Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+x_2-x_3=-8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2+2x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=8$
$-2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+9=8$ |-7
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-x_3=-16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+4+4=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-4|-4\right)$ in E: $2x_1-x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2-4x_3=22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$8+18+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |-26
2a = -26 | :2
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-6x_2-13x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 1$ = 15
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-6x_2-13x_3=13$.