Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (119 - 402) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(119 - 402) mod 4 ≡ (119 mod 4 - 402 mod 4) mod 4.
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(119 - 402) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 42) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 42) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 42 mod 9) mod 9.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 42) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34032 mod 421.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 340 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 246 mod 421
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 313 mod 421
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 297 mod 421
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 220 mod 421
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 406 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 454142 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 4541=454
2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 646 mod 761
4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 288 mod 761
8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 756 mod 761
16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 25 mod 761
32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 761
64: 45464=45432+32=45432⋅45432 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 232 mod 761
128: 454128=45464+64=45464⋅45464 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 554 mod 761
454142
= 454128+8+4+2
= 454128⋅4548⋅4544⋅4542
≡ 554 ⋅ 756 ⋅ 288 ⋅ 646 mod 761
≡ 418824 ⋅ 288 ⋅ 646 mod 761 ≡ 274 ⋅ 288 ⋅ 646 mod 761
≡ 78912 ⋅ 646 mod 761 ≡ 529 ⋅ 646 mod 761
≡ 341734 mod 761 ≡ 45 mod 761
Es gilt also: 454142 ≡ 45 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
| =>97 | = 1⋅64 + 33 |
| =>64 | = 1⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
| 33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.