Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (996 - 500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(996 - 500) mod 5 ≡ (996 mod 5 - 500 mod 5) mod 5.
996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996
= 900
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
Somit gilt:
(996 - 500) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 26) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 26) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 26 mod 11) mod 11.
51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 26) mod 11 ≡ (7 ⋅ 4) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30432 mod 739.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3041=304
2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 41 mod 739
4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 203 mod 739
8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 564 mod 739
16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 326 mod 739
32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 599 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26391 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 220 mod 269
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 249 mod 269
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269
64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269
26391
= 26364+16+8+2+1
= 26364⋅26316⋅2638⋅2632⋅2631
≡ 66 ⋅ 131 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 263 mod 269
≡ 8646 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 263 mod 269 ≡ 38 ⋅ 249 ⋅ 36 ⋅ 263 mod 269
≡ 9462 ⋅ 36 ⋅ 263 mod 269 ≡ 47 ⋅ 36 ⋅ 263 mod 269
≡ 1692 ⋅ 263 mod 269 ≡ 78 ⋅ 263 mod 269
≡ 20514 mod 269 ≡ 70 mod 269
Es gilt also: 26391 ≡ 70 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.