Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4499 + 448) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4499 + 448) mod 9 ≡ (4499 mod 9 + 448 mod 9) mod 9.
4499 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4499
= 4500
448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448
= 450
Somit gilt:
(4499 + 448) mod 9 ≡ (8 + 7) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 15) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 15) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 15) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18964 mod 571.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 319 mod 571
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 123 mod 571
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 283 mod 571
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 149 mod 571
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 503 mod 571
64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 56 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47292 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 4721=472
2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 239 mod 947
4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 301 mod 947
8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 636 mod 947
16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 127 mod 947
32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 30 mod 947
64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 947
47292
= 47264+16+8+4
= 47264⋅47216⋅4728⋅4724
≡ 900 ⋅ 127 ⋅ 636 ⋅ 301 mod 947
≡ 114300 ⋅ 636 ⋅ 301 mod 947 ≡ 660 ⋅ 636 ⋅ 301 mod 947
≡ 419760 ⋅ 301 mod 947 ≡ 239 ⋅ 301 mod 947
≡ 71939 mod 947 ≡ 914 mod 947
Es gilt also: 47292 ≡ 914 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.