Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1+3x_2+3x_3=16$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-2x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 2=-40$
$-20+\mathrm{(-12)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 2</mi>}=-40$ |+32
2a = -8 | :2
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2+5x_3=12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|2|3\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$16+\mathrm{(-6)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-2|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-2|1\right)$ in E: $4x_1-3x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2+10x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 41\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 12+\mathrm{(-5)}\cdot 15+41\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-48+\mathrm{(-75)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 41</mi>}=0$ |+123
41a = 123 | :41
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1+15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 3+41\cdot 1$ = 18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$72=b$

Mit b = 72 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1+15x_2+3x_3=72$.