Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+3x_3=-12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+5x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=-11$
$-20+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=-11$ |+16
-5a = 5 | :(-5)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_3=-1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$-12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+2=0$ |+10
2a = 10 | :2
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-1\right)$ in E: $-3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+5x_2-2x_3=22$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 4 = 12.

Für a = 12 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1+12x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1+12x_2-6x_3=-6$ , d.h. für b = -6 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -6, also z.B.: b = -5 setzen.