Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 - 147) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 - 147) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 147 mod 3) mod 3.
5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 150
Somit gilt:
(5997 - 147) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 95) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 95) mod 8 ≡ (29 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.
29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.
95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 95) mod 8 ≡ (5 ⋅ 7) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7964 mod 251.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 79 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 791=79
2: 792=791+1=791⋅791 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 217 mod 251
4: 794=792+2=792⋅792 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 152 mod 251
8: 798=794+4=794⋅794 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 12 mod 251
16: 7916=798+8=798⋅798 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 251
32: 7932=7916+16=7916⋅7916 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 154 mod 251
64: 7964=7932+32=7932⋅7932 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 122 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 637208 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 6371=637
2: 6372=6371+1=6371⋅6371 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 408 mod 857
4: 6374=6372+2=6372⋅6372 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 206 mod 857
8: 6378=6374+4=6374⋅6374 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 443 mod 857
16: 63716=6378+8=6378⋅6378 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857
32: 63732=63716+16=63716⋅63716 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 16 mod 857
64: 63764=63732+32=63732⋅63732 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 857
128: 637128=63764+64=63764⋅63764 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 404 mod 857
637208
= 637128+64+16
= 637128⋅63764⋅63716
≡ 404 ⋅ 256 ⋅ 853 mod 857
≡ 103424 ⋅ 853 mod 857 ≡ 584 ⋅ 853 mod 857
≡ 498152 mod 857 ≡ 235 mod 857
Es gilt also: 637208 ≡ 235 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.