Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 - 697) mod 7 ≡ (64 mod 7 - 697 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 70-6 = 7 ⋅ 10 -6 = 7 ⋅ 10 - 7 + 1.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

Somit gilt:

(64 - 697) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 52) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 52) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 577¹=577

2: 577²=577¹⁺¹=577¹⋅577¹ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 756 mod 941

4: 577⁴=577²⁺²=577²⋅577² ≡ 756⋅756=571536 ≡ 349 mod 941

8: 577⁸=577⁴⁺⁴=577⁴⋅577⁴ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 412 mod 941

16: 577¹⁶=577⁸⁺⁸=577⁸⋅577⁸ ≡ 412⋅412=169744 ≡ 364 mod 941

32: 577³²=577¹⁶⁺¹⁶=577¹⁶⋅577¹⁶ ≡ 364⋅364=132496 ≡ 756 mod 941

64: 577⁶⁴=577³²⁺³²=577³²⋅577³² ≡ 756⋅756=571536 ≡ 349 mod 941

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

909¹¹¹

= 909^{64+32+8+4+2+1}

= 909⁶⁴⋅909³²⋅909⁸⋅909⁴⋅909²⋅909¹

≡ 865 ⋅ 327 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
≡ 282855 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 649 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
≡ 221958 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 360 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
≡ 284040 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 887 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
≡ 440839 ⋅ 909 mod 947 ≡ 484 ⋅ 909 mod 947
≡ 439956 mod 947 ≡ 548 mod 947

Es gilt also: 909¹¹¹ ≡ 548 mod 947

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97	= 1⋅54 + 43
=>54	= 1⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43) = 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54) = 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54) = -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97