Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_2-x_3=-1$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-16$
$8+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-25)}=-16$ |+17
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 1+0\cdot 3$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 0+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+9=0$ |-9
3a = -9 | :3
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|-1\right)$ in E: $-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_2-9x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$3+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 3</mi>}+3=0$ |-6
3a = -6 | :3
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2-3x_3=3$.