Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2698 - 36008) mod 9 ≡ (2698 mod 9 - 36008 mod 9) mod 9.

2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698 = 2700-2 = 9 ⋅ 300 -2 = 9 ⋅ 300 - 9 + 7.

36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008 = 36000+8 = 9 ⋅ 4000 +8.

Somit gilt:

(2698 - 36008) mod 9 ≡ (7 - 8) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 59) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 59) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 438¹=438

2: 438²=438¹⁺¹=438¹⋅438¹ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 32 mod 607

4: 438⁴=438²⁺²=438²⋅438² ≡ 32⋅32=1024 ≡ 417 mod 607

8: 438⁸=438⁴⁺⁴=438⁴⋅438⁴ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 287 mod 607

16: 438¹⁶=438⁸⁺⁸=438⁸⋅438⁸ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 424 mod 607

32: 438³²=438¹⁶⁺¹⁶=438¹⁶⋅438¹⁶ ≡ 424⋅424=179776 ≡ 104 mod 607

64: 438⁶⁴=438³²⁺³²=438³²⋅438³² ≡ 104⋅104=10816 ≡ 497 mod 607

128: 438¹²⁸=438⁶⁴⁺⁶⁴=438⁶⁴⋅438⁶⁴ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 567 mod 607

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

279²²⁷

= 279^{128+64+32+2+1}

= 279¹²⁸⋅279⁶⁴⋅279³²⋅279²⋅279¹

≡ 383 ⋅ 389 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 148987 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463 ≡ 364 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 149604 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463 ≡ 55 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 3135 ⋅ 279 mod 463 ≡ 357 ⋅ 279 mod 463
≡ 99603 mod 463 ≡ 58 mod 463

Es gilt also: 279²²⁷ ≡ 58 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53