Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1194 + 305) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1194 + 305) mod 6 ≡ (1194 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.

1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194 = 1200-6 = 6 ⋅ 200 -6 = 6 ⋅ 200 - 6 + 0.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(1194 + 305) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 83) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 313.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 162 mod 313

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 265 mod 313

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 113 mod 313

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 166177 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

1: 1661=166

2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 133 mod 277

4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 238 mod 277

8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277

16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277

32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 91 mod 277

64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277

128: 166128=16664+64=16664⋅16664 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 10 mod 277

166177

= 166128+32+16+1

= 166128⋅16632⋅16616⋅1661

10 ⋅ 91 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277
910 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277 ≡ 79 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277
16906 ⋅ 166 mod 277 ≡ 9 ⋅ 166 mod 277
1494 mod 277 ≡ 109 mod 277

Es gilt also: 166177 ≡ 109 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97 = 2⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43)
= 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.