Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27006 - 95) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27006 - 95) mod 9 ≡ (27006 mod 9 - 95 mod 9) mod 9.
27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006
= 27000
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(27006 - 95) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 54) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 54) mod 10 ≡ (70 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.
70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.
54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 54) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22432 mod 347.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 208 mod 347
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 236 mod 347
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 176 mod 347
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 93 mod 347
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 321 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37563 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:
63 = 32+16+8+4+2+1
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 566 mod 617
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 133 mod 617
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 413 mod 617
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617
37563
= 37532+16+8+4+2+1
= 37532⋅37516⋅3758⋅3754⋅3752⋅3751
≡ 221 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 61217 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 134 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 55342 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 429 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 57057 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 293 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 165838 ⋅ 375 mod 617 ≡ 482 ⋅ 375 mod 617
≡ 180750 mod 617 ≡ 586 mod 617
Es gilt also: 37563 ≡ 586 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32
| =>59 | = 1⋅32 + 27 |
| =>32 | = 1⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1) |
| 27= 59-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +24⋅32
Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1
Somit 24⋅32 = 1 mod 59
24 ist also das Inverse von 32 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
