Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25000 - 2000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (25000 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(25000 - 2000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 36) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 36) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 36) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35832 mod 433.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 358 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3581=358
2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 429 mod 433
4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 16 mod 433
8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 433
16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433
32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 335121 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 145 mod 467
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 10 mod 467
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 467
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 193 mod 467
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 356 mod 467
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 179 mod 467
335121
= 33564+32+16+8+1
= 33564⋅33532⋅33516⋅3358⋅3351
≡ 179 ⋅ 356 ⋅ 193 ⋅ 100 ⋅ 335 mod 467
≡ 63724 ⋅ 193 ⋅ 100 ⋅ 335 mod 467 ≡ 212 ⋅ 193 ⋅ 100 ⋅ 335 mod 467
≡ 40916 ⋅ 100 ⋅ 335 mod 467 ≡ 287 ⋅ 100 ⋅ 335 mod 467
≡ 28700 ⋅ 335 mod 467 ≡ 213 ⋅ 335 mod 467
≡ 71355 mod 467 ≡ 371 mod 467
Es gilt also: 335121 ≡ 371 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.