Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14006 + 141) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14006 + 141) mod 7 ≡ (14006 mod 7 + 141 mod 7) mod 7.
14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006
= 14000
141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141
= 140
Somit gilt:
(14006 + 141) mod 7 ≡ (6 + 1) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 97) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 97) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 97) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3708 mod 607.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 370 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3701=370
2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 325 mod 607
4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 7 mod 607
8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248217 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 9 mod 251
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 251
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 35 mod 251
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 221 mod 251
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 147 mod 251
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 23 mod 251
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 23⋅23=529 ≡ 27 mod 251
248217
= 248128+64+16+8+1
= 248128⋅24864⋅24816⋅2488⋅2481
≡ 27 ⋅ 23 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
≡ 621 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251 ≡ 119 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
≡ 26299 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251 ≡ 195 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
≡ 6825 ⋅ 248 mod 251 ≡ 48 ⋅ 248 mod 251
≡ 11904 mod 251 ≡ 107 mod 251
Es gilt also: 248217 ≡ 107 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31
| =>73 | = 2⋅31 + 11 |
| =>31 | = 2⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1) |
| 11= 73-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +33⋅31
Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1
Somit 33⋅31 = 1 mod 73
33 ist also das Inverse von 31 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.