Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1800 - 44996) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 - 44996) mod 9 ≡ (1800 mod 9 - 44996 mod 9) mod 9.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

44996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44996 = 45000-4 = 9 ⋅ 5000 -4 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(1800 - 44996) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 27) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 27) mod 11 ≡ (25 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.

25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 27) mod 11 ≡ (3 ⋅ 5) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 203128 mod 449.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 203 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 350 mod 449

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 372 mod 449

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 92 mod 449

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 382 mod 449

32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449

64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

128: 203128=20364+64=20364⋅20364 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28284 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 2821=282

2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 658 mod 839

4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 40 mod 839

8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 761 mod 839

16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 211 mod 839

32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 54 mod 839

64: 28264=28232+32=28232⋅28232 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 399 mod 839

28284

= 28264+16+4

= 28264⋅28216⋅2824

399 ⋅ 211 ⋅ 40 mod 839
84189 ⋅ 40 mod 839 ≡ 289 ⋅ 40 mod 839
11560 mod 839 ≡ 653 mod 839

Es gilt also: 28284 ≡ 653 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69

=>79 = 1⋅69 + 10
=>69 = 6⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 69-6⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10)
= -1⋅69 +7⋅ 10 (=1)
10= 79-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69)
= 7⋅79 -8⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -8⋅69

-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69

-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1

(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1

71⋅69 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1

Somit 71⋅69 = 1 mod 79

71 ist also das Inverse von 69 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.