Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18003 + 121) mod 6 ≡ (18003 mod 6 + 121 mod 6) mod 6.

18003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003 = 18000+3 = 6 ⋅ 3000 +3.

121 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 6 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(18003 + 121) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 46) mod 5 ≡ (80 mod 5 ⋅ 46 mod 5) mod 5.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 46) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 189¹=189

2: 189²=189¹⁺¹=189¹⋅189¹ ≡ 189⋅189=35721 ≡ 109 mod 307

4: 189⁴=189²⁺²=189²⋅189² ≡ 109⋅109=11881 ≡ 215 mod 307

8: 189⁸=189⁴⁺⁴=189⁴⋅189⁴ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 175 mod 307

16: 189¹⁶=189⁸⁺⁸=189⁸⋅189⁸ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 232 mod 307

32: 189³²=189¹⁶⁺¹⁶=189¹⁶⋅189¹⁶ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 99 mod 307

64: 189⁶⁴=189³²⁺³²=189³²⋅189³² ≡ 99⋅99=9801 ≡ 284 mod 307

128: 189¹²⁸=189⁶⁴⁺⁶⁴=189⁶⁴⋅189⁶⁴ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 222 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

321²³⁴

= 321^{128+64+32+8+2}

= 321¹²⁸⋅321⁶⁴⋅321³²⋅321⁸⋅321²

≡ 322 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 200 ⋅ 281 mod 367
≡ 26082 ⋅ 9 ⋅ 200 ⋅ 281 mod 367 ≡ 25 ⋅ 9 ⋅ 200 ⋅ 281 mod 367
≡ 225 ⋅ 200 ⋅ 281 mod 367
≡ 45000 ⋅ 281 mod 367 ≡ 226 ⋅ 281 mod 367
≡ 63506 mod 367 ≡ 15 mod 367

Es gilt also: 321²³⁴ ≡ 15 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53	= 1⋅44 + 9
=>44	= 4⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44) = -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53