Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2807 - 348) mod 7 ≡ (2807 mod 7 - 348 mod 7) mod 7.

2807 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2807 = 2800+7 = 7 ⋅ 400 +7.

348 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 348 = 350-2 = 7 ⋅ 50 -2 = 7 ⋅ 50 - 7 + 5.

Somit gilt:

(2807 - 348) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 43) mod 9 ≡ (68 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.

68 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 7 ⋅ 9 + 5 ist.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 43) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 338¹=338

2: 338²=338¹⁺¹=338¹⋅338¹ ≡ 338⋅338=114244 ≡ 59 mod 557

4: 338⁴=338²⁺²=338²⋅338² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 139 mod 557

8: 338⁸=338⁴⁺⁴=338⁴⋅338⁴ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 383 mod 557

16: 338¹⁶=338⁸⁺⁸=338⁸⋅338⁸ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 198 mod 557

32: 338³²=338¹⁶⁺¹⁶=338¹⁶⋅338¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 214 mod 557

64: 338⁶⁴=338³²⁺³²=338³²⋅338³² ≡ 214⋅214=45796 ≡ 122 mod 557

128: 338¹²⁸=338⁶⁴⁺⁶⁴=338⁶⁴⋅338⁶⁴ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 402 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

452¹⁷⁰

= 452^128+32+8+2

= 452¹²⁸⋅452³²⋅452⁸⋅452²

≡ 13 ⋅ 511 ⋅ 497 ⋅ 457 mod 571
≡ 6643 ⋅ 497 ⋅ 457 mod 571 ≡ 362 ⋅ 497 ⋅ 457 mod 571
≡ 179914 ⋅ 457 mod 571 ≡ 49 ⋅ 457 mod 571
≡ 22393 mod 571 ≡ 124 mod 571

Es gilt also: 452¹⁷⁰ ≡ 124 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89