Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-5x_2=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=6$
$-5+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=6$ |-7
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-2x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 3$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+\mathrm{(-2)}=0$ |+8
-2a = 8 | :(-2)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-5|-4\right)$ in E: $3x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-4x_2+2x_3=27$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+17
1a = 17 | :1
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1+x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 17
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$55=b$

Mit b = 55 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1+x_2+4x_3=55$.