Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35000 + 285) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35000 + 285) mod 7 ≡ (35000 mod 7 + 285 mod 7) mod 7.
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285
= 280
Somit gilt:
(35000 + 285) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 16) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 16) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.
21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.
16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 16) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33464 mod 359.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 266 mod 359
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 33 mod 359
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 12 mod 359
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 359
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 273 mod 359
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 216 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 312157 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 107 mod 479
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 432 mod 479
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 293 mod 479
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 108 mod 479
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 168 mod 479
64: 31264=31232+32=31232⋅31232 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 442 mod 479
128: 312128=31264+64=31264⋅31264 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 411 mod 479
312157
= 312128+16+8+4+1
= 312128⋅31216⋅3128⋅3124⋅3121
≡ 411 ⋅ 108 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 44388 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479 ≡ 320 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 93760 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479 ≡ 355 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 153360 ⋅ 312 mod 479 ≡ 80 ⋅ 312 mod 479
≡ 24960 mod 479 ≡ 52 mod 479
Es gilt also: 312157 ≡ 52 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
