Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 1197) mod 3 ≡ (300 mod 3 + 1197 mod 3) mod 3.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(300 + 1197) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 50) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 50) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 675¹=675

2: 675²=675¹⁺¹=675¹⋅675¹ ≡ 675⋅675=455625 ≡ 226 mod 971

4: 675⁴=675²⁺²=675²⋅675² ≡ 226⋅226=51076 ≡ 584 mod 971

8: 675⁸=675⁴⁺⁴=675⁴⋅675⁴ ≡ 584⋅584=341056 ≡ 235 mod 971

16: 675¹⁶=675⁸⁺⁸=675⁸⋅675⁸ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 849 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

425²⁵³

= 425^{128+64+32+16+8+4+1}

= 425¹²⁸⋅425⁶⁴⋅425³²⋅425¹⁶⋅425⁸⋅425⁴⋅425¹

≡ 407 ⋅ 185 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
≡ 75295 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 347 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
≡ 88832 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 174 ⋅ 16 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
≡ 2784 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 42 ⋅ 453 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
≡ 19026 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457 ≡ 289 ⋅ 218 ⋅ 425 mod 457
≡ 63002 ⋅ 425 mod 457 ≡ 393 ⋅ 425 mod 457
≡ 167025 mod 457 ≡ 220 mod 457

Es gilt also: 425²⁵³ ≡ 220 mod 457

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71	= 1⋅58 + 13
=>58	= 4⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58) = -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71