Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+5x_2-x_3=23$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-3)}=-32$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-20)}+\mathrm{(-9)}=-32$ |+29
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|3|3\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+5+15=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|1|-1\right)$ in E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2-5x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 3+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+27=0$ |-30
5a = -30 | :5
a = -6

Für a = -6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-6x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-6x_2-9x_3=-9$.