Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 + 8004) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 8004 mod 4) mod 4.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(204 + 8004) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 99) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 99) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 172¹=172

2: 172²=172¹⁺¹=172¹⋅172¹ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 45 mod 271

4: 172⁴=172²⁺²=172²⋅172² ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271

8: 172⁸=172⁴⁺⁴=172⁴⋅172⁴ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 124 mod 271

16: 172¹⁶=172⁸⁺⁸=172⁸⋅172⁸ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 200 mod 271

32: 172³²=172¹⁶⁺¹⁶=172¹⁶⋅172¹⁶ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 163 mod 271

64: 172⁶⁴=172³²⁺³²=172³²⋅172³² ≡ 163⋅163=26569 ≡ 11 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

570²²⁹

= 570^{128+64+32+4+1}

= 570¹²⁸⋅570⁶⁴⋅570³²⋅570⁴⋅570¹

≡ 696 ⋅ 434 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
≡ 302064 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853 ≡ 102 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
≡ 13158 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853 ≡ 363 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
≡ 43197 ⋅ 570 mod 853 ≡ 547 ⋅ 570 mod 853
≡ 311790 mod 853 ≡ 445 mod 853

Es gilt also: 570²²⁹ ≡ 445 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53	= 1⋅38 + 15
=>38	= 2⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38) = 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53