Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1396 + 28007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1396 + 28007) mod 7 ≡ (1396 mod 7 + 28007 mod 7) mod 7.

1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396 = 1400-4 = 7 ⋅ 200 -4 = 7 ⋅ 200 - 7 + 3.

28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007 = 28000+7 = 7 ⋅ 4000 +7.

Somit gilt:

(1396 + 28007) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 44) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 44) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 44) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28416 mod 563.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,563) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 147 mod 563

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 215 mod 563

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 59 mod 563

16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 103 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 771153 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

1: 7711=771

2: 7712=7711+1=7711⋅7711 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 256 mod 787

4: 7714=7712+2=7712⋅7712 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 215 mod 787

8: 7718=7714+4=7714⋅7714 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 579 mod 787

16: 77116=7718+8=7718⋅7718 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 766 mod 787

32: 77132=77116+16=77116⋅77116 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 441 mod 787

64: 77164=77132+32=77132⋅77132 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 92 mod 787

128: 771128=77164+64=77164⋅77164 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 594 mod 787

771153

= 771128+16+8+1

= 771128⋅77116⋅7718⋅7711

594 ⋅ 766 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787
455004 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787 ≡ 118 ⋅ 579 ⋅ 771 mod 787
68322 ⋅ 771 mod 787 ≡ 640 ⋅ 771 mod 787
493440 mod 787 ≡ 778 mod 787

Es gilt also: 771153 ≡ 778 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101 = 1⋅68 + 33
=>68 = 2⋅33 + 2
=>33 = 16⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33)
= -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68)
= 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.