Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1+5x_2-3x_3=-45$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+2x_3=11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=7$
$10+3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=7$ |-13
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Es gibt sehr viele Wege, einen der unendlichen vielen Punkte einer Ebene zu finden. Der einfachste ist dabei wahrscheinlich, indem man die Spurpunkte bestimmt.
Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1-5x_2+5x_3=2$ ein.

S₁:

=> x=$2$=2, also S₁(2|0|0)
S₂:

=> y=$-\frac{2}{5}$=-0.4, also S₂(0|-0.4|0)
S₃:

=> z=$\frac{2}{5}$=0.4, also S₃(0|0|0.4)

Wir können also z.B. den Spurpunkt S₁ als Punkt auf der Ebene E wählen, also z.B. den Punkt S₁(2|0|0).

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2+3x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|2|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-6+12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-5|-3\right)$ in E: $-2x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-46=b$

Mit b = -46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2+6x_3=-46$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-3+\mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=0$ |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = -4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_2+2x_3=1$.