Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+5x_2+4x_3=39$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+5x_3=-39$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+4\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}=-2$
$-15+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=-2$ |+3
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1=3$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|2|2\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-5)}+\mathrm{(-7)}=0$ |+12
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|0|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|0|2\right)$ in E: $-3x_1+x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$23=b$

Mit b = 23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2+7x_3=23$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ a\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+6\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 12=0$
$-48+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 6</mi>}+\mathrm{(-48)}=0$ |+96
6a = 96 | :6
a = 16

Für a = 16 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+16x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-3)}+6\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = -4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-56=b$

Mit b = -56 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+16x_2+12x_3=-56$.