Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (802 - 400) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(802 - 400) mod 8 ≡ (802 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.
802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802
= 800
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(802 - 400) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 20) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 20) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 20) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65616 mod 863.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 656 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6561=656
2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 562 mod 863
4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 849 mod 863
8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 196 mod 863
16: 65616=6568+8=6568⋅6568 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 444 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 249234 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 2491=249
2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 163 mod 631
4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 67 mod 631
8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 72 mod 631
16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 136 mod 631
32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 197 mod 631
64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 318 mod 631
128: 249128=24964+64=24964⋅24964 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 164 mod 631
249234
= 249128+64+32+8+2
= 249128⋅24964⋅24932⋅2498⋅2492
≡ 164 ⋅ 318 ⋅ 197 ⋅ 72 ⋅ 163 mod 631
≡ 52152 ⋅ 197 ⋅ 72 ⋅ 163 mod 631 ≡ 410 ⋅ 197 ⋅ 72 ⋅ 163 mod 631
≡ 80770 ⋅ 72 ⋅ 163 mod 631 ≡ 2 ⋅ 72 ⋅ 163 mod 631
≡ 144 ⋅ 163 mod 631
≡ 23472 mod 631 ≡ 125 mod 631
Es gilt also: 249234 ≡ 125 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74
| =>83 | = 1⋅74 + 9 |
| =>74 | = 8⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 74-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1) |
| 9= 83-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74
oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅83 = -37⋅74
-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74
-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1
(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1
46⋅74 = 41⋅83 + 1
Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1
Somit 46⋅74 = 1 mod 83
46 ist also das Inverse von 74 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.