Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1196 - 12002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1196 - 12002) mod 6 ≡ (1196 mod 6 - 12002 mod 6) mod 6.
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(1196 - 12002) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 81) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 81) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 81) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1488 mod 269.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 148 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1481=148
2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 115 mod 269
4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 44 mod 269
8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 53 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 481152 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 354 mod 541
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 345 mod 541
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 5 mod 541
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 541
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 25⋅25=625 ≡ 84 mod 541
64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 23 mod 541
128: 481128=48164+64=48164⋅48164 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 541
481152
= 481128+16+8
= 481128⋅48116⋅4818
≡ 529 ⋅ 25 ⋅ 5 mod 541
≡ 13225 ⋅ 5 mod 541 ≡ 241 ⋅ 5 mod 541
≡ 1205 mod 541 ≡ 123 mod 541
Es gilt also: 481152 ≡ 123 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.