Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_3=11$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-x_3=21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 1+4\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=12$
$2+8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=12$ |-10
2a = 2 | :2
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2+2x_3=-13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 3+0\cdot 4$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+9=0$ |+3
3a = 3 | :3
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|2|5\right)$ in E: $4x_1+x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-47=b$

Mit b = -47 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2-9x_3=-47$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+8\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 8</mi>}+32=0$ |-40
8a = -40 | :8
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 3+8\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$57=b$

Mit b = 57 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-8x_3=57$.