Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 + 31993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 + 31993) mod 8 ≡ (156 mod 8 + 31993 mod 8) mod 8.
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993
= 31000
Somit gilt:
(156 + 31993) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 43) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 43) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 126128 mod 307.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 126 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 219 mod 307
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 156 mod 307
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 83 mod 307
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 135 mod 307
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 112 mod 307
128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 264 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 187229 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
128: 187128=18764+64=18764⋅18764 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
187229
= 187128+64+32+4+1
= 187128⋅18764⋅18732⋅1874⋅1871
≡ 256 ⋅ 337 ⋅ 185 ⋅ 131 ⋅ 187 mod 353
≡ 86272 ⋅ 185 ⋅ 131 ⋅ 187 mod 353 ≡ 140 ⋅ 185 ⋅ 131 ⋅ 187 mod 353
≡ 25900 ⋅ 131 ⋅ 187 mod 353 ≡ 131 ⋅ 131 ⋅ 187 mod 353
≡ 17161 ⋅ 187 mod 353 ≡ 217 ⋅ 187 mod 353
≡ 40579 mod 353 ≡ 337 mod 353
Es gilt also: 187229 ≡ 337 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35
| =>61 | = 1⋅35 + 26 |
| =>35 | = 1⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1) |
| 26= 61-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35
oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅61 = +7⋅35
Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1
Somit 7⋅35 = 1 mod 61
7 ist also das Inverse von 35 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
