Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 + 1200) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 + 1200) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 1200 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(2003 + 1200) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 69) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 69) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.
55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 69) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33132 mod 521.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 151 mod 521
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 398 mod 521
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 20 mod 521
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 521
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 53 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 593130 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 5931=593
2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 147 mod 971
4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 247 mod 971
8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 807 mod 971
16: 59316=5938+8=5938⋅5938 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 679 mod 971
32: 59332=59316+16=59316⋅59316 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 787 mod 971
64: 59364=59332+32=59332⋅59332 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 842 mod 971
128: 593128=59364+64=59364⋅59364 ≡ 842⋅842=708964 ≡ 134 mod 971
593130
= 593128+2
= 593128⋅5932
≡ 134 ⋅ 147 mod 971
≡ 19698 mod 971 ≡ 278 mod 971
Es gilt also: 593130 ≡ 278 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.