Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1401 - 34997) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1401 - 34997) mod 7 ≡ (1401 mod 7 - 34997 mod 7) mod 7.
1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401
= 1400
34997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34997
= 35000
Somit gilt:
(1401 - 34997) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 33) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 33) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 33 mod 9) mod 9.
25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.
33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 33) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 111128 mod 239.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 132 mod 239
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 216 mod 239
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 51 mod 239
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 211 mod 239
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 67 mod 239
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 187 mod 239
128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 75 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25185 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 129 mod 271
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 110 mod 271
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 176 mod 271
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 82 mod 271
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 220 mod 271
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 162 mod 271
25185
= 25164+16+4+1
= 25164⋅25116⋅2514⋅2511
≡ 162 ⋅ 82 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271
≡ 13284 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271 ≡ 5 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271
≡ 550 ⋅ 251 mod 271 ≡ 8 ⋅ 251 mod 271
≡ 2008 mod 271 ≡ 111 mod 271
Es gilt also: 25185 ≡ 111 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78
| =>83 | = 1⋅78 + 5 |
| =>78 | = 15⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 78-15⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78)
= 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +33⋅78
Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1
Somit 33⋅78 = 1 mod 83
33 ist also das Inverse von 78 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
