Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (142 + 21002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(142 + 21002) mod 7 ≡ (142 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.
142 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 142
= 140
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
Somit gilt:
(142 + 21002) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 26) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 26) mod 5 ≡ (69 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 26) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7016 mod 227.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 70 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 701=70
2: 702=701+1=701⋅701 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 133 mod 227
4: 704=702+2=702⋅702 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227
8: 708=704+4=704⋅704 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227
16: 7016=708+8=708⋅708 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28491 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 240 mod 359
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 160 mod 359
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 111 mod 359
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 115 mod 359
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359
28491
= 28464+16+8+2+1
= 28464⋅28416⋅2848⋅2842⋅2841
≡ 133 ⋅ 115 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
≡ 15295 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359 ≡ 217 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
≡ 24087 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359 ≡ 34 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
≡ 8160 ⋅ 284 mod 359 ≡ 262 ⋅ 284 mod 359
≡ 74408 mod 359 ≡ 95 mod 359
Es gilt also: 28491 ≡ 95 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36
| =>83 | = 2⋅36 + 11 |
| =>36 | = 3⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 36-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11) = 4⋅36 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36)
= 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36) = -13⋅83 +30⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +30⋅36
Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1
Somit 30⋅36 = 1 mod 83
30 ist also das Inverse von 36 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.