Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (177 - 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(177 - 63) mod 6 ≡ (177 mod 6 - 63 mod 6) mod 6.
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(177 - 63) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 78) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 78) mod 7 ≡ (76 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 78) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28332 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 496 mod 617
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 450 mod 617
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 124 mod 617
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 568 mod 617
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 550 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 226139 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 345 mod 523
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 304 mod 523
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 368 mod 523
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 490 mod 523
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 43 mod 523
64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 280 mod 523
128: 226128=22664+64=22664⋅22664 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 473 mod 523
226139
= 226128+8+2+1
= 226128⋅2268⋅2262⋅2261
≡ 473 ⋅ 368 ⋅ 345 ⋅ 226 mod 523
≡ 174064 ⋅ 345 ⋅ 226 mod 523 ≡ 428 ⋅ 345 ⋅ 226 mod 523
≡ 147660 ⋅ 226 mod 523 ≡ 174 ⋅ 226 mod 523
≡ 39324 mod 523 ≡ 99 mod 523
Es gilt also: 226139 ≡ 99 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.