Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (283 - 35006) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(283 - 35006) mod 7 ≡ (283 mod 7 - 35006 mod 7) mod 7.

283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283 = 280+3 = 7 ⋅ 40 +3.

35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006 = 35000+6 = 7 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(283 - 35006) mod 7 ≡ (3 - 6) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 21) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 21) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 21) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13332 mod 397.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 133 -> x
2. mod(x²,397) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1331=133

2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 221 mod 397

4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 10 mod 397

8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 397

16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39379 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 3931=393

2: 3932=3931+1=3931⋅3931 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 97 mod 877

4: 3934=3932+2=3932⋅3932 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 639 mod 877

8: 3938=3934+4=3934⋅3934 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 516 mod 877

16: 39316=3938+8=3938⋅3938 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 525 mod 877

32: 39332=39316+16=39316⋅39316 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 247 mod 877

64: 39364=39332+32=39332⋅39332 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 496 mod 877

39379

= 39364+8+4+2+1

= 39364⋅3938⋅3934⋅3932⋅3931

496 ⋅ 516 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
255936 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877 ≡ 729 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
465831 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877 ≡ 144 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
13968 ⋅ 393 mod 877 ≡ 813 ⋅ 393 mod 877
319509 mod 877 ≡ 281 mod 877

Es gilt also: 39379 ≡ 281 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69

=>83 = 1⋅69 + 14
=>69 = 4⋅14 + 13
=>14 = 1⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 69-4⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14)
= -1⋅69 +5⋅ 14 (=1)
14= 83-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69)
= 5⋅83 -6⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69

oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅83 = -6⋅69

-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69

-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1

(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1

77⋅69 = 64⋅83 + 1

Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1

Somit 77⋅69 = 1 mod 83

77 ist also das Inverse von 69 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.