Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 + 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 + 99) mod 5 ≡ (2001 mod 5 + 99 mod 5) mod 5.
2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99
= 90
Somit gilt:
(2001 + 99) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 72) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 72) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 72 mod 10) mod 10.
66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.
72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 72) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49316 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 493 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 889 mod 1009
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 274 mod 1009
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 410 mod 1009
16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 606 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 157133 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 37 mod 293
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 197 mod 293
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 133 mod 293
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 109 mod 293
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 17 mod 293
157133
= 157128+4+1
= 157128⋅1574⋅1571
≡ 17 ⋅ 197 ⋅ 157 mod 293
≡ 3349 ⋅ 157 mod 293 ≡ 126 ⋅ 157 mod 293
≡ 19782 mod 293 ≡ 151 mod 293
Es gilt also: 157133 ≡ 151 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.