Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3493 + 206) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3493 + 206) mod 7 ≡ (3493 mod 7 + 206 mod 7) mod 7.

3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493 = 3500-7 = 7 ⋅ 500 -7 = 7 ⋅ 500 - 7 + 0.

206 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 206 = 210-4 = 7 ⋅ 30 -4 = 7 ⋅ 30 - 7 + 3.

Somit gilt:

(3493 + 206) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 41) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 41) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 41) mod 11 ≡ (0 ⋅ 8) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14432 mod 457.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 171 mod 457

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 450 mod 457

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258193 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 397 mod 521

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 267 mod 521

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 427 mod 521

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 500 mod 521

258193

= 258128+64+1

= 258128⋅25864⋅2581

500 ⋅ 427 ⋅ 258 mod 521
213500 ⋅ 258 mod 521 ≡ 411 ⋅ 258 mod 521
106038 mod 521 ≡ 275 mod 521

Es gilt also: 258193 ≡ 275 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49

=>59 = 1⋅49 + 10
=>49 = 4⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 49-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10)
= -1⋅49 +5⋅ 10 (=1)
10= 59-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49)
= 5⋅59 -6⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -6⋅49

-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49

-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1

(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1

53⋅49 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1

Somit 53⋅49 = 1 mod 59

53 ist also das Inverse von 49 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.