Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 92) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 92) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 177¹=177

2: 177²=177¹⁺¹=177¹⋅177¹ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 370 mod 373

4: 177⁴=177²⁺²=177²⋅177² ≡ 370⋅370=136900 ≡ 9 mod 373

8: 177⁸=177⁴⁺⁴=177⁴⋅177⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 373

16: 177¹⁶=177⁸⁺⁸=177⁸⋅177⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 220 mod 373

32: 177³²=177¹⁶⁺¹⁶=177¹⁶⋅177¹⁶ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 283 mod 373

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

377²⁵⁰

= 377^{128+64+32+16+8+2}

= 377¹²⁸⋅377⁶⁴⋅377³²⋅377¹⁶⋅377⁸⋅377²

≡ 35 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
≡ 7210 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 208 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
≡ 67600 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 303 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
≡ 43026 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 236 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
≡ 37052 ⋅ 144 mod 389 ≡ 97 ⋅ 144 mod 389
≡ 13968 mod 389 ≡ 353 mod 389

Es gilt also: 377²⁵⁰ ≡ 353 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21

=>59	= 2⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -14⋅21

-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21

-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1

(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1

45⋅21 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1

Somit 45⋅21 = 1 mod 59

45 ist also das Inverse von 21 mod 59