Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_2+2x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+2\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+6+6=15$ |-12
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-x_3=-10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+0+\mathrm{(-2)}=0$ |+2
2a = 2 | :2
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-1|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-1|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+29\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 29</mi>}+75=0$ |-87
29a = -87 | :29
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-3x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 1+29\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 168
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$54=b$

Mit b = 54 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-3x_2-15x_3=54$.