Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+4x_3=15$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-2)}+4=-18$ |-2
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2-2x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|1|2\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 7=0$
$20+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+\mathrm{(-14)}=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+2x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$ in E: $-4x_1+2x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$37=b$

Mit b = 37 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+2x_2+7x_3=37$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+2x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+2x_2-x_3=-4$.