Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 + 15003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 + 15003) mod 5 ≡ (19997 mod 5 + 15003 mod 5) mod 5.
19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(19997 + 15003) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 66) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 66) mod 5 ≡ (33 mod 5 ⋅ 66 mod 5) mod 5.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 66) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 859.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 611 mod 859
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 515 mod 859
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 653 mod 859
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 345 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 146142 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 1461=146
2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 45 mod 239
4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 113 mod 239
8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 102 mod 239
16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 127 mod 239
32: 14632=14616+16=14616⋅14616 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 116 mod 239
64: 14664=14632+32=14632⋅14632 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 72 mod 239
128: 146128=14664+64=14664⋅14664 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 165 mod 239
146142
= 146128+8+4+2
= 146128⋅1468⋅1464⋅1462
≡ 165 ⋅ 102 ⋅ 113 ⋅ 45 mod 239
≡ 16830 ⋅ 113 ⋅ 45 mod 239 ≡ 100 ⋅ 113 ⋅ 45 mod 239
≡ 11300 ⋅ 45 mod 239 ≡ 67 ⋅ 45 mod 239
≡ 3015 mod 239 ≡ 147 mod 239
Es gilt also: 146142 ≡ 147 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.