Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (694 - 2106) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(694 - 2106) mod 7 ≡ (694 mod 7 - 2106 mod 7) mod 7.
694 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 694
= 700
2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106
= 2100
Somit gilt:
(694 - 2106) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 71) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 71) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 71) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18716 mod 353.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 512192 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 430 mod 823
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 548 mod 823
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 732 mod 823
16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 51 mod 823
32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 132 mod 823
64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 141 mod 823
128: 512128=51264+64=51264⋅51264 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 129 mod 823
512192
= 512128+64
= 512128⋅51264
≡ 129 ⋅ 141 mod 823
≡ 18189 mod 823 ≡ 83 mod 823
Es gilt also: 512192 ≡ 83 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.