Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 - 17992) mod 9 ≡ (177 mod 9 - 17992 mod 9) mod 9.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

17992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17992 = 18000-8 = 9 ⋅ 2000 -8 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(177 - 17992) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 91) mod 5 ≡ (46 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 91) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 160¹=160

2: 160²=160¹⁺¹=160¹⋅160¹ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 315 mod 389

4: 160⁴=160²⁺²=160²⋅160² ≡ 315⋅315=99225 ≡ 30 mod 389

8: 160⁸=160⁴⁺⁴=160⁴⋅160⁴ ≡ 30⋅30=900 ≡ 122 mod 389

16: 160¹⁶=160⁸⁺⁸=160⁸⋅160⁸ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 102 mod 389

32: 160³²=160¹⁶⁺¹⁶=160¹⁶⋅160¹⁶ ≡ 102⋅102=10404 ≡ 290 mod 389

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

231¹⁵¹

= 231^128+16+4+2+1

= 231¹²⁸⋅231¹⁶⋅231⁴⋅231²⋅231¹

≡ 232 ⋅ 317 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 231 mod 421
≡ 73544 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 231 mod 421 ≡ 290 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 231 mod 421
≡ 84100 ⋅ 315 ⋅ 231 mod 421 ≡ 321 ⋅ 315 ⋅ 231 mod 421
≡ 101115 ⋅ 231 mod 421 ≡ 75 ⋅ 231 mod 421
≡ 17325 mod 421 ≡ 64 mod 421

Es gilt also: 231¹⁵¹ ≡ 64 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79	= 1⋅68 + 11
=>68	= 6⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68) = -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79