Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 157) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 157) mod 4 ≡ (123 mod 4 - 157 mod 4) mod 4.
123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
Somit gilt:
(123 - 157) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 21) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 21) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30132 mod 439.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 167 mod 439
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 232 mod 439
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 266 mod 439
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 77 mod 439
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 222 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 476184 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 490 mod 769
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 172 mod 769
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 362 mod 769
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 314 mod 769
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 164 mod 769
64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769
128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769
476184
= 476128+32+16+8
= 476128⋅47632⋅47616⋅4768
≡ 361 ⋅ 164 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769
≡ 59204 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769 ≡ 760 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769
≡ 238640 ⋅ 362 mod 769 ≡ 250 ⋅ 362 mod 769
≡ 90500 mod 769 ≡ 527 mod 769
Es gilt also: 476184 ≡ 527 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.