Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28007 - 21007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28007 - 21007) mod 7 ≡ (28007 mod 7 - 21007 mod 7) mod 7.
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007
= 21000
Somit gilt:
(28007 - 21007) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 99) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 99) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34316 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 435 mod 569
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 317 mod 569
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 104 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 680144 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:
144 = 128+16
1: 6801=680
2: 6802=6801+1=6801⋅6801 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 737 mod 907
4: 6804=6802+2=6802⋅6802 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 783 mod 907
8: 6808=6804+4=6804⋅6804 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 864 mod 907
16: 68016=6808+8=6808⋅6808 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 35 mod 907
32: 68032=68016+16=68016⋅68016 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 318 mod 907
64: 68064=68032+32=68032⋅68032 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 447 mod 907
128: 680128=68064+64=68064⋅68064 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 269 mod 907
680144
= 680128+16
= 680128⋅68016
≡ 269 ⋅ 35 mod 907
≡ 9415 mod 907 ≡ 345 mod 907
Es gilt also: 680144 ≡ 345 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.