Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (174 + 24001) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(174 + 24001) mod 6 ≡ (174 mod 6 + 24001 mod 6) mod 6.

174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174 = 180-6 = 6 ⋅ 30 -6 = 6 ⋅ 30 - 6 + 0.

24001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001 = 24000+1 = 6 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(174 + 24001) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 81) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 81) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 81) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56164 mod 919.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5611=561

2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 423 mod 919

4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 643 mod 919

8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 818 mod 919

16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 92 mod 919

32: 56132=56116+16=56116⋅56116 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 193 mod 919

64: 56164=56132+32=56132⋅56132 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 489 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 591225 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 132 mod 643

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 63 mod 643

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 111 mod 643

16: 59116=5918+8=5918⋅5918 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 104 mod 643

32: 59132=59116+16=59116⋅59116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 528 mod 643

64: 59164=59132+32=59132⋅59132 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 365 mod 643

128: 591128=59164+64=59164⋅59164 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 124 mod 643

591225

= 591128+64+32+1

= 591128⋅59164⋅59132⋅5911

124 ⋅ 365 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643
45260 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643 ≡ 250 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643
132000 ⋅ 591 mod 643 ≡ 185 ⋅ 591 mod 643
109335 mod 643 ≡ 25 mod 643

Es gilt also: 591225 ≡ 25 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59 = 1⋅31 + 28
=>31 = 1⋅28 + 3
=>28 = 9⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28)
= -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31)
= 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.