Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (198 + 20000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(198 + 20000) mod 4 ≡ (198 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
Somit gilt:
(198 + 20000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 51) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 463128 mod 991.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 313 mod 991
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 851 mod 991
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 851⋅851=724201 ≡ 771 mod 991
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 832 mod 991
32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 506 mod 991
64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 358 mod 991
128: 463128=46364+64=46364⋅46364 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 325 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52485 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 5241=524
2: 5242=5241+1=5241⋅5241 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 43 mod 769
4: 5244=5242+2=5242⋅5242 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 311 mod 769
8: 5248=5244+4=5244⋅5244 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 596 mod 769
16: 52416=5248+8=5248⋅5248 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 707 mod 769
32: 52432=52416+16=52416⋅52416 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 768 mod 769
64: 52464=52432+32=52432⋅52432 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 1 mod 769
52485
= 52464+16+4+1
= 52464⋅52416⋅5244⋅5241
≡ 1 ⋅ 707 ⋅ 311 ⋅ 524 mod 769
≡ 707 ⋅ 311 ⋅ 524 mod 769
≡ 219877 ⋅ 524 mod 769 ≡ 712 ⋅ 524 mod 769
≡ 373088 mod 769 ≡ 123 mod 769
Es gilt also: 52485 ≡ 123 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
