Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 + 3006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 + 3006) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 3006 mod 6) mod 6.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006 = 3000+6 = 6 ⋅ 500 +6.

Somit gilt:

(116 + 3006) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 26) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 26) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 26 mod 4) mod 4.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 26) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43732 mod 487.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4371=437

2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 65 mod 487

4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 329 mod 487

8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 127 mod 487

16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 58 mod 487

32: 43732=43716+16=43716⋅43716 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 442 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157163 mod 367.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 60 mod 367

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 297 mod 367

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 129 mod 367

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 126 mod 367

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 95 mod 367

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 217 mod 367

128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 113 mod 367

157163

= 157128+32+2+1

= 157128⋅15732⋅1572⋅1571

113 ⋅ 95 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367
10735 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367 ≡ 92 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367
5520 ⋅ 157 mod 367 ≡ 15 ⋅ 157 mod 367
2355 mod 367 ≡ 153 mod 367

Es gilt also: 157163 ≡ 153 mod 367

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67 = 1⋅38 + 29
=>38 = 1⋅29 + 9
=>29 = 3⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9)
= -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29)
= 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38)
= -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.