Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (604 - 1805) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(604 - 1805) mod 6 ≡ (604 mod 6 - 1805 mod 6) mod 6.

604 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 604 = 600+4 = 6 ⋅ 100 +4.

1805 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 6 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(604 - 1805) mod 6 ≡ (4 - 5) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 25) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 25) mod 7 ≡ (69 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 25) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32832 mod 431.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 265 mod 431

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 403 mod 431

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 353 mod 431

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 50 mod 431

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 345 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 445255 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 386 mod 661

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 271 mod 661

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 70 mod 661

16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 273 mod 661

32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 497 mod 661

64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 456 mod 661

128: 445128=44564+64=44564⋅44564 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 382 mod 661

445255

= 445128+64+32+16+8+4+2+1

= 445128⋅44564⋅44532⋅44516⋅4458⋅4454⋅4452⋅4451

382 ⋅ 456 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
174192 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 349 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
173453 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 271 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
73983 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 612 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
42840 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 536 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
145256 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 497 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
191842 ⋅ 445 mod 661 ≡ 152 ⋅ 445 mod 661
67640 mod 661 ≡ 218 mod 661

Es gilt also: 445255 ≡ 218 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61 = 2⋅25 + 11
=>25 = 2⋅11 + 3
=>11 = 3⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3)
= -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11)
= 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25)
= -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.