Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-3x_2+x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-2x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}=-10$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-5)}+5=-10$ |-0
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2+x_3=-22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=2 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+6+\mathrm{(-1)}=0$ |-5
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|3|0\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=7$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+20
4a = 20 | :4
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 4$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2+4x_3=-9$.