Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (103 - 1497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(103 - 1497) mod 5 ≡ (103 mod 5 - 1497 mod 5) mod 5.
103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103
= 100
1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1400
Somit gilt:
(103 - 1497) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 36) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 36) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 36) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4618 mod 787.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 31 mod 787
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 31⋅31=961 ≡ 174 mod 787
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 370 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 352119 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 3521=352
2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 68 mod 373
4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 148 mod 373
8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 270 mod 373
16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373
32: 35232=35216+16=35216⋅35216 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373
64: 35264=35232+32=35232⋅35232 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373
352119
= 35264+32+16+4+2+1
= 35264⋅35232⋅35216⋅3524⋅3522⋅3521
≡ 16 ⋅ 369 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
≡ 5904 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 309 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
≡ 50985 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 257 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
≡ 38036 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 363 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
≡ 24684 ⋅ 352 mod 373 ≡ 66 ⋅ 352 mod 373
≡ 23232 mod 373 ≡ 106 mod 373
Es gilt also: 352119 ≡ 106 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.