Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20002 + 498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20002 + 498) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 498 mod 5) mod 5.
20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498
= 400
Somit gilt:
(20002 + 498) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 63) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 63) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 172128 mod 379.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 22 mod 379
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 22⋅22=484 ≡ 105 mod 379
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 34 mod 379
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 19 mod 379
32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 379
64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 324 mod 379
128: 172128=17264+64=17264⋅17264 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 372 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 523204 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 5231=523
2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 99 mod 739
4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 194 mod 739
8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 686 mod 739
16: 52316=5238+8=5238⋅5238 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 592 mod 739
32: 52332=52316+16=52316⋅52316 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 178 mod 739
64: 52364=52332+32=52332⋅52332 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 646 mod 739
128: 523128=52364+64=52364⋅52364 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 520 mod 739
523204
= 523128+64+8+4
= 523128⋅52364⋅5238⋅5234
≡ 520 ⋅ 646 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739
≡ 335920 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739 ≡ 414 ⋅ 686 ⋅ 194 mod 739
≡ 284004 ⋅ 194 mod 739 ≡ 228 ⋅ 194 mod 739
≡ 44232 mod 739 ≡ 631 mod 739
Es gilt also: 523204 ≡ 631 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53
| =>89 | = 1⋅53 + 36 |
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
| 36= 89-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53
oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅89 = +42⋅53
Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1
Somit 42⋅53 = 1 mod 89
42 ist also das Inverse von 53 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
