Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9998 - 146) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9998 - 146) mod 5 ≡ (9998 mod 5 - 146 mod 5) mod 5.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

146 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146 = 140+6 = 5 ⋅ 28 +6.

Somit gilt:

(9998 - 146) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 71) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 71) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 71) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11216 mod 307.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1121=112

2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 264 mod 307

4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 7 mod 307

8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 307

16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 252 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 273161 mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

1: 2731=273

2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 54 mod 331

4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 268 mod 331

8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 328 mod 331

16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 9 mod 331

32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 331

64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 272 mod 331

128: 273128=27364+64=27364⋅27364 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 171 mod 331

273161

= 273128+32+1

= 273128⋅27332⋅2731

171 ⋅ 81 ⋅ 273 mod 331
13851 ⋅ 273 mod 331 ≡ 280 ⋅ 273 mod 331
76440 mod 331 ≡ 310 mod 331

Es gilt also: 273161 ≡ 310 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.