Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 + 305) mod 6 ≡ (5998 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(5998 + 305) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 78) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 78) mod 11 ≡ (3 ⋅ 1) mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 475¹=475

2: 475²=475¹⁺¹=475¹⋅475¹ ≡ 475⋅475=225625 ≡ 433 mod 853

4: 475⁴=475²⁺²=475²⋅475² ≡ 433⋅433=187489 ≡ 682 mod 853

8: 475⁸=475⁴⁺⁴=475⁴⋅475⁴ ≡ 682⋅682=465124 ≡ 239 mod 853

16: 475¹⁶=475⁸⁺⁸=475⁸⋅475⁸ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 823 mod 853

32: 475³²=475¹⁶⁺¹⁶=475¹⁶⋅475¹⁶ ≡ 823⋅823=677329 ≡ 47 mod 853

64: 475⁶⁴=475³²⁺³²=475³²⋅475³² ≡ 47⋅47=2209 ≡ 503 mod 853

128: 475¹²⁸=475⁶⁴⁺⁶⁴=475⁶⁴⋅475⁶⁴ ≡ 503⋅503=253009 ≡ 521 mod 853

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

206²²³

= 206^{128+64+16+8+4+2+1}

= 206¹²⁸⋅206⁶⁴⋅206¹⁶⋅206⁸⋅206⁴⋅206²⋅206¹

≡ 12 ⋅ 152 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 1824 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 67 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 5293 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 22 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 4158 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 142 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 5396 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 125 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 2125 ⋅ 206 mod 251 ≡ 117 ⋅ 206 mod 251
≡ 24102 mod 251 ≡ 6 mod 251

Es gilt also: 206²²³ ≡ 6 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47

=>89	= 1⋅47 + 42
=>47	= 1⋅42 + 5
=>42	= 8⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 42-8⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1)
5= 47-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42) = -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1)
42= 89-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47) = 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47

oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅89 = +36⋅47

Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1

Somit 36⋅47 = 1 mod 89

36 ist also das Inverse von 47 mod 89