Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 + 1200) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 + 1200) mod 3 ≡ (9000 mod 3 + 1200 mod 3) mod 3.
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(9000 + 1200) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 54) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 54) mod 8 ≡ (45 mod 8 ⋅ 54 mod 8) mod 8.
45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 54) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 381128 mod 701.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 54 mod 701
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 112 mod 701
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 627 mod 701
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 569 mod 701
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 600 mod 701
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 387 mod 701
128: 381128=38164+64=38164⋅38164 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 456 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33498 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 436 mod 463
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 266 mod 463
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 380 mod 463
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 407 mod 463
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 358 mod 463
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 376 mod 463
33498
= 33464+32+2
= 33464⋅33432⋅3342
≡ 376 ⋅ 358 ⋅ 436 mod 463
≡ 134608 ⋅ 436 mod 463 ≡ 338 ⋅ 436 mod 463
≡ 147368 mod 463 ≡ 134 mod 463
Es gilt also: 33498 ≡ 134 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54
| =>61 | = 1⋅54 + 7 |
| =>54 | = 7⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 54-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +26⋅54
Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1
Somit 26⋅54 = 1 mod 61
26 ist also das Inverse von 54 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.