Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$65=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $5x_1+5x_2+5x_3=65$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=13$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+3+8=13$ |-11
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2-5x_3=32$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|3\right)$ in E: $2x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+6x_3=8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 8+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$2+32+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |-34
2a = -34 | :2
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+8x_2-17x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 2$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+8x_2-17x_3=-62$.