Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35004 - 35006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35004 - 35006) mod 7 ≡ (35004 mod 7 - 35006 mod 7) mod 7.
35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004
= 35000
35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006
= 35000
Somit gilt:
(35004 - 35006) mod 7 ≡ (4 - 6) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 20) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 20) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18532 mod 491.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 346 mod 491
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 403 mod 491
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 379 mod 491
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 269 mod 491
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 184 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37392 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 592 mod 733
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 90 mod 733
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 37 mod 733
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 636 mod 733
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 613 mod 733
64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 473 mod 733
37392
= 37364+16+8+4
= 37364⋅37316⋅3738⋅3734
≡ 473 ⋅ 636 ⋅ 37 ⋅ 90 mod 733
≡ 300828 ⋅ 37 ⋅ 90 mod 733 ≡ 298 ⋅ 37 ⋅ 90 mod 733
≡ 11026 ⋅ 90 mod 733 ≡ 31 ⋅ 90 mod 733
≡ 2790 mod 733 ≡ 591 mod 733
Es gilt also: 37392 ≡ 591 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.