Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1396 + 28007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1396 + 28007) mod 7 ≡ (1396 mod 7 + 28007 mod 7) mod 7.
1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396
= 1400
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
Somit gilt:
(1396 + 28007) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 44) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 44) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 44) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28416 mod 563.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 147 mod 563
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 215 mod 563
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 59 mod 563
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 103 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 771153 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 7711=771
2: 7712=7711+1=7711⋅7711 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 256 mod 787
4: 7714=7712+2=7712⋅7712 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 215 mod 787
8: 7718=7714+4=7714⋅7714 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 579 mod 787
16: 77116=7718+8=7718⋅7718 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 766 mod 787
32: 77132=77116+16=77116⋅77116 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 441 mod 787
64: 77164=77132+32=77132⋅77132 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 92 mod 787
128: 771128=77164+64=77164⋅77164 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 594 mod 787
771153
= 771128+16+8+1
= 771128⋅77116⋅7718⋅7711
≡ 594 ⋅ 766 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787
≡ 455004 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787 ≡ 118 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787
≡ 68322 ⋅ 771 mod 787 ≡ 640 ⋅ 771 mod 787
≡ 493440 mod 787 ≡ 778 mod 787
Es gilt also: 771153 ≡ 778 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.