Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(275 + 96) mod 9 ≡ (275 mod 9 + 96 mod 9) mod 9.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(275 + 96) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 90) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 90) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 433¹=433

2: 433²=433¹⁺¹=433¹⋅433¹ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 2 mod 599

4: 433⁴=433²⁺²=433²⋅433² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 599

8: 433⁸=433⁴⁺⁴=433⁴⋅433⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 599

16: 433¹⁶=433⁸⁺⁸=433⁸⋅433⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 599

32: 433³²=433¹⁶⁺¹⁶=433¹⁶⋅433¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 245 mod 599

64: 433⁶⁴=433³²⁺³²=433³²⋅433³² ≡ 245⋅245=60025 ≡ 125 mod 599

128: 433¹²⁸=433⁶⁴⁺⁶⁴=433⁶⁴⋅433⁶⁴ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 51 mod 599

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

270¹⁸³

= 270^{128+32+16+4+2+1}

= 270¹²⁸⋅270³²⋅270¹⁶⋅270⁴⋅270²⋅270¹

≡ 377 ⋅ 354 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
≡ 133458 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421 ≡ 1 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
≡ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
≡ 70308 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421 ≡ 1 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
≡ 67 ⋅ 270 mod 421
≡ 18090 mod 421 ≡ 408 mod 421

Es gilt also: 270¹⁸³ ≡ 408 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59

=>89	= 1⋅59 + 30
=>59	= 1⋅30 + 29
=>30	= 1⋅29 + 1
=>29	= 29⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 30-1⋅29
29= 59-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30) = 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1)
30= 89-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59) = -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59

oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅89 = -3⋅59

-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59

-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1

(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1

86⋅59 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1

Somit 86⋅59 = 1 mod 89

86 ist also das Inverse von 59 mod 89