Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 + 30) mod 3 ≡ (9000 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(9000 + 30) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 100) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 100 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 100) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 127¹=127

2: 127²=127¹⁺¹=127¹⋅127¹ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 12 mod 227

4: 127⁴=127²⁺²=127²⋅127² ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 227

8: 127⁸=127⁴⁺⁴=127⁴⋅127⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 79 mod 227

16: 127¹⁶=127⁸⁺⁸=127⁸⋅127⁸ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 112 mod 227

32: 127³²=127¹⁶⁺¹⁶=127¹⁶⋅127¹⁶ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 59 mod 227

64: 127⁶⁴=127³²⁺³²=127³²⋅127³² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 76 mod 227

128: 127¹²⁸=127⁶⁴⁺⁶⁴=127⁶⁴⋅127⁶⁴ ≡ 76⋅76=5776 ≡ 101 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

175²⁴⁴

= 175^{128+64+32+16+4}

= 175¹²⁸⋅175⁶⁴⋅175³²⋅175¹⁶⋅175⁴

≡ 178 ⋅ 315 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
≡ 56070 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401 ≡ 331 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
≡ 25487 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401 ≡ 224 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
≡ 80640 ⋅ 146 mod 401 ≡ 39 ⋅ 146 mod 401
≡ 5694 mod 401 ≡ 80 mod 401

Es gilt also: 175²⁴⁴ ≡ 80 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53