Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23996 - 18000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23996 - 18000) mod 6 ≡ (23996 mod 6 - 18000 mod 6) mod 6.
23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996
= 24000
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(23996 - 18000) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 100) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 100) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 100) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25032 mod 397.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 171 mod 397
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397
32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 370 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380183 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 585 mod 587
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 4 mod 587
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 587
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 587
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 379 mod 587
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 413 mod 587
128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 339 mod 587
380183
= 380128+32+16+4+2+1
= 380128⋅38032⋅38016⋅3804⋅3802⋅3801
≡ 339 ⋅ 379 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 128481 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 515 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 131840 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 352 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 1408 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 234 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 136890 ⋅ 380 mod 587 ≡ 119 ⋅ 380 mod 587
≡ 45220 mod 587 ≡ 21 mod 587
Es gilt also: 380183 ≡ 21 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
