Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+x_3=-13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_2=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 5=-22$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+\mathrm{(-10)}=-22$ |+10
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2=-19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+25+\mathrm{(-10)}=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|3\right)$ in E: $-3x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+10x_3=21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+4\cdot 12+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$27+48+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=0$ |-75
5a = -75 | :5
a = -15

Für a = -15 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+12x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 3$ = 16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-42=b$

Mit b = -42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+12x_2-15x_3=-42$.