Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 80) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 80) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.

15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 8 ⋅ 1875 +997.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(15997 - 80) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 41) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 41) mod 8 ≡ (15 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.

15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.

41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 41) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43716 mod 467.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4371=437

2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 433 mod 467

4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 222 mod 467

8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 249 mod 467

16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 483158 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 4831=483

2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 73 mod 911

4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 774 mod 911

8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 549 mod 911

16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 771 mod 911

32: 48332=48316+16=48316⋅48316 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 469 mod 911

64: 48364=48332+32=48332⋅48332 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 410 mod 911

128: 483128=48364+64=48364⋅48364 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 476 mod 911

483158

= 483128+16+8+4+2

= 483128⋅48316⋅4838⋅4834⋅4832

≡ 476 ⋅ 771 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 366996 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911 ≡ 774 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 424926 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911 ≡ 400 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 309600 ⋅ 73 mod 911 ≡ 771 ⋅ 73 mod 911
≡ 56283 mod 911 ≡ 712 mod 911

Es gilt also: 483158 ≡ 712 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22

=>53 = 2⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22)
= 5⋅53 -12⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -12⋅22

-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22

-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1

(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1

41⋅22 = 17⋅53 + 1

Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1

Somit 41⋅22 = 1 mod 53

41 ist also das Inverse von 22 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.