Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 - 1502) mod 3 ≡ (91 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(91 - 1502) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 76) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 76) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 366¹=366

2: 366²=366¹⁺¹=366¹⋅366¹ ≡ 366⋅366=133956 ≡ 61 mod 439

4: 366⁴=366²⁺²=366²⋅366² ≡ 61⋅61=3721 ≡ 209 mod 439

8: 366⁸=366⁴⁺⁴=366⁴⋅366⁴ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 220 mod 439

16: 366¹⁶=366⁸⁺⁸=366⁸⋅366⁸ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 110 mod 439

32: 366³²=366¹⁶⁺¹⁶=366¹⁶⋅366¹⁶ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 247 mod 439

64: 366⁶⁴=366³²⁺³²=366³²⋅366³² ≡ 247⋅247=61009 ≡ 427 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

628²⁴⁸

= 628^{128+64+32+16+8}

= 628¹²⁸⋅628⁶⁴⋅628³²⋅628¹⁶⋅628⁸

≡ 285 ⋅ 578 ⋅ 336 ⋅ 532 ⋅ 251 mod 631
≡ 164730 ⋅ 336 ⋅ 532 ⋅ 251 mod 631 ≡ 39 ⋅ 336 ⋅ 532 ⋅ 251 mod 631
≡ 13104 ⋅ 532 ⋅ 251 mod 631 ≡ 484 ⋅ 532 ⋅ 251 mod 631
≡ 257488 ⋅ 251 mod 631 ≡ 40 ⋅ 251 mod 631
≡ 10040 mod 631 ≡ 575 mod 631

Es gilt also: 628²⁴⁸ ≡ 575 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

=>59	= 1⋅39 + 20
=>39	= 1⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 39-1⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1)
20= 59-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39) = -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39

oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅59 = -3⋅39

-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39

-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1

(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1

56⋅39 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1

Somit 56⋅39 = 1 mod 59

56 ist also das Inverse von 39 mod 59