Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 61) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 61) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(1201 + 61) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 33) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (9 ⋅ 3) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 265128 mod 419.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2651=265

2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 252 mod 419

4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 235 mod 419

8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 336 mod 419

16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419

32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419

64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419

128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 290238 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 420 mod 523

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 149 mod 523

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 235 mod 523

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 310 mod 523

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 391 mod 523

64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 165 mod 523

128: 290128=29064+64=29064⋅29064 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 29 mod 523

290238

= 290128+64+32+8+4+2

= 290128⋅29064⋅29032⋅2908⋅2904⋅2902

29 ⋅ 165 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
4785 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 78 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
30498 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 164 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
38540 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 361 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
53789 ⋅ 420 mod 523 ≡ 443 ⋅ 420 mod 523
186060 mod 523 ≡ 395 mod 523

Es gilt also: 290238 ≡ 395 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.