Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (205 - 136) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(205 - 136) mod 7 ≡ (205 mod 7 - 136 mod 7) mod 7.
205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205
= 210
136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136
= 140
Somit gilt:
(205 - 136) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 44) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 44) mod 7 ≡ (99 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.
99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.
44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 44) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 233.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 18 mod 233
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 18⋅18=324 ≡ 91 mod 233
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 126 mod 233
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 381157 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 24 mod 479
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 24⋅24=576 ≡ 97 mod 479
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 308 mod 479
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 22 mod 479
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 22⋅22=484 ≡ 5 mod 479
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 479
128: 381128=38164+64=38164⋅38164 ≡ 25⋅25=625 ≡ 146 mod 479
381157
= 381128+16+8+4+1
= 381128⋅38116⋅3818⋅3814⋅3811
≡ 146 ⋅ 22 ⋅ 308 ⋅ 97 ⋅ 381 mod 479
≡ 3212 ⋅ 308 ⋅ 97 ⋅ 381 mod 479 ≡ 338 ⋅ 308 ⋅ 97 ⋅ 381 mod 479
≡ 104104 ⋅ 97 ⋅ 381 mod 479 ≡ 161 ⋅ 97 ⋅ 381 mod 479
≡ 15617 ⋅ 381 mod 479 ≡ 289 ⋅ 381 mod 479
≡ 110109 mod 479 ≡ 418 mod 479
Es gilt also: 381157 ≡ 418 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.