Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-3x_2=-14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+2x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=-20$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}=-20$ |+5
5a = -15 | :5
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2+3x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-10)}+5=0$ |+5
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-19=b$

Mit b = -19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=-19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot 2+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$18+2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-5)}$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$34=b$

Mit b = 34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+2x_2-4x_3=34$.