Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+4x_2=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2+x_3=40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=2$
$-20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+6=2$ |+14
4a = 16 | :4
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+4x_3=28$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|1|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=2 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+2=0$ |-2
2a = -2 | :2
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-1|5\right)$ in E: $-x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2-2x_3=-9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}17\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 17 = 51.

Für a = 51 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $51x_1+3x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $51x_1+3x_2-12x_3=90$ , d.h. für b = 90 sind die beiden Ebenen identisch.