Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (235 - 16007) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(235 - 16007) mod 8 ≡ (235 mod 8 - 16007 mod 8) mod 8.
235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235
= 240
16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007
= 16000
Somit gilt:
(235 - 16007) mod 8 ≡ (3 - 7) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 36) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 36) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6598 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 659 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6591=659
2: 6592=6591+1=6591⋅6591 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 262 mod 727
4: 6594=6592+2=6592⋅6592 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 306 mod 727
8: 6598=6594+4=6594⋅6594 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 580 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 449176 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 4491=449
2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 207 mod 997
4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 975 mod 997
8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 975⋅975=950625 ≡ 484 mod 997
16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 958 mod 997
32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997
64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997
128: 449128=44964+64=44964⋅44964 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997
449176
= 449128+32+16
= 449128⋅44932⋅44916
≡ 284 ⋅ 524 ⋅ 958 mod 997
≡ 148816 ⋅ 958 mod 997 ≡ 263 ⋅ 958 mod 997
≡ 251954 mod 997 ≡ 710 mod 997
Es gilt also: 449176 ≡ 710 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19
| =>53 | = 2⋅19 + 15 |
| =>19 | = 1⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 19-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +14⋅19
Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1
Somit 14⋅19 = 1 mod 53
14 ist also das Inverse von 19 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.