Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-2x_1+5x_2-x_3=10$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2+4x_3=-37$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 4+4\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 0=16$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+20+0=16$ |-20
4a = -4 | :4
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2-3x_3=15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-10+5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-1)</mi>}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-1|0\right)$ in E: $5x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$26=b$

Mit b = 26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-x_2-5x_3=26$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 26\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 10+1\cdot \mathrm{(-2)}+26\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}=0$
$-50+\mathrm{(-2)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 26</mi>}=0$ |+52
26a = 52 | :26
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 4+1\cdot 5+26\cdot 5$ = 115
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-2x_2+2x_3=40$.