Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 - 12003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 - 12003) mod 4 ≡ (2001 mod 4 - 12003 mod 4) mod 4.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(2001 - 12003) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 73) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 73) mod 7 ≡ (55 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 73) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1678 mod 271.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1671=167

2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 247 mod 271

4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 34 mod 271

8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 72 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54471 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 5441=544

2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 668 mod 761

4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 278 mod 761

8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761

16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761

32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761

64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 101 mod 761

54471

= 54464+4+2+1

= 54464⋅5444⋅5442⋅5441

101 ⋅ 278 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761
28078 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761 ≡ 682 ⋅ 668 ⋅ 544 mod 761
455576 ⋅ 544 mod 761 ≡ 498 ⋅ 544 mod 761
270912 mod 761 ≡ 757 mod 761

Es gilt also: 54471 ≡ 757 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75

=>97 = 1⋅75 + 22
=>75 = 3⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 75-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22)
= 5⋅75 -17⋅ 22 (=1)
22= 97-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75)
= -17⋅97 +22⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +22⋅75

Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1

Somit 22⋅75 = 1 mod 97

22 ist also das Inverse von 75 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.