Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (351 + 133) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(351 + 133) mod 7 ≡ (351 mod 7 + 133 mod 7) mod 7.
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
133 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 133
= 140
Somit gilt:
(351 + 133) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 54) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 54) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 54) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44416 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 444 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 267 mod 479
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 397 mod 479
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 18 mod 479
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 705201 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 7051=705
2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 579 mod 853
4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 12 mod 853
8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 853
16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 264 mod 853
32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 603 mod 853
64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 231 mod 853
128: 705128=70564+64=70564⋅70564 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 475 mod 853
705201
= 705128+64+8+1
= 705128⋅70564⋅7058⋅7051
≡ 475 ⋅ 231 ⋅ 144 ⋅ 705 mod 853
≡ 109725 ⋅ 144 ⋅ 705 mod 853 ≡ 541 ⋅ 144 ⋅ 705 mod 853
≡ 77904 ⋅ 705 mod 853 ≡ 281 ⋅ 705 mod 853
≡ 198105 mod 853 ≡ 209 mod 853
Es gilt also: 705201 ≡ 209 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.