Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 - 79) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 - 79) mod 4 ≡ (804 mod 4 - 79 mod 4) mod 4.
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
Somit gilt:
(804 - 79) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 42) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 42) mod 10 ≡ (41 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.
41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.
42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 42) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2528 mod 277.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 71 mod 277
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 55 mod 277
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 255 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50686 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 554 mod 919
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 889 mod 919
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 900 mod 919
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 361 mod 919
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 742 mod 919
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 742⋅742=550564 ≡ 83 mod 919
50686
= 50664+16+4+2
= 50664⋅50616⋅5064⋅5062
≡ 83 ⋅ 361 ⋅ 889 ⋅ 554 mod 919
≡ 29963 ⋅ 889 ⋅ 554 mod 919 ≡ 555 ⋅ 889 ⋅ 554 mod 919
≡ 493395 ⋅ 554 mod 919 ≡ 811 ⋅ 554 mod 919
≡ 449294 mod 919 ≡ 822 mod 919
Es gilt also: 50686 ≡ 822 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48
| =>73 | = 1⋅48 + 25 |
| =>48 | = 1⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 48-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 73-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +35⋅48
Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1
Somit 35⋅48 = 1 mod 73
35 ist also das Inverse von 48 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.