Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}30\\ 34\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ 32\\ -6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(27|32|-6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}30\\ 34\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}30\\ 34\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·\left(-1\right)-\left(-8\right)·34\\ -8·30-\left(-24\right)·\left(-1\right)\\ -24·34-\left(-36\right)·30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+272\\ -240-24\\ -816+1080\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·11-12·\left(-12\right)\\ 12·15-24·11\\ 24·\left(-12\right)-\left(-8\right)·15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-88+144\\ 180-264\\ -288+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·7-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ -168+0\\ -168+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-336)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-112)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}14\\ 7\\ t\end{array}\right)$=$7\cdot 14+\mathrm{(-14)}\cdot 7+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=98-98\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ = -24⋅t +112 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 7\\ \frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·7-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ -168+0\\ -168+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$

= -56⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|3|2\right)$ erhält man
d = $6\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 2$
also:

$6x_1+3x_2+2x_3=25$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 25+3\cdot 4+2\cdot 5-25|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·0-0·\left(-17\right)\\ 0·6-12·0\\ 12·\left(-17\right)-\left(-9\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -204+54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-150)}}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ t\end{array}\right)$=$12\cdot 9+\mathrm{(-9)}\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=108-108\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ \frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·0-0·\left(-17\right)\\ 0·6-12·0\\ 12·\left(-17\right)-\left(-9\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -204+54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ -17\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|1|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+0\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 2+0\cdot (-3)+1\cdot (-1)+4|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}0t\\ -3t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0t\\ -3t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t·7-\left(-4t\right)·\left(-1\right)\\ -4t·0-0·7\\ 0·\left(-1\right)-\left(-3t\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21t-4t\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{625t^2+0+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+0t\right|-2-3t\left|-6-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-3|-11|-18\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+0t\right|-2-3t\left|-6-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-3|7|6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+x_3=18$ ein.

S₁: => x=$\frac{18}{3}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{18}{2}$=9, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$18$=18, also S₃$\left(0|0|18\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅9 = 27, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 18 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅27⋅18
=162

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$1$	|⋅$16$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+2x_3=4$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+2x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-1|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+2x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{18}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^3$	=	$12$	|⋅$18$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.