Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3596 + 358) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3596 + 358) mod 9 ≡ (3596 mod 9 + 358 mod 9) mod 9.
3596 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3596
= 3600
358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358
= 360
Somit gilt:
(3596 + 358) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 53) mod 5 ≡ (92 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.
92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 53) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20764 mod 227.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 173 mod 227
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 192 mod 227
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 90 mod 227
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 155 mod 227
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 190 mod 227
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 7 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 101201 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 1011=101
2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 182 mod 233
4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 38 mod 233
8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
16: 10116=1018+8=1018⋅1018 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
32: 10132=10116+16=10116⋅10116 ≡ 19⋅19=361 ≡ 128 mod 233
64: 10164=10132+32=10132⋅10132 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233
128: 101128=10164+64=10164⋅10164 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 117 mod 233
101201
= 101128+64+8+1
= 101128⋅10164⋅1018⋅1011
≡ 117 ⋅ 74 ⋅ 46 ⋅ 101 mod 233
≡ 8658 ⋅ 46 ⋅ 101 mod 233 ≡ 37 ⋅ 46 ⋅ 101 mod 233
≡ 1702 ⋅ 101 mod 233 ≡ 71 ⋅ 101 mod 233
≡ 7171 mod 233 ≡ 181 mod 233
Es gilt also: 101201 ≡ 181 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.