Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-x_2+4x_3=-18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+5\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=12$
$0+10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=12$ |-10
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2=-9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$20+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |-20
-2a = -20 | :(-2)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-4|1\right)$ in E: $-4x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2+10x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-8)}+20\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$-32+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 20</mi>}+\mathrm{(-8)}=0$ |+40
20a = 40 | :20
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 1+20\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$ = -82
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+2x_2-4x_3=-4$.