Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-5x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-5x_1-x_2-4x_3=-17$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+x_2-3x_3=19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot 5=-30$
$-10+\mathrm{(-25)}+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 5</mi>}=-30$ |+35
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 2+1\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$2+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 1</mi>}+\mathrm{(-1)}=0$ |-1
1a = -1 | :1
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|2\right)$ in E: $2x_1-x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2+x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1-15x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1-15x_2+9x_3=45$ , d.h. für b = 45 sind die beiden Ebenen identisch.