Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35007 + 217) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35007 + 217) mod 7 ≡ (35007 mod 7 + 217 mod 7) mod 7.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(35007 + 217) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 83) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 83) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4908 mod 883.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 490 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4901=490

2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 807 mod 883

4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 478 mod 883

8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 670 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 286164 mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 39 mod 331

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 197 mod 331

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 82 mod 331

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 104 mod 331

32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 224 mod 331

64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 195 mod 331

128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331

286164

= 286128+32+4

= 286128⋅28632⋅2864

291 ⋅ 224 ⋅ 197 mod 331
65184 ⋅ 197 mod 331 ≡ 308 ⋅ 197 mod 331
60676 mod 331 ≡ 103 mod 331

Es gilt also: 286164 ≡ 103 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31

=>97 = 3⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 97-3⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31)
= 8⋅97 -25⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31

oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅97 = -25⋅31

-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31

-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1

(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1

72⋅31 = 23⋅97 + 1

Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1

Somit 72⋅31 = 1 mod 97

72 ist also das Inverse von 31 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.