Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+x_2-4x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+4x_3=25$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-6$
$-5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+\mathrm{(-6)}=-6$ |+11
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_3=7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-4)}+2=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|2\right)$ in E: $-2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-2x_2-2x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 4 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-4x_2+4x_3=-36$ , d.h. für b = -36 sind die beiden Ebenen identisch.