Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-x_2+4x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-4x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+3\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-13$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+\mathrm{(-16)}=-13$ |+16
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2+5x_3=1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$2+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-1|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=7$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1+2x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1+2x_2-6x_3=-6$ , d.h. für b = -6 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -6, also z.B.: b = -5 setzen.