Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (202 + 11999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(202 + 11999) mod 4 ≡ (202 mod 4 + 11999 mod 4) mod 4.
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 11000
Somit gilt:
(202 + 11999) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 19) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 19) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 19) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8708 mod 937.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 870 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8701=870
2: 8702=8701+1=8701⋅8701 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 741 mod 937
4: 8704=8702+2=8702⋅8702 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 936 mod 937
8: 8708=8704+4=8704⋅8704 ≡ 936⋅936=876096 ≡ 1 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 132224 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1321=132
2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 122 mod 211
4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 114 mod 211
8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211
16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211
32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 211
64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 82 mod 211
128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211
132224
= 132128+64+32
= 132128⋅13264⋅13232
≡ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 mod 211
≡ 15006 ⋅ 121 mod 211 ≡ 25 ⋅ 121 mod 211
≡ 3025 mod 211 ≡ 71 mod 211
Es gilt also: 132224 ≡ 71 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.