Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (364 + 1795) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(364 + 1795) mod 9 ≡ (364 mod 9 + 1795 mod 9) mod 9.
364 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 364
= 360
1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
Somit gilt:
(364 + 1795) mod 9 ≡ (4 + 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 91) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 91) mod 7 ≡ (25 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.
25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 91) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50664 mod 811.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 506 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 571 mod 811
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 19 mod 811
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 811
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 561 mod 811
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 53 mod 811
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 376 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 529116 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 5291=529
2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727
4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727
8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 727
16: 52916=5298+8=5298⋅5298 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 461 mod 727
32: 52932=52916+16=52916⋅52916 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 237 mod 727
64: 52964=52932+32=52932⋅52932 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 190 mod 727
529116
= 52964+32+16+4
= 52964⋅52932⋅52916⋅5294
≡ 190 ⋅ 237 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727
≡ 45030 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727 ≡ 683 ⋅ 461 ⋅ 8 mod 727
≡ 314863 ⋅ 8 mod 727 ≡ 72 ⋅ 8 mod 727
≡ 576 mod 727
Es gilt also: 529116 ≡ 576 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.