Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6001 + 599) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6001 + 599) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.
6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
Somit gilt:
(6001 + 599) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 42) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 42) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 42) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 269128 mod 547.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 157 mod 547
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 34 mod 547
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 62 mod 547
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 15 mod 547
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 547
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 301 mod 547
128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 346 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23990 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 279 mod 293
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293
32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293
64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293
23990
= 23964+16+8+2
= 23964⋅23916⋅2398⋅2392
≡ 232 ⋅ 210 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 48720 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293 ≡ 82 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 2706 ⋅ 279 mod 293 ≡ 69 ⋅ 279 mod 293
≡ 19251 mod 293 ≡ 206 mod 293
Es gilt also: 23990 ≡ 206 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33
| =>89 | = 2⋅33 + 23 |
| =>33 | = 1⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 33-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1) |
| 23= 89-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33)
= 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +27⋅33
Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1
Somit 27⋅33 = 1 mod 89
27 ist also das Inverse von 33 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
