Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_3=20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-2x_3=-33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-5)}=-13$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-5)}=-13$ |+5
2a = -8 | :2
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2-3x_3=6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+5=0$ |-5
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-2\right)$ in E: $+x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2-5x_3=11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 6=0$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+12=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-5x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$ = -9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+6x_3=1$.