Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(175 - 35997) mod 9 ≡ (175 mod 9 - 35997 mod 9) mod 9.

175 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 9 ⋅ 20 -5 = 9 ⋅ 20 - 9 + 4.

35997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35997 = 36000-3 = 9 ⋅ 4000 -3 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(175 - 35997) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 93) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 93 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 93) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 389¹=389

2: 389²=389¹⁺¹=389¹⋅389¹ ≡ 389⋅389=151321 ≡ 531 mod 887

4: 389⁴=389²⁺²=389²⋅389² ≡ 531⋅531=281961 ≡ 782 mod 887

8: 389⁸=389⁴⁺⁴=389⁴⋅389⁴ ≡ 782⋅782=611524 ≡ 381 mod 887

16: 389¹⁶=389⁸⁺⁸=389⁸⋅389⁸ ≡ 381⋅381=145161 ≡ 580 mod 887

32: 389³²=389¹⁶⁺¹⁶=389¹⁶⋅389¹⁶ ≡ 580⋅580=336400 ≡ 227 mod 887

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

823¹⁷⁹

= 823^{128+32+16+2+1}

= 823¹²⁸⋅823³²⋅823¹⁶⋅823²⋅823¹

≡ 373 ⋅ 720 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
≡ 268560 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971 ≡ 564 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
≡ 389724 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971 ≡ 353 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
≡ 191326 ⋅ 823 mod 971 ≡ 39 ⋅ 823 mod 971
≡ 32097 mod 971 ≡ 54 mod 971

Es gilt also: 823¹⁷⁹ ≡ 54 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67	= 1⋅59 + 8
=>59	= 7⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59) = 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67