Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 + 41) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 + 41) mod 4 ≡ (197 mod 4 + 41 mod 4) mod 4.
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41
= 40
Somit gilt:
(197 + 41) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 20) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 20) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 20) mod 10 ≡ (8 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4638 mod 769.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 587 mod 769
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 57 mod 769
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 173 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 197170 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1971=197
2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 108 mod 229
4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 214 mod 229
8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 225 mod 229
16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 16 mod 229
32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 27 mod 229
64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 27⋅27=729 ≡ 42 mod 229
128: 197128=19764+64=19764⋅19764 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229
197170
= 197128+32+8+2
= 197128⋅19732⋅1978⋅1972
≡ 161 ⋅ 27 ⋅ 225 ⋅ 108 mod 229
≡ 4347 ⋅ 225 ⋅ 108 mod 229 ≡ 225 ⋅ 225 ⋅ 108 mod 229
≡ 50625 ⋅ 108 mod 229 ≡ 16 ⋅ 108 mod 229
≡ 1728 mod 229 ≡ 125 mod 229
Es gilt also: 197170 ≡ 125 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.