Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31995 - 7998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31995 - 7998) mod 8 ≡ (31995 mod 8 - 7998 mod 8) mod 8.
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
7998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
Somit gilt:
(31995 - 7998) mod 8 ≡ (3 - 6) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 50) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 50) mod 4 ≡ (97 mod 4 ⋅ 50 mod 4) mod 4.
97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 50) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37916 mod 727.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 422 mod 727
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 696 mod 727
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 234 mod 727
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 231 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 203120 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 2031=203
2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 101 mod 239
4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 163 mod 239
8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 40 mod 239
16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 166 mod 239
32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 71 mod 239
64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 22 mod 239
203120
= 20364+32+16+8
= 20364⋅20332⋅20316⋅2038
≡ 22 ⋅ 71 ⋅ 166 ⋅ 40 mod 239
≡ 1562 ⋅ 166 ⋅ 40 mod 239 ≡ 128 ⋅ 166 ⋅ 40 mod 239
≡ 21248 ⋅ 40 mod 239 ≡ 216 ⋅ 40 mod 239
≡ 8640 mod 239 ≡ 36 mod 239
Es gilt also: 203120 ≡ 36 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.