Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 + 3000) mod 3 ≡ (6003 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(6003 + 3000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 29) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 29 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 29) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 547¹=547

2: 547²=547¹⁺¹=547¹⋅547¹ ≡ 547⋅547=299209 ≡ 256 mod 563

4: 547⁴=547²⁺²=547²⋅547² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 228 mod 563

8: 547⁸=547⁴⁺⁴=547⁴⋅547⁴ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 188 mod 563

16: 547¹⁶=547⁸⁺⁸=547⁸⋅547⁸ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 438 mod 563

32: 547³²=547¹⁶⁺¹⁶=547¹⁶⋅547¹⁶ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 424 mod 563

64: 547⁶⁴=547³²⁺³²=547³²⋅547³² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 179 mod 563

128: 547¹²⁸=547⁶⁴⁺⁶⁴=547⁶⁴⋅547⁶⁴ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 513 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

264¹¹⁰

= 264^64+32+8+4+2

= 264⁶⁴⋅264³²⋅264⁸⋅264⁴⋅264²

≡ 88 ⋅ 331 ⋅ 350 ⋅ 69 ⋅ 323 mod 401
≡ 29128 ⋅ 350 ⋅ 69 ⋅ 323 mod 401 ≡ 256 ⋅ 350 ⋅ 69 ⋅ 323 mod 401
≡ 89600 ⋅ 69 ⋅ 323 mod 401 ≡ 177 ⋅ 69 ⋅ 323 mod 401
≡ 12213 ⋅ 323 mod 401 ≡ 183 ⋅ 323 mod 401
≡ 59109 mod 401 ≡ 162 mod 401

Es gilt also: 264¹¹⁰ ≡ 162 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79	= 1⋅55 + 24
=>55	= 2⋅24 + 7
=>24	= 3⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24) = -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55) = 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79