Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6998 + 1407) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6998 + 1407) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 1407 mod 7) mod 7.
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
1407 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1407
= 1400
Somit gilt:
(6998 + 1407) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 44) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 44) mod 4 ≡ (37 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 44) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64064 mod 881.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 640 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6401=640
2: 6402=6401+1=6401⋅6401 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 816 mod 881
4: 6404=6402+2=6402⋅6402 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 701 mod 881
8: 6408=6404+4=6404⋅6404 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 684 mod 881
16: 64016=6408+8=6408⋅6408 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 45 mod 881
32: 64032=64016+16=64016⋅64016 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881
64: 64064=64032+32=64032⋅64032 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 451 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 201133 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 149 mod 347
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 340 mod 347
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 49 mod 347
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 319 mod 347
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 90 mod 347
64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 119 mod 347
128: 201128=20164+64=20164⋅20164 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 281 mod 347
201133
= 201128+4+1
= 201128⋅2014⋅2011
≡ 281 ⋅ 340 ⋅ 201 mod 347
≡ 95540 ⋅ 201 mod 347 ≡ 115 ⋅ 201 mod 347
≡ 23115 mod 347 ≡ 213 mod 347
Es gilt also: 201133 ≡ 213 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.