Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3199 - 804) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3199 - 804) mod 8 ≡ (3199 mod 8 - 804 mod 8) mod 8.
3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199
= 3200
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(3199 - 804) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 100) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 100) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 100 mod 7) mod 7.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 100) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44164 mod 823.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 253 mod 823
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 638 mod 823
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 482 mod 823
16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 238 mod 823
32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 680 mod 823
64: 44164=44132+32=44132⋅44132 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 697 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 496198 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 4961=496
2: 4962=4961+1=4961⋅4961 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 514 mod 593
4: 4964=4962+2=4962⋅4962 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 311 mod 593
8: 4968=4964+4=4964⋅4964 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593
16: 49616=4968+8=4968⋅4968 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593
32: 49632=49616+16=49616⋅49616 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593
64: 49664=49632+32=49632⋅49632 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593
128: 496128=49664+64=49664⋅49664 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593
496198
= 496128+64+4+2
= 496128⋅49664⋅4964⋅4962
≡ 148 ⋅ 258 ⋅ 311 ⋅ 514 mod 593
≡ 38184 ⋅ 311 ⋅ 514 mod 593 ≡ 232 ⋅ 311 ⋅ 514 mod 593
≡ 72152 ⋅ 514 mod 593 ≡ 399 ⋅ 514 mod 593
≡ 205086 mod 593 ≡ 501 mod 593
Es gilt also: 496198 ≡ 501 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.