Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 - 301) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 - 301) mod 3 ≡ (87 mod 3 - 301 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
Somit gilt:
(87 - 301) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 39) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 39) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 39) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17316 mod 251.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 60 mod 251
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 86 mod 251
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 117 mod 251
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 135 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 476148 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 154 mod 599
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 355 mod 599
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 235 mod 599
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 117 mod 599
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 511 mod 599
64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 556 mod 599
128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 52 mod 599
476148
= 476128+16+4
= 476128⋅47616⋅4764
≡ 52 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599
≡ 6084 ⋅ 355 mod 599 ≡ 94 ⋅ 355 mod 599
≡ 33370 mod 599 ≡ 425 mod 599
Es gilt also: 476148 ≡ 425 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.