Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9002 - 897) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 - 897) mod 3 ≡ (9002 mod 3 - 897 mod 3) mod 3.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 3 ⋅ 300 -3 = 3 ⋅ 300 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9002 - 897) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 75) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54632 mod 631.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 546 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5461=546

2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 284 mod 631

4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 519 mod 631

8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 555 mod 631

16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 97 mod 631

32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 575 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52264 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 5221=522

2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 660 mod 809

4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 358 mod 809

8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 342 mod 809

16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 468 mod 809

32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 594 mod 809

64: 52264=52232+32=52232⋅52232 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 112 mod 809

52264

= 52264

= 52264

112 mod 809

Es gilt also: 52264 ≡ 112 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59 = 2⋅23 + 13
=>23 = 1⋅13 + 10
=>13 = 1⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10)
= -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13)
= 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23)
= -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.