Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 - 2800) mod 7 ≡ (75 mod 7 - 2800 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70+5 = 7 ⋅ 10 +5.

2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800 = 2800+0 = 7 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(75 - 2800) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 152¹=152

2: 152²=152¹⁺¹=152¹⋅152¹ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 280 mod 317

4: 152⁴=152²⁺²=152²⋅152² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 101 mod 317

8: 152⁸=152⁴⁺⁴=152⁴⋅152⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 57 mod 317

16: 152¹⁶=152⁸⁺⁸=152⁸⋅152⁸ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 79 mod 317

32: 152³²=152¹⁶⁺¹⁶=152¹⁶⋅152¹⁶ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317

64: 152⁶⁴=152³²⁺³²=152³²⋅152³² ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317

128: 152¹²⁸=152⁶⁴⁺⁶⁴=152⁶⁴⋅152⁶⁴ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

725¹⁴³

= 725^128+8+4+2+1

= 725¹²⁸⋅725⁸⋅725⁴⋅725²⋅725¹

≡ 335 ⋅ 869 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 291115 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907 ≡ 875 ⋅ 569 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 497875 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907 ≡ 839 ⋅ 472 ⋅ 725 mod 907
≡ 396008 ⋅ 725 mod 907 ≡ 556 ⋅ 725 mod 907
≡ 403100 mod 907 ≡ 392 mod 907

Es gilt also: 725¹⁴³ ≡ 392 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67	= 1⋅40 + 27
=>40	= 1⋅27 + 13
=>27	= 2⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27) = 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40) = -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67