Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-5x_2-4x_3=-8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2+3x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-5)}=-34$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-6)}+\mathrm{(-25)}=-34$ |+31
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+4x_3=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$-2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-6)}=0$ |+8
4a = 8 | :4
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|-3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-26=b$

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+6x_3=-26$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-75)}=0$ |+78
2a = 78 | :2
a = 39

Für a = 39 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $39x_1+3x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-27=b$

Mit b = -27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $39x_1+3x_2+15x_3=-27$.