Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2093 + 13994) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2093 + 13994) mod 7 ≡ (2093 mod 7 + 13994 mod 7) mod 7.

2093 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2093 = 2100-7 = 7 ⋅ 300 -7 = 7 ⋅ 300 - 7 + 0.

13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994 = 14000-6 = 7 ⋅ 2000 -6 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(2093 + 13994) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 28) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 28) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 28) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 270128 mod 331.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 80 mod 331

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 111 mod 331

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 74 mod 331

16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 180 mod 331

32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331

64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331

128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 167 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 217164 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 231 mod 353

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353

128: 217128=21764+64=21764⋅21764 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

217164

= 217128+32+4

= 217128⋅21732⋅2174

187 ⋅ 231 ⋅ 185 mod 353
43197 ⋅ 185 mod 353 ≡ 131 ⋅ 185 mod 353
24235 mod 353 ≡ 231 mod 353

Es gilt also: 217164 ≡ 231 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.