Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (184 - 239) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(184 - 239) mod 6 ≡ (184 mod 6 - 239 mod 6) mod 6.
184 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184
= 180
239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(184 - 239) mod 6 ≡ (4 - 5) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 54) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 54) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48016 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 480 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 273 mod 971
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 733 mod 971
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 326 mod 971
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 437 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 724168 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 7241=724
2: 7242=7241+1=7241⋅7241 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 39 mod 941
4: 7244=7242+2=7242⋅7242 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 580 mod 941
8: 7248=7244+4=7244⋅7244 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 463 mod 941
16: 72416=7248+8=7248⋅7248 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 762 mod 941
32: 72432=72416+16=72416⋅72416 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 47 mod 941
64: 72464=72432+32=72432⋅72432 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 327 mod 941
128: 724128=72464+64=72464⋅72464 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 596 mod 941
724168
= 724128+32+8
= 724128⋅72432⋅7248
≡ 596 ⋅ 47 ⋅ 463 mod 941
≡ 28012 ⋅ 463 mod 941 ≡ 723 ⋅ 463 mod 941
≡ 334749 mod 941 ≡ 694 mod 941
Es gilt also: 724168 ≡ 694 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.