Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-x_2+3x_3=35$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2-x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 3=2$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-2)}+6=2$ |-4
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_3=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|0\right)$ in E: $-5x_1-4x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2=-20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0$ = 80
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+5x_2+x_3=-5$.