Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3005 - 125) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3005 - 125) mod 6 ≡ (3005 mod 6 - 125 mod 6) mod 6.
3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005
= 3000
125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125
= 120
Somit gilt:
(3005 - 125) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 94) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 94) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 94 mod 11) mod 11.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 94) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13464 mod 317.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 134 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 204 mod 317
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 89 mod 317
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 313 mod 317
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 16 mod 317
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 317
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 234 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402123 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 601 mod 691
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 499 mod 691
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 241 mod 691
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 37 mod 691
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 678 mod 691
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 169 mod 691
402123
= 40264+32+16+8+2+1
= 40264⋅40232⋅40216⋅4028⋅4022⋅4021
≡ 169 ⋅ 678 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 114582 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 567 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 20979 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 249 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 60009 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 583 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 350383 ⋅ 402 mod 691 ≡ 46 ⋅ 402 mod 691
≡ 18492 mod 691 ≡ 526 mod 691
Es gilt also: 402123 ≡ 526 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46
| =>53 | = 1⋅46 + 7 |
| =>46 | = 6⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 46-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +15⋅46
Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1
Somit 15⋅46 = 1 mod 53
15 ist also das Inverse von 46 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
