Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 - 10005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 - 10005) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 10005 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
10005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10005
= 10000
Somit gilt:
(5000 - 10005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 65) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 65) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7668 mod 881.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 766 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7661=766
2: 7662=7661+1=7661⋅7661 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 10 mod 881
4: 7664=7662+2=7662⋅7662 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 881
8: 7668=7664+4=7664⋅7664 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 309 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 327124 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 287 mod 751
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 510 mod 751
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 254 mod 751
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 681 mod 751
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 394 mod 751
64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 530 mod 751
327124
= 32764+32+16+8+4
= 32764⋅32732⋅32716⋅3278⋅3274
≡ 530 ⋅ 394 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
≡ 208820 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751 ≡ 42 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
≡ 28602 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751 ≡ 64 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
≡ 16256 ⋅ 510 mod 751 ≡ 485 ⋅ 510 mod 751
≡ 247350 mod 751 ≡ 271 mod 751
Es gilt also: 327124 ≡ 271 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63
| =>71 | = 1⋅63 + 8 |
| =>63 | = 7⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 63-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1) |
| 8= 71-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63
oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅71 = -9⋅63
-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63
-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1
(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1
62⋅63 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1
Somit 62⋅63 = 1 mod 71
62 ist also das Inverse von 63 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.