Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 20000) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(7999 + 20000) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 42) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 42) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 237¹=237

2: 237²=237¹⁺¹=237¹⋅237¹ ≡ 237⋅237=56169 ≡ 196 mod 251

4: 237⁴=237²⁺²=237²⋅237² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 13 mod 251

8: 237⁸=237⁴⁺⁴=237⁴⋅237⁴ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 251

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

430²⁵⁵

= 430^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 430¹²⁸⋅430⁶⁴⋅430³²⋅430¹⁶⋅430⁸⋅430⁴⋅430²⋅430¹

≡ 601 ⋅ 437 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 262637 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 220 ⋅ 547 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 120340 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 38 ⋅ 99 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 3762 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 457 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 55297 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 434 ⋅ 11 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 4774 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661 ≡ 147 ⋅ 481 ⋅ 430 mod 661
≡ 70707 ⋅ 430 mod 661 ≡ 641 ⋅ 430 mod 661
≡ 275630 mod 661 ≡ 654 mod 661

Es gilt also: 430²⁵⁵ ≡ 654 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97	= 1⋅55 + 42
=>55	= 1⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55) = 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97