Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-5x_2-3x_3=13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2+x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-5)}=-5$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-15)}=-5$ |+15
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2+4x_3=-28$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+8=0$ |-12
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=-38$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ a\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 17\\ 3\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 15+17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot 9=0$
$75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 17</mi>}+27=0$ |-102
17a = -102 | :17
a = -6

Für a = -6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1-6x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-1)}+17\cdot 5+3\cdot 0$ = 80
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-45=b$

Mit b = -45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1-6x_2+9x_3=-45$.