Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+5x_2-x_3=5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2+2x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 1=5$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+4+\mathrm{(-3)}=5$ |-1
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|4|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|4|5\right)$ in E: $3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2+6x_3=6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 41\\ -4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 41 = 123.

Für a = 123 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+123x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+123x_2-12x_3=-582$ , d.h. für b = -582 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -582, also z.B.: b = -581 setzen.