Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28005 + 21002) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28005 + 21002) mod 7 ≡ (28005 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(28005 + 21002) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 18) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 18) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 18 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 18) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20016 mod 229.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 200 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 154 mod 229

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 129 mod 229

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 384232 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 3841=384

2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 403 mod 479

4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 28 mod 479

8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 28⋅28=784 ≡ 305 mod 479

16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 99 mod 479

32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 221 mod 479

64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 462 mod 479

128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 289 mod 479

384232

= 384128+64+32+8

= 384128⋅38464⋅38432⋅3848

289 ⋅ 462 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479
133518 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479 ≡ 356 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479
78676 ⋅ 305 mod 479 ≡ 120 ⋅ 305 mod 479
36600 mod 479 ≡ 196 mod 479

Es gilt also: 384232 ≡ 196 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.