Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2803 + 35002) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 35002 mod 7) mod 7.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

35002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35002 = 35000+2 = 7 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(2803 + 35002) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 63) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 63) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 136¹=136

2: 136²=136¹⁺¹=136¹⋅136¹ ≡ 136⋅136=18496 ≡ 91 mod 409

4: 136⁴=136²⁺²=136²⋅136² ≡ 91⋅91=8281 ≡ 101 mod 409

8: 136⁸=136⁴⁺⁴=136⁴⋅136⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

562²⁴⁶

= 562^{128+64+32+16+4+2}

= 562¹²⁸⋅562⁶⁴⋅562³²⋅562¹⁶⋅562⁴⋅562²

≡ 221 ⋅ 322 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 71162 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 649 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 350460 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 531 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 200718 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 382 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 205898 ⋅ 183 mod 659 ≡ 290 ⋅ 183 mod 659
≡ 53070 mod 659 ≡ 350 mod 659

Es gilt also: 562²⁴⁶ ≡ 350 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48

=>67	= 1⋅48 + 19
=>48	= 2⋅19 + 10
=>19	= 1⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 19-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1)
10= 48-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19) = -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48) = 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +7⋅48

Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1

Somit 7⋅48 = 1 mod 67

7 ist also das Inverse von 48 mod 67