Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 + 99) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 99) mod 5 ≡ (2001 mod 5 + 99 mod 5) mod 5.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90+9 = 5 ⋅ 18 +9.

Somit gilt:

(2001 + 99) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 72) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 72) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 72 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 72) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49316 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 493 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4931=493

2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 889 mod 1009

4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 274 mod 1009

8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 410 mod 1009

16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 606 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157133 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 37 mod 293

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 197 mod 293

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 133 mod 293

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 109 mod 293

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293

128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 17 mod 293

157133

= 157128+4+1

= 157128⋅1574⋅1571

17 ⋅ 197 ⋅ 157 mod 293
3349 ⋅ 157 mod 293 ≡ 126 ⋅ 157 mod 293
19782 mod 293 ≡ 151 mod 293

Es gilt also: 157133 ≡ 151 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22

=>53 = 2⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22)
= 5⋅53 -12⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -12⋅22

-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22

-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1

(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1

41⋅22 = 17⋅53 + 1

Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1

Somit 41⋅22 = 1 mod 53

41 ist also das Inverse von 22 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.