Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (151 - 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(151 - 1500) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 1500 mod 3) mod 3.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(151 - 1500) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 91) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 91) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 91) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14332 mod 347.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 323 mod 347

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 229 mod 347

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 44 mod 347

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 201 mod 347

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 149 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 507169 mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 5071=507

2: 5072=5071+1=5071⋅5071 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 190 mod 647

4: 5074=5072+2=5072⋅5072 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 515 mod 647

8: 5078=5074+4=5074⋅5074 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 602 mod 647

16: 50716=5078+8=5078⋅5078 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 84 mod 647

32: 50732=50716+16=50716⋅50716 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 586 mod 647

64: 50764=50732+32=50732⋅50732 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 486 mod 647

128: 507128=50764+64=50764⋅50764 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 41 mod 647

507169

= 507128+32+8+1

= 507128⋅50732⋅5078⋅5071

41 ⋅ 586 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647
24026 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647 ≡ 87 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647
52374 ⋅ 507 mod 647 ≡ 614 ⋅ 507 mod 647
311298 mod 647 ≡ 91 mod 647

Es gilt also: 507169 ≡ 91 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.