Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (176 + 3600) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(176 + 3600) mod 9 ≡ (176 mod 9 + 3600 mod 9) mod 9.
176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
3600 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3600
= 3600
Somit gilt:
(176 + 3600) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 33) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 33) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37916 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 224 mod 829
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 436 mod 829
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 255 mod 829
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 363 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 121181 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 1211=121
2: 1212=1211+1=1211⋅1211 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 7 mod 271
4: 1214=1212+2=1212⋅1212 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 271
8: 1218=1214+4=1214⋅1214 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271
16: 12116=1218+8=1218⋅1218 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271
32: 12132=12116+16=12116⋅12116 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271
64: 12164=12132+32=12132⋅12132 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271
128: 121128=12164+64=12164⋅12164 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271
121181
= 121128+32+16+4+1
= 121128⋅12132⋅12116⋅1214⋅1211
≡ 61 ⋅ 62 ⋅ 89 ⋅ 49 ⋅ 121 mod 271
≡ 3782 ⋅ 89 ⋅ 49 ⋅ 121 mod 271 ≡ 259 ⋅ 89 ⋅ 49 ⋅ 121 mod 271
≡ 23051 ⋅ 49 ⋅ 121 mod 271 ≡ 16 ⋅ 49 ⋅ 121 mod 271
≡ 784 ⋅ 121 mod 271 ≡ 242 ⋅ 121 mod 271
≡ 29282 mod 271 ≡ 14 mod 271
Es gilt also: 121181 ≡ 14 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.