Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (147 - 120) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(147 - 120) mod 3 ≡ (147 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.
147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 150
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(147 - 120) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2768 mod 797.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 461 mod 797
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 519 mod 797
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 772 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214176 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 141 mod 397
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 31 mod 397
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 31⋅31=961 ≡ 167 mod 397
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 99 mod 397
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 273 mod 397
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 290 mod 397
128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 333 mod 397
214176
= 214128+32+16
= 214128⋅21432⋅21416
≡ 333 ⋅ 273 ⋅ 99 mod 397
≡ 90909 ⋅ 99 mod 397 ≡ 393 ⋅ 99 mod 397
≡ 38907 mod 397 ≡ 1 mod 397
Es gilt also: 214176 ≡ 1 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.