Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (247 - 15005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(247 - 15005) mod 5 ≡ (247 mod 5 - 15005 mod 5) mod 5.
247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005
= 15000
Somit gilt:
(247 - 15005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 43) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 43) mod 11 ≡ (22 mod 11 ⋅ 43 mod 11) mod 11.
22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 43) mod 11 ≡ (0 ⋅ 10) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1048 mod 239.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 104 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1041=104
2: 1042=1041+1=1041⋅1041 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 61 mod 239
4: 1044=1042+2=1042⋅1042 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 136 mod 239
8: 1048=1044+4=1044⋅1044 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 93 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 493234 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 638 mod 643
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 25 mod 643
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 643
16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 324 mod 643
32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 167 mod 643
64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 240 mod 643
128: 493128=49364+64=49364⋅49364 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 373 mod 643
493234
= 493128+64+32+8+2
= 493128⋅49364⋅49332⋅4938⋅4932
≡ 373 ⋅ 240 ⋅ 167 ⋅ 625 ⋅ 638 mod 643
≡ 89520 ⋅ 167 ⋅ 625 ⋅ 638 mod 643 ≡ 143 ⋅ 167 ⋅ 625 ⋅ 638 mod 643
≡ 23881 ⋅ 625 ⋅ 638 mod 643 ≡ 90 ⋅ 625 ⋅ 638 mod 643
≡ 56250 ⋅ 638 mod 643 ≡ 309 ⋅ 638 mod 643
≡ 197142 mod 643 ≡ 384 mod 643
Es gilt also: 493234 ≡ 384 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.