Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 - 25000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 - 25000) mod 5 ≡ (204 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.
204 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
Somit gilt:
(204 - 25000) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 40) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 40) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 40) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 359.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 165 mod 359
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 300 mod 359
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 250 mod 359
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 34 mod 359
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 79 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 459164 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 420 mod 643
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 218 mod 643
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 585 mod 643
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 149 mod 643
32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 339 mod 643
64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 467 mod 643
128: 459128=45964+64=45964⋅45964 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 112 mod 643
459164
= 459128+32+4
= 459128⋅45932⋅4594
≡ 112 ⋅ 339 ⋅ 218 mod 643
≡ 37968 ⋅ 218 mod 643 ≡ 31 ⋅ 218 mod 643
≡ 6758 mod 643 ≡ 328 mod 643
Es gilt also: 459164 ≡ 328 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.