Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24000 - 3997) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24000 - 3997) mod 8 ≡ (24000 mod 8 - 3997 mod 8) mod 8.
24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 4000
Somit gilt:
(24000 - 3997) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 33) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 33) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.
91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 33) mod 11 ≡ (3 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7308 mod 773.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 730 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7301=730
2: 7302=7301+1=7301⋅7301 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 303 mod 773
4: 7304=7302+2=7302⋅7302 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 595 mod 773
8: 7308=7304+4=7304⋅7304 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 764 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33589 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 202 mod 461
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 236 mod 461
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 376 mod 461
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 310 mod 461
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 212 mod 461
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 227 mod 461
33589
= 33564+16+8+1
= 33564⋅33516⋅3358⋅3351
≡ 227 ⋅ 310 ⋅ 376 ⋅ 335 mod 461
≡ 70370 ⋅ 376 ⋅ 335 mod 461 ≡ 298 ⋅ 376 ⋅ 335 mod 461
≡ 112048 ⋅ 335 mod 461 ≡ 25 ⋅ 335 mod 461
≡ 8375 mod 461 ≡ 77 mod 461
Es gilt also: 33589 ≡ 77 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.