Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5998 + 90) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 + 90) mod 3 ≡ (5998 mod 3 + 90 mod 3) mod 3.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(5998 + 90) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 97) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 97) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 97) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9098 mod 977.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 909 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9091=909

2: 9092=9091+1=9091⋅9091 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 716 mod 977

4: 9094=9092+2=9092⋅9092 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 708 mod 977

8: 9098=9094+4=9094⋅9094 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 63 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 113209 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 1131=113

2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 32 mod 271

4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 211 mod 271

8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 77 mod 271

16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 238 mod 271

32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 5 mod 271

64: 11364=11332+32=11332⋅11332 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 271

128: 113128=11364+64=11364⋅11364 ≡ 25⋅25=625 ≡ 83 mod 271

113209

= 113128+64+16+1

= 113128⋅11364⋅11316⋅1131

83 ⋅ 25 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271
2075 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271 ≡ 178 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271
42364 ⋅ 113 mod 271 ≡ 88 ⋅ 113 mod 271
9944 mod 271 ≡ 188 mod 271

Es gilt also: 113209 ≡ 188 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53 = 2⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24)
= 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.