Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7006 + 2098) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7006 + 2098) mod 7 ≡ (7006 mod 7 + 2098 mod 7) mod 7.
7006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7006
= 7000
2098 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2098
= 2100
Somit gilt:
(7006 + 2098) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 27) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 27) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 27) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3838 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 383 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3831=383
2: 3832=3831+1=3831⋅3831 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 36 mod 389
4: 3834=3832+2=3832⋅3832 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 129 mod 389
8: 3838=3834+4=3834⋅3834 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 303 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 277197 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 2771=277
2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 7 mod 673
4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 673
8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 382 mod 673
16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 556 mod 673
32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 229 mod 673
64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673
128: 277128=27764+64=27764⋅27764 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673
277197
= 277128+64+4+1
= 277128⋅27764⋅2774⋅2771
≡ 117 ⋅ 620 ⋅ 49 ⋅ 277 mod 673
≡ 72540 ⋅ 49 ⋅ 277 mod 673 ≡ 529 ⋅ 49 ⋅ 277 mod 673
≡ 25921 ⋅ 277 mod 673 ≡ 347 ⋅ 277 mod 673
≡ 96119 mod 673 ≡ 553 mod 673
Es gilt also: 277197 ≡ 553 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.