Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (209 + 2805) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(209 + 2805) mod 7 ≡ (209 mod 7 + 2805 mod 7) mod 7.
209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209
= 210
2805 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2805
= 2800
Somit gilt:
(209 + 2805) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 80) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 80) mod 7 ≡ (24 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.
24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 80) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71416 mod 857.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 738 mod 857
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 449 mod 857
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 206 mod 857
16: 71416=7148+8=7148⋅7148 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 443 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331141 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:
141 = 128+8+4+1
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 140 mod 443
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 108 mod 443
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 146 mod 443
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 52 mod 443
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 46 mod 443
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 344 mod 443
128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 55 mod 443
331141
= 331128+8+4+1
= 331128⋅3318⋅3314⋅3311
≡ 55 ⋅ 146 ⋅ 108 ⋅ 331 mod 443
≡ 8030 ⋅ 108 ⋅ 331 mod 443 ≡ 56 ⋅ 108 ⋅ 331 mod 443
≡ 6048 ⋅ 331 mod 443 ≡ 289 ⋅ 331 mod 443
≡ 95659 mod 443 ≡ 414 mod 443
Es gilt also: 331141 ≡ 414 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.