Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_3=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0=-6$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}+0=-6$ |+4
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+1=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|4\right)$ in E: $3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-20=b$

Mit b = -20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2-x_3=-20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}51\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$51\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+3\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 51}+\mathrm{(-75)}+\mathrm{(-27)}=0$ |+102
51a = 102 | :51
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+15x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $51\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 4+3\cdot 2$ = 241
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$52=b$

Mit b = 52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+15x_2-9x_3=52$.