Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1606 - 40004) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1606 - 40004) mod 8 ≡ (1606 mod 8 - 40004 mod 8) mod 8.

1606 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1606 = 1600+6 = 8 ⋅ 200 +6.

40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004 = 40000+4 = 8 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(1606 - 40004) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 29) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 29) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 29) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65316 mod 757.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 653 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6531=653

2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 218 mod 757

4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 590 mod 757

8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 637 mod 757

16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 17 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 239199 mod 683.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 2391=239

2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 432 mod 683

4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 165 mod 683

8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 588 mod 683

16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 146 mod 683

32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 143 mod 683

64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 642 mod 683

128: 239128=23964+64=23964⋅23964 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 315 mod 683

239199

= 239128+64+4+2+1

= 239128⋅23964⋅2394⋅2392⋅2391

315 ⋅ 642 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
202230 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683 ≡ 62 ⋅ 165 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
10230 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683 ≡ 668 ⋅ 432 ⋅ 239 mod 683
288576 ⋅ 239 mod 683 ≡ 350 ⋅ 239 mod 683
83650 mod 683 ≡ 324 mod 683

Es gilt also: 239199 ≡ 324 mod 683

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97 = 1⋅86 + 11
=>86 = 7⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11)
= 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86)
= -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.