Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 + 12000) mod 6 ≡ (57 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 6 ⋅ 10 -3 = 6 ⋅ 10 - 6 + 3.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(57 + 12000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 31) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 31 mod 11) mod 11.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 31) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 708¹=708

2: 708²=708¹⁺¹=708¹⋅708¹ ≡ 708⋅708=501264 ≡ 548 mod 829

4: 708⁴=708²⁺²=708²⋅708² ≡ 548⋅548=300304 ≡ 206 mod 829

8: 708⁸=708⁴⁺⁴=708⁴⋅708⁴ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 157 mod 829

16: 708¹⁶=708⁸⁺⁸=708⁸⋅708⁸ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 608 mod 829

32: 708³²=708¹⁶⁺¹⁶=708¹⁶⋅708¹⁶ ≡ 608⋅608=369664 ≡ 759 mod 829

64: 708⁶⁴=708³²⁺³²=708³²⋅708³² ≡ 759⋅759=576081 ≡ 755 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

744¹⁰⁸

= 744^64+32+8+4

= 744⁶⁴⋅744³²⋅744⁸⋅744⁴

≡ 207 ⋅ 240 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911
≡ 49680 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911 ≡ 486 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911
≡ 31104 ⋅ 8 mod 911 ≡ 130 ⋅ 8 mod 911
≡ 1040 mod 911 ≡ 129 mod 911

Es gilt also: 744¹⁰⁸ ≡ 129 mod 911

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67