Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1-2x_2+5x_3=-11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+2x_3=-25$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4=-13$
$-20+\mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}=-13$ |+21
4a = 8 | :4
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2-3x_3=16$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+4+\mathrm{(-1)}=0$ |-3
-3a = -3 | :(-3)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+x_3=2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+16\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$-16+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 16</mi>}+\mathrm{(-16)}=0$ |+32
16a = 32 | :16
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 3+16\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-1)}$ = -64
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-4x_3=10$.