Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_2-x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+3x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}=4$
$12+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}=4$ |-16
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2-x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$-12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-8)}=0$ |+20
4a = 20 | :4
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|2\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+8x_3=22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1-5x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2+1\cdot 0$ = 0
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-75=b$

Mit b = -75 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1-5x_2-x_3=-75$.