Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34993 - 141) mod 7 ≡ (34993 mod 7 - 141 mod 7) mod 7.

34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993 = 35000-7 = 7 ⋅ 5000 -7 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 0.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(34993 - 141) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 81) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 81) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 334¹=334

2: 334²=334¹⁺¹=334¹⋅334¹ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 325 mod 727

4: 334⁴=334²⁺²=334²⋅334² ≡ 325⋅325=105625 ≡ 210 mod 727

8: 334⁸=334⁴⁺⁴=334⁴⋅334⁴ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 480 mod 727

16: 334¹⁶=334⁸⁺⁸=334⁸⋅334⁸ ≡ 480⋅480=230400 ≡ 668 mod 727

32: 334³²=334¹⁶⁺¹⁶=334¹⁶⋅334¹⁶ ≡ 668⋅668=446224 ≡ 573 mod 727

64: 334⁶⁴=334³²⁺³²=334³²⋅334³² ≡ 573⋅573=328329 ≡ 452 mod 727

128: 334¹²⁸=334⁶⁴⁺⁶⁴=334⁶⁴⋅334⁶⁴ ≡ 452⋅452=204304 ≡ 17 mod 727

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

406¹⁹⁶

= 406^128+64+4

= 406¹²⁸⋅406⁶⁴⋅406⁴

≡ 248 ⋅ 694 ⋅ 524 mod 797
≡ 172112 ⋅ 524 mod 797 ≡ 757 ⋅ 524 mod 797
≡ 396668 mod 797 ≡ 559 mod 797

Es gilt also: 406¹⁹⁶ ≡ 559 mod 797

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59