Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-3x_2=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2+5x_3=-23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-1)}=13$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-1)}=13$ |-4
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_2+4x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+0=0$ |-12
4a = -12 | :4
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|-1\right)$ in E: $-4x_1-3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$35=b$

Mit b = 35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2=35$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-2x_2-4x_3=-42$ , d.h. für b = -42 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -42, also z.B.: b = -41 setzen.