Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1=-25$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-4)}=-25$ |+19
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-4x_3=24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|2|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+1\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+1=0$ |-1
1a = -1 | :1
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-4|0\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=-5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 30\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 30 = 90.

Für a = 90 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-12x_2+90x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-12x_2+90x_3=-390$ , d.h. für b = -390 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -390, also z.B.: b = -389 setzen.