Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $4x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $4x_1-2x_2+2x_3=2$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+2x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=15$
$-8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+8=15$ |-0
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$-25+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+21=0$ |+4
1a = 4 | :1
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|4|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|4|1\right)$ in E: $5x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$34=b$

Mit b = 34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2-7x_3=34$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-6x_2+2x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.