Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 2000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 2000) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 2000 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(8000 - 2000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 83) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 83) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 83) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291128 mod 641.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 69 mod 641

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 187178 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 1871=187

2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 58 mod 431

4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 347 mod 431

8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 160 mod 431

16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 171 mod 431

32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 364 mod 431

64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 179 mod 431

128: 187128=18764+64=18764⋅18764 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 147 mod 431

187178

= 187128+32+16+2

= 187128⋅18732⋅18716⋅1872

147 ⋅ 364 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431
53508 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431 ≡ 64 ⋅ 171 ⋅ 58 mod 431
10944 ⋅ 58 mod 431 ≡ 169 ⋅ 58 mod 431
9802 mod 431 ≡ 320 mod 431

Es gilt also: 187178 ≡ 320 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.