Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2005 + 2501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2005 + 2501) mod 5 ≡ (2005 mod 5 + 2501 mod 5) mod 5.
2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005
= 2000
2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501
= 2500
Somit gilt:
(2005 + 2501) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 44) mod 6 ≡ (44 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 44) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31564 mod 467.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 221 mod 467
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 273 mod 467
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 276 mod 467
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258231 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 46 mod 421
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 11 mod 421
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 421
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 327 mod 421
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 416 mod 421
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 25 mod 421
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 25⋅25=625 ≡ 204 mod 421
258231
= 258128+64+32+4+2+1
= 258128⋅25864⋅25832⋅2584⋅2582⋅2581
≡ 204 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 5100 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 48 ⋅ 416 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 19968 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 181 ⋅ 11 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 1991 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421 ≡ 307 ⋅ 46 ⋅ 258 mod 421
≡ 14122 ⋅ 258 mod 421 ≡ 229 ⋅ 258 mod 421
≡ 59082 mod 421 ≡ 142 mod 421
Es gilt also: 258231 ≡ 142 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
