Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45005 + 4492) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45005 + 4492) mod 9 ≡ (45005 mod 9 + 4492 mod 9) mod 9.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

4492 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4492 = 4500-8 = 9 ⋅ 500 -8 = 9 ⋅ 500 - 9 + 1.

Somit gilt:

(45005 + 4492) mod 9 ≡ (5 + 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 15) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 15) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 15 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 15) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63364 mod 757.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6331=633

2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 236 mod 757

4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 435 mod 757

8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 732 mod 757

16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 625 mod 757

32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 13 mod 757

64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 186236 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 364 mod 389

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 236 mod 389

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 69 mod 389

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 93 mod 389

32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 91 mod 389

64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 112 mod 389

128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 96 mod 389

186236

= 186128+64+32+8+4

= 186128⋅18664⋅18632⋅1868⋅1864

96 ⋅ 112 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
10752 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389 ≡ 249 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
22659 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389 ≡ 97 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
6693 ⋅ 236 mod 389 ≡ 80 ⋅ 236 mod 389
18880 mod 389 ≡ 208 mod 389

Es gilt also: 186236 ≡ 208 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73 = 1⋅43 + 30
=>43 = 1⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30)
= 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43)
= -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.