Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(243 - 1198) mod 6 ≡ (243 mod 6 - 1198 mod 6) mod 6.

243 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 243 = 240+3 = 6 ⋅ 40 +3.

1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 6 ⋅ 200 -2 = 6 ⋅ 200 - 6 + 4.

Somit gilt:

(243 - 1198) mod 6 ≡ (3 - 4) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 54) mod 7 ≡ (65 mod 7 ⋅ 54 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 54) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 784¹=784

2: 784²=784¹⁺¹=784¹⋅784¹ ≡ 784⋅784=614656 ≡ 611 mod 967

4: 784⁴=784²⁺²=784²⋅784² ≡ 611⋅611=373321 ≡ 59 mod 967

8: 784⁸=784⁴⁺⁴=784⁴⋅784⁴ ≡ 59⋅59=3481 ≡ 580 mod 967

16: 784¹⁶=784⁸⁺⁸=784⁸⋅784⁸ ≡ 580⋅580=336400 ≡ 851 mod 967

32: 784³²=784¹⁶⁺¹⁶=784¹⁶⋅784¹⁶ ≡ 851⋅851=724201 ≡ 885 mod 967

64: 784⁶⁴=784³²⁺³²=784³²⋅784³² ≡ 885⋅885=783225 ≡ 922 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

320¹²⁶

= 320^{64+32+16+8+4+2}

= 320⁶⁴⋅320³²⋅320¹⁶⋅320⁸⋅320⁴⋅320²

≡ 186 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619
≡ 52824 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619 ≡ 209 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619
≡ 48906 ⋅ 528 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619 ≡ 5 ⋅ 528 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619
≡ 2640 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619 ≡ 164 ⋅ 278 ⋅ 265 mod 619
≡ 45592 ⋅ 265 mod 619 ≡ 405 ⋅ 265 mod 619
≡ 107325 mod 619 ≡ 238 mod 619

Es gilt also: 320¹²⁶ ≡ 238 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53