Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+4x_3=-16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-43=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_2+5x_3=-43$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=12$
$0+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=12$ |+8
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2+x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 4+0\cdot 4$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+0+15=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-3|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-3|5\right)$ in E: $-5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-x_2-5x_3=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-3x_2-6x_3=-6$ , d.h. für b = -6 sind die beiden Ebenen identisch.