Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (366 - 276) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(366 - 276) mod 9 ≡ (366 mod 9 - 276 mod 9) mod 9.

366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366 = 360+6 = 9 ⋅ 40 +6.

276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 270+6 = 9 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(366 - 276) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 86) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 86) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 86) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 292128 mod 919.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 716 mod 919

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 773 mod 919

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 179 mod 919

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 795 mod 919

32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 672 mod 919

64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 355 mod 919

128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 122 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 626112 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:

112 = 64+32+16

1: 6261=626

2: 6262=6261+1=6261⋅6261 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 549 mod 797

4: 6264=6262+2=6262⋅6262 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 135 mod 797

8: 6268=6264+4=6264⋅6264 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 691 mod 797

16: 62616=6268+8=6268⋅6268 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 78 mod 797

32: 62632=62616+16=62616⋅62616 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 505 mod 797

64: 62664=62632+32=62632⋅62632 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 782 mod 797

626112

= 62664+32+16

= 62664⋅62632⋅62616

782 ⋅ 505 ⋅ 78 mod 797
394910 ⋅ 78 mod 797 ≡ 395 ⋅ 78 mod 797
30810 mod 797 ≡ 524 mod 797

Es gilt also: 626112 ≡ 524 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71 = 1⋅54 + 17
=>54 = 3⋅17 + 3
=>17 = 5⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3)
= -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17)
= 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54)
= -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.