Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-5x_2-4x_3=-35$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-4)}=4$
$8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-16)}=4$ |+8
4a = 12 | :4
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2-5x_3=22$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=7 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$6+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|3|3\right)$ in E: $-2x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+5x_2-4x_3=-5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-x_3=0$ , d.h. für b = 0 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 0, also z.B.: b = 1 setzen.