Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-5x_3=21$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-4x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-3)}=-32$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+5+\mathrm{(-12)}=-32$ |+7
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2-2x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+1+\mathrm{(-1)}=0$ |-0
-5a = 0 | :(-5)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|4|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|4|5\right)$ in E: $-x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2+x_3=1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 5\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-10)}+10\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$-50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 10</mi>}+\mathrm{(-50)}=0$ |+100
10a = 100 | :10
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+10x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+10\cdot 0+5\cdot 2$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+10x_2-10x_3=-40$.