Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24996 - 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24996 - 5000) mod 5 ≡ (24996 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(24996 - 5000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 91) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.
41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 91) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63864 mod 739.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 638 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6381=638
2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 594 mod 739
4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 333 mod 739
8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 39 mod 739
16: 63816=6388+8=6388⋅6388 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 43 mod 739
32: 63832=63816+16=63816⋅63816 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 371 mod 739
64: 63864=63832+32=63832⋅63832 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 187 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23788 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 351 mod 443
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 47 mod 443
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 437 mod 443
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 36 mod 443
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 410 mod 443
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 203 mod 443
23788
= 23764+16+8
= 23764⋅23716⋅2378
≡ 203 ⋅ 36 ⋅ 437 mod 443
≡ 7308 ⋅ 437 mod 443 ≡ 220 ⋅ 437 mod 443
≡ 96140 mod 443 ≡ 9 mod 443
Es gilt also: 23788 ≡ 9 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52
| =>79 | = 1⋅52 + 27 |
| =>52 | = 1⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 52-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1) |
| 27= 79-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52
oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅79 = +38⋅52
Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1
Somit 38⋅52 = 1 mod 79
38 ist also das Inverse von 52 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.