Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 80) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.
15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(15997 - 80) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 93) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 93) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3938 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 393 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3931=393
2: 3932=3931+1=3931⋅3931 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 189 mod 857
4: 3934=3932+2=3932⋅3932 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 584 mod 857
8: 3938=3934+4=3934⋅3934 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 827 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241225 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 221 mod 263
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 186 mod 263
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 143 mod 263
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 198 mod 263
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 17 mod 263
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 17⋅17=289 ≡ 26 mod 263
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 26⋅26=676 ≡ 150 mod 263
241225
= 241128+64+32+1
= 241128⋅24164⋅24132⋅2411
≡ 150 ⋅ 26 ⋅ 17 ⋅ 241 mod 263
≡ 3900 ⋅ 17 ⋅ 241 mod 263 ≡ 218 ⋅ 17 ⋅ 241 mod 263
≡ 3706 ⋅ 241 mod 263 ≡ 24 ⋅ 241 mod 263
≡ 5784 mod 263 ≡ 261 mod 263
Es gilt also: 241225 ≡ 261 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43
| =>79 | = 1⋅43 + 36 |
| =>43 | = 1⋅36 + 7 |
| =>36 | = 5⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 36-5⋅7 | |||
| 7= 43-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36) = -5⋅43 +6⋅ 36 (=1) |
| 36= 79-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43) = 6⋅79 -11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43
oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅79 = -11⋅43
-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43
-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1
(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1
68⋅43 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1
Somit 68⋅43 = 1 mod 79
68 ist also das Inverse von 43 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.