Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 - 202) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 - 202) mod 5 ≡ (96 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(96 - 202) mod 5 ≡ (1 - 2) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 23) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 23) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 23) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19516 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 388 mod 617

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 613 mod 617

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 16 mod 617

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 352191 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 3521=352

2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 202 mod 389

4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 348 mod 389

8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 125 mod 389

16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 65 mod 389

32: 35232=35216+16=35216⋅35216 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 335 mod 389

64: 35264=35232+32=35232⋅35232 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 193 mod 389

128: 352128=35264+64=35264⋅35264 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 294 mod 389

352191

= 352128+32+16+8+4+2+1

= 352128⋅35232⋅35216⋅3528⋅3524⋅3522⋅3521

294 ⋅ 335 ⋅ 65 ⋅ 125 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389
98490 ⋅ 65 ⋅ 125 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389 ≡ 73 ⋅ 65 ⋅ 125 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389
4745 ⋅ 125 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389 ≡ 77 ⋅ 125 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389
9625 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389 ≡ 289 ⋅ 348 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389
100572 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389 ≡ 210 ⋅ 202 ⋅ 352 mod 389
42420 ⋅ 352 mod 389 ≡ 19 ⋅ 352 mod 389
6688 mod 389 ≡ 75 mod 389

Es gilt also: 352191 ≡ 75 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.