Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 15003) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 15003 mod 3) mod 3.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(301 - 15003) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 30) mod 4 ≡ (91 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 30) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 396¹=396

2: 396²=396¹⁺¹=396¹⋅396¹ ≡ 396⋅396=156816 ≡ 328 mod 631

4: 396⁴=396²⁺²=396²⋅396² ≡ 328⋅328=107584 ≡ 314 mod 631

8: 396⁸=396⁴⁺⁴=396⁴⋅396⁴ ≡ 314⋅314=98596 ≡ 160 mod 631

16: 396¹⁶=396⁸⁺⁸=396⁸⋅396⁸ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 360 mod 631

32: 396³²=396¹⁶⁺¹⁶=396¹⁶⋅396¹⁶ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 245 mod 631

64: 396⁶⁴=396³²⁺³²=396³²⋅396³² ≡ 245⋅245=60025 ≡ 80 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

752¹¹⁹

= 752^{64+32+16+4+2+1}

= 752⁶⁴⋅752³²⋅752¹⁶⋅752⁴⋅752²⋅752¹

≡ 66 ⋅ 783 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 51678 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 812 ⋅ 386 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 313432 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 343 ⋅ 488 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 167384 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877 ≡ 754 ⋅ 716 ⋅ 752 mod 877
≡ 539864 ⋅ 752 mod 877 ≡ 509 ⋅ 752 mod 877
≡ 382768 mod 877 ≡ 396 mod 877

Es gilt also: 752¹¹⁹ ≡ 396 mod 877

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49

=>89	= 1⋅49 + 40
=>49	= 1⋅40 + 9
=>40	= 4⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 49-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40) = -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1)
40= 89-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49) = 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +20⋅49

Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1

Somit 20⋅49 = 1 mod 89

20 ist also das Inverse von 49 mod 89