Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1195 + 1204) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1195 + 1204) mod 6 ≡ (1195 mod 6 + 1204 mod 6) mod 6.
1195 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1195
= 1200
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(1195 + 1204) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 38) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 38) mod 3 ≡ (21 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.
21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 38) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 368128 mod 659.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3681=368
2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 329 mod 659
4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 165 mod 659
8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 206 mod 659
16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 260 mod 659
32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 382 mod 659
64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 285 mod 659
128: 368128=36864+64=36864⋅36864 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 168 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 325100 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 103 mod 409
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 384 mod 409
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 216 mod 409
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 30 mod 409
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 30⋅30=900 ≡ 82 mod 409
64: 32564=32532+32=32532⋅32532 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 180 mod 409
325100
= 32564+32+4
= 32564⋅32532⋅3254
≡ 180 ⋅ 82 ⋅ 384 mod 409
≡ 14760 ⋅ 384 mod 409 ≡ 36 ⋅ 384 mod 409
≡ 13824 mod 409 ≡ 327 mod 409
Es gilt also: 325100 ≡ 327 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.