Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (199 + 499) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(199 + 499) mod 5 ≡ (199 mod 5 + 499 mod 5) mod 5.
199 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 190
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
Somit gilt:
(199 + 499) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 79) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 79) mod 8 ≡ (26 mod 8 ⋅ 79 mod 8) mod 8.
26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 79) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2728 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 61 mod 601
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 115 mod 601
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 3 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37573 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 539 mod 787
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 118 mod 787
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 545 mod 787
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 326 mod 787
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 31 mod 787
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 31⋅31=961 ≡ 174 mod 787
37573
= 37564+8+1
= 37564⋅3758⋅3751
≡ 174 ⋅ 545 ⋅ 375 mod 787
≡ 94830 ⋅ 375 mod 787 ≡ 390 ⋅ 375 mod 787
≡ 146250 mod 787 ≡ 655 mod 787
Es gilt also: 37573 ≡ 655 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26
| =>61 | = 2⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26
oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅61 = -7⋅26
-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26
-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1
(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1
54⋅26 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1
Somit 54⋅26 = 1 mod 61
54 ist also das Inverse von 26 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.