Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 + 9000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 + 9000) mod 3 ≡ (90 mod 3 + 9000 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(90 + 9000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 15) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 15) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 15) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39732 mod 971.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 397 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 307 mod 971
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 62 mod 971
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 931 mod 971
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 931⋅931=866761 ≡ 629 mod 971
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 444 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 129129 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 303 mod 389
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 5 mod 389
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 389
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 25⋅25=625 ≡ 236 mod 389
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 69 mod 389
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 93 mod 389
128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 91 mod 389
129129
= 129128+1
= 129128⋅1291
≡ 91 ⋅ 129 mod 389
≡ 11739 mod 389 ≡ 69 mod 389
Es gilt also: 129129 ≡ 69 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.