Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3199 + 2400) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3199 + 2400) mod 8 ≡ (3199 mod 8 + 2400 mod 8) mod 8.
3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199
= 3200
2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
Somit gilt:
(3199 + 2400) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 22) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 22) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 22) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 449.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 70 mod 449
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 410 mod 449
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 174 mod 449
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 193 mod 449
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86890 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 8681=868
2: 8682=8681+1=8681⋅8681 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 131 mod 967
4: 8684=8682+2=8682⋅8682 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 722 mod 967
8: 8688=8684+4=8684⋅8684 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 71 mod 967
16: 86816=8688+8=8688⋅8688 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 206 mod 967
32: 86832=86816+16=86816⋅86816 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 855 mod 967
64: 86864=86832+32=86832⋅86832 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 940 mod 967
86890
= 86864+16+8+2
= 86864⋅86816⋅8688⋅8682
≡ 940 ⋅ 206 ⋅ 71 ⋅ 131 mod 967
≡ 193640 ⋅ 71 ⋅ 131 mod 967 ≡ 240 ⋅ 71 ⋅ 131 mod 967
≡ 17040 ⋅ 131 mod 967 ≡ 601 ⋅ 131 mod 967
≡ 78731 mod 967 ≡ 404 mod 967
Es gilt also: 86890 ≡ 404 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.