Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1204 - 4004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1204 - 4004) mod 4 ≡ (1204 mod 4 - 4004 mod 4) mod 4.
1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
Somit gilt:
(1204 - 4004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 36) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 36) mod 11 ≡ (7 ⋅ 3) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63932 mod 701.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 639 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6391=639
2: 6392=6391+1=6391⋅6391 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 339 mod 701
4: 6394=6392+2=6392⋅6392 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 658 mod 701
8: 6398=6394+4=6394⋅6394 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 447 mod 701
16: 63916=6398+8=6398⋅6398 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 24 mod 701
32: 63932=63916+16=63916⋅63916 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 349234 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 45 mod 499
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 29 mod 499
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 29⋅29=841 ≡ 342 mod 499
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 198 mod 499
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 282 mod 499
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 183 mod 499
128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 56 mod 499
349234
= 349128+64+32+8+2
= 349128⋅34964⋅34932⋅3498⋅3492
≡ 56 ⋅ 183 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 10248 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499 ≡ 268 ⋅ 282 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 75576 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499 ≡ 227 ⋅ 342 ⋅ 45 mod 499
≡ 77634 ⋅ 45 mod 499 ≡ 289 ⋅ 45 mod 499
≡ 13005 mod 499 ≡ 31 mod 499
Es gilt also: 349234 ≡ 31 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
