Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28005 - 215) mod 7 ≡ (28005 mod 7 - 215 mod 7) mod 7.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215 = 210+5 = 7 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(28005 - 215) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 88) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 88 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 88) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 285¹=285

2: 285²=285¹⁺¹=285¹⋅285¹ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 583 mod 661

4: 285⁴=285²⁺²=285²⋅285² ≡ 583⋅583=339889 ≡ 135 mod 661

8: 285⁸=285⁴⁺⁴=285⁴⋅285⁴ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 378 mod 661

16: 285¹⁶=285⁸⁺⁸=285⁸⋅285⁸ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 108 mod 661

32: 285³²=285¹⁶⁺¹⁶=285¹⁶⋅285¹⁶ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 427 mod 661

64: 285⁶⁴=285³²⁺³²=285³²⋅285³² ≡ 427⋅427=182329 ≡ 554 mod 661

128: 285¹²⁸=285⁶⁴⁺⁶⁴=285⁶⁴⋅285⁶⁴ ≡ 554⋅554=306916 ≡ 212 mod 661

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

74²⁰⁷

= 74^{128+64+8+4+2+1}

= 74¹²⁸⋅74⁶⁴⋅74⁸⋅74⁴⋅74²⋅74¹

≡ 94 ⋅ 24 ⋅ 147 ⋅ 151 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241
≡ 2256 ⋅ 147 ⋅ 151 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241 ≡ 87 ⋅ 147 ⋅ 151 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241
≡ 12789 ⋅ 151 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241 ≡ 16 ⋅ 151 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241
≡ 2416 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241 ≡ 6 ⋅ 174 ⋅ 74 mod 241
≡ 1044 ⋅ 74 mod 241 ≡ 80 ⋅ 74 mod 241
≡ 5920 mod 241 ≡ 136 mod 241

Es gilt also: 74²⁰⁷ ≡ 136 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61