Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2+5x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=2$
$10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+12=2$ |-22
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2-4x_3=22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+1=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|3\right)$ in E: $3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2-x_3=9$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 17\\ -4\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 12=0$
$-3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 17</mi>}+\mathrm{(-48)}=0$ |+51
17a = 51 | :17
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+3x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+17\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-42=b$

Mit b = -42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2+12x_3=-42$.