Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36003 - 9004) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36003 - 9004) mod 9 ≡ (36003 mod 9 - 9004 mod 9) mod 9.

36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003 = 36000+3 = 9 ⋅ 4000 +3.

9004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9004 = 9000+4 = 9 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(36003 - 9004) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 79) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 79) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 79 mod 10) mod 10.

26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.

79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 79) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13516 mod 223.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1351=135

2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 162 mod 223

4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 153 mod 223

8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 217 mod 223

16: 13516=1358+8=1358⋅1358 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 504115 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 40 mod 599

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 402 mod 599

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 473 mod 599

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 302 mod 599

32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 156 mod 599

64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 376 mod 599

504115

= 50464+32+16+2+1

= 50464⋅50432⋅50416⋅5042⋅5041

376 ⋅ 156 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
58656 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599 ≡ 553 ⋅ 302 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
167006 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599 ≡ 484 ⋅ 40 ⋅ 504 mod 599
19360 ⋅ 504 mod 599 ≡ 192 ⋅ 504 mod 599
96768 mod 599 ≡ 329 mod 599

Es gilt also: 504115 ≡ 329 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.