Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2+3x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+4x_3=21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+4\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=1$
$-1+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=1$ |-11
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+2x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|3\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$6+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+14
-2a = 14 | :(-2)
a = -7

Für a = -7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-4x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|3\right)$ in E: $-2x_1-4x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-33=b$

Mit b = -33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2-7x_3=-33$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ -5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 17 = -17.

Für a = -17 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1-17x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1-17x_2+5x_3=17$ , d.h. für b = 17 sind die beiden Ebenen identisch.