Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-25\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-34\\ 6\\ 27\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-34|6|27\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 3\\ 24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-25\\ 3\\ 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·24-\left(-24\right)·3\\ -24·\left(-25\right)-36·24\\ 36·3-8·\left(-25\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192+72\\ 600-864\\ 108+200\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·3-24·5\\ 24·\left(-8\right)-\left(-8\right)·3\\ -8·5-12·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-120\\ -192+24\\ -40+96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-12\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-12\right)\\ -9·6-\left(-18\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216+36\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-12\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-12\right)\\ -9·6-\left(-18\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216+36\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+3\cdot 1$
also:

$-6x_1+2x_2+3x_3=23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-22)+2\cdot 13+3\cdot 4-23|}{\sqrt{{(-6)}^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·19-12·\left(-24\right)\\ 12·22-8·19\\ 8·\left(-24\right)-\left(-24\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456+288\\ 264-152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{112}^2+{336}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·19-12·\left(-24\right)\\ 12·22-8·19\\ 8·\left(-24\right)-\left(-24\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456+288\\ 264-152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|11|-4\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 11+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$3x_1-2x_2-6x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 15-2\cdot 2-6\cdot (-17)+4|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -3t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ -9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -3t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t·\left(-9\right)-\left(-6t\right)·\left(-8\right)\\ -6t·10-2t·\left(-9\right)\\ 2t·\left(-8\right)-\left(-3t\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27t-48t\\ -60t+18t\\ -16t+30t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21t\\ -42t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-21t\\ -42t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+1764t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+2t\right|1-3t\left|16-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(6|-11|-8\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+2t\right|1-3t\left|16-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-10|13|40\right)$.