Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 + 1403) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 + 1403) mod 7 ≡ (69 mod 7 + 1403 mod 7) mod 7.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 70-1 = 7 ⋅ 10 -1 = 7 ⋅ 10 - 7 + 6.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(69 + 1403) mod 7 ≡ (6 + 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 88) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 88) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 88) mod 11 ≡ (6 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 134128 mod 373.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 134 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1341=134

2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 52 mod 373

4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 93 mod 373

8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 70 mod 373

16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 51 mod 373

32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 363 mod 373

64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 100 mod 373

128: 134128=13464+64=13464⋅13464 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 302 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 89293 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

1: 8921=892

2: 8922=8921+1=8921⋅8921 ≡ 892⋅892=795664 ≡ 440 mod 929

4: 8924=8922+2=8922⋅8922 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 368 mod 929

8: 8928=8924+4=8924⋅8924 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 719 mod 929

16: 89216=8928+8=8928⋅8928 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 437 mod 929

32: 89232=89216+16=89216⋅89216 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929

64: 89264=89232+32=89232⋅89232 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 521 mod 929

89293

= 89264+16+8+4+1

= 89264⋅89216⋅8928⋅8924⋅8921

521 ⋅ 437 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
227677 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929 ≡ 72 ⋅ 719 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
51768 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929 ≡ 673 ⋅ 368 ⋅ 892 mod 929
247664 ⋅ 892 mod 929 ≡ 550 ⋅ 892 mod 929
490600 mod 929 ≡ 88 mod 929

Es gilt also: 89293 ≡ 88 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89 = 1⋅77 + 12
=>77 = 6⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12)
= 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77)
= -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.