Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (298 + 6002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(298 + 6002) mod 6 ≡ (298 mod 6 + 6002 mod 6) mod 6.
298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
6002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002
= 6000
Somit gilt:
(298 + 6002) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 53) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 53) mod 10 ≡ (39 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 53) mod 10 ≡ (9 ⋅ 3) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22632 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 9 mod 229
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 589209 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 5891=589
2: 5892=5891+1=5891⋅5891 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 617 mod 773
4: 5894=5892+2=5892⋅5892 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 373 mod 773
8: 5898=5894+4=5894⋅5894 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 762 mod 773
16: 58916=5898+8=5898⋅5898 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 121 mod 773
32: 58932=58916+16=58916⋅58916 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 727 mod 773
64: 58964=58932+32=58932⋅58932 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 570 mod 773
128: 589128=58964+64=58964⋅58964 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 240 mod 773
589209
= 589128+64+16+1
= 589128⋅58964⋅58916⋅5891
≡ 240 ⋅ 570 ⋅ 121 ⋅ 589 mod 773
≡ 136800 ⋅ 121 ⋅ 589 mod 773 ≡ 752 ⋅ 121 ⋅ 589 mod 773
≡ 90992 ⋅ 589 mod 773 ≡ 551 ⋅ 589 mod 773
≡ 324539 mod 773 ≡ 652 mod 773
Es gilt also: 589209 ≡ 652 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.