Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1796 + 1199) mod 6 ≡ (1796 mod 6 + 1199 mod 6) mod 6.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 6 ⋅ 200 -1 = 6 ⋅ 200 - 6 + 5.

Somit gilt:

(1796 + 1199) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 76) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 76 mod 5) mod 5.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 76) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 639¹=639

2: 639²=639¹⁺¹=639¹⋅639¹ ≡ 639⋅639=408321 ≡ 177 mod 773

4: 639⁴=639²⁺²=639²⋅639² ≡ 177⋅177=31329 ≡ 409 mod 773

8: 639⁸=639⁴⁺⁴=639⁴⋅639⁴ ≡ 409⋅409=167281 ≡ 313 mod 773

16: 639¹⁶=639⁸⁺⁸=639⁸⋅639⁸ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 571 mod 773

32: 639³²=639¹⁶⁺¹⁶=639¹⁶⋅639¹⁶ ≡ 571⋅571=326041 ≡ 608 mod 773

64: 639⁶⁴=639³²⁺³²=639³²⋅639³² ≡ 608⋅608=369664 ≡ 170 mod 773

128: 639¹²⁸=639⁶⁴⁺⁶⁴=639⁶⁴⋅639⁶⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 299 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:

197 = 128+64+4+1

872¹⁹⁷

= 872^128+64+4+1

= 872¹²⁸⋅872⁶⁴⋅872⁴⋅872¹

≡ 944 ⋅ 510 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967
≡ 481440 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967 ≡ 841 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967
≡ 180815 ⋅ 872 mod 967 ≡ 953 ⋅ 872 mod 967
≡ 831016 mod 967 ≡ 363 mod 967

Es gilt also: 872¹⁹⁷ ≡ 363 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53

=>97	= 1⋅53 + 44
=>53	= 1⋅44 + 9
=>44	= 4⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44) = -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)
44= 97-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53) = 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53

oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅97 = +11⋅53

Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1

Somit 11⋅53 = 1 mod 97

11 ist also das Inverse von 53 mod 97