Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=22$
$10+20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=22$ |-30
-2a = -8 | :(-2)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+5x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$1+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}+4=0$ |-5
5a = -5 | :5
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-4x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-25)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1-x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 3+1\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 4$ = -13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$58=b$

Mit b = 58 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1-x_2+5x_3=58$.