Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2995 - 6004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2995 - 6004) mod 6 ≡ (2995 mod 6 - 6004 mod 6) mod 6.

2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995 = 3000-5 = 6 ⋅ 500 -5 = 6 ⋅ 500 - 6 + 1.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(2995 - 6004) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 55) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 55) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 55) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 71164 mod 769.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 711 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7111=711

2: 7112=7111+1=7111⋅7111 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 288 mod 769

4: 7114=7112+2=7112⋅7112 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 661 mod 769

8: 7118=7114+4=7114⋅7114 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 129 mod 769

16: 71116=7118+8=7118⋅7118 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 492 mod 769

32: 71132=71116+16=71116⋅71116 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769

64: 71164=71132+32=71132⋅71132 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 348223 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 3481=348

2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 277 mod 421

4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 107 mod 421

8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 82 mod 421

16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 409 mod 421

32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 144 mod 421

64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 107 mod 421

128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 82 mod 421

348223

= 348128+64+16+8+4+2+1

= 348128⋅34864⋅34816⋅3488⋅3484⋅3482⋅3481

82 ⋅ 107 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
8774 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 354 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
144786 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 383 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
31406 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 252 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
26964 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 20 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
5540 ⋅ 348 mod 421 ≡ 67 ⋅ 348 mod 421
23316 mod 421 ≡ 161 mod 421

Es gilt also: 348223 ≡ 161 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53 = 1⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30)
= -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.