Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3497 - 1395) mod 7 ≡ (3497 mod 7 - 1395 mod 7) mod 7.

3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497 = 3500-3 = 7 ⋅ 500 -3 = 7 ⋅ 500 - 7 + 4.

1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395 = 1400-5 = 7 ⋅ 200 -5 = 7 ⋅ 200 - 7 + 2.

Somit gilt:

(3497 - 1395) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 99) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 99) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 171¹=171

2: 171²=171¹⁺¹=171¹⋅171¹ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 476 mod 523

4: 171⁴=171²⁺²=171²⋅171² ≡ 476⋅476=226576 ≡ 117 mod 523

8: 171⁸=171⁴⁺⁴=171⁴⋅171⁴ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 91 mod 523

16: 171¹⁶=171⁸⁺⁸=171⁸⋅171⁸ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 436 mod 523

32: 171³²=171¹⁶⁺¹⁶=171¹⁶⋅171¹⁶ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 247 mod 523

64: 171⁶⁴=171³²⁺³²=171³²⋅171³² ≡ 247⋅247=61009 ≡ 341 mod 523

128: 171¹²⁸=171⁶⁴⁺⁶⁴=171⁶⁴⋅171⁶⁴ ≡ 341⋅341=116281 ≡ 175 mod 523

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

528¹⁸⁹

= 528^{128+32+16+8+4+1}

= 528¹²⁸⋅528³²⋅528¹⁶⋅528⁸⋅528⁴⋅528¹

≡ 531 ⋅ 386 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 204966 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 487 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 252266 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 353 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 30711 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 584 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 21608 ⋅ 528 mod 641 ≡ 455 ⋅ 528 mod 641
≡ 240240 mod 641 ≡ 506 mod 641

Es gilt also: 528¹⁸⁹ ≡ 506 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79