Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3205 + 32006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3205 + 32006) mod 8 ≡ (3205 mod 8 + 32006 mod 8) mod 8.
3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205
= 3200
32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006
= 32000
Somit gilt:
(3205 + 32006) mod 8 ≡ (5 + 6) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 76) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 76) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2718 mod 433.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 271 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 264 mod 433
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 416 mod 433
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 289 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 220118 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 45 mod 509
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 498 mod 509
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 121 mod 509
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 389 mod 509
32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 148 mod 509
64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 17 mod 509
220118
= 22064+32+16+4+2
= 22064⋅22032⋅22016⋅2204⋅2202
≡ 17 ⋅ 148 ⋅ 389 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 2516 ⋅ 389 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 480 ⋅ 389 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 186720 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 426 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 212148 ⋅ 45 mod 509 ≡ 404 ⋅ 45 mod 509
≡ 18180 mod 509 ≡ 365 mod 509
Es gilt also: 220118 ≡ 365 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.