Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3198 - 8007) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3198 - 8007) mod 8 ≡ (3198 mod 8 - 8007 mod 8) mod 8.
3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198
= 3200
8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007
= 8000
Somit gilt:
(3198 - 8007) mod 8 ≡ (6 - 7) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 51) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 51) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 51) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32732 mod 499.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 143 mod 499
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 489 mod 499
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 100 mod 499
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 20 mod 499
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 633177 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 6331=633
2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 421 mod 827
4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 263 mod 827
8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 528 mod 827
16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 85 mod 827
32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 609 mod 827
64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 385 mod 827
128: 633128=63364+64=63364⋅63364 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 192 mod 827
633177
= 633128+32+16+1
= 633128⋅63332⋅63316⋅6331
≡ 192 ⋅ 609 ⋅ 85 ⋅ 633 mod 827
≡ 116928 ⋅ 85 ⋅ 633 mod 827 ≡ 321 ⋅ 85 ⋅ 633 mod 827
≡ 27285 ⋅ 633 mod 827 ≡ 821 ⋅ 633 mod 827
≡ 519693 mod 827 ≡ 337 mod 827
Es gilt also: 633177 ≡ 337 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.