Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 - 302) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 302 mod 3) mod 3.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302 = 300+2 = 3 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(601 - 302) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 17) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 17) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 331¹=331

2: 331²=331¹⁺¹=331¹⋅331¹ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 386 mod 397

4: 331⁴=331²⁺²=331²⋅331² ≡ 386⋅386=148996 ≡ 121 mod 397

8: 331⁸=331⁴⁺⁴=331⁴⋅331⁴ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 349 mod 397

16: 331¹⁶=331⁸⁺⁸=331⁸⋅331⁸ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 319 mod 397

32: 331³²=331¹⁶⁺¹⁶=331¹⁶⋅331¹⁶ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 129 mod 397

64: 331⁶⁴=331³²⁺³²=331³²⋅331³² ≡ 129⋅129=16641 ≡ 364 mod 397

128: 331¹²⁸=331⁶⁴⁺⁶⁴=331⁶⁴⋅331⁶⁴ ≡ 364⋅364=132496 ≡ 295 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

393²⁰⁶

= 393^128+64+8+4+2

= 393¹²⁸⋅393⁶⁴⋅393⁸⋅393⁴⋅393²

≡ 243 ⋅ 26 ⋅ 424 ⋅ 104 ⋅ 301 mod 433
≡ 6318 ⋅ 424 ⋅ 104 ⋅ 301 mod 433 ≡ 256 ⋅ 424 ⋅ 104 ⋅ 301 mod 433
≡ 108544 ⋅ 104 ⋅ 301 mod 433 ≡ 294 ⋅ 104 ⋅ 301 mod 433
≡ 30576 ⋅ 301 mod 433 ≡ 266 ⋅ 301 mod 433
≡ 80066 mod 433 ≡ 394 mod 433

Es gilt also: 393²⁰⁶ ≡ 394 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61	= 1⋅42 + 19
=>42	= 2⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42) = 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61