Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 - 8002) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 - 8002) mod 4 ≡ (8002 mod 4 - 8002 mod 4) mod 4.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(8002 - 8002) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 31) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 31) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 31) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33116 mod 881.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 317 mod 881

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 55 mod 881

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 382 mod 881

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 559 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 644236 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 6441=644

2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 296 mod 797

4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 743 mod 797

8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 525 mod 797

16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 660 mod 797

32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 438 mod 797

64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 564 mod 797

128: 644128=64464+64=64464⋅64464 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 93 mod 797

644236

= 644128+64+32+8+4

= 644128⋅64464⋅64432⋅6448⋅6444

93 ⋅ 564 ⋅ 438 ⋅ 525 ⋅ 743 mod 797
52452 ⋅ 438 ⋅ 525 ⋅ 743 mod 797 ≡ 647 ⋅ 438 ⋅ 525 ⋅ 743 mod 797
283386 ⋅ 525 ⋅ 743 mod 797 ≡ 451 ⋅ 525 ⋅ 743 mod 797
236775 ⋅ 743 mod 797 ≡ 66 ⋅ 743 mod 797
49038 mod 797 ≡ 421 mod 797

Es gilt also: 644236 ≡ 421 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73 = 2⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34)
= 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.