Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 + 20000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 + 20000) mod 4 ≡ (4000 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
Somit gilt:
(4000 + 20000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 64) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 64) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 64 mod 3) mod 3.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 64) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27532 mod 347.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2751=275
2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 326 mod 347
4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 94 mod 347
8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 161 mod 347
16: 27516=2758+8=2758⋅2758 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 243 mod 347
32: 27532=27516+16=27516⋅27516 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 59 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33578 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 217 mod 359
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 60 mod 359
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 10 mod 359
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 359
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 307 mod 359
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 191 mod 359
33578
= 33564+8+4+2
= 33564⋅3358⋅3354⋅3352
≡ 191 ⋅ 10 ⋅ 60 ⋅ 217 mod 359
≡ 1910 ⋅ 60 ⋅ 217 mod 359 ≡ 115 ⋅ 60 ⋅ 217 mod 359
≡ 6900 ⋅ 217 mod 359 ≡ 79 ⋅ 217 mod 359
≡ 17143 mod 359 ≡ 270 mod 359
Es gilt also: 33578 ≡ 270 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.