Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 + 1197) mod 4 ≡ (400 mod 4 + 1197 mod 4) mod 4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

Somit gilt:

(400 + 1197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 51) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 51) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 694¹=694

2: 694²=694¹⁺¹=694¹⋅694¹ ≡ 694⋅694=481636 ≡ 10 mod 991

4: 694⁴=694²⁺²=694²⋅694² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 991

8: 694⁸=694⁴⁺⁴=694⁴⋅694⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 90 mod 991

16: 694¹⁶=694⁸⁺⁸=694⁸⋅694⁸ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 172 mod 991

32: 694³²=694¹⁶⁺¹⁶=694¹⁶⋅694¹⁶ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 845 mod 991

64: 694⁶⁴=694³²⁺³²=694³²⋅694³² ≡ 845⋅845=714025 ≡ 505 mod 991

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

570¹¹⁰

= 570^64+32+8+4+2

= 570⁶⁴⋅570³²⋅570⁸⋅570⁴⋅570²

≡ 609 ⋅ 756 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
≡ 460404 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877 ≡ 856 ⋅ 849 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
≡ 726744 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877 ≡ 588 ⋅ 593 ⋅ 410 mod 877
≡ 348684 ⋅ 410 mod 877 ≡ 515 ⋅ 410 mod 877
≡ 211150 mod 877 ≡ 670 mod 877

Es gilt also: 570¹¹⁰ ≡ 670 mod 877

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73	= 2⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73