Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-5x_2+2x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2=27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5=-2$
$-2+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=-2$ |+12
5a = 10 | :5
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-x_3=20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+4=0$ |-9
-3a = -9 | :(-3)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-1|5\right)$ in E: $5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-13=b$

Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+3x_2-4x_3=-13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+6\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$-75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 6</mi>}+\mathrm{(-75)}=0$ |+150
6a = 150 | :6
a = 25

Für a = 25 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+25x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 7
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$65=b$

Mit b = 65 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+25x_2+15x_3=65$.