Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 401) mod 4 ≡ (1197 mod 4 + 401 mod 4) mod 4.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(1197 + 401) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 503¹=503

2: 503²=503¹⁺¹=503¹⋅503¹ ≡ 503⋅503=253009 ≡ 12 mod 587

4: 503⁴=503²⁺²=503²⋅503² ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 587

8: 503⁸=503⁴⁺⁴=503⁴⋅503⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 191 mod 587

16: 503¹⁶=503⁸⁺⁸=503⁸⋅503⁸ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 87 mod 587

32: 503³²=503¹⁶⁺¹⁶=503¹⁶⋅503¹⁶ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 525 mod 587

64: 503⁶⁴=503³²⁺³²=503³²⋅503³² ≡ 525⋅525=275625 ≡ 322 mod 587

128: 503¹²⁸=503⁶⁴⁺⁶⁴=503⁶⁴⋅503⁶⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 372 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

405²⁵¹

= 405^{128+64+32+16+8+2+1}

= 405¹²⁸⋅405⁶⁴⋅405³²⋅405¹⁶⋅405⁸⋅405²⋅405¹

≡ 470 ⋅ 38 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 17860 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 328 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 39032 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 72 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 29736 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 29 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 870 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 383 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 150519 ⋅ 405 mod 487 ≡ 36 ⋅ 405 mod 487
≡ 14580 mod 487 ≡ 457 mod 487

Es gilt also: 405²⁵¹ ≡ 457 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97