Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3002 + 149) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3002 + 149) mod 3 ≡ (3002 mod 3 + 149 mod 3) mod 3.
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 150
Somit gilt:
(3002 + 149) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 26) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 26) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 26) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24616 mod 607.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 246 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 423 mod 607
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 471 mod 607
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 286 mod 607
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 458 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44672 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 586 mod 601
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 225 mod 601
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 141 mod 601
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 48 mod 601
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 501 mod 601
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 384 mod 601
44672
= 44664+8
= 44664⋅4468
≡ 384 ⋅ 141 mod 601
≡ 54144 mod 601 ≡ 54 mod 601
Es gilt also: 44672 ≡ 54 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44
| =>83 | = 1⋅44 + 39 |
| =>44 | = 1⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 44-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1) |
| 39= 83-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +17⋅44
Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1
Somit 17⋅44 = 1 mod 83
17 ist also das Inverse von 44 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.