Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-3x_2-x_3=-16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2+4x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=-13$
$4+\mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=-13$ |-2
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-2x_3=-23$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+15+\mathrm{(-15)}=0$ |-0
-3a = 0 | :(-3)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|-5\right)$ in E: $-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-45=b$

Mit b = -45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_2+5x_3=-45$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$2+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=0$ |-10
5a = -10 | :5
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-5)}$ = -14
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2-2x_3=32$.