Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (799 - 16000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(799 - 16000) mod 4 ≡ (799 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(799 - 16000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 83) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 83) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 83) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5718 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 571 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5711=571
2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 538 mod 613
4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 108 mod 613
8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 17 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 500160 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 5001=500
2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 549 mod 691
4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 125 mod 691
8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 423 mod 691
16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 651 mod 691
32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 218 mod 691
64: 50064=50032+32=50032⋅50032 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 536 mod 691
128: 500128=50064+64=50064⋅50064 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 531 mod 691
500160
= 500128+32
= 500128⋅50032
≡ 531 ⋅ 218 mod 691
≡ 115758 mod 691 ≡ 361 mod 691
Es gilt also: 500160 ≡ 361 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.