Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+2x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2-4x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+4\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 3=7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+16+\mathrm{(-15)}=7$ |-1
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$-3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+0=0$ |+3
3a = 3 | :3
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|4|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 5 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1-10x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1-10x_2+8x_3=2$ , d.h. für b = 2 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 2, also z.B.: b = 3 setzen.