Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28000 + 35007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28000 + 35007) mod 7 ≡ (28000 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

Somit gilt:

(28000 + 35007) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 46) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 46) mod 5 ≡ (52 mod 5 ⋅ 46 mod 5) mod 5.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 46) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25816 mod 857.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 575 mod 857

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 680 mod 857

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 477 mod 857

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 424 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 152138 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:

138 = 128+8+2

1: 1521=152

2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 105 mod 211

4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 53 mod 211

8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 66 mod 211

16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 136 mod 211

32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 139 mod 211

64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 120 mod 211

128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211

152138

= 152128+8+2

= 152128⋅1528⋅1522

52 ⋅ 66 ⋅ 105 mod 211
3432 ⋅ 105 mod 211 ≡ 56 ⋅ 105 mod 211
5880 mod 211 ≡ 183 mod 211

Es gilt also: 152138 ≡ 183 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.