Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 - 15003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 - 15003) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 15003 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(301 - 15003) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 30) mod 4 ≡ (91 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 30) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39664 mod 631.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 328 mod 631
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 314 mod 631
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 160 mod 631
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 360 mod 631
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 245 mod 631
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 80 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 752119 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 7521=752
2: 7522=7521+1=7521⋅7521 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 716 mod 877
4: 7524=7522+2=7522⋅7522 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 488 mod 877
8: 7528=7524+4=7524⋅7524 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 477 mod 877
16: 75216=7528+8=7528⋅7528 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 386 mod 877
32: 75232=75216+16=75216⋅75216 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 783 mod 877
64: 75264=75232+32=75232⋅75232 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 66 mod 877
752119
= 75264+32+16+4+2+1
= 75264⋅75232⋅75216⋅7524⋅7522⋅7521
≡ 66 ⋅ 783 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 51678 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 812 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 313432 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 343 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 167384 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 754 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 539864 ⋅ 752 mod 877 ≡ 509 ⋅ 752 mod 877
≡ 382768 mod 877 ≡ 396 mod 877
Es gilt also: 752119 ≡ 396 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
