Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-2x_2+x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+4x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 5=23$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-2)}+5=23$ |-3
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+5x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0+0=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|0\right)$ in E: $+4x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2=-20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+x_3=10$ , d.h. für b = 10 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 10, also z.B.: b = 11 setzen.