Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (202 + 8001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(202 + 8001) mod 4 ≡ (202 mod 4 + 8001 mod 4) mod 4.
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
Somit gilt:
(202 + 8001) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 68) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 68) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 68) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10516 mod 251.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 232 mod 251
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 110 mod 251
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 52 mod 251
16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 194 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 620129 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 6201=620
2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 544 mod 727
4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 47 mod 727
8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 28 mod 727
16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 28⋅28=784 ≡ 57 mod 727
32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 341 mod 727
64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 688 mod 727
128: 620128=62064+64=62064⋅62064 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 67 mod 727
620129
= 620128+1
= 620128⋅6201
≡ 67 ⋅ 620 mod 727
≡ 41540 mod 727 ≡ 101 mod 727
Es gilt also: 620129 ≡ 101 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.