Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-5x_2+2x_3=14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-x_3=29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=-7$
$-10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+4=-7$ |+6
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2+2x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-15)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}=0$ |+15
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|-3\right)$ in E: $3x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2-5x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ -2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 13 = -26.

Für a = -26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-26x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-26x_2+4x_3=-68$ , d.h. für b = -68 sind die beiden Ebenen identisch.