Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+x_3=-8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+5x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=16$
$20+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=16$ |-12
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-9+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+9=0$ |-0
3a = 0 | :3
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|-5\right)$ in E: $3x_1-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-9x_3=42$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 12\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 12 = -36.

Für a = -36 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-12x_1+12x_2-36x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-12x_1+12x_2-36x_3=-120$ , d.h. für b = -120 sind die beiden Ebenen identisch.