Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24007 + 324) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24007 + 324) mod 8 ≡ (24007 mod 8 + 324 mod 8) mod 8.
24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007
= 24000
324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324
= 320
Somit gilt:
(24007 + 324) mod 8 ≡ (7 + 4) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 15) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 15) mod 10 ≡ (61 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 15) mod 10 ≡ (1 ⋅ 5) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2258 mod 461.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 376 mod 461
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 310 mod 461
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 212 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 294124 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 463 mod 577
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 302 mod 577
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 38 mod 577
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 290 mod 577
32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 435 mod 577
64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577
294124
= 29464+32+16+8+4
= 29464⋅29432⋅29416⋅2948⋅2944
≡ 546 ⋅ 435 ⋅ 290 ⋅ 38 ⋅ 302 mod 577
≡ 237510 ⋅ 290 ⋅ 38 ⋅ 302 mod 577 ≡ 363 ⋅ 290 ⋅ 38 ⋅ 302 mod 577
≡ 105270 ⋅ 38 ⋅ 302 mod 577 ≡ 256 ⋅ 38 ⋅ 302 mod 577
≡ 9728 ⋅ 302 mod 577 ≡ 496 ⋅ 302 mod 577
≡ 149792 mod 577 ≡ 349 mod 577
Es gilt also: 294124 ≡ 349 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.