Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1401 - 34997) mod 7 ≡ (1401 mod 7 - 34997 mod 7) mod 7.

1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401 = 1400+1 = 7 ⋅ 200 +1.

34997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34997 = 35000-3 = 7 ⋅ 5000 -3 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(1401 - 34997) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 33) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 33 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 33) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 111¹=111

2: 111²=111¹⁺¹=111¹⋅111¹ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 132 mod 239

4: 111⁴=111²⁺²=111²⋅111² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 216 mod 239

8: 111⁸=111⁴⁺⁴=111⁴⋅111⁴ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 51 mod 239

16: 111¹⁶=111⁸⁺⁸=111⁸⋅111⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 211 mod 239

32: 111³²=111¹⁶⁺¹⁶=111¹⁶⋅111¹⁶ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 67 mod 239

64: 111⁶⁴=111³²⁺³²=111³²⋅111³² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 187 mod 239

128: 111¹²⁸=111⁶⁴⁺⁶⁴=111⁶⁴⋅111⁶⁴ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 75 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

251⁸⁵

= 251^64+16+4+1

= 251⁶⁴⋅251¹⁶⋅251⁴⋅251¹

≡ 162 ⋅ 82 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271
≡ 13284 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271 ≡ 5 ⋅ 110 ⋅ 251 mod 271
≡ 550 ⋅ 251 mod 271 ≡ 8 ⋅ 251 mod 271
≡ 2008 mod 271 ≡ 111 mod 271

Es gilt also: 251⁸⁵ ≡ 111 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78

=>83	= 1⋅78 + 5
=>78	= 15⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 78-15⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1)
5= 83-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78) = 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +33⋅78

Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1

Somit 33⋅78 = 1 mod 83

33 ist also das Inverse von 78 mod 83