Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-3x_2+3x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2-5x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-4)}=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+0+\mathrm{(-20)}=-18$ |+20
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2-x_3=27$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$16+\mathrm{(-25)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+9
-1a = 9 | :(-1)
a = -9

Für a = -9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|5|3\right)$ in E: $-4x_1+5x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2-9x_3=-22$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 17\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 17 = -17.

Für a = -17 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-x_2-17x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-x_2-17x_3=-16$ , d.h. für b = -16 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -16, also z.B.: b = -15 setzen.