Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (303 - 6001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(303 - 6001) mod 3 ≡ (303 mod 3 - 6001 mod 3) mod 3.
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
Somit gilt:
(303 - 6001) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 99) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 99) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 99 mod 6) mod 6.
46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.
99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 99) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4978 mod 563.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 415 mod 563
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 510 mod 563
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 557 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9078 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 901=90
2: 902=901+1=901⋅901 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 68 mod 251
4: 904=902+2=902⋅902 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 106 mod 251
8: 908=904+4=904⋅904 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251
16: 9016=908+8=908⋅908 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251
32: 9032=9016+16=9016⋅9016 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 85 mod 251
64: 9064=9032+32=9032⋅9032 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 197 mod 251
9078
= 9064+8+4+2
= 9064⋅908⋅904⋅902
≡ 197 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251
≡ 37824 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251 ≡ 174 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251
≡ 18444 ⋅ 68 mod 251 ≡ 121 ⋅ 68 mod 251
≡ 8228 mod 251 ≡ 196 mod 251
Es gilt also: 9078 ≡ 196 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.