Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1203 + 8997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1203 + 8997) mod 3 ≡ (1203 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.
1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
Somit gilt:
(1203 + 8997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 75) mod 8 ≡ (67 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 75) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55532 mod 691.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 555 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5551=555
2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 530 mod 691
4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 354 mod 691
8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 245 mod 691
16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 599 mod 691
32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 172 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 903240 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 9031=903
2: 9032=9031+1=9031⋅9031 ≡ 903⋅903=815409 ≡ 807 mod 991
4: 9034=9032+2=9032⋅9032 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 162 mod 991
8: 9038=9034+4=9034⋅9034 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 478 mod 991
16: 90316=9038+8=9038⋅9038 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 554 mod 991
32: 90332=90316+16=90316⋅90316 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 697 mod 991
64: 90364=90332+32=90332⋅90332 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 219 mod 991
128: 903128=90364+64=90364⋅90364 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 393 mod 991
903240
= 903128+64+32+16
= 903128⋅90364⋅90332⋅90316
≡ 393 ⋅ 219 ⋅ 697 ⋅ 554 mod 991
≡ 86067 ⋅ 697 ⋅ 554 mod 991 ≡ 841 ⋅ 697 ⋅ 554 mod 991
≡ 586177 ⋅ 554 mod 991 ≡ 496 ⋅ 554 mod 991
≡ 274784 mod 991 ≡ 277 mod 991
Es gilt also: 903240 ≡ 277 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.