Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (284 + 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(284 + 70) mod 7 ≡ (284 mod 7 + 70 mod 7) mod 7.
284 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 284
= 280
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
Somit gilt:
(284 + 70) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 68) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 68) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 68) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18432 mod 227.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 33 mod 227
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 181 mod 227
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 73 mod 227
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 108 mod 227
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 87 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 174170 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 10 mod 409
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 409
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 184 mod 409
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 318 mod 409
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 101 mod 409
64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409
128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409
174170
= 174128+32+8+2
= 174128⋅17432⋅1748⋅1742
≡ 167 ⋅ 101 ⋅ 184 ⋅ 10 mod 409
≡ 16867 ⋅ 184 ⋅ 10 mod 409 ≡ 98 ⋅ 184 ⋅ 10 mod 409
≡ 18032 ⋅ 10 mod 409 ≡ 36 ⋅ 10 mod 409
≡ 360 mod 409
Es gilt also: 174170 ≡ 360 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.