Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 15998) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 15998 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(8000 - 15998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 72) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 72) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 247¹=247

2: 247²=247¹⁺¹=247¹⋅247¹ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 438 mod 509

4: 247⁴=247²⁺²=247²⋅247² ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509

8: 247⁸=247⁴⁺⁴=247⁴⋅247⁴ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

192¹⁸⁷

= 192^{128+32+16+8+2+1}

= 192¹²⁸⋅192³²⋅192¹⁶⋅192⁸⋅192²⋅192¹

≡ 224 ⋅ 45 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
≡ 10080 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 226 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
≡ 59212 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 88 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
≡ 23408 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 289 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
≡ 29189 ⋅ 192 mod 379 ≡ 6 ⋅ 192 mod 379
≡ 1152 mod 379 ≡ 15 mod 379

Es gilt also: 192¹⁸⁷ ≡ 15 mod 379

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71	= 1⋅65 + 6
=>65	= 10⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65) = -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71