Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_2+3x_3=-33$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 1=16$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+\mathrm{(-4)}=16$ |+4
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-2x_3=-42$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-4+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|3|5\right)$ in E: $-4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-4x_2-4x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0$
$-25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-9)}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+17x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3$ = -9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-86=b$

Mit b = -86 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+17x_2+3x_3=-86$.