Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 + 31) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 31 mod 3) mod 3.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(89 + 31) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 48) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 48 mod 5) mod 5.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 48) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 242¹=242

2: 242²=242¹⁺¹=242¹⋅242¹ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 326 mod 787

4: 242⁴=242²⁺²=242²⋅242² ≡ 326⋅326=106276 ≡ 31 mod 787

8: 242⁸=242⁴⁺⁴=242⁴⋅242⁴ ≡ 31⋅31=961 ≡ 174 mod 787

16: 242¹⁶=242⁸⁺⁸=242⁸⋅242⁸ ≡ 174⋅174=30276 ≡ 370 mod 787

32: 242³²=242¹⁶⁺¹⁶=242¹⁶⋅242¹⁶ ≡ 370⋅370=136900 ≡ 749 mod 787

64: 242⁶⁴=242³²⁺³²=242³²⋅242³² ≡ 749⋅749=561001 ≡ 657 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

167¹⁹⁰

= 167^{128+32+16+8+4+2}

= 167¹²⁸⋅167³²⋅167¹⁶⋅167⁸⋅167⁴⋅167²

≡ 329 ⋅ 76 ⋅ 349 ⋅ 449 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541
≡ 25004 ⋅ 349 ⋅ 449 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541 ≡ 118 ⋅ 349 ⋅ 449 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541
≡ 41182 ⋅ 449 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541 ≡ 66 ⋅ 449 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541
≡ 29634 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541 ≡ 420 ⋅ 80 ⋅ 298 mod 541
≡ 33600 ⋅ 298 mod 541 ≡ 58 ⋅ 298 mod 541
≡ 17284 mod 541 ≡ 513 mod 541

Es gilt also: 167¹⁹⁰ ≡ 513 mod 541

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61	= 1⋅42 + 19
=>42	= 2⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42) = 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61