Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29998 + 242) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29998 + 242) mod 6 ≡ (29998 mod 6 + 242 mod 6) mod 6.
29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998
= 30000
242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242
= 240
Somit gilt:
(29998 + 242) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 47) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 47) mod 4 ≡ (92 mod 4 ⋅ 47 mod 4) mod 4.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 47) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6928 mod 853.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 692 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6921=692
2: 6922=6921+1=6921⋅6921 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 331 mod 853
4: 6924=6922+2=6922⋅6922 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 377 mod 853
8: 6928=6924+4=6924⋅6924 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 531 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283204 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 429 mod 569
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 254 mod 569
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 219 mod 569
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 165 mod 569
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 482 mod 569
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 172 mod 569
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 565 mod 569
283204
= 283128+64+8+4
= 283128⋅28364⋅2838⋅2834
≡ 565 ⋅ 172 ⋅ 219 ⋅ 254 mod 569
≡ 97180 ⋅ 219 ⋅ 254 mod 569 ≡ 450 ⋅ 219 ⋅ 254 mod 569
≡ 98550 ⋅ 254 mod 569 ≡ 113 ⋅ 254 mod 569
≡ 28702 mod 569 ≡ 252 mod 569
Es gilt also: 283204 ≡ 252 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.