Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 - 5999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 - 5999) mod 3 ≡ (1197 mod 3 - 5999 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999
= 6000
Somit gilt:
(1197 - 5999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 66) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 66) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.
25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.
66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 66) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3028 mod 853.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 786 mod 853
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 224 mod 853
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 702 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 503209 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 36 mod 509
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 278 mod 509
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 425 mod 509
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 439 mod 509
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 319 mod 509
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 470 mod 509
128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 503 mod 509
503209
= 503128+64+16+1
= 503128⋅50364⋅50316⋅5031
≡ 503 ⋅ 470 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509
≡ 236410 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509 ≡ 234 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509
≡ 102726 ⋅ 503 mod 509 ≡ 417 ⋅ 503 mod 509
≡ 209751 mod 509 ≡ 43 mod 509
Es gilt also: 503209 ≡ 43 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.