Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-4x_3=-19$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-3x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 1=-17$
$-15+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}+3=-17$ |+12
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2+3x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|4\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$-6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+\mathrm{(-4)}=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|3\right)$ in E: $-3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2+4x_3=16$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 10\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}26\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 26 = 52.

Für a = 52 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $52x_1+10x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $52x_1+10x_2-2x_3=-44$ , d.h. für b = -44 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -44, also z.B.: b = -43 setzen.