Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27002 - 27007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27002 - 27007) mod 9 ≡ (27002 mod 9 - 27007 mod 9) mod 9.
27002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27002
= 27000
27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007
= 27000
Somit gilt:
(27002 - 27007) mod 9 ≡ (2 - 7) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 77) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 77) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 77) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6018 mod 631.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6011=601
2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 269 mod 631
4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 427 mod 631
8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 601 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267122 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 124 mod 331
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 323 mod 331
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 64 mod 331
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 124 mod 331
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331
267122
= 26764+32+16+8+2
= 26764⋅26732⋅26716⋅2678⋅2672
≡ 150 ⋅ 124 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
≡ 18600 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331 ≡ 64 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
≡ 4096 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331 ≡ 124 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
≡ 40052 ⋅ 124 mod 331 ≡ 1 ⋅ 124 mod 331
≡ 124 mod 331
Es gilt also: 267122 ≡ 124 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.