Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+4x_2+3x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-3)}=-16$
$-4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-9)}=-16$ |+13
3a = -3 | :3
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2-5x_3=42$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 4$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-25+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|0\right)$ in E: $-5x_1-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_3=25$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-32+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |+40
2a = 40 | :2
a = 20

Für a = 20 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+4x_2+20x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-2)}$ = -20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+4x_2+20x_3=-8$.