Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (295 + 2394) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(295 + 2394) mod 6 ≡ (295 mod 6 + 2394 mod 6) mod 6.
295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295
= 300
2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
Somit gilt:
(295 + 2394) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 95) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 95) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 95) mod 11 ≡ (5 ⋅ 7) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62316 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 623 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6231=623
2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 157 mod 829
4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 608 mod 829
8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 759 mod 829
16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 755 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 223162 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 36 mod 229
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 151 mod 229
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229
64: 22364=22332+32=22332⋅22332 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 48 mod 229
128: 223128=22364+64=22364⋅22364 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229
223162
= 223128+32+2
= 223128⋅22332⋅2232
≡ 14 ⋅ 55 ⋅ 36 mod 229
≡ 770 ⋅ 36 mod 229 ≡ 83 ⋅ 36 mod 229
≡ 2988 mod 229 ≡ 11 mod 229
Es gilt also: 223162 ≡ 11 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.