Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1399 - 343) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1399 - 343) mod 7 ≡ (1399 mod 7 - 343 mod 7) mod 7.
1399 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1399
= 1400
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
Somit gilt:
(1399 - 343) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 32) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 32) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 32 mod 11) mod 11.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 32) mod 11 ≡ (0 ⋅ 10) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 868 mod 251.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 86 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 117 mod 251
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 135 mod 251
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 153 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289106 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 621 mod 829
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 156 mod 829
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 295 mod 829
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 809 mod 829
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 400 mod 829
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 3 mod 829
289106
= 28964+32+8+2
= 28964⋅28932⋅2898⋅2892
≡ 3 ⋅ 400 ⋅ 295 ⋅ 621 mod 829
≡ 1200 ⋅ 295 ⋅ 621 mod 829 ≡ 371 ⋅ 295 ⋅ 621 mod 829
≡ 109445 ⋅ 621 mod 829 ≡ 17 ⋅ 621 mod 829
≡ 10557 mod 829 ≡ 609 mod 829
Es gilt also: 289106 ≡ 609 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29
| =>67 | = 2⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29) = 13⋅67 -30⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -30⋅29
-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29
-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1
(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1
37⋅29 = 16⋅67 + 1
Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1
Somit 37⋅29 = 1 mod 67
37 ist also das Inverse von 29 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.