Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (168 + 79) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(168 + 79) mod 8 ≡ (168 mod 8 + 79 mod 8) mod 8.
168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168
= 160
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
Somit gilt:
(168 + 79) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 74) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 74) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 74) mod 11 ≡ (1 ⋅ 8) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 234128 mod 283.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 137 mod 283
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 91 mod 283
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 74 mod 283
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 99 mod 283
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 179 mod 283
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283
128: 234128=23464+64=23464⋅23464 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 164253 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:
253 = 128+64+32+16+8+4+1
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 168 mod 257
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 211 mod 257
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 60 mod 257
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 2 mod 257
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
128: 164128=16464+64=16464⋅16464 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
164253
= 164128+64+32+16+8+4+1
= 164128⋅16464⋅16432⋅16416⋅1648⋅1644⋅1641
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257
≡ 4096 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257 ≡ 241 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257
≡ 964 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257 ≡ 193 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257
≡ 386 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257 ≡ 129 ⋅ 60 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257
≡ 7740 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257 ≡ 30 ⋅ 211 ⋅ 164 mod 257
≡ 6330 ⋅ 164 mod 257 ≡ 162 ⋅ 164 mod 257
≡ 26568 mod 257 ≡ 97 mod 257
Es gilt also: 164253 ≡ 97 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
