Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7997 + 32006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7997 + 32006) mod 8 ≡ (7997 mod 8 + 32006 mod 8) mod 8.
7997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006
= 32000
Somit gilt:
(7997 + 32006) mod 8 ≡ (5 + 6) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 89) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 89) mod 4 ≡ (83 mod 4 ⋅ 89 mod 4) mod 4.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.
89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 89) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3788 mod 503.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 378 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 32 mod 503
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 18 mod 503
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396169 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 25 mod 401
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 125 mod 401
396169
= 396128+32+8+1
= 396128⋅39632⋅3968⋅3961
≡ 125 ⋅ 331 ⋅ 51 ⋅ 396 mod 401
≡ 41375 ⋅ 51 ⋅ 396 mod 401 ≡ 72 ⋅ 51 ⋅ 396 mod 401
≡ 3672 ⋅ 396 mod 401 ≡ 63 ⋅ 396 mod 401
≡ 24948 mod 401 ≡ 86 mod 401
Es gilt also: 396169 ≡ 86 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.