Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-x_2=6$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+3x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=44$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+15+4=44$ |-19
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2+4x_3=-21$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}=0$ |+12
4a = 12 | :4
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-4|-4\right)$ in E: $3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2+6x_3=-6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 10\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+10x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+10x_2-8x_3=-24$ , d.h. für b = -24 sind die beiden Ebenen identisch.