Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 + 158) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 + 158) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 158 mod 4) mod 4.
12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
Somit gilt:
(12003 + 158) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 47) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 47) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 47) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38164 mod 521.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 323 mod 521
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 129 mod 521
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 490 mod 521
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60686 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 101 mod 727
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 727
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 727
60686
= 60664+16+4+2
= 60664⋅60616⋅6064⋅6062
≡ 64 ⋅ 673 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727
≡ 43072 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727 ≡ 179 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727
≡ 4117 ⋅ 101 mod 727 ≡ 482 ⋅ 101 mod 727
≡ 48682 mod 727 ≡ 700 mod 727
Es gilt also: 60686 ≡ 700 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.