Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2499 + 1996) mod 5 ≡ (2499 mod 5 + 1996 mod 5) mod 5.

2499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2499 = 2400+99 = 5 ⋅ 480 +99.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

Somit gilt:

(2499 + 1996) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 70) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 70) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 500¹=500

2: 500²=500¹⁺¹=500¹⋅500¹ ≡ 500⋅500=250000 ≡ 549 mod 691

4: 500⁴=500²⁺²=500²⋅500² ≡ 549⋅549=301401 ≡ 125 mod 691

8: 500⁸=500⁴⁺⁴=500⁴⋅500⁴ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 423 mod 691

16: 500¹⁶=500⁸⁺⁸=500⁸⋅500⁸ ≡ 423⋅423=178929 ≡ 651 mod 691

32: 500³²=500¹⁶⁺¹⁶=500¹⁶⋅500¹⁶ ≡ 651⋅651=423801 ≡ 218 mod 691

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

444¹²³

= 444^{64+32+16+8+2+1}

= 444⁶⁴⋅444³²⋅444¹⁶⋅444⁸⋅444²⋅444¹

≡ 296 ⋅ 728 ⋅ 841 ⋅ 878 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907
≡ 215488 ⋅ 841 ⋅ 878 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907 ≡ 529 ⋅ 841 ⋅ 878 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907
≡ 444889 ⋅ 878 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907 ≡ 459 ⋅ 878 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907
≡ 403002 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907 ≡ 294 ⋅ 317 ⋅ 444 mod 907
≡ 93198 ⋅ 444 mod 907 ≡ 684 ⋅ 444 mod 907
≡ 303696 mod 907 ≡ 758 mod 907

Es gilt also: 444¹²³ ≡ 758 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

=>83	= 1⋅59 + 24
=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)
24= 83-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59) = 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59

oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅83 = +38⋅59

Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1

Somit 38⋅59 = 1 mod 83

38 ist also das Inverse von 59 mod 83