Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15998 + 164) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15998 + 164) mod 8 ≡ (15998 mod 8 + 164 mod 8) mod 8.
15998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(15998 + 164) mod 8 ≡ (6 + 4) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 89) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 89) mod 11 ≡ (10 ⋅ 1) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43232 mod 467.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 291 mod 467
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 154 mod 467
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 366 mod 467
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 394 mod 467
32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 192 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267149 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 252 mod 877
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 360 mod 877
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 681 mod 877
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 705 mod 877
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 643 mod 877
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 382 mod 877
128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 342 mod 877
267149
= 267128+16+4+1
= 267128⋅26716⋅2674⋅2671
≡ 342 ⋅ 705 ⋅ 360 ⋅ 267 mod 877
≡ 241110 ⋅ 360 ⋅ 267 mod 877 ≡ 812 ⋅ 360 ⋅ 267 mod 877
≡ 292320 ⋅ 267 mod 877 ≡ 279 ⋅ 267 mod 877
≡ 74493 mod 877 ≡ 825 mod 877
Es gilt also: 267149 ≡ 825 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.