Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4500 - 900) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4500 - 900) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 900 mod 9) mod 9.

4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500 = 4500+0 = 9 ⋅ 500 +0.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(4500 - 900) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 98) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 98) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 98) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 617.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 469 mod 617

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 309 mod 617

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 463 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230111 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 431 mod 739

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 272 mod 739

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 84 mod 739

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 405 mod 739

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 706 mod 739

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 350 mod 739

230111

= 23064+32+8+4+2+1

= 23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2302⋅2301

350 ⋅ 706 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
247100 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 274 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
23016 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 107 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
29104 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 283 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
121973 ⋅ 230 mod 739 ≡ 38 ⋅ 230 mod 739
8740 mod 739 ≡ 611 mod 739

Es gilt also: 230111 ≡ 611 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.