Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32005 - 3207) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32005 - 3207) mod 8 ≡ (32005 mod 8 - 3207 mod 8) mod 8.
32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005
= 32000
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
Somit gilt:
(32005 - 3207) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 26) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 26) mod 8 ≡ (36 mod 8 ⋅ 26 mod 8) mod 8.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 26) mod 8 ≡ (4 ⋅ 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7598 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 759 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7591=759
2: 7592=7591+1=7591⋅7591 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 628 mod 977
4: 7594=7592+2=7592⋅7592 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 653 mod 977
8: 7598=7594+4=7594⋅7594 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 437 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 760246 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 7601=760
2: 7602=7601+1=7601⋅7601 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 81 mod 769
4: 7604=7602+2=7602⋅7602 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769
8: 7608=7604+4=7604⋅7604 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769
16: 76016=7608+8=7608⋅7608 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769
32: 76032=76016+16=76016⋅76016 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769
64: 76064=76032+32=76032⋅76032 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769
128: 760128=76064+64=76064⋅76064 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769
760246
= 760128+64+32+16+4+2
= 760128⋅76064⋅76032⋅76016⋅7604⋅7602
≡ 408 ⋅ 360 ⋅ 408 ⋅ 360 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769
≡ 146880 ⋅ 408 ⋅ 360 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769 ≡ 1 ⋅ 408 ⋅ 360 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769
≡ 408 ⋅ 360 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769
≡ 146880 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769 ≡ 1 ⋅ 409 ⋅ 81 mod 769
≡ 409 ⋅ 81 mod 769
≡ 33129 mod 769 ≡ 62 mod 769
Es gilt also: 760246 ≡ 62 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.