Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3591 + 441) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3591 + 441) mod 9 ≡ (3591 mod 9 + 441 mod 9) mod 9.
3591 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3591
= 3600
441 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 441
= 450
Somit gilt:
(3591 + 441) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 92) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 92) mod 4 ≡ (35 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.
35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 92) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7238 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 723 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7231=723
2: 7232=7231+1=7231⋅7231 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 286 mod 887
4: 7234=7232+2=7232⋅7232 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 192 mod 887
8: 7238=7234+4=7234⋅7234 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 497 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315131 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 63 mod 787
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 34 mod 787
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 369 mod 787
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 10 mod 787
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 787
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 556 mod 787
128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 632 mod 787
315131
= 315128+2+1
= 315128⋅3152⋅3151
≡ 632 ⋅ 63 ⋅ 315 mod 787
≡ 39816 ⋅ 315 mod 787 ≡ 466 ⋅ 315 mod 787
≡ 146790 mod 787 ≡ 408 mod 787
Es gilt also: 315131 ≡ 408 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.