Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2700 + 361) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2700 + 361) mod 9 ≡ (2700 mod 9 + 361 mod 9) mod 9.

2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700 = 2700+0 = 9 ⋅ 300 +0.

361 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 361 = 360+1 = 9 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(2700 + 361) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 61) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 61) mod 10 ≡ (71 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 61) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1138 mod 229.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1131=113

2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 174 mod 229

4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 48 mod 229

8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 313247 mod 347.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 3131=313

2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 115 mod 347

4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 39 mod 347

8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 133 mod 347

16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 339 mod 347

32: 31332=31316+16=31316⋅31316 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 64 mod 347

64: 31364=31332+32=31332⋅31332 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 279 mod 347

128: 313128=31364+64=31364⋅31364 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 113 mod 347

313247

= 313128+64+32+16+4+2+1

= 313128⋅31364⋅31332⋅31316⋅3134⋅3132⋅3131

113 ⋅ 279 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
31527 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 297 ⋅ 64 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
19008 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 270 ⋅ 339 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
91530 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 269 ⋅ 39 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
10491 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347 ≡ 81 ⋅ 115 ⋅ 313 mod 347
9315 ⋅ 313 mod 347 ≡ 293 ⋅ 313 mod 347
91709 mod 347 ≡ 101 mod 347

Es gilt also: 313247 ≡ 101 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 41

=>89 = 2⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 89-2⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(89 -2⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅89 -12⋅ 41)
= 6⋅89 -13⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(89,41)=1 = 6⋅89 -13⋅41

oder wenn man 6⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅89 = -13⋅41

-13⋅41 = -6⋅89 + 1 |+89⋅41

-13⋅41 + 89⋅41 = -6⋅89 + 89⋅41 + 1

(-13 + 89) ⋅ 41 = (-6 + 41) ⋅ 89 + 1

76⋅41 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 76⋅41 = 35⋅89 +1

Somit 76⋅41 = 1 mod 89

76 ist also das Inverse von 41 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.