Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-5x_2+4x_3=3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2+2x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=17$
$12+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=17$ |-2
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+x_3=-15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|2|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-4+15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-3|-2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+11x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 17\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 17 = -17.

Für a = -17 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1-5x_2-17x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1-5x_2-17x_3=56$ , d.h. für b = 56 sind die beiden Ebenen identisch.