Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 - 802) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 - 802) mod 4 ≡ (19997 mod 4 - 802 mod 4) mod 4.
19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
802 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802
= 800
Somit gilt:
(19997 - 802) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 45) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 45) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 45) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 660128 mod 823.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6601=660
2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 233 mod 823
4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 794 mod 823
8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 18 mod 823
16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 823
32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 455 mod 823
64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 452 mod 823
128: 660128=66064+64=66064⋅66064 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 200 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49876 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 1 mod 499
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499
32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499
64: 49864=49832+32=49832⋅49832 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499
49876
= 49864+8+4
= 49864⋅4988⋅4984
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 499
≡ 1 ⋅ 1 mod 499
≡ 1 mod 499
Es gilt also: 49876 ≡ 1 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.