Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+2x_2+2x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2-3x_3=-28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=-38$
$-16+\mathrm{(-16)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=-38$ |+32
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$4+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+16
-2a = 16 | :(-2)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-1|5\right)$ in E: $-4x_1+5x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-49=b$

Mit b = -49 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2-8x_3=-49$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-4)}\cdot 8+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-50+\mathrm{(-32)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}=0$ |+82
41a = 82 | :41
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+8x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+41\cdot 5$ = 240
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-60=b$

Mit b = -60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+8x_2+2x_3=-60$.