Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 + 49) mod 5 ≡ (54 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50+4 = 5 ⋅ 10 +4.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(54 + 49) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 64) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 64) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 295¹=295

2: 295²=295¹⁺¹=295¹⋅295¹ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 256 mod 311

4: 295⁴=295²⁺²=295²⋅295² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 226 mod 311

8: 295⁸=295⁴⁺⁴=295⁴⋅295⁴ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 72 mod 311

16: 295¹⁶=295⁸⁺⁸=295⁸⋅295⁸ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 208 mod 311

32: 295³²=295¹⁶⁺¹⁶=295¹⁶⋅295¹⁶ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311

64: 295⁶⁴=295³²⁺³²=295³²⋅295³² ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311

128: 295¹²⁸=295⁶⁴⁺⁶⁴=295⁶⁴⋅295⁶⁴ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

445²³⁶

= 445^{128+64+32+8+4}

= 445¹²⁸⋅445⁶⁴⋅445³²⋅445⁸⋅445⁴

≡ 228 ⋅ 237 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
≡ 54036 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643 ≡ 24 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
≡ 1272 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643 ≡ 629 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
≡ 273615 ⋅ 361 mod 643 ≡ 340 ⋅ 361 mod 643
≡ 122740 mod 643 ≡ 570 mod 643

Es gilt also: 445²³⁶ ≡ 570 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101	= 1⋅68 + 33
=>68	= 2⋅33 + 2
=>33	= 16⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33) = 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68) = -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101