Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-x_2+5x_3=24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2-5x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5=24$
$6+\mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=24$ |-4
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2-3x_3=20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 2+0\cdot 2$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+25+\mathrm{(-5)}=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|3\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$39=b$

Mit b = 39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+5x_3=39$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 41\\ 4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 41 = -123.

Für a = -123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-123x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-123x_2-12x_3=540$ , d.h. für b = 540 sind die beiden Ebenen identisch.