Aufgabenbeispiele von Ebenen zeichnen
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Ebene in Koordinatenform zeichnen
Beispiel:
Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehende Koordinatensystem
Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.
Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0)und ,S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung ein.
S1:
=> x==4, also S1(4|0|0)S2: => 0=8, es gibt also keinen Spurpunkt S2
S3: => z==4, also S3(0|0|4)
Man verbindet die beiden Spurpunkte. Da die x2-Achse jedoch keinen Spurpunkt besitzt, muss die Ebene parallel
zur x2-Achse liegen. Dies kann man einfach durch zwei Parallelen zur x2-Achse durch die beiden Spurpunkte
visualiseren.
(Man klickt also einfach in Richtung einer dieser Parallelen.)
Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.
Aus der Zeichung kann man die beiden Spurpunkte S2 und S3 ablesen. Es gibt aber keinen Spurpunkt S1, also keinen Schnittpunkt der Ebene mit der x1-Achse. Das ist nur möglich, wenn der Koeffizeint vor dem x1 fehlt, also m = 0 ist.
Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax1 + bx2 + cx3 = d ein (Punktprobe).
S2: 0 + b⋅2 + 0 = d => b =
S3: 0 + 0 + c⋅3 = d => c =
Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 6, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:
a = 0, b = 3, c = 2 .
Die Koordinatengleichung lautet also: .
(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)
bestimmte parallele Ebene finden
Beispiel:
Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: (also nicht identisch).
Die Pyramide PF, die aus den Spurpunkten der Ebene F und dem Ursprung O(0|0|0) besteht, hat das gleich Volumen wie die Pyramide PE, die aus den Spurpunkten der Ebene E und dem Ursprung O(0|0|0) besteht.
Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.
Die einzige parallele Ebene, bei der das Dreieck aus den Spurpunkten (und damit auch die zugehörige Pyramide mit dem Ursprung als Spitze) gleich ist wie bei der Ebene E, ist eine am Ursprung gespiegelte Ebene. Das heißt das jeder Spurpunkt von F gerade die negativen Koordinaten des entsprechenden Spurpunkts von E hat.
Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S1 der Ebene E:
3⋅ x1 + 0 + 0 = 12 ergibt
x1=
Der entsprechende x1-Wert des Spurpunkts S1 von F müsste jetzt ja um den Faktor -1 verändert werden.
Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizienten auf der linken Seite von der Ebene E.
Für den x1-Wert des Spurpunkts S1 von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor -1 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 12).
Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: