Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-x_2+2x_3=13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+2x_2-4x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=-14$
$-10+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=-14$ |+10
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2+5x_3=-29$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 3$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-12)}+2=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|-2\right)$ in E: $-2x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2-2x_3=9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}25\\ -4\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 25 = -50.

Für a = -50 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-50x_1+8x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-50x_1+8x_2-6x_3=-110$ , d.h. für b = -110 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -110, also z.B.: b = -109 setzen.