Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1+2x_2+3x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2+3x_3=-30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-1)}=-9$
$4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-4)}=-9$ |-0
3a = -9 | :3
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+2x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$16+\mathrm{(-15)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-1|-1\right)$ in E: $4x_1-5x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2+x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-1)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-12+\mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+3\cdot 0$ = 7
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+3x_2+5x_3=-21$.