Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 20002) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 20002 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 4 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(160 - 20002) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 92) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 92) mod 11 ≡ (1 ⋅ 4) mod 11 ≡ 4 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 459¹=459

2: 459²=459¹⁺¹=459¹⋅459¹ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 422 mod 613

4: 459⁴=459²⁺²=459²⋅459² ≡ 422⋅422=178084 ≡ 314 mod 613

8: 459⁸=459⁴⁺⁴=459⁴⋅459⁴ ≡ 314⋅314=98596 ≡ 516 mod 613

16: 459¹⁶=459⁸⁺⁸=459⁸⋅459⁸ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613

32: 459³²=459¹⁶⁺¹⁶=459¹⁶⋅459¹⁶ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613

64: 459⁶⁴=459³²⁺³²=459³²⋅459³² ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613

128: 459¹²⁸=459⁶⁴⁺⁶⁴=459⁶⁴⋅459⁶⁴ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

194¹⁶³

= 194^128+32+2+1

= 194¹²⁸⋅194³²⋅194²⋅194¹

≡ 278 ⋅ 81 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311
≡ 22518 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311 ≡ 126 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311
≡ 630 ⋅ 194 mod 311 ≡ 8 ⋅ 194 mod 311
≡ 1552 mod 311 ≡ 308 mod 311

Es gilt also: 194¹⁶³ ≡ 308 mod 311

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79