Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4001 + 803) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4001 + 803) mod 4 ≡ (4001 mod 4 + 803 mod 4) mod 4.
4001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
Somit gilt:
(4001 + 803) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 90) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 90) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 90) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27064 mod 461.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 62 mod 461
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 156 mod 461
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 364 mod 461
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 189 mod 461
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 224 mod 461
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 388 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 632127 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 6321=632
2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 675 mod 829
4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 504 mod 829
8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 342 mod 829
16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 75 mod 829
32: 63232=63216+16=63216⋅63216 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 651 mod 829
64: 63264=63232+32=63232⋅63232 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 182 mod 829
632127
= 63264+32+16+8+4+2+1
= 63264⋅63232⋅63216⋅6328⋅6324⋅6322⋅6321
≡ 182 ⋅ 651 ⋅ 75 ⋅ 342 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829
≡ 118482 ⋅ 75 ⋅ 342 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829 ≡ 764 ⋅ 75 ⋅ 342 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829
≡ 57300 ⋅ 342 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829 ≡ 99 ⋅ 342 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829
≡ 33858 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829 ≡ 698 ⋅ 504 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829
≡ 351792 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829 ≡ 296 ⋅ 675 ⋅ 632 mod 829
≡ 199800 ⋅ 632 mod 829 ≡ 11 ⋅ 632 mod 829
≡ 6952 mod 829 ≡ 320 mod 829
Es gilt also: 632127 ≡ 320 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52
| =>101 | = 1⋅52 + 49 |
| =>52 | = 1⋅49 + 3 |
| =>49 | = 16⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 49-16⋅3 | |||
| 3= 52-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1) |
| 49= 101-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52
oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅101 = -33⋅52
-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52
-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1
(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1
68⋅52 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1
Somit 68⋅52 = 1 mod 101
68 ist also das Inverse von 52 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
