Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 3002) mod 3 ≡ (2999 mod 3 + 3002 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(2999 + 3002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 80) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 334¹=334

2: 334²=334¹⁺¹=334¹⋅334¹ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 8 mod 353

4: 334⁴=334²⁺²=334²⋅334² ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 353

8: 334⁸=334⁴⁺⁴=334⁴⋅334⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 213 mod 353

16: 334¹⁶=334⁸⁺⁸=334⁸⋅334⁸ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 185 mod 353

32: 334³²=334¹⁶⁺¹⁶=334¹⁶⋅334¹⁶ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

303¹⁵⁸

= 303^128+16+8+4+2

= 303¹²⁸⋅303¹⁶⋅303⁸⋅303⁴⋅303²

≡ 154 ⋅ 220 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
≡ 33880 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593 ≡ 79 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
≡ 29072 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593 ≡ 15 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
≡ 8430 ⋅ 487 mod 593 ≡ 128 ⋅ 487 mod 593
≡ 62336 mod 593 ≡ 71 mod 593

Es gilt also: 303¹⁵⁸ ≡ 71 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38

=>83	= 2⋅38 + 7
=>38	= 5⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 83-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38) = -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38) = 11⋅83 -24⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -24⋅38

-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38

-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1

(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1

59⋅38 = 27⋅83 + 1

Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1

Somit 59⋅38 = 1 mod 83

59 ist also das Inverse von 38 mod 83