Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (393 - 795) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(393 - 795) mod 8 ≡ (393 mod 8 - 795 mod 8) mod 8.

393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393 = 400-7 = 8 ⋅ 50 -7 = 8 ⋅ 50 - 8 + 1.

795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795 = 800-5 = 8 ⋅ 100 -5 = 8 ⋅ 100 - 8 + 3.

Somit gilt:

(393 - 795) mod 8 ≡ (1 - 3) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 18) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 18) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 18) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12216 mod 239.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 122 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1221=122

2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 66 mod 239

4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 54 mod 239

8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 48 mod 239

16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 153 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 496153 mod 991.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

1: 4961=496

2: 4962=4961+1=4961⋅4961 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 248 mod 991

4: 4964=4962+2=4962⋅4962 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 62 mod 991

8: 4968=4964+4=4964⋅4964 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 871 mod 991

16: 49616=4968+8=4968⋅4968 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 526 mod 991

32: 49632=49616+16=49616⋅49616 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 187 mod 991

64: 49664=49632+32=49632⋅49632 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 284 mod 991

128: 496128=49664+64=49664⋅49664 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 385 mod 991

496153

= 496128+16+8+1

= 496128⋅49616⋅4968⋅4961

385 ⋅ 526 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991
202510 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991 ≡ 346 ⋅ 871 ⋅ 496 mod 991
301366 ⋅ 496 mod 991 ≡ 102 ⋅ 496 mod 991
50592 mod 991 ≡ 51 mod 991

Es gilt also: 496153 ≡ 51 mod 991

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

=>67 = 2⋅24 + 19
=>24 = 1⋅19 + 5
=>19 = 3⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 19-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5)
= -1⋅19 +4⋅ 5 (=1)
5= 24-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19)
= 4⋅24 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24)
= -5⋅67 +14⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +14⋅24

Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1

Somit 14⋅24 = 1 mod 67

14 ist also das Inverse von 24 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.