Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (203 + 8004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 + 8004) mod 4 ≡ (203 mod 4 + 8004 mod 4) mod 4.

203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 4 ⋅ 50 +3.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(203 + 8004) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 90) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 90) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 90) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6528 mod 853.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 652 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6521=652

2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 310 mod 853

4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 564 mod 853

8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 780 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64980 mod 683.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 6491=649

2: 6492=6491+1=6491⋅6491 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 473 mod 683

4: 6494=6492+2=6492⋅6492 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 388 mod 683

8: 6498=6494+4=6494⋅6494 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 284 mod 683

16: 64916=6498+8=6498⋅6498 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 62 mod 683

32: 64932=64916+16=64916⋅64916 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 429 mod 683

64: 64964=64932+32=64932⋅64932 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 314 mod 683

64980

= 64964+16

= 64964⋅64916

314 ⋅ 62 mod 683
19468 mod 683 ≡ 344 mod 683

Es gilt also: 64980 ≡ 344 mod 683

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59 = 1⋅40 + 19
=>40 = 2⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19)
= -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40)
= 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.