Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13996 + 2800) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13996 + 2800) mod 7 ≡ (13996 mod 7 + 2800 mod 7) mod 7.
13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996
= 14000
2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800
= 2800
Somit gilt:
(13996 + 2800) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 65) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 65) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 65 mod 9) mod 9.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 65) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29364 mod 877.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 293 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2931=293
2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 780 mod 877
4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 639 mod 877
8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 516 mod 877
16: 29316=2938+8=2938⋅2938 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 525 mod 877
32: 29332=29316+16=29316⋅29316 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 247 mod 877
64: 29364=29332+32=29332⋅29332 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 496 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 238109 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2381=238
2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 98 mod 577
4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 372 mod 577
8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 481 mod 577
16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 561 mod 577
32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 256 mod 577
64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577
238109
= 23864+32+8+4+1
= 23864⋅23832⋅2388⋅2384⋅2381
≡ 335 ⋅ 256 ⋅ 481 ⋅ 372 ⋅ 238 mod 577
≡ 85760 ⋅ 481 ⋅ 372 ⋅ 238 mod 577 ≡ 364 ⋅ 481 ⋅ 372 ⋅ 238 mod 577
≡ 175084 ⋅ 372 ⋅ 238 mod 577 ≡ 253 ⋅ 372 ⋅ 238 mod 577
≡ 94116 ⋅ 238 mod 577 ≡ 65 ⋅ 238 mod 577
≡ 15470 mod 577 ≡ 468 mod 577
Es gilt also: 238109 ≡ 468 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59
| =>73 | = 1⋅59 + 14 |
| =>59 | = 4⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14) = 5⋅59 -21⋅ 14 (=1) |
| 14= 73-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59) = -21⋅73 +26⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59
oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅73 = +26⋅59
Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1
Somit 26⋅59 = 1 mod 73
26 ist also das Inverse von 59 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
