Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28000 + 207) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28000 + 207) mod 7 ≡ (28000 mod 7 + 207 mod 7) mod 7.
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
207 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 207
= 210
Somit gilt:
(28000 + 207) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 60) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 60) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 60) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28432 mod 647.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 428 mod 647
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 83 mod 647
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 419 mod 647
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 224 mod 647
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 357 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 800200 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 8001=800
2: 8002=8001+1=8001⋅8001 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 65 mod 977
4: 8004=8002+2=8002⋅8002 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 317 mod 977
8: 8008=8004+4=8004⋅8004 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 835 mod 977
16: 80016=8008+8=8008⋅8008 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 624 mod 977
32: 80032=80016+16=80016⋅80016 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 530 mod 977
64: 80064=80032+32=80032⋅80032 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 501 mod 977
128: 800128=80064+64=80064⋅80064 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 889 mod 977
800200
= 800128+64+8
= 800128⋅80064⋅8008
≡ 889 ⋅ 501 ⋅ 835 mod 977
≡ 445389 ⋅ 835 mod 977 ≡ 854 ⋅ 835 mod 977
≡ 713090 mod 977 ≡ 857 mod 977
Es gilt also: 800200 ≡ 857 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.