Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+2x_2-5x_3=39$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0=-20$
$-15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+0=-20$ |+15
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2-x_3=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 5+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|4\right)$ in E: $5x_1-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2-8x_3=-62$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-6x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-6x_2-4x_3=54$ , d.h. für b = 54 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 54, also z.B.: b = 55 setzen.