Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-5x_3=-12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+2x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=3$
$2+\mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=3$ |+2
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2-4x_3=12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$-1+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+\mathrm{(-14)}=0$ |+15
5a = 15 | :5
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-2|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-46=b$

Mit b = -46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+7x_3=-46$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 6=0$
$27+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+12=0$ |-39
3a = -39 | :3
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1-13x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+2\cdot 1$ = 23
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-19=b$

Mit b = -19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1-13x_2+6x_3=-19$.