Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 296) mod 6 ≡ (60 mod 6 - 296 mod 6) mod 6.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

296 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 296 = 300-4 = 6 ⋅ 50 -4 = 6 ⋅ 50 - 6 + 2.

Somit gilt:

(60 - 296) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 51) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 51 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.

51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 51) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 400¹=400

2: 400²=400¹⁺¹=400¹⋅400¹ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 30 mod 941

4: 400⁴=400²⁺²=400²⋅400² ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 941

8: 400⁸=400⁴⁺⁴=400⁴⋅400⁴ ≡ 900⋅900=810000 ≡ 740 mod 941

16: 400¹⁶=400⁸⁺⁸=400⁸⋅400⁸ ≡ 740⋅740=547600 ≡ 879 mod 941

32: 400³²=400¹⁶⁺¹⁶=400¹⁶⋅400¹⁶ ≡ 879⋅879=772641 ≡ 80 mod 941

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

268¹⁷⁴

= 268^128+32+8+4+2

= 268¹²⁸⋅268³²⋅268⁸⋅268⁴⋅268²

≡ 79 ⋅ 443 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 34997 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821 ≡ 515 ⋅ 529 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 272435 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821 ≡ 684 ⋅ 798 ⋅ 397 mod 821
≡ 545832 ⋅ 397 mod 821 ≡ 688 ⋅ 397 mod 821
≡ 273136 mod 821 ≡ 564 mod 821

Es gilt also: 268¹⁷⁴ ≡ 564 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36

=>83	= 2⋅36 + 11
=>36	= 3⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 36-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11) = 4⋅36 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-2⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36) = 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36) = -13⋅83 +30⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +30⋅36

Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1

Somit 30⋅36 = 1 mod 83

30 ist also das Inverse von 36 mod 83