Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 + 2002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 + 2002) mod 5 ≡ (2504 mod 5 + 2002 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(2504 + 2002) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 67) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 67) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 67) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14064 mod 337.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 54 mod 337
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 220 mod 337
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 209 mod 337
16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 208 mod 337
32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49785 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 55 mod 521
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 420 mod 521
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 302 mod 521
16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 29 mod 521
32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 29⋅29=841 ≡ 320 mod 521
64: 49764=49732+32=49732⋅49732 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 284 mod 521
49785
= 49764+16+4+1
= 49764⋅49716⋅4974⋅4971
≡ 284 ⋅ 29 ⋅ 420 ⋅ 497 mod 521
≡ 8236 ⋅ 420 ⋅ 497 mod 521 ≡ 421 ⋅ 420 ⋅ 497 mod 521
≡ 176820 ⋅ 497 mod 521 ≡ 201 ⋅ 497 mod 521
≡ 99897 mod 521 ≡ 386 mod 521
Es gilt also: 49785 ≡ 386 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.