Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2-3x_3=22$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-2x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-16$
$0+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-16$ |+20
1a = 4 | :1
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-4x_3=19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 4$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-5+4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|3|-3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-7=b$

Mit b = -7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=-7$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $12x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $12x_1-3x_2+9x_3=69$ , d.h. für b = 69 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 69, also z.B.: b = 70 setzen.