Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7995 + 320) mod 8 ≡ (7995 mod 8 + 320 mod 8) mod 8.

7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995 = 7000+995 = 8 ⋅ 875 +995.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(7995 + 320) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 57) mod 6 ≡ (72 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.

72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 57) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 431¹=431

2: 431²=431¹⁺¹=431¹⋅431¹ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 733 mod 907

4: 431⁴=431²⁺²=431²⋅431² ≡ 733⋅733=537289 ≡ 345 mod 907

8: 431⁸=431⁴⁺⁴=431⁴⋅431⁴ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 208 mod 907

16: 431¹⁶=431⁸⁺⁸=431⁸⋅431⁸ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 635 mod 907

32: 431³²=431¹⁶⁺¹⁶=431¹⁶⋅431¹⁶ ≡ 635⋅635=403225 ≡ 517 mod 907

64: 431⁶⁴=431³²⁺³²=431³²⋅431³² ≡ 517⋅517=267289 ≡ 631 mod 907

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:

241 = 128+64+32+16+1

414²⁴¹

= 414^{128+64+32+16+1}

= 414¹²⁸⋅414⁶⁴⋅414³²⋅414¹⁶⋅414¹

≡ 203 ⋅ 301 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 61103 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587 ≡ 55 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 21175 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587 ≡ 43 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 7267 ⋅ 414 mod 587 ≡ 223 ⋅ 414 mod 587
≡ 92322 mod 587 ≡ 163 mod 587

Es gilt also: 414²⁴¹ ≡ 163 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71