Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(280 - 138) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 138 mod 7) mod 7.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

138 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 138 = 140-2 = 7 ⋅ 20 -2 = 7 ⋅ 20 - 7 + 5.

Somit gilt:

(280 - 138) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (52 mod 6 ⋅ 87 mod 6) mod 6.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 188¹=188

2: 188²=188¹⁺¹=188¹⋅188¹ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 334 mod 389

4: 188⁴=188²⁺²=188²⋅188² ≡ 334⋅334=111556 ≡ 302 mod 389

8: 188⁸=188⁴⁺⁴=188⁴⋅188⁴ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 178 mod 389

16: 188¹⁶=188⁸⁺⁸=188⁸⋅188⁸ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 175 mod 389

32: 188³²=188¹⁶⁺¹⁶=188¹⁶⋅188¹⁶ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 283 mod 389

64: 188⁶⁴=188³²⁺³²=188³²⋅188³² ≡ 283⋅283=80089 ≡ 344 mod 389

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

454²³⁶

= 454^{128+64+32+8+4}

= 454¹²⁸⋅454⁶⁴⋅454³²⋅454⁸⋅454⁴

≡ 61 ⋅ 469 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
≡ 28609 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733 ≡ 22 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
≡ 13420 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733 ≡ 226 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
≡ 111644 ⋅ 658 mod 733 ≡ 228 ⋅ 658 mod 733
≡ 150024 mod 733 ≡ 492 mod 733

Es gilt also: 454²³⁶ ≡ 492 mod 733

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73	= 1⋅51 + 22
=>51	= 2⋅22 + 7
=>22	= 3⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22) = 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51) = -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73