Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (393 - 795) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(393 - 795) mod 8 ≡ (393 mod 8 - 795 mod 8) mod 8.
393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393
= 400
795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795
= 800
Somit gilt:
(393 - 795) mod 8 ≡ (1 - 3) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 18) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 18) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 18) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12216 mod 239.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 122 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1221=122
2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 66 mod 239
4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 54 mod 239
8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 48 mod 239
16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 153 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 496153 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 4961=496
2: 4962=4961+1=4961⋅4961 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 248 mod 991
4: 4964=4962+2=4962⋅4962 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 62 mod 991
8: 4968=4964+4=4964⋅4964 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 871 mod 991
16: 49616=4968+8=4968⋅4968 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 526 mod 991
32: 49632=49616+16=49616⋅49616 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 187 mod 991
64: 49664=49632+32=49632⋅49632 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 284 mod 991
128: 496128=49664+64=49664⋅49664 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 385 mod 991
496153
= 496128+16+8+1
= 496128⋅49616⋅4968⋅4961
≡ 385 ⋅ 526 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991
≡ 202510 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991 ≡ 346 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991
≡ 301366 ⋅ 496 mod 991 ≡ 102 ⋅ 496 mod 991
≡ 50592 mod 991 ≡ 51 mod 991
Es gilt also: 496153 ≡ 51 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.