Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1+3x_2+2x_3=11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-x_3=-28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3=6$
$-10+10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=6$ |-0
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2-2x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|1|4\right)$ in E: $+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2=3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 4+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$8+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |-16
2a = -16 | :2
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$ = -22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+4x_2-8x_3=-8$.