Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (150 - 15002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 - 15002) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 15002 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(150 - 15002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 24) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 24) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 24) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14232 mod 353.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 142 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1421=142

2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 43 mod 353

4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 84 mod 353

8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 349 mod 353

16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 16 mod 353

32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74129 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 741=74

2: 742=741+1=741⋅741 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 209 mod 229

4: 744=742+2=742⋅742 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 171 mod 229

8: 748=744+4=744⋅744 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

16: 7416=748+8=748⋅748 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229

32: 7432=7416+16=7416⋅7416 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229

64: 7464=7432+32=7432⋅7432 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229

128: 74128=7464+64=7464⋅7464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229

74129

= 74128+1

= 74128⋅741

≡ 149 ⋅ 74 mod 229
≡ 11026 mod 229 ≡ 34 mod 229

Es gilt also: 74129 ≡ 34 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26

=>73 = 2⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26)
= 5⋅73 -14⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -14⋅26

-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26

-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1

(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1

59⋅26 = 21⋅73 + 1

Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1

Somit 59⋅26 = 1 mod 73

59 ist also das Inverse von 26 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.