Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2+x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-3$
$6+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-3$ |+6
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2+3x_3=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 4$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+12
-2a = 12 | :(-2)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|2\right)$ in E: $-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_2-6x_3=-3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 41\\ -4\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$-25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}+\mathrm{(-16)}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-5x_1+x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 0+41\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = -160
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2+4x_3=-8$.