Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1797 + 181) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1797 + 181) mod 6 ≡ (1797 mod 6 + 181 mod 6) mod 6.
1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181
= 180
Somit gilt:
(1797 + 181) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 40) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 40) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40732 mod 751.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 407 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4071=407
2: 4072=4071+1=4071⋅4071 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 429 mod 751
4: 4074=4072+2=4072⋅4072 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 46 mod 751
8: 4078=4074+4=4074⋅4074 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 614 mod 751
16: 40716=4078+8=4078⋅4078 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 745 mod 751
32: 40732=40716+16=40716⋅40716 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 36 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 795251 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 7951=795
2: 7952=7951+1=7951⋅7951 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 672 mod 919
4: 7954=7952+2=7952⋅7952 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 355 mod 919
8: 7958=7954+4=7954⋅7954 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 122 mod 919
16: 79516=7958+8=7958⋅7958 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 180 mod 919
32: 79532=79516+16=79516⋅79516 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 235 mod 919
64: 79564=79532+32=79532⋅79532 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 85 mod 919
128: 795128=79564+64=79564⋅79564 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 792 mod 919
795251
= 795128+64+32+16+8+2+1
= 795128⋅79564⋅79532⋅79516⋅7958⋅7952⋅7951
≡ 792 ⋅ 85 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 67320 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 233 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 54755 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 534 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 96120 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 544 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 66368 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 200 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 134400 ⋅ 795 mod 919 ≡ 226 ⋅ 795 mod 919
≡ 179670 mod 919 ≡ 465 mod 919
Es gilt also: 795251 ≡ 465 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
