Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1996 + 504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1996 + 504) mod 5 ≡ (1996 mod 5 + 504 mod 5) mod 5.
1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504
= 500
Somit gilt:
(1996 + 504) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 77) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 77) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 77) mod 9 ≡ (7 ⋅ 5) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30216 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 868 mod 941
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 624 mod 941
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 743 mod 941
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 623 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54780 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 5471=547
2: 5472=5471+1=5471⋅5471 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 115 mod 631
4: 5474=5472+2=5472⋅5472 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 605 mod 631
8: 5478=5474+4=5474⋅5474 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 45 mod 631
16: 54716=5478+8=5478⋅5478 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 132 mod 631
32: 54732=54716+16=54716⋅54716 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 387 mod 631
64: 54764=54732+32=54732⋅54732 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 222 mod 631
54780
= 54764+16
= 54764⋅54716
≡ 222 ⋅ 132 mod 631
≡ 29304 mod 631 ≡ 278 mod 631
Es gilt also: 54780 ≡ 278 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.