Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+2x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+3x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-4)}=-9$
$15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-16)}=-9$ |+1
2a = -8 | :2
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+4x_3=26$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|1|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+0=0$ |-0
-5a = 0 | :(-5)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-5|2\right)$ in E: $-4x_1=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 6+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-3+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+6x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}$ = -8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+6x_2+5x_3=-18$.