Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2-x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+5\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 0=30$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+10+0=30$ |-10
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-4x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 3$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+12
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|-3\right)$ in E: $-3x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-24=b$

Mit b = -24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2+10x_3=-24$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 16 = 32.

Für a = 32 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $32x_1-8x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $32x_1-8x_2-8x_3=120$ , d.h. für b = 120 sind die beiden Ebenen identisch.