Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 - 1500) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 - 1500) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 1500 mod 3) mod 3.
151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(151 - 1500) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 91) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 91) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14332 mod 347.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 323 mod 347
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 229 mod 347
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 44 mod 347
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 201 mod 347
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 149 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 507169 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 5071=507
2: 5072=5071+1=5071⋅5071 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 190 mod 647
4: 5074=5072+2=5072⋅5072 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 515 mod 647
8: 5078=5074+4=5074⋅5074 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 602 mod 647
16: 50716=5078+8=5078⋅5078 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 84 mod 647
32: 50732=50716+16=50716⋅50716 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 586 mod 647
64: 50764=50732+32=50732⋅50732 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 486 mod 647
128: 507128=50764+64=50764⋅50764 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 41 mod 647
507169
= 507128+32+8+1
= 507128⋅50732⋅5078⋅5071
≡ 41 ⋅ 586 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647
≡ 24026 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647 ≡ 87 ⋅ 602 ⋅ 507 mod 647
≡ 52374 ⋅ 507 mod 647 ≡ 614 ⋅ 507 mod 647
≡ 311298 mod 647 ≡ 91 mod 647
Es gilt also: 507169 ≡ 91 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.