Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+4x_2+x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2-2x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-4)}=-9$
$9+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-20)}=-9$ |+11
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_2-2x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|3\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$6+\mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-3|-2\right)$ in E: $-3x_1-5x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+x_3=7$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 41\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+5\cdot \mathrm{(-15)}+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-48+\mathrm{(-75)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}=0$ |+123
41a = 123 | :41
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1-15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-5)}+41\cdot \mathrm{(-1)}$ = -46
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1-15x_2+3x_3=12$.