Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20003 + 12003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 + 12003) mod 4 ≡ (20003 mod 4 + 12003 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(20003 + 12003) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 30) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 30) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.

48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 30) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 347128 mod 383.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,383) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3471=347

2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 147 mod 383

4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 161 mod 383

8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 260 mod 383

16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383

32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383

64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383

128: 347128=34764+64=34764⋅34764 ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291163 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 329 mod 659

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 165 mod 659

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 206 mod 659

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 260 mod 659

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 382 mod 659

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 285 mod 659

128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 168 mod 659

291163

= 291128+32+2+1

= 291128⋅29132⋅2912⋅2911

168 ⋅ 382 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659
64176 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659 ≡ 253 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659
83237 ⋅ 291 mod 659 ≡ 203 ⋅ 291 mod 659
59073 mod 659 ≡ 422 mod 659

Es gilt also: 291163 ≡ 422 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53 = 1⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30)
= -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.