Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2707 - 3598) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2707 - 3598) mod 9 ≡ (2707 mod 9 - 3598 mod 9) mod 9.

2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707 = 2700+7 = 9 ⋅ 300 +7.

3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598 = 3600-2 = 9 ⋅ 400 -2 = 9 ⋅ 400 - 9 + 7.

Somit gilt:

(2707 - 3598) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 84) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 84) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 84) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20232 mod 613.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2021=202

2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 346 mod 613

4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 181 mod 613

8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 272 mod 613

16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 424 mod 613

32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 167 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 141212 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 1411=141

2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 187 mod 229

4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 161 mod 229

8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229

16: 14116=1418+8=1418⋅1418 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229

32: 14132=14116+16=14116⋅14116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 53 mod 229

64: 14164=14132+32=14132⋅14132 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 61 mod 229

128: 141128=14164+64=14164⋅14164 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 57 mod 229

141212

= 141128+64+16+4

= 141128⋅14164⋅14116⋅1414

57 ⋅ 61 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229
3477 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229 ≡ 42 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229
4368 ⋅ 161 mod 229 ≡ 17 ⋅ 161 mod 229
2737 mod 229 ≡ 218 mod 229

Es gilt also: 141212 ≡ 218 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

=>97 = 2⋅40 + 17
=>40 = 2⋅17 + 6
=>17 = 2⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 17-2⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6)
= -1⋅17 +3⋅ 6 (=1)
6= 40-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17)
= 3⋅40 -7⋅ 17 (=1)
17= 97-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40)
= -7⋅97 +17⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +17⋅40

Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1

Somit 17⋅40 = 1 mod 97

17 ist also das Inverse von 40 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.