Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1-x_2+2x_3=13$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+2\cdot 3=11$
$20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+6=11$ |-26
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2-4x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$15+\mathrm{(-20)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-4|-1\right)$ in E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$50=b$

Mit b = 50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2-5x_3=50$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 20\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 10+5\cdot 10+20\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$50+50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 20</mi>}=0$ |-100
20a = -100 | :20
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1+10x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+20\cdot 2$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-100=b$

Mit b = -100 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1+10x_2-5x_3=-100$.