Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9009 + 27008) mod 9 ≡ (9009 mod 9 + 27008 mod 9) mod 9.

9009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9009 = 9000+9 = 9 ⋅ 1000 +9.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(9009 + 27008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 83) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 83) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 634¹=634

2: 634²=634¹⁺¹=634¹⋅634¹ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 23 mod 857

4: 634⁴=634²⁺²=634²⋅634² ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 857

8: 634⁸=634⁴⁺⁴=634⁴⋅634⁴ ≡ 529⋅529=279841 ≡ 459 mod 857

16: 634¹⁶=634⁸⁺⁸=634⁸⋅634⁸ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 716 mod 857

32: 634³²=634¹⁶⁺¹⁶=634¹⁶⋅634¹⁶ ≡ 716⋅716=512656 ≡ 170 mod 857

64: 634⁶⁴=634³²⁺³²=634³²⋅634³² ≡ 170⋅170=28900 ≡ 619 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

258²³²

= 258^128+64+32+8

= 258¹²⁸⋅258⁶⁴⋅258³²⋅258⁸

≡ 606 ⋅ 110 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821
≡ 66660 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821 ≡ 159 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821
≡ 86337 ⋅ 434 mod 821 ≡ 132 ⋅ 434 mod 821
≡ 57288 mod 821 ≡ 639 mod 821

Es gilt also: 258²³² ≡ 639 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59	= 1⋅43 + 16
=>43	= 2⋅16 + 11
=>16	= 1⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16) = -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43) = 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59