Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2996 + 62) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2996 + 62) mod 6 ≡ (2996 mod 6 + 62 mod 6) mod 6.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 6 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(2996 + 62) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 83) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 83) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.

26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 83) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25216 mod 353.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 317 mod 353

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 237 mod 353

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 42 mod 353

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 352 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 804104 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 8041=804

2: 8042=8041+1=8041⋅8041 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 289 mod 821

4: 8044=8042+2=8042⋅8042 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 600 mod 821

8: 8048=8044+4=8044⋅8044 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 402 mod 821

16: 80416=8048+8=8048⋅8048 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 688 mod 821

32: 80432=80416+16=80416⋅80416 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 448 mod 821

64: 80464=80432+32=80432⋅80432 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 380 mod 821

804104

= 80464+32+8

= 80464⋅80432⋅8048

380 ⋅ 448 ⋅ 402 mod 821
170240 ⋅ 402 mod 821 ≡ 293 ⋅ 402 mod 821
117786 mod 821 ≡ 383 mod 821

Es gilt also: 804104 ≡ 383 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59

=>89 = 1⋅59 + 30
=>59 = 1⋅30 + 29
=>30 = 1⋅29 + 1
=>29 = 29⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 30-1⋅29
29= 59-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30)
= -1⋅59 +2⋅ 30 (=1)
30= 89-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59)
= 2⋅89 -3⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59

oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅89 = -3⋅59

-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59

-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1

(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1

86⋅59 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1

Somit 86⋅59 = 1 mod 89

86 ist also das Inverse von 59 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.