Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 + 8997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 + 8997) mod 3 ≡ (32 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32
= 30
8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
Somit gilt:
(32 + 8997) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 92) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 92) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74964 mod 809.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 749 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7491=749
2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 364 mod 809
4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 629 mod 809
8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 40 mod 809
16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 791 mod 809
32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 791⋅791=625681 ≡ 324 mod 809
64: 74964=74932+32=74932⋅74932 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 615 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29568 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 2951=295
2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 434 mod 661
4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 632 mod 661
8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 180 mod 661
16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 11 mod 661
32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 661
64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 99 mod 661
29568
= 29564+4
= 29564⋅2954
≡ 99 ⋅ 632 mod 661
≡ 62568 mod 661 ≡ 434 mod 661
Es gilt also: 29568 ≡ 434 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84
| =>101 | = 1⋅84 + 17 |
| =>84 | = 4⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 84-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -6⋅84
-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84
-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1
(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1
95⋅84 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1
Somit 95⋅84 = 1 mod 101
95 ist also das Inverse von 84 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.