Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 234) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 234) mod 6 ≡ (1200 mod 6 + 234 mod 6) mod 6.
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
Somit gilt:
(1200 + 234) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 34) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 34) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 34 mod 11) mod 11.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 34) mod 11 ≡ (10 ⋅ 1) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27716 mod 761.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 277 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2771=277
2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 629 mod 761
4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 682 mod 761
8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 153 mod 761
16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 579 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 215211 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 194 mod 241
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 40 mod 241
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 154 mod 241
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 98 mod 241
32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
215211
= 215128+64+16+2+1
= 215128⋅21564⋅21516⋅2152⋅2151
≡ 87 ⋅ 91 ⋅ 98 ⋅ 194 ⋅ 215 mod 241
≡ 7917 ⋅ 98 ⋅ 194 ⋅ 215 mod 241 ≡ 205 ⋅ 98 ⋅ 194 ⋅ 215 mod 241
≡ 20090 ⋅ 194 ⋅ 215 mod 241 ≡ 87 ⋅ 194 ⋅ 215 mod 241
≡ 16878 ⋅ 215 mod 241 ≡ 8 ⋅ 215 mod 241
≡ 1720 mod 241 ≡ 33 mod 241
Es gilt also: 215211 ≡ 33 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30
| =>97 | = 3⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-3⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -42⋅30
-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30
-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1
(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1
55⋅30 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1
Somit 55⋅30 = 1 mod 97
55 ist also das Inverse von 30 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.