Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 - 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 - 30) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.
5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
Somit gilt:
(5997 - 30) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38516 mod 509.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 106 mod 509
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 38 mod 509
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 426 mod 509
16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 272 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45680 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 4561=456
2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 23 mod 809
4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 809
8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 736 mod 809
16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 475 mod 809
32: 45632=45616+16=45616⋅45616 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 723 mod 809
64: 45664=45632+32=45632⋅45632 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 115 mod 809
45680
= 45664+16
= 45664⋅45616
≡ 115 ⋅ 475 mod 809
≡ 54625 mod 809 ≡ 422 mod 809
Es gilt also: 45680 ≡ 422 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55
| =>71 | = 1⋅55 + 16 |
| =>55 | = 3⋅16 + 7 |
| =>16 | = 2⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 16-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1) |
| 16= 71-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55
oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +24⋅71 = +31⋅55
Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1
Somit 31⋅55 = 1 mod 71
31 ist also das Inverse von 55 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.