Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 + 88) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 88) mod 3 ≡ (63 mod 3 + 88 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

Somit gilt:

(63 + 88) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 88) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 88) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 88) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2268 mod 347.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2261=226

2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 67 mod 347

4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 325 mod 347

8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 137 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266225 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 373 mod 809

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 790 mod 809

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 361 mod 809

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 72 mod 809

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809

128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809

266225

= 266128+64+32+1

= 266128⋅26664⋅26632⋅2661

527 ⋅ 494 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809
260338 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809 ≡ 649 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809
214170 ⋅ 266 mod 809 ≡ 594 ⋅ 266 mod 809
158004 mod 809 ≡ 249 mod 809

Es gilt also: 266225 ≡ 249 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89 = 1⋅51 + 38
=>51 = 1⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38)
= 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51)
= -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.