Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13994 + 21004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13994 + 21004) mod 7 ≡ (13994 mod 7 + 21004 mod 7) mod 7.
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004
= 21000
Somit gilt:
(13994 + 21004) mod 7 ≡ (1 + 4) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 92) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 92) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 92 mod 6) mod 6.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 92) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14516 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 145 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1451=145
2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 158 mod 271
4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 32 mod 271
8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 211 mod 271
16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 77 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 477211 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 249 mod 947
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 446 mod 947
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 46 mod 947
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 222 mod 947
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 40 mod 947
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 653 mod 947
128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 259 mod 947
477211
= 477128+64+16+2+1
= 477128⋅47764⋅47716⋅4772⋅4771
≡ 259 ⋅ 653 ⋅ 222 ⋅ 249 ⋅ 477 mod 947
≡ 169127 ⋅ 222 ⋅ 249 ⋅ 477 mod 947 ≡ 561 ⋅ 222 ⋅ 249 ⋅ 477 mod 947
≡ 124542 ⋅ 249 ⋅ 477 mod 947 ≡ 485 ⋅ 249 ⋅ 477 mod 947
≡ 120765 ⋅ 477 mod 947 ≡ 496 ⋅ 477 mod 947
≡ 236592 mod 947 ≡ 789 mod 947
Es gilt also: 477211 ≡ 789 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.