Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15004 - 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15004 - 150) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 150 mod 5) mod 5.
15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004
= 15000
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(15004 - 150) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 67) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 67) mod 11 ≡ (59 mod 11 ⋅ 67 mod 11) mod 11.
59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.
67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 67) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3578 mod 641.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 348166 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 220 mod 643
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 175 mod 643
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 404 mod 643
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 537 mod 643
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 305 mod 643
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 433 mod 643
128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 376 mod 643
348166
= 348128+32+4+2
= 348128⋅34832⋅3484⋅3482
≡ 376 ⋅ 305 ⋅ 175 ⋅ 220 mod 643
≡ 114680 ⋅ 175 ⋅ 220 mod 643 ≡ 226 ⋅ 175 ⋅ 220 mod 643
≡ 39550 ⋅ 220 mod 643 ≡ 327 ⋅ 220 mod 643
≡ 71940 mod 643 ≡ 567 mod 643
Es gilt also: 348166 ≡ 567 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.