Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|0|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+x_2-2x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 3+5\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=40$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+25+6=40$ |-31
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 1+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|-2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2=11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+5\cdot 10+29\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$8+50+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 29</mi>}=0$ |-58
29a = -58 | :29
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+10x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 1+5\cdot 3+29\cdot \mathrm{(-1)}$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+10x_2-2x_3=36$.