Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-5x_2+2x_3=8$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 2+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=-20$
$2+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=-20$ |+18
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-5x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$10+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|4|3\right)$ in E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2+2x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+5\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-50)}=0$ |+52
4a = 52 | :4
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5+5\cdot 1$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-52=b$

Mit b = -52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1+2x_2-10x_3=-52$.