Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (799 + 20001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 97) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 97) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 97) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1098 mod 233.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1091=109

2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 231 mod 233

4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233

8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 583236 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 5831=583

2: 5832=5831+1=5831⋅5831 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 517 mod 857

4: 5834=5832+2=5832⋅5832 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 762 mod 857

8: 5838=5834+4=5834⋅5834 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 455 mod 857

16: 58316=5838+8=5838⋅5838 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 488 mod 857

32: 58332=58316+16=58316⋅58316 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 755 mod 857

64: 58364=58332+32=58332⋅58332 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857

128: 583128=58364+64=58364⋅58364 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 688 mod 857

583236

= 583128+64+32+8+4

= 583128⋅58364⋅58332⋅5838⋅5834

688 ⋅ 120 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
82560 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857 ≡ 288 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
217440 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857 ≡ 619 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
281645 ⋅ 762 mod 857 ≡ 549 ⋅ 762 mod 857
418338 mod 857 ≡ 122 mod 857

Es gilt also: 583236 ≡ 122 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89 = 1⋅46 + 43
=>46 = 1⋅43 + 3
=>43 = 14⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43)
= -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46)
= 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.