Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1401 - 2805) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1401 - 2805) mod 7 ≡ (1401 mod 7 - 2805 mod 7) mod 7.
1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401
= 1400
2805 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2805
= 2800
Somit gilt:
(1401 - 2805) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 75) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 75) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 75) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 313.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 66 mod 313
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 287 mod 313
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 50 mod 313
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 309 mod 313
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62998 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 6291=629
2: 6292=6291+1=6291⋅6291 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 615 mod 751
4: 6294=6292+2=6292⋅6292 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 472 mod 751
8: 6298=6294+4=6294⋅6294 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 488 mod 751
16: 62916=6298+8=6298⋅6298 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 77 mod 751
32: 62932=62916+16=62916⋅62916 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 672 mod 751
64: 62964=62932+32=62932⋅62932 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 233 mod 751
62998
= 62964+32+2
= 62964⋅62932⋅6292
≡ 233 ⋅ 672 ⋅ 615 mod 751
≡ 156576 ⋅ 615 mod 751 ≡ 368 ⋅ 615 mod 751
≡ 226320 mod 751 ≡ 269 mod 751
Es gilt also: 62998 ≡ 269 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.