Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 6; 8; 9; 10} und B = {1; 9; 10}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 6; 8; 9; 10} und B = {1; 9; 10}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 3; 8}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 3; 8}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 3; 8} sind,
also
= {2; 4; 5; 6; 7; 9; 10}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel nicht durch 4 teilbar und nicht kleiner als 5 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {4; 8; 12} und B = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13},
die nicht in der Menge A={4; 8; 12} sind,
also
= {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13}
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 3 teilbar ist oder deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 3; 5; 7} und B = {3; 6}.
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
177 + 29 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 177 + 29 = 206
177 | 29 | 206 | |
68 | 171 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
68 + H( ∩ ) = 171
Somit gilt: H( ∩ ) = 171 - 68 = 103
177 | 29 | 206 | |
68 | 103 | 171 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
177 + 68 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 177 + 68 = 245
177 | 29 | 206 | |
68 | 103 | 171 | |
245 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
29 + 103 = H( )
Somit gilt: H( ) = 29 + 103 = 132
177 | 29 | 206 | |
68 | 103 | 171 | |
245 | 132 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
206 + 171 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 206 + 171 = 377
177 | 29 | 206 | |
68 | 103 | 171 | |
245 | 132 | 377 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,13 | 0,64 | ||
0,08 | |||
1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.13 + 0.64 = P(A)
Somit gilt: P(A) = 0.13 + 0.64 = 0.77
0,13 | 0,64 | 0,77 | |
0,08 | |||
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.64 + 0.08 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.64 + 0.08 = 0.72
0,13 | 0,64 | 0,77 | |
0,08 | |||
0,72 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.77 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.77 = 0.23
0,13 | 0,64 | 0,77 | |
0,08 | 0,23 | ||
0,72 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.08 = 0.23
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.23 - 0.08 = 0.15
0,13 | 0,64 | 0,77 | |
0,15 | 0,08 | 0,23 | |
0,72 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.72 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.72 = 0.28
0,13 | 0,64 | 0,77 | |
0,15 | 0,08 | 0,23 | |
0,28 | 0,72 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In einem Monat mit 30 Tagen gab es 16 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 11 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 5 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Schule
: nicht Schule, also schulfrei
: schönes Wetter
: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | ||
(schulfrei) | 5 | ||
16 | 30 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
16 + H( ) = 30
Somit gilt: H( ) = 30 - 16 = 14
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | ||
(schulfrei) | 5 | ||
16 | 14 | 30 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
11 + H( ∩ B) = 16
Somit gilt: H( ∩ B) = 16 - 11 = 5
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | ||
(schulfrei) | 5 | 5 | |
16 | 14 | 30 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 5 = 14
Somit gilt: H(A ∩ ) = 14 - 5 = 9
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | 9 | |
(schulfrei) | 5 | 5 | |
16 | 14 | 30 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
11 + 9 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 11 + 9 = 20
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | 9 | 20 |
(schulfrei) | 5 | 5 | |
16 | 14 | 30 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
5 + 5 = H( )
Somit gilt: H( ) = 5 + 5 = 10
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | 9 | 20 |
(schulfrei) | 5 | 5 | 10 |
16 | 14 | 30 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 11 | 9 | 20 |
(schulfrei) | 5 | 5 | 10 |
16 | 14 | 30 |
Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 10.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 5% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 96% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 81% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Informatiklehrer
: nicht Informatiklehrer, also andere
: MS-Office
: nicht MS-Office, also anderes Office
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es
81% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,05 ⋅
0,81 =
0,0405 berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0405 | 0,05 | |
(andere) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es
96% kann man die Wahrscheinlichkeit
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0405 | 0,05 | |
(andere) | 0,912 | 0,95 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0095 | 0,0405 | 0,05 |
(andere) | 0,912 | 0,038 | 0,95 |
0,9215 | 0,0785 | 1 |
Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.9215 = 92.15%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 44% der Bevölkerung zufrieden. 70% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 46,48% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,44 | ||
(unzufrieden) | 0,4648 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,44 | ||
