Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2405 + 117) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2405 + 117) mod 6 ≡ (2405 mod 6 + 117 mod 6) mod 6.
2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405
= 2400
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(2405 + 117) mod 6 ≡ (5 + 3) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 98) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 98) mod 4 ≡ (66 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 98) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 682128 mod 887.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 682 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6821=682
2: 6822=6821+1=6821⋅6821 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 336 mod 887
4: 6824=6822+2=6822⋅6822 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 247 mod 887
8: 6828=6824+4=6824⋅6824 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 693 mod 887
16: 68216=6828+8=6828⋅6828 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 382 mod 887
32: 68232=68216+16=68216⋅68216 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 456 mod 887
64: 68264=68232+32=68232⋅68232 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 378 mod 887
128: 682128=68264+64=68264⋅68264 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 77 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 421178 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 481 mod 491
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 100 mod 491
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 180 mod 491
16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 485 mod 491
32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 36 mod 491
64: 42164=42132+32=42132⋅42132 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 314 mod 491
128: 421128=42164+64=42164⋅42164 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 396 mod 491
421178
= 421128+32+16+2
= 421128⋅42132⋅42116⋅4212
≡ 396 ⋅ 36 ⋅ 485 ⋅ 481 mod 491
≡ 14256 ⋅ 485 ⋅ 481 mod 491 ≡ 17 ⋅ 485 ⋅ 481 mod 491
≡ 8245 ⋅ 481 mod 491 ≡ 389 ⋅ 481 mod 491
≡ 187109 mod 491 ≡ 38 mod 491
Es gilt also: 421178 ≡ 38 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
