Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2005 + 2501) mod 5 ≡ (2005 mod 5 + 2501 mod 5) mod 5.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501 = 2500+1 = 5 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(2005 + 2501) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 6 ≡ (44 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 315¹=315

2: 315²=315¹⁺¹=315¹⋅315¹ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 221 mod 467

4: 315⁴=315²⁺²=315²⋅315² ≡ 221⋅221=48841 ≡ 273 mod 467

8: 315⁸=315⁴⁺⁴=315⁴⋅315⁴ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 276 mod 467

16: 315¹⁶=315⁸⁺⁸=315⁸⋅315⁸ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467

32: 315³²=315¹⁶⁺¹⁶=315¹⁶⋅315¹⁶ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467

64: 315⁶⁴=315³²⁺³²=315³²⋅315³² ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

258²³¹

= 258^{128+64+32+4+2+1}

= 258¹²⁸⋅258⁶⁴⋅258³²⋅258⁴⋅258²⋅258¹

≡ 204 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 5100 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 48 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 19968 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 181 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 1991 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 307 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 14122 ⋅ 258 mod 421 ≡ 229 ⋅ 258 mod 421
≡ 59082 mod 421 ≡ 142 mod 421

Es gilt also: 258²³¹ ≡ 142 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33

=>71	= 2⋅33 + 5
=>33	= 6⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 33-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1)
5= 71-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33) = 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +28⋅33

Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1

Somit 28⋅33 = 1 mod 71

28 ist also das Inverse von 33 mod 71