Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 1604) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 1604 mod 4) mod 4.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(2003 - 1604) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 98) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.

24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 98) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 489¹=489

2: 489²=489¹⁺¹=489¹⋅489¹ ≡ 489⋅489=239121 ≡ 187 mod 619

4: 489⁴=489²⁺²=489²⋅489² ≡ 187⋅187=34969 ≡ 305 mod 619

8: 489⁸=489⁴⁺⁴=489⁴⋅489⁴ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 175 mod 619

16: 489¹⁶=489⁸⁺⁸=489⁸⋅489⁸ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 294 mod 619

32: 489³²=489¹⁶⁺¹⁶=489¹⁶⋅489¹⁶ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 395 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

178²¹³

= 178^{128+64+16+4+1}

= 178¹²⁸⋅178⁶⁴⋅178¹⁶⋅178⁴⋅178¹

≡ 38 ⋅ 113 ⋅ 234 ⋅ 69 ⋅ 178 mod 439
≡ 4294 ⋅ 234 ⋅ 69 ⋅ 178 mod 439 ≡ 343 ⋅ 234 ⋅ 69 ⋅ 178 mod 439
≡ 80262 ⋅ 69 ⋅ 178 mod 439 ≡ 364 ⋅ 69 ⋅ 178 mod 439
≡ 25116 ⋅ 178 mod 439 ≡ 93 ⋅ 178 mod 439
≡ 16554 mod 439 ≡ 311 mod 439

Es gilt also: 178²¹³ ≡ 311 mod 439

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79	= 1⋅41 + 38
=>41	= 1⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41) = 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79