Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (705 - 350) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(705 - 350) mod 7 ≡ (705 mod 7 - 350 mod 7) mod 7.
705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705
= 700
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
Somit gilt:
(705 - 350) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 60) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 60) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 60 mod 6) mod 6.
95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 60) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1868 mod 227.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1861=186
2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 92 mod 227
4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 65 mod 227
8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 139 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 405222 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 866 mod 977
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 866⋅866=749956 ≡ 597 mod 977
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 781 mod 977
16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 313 mod 977
32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977
64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977
128: 405128=40564+64=40564⋅40564 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 61 mod 977
405222
= 405128+64+16+8+4+2
= 405128⋅40564⋅40516⋅4058⋅4054⋅4052
≡ 61 ⋅ 63 ⋅ 313 ⋅ 781 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977
≡ 3843 ⋅ 313 ⋅ 781 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977 ≡ 912 ⋅ 313 ⋅ 781 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977
≡ 285456 ⋅ 781 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977 ≡ 172 ⋅ 781 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977
≡ 134332 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977 ≡ 483 ⋅ 597 ⋅ 866 mod 977
≡ 288351 ⋅ 866 mod 977 ≡ 136 ⋅ 866 mod 977
≡ 117776 mod 977 ≡ 536 mod 977
Es gilt also: 405222 ≡ 536 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57
| =>67 | = 1⋅57 + 10 |
| =>57 | = 5⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 57-5⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10) = 3⋅57 -17⋅ 10 (=1) |
| 10= 67-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57)
= 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57) = -17⋅67 +20⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +20⋅57
Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1
Somit 20⋅57 = 1 mod 67
20 ist also das Inverse von 57 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.