Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-5x_2+4x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-3x_3=-27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+4\cdot 2=-2$
$-15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+8=-2$ |+7
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2-4x_3=-6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$15+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|2|2\right)$ in E: $-5x_1+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$35=b$

Mit b = 35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+5x_3=35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+2\cdot 4=0$
$8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}+8=0$ |-16
2a = -16 | :2
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-8x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 0$ = 2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-8x_2+4x_3=28$.