Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5998 + 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 + 60) mod 3 ≡ (5998 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(5998 + 60) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 53) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 53) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 53) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23016 mod 409.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 139 mod 409

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 98 mod 409

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 197 mod 409

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22361 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 2231=223

2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 212 mod 293

4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 115 mod 293

8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 40 mod 293

16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 135 mod 293

32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 59 mod 293

22361

= 22332+16+8+4+1

= 22332⋅22316⋅2238⋅2234⋅2231

59 ⋅ 135 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
7965 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293 ≡ 54 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
2160 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293 ≡ 109 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
12535 ⋅ 223 mod 293 ≡ 229 ⋅ 223 mod 293
51067 mod 293 ≡ 85 mod 293

Es gilt also: 22361 ≡ 85 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.