Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 - 5998) mod 3 ≡ (8998 mod 3 - 5998 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(8998 - 5998) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 75) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 75) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 354¹=354

2: 354²=354¹⁺¹=354¹⋅354¹ ≡ 354⋅354=125316 ≡ 98 mod 457

4: 354⁴=354²⁺²=354²⋅354² ≡ 98⋅98=9604 ≡ 7 mod 457

8: 354⁸=354⁴⁺⁴=354⁴⋅354⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 457

16: 354¹⁶=354⁸⁺⁸=354⁸⋅354⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457

32: 354³²=354¹⁶⁺¹⁶=354¹⁶⋅354¹⁶ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

383¹⁵¹

= 383^128+16+4+2+1

= 383¹²⁸⋅383¹⁶⋅383⁴⋅383²⋅383¹

≡ 88 ⋅ 22 ⋅ 199 ⋅ 526 ⋅ 383 mod 587
≡ 1936 ⋅ 199 ⋅ 526 ⋅ 383 mod 587 ≡ 175 ⋅ 199 ⋅ 526 ⋅ 383 mod 587
≡ 34825 ⋅ 526 ⋅ 383 mod 587 ≡ 192 ⋅ 526 ⋅ 383 mod 587
≡ 100992 ⋅ 383 mod 587 ≡ 28 ⋅ 383 mod 587
≡ 10724 mod 587 ≡ 158 mod 587

Es gilt also: 383¹⁵¹ ≡ 158 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67