Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 16001) mod 8 ≡ (23995 mod 8 - 16001 mod 8) mod 8.

23995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 23000+995 = 8 ⋅ 2875 +995.

16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 8 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(23995 - 16001) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 23) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 23) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 522¹=522

2: 522²=522¹⁺¹=522¹⋅522¹ ≡ 522⋅522=272484 ≡ 532 mod 739

4: 522⁴=522²⁺²=522²⋅522² ≡ 532⋅532=283024 ≡ 726 mod 739

8: 522⁸=522⁴⁺⁴=522⁴⋅522⁴ ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739

16: 522¹⁶=522⁸⁺⁸=522⁸⋅522⁸ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739

32: 522³²=522¹⁶⁺¹⁶=522¹⁶⋅522¹⁶ ≡ 479⋅479=229441 ≡ 351 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

656²³³

= 656^{128+64+32+8+1}

= 656¹²⁸⋅656⁶⁴⋅656³²⋅656⁸⋅656¹

≡ 784 ⋅ 28 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
≡ 21952 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953 ≡ 33 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
≡ 22803 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953 ≡ 884 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
≡ 396032 ⋅ 656 mod 953 ≡ 537 ⋅ 656 mod 953
≡ 352272 mod 953 ≡ 615 mod 953

Es gilt also: 656²³³ ≡ 615 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73	= 2⋅25 + 23
=>25	= 1⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25) = -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73