Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (176 - 90) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 90) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 90 mod 9) mod 9.

176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 9 ⋅ 20 -4 = 9 ⋅ 20 - 9 + 5.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 9 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(176 - 90) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 66) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 66) mod 8 ≡ (25 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 66) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51616 mod 947.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 516 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5161=516

2: 5162=5161+1=5161⋅5161 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 149 mod 947

4: 5164=5162+2=5162⋅5162 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 420 mod 947

8: 5168=5164+4=5164⋅5164 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 258 mod 947

16: 51616=5168+8=5168⋅5168 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 274 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 248254 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 2481=248

2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 237 mod 311

4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311

8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311

248254

= 248128+64+32+16+8+4+2

= 248128⋅24864⋅24832⋅24816⋅2488⋅2484⋅2482

273 ⋅ 178 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
48594 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 78 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
18330 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 292 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
20440 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 225 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
60075 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 52 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
9828 ⋅ 237 mod 311 ≡ 187 ⋅ 237 mod 311
44319 mod 311 ≡ 157 mod 311

Es gilt also: 248254 ≡ 157 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44

=>79 = 1⋅44 + 35
=>44 = 1⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 44-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35)
= 4⋅44 -5⋅ 35 (=1)
35= 79-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44)
= -5⋅79 +9⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +9⋅44

Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1

Somit 9⋅44 = 1 mod 79

9 ist also das Inverse von 44 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.