Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14999 - 2003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14999 - 2003) mod 5 ≡ (14999 mod 5 - 2003 mod 5) mod 5.

14999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 14000+999 = 5 ⋅ 2800 +999.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(14999 - 2003) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 68) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 68) mod 4 ≡ (63 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 68) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 602128 mod 839.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 602 -> x
2. mod(x²,839) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6021=602

2: 6022=6021+1=6021⋅6021 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 795 mod 839

4: 6024=6022+2=6022⋅6022 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 258 mod 839

8: 6028=6024+4=6024⋅6024 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 283 mod 839

16: 60216=6028+8=6028⋅6028 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 384 mod 839

32: 60232=60216+16=60216⋅60216 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 631 mod 839

64: 60264=60232+32=60232⋅60232 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 475 mod 839

128: 602128=60264+64=60264⋅60264 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 773 mod 839

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425167 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 189 mod 571

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 319 mod 571

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 123 mod 571

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 283 mod 571

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 149 mod 571

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 503 mod 571

128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 56 mod 571

425167

= 425128+32+4+2+1

= 425128⋅42532⋅4254⋅4252⋅4251

56 ⋅ 149 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
8344 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571 ≡ 350 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
111650 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571 ≡ 305 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
57645 ⋅ 425 mod 571 ≡ 545 ⋅ 425 mod 571
231625 mod 571 ≡ 370 mod 571

Es gilt also: 425167 ≡ 370 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.