Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (394 + 1608) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(394 + 1608) mod 8 ≡ (394 mod 8 + 1608 mod 8) mod 8.
394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394
= 400
1608 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1608
= 1600
Somit gilt:
(394 + 1608) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 30) mod 7 ≡ (57 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 30) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35716 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 194 mod 821
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 691 mod 821
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 480 mod 821
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 520 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 298171 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 175 mod 953
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 129 mod 953
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 440 mod 953
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 141 mod 953
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 821 mod 953
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 270 mod 953
128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 472 mod 953
298171
= 298128+32+8+2+1
= 298128⋅29832⋅2988⋅2982⋅2981
≡ 472 ⋅ 821 ⋅ 440 ⋅ 175 ⋅ 298 mod 953
≡ 387512 ⋅ 440 ⋅ 175 ⋅ 298 mod 953 ≡ 594 ⋅ 440 ⋅ 175 ⋅ 298 mod 953
≡ 261360 ⋅ 175 ⋅ 298 mod 953 ≡ 238 ⋅ 175 ⋅ 298 mod 953
≡ 41650 ⋅ 298 mod 953 ≡ 671 ⋅ 298 mod 953
≡ 199958 mod 953 ≡ 781 mod 953
Es gilt also: 298171 ≡ 781 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.