Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1499 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1499 + 150) mod 3 ≡ (1499 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1500
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(1499 + 150) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 35) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 35) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24932 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2491=249
2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 330 mod 337
4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 49 mod 337
8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 42 mod 337
16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 79 mod 337
32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 175 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246105 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 158 mod 293
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 59 mod 293
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293
246105
= 24664+32+8+1
= 24664⋅24632⋅2468⋅2461
≡ 284 ⋅ 172 ⋅ 258 ⋅ 246 mod 293
≡ 48848 ⋅ 258 ⋅ 246 mod 293 ≡ 210 ⋅ 258 ⋅ 246 mod 293
≡ 54180 ⋅ 246 mod 293 ≡ 268 ⋅ 246 mod 293
≡ 65928 mod 293 ≡ 3 mod 293
Es gilt also: 246105 ≡ 3 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54
| =>79 | = 1⋅54 + 25 |
| =>54 | = 2⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 54-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -19⋅54
-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54
-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1
(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1
60⋅54 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1
Somit 60⋅54 = 1 mod 79
60 ist also das Inverse von 54 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.