Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4006 + 804) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4006 + 804) mod 8 ≡ (4006 mod 8 + 804 mod 8) mod 8.
4006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4006
= 4000
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(4006 + 804) mod 8 ≡ (6 + 4) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 36) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 36) mod 10 ≡ (77 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.
77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 36) mod 10 ≡ (7 ⋅ 6) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23564 mod 307.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 272 mod 307
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 304 mod 307
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 9 mod 307
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 307
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 114 mod 307
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 102 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 184140 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 111 mod 397
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 14 mod 397
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 397
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 304 mod 397
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 312 mod 397
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 79 mod 397
128: 184128=18464+64=18464⋅18464 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 286 mod 397
184140
= 184128+8+4
= 184128⋅1848⋅1844
≡ 286 ⋅ 196 ⋅ 14 mod 397
≡ 56056 ⋅ 14 mod 397 ≡ 79 ⋅ 14 mod 397
≡ 1106 mod 397 ≡ 312 mod 397
Es gilt also: 184140 ≡ 312 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55
| =>59 | = 1⋅55 + 4 |
| =>55 | = 13⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 55-13⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4) = -1⋅55 +14⋅ 4 (=1) |
| 4= 59-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55) = 14⋅59 -15⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55
oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅59 = -15⋅55
-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55
-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1
(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1
44⋅55 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1
Somit 44⋅55 = 1 mod 59
44 ist also das Inverse von 55 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.