Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (796 - 200) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(796 - 200) mod 4 ≡ (796 mod 4 - 200 mod 4) mod 4.
796 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 700
200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(796 - 200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 98) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 98) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 98 mod 7) mod 7.
15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.
98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 98) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38816 mod 389.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 1 mod 389
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 389
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 389
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225106 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 330 mod 479
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 167 mod 479
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 107 mod 479
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 432 mod 479
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 293 mod 479
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 108 mod 479
225106
= 22564+32+8+2
= 22564⋅22532⋅2258⋅2252
≡ 108 ⋅ 293 ⋅ 107 ⋅ 330 mod 479
≡ 31644 ⋅ 107 ⋅ 330 mod 479 ≡ 30 ⋅ 107 ⋅ 330 mod 479
≡ 3210 ⋅ 330 mod 479 ≡ 336 ⋅ 330 mod 479
≡ 110880 mod 479 ≡ 231 mod 479
Es gilt also: 225106 ≡ 231 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72
| =>83 | = 1⋅72 + 11 |
| =>72 | = 6⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 72-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11) = 2⋅72 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72) = -13⋅83 +15⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +15⋅72
Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1
Somit 15⋅72 = 1 mod 83
15 ist also das Inverse von 72 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.