Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8994 + 454) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8994 + 454) mod 9 ≡ (8994 mod 9 + 454 mod 9) mod 9.
8994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8994
= 9000
454 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 454
= 450
Somit gilt:
(8994 + 454) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 45) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 45) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 45) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48764 mod 953.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 487 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4871=487
2: 4872=4871+1=4871⋅4871 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 825 mod 953
4: 4874=4872+2=4872⋅4872 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 183 mod 953
8: 4878=4874+4=4874⋅4874 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 134 mod 953
16: 48716=4878+8=4878⋅4878 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 802 mod 953
32: 48732=48716+16=48716⋅48716 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 882 mod 953
64: 48764=48732+32=48732⋅48732 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 276 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31174 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 561 mod 601
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 398 mod 601
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 341 mod 601
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 288 mod 601
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 6 mod 601
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 601
31174
= 31164+8+2
= 31164⋅3118⋅3112
≡ 36 ⋅ 341 ⋅ 561 mod 601
≡ 12276 ⋅ 561 mod 601 ≡ 256 ⋅ 561 mod 601
≡ 143616 mod 601 ≡ 578 mod 601
Es gilt also: 31174 ≡ 578 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25
| =>59 | = 2⋅25 + 9 |
| =>25 | = 2⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 25-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +26⋅25
Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1
Somit 26⋅25 = 1 mod 59
26 ist also das Inverse von 25 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.