Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+3x_2+2x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2+4x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 5=-20$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-15)}=-20$ |+18
-2a = -2 | :(-2)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_3=8$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot 1$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+\mathrm{(-4)}=0$ |+4
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|5|-4\right)$ in E: $3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-2x_2+4x_3=-32$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-13x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-13x_1-5x_2-x_3=70$ , d.h. für b = 70 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 70, also z.B.: b = 71 setzen.