Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_2+x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2+x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2=-41$
$-16+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+\mathrm{(-10)}=-41$ |+26
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2+5x_3=31$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+2=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|3|0\right)$ in E: $-2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-x_2-2x_3=-3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-3)}+13\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$-9+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 13</mi>}+\mathrm{(-4)}=0$ |+13
13a = 13 | :13
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 2+13\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = -48
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2-2x_3=-8$.