Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (234 - 23994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(234 - 23994) mod 6 ≡ (234 mod 6 - 23994 mod 6) mod 6.
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994
= 24000
Somit gilt:
(234 - 23994) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 47) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 47) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 47 mod 8) mod 8.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 47) mod 8 ≡ (7 ⋅ 7) mod 8 ≡ 49 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 858 mod 223.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 85 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 851=85
2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 89 mod 223
4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 116 mod 223
8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 76 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 806130 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 8061=806
2: 8062=8061+1=8061⋅8061 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 822 mod 919
4: 8064=8062+2=8062⋅8062 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 219 mod 919
8: 8068=8064+4=8064⋅8064 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 173 mod 919
16: 80616=8068+8=8068⋅8068 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 521 mod 919
32: 80632=80616+16=80616⋅80616 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 336 mod 919
64: 80664=80632+32=80632⋅80632 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 778 mod 919
128: 806128=80664+64=80664⋅80664 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 582 mod 919
806130
= 806128+2
= 806128⋅8062
≡ 582 ⋅ 822 mod 919
≡ 478404 mod 919 ≡ 524 mod 919
Es gilt also: 806130 ≡ 524 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.