Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (500 + 24997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(500 + 24997) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 24997 mod 5) mod 5.
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997
= 24000
Somit gilt:
(500 + 24997) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 67) mod 5 ≡ (34 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 67) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63164 mod 811.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 631 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6311=631
2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 771 mod 811
4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 789 mod 811
8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 484 mod 811
16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 688 mod 811
32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 531 mod 811
64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 544 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 772152 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 7721=772
2: 7722=7721+1=7721⋅7721 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 775 mod 997
4: 7724=7722+2=7722⋅7722 ≡ 775⋅775=600625 ≡ 431 mod 997
8: 7728=7724+4=7724⋅7724 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 319 mod 997
16: 77216=7728+8=7728⋅7728 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 67 mod 997
32: 77232=77216+16=77216⋅77216 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 501 mod 997
64: 77264=77232+32=77232⋅77232 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 754 mod 997
128: 772128=77264+64=77264⋅77264 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 226 mod 997
772152
= 772128+16+8
= 772128⋅77216⋅7728
≡ 226 ⋅ 67 ⋅ 319 mod 997
≡ 15142 ⋅ 319 mod 997 ≡ 187 ⋅ 319 mod 997
≡ 59653 mod 997 ≡ 830 mod 997
Es gilt also: 772152 ≡ 830 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.