Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (398 - 4003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(398 - 4003) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 4003 mod 4) mod 4.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 4 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(398 - 4003) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 42) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 42) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 42) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86632 mod 911.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 866 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8661=866

2: 8662=8661+1=8661⋅8661 ≡ 866⋅866=749956 ≡ 203 mod 911

4: 8664=8662+2=8662⋅8662 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 214 mod 911

8: 8668=8664+4=8664⋅8664 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 246 mod 911

16: 86616=8668+8=8668⋅8668 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 390 mod 911

32: 86632=86616+16=86616⋅86616 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 874 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369255 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 3691=369

2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 178 mod 421

4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 109 mod 421

8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421

16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421

32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421

64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 176 mod 421

128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 243 mod 421

369255

= 369128+64+32+16+8+4+2+1

= 369128⋅36964⋅36932⋅36916⋅3698⋅3694⋅3692⋅3691

243 ⋅ 176 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
42768 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 247 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
58539 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 20 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
4580 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 370 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
34410 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 309 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
33681 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 1 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
178 ⋅ 369 mod 421
65682 mod 421 ≡ 6 mod 421

Es gilt also: 369255 ≡ 6 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59

=>89 = 1⋅59 + 30
=>59 = 1⋅30 + 29
=>30 = 1⋅29 + 1
=>29 = 29⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 30-1⋅29
29= 59-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30)
= -1⋅59 +2⋅ 30 (=1)
30= 89-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59)
= 2⋅89 -3⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59

oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅89 = -3⋅59

-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59

-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1

(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1

86⋅59 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1

Somit 86⋅59 = 1 mod 89

86 ist also das Inverse von 59 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.