Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4506 - 445) mod 9 ≡ (4506 mod 9 - 445 mod 9) mod 9.

4506 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4506 = 4500+6 = 9 ⋅ 500 +6.

445 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 445 = 450-5 = 9 ⋅ 50 -5 = 9 ⋅ 50 - 9 + 4.

Somit gilt:

(4506 - 445) mod 9 ≡ (6 - 4) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 27) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 27 mod 3) mod 3.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 27) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 231¹=231

2: 231²=231¹⁺¹=231¹⋅231¹ ≡ 231⋅231=53361 ≡ 349 mod 457

4: 231⁴=231²⁺²=231²⋅231² ≡ 349⋅349=121801 ≡ 239 mod 457

8: 231⁸=231⁴⁺⁴=231⁴⋅231⁴ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 453 mod 457

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

598¹²⁷

= 598^{64+32+16+8+4+2+1}

= 598⁶⁴⋅598³²⋅598¹⁶⋅598⁸⋅598⁴⋅598²⋅598¹

≡ 289 ⋅ 17 ⋅ 633 ⋅ 396 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659
≡ 4913 ⋅ 633 ⋅ 396 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659 ≡ 300 ⋅ 633 ⋅ 396 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659
≡ 189900 ⋅ 396 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659 ≡ 108 ⋅ 396 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659
≡ 42768 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659 ≡ 592 ⋅ 251 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659
≡ 148592 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659 ≡ 317 ⋅ 426 ⋅ 598 mod 659
≡ 135042 ⋅ 598 mod 659 ≡ 606 ⋅ 598 mod 659
≡ 362388 mod 659 ≡ 597 mod 659

Es gilt also: 598¹²⁷ ≡ 597 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48

=>67	= 1⋅48 + 19
=>48	= 2⋅19 + 10
=>19	= 1⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 19-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1)
10= 48-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19) = -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48) = 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +7⋅48

Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1

Somit 7⋅48 = 1 mod 67

7 ist also das Inverse von 48 mod 67