Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1204 + 30004) mod 6 ≡ (1204 mod 6 + 30004 mod 6) mod 6.

1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 6 ⋅ 200 +4.

30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004 = 30000+4 = 6 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(1204 + 30004) mod 6 ≡ (4 + 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 49) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 49) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 504¹=504

2: 504²=504¹⁺¹=504¹⋅504¹ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 194 mod 709

4: 504⁴=504²⁺²=504²⋅504² ≡ 194⋅194=37636 ≡ 59 mod 709

8: 504⁸=504⁴⁺⁴=504⁴⋅504⁴ ≡ 59⋅59=3481 ≡ 645 mod 709

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

728¹⁸⁷

= 728^{128+32+16+8+2+1}

= 728¹²⁸⋅728³²⋅728¹⁶⋅728⁸⋅728²⋅728¹

≡ 285 ⋅ 15 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 4275 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 80 ⋅ 523 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 41840 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 729 ⋅ 125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 91125 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839 ≡ 513 ⋅ 575 ⋅ 728 mod 839
≡ 294975 ⋅ 728 mod 839 ≡ 486 ⋅ 728 mod 839
≡ 353808 mod 839 ≡ 589 mod 839

Es gilt also: 728¹⁸⁷ ≡ 589 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61