Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 + 96) mod 5 ≡ (150 mod 5 + 96 mod 5) mod 5.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

Somit gilt:

(150 + 96) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 42) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 42) mod 10 ≡ (8 ⋅ 2) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 190¹=190

2: 190²=190¹⁺¹=190¹⋅190¹ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 24 mod 311

4: 190⁴=190²⁺²=190²⋅190² ≡ 24⋅24=576 ≡ 265 mod 311

8: 190⁸=190⁴⁺⁴=190⁴⋅190⁴ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 250 mod 311

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

279²⁵⁴

= 279^{128+64+32+16+8+4+2}

= 279¹²⁸⋅279⁶⁴⋅279³²⋅279¹⁶⋅279⁸⋅279⁴⋅279²

≡ 161 ⋅ 151 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 24311 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 256 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 61440 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 29 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 7250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 175 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 28525 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 225 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 57600 ⋅ 16 mod 283 ≡ 151 ⋅ 16 mod 283
≡ 2416 mod 283 ≡ 152 mod 283

Es gilt also: 279²⁵⁴ ≡ 152 mod 283

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73	= 2⋅33 + 7
=>33	= 4⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33) = 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73