Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1-x_2=1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-4x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=20$
$15+2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=20$ |-17
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2-2x_3=18$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|4|4\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=8 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 3+1\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-9+3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+6
-1a = 6 | :(-1)
a = -6

Für a = -6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-2|3\right)$ in E: $3x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2-6x_3=-12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 13\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-18+\mathrm{(-8)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 13</mi>}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+13\cdot \mathrm{(-2)}$ = -45
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$34=b$

Mit b = 34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-4x_2+2x_3=34$.