Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 - 2800) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 - 2800) mod 7 ≡ (75 mod 7 - 2800 mod 7) mod 7.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 70
2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800
= 2800
Somit gilt:
(75 - 2800) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152128 mod 317.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 152 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 280 mod 317
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 101 mod 317
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 57 mod 317
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 79 mod 317
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317
128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 725143 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 7251=725
2: 7252=7251+1=7251⋅7251 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 472 mod 907
4: 7254=7252+2=7252⋅7252 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 569 mod 907
8: 7258=7254+4=7254⋅7254 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 869 mod 907
16: 72516=7258+8=7258⋅7258 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 537 mod 907
32: 72532=72516+16=72516⋅72516 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 850 mod 907
64: 72564=72532+32=72532⋅72532 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 528 mod 907
128: 725128=72564+64=72564⋅72564 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 335 mod 907
725143
= 725128+8+4+2+1
= 725128⋅7258⋅7254⋅7252⋅7251
≡ 335 ⋅ 869 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 291115 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907 ≡ 875 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 497875 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907 ≡ 839 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 396008 ⋅ 725 mod 907 ≡ 556 ⋅ 725 mod 907
≡ 403100 mod 907 ≡ 392 mod 907
Es gilt also: 725143 ≡ 392 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
