Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 + 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 + 30) mod 3 ≡ (601 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
Somit gilt:
(601 + 30) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 37) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 37) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 37 mod 10) mod 10.
38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.
37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 37) mod 10 ≡ (8 ⋅ 7) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3278 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 306 mod 359
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 296 mod 359
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 20 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 293153 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 2931=293
2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 339 mod 503
4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 237 mod 503
8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 336 mod 503
16: 29316=2938+8=2938⋅2938 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 224 mod 503
32: 29332=29316+16=29316⋅29316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 379 mod 503
64: 29364=29332+32=29332⋅29332 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 286 mod 503
128: 293128=29364+64=29364⋅29364 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 310 mod 503
293153
= 293128+16+8+1
= 293128⋅29316⋅2938⋅2931
≡ 310 ⋅ 224 ⋅ 336 ⋅ 293 mod 503
≡ 69440 ⋅ 336 ⋅ 293 mod 503 ≡ 26 ⋅ 336 ⋅ 293 mod 503
≡ 8736 ⋅ 293 mod 503 ≡ 185 ⋅ 293 mod 503
≡ 54205 mod 503 ≡ 384 mod 503
Es gilt also: 293153 ≡ 384 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40
| =>61 | = 1⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 61-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40) = -19⋅61 +29⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40
oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅61 = +29⋅40
Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1
Somit 29⋅40 = 1 mod 61
29 ist also das Inverse von 40 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.