Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 + 35006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 + 35006) mod 7 ≡ (63 mod 7 + 35006 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 70
35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006
= 35000
Somit gilt:
(63 + 35006) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 24) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 24) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40332 mod 479.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 28 mod 479
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 28⋅28=784 ≡ 305 mod 479
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 99 mod 479
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 221 mod 479
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 462 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 81224 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 811=81
2: 812=811+1=811⋅811 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 205 mod 227
4: 814=812+2=812⋅812 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 30 mod 227
8: 818=814+4=814⋅814 ≡ 30⋅30=900 ≡ 219 mod 227
16: 8116=818+8=818⋅818 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 64 mod 227
32: 8132=8116+16=8116⋅8116 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 10 mod 227
64: 8164=8132+32=8132⋅8132 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 227
128: 81128=8164+64=8164⋅8164 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 12 mod 227
81224
= 81128+64+32
= 81128⋅8164⋅8132
≡ 12 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 227
≡ 1200 ⋅ 10 mod 227 ≡ 65 ⋅ 10 mod 227
≡ 650 mod 227 ≡ 196 mod 227
Es gilt also: 81224 ≡ 196 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44
| =>83 | = 1⋅44 + 39 |
| =>44 | = 1⋅39 + 5 |
| =>39 | = 7⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 39-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1) |
| 5= 44-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1) |
| 39= 83-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +17⋅44
Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1
Somit 17⋅44 = 1 mod 83
17 ist also das Inverse von 44 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.