Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_2-5x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2+5x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-22$
$-9+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-22$ |+21
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+2x_3=28$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|4|3\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-4+5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-2|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=-5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$-2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-18)}=0$ |+20
2a = 20 | :2
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+10x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 4$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-44=b$

Mit b = -44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+10x_2-6x_3=-44$.