Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (178 + 35999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(178 + 35999) mod 9 ≡ (178 mod 9 + 35999 mod 9) mod 9.
178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178
= 180
35999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35999
= 36000
Somit gilt:
(178 + 35999) mod 9 ≡ (7 + 8) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 54) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 54) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47564 mod 809.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 723 mod 809
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 115 mod 809
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 281 mod 809
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 488 mod 809
32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 298 mod 809
64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 623 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 264201 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 59 mod 839
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 125 mod 839
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 523 mod 839
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 15 mod 839
32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 839
64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 285 mod 839
128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 681 mod 839
264201
= 264128+64+8+1
= 264128⋅26464⋅2648⋅2641
≡ 681 ⋅ 285 ⋅ 523 ⋅ 264 mod 839
≡ 194085 ⋅ 523 ⋅ 264 mod 839 ≡ 276 ⋅ 523 ⋅ 264 mod 839
≡ 144348 ⋅ 264 mod 839 ≡ 40 ⋅ 264 mod 839
≡ 10560 mod 839 ≡ 492 mod 839
Es gilt also: 264201 ≡ 492 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.