Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27000 + 178) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27000 + 178) mod 9 ≡ (27000 mod 9 + 178 mod 9) mod 9.
27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000
= 27000
178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178
= 180
Somit gilt:
(27000 + 178) mod 9 ≡ (0 + 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 17) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 17) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 17 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 17) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40816 mod 617.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 408 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 249252 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 2491=249
2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 226 mod 353
4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 244 mod 353
8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 232 mod 353
16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 168 mod 353
32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 337 mod 353
64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
128: 249128=24964+64=24964⋅24964 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 231 mod 353
249252
= 249128+64+32+16+8+4
= 249128⋅24964⋅24932⋅24916⋅2498⋅2494
≡ 231 ⋅ 256 ⋅ 337 ⋅ 168 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353
≡ 59136 ⋅ 337 ⋅ 168 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353 ≡ 185 ⋅ 337 ⋅ 168 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353
≡ 62345 ⋅ 168 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353 ≡ 217 ⋅ 168 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353
≡ 36456 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353 ≡ 97 ⋅ 232 ⋅ 244 mod 353
≡ 22504 ⋅ 244 mod 353 ≡ 265 ⋅ 244 mod 353
≡ 64660 mod 353 ≡ 61 mod 353
Es gilt also: 249252 ≡ 61 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
