Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1194 + 305) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1194 + 305) mod 6 ≡ (1194 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.
1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194
= 1200
305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305
= 300
Somit gilt:
(1194 + 305) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 313.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 162 mod 313
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 265 mod 313
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 113 mod 313
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 166177 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 133 mod 277
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 238 mod 277
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 91 mod 277
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277
128: 166128=16664+64=16664⋅16664 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 10 mod 277
166177
= 166128+32+16+1
= 166128⋅16632⋅16616⋅1661
≡ 10 ⋅ 91 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277
≡ 910 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277 ≡ 79 ⋅ 214 ⋅ 166 mod 277
≡ 16906 ⋅ 166 mod 277 ≡ 9 ⋅ 166 mod 277
≡ 1494 mod 277 ≡ 109 mod 277
Es gilt also: 166177 ≡ 109 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43
| =>97 | = 2⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43
oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅97 = -9⋅43
-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43
-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1
(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1
88⋅43 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1
Somit 88⋅43 = 1 mod 97
88 ist also das Inverse von 43 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.