Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 + 25001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 + 25001) mod 5 ≡ (98 mod 5 + 25001 mod 5) mod 5.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98
= 90
25001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25001
= 25000
Somit gilt:
(98 + 25001) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 39) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 39) mod 3 ≡ (22 mod 3 ⋅ 39 mod 3) mod 3.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 39) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45864 mod 971.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 458 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 28 mod 971
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 971
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 13 mod 971
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 971
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 402 mod 971
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 418 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318254 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 40 mod 683
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 234 mod 683
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 116 mod 683
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 479 mod 683
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 636 mod 683
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 160 mod 683
128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 329 mod 683
318254
= 318128+64+32+16+8+4+2
= 318128⋅31864⋅31832⋅31816⋅3188⋅3184⋅3182
≡ 329 ⋅ 160 ⋅ 636 ⋅ 479 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683
≡ 52640 ⋅ 636 ⋅ 479 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683 ≡ 49 ⋅ 636 ⋅ 479 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683
≡ 31164 ⋅ 479 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683 ≡ 429 ⋅ 479 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683
≡ 205491 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683 ≡ 591 ⋅ 116 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683
≡ 68556 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683 ≡ 256 ⋅ 234 ⋅ 40 mod 683
≡ 59904 ⋅ 40 mod 683 ≡ 483 ⋅ 40 mod 683
≡ 19320 mod 683 ≡ 196 mod 683
Es gilt also: 318254 ≡ 196 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
