Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (800 - 79) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(800 - 79) mod 4 ≡ (800 mod 4 - 79 mod 4) mod 4.
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
Somit gilt:
(800 - 79) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 71) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 71) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 71 mod 4) mod 4.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 71) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26116 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 261 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 363 mod 491
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 181 mod 491
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 355 mod 491
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 329 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 649106 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 6491=649
2: 6492=6491+1=6491⋅6491 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 268 mod 727
4: 6494=6492+2=6492⋅6492 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 578 mod 727
8: 6498=6494+4=6494⋅6494 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 391 mod 727
16: 64916=6498+8=6498⋅6498 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 211 mod 727
32: 64932=64916+16=64916⋅64916 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 174 mod 727
64: 64964=64932+32=64932⋅64932 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 469 mod 727
649106
= 64964+32+8+2
= 64964⋅64932⋅6498⋅6492
≡ 469 ⋅ 174 ⋅ 391 ⋅ 268 mod 727
≡ 81606 ⋅ 391 ⋅ 268 mod 727 ≡ 182 ⋅ 391 ⋅ 268 mod 727
≡ 71162 ⋅ 268 mod 727 ≡ 643 ⋅ 268 mod 727
≡ 172324 mod 727 ≡ 25 mod 727
Es gilt also: 649106 ≡ 25 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.