Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (213 + 27993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(213 + 27993) mod 7 ≡ (213 mod 7 + 27993 mod 7) mod 7.
213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213
= 210
27993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27993
= 28000
Somit gilt:
(213 + 27993) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 43) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 43) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 43 mod 11) mod 11.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 43) mod 11 ≡ (10 ⋅ 10) mod 11 ≡ 100 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76764 mod 887.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 767 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7671=767
2: 7672=7671+1=7671⋅7671 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 208 mod 887
4: 7674=7672+2=7672⋅7672 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 688 mod 887
8: 7678=7674+4=7674⋅7674 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 573 mod 887
16: 76716=7678+8=7678⋅7678 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 139 mod 887
32: 76732=76716+16=76716⋅76716 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 694 mod 887
64: 76764=76732+32=76732⋅76732 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 882 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289140 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 191 mod 641
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 585 mod 641
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 572 mod 641
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 274 mod 641
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641
128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641
289140
= 289128+8+4
= 289128⋅2898⋅2894
≡ 357 ⋅ 572 ⋅ 585 mod 641
≡ 204204 ⋅ 585 mod 641 ≡ 366 ⋅ 585 mod 641
≡ 214110 mod 641 ≡ 16 mod 641
Es gilt also: 289140 ≡ 16 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.