Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 597) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 597) mod 3 ≡ (1199 mod 3 - 597 mod 3) mod 3.
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(1199 - 597) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 87) mod 3 ≡ (27 mod 3 ⋅ 87 mod 3) mod 3.
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 87) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19016 mod 523.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 190 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1901=190
2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 13 mod 523
4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 523
8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 319 mod 523
16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 299 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 588104 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 5881=588
2: 5882=5881+1=5881⋅5881 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 51 mod 829
4: 5884=5882+2=5882⋅5882 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 114 mod 829
8: 5888=5884+4=5884⋅5884 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 561 mod 829
16: 58816=5888+8=5888⋅5888 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 530 mod 829
32: 58832=58816+16=58816⋅58816 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 698 mod 829
64: 58864=58832+32=58832⋅58832 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 581 mod 829
588104
= 58864+32+8
= 58864⋅58832⋅5888
≡ 581 ⋅ 698 ⋅ 561 mod 829
≡ 405538 ⋅ 561 mod 829 ≡ 157 ⋅ 561 mod 829
≡ 88077 mod 829 ≡ 203 mod 829
Es gilt also: 588104 ≡ 203 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.