Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21001 - 20998) mod 7 ≡ (21001 mod 7 - 20998 mod 7) mod 7.

21001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21001 = 21000+1 = 7 ⋅ 3000 +1.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(21001 - 20998) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 19) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 19) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 189¹=189

2: 189²=189¹⁺¹=189¹⋅189¹ ≡ 189⋅189=35721 ≡ 53 mod 241

4: 189⁴=189²⁺²=189²⋅189² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 158 mod 241

8: 189⁸=189⁴⁺⁴=189⁴⋅189⁴ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 141 mod 241

16: 189¹⁶=189⁸⁺⁸=189⁸⋅189⁸ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 119 mod 241

32: 189³²=189¹⁶⁺¹⁶=189¹⁶⋅189¹⁶ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241

64: 189⁶⁴=189³²⁺³²=189³²⋅189³² ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241

128: 189¹²⁸=189⁶⁴⁺⁶⁴=189⁶⁴⋅189⁶⁴ ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

866²⁴⁷

= 866^{128+64+32+16+4+2+1}

= 866¹²⁸⋅866⁶⁴⋅866³²⋅866¹⁶⋅866⁴⋅866²⋅866¹

≡ 353 ⋅ 649 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
≡ 229097 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 533 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
≡ 445055 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 625 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
≡ 485000 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 662 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
≡ 301872 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 748 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
≡ 578952 ⋅ 866 mod 907 ≡ 286 ⋅ 866 mod 907
≡ 247676 mod 907 ≡ 65 mod 907

Es gilt also: 866²⁴⁷ ≡ 65 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97	= 2⋅47 + 3
=>47	= 15⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47) = -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97