Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (300 + 1197) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 1197) mod 3 ≡ (300 mod 3 + 1197 mod 3) mod 3.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(300 + 1197) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 50) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 50) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 50) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67516 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 675 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6751=675

2: 6752=6751+1=6751⋅6751 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 226 mod 971

4: 6754=6752+2=6752⋅6752 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 584 mod 971

8: 6758=6754+4=6754⋅6754 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 235 mod 971

16: 67516=6758+8=6758⋅6758 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 849 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425253 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 110 mod 457

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 218 mod 457

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 457

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 185 mod 457

128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 407 mod 457

425253

= 425128+64+32+16+8+4+1

= 425128⋅42564⋅42532⋅42516⋅4258⋅4254⋅4251

407 ⋅ 185 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
75295 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 347 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
88832 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 174 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
2784 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 42 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
19026 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 289 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
63002 ⋅ 425 mod 457 ≡ 393 ⋅ 425 mod 457
167025 mod 457 ≡ 220 mod 457

Es gilt also: 425253 ≡ 220 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.