Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (235 - 16007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(235 - 16007) mod 8 ≡ (235 mod 8 - 16007 mod 8) mod 8.

235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235 = 240-5 = 8 ⋅ 30 -5 = 8 ⋅ 30 - 8 + 3.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(235 - 16007) mod 8 ≡ (3 - 7) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 36) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 36) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 36) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6598 mod 727.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 659 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6591=659

2: 6592=6591+1=6591⋅6591 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 262 mod 727

4: 6594=6592+2=6592⋅6592 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 306 mod 727

8: 6598=6594+4=6594⋅6594 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 580 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 449176 mod 997.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 4491=449

2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 207 mod 997

4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 975 mod 997

8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 975⋅975=950625 ≡ 484 mod 997

16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 958 mod 997

32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997

64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997

128: 449128=44964+64=44964⋅44964 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997

449176

= 449128+32+16

= 449128⋅44932⋅44916

284 ⋅ 524 ⋅ 958 mod 997
148816 ⋅ 958 mod 997 ≡ 263 ⋅ 958 mod 997
251954 mod 997 ≡ 710 mod 997

Es gilt also: 449176 ≡ 710 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.