Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2-3x_3=32$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+4x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1=-32$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-5)}=-32$ |+20
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-3x_3=-32$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+8+2=0$ |-10
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|1|3\right)$ in E: $5x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-25=b$

Mit b = -25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-4x_2-2x_3=-25$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 29\\ 2\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 10+29\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 4=0$
$50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 29</mi>}+8=0$ |-58
29a = -58 | :29
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 4+29\cdot 4+2\cdot 3$ = 142
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$44=b$

Mit b = 44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-2x_2+4x_3=44$.