Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7999 + 20000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 20000) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(7999 + 20000) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 42) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 42) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 42) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2378 mod 251.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 196 mod 251

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 13 mod 251

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 430255 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 4301=430

2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 481 mod 661

4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 11 mod 661

8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 661

16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 99 mod 661

32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 547 mod 661

64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 437 mod 661

128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 601 mod 661

430255

= 430128+64+32+16+8+4+2+1

= 430128⋅43064⋅43032⋅43016⋅4308⋅4304⋅4302⋅4301

601 ⋅ 437 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
262637 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 220 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
120340 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 38 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
3762 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 457 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
55297 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 434 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
4774 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 147 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
70707 ⋅ 430 mod 661 ≡ 641 ⋅ 430 mod 661
275630 mod 661 ≡ 654 mod 661

Es gilt also: 430255 ≡ 654 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.