Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (244 + 30001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(244 + 30001) mod 6 ≡ (244 mod 6 + 30001 mod 6) mod 6.
244 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
30001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30001
= 30000
Somit gilt:
(244 + 30001) mod 6 ≡ (4 + 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 48) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 48) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37964 mod 857.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 522 mod 857
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 815 mod 857
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 50 mod 857
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 786 mod 857
32: 37932=37916+16=37916⋅37916 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 756 mod 857
64: 37964=37932+32=37932⋅37932 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 774 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51492 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 5141=514
2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 81 mod 523
4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 285 mod 523
8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 160 mod 523
16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 496 mod 523
32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 206 mod 523
64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 73 mod 523
51492
= 51464+16+8+4
= 51464⋅51416⋅5148⋅5144
≡ 73 ⋅ 496 ⋅ 160 ⋅ 285 mod 523
≡ 36208 ⋅ 160 ⋅ 285 mod 523 ≡ 121 ⋅ 160 ⋅ 285 mod 523
≡ 19360 ⋅ 285 mod 523 ≡ 9 ⋅ 285 mod 523
≡ 2565 mod 523 ≡ 473 mod 523
Es gilt also: 51492 ≡ 473 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.