Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3606 + 187) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3606 + 187) mod 9 ≡ (3606 mod 9 + 187 mod 9) mod 9.
3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606
= 3600
187 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 187
= 180
Somit gilt:
(3606 + 187) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 33) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 33) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 33 mod 9) mod 9.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 33) mod 9 ≡ (5 ⋅ 6) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24032 mod 599.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 96 mod 599
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 231 mod 599
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 50 mod 599
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 104 mod 599
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 34 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34669 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 18 mod 617
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 617
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 86 mod 617
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 609 mod 617
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 64 mod 617
64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 394 mod 617
34669
= 34664+4+1
= 34664⋅3464⋅3461
≡ 394 ⋅ 324 ⋅ 346 mod 617
≡ 127656 ⋅ 346 mod 617 ≡ 554 ⋅ 346 mod 617
≡ 191684 mod 617 ≡ 414 mod 617
Es gilt also: 34669 ≡ 414 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82
| =>101 | = 1⋅82 + 19 |
| =>82 | = 4⋅19 + 6 |
| =>19 | = 3⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-3⋅6 | |||
| 6= 82-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82)
= -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -16⋅82
-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82
-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1
(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1
85⋅82 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1
Somit 85⋅82 = 1 mod 101
85 ist also das Inverse von 82 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.