Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 - 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 - 15002) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 15002 mod 3) mod 3.
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(1503 - 15002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 79) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 79) mod 7 ≡ (73 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 79) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38564 mod 751.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 278 mod 751
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 682 mod 751
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 255 mod 751
16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 439 mod 751
32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751
64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66597 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 64 mod 673
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 58 mod 673
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 672 mod 673
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 1 mod 673
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 673
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 673
66597
= 66564+32+1
= 66564⋅66532⋅6651
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 665 mod 673
≡ 1 ⋅ 665 mod 673
≡ 665 mod 673
Es gilt also: 66597 ≡ 665 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43
| =>83 | = 1⋅43 + 40 |
| =>43 | = 1⋅40 + 3 |
| =>40 | = 13⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 40-13⋅3 | |||
| 3= 43-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1) |
| 40= 83-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43
oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅83 = -27⋅43
-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43
-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1
(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1
56⋅43 = 29⋅83 + 1
Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1
Somit 56⋅43 = 1 mod 83
56 ist also das Inverse von 43 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.