Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7992 - 40006) mod 8 ≡ (7992 mod 8 - 40006 mod 8) mod 8.

7992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7992 = 7000+992 = 8 ⋅ 875 +992.

40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006 = 40000+6 = 8 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(7992 - 40006) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 80) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 80 mod 11) mod 11.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 80) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 698¹=698

2: 698²=698¹⁺¹=698¹⋅698¹ ≡ 698⋅698=487204 ≡ 668 mod 997

4: 698⁴=698²⁺²=698²⋅698² ≡ 668⋅668=446224 ≡ 565 mod 997

8: 698⁸=698⁴⁺⁴=698⁴⋅698⁴ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 185 mod 997

16: 698¹⁶=698⁸⁺⁸=698⁸⋅698⁸ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 327 mod 997

32: 698³²=698¹⁶⁺¹⁶=698¹⁶⋅698¹⁶ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 250 mod 997

64: 698⁶⁴=698³²⁺³²=698³²⋅698³² ≡ 250⋅250=62500 ≡ 686 mod 997

128: 698¹²⁸=698⁶⁴⁺⁶⁴=698⁶⁴⋅698⁶⁴ ≡ 686⋅686=470596 ≡ 12 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

396²⁴⁶

= 396^{128+64+32+16+4+2}

= 396¹²⁸⋅396⁶⁴⋅396³²⋅396¹⁶⋅396⁴⋅396²

≡ 512 ⋅ 672 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 344064 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 474 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 162108 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 4 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 1024 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 143 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 572 ⋅ 879 mod 881
≡ 502788 mod 881 ≡ 618 mod 881

Es gilt also: 396²⁴⁶ ≡ 618 mod 881

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79