Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5997 - 30) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 30) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(5997 - 30) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 83) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38516 mod 509.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 106 mod 509

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 38 mod 509

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 426 mod 509

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 272 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45680 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 4561=456

2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 23 mod 809

4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 809

8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 736 mod 809

16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 475 mod 809

32: 45632=45616+16=45616⋅45616 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 723 mod 809

64: 45664=45632+32=45632⋅45632 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 115 mod 809

45680

= 45664+16

= 45664⋅45616

115 ⋅ 475 mod 809
54625 mod 809 ≡ 422 mod 809

Es gilt also: 45680 ≡ 422 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.