Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 + 18000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 + 18000) mod 6 ≡ (12001 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.
12001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(12001 + 18000) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 91) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 91) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79764 mod 827.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 797 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 73 mod 827
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 367 mod 827
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 715 mod 827
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 139 mod 827
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 300 mod 827
64: 79764=79732+32=79732⋅79732 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 684 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16488 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 428 mod 509
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 453 mod 509
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 82 mod 509
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 107 mod 509
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 251 mod 509
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 394 mod 509
16488
= 16464+16+8
= 16464⋅16416⋅1648
≡ 394 ⋅ 107 ⋅ 82 mod 509
≡ 42158 ⋅ 82 mod 509 ≡ 420 ⋅ 82 mod 509
≡ 34440 mod 509 ≡ 337 mod 509
Es gilt also: 16488 ≡ 337 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 76
| =>83 | = 1⋅76 + 7 |
| =>76 | = 10⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 76-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(76 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅76 +10⋅ 7) = -1⋅76 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅76 +11⋅(83 -1⋅ 76)
= -1⋅76 +11⋅83 -11⋅ 76) = 11⋅83 -12⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,76)=1 = 11⋅83 -12⋅76
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -12⋅76
-12⋅76 = -11⋅83 + 1 |+83⋅76
-12⋅76 + 83⋅76 = -11⋅83 + 83⋅76 + 1
(-12 + 83) ⋅ 76 = (-11 + 76) ⋅ 83 + 1
71⋅76 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 71⋅76 = 65⋅83 +1
Somit 71⋅76 = 1 mod 83
71 ist also das Inverse von 76 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.