Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 599) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 599) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

Somit gilt:

(900 + 599) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 58) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 58) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 58) mod 11 ≡ (4 ⋅ 3) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 71832 mod 751.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 718 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7181=718

2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 338 mod 751

4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 92 mod 751

8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 203 mod 751

16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 655 mod 751

32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 204 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32374 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:

74 = 64+8+2

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 72 mod 761

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 618 mod 761

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 663 mod 761

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 572 mod 761

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 715 mod 761

32374

= 32364+8+2

= 32364⋅3238⋅3232

715 ⋅ 663 ⋅ 72 mod 761
474045 ⋅ 72 mod 761 ≡ 703 ⋅ 72 mod 761
50616 mod 761 ≡ 390 mod 761

Es gilt also: 32374 ≡ 390 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97 = 1⋅52 + 45
=>52 = 1⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45)
= 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52)
= -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.