Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-4x_2-3x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-5x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+2\cdot 4=-8$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+8=-8$ |-8
4a = -16 | :4
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_2-2x_3=-16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+4\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+8+8=0$ |-16
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|1|2\right)$ in E: $4x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-26=b$

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-8x_3=-26$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ -5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 10 = 30.

Für a = 30 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+30x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+30x_2-15x_3=15$ , d.h. für b = 15 sind die beiden Ebenen identisch.