Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-5x_2-3x_3=15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_3=20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 3=-14$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-6)}=-14$ |+6
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+x_3=17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|2\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+15+\mathrm{(-10)}=0$ |-5
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|2|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+10x_3=-34$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1+3x_2+6x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -12, also z.B.: b = -11 setzen.