Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35003 + 357) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35003 + 357) mod 7 ≡ (35003 mod 7 + 357 mod 7) mod 7.
35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003
= 35000
357 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 350
Somit gilt:
(35003 + 357) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 50) mod 9 ≡ (58 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 50) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61516 mod 659.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 615 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6151=615
2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 618 mod 659
4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 363 mod 659
8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 628 mod 659
16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 302 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228217 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 223 mod 271
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 136 mod 271
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 68 mod 271
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 17 mod 271
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 17⋅17=289 ≡ 18 mod 271
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 18⋅18=324 ≡ 53 mod 271
128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 99 mod 271
228217
= 228128+64+16+8+1
= 228128⋅22864⋅22816⋅2288⋅2281
≡ 99 ⋅ 53 ⋅ 17 ⋅ 68 ⋅ 228 mod 271
≡ 5247 ⋅ 17 ⋅ 68 ⋅ 228 mod 271 ≡ 98 ⋅ 17 ⋅ 68 ⋅ 228 mod 271
≡ 1666 ⋅ 68 ⋅ 228 mod 271 ≡ 40 ⋅ 68 ⋅ 228 mod 271
≡ 2720 ⋅ 228 mod 271 ≡ 10 ⋅ 228 mod 271
≡ 2280 mod 271 ≡ 112 mod 271
Es gilt also: 228217 ≡ 112 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.