Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3598 + 3595) mod 9 ≡ (3598 mod 9 + 3595 mod 9) mod 9.

3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598 = 3600-2 = 9 ⋅ 400 -2 = 9 ⋅ 400 - 9 + 7.

3595 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3595 = 3600-5 = 9 ⋅ 400 -5 = 9 ⋅ 400 - 9 + 4.

Somit gilt:

(3598 + 3595) mod 9 ≡ (7 + 4) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 23) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 23) mod 10 ≡ (6 ⋅ 3) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 203¹=203

2: 203²=203¹⁺¹=203¹⋅203¹ ≡ 203⋅203=41209 ≡ 181 mod 263

4: 203⁴=203²⁺²=203²⋅203² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 149 mod 263

8: 203⁸=203⁴⁺⁴=203⁴⋅203⁴ ≡ 149⋅149=22201 ≡ 109 mod 263

16: 203¹⁶=203⁸⁺⁸=203⁸⋅203⁸ ≡ 109⋅109=11881 ≡ 46 mod 263

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

270²¹⁵

= 270^{128+64+16+4+2+1}

= 270¹²⁸⋅270⁶⁴⋅270¹⁶⋅270⁴⋅270²⋅270¹

≡ 409 ⋅ 267 ⋅ 169 ⋅ 370 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443
≡ 109203 ⋅ 169 ⋅ 370 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443 ≡ 225 ⋅ 169 ⋅ 370 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443
≡ 38025 ⋅ 370 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443 ≡ 370 ⋅ 370 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443
≡ 136900 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443 ≡ 13 ⋅ 248 ⋅ 270 mod 443
≡ 3224 ⋅ 270 mod 443 ≡ 123 ⋅ 270 mod 443
≡ 33210 mod 443 ≡ 428 mod 443

Es gilt also: 270²¹⁵ ≡ 428 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67