Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2707 - 3598) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2707 - 3598) mod 9 ≡ (2707 mod 9 - 3598 mod 9) mod 9.
2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707
= 2700
3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598
= 3600
Somit gilt:
(2707 - 3598) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 84) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 84) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.
55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 84) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20232 mod 613.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 346 mod 613
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 181 mod 613
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 272 mod 613
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 424 mod 613
32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 167 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 141212 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 1411=141
2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 187 mod 229
4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 161 mod 229
8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229
16: 14116=1418+8=1418⋅1418 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229
32: 14132=14116+16=14116⋅14116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 53 mod 229
64: 14164=14132+32=14132⋅14132 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 61 mod 229
128: 141128=14164+64=14164⋅14164 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 57 mod 229
141212
= 141128+64+16+4
= 141128⋅14164⋅14116⋅1414
≡ 57 ⋅ 61 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229
≡ 3477 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229 ≡ 42 ⋅ 104 ⋅ 161 mod 229
≡ 4368 ⋅ 161 mod 229 ≡ 17 ⋅ 161 mod 229
≡ 2737 mod 229 ≡ 218 mod 229
Es gilt also: 141212 ≡ 218 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.