Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 - 92) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 - 92) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 92 mod 3) mod 3.
5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92
= 90
Somit gilt:
(5997 - 92) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 81) mod 9 ≡ (78 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.
78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 81) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17316 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 180 mod 419
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 137 mod 419
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 333 mod 419
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 273 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 407117 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 4071=407
2: 4072=4071+1=4071⋅4071 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 480 mod 499
4: 4074=4072+2=4072⋅4072 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 361 mod 499
8: 4078=4074+4=4074⋅4074 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 82 mod 499
16: 40716=4078+8=4078⋅4078 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 237 mod 499
32: 40732=40716+16=40716⋅40716 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 281 mod 499
64: 40764=40732+32=40732⋅40732 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 119 mod 499
407117
= 40764+32+16+4+1
= 40764⋅40732⋅40716⋅4074⋅4071
≡ 119 ⋅ 281 ⋅ 237 ⋅ 361 ⋅ 407 mod 499
≡ 33439 ⋅ 237 ⋅ 361 ⋅ 407 mod 499 ≡ 6 ⋅ 237 ⋅ 361 ⋅ 407 mod 499
≡ 1422 ⋅ 361 ⋅ 407 mod 499 ≡ 424 ⋅ 361 ⋅ 407 mod 499
≡ 153064 ⋅ 407 mod 499 ≡ 370 ⋅ 407 mod 499
≡ 150590 mod 499 ≡ 391 mod 499
Es gilt also: 407117 ≡ 391 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.