Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10000 + 1997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10000 + 1997) mod 5 ≡ (10000 mod 5 + 1997 mod 5) mod 5.
10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000
= 10000
1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
Somit gilt:
(10000 + 1997) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 82) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 82) mod 7 ≡ (38 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.
38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 82) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2168 mod 599.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 533 mod 599
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 163 mod 599
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 213 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 335230 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 294 mod 647
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 385 mod 647
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 62 mod 647
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 609 mod 647
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 150 mod 647
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 502 mod 647
128: 335128=33564+64=33564⋅33564 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 321 mod 647
335230
= 335128+64+32+4+2
= 335128⋅33564⋅33532⋅3354⋅3352
≡ 321 ⋅ 502 ⋅ 150 ⋅ 385 ⋅ 294 mod 647
≡ 161142 ⋅ 150 ⋅ 385 ⋅ 294 mod 647 ≡ 39 ⋅ 150 ⋅ 385 ⋅ 294 mod 647
≡ 5850 ⋅ 385 ⋅ 294 mod 647 ≡ 27 ⋅ 385 ⋅ 294 mod 647
≡ 10395 ⋅ 294 mod 647 ≡ 43 ⋅ 294 mod 647
≡ 12642 mod 647 ≡ 349 mod 647
Es gilt also: 335230 ≡ 349 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.