Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7996 - 119) mod 4 ≡ (7996 mod 4 - 119 mod 4) mod 4.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 4 ⋅ 30 -1 = 4 ⋅ 30 - 4 + 3.

Somit gilt:

(7996 - 119) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 34) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 34) mod 9 ≡ (0 ⋅ 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 564¹=564

2: 564²=564¹⁺¹=564¹⋅564¹ ≡ 564⋅564=318096 ≡ 543 mod 701

4: 564⁴=564²⁺²=564²⋅564² ≡ 543⋅543=294849 ≡ 429 mod 701

8: 564⁸=564⁴⁺⁴=564⁴⋅564⁴ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 379 mod 701

16: 564¹⁶=564⁸⁺⁸=564⁸⋅564⁸ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 637 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

378²⁵¹

= 378^{128+64+32+16+8+2+1}

= 378¹²⁸⋅378⁶⁴⋅378³²⋅378¹⁶⋅378⁸⋅378²⋅378¹

≡ 188 ⋅ 184 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 34592 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 38 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 12882 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 35 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 1225 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 339 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 18984 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 378 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 89964 ⋅ 378 mod 443 ≡ 35 ⋅ 378 mod 443
≡ 13230 mod 443 ≡ 383 mod 443

Es gilt also: 378²⁵¹ ≡ 383 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59