Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+4x_2-4x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2+3x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-5)}=-65$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-25)}=-65$ |+40
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-1+25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |-24
-2a = -24 | :(-2)
a = 12

Für a = 12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-1|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 30\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+4\cdot 12+30\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$12+48+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 30</mi>}=0$ |-60
30a = -60 | :30
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+12x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 0+4\cdot 0+30\cdot 2$ = 60
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+12x_2-2x_3=-4$.