Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1498 - 12000) mod 3 ≡ (1498 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1498 - 12000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 100) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 100 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 100) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 175¹=175

2: 175²=175¹⁺¹=175¹⋅175¹ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 264 mod 313

4: 175⁴=175²⁺²=175²⋅175² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 210 mod 313

8: 175⁸=175⁴⁺⁴=175⁴⋅175⁴ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 280 mod 313

16: 175¹⁶=175⁸⁺⁸=175⁸⋅175⁸ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 150 mod 313

32: 175³²=175¹⁶⁺¹⁶=175¹⁶⋅175¹⁶ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 277 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

831²⁴⁴

= 831^{128+64+32+16+4}

= 831¹²⁸⋅831⁶⁴⋅831³²⋅831¹⁶⋅831⁴

≡ 819 ⋅ 841 ⋅ 918 ⋅ 559 ⋅ 377 mod 947
≡ 688779 ⋅ 918 ⋅ 559 ⋅ 377 mod 947 ≡ 310 ⋅ 918 ⋅ 559 ⋅ 377 mod 947
≡ 284580 ⋅ 559 ⋅ 377 mod 947 ≡ 480 ⋅ 559 ⋅ 377 mod 947
≡ 268320 ⋅ 377 mod 947 ≡ 319 ⋅ 377 mod 947
≡ 120263 mod 947 ≡ 941 mod 947

Es gilt also: 831²⁴⁴ ≡ 941 mod 947

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71

=>83	= 1⋅71 + 12
=>71	= 5⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 71-5⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1)
12= 83-1⋅71	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71) = -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71

oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅83 = -7⋅71

-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71

-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1

(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1

76⋅71 = 65⋅83 + 1

Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1

Somit 76⋅71 = 1 mod 83

76 ist also das Inverse von 71 mod 83