Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-4x_3=-20$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-5x_3=-39$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3=17$
$-4+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}=17$ |-2
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2-2x_3=31$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 2+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-6+9+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-3
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|1|-5\right)$ in E: $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2+3x_3=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}10\\ -4\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 10 = -20.

Für a = -20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-20x_1+8x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-20x_1+8x_2-6x_3=-58$ , d.h. für b = -58 sind die beiden Ebenen identisch.