Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-2x_2-5x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=11$
$6+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=11$ |+4
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-4x_3=40$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$2+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+18
-2a = 18 | :(-2)
a = -9

Für a = -9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|-2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-9x_3=2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 41\\ 4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 41 = -41.

Für a = -41 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1-41x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1-41x_2-4x_3=209$ , d.h. für b = 209 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 209, also z.B.: b = 210 setzen.