Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+5x_2-5x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+2x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3=-22$
$-9+2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=-22$ |+7
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2-x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 3+0\cdot 4$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-3+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-3x_3=6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ a\\ -15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 17\\ -5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 17 = 51.

Für a = 51 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $9x_1+51x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $9x_1+51x_2-15x_3=-15$ , d.h. für b = -15 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -15, also z.B.: b = -14 setzen.