenhöhe h_b im Verhältnis $\frac{2}{5}$:$\frac{3}{5}$ teilt. Somit ist die Trapezhöhe h_T = $\frac{3}{5}$ ⋅ 9.85 ≈ 5.91.

Eingesetzt in Flächeninhaltsformel für ein Trapez:
A_S = $\frac{1}{2}$(a+a₂) ⋅ h_T
= $\frac{1}{2}$(8 + 3.2) ⋅ 5.91
= $\frac{1}{2}$⋅11.2 ⋅ 5.91
= 5.6 ⋅ 5.91
= 33.096

Damit können wir nun endlich die Obeflächer des Pyramidenstumpfs Berechnen:

O = A_B + A_D + 4 ⋅ A_S
= 64 cm² + 10.24 cm² + 132.384 cm²
≈ 206.6 cm²

Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Für die Volumen der beiden Pyramiden benötigen wir jeweils die Höhen. Um die Höhen zu berechnen, müssen wir zuerst die Kantenlänge s der großen ganzen Pyramide bestimmen:
Dazu wenden wir den 2. Strahlensatz in dem rechten Seitendreick an. Als x bezeichnen wir die Länge des Teils der Kante s, das zwischen der Oberseite des Pyramidenstumpfs und der Spitze liegt. Damit gilt:

$\frac{\mathrm{x+k}}{x}$ = $\frac{a}{c}$

$\frac{x}{x}$ + $\frac{k}{x}$ = $\frac{a}{c}$

1 +$\frac{k}{x}$ = $\frac{a}{c}$

1 +$\frac{\mathrm{5.4}}{x}$ = $\frac{5}{2}$ |-1

$\frac{\mathrm{5,4}}{x}$ = $\mathrm{1,5}$ | ⋅x : 1.5

$\frac{\mathrm{5.4}}{\mathrm{1.5}}$ = x

Also gilt x = 3.6 mm

Somit ist die gesamte Pyramidenkante s = x + k = 3.6 mm + 5.4 mm = 9 mm.

Jetzt können wir die Höhe h der ganzen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dazu brauchen wir aber erst noch die halbe Diagonale der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt der Höhe und einer der Ecken. Auch diese kann mit Pythagoras berechnet werden:

d² = ($\frac{a}{2}$)² + ($\frac{a}{2}$)² = $\frac{\mathrm{a²}}{4}$ + $\frac{\mathrm{a²}}{4}$ = $\frac{\mathrm{a²}}{2}$ = $\frac{\mathrm{25}}{2}$ = 12.5

Somit gilt d = $\sqrt{\mathrm{12.5}}$ mm ≈ 3.54 mm und wir können die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechen.

h² + d² = s² | - d²

h² = s² - d² = 9² - 3.54² = 81 - 12.5 = 68.5

Somit gilt h = $\sqrt{\mathrm{68.5}}$ mm ≈ 8.28 mm.

Jetzt können wir das Volumen der ganzen Pyramide berechnen:

V_g = $\frac{1}{3}$ a² ⋅ h =$\frac{1}{3}$ ⋅ 25 mm² ⋅ 8.28 mm ≈ 68.97 mm³

Für die kleine abgeschnittene Pyramide brauchen wir wieder deren Höhe. Wegen dem Strahlensatz oder der Ähnlichkeit der Dreiecke wissen wir, dass die Schnittfläche die Höhe im gleichen Verhältnis $\frac{\mathrm{3.6}}{9}$:$\frac{\mathrm{5.4}}{9}$ teilt wie die Kante s.

Also ist die Höhe der kleinen abgeschnittenen Pyramide h' = $\frac{\mathrm{3.6}}{9}$ ⋅ 8.28 mm ≈ 3.31 mm und es gilt für das Volumen:

V_k = $\frac{1}{3}$ c² ⋅ h' =$\frac{1}{3}$ ⋅ 4 mm² ⋅ 3.31 mm ≈ 4.41 mm³

Damit können wir nun endlich das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

V = V_g - V_k = 68.97 mm³ - 4.41 mm³ = 64.6 mm³

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅7 cm⋅6,1 cm ≈ 21,36 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅21,36 cm² = 85,45 cm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 cm)² = 49 cm²

somit gilt: O = M + G = 85,45 cm² + 49 cm² = 134,45 cm²

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 49 cm² berechnet.

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{\mathrm{36}}$ cm = 6 cm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 cm² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,54 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 8,54² - 3² = 73 - 9 = 64

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{64}}$ cm ≈ 8 cm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h = $\frac{1}{3}$⋅36 cm² ⋅ 8 cm ≈ 96 cm³