Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 + 1593) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 + 1593) mod 8 ≡ (73 mod 8 + 1593 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(73 + 1593) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 31) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 31) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 31 mod 4) mod 4.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 31) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21516 mod 331.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 215 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2151=215

2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331

4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331

8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 225 mod 331

16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 313 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 517255 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 5171=517

2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 138 mod 577

4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 3 mod 577

8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 577

16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 577

32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577

64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577

128: 517128=51764+64=51764⋅51764 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 363 mod 577

517255

= 517128+64+32+16+8+4+2+1

= 517128⋅51764⋅51732⋅51716⋅5178⋅5174⋅5172⋅5171

363 ⋅ 213 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
77319 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 1 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
214 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
17334 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 24 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
216 ⋅ 3 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
648 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577 ≡ 71 ⋅ 138 ⋅ 517 mod 577
9798 ⋅ 517 mod 577 ≡ 566 ⋅ 517 mod 577
292622 mod 577 ≡ 83 mod 577

Es gilt also: 517255 ≡ 83 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53 = 1⋅42 + 11
=>42 = 3⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11)
= 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42)
= -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.