Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 + 3998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 + 3998) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 3998 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 3000
Somit gilt:
(84 + 3998) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 64) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 64) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 64 mod 10) mod 10.
46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 64) mod 10 ≡ (6 ⋅ 4) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21116 mod 463.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 73 mod 463
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 236 mod 463
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 136 mod 463
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 439 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66075 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 6601=660
2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 529 mod 683
4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 494 mod 683
8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 205 mod 683
16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 362 mod 683
32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 591 mod 683
64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 268 mod 683
66075
= 66064+8+2+1
= 66064⋅6608⋅6602⋅6601
≡ 268 ⋅ 205 ⋅ 529 ⋅ 660 mod 683
≡ 54940 ⋅ 529 ⋅ 660 mod 683 ≡ 300 ⋅ 529 ⋅ 660 mod 683
≡ 158700 ⋅ 660 mod 683 ≡ 244 ⋅ 660 mod 683
≡ 161040 mod 683 ≡ 535 mod 683
Es gilt also: 66075 ≡ 535 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67
| =>97 | = 1⋅67 + 30 |
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
| 30= 97-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67
oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +29⋅97 = +42⋅67
Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1
Somit 42⋅67 = 1 mod 97
42 ist also das Inverse von 67 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.