Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1204 + 30004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1204 + 30004) mod 6 ≡ (1204 mod 6 + 30004 mod 6) mod 6.
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004
= 30000
Somit gilt:
(1204 + 30004) mod 6 ≡ (4 + 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 49) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 49) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 49) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5048 mod 709.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 194 mod 709
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 59 mod 709
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 645 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 728187 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 7281=728
2: 7282=7281+1=7281⋅7281 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 575 mod 839
4: 7284=7282+2=7282⋅7282 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 59 mod 839
8: 7288=7284+4=7284⋅7284 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 125 mod 839
16: 72816=7288+8=7288⋅7288 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 523 mod 839
32: 72832=72816+16=72816⋅72816 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 15 mod 839
64: 72864=72832+32=72832⋅72832 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 839
128: 728128=72864+64=72864⋅72864 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 285 mod 839
728187
= 728128+32+16+8+2+1
= 728128⋅72832⋅72816⋅7288⋅7282⋅7281
≡ 285 ⋅ 15 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 4275 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 80 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 41840 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 729 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 91125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 513 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 294975 ⋅ 728 mod 839 ≡ 486 ⋅ 728 mod 839
≡ 353808 mod 839 ≡ 589 mod 839
Es gilt also: 728187 ≡ 589 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
