Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36003 - 9004) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36003 - 9004) mod 9 ≡ (36003 mod 9 - 9004 mod 9) mod 9.
36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003
= 36000
9004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9004
= 9000
Somit gilt:
(36003 - 9004) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 79) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 79) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 79 mod 10) mod 10.
26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.
79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 79) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13516 mod 223.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1351=135
2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 162 mod 223
4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 153 mod 223
8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 217 mod 223
16: 13516=1358+8=1358⋅1358 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 504115 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 40 mod 599
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 402 mod 599
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 473 mod 599
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 302 mod 599
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 156 mod 599
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 376 mod 599
504115
= 50464+32+16+2+1
= 50464⋅50432⋅50416⋅5042⋅5041
≡ 376 ⋅ 156 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
≡ 58656 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599 ≡ 553 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
≡ 167006 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599 ≡ 484 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
≡ 19360 ⋅ 504 mod 599 ≡ 192 ⋅ 504 mod 599
≡ 96768 mod 599 ≡ 329 mod 599
Es gilt also: 504115 ≡ 329 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.