Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-3x_2-2x_3=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1=-20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-4)}=-16$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0+\mathrm{(-20)}=-16$ |+20
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-5x_3=-11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 3$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-4)}+1=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|-3\right)$ in E: $-3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+2x_2-x_3=4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 4 = -8.

Für a = -8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-8x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-8x_2-10x_3=70$ , d.h. für b = 70 sind die beiden Ebenen identisch.