Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3609 + 8995) mod 9 ≡ (3609 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.

3609 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3609 = 3600+9 = 9 ⋅ 400 +9.

8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995 = 9000-5 = 9 ⋅ 1000 -5 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 4.

Somit gilt:

(3609 + 8995) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 38) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 38) mod 11 ≡ (6 ⋅ 5) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 329¹=329

2: 329²=329¹⁺¹=329¹⋅329¹ ≡ 329⋅329=108241 ≡ 457 mod 499

4: 329⁴=329²⁺²=329²⋅329² ≡ 457⋅457=208849 ≡ 267 mod 499

8: 329⁸=329⁴⁺⁴=329⁴⋅329⁴ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 431 mod 499

16: 329¹⁶=329⁸⁺⁸=329⁸⋅329⁸ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 133 mod 499

32: 329³²=329¹⁶⁺¹⁶=329¹⁶⋅329¹⁶ ≡ 133⋅133=17689 ≡ 224 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

295¹⁵⁸

= 295^128+16+8+4+2

= 295¹²⁸⋅295¹⁶⋅295⁸⋅295⁴⋅295²

≡ 232 ⋅ 298 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
≡ 69136 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463 ≡ 149 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
≡ 32482 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463 ≡ 72 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
≡ 25992 ⋅ 444 mod 463 ≡ 64 ⋅ 444 mod 463
≡ 28416 mod 463 ≡ 173 mod 463

Es gilt also: 295¹⁵⁸ ≡ 173 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71	= 1⋅60 + 11
=>60	= 5⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60) = -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71