Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 + 255) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 + 255) mod 5 ≡ (95 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 5 ⋅ 18 +5.

255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255 = 250+5 = 5 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(95 + 255) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 61) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 61) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 61 mod 3) mod 3.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 61) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 391128 mod 941.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 439 mod 941

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 757 mod 941

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 921 mod 941

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 400 mod 941

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 30 mod 941

64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 941

128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 740 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 241156 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 249 mod 251

128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 4 mod 251

241156

= 241128+16+8+4

= 241128⋅24116⋅2418⋅2414

4 ⋅ 51 ⋅ 94 ⋅ 211 mod 251
204 ⋅ 94 ⋅ 211 mod 251
19176 ⋅ 211 mod 251 ≡ 100 ⋅ 211 mod 251
21100 mod 251 ≡ 16 mod 251

Es gilt also: 241156 ≡ 16 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89 = 1⋅83 + 6
=>83 = 13⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6)
= -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83)
= 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.