Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19998 + 1596) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19998 + 1596) mod 4 ≡ (19998 mod 4 + 1596 mod 4) mod 4.
19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
Somit gilt:
(19998 + 1596) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 45) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 45) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 45) mod 11 ≡ (3 ⋅ 1) mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2808 mod 367.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 229 mod 367
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 327 mod 367
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 132 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 462149 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 4621=462
2: 4622=4621+1=4621⋅4621 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 173 mod 509
4: 4624=4622+2=4622⋅4622 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 407 mod 509
8: 4628=4624+4=4624⋅4624 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 224 mod 509
16: 46216=4628+8=4628⋅4628 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 294 mod 509
32: 46232=46216+16=46216⋅46216 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 415 mod 509
64: 46264=46232+32=46232⋅46232 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 183 mod 509
128: 462128=46264+64=46264⋅46264 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 404 mod 509
462149
= 462128+16+4+1
= 462128⋅46216⋅4624⋅4621
≡ 404 ⋅ 294 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509
≡ 118776 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509 ≡ 179 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509
≡ 72853 ⋅ 462 mod 509 ≡ 66 ⋅ 462 mod 509
≡ 30492 mod 509 ≡ 461 mod 509
Es gilt also: 462149 ≡ 461 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43
| =>79 | = 1⋅43 + 36 |
| =>43 | = 1⋅36 + 7 |
| =>36 | = 5⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 36-5⋅7 | |||
| 7= 43-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36) = -5⋅43 +6⋅ 36 (=1) |
| 36= 79-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43) = 6⋅79 -11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43
oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅79 = -11⋅43
-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43
-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1
(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1
68⋅43 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1
Somit 68⋅43 = 1 mod 79
68 ist also das Inverse von 43 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.