Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1402 - 3499) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1402 - 3499) mod 7 ≡ (1402 mod 7 - 3499 mod 7) mod 7.
1402 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1402
= 1400
3499 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3499
= 3500
Somit gilt:
(1402 - 3499) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 16) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 16) mod 9 ≡ (28 mod 9 ⋅ 16 mod 9) mod 9.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 16) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 81464 mod 941.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 814 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8141=814
2: 8142=8141+1=8141⋅8141 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 132 mod 941
4: 8144=8142+2=8142⋅8142 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 486 mod 941
8: 8148=8144+4=8144⋅8144 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 5 mod 941
16: 81416=8148+8=8148⋅8148 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 941
32: 81432=81416+16=81416⋅81416 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 941
64: 81464=81432+32=81432⋅81432 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 110 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152171 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 188 mod 337
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 296 mod 337
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 333 mod 337
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 16 mod 337
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337
128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337
152171
= 152128+32+8+2+1
= 152128⋅15232⋅1528⋅1522⋅1521
≡ 26 ⋅ 256 ⋅ 333 ⋅ 188 ⋅ 152 mod 337
≡ 6656 ⋅ 333 ⋅ 188 ⋅ 152 mod 337 ≡ 253 ⋅ 333 ⋅ 188 ⋅ 152 mod 337
≡ 84249 ⋅ 188 ⋅ 152 mod 337 ≡ 336 ⋅ 188 ⋅ 152 mod 337
≡ 63168 ⋅ 152 mod 337 ≡ 149 ⋅ 152 mod 337
≡ 22648 mod 337 ≡ 69 mod 337
Es gilt also: 152171 ≡ 69 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31
| =>89 | = 2⋅31 + 27 |
| =>31 | = 1⋅27 + 4 |
| =>27 | = 6⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 27-6⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4) = -1⋅27 +7⋅ 4 (=1) |
| 4= 31-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27) = 7⋅31 -8⋅ 27 (=1) |
| 27= 89-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31) = -8⋅89 +23⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31
oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅89 = +23⋅31
Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1
Somit 23⋅31 = 1 mod 89
23 ist also das Inverse von 31 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
