Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 + 900) mod 3 ≡ (601 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(601 + 900) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 38) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 38) mod 5 ≡ (86 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.
86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 38) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4218 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 527 mod 593
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 205 mod 593
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 515 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331116 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 473 mod 487
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 196 mod 487
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 430 mod 487
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 327 mod 487
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 276 mod 487
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 204 mod 487
331116
= 33164+32+16+4
= 33164⋅33132⋅33116⋅3314
≡ 204 ⋅ 276 ⋅ 327 ⋅ 196 mod 487
≡ 56304 ⋅ 327 ⋅ 196 mod 487 ≡ 299 ⋅ 327 ⋅ 196 mod 487
≡ 97773 ⋅ 196 mod 487 ≡ 373 ⋅ 196 mod 487
≡ 73108 mod 487 ≡ 58 mod 487
Es gilt also: 331116 ≡ 58 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63
| =>67 | = 1⋅63 + 4 |
| =>63 | = 15⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 63-15⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1) |
| 4= 67-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -17⋅63
-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63
-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1
(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1
50⋅63 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1
Somit 50⋅63 = 1 mod 67
50 ist also das Inverse von 63 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.