Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+2x_2+3x_3=4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4=-24$
$8+\mathrm{(-16)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}=-24$ |+8
4a = -16 | :4
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2+x_3=-10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$5+\mathrm{(-15)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|1\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-10x_3=3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 17\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-27+\mathrm{(-75)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 17</mi>}=0$ |+102
17a = 102 | :17
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+15x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+17\cdot 1$ = 45
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-78=b$

Mit b = -78 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+15x_2+6x_3=-78$.