Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 2000) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(8000 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 83) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 83) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 291¹=291

2: 291²=291¹⁺¹=291¹⋅291¹ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 69 mod 641

4: 291⁴=291²⁺²=291²⋅291² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

8: 291⁸=291⁴⁺⁴=291⁴⋅291⁴ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

16: 291¹⁶=291⁸⁺⁸=291⁸⋅291⁸ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

32: 291³²=291¹⁶⁺¹⁶=291¹⁶⋅291¹⁶ ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

64: 291⁶⁴=291³²⁺³²=291³²⋅291³² ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

128: 291¹²⁸=291⁶⁴⁺⁶⁴=291⁶⁴⋅291⁶⁴ ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

187¹⁷⁸

= 187^128+32+16+2

= 187¹²⁸⋅187³²⋅187¹⁶⋅187²

≡ 147 ⋅ 364 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431
≡ 53508 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431 ≡ 64 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431
≡ 10944 ⋅ 58 mod 431 ≡ 169 ⋅ 58 mod 431
≡ 9802 mod 431 ≡ 320 mod 431

Es gilt also: 187¹⁷⁸ ≡ 320 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67	= 1⋅50 + 17
=>50	= 2⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50) = -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67