Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+5x_2+4x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-8$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-8)}+1=-8$ |+7
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+3x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|2|0\right)$ in E: $+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2-6x_3=6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 13 = 26.

Für a = 26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+26x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+26x_2+4x_3=-72$ , d.h. für b = -72 sind die beiden Ebenen identisch.