Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16004 - 78) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16004 - 78) mod 4 ≡ (16004 mod 4 - 78 mod 4) mod 4.
16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
Somit gilt:
(16004 - 78) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 97) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 97) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 97) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42632 mod 937.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 426 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4261=426
2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 635 mod 937
4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 315 mod 937
8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 840 mod 937
16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 39 mod 937
32: 42632=42616+16=42616⋅42616 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 584 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43465 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 880 mod 919
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 602 mod 919
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 318 mod 919
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 34 mod 919
32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 237 mod 919
64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 110 mod 919
43465
= 43464+1
= 43464⋅4341
≡ 110 ⋅ 434 mod 919
≡ 47740 mod 919 ≡ 871 mod 919
Es gilt also: 43465 ≡ 871 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.