Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (185 + 2694) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(185 + 2694) mod 9 ≡ (185 mod 9 + 2694 mod 9) mod 9.
185 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185
= 180
2694 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2694
= 2700
Somit gilt:
(185 + 2694) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 49) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 49) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5658 mod 659.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 565 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5651=565
2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 269 mod 659
4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 530 mod 659
8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 166 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84668 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 8461=846
2: 8462=8461+1=8461⋅8461 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 552 mod 977
4: 8464=8462+2=8462⋅8462 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 857 mod 977
8: 8468=8464+4=8464⋅8464 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 722 mod 977
16: 84616=8468+8=8468⋅8468 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 543 mod 977
32: 84632=84616+16=84616⋅84616 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 772 mod 977
64: 84664=84632+32=84632⋅84632 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 14 mod 977
84668
= 84664+4
= 84664⋅8464
≡ 14 ⋅ 857 mod 977
≡ 11998 mod 977 ≡ 274 mod 977
Es gilt also: 84668 ≡ 274 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50
| =>59 | = 1⋅50 + 9 |
| =>50 | = 5⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 50-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9) = 2⋅50 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50) = -11⋅59 +13⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +13⋅50
Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1
Somit 13⋅50 = 1 mod 59
13 ist also das Inverse von 50 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.