Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 - 6000) mod 3 ≡ (2999 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2999 - 6000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 49) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 49) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 331¹=331

2: 331²=331¹⁺¹=331¹⋅331¹ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 202 mod 419

4: 331⁴=331²⁺²=331²⋅331² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 161 mod 419

8: 331⁸=331⁴⁺⁴=331⁴⋅331⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 362 mod 419

16: 331¹⁶=331⁸⁺⁸=331⁸⋅331⁸ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 316 mod 419

32: 331³²=331¹⁶⁺¹⁶=331¹⁶⋅331¹⁶ ≡ 316⋅316=99856 ≡ 134 mod 419

64: 331⁶⁴=331³²⁺³²=331³²⋅331³² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 358 mod 419

128: 331¹²⁸=331⁶⁴⁺⁶⁴=331⁶⁴⋅331⁶⁴ ≡ 358⋅358=128164 ≡ 369 mod 419

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

130¹⁶⁸

= 130^128+32+8

= 130¹²⁸⋅130³²⋅130⁸

≡ 217 ⋅ 22 ⋅ 295 mod 353
≡ 4774 ⋅ 295 mod 353 ≡ 185 ⋅ 295 mod 353
≡ 54575 mod 353 ≡ 213 mod 353

Es gilt also: 130¹⁶⁸ ≡ 213 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79