Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 29) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1201 + 29) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 39) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.

71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.

39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 39) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 375¹=375

2: 375²=375¹⁺¹=375¹⋅375¹ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 476 mod 521

4: 375⁴=375²⁺²=375²⋅375² ≡ 476⋅476=226576 ≡ 462 mod 521

8: 375⁸=375⁴⁺⁴=375⁴⋅375⁴ ≡ 462⋅462=213444 ≡ 355 mod 521

16: 375¹⁶=375⁸⁺⁸=375⁸⋅375⁸ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521

32: 375³²=375¹⁶⁺¹⁶=375¹⁶⋅375¹⁶ ≡ 464⋅464=215296 ≡ 123 mod 521

64: 375⁶⁴=375³²⁺³²=375³²⋅375³² ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521

128: 375¹²⁸=375⁶⁴⁺⁶⁴=375⁶⁴⋅375⁶⁴ ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 521

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

285¹⁶⁵

= 285^128+32+4+1

= 285¹²⁸⋅285³²⋅285⁴⋅285¹

≡ 295 ⋅ 62 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743
≡ 18290 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743 ≡ 458 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743
≡ 80608 ⋅ 285 mod 743 ≡ 364 ⋅ 285 mod 743
≡ 103740 mod 743 ≡ 463 mod 743

Es gilt also: 285¹⁶⁵ ≡ 463 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53	= 1⋅46 + 7
=>46	= 6⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46) = 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53