Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18003 + 4503) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18003 + 4503) mod 9 ≡ (18003 mod 9 + 4503 mod 9) mod 9.
18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503
= 4500
Somit gilt:
(18003 + 4503) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 80) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 80) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 80) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49864 mod 569.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 489 mod 569
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 141 mod 569
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 535 mod 569
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 18 mod 569
32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 569
64: 49864=49832+32=49832⋅49832 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 280 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20278 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 52 mod 283
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 157 mod 283
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 28 mod 283
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 28⋅28=784 ≡ 218 mod 283
32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 263 mod 283
64: 20264=20232+32=20232⋅20232 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 117 mod 283
20278
= 20264+8+4+2
= 20264⋅2028⋅2024⋅2022
≡ 117 ⋅ 28 ⋅ 157 ⋅ 52 mod 283
≡ 3276 ⋅ 157 ⋅ 52 mod 283 ≡ 163 ⋅ 157 ⋅ 52 mod 283
≡ 25591 ⋅ 52 mod 283 ≡ 121 ⋅ 52 mod 283
≡ 6292 mod 283 ≡ 66 mod 283
Es gilt also: 20278 ≡ 66 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
