Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 + 11996) mod 4 ≡ (200 mod 4 + 11996 mod 4) mod 4.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 11000+996 = 4 ⋅ 2750 +996.

Somit gilt:

(200 + 11996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 30) mod 4 ≡ (62 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.

62 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 15 ⋅ 4 + 2 ist.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 30) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 525¹=525

2: 525²=525¹⁺¹=525¹⋅525¹ ≡ 525⋅525=275625 ≡ 433 mod 839

4: 525⁴=525²⁺²=525²⋅525² ≡ 433⋅433=187489 ≡ 392 mod 839

8: 525⁸=525⁴⁺⁴=525⁴⋅525⁴ ≡ 392⋅392=153664 ≡ 127 mod 839

16: 525¹⁶=525⁸⁺⁸=525⁸⋅525⁸ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 188 mod 839

32: 525³²=525¹⁶⁺¹⁶=525¹⁶⋅525¹⁶ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 106 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

194¹⁵⁷

= 194^128+16+8+4+1

= 194¹²⁸⋅194¹⁶⋅194⁸⋅194⁴⋅194¹

≡ 197 ⋅ 294 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 57918 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331 ≡ 324 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 8100 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331 ≡ 156 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 780 ⋅ 194 mod 331 ≡ 118 ⋅ 194 mod 331
≡ 22892 mod 331 ≡ 53 mod 331

Es gilt also: 194¹⁵⁷ ≡ 53 mod 331

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56

=>73	= 1⋅56 + 17
=>56	= 3⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 56-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1)
17= 73-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56) = 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +30⋅56

Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1

Somit 30⋅56 = 1 mod 73

30 ist also das Inverse von 56 mod 73