Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 - 1504) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(25000 - 1504) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 62) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 62 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.

62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 62) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 500¹=500

2: 500²=500¹⁺¹=500¹⋅500¹ ≡ 500⋅500=250000 ≡ 753 mod 887

4: 500⁴=500²⁺²=500²⋅500² ≡ 753⋅753=567009 ≡ 216 mod 887

8: 500⁸=500⁴⁺⁴=500⁴⋅500⁴ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 532 mod 887

16: 500¹⁶=500⁸⁺⁸=500⁸⋅500⁸ ≡ 532⋅532=283024 ≡ 71 mod 887

32: 500³²=500¹⁶⁺¹⁶=500¹⁶⋅500¹⁶ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 606 mod 887

64: 500⁶⁴=500³²⁺³²=500³²⋅500³² ≡ 606⋅606=367236 ≡ 18 mod 887

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

138¹²⁵

= 138^{64+32+16+8+4+1}

= 138⁶⁴⋅138³²⋅138¹⁶⋅138⁸⋅138⁴⋅138¹

≡ 67 ⋅ 164 ⋅ 177 ⋅ 155 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271
≡ 10988 ⋅ 177 ⋅ 155 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271 ≡ 148 ⋅ 177 ⋅ 155 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271
≡ 26196 ⋅ 155 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271 ≡ 180 ⋅ 155 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271
≡ 27900 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271 ≡ 258 ⋅ 56 ⋅ 138 mod 271
≡ 14448 ⋅ 138 mod 271 ≡ 85 ⋅ 138 mod 271
≡ 11730 mod 271 ≡ 77 mod 271

Es gilt also: 138¹²⁵ ≡ 77 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23

=>67	= 2⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -32⋅23

-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23

-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1

(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1

35⋅23 = 12⋅67 + 1

Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1

Somit 35⋅23 = 1 mod 67

35 ist also das Inverse von 23 mod 67