Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1204 - 4004) mod 4 ≡ (1204 mod 4 - 4004 mod 4) mod 4.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 4 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(1204 - 4004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 36) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 36) mod 11 ≡ (7 ⋅ 3) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 639¹=639

2: 639²=639¹⁺¹=639¹⋅639¹ ≡ 639⋅639=408321 ≡ 339 mod 701

4: 639⁴=639²⁺²=639²⋅639² ≡ 339⋅339=114921 ≡ 658 mod 701

8: 639⁸=639⁴⁺⁴=639⁴⋅639⁴ ≡ 658⋅658=432964 ≡ 447 mod 701

16: 639¹⁶=639⁸⁺⁸=639⁸⋅639⁸ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 24 mod 701

32: 639³²=639¹⁶⁺¹⁶=639¹⁶⋅639¹⁶ ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

349²³⁴

= 349^{128+64+32+8+2}

= 349¹²⁸⋅349⁶⁴⋅349³²⋅349⁸⋅349²

≡ 56 ⋅ 183 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 10248 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499 ≡ 268 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 75576 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499 ≡ 227 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 77634 ⋅ 45 mod 499 ≡ 289 ⋅ 45 mod 499
≡ 13005 mod 499 ≡ 31 mod 499

Es gilt also: 349²³⁴ ≡ 31 mod 499

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44

=>97	= 2⋅44 + 9
=>44	= 4⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 97-2⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44) = -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44

oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅97 = -11⋅44

-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44

-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1

(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1

86⋅44 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1

Somit 86⋅44 = 1 mod 97

86 ist also das Inverse von 44 mod 97