Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (499 + 1501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(499 + 1501) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 1501 mod 5) mod 5.
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(499 + 1501) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 17) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 17) mod 11 ≡ (90 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 17) mod 11 ≡ (2 ⋅ 6) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8958 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 895 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8951=895
2: 8952=8951+1=8951⋅8951 ≡ 895⋅895=801025 ≡ 863 mod 983
4: 8954=8952+2=8952⋅8952 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 638 mod 983
8: 8958=8954+4=8954⋅8954 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 82 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331151 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 126 mod 509
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 97 mod 509
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 438 mod 509
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509
128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 376 mod 509
331151
= 331128+16+4+2+1
= 331128⋅33116⋅3314⋅3312⋅3311
≡ 376 ⋅ 438 ⋅ 97 ⋅ 126 ⋅ 331 mod 509
≡ 164688 ⋅ 97 ⋅ 126 ⋅ 331 mod 509 ≡ 281 ⋅ 97 ⋅ 126 ⋅ 331 mod 509
≡ 27257 ⋅ 126 ⋅ 331 mod 509 ≡ 280 ⋅ 126 ⋅ 331 mod 509
≡ 35280 ⋅ 331 mod 509 ≡ 159 ⋅ 331 mod 509
≡ 52629 mod 509 ≡ 202 mod 509
Es gilt also: 331151 ≡ 202 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39
| =>73 | = 1⋅39 + 34 |
| =>39 | = 1⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 39-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1) |
| 34= 73-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39
oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅73 = +15⋅39
Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1
Somit 15⋅39 = 1 mod 73
15 ist also das Inverse von 39 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.