Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ -27\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|-5|-27\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-27\right)-24·\left(-2\right)\\ 24·\left(-10\right)-12·\left(-27\right)\\ 12·\left(-2\right)-8·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216+48\\ -240+324\\ -24+80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·10-8·\left(-9\right)\\ 8·8-12·10\\ 12·\left(-9\right)-\left(-24\right)·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240+72\\ 64-120\\ -108+192\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-17\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\\ -3·\left(-10\right)-\left(-24\right)·\left(-17\right)\\ -24·\left(-4\right)-12·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-204-12\\ 30-408\\ 96+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ -17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-17\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\\ -3·\left(-10\right)-\left(-24\right)·\left(-17\right)\\ -24·\left(-4\right)-12·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-204-12\\ 30-408\\ 96+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ -17\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(9|-8|-1\right)$ erhält man
d = $4\cdot 9+7\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=-16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 12+7\cdot 13-4\cdot (-22)+16|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·18-2·\left(-18\right)\\ 2·0-\left(-8\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144+0\\ -288+36\\ 0+144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$=$18\cdot \mathrm{(-18)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-18)}\cdot \mathrm{(-18)}=-324\mathrm{+0}\mathrm{+324}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$ = -8⋅t +252 = 0 wird, also t=$\frac{63}{2}$ = $\frac{63}{2}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ \frac{63}{2}\\ -18\end{array}\right)$ = $\frac{1}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}-36\\ 63\\ -36\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·18-2·\left(-18\right)\\ 2·0-\left(-8\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144+0\\ -288+36\\ 0+144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$

= 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|3|-4\right)$ erhält man
d = $4\cdot 1+\mathrm{(-7)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=-33$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 21-7\cdot (-14)+4\cdot 7+33|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}8t\\ 4t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8t\\ 4t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·\left(-7\right)-\left(-t\right)·\left(-8\right)\\ -t·\left(-7\right)-8t·\left(-7\right)\\ 8t·\left(-8\right)-4t·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28t-8t\\ 7t+56t\\ -64t+28t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(11+8t\right|6+4t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(51|26|-4\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(11+8t\right|6+4t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-29|-14|6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{5}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅6 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅15
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$1$	|⋅$16$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=4$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-1|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$150$	|⋅$180$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.