Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7007 - 71) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7007 - 71) mod 7 ≡ (7007 mod 7 - 71 mod 7) mod 7.
7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007
= 7000
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71
= 70
Somit gilt:
(7007 - 71) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 31) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 31) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 31 mod 10) mod 10.
83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 31) mod 10 ≡ (3 ⋅ 1) mod 10 ≡ 3 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2178 mod 719.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 354 mod 719
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 210 mod 719
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 241 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 138157 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 1381=138
2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 83 mod 283
4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 97 mod 283
8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 70 mod 283
16: 13816=1388+8=1388⋅1388 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 89 mod 283
32: 13832=13816+16=13816⋅13816 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 280 mod 283
64: 13864=13832+32=13832⋅13832 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 9 mod 283
128: 138128=13864+64=13864⋅13864 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 283
138157
= 138128+16+8+4+1
= 138128⋅13816⋅1388⋅1384⋅1381
≡ 81 ⋅ 89 ⋅ 70 ⋅ 97 ⋅ 138 mod 283
≡ 7209 ⋅ 70 ⋅ 97 ⋅ 138 mod 283 ≡ 134 ⋅ 70 ⋅ 97 ⋅ 138 mod 283
≡ 9380 ⋅ 97 ⋅ 138 mod 283 ≡ 41 ⋅ 97 ⋅ 138 mod 283
≡ 3977 ⋅ 138 mod 283 ≡ 15 ⋅ 138 mod 283
≡ 2070 mod 283 ≡ 89 mod 283
Es gilt also: 138157 ≡ 89 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.