Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_3=-23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=-2$
$-12+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=-2$ |+6
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2+4x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|4\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$ in E: $-5x_1+x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2-4x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$-25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-16)}=0$ |+41
1a = 41 | :1
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-5x_1+41x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1$ = -22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-104=b$

Mit b = -104 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+41x_2+4x_3=-104$.