Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (262 - 268) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(262 - 268) mod 9 ≡ (262 mod 9 - 268 mod 9) mod 9.
262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262
= 270
268 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 268
= 270
Somit gilt:
(262 - 268) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 53) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 53) mod 4 ≡ (87 mod 4 ⋅ 53 mod 4) mod 4.
87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 53) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22532 mod 479.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 330 mod 479
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 167 mod 479
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 107 mod 479
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 432 mod 479
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 293 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42996 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:
96 = 64+32
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 696 mod 719
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 529 mod 719
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 150 mod 719
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 211 mod 719
32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 662 mod 719
64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 373 mod 719
42996
= 42964+32
= 42964⋅42932
≡ 373 ⋅ 662 mod 719
≡ 246926 mod 719 ≡ 309 mod 719
Es gilt also: 42996 ≡ 309 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.