Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 - 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 - 60) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(600 - 60) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 80) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 80) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.
55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.
80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 80) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57464 mod 991.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 574 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5741=574
2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 464 mod 991
4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 249 mod 991
8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 559 mod 991
16: 57416=5748+8=5748⋅5748 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 316 mod 991
32: 57432=57416+16=57416⋅57416 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 756 mod 991
64: 57464=57432+32=57432⋅57432 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 720 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 295128 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 2951=295
2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 369 mod 677
4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 84 mod 677
8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 286 mod 677
16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 556 mod 677
32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 424 mod 677
64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 371 mod 677
128: 295128=29564+64=29564⋅29564 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 210 mod 677
295128
= 295128
= 295128
≡ 210 mod 677
Es gilt also: 295128 ≡ 210 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92
| =>101 | = 1⋅92 + 9 |
| =>92 | = 10⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 92-10⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1) |
| 9= 101-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -45⋅92
-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92
-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1
(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1
56⋅92 = 51⋅101 + 1
Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1
Somit 56⋅92 = 1 mod 101
56 ist also das Inverse von 92 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.