Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-3x_2-3x_3=-8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-2x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=-31$
$-20+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=-31$ |+32
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-4x_3=-7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 4+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 4+5\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$20+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |-20
-2a = -20 | :(-2)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-4|-2\right)$ in E: $4x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-36=b$

Mit b = -36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+10x_3=-36$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+3x_2+6x_3=36$ , d.h. für b = 36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 36, also z.B.: b = 37 setzen.