Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $3x_1+3x_2+3x_3=-3$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+3x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 4+1\cdot 3=-1$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-8)}+3=-1$ |+5
4a = 4 | :4
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2+4x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=2 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$0+0+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|0|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|0|1\right)$ in E: $5x_1=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1=25$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ a\\ 15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 25\\ 5\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 25 = 75.

Für a = 75 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1+75x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1+75x_2+15x_3=30$ , d.h. für b = 30 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 30, also z.B.: b = 31 setzen.