Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (598 + 596) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(598 + 596) mod 6 ≡ (598 mod 6 + 596 mod 6) mod 6.
598 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598
= 600
596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596
= 600
Somit gilt:
(598 + 596) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 39) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 39) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 39) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283128 mod 743.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 588 mod 743
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 249 mod 743
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 332 mod 743
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 260 mod 743
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 730 mod 743
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 169 mod 743
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 327 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 90254 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 901=90
2: 902=901+1=901⋅901 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 82 mod 211
4: 904=902+2=902⋅902 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211
8: 908=904+4=904⋅904 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 151 mod 211
16: 9016=908+8=908⋅908 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 13 mod 211
32: 9032=9016+16=9016⋅9016 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 211
64: 9064=9032+32=9032⋅9032 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 76 mod 211
128: 90128=9064+64=9064⋅9064 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 79 mod 211
90254
= 90128+64+32+16+8+4+2
= 90128⋅9064⋅9032⋅9016⋅908⋅904⋅902
≡ 79 ⋅ 76 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 6004 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 96 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 16224 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 188 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 2444 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 123 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 18573 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 5 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 915 ⋅ 82 mod 211 ≡ 71 ⋅ 82 mod 211
≡ 5822 mod 211 ≡ 125 mod 211
Es gilt also: 90254 ≡ 125 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
