Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 - 30) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(150 - 30) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 62) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 62) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 72¹=72

2: 72²=72¹⁺¹=72¹⋅72¹ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 146 mod 229

4: 72⁴=72²⁺²=72²⋅72² ≡ 146⋅146=21316 ≡ 19 mod 229

8: 72⁸=72⁴⁺⁴=72⁴⋅72⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229

16: 72¹⁶=72⁸⁺⁸=72⁸⋅72⁸ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

32: 72³²=72¹⁶⁺¹⁶=72¹⁶⋅72¹⁶ ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

64: 72⁶⁴=72³²⁺³²=72³²⋅72³² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

227²⁵³

= 227^{128+64+32+16+8+4+1}

= 227¹²⁸⋅227⁶⁴⋅227³²⋅227¹⁶⋅227⁸⋅227⁴⋅227¹

≡ 188 ⋅ 240 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
≡ 45120 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 209 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
≡ 12331 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 293 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
≡ 78524 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 277 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
≡ 31301 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 280 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
≡ 122920 ⋅ 227 mod 463 ≡ 225 ⋅ 227 mod 463
≡ 51075 mod 463 ≡ 145 mod 463

Es gilt also: 227²⁵³ ≡ 145 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67	= 2⋅28 + 11
=>28	= 2⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28) = 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67