Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-3x_2+4x_3=11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-3x_3=29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-1)}=4$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+\mathrm{(-2)}=4$ |-3
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2+5x_3=37$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+2x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-2|-4\right)$ in E: $+2x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+2x_2=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 12+2\cdot 6+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$48+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |-60
3a = -60 | :3
a = -20

Für a = -20 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1+6x_2-20x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 1+2\cdot 5+3\cdot 4$ = 26
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1+6x_2-20x_3=-38$.