Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (279 + 6996) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(279 + 6996) mod 7 ≡ (279 mod 7 + 6996 mod 7) mod 7.
279 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 280
6996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6996
= 7000
Somit gilt:
(279 + 6996) mod 7 ≡ (6 + 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 93) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 93) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 93 mod 9) mod 9.
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 93) mod 9 ≡ (6 ⋅ 3) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3628 mod 457.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 342 mod 457
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 429 mod 457
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 327 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 168140 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 1681=168
2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 247 mod 277
4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 69 mod 277
8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 52 mod 277
16: 16816=1688+8=1688⋅1688 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 211 mod 277
32: 16832=16816+16=16816⋅16816 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 201 mod 277
64: 16864=16832+32=16832⋅16832 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 236 mod 277
128: 168128=16864+64=16864⋅16864 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277
168140
= 168128+8+4
= 168128⋅1688⋅1684
≡ 19 ⋅ 52 ⋅ 69 mod 277
≡ 988 ⋅ 69 mod 277 ≡ 157 ⋅ 69 mod 277
≡ 10833 mod 277 ≡ 30 mod 277
Es gilt also: 168140 ≡ 30 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39
| =>59 | = 1⋅39 + 20 |
| =>39 | = 1⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 39-1⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1) |
| 20= 59-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39
oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅59 = -3⋅39
-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39
-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1
(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1
56⋅39 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1
Somit 56⋅39 = 1 mod 59
56 ist also das Inverse von 39 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.