Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (803 + 403) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(803 + 403) mod 4 ≡ (803 mod 4 + 403 mod 4) mod 4.
803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(803 + 403) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 34) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 34) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 34 mod 11) mod 11.
67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.
34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 34) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7678 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 767 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7671=767
2: 7672=7671+1=7671⋅7671 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 129 mod 919
4: 7674=7672+2=7672⋅7672 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 99 mod 919
8: 7678=7674+4=7674⋅7674 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 611 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 559215 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:
215 = 128+64+16+4+2+1
1: 5591=559
2: 5592=5591+1=5591⋅5591 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 314 mod 641
4: 5594=5592+2=5592⋅5592 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 523 mod 641
8: 5598=5594+4=5594⋅5594 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 463 mod 641
16: 55916=5598+8=5598⋅5598 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 275 mod 641
32: 55932=55916+16=55916⋅55916 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
64: 55964=55932+32=55932⋅55932 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
128: 559128=55964+64=55964⋅55964 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
559215
= 559128+64+16+4+2+1
= 559128⋅55964⋅55916⋅5594⋅5592⋅5591
≡ 357 ⋅ 169 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 60333 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 79 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 21725 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 572 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 299156 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 450 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 141300 ⋅ 559 mod 641 ≡ 280 ⋅ 559 mod 641
≡ 156520 mod 641 ≡ 116 mod 641
Es gilt also: 559215 ≡ 116 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
