Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23994 + 1794) mod 6 ≡ (23994 mod 6 + 1794 mod 6) mod 6.

23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994 = 24000-6 = 6 ⋅ 4000 -6 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 0.

1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 6 ⋅ 300 -6 = 6 ⋅ 300 - 6 + 0.

Somit gilt:

(23994 + 1794) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 91) mod 7 ≡ (85 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.

85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 91) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 278¹=278

2: 278²=278¹⁺¹=278¹⋅278¹ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 105 mod 683

4: 278⁴=278²⁺²=278²⋅278² ≡ 105⋅105=11025 ≡ 97 mod 683

8: 278⁸=278⁴⁺⁴=278⁴⋅278⁴ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 530 mod 683

16: 278¹⁶=278⁸⁺⁸=278⁸⋅278⁸ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 187 mod 683

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

280¹²³

= 280^{64+32+16+8+2+1}

= 280⁶⁴⋅280³²⋅280¹⁶⋅280⁸⋅280²⋅280¹

≡ 536 ⋅ 105 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 56280 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 133 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 72618 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 429 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 222222 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 102 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 4182 ⋅ 280 mod 617 ≡ 480 ⋅ 280 mod 617
≡ 134400 mod 617 ≡ 511 mod 617

Es gilt also: 280¹²³ ≡ 511 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61	= 2⋅25 + 11
=>25	= 2⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25) = 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61