Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2700 + 361) mod 9 ≡ (2700 mod 9 + 361 mod 9) mod 9.

2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700 = 2700+0 = 9 ⋅ 300 +0.

361 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 361 = 360+1 = 9 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(2700 + 361) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 61) mod 10 ≡ (71 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 61) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 113¹=113

2: 113²=113¹⁺¹=113¹⋅113¹ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 174 mod 229

4: 113⁴=113²⁺²=113²⋅113² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 48 mod 229

8: 113⁸=113⁴⁺⁴=113⁴⋅113⁴ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

313²⁴⁷

= 313^{128+64+32+16+4+2+1}

= 313¹²⁸⋅313⁶⁴⋅313³²⋅313¹⁶⋅313⁴⋅313²⋅313¹

≡ 113 ⋅ 279 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
≡ 31527 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 297 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
≡ 19008 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 270 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
≡ 91530 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 269 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
≡ 10491 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 81 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
≡ 9315 ⋅ 313 mod 347 ≡ 293 ⋅ 313 mod 347
≡ 91709 mod 347 ≡ 101 mod 347

Es gilt also: 313²⁴⁷ ≡ 101 mod 347

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 41

=>89	= 2⋅41 + 7
=>41	= 5⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 89-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅41 +6⋅(89 -2⋅ 41) = -1⋅41 +6⋅89 -12⋅ 41) = 6⋅89 -13⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(89,41)=1 = 6⋅89 -13⋅41

oder wenn man 6⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅89 = -13⋅41

-13⋅41 = -6⋅89 + 1 |+89⋅41

-13⋅41 + 89⋅41 = -6⋅89 + 89⋅41 + 1

(-13 + 89) ⋅ 41 = (-6 + 41) ⋅ 89 + 1

76⋅41 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 76⋅41 = 35⋅89 +1

Somit 76⋅41 = 1 mod 89

76 ist also das Inverse von 41 mod 89