Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 - 83) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 - 83) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 83 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
Somit gilt:
(84 - 83) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 98) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 98) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 98) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21016 mod 577.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 248 mod 577
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 342 mod 577
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 410 mod 577
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 193 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329149 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 10 mod 839
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 839
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 771 mod 839
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 429 mod 839
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 300 mod 839
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 227 mod 839
128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 350 mod 839
329149
= 329128+16+4+1
= 329128⋅32916⋅3294⋅3291
≡ 350 ⋅ 429 ⋅ 100 ⋅ 329 mod 839
≡ 150150 ⋅ 100 ⋅ 329 mod 839 ≡ 808 ⋅ 100 ⋅ 329 mod 839
≡ 80800 ⋅ 329 mod 839 ≡ 256 ⋅ 329 mod 839
≡ 84224 mod 839 ≡ 324 mod 839
Es gilt also: 329149 ≡ 324 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59
| =>67 | = 1⋅59 + 8 |
| =>59 | = 7⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1) |
| 8= 67-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59
oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅67 = +25⋅59
Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1
Somit 25⋅59 = 1 mod 67
25 ist also das Inverse von 59 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.