Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2097 + 139) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2097 + 139) mod 7 ≡ (2097 mod 7 + 139 mod 7) mod 7.
2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097
= 2100
139 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 139
= 140
Somit gilt:
(2097 + 139) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 51) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 51) mod 6 ≡ (76 mod 6 ⋅ 51 mod 6) mod 6.
76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 51) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75816 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 758 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7581=758
2: 7582=7581+1=7581⋅7581 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 443 mod 1009
4: 7584=7582+2=7582⋅7582 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 503 mod 1009
8: 7588=7584+4=7584⋅7584 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 759 mod 1009
16: 75816=7588+8=7588⋅7588 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 951 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396164 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 561 mod 947
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 317 mod 947
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 107 mod 947
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 85 mod 947
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 596 mod 947
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 91 mod 947
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 705 mod 947
396164
= 396128+32+4
= 396128⋅39632⋅3964
≡ 705 ⋅ 596 ⋅ 317 mod 947
≡ 420180 ⋅ 317 mod 947 ≡ 659 ⋅ 317 mod 947
≡ 208903 mod 947 ≡ 563 mod 947
Es gilt also: 396164 ≡ 563 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.