Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (242 + 1198) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(242 + 1198) mod 6 ≡ (242 mod 6 + 1198 mod 6) mod 6.
242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242
= 240
1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
Somit gilt:
(242 + 1198) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 38) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 38) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 38) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 812128 mod 853.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 812 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8121=812
2: 8122=8121+1=8121⋅8121 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 828 mod 853
4: 8124=8122+2=8122⋅8122 ≡ 828⋅828=685584 ≡ 625 mod 853
8: 8128=8124+4=8124⋅8124 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 804 mod 853
16: 81216=8128+8=8128⋅8128 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 695 mod 853
32: 81232=81216+16=81216⋅81216 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 227 mod 853
64: 81264=81232+32=81232⋅81232 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 349 mod 853
128: 812128=81264+64=81264⋅81264 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 675 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 448244 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 4481=448
2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 103 mod 719
4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 543 mod 719
8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 59 mod 719
16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 605 mod 719
32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 54 mod 719
64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 40 mod 719
128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 162 mod 719
448244
= 448128+64+32+16+4
= 448128⋅44864⋅44832⋅44816⋅4484
≡ 162 ⋅ 40 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 6480 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719 ≡ 9 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 486 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 294030 ⋅ 543 mod 719 ≡ 678 ⋅ 543 mod 719
≡ 368154 mod 719 ≡ 26 mod 719
Es gilt also: 448244 ≡ 26 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
