Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17995 + 24003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17995 + 24003) mod 6 ≡ (17995 mod 6 + 24003 mod 6) mod 6.
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003
= 24000
Somit gilt:
(17995 + 24003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 44) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 44) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31616 mod 563.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 316 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 205 mod 563
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 363 mod 563
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 27 mod 563
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 27⋅27=729 ≡ 166 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39769 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 8 mod 439
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 439
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 145 mod 439
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 392 mod 439
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 14 mod 439
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 439
39769
= 39764+4+1
= 39764⋅3974⋅3971
≡ 196 ⋅ 64 ⋅ 397 mod 439
≡ 12544 ⋅ 397 mod 439 ≡ 252 ⋅ 397 mod 439
≡ 100044 mod 439 ≡ 391 mod 439
Es gilt also: 39769 ≡ 391 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.