Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (209 + 14007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(209 + 14007) mod 7 ≡ (209 mod 7 + 14007 mod 7) mod 7.

209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209 = 210-1 = 7 ⋅ 30 -1 = 7 ⋅ 30 - 7 + 6.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(209 + 14007) mod 7 ≡ (6 + 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 47) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 47) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 47) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37364 mod 409.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3731=373

2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 69 mod 409

4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409

8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409

16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 125 mod 409

32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 83 mod 409

64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 345 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 270255 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 216 mod 673

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 219 mod 673

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 178 mod 673

16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 53 mod 673

32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 117 mod 673

64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 229 mod 673

128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673

270255

= 270128+64+32+16+8+4+2+1

= 270128⋅27064⋅27032⋅27016⋅2708⋅2704⋅2702⋅2701

620 ⋅ 229 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
141980 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 650 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
76050 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 1 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
9434 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 12 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
2628 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 609 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
131544 ⋅ 270 mod 673 ≡ 309 ⋅ 270 mod 673
83430 mod 673 ≡ 651 mod 673

Es gilt also: 270255 ≡ 651 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79 = 1⋅72 + 7
=>72 = 10⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7)
= -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72)
= 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.