Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=-34$
$-6+\mathrm{(-25)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=-34$ |+31
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2+4x_3=-19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+15+\mathrm{(-14)}=0$ |-1
1a = -1 | :1
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|1|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+7x_3=30$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1-3x_2-9x_3=9$ , d.h. für b = 9 sind die beiden Ebenen identisch.