Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28005 + 21002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28005 + 21002) mod 7 ≡ (28005 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.
28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005
= 28000
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
Somit gilt:
(28005 + 21002) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 18) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 18) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 18 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 18) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20016 mod 229.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 200 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2001=200
2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 154 mod 229
4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 129 mod 229
8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 384232 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 3841=384
2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 403 mod 479
4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 28 mod 479
8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 28⋅28=784 ≡ 305 mod 479
16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 99 mod 479
32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 221 mod 479
64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 462 mod 479
128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 289 mod 479
384232
= 384128+64+32+8
= 384128⋅38464⋅38432⋅3848
≡ 289 ⋅ 462 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479
≡ 133518 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479 ≡ 356 ⋅ 221 ⋅ 305 mod 479
≡ 78676 ⋅ 305 mod 479 ≡ 120 ⋅ 305 mod 479
≡ 36600 mod 479 ≡ 196 mod 479
Es gilt also: 384232 ≡ 196 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.