Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2702 - 443) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2702 - 443) mod 9 ≡ (2702 mod 9 - 443 mod 9) mod 9.
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
443 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 443
= 450
Somit gilt:
(2702 - 443) mod 9 ≡ (2 - 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 85) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 85) mod 6 ≡ (60 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 85) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47916 mod 773.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 479 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4791=479
2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 633 mod 773
4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 275 mod 773
8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 644 mod 773
16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 408 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20962 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 491 mod 617
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
20962
= 20932+16+8+4+2
= 20932⋅20916⋅2098⋅2094⋅2092
≡ 451 ⋅ 491 ⋅ 408 ⋅ 451 ⋅ 491 mod 617
≡ 221441 ⋅ 408 ⋅ 451 ⋅ 491 mod 617 ≡ 555 ⋅ 408 ⋅ 451 ⋅ 491 mod 617
≡ 226440 ⋅ 451 ⋅ 491 mod 617 ≡ 1 ⋅ 451 ⋅ 491 mod 617
≡ 451 ⋅ 491 mod 617
≡ 221441 mod 617 ≡ 555 mod 617
Es gilt also: 20962 ≡ 555 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.