Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 + 1498) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(30 + 1498) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 24) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 24) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 401.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 302 mod 401
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 177 mod 401
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 51 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 332133 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 242 mod 433
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 109 mod 433
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 190 mod 433
16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 161 mod 433
32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433
64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
128: 332128=33264+64=33264⋅33264 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 433
332133
= 332128+4+1
= 332128⋅3324⋅3321
≡ 289 ⋅ 109 ⋅ 332 mod 433
≡ 31501 ⋅ 332 mod 433 ≡ 325 ⋅ 332 mod 433
≡ 107900 mod 433 ≡ 83 mod 433
Es gilt also: 332133 ≡ 83 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60
| =>101 | = 1⋅60 + 41 |
| =>60 | = 1⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 60-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1) |
| 41= 101-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +32⋅60
Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1
Somit 32⋅60 = 1 mod 101
32 ist also das Inverse von 60 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.