Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-2x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 0=-6$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+0=-6$ |-0
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|4\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=8 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+12=0$ |+3
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|4\right)$ in E: $5x_1-x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-44=b$

Mit b = -44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-x_2-6x_3=-44$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 3 = -3.

Für a = -3 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-3x_2-3x_3=-9$ , d.h. für b = -9 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -9, also z.B.: b = -8 setzen.