Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12006 - 5998) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12006 - 5998) mod 6 ≡ (12006 mod 6 - 5998 mod 6) mod 6.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(12006 - 5998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 88) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 88) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 88 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 88) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18032 mod 523.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 180 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1801=180

2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 497 mod 523

4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 153 mod 523

8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 397 mod 523

16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 186 mod 523

32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 78 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 194185 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 1941=194

2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 114 mod 257

4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 146 mod 257

8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 242 mod 257

16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257

32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257

64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

128: 194128=19464+64=19464⋅19464 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

194185

= 194128+32+16+8+1

= 194128⋅19432⋅19416⋅1948⋅1941

256 ⋅ 253 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
64768 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257 ≡ 4 ⋅ 225 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
900 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257 ≡ 129 ⋅ 242 ⋅ 194 mod 257
31218 ⋅ 194 mod 257 ≡ 121 ⋅ 194 mod 257
23474 mod 257 ≡ 87 mod 257

Es gilt also: 194185 ≡ 87 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.