Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+2x_2-2x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-x_2-2x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=-19$
$-15+\mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=-19$ |+20
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2+5x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 4+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+\mathrm{(-1)}=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+x_3=13$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+2x_2+10x_3=-16$ , d.h. für b = -16 sind die beiden Ebenen identisch.