Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 15998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 15998) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 15998 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(8000 - 15998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 72) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 72) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 72) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2478 mod 509.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 247 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2471=247

2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 438 mod 509

4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509

8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192187 mod 379.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 101 mod 379

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 347 mod 379

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 266 mod 379

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 262 mod 379

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 45 mod 379

64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 130 mod 379

128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 224 mod 379

192187

= 192128+32+16+8+2+1

= 192128⋅19232⋅19216⋅1928⋅1922⋅1921

224 ⋅ 45 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
10080 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 226 ⋅ 262 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
59212 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 88 ⋅ 266 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
23408 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379 ≡ 289 ⋅ 101 ⋅ 192 mod 379
29189 ⋅ 192 mod 379 ≡ 6 ⋅ 192 mod 379
1152 mod 379 ≡ 15 mod 379

Es gilt also: 192187 ≡ 15 mod 379

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71 = 1⋅65 + 6
=>65 = 10⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6)
= -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65)
= 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.