Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (453 + 902) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(453 + 902) mod 9 ≡ (453 mod 9 + 902 mod 9) mod 9.
453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453
= 450
902 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
Somit gilt:
(453 + 902) mod 9 ≡ (3 + 2) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 32) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 32) mod 6 ≡ (64 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.
64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.
32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 32) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 436128 mod 967.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4361=436
2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 564 mod 967
4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 920 mod 967
8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 275 mod 967
16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 199 mod 967
32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 921 mod 967
64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 182 mod 967
128: 436128=43664+64=43664⋅43664 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 246 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 411104 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 288 mod 457
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 227 mod 457
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 345 mod 457
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 205 mod 457
32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 438 mod 457
64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 361 mod 457
411104
= 41164+32+8
= 41164⋅41132⋅4118
≡ 361 ⋅ 438 ⋅ 345 mod 457
≡ 158118 ⋅ 345 mod 457 ≡ 453 ⋅ 345 mod 457
≡ 156285 mod 457 ≡ 448 mod 457
Es gilt also: 411104 ≡ 448 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.