Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_2-3x_3=26$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+4x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=2$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+12=2$ |-6
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_2+2x_3=36$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+2=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|5\right)$ in E: $-3x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-4x_2-2x_3=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-6x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-6x_2+4x_3=-36$ , d.h. für b = -36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -36, also z.B.: b = -35 setzen.