Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 - 402) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 402 mod 8) mod 8.

23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 23000+998 = 8 ⋅ 2875 +998.

402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 8 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(23998 - 402) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 35) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 35 mod 5) mod 5.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 35) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 229¹=229

2: 229²=229¹⁺¹=229¹⋅229¹ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 395 mod 491

4: 229⁴=229²⁺²=229²⋅229² ≡ 395⋅395=156025 ≡ 378 mod 491

8: 229⁸=229⁴⁺⁴=229⁴⋅229⁴ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 3 mod 491

16: 229¹⁶=229⁸⁺⁸=229⁸⋅229⁸ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 491

32: 229³²=229¹⁶⁺¹⁶=229¹⁶⋅229¹⁶ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 491

64: 229⁶⁴=229³²⁺³²=229³²⋅229³² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 178 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

248¹⁸⁷

= 248^{128+32+16+8+2+1}

= 248¹²⁸⋅248³²⋅248¹⁶⋅248⁸⋅248²⋅248¹

≡ 206 ⋅ 39 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 8034 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 123 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 32964 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 148 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 27972 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 137 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 36579 ⋅ 248 mod 293 ≡ 247 ⋅ 248 mod 293
≡ 61256 mod 293 ≡ 19 mod 293

Es gilt also: 248¹⁸⁷ ≡ 19 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59