Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $2x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $2x_1-2x_2-x_3=7$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-5x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=6$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+20+\mathrm{(-5)}=6$ |-15
3a = -9 | :3
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2=-29$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+0+\mathrm{(-10)}=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-3|-3\right)$ in E: $2x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+10x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+\mathrm{(-27)}=0$ |+30
5a = 30 | :5
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+6x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-2)}$ = 7
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+6x_2-9x_3=42$.