Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 40) mod 4 ≡ (82 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
Somit gilt:
(82 + 40) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 41) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 41) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 41) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26032 mod 827.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 613 mod 827
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 311 mod 827
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 789 mod 827
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 617 mod 827
32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 269 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 552160 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 5521=552
2: 5522=5521+1=5521⋅5521 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 69 mod 883
4: 5524=5522+2=5522⋅5522 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 346 mod 883
8: 5528=5524+4=5524⋅5524 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 511 mod 883
16: 55216=5528+8=5528⋅5528 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 636 mod 883
32: 55232=55216+16=55216⋅55216 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 82 mod 883
64: 55264=55232+32=55232⋅55232 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 543 mod 883
128: 552128=55264+64=55264⋅55264 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 810 mod 883
552160
= 552128+32
= 552128⋅55232
≡ 810 ⋅ 82 mod 883
≡ 66420 mod 883 ≡ 195 mod 883
Es gilt also: 552160 ≡ 195 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.