Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-5x_2+2x_3=-16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+2x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1=-30$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}=-30$ |+10
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2-2x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=7 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$10+\mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|-2\right)$ in E: $2x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2+5x_3=21$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -15\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}17\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 17 = -51.

Für a = -51 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-51x_1-15x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-51x_1-15x_2-9x_3=-240$ , d.h. für b = -240 sind die beiden Ebenen identisch.