Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5004 - 14998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5004 - 14998) mod 5 ≡ (5004 mod 5 - 14998 mod 5) mod 5.

5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004 = 5000+4 = 5 ⋅ 1000 +4.

14998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 14000+998 = 5 ⋅ 2800 +998.

Somit gilt:

(5004 - 14998) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 25) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 25) mod 9 ≡ (20 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 25) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43364 mod 787.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 183 mod 787

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 435 mod 787

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 345 mod 787

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 188 mod 787

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 716 mod 787

64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 319 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60581 mod 937.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 6051=605

2: 6052=6051+1=6051⋅6051 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 595 mod 937

4: 6054=6052+2=6052⋅6052 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 776 mod 937

8: 6058=6054+4=6054⋅6054 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 622 mod 937

16: 60516=6058+8=6058⋅6058 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937

32: 60532=60516+16=60516⋅60516 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 39 mod 937

64: 60564=60532+32=60532⋅60532 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 584 mod 937

60581

= 60564+16+1

= 60564⋅60516⋅6051

584 ⋅ 840 ⋅ 605 mod 937
490560 ⋅ 605 mod 937 ≡ 509 ⋅ 605 mod 937
307945 mod 937 ≡ 609 mod 937

Es gilt also: 60581 ≡ 609 mod 937

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.