Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+3x_3=-2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+x_3=-28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=-17$
$-15+\mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=-17$ |+19
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2+5x_3=18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+1\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-2\right)$ in E: $+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2+3x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 17 = 51.

Für a = 51 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-12x_2+51x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-12x_2+51x_3=195$ , d.h. für b = 195 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 195, also z.B.: b = 196 setzen.