Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12006 - 5998) mod 6 ≡ (12006 mod 6 - 5998 mod 6) mod 6.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(12006 - 5998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 88) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 88 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 88) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 180¹=180

2: 180²=180¹⁺¹=180¹⋅180¹ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 497 mod 523

4: 180⁴=180²⁺²=180²⋅180² ≡ 497⋅497=247009 ≡ 153 mod 523

8: 180⁸=180⁴⁺⁴=180⁴⋅180⁴ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 397 mod 523

16: 180¹⁶=180⁸⁺⁸=180⁸⋅180⁸ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 186 mod 523

32: 180³²=180¹⁶⁺¹⁶=180¹⁶⋅180¹⁶ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 78 mod 523

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

194¹⁸⁵

= 194^{128+32+16+8+1}

= 194¹²⁸⋅194³²⋅194¹⁶⋅194⁸⋅194¹

≡ 256 ⋅ 253 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
≡ 64768 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257 ≡ 4 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
≡ 900 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257 ≡ 129 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
≡ 31218 ⋅ 194 mod 257 ≡ 121 ⋅ 194 mod 257
≡ 23474 mod 257 ≡ 87 mod 257

Es gilt also: 194¹⁸⁵ ≡ 87 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83	= 1⋅75 + 8
=>75	= 9⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75) = 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83