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Koordinatenebene zeichnen

Beispiel:

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Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehene Koordinatensystem

$4 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 12$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

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Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 12$ ein.

S₁:

$4 \cdot x + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 12$

=> x=

\frac{12}{4}

=3, also S₁(3|0|0)
S₂:

$4 \cdot 0 + 2 \cdot y + 3 \cdot 0 = 12$

=> y=

\frac{12}{2}

=6, also S₂(0|6|0)
S₃:

$4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot z = 12$

=> z=

\frac{12}{3}

=4, also S₃(0|0|4)

Man zeichnet nun die drei Spurpunkte ein und verbindet diese durch gerade Strecken. Das entstehende Dreieck visualisiert die gesuchte Ebene.

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

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Aus der Zeichung kann man die beiden Spurpunkte S₁ $(2 | 0 | 0)$ und S₂ $(0 | 4 | 0)$ ablesen. Es gibt aber keinen Spurpunkt S₃, also keinen Schnittpunkt der Ebene mit der x₃-Achse. Das ist nur möglich, wenn der Koeffizeint vor dem x₃ fehlt, also o = 0 ist.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ein (Punktprobe).

S₁: a⋅2 + 0 + 0 = d => a = $\frac{d}{2}$

S₂: 0 + b⋅4 + 0 = d => b = $\frac{d}{4}$

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 4, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 2, b = 1, c = 0 .

Die Koordinatenebene lautet also: $2 x_{1} + x_{2} = 4$ .

(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)

bestimmte parallele Ebene finden

Beispiel:

Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 8$ (also nicht identisch).

Das Dreieck D_F, das aus den Spurpunkten der Ebene F besteht, hat den 16-fachen Flächeninhalt des Dreiecks D_E, das aus den Spurpunkten der Ebene E besteht.

Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.

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An der Skizze kann man gut erkennen, dass die beiden Verbindungen von zwei Spurpunkten bei parallelen Ebenen wieder parallel sind. Somit sind auch die Winkel in den drei Seitenflächen der Pyramiden gleich und damit die drei Seitenflächen ähnlich. Das heißt die eine Pyramide kann durch eine zentrische Streckung der anderen Pyramide erzeugt werden.
Damit sind auch die (aus den Spurpunkten bestehenden) Grundflächen zueinander ähnlich.

Wenn der Streckfaktor auf den Achsen k ist, dann werden alle Kanten der Pyramiden um den Faktor k größer. Die Inhalt der Grundfläche, also des Dreiecks der 3 Spurpunkte erhöht sich somit um den Faktor k², da A' = |k⋅ $\vec{S_{1} S_{2}}$ x k⋅ $\vec{S_{2} S_{3}}$ | = k²| $\vec{S_{1} S_{2}}$ x $\vec{S_{2} S_{3}}$ | = k²⋅A .

Für den um den Faktor 16 veränderten Flächeninhalt müssen somit die Spurpunkte um den Faktor 4 verändert worden sein.

Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S₁ der Ebene E:
4⋅ x₁ + 0 + 0 = 8 ergibt
x₁= $\frac{8}{4}$

Der entsprechende x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F müsste jetzt ja um den Faktor 4 verändert werden.

Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizeinten auf der linken Seite von der Ebene E.

Für den x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor 4 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 8).

Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 32$

Aufgabenbeispiele von Ebenen zeichnen

Koordinatenebene zeichnen

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

bestimmte parallele Ebene finden