Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (350 - 2097) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(350 - 2097) mod 7 ≡ (350 mod 7 - 2097 mod 7) mod 7.
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097
= 2100
Somit gilt:
(350 - 2097) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 49) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 49) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 49) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5328 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 532 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5321=532
2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 275 mod 653
4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 530 mod 653
8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 110 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 281189 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 380 mod 439
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 408 mod 439
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 83 mod 439
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 304 mod 439
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 226 mod 439
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 152 mod 439
128: 281128=28164+64=28164⋅28164 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 276 mod 439
281189
= 281128+32+16+8+4+1
= 281128⋅28132⋅28116⋅2818⋅2814⋅2811
≡ 276 ⋅ 226 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
≡ 62376 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 38 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
≡ 11552 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 138 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
≡ 11454 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 40 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
≡ 16320 ⋅ 281 mod 439 ≡ 77 ⋅ 281 mod 439
≡ 21637 mod 439 ≡ 126 mod 439
Es gilt also: 281189 ≡ 126 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.