Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27002 + 3603) mod 9 ≡ (27002 mod 9 + 3603 mod 9) mod 9.

27002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27002 = 27000+2 = 9 ⋅ 3000 +2.

3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603 = 3600+3 = 9 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(27002 + 3603) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 48) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 48) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 273¹=273

2: 273²=273¹⁺¹=273¹⋅273¹ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 54 mod 331

4: 273⁴=273²⁺²=273²⋅273² ≡ 54⋅54=2916 ≡ 268 mod 331

8: 273⁸=273⁴⁺⁴=273⁴⋅273⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 328 mod 331

16: 273¹⁶=273⁸⁺⁸=273⁸⋅273⁸ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 9 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

192²²¹

= 192^{128+64+16+8+4+1}

= 192¹²⁸⋅192⁶⁴⋅192¹⁶⋅192⁸⋅192⁴⋅192¹

≡ 422 ⋅ 94 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 39668 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601 ≡ 2 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 12 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 3456 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601 ≡ 451 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 153791 ⋅ 192 mod 601 ≡ 536 ⋅ 192 mod 601
≡ 102912 mod 601 ≡ 141 mod 601

Es gilt also: 192²²¹ ≡ 141 mod 601

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53	= 1⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53