Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18001 + 1194) mod 6 ≡ (18001 mod 6 + 1194 mod 6) mod 6.

18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001 = 18000+1 = 6 ⋅ 3000 +1.

1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194 = 1200-6 = 6 ⋅ 200 -6 = 6 ⋅ 200 - 6 + 0.

Somit gilt:

(18001 + 1194) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 47) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 47) mod 11 ≡ (1 ⋅ 3) mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 598¹=598

2: 598²=598¹⁺¹=598¹⋅598¹ ≡ 598⋅598=357604 ≡ 96 mod 643

4: 598⁴=598²⁺²=598²⋅598² ≡ 96⋅96=9216 ≡ 214 mod 643

8: 598⁸=598⁴⁺⁴=598⁴⋅598⁴ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 143 mod 643

16: 598¹⁶=598⁸⁺⁸=598⁸⋅598⁸ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 516 mod 643

32: 598³²=598¹⁶⁺¹⁶=598¹⁶⋅598¹⁶ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 54 mod 643

64: 598⁶⁴=598³²⁺³²=598³²⋅598³² ≡ 54⋅54=2916 ≡ 344 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

351¹⁵⁸

= 351^128+16+8+4+2

= 351¹²⁸⋅351¹⁶⋅351⁸⋅351⁴⋅351²

≡ 650 ⋅ 424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 275600 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739 ≡ 692 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 338388 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739 ≡ 665 ⋅ 604 ⋅ 527 mod 739
≡ 401660 ⋅ 527 mod 739 ≡ 383 ⋅ 527 mod 739
≡ 201841 mod 739 ≡ 94 mod 739

Es gilt also: 351¹⁵⁸ ≡ 94 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59