Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 11999) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 11999 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(5997 - 11999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 56) mod 4 ≡ (20 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 56) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 435¹=435

2: 435²=435¹⁺¹=435¹⋅435¹ ≡ 435⋅435=189225 ≡ 111 mod 733

4: 435⁴=435²⁺²=435²⋅435² ≡ 111⋅111=12321 ≡ 593 mod 733

8: 435⁸=435⁴⁺⁴=435⁴⋅435⁴ ≡ 593⋅593=351649 ≡ 542 mod 733

16: 435¹⁶=435⁸⁺⁸=435⁸⋅435⁸ ≡ 542⋅542=293764 ≡ 564 mod 733

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

254²⁴⁷

= 254^{128+64+32+16+4+2+1}

= 254¹²⁸⋅254⁶⁴⋅254³²⋅254¹⁶⋅254⁴⋅254²⋅254¹

≡ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 58928 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487 ≡ 1 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 58928 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 58928 ⋅ 254 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 mod 487
≡ 254 mod 487

Es gilt also: 254²⁴⁷ ≡ 254 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101	= 2⋅47 + 7
=>47	= 6⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47) = 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101