Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29996 + 238) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29996 + 238) mod 6 ≡ (29996 mod 6 + 238 mod 6) mod 6.
29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996
= 30000
238 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238
= 240
Somit gilt:
(29996 + 238) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 23) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 23) mod 10 ≡ (61 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 23) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3648 mod 571.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 24 mod 571
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 24⋅24=576 ≡ 5 mod 571
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50676 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 228 mod 571
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 23 mod 571
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 571
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 51 mod 571
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 317 mod 571
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 564 mod 571
50676
= 50664+8+4
= 50664⋅5068⋅5064
≡ 564 ⋅ 529 ⋅ 23 mod 571
≡ 298356 ⋅ 23 mod 571 ≡ 294 ⋅ 23 mod 571
≡ 6762 mod 571 ≡ 481 mod 571
Es gilt also: 50676 ≡ 481 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.