Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 - 63) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 63 mod 3) mod 3.

152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 3 ⋅ 50 +2.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(152 - 63) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (66 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 437¹=437

2: 437²=437¹⁺¹=437¹⋅437¹ ≡ 437⋅437=190969 ≡ 433 mod 467

4: 437⁴=437²⁺²=437²⋅437² ≡ 433⋅433=187489 ≡ 222 mod 467

8: 437⁸=437⁴⁺⁴=437⁴⋅437⁴ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 249 mod 467

16: 437¹⁶=437⁸⁺⁸=437⁸⋅437⁸ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

464²³¹

= 464^{128+64+32+4+2+1}

= 464¹²⁸⋅464⁶⁴⋅464³²⋅464⁴⋅464²⋅464¹

≡ 498 ⋅ 452 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
≡ 225096 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 459 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
≡ 23868 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 222 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
≡ 120102 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 183 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
≡ 42090 ⋅ 464 mod 563 ≡ 428 ⋅ 464 mod 563
≡ 198592 mod 563 ≡ 416 mod 563

Es gilt also: 464²³¹ ≡ 416 mod 563

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83	= 1⋅75 + 8
=>75	= 9⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75) = 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83