Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (146 + 5002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(146 + 5002) mod 5 ≡ (146 mod 5 + 5002 mod 5) mod 5.
146 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146
= 140
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
Somit gilt:
(146 + 5002) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 47) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 47) mod 8 ≡ (55 mod 8 ⋅ 47 mod 8) mod 8.
55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 47) mod 8 ≡ (7 ⋅ 7) mod 8 ≡ 49 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3498 mod 487.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 51 mod 487
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 166 mod 487
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 284 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30085 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 790 mod 811
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 441 mod 811
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 652 mod 811
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 140 mod 811
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 136 mod 811
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 654 mod 811
30085
= 30064+16+4+1
= 30064⋅30016⋅3004⋅3001
≡ 654 ⋅ 140 ⋅ 441 ⋅ 300 mod 811
≡ 91560 ⋅ 441 ⋅ 300 mod 811 ≡ 728 ⋅ 441 ⋅ 300 mod 811
≡ 321048 ⋅ 300 mod 811 ≡ 703 ⋅ 300 mod 811
≡ 210900 mod 811 ≡ 40 mod 811
Es gilt also: 30085 ≡ 40 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.