Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (320 - 23993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(320 - 23993) mod 8 ≡ (320 mod 8 - 23993 mod 8) mod 8.
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
Somit gilt:
(320 - 23993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 17) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 17) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 17) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12816 mod 313.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 128 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1281=128
2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 108 mod 313
4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 83 mod 313
8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 390240 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 49 mod 397
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 19 mod 397
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 397
16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397
32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 306 mod 397
64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 341 mod 397
128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 357 mod 397
390240
= 390128+64+32+16
= 390128⋅39064⋅39032⋅39016
≡ 357 ⋅ 341 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397
≡ 121737 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397 ≡ 255 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397
≡ 78030 ⋅ 105 mod 397 ≡ 218 ⋅ 105 mod 397
≡ 22890 mod 397 ≡ 261 mod 397
Es gilt also: 390240 ≡ 261 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.