Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12001 - 27) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 - 27) mod 3 ≡ (12001 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.

12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 3 ⋅ 4000 +1.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

Somit gilt:

(12001 - 27) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 87) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 87) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 87 mod 10) mod 10.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

87 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 8 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 87) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42564 mod 457.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 110 mod 457

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 218 mod 457

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 457

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 185 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 367160 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:

160 = 128+32

1: 3671=367

2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 215 mod 947

4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 769 mod 947

8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 433 mod 947

16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 930 mod 947

32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 930⋅930=864900 ≡ 289 mod 947

64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 185 mod 947

128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 133 mod 947

367160

= 367128+32

= 367128⋅36732

133 ⋅ 289 mod 947
38437 mod 947 ≡ 557 mod 947

Es gilt also: 367160 ≡ 557 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

=>59 = 1⋅39 + 20
=>39 = 1⋅20 + 19
=>20 = 1⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 39-1⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20)
= -1⋅39 +2⋅ 20 (=1)
20= 59-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39)
= 2⋅59 -3⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39

oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅59 = -3⋅39

-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39

-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1

(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1

56⋅39 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1

Somit 56⋅39 = 1 mod 59

56 ist also das Inverse von 39 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.