Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 1497) mod 3 ≡ (1200 mod 3 - 1497 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1200 - 1497) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 59) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 59) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 318¹=318

2: 318²=318¹⁺¹=318¹⋅318¹ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 101 mod 409

4: 318⁴=318²⁺²=318²⋅318² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409

8: 318⁸=318⁴⁺⁴=318⁴⋅318⁴ ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409

16: 318¹⁶=318⁸⁺⁸=318⁸⋅318⁸ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 77 mod 409

32: 318³²=318¹⁶⁺¹⁶=318¹⁶⋅318¹⁶ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 203 mod 409

64: 318⁶⁴=318³²⁺³²=318³²⋅318³² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 309 mod 409

128: 318¹²⁸=318⁶⁴⁺⁶⁴=318⁶⁴⋅318⁶⁴ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 184 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

405¹⁰⁸

= 405^64+32+8+4

= 405⁶⁴⋅405³²⋅405⁸⋅405⁴

≡ 16 ⋅ 4 ⋅ 284 ⋅ 602 mod 823
≡ 64 ⋅ 284 ⋅ 602 mod 823
≡ 18176 ⋅ 602 mod 823 ≡ 70 ⋅ 602 mod 823
≡ 42140 mod 823 ≡ 167 mod 823

Es gilt also: 405¹⁰⁸ ≡ 167 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52

=>83	= 1⋅52 + 31
=>52	= 1⋅31 + 21
=>31	= 1⋅21 + 10
=>21	= 2⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21) = 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 52-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31) = -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1)
31= 83-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52) = 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +8⋅52

Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1

Somit 8⋅52 = 1 mod 83

8 ist also das Inverse von 52 mod 83