Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23997 + 304) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23997 + 304) mod 6 ≡ (23997 mod 6 + 304 mod 6) mod 6.

23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997 = 24000-3 = 6 ⋅ 4000 -3 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 3.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(23997 + 304) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 44) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 44) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 44) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4198 mod 751.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 578 mod 751

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 640 mod 751

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 305 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 446161 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

1: 4461=446

2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 208 mod 571

4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 439 mod 571

8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 294 mod 571

16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 215 mod 571

32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 545 mod 571

64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 105 mod 571

128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 176 mod 571

446161

= 446128+32+1

= 446128⋅44632⋅4461

176 ⋅ 545 ⋅ 446 mod 571
95920 ⋅ 446 mod 571 ≡ 563 ⋅ 446 mod 571
251098 mod 571 ≡ 429 mod 571

Es gilt also: 446161 ≡ 429 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.