Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (366 - 44999) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(366 - 44999) mod 9 ≡ (366 mod 9 - 44999 mod 9) mod 9.

366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366 = 360+6 = 9 ⋅ 40 +6.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(366 - 44999) mod 9 ≡ (6 - 8) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 39) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 39) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 39) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15964 mod 281.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 159 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1591=159

2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 272 mod 281

4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 81 mod 281

8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 98 mod 281

16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281

64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225141 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 232 mod 239

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 49 mod 239

64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 11 mod 239

128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 239

225141

= 225128+8+4+1

= 225128⋅2258⋅2254⋅2251

121 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
17545 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 98 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
17248 ⋅ 225 mod 239 ≡ 40 ⋅ 225 mod 239
9000 mod 239 ≡ 157 mod 239

Es gilt also: 225141 ≡ 157 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

=>71 = 1⋅40 + 31
=>40 = 1⋅31 + 9
=>31 = 3⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9)
= -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 40-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31)
= 7⋅40 -9⋅ 31 (=1)
31= 71-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40)
= -9⋅71 +16⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +16⋅40

Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1

Somit 16⋅40 = 1 mod 71

16 ist also das Inverse von 40 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.