Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 - 4001) mod 4 ≡ (399 mod 4 - 4001 mod 4) mod 4.

399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 300+99 = 4 ⋅ 75 +99.

4001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 4 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(399 - 4001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 97) mod 8 ≡ (19 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.

19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 97) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 230¹=230

2: 230²=230¹⁺¹=230¹⋅230¹ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 147 mod 743

4: 230⁴=230²⁺²=230²⋅230² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 62 mod 743

8: 230⁸=230⁴⁺⁴=230⁴⋅230⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 129 mod 743

16: 230¹⁶=230⁸⁺⁸=230⁸⋅230⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 295 mod 743

32: 230³²=230¹⁶⁺¹⁶=230¹⁶⋅230¹⁶ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 94 mod 743

64: 230⁶⁴=230³²⁺³²=230³²⋅230³² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 663 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

472¹¹⁹

= 472^{64+32+16+4+2+1}

= 472⁶⁴⋅472³²⋅472¹⁶⋅472⁴⋅472²⋅472¹

≡ 624 ⋅ 198 ⋅ 29 ⋅ 401 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643
≡ 123552 ⋅ 29 ⋅ 401 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643 ≡ 96 ⋅ 29 ⋅ 401 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643
≡ 2784 ⋅ 401 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643 ≡ 212 ⋅ 401 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643
≡ 85012 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643 ≡ 136 ⋅ 306 ⋅ 472 mod 643
≡ 41616 ⋅ 472 mod 643 ≡ 464 ⋅ 472 mod 643
≡ 219008 mod 643 ≡ 388 mod 643

Es gilt also: 472¹¹⁹ ≡ 388 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25

=>67	= 2⋅25 + 17
=>25	= 1⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25) = -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -8⋅25

-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25

-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1

(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1

59⋅25 = 22⋅67 + 1

Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1

Somit 59⋅25 = 1 mod 67

59 ist also das Inverse von 25 mod 67