Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-x_2+3x_3=24$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+3x_3=28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+2\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 0=-20$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0+0=-20$ |-0
4a = -20 | :4
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-x_3=-20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+0\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+\mathrm{(-6)}=0$ |+6
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|2\right)$ in E: $-2x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2+6x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+5\cdot \mathrm{(-15)}+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-27+\mathrm{(-75)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |+102
2a = 102 | :2
a = 51

Für a = 51 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1-15x_2+51x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = -9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-30=b$

Mit b = -30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1-15x_2+51x_3=-30$.