Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2398 - 176) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 - 176) mod 6 ≡ (2398 mod 6 - 176 mod 6) mod 6.

2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 6 ⋅ 400 -2 = 6 ⋅ 400 - 6 + 4.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

Somit gilt:

(2398 - 176) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 25) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 25) mod 4 ≡ (32 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 25) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29216 mod 487.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 39 mod 487

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 60 mod 487

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 191 mod 487

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 443 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235105 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:

105 = 64+32+8+1

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311

235105

= 23564+32+8+1

= 23564⋅23532⋅2358⋅2351

188 ⋅ 166 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311
31208 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311 ≡ 108 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311
21600 ⋅ 235 mod 311 ≡ 141 ⋅ 235 mod 311
33135 mod 311 ≡ 169 mod 311

Es gilt also: 235105 ≡ 169 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71 = 1⋅68 + 3
=>68 = 22⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3)
= -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68)
= 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.