Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18001 + 1194) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18001 + 1194) mod 6 ≡ (18001 mod 6 + 1194 mod 6) mod 6.
18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001
= 18000
1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194
= 1200
Somit gilt:
(18001 + 1194) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 47) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 47) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 47) mod 11 ≡ (1 ⋅ 3) mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59864 mod 643.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 598 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5981=598
2: 5982=5981+1=5981⋅5981 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 96 mod 643
4: 5984=5982+2=5982⋅5982 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 214 mod 643
8: 5988=5984+4=5984⋅5984 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 143 mod 643
16: 59816=5988+8=5988⋅5988 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 516 mod 643
32: 59832=59816+16=59816⋅59816 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 54 mod 643
64: 59864=59832+32=59832⋅59832 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 344 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 351158 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 3511=351
2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 527 mod 739
4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 604 mod 739
8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 489 mod 739
16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 424 mod 739
32: 35132=35116+16=35116⋅35116 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 199 mod 739
64: 35164=35132+32=35132⋅35132 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 434 mod 739
128: 351128=35164+64=35164⋅35164 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 650 mod 739
351158
= 351128+16+8+4+2
= 351128⋅35116⋅3518⋅3514⋅3512
≡ 650 ⋅ 424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 275600 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739 ≡ 692 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 338388 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739 ≡ 665 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 401660 ⋅ 527 mod 739 ≡ 383 ⋅ 527 mod 739
≡ 201841 mod 739 ≡ 94 mod 739
Es gilt also: 351158 ≡ 94 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
