Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 + 153) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 + 153) mod 3 ≡ (31 mod 3 + 153 mod 3) mod 3.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31
= 30
153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153
= 150
Somit gilt:
(31 + 153) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 90) mod 3 ≡ (58 mod 3 ⋅ 90 mod 3) mod 3.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 90) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2968 mod 401.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 296 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 198 mod 401
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 307 mod 401
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 14 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 447203 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 106 mod 607
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 310 mod 607
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 194 mod 607
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 2 mod 607
32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 607
64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 607
128: 447128=44764+64=44764⋅44764 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 607
447203
= 447128+64+8+2+1
= 447128⋅44764⋅4478⋅4472⋅4471
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 4096 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607 ≡ 454 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 88076 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607 ≡ 61 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 6466 ⋅ 447 mod 607 ≡ 396 ⋅ 447 mod 607
≡ 177012 mod 607 ≡ 375 mod 607
Es gilt also: 447203 ≡ 375 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45
| =>83 | = 1⋅45 + 38 |
| =>45 | = 1⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 45-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1) |
| 38= 83-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +24⋅45
Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1
Somit 24⋅45 = 1 mod 83
24 ist also das Inverse von 45 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.