Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-3x_2-4x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2+4x_3=27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=-20$
$-12+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=-20$ |+22
2a = 2 | :2
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+x_3=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-18)}=0$ |+20
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|-3\right)$ in E: $-5x_1-2x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-52=b$

Mit b = -52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2+9x_3=-52$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 10\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 10 = 20.

Für a = 20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $8x_1-6x_2+20x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $8x_1-6x_2+20x_3=-66$ , d.h. für b = -66 sind die beiden Ebenen identisch.