Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_2+4x_3=-41$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+5x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 4=-4$
$20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-12)}=-4$ |-8
4a = -12 | :4
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+20
-2a = 20 | :(-2)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|4|-3\right)$ in E: $+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$50=b$

Mit b = 50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+5x_2-10x_3=50$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 29 = 58.

Für a = 58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1+10x_2+58x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1+10x_2+58x_3=-272$ , d.h. für b = -272 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -272, also z.B.: b = -271 setzen.