Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1602 + 11998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1602 + 11998) mod 4 ≡ (1602 mod 4 + 11998 mod 4) mod 4.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 11000+998 = 4 ⋅ 2750 +998.

Somit gilt:

(1602 + 11998) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 84) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 84) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 84) mod 11 ≡ (8 ⋅ 7) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4808 mod 647.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 480 -> x
2. mod(x²,647) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4801=480

2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 68 mod 647

4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 95 mod 647

8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 614 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291184 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 393 mod 439

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 360 mod 439

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 95 mod 439

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 245 mod 439

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 321 mod 439

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 315 mod 439

128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 11 mod 439

291184

= 291128+32+16+8

= 291128⋅29132⋅29116⋅2918

11 ⋅ 321 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439
3531 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439 ≡ 19 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439
4655 ⋅ 95 mod 439 ≡ 265 ⋅ 95 mod 439
25175 mod 439 ≡ 152 mod 439

Es gilt also: 291184 ≡ 152 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83 = 2⋅32 + 19
=>32 = 1⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19)
= 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32)
= -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.