Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (184 + 89) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(184 + 89) mod 9 ≡ (184 mod 9 + 89 mod 9) mod 9.
184 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184
= 180
89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
Somit gilt:
(184 + 89) mod 9 ≡ (4 + 8) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 66) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 66) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 66) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 174128 mod 463.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 181 mod 463
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 351 mod 463
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 43 mod 463
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 460 mod 463
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 9 mod 463
64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 463
128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 79 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 714227 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 68 mod 937
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 876 mod 937
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 910 mod 937
16: 71416=7148+8=7148⋅7148 ≡ 910⋅910=828100 ≡ 729 mod 937
32: 71432=71416+16=71416⋅71416 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 162 mod 937
64: 71464=71432+32=71432⋅71432 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 8 mod 937
128: 714128=71464+64=71464⋅71464 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 937
714227
= 714128+64+32+2+1
= 714128⋅71464⋅71432⋅7142⋅7141
≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 162 ⋅ 68 ⋅ 714 mod 937
≡ 512 ⋅ 162 ⋅ 68 ⋅ 714 mod 937
≡ 82944 ⋅ 68 ⋅ 714 mod 937 ≡ 488 ⋅ 68 ⋅ 714 mod 937
≡ 33184 ⋅ 714 mod 937 ≡ 389 ⋅ 714 mod 937
≡ 277746 mod 937 ≡ 394 mod 937
Es gilt also: 714227 ≡ 394 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
