Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39998 + 1598) mod 8 ≡ (39998 mod 8 + 1598 mod 8) mod 8.

39998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39998 = 39000+998 = 8 ⋅ 4875 +998.

1598 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598 = 1600-2 = 8 ⋅ 200 -2 = 8 ⋅ 200 - 8 + 6.

Somit gilt:

(39998 + 1598) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 96) mod 4 ≡ (74 mod 4 ⋅ 96 mod 4) mod 4.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 96) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 786¹=786

2: 786²=786¹⁺¹=786¹⋅786¹ ≡ 786⋅786=617796 ≡ 472 mod 983

4: 786⁴=786²⁺²=786²⋅786² ≡ 472⋅472=222784 ≡ 626 mod 983

8: 786⁸=786⁴⁺⁴=786⁴⋅786⁴ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 642 mod 983

16: 786¹⁶=786⁸⁺⁸=786⁸⋅786⁸ ≡ 642⋅642=412164 ≡ 287 mod 983

32: 786³²=786¹⁶⁺¹⁶=786¹⁶⋅786¹⁶ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 780 mod 983

64: 786⁶⁴=786³²⁺³²=786³²⋅786³² ≡ 780⋅780=608400 ≡ 906 mod 983

128: 786¹²⁸=786⁶⁴⁺⁶⁴=786⁶⁴⋅786⁶⁴ ≡ 906⋅906=820836 ≡ 31 mod 983

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

273²¹⁴

= 273^{128+64+16+4+2}

= 273¹²⁸⋅273⁶⁴⋅273¹⁶⋅273⁴⋅273²

≡ 106 ⋅ 409 ⋅ 121 ⋅ 431 ⋅ 229 mod 743
≡ 43354 ⋅ 121 ⋅ 431 ⋅ 229 mod 743 ≡ 260 ⋅ 121 ⋅ 431 ⋅ 229 mod 743
≡ 31460 ⋅ 431 ⋅ 229 mod 743 ≡ 254 ⋅ 431 ⋅ 229 mod 743
≡ 109474 ⋅ 229 mod 743 ≡ 253 ⋅ 229 mod 743
≡ 57937 mod 743 ≡ 726 mod 743

Es gilt also: 273²¹⁴ ≡ 726 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

=>73	= 1⋅39 + 34
=>39	= 1⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 39-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1)
34= 73-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39) = 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39

oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅73 = +15⋅39

Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1

Somit 15⋅39 = 1 mod 73

15 ist also das Inverse von 39 mod 73