Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 16004) mod 4 ≡ (1601 mod 4 + 16004 mod 4) mod 4.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(1601 + 16004) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 21) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.

82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 21) mod 10 ≡ (2 ⋅ 1) mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 863¹=863

2: 863²=863¹⁺¹=863¹⋅863¹ ≡ 863⋅863=744769 ≡ 791 mod 937

4: 863⁴=863²⁺²=863²⋅863² ≡ 791⋅791=625681 ≡ 702 mod 937

8: 863⁸=863⁴⁺⁴=863⁴⋅863⁴ ≡ 702⋅702=492804 ≡ 879 mod 937

16: 863¹⁶=863⁸⁺⁸=863⁸⋅863⁸ ≡ 879⋅879=772641 ≡ 553 mod 937

32: 863³²=863¹⁶⁺¹⁶=863¹⁶⋅863¹⁶ ≡ 553⋅553=305809 ≡ 347 mod 937

64: 863⁶⁴=863³²⁺³²=863³²⋅863³² ≡ 347⋅347=120409 ≡ 473 mod 937

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

308²²⁶

= 308^128+64+32+2

= 308¹²⁸⋅308⁶⁴⋅308³²⋅308²

≡ 57 ⋅ 526 ⋅ 267 ⋅ 207 mod 919
≡ 29982 ⋅ 267 ⋅ 207 mod 919 ≡ 574 ⋅ 267 ⋅ 207 mod 919
≡ 153258 ⋅ 207 mod 919 ≡ 704 ⋅ 207 mod 919
≡ 145728 mod 919 ≡ 526 mod 919

Es gilt also: 308²²⁶ ≡ 526 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69

=>101	= 1⋅69 + 32
=>69	= 2⋅32 + 5
=>32	= 6⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 69-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32) = -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1)
32= 101-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69) = 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69

oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅101 = +41⋅69

Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1

Somit 41⋅69 = 1 mod 101

41 ist also das Inverse von 69 mod 101