Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 8002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 8002) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 8002 mod 4) mod 4.
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002
= 8000
Somit gilt:
(122 - 8002) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 69) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 69) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.
42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 69) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47716 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 498 mod 569
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 489 mod 569
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 141 mod 569
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 535 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 610141 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:
141 = 128+8+4+1
1: 6101=610
2: 6102=6101+1=6101⋅6101 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 320 mod 641
4: 6104=6102+2=6102⋅6102 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 481 mod 641
8: 6108=6104+4=6104⋅6104 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 601 mod 641
16: 61016=6108+8=6108⋅6108 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 318 mod 641
32: 61032=61016+16=61016⋅61016 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 487 mod 641
64: 61064=61032+32=61032⋅61032 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 640 mod 641
128: 610128=61064+64=61064⋅61064 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 1 mod 641
610141
= 610128+8+4+1
= 610128⋅6108⋅6104⋅6101
≡ 1 ⋅ 601 ⋅ 481 ⋅ 610 mod 641
≡ 601 ⋅ 481 ⋅ 610 mod 641
≡ 289081 ⋅ 610 mod 641 ≡ 631 ⋅ 610 mod 641
≡ 384910 mod 641 ≡ 310 mod 641
Es gilt also: 610141 ≡ 310 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.