Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 - 897) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 - 897) mod 3 ≡ (9002 mod 3 - 897 mod 3) mod 3.
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(9002 - 897) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 75) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54632 mod 631.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 546 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5461=546
2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 284 mod 631
4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 519 mod 631
8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 555 mod 631
16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 97 mod 631
32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 575 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52264 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 5221=522
2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 660 mod 809
4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 358 mod 809
8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 342 mod 809
16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 468 mod 809
32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 594 mod 809
64: 52264=52232+32=52232⋅52232 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 112 mod 809
52264
= 52264
= 52264
≡ 112 mod 809
Es gilt also: 52264 ≡ 112 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.