Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14001 - 2803) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14001 - 2803) mod 7 ≡ (14001 mod 7 - 2803 mod 7) mod 7.
14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001
= 14000
2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803
= 2800
Somit gilt:
(14001 - 2803) mod 7 ≡ (1 - 3) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 48) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 48) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 48 mod 5) mod 5.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 48) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22464 mod 743.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 395 mod 743
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 738 mod 743
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 25 mod 743
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 743
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 550 mod 743
64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 99 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 466139 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 4661=466
2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 182 mod 691
4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 647 mod 691
8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 554 mod 691
16: 46616=4668+8=4668⋅4668 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 112 mod 691
32: 46632=46616+16=46616⋅46616 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 106 mod 691
64: 46664=46632+32=46632⋅46632 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 180 mod 691
128: 466128=46664+64=46664⋅46664 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 614 mod 691
466139
= 466128+8+2+1
= 466128⋅4668⋅4662⋅4661
≡ 614 ⋅ 554 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691
≡ 340156 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691 ≡ 184 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691
≡ 33488 ⋅ 466 mod 691 ≡ 320 ⋅ 466 mod 691
≡ 149120 mod 691 ≡ 555 mod 691
Es gilt also: 466139 ≡ 555 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54
| =>61 | = 1⋅54 + 7 |
| =>54 | = 7⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 54-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +26⋅54
Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1
Somit 26⋅54 = 1 mod 61
26 ist also das Inverse von 54 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
