Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1404 - 203) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1404 - 203) mod 7 ≡ (1404 mod 7 - 203 mod 7) mod 7.

1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404 = 1400+4 = 7 ⋅ 200 +4.

203 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 210-7 = 7 ⋅ 30 -7 = 7 ⋅ 30 - 7 + 0.

Somit gilt:

(1404 - 203) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 17) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 17) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 17) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66232 mod 701.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 662 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6621=662

2: 6622=6621+1=6621⋅6621 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 119 mod 701

4: 6624=6622+2=6622⋅6622 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 141 mod 701

8: 6628=6624+4=6624⋅6624 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 253 mod 701

16: 66216=6628+8=6628⋅6628 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 218 mod 701

32: 66232=66216+16=66216⋅66216 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 557 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 415212 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 4151=415

2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 82 mod 617

4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 554 mod 617

8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 267 mod 617

16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 334 mod 617

32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 496 mod 617

64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 450 mod 617

128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 124 mod 617

415212

= 415128+64+16+4

= 415128⋅41564⋅41516⋅4154

124 ⋅ 450 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617
55800 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617 ≡ 270 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617
90180 ⋅ 554 mod 617 ≡ 98 ⋅ 554 mod 617
54292 mod 617 ≡ 613 mod 617

Es gilt also: 415212 ≡ 613 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51

=>59 = 1⋅51 + 8
=>51 = 6⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 51-6⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8)
= 3⋅51 -19⋅ 8 (=1)
8= 59-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51)
= -19⋅59 +22⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51

oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅59 = +22⋅51

Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1

Somit 22⋅51 = 1 mod 59

22 ist also das Inverse von 51 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.