Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 - 26991) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 - 26991) mod 9 ≡ (900 mod 9 - 26991 mod 9) mod 9.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991 = 27000-9 = 9 ⋅ 3000 -9 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(900 - 26991) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 61) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 61) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 61) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30332 mod 797.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797

16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 246 mod 797

32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 741 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 148247 mod 281.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 267 mod 281

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 196 mod 281

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 200 mod 281

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281

128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281

148247

= 148128+64+32+16+4+2+1

= 148128⋅14864⋅14832⋅14816⋅1484⋅1482⋅1481

279 ⋅ 252 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
70308 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 58 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
2900 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 90 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
8820 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 109 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
21364 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 8 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
2136 ⋅ 148 mod 281 ≡ 169 ⋅ 148 mod 281
25012 mod 281 ≡ 3 mod 281

Es gilt also: 148247 ≡ 3 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79 = 2⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27)
= 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.