Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=-17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2+2x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 0+5\cdot 5=19$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+25=19$ |-25
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-4x_3=40$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+\mathrm{(-2)}=0$ |-0
-2a = 0 | :(-2)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-2|-4\right)$ in E: $-x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2+2x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-10)}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-50)}+\mathrm{(-32)}=0$ |+82
2a = 82 | :2
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $41x_1-10x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 1$ = -11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-203=b$

Mit b = -203 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $41x_1-10x_2-8x_3=-203$.