Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 - 19998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 - 19998) mod 4 ≡ (117 mod 4 - 19998 mod 4) mod 4.
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
Somit gilt:
(117 - 19998) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 16) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 16) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 16) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25416 mod 269.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 254 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 225 mod 269
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 53 mod 269
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 491177 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 457 mod 557
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 531 mod 557
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 119 mod 557
16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 236 mod 557
32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 553 mod 557
64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 16 mod 557
128: 491128=49164+64=49164⋅49164 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 557
491177
= 491128+32+16+1
= 491128⋅49132⋅49116⋅4911
≡ 256 ⋅ 553 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557
≡ 141568 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557 ≡ 90 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557
≡ 21240 ⋅ 491 mod 557 ≡ 74 ⋅ 491 mod 557
≡ 36334 mod 557 ≡ 129 mod 557
Es gilt also: 491177 ≡ 129 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.