Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-5x_2=-10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2-3x_3=-4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}=20$
$-5+5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}=20$ |-0
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2+2x_3=8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$-3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 4</mi>}+\mathrm{(-1)}=0$ |+4
4a = 4 | :4
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|-2\right)$ in E: $3x_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-1=b$

Mit b = -1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+x_2+x_3=-1$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 41\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 15+\mathrm{(-4)}\cdot 12+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-75+\mathrm{(-48)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}=0$ |+123
41a = 123 | :41
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1+12x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+41\cdot \mathrm{(-3)}$ = -87
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-117=b$

Mit b = -117 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1+12x_2+3x_3=-117$.