Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28006 + 6997) mod 7 ≡ (28006 mod 7 + 6997 mod 7) mod 7.

28006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28006 = 28000+6 = 7 ⋅ 4000 +6.

6997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6997 = 7000-3 = 7 ⋅ 1000 -3 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(28006 + 6997) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 60) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 60) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 309¹=309

2: 309²=309¹⁺¹=309¹⋅309¹ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 635 mod 1009

4: 309⁴=309²⁺²=309²⋅309² ≡ 635⋅635=403225 ≡ 634 mod 1009

8: 309⁸=309⁴⁺⁴=309⁴⋅309⁴ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 374 mod 1009

16: 309¹⁶=309⁸⁺⁸=309⁸⋅309⁸ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

32: 309³²=309¹⁶⁺¹⁶=309¹⁶⋅309¹⁶ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 374 mod 1009

64: 309⁶⁴=309³²⁺³²=309³²⋅309³² ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

320⁹⁴

= 320^64+16+8+4+2

= 320⁶⁴⋅320¹⁶⋅320⁸⋅320⁴⋅320²

≡ 25 ⋅ 176 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
≡ 4400 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449 ≡ 359 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
≡ 152216 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449 ≡ 5 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
≡ 1675 ⋅ 28 mod 449 ≡ 328 ⋅ 28 mod 449
≡ 9184 mod 449 ≡ 204 mod 449

Es gilt also: 320⁹⁴ ≡ 204 mod 449

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59