Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2504 - 14995) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2504 - 14995) mod 5 ≡ (2504 mod 5 - 14995 mod 5) mod 5.

2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504 = 2500+4 = 5 ⋅ 500 +4.

14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995 = 14000+995 = 5 ⋅ 2800 +995.

Somit gilt:

(2504 - 14995) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 72) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 72) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 72) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20532 mod 563.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,563) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2051=205

2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 363 mod 563

4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 27 mod 563

8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 27⋅27=729 ≡ 166 mod 563

16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 532 mod 563

32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 398 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 109200 mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 1091=109

2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 278 mod 283

4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 25 mod 283

8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 25⋅25=625 ≡ 59 mod 283

16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 85 mod 283

32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 150 mod 283

64: 10964=10932+32=10932⋅10932 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 143 mod 283

128: 109128=10964+64=10964⋅10964 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 73 mod 283

109200

= 109128+64+8

= 109128⋅10964⋅1098

73 ⋅ 143 ⋅ 59 mod 283
10439 ⋅ 59 mod 283 ≡ 251 ⋅ 59 mod 283
14809 mod 283 ≡ 93 mod 283

Es gilt also: 109200 ≡ 93 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47

=>53 = 1⋅47 + 6
=>47 = 7⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 47-7⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6)
= -1⋅47 +8⋅ 6 (=1)
6= 53-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47)
= 8⋅53 -9⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47

oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅53 = -9⋅47

-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47

-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1

(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1

44⋅47 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1

Somit 44⋅47 = 1 mod 53

44 ist also das Inverse von 47 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.