Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19998 + 1596) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 + 1596) mod 4 ≡ (19998 mod 4 + 1596 mod 4) mod 4.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

Somit gilt:

(19998 + 1596) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 45) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 45) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 45) mod 11 ≡ (3 ⋅ 1) mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2808 mod 367.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 229 mod 367

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 327 mod 367

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 132 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 462149 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 4621=462

2: 4622=4621+1=4621⋅4621 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 173 mod 509

4: 4624=4622+2=4622⋅4622 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 407 mod 509

8: 4628=4624+4=4624⋅4624 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 224 mod 509

16: 46216=4628+8=4628⋅4628 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 294 mod 509

32: 46232=46216+16=46216⋅46216 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 415 mod 509

64: 46264=46232+32=46232⋅46232 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 183 mod 509

128: 462128=46264+64=46264⋅46264 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 404 mod 509

462149

= 462128+16+4+1

= 462128⋅46216⋅4624⋅4621

404 ⋅ 294 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509
118776 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509 ≡ 179 ⋅ 407 ⋅ 462 mod 509
72853 ⋅ 462 mod 509 ≡ 66 ⋅ 462 mod 509
30492 mod 509 ≡ 461 mod 509

Es gilt also: 462149 ≡ 461 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.