Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (154 - 202) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(154 - 202) mod 5 ≡ (154 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.

154 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 150+4 = 5 ⋅ 30 +4.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(154 - 202) mod 5 ≡ (4 - 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 29) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 29) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 29 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 29) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37764 mod 463.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 377 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3771=377

2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 451 mod 463

4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 144 mod 463

8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 364 mod 463

16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 78 mod 463

32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 65 mod 463

64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 58 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 118173 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

1: 1181=118

2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 77 mod 227

4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 27 mod 227

8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 27⋅27=729 ≡ 48 mod 227

16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 34 mod 227

32: 11832=11816+16=11816⋅11816 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 21 mod 227

64: 11864=11832+32=11832⋅11832 ≡ 21⋅21=441 ≡ 214 mod 227

128: 118128=11864+64=11864⋅11864 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 169 mod 227

118173

= 118128+32+8+4+1

= 118128⋅11832⋅1188⋅1184⋅1181

169 ⋅ 21 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
3549 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227 ≡ 144 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
6912 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227 ≡ 102 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
2754 ⋅ 118 mod 227 ≡ 30 ⋅ 118 mod 227
3540 mod 227 ≡ 135 mod 227

Es gilt also: 118173 ≡ 135 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59 = 1⋅40 + 19
=>40 = 2⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19)
= -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40)
= 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.