Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1803 - 604) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1803 - 604) mod 6 ≡ (1803 mod 6 - 604 mod 6) mod 6.
1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
604 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 604
= 600
Somit gilt:
(1803 - 604) mod 6 ≡ (3 - 4) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 27) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 27) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 27) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3878 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 150 mod 941
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 857 mod 941
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 469 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 535106 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 5351=535
2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 18 mod 569
4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 569
8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 280 mod 569
16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 447 mod 569
32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 90 mod 569
64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 134 mod 569
535106
= 53564+32+8+2
= 53564⋅53532⋅5358⋅5352
≡ 134 ⋅ 90 ⋅ 280 ⋅ 18 mod 569
≡ 12060 ⋅ 280 ⋅ 18 mod 569 ≡ 111 ⋅ 280 ⋅ 18 mod 569
≡ 31080 ⋅ 18 mod 569 ≡ 354 ⋅ 18 mod 569
≡ 6372 mod 569 ≡ 113 mod 569
Es gilt also: 535106 ≡ 113 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54
| =>79 | = 1⋅54 + 25 |
| =>54 | = 2⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 54-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -19⋅54
-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54
-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1
(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1
60⋅54 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1
Somit 60⋅54 = 1 mod 79
60 ist also das Inverse von 54 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.