Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3497 + 205) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3497 + 205) mod 7 ≡ (3497 mod 7 + 205 mod 7) mod 7.

3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497 = 3500-3 = 7 ⋅ 500 -3 = 7 ⋅ 500 - 7 + 4.

205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 210-5 = 7 ⋅ 30 -5 = 7 ⋅ 30 - 7 + 2.

Somit gilt:

(3497 + 205) mod 7 ≡ (4 + 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 75) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 105128 mod 271.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1051=105

2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 185 mod 271

4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 79 mod 271

8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 8 mod 271

16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 271

32: 10532=10516+16=10516⋅10516 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 31 mod 271

64: 10564=10532+32=10532⋅10532 ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271

128: 105128=10564+64=10564⋅10564 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 224 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11760 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

1: 1171=117

2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 74 mod 389

4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 30 mod 389

8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 30⋅30=900 ≡ 122 mod 389

16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 102 mod 389

32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 290 mod 389

11760

= 11732+16+8+4

= 11732⋅11716⋅1178⋅1174

290 ⋅ 102 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389
29580 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389 ≡ 16 ⋅ 122 ⋅ 30 mod 389
1952 ⋅ 30 mod 389 ≡ 7 ⋅ 30 mod 389
210 mod 389

Es gilt also: 11760 ≡ 210 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83

=>97 = 1⋅83 + 14
=>83 = 5⋅14 + 13
=>14 = 1⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 83-5⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14)
= -1⋅83 +6⋅ 14 (=1)
14= 97-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83)
= 6⋅97 -7⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83

oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅97 = -7⋅83

-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83

-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1

(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1

90⋅83 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1

Somit 90⋅83 = 1 mod 97

90 ist also das Inverse von 83 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.