Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 - 2501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 - 2501) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 2501 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501
= 2500
Somit gilt:
(5000 - 2501) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 63) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 63) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20616 mod 337.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 311 mod 337
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 2 mod 337
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 337
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 672241 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 6721=672
2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 805 mod 907
4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 427 mod 907
8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 22 mod 907
16: 67216=6728+8=6728⋅6728 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 907
32: 67232=67216+16=67216⋅67216 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 250 mod 907
64: 67264=67232+32=67232⋅67232 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 824 mod 907
128: 672128=67264+64=67264⋅67264 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 540 mod 907
672241
= 672128+64+32+16+1
= 672128⋅67264⋅67232⋅67216⋅6721
≡ 540 ⋅ 824 ⋅ 250 ⋅ 484 ⋅ 672 mod 907
≡ 444960 ⋅ 250 ⋅ 484 ⋅ 672 mod 907 ≡ 530 ⋅ 250 ⋅ 484 ⋅ 672 mod 907
≡ 132500 ⋅ 484 ⋅ 672 mod 907 ≡ 78 ⋅ 484 ⋅ 672 mod 907
≡ 37752 ⋅ 672 mod 907 ≡ 565 ⋅ 672 mod 907
≡ 379680 mod 907 ≡ 554 mod 907
Es gilt also: 672241 ≡ 554 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.