Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(172 + 3608) mod 9 ≡ (172 mod 9 + 3608 mod 9) mod 9.

172 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 172 = 180-8 = 9 ⋅ 20 -8 = 9 ⋅ 20 - 9 + 1.

3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608 = 3600+8 = 9 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(172 + 3608) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 390¹=390

2: 390²=390¹⁺¹=390¹⋅390¹ ≡ 390⋅390=152100 ≡ 445 mod 619

4: 390⁴=390²⁺²=390²⋅390² ≡ 445⋅445=198025 ≡ 564 mod 619

8: 390⁸=390⁴⁺⁴=390⁴⋅390⁴ ≡ 564⋅564=318096 ≡ 549 mod 619

16: 390¹⁶=390⁸⁺⁸=390⁸⋅390⁸ ≡ 549⋅549=301401 ≡ 567 mod 619

32: 390³²=390¹⁶⁺¹⁶=390¹⁶⋅390¹⁶ ≡ 567⋅567=321489 ≡ 228 mod 619

64: 390⁶⁴=390³²⁺³²=390³²⋅390³² ≡ 228⋅228=51984 ≡ 607 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

254²⁴⁵

= 254^{128+64+32+16+4+1}

= 254¹²⁸⋅254⁶⁴⋅254³²⋅254¹⁶⋅254⁴⋅254¹

≡ 407 ⋅ 194 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 78958 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 83 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 35524 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 188 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 104716 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 601 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 221769 ⋅ 254 mod 631 ≡ 288 ⋅ 254 mod 631
≡ 73152 mod 631 ≡ 587 mod 631

Es gilt also: 254²⁴⁵ ≡ 587 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73	= 2⋅29 + 15
=>29	= 1⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29) = -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73