Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 - 9002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 - 9002) mod 3 ≡ (33 mod 3 - 9002 mod 3) mod 3.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33
= 30
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
Somit gilt:
(33 - 9002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 22) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 22) mod 5 ≡ (79 mod 5 ⋅ 22 mod 5) mod 5.
79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.
22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 22) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13764 mod 421.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 245 mod 421
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 243 mod 421
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 109 mod 421
16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421
32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421
64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259246 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 547 mod 853
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 659 mod 853
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 104 mod 853
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 580 mod 853
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 318 mod 853
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 470 mod 853
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 826 mod 853
259246
= 259128+64+32+16+4+2
= 259128⋅25964⋅25932⋅25916⋅2594⋅2592
≡ 826 ⋅ 470 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 388220 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 105 ⋅ 318 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 33390 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 123 ⋅ 580 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 71340 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853 ≡ 541 ⋅ 659 ⋅ 547 mod 853
≡ 356519 ⋅ 547 mod 853 ≡ 818 ⋅ 547 mod 853
≡ 447446 mod 853 ≡ 474 mod 853
Es gilt also: 259246 ≡ 474 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83
| =>89 | = 1⋅83 + 6 |
| =>83 | = 13⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 83-13⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1) |
| 6= 89-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83
oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅89 = -15⋅83
-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83
-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1
(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1
74⋅83 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1
Somit 74⋅83 = 1 mod 89
74 ist also das Inverse von 83 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
