Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (200 + 3996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(200 + 3996) mod 4 ≡ (200 mod 4 + 3996 mod 4) mod 4.
200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996
= 3000
Somit gilt:
(200 + 3996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 50) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 50) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 50) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44132 mod 991.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 245 mod 991
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 565 mod 991
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 123 mod 991
16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 264 mod 991
32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 326 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 485243 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 288 mod 983
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 372 mod 983
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 764 mod 983
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 777 mod 983
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 167 mod 983
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 365 mod 983
128: 485128=48564+64=48564⋅48564 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 520 mod 983
485243
= 485128+64+32+16+2+1
= 485128⋅48564⋅48532⋅48516⋅4852⋅4851
≡ 520 ⋅ 365 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 189800 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 81 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 13527 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 748 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 581196 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 243 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 69984 ⋅ 485 mod 983 ≡ 191 ⋅ 485 mod 983
≡ 92635 mod 983 ≡ 233 mod 983
Es gilt also: 485243 ≡ 233 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72
| =>97 | = 1⋅72 + 25 |
| =>72 | = 2⋅25 + 22 |
| =>25 | = 1⋅22 + 3 |
| =>22 | = 7⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-7⋅3 | |||
| 3= 25-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1) |
| 22= 72-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 97-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72
oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅97 = +31⋅72
Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1
Somit 31⋅72 = 1 mod 97
31 ist also das Inverse von 72 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
