Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 24007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 24007) mod 8 ≡ (160 mod 8 - 24007 mod 8) mod 8.

160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 8 ⋅ 20 +0.

24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007 = 24000+7 = 8 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(160 - 24007) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 36) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 36) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.

43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 36) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9132 mod 283.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 911=91

2: 912=911+1=911⋅911 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 74 mod 283

4: 914=912+2=912⋅912 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 99 mod 283

8: 918=914+4=914⋅914 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 179 mod 283

16: 9116=918+8=918⋅918 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283

32: 9132=9116+16=9116⋅9116 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31584 mod 337.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 147 mod 337

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 41 mod 337

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 333 mod 337

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 16 mod 337

32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337

64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337

31584

= 31564+16+4

= 31564⋅31516⋅3154

158 ⋅ 16 ⋅ 41 mod 337
2528 ⋅ 41 mod 337 ≡ 169 ⋅ 41 mod 337
6929 mod 337 ≡ 189 mod 337

Es gilt also: 31584 ≡ 189 mod 337

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71 = 1⋅48 + 23
=>48 = 2⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23)
= -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48)
= 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.