Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 + 195) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 + 195) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 195 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

Somit gilt:

(100 + 195) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 41) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 41) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 41) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3538 mod 601.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 202 mod 601

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 537 mod 601

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 490 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 646251 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 6461=646

2: 6462=6461+1=6461⋅6461 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 206 mod 787

4: 6464=6462+2=6462⋅6462 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 725 mod 787

8: 6468=6464+4=6464⋅6464 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 696 mod 787

16: 64616=6468+8=6468⋅6468 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 411 mod 787

32: 64632=64616+16=64616⋅64616 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 503 mod 787

64: 64664=64632+32=64632⋅64632 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 382 mod 787

128: 646128=64664+64=64664⋅64664 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 329 mod 787

646251

= 646128+64+32+16+8+2+1

= 646128⋅64664⋅64632⋅64616⋅6468⋅6462⋅6461

329 ⋅ 382 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
125678 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 545 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
274135 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 259 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
106449 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 204 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
141984 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 324 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
66744 ⋅ 646 mod 787 ≡ 636 ⋅ 646 mod 787
410856 mod 787 ≡ 42 mod 787

Es gilt also: 646251 ≡ 42 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.