Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3005 - 125) mod 6 ≡ (3005 mod 6 - 125 mod 6) mod 6.

3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005 = 3000+5 = 6 ⋅ 500 +5.

125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125 = 120+5 = 6 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(3005 - 125) mod 6 ≡ (5 - 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 94) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 94 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 94) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 134¹=134

2: 134²=134¹⁺¹=134¹⋅134¹ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 204 mod 317

4: 134⁴=134²⁺²=134²⋅134² ≡ 204⋅204=41616 ≡ 89 mod 317

8: 134⁸=134⁴⁺⁴=134⁴⋅134⁴ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 313 mod 317

16: 134¹⁶=134⁸⁺⁸=134⁸⋅134⁸ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 16 mod 317

32: 134³²=134¹⁶⁺¹⁶=134¹⁶⋅134¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 317

64: 134⁶⁴=134³²⁺³²=134³²⋅134³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 234 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

402¹²³

= 402^{64+32+16+8+2+1}

= 402⁶⁴⋅402³²⋅402¹⁶⋅402⁸⋅402²⋅402¹

≡ 169 ⋅ 678 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 114582 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 567 ⋅ 37 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 20979 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 249 ⋅ 241 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 60009 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691 ≡ 583 ⋅ 601 ⋅ 402 mod 691
≡ 350383 ⋅ 402 mod 691 ≡ 46 ⋅ 402 mod 691
≡ 18492 mod 691 ≡ 526 mod 691

Es gilt also: 402¹²³ ≡ 526 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53	= 1⋅46 + 7
=>46	= 6⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46) = 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53