Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 + 2999) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 + 2999) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 2999 mod 6) mod 6.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 6 ⋅ 500 -1 = 6 ⋅ 500 - 6 + 5.

Somit gilt:

(116 + 2999) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 78) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 78) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 78) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 196128 mod 227.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1961=196

2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 53 mod 227

4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 85 mod 227

8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 188 mod 227

16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 159 mod 227

32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 84 mod 227

64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 19 mod 227

128: 196128=19664+64=19664⋅19664 ≡ 19⋅19=361 ≡ 134 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 294202 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 17 mod 971

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 971

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 15 mod 971

16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 971

32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 133 mod 971

64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 211 mod 971

128: 294128=29464+64=29464⋅29464 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 826 mod 971

294202

= 294128+64+8+2

= 294128⋅29464⋅2948⋅2942

826 ⋅ 211 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971
174286 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971 ≡ 477 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971
7155 ⋅ 17 mod 971 ≡ 358 ⋅ 17 mod 971
6086 mod 971 ≡ 260 mod 971

Es gilt also: 294202 ≡ 260 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.