Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14000 - 28007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14000 - 28007) mod 7 ≡ (14000 mod 7 - 28007 mod 7) mod 7.
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
Somit gilt:
(14000 - 28007) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 21) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 21) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.
51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 21) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2838 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 108 mod 661
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 427 mod 661
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 554 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46588 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 736 mod 941
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 621 mod 941
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 772 mod 941
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 331 mod 941
32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 405 mod 941
64: 46564=46532+32=46532⋅46532 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 291 mod 941
46588
= 46564+16+8
= 46564⋅46516⋅4658
≡ 291 ⋅ 331 ⋅ 772 mod 941
≡ 96321 ⋅ 772 mod 941 ≡ 339 ⋅ 772 mod 941
≡ 261708 mod 941 ≡ 110 mod 941
Es gilt also: 46588 ≡ 110 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92
| =>97 | = 1⋅92 + 5 |
| =>92 | = 18⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 92-18⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5) = -2⋅92 +37⋅ 5 (=1) |
| 5= 97-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92) = 37⋅97 -39⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -39⋅92
-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92
-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1
(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1
58⋅92 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1
Somit 58⋅92 = 1 mod 97
58 ist also das Inverse von 92 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.