Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (150 - 30) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 - 30) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(150 - 30) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 62) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 62) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 62) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7264 mod 229.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 721=72

2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 146 mod 229

4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 19 mod 229

8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229

16: 7216=728+8=728⋅728 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

32: 7232=7216+16=7216⋅7216 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

64: 7264=7232+32=7232⋅7232 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 227253 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

1: 2271=227

2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 136 mod 463

4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 439 mod 463

8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 113 mod 463

16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 268 mod 463

32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 59 mod 463

64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 240 mod 463

128: 227128=22764+64=22764⋅22764 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 188 mod 463

227253

= 227128+64+32+16+8+4+1

= 227128⋅22764⋅22732⋅22716⋅2278⋅2274⋅2271

188 ⋅ 240 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
45120 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 209 ⋅ 59 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
12331 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 293 ⋅ 268 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
78524 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 277 ⋅ 113 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
31301 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463 ≡ 280 ⋅ 439 ⋅ 227 mod 463
122920 ⋅ 227 mod 463 ≡ 225 ⋅ 227 mod 463
51075 mod 463 ≡ 145 mod 463

Es gilt also: 227253 ≡ 145 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67 = 2⋅28 + 11
=>28 = 2⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11)
= 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28)
= -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.