Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 + 117) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 + 117) mod 4 ≡ (20003 mod 4 + 117 mod 4) mod 4.
20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(20003 + 117) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 77) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 77) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 77) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 359.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 146 mod 359
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 135 mod 359
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 275 mod 359
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 235 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 451164 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 4511=451
2: 4512=4511+1=4511⋅4511 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 340 mod 599
4: 4514=4512+2=4512⋅4512 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 592 mod 599
8: 4518=4514+4=4514⋅4514 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 49 mod 599
16: 45116=4518+8=4518⋅4518 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 5 mod 599
32: 45132=45116+16=45116⋅45116 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 599
64: 45164=45132+32=45132⋅45132 ≡ 25⋅25=625 ≡ 26 mod 599
128: 451128=45164+64=45164⋅45164 ≡ 26⋅26=676 ≡ 77 mod 599
451164
= 451128+32+4
= 451128⋅45132⋅4514
≡ 77 ⋅ 25 ⋅ 592 mod 599
≡ 1925 ⋅ 592 mod 599 ≡ 128 ⋅ 592 mod 599
≡ 75776 mod 599 ≡ 302 mod 599
Es gilt also: 451164 ≡ 302 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.