Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20000 - 1000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20000 - 1000) mod 5 ≡ (20000 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.
20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
Somit gilt:
(20000 - 1000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 83) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 83) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 83) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57116 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 571 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5711=571
2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 134 mod 1009
4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 803 mod 1009
8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 58 mod 1009
16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 337 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20283 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 91 mod 331
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 6 mod 331
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 331
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 303 mod 331
32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 122 mod 331
64: 20264=20232+32=20232⋅20232 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 320 mod 331
20283
= 20264+16+2+1
= 20264⋅20216⋅2022⋅2021
≡ 320 ⋅ 303 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331
≡ 96960 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331 ≡ 308 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331
≡ 28028 ⋅ 202 mod 331 ≡ 224 ⋅ 202 mod 331
≡ 45248 mod 331 ≡ 232 mod 331
Es gilt also: 20283 ≡ 232 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.