Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 + 8001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 + 8001) mod 4 ≡ (1999 mod 4 + 8001 mod 4) mod 4.
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
Somit gilt:
(1999 + 8001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 22) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 22) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 22) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42132 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 330 mod 617
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 308 mod 617
16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 463 mod 617
32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 270 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18798 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 69 mod 349
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 224 mod 349
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 269 mod 349
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 118 mod 349
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 313 mod 349
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349
18798
= 18764+32+2
= 18764⋅18732⋅1872
≡ 249 ⋅ 313 ⋅ 69 mod 349
≡ 77937 ⋅ 69 mod 349 ≡ 110 ⋅ 69 mod 349
≡ 7590 mod 349 ≡ 261 mod 349
Es gilt also: 18798 ≡ 261 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84
| =>101 | = 1⋅84 + 17 |
| =>84 | = 4⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 84-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -6⋅84
-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84
-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1
(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1
95⋅84 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1
Somit 95⋅84 = 1 mod 101
95 ist also das Inverse von 84 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.