Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8005 + 168) mod 8 ≡ (8005 mod 8 + 168 mod 8) mod 8.

8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005 = 8000+5 = 8 ⋅ 1000 +5.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

Somit gilt:

(8005 + 168) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 65) mod 6 ≡ (82 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 65) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 517¹=517

2: 517²=517¹⁺¹=517¹⋅517¹ ≡ 517⋅517=267289 ≡ 21 mod 613

4: 517⁴=517²⁺²=517²⋅517² ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 613

8: 517⁸=517⁴⁺⁴=517⁴⋅517⁴ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 160 mod 613

16: 517¹⁶=517⁸⁺⁸=517⁸⋅517⁸ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 467 mod 613

32: 517³²=517¹⁶⁺¹⁶=517¹⁶⋅517¹⁶ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 474 mod 613

64: 517⁶⁴=517³²⁺³²=517³²⋅517³² ≡ 474⋅474=224676 ≡ 318 mod 613

128: 517¹²⁸=517⁶⁴⁺⁶⁴=517⁶⁴⋅517⁶⁴ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 592 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

514¹³⁹

= 514^128+8+2+1

= 514¹²⁸⋅514⁸⋅514²⋅514¹

≡ 11 ⋅ 494 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787
≡ 5434 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787 ≡ 712 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787
≡ 392312 ⋅ 514 mod 787 ≡ 386 ⋅ 514 mod 787
≡ 198404 mod 787 ≡ 80 mod 787

Es gilt also: 514¹³⁹ ≡ 80 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71	= 1⋅63 + 8
=>63	= 7⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63) = -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71