Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-3x_2-4x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+2x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 0=-18$
$-8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+0=-18$ |+8
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-x_2-3x_3=17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+5+7=0$ |-12
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|4|1\right)$ in E: $4x_1+x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2-7x_3=17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 13\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 13 = 26.

Für a = 26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+4x_2+26x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+4x_2+26x_3=-124$ , d.h. für b = -124 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -124, also z.B.: b = -123 setzen.