Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 124) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 124) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 124 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
124 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124
= 120
Somit gilt:
(300 - 124) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 100) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 100) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 100 mod 8) mod 8.
100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.
100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 100) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 499128 mod 593.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 534 mod 593
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 516 mod 593
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 592 mod 593
16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 1 mod 593
32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 593
64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 593
128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62974 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 6291=629
2: 6292=6291+1=6291⋅6291 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 554 mod 733
4: 6294=6292+2=6292⋅6292 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 522 mod 733
8: 6298=6294+4=6294⋅6294 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 541 mod 733
16: 62916=6298+8=6298⋅6298 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 214 mod 733
32: 62932=62916+16=62916⋅62916 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 350 mod 733
64: 62964=62932+32=62932⋅62932 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 89 mod 733
62974
= 62964+8+2
= 62964⋅6298⋅6292
≡ 89 ⋅ 541 ⋅ 554 mod 733
≡ 48149 ⋅ 554 mod 733 ≡ 504 ⋅ 554 mod 733
≡ 279216 mod 733 ≡ 676 mod 733
Es gilt also: 62974 ≡ 676 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.