Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8007 - 40003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8007 - 40003) mod 8 ≡ (8007 mod 8 - 40003 mod 8) mod 8.
8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007
= 8000
40003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40003
= 40000
Somit gilt:
(8007 - 40003) mod 8 ≡ (7 - 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 39) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 39) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 39) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36716 mod 397.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 106 mod 397
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 120 mod 397
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 108 mod 397
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 151 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 520146 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 154 mod 617
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 270 mod 617
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 94 mod 617
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 198 mod 617
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 333 mod 617
64: 52064=52032+32=52032⋅52032 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
128: 520128=52064+64=52064⋅52064 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 242 mod 617
520146
= 520128+16+2
= 520128⋅52016⋅5202
≡ 242 ⋅ 198 ⋅ 154 mod 617
≡ 47916 ⋅ 154 mod 617 ≡ 407 ⋅ 154 mod 617
≡ 62678 mod 617 ≡ 361 mod 617
Es gilt also: 520146 ≡ 361 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.