Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2+4x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_2+5x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+3\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=19$
$-3+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=19$ |-3
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 4+0\cdot 3$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-1+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-4|3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+5x_3=27$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 5 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-6x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-6x_2-10x_3=8$ , d.h. für b = 8 sind die beiden Ebenen identisch.