Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15999 + 80) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15999 + 80) mod 4 ≡ (15999 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(15999 + 80) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 46) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 46) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 46) mod 9 ≡ (3 ⋅ 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33364 mod 479.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3331=333

2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 240 mod 479

4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 120 mod 479

8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 30 mod 479

16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 30⋅30=900 ≡ 421 mod 479

32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 11 mod 479

64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 264137 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:

137 = 128+8+1

1: 2641=264

2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 49 mod 271

4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271

8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271

16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271

32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271

64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271

128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 198 mod 271

264137

= 264128+8+1

= 264128⋅2648⋅2641

198 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271
17622 ⋅ 264 mod 271 ≡ 7 ⋅ 264 mod 271
1848 mod 271 ≡ 222 mod 271

Es gilt also: 264137 ≡ 222 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68

=>97 = 1⋅68 + 29
=>68 = 2⋅29 + 10
=>29 = 2⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 29-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10)
= -1⋅29 +3⋅ 10 (=1)
10= 68-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29)
= 3⋅68 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68)
= -7⋅97 +10⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +10⋅68

Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1

Somit 10⋅68 = 1 mod 97

10 ist also das Inverse von 68 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.