Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34993 + 3493) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34993 + 3493) mod 7 ≡ (34993 mod 7 + 3493 mod 7) mod 7.
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493
= 3500
Somit gilt:
(34993 + 3493) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 89) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 89) mod 5 ≡ (70 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 89) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4988 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 352 mod 613
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 78 mod 613
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 567 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32998 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 424 mod 433
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 81 mod 433
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 26 mod 433
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 26⋅26=676 ≡ 243 mod 433
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433
32998
= 32964+32+2
= 32964⋅32932⋅3292
≡ 161 ⋅ 243 ⋅ 424 mod 433
≡ 39123 ⋅ 424 mod 433 ≡ 153 ⋅ 424 mod 433
≡ 64872 mod 433 ≡ 355 mod 433
Es gilt also: 32998 ≡ 355 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63
| =>71 | = 1⋅63 + 8 |
| =>63 | = 7⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 63-7⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1) |
| 8= 71-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63
oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅71 = -9⋅63
-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63
-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1
(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1
62⋅63 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1
Somit 62⋅63 = 1 mod 71
62 ist also das Inverse von 63 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.