Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3593 - 267) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3593 - 267) mod 9 ≡ (3593 mod 9 - 267 mod 9) mod 9.
3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593
= 3600
267 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 267
= 270
Somit gilt:
(3593 - 267) mod 9 ≡ (2 - 6) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 37) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 37) mod 4 ≡ (49 mod 4 ⋅ 37 mod 4) mod 4.
49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 37) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1718 mod 571.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 120 mod 571
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 125 mod 571
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 208 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 357188 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 588 mod 863
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 544 mod 863
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 790 mod 863
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 151 mod 863
32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 363 mod 863
64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 593 mod 863
128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 408 mod 863
357188
= 357128+32+16+8+4
= 357128⋅35732⋅35716⋅3578⋅3574
≡ 408 ⋅ 363 ⋅ 151 ⋅ 790 ⋅ 544 mod 863
≡ 148104 ⋅ 151 ⋅ 790 ⋅ 544 mod 863 ≡ 531 ⋅ 151 ⋅ 790 ⋅ 544 mod 863
≡ 80181 ⋅ 790 ⋅ 544 mod 863 ≡ 785 ⋅ 790 ⋅ 544 mod 863
≡ 620150 ⋅ 544 mod 863 ≡ 516 ⋅ 544 mod 863
≡ 280704 mod 863 ≡ 229 mod 863
Es gilt also: 357188 ≡ 229 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.