Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 - 1602) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 - 1602) mod 4 ≡ (39 mod 4 - 1602 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(39 - 1602) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 72) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 72) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 72) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21232 mod 541.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2121=212

2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 41 mod 541

4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 58 mod 541

8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541

16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541

32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 227242 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 2271=227

2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 240 mod 431

4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 277 mod 431

8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 11 mod 431

16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 431

32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 418 mod 431

64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 169 mod 431

128: 227128=22764+64=22764⋅22764 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 115 mod 431

227242

= 227128+64+32+16+2

= 227128⋅22764⋅22732⋅22716⋅2272

115 ⋅ 169 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
19435 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431 ≡ 40 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
16720 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431 ≡ 342 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
41382 ⋅ 240 mod 431 ≡ 6 ⋅ 240 mod 431
1440 mod 431 ≡ 147 mod 431

Es gilt also: 227242 ≡ 147 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53 = 1⋅28 + 25
=>28 = 1⋅25 + 3
=>25 = 8⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25)
= -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28)
= 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.