Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2-3x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 1=8$
$-4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-3)}=8$ |+7
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=-5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 4$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}+0=0$ |+4
2a = 4 | :2
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-4x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|2|-1\right)$ in E: $2x_1-4x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-4x_2=-14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 25\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+3\cdot 9+25\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$48+27+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 25</mi>}=0$ |-75
25a = -75 | :25
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+9x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 5+25\cdot 2$ = 81
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$87=b$

Mit b = 87 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+9x_2-3x_3=87$.