Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 - 29) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 - 29) mod 3 ≡ (90 mod 3 - 29 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

Somit gilt:

(90 - 29) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 90) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 90) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.

38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 90) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1348 mod 379.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 134 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1341=134

2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 143 mod 379

4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379

8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44885 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

1: 4481=448

2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 60 mod 487

4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 191 mod 487

8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 443 mod 487

16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 475 mod 487

32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 144 mod 487

64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 282 mod 487

44885

= 44864+16+4+1

= 44864⋅44816⋅4484⋅4481

282 ⋅ 475 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487
133950 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487 ≡ 25 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487
4775 ⋅ 448 mod 487 ≡ 392 ⋅ 448 mod 487
175616 mod 487 ≡ 296 mod 487

Es gilt also: 44885 ≡ 296 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44

=>73 = 1⋅44 + 29
=>44 = 1⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 44-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29)
= 2⋅44 -3⋅ 29 (=1)
29= 73-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44)
= -3⋅73 +5⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44

oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅73 = +5⋅44

Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1

Somit 5⋅44 = 1 mod 73

5 ist also das Inverse von 44 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.