Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21001 - 20998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21001 - 20998) mod 7 ≡ (21001 mod 7 - 20998 mod 7) mod 7.

21001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21001 = 21000+1 = 7 ⋅ 3000 +1.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(21001 - 20998) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 19) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 19) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 19) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 189128 mod 241.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1891=189

2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 53 mod 241

4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 158 mod 241

8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 141 mod 241

16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 119 mod 241

32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241

64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241

128: 189128=18964+64=18964⋅18964 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 866247 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 8661=866

2: 8662=8661+1=8661⋅8661 ≡ 866⋅866=749956 ≡ 774 mod 907

4: 8664=8662+2=8662⋅8662 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 456 mod 907

8: 8668=8664+4=8664⋅8664 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 233 mod 907

16: 86616=8668+8=8668⋅8668 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 776 mod 907

32: 86632=86616+16=86616⋅86616 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 835 mod 907

64: 86664=86632+32=86632⋅86632 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 649 mod 907

128: 866128=86664+64=86664⋅86664 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 353 mod 907

866247

= 866128+64+32+16+4+2+1

= 866128⋅86664⋅86632⋅86616⋅8664⋅8662⋅8661

353 ⋅ 649 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
229097 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 533 ⋅ 835 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
445055 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 625 ⋅ 776 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
485000 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 662 ⋅ 456 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
301872 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907 ≡ 748 ⋅ 774 ⋅ 866 mod 907
578952 ⋅ 866 mod 907 ≡ 286 ⋅ 866 mod 907
247676 mod 907 ≡ 65 mod 907

Es gilt also: 866247 ≡ 65 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97 = 2⋅47 + 3
=>47 = 15⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3)
= -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47)
= 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.