Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+2x_2=-29$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=1$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0+2=1$ |-2
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-5x_3=10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+3=0$ |-6
3a = -6 | :3
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|5|-5\right)$ in E: $3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2-3x_3=20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 10+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot 10=0$
$50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+50=0$ |-100
2a = -100 | :2
a = -50

Für a = -50 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-50x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-2)}$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$150=b$

Mit b = 150 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-50x_2+10x_3=150$.