Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 - 6000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 - 6000) mod 3 ≡ (2999 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2999 - 6000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 49) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 49) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 49) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331128 mod 419.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 202 mod 419

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 161 mod 419

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 362 mod 419

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 316 mod 419

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 134 mod 419

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 358 mod 419

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 369 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130168 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 309 mod 353

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 171 mod 353

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 295 mod 353

16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 187 mod 353

32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

130168

= 130128+32+8

= 130128⋅13032⋅1308

217 ⋅ 22 ⋅ 295 mod 353
4774 ⋅ 295 mod 353 ≡ 185 ⋅ 295 mod 353
54575 mod 353 ≡ 213 mod 353

Es gilt also: 130168 ≡ 213 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79 = 2⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27)
= 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.