Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23993 + 395) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23993 + 395) mod 8 ≡ (23993 mod 8 + 395 mod 8) mod 8.
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 395
= 400
Somit gilt:
(23993 + 395) mod 8 ≡ (1 + 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 80) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 80) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 80 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 80) mod 11 ≡ (2 ⋅ 3) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21416 mod 227.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 169 mod 227
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 186 mod 227
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 92 mod 227
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 65 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214108 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 422 mod 463
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 292 mod 463
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 72 mod 463
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 91 mod 463
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 410 mod 463
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 31 mod 463
214108
= 21464+32+8+4
= 21464⋅21432⋅2148⋅2144
≡ 31 ⋅ 410 ⋅ 72 ⋅ 292 mod 463
≡ 12710 ⋅ 72 ⋅ 292 mod 463 ≡ 209 ⋅ 72 ⋅ 292 mod 463
≡ 15048 ⋅ 292 mod 463 ≡ 232 ⋅ 292 mod 463
≡ 67744 mod 463 ≡ 146 mod 463
Es gilt also: 214108 ≡ 146 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.