Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 - 15996) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 - 15996) mod 8 ≡ (245 mod 8 - 15996 mod 8) mod 8.
245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
15996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996
= 15000
Somit gilt:
(245 - 15996) mod 8 ≡ (5 - 4) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 71) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 71) mod 11 ≡ (90 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 71) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66564 mod 709.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 665 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 518 mod 709
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 322 mod 709
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 170 mod 709
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 540 mod 709
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 201 mod 709
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 697 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 107163 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 22 mod 293
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 22⋅22=484 ≡ 191 mod 293
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 149 mod 293
16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 226 mod 293
32: 10732=10716+16=10716⋅10716 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 94 mod 293
64: 10764=10732+32=10732⋅10732 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 46 mod 293
128: 107128=10764+64=10764⋅10764 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 65 mod 293
107163
= 107128+32+2+1
= 107128⋅10732⋅1072⋅1071
≡ 65 ⋅ 94 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293
≡ 6110 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293 ≡ 250 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293
≡ 5500 ⋅ 107 mod 293 ≡ 226 ⋅ 107 mod 293
≡ 24182 mod 293 ≡ 156 mod 293
Es gilt also: 107163 ≡ 156 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.