Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26997 - 2697) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26997 - 2697) mod 9 ≡ (26997 mod 9 - 2697 mod 9) mod 9.
26997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26997
= 27000
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
Somit gilt:
(26997 - 2697) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 66) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 66) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 66) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32532 mod 547.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 54 mod 547
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 181 mod 547
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 488 mod 547
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 199 mod 547
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 217 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33673 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 164 mod 419
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 80 mod 419
33673
= 33664+8+1
= 33664⋅3368⋅3361
≡ 80 ⋅ 91 ⋅ 336 mod 419
≡ 7280 ⋅ 336 mod 419 ≡ 157 ⋅ 336 mod 419
≡ 52752 mod 419 ≡ 377 mod 419
Es gilt also: 33673 ≡ 377 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.