Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2+x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-3x_3=-45$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 1=-8$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-20)}+\mathrm{(-4)}=-8$ |+24
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+3x_3=23$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 3$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$8+\mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|-2\right)$ in E: $-4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-13=b$

Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+x_2+5x_3=-13$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-2x_2-8x_3=4$ , d.h. für b = 4 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 4, also z.B.: b = 5 setzen.