Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+3x_2+x_3=21$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2-2x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-10$
$-10+\mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-10$ |+15
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-4\right)$ in E: $3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2+4x_3=-8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-50)}+\mathrm{(-8)}=0$ |+58
2a = 58 | :2
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $29x_1-10x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 5$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-87=b$

Mit b = -87 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $29x_1-10x_2-4x_3=-87$.