Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 + 1204) mod 4 ≡ (804 mod 4 + 1204 mod 4) mod 4.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(804 + 1204) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 70) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 70) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 122¹=122

2: 122²=122¹⁺¹=122¹⋅122¹ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 235 mod 257

4: 122⁴=122²⁺²=122²⋅122² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 227 mod 257

8: 122⁸=122⁴⁺⁴=122⁴⋅122⁴ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

16: 122¹⁶=122⁸⁺⁸=122⁸⋅122⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

32: 122³²=122¹⁶⁺¹⁶=122¹⁶⋅122¹⁶ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

64: 122⁶⁴=122³²⁺³²=122³²⋅122³² ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

128: 122¹²⁸=122⁶⁴⁺⁶⁴=122⁶⁴⋅122⁶⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

649¹⁷⁹

= 649^{128+32+16+2+1}

= 649¹²⁸⋅649³²⋅649¹⁶⋅649²⋅649¹

≡ 606 ⋅ 644 ⋅ 568 ⋅ 733 ⋅ 649 mod 947
≡ 390264 ⋅ 568 ⋅ 733 ⋅ 649 mod 947 ≡ 100 ⋅ 568 ⋅ 733 ⋅ 649 mod 947
≡ 56800 ⋅ 733 ⋅ 649 mod 947 ≡ 927 ⋅ 733 ⋅ 649 mod 947
≡ 679491 ⋅ 649 mod 947 ≡ 492 ⋅ 649 mod 947
≡ 319308 mod 947 ≡ 169 mod 947

Es gilt also: 649¹⁷⁹ ≡ 169 mod 947

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53	= 1⋅35 + 18
=>35	= 1⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35) = -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53