Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-2x_2+4x_3=26$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2-4x_3=-20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 1=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}+\mathrm{(-3)}=-18$ |+13
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2=-7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|3\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+12+\mathrm{(-10)}=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|5\right)$ in E: $-2x_1+3x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$51=b$

Mit b = 51 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2+10x_3=51$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 12+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$48+75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |-123
3a = -123 | :3
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1-15x_2-41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 0+3\cdot 5$ = 19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-193=b$

Mit b = -193 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1-15x_2-41x_3=-193$.