Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+5x_2=9$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2-x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-2)}=5$
$16+\mathrm{(-15)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-2)</mi>}=5$ |-1
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-4x_3=-41$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$6+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+9=0$ |-15
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|0\right)$ in E: $-3x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2-9x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3+2\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-25+\mathrm{(-9)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-5x_1+3x_2+17x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+2\cdot 5$ = -15
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$110=b$

Mit b = 110 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+3x_2+17x_3=110$.