Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5994 + 23996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5994 + 23996) mod 6 ≡ (5994 mod 6 + 23996 mod 6) mod 6.
5994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5994
= 6000
23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996
= 24000
Somit gilt:
(5994 + 23996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 82) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 82) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 82) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55464 mod 797.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 554 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5541=554
2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 71 mod 797
4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 259 mod 797
8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 133 mod 797
16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 155 mod 797
32: 55432=55416+16=55416⋅55416 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 115 mod 797
64: 55464=55432+32=55432⋅55432 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 473 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33679 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 17 mod 457
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 457
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457
33679
= 33664+8+4+2+1
= 33664⋅3368⋅3364⋅3362⋅3361
≡ 16 ⋅ 347 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 336 mod 457
≡ 5552 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 336 mod 457 ≡ 68 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 336 mod 457
≡ 19652 ⋅ 17 ⋅ 336 mod 457 ≡ 1 ⋅ 17 ⋅ 336 mod 457
≡ 17 ⋅ 336 mod 457
≡ 5712 mod 457 ≡ 228 mod 457
Es gilt also: 33679 ≡ 228 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
