Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (144 + 21005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(144 + 21005) mod 7 ≡ (144 mod 7 + 21005 mod 7) mod 7.
144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144
= 140
21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005
= 21000
Somit gilt:
(144 + 21005) mod 7 ≡ (4 + 5) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 69) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 69) mod 5 ≡ (30 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.
30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 69) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16132 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 161 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1611=161
2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 309 mod 337
4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 110 mod 337
8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 305 mod 337
16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 13 mod 337
32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47491 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 4741=474
2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 269 mod 643
4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 345 mod 643
8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 70 mod 643
16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 399 mod 643
32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 380 mod 643
64: 47464=47432+32=47432⋅47432 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 368 mod 643
47491
= 47464+16+8+2+1
= 47464⋅47416⋅4748⋅4742⋅4741
≡ 368 ⋅ 399 ⋅ 70 ⋅ 269 ⋅ 474 mod 643
≡ 146832 ⋅ 70 ⋅ 269 ⋅ 474 mod 643 ≡ 228 ⋅ 70 ⋅ 269 ⋅ 474 mod 643
≡ 15960 ⋅ 269 ⋅ 474 mod 643 ≡ 528 ⋅ 269 ⋅ 474 mod 643
≡ 142032 ⋅ 474 mod 643 ≡ 572 ⋅ 474 mod 643
≡ 271128 mod 643 ≡ 425 mod 643
Es gilt also: 47491 ≡ 425 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.