Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 + 1600) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 + 1600) mod 4 ≡ (797 mod 4 + 1600 mod 4) mod 4.
797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 700
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(797 + 1600) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 77) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 77) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 77 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 77) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31532 mod 569.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 219 mod 569
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 165 mod 569
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 482 mod 569
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 172 mod 569
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 565 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 515225 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 5151=515
2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 293 mod 619
4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 427 mod 619
8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 343 mod 619
16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 39 mod 619
32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 283 mod 619
64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 238 mod 619
128: 515128=51564+64=51564⋅51564 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 315 mod 619
515225
= 515128+64+32+1
= 515128⋅51564⋅51532⋅5151
≡ 315 ⋅ 238 ⋅ 283 ⋅ 515 mod 619
≡ 74970 ⋅ 283 ⋅ 515 mod 619 ≡ 71 ⋅ 283 ⋅ 515 mod 619
≡ 20093 ⋅ 515 mod 619 ≡ 285 ⋅ 515 mod 619
≡ 146775 mod 619 ≡ 72 mod 619
Es gilt also: 515225 ≡ 72 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68
| =>79 | = 1⋅68 + 11 |
| =>68 | = 6⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 68-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1) |
| 11= 79-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -36⋅68
-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68
-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1
(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1
43⋅68 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1
Somit 43⋅68 = 1 mod 79
43 ist also das Inverse von 68 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.