Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 + 49) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 + 49) mod 5 ≡ (54 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50+4 = 5 ⋅ 10 +4.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(54 + 49) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 64) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 64) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 64) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 295128 mod 311.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 256 mod 311

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 226 mod 311

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 72 mod 311

16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 208 mod 311

32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311

64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311

128: 295128=29564+64=29564⋅29564 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 445236 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 624 mod 643

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 361 mod 643

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 435 mod 643

16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 183 mod 643

32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 53 mod 643

64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 237 mod 643

128: 445128=44564+64=44564⋅44564 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 228 mod 643

445236

= 445128+64+32+8+4

= 445128⋅44564⋅44532⋅4458⋅4454

228 ⋅ 237 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
54036 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643 ≡ 24 ⋅ 53 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
1272 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643 ≡ 629 ⋅ 435 ⋅ 361 mod 643
273615 ⋅ 361 mod 643 ≡ 340 ⋅ 361 mod 643
122740 mod 643 ≡ 570 mod 643

Es gilt also: 445236 ≡ 570 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101 = 1⋅68 + 33
=>68 = 2⋅33 + 2
=>33 = 16⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33)
= -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68)
= 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.