Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 - 1198) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 1198 mod 3) mod 3.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

Somit gilt:

(898 - 1198) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 92) mod 3 ≡ (31 mod 3 ⋅ 92 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 92) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 411¹=411

2: 411²=411¹⁺¹=411¹⋅411¹ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 100 mod 421

4: 411⁴=411²⁺²=411²⋅411² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 317 mod 421

8: 411⁸=411⁴⁺⁴=411⁴⋅411⁴ ≡ 317⋅317=100489 ≡ 291 mod 421

16: 411¹⁶=411⁸⁺⁸=411⁸⋅411⁸ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 60 mod 421

32: 411³²=411¹⁶⁺¹⁶=411¹⁶⋅411¹⁶ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 232 mod 421

64: 411⁶⁴=411³²⁺³²=411³²⋅411³² ≡ 232⋅232=53824 ≡ 357 mod 421

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

243¹⁹¹

= 243^{128+32+16+8+4+2+1}

= 243¹²⁸⋅243³²⋅243¹⁶⋅243⁸⋅243⁴⋅243²⋅243¹

≡ 402 ⋅ 371 ⋅ 462 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499
≡ 149142 ⋅ 462 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499 ≡ 440 ⋅ 462 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499
≡ 203280 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499 ≡ 187 ⋅ 31 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499
≡ 5797 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499 ≡ 308 ⋅ 444 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499
≡ 136752 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499 ≡ 26 ⋅ 167 ⋅ 243 mod 499
≡ 4342 ⋅ 243 mod 499 ≡ 350 ⋅ 243 mod 499
≡ 85050 mod 499 ≡ 220 mod 499

Es gilt also: 243¹⁹¹ ≡ 220 mod 499

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79