Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 + 15003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 + 15003) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(121 + 15003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 60) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 60) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52464 mod 613.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 524 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5241=524
2: 5242=5241+1=5241⋅5241 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 565 mod 613
4: 5244=5242+2=5242⋅5242 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613
8: 5248=5244+4=5244⋅5244 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613
16: 52416=5248+8=5248⋅5248 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613
32: 52432=52416+16=52416⋅52416 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613
64: 52464=52432+32=52432⋅52432 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283137 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 191 mod 439
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 44 mod 439
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 180 mod 439
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 353 mod 439
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 372 mod 439
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 99 mod 439
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 143 mod 439
283137
= 283128+8+1
= 283128⋅2838⋅2831
≡ 143 ⋅ 180 ⋅ 283 mod 439
≡ 25740 ⋅ 283 mod 439 ≡ 278 ⋅ 283 mod 439
≡ 78674 mod 439 ≡ 93 mod 439
Es gilt also: 283137 ≡ 93 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.