Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6004 - 122) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6004 - 122) mod 6 ≡ (6004 mod 6 - 122 mod 6) mod 6.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 6 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(6004 - 122) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 20) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 20) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 20 mod 6) mod 6.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 20) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4638 mod 877.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4631=463

2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 381 mod 877

4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 456 mod 877

8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 87 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 531223 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 5311=531

2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 41 mod 881

4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 800 mod 881

8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 394 mod 881

16: 53116=5318+8=5318⋅5318 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 180 mod 881

32: 53132=53116+16=53116⋅53116 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 684 mod 881

64: 53164=53132+32=53132⋅53132 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 45 mod 881

128: 531128=53164+64=53164⋅53164 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881

531223

= 531128+64+16+8+4+2+1

= 531128⋅53164⋅53116⋅5318⋅5314⋅5312⋅5311

263 ⋅ 45 ⋅ 180 ⋅ 394 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881
11835 ⋅ 180 ⋅ 394 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881 ≡ 382 ⋅ 180 ⋅ 394 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881
68760 ⋅ 394 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881 ≡ 42 ⋅ 394 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881
16548 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881 ≡ 690 ⋅ 800 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881
552000 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881 ≡ 494 ⋅ 41 ⋅ 531 mod 881
20254 ⋅ 531 mod 881 ≡ 872 ⋅ 531 mod 881
463032 mod 881 ≡ 507 mod 881

Es gilt also: 531223 ≡ 507 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60

=>89 = 1⋅60 + 29
=>60 = 2⋅29 + 2
=>29 = 14⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-14⋅2
2= 60-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29)
= -14⋅60 +29⋅ 29 (=1)
29= 89-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60)
= 29⋅89 -43⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -43⋅60

-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60

-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1

(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1

46⋅60 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1

Somit 46⋅60 = 1 mod 89

46 ist also das Inverse von 60 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.