Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 + 81) mod 4 ≡ (20003 mod 4 + 81 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(20003 + 81) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 62) mod 11 ≡ (28 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

28 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 22 + 6 = 2 ⋅ 11 + 6 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 62) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 535¹=535

2: 535²=535¹⁺¹=535¹⋅535¹ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 440 mod 937

4: 535⁴=535²⁺²=535²⋅535² ≡ 440⋅440=193600 ≡ 578 mod 937

8: 535⁸=535⁴⁺⁴=535⁴⋅535⁴ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 512 mod 937

16: 535¹⁶=535⁸⁺⁸=535⁸⋅535⁸ ≡ 512⋅512=262144 ≡ 721 mod 937

32: 535³²=535¹⁶⁺¹⁶=535¹⁶⋅535¹⁶ ≡ 721⋅721=519841 ≡ 743 mod 937

64: 535⁶⁴=535³²⁺³²=535³²⋅535³² ≡ 743⋅743=552049 ≡ 156 mod 937

128: 535¹²⁸=535⁶⁴⁺⁶⁴=535⁶⁴⋅535⁶⁴ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 911 mod 937

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

260²²²

= 260^{128+64+16+8+4+2}

= 260¹²⁸⋅260⁶⁴⋅260¹⁶⋅260⁸⋅260⁴⋅260²

≡ 484 ⋅ 22 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
≡ 10648 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 493 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
≡ 285940 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 246 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
≡ 81180 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 617 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
≡ 322074 ⋅ 577 mod 677 ≡ 499 ⋅ 577 mod 677
≡ 287923 mod 677 ≡ 198 mod 677

Es gilt also: 260²²² ≡ 198 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53	= 1⋅43 + 10
=>43	= 4⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43) = -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53