Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 - 16000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 - 16000) mod 4 ≡ (77 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.
77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 80
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(77 - 16000) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 92) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 92) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 92) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4058 mod 617.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 405 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 520 mod 617
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 154 mod 617
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 270 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 180235 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:
235 = 128+64+32+8+2+1
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 54 mod 599
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 520 mod 599
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 251 mod 599
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 106 mod 599
32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 454 mod 599
64: 18064=18032+32=18032⋅18032 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 60 mod 599
128: 180128=18064+64=18064⋅18064 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 6 mod 599
180235
= 180128+64+32+8+2+1
= 180128⋅18064⋅18032⋅1808⋅1802⋅1801
≡ 6 ⋅ 60 ⋅ 454 ⋅ 251 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599
≡ 360 ⋅ 454 ⋅ 251 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599
≡ 163440 ⋅ 251 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599 ≡ 512 ⋅ 251 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599
≡ 128512 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599 ≡ 326 ⋅ 54 ⋅ 180 mod 599
≡ 17604 ⋅ 180 mod 599 ≡ 233 ⋅ 180 mod 599
≡ 41940 mod 599 ≡ 10 mod 599
Es gilt also: 180235 ≡ 10 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.