Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20995 + 35004) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20995 + 35004) mod 7 ≡ (20995 mod 7 + 35004 mod 7) mod 7.

20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995 = 21000-5 = 7 ⋅ 3000 -5 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 2.

35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004 = 35000+4 = 7 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(20995 + 35004) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 40) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 40) mod 10 ≡ (53 mod 10 ⋅ 40 mod 10) mod 10.

53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 40) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 731128 mod 863.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 731 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7311=731

2: 7312=7311+1=7311⋅7311 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 164 mod 863

4: 7314=7312+2=7312⋅7312 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 143 mod 863

8: 7318=7314+4=7314⋅7314 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 600 mod 863

16: 73116=7318+8=7318⋅7318 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 129 mod 863

32: 73132=73116+16=73116⋅73116 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 244 mod 863

64: 73164=73132+32=73132⋅73132 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 852 mod 863

128: 731128=73164+64=73164⋅73164 ≡ 852⋅852=725904 ≡ 121 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 296140 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:

140 = 128+8+4

1: 2961=296

2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 72 mod 353

4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 242 mod 353

8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 319 mod 353

16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 97 mod 353

32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 231 mod 353

64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353

128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

296140

= 296128+8+4

= 296128⋅2968⋅2964

187 ⋅ 319 ⋅ 242 mod 353
59653 ⋅ 242 mod 353 ≡ 349 ⋅ 242 mod 353
84458 mod 353 ≡ 91 mod 353

Es gilt also: 296140 ≡ 91 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.