Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16002 + 396) mod 4 ≡ (16002 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.

16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 4 ⋅ 4000 +2.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(16002 + 396) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 77) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 77 mod 6) mod 6.

95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 77) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 266¹=266

2: 266²=266¹⁺¹=266¹⋅266¹ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 284 mod 383

4: 266⁴=266²⁺²=266²⋅266² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 226 mod 383

8: 266⁸=266⁴⁺⁴=266⁴⋅266⁴ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 137 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

412¹⁷⁵

= 412^{128+32+8+4+2+1}

= 412¹²⁸⋅412³²⋅412⁸⋅412⁴⋅412²⋅412¹

≡ 130 ⋅ 117 ⋅ 256 ⋅ 505 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521
≡ 15210 ⋅ 256 ⋅ 505 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521 ≡ 101 ⋅ 256 ⋅ 505 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521
≡ 25856 ⋅ 505 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521 ≡ 327 ⋅ 505 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521
≡ 165135 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521 ≡ 499 ⋅ 419 ⋅ 412 mod 521
≡ 209081 ⋅ 412 mod 521 ≡ 160 ⋅ 412 mod 521
≡ 65920 mod 521 ≡ 274 mod 521

Es gilt also: 412¹⁷⁵ ≡ 274 mod 521

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61	= 2⋅25 + 11
=>25	= 2⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25) = 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61