Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (299 + 61) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(299 + 61) mod 6 ≡ (299 mod 6 + 61 mod 6) mod 6.
299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299
= 300
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
Somit gilt:
(299 + 61) mod 6 ≡ (5 + 1) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 77) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 77) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 77) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21432 mod 467.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 30 mod 467
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 30⋅30=900 ≡ 433 mod 467
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 222 mod 467
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 249 mod 467
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 575164 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 5751=575
2: 5752=5751+1=5751⋅5751 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 8 mod 647
4: 5754=5752+2=5752⋅5752 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 647
8: 5758=5754+4=5754⋅5754 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 214 mod 647
16: 57516=5758+8=5758⋅5758 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 506 mod 647
32: 57532=57516+16=57516⋅57516 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 471 mod 647
64: 57564=57532+32=57532⋅57532 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 567 mod 647
128: 575128=57564+64=57564⋅57564 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 577 mod 647
575164
= 575128+32+4
= 575128⋅57532⋅5754
≡ 577 ⋅ 471 ⋅ 64 mod 647
≡ 271767 ⋅ 64 mod 647 ≡ 27 ⋅ 64 mod 647
≡ 1728 mod 647 ≡ 434 mod 647
Es gilt also: 575164 ≡ 434 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.