Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (452 + 18003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(452 + 18003) mod 9 ≡ (452 mod 9 + 18003 mod 9) mod 9.
452 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 452
= 450
18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
Somit gilt:
(452 + 18003) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 49) mod 3 ≡ (74 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 49) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24364 mod 389.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 310 mod 389
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 17 mod 389
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 159 mod 389
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 385 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 489159 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 4891=489
2: 4892=4891+1=4891⋅4891 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 687 mod 811
4: 4894=4892+2=4892⋅4892 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 778 mod 811
8: 4898=4894+4=4894⋅4894 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 278 mod 811
16: 48916=4898+8=4898⋅4898 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 239 mod 811
32: 48932=48916+16=48916⋅48916 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 351 mod 811
64: 48964=48932+32=48932⋅48932 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 740 mod 811
128: 489128=48964+64=48964⋅48964 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 175 mod 811
489159
= 489128+16+8+4+2+1
= 489128⋅48916⋅4898⋅4894⋅4892⋅4891
≡ 175 ⋅ 239 ⋅ 278 ⋅ 778 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811
≡ 41825 ⋅ 278 ⋅ 778 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811 ≡ 464 ⋅ 278 ⋅ 778 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811
≡ 128992 ⋅ 778 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811 ≡ 43 ⋅ 778 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811
≡ 33454 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811 ≡ 203 ⋅ 687 ⋅ 489 mod 811
≡ 139461 ⋅ 489 mod 811 ≡ 780 ⋅ 489 mod 811
≡ 381420 mod 811 ≡ 250 mod 811
Es gilt also: 489159 ≡ 250 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
