Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1000 + 4998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 + 4998) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 4998 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

4998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4998 = 4000+998 = 5 ⋅ 800 +998.

Somit gilt:

(1000 + 4998) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 86) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 86) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 86 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 86) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25016 mod 269.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 92 mod 269

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 125 mod 269

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 23 mod 269

16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 23⋅23=529 ≡ 260 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 144148 mod 433.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:

148 = 128+16+4

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 385 mod 433

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 139 mod 433

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433

64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433

128: 144128=14464+64=14464⋅14464 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433

144148

= 144128+16+4

= 144128⋅14416⋅1444

22 ⋅ 50 ⋅ 139 mod 433
1100 ⋅ 139 mod 433 ≡ 234 ⋅ 139 mod 433
32526 mod 433 ≡ 51 mod 433

Es gilt also: 144148 ≡ 51 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.