Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+x_2+5x_3=19$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-3x_3=29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=14$
$-6+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=14$ |-6
-4a = 8 | :(-4)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-x_2-4x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-25+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|5\right)$ in E: $-5x_1-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_3=-35$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 6 = -18.

Für a = -18 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-18x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-18x_1-3x_2+9x_3=-66$ , d.h. für b = -66 sind die beiden Ebenen identisch.