Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1+x_2-2x_3=-4$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+2x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1=12$
$8+3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}=12$ |-11
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+4x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 1+0\cdot 1$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$4+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-5)</mi>}+1=0$ |-5
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|3|-4\right)$ in E: $4x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2-x_3=11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 29\\ -2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+29\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$75+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 29</mi>}+12=0$ |-87
29a = -87 | :29
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 1+29\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 88
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1-3x_2-6x_3=-6$.