Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (904 - 1796) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(904 - 1796) mod 9 ≡ (904 mod 9 - 1796 mod 9) mod 9.
904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904
= 900
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
Somit gilt:
(904 - 1796) mod 9 ≡ (4 - 5) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 47) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 47) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 47) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 346128 mod 683.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 191 mod 683
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 282 mod 683
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 296 mod 683
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 192 mod 683
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 665 mod 683
64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 324 mod 683
128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 477 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 698192 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 6981=698
2: 6982=6981+1=6981⋅6981 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 441 mod 719
4: 6984=6982+2=6982⋅6982 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 351 mod 719
8: 6988=6984+4=6984⋅6984 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 252 mod 719
16: 69816=6988+8=6988⋅6988 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 232 mod 719
32: 69832=69816+16=69816⋅69816 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 618 mod 719
64: 69864=69832+32=69832⋅69832 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 135 mod 719
128: 698128=69864+64=69864⋅69864 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 250 mod 719
698192
= 698128+64
= 698128⋅69864
≡ 250 ⋅ 135 mod 719
≡ 33750 mod 719 ≡ 676 mod 719
Es gilt also: 698192 ≡ 676 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.