Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(285 + 2799) mod 7 ≡ (285 mod 7 + 2799 mod 7) mod 7.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

2799 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2799 = 2800-1 = 7 ⋅ 400 -1 = 7 ⋅ 400 - 7 + 6.

Somit gilt:

(285 + 2799) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 62) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 62) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 223¹=223

2: 223²=223¹⁺¹=223¹⋅223¹ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 154 mod 661

4: 223⁴=223²⁺²=223²⋅223² ≡ 154⋅154=23716 ≡ 581 mod 661

8: 223⁸=223⁴⁺⁴=223⁴⋅223⁴ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 451 mod 661

16: 223¹⁶=223⁸⁺⁸=223⁸⋅223⁸ ≡ 451⋅451=203401 ≡ 474 mod 661

32: 223³²=223¹⁶⁺¹⁶=223¹⁶⋅223¹⁶ ≡ 474⋅474=224676 ≡ 597 mod 661

64: 223⁶⁴=223³²⁺³²=223³²⋅223³² ≡ 597⋅597=356409 ≡ 130 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

538¹⁶⁶

= 538^128+32+4+2

= 538¹²⁸⋅538³²⋅538⁴⋅538²

≡ 97 ⋅ 519 ⋅ 151 ⋅ 446 mod 631
≡ 50343 ⋅ 151 ⋅ 446 mod 631 ≡ 494 ⋅ 151 ⋅ 446 mod 631
≡ 74594 ⋅ 446 mod 631 ≡ 136 ⋅ 446 mod 631
≡ 60656 mod 631 ≡ 80 mod 631

Es gilt also: 538¹⁶⁶ ≡ 80 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79	= 1⋅68 + 11
=>68	= 6⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68) = -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79