Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1496 + 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1496 + 5000) mod 5 ≡ (1496 mod 5 + 5000 mod 5) mod 5.
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(1496 + 5000) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 90) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 90) mod 10 ≡ (73 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.
73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 90) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26564 mod 353.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 331 mod 353
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 627178 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 6271=627
2: 6272=6271+1=6271⋅6271 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 693 mod 991
4: 6274=6272+2=6272⋅6272 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 605 mod 991
8: 6278=6274+4=6274⋅6274 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 346 mod 991
16: 62716=6278+8=6278⋅6278 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 796 mod 991
32: 62732=62716+16=62716⋅62716 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 367 mod 991
64: 62764=62732+32=62732⋅62732 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 904 mod 991
128: 627128=62764+64=62764⋅62764 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 632 mod 991
627178
= 627128+32+16+2
= 627128⋅62732⋅62716⋅6272
≡ 632 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 693 mod 991
≡ 231944 ⋅ 796 ⋅ 693 mod 991 ≡ 50 ⋅ 796 ⋅ 693 mod 991
≡ 39800 ⋅ 693 mod 991 ≡ 160 ⋅ 693 mod 991
≡ 110880 mod 991 ≡ 879 mod 991
Es gilt also: 627178 ≡ 879 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 62
| =>71 | = 1⋅62 + 9 |
| =>62 | = 6⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 62-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(62 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅62 +6⋅ 9) = -1⋅62 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +7⋅(71 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +7⋅71 -7⋅ 62) = 7⋅71 -8⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,62)=1 = 7⋅71 -8⋅62
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -8⋅62
-8⋅62 = -7⋅71 + 1 |+71⋅62
-8⋅62 + 71⋅62 = -7⋅71 + 71⋅62 + 1
(-8 + 71) ⋅ 62 = (-7 + 62) ⋅ 71 + 1
63⋅62 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 63⋅62 = 55⋅71 +1
Somit 63⋅62 = 1 mod 71
63 ist also das Inverse von 62 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.