Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-x_2+3x_3=-23$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2+x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3=-55$
$-20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+\mathrm{(-15)}=-55$ |+35
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-4x_3=-24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-1)}+1=0$ |-0
-4a = 0 | :(-4)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|0|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|0|-5\right)$ in E: $+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2-x_3=5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 25\\ 3\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 8+25\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot 6=0$
$32+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 25</mi>}+18=0$ |-50
25a = -50 | :25
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 0+25\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 0$ = -75
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1-2x_2+6x_3=6$.