Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+x_2-4x_3=-9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+2x_3=-31$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+4\cdot 2=17$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+8=17$ |-2
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+3x_3=27$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 1$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+16=0$ |-16
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|-1\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$29=b$

Mit b = 29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-8x_3=29$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 5 = -15.

Für a = -15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-9x_2+3x_3=36$ , d.h. für b = 36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 36, also z.B.: b = 37 setzen.