Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1497 + 202) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1497 + 202) mod 5 ≡ (1497 mod 5 + 202 mod 5) mod 5.
1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1400
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(1497 + 202) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 39) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 39) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.
38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 39) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27132 mod 293.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 271 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 191 mod 293
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 149 mod 293
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 226 mod 293
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 94 mod 293
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 46 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 546220 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:
220 = 128+64+16+8+4
1: 5461=546
2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 507 mod 587
4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 530 mod 587
8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 314 mod 587
16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 567 mod 587
32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 400 mod 587
64: 54664=54632+32=54632⋅54632 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 336 mod 587
128: 546128=54664+64=54664⋅54664 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 192 mod 587
546220
= 546128+64+16+8+4
= 546128⋅54664⋅54616⋅5468⋅5464
≡ 192 ⋅ 336 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 64512 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587 ≡ 529 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 299943 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587 ≡ 573 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 179922 ⋅ 530 mod 587 ≡ 300 ⋅ 530 mod 587
≡ 159000 mod 587 ≡ 510 mod 587
Es gilt also: 546220 ≡ 510 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
