Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 - 403) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 - 403) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 403 mod 4) mod 4.
157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(157 - 403) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 75) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 75) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 75 mod 9) mod 9.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 75) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49364 mod 619.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 493 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 401 mod 619
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 480 mod 619
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 132 mod 619
16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 92 mod 619
32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 417 mod 619
64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 569 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 349137 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 343 mod 653
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 109 mod 653
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 127 mod 653
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 457 mod 653
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 542 mod 653
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 567 mod 653
128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 213 mod 653
349137
= 349128+8+1
= 349128⋅3498⋅3491
≡ 213 ⋅ 127 ⋅ 349 mod 653
≡ 27051 ⋅ 349 mod 653 ≡ 278 ⋅ 349 mod 653
≡ 97022 mod 653 ≡ 378 mod 653
Es gilt also: 349137 ≡ 378 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29
| =>67 | = 2⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29) = 13⋅67 -30⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -30⋅29
-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29
-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1
(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1
37⋅29 = 16⋅67 + 1
Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1
Somit 37⋅29 = 1 mod 67
37 ist also das Inverse von 29 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.