(unzufrieden) | 0,0952 | 0,4648 | 0,56 |
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es
70% kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,308 | 0,44 | |
(unzufrieden) | 0,0952 | 0,4648 | 0,56 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,308 | 0,132 | 0,44 |
(unzufrieden) | 0,0952 | 0,4648 | 0,56 |
0,4032 | 0,5968 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.4032 = 40.32%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 41 | 107 | 148 |
| 194 | 26 | 220 |
235 | 133 | 368 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,25 | 0,51 | 0,76 |
| 0,2 | 0,04 | 0,24 |
0,45 | 0,55 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,24 ⋅ x
= 0,04 = |:0,24
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,53% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 38% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 17% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,17 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,3053 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,17 | ||
(anderes Smartphone) | 0,83 | ||
0,3053 | 0,6947 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 38%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0646 | 0,17 | |
(anderes Smartphone) | 0,83 | ||
0,3053 | 0,6947 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0646 | 0,1054 | 0,17 |
(anderes Smartphone) | 0,2407 | 0,5893 | 0,83 |
0,3053 | 0,6947 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,3053 ⋅ x
= 0,0646 = |:0,3053
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,2116 = 21,16%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1200 Fahrräder verkauft. Davon waren 218 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 420 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 864 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 420 | ||
(kein E-Bike) | 218 | ||
864 | 1200 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 864 = 1200
Somit gilt: H(B) = 1200 - 864 = 336
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 420 | ||
(kein E-Bike) | 218 | ||
336 | 864 | 1200 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 218 = 336
Somit gilt: H(A ∩ B) = 336 - 218 = 118
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 420 | |
(kein E-Bike) | 218 | ||
336 | 864 | 1200 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
420 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 420 | |
(kein E-Bike) | 218 | 780 | |
336 | 864 | 1200 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
118 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 302 | 420 |
(kein E-Bike) | 218 | 780 | |
336 | 864 | 1200 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
218 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 302 | 420 |
(kein E-Bike) | 218 | 562 | 780 |
336 | 864 | 1200 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 302 | 420 |
(kein E-Bike) | 218 | 562 | 780 |
336 | 864 | 1200 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1200. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,098 | 0,252 | 0,35 |
| 0,182 | 0,468 | 0,65 |
0,28 | 0,72 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.28 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.098, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.28 = 0.098
≈ 0.098 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,89 | ||
| 0,0869 | ||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.89 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,89 | ||
| 0,0869 | 0,11 | |
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.11 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,89 | ||
| 0,0869 | 0,11 | |
0,79 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,7031 | 0,1869 | 0,89 |
| 0,0869 | 0,0231 | 0,11 |
0,79 | 0,21 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 960 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 240 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 160 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 160 | ||
(Verbrenner) | 240 | ||
960 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
160 + H(
Somit gilt: H(
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 160 | ||
(Verbrenner) | 240 | 800 | |
960 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 160 | ||
(Verbrenner) | 240 | 800 | |
288 | 960 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 48 | 112 | 160 |
(Verbrenner) | 240 | 560 | 800 |
288 | 672 | 960 |
Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 672
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 51% der Bevölkerung zufrieden. 70% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 87,26% der Bevölkerung sind keine Anhänger seiner Partei oder zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,51 | ||
(unzufrieden) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,51 | ||
(unzufrieden) | 0,49 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es
70% kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,357 | 0,51 | |
(unzufrieden) | 0,49 | ||
1 |
Die 87.26% von "zufrieden oder andere Partei" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,8726 =
Damit gilt:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,357 | 0,51 | |
(unzufrieden) | 0,1274 | 0,49 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,357 | 0,153 | 0,51 |
(unzufrieden) | 0,1274 | 0,3626 | 0,49 |
0,4844 | 0,5156 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.4844 = 48.44%.