Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6002 + 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6002 + 57) mod 6 ≡ (6002 mod 6 + 57 mod 6) mod 6.
6002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002
= 6000
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
Somit gilt:
(6002 + 57) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 37) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 37) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 37) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21016 mod 647.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 104 mod 647
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 464 mod 647
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 492 mod 647
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 86 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 151232 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 37 mod 271
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 14 mod 271
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 271
16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
64: 15164=15132+32=15132⋅15132 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
128: 151128=15164+64=15164⋅15164 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 110 mod 271
151232
= 151128+64+32+8
= 151128⋅15164⋅15132⋅1518
≡ 110 ⋅ 129 ⋅ 20 ⋅ 196 mod 271
≡ 14190 ⋅ 20 ⋅ 196 mod 271 ≡ 98 ⋅ 20 ⋅ 196 mod 271
≡ 1960 ⋅ 196 mod 271 ≡ 63 ⋅ 196 mod 271
≡ 12348 mod 271 ≡ 153 mod 271
Es gilt also: 151232 ≡ 153 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.