Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1204 - 19996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1204 - 19996) mod 4 ≡ (1204 mod 4 - 19996 mod 4) mod 4.
1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996
= 19000
Somit gilt:
(1204 - 19996) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 100) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 100) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 100) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49232 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 492 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4921=492
2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 800 mod 887
4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 473 mod 887
8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 205 mod 887
16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 336 mod 887
32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 247 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 285146 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 89 mod 461
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 84 mod 461
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 141 mod 461
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 58 mod 461
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 137 mod 461
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 329 mod 461
128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461
285146
= 285128+16+2
= 285128⋅28516⋅2852
≡ 367 ⋅ 58 ⋅ 89 mod 461
≡ 21286 ⋅ 89 mod 461 ≡ 80 ⋅ 89 mod 461
≡ 7120 mod 461 ≡ 205 mod 461
Es gilt also: 285146 ≡ 205 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.