Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6003 + 24002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6003 + 24002) mod 6 ≡ (6003 mod 6 + 24002 mod 6) mod 6.
6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003
= 6000
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(6003 + 24002) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 44) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 44) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 44) mod 11 ≡ (3 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20632 mod 563.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 211 mod 563
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 44 mod 563
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 247 mod 563
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 205 mod 563
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 363 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 264252 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 339 mod 379
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 84 mod 379
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 234 mod 379
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 180 mod 379
32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 185 mod 379
64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 115 mod 379
128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 339 mod 379
264252
= 264128+64+32+16+8+4
= 264128⋅26464⋅26432⋅26416⋅2648⋅2644
≡ 339 ⋅ 115 ⋅ 185 ⋅ 180 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379
≡ 38985 ⋅ 185 ⋅ 180 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379 ≡ 327 ⋅ 185 ⋅ 180 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379
≡ 60495 ⋅ 180 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379 ≡ 234 ⋅ 180 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379
≡ 42120 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379 ≡ 51 ⋅ 234 ⋅ 84 mod 379
≡ 11934 ⋅ 84 mod 379 ≡ 185 ⋅ 84 mod 379
≡ 15540 mod 379 ≡ 1 mod 379
Es gilt also: 264252 ≡ 1 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
