Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 - 496) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 - 496) mod 5 ≡ (50 mod 5 - 496 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50
= 50
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
Somit gilt:
(50 - 496) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 90) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 90 mod 3) mod 3.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 90) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 170128 mod 367.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 274 mod 367
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 208 mod 367
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 325 mod 367
16: 17016=1708+8=1708⋅1708 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 296 mod 367
32: 17032=17016+16=17016⋅17016 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 270 mod 367
64: 17064=17032+32=17032⋅17032 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 234 mod 367
128: 170128=17064+64=17064⋅17064 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 73 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 233194 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 56 mod 281
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 45 mod 281
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 58 mod 281
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 162 mod 281
128: 233128=23364+64=23364⋅23364 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281
233194
= 233128+64+2
= 233128⋅23364⋅2332
≡ 111 ⋅ 162 ⋅ 56 mod 281
≡ 17982 ⋅ 56 mod 281 ≡ 279 ⋅ 56 mod 281
≡ 15624 mod 281 ≡ 169 mod 281
Es gilt also: 233194 ≡ 169 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.