Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 300) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 300) mod 6 ≡ (1200 mod 6 + 300 mod 6) mod 6.
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
Somit gilt:
(1200 + 300) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 43) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 43) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.
21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.
43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 43) mod 9 ≡ (3 ⋅ 7) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28316 mod 389.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 344 mod 389
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 80 mod 389
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 176 mod 389
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 245 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 941131 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 9411=941
2: 9412=9411+1=9411⋅9411 ≡ 941⋅941=885481 ≡ 36 mod 947
4: 9414=9412+2=9412⋅9412 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 349 mod 947
8: 9418=9414+4=9414⋅9414 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 585 mod 947
16: 94116=9418+8=9418⋅9418 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 358 mod 947
32: 94132=94116+16=94116⋅94116 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 319 mod 947
64: 94164=94132+32=94132⋅94132 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 432 mod 947
128: 941128=94164+64=94164⋅94164 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 65 mod 947
941131
= 941128+2+1
= 941128⋅9412⋅9411
≡ 65 ⋅ 36 ⋅ 941 mod 947
≡ 2340 ⋅ 941 mod 947 ≡ 446 ⋅ 941 mod 947
≡ 419686 mod 947 ≡ 165 mod 947
Es gilt also: 941131 ≡ 165 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.