Da E den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ besitzt, hat sie die Form E: $-4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: $-4x_1-x_2-5x_3=25$.

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+2x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+\mathrm{<mi>a</mi>}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=-11$
$5+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; (-4)</mi>}+\mathrm{(-12)}=-11$ |+7
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2+2x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-1|4\right)$ in E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+x_2+3x_3=21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ a\\ -12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 12+6\cdot \mathrm{<mi>a</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$48+\mathrm{<mi>a\; \cdot \; 6</mi>}+48=0$ |-96
6a = -96 | :6
a = -16

Für a = -16 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1-16x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 5+6\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 58
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1-16x_2-12x_3=4$.