Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 - 24007) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 - 24007) mod 8 ≡ (160 mod 8 - 24007 mod 8) mod 8.
160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007
= 24000
Somit gilt:
(160 - 24007) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 36) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 36) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 36) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9132 mod 283.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 911=91
2: 912=911+1=911⋅911 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 74 mod 283
4: 914=912+2=912⋅912 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 99 mod 283
8: 918=914+4=914⋅914 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 179 mod 283
16: 9116=918+8=918⋅918 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283
32: 9132=9116+16=9116⋅9116 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31584 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 147 mod 337
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 41 mod 337
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 333 mod 337
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 16 mod 337
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337
31584
= 31564+16+4
= 31564⋅31516⋅3154
≡ 158 ⋅ 16 ⋅ 41 mod 337
≡ 2528 ⋅ 41 mod 337 ≡ 169 ⋅ 41 mod 337
≡ 6929 mod 337 ≡ 189 mod 337
Es gilt also: 31584 ≡ 189 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.