Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (306 + 12002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(306 + 12002) mod 6 ≡ (306 mod 6 + 12002 mod 6) mod 6.
306 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 306
= 300
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(306 + 12002) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 53) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 53) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43516 mod 733.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 435 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4351=435
2: 4352=4351+1=4351⋅4351 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 111 mod 733
4: 4354=4352+2=4352⋅4352 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 593 mod 733
8: 4358=4354+4=4354⋅4354 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 542 mod 733
16: 43516=4358+8=4358⋅4358 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 564 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 416255 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:
255 = 128+64+32+16+8+4+2+1
1: 4161=416
2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 213 mod 827
4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 711 mod 827
8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 224 mod 827
16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 556 mod 827
32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 665 mod 827
64: 41664=41632+32=41632⋅41632 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 607 mod 827
128: 416128=41664+64=41664⋅41664 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 434 mod 827
416255
= 416128+64+32+16+8+4+2+1
= 416128⋅41664⋅41632⋅41616⋅4168⋅4164⋅4162⋅4161
≡ 434 ⋅ 607 ⋅ 665 ⋅ 556 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 263438 ⋅ 665 ⋅ 556 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827 ≡ 452 ⋅ 665 ⋅ 556 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 300580 ⋅ 556 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827 ≡ 379 ⋅ 556 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 210724 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827 ≡ 666 ⋅ 224 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 149184 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827 ≡ 324 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 230364 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827 ≡ 458 ⋅ 213 ⋅ 416 mod 827
≡ 97554 ⋅ 416 mod 827 ≡ 795 ⋅ 416 mod 827
≡ 330720 mod 827 ≡ 747 mod 827
Es gilt also: 416255 ≡ 747 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59
| =>73 | = 1⋅59 + 14 |
| =>59 | = 4⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 59-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14) = 5⋅59 -21⋅ 14 (=1) |
| 14= 73-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59) = -21⋅73 +26⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59
oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅73 = +26⋅59
Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1
Somit 26⋅59 = 1 mod 73
26 ist also das Inverse von 59 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
