Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17999 - 36009) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17999 - 36009) mod 9 ≡ (17999 mod 9 - 36009 mod 9) mod 9.

17999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999 = 18000-1 = 9 ⋅ 2000 -1 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 8.

36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009 = 36000+9 = 9 ⋅ 4000 +9.

Somit gilt:

(17999 - 36009) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 83) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 83) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 83 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 83) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59116 mod 743.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 71 mod 743

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 583 mod 743

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 338 mod 743

16: 59116=5918+8=5918⋅5918 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 565 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 220123 mod 241.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 200 mod 241

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 235 mod 241

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 36 mod 241

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 91 mod 241

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241

220123

= 22064+32+16+8+2+1

= 22064⋅22032⋅22016⋅2208⋅2202⋅2201

98 ⋅ 87 ⋅ 91 ⋅ 36 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241
8526 ⋅ 91 ⋅ 36 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241 ≡ 91 ⋅ 91 ⋅ 36 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241
8281 ⋅ 36 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241 ≡ 87 ⋅ 36 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241
3132 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241 ≡ 240 ⋅ 200 ⋅ 220 mod 241
48000 ⋅ 220 mod 241 ≡ 41 ⋅ 220 mod 241
9020 mod 241 ≡ 103 mod 241

Es gilt also: 220123 ≡ 103 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.