Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+5x_3=31$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2+5x_3=-31$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 0+4\cdot 5=35$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+0+20=35$ |-20
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2+x_3=4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+12
3a = 12 | :3
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-1|-1\right)$ in E: $4x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+3x_2+9x_3=-20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}17\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ =0

$17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-16)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $17\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 3$ = -68
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+x_3=-22$.