Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6993 + 2100) mod 7 ≡ (6993 mod 7 + 2100 mod 7) mod 7.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(6993 + 2100) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 88) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 88) mod 11 ≡ (7 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 495¹=495

2: 495²=495¹⁺¹=495¹⋅495¹ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 470 mod 829

4: 495⁴=495²⁺²=495²⋅495² ≡ 470⋅470=220900 ≡ 386 mod 829

8: 495⁸=495⁴⁺⁴=495⁴⋅495⁴ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 605 mod 829

16: 495¹⁶=495⁸⁺⁸=495⁸⋅495⁸ ≡ 605⋅605=366025 ≡ 436 mod 829

32: 495³²=495¹⁶⁺¹⁶=495¹⁶⋅495¹⁶ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 255 mod 829

64: 495⁶⁴=495³²⁺³²=495³²⋅495³² ≡ 255⋅255=65025 ≡ 363 mod 829

128: 495¹²⁸=495⁶⁴⁺⁶⁴=495⁶⁴⋅495⁶⁴ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 787 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

709¹⁷⁹

= 709^{128+32+16+2+1}

= 709¹²⁸⋅709³²⋅709¹⁶⋅709²⋅709¹

≡ 409 ⋅ 765 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
≡ 312885 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971 ≡ 223 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
≡ 42147 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971 ≡ 394 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
≡ 265556 ⋅ 709 mod 971 ≡ 473 ⋅ 709 mod 971
≡ 335357 mod 971 ≡ 362 mod 971

Es gilt also: 709¹⁷⁹ ≡ 362 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51

=>59	= 1⋅51 + 8
=>51	= 6⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 51-6⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1)
8= 59-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51) = 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51

oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅59 = +22⋅51

Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1

Somit 22⋅51 = 1 mod 59

22 ist also das Inverse von 51 mod 59