Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14005 - 27998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14005 - 27998) mod 7 ≡ (14005 mod 7 - 27998 mod 7) mod 7.

14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005 = 14000+5 = 7 ⋅ 2000 +5.

27998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27998 = 28000-2 = 7 ⋅ 4000 -2 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(14005 - 27998) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 20) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 20) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51032 mod 787.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 510 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 390 mod 787

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 209 mod 787

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 396 mod 787

16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 203 mod 787

32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 285 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 455237 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 4551=455

2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 220 mod 811

4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 551 mod 811

8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 287 mod 811

16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 458 mod 811

32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 526 mod 811

64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 125 mod 811

128: 455128=45564+64=45564⋅45564 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 216 mod 811

455237

= 455128+64+32+8+4+1

= 455128⋅45564⋅45532⋅4558⋅4554⋅4551

216 ⋅ 125 ⋅ 526 ⋅ 287 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811
27000 ⋅ 526 ⋅ 287 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811 ≡ 237 ⋅ 526 ⋅ 287 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811
124662 ⋅ 287 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811 ≡ 579 ⋅ 287 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811
166173 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811 ≡ 729 ⋅ 551 ⋅ 455 mod 811
401679 ⋅ 455 mod 811 ≡ 234 ⋅ 455 mod 811
106470 mod 811 ≡ 229 mod 811

Es gilt also: 455237 ≡ 229 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

=>67 = 1⋅58 + 9
=>58 = 6⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 58-6⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9)
= -2⋅58 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58)
= 13⋅67 -15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -15⋅58

-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58

-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1

(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1

52⋅58 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1

Somit 52⋅58 = 1 mod 67

52 ist also das Inverse von 58 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.