Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2402 + 12004) mod 6 ≡ (2402 mod 6 + 12004 mod 6) mod 6.

2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402 = 2400+2 = 6 ⋅ 400 +2.

12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 6 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(2402 + 12004) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 36) mod 10 ≡ (71 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 36) mod 10 ≡ (1 ⋅ 6) mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 347¹=347

2: 347²=347¹⁺¹=347¹⋅347¹ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 163 mod 409

4: 347⁴=347²⁺²=347²⋅347² ≡ 163⋅163=26569 ≡ 393 mod 409

8: 347⁸=347⁴⁺⁴=347⁴⋅347⁴ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 256 mod 409

16: 347¹⁶=347⁸⁺⁸=347⁸⋅347⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

32: 347³²=347¹⁶⁺¹⁶=347¹⁶⋅347¹⁶ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

217²¹³

= 217^{128+64+16+4+1}

= 217¹²⁸⋅217⁶⁴⋅217¹⁶⋅217⁴⋅217¹

≡ 288 ⋅ 330 ⋅ 384 ⋅ 32 ⋅ 217 mod 431
≡ 95040 ⋅ 384 ⋅ 32 ⋅ 217 mod 431 ≡ 220 ⋅ 384 ⋅ 32 ⋅ 217 mod 431
≡ 84480 ⋅ 32 ⋅ 217 mod 431 ≡ 4 ⋅ 32 ⋅ 217 mod 431
≡ 128 ⋅ 217 mod 431
≡ 27776 mod 431 ≡ 192 mod 431

Es gilt also: 217²¹³ ≡ 192 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73