Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+x_2-2x_3=-22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-2x_3=-11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+0+\mathrm{(-6)}=0$ |+6
2a = 6 | :2
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2-5x_3=-25$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+4=0$ |-10
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-2|3\right)$ in E: $-3x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+2x_2-4x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-8)}+17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-2+\mathrm{(-32)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 17</mi>}=0$ |+34
17a = 34 | :17
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-8x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 0+4\cdot 3+17\cdot \mathrm{(-3)}$ = -39
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-8x_2+2x_3=-30$.