Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+5x_3=18$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-5x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-12$
$-2+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-12$ |+10
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2-3x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 0+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+\mathrm{(-9)}=0$ |+9
3a = 9 | :3
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|4\right)$ in E: $+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2+9x_3=27$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-16+\mathrm{(-9)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=0$ |+25
5a = 25 | :5
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-26=b$

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2+5x_3=-26$.