Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20995 + 35004) mod 7 ≡ (20995 mod 7 + 35004 mod 7) mod 7.

20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995 = 21000-5 = 7 ⋅ 3000 -5 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 2.

35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004 = 35000+4 = 7 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(20995 + 35004) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 40) mod 10 ≡ (53 mod 10 ⋅ 40 mod 10) mod 10.

53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 40) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 731¹=731

2: 731²=731¹⁺¹=731¹⋅731¹ ≡ 731⋅731=534361 ≡ 164 mod 863

4: 731⁴=731²⁺²=731²⋅731² ≡ 164⋅164=26896 ≡ 143 mod 863

8: 731⁸=731⁴⁺⁴=731⁴⋅731⁴ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 600 mod 863

16: 731¹⁶=731⁸⁺⁸=731⁸⋅731⁸ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 129 mod 863

32: 731³²=731¹⁶⁺¹⁶=731¹⁶⋅731¹⁶ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 244 mod 863

64: 731⁶⁴=731³²⁺³²=731³²⋅731³² ≡ 244⋅244=59536 ≡ 852 mod 863

128: 731¹²⁸=731⁶⁴⁺⁶⁴=731⁶⁴⋅731⁶⁴ ≡ 852⋅852=725904 ≡ 121 mod 863

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:

140 = 128+8+4

296¹⁴⁰

= 296^128+8+4

= 296¹²⁸⋅296⁸⋅296⁴

≡ 187 ⋅ 319 ⋅ 242 mod 353
≡ 59653 ⋅ 242 mod 353 ≡ 349 ⋅ 242 mod 353
≡ 84458 mod 353 ≡ 91 mod 353

Es gilt also: 296¹⁴⁰ ≡ 91 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53	= 1⋅35 + 18
=>35	= 1⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35) = -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53