Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3497 + 205) mod 7 ≡ (3497 mod 7 + 205 mod 7) mod 7.

3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497 = 3500-3 = 7 ⋅ 500 -3 = 7 ⋅ 500 - 7 + 4.

205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 210-5 = 7 ⋅ 30 -5 = 7 ⋅ 30 - 7 + 2.

Somit gilt:

(3497 + 205) mod 7 ≡ (4 + 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 105¹=105

2: 105²=105¹⁺¹=105¹⋅105¹ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 185 mod 271

4: 105⁴=105²⁺²=105²⋅105² ≡ 185⋅185=34225 ≡ 79 mod 271

8: 105⁸=105⁴⁺⁴=105⁴⋅105⁴ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 8 mod 271

16: 105¹⁶=105⁸⁺⁸=105⁸⋅105⁸ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 271

32: 105³²=105¹⁶⁺¹⁶=105¹⁶⋅105¹⁶ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 31 mod 271

64: 105⁶⁴=105³²⁺³²=105³²⋅105³² ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271

128: 105¹²⁸=105⁶⁴⁺⁶⁴=105⁶⁴⋅105⁶⁴ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 224 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

117⁶⁰

= 117^32+16+8+4

= 117³²⋅117¹⁶⋅117⁸⋅117⁴

≡ 290 ⋅ 102 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389
≡ 29580 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389 ≡ 16 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389
≡ 1952 ⋅ 30 mod 389 ≡ 7 ⋅ 30 mod 389
≡ 210 mod 389

Es gilt also: 117⁶⁰ ≡ 210 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83

=>97	= 1⋅83 + 14
=>83	= 5⋅14 + 13
=>14	= 1⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 83-5⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14) = 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1)
14= 97-1⋅83	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83) = -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83

oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅97 = -7⋅83

-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83

-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1

(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1

90⋅83 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1

Somit 90⋅83 = 1 mod 97

90 ist also das Inverse von 83 mod 97