Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (299 + 126) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(299 + 126) mod 6 ≡ (299 mod 6 + 126 mod 6) mod 6.
299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299
= 300
126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126
= 120
Somit gilt:
(299 + 126) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 17) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 17) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.
23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 17) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6778 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 677 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6771=677
2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 637 mod 887
4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 410 mod 887
8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 457 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 423142 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 4231=423
2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 617 mod 719
4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 338 mod 719
8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 642 mod 719
16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 177 mod 719
32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 412 mod 719
64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 60 mod 719
128: 423128=42364+64=42364⋅42364 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 5 mod 719
423142
= 423128+8+4+2
= 423128⋅4238⋅4234⋅4232
≡ 5 ⋅ 642 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719
≡ 3210 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719 ≡ 334 ⋅ 338 ⋅ 617 mod 719
≡ 112892 ⋅ 617 mod 719 ≡ 9 ⋅ 617 mod 719
≡ 5553 mod 719 ≡ 520 mod 719
Es gilt also: 423142 ≡ 520 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.