Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (279 + 20993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(279 + 20993) mod 7 ≡ (279 mod 7 + 20993 mod 7) mod 7.
279 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 280
20993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20993
= 21000
Somit gilt:
(279 + 20993) mod 7 ≡ (6 + 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 68) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 68) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.
76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 68) mod 11 ≡ (10 ⋅ 2) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33332 mod 431.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 122 mod 431
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 230 mod 431
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 318 mod 431
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 270 mod 431
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 61 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 704177 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 7041=704
2: 7042=7041+1=7041⋅7041 ≡ 704⋅704=495616 ≡ 205 mod 761
4: 7044=7042+2=7042⋅7042 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 170 mod 761
8: 7048=7044+4=7044⋅7044 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 743 mod 761
16: 70416=7048+8=7048⋅7048 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 324 mod 761
32: 70432=70416+16=70416⋅70416 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 719 mod 761
64: 70464=70432+32=70432⋅70432 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 242 mod 761
128: 704128=70464+64=70464⋅70464 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761
704177
= 704128+32+16+1
= 704128⋅70432⋅70416⋅7041
≡ 728 ⋅ 719 ⋅ 324 ⋅ 704 mod 761
≡ 523432 ⋅ 324 ⋅ 704 mod 761 ≡ 625 ⋅ 324 ⋅ 704 mod 761
≡ 202500 ⋅ 704 mod 761 ≡ 74 ⋅ 704 mod 761
≡ 52096 mod 761 ≡ 348 mod 761
Es gilt also: 704177 ≡ 348 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.