Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2-x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-2x_3=32$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}=-5$
$-15+20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}=-5$ |-5
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2-4x_3=26$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-2)}=0$ |+2
2a = 2 | :2
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|-5\right)$ in E: $-4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+x_2+2x_3=11$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-4x_2-2x_3=34$ , d.h. für b = 34 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 34, also z.B.: b = 35 setzen.