Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+2x_2+5x_3=-5$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+3x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=-12$
$0+\mathrm{(-16)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=-12$ |+16
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=-1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+9+6=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|5\right)$ in E: $5x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+3x_2-6x_3=-35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+17\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$2+32+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 17</mi>}=0$ |-34
17a = -34 | :17
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-8x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+17\cdot \mathrm{(-1)}$ = -15
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-8x_2-2x_3=6$.