Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-2x_2+x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=-4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4=4$
$-8+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}=4$ |-0
4a = 4 | :4
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2+4x_3=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$-10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+10=0$ |-0
2a = 0 | :2
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|2|-2\right)$ in E: $-2x_1-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-10x_3=20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}26\\ -1\\ -5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 26 = -52.

Für a = -52 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-52x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-52x_1+2x_2+10x_3=-134$ , d.h. für b = -134 sind die beiden Ebenen identisch.