Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 - 1003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 - 1003) mod 5 ≡ (2001 mod 5 - 1003 mod 5) mod 5.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(2001 - 1003) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 49) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 49) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 49) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 676128 mod 911.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 676 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6761=676

2: 6762=6761+1=6761⋅6761 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 565 mod 911

4: 6764=6762+2=6762⋅6762 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 375 mod 911

8: 6768=6764+4=6764⋅6764 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 331 mod 911

16: 67616=6768+8=6768⋅6768 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 241 mod 911

32: 67632=67616+16=67616⋅67616 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 688 mod 911

64: 67664=67632+32=67632⋅67632 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 535 mod 911

128: 676128=67664+64=67664⋅67664 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 171 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 134106 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

1: 1341=134

2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 306 mod 353

4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 91 mod 353

8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 162 mod 353

16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 122 mod 353

32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 58 mod 353

64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

134106

= 13464+32+8+2

= 13464⋅13432⋅1348⋅1342

187 ⋅ 58 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353
10846 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353 ≡ 256 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353
41472 ⋅ 306 mod 353 ≡ 171 ⋅ 306 mod 353
52326 mod 353 ≡ 82 mod 353

Es gilt also: 134106 ≡ 82 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67 = 1⋅38 + 29
=>38 = 1⋅29 + 9
=>29 = 3⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9)
= -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29)
= 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38)
= -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.