Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 1999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 1999) mod 4 ≡ (12000 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(12000 + 1999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 34) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 34) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 34 mod 10) mod 10.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 34) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82932 mod 967.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 829 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8291=829
2: 8292=8291+1=8291⋅8291 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 671 mod 967
4: 8294=8292+2=8292⋅8292 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 586 mod 967
8: 8298=8294+4=8294⋅8294 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 111 mod 967
16: 82916=8298+8=8298⋅8298 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 717 mod 967
32: 82932=82916+16=82916⋅82916 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 612 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 486127 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 4861=486
2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 169 mod 499
4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 118 mod 499
8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 451 mod 499
16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 308 mod 499
32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 54 mod 499
64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 421 mod 499
486127
= 48664+32+16+8+4+2+1
= 48664⋅48632⋅48616⋅4868⋅4864⋅4862⋅4861
≡ 421 ⋅ 54 ⋅ 308 ⋅ 451 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499
≡ 22734 ⋅ 308 ⋅ 451 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499 ≡ 279 ⋅ 308 ⋅ 451 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499
≡ 85932 ⋅ 451 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499 ≡ 104 ⋅ 451 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499
≡ 46904 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499 ≡ 497 ⋅ 118 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499
≡ 58646 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499 ≡ 263 ⋅ 169 ⋅ 486 mod 499
≡ 44447 ⋅ 486 mod 499 ≡ 36 ⋅ 486 mod 499
≡ 17496 mod 499 ≡ 31 mod 499
Es gilt also: 486127 ≡ 31 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72
| =>89 | = 1⋅72 + 17 |
| =>72 | = 4⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 72-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17) = -4⋅72 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72) = 17⋅89 -21⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -21⋅72
-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72
-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1
(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1
68⋅72 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1
Somit 68⋅72 = 1 mod 89
68 ist also das Inverse von 72 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
