Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (235 + 326) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(235 + 326) mod 8 ≡ (235 mod 8 + 326 mod 8) mod 8.
235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235
= 240
326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326
= 320
Somit gilt:
(235 + 326) mod 8 ≡ (3 + 6) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 19) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 19) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 19) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13632 mod 439.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 136 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 58 mod 439
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 291 mod 439
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 393 mod 439
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 360 mod 439
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 95 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52793 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 5271=527
2: 5272=5271+1=5271⋅5271 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 166 mod 647
4: 5274=5272+2=5272⋅5272 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 382 mod 647
8: 5278=5274+4=5274⋅5274 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 349 mod 647
16: 52716=5278+8=5278⋅5278 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 165 mod 647
32: 52732=52716+16=52716⋅52716 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 51 mod 647
64: 52764=52732+32=52732⋅52732 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 13 mod 647
52793
= 52764+16+8+4+1
= 52764⋅52716⋅5278⋅5274⋅5271
≡ 13 ⋅ 165 ⋅ 349 ⋅ 382 ⋅ 527 mod 647
≡ 2145 ⋅ 349 ⋅ 382 ⋅ 527 mod 647 ≡ 204 ⋅ 349 ⋅ 382 ⋅ 527 mod 647
≡ 71196 ⋅ 382 ⋅ 527 mod 647 ≡ 26 ⋅ 382 ⋅ 527 mod 647
≡ 9932 ⋅ 527 mod 647 ≡ 227 ⋅ 527 mod 647
≡ 119629 mod 647 ≡ 581 mod 647
Es gilt also: 52793 ≡ 581 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 42
| =>89 | = 2⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(89 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅89 -34⋅ 42) = 17⋅89 -36⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,42)=1 = 17⋅89 -36⋅42
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -36⋅42
-36⋅42 = -17⋅89 + 1 |+89⋅42
-36⋅42 + 89⋅42 = -17⋅89 + 89⋅42 + 1
(-36 + 89) ⋅ 42 = (-17 + 42) ⋅ 89 + 1
53⋅42 = 25⋅89 + 1
Es gilt also: 53⋅42 = 25⋅89 +1
Somit 53⋅42 = 1 mod 89
53 ist also das Inverse von 42 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
