Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_2-2x_3=0$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+5\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+5+\mathrm{(-16)}=-15$ |+11
1a = -4 | :1
a = -4

Es gibt sehr viele Wege, einen der unendlichen vielen Punkte einer Ebene zu finden. Der einfachste ist dabei wahrscheinlich, indem man die Spurpunkte bestimmt.
Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2-5x_3=10$ ein.

S₁:

=> x=$\frac{10}{5}$=2, also S₁(2|0|0)
S₂:

=> y=$\frac{10}{4}$=2.5, also S₂(0|2.5|0)
S₃:

=> z=$-\frac{10}{5}$=-2, also S₃(0|0|-2)

Wir können also z.B. den Spurpunkt S₁ als Punkt auf der Ebene E wählen, also z.B. den Punkt S₁(2|0|0).

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2+2x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-15+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+11
-1a = 11 | :(-1)
a = -11

Für a = -11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-2x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|5\right)$ in E: $5x_1-2x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-82=b$

Mit b = -82 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2-11x_3=-82$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}15\\ -4\\ -3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 15 = -45.

Für a = -45 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-45x_1+12x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-45x_1+12x_2+9x_3=-285$ , d.h. für b = -285 sind die beiden Ebenen identisch.