Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5997 + 5998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5997 + 5998) mod 3 ≡ (5997 mod 3 + 5998 mod 3) mod 3.
5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997
= 6000
5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
Somit gilt:
(5997 + 5998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 75) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 75) mod 5 ≡ (82 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.
82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.
75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 75) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76732 mod 929.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 767 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7671=767
2: 7672=7671+1=7671⋅7671 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 232 mod 929
4: 7674=7672+2=7672⋅7672 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 871 mod 929
8: 7678=7674+4=7674⋅7674 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 577 mod 929
16: 76716=7678+8=7678⋅7678 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 347 mod 929
32: 76732=76716+16=76716⋅76716 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 568 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 252129 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 211 mod 379
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 178 mod 379
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 227 mod 379
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 364 mod 379
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 225 mod 379
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 218 mod 379
128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 149 mod 379
252129
= 252128+1
= 252128⋅2521
≡ 149 ⋅ 252 mod 379
≡ 37548 mod 379 ≡ 27 mod 379
Es gilt also: 252129 ≡ 27 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63
| =>79 | = 1⋅63 + 16 |
| =>63 | = 3⋅16 + 15 |
| =>16 | = 1⋅15 + 1 |
| =>15 | = 15⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-1⋅15 | |||
| 15= 63-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16) = -1⋅63 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 79-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63) = 4⋅79 -5⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -5⋅63
-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63
-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1
(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1
74⋅63 = 59⋅79 + 1
Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1
Somit 74⋅63 = 1 mod 79
74 ist also das Inverse von 63 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.