Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-3x_2+2x_3=-10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+2x_2-5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+5\cdot 5=43$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+25=43$ |-28
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-3x_3=39$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+4=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-1|-1\right)$ in E: $-2x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+2x_2-4x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}17\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ =0

$17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $17\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0$ = 89
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=1$.