Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (121 + 15003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 92) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 92) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 92) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17732 mod 373.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1771=177

2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 370 mod 373

4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 9 mod 373

8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 373

16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 220 mod 373

32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 283 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 377250 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 3771=377

2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 144 mod 389

4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 119 mod 389

8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 157 mod 389

16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389

32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389

64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 206 mod 389

128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 35 mod 389

377250

= 377128+64+32+16+8+2

= 377128⋅37764⋅37732⋅37716⋅3778⋅3772

35 ⋅ 206 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
7210 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 208 ⋅ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
67600 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 303 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
43026 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389 ≡ 236 ⋅ 157 ⋅ 144 mod 389
37052 ⋅ 144 mod 389 ≡ 97 ⋅ 144 mod 389
13968 mod 389 ≡ 353 mod 389

Es gilt also: 377250 ≡ 353 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21

=>59 = 2⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21)
= 5⋅59 -14⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -14⋅21

-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21

-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1

(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1

45⋅21 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1

Somit 45⋅21 = 1 mod 59

45 ist also das Inverse von 21 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.