Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+3x_2+4x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}=46$
$25+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}=46$ |-37
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_3=-22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|4\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+20
-2a = 20 | :(-2)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|4\right)$ in E: $4x_1+5x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2-10x_3=-62$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}41\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ =0

$41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-10)}+4\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 41}+\mathrm{(-50)}+\mathrm{(-32)}=0$ |+82
41a = 82 | :41
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-10x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $41\cdot 5+5\cdot 0+4\cdot 2$ = 213
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-10x_2-8x_3=-6$.