Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+2x_2+2x_3=-14$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2-x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3$
$-4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+4=-3$ |-0
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2+x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-2|3\right)$ in E: $-4x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+2x_2+10x_3=14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+5\cdot 10+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$50+50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}=0$ |-100
4a = -100 | :4
a = -25

Für a = -25 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+10x_2-25x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-1)}$ = 26
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$85=b$

Mit b = 85 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+10x_2-25x_3=85$.