Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15001 + 602) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15001 + 602) mod 3 ≡ (15001 mod 3 + 602 mod 3) mod 3.
15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(15001 + 602) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 31) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 31) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 31 mod 3) mod 3.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 31) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37032 mod 659.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 370 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3701=370
2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 487 mod 659
4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 588 mod 659
8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 428 mod 659
16: 37016=3708+8=3708⋅3708 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 641 mod 659
32: 37032=37016+16=37016⋅37016 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 324 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 332248 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 128 mod 983
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 656 mod 983
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 765 mod 983
16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 340 mod 983
32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 589 mod 983
64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 905 mod 983
128: 332128=33264+64=33264⋅33264 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 186 mod 983
332248
= 332128+64+32+16+8
= 332128⋅33264⋅33232⋅33216⋅3328
≡ 186 ⋅ 905 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 168330 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 237 ⋅ 589 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 139593 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983 ≡ 7 ⋅ 340 ⋅ 765 mod 983
≡ 2380 ⋅ 765 mod 983 ≡ 414 ⋅ 765 mod 983
≡ 316710 mod 983 ≡ 184 mod 983
Es gilt also: 332248 ≡ 184 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
