Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-x_2-3x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2-3x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}=-5$
$-12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+5=-5$ |+7
2a = 2 | :2
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-4x_3=33$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+16=0$ |-16
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|-4\right)$ in E: $+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$52=b$

Mit b = 52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2-8x_3=52$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+2x_3=10$ , d.h. für b = 10 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 10, also z.B.: b = 11 setzen.