Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+3x_2-4x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2-5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=9$
$0+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=9$ |-8
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2-5x_3=15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|3\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+0=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-1|3\right)$ in E: $3x_1+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2=-15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 6+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 6=0$
$-18+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-18)}=0$ |+36
4a = 36 | :4
a = 9

Für a = 9 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 1$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+9x_2+6x_3=-30$.