Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+5x_2=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=-4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-2)}=19$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+8+\mathrm{(-4)}=19$ |-4
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2+2x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|4\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-2+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_3=14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$12+75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |-87
3a = -87 | :3
a = -29

Für a = -29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-15x_2-29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-4)}$ = -29
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$65=b$

Mit b = 65 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-15x_2-29x_3=65$.