Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (458 + 44992) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(458 + 44992) mod 9 ≡ (458 mod 9 + 44992 mod 9) mod 9.

458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458 = 450+8 = 9 ⋅ 50 +8.

44992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44992 = 45000-8 = 9 ⋅ 5000 -8 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(458 + 44992) mod 9 ≡ (8 + 1) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 19) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 19) mod 3 ≡ (55 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.

55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 19) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4668 mod 487.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 466 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4661=466

2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 441 mod 487

4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 168 mod 487

8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 465 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 620228 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 6201=620

2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 436 mod 653

4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 73 mod 653

8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 105 mod 653

16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 577 mod 653

32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 552 mod 653

64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 406 mod 653

128: 620128=62064+64=62064⋅62064 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 280 mod 653

620228

= 620128+64+32+4

= 620128⋅62064⋅62032⋅6204

280 ⋅ 406 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653
113680 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653 ≡ 58 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653
32016 ⋅ 73 mod 653 ≡ 19 ⋅ 73 mod 653
1387 mod 653 ≡ 81 mod 653

Es gilt also: 620228 ≡ 81 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37

=>67 = 1⋅37 + 30
=>37 = 1⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 37-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30)
= 13⋅37 -16⋅ 30 (=1)
30= 67-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37)
= -16⋅67 +29⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37

oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅67 = +29⋅37

Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1

Somit 29⋅37 = 1 mod 67

29 ist also das Inverse von 37 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.