Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_2=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+x_2+4x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-17$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-20)}=-17$ |+20
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2+x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0+20=0$ |-20
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|3\right)$ in E: $4x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-44=b$

Mit b = -44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2-10x_3=-44$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 51\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 51 = -153.

Für a = -153 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+9x_2-153x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+9x_2-153x_3=339$ , d.h. für b = 339 sind die beiden Ebenen identisch.