Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (176 - 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(176 - 88) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 88 mod 9) mod 9.
176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(176 - 88) mod 9 ≡ (5 - 7) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 42) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 42) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 42) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 99128 mod 211.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 99 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 991=99
2: 992=991+1=991⋅991 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 95 mod 211
4: 994=992+2=992⋅992 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 163 mod 211
8: 998=994+4=994⋅994 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 194 mod 211
16: 9916=998+8=998⋅998 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211
32: 9932=9916+16=9916⋅9916 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211
64: 9964=9932+32=9932⋅9932 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211
128: 99128=9964+64=9964⋅9964 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14398 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 399 mod 401
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 4 mod 401
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 401
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 401
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401
64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
14398
= 14364+32+2
= 14364⋅14332⋅1432
≡ 255 ⋅ 173 ⋅ 399 mod 401
≡ 44115 ⋅ 399 mod 401 ≡ 5 ⋅ 399 mod 401
≡ 1995 mod 401 ≡ 391 mod 401
Es gilt also: 14398 ≡ 391 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59
| =>101 | = 1⋅59 + 42 |
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
| 42= 101-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59) = -7⋅101 +12⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59
oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅101 = +12⋅59
Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1
Somit 12⋅59 = 1 mod 101
12 ist also das Inverse von 59 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.