Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24006 - 1600) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24006 - 1600) mod 8 ≡ (24006 mod 8 - 1600 mod 8) mod 8.
24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006
= 24000
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(24006 - 1600) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 99) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 99) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48732 mod 839.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 487 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4871=487
2: 4872=4871+1=4871⋅4871 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 571 mod 839
4: 4874=4872+2=4872⋅4872 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 509 mod 839
8: 4878=4874+4=4874⋅4874 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 669 mod 839
16: 48716=4878+8=4878⋅4878 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 374 mod 839
32: 48732=48716+16=48716⋅48716 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 602 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 574173 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 5741=574
2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 128 mod 601
4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 157 mod 601
8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 8 mod 601
16: 57416=5748+8=5748⋅5748 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 601
32: 57432=57416+16=57416⋅57416 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 490 mod 601
64: 57464=57432+32=57432⋅57432 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 301 mod 601
128: 574128=57464+64=57464⋅57464 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 451 mod 601
574173
= 574128+32+8+4+1
= 574128⋅57432⋅5748⋅5744⋅5741
≡ 451 ⋅ 490 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 220990 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601 ≡ 423 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 3384 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601 ≡ 379 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 59503 ⋅ 574 mod 601 ≡ 4 ⋅ 574 mod 601
≡ 2296 mod 601 ≡ 493 mod 601
Es gilt also: 574173 ≡ 493 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57
| =>67 | = 1⋅57 + 10 |
| =>57 | = 5⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 57-5⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10) = 3⋅57 -17⋅ 10 (=1) |
| 10= 67-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57)
= 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57) = -17⋅67 +20⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +20⋅57
Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1
Somit 20⋅57 = 1 mod 67
20 ist also das Inverse von 57 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
