Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 597) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 597) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 597 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(6000 + 597) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 99) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 99) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26132 mod 281.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 261 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 119 mod 281
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 111 mod 281
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 155 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230239 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:
239 = 128+64+32+8+4+2+1
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 106 mod 419
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 342 mod 419
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 63 mod 419
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 198 mod 419
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 237 mod 419
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 23 mod 419
128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 23⋅23=529 ≡ 110 mod 419
230239
= 230128+64+32+8+4+2+1
= 230128⋅23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2302⋅2301
≡ 110 ⋅ 23 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 2530 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 16 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 3792 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 21 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 1323 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 66 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 22572 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 365 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 38690 ⋅ 230 mod 419 ≡ 142 ⋅ 230 mod 419
≡ 32660 mod 419 ≡ 397 mod 419
Es gilt also: 230239 ≡ 397 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
