Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40006 - 40001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40006 - 40001) mod 8 ≡ (40006 mod 8 - 40001 mod 8) mod 8.

40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006 = 40000+6 = 8 ⋅ 5000 +6.

40001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40001 = 40000+1 = 8 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(40006 - 40001) mod 8 ≡ (6 - 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 37) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 37) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 37) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33516 mod 449.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 335 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3351=335

2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449

4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449

8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 688211 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:

211 = 128+64+16+2+1

1: 6881=688

2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769

8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769

16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769

32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769

64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769

128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769

688211

= 688128+64+16+2+1

= 688128⋅68864⋅68816⋅6882⋅6881

360 ⋅ 408 ⋅ 408 ⋅ 409 ⋅ 688 mod 769
146880 ⋅ 408 ⋅ 409 ⋅ 688 mod 769 ≡ 1 ⋅ 408 ⋅ 409 ⋅ 688 mod 769
408 ⋅ 409 ⋅ 688 mod 769
166872 ⋅ 688 mod 769 ≡ 768 ⋅ 688 mod 769
528384 mod 769 ≡ 81 mod 769

Es gilt also: 688211 ≡ 81 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 54

=>83 = 1⋅54 + 29
=>54 = 1⋅29 + 25
=>29 = 1⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25)
= -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 54-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅29 +7⋅(54 -1⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅54 -7⋅ 29)
= 7⋅54 -13⋅ 29 (=1)
29= 83-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅54 -13⋅(83 -1⋅ 54)
= 7⋅54 -13⋅83 +13⋅ 54)
= -13⋅83 +20⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(83,54)=1 = -13⋅83 +20⋅54

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +20⋅54

Es gilt also: 20⋅54 = 13⋅83 +1

Somit 20⋅54 = 1 mod 83

20 ist also das Inverse von 54 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.