Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-5x_3=-41$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=5$
$4+5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=5$ |-9
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2-4x_3=41$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-10+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-4|-4\right)$ in E: $-2x_1-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-10x_3=42$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$-3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-48)}=0$ |+51
3a = 51 | :3
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+17x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+3\cdot 2+4\cdot 0$ = 10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+17x_2-12x_3=22$.