Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 + 903) mod 9 ≡ (9003 mod 9 + 903 mod 9) mod 9.

9003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 9 ⋅ 1000 +3.

903 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 9 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(9003 + 903) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 86) mod 9 ≡ (99 mod 9 ⋅ 86 mod 9) mod 9.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 86) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 679¹=679

2: 679²=679¹⁺¹=679¹⋅679¹ ≡ 679⋅679=461041 ≡ 14 mod 983

4: 679⁴=679²⁺²=679²⋅679² ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 983

8: 679⁸=679⁴⁺⁴=679⁴⋅679⁴ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 79 mod 983

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

578²³⁹

= 578^{128+64+32+8+4+2+1}

= 578¹²⁸⋅578⁶⁴⋅578³²⋅578⁸⋅578⁴⋅578²⋅578¹

≡ 716 ⋅ 459 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 328644 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 413 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 218477 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 799 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 591260 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 787 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 588676 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 774 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 550314 ⋅ 578 mod 857 ≡ 120 ⋅ 578 mod 857
≡ 69360 mod 857 ≡ 800 mod 857

Es gilt also: 578²³⁹ ≡ 800 mod 857

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54

=>61	= 1⋅54 + 7
=>54	= 7⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 54-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1)
7= 61-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54) = 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +26⋅54

Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1

Somit 26⋅54 = 1 mod 61

26 ist also das Inverse von 54 mod 61