Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45000 + 44994) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45000 + 44994) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 44994 mod 9) mod 9.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(45000 + 44994) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 79) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 79) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 79) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 112128 mod 293.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1121=112

2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 238 mod 293

4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 95 mod 293

8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 235 mod 293

16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293

32: 11232=11216+16=11216⋅11216 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293

64: 11264=11232+32=11232⋅11232 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 91 mod 293

128: 112128=11264+64=11264⋅11264 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 77 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 377175 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 3771=377

2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 126 mod 673

4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 397 mod 673

8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 127 mod 673

16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 650 mod 673

32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 529 mod 673

64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 546 mod 673

128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 650 mod 673

377175

= 377128+32+8+4+2+1

= 377128⋅37732⋅3778⋅3774⋅3772⋅3771

650 ⋅ 529 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
343850 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 620 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
78740 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 672 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
266784 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 276 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
34776 ⋅ 377 mod 673 ≡ 453 ⋅ 377 mod 673
170781 mod 673 ≡ 512 mod 673

Es gilt also: 377175 ≡ 512 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.