Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 + 82) mod 4 ≡ (83 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 4 ⋅ 20 +3.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(83 + 82) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (91 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 257¹=257

2: 257²=257¹⁺¹=257¹⋅257¹ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 173 mod 383

4: 257⁴=257²⁺²=257²⋅257² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 55 mod 383

8: 257⁸=257⁴⁺⁴=257⁴⋅257⁴ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 344 mod 383

16: 257¹⁶=257⁸⁺⁸=257⁸⋅257⁸ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 372 mod 383

32: 257³²=257¹⁶⁺¹⁶=257¹⁶⋅257¹⁶ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 121 mod 383

64: 257⁶⁴=257³²⁺³²=257³²⋅257³² ≡ 121⋅121=14641 ≡ 87 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

693²⁵¹

= 693^{128+64+32+16+8+2+1}

= 693¹²⁸⋅693⁶⁴⋅693³²⋅693¹⁶⋅693⁸⋅693²⋅693¹

≡ 51 ⋅ 632 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 32232 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 520 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 470080 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 346 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 126982 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 134 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 106664 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 627 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 379335 ⋅ 693 mod 991 ≡ 773 ⋅ 693 mod 991
≡ 535689 mod 991 ≡ 549 mod 991

Es gilt also: 693²⁵¹ ≡ 549 mod 991

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53