Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-3x_2-3x_3=-24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2-4x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=-20$
$-12+2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=-20$ |+10
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+2x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+4=0$ |-10
2a = -10 | :2
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-5|2\right)$ in E: $-2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2-4x_3=19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-48)}=0$ |+51
3a = 51 | :3
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1+3x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-3)}$ = -21
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1+3x_2-12x_3=-15$.