Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 - 697) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 - 697) mod 7 ≡ (64 mod 7 - 697 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 70-6 = 7 ⋅ 10 -6 = 7 ⋅ 10 - 7 + 1.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

Somit gilt:

(64 - 697) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 52) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 52) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 52) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57764 mod 941.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 577 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5771=577

2: 5772=5771+1=5771⋅5771 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 756 mod 941

4: 5774=5772+2=5772⋅5772 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 349 mod 941

8: 5778=5774+4=5774⋅5774 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 412 mod 941

16: 57716=5778+8=5778⋅5778 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 364 mod 941

32: 57732=57716+16=57716⋅57716 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 756 mod 941

64: 57764=57732+32=57732⋅57732 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 349 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 909111 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 9091=909

2: 9092=9091+1=9091⋅9091 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 497 mod 947

4: 9094=9092+2=9092⋅9092 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 789 mod 947

8: 9098=9094+4=9094⋅9094 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 342 mod 947

16: 90916=9098+8=9098⋅9098 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 483 mod 947

32: 90932=90916+16=90916⋅90916 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 327 mod 947

64: 90964=90932+32=90932⋅90932 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 865 mod 947

909111

= 90964+32+8+4+2+1

= 90964⋅90932⋅9098⋅9094⋅9092⋅9091

865 ⋅ 327 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
282855 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 649 ⋅ 342 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
221958 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 360 ⋅ 789 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
284040 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947 ≡ 887 ⋅ 497 ⋅ 909 mod 947
440839 ⋅ 909 mod 947 ≡ 484 ⋅ 909 mod 947
439956 mod 947 ≡ 548 mod 947

Es gilt also: 909111 ≡ 548 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97 = 1⋅54 + 43
=>54 = 1⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43)
= 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54)
= 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54)
= -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.