Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2398 - 176) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2398 - 176) mod 6 ≡ (2398 mod 6 - 176 mod 6) mod 6.
2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398
= 2400
176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
Somit gilt:
(2398 - 176) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 25) mod 4 ≡ (32 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 25) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29216 mod 487.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 39 mod 487
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 60 mod 487
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 191 mod 487
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 443 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235105 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311
235105
= 23564+32+8+1
= 23564⋅23532⋅2358⋅2351
≡ 188 ⋅ 166 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311
≡ 31208 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311 ≡ 108 ⋅ 200 ⋅ 235 mod 311
≡ 21600 ⋅ 235 mod 311 ≡ 141 ⋅ 235 mod 311
≡ 33135 mod 311 ≡ 169 mod 311
Es gilt also: 235105 ≡ 169 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.