Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6001 + 599) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6001 + 599) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 42) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 42) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 269¹=269

2: 269²=269¹⁺¹=269¹⋅269¹ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 157 mod 547

4: 269⁴=269²⁺²=269²⋅269² ≡ 157⋅157=24649 ≡ 34 mod 547

8: 269⁸=269⁴⁺⁴=269⁴⋅269⁴ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 62 mod 547

16: 269¹⁶=269⁸⁺⁸=269⁸⋅269⁸ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 15 mod 547

32: 269³²=269¹⁶⁺¹⁶=269¹⁶⋅269¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 547

64: 269⁶⁴=269³²⁺³²=269³²⋅269³² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 301 mod 547

128: 269¹²⁸=269⁶⁴⁺⁶⁴=269⁶⁴⋅269⁶⁴ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 346 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

239⁹⁰

= 239^64+16+8+2

= 239⁶⁴⋅239¹⁶⋅239⁸⋅239²

≡ 232 ⋅ 210 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 48720 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293 ≡ 82 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 2706 ⋅ 279 mod 293 ≡ 69 ⋅ 279 mod 293
≡ 19251 mod 293 ≡ 206 mod 293

Es gilt also: 239⁹⁰ ≡ 206 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89