Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-4x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5=41$
$20+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=41$ |-26
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2+x_3=-2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-2)}=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-1|5\right)$ in E: $-2x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-2x_2+2x_3=2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-4x_2-4x_3=24$ , d.h. für b = 24 sind die beiden Ebenen identisch.