Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 60) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(12000 + 60) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 74) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 74) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 74) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50464 mod 809.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,809) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 799 mod 809

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 100 mod 809

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 292 mod 809

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809

32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 636 mod 809

64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 805 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19560 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 271 mod 439

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 128 mod 439

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 141 mod 439

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 126 mod 439

32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 72 mod 439

19560

= 19532+16+8+4

= 19532⋅19516⋅1958⋅1954

72 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439
9072 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439 ≡ 292 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439
41172 ⋅ 128 mod 439 ≡ 345 ⋅ 128 mod 439
44160 mod 439 ≡ 260 mod 439

Es gilt also: 19560 ≡ 260 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61 = 2⋅23 + 15
=>23 = 1⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15)
= 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23)
= -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.