Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (799 + 1597) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(799 + 1597) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 1597 mod 4) mod 4.
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1500
Somit gilt:
(799 + 1597) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 100) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 100) mod 9 ≡ (16 mod 9 ⋅ 100 mod 9) mod 9.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 100) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3178 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 180 mod 829
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 69 mod 829
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16576 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 220 mod 491
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 282 mod 491
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 473 mod 491
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 324 mod 491
32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 393 mod 491
64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 275 mod 491
16576
= 16564+8+4
= 16564⋅1658⋅1654
≡ 275 ⋅ 473 ⋅ 282 mod 491
≡ 130075 ⋅ 282 mod 491 ≡ 451 ⋅ 282 mod 491
≡ 127182 mod 491 ≡ 13 mod 491
Es gilt also: 16576 ≡ 13 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.