Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 498) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 498 mod 5) mod 5.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498 = 400+98 = 5 ⋅ 80 +98.

Somit gilt:

(20002 + 498) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 63) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 63) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 172¹=172

2: 172²=172¹⁺¹=172¹⋅172¹ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 22 mod 379

4: 172⁴=172²⁺²=172²⋅172² ≡ 22⋅22=484 ≡ 105 mod 379

8: 172⁸=172⁴⁺⁴=172⁴⋅172⁴ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 34 mod 379

16: 172¹⁶=172⁸⁺⁸=172⁸⋅172⁸ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 19 mod 379

32: 172³²=172¹⁶⁺¹⁶=172¹⁶⋅172¹⁶ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 379

64: 172⁶⁴=172³²⁺³²=172³²⋅172³² ≡ 361⋅361=130321 ≡ 324 mod 379

128: 172¹²⁸=172⁶⁴⁺⁶⁴=172⁶⁴⋅172⁶⁴ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 372 mod 379

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

523²⁰⁴

= 523^128+64+8+4

= 523¹²⁸⋅523⁶⁴⋅523⁸⋅523⁴

≡ 520 ⋅ 646 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739
≡ 335920 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739 ≡ 414 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739
≡ 284004 ⋅ 194 mod 739 ≡ 228 ⋅ 194 mod 739
≡ 44232 mod 739 ≡ 631 mod 739

Es gilt also: 523²⁰⁴ ≡ 631 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89