Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-3x_1-x_2-x_3=-17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2+2x_3=-30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 1+4\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}=23$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+8+16=23$ |-24
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2-x_3=-7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$25+\mathrm{(-10)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-3)</mi>}=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|0\right)$ in E: $5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+5x_2+5x_3=15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 29\\ -2\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 29 = 87.

Für a = 87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+87x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+87x_2-6x_3=-213$ , d.h. für b = -213 sind die beiden Ebenen identisch.