Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1606 - 40004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1606 - 40004) mod 8 ≡ (1606 mod 8 - 40004 mod 8) mod 8.
1606 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1606
= 1600
40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004
= 40000
Somit gilt:
(1606 - 40004) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 29) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 29) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 29) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65316 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 653 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6531=653
2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 218 mod 757
4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 590 mod 757
8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 637 mod 757
16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 17 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 239199 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 432 mod 683
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 165 mod 683
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 588 mod 683
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 146 mod 683
32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 143 mod 683
64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 642 mod 683
128: 239128=23964+64=23964⋅23964 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 315 mod 683
239199
= 239128+64+4+2+1
= 239128⋅23964⋅2394⋅2392⋅2391
≡ 315 ⋅ 642 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
≡ 202230 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683 ≡ 62 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
≡ 10230 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683 ≡ 668 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
≡ 288576 ⋅ 239 mod 683 ≡ 350 ⋅ 239 mod 683
≡ 83650 mod 683 ≡ 324 mod 683
Es gilt also: 239199 ≡ 324 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.