Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (299 + 126) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 + 126) mod 6 ≡ (299 mod 6 + 126 mod 6) mod 6.

299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 6 ⋅ 50 -1 = 6 ⋅ 50 - 6 + 5.

126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126 = 120+6 = 6 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(299 + 126) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 17) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 17) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 17) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6778 mod 887.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 677 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6771=677

2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 637 mod 887

4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 410 mod 887

8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 457 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 423142 mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 4231=423

2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 617 mod 719

4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 338 mod 719

8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 642 mod 719

16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 177 mod 719

32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 412 mod 719

64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 60 mod 719

128: 423128=42364+64=42364⋅42364 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 5 mod 719

423142

= 423128+8+4+2

= 423128⋅4238⋅4234⋅4232

5 ⋅ 642 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719
3210 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719 ≡ 334 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719
112892 ⋅ 617 mod 719 ≡ 9 ⋅ 617 mod 719
5553 mod 719 ≡ 520 mod 719

Es gilt also: 423142 ≡ 520 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89 = 1⋅46 + 43
=>46 = 1⋅43 + 3
=>43 = 14⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43)
= -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46)
= 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.