Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 - 276) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 - 276) mod 9 ≡ (90 mod 9 - 276 mod 9) mod 9.
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 270
Somit gilt:
(90 - 276) mod 9 ≡ (0 - 6) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 67) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 67) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2838 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 354 mod 431
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 326 mod 431
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 250 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 621118 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 6211=621
2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 848 mod 857
4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 81 mod 857
8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 562 mod 857
16: 62116=6218+8=6218⋅6218 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 468 mod 857
32: 62132=62116+16=62116⋅62116 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 489 mod 857
64: 62164=62132+32=62132⋅62132 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 18 mod 857
621118
= 62164+32+16+4+2
= 62164⋅62132⋅62116⋅6214⋅6212
≡ 18 ⋅ 489 ⋅ 468 ⋅ 81 ⋅ 848 mod 857
≡ 8802 ⋅ 468 ⋅ 81 ⋅ 848 mod 857 ≡ 232 ⋅ 468 ⋅ 81 ⋅ 848 mod 857
≡ 108576 ⋅ 81 ⋅ 848 mod 857 ≡ 594 ⋅ 81 ⋅ 848 mod 857
≡ 48114 ⋅ 848 mod 857 ≡ 122 ⋅ 848 mod 857
≡ 103456 mod 857 ≡ 616 mod 857
Es gilt also: 621118 ≡ 616 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.