Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1601 - 120) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1601 - 120) mod 4 ≡ (1601 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(1601 - 120) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 74) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 74) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 74) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6338 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6331=633
2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 112 mod 727
4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 185 mod 727
8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 56 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 232231 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
232231
= 232128+64+32+4+2+1
= 232128⋅23264⋅23232⋅2324⋅2322⋅2321
≡ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
≡ 58928 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
≡ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
≡ 58928 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
≡ 254 ⋅ 232 mod 487
≡ 58928 mod 487 ≡ 1 mod 487
Es gilt also: 232231 ≡ 1 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.