Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1503 - 900) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 900 mod 3) mod 3.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(1503 - 900) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 79) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 79) mod 11 ≡ (1 ⋅ 2) mod 11 ≡ 2 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 359¹=359

2: 359²=359¹⁺¹=359¹⋅359¹ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 202 mod 727

4: 359⁴=359²⁺²=359²⋅359² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 92 mod 727

8: 359⁸=359⁴⁺⁴=359⁴⋅359⁴ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 467 mod 727

16: 359¹⁶=359⁸⁺⁸=359⁸⋅359⁸ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 716 mod 727

32: 359³²=359¹⁶⁺¹⁶=359¹⁶⋅359¹⁶ ≡ 716⋅716=512656 ≡ 121 mod 727

64: 359⁶⁴=359³²⁺³²=359³²⋅359³² ≡ 121⋅121=14641 ≡ 101 mod 727

128: 359¹²⁸=359⁶⁴⁺⁶⁴=359⁶⁴⋅359⁶⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

244¹¹¹

= 244^{64+32+8+4+2+1}

= 244⁶⁴⋅244³²⋅244⁸⋅244⁴⋅244²⋅244¹

≡ 361 ⋅ 424 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 153064 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 229 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 15572 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 67 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 10184 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 438 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 76212 ⋅ 244 mod 443 ≡ 16 ⋅ 244 mod 443
≡ 3904 mod 443 ≡ 360 mod 443

Es gilt also: 244¹¹¹ ≡ 360 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 80

=>83	= 1⋅80 + 3
=>80	= 26⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 80-26⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(80 -26⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅80 +26⋅ 3) = -1⋅80 +27⋅ 3 (=1)
3= 83-1⋅80	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅80 +27⋅(83 -1⋅ 80) = -1⋅80 +27⋅83 -27⋅ 80) = 27⋅83 -28⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(83,80)=1 = 27⋅83 -28⋅80

oder wenn man 27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅83 = -28⋅80

-28⋅80 = -27⋅83 + 1 |+83⋅80

-28⋅80 + 83⋅80 = -27⋅83 + 83⋅80 + 1

(-28 + 83) ⋅ 80 = (-27 + 80) ⋅ 83 + 1

55⋅80 = 53⋅83 + 1

Es gilt also: 55⋅80 = 53⋅83 +1

Somit 55⋅80 = 1 mod 83

55 ist also das Inverse von 80 mod 83