Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+5x_2-4x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2-x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-1)}=7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-10)}+\mathrm{(-3)}=7$ |+13
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2+5x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+1=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|2|5\right)$ in E: $5x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-26=b$

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+2x_2-x_3=-26$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}25\\ -4\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 25 = -75.

Für a = -75 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-75x_1+12x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-75x_1+12x_2-9x_3=-129$ , d.h. für b = -129 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -129, also z.B.: b = -128 setzen.