Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 - 14995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 - 14995) mod 5 ≡ (2504 mod 5 - 14995 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995
= 14000
Somit gilt:
(2504 - 14995) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 72) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 72) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 72) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20532 mod 563.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 205 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 363 mod 563
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 27 mod 563
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 27⋅27=729 ≡ 166 mod 563
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 532 mod 563
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 398 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 109200 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 278 mod 283
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 25 mod 283
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 25⋅25=625 ≡ 59 mod 283
16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 85 mod 283
32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 150 mod 283
64: 10964=10932+32=10932⋅10932 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 143 mod 283
128: 109128=10964+64=10964⋅10964 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 73 mod 283
109200
= 109128+64+8
= 109128⋅10964⋅1098
≡ 73 ⋅ 143 ⋅ 59 mod 283
≡ 10439 ⋅ 59 mod 283 ≡ 251 ⋅ 59 mod 283
≡ 14809 mod 283 ≡ 93 mod 283
Es gilt also: 109200 ≡ 93 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.