Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4507 + 36004) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4507 + 36004) mod 9 ≡ (4507 mod 9 + 36004 mod 9) mod 9.
4507 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4507
= 4500
36004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36004
= 36000
Somit gilt:
(4507 + 36004) mod 9 ≡ (7 + 4) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 34) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 34) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 34) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58732 mod 977.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 587 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5871=587
2: 5872=5871+1=5871⋅5871 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 665 mod 977
4: 5874=5872+2=5872⋅5872 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 621 mod 977
8: 5878=5874+4=5874⋅5874 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 703 mod 977
16: 58716=5878+8=5878⋅5878 ≡ 703⋅703=494209 ≡ 824 mod 977
32: 58732=58716+16=58716⋅58716 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 938 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 639178 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 6391=639
2: 6392=6391+1=6391⋅6391 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 400 mod 659
4: 6394=6392+2=6392⋅6392 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 522 mod 659
8: 6398=6394+4=6394⋅6394 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 317 mod 659
16: 63916=6398+8=6398⋅6398 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 321 mod 659
32: 63932=63916+16=63916⋅63916 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 237 mod 659
64: 63964=63932+32=63932⋅63932 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 154 mod 659
128: 639128=63964+64=63964⋅63964 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 651 mod 659
639178
= 639128+32+16+2
= 639128⋅63932⋅63916⋅6392
≡ 651 ⋅ 237 ⋅ 321 ⋅ 400 mod 659
≡ 154287 ⋅ 321 ⋅ 400 mod 659 ≡ 81 ⋅ 321 ⋅ 400 mod 659
≡ 26001 ⋅ 400 mod 659 ≡ 300 ⋅ 400 mod 659
≡ 120000 mod 659 ≡ 62 mod 659
Es gilt also: 639178 ≡ 62 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.