Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 - 101) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 - 101) mod 5 ≡ (151 mod 5 - 101 mod 5) mod 5.
151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101
= 100
Somit gilt:
(151 - 101) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 96) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 96) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 96 mod 8) mod 8.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 96) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329128 mod 431.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 60 mod 431
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 152 mod 431
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 261 mod 431
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 23 mod 431
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 23⋅23=529 ≡ 98 mod 431
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 122 mod 431
128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 230 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 369144 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:
144 = 128+16
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 387 mod 397
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 100 mod 397
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 122 mod 397
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 195 mod 397
128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 310 mod 397
369144
= 369128+16
= 369128⋅36916
≡ 310 ⋅ 67 mod 397
≡ 20770 mod 397 ≡ 126 mod 397
Es gilt also: 369144 ≡ 126 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.