Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_2-2x_3=18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-2x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 2=14$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+4=14$ |-6
-2a = 8 | :(-2)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+x_2+5x_3=34$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-20)}+16=0$ |+4
1a = 4 | :1
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|3\right)$ in E: $4x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-8x_3=-9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}17\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 17 = -34.

Für a = -34 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-34x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-34x_1+2x_2-8x_3=178$ , d.h. für b = 178 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 178, also z.B.: b = 179 setzen.