Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3207 - 24006) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 - 24006) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 24006 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 8 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(3207 - 24006) mod 8 ≡ (7 - 6) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 62) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 62) mod 11 ≡ (72 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 62) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35364 mod 911.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 713 mod 911

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 31 mod 911

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 31⋅31=961 ≡ 50 mod 911

16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 678 mod 911

32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 540 mod 911

64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 80 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82094 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 8201=820

2: 8202=8201+1=8201⋅8201 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 361 mod 839

4: 8204=8202+2=8202⋅8202 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 276 mod 839

8: 8208=8204+4=8204⋅8204 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 666 mod 839

16: 82016=8208+8=8208⋅8208 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 564 mod 839

32: 82032=82016+16=82016⋅82016 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 115 mod 839

64: 82064=82032+32=82032⋅82032 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 640 mod 839

82094

= 82064+16+8+4+2

= 82064⋅82016⋅8208⋅8204⋅8202

≡ 640 ⋅ 564 ⋅ 666 ⋅ 276 ⋅ 361 mod 839
≡ 360960 ⋅ 666 ⋅ 276 ⋅ 361 mod 839 ≡ 190 ⋅ 666 ⋅ 276 ⋅ 361 mod 839
≡ 126540 ⋅ 276 ⋅ 361 mod 839 ≡ 690 ⋅ 276 ⋅ 361 mod 839
≡ 190440 ⋅ 361 mod 839 ≡ 826 ⋅ 361 mod 839
≡ 298186 mod 839 ≡ 341 mod 839

Es gilt also: 82094 ≡ 341 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.