Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 - 17995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 - 17995) mod 9 ≡ (18000 mod 9 - 17995 mod 9) mod 9.
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
17995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
Somit gilt:
(18000 - 17995) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 24) mod 10 ≡ (41 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 24) mod 10 ≡ (1 ⋅ 4) mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43164 mod 643.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 431 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 577 mod 643
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 498 mod 643
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 449 mod 643
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 342 mod 643
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 581 mod 643
64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 629 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 763164 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 7631=763
2: 7632=7631+1=7631⋅7631 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 709 mod 881
4: 7634=7632+2=7632⋅7632 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 511 mod 881
8: 7638=7634+4=7634⋅7634 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 345 mod 881
16: 76316=7638+8=7638⋅7638 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 90 mod 881
32: 76332=76316+16=76316⋅76316 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 171 mod 881
64: 76364=76332+32=76332⋅76332 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 168 mod 881
128: 763128=76364+64=76364⋅76364 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 32 mod 881
763164
= 763128+32+4
= 763128⋅76332⋅7634
≡ 32 ⋅ 171 ⋅ 511 mod 881
≡ 5472 ⋅ 511 mod 881 ≡ 186 ⋅ 511 mod 881
≡ 95046 mod 881 ≡ 779 mod 881
Es gilt also: 763164 ≡ 779 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82
| =>101 | = 1⋅82 + 19 |
| =>82 | = 4⋅19 + 6 |
| =>19 | = 3⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-3⋅6 | |||
| 6= 82-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82)
= -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -16⋅82
-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82
-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1
(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1
85⋅82 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1
Somit 85⋅82 = 1 mod 101
85 ist also das Inverse von 82 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.