Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 - 15997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 - 15997) mod 4 ≡ (1197 mod 4 - 15997 mod 4) mod 4.
1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1100
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
Somit gilt:
(1197 - 15997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 70) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 70) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 70) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8168 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 816 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8161=816
2: 8162=8161+1=8161⋅8161 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 721 mod 971
4: 8164=8162+2=8162⋅8162 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 356 mod 971
8: 8168=8164+4=8164⋅8164 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 506 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 752248 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 7521=752
2: 7522=7521+1=7521⋅7521 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 818 mod 853
4: 7524=7522+2=7522⋅7522 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 372 mod 853
8: 7528=7524+4=7524⋅7524 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 198 mod 853
16: 75216=7528+8=7528⋅7528 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 819 mod 853
32: 75232=75216+16=75216⋅75216 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 303 mod 853
64: 75264=75232+32=75232⋅75232 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 538 mod 853
128: 752128=75264+64=75264⋅75264 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 277 mod 853
752248
= 752128+64+32+16+8
= 752128⋅75264⋅75232⋅75216⋅7528
≡ 277 ⋅ 538 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
≡ 149026 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 604 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
≡ 183012 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 470 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
≡ 384930 ⋅ 198 mod 853 ≡ 227 ⋅ 198 mod 853
≡ 44946 mod 853 ≡ 590 mod 853
Es gilt also: 752248 ≡ 590 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.