Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+x_2+3x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+2x_2+4x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=0$
$-5+\mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |+8
2a = 8 | :2
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+5\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=0$ |-25
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-2|-1\right)$ in E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+5x_2+5x_3=-15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 10\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 10 = -20.

Für a = -20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1-8x_2-20x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1-8x_2-20x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.