Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(595 - 56) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 56 mod 6) mod 6.

595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595 = 600-5 = 6 ⋅ 100 -5 = 6 ⋅ 100 - 6 + 1.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 60-4 = 6 ⋅ 10 -4 = 6 ⋅ 10 - 6 + 2.

Somit gilt:

(595 - 56) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 45) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 45) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 303¹=303

2: 303²=303¹⁺¹=303¹⋅303¹ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 457 mod 601

4: 303⁴=303²⁺²=303²⋅303² ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601

8: 303⁸=303⁴⁺⁴=303⁴⋅303⁴ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601

16: 303¹⁶=303⁸⁺⁸=303⁸⋅303⁸ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601

32: 303³²=303¹⁶⁺¹⁶=303¹⁶⋅303¹⁶ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 305 mod 601

64: 303⁶⁴=303³²⁺³²=303³²⋅303³² ≡ 305⋅305=93025 ≡ 471 mod 601

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:

211 = 128+64+16+2+1

185²¹¹

= 185^{128+64+16+2+1}

= 185¹²⁸⋅185⁶⁴⋅185¹⁶⋅185²⋅185¹

≡ 224 ⋅ 61 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 13664 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269 ≡ 214 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 25252 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269 ≡ 235 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 14570 ⋅ 185 mod 269 ≡ 44 ⋅ 185 mod 269
≡ 8140 mod 269 ≡ 70 mod 269

Es gilt also: 185²¹¹ ≡ 70 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34

=>97	= 2⋅34 + 29
=>34	= 1⋅29 + 5
=>29	= 5⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 29-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1)
5= 34-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29) = -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34) = 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +20⋅34

Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1

Somit 20⋅34 = 1 mod 97

20 ist also das Inverse von 34 mod 97