Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19995 + 10000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19995 + 10000) mod 5 ≡ (19995 mod 5 + 10000 mod 5) mod 5.

19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995 = 19000+995 = 5 ⋅ 3800 +995.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(19995 + 10000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 67) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 67) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 67) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 375128 mod 743.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 375 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3751=375

2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 198 mod 743

4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 568 mod 743

8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 162 mod 743

16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 239 mod 743

32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 653 mod 743

64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 670 mod 743

128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 128 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 305148 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:

148 = 128+16+4

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 8 mod 487

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 487

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 200 mod 487

16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 66 mod 487

32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 460 mod 487

64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 242 mod 487

128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 124 mod 487

305148

= 305128+16+4

= 305128⋅30516⋅3054

124 ⋅ 66 ⋅ 64 mod 487
8184 ⋅ 64 mod 487 ≡ 392 ⋅ 64 mod 487
25088 mod 487 ≡ 251 mod 487

Es gilt also: 305148 ≡ 251 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59 = 1⋅44 + 15
=>44 = 2⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15)
= -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44)
= 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.