Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (137 - 2100) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(137 - 2100) mod 7 ≡ (137 mod 7 - 2100 mod 7) mod 7.

137 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 137 = 140-3 = 7 ⋅ 20 -3 = 7 ⋅ 20 - 7 + 4.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(137 - 2100) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 54) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 54) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 54) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34064 mod 761.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 340 -> x
2. mod(x²,761) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3401=340

2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 689 mod 761

4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 618 mod 761

8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 663 mod 761

16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761

32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 572 mod 761

64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 715 mod 761

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24486 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 113 mod 653

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 362 mod 653

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 444 mod 653

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 583 mod 653

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 329 mod 653

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 496 mod 653

24486

= 24464+16+4+2

= 24464⋅24416⋅2444⋅2442

496 ⋅ 583 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653
289168 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653 ≡ 542 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653
196204 ⋅ 113 mod 653 ≡ 304 ⋅ 113 mod 653
34352 mod 653 ≡ 396 mod 653

Es gilt also: 24486 ≡ 396 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89 = 1⋅70 + 19
=>70 = 3⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19)
= 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70)
= -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.