Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2806 - 140) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2806 - 140) mod 7 ≡ (2806 mod 7 - 140 mod 7) mod 7.
2806 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2806
= 2800
140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140
= 140
Somit gilt:
(2806 - 140) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 24) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 24) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27264 mod 467.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 406 mod 467
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 452 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 631240 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 6311=631
2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 549 mod 929
4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 405 mod 929
8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 521 mod 929
16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929
32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929
64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929
128: 631128=63164+64=63164⋅63164 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 807 mod 929
631240
= 631128+64+32+16
= 631128⋅63164⋅63132⋅63116
≡ 807 ⋅ 454 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929
≡ 366378 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929 ≡ 352 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929
≡ 70752 ⋅ 173 mod 929 ≡ 148 ⋅ 173 mod 929
≡ 25604 mod 929 ≡ 521 mod 929
Es gilt also: 631240 ≡ 521 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
