Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_3=-16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2-5x_3=28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=-28$
$-12+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=-28$ |+20
-2a = -8 | :(-2)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+2\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|1|-5\right)$ in E: $+2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+2x_2+4x_3=-18$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 29\\ -2\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+29\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$-75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 29</mi>}+\mathrm{(-12)}=0$ |+87
29a = 87 | :29
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 4+29\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4$ = -75
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-45=b$

Mit b = -45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+3x_2+6x_3=-45$.