Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (792 - 801) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(792 - 801) mod 8 ≡ (792 mod 8 - 801 mod 8) mod 8.
792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792
= 800
801 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801
= 800
Somit gilt:
(792 - 801) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 38) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 38) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 38) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47832 mod 521.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 478 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4781=478
2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 286 mod 521
4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 520 mod 521
8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 1 mod 521
16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 521
32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 408175 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 688 mod 797
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 723 mod 797
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 694 mod 797
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 248 mod 797
32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 135 mod 797
64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 691 mod 797
128: 408128=40864+64=40864⋅40864 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 78 mod 797
408175
= 408128+32+8+4+2+1
= 408128⋅40832⋅4088⋅4084⋅4082⋅4081
≡ 78 ⋅ 135 ⋅ 694 ⋅ 723 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797
≡ 10530 ⋅ 694 ⋅ 723 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797 ≡ 169 ⋅ 694 ⋅ 723 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797
≡ 117286 ⋅ 723 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797 ≡ 127 ⋅ 723 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797
≡ 91821 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797 ≡ 166 ⋅ 688 ⋅ 408 mod 797
≡ 114208 ⋅ 408 mod 797 ≡ 237 ⋅ 408 mod 797
≡ 96696 mod 797 ≡ 259 mod 797
Es gilt also: 408175 ≡ 259 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54
| =>97 | = 1⋅54 + 43 |
| =>54 | = 1⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 54-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43) = 4⋅54 -5⋅ 43 (=1) |
| 43= 97-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54)
= 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54) = -5⋅97 +9⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54
oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅97 = +9⋅54
Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1
Somit 9⋅54 = 1 mod 97
9 ist also das Inverse von 54 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
