Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10} sind,
also
= {1; 8}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 7; 8}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 7; 8}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 3; 7; 8} sind,
also
= {2; 4; 5; 6; 9; 10}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel nicht durch 3 teilbar und nicht kleiner als 7 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 6} und B = {7}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7},
die nicht in der Menge A={3; 6} sind,
also
= {1; 2; 4; 5; 7}
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 4 teilbar ist oder deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 7} und B = {4; 8}.
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 15 = 213
Somit gilt: H( ∩ B) = 213 - 15 = 198
172 | |||
198 | 15 | 213 | |
437 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
172 + 198 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 172 + 198 = 370
172 | |||
198 | 15 | 213 | |
370 | 437 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A) + 213 = 437
Somit gilt: H(A) = 437 - 213 = 224
172 | 224 | ||
198 | 15 | 213 | |
370 | 437 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
172 + H(A ∩ ) = 224
Somit gilt: H(A ∩ ) = 224 - 172 = 52
172 | 52 | 224 | |
198 | 15 | 213 | |
370 | 437 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
370 + H( ) = 437
Somit gilt: H( ) = 437 - 370 = 67
172 | 52 | 224 | |
198 | 15 | 213 | |
370 | 67 | 437 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,04 | |||
0,9 | |||
0,63 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.63 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.63 = 0.37
0,04 | |||
0,9 | |||
0,37 | 0,63 | 1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.04 + P( ∩ B) = 0.37
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.37 - 0.04 = 0.33
0,04 | |||
0,33 | 0,9 | ||
0,37 | 0,63 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.9 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.9 = 0.1
0,04 | 0,1 | ||
0,33 | 0,9 | ||
0,37 | 0,63 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.04 + P(A ∩ ) = 0.1
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.1 - 0.04 = 0.06
0,04 | 0,06 | 0,1 | |
0,33 | 0,9 | ||
0,37 | 0,63 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.33 + P( ∩ ) = 0.9
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.9 - 0.33 = 0.57
0,04 | 0,06 | 0,1 | |
0,33 | 0,57 | 0,9 | |
0,37 | 0,63 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In einem Monat mit 30 Tagen gab es 17 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 12 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 4 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Schule
: nicht Schule, also schulfrei
: schönes Wetter
: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | ||
(schulfrei) | 4 | ||
17 | 30 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
17 + H( ) = 30
Somit gilt: H( ) = 30 - 17 = 13
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | ||
(schulfrei) | 4 | ||
17 | 13 | 30 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
12 + H( ∩ B) = 17
Somit gilt: H( ∩ B) = 17 - 12 = 5
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | ||
(schulfrei) | 5 | 4 | |
17 | 13 | 30 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 4 = 13
Somit gilt: H(A ∩ ) = 13 - 4 = 9
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | 9 | |
(schulfrei) | 5 | 4 | |
17 | 13 | 30 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
12 + 9 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 12 + 9 = 21
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | 9 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | |
17 | 13 | 30 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
5 + 4 = H( )
Somit gilt: H( ) = 5 + 4 = 9
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | 9 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | 9 |
17 | 13 | 30 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 12 | 9 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | 9 |
17 | 13 | 30 |
Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 9.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 54% der Befragten weiblich. Während 33% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 10%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,54 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,54 | ||
(männlich) | 0,46 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 10%
kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,54 ⋅ 0,1 =
0,054 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,054 | 0,54 | |
(männlich) | 0,46 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 33%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,054 | 0,54 | |
(männlich) | 0,1518 | 0,46 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,054 | 0,486 | 0,54 |
(männlich) | 0,1518 | 0,3082 | 0,46 |
0,2058 | 0,7942 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2624 = 26.24%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 15% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 5,1% der Befragten. 38% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,051 | 0,15 | |
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,051 | 0,099 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,85 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 38%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,051 | 0,099 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,323 | 0,85 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,051 | 0,099 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,527 | 0,323 | 0,85 |
0,578 | 0,422 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.578 = 57.8%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 55 | 181 | 236 |
| 100 | 96 | 196 |
155 | 277 | 432 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
277 ⋅ x
= 96 = |:277
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,16 | 0,57 | 0,73 |
| 0,18 | 0,09 | 0,27 |
0,34 | 0,66 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,27 ⋅ x
= 0,18 = |:0,27
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 9% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 94% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 83% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,09 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,09 | ||
(andere Lehrer) | 0,91 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0747 | 0,09 | |
(andere Lehrer) | 0,91 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 94%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0747 | 0,09 | |
(andere Lehrer) | 0,8554 | 0,91 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0153 | 0,0747 | 0,09 |
(andere Lehrer) | 0,8554 | 0,0546 | 0,91 |
0,8707 | 0,1293 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,1293 ⋅ x
= 0,0747 = |:0,1293
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,5777 = 57,77%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Nach einer Umfrage könnten sich 40% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 46% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 42% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,4 | ||
(nicht kaufen) | 0,42 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,4 | ||
(nicht kaufen) | 0,18 | 0,42 | 0,6 |
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 46%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,184 | 0,4 | |
(nicht kaufen) | 0,18 | 0,42 | 0,6 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,184 | 0,216 | 0,4 |
(nicht kaufen) | 0,18 | 0,42 | 0,6 |
0,364 | 0,636 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.4 mit P(B)=0.364 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.184, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.4 ⋅ 0.364 = 0.1456 ≈ 0.146
≠ 0.184 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,165 | ||
| |||
0,67 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.67 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,165 | ||
| |||
0,67 | 0,33 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,165 | 0,5 | |
| |||
0,67 | 0,33 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,335 | 0,165 | 0,5 |
| 0,335 | 0,165 | 0,5 |
0,67 | 0,33 | 1 |