Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1000 + 4998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1000 + 4998) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 4998 mod 5) mod 5.
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
4998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4998
= 4000
Somit gilt:
(1000 + 4998) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 86) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 86) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 86 mod 9) mod 9.
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 86) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25016 mod 269.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 92 mod 269
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 125 mod 269
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 23 mod 269
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 23⋅23=529 ≡ 260 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 144148 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 385 mod 433
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 139 mod 433
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433
16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433
32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433
64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433
128: 144128=14464+64=14464⋅14464 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433
144148
= 144128+16+4
= 144128⋅14416⋅1444
≡ 22 ⋅ 50 ⋅ 139 mod 433
≡ 1100 ⋅ 139 mod 433 ≡ 234 ⋅ 139 mod 433
≡ 32526 mod 433 ≡ 51 mod 433
Es gilt also: 144148 ≡ 51 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.