Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (500 - 202) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(500 - 202) mod 5 ≡ (500 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(500 - 202) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 53) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 53) mod 8 ≡ (3 ⋅ 5) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85832 mod 863.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 858 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8581=858
2: 8582=8581+1=8581⋅8581 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 25 mod 863
4: 8584=8582+2=8582⋅8582 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 863
8: 8588=8584+4=8584⋅8584 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 549 mod 863
16: 85816=8588+8=8588⋅8588 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 214 mod 863
32: 85832=85816+16=85816⋅85816 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 57 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 818170 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 8181=818
2: 8182=8181+1=8181⋅8181 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 856 mod 977
4: 8184=8182+2=8182⋅8182 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 963 mod 977
8: 8188=8184+4=8184⋅8184 ≡ 963⋅963=927369 ≡ 196 mod 977
16: 81816=8188+8=8188⋅8188 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 313 mod 977
32: 81832=81816+16=81816⋅81816 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977
64: 81864=81832+32=81832⋅81832 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977
128: 818128=81864+64=81864⋅81864 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 61 mod 977
818170
= 818128+32+8+2
= 818128⋅81832⋅8188⋅8182
≡ 61 ⋅ 269 ⋅ 196 ⋅ 856 mod 977
≡ 16409 ⋅ 196 ⋅ 856 mod 977 ≡ 777 ⋅ 196 ⋅ 856 mod 977
≡ 152292 ⋅ 856 mod 977 ≡ 857 ⋅ 856 mod 977
≡ 733592 mod 977 ≡ 842 mod 977
Es gilt also: 818170 ≡ 842 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.