Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-4x_3=32$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+2x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-32$
$8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-25)}=-32$ |+17
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|-1\right)$ in E: $-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-2x_3=-6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ -3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 10 = -20.

Für a = -20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-20x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-20x_2+6x_3=-90$ , d.h. für b = -90 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -90, also z.B.: b = -89 setzen.