Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35000 - 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35000 - 73) mod 7 ≡ (35000 mod 7 - 73 mod 7) mod 7.
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 70
Somit gilt:
(35000 - 73) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 32) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 32) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26216 mod 509.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 438 mod 509
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 376 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83799 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 8371=837
2: 8372=8371+1=8371⋅8371 ≡ 837⋅837=700569 ≡ 676 mod 863
4: 8374=8372+2=8372⋅8372 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 449 mod 863
8: 8378=8374+4=8374⋅8374 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 522 mod 863
16: 83716=8378+8=8378⋅8378 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 639 mod 863
32: 83732=83716+16=83716⋅83716 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 122 mod 863
64: 83764=83732+32=83732⋅83732 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 213 mod 863
83799
= 83764+32+2+1
= 83764⋅83732⋅8372⋅8371
≡ 213 ⋅ 122 ⋅ 676 ⋅ 837 mod 863
≡ 25986 ⋅ 676 ⋅ 837 mod 863 ≡ 96 ⋅ 676 ⋅ 837 mod 863
≡ 64896 ⋅ 837 mod 863 ≡ 171 ⋅ 837 mod 863
≡ 143127 mod 863 ≡ 732 mod 863
Es gilt also: 83799 ≡ 732 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.