Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (163 + 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(163 + 75) mod 8 ≡ (163 mod 8 + 75 mod 8) mod 8.
163 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163
= 160
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 80
Somit gilt:
(163 + 75) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 74) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 74) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 74 mod 10) mod 10.
35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.
74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 74) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248128 mod 379.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 106 mod 379
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 245 mod 379
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 143 mod 379
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35694 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 22 mod 431
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 22⋅22=484 ≡ 53 mod 431
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 223 mod 431
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 164 mod 431
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 174 mod 431
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 106 mod 431
35694
= 35664+16+8+4+2
= 35664⋅35616⋅3568⋅3564⋅3562
≡ 106 ⋅ 164 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 mod 431
≡ 17384 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 mod 431 ≡ 144 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 mod 431
≡ 32112 ⋅ 53 ⋅ 22 mod 431 ≡ 218 ⋅ 53 ⋅ 22 mod 431
≡ 11554 ⋅ 22 mod 431 ≡ 348 ⋅ 22 mod 431
≡ 7656 mod 431 ≡ 329 mod 431
Es gilt also: 35694 ≡ 329 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.