Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2-x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_2+2x_3=-11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+1\cdot 1+2\cdot 5=3$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+1+10=3$ |-11
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$56=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-3x_3=56$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-4)}=0$ |+4
4a = 4 | :4
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|0|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|0|1\right)$ in E: $+x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2+4x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 41\\ -4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}+32=0$ |-82
41a = -82 | :41
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 1+41\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -120
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-2x_2-8x_3=12$.