Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14999 + 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14999 + 97) mod 5 ≡ (14999 mod 5 + 97 mod 5) mod 5.
14999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 14000
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
Somit gilt:
(14999 + 97) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 23) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 23) mod 9 ≡ (77 mod 9 ⋅ 23 mod 9) mod 9.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 23) mod 9 ≡ (5 ⋅ 5) mod 9 ≡ 25 mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2948 mod 769.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 308 mod 769
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 277 mod 769
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 598 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32974 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 287 mod 701
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 352 mod 701
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 528 mod 701
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 487 mod 701
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 231 mod 701
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 85 mod 701
32974
= 32964+8+2
= 32964⋅3298⋅3292
≡ 85 ⋅ 528 ⋅ 287 mod 701
≡ 44880 ⋅ 287 mod 701 ≡ 16 ⋅ 287 mod 701
≡ 4592 mod 701 ≡ 386 mod 701
Es gilt also: 32974 ≡ 386 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59
| =>89 | = 1⋅59 + 30 |
| =>59 | = 1⋅30 + 29 |
| =>30 | = 1⋅29 + 1 |
| =>29 | = 29⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 30-1⋅29 | |||
| 29= 59-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1) |
| 30= 89-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59
oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅89 = -3⋅59
-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59
-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1
(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1
86⋅59 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1
Somit 86⋅59 = 1 mod 89
86 ist also das Inverse von 59 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.