Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23999 + 157) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23999 + 157) mod 8 ≡ (23999 mod 8 + 157 mod 8) mod 8.
23999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23999
= 23000
157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
Somit gilt:
(23999 + 157) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 67) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 67) mod 3 ≡ (100 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.
100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 67) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1918 mod 443.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 155 mod 443
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 103 mod 443
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 420 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17784 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 107 mod 233
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 32 mod 233
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 71 mod 233
17784
= 17764+16+4
= 17764⋅17716⋅1774
≡ 71 ⋅ 76 ⋅ 32 mod 233
≡ 5396 ⋅ 32 mod 233 ≡ 37 ⋅ 32 mod 233
≡ 1184 mod 233 ≡ 19 mod 233
Es gilt also: 17784 ≡ 19 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38
| =>89 | = 2⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38) = 3⋅89 -7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38
oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅89 = -7⋅38
-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38
-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1
(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1
82⋅38 = 35⋅89 + 1
Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1
Somit 82⋅38 = 1 mod 89
82 ist also das Inverse von 38 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.