Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1808 - 36008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1808 - 36008) mod 9 ≡ (1808 mod 9 - 36008 mod 9) mod 9.
1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808
= 1800
36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008
= 36000
Somit gilt:
(1808 - 36008) mod 9 ≡ (8 - 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 66) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 66) mod 3 ≡ (36 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.
36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 66) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 548128 mod 997.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 548 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5481=548
2: 5482=5481+1=5481⋅5481 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 207 mod 997
4: 5484=5482+2=5482⋅5482 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 975 mod 997
8: 5488=5484+4=5484⋅5484 ≡ 975⋅975=950625 ≡ 484 mod 997
16: 54816=5488+8=5488⋅5488 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 958 mod 997
32: 54832=54816+16=54816⋅54816 ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997
64: 54864=54832+32=54832⋅54832 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997
128: 548128=54864+64=54864⋅54864 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 915170 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 9151=915
2: 9152=9151+1=9151⋅9151 ≡ 915⋅915=837225 ≡ 821 mod 991
4: 9154=9152+2=9152⋅9152 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 161 mod 991
8: 9158=9154+4=9154⋅9154 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 155 mod 991
16: 91516=9158+8=9158⋅9158 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 241 mod 991
32: 91532=91516+16=91516⋅91516 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 603 mod 991
64: 91564=91532+32=91532⋅91532 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 903 mod 991
128: 915128=91564+64=91564⋅91564 ≡ 903⋅903=815409 ≡ 807 mod 991
915170
= 915128+32+8+2
= 915128⋅91532⋅9158⋅9152
≡ 807 ⋅ 603 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991
≡ 486621 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991 ≡ 40 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991
≡ 6200 ⋅ 821 mod 991 ≡ 254 ⋅ 821 mod 991
≡ 208534 mod 991 ≡ 424 mod 991
Es gilt also: 915170 ≡ 424 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
