Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 - 16004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 - 16004) mod 4 ≡ (12002 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
Somit gilt:
(12002 - 16004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 79) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 79) mod 11 ≡ (63 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.
63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 79) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1558 mod 439.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 155 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1551=155
2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 319 mod 439
4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 352 mod 439
8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 106 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 193238 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 65 mod 211
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 5 mod 211
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 211
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 25⋅25=625 ≡ 203 mod 211
128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 64 mod 211
193238
= 193128+64+32+8+4+2
= 193128⋅19364⋅19332⋅1938⋅1934⋅1932
≡ 64 ⋅ 203 ⋅ 25 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211
≡ 12992 ⋅ 25 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211 ≡ 121 ⋅ 25 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211
≡ 3025 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211 ≡ 71 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211
≡ 4615 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211 ≡ 184 ⋅ 109 ⋅ 113 mod 211
≡ 20056 ⋅ 113 mod 211 ≡ 11 ⋅ 113 mod 211
≡ 1243 mod 211 ≡ 188 mod 211
Es gilt also: 193238 ≡ 188 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.