Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18001 + 180) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18001 + 180) mod 9 ≡ (18001 mod 9 + 180 mod 9) mod 9.
18001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001
= 18000
180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(18001 + 180) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 44) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 44) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 44) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28064 mod 719.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 29 mod 719
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 29⋅29=841 ≡ 122 mod 719
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 504 mod 719
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 209 mod 719
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 541 mod 719
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 48 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 349150 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 274 mod 643
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 488 mod 643
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 234 mod 643
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 101 mod 643
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 556 mod 643
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 496 mod 643
128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 390 mod 643
349150
= 349128+16+4+2
= 349128⋅34916⋅3494⋅3492
≡ 390 ⋅ 101 ⋅ 488 ⋅ 274 mod 643
≡ 39390 ⋅ 488 ⋅ 274 mod 643 ≡ 167 ⋅ 488 ⋅ 274 mod 643
≡ 81496 ⋅ 274 mod 643 ≡ 478 ⋅ 274 mod 643
≡ 130972 mod 643 ≡ 443 mod 643
Es gilt also: 349150 ≡ 443 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.