Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 + 1403) mod 7 ≡ (69 mod 7 + 1403 mod 7) mod 7.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 70-1 = 7 ⋅ 10 -1 = 7 ⋅ 10 - 7 + 6.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(69 + 1403) mod 7 ≡ (6 + 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 88) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 88) mod 11 ≡ (6 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 134¹=134

2: 134²=134¹⁺¹=134¹⋅134¹ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 52 mod 373

4: 134⁴=134²⁺²=134²⋅134² ≡ 52⋅52=2704 ≡ 93 mod 373

8: 134⁸=134⁴⁺⁴=134⁴⋅134⁴ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 70 mod 373

16: 134¹⁶=134⁸⁺⁸=134⁸⋅134⁸ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 51 mod 373

32: 134³²=134¹⁶⁺¹⁶=134¹⁶⋅134¹⁶ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 363 mod 373

64: 134⁶⁴=134³²⁺³²=134³²⋅134³² ≡ 363⋅363=131769 ≡ 100 mod 373

128: 134¹²⁸=134⁶⁴⁺⁶⁴=134⁶⁴⋅134⁶⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 302 mod 373

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

892⁹³

= 892^64+16+8+4+1

= 892⁶⁴⋅892¹⁶⋅892⁸⋅892⁴⋅892¹

≡ 521 ⋅ 437 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
≡ 227677 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929 ≡ 72 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
≡ 51768 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929 ≡ 673 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
≡ 247664 ⋅ 892 mod 929 ≡ 550 ⋅ 892 mod 929
≡ 490600 mod 929 ≡ 88 mod 929

Es gilt also: 892⁹³ ≡ 88 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89