Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14002 - 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14002 - 76) mod 7 ≡ (14002 mod 7 - 76 mod 7) mod 7.
14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002
= 14000
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 70
Somit gilt:
(14002 - 76) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 81) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 81) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4408 mod 907.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 409 mod 907
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 393 mod 907
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 259 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 350120 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 65 mod 521
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 57 mod 521
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 123 mod 521
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 521
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 53 mod 521
350120
= 35064+32+16+8
= 35064⋅35032⋅35016⋅3508
≡ 53 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 123 mod 521
≡ 21200 ⋅ 20 ⋅ 123 mod 521 ≡ 360 ⋅ 20 ⋅ 123 mod 521
≡ 7200 ⋅ 123 mod 521 ≡ 427 ⋅ 123 mod 521
≡ 52521 mod 521 ≡ 421 mod 521
Es gilt also: 350120 ≡ 421 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.