Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40007 + 85) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40007 + 85) mod 8 ≡ (40007 mod 8 + 85 mod 8) mod 8.

40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007 = 40000+7 = 8 ⋅ 5000 +7.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80+5 = 8 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(40007 + 85) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 98) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 98) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 98 mod 10) mod 10.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 98) mod 10 ≡ (7 ⋅ 8) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 746128 mod 971.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 746 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7461=746

2: 7462=7461+1=7461⋅7461 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 133 mod 971

4: 7464=7462+2=7462⋅7462 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 211 mod 971

8: 7468=7464+4=7464⋅7464 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 826 mod 971

16: 74616=7468+8=7468⋅7468 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 634 mod 971

32: 74632=74616+16=74616⋅74616 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 933 mod 971

64: 74664=74632+32=74632⋅74632 ≡ 933⋅933=870489 ≡ 473 mod 971

128: 746128=74664+64=74664⋅74664 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 399 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37691 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

1: 3761=376

2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 475 mod 701

4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 604 mod 701

8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 296 mod 701

16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 692 mod 701

32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 81 mod 701

64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 252 mod 701

37691

= 37664+16+8+2+1

= 37664⋅37616⋅3768⋅3762⋅3761

252 ⋅ 692 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
174384 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701 ≡ 536 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
158656 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701 ≡ 230 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
109250 ⋅ 376 mod 701 ≡ 595 ⋅ 376 mod 701
223720 mod 701 ≡ 101 mod 701

Es gilt also: 37691 ≡ 101 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38

=>97 = 2⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 97-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38)
= -9⋅97 +23⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38

oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅97 = +23⋅38

Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1

Somit 23⋅38 = 1 mod 97

23 ist also das Inverse von 38 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.