Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (152 + 241) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 + 241) mod 8 ≡ (152 mod 8 + 241 mod 8) mod 8.

152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 160-8 = 8 ⋅ 20 -8 = 8 ⋅ 20 - 8 + 0.

241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 8 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(152 + 241) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45232 mod 463.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4521=452

2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 121 mod 463

4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 288 mod 463

8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 67 mod 463

16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 322 mod 463

32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 435 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 267200 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 2671=267

2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 90 mod 293

4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 189 mod 293

8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 268 mod 293

16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 39 mod 293

32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293

64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293

128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293

267200

= 267128+64+8

= 267128⋅26764⋅2678

244 ⋅ 206 ⋅ 268 mod 293
50264 ⋅ 268 mod 293 ≡ 161 ⋅ 268 mod 293
43148 mod 293 ≡ 77 mod 293

Es gilt also: 267200 ≡ 77 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89 = 1⋅76 + 13
=>76 = 5⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13)
= 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76)
= -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.