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Koordinatenebene aus der Parameterform aufstellen

Beispiel:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene mit der Parametergleichung
$\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -9 \end{matrix})$ auf!

Lösung einblenden

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \cdot (- 9) - 0 \cdot 7 \\ 0 \cdot 7 - (- 2) \cdot (- 9) \\ - 2 \cdot 7 - 7 \cdot 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 63 + 0 \\ 0 - 18 \\ - 14 - 49 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 63 \\ - 18 \\ - 63 \end{matrix})

= -9⋅

(\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -9 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7 x_{1} + 2 x_{2} + 7 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(0 | -7 | 0)$ erhält man
d = $7 \cdot 0 + 2 \cdot (-7) + 7 \cdot 0$
also:

7 x_{1} + 2 x_{2} + 7 x_{3} = -14

Koordinatenebene aus 3 Punkten aufstellen

Beispiel:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte P₁ $(8 | 2 | 8)$ , P₂ $(8 | 11 | 0)$ und P₃ $(25 | 4 | 10)$ auf!

Lösung einblenden

Wir nehmen den Ortsvektor des ersten Punkts als Stützvektor. Die Verbindungsvektoren zwischen 1. und 2. bzw. zwischen 1. und 3. Punkt bilden die beiden Spannvektoren. Die Parametergleichung der Ebene ist also:

\vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 9 \\ -8 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 17 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

.
Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 9 \\ -8 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 17 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \cdot 2 - (- 8) \cdot 2 \\ - 8 \cdot 17 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 - 9 \cdot 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 + 16 \\ - 136 + 0 \\ 0 - 153 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 34 \\ - 136 \\ - 153 \end{matrix})

= -17⋅

(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 0 \\ 9 \\ -8 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 17 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ 8 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 9 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2 x_{1} + 8 x_{2} + 9 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(8 | 2 | 8)$ erhält man
d = $(-2) \cdot 8 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 8$
also:

-2 x_{1} + 8 x_{2} + 9 x_{3} = 72

Koordinatenebene aus einem Punkt und einer Geraden

Beispiel:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene durch den Punkt P₁ $(-5 | -10 | -5)$ und die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})$ auf!

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Wir nehmen den Stützvektor der Geraden als Stützvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden als einen Spannvektor. Als anderen Spannvektor nehmen wir den Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt und dem Aufpunkt der Geraden:
$(\begin{matrix} -5 \\ -10 \\ -5 \end{matrix})$ - $(\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -5 \\ -5 \end{matrix})$

Wir erhalten so also eine Parametergleichung der Ebene: $\vec{x} = (\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -5 \\ -5 \end{matrix})$

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -4 \\ -5 \\ -5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot (- 5) - 1 \cdot (- 5) \\ 1 \cdot (- 4) - 0 \cdot (- 5) \\ 0 \cdot (- 5) - 5 \cdot (- 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 25 + 5 \\ - 4 + 0 \\ 0 + 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 20 \\ - 4 \\ 20 \end{matrix})

= -4⋅

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ -5 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ -5 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -4 \\ -5 \\ -5 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $5 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(-1 | -5 | 0)$ erhält man
d = $5 \cdot (-1) + 1 \cdot (-5) + (-5) \cdot 0$
also:

5 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} = -10

Koordinatenebene aus 2 parallelen Geraden

Beispiel:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene auf, die von den beiden parallelen Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ -6 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ aufgespannt wird!

Lösung einblenden

Wir nehmen den Stützvektor der einen Geraden als Stützvektor der Ebene und den Richtungsvektor der gleichen Geraden als einen Spannvektor. Den Richtungsvektor der anderen Geraden können wir leider nicht als weiteren Spannvektor nehmen, da dieser ja in die gleiche Richtung zeigt wie der der anderen Geraden. Der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte

(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix})

liegt aber auch in der Ebene, die von den beiden parallelen Geraden aufgespannt wird. Deswegen nehmen wir diesen als zweiten Spannvektor:

\vec{x} = (\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix})

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \cdot (- 1) - 0 \cdot (- 2) \\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) \\ 1 \cdot (- 2) - 0 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \\ 0 + 1 \\ - 2 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+ x_{2} - 2 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(-2 | -4 | 0)$ erhält man
d = $0 \cdot (-2) + 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot 0$
also:

+ x_{2} - 2 x_{3} = -4

Koordinatenebene aus der Parameterform aufstellen

Beispiel:

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene mit der Parametergleichung
$\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ -1 \end{matrix})$ auf!

Lösung einblenden

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ -1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \cdot (- 1) - 0 \cdot (- 8) \\ 0 \cdot (- 8) - 1 \cdot (- 1) \\ 1 \cdot (- 8) - 0 \cdot (- 8) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \\ 0 + 1 \\ - 8 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 8 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ -1 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+ x_{2} - 8 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(0 | 0 | -1)$ erhält man
d = $0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-8) \cdot (-1)$
also:

+ x_{2} - 8 x_{3} = 8

Koordinatenebene aus Normalengleichung

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E :
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) = 0$

Lösung einblenden

$[\vec{x} - (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) = 0$

⇔ $[(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) = 0$

⇔ $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ - $(\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ = 0

⇔ $5 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3}$ - ( $(-3) \cdot 5 + (-2) \cdot 1 + (-5) \cdot 3$ ) = 0

⇔ $5 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3}$ +32 = 0 | -32

⇔ $5 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} = -32$

Aufgabenbeispiele von Ebenen aufstellen

Koordinatenebene aus der Parameterform aufstellen

Koordinatenebene aus 3 Punkten aufstellen

Koordinatenebene aus einem Punkt und einer Geraden

Koordinatenebene aus 2 parallelen Geraden

Koordinatenebene aus der Parameterform aufstellen

Koordinatenebene aus Normalengleichung