Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (184 - 2394) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(184 - 2394) mod 6 ≡ (184 mod 6 - 2394 mod 6) mod 6.
184 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184
= 180
2394 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
Somit gilt:
(184 - 2394) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 28) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 28) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63664 mod 991.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 636 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6361=636
2: 6362=6361+1=6361⋅6361 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 168 mod 991
4: 6364=6362+2=6362⋅6362 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 476 mod 991
8: 6368=6364+4=6364⋅6364 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 628 mod 991
16: 63616=6368+8=6368⋅6368 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 957 mod 991
32: 63632=63616+16=63616⋅63616 ≡ 957⋅957=915849 ≡ 165 mod 991
64: 63664=63632+32=63632⋅63632 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 468 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258192 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 394 mod 509
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 500 mod 509
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 81 mod 509
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 453 mod 509
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 82 mod 509
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 107 mod 509
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 251 mod 509
258192
= 258128+64
= 258128⋅25864
≡ 251 ⋅ 107 mod 509
≡ 26857 mod 509 ≡ 389 mod 509
Es gilt also: 258192 ≡ 389 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.