Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1400 - 280) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1400 - 280) mod 7 ≡ (1400 mod 7 - 280 mod 7) mod 7.
1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400
= 1400
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
Somit gilt:
(1400 - 280) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 88) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 88) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 88) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 437128 mod 907.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4371=437
2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 499 mod 907
4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 483 mod 907
8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 190 mod 907
16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 727 mod 907
32: 43732=43716+16=43716⋅43716 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 655 mod 907
64: 43764=43732+32=43732⋅43732 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 14 mod 907
128: 437128=43764+64=43764⋅43764 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446254 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 832 mod 971
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 872 mod 971
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 91 mod 971
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 513 mod 971
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 28 mod 971
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 971
128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 13 mod 971
446254
= 446128+64+32+16+8+4+2
= 446128⋅44664⋅44632⋅44616⋅4468⋅4464⋅4462
≡ 13 ⋅ 784 ⋅ 28 ⋅ 513 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971
≡ 10192 ⋅ 28 ⋅ 513 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971 ≡ 482 ⋅ 28 ⋅ 513 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971
≡ 13496 ⋅ 513 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971 ≡ 873 ⋅ 513 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971
≡ 447849 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971 ≡ 218 ⋅ 91 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971
≡ 19838 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971 ≡ 418 ⋅ 872 ⋅ 832 mod 971
≡ 364496 ⋅ 832 mod 971 ≡ 371 ⋅ 832 mod 971
≡ 308672 mod 971 ≡ 865 mod 971
Es gilt also: 446254 ≡ 865 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
