Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1998 + 1997) mod 5 ≡ (1998 mod 5 + 1997 mod 5) mod 5.

1998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 5 ⋅ 380 +98.

1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 5 ⋅ 380 +97.

Somit gilt:

(1998 + 1997) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 17) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 17 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 17) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 217¹=217

2: 217²=217¹⁺¹=217¹⋅217¹ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 111 mod 283

4: 217⁴=217²⁺²=217²⋅217² ≡ 111⋅111=12321 ≡ 152 mod 283

8: 217⁸=217⁴⁺⁴=217⁴⋅217⁴ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 181 mod 283

16: 217¹⁶=217⁸⁺⁸=217⁸⋅217⁸ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 216 mod 283

32: 217³²=217¹⁶⁺¹⁶=217¹⁶⋅217¹⁶ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 244 mod 283

64: 217⁶⁴=217³²⁺³²=217³²⋅217³² ≡ 244⋅244=59536 ≡ 106 mod 283

128: 217¹²⁸=217⁶⁴⁺⁶⁴=217⁶⁴⋅217⁶⁴ ≡ 106⋅106=11236 ≡ 199 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

899⁷⁷

= 899^64+8+4+1

= 899⁶⁴⋅899⁸⋅899⁴⋅899¹

≡ 400 ⋅ 554 ⋅ 39 ⋅ 899 mod 967
≡ 221600 ⋅ 39 ⋅ 899 mod 967 ≡ 157 ⋅ 39 ⋅ 899 mod 967
≡ 6123 ⋅ 899 mod 967 ≡ 321 ⋅ 899 mod 967
≡ 288579 mod 967 ≡ 413 mod 967

Es gilt also: 899⁷⁷ ≡ 413 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

=>83	= 1⋅59 + 24
=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)
24= 83-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59) = 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59

oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅83 = +38⋅59

Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1

Somit 38⋅59 = 1 mod 83

38 ist also das Inverse von 59 mod 83