Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36008 - 8991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36008 - 8991) mod 9 ≡ (36008 mod 9 - 8991 mod 9) mod 9.
36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008
= 36000
8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991
= 9000
Somit gilt:
(36008 - 8991) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 59) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 59) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.
51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 59) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7738 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 773 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7731=773
2: 7732=7731+1=7731⋅7731 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 200 mod 857
4: 7734=7732+2=7732⋅7732 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 578 mod 857
8: 7738=7734+4=7734⋅7734 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130242 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 15 mod 307
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 307
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 277 mod 307
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 286 mod 307
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 134 mod 307
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 150 mod 307
128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 89 mod 307
130242
= 130128+64+32+16+2
= 130128⋅13064⋅13032⋅13016⋅1302
≡ 89 ⋅ 150 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
≡ 13350 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307 ≡ 149 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
≡ 19966 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307 ≡ 11 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
≡ 3146 ⋅ 15 mod 307 ≡ 76 ⋅ 15 mod 307
≡ 1140 mod 307 ≡ 219 mod 307
Es gilt also: 130242 ≡ 219 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.