Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (400 + 1197) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 + 1197) mod 4 ≡ (400 mod 4 + 1197 mod 4) mod 4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

Somit gilt:

(400 + 1197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 51) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 51) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 51) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 69464 mod 991.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 694 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6941=694

2: 6942=6941+1=6941⋅6941 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 10 mod 991

4: 6944=6942+2=6942⋅6942 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 991

8: 6948=6944+4=6944⋅6944 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 90 mod 991

16: 69416=6948+8=6948⋅6948 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 172 mod 991

32: 69432=69416+16=69416⋅69416 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 845 mod 991

64: 69464=69432+32=69432⋅69432 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 505 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 570110 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 5701=570

2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 410 mod 877

4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 593 mod 877

8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 849 mod 877

16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 784 mod 877

32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 756 mod 877

64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 609 mod 877

570110

= 57064+32+8+4+2

= 57064⋅57032⋅5708⋅5704⋅5702

609 ⋅ 756 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
460404 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877 ≡ 856 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
726744 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877 ≡ 588 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
348684 ⋅ 410 mod 877 ≡ 515 ⋅ 410 mod 877
211150 mod 877 ≡ 670 mod 877

Es gilt also: 570110 ≡ 670 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73 = 2⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34)
= 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.