Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (595 - 244) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(595 - 244) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 244 mod 6) mod 6.
595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595
= 600
244 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
Somit gilt:
(595 - 244) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 24) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 24) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10764 mod 307.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 107 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 90 mod 307
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 118 mod 307
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 109 mod 307
16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 215 mod 307
32: 10732=10716+16=10716⋅10716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 175 mod 307
64: 10764=10732+32=10732⋅10732 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 232 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 464138 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 4641=464
2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 510 mod 751
4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 254 mod 751
8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 681 mod 751
16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 394 mod 751
32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 530 mod 751
64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 26 mod 751
128: 464128=46464+64=46464⋅46464 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 751
464138
= 464128+8+2
= 464128⋅4648⋅4642
≡ 676 ⋅ 681 ⋅ 510 mod 751
≡ 460356 ⋅ 510 mod 751 ≡ 744 ⋅ 510 mod 751
≡ 379440 mod 751 ≡ 185 mod 751
Es gilt also: 464138 ≡ 185 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.