Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ -4\\ -19\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ 3\\ -31\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(36|3|-31\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-12\right)-24·7\\ 24·7-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·7-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-168\\ 168-432\\ -252-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·15-24·11\\ 24·\left(-12\right)-\left(-8\right)·15\\ -8·11-12·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}180-264\\ -288+120\\ -88+144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·6-\left(-18\right)·4\\ -18·12-6·6\\ 6·4-9·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+72\\ -216-36\\ 24-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·6-\left(-18\right)·4\\ -18·12-6·6\\ 6·4-9·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+72\\ -216-36\\ 24-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|-2\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$3x_1-6x_2-2x_3=-26$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 13-6\cdot (-12)-2\cdot (-5)+26|}{\sqrt{3^2+{(-6)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·0-0·\left(-14\right)\\ 0·\left(-23\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 168-368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-200)}}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-12)}\cdot 16+\mathrm{(-16)}\cdot \mathrm{(-12)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-192\mathrm{+192}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t -200 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ \frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·0-0·\left(-14\right)\\ 0·\left(-23\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 168-368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$

= -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-23\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(8|0|-3\right)$ erhält man
d = $0\cdot 8+0\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$+x_3=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 1+0\cdot (-1)+1\cdot 0+3|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-4t\\ 8t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4t\\ 8t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8t·\left(-7\right)-\left(-t\right)·\left(-7\right)\\ -t·8-\left(-4t\right)·\left(-7\right)\\ -4t·\left(-7\right)-8t·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56t-7t\\ -8t-28t\\ 28t-64t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3969t^2+1296t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 81 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 162

1. Fall

$81t$ = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9-4t\right|11+8t\left|3-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-17|27|1\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9-4t\right|11+8t\left|3-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-1|-5|5\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅15 = 112.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅112.5⋅6
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$81$	|⋅$4$
$d^2$	=	$324$	|
d1	=	$-\sqrt{324}$	= $-18$
d2	=	$\sqrt{324}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+x_3=18$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{48}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{48}{d}^3$	=	$36$	|⋅$48$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.