Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 + 3002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 3002) mod 3 ≡ (2999 mod 3 + 3002 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(2999 + 3002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 80) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 80) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33432 mod 353.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 8 mod 353

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 353

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 213 mod 353

16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 185 mod 353

32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 303158 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 487 mod 593

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 562 mod 593

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 368 mod 593

16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 220 mod 593

32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 367 mod 593

64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 78 mod 593

128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593

303158

= 303128+16+8+4+2

= 303128⋅30316⋅3038⋅3034⋅3032

154 ⋅ 220 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
33880 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593 ≡ 79 ⋅ 368 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
29072 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593 ≡ 15 ⋅ 562 ⋅ 487 mod 593
8430 ⋅ 487 mod 593 ≡ 128 ⋅ 487 mod 593
62336 mod 593 ≡ 71 mod 593

Es gilt also: 303158 ≡ 71 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38

=>83 = 2⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 83-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38)
= 11⋅83 -24⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -24⋅38

-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38

-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1

(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1

59⋅38 = 27⋅83 + 1

Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1

Somit 59⋅38 = 1 mod 83

59 ist also das Inverse von 38 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.