Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(606 + 605) mod 6 ≡ (606 mod 6 + 605 mod 6) mod 6.

606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606 = 600+6 = 6 ⋅ 100 +6.

605 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 605 = 600+5 = 6 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(606 + 605) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 80) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 80) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 453¹=453

2: 453²=453¹⁺¹=453¹⋅453¹ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 167 mod 653

4: 453⁴=453²⁺²=453²⋅453² ≡ 167⋅167=27889 ≡ 463 mod 653

8: 453⁸=453⁴⁺⁴=453⁴⋅453⁴ ≡ 463⋅463=214369 ≡ 185 mod 653

16: 453¹⁶=453⁸⁺⁸=453⁸⋅453⁸ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 269 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

497²³⁹

= 497^{128+64+32+8+4+2+1}

= 497¹²⁸⋅497⁶⁴⋅497³²⋅497⁸⋅497⁴⋅497²⋅497¹

≡ 248 ⋅ 418 ⋅ 564 ⋅ 493 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823
≡ 103664 ⋅ 564 ⋅ 493 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823 ≡ 789 ⋅ 564 ⋅ 493 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823
≡ 444996 ⋅ 493 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823 ≡ 576 ⋅ 493 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823
≡ 283968 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823 ≡ 33 ⋅ 359 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823
≡ 11847 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823 ≡ 325 ⋅ 109 ⋅ 497 mod 823
≡ 35425 ⋅ 497 mod 823 ≡ 36 ⋅ 497 mod 823
≡ 17892 mod 823 ≡ 609 mod 823

Es gilt also: 497²³⁹ ≡ 609 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79	= 1⋅54 + 25
=>54	= 2⋅25 + 4
=>25	= 6⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25) = 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54) = -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79