Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 87) mod 8 ≡ (800 mod 8 - 87 mod 8) mod 8.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80+7 = 8 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(800 - 87) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 65) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 65) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 342¹=342

2: 342²=342¹⁺¹=342¹⋅342¹ ≡ 342⋅342=116964 ≡ 171 mod 683

4: 342⁴=342²⁺²=342²⋅342² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 555 mod 683

8: 342⁸=342⁴⁺⁴=342⁴⋅342⁴ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 675 mod 683

16: 342¹⁶=342⁸⁺⁸=342⁸⋅342⁸ ≡ 675⋅675=455625 ≡ 64 mod 683

32: 342³²=342¹⁶⁺¹⁶=342¹⁶⋅342¹⁶ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 681 mod 683

64: 342⁶⁴=342³²⁺³²=342³²⋅342³² ≡ 681⋅681=463761 ≡ 4 mod 683

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

171¹²⁶

= 171^{64+32+16+8+4+2}

= 171⁶⁴⋅171³²⋅171¹⁶⋅171⁸⋅171⁴⋅171²

≡ 50 ⋅ 26 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
≡ 1300 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 48 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
≡ 10944 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 302 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
≡ 52548 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 277 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
≡ 57893 ⋅ 132 mod 313 ≡ 301 ⋅ 132 mod 313
≡ 39732 mod 313 ≡ 294 mod 313

Es gilt also: 171¹²⁶ ≡ 294 mod 313

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61