Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2695 + 3591) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2695 + 3591) mod 9 ≡ (2695 mod 9 + 3591 mod 9) mod 9.
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
3591 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3591
= 3600
Somit gilt:
(2695 + 3591) mod 9 ≡ (4 + 0) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 96) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 96) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 96) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71616 mod 877.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 716 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7161=716
2: 7162=7161+1=7161⋅7161 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 488 mod 877
4: 7164=7162+2=7162⋅7162 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 477 mod 877
8: 7168=7164+4=7164⋅7164 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 386 mod 877
16: 71616=7168+8=7168⋅7168 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 783 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 448129 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 4481=448
2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 574 mod 953
4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 691 mod 953
8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 28 mod 953
16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 953
32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 924 mod 953
64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 924⋅924=853776 ≡ 841 mod 953
128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 155 mod 953
448129
= 448128+1
= 448128⋅4481
≡ 155 ⋅ 448 mod 953
≡ 69440 mod 953 ≡ 824 mod 953
Es gilt also: 448129 ≡ 824 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.