Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 + 1593) mod 8 ≡ (73 mod 8 + 1593 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(73 + 1593) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 31) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 31 mod 4) mod 4.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 31) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 215¹=215

2: 215²=215¹⁺¹=215¹⋅215¹ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331

4: 215⁴=215²⁺²=215²⋅215² ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331

8: 215⁸=215⁴⁺⁴=215⁴⋅215⁴ ≡ 316⋅316=99856 ≡ 225 mod 331

16: 215¹⁶=215⁸⁺⁸=215⁸⋅215⁸ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 313 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

517²⁵⁵

= 517^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 517¹²⁸⋅517⁶⁴⋅517³²⋅517¹⁶⋅517⁸⋅517⁴⋅517²⋅517¹

≡ 363 ⋅ 213 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 77319 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 1 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 17334 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 24 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 216 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 648 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 71 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
≡ 9798 ⋅ 517 mod 577 ≡ 566 ⋅ 517 mod 577
≡ 292622 mod 577 ≡ 83 mod 577

Es gilt also: 517²⁵⁵ ≡ 83 mod 577

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53