Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 + 20005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 + 20005) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
Somit gilt:
(100 + 20005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 65) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 65) mod 11 ≡ (9 ⋅ 10) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47332 mod 919.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 473 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4731=473
2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 412 mod 919
4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 648 mod 919
8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 840 mod 919
16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 727 mod 919
32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 104 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 485105 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 36 mod 491
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 314 mod 491
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 396 mod 491
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 187 mod 491
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 108 mod 491
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 371 mod 491
485105
= 48564+32+8+1
= 48564⋅48532⋅4858⋅4851
≡ 371 ⋅ 108 ⋅ 396 ⋅ 485 mod 491
≡ 40068 ⋅ 396 ⋅ 485 mod 491 ≡ 297 ⋅ 396 ⋅ 485 mod 491
≡ 117612 ⋅ 485 mod 491 ≡ 263 ⋅ 485 mod 491
≡ 127555 mod 491 ≡ 386 mod 491
Es gilt also: 485105 ≡ 386 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35
| =>53 | = 1⋅35 + 18 |
| =>35 | = 1⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 35-1⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1) |
| 18= 53-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -3⋅35
-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35
-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1
(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1
50⋅35 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1
Somit 50⋅35 = 1 mod 53
50 ist also das Inverse von 35 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.