Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18007 + 3593) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18007 + 3593) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 3593 mod 9) mod 9.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593 = 3600-7 = 9 ⋅ 400 -7 = 9 ⋅ 400 - 9 + 2.

Somit gilt:

(18007 + 3593) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 63) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 63) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 63) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 937.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 786 mod 937

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 313 mod 937

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 521 mod 937

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 648 mod 937

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 128 mod 937

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 455 mod 937

128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 885 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229229 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 358 mod 643

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 207 mod 643

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 411 mod 643

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 455 mod 643

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 622 mod 643

64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 441 mod 643

128: 229128=22964+64=22964⋅22964 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 295 mod 643

229229

= 229128+64+32+4+1

= 229128⋅22964⋅22932⋅2294⋅2291

295 ⋅ 441 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
130095 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643 ≡ 209 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
129998 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643 ≡ 112 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
23184 ⋅ 229 mod 643 ≡ 36 ⋅ 229 mod 643
8244 mod 643 ≡ 528 mod 643

Es gilt also: 229229 ≡ 528 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53 = 1⋅42 + 11
=>42 = 3⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11)
= 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42)
= -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.