Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2806 - 140) mod 7 ≡ (2806 mod 7 - 140 mod 7) mod 7.

2806 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2806 = 2800+6 = 7 ⋅ 400 +6.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(2806 - 140) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 24) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 24) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 272¹=272

2: 272²=272¹⁺¹=272¹⋅272¹ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 198 mod 467

4: 272⁴=272²⁺²=272²⋅272² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 443 mod 467

8: 272⁸=272⁴⁺⁴=272⁴⋅272⁴ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 109 mod 467

16: 272¹⁶=272⁸⁺⁸=272⁸⋅272⁸ ≡ 109⋅109=11881 ≡ 206 mod 467

32: 272³²=272¹⁶⁺¹⁶=272¹⁶⋅272¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 406 mod 467

64: 272⁶⁴=272³²⁺³²=272³²⋅272³² ≡ 406⋅406=164836 ≡ 452 mod 467

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:

240 = 128+64+32+16

631²⁴⁰

= 631^128+64+32+16

= 631¹²⁸⋅631⁶⁴⋅631³²⋅631¹⁶

≡ 807 ⋅ 454 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929
≡ 366378 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929 ≡ 352 ⋅ 201 ⋅ 173 mod 929
≡ 70752 ⋅ 173 mod 929 ≡ 148 ⋅ 173 mod 929
≡ 25604 mod 929 ≡ 521 mod 929

Es gilt also: 631²⁴⁰ ≡ 521 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59	= 2⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59