Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1005 + 5004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1005 + 5004) mod 5 ≡ (1005 mod 5 + 5004 mod 5) mod 5.
1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005
= 1000
5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004
= 5000
Somit gilt:
(1005 + 5004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 55) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 55) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 55 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 55) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3088 mod 569.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 308 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3081=308
2: 3082=3081+1=3081⋅3081 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 410 mod 569
4: 3084=3082+2=3082⋅3082 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 245 mod 569
8: 3088=3084+4=3084⋅3084 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 280 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210197 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 32 mod 479
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 66 mod 479
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 45 mod 479
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 109 mod 479
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479
128: 210128=21064+64=21064⋅21064 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 291 mod 479
210197
= 210128+64+4+1
= 210128⋅21064⋅2104⋅2101
≡ 291 ⋅ 214 ⋅ 66 ⋅ 210 mod 479
≡ 62274 ⋅ 66 ⋅ 210 mod 479 ≡ 4 ⋅ 66 ⋅ 210 mod 479
≡ 264 ⋅ 210 mod 479
≡ 55440 mod 479 ≡ 355 mod 479
Es gilt also: 210197 ≡ 355 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.