Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (216 + 2097) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(216 + 2097) mod 7 ≡ (216 mod 7 + 2097 mod 7) mod 7.
216 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 216
= 210
2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097
= 2100
Somit gilt:
(216 + 2097) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 92) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 92) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28164 mod 409.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 24 mod 409
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 24⋅24=576 ≡ 167 mod 409
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 77 mod 409
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 203 mod 409
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 309 mod 409
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 184 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53164 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 5311=531
2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 568 mod 659
4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 373 mod 659
8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 80 mod 659
16: 53116=5318+8=5318⋅5318 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 469 mod 659
32: 53132=53116+16=53116⋅53116 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 514 mod 659
64: 53164=53132+32=53132⋅53132 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 596 mod 659
53164
= 53164
= 53164
≡ 596 mod 659
Es gilt also: 53164 ≡ 596 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.