Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 - 1201) mod 3 ≡ (299 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(299 - 1201) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 17) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 17) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 701¹=701

2: 701²=701¹⁺¹=701¹⋅701¹ ≡ 701⋅701=491401 ≡ 705 mod 739

4: 701⁴=701²⁺²=701²⋅701² ≡ 705⋅705=497025 ≡ 417 mod 739

8: 701⁸=701⁴⁺⁴=701⁴⋅701⁴ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 224 mod 739

16: 701¹⁶=701⁸⁺⁸=701⁸⋅701⁸ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 663 mod 739

32: 701³²=701¹⁶⁺¹⁶=701¹⁶⋅701¹⁶ ≡ 663⋅663=439569 ≡ 603 mod 739

64: 701⁶⁴=701³²⁺³²=701³²⋅701³² ≡ 603⋅603=363609 ≡ 21 mod 739

128: 701¹²⁸=701⁶⁴⁺⁶⁴=701⁶⁴⋅701⁶⁴ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

179¹⁶⁶

= 179^128+32+4+2

= 179¹²⁸⋅179³²⋅179⁴⋅179²

≡ 205 ⋅ 316 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379
≡ 64780 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379 ≡ 350 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379
≡ 117250 ⋅ 205 mod 379 ≡ 139 ⋅ 205 mod 379
≡ 28495 mod 379 ≡ 70 mod 379

Es gilt also: 179¹⁶⁶ ≡ 70 mod 379

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53	= 2⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53