Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 + 314) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 + 314) mod 8 ≡ (152 mod 8 + 314 mod 8) mod 8.
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314
= 320
Somit gilt:
(152 + 314) mod 8 ≡ (0 + 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 54) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 54) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 54 mod 6) mod 6.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 54) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19964 mod 283.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 264 mod 283
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 78 mod 283
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 141 mod 283
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 71 mod 283
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 230 mod 283
64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 262 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 387112 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 14 mod 491
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 491
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 118 mod 491
16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 176 mod 491
32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 43 mod 491
64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 376 mod 491
387112
= 38764+32+16
= 38764⋅38732⋅38716
≡ 376 ⋅ 43 ⋅ 176 mod 491
≡ 16168 ⋅ 176 mod 491 ≡ 456 ⋅ 176 mod 491
≡ 80256 mod 491 ≡ 223 mod 491
Es gilt also: 387112 ≡ 223 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.