Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11997 - 151) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11997 - 151) mod 3 ≡ (11997 mod 3 - 151 mod 3) mod 3.
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
Somit gilt:
(11997 - 151) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.
81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2288 mod 281.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 280 mod 281
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 1 mod 281
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54275 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 5421=542
2: 5422=5421+1=5421⋅5421 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 137 mod 613
4: 5424=5422+2=5422⋅5422 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 379 mod 613
8: 5428=5424+4=5424⋅5424 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 199 mod 613
16: 54216=5428+8=5428⋅5428 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 369 mod 613
32: 54232=54216+16=54216⋅54216 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 75 mod 613
64: 54264=54232+32=54232⋅54232 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 108 mod 613
54275
= 54264+8+2+1
= 54264⋅5428⋅5422⋅5421
≡ 108 ⋅ 199 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613
≡ 21492 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613 ≡ 37 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613
≡ 5069 ⋅ 542 mod 613 ≡ 165 ⋅ 542 mod 613
≡ 89430 mod 613 ≡ 545 mod 613
Es gilt also: 54275 ≡ 545 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.