Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $+3x_2=-15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2-2x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 4=-15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-5)}+\mathrm{(-8)}=-15$ |+13
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2-3x_3=-8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 2$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-4+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-2|-5\right)$ in E: $-4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2+4x_3=-20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 12\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 12 = 24.

Für a = 24 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1-6x_2+24x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1-6x_2+24x_3=-120$ , d.h. für b = -120 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -120, also z.B.: b = -119 setzen.