Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (803 + 158) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(803 + 158) mod 4 ≡ (803 mod 4 + 158 mod 4) mod 4.
803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
Somit gilt:
(803 + 158) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 41) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 41) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 41 mod 3) mod 3.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 41) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25332 mod 601.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 253 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 303 mod 601
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 457 mod 601
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318109 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 238 mod 691
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 673 mod 691
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 324 mod 691
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 635 mod 691
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 372 mod 691
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 184 mod 691
318109
= 31864+32+8+4+1
= 31864⋅31832⋅3188⋅3184⋅3181
≡ 184 ⋅ 372 ⋅ 324 ⋅ 673 ⋅ 318 mod 691
≡ 68448 ⋅ 324 ⋅ 673 ⋅ 318 mod 691 ≡ 39 ⋅ 324 ⋅ 673 ⋅ 318 mod 691
≡ 12636 ⋅ 673 ⋅ 318 mod 691 ≡ 198 ⋅ 673 ⋅ 318 mod 691
≡ 133254 ⋅ 318 mod 691 ≡ 582 ⋅ 318 mod 691
≡ 185076 mod 691 ≡ 579 mod 691
Es gilt also: 318109 ≡ 579 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.