Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1398 - 67) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1398 - 67) mod 7 ≡ (1398 mod 7 - 67 mod 7) mod 7.

1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398 = 1400-2 = 7 ⋅ 200 -2 = 7 ⋅ 200 - 7 + 5.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

Somit gilt:

(1398 - 67) mod 7 ≡ (5 - 4) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 54) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 54) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 54 mod 7) mod 7.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 54) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39816 mod 607.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3981=398

2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 584 mod 607

4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 529 mod 607

8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 14 mod 607

16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 365119 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 3651=365

2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 642 mod 709

4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 235 mod 709

8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 632 mod 709

16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 257 mod 709

32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 112 mod 709

64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 491 mod 709

365119

= 36564+32+16+4+2+1

= 36564⋅36532⋅36516⋅3654⋅3652⋅3651

491 ⋅ 112 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
54992 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 399 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
102543 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 447 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
105045 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 113 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
72546 ⋅ 365 mod 709 ≡ 228 ⋅ 365 mod 709
83220 mod 709 ≡ 267 mod 709

Es gilt also: 365119 ≡ 267 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32

=>71 = 2⋅32 + 7
=>32 = 4⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 32-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7)
= 2⋅32 -9⋅ 7 (=1)
7= 71-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32)
= -9⋅71 +20⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +20⋅32

Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1

Somit 20⋅32 = 1 mod 71

20 ist also das Inverse von 32 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.