Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 - 12003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 - 12003) mod 4 ≡ (2001 mod 4 - 12003 mod 4) mod 4.
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
Somit gilt:
(2001 - 12003) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 73) mod 7 ≡ (55 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.
55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 73) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1678 mod 271.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 247 mod 271
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 34 mod 271
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 72 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54471 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 668 mod 761
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 278 mod 761
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 101 mod 761
54471
= 54464+4+2+1
= 54464⋅5444⋅5442⋅5441
≡ 101 ⋅ 278 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761
≡ 28078 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761 ≡ 682 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761
≡ 455576 ⋅ 544 mod 761 ≡ 498 ⋅ 544 mod 761
≡ 270912 mod 761 ≡ 757 mod 761
Es gilt also: 54471 ≡ 757 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.