Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+5x_3=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-5x_3=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=-27$
$-8+\mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=-27$ |+12
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2-5x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$8+\mathrm{(-9)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-5|1\right)$ in E: $-2x_1+3x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2-x_3=-8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 17\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 17 = -17.

Für a = -17 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1-3x_2-17x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1-3x_2-17x_3=22$ , d.h. für b = 22 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 22, also z.B.: b = 23 setzen.