Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 + 600) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 + 600) mod 6 ≡ (3003 mod 6 + 600 mod 6) mod 6.
3003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(3003 + 600) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 66) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 66) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 66 mod 9) mod 9.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 66) mod 9 ≡ (8 ⋅ 3) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43416 mod 701.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 434 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 488 mod 701
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 505 mod 701
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 562 mod 701
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 394 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 347250 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 77 mod 449
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 92 mod 449
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 382 mod 449
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449
32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449
64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449
128: 347128=34764+64=34764⋅34764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449
347250
= 347128+64+32+16+8+2
= 347128⋅34764⋅34732⋅34716⋅3478⋅3472
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 448 ⋅ 382 ⋅ 77 mod 449
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 448 ⋅ 382 ⋅ 77 mod 449
≡ 1 ⋅ 448 ⋅ 382 ⋅ 77 mod 449
≡ 448 ⋅ 382 ⋅ 77 mod 449
≡ 171136 ⋅ 77 mod 449 ≡ 67 ⋅ 77 mod 449
≡ 5159 mod 449 ≡ 220 mod 449
Es gilt also: 347250 ≡ 220 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.