Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_2-3x_3=-42$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+3x_3=-36$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+4\cdot 0=17$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-3)}+0=17$ |+3
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_3=9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+\mathrm{(-4)}=0$ |+4
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|3|5\right)$ in E: $-x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2+4x_3=17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 10 = 20.

Für a = 20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1+20x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1+20x_2+6x_3=80$ , d.h. für b = 80 sind die beiden Ebenen identisch.