Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 - 11996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 - 11996) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 11996 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43
= 40
11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 11000
Somit gilt:
(43 - 11996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 97) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 97) mod 4 ≡ (81 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 97) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 435 mod 661
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 179 mod 661
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 313 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 290125 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 198 mod 461
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 19 mod 461
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 461
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 319 mod 461
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 341 mod 461
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 109 mod 461
290125
= 29064+32+16+8+4+1
= 29064⋅29032⋅29016⋅2908⋅2904⋅2901
≡ 109 ⋅ 341 ⋅ 319 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461
≡ 37169 ⋅ 319 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461 ≡ 289 ⋅ 319 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461
≡ 92191 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461 ≡ 452 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461
≡ 163172 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461 ≡ 439 ⋅ 19 ⋅ 290 mod 461
≡ 8341 ⋅ 290 mod 461 ≡ 43 ⋅ 290 mod 461
≡ 12470 mod 461 ≡ 23 mod 461
Es gilt also: 290125 ≡ 23 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.