Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+4x_2-2x_3=12$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+3x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 2+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 3=-6$
$10+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+\mathrm{(-6)}=-6$ |-4
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}+3=0$ |+2
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|5|3\right)$ in E: $-5x_1-x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-x_2-3x_3=-9$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 34\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+34\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+5\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$-18+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 34</mi>}+\mathrm{(-50)}=0$ |+68
34a = 68 | :34
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-4)}+34\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -163
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+2x_2-10x_3=46$.