Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2998 - 1201) mod 3 ≡ (2998 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(2998 - 1201) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 25) mod 5 ≡ (90 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 25) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 685¹=685

2: 685²=685¹⁺¹=685¹⋅685¹ ≡ 685⋅685=469225 ≡ 173 mod 787

4: 685⁴=685²⁺²=685²⋅685² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 23 mod 787

8: 685⁸=685⁴⁺⁴=685⁴⋅685⁴ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

351¹⁸⁹

= 351^{128+32+16+8+4+1}

= 351¹²⁸⋅351³²⋅351¹⁶⋅351⁸⋅351⁴⋅351¹

≡ 152 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
≡ 46208 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 113 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
≡ 9379 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 160 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
≡ 65280 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 308 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
≡ 117040 ⋅ 351 mod 439 ≡ 266 ⋅ 351 mod 439
≡ 93366 mod 439 ≡ 298 mod 439

Es gilt also: 351¹⁸⁹ ≡ 298 mod 439

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101	= 1⋅92 + 9
=>92	= 10⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92) = -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101