Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9996 - 1000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9996 - 1000) mod 5 ≡ (9996 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.
9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996
= 9000
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
Somit gilt:
(9996 - 1000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 91) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 91) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3298 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 265 mod 409
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29781 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 142 mod 547
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 472 mod 547
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 504 mod 547
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 208 mod 547
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 51 mod 547
29781
= 29764+16+1
= 29764⋅29716⋅2971
≡ 51 ⋅ 504 ⋅ 297 mod 547
≡ 25704 ⋅ 297 mod 547 ≡ 542 ⋅ 297 mod 547
≡ 160974 mod 547 ≡ 156 mod 547
Es gilt also: 29781 ≡ 156 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.