Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2502 - 2000) mod 5 ≡ (2502 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.

2502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2502 = 2500+2 = 5 ⋅ 500 +2.

2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 5 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(2502 - 2000) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 84) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 84) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 84¹=84

2: 84²=84¹⁺¹=84¹⋅84¹ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 186 mod 229

4: 84⁴=84²⁺²=84²⋅84² ≡ 186⋅186=34596 ≡ 17 mod 229

8: 84⁸=84⁴⁺⁴=84⁴⋅84⁴ ≡ 17⋅17=289 ≡ 60 mod 229

16: 84¹⁶=84⁸⁺⁸=84⁸⋅84⁸ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 165 mod 229

32: 84³²=84¹⁶⁺¹⁶=84¹⁶⋅84¹⁶ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 203 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

329¹¹⁹

= 329^{64+32+16+4+2+1}

= 329⁶⁴⋅329³²⋅329¹⁶⋅329⁴⋅329²⋅329¹

≡ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 23375 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 225 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 35550 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 362 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 5430 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 337 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 121994 ⋅ 329 mod 463 ≡ 225 ⋅ 329 mod 463
≡ 74025 mod 463 ≡ 408 mod 463

Es gilt also: 329¹¹⁹ ≡ 408 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47

=>53	= 1⋅47 + 6
=>47	= 7⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 47-7⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1)
6= 53-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47) = -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47

oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅53 = -9⋅47

-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47

-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1

(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1

44⋅47 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1

Somit 44⋅47 = 1 mod 53

44 ist also das Inverse von 47 mod 53