Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11995 - 29996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11995 - 29996) mod 6 ≡ (11995 mod 6 - 29996 mod 6) mod 6.
11995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11995
= 12000
29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996
= 30000
Somit gilt:
(11995 - 29996) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 69) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 69) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 69) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22632 mod 677.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 301 mod 677
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 560 mod 677
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 149 mod 677
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 537 mod 677
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 644 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8673 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 132 mod 227
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 172 mod 227
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 74 mod 227
16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 28 mod 227
32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 28⋅28=784 ≡ 103 mod 227
64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 167 mod 227
8673
= 8664+8+1
= 8664⋅868⋅861
≡ 167 ⋅ 74 ⋅ 86 mod 227
≡ 12358 ⋅ 86 mod 227 ≡ 100 ⋅ 86 mod 227
≡ 8600 mod 227 ≡ 201 mod 227
Es gilt also: 8673 ≡ 201 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88
| =>97 | = 1⋅88 + 9 |
| =>88 | = 9⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 88-9⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +43⋅88
Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1
Somit 43⋅88 = 1 mod 97
43 ist also das Inverse von 88 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.