Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7995 - 400) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7995 - 400) mod 8 ≡ (7995 mod 8 - 400 mod 8) mod 8.
7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995
= 7000
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(7995 - 400) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 52) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 52) mod 8 ≡ (25 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 52) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36132 mod 443.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 79 mod 443
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 39 mod 443
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 192 mod 443
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 95 mod 443
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 165 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22280 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 25⋅25=625 ≡ 171 mod 227
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 185 mod 227
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 175 mod 227
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 207 mod 227
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 173 mod 227
22280
= 22264+16
= 22264⋅22216
≡ 173 ⋅ 175 mod 227
≡ 30275 mod 227 ≡ 84 mod 227
Es gilt also: 22280 ≡ 84 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.