Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 - 296) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 - 296) mod 6 ≡ (60 mod 6 - 296 mod 6) mod 6.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
296 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 296
= 300
Somit gilt:
(60 - 296) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 51) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 51) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 51 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 51) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40032 mod 941.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 30 mod 941
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 941
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 740 mod 941
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 879 mod 941
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 80 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 268174 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2681=268
2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 397 mod 821
4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 798 mod 821
8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 529 mod 821
16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 701 mod 821
32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 443 mod 821
64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 30 mod 821
128: 268128=26864+64=26864⋅26864 ≡ 30⋅30=900 ≡ 79 mod 821
268174
= 268128+32+8+4+2
= 268128⋅26832⋅2688⋅2684⋅2682
≡ 79 ⋅ 443 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 34997 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821 ≡ 515 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 272435 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821 ≡ 684 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 545832 ⋅ 397 mod 821 ≡ 688 ⋅ 397 mod 821
≡ 273136 mod 821 ≡ 564 mod 821
Es gilt also: 268174 ≡ 564 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36
| =>83 | = 2⋅36 + 11 |
| =>36 | = 3⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 36-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11) = 4⋅36 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36)
= 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36) = -13⋅83 +30⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +30⋅36
Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1
Somit 30⋅36 = 1 mod 83
30 ist also das Inverse von 36 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
