Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen
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parallele Ebene durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: ist und die den Punkt P enthält.
Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor = und damit die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
Punktprobe in Ebene mit Parameter
Beispiel:
Für welches a liegt der Punkt P auf der Ebene E: ?
Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:
|
5a = -20 | :5
a = -4
Ebene aus orth. Geraden durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: ist und die den Punkt P enthält.
Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor = der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
spezielle Ebenen
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
Der Normalenvektor der Ebene ist =, er steht also senkrecht auf der x2-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x2-x3-Ebene sein.
Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x2-x3-Ebene.
spezielle Ebenen aufstellen
Beispiel:
Bestimme die Koordinatengleichung der x1-x2-Ebene.
Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser = oder eben ein Vielfaches davon sein.
Die Koordinatengleichung hat also die Form . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = =0
also:
spezielle Ebene in Parameterform
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
1. Weg:
Der 2. Spannvektor ist ja und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x1-Achse.
Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x1-Achse.
2. Weg:
Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der
x1-Koordinate den Wert 0 haben, denn
⋅ =0 .
Also E:
Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x2 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse hat.
Also ist die Ebene parallel zur x1-Achse
Parameter bestimmen, dass g in E liegt
Beispiel:
Bestimme a und b so, dass die Gerage g: komplett in der Ebene E: liegt.
Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:
⋅ = 0
|
-4a = -8 | :(-4)
a = 2
Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt .
Wir müssen also nur den Aufpunkt in E: einsetzen, um noch das b zu bestimmen.
Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: .
Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen
Beispiel:
Gegeben sind die Ebenen E: und F: . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P enthalten.
Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
⋅ =0
|
10a = -100 | :10
a = -10
Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung
F: .
P liegt immer in E, denn = 60
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.
Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: .