Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2107 - 350) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2107 - 350) mod 7 ≡ (2107 mod 7 - 350 mod 7) mod 7.
2107 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2107
= 2100
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
Somit gilt:
(2107 - 350) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 49) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 49) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.
80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 49) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3268 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 326 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 109 mod 823
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 359 mod 823
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 493 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331201 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 500 mod 571
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 473 mod 571
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 468 mod 571
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 331 mod 571
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 500 mod 571
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 473 mod 571
128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 468 mod 571
331201
= 331128+64+8+1
= 331128⋅33164⋅3318⋅3311
≡ 468 ⋅ 473 ⋅ 468 ⋅ 331 mod 571
≡ 221364 ⋅ 468 ⋅ 331 mod 571 ≡ 387 ⋅ 468 ⋅ 331 mod 571
≡ 181116 ⋅ 331 mod 571 ≡ 109 ⋅ 331 mod 571
≡ 36079 mod 571 ≡ 106 mod 571
Es gilt also: 331201 ≡ 106 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42
| =>101 | = 2⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -12⋅42
-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42
-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1
(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1
89⋅42 = 37⋅101 + 1
Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1
Somit 89⋅42 = 1 mod 101
89 ist also das Inverse von 42 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.