Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: 4 x 1 -2 x 2 +3 x 3 = -6 ist und die den Punkt P(-1|1|1) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 4 -2 3 ) und damit die Form E: 4 x 1 -2 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|1|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

4 ( - 1 ) -2 1 +3 1 = d

-4-2+3 = d

-3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 4 x 1 -2 x 2 +3 x 3 = -3 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(5|2|4) auf der Ebene E: a x 1 +4 x 2 +4 x 3 = 4 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

a5 + 42 + 44 = 4
a ⋅ 5+8+16 = 4 |-24
5a = -20 | :5
a = -4

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 4 0 5 ) +t ( 5 -3 4 ) ist und die den Punkt P(2|3|3) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 5 -3 4 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 5 x 1 -3 x 2 +4 x 3 = d .

Da der Punkt P(2|3|3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

5 2 -3 3 +4 3 = d

10-9+12 = d

13 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 5 x 1 -3 x 2 +4 x 3 = 13 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: 3 x 1 = -4 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 3 0 0 ) , er steht also senkrecht auf der x2-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x2-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x2-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung der x1-x2-Ebene.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 0 1 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 3 = d . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = 00 + 00 + 10=0
also: + x 3 = 0

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( -5 6 4 ) + r ( 1 5 -2 ) + s ( -6 0 0 ) ?

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1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja ( -6 0 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x1-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x1-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x1-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( -6 0 0 ) ( 0 b c ) =0 .

Also E: +b x 2 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x2 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x1-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( 1 -3 4 ) +t ( 0 -4 -1 ) komplett in der Ebene E: 4 x 1 +a x 2 -8 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 0 -4 -1 ) ( 4 a -8 ) = 0

04 + (-4)a + (-1)(-8) = 0
0+a ⋅ (-4)+8 = 0 |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: 4 x 1 +2 x 2 -8 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (1|-3|4).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (1|-3|4) in E: 4 x 1 +2 x 2 -8 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

4 1 +2 ( - 3 ) -8 4 = b

4-6-32 = b

-34 = b

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 4 x 1 +2 x 2 -8 x 3 = -34 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -5 x 1 -5 x 2 +10 x 3 = 60 und F: -10 x 1 -10 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(-5|3|5) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( -10 -10 a ) ( -5 -5 10 ) =0

(-5)(-10) + (-5)(-10) + 10a = 0
50+50+a ⋅ 10 = 0 |-100
10a = -100 | :10
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: -10 x 1 -10 x 2 -10 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn (-5)(-5) + (-5)3 + 105 = 60
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

-10 ( - 5 ) -10 3 -10 5 = b

50-30-50 = b

-30 = b

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -10 x 1 -10 x 2 -10 x 3 = -30 .