Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 + 4997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 + 4997) mod 5 ≡ (20003 mod 5 + 4997 mod 5) mod 5.
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
4997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4997
= 4000
Somit gilt:
(20003 + 4997) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 52) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 52) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 52 mod 7) mod 7.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 52) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15632 mod 233.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 104 mod 233
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 98 mod 233
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 51 mod 233
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10792 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 122 mod 241
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 183 mod 241
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241
16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241
32: 10732=10716+16=10716⋅10716 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241
64: 10764=10732+32=10732⋅10732 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241
10792
= 10764+16+8+4
= 10764⋅10716⋅1078⋅1074
≡ 183 ⋅ 100 ⋅ 231 ⋅ 183 mod 241
≡ 18300 ⋅ 231 ⋅ 183 mod 241 ≡ 225 ⋅ 231 ⋅ 183 mod 241
≡ 51975 ⋅ 183 mod 241 ≡ 160 ⋅ 183 mod 241
≡ 29280 mod 241 ≡ 119 mod 241
Es gilt also: 10792 ≡ 119 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.