Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3208 + 3999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3208 + 3999) mod 8 ≡ (3208 mod 8 + 3999 mod 8) mod 8.
3208 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3208
= 3200
3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 4000
Somit gilt:
(3208 + 3999) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 64) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 64) mod 5 ≡ (97 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 64) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 928 mod 223.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 92 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 921=92
2: 922=921+1=921⋅921 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 213 mod 223
4: 924=922+2=922⋅922 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 100 mod 223
8: 928=924+4=924⋅924 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 188 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 568173 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 5681=568
2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 257 mod 673
4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 95 mod 673
8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 276 mod 673
16: 56816=5688+8=5688⋅5688 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 127 mod 673
32: 56832=56816+16=56816⋅56816 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 650 mod 673
64: 56864=56832+32=56832⋅56832 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 529 mod 673
128: 568128=56864+64=56864⋅56864 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 546 mod 673
568173
= 568128+32+8+4+1
= 568128⋅56832⋅5688⋅5684⋅5681
≡ 546 ⋅ 650 ⋅ 276 ⋅ 95 ⋅ 568 mod 673
≡ 354900 ⋅ 276 ⋅ 95 ⋅ 568 mod 673 ≡ 229 ⋅ 276 ⋅ 95 ⋅ 568 mod 673
≡ 63204 ⋅ 95 ⋅ 568 mod 673 ≡ 615 ⋅ 95 ⋅ 568 mod 673
≡ 58425 ⋅ 568 mod 673 ≡ 547 ⋅ 568 mod 673
≡ 310696 mod 673 ≡ 443 mod 673
Es gilt also: 568173 ≡ 443 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47
| =>89 | = 1⋅47 + 42 |
| =>47 | = 1⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1) |
| 42= 89-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47
oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅89 = +36⋅47
Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1
Somit 36⋅47 = 1 mod 89
36 ist also das Inverse von 47 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.