Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+5x_2+4x_3=-7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-x_3=-27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3=-7$
$-2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+\mathrm{(-15)}=-7$ |+17
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-x_3=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 4$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0+4=0$ |-4
4a = -4 | :4
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-1|-1\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-4x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot 2+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$18+2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 0+1\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-5)}$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$29=b$

Mit b = 29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+2x_2-5x_3=29$.