Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (274 - 2796) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(274 - 2796) mod 7 ≡ (274 mod 7 - 2796 mod 7) mod 7.

274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 280-6 = 7 ⋅ 40 -6 = 7 ⋅ 40 - 7 + 1.

2796 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2796 = 2800-4 = 7 ⋅ 400 -4 = 7 ⋅ 400 - 7 + 3.

Somit gilt:

(274 - 2796) mod 7 ≡ (1 - 3) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 37) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 37) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 37 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 37) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20416 mod 439.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 204 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 350 mod 439

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 19 mod 439

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 439

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 377 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 195222 mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 96 mod 269

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 70 mod 269

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 58 mod 269

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 136 mod 269

32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 204 mod 269

64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 190 mod 269

128: 195128=19564+64=19564⋅19564 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 54 mod 269

195222

= 195128+64+16+8+4+2

= 195128⋅19564⋅19516⋅1958⋅1954⋅1952

54 ⋅ 190 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
10260 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 38 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
5168 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 57 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
3306 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 78 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
5460 ⋅ 96 mod 269 ≡ 80 ⋅ 96 mod 269
7680 mod 269 ≡ 148 mod 269

Es gilt also: 195222 ≡ 148 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71 = 2⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29)
= 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.