Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 2004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 2004) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(8000 - 2004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 23) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 23) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 23) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5978 mod 947.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 597 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5971=597

2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 337 mod 947

4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 876 mod 947

8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 306 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 635116 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 6351=635

2: 6352=6351+1=6351⋅6351 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 324 mod 653

4: 6354=6352+2=6352⋅6352 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 496 mod 653

8: 6358=6354+4=6354⋅6354 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 488 mod 653

16: 63516=6358+8=6358⋅6358 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 452 mod 653

32: 63532=63516+16=63516⋅63516 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 568 mod 653

64: 63564=63532+32=63532⋅63532 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 42 mod 653

635116

= 63564+32+16+4

= 63564⋅63532⋅63516⋅6354

42 ⋅ 568 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653
23856 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653 ≡ 348 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653
157296 ⋅ 496 mod 653 ≡ 576 ⋅ 496 mod 653
285696 mod 653 ≡ 335 mod 653

Es gilt also: 635116 ≡ 335 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50

=>59 = 1⋅50 + 9
=>50 = 5⋅9 + 5
=>9 = 1⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5)
= -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 50-5⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9)
= 2⋅50 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50)
= -11⋅59 +13⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +13⋅50

Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1

Somit 13⋅50 = 1 mod 59

13 ist also das Inverse von 50 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.