Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-x_3=-17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=25$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+9=25$ |-9
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2-2x_3=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 3+0\cdot 3$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}+1=0$ |-3
-3a = -3 | :(-3)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-4|2\right)$ in E: $2x_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+x_2-x_3=4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 17\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 17 = -34.

Für a = -34 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-10x_2-34x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-10x_2-34x_3=-36$ , d.h. für b = -36 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -36, also z.B.: b = -35 setzen.