Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 - 4003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 - 4003) mod 4 ≡ (159 mod 4 - 4003 mod 4) mod 4.
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
Somit gilt:
(159 - 4003) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 59) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 59) mod 3 ≡ (88 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 59) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16516 mod 229.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 165 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 203 mod 229
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 218 mod 229
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 121 mod 229
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 214 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 515122 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 5151=515
2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 36 mod 521
4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 254 mod 521
8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 433 mod 521
16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521
32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521
64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 427 mod 521
515122
= 51564+32+16+8+2
= 51564⋅51532⋅51516⋅5158⋅5152
≡ 427 ⋅ 352 ⋅ 450 ⋅ 433 ⋅ 36 mod 521
≡ 150304 ⋅ 450 ⋅ 433 ⋅ 36 mod 521 ≡ 256 ⋅ 450 ⋅ 433 ⋅ 36 mod 521
≡ 115200 ⋅ 433 ⋅ 36 mod 521 ≡ 59 ⋅ 433 ⋅ 36 mod 521
≡ 25547 ⋅ 36 mod 521 ≡ 18 ⋅ 36 mod 521
≡ 648 mod 521 ≡ 127 mod 521
Es gilt also: 515122 ≡ 127 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.