Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+5x_3=-27$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+2x_3=16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0=-4$
$12+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+0=-4$ |-12
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2-5x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-16+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=0$ |+16
-2a = 16 | :(-2)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|1\right)$ in E: $4x_1-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-8x_3=4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1+6x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1+6x_2-9x_3=-48$ , d.h. für b = -48 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -48, also z.B.: b = -47 setzen.