Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 - 9002) mod 3 ≡ (33 mod 3 - 9002 mod 3) mod 3.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30+3 = 3 ⋅ 10 +3.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(33 - 9002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 22) mod 5 ≡ (79 mod 5 ⋅ 22 mod 5) mod 5.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 22) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 137¹=137

2: 137²=137¹⁺¹=137¹⋅137¹ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 245 mod 421

4: 137⁴=137²⁺²=137²⋅137² ≡ 245⋅245=60025 ≡ 243 mod 421

8: 137⁸=137⁴⁺⁴=137⁴⋅137⁴ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 109 mod 421

16: 137¹⁶=137⁸⁺⁸=137⁸⋅137⁸ ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421

32: 137³²=137¹⁶⁺¹⁶=137¹⁶⋅137¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421

64: 137⁶⁴=137³²⁺³²=137³²⋅137³² ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

259²⁴⁶

= 259^{128+64+32+16+4+2}

= 259¹²⁸⋅259⁶⁴⋅259³²⋅259¹⁶⋅259⁴⋅259²

≡ 826 ⋅ 470 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 388220 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 105 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 33390 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 123 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 71340 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 541 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 356519 ⋅ 547 mod 853 ≡ 818 ⋅ 547 mod 853
≡ 447446 mod 853 ≡ 474 mod 853

Es gilt also: 259²⁴⁶ ≡ 474 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89	= 1⋅83 + 6
=>83	= 13⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83) = -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89