Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15000 + 49) mod 5 ≡ (15000 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.

15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 5 ⋅ 3000 +0.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(15000 + 49) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 60) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 60) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 107¹=107

2: 107²=107¹⁺¹=107¹⋅107¹ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 209 mod 281

4: 107⁴=107²⁺²=107²⋅107² ≡ 209⋅209=43681 ≡ 126 mod 281

8: 107⁸=107⁴⁺⁴=107⁴⋅107⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 140 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

793¹²⁷

= 793^{64+32+16+8+4+2+1}

= 793⁶⁴⋅793³²⋅793¹⁶⋅793⁸⋅793⁴⋅793²⋅793¹

≡ 494 ⋅ 480 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 237120 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 598 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 60996 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 625 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 74375 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 772 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 564332 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 318 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 104622 ⋅ 793 mod 827 ≡ 420 ⋅ 793 mod 827
≡ 333060 mod 827 ≡ 606 mod 827

Es gilt also: 793¹²⁷ ≡ 606 mod 827

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66

=>97	= 1⋅66 + 31
=>66	= 2⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 66-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1)
31= 97-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66) = 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +25⋅66

Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1

Somit 25⋅66 = 1 mod 97

25 ist also das Inverse von 66 mod 97