Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 + 152) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 + 152) mod 5 ≡ (151 mod 5 + 152 mod 5) mod 5.
151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
152 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
Somit gilt:
(151 + 152) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 28) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 28) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 28 mod 11) mod 11.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
28 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 22 + 6 = 2 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 28) mod 11 ≡ (10 ⋅ 6) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38232 mod 701.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 116 mod 701
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 137 mod 701
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 543 mod 701
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 429 mod 701
32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 379 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 226121 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 28 mod 709
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 28⋅28=784 ≡ 75 mod 709
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 662 mod 709
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 82 mod 709
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 343 mod 709
64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 664 mod 709
226121
= 22664+32+16+8+1
= 22664⋅22632⋅22616⋅2268⋅2261
≡ 664 ⋅ 343 ⋅ 82 ⋅ 662 ⋅ 226 mod 709
≡ 227752 ⋅ 82 ⋅ 662 ⋅ 226 mod 709 ≡ 163 ⋅ 82 ⋅ 662 ⋅ 226 mod 709
≡ 13366 ⋅ 662 ⋅ 226 mod 709 ≡ 604 ⋅ 662 ⋅ 226 mod 709
≡ 399848 ⋅ 226 mod 709 ≡ 681 ⋅ 226 mod 709
≡ 153906 mod 709 ≡ 53 mod 709
Es gilt also: 226121 ≡ 53 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.