Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(154 - 202) mod 5 ≡ (154 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.

154 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 150+4 = 5 ⋅ 30 +4.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(154 - 202) mod 5 ≡ (4 - 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 29) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 29 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 29) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 377¹=377

2: 377²=377¹⁺¹=377¹⋅377¹ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 451 mod 463

4: 377⁴=377²⁺²=377²⋅377² ≡ 451⋅451=203401 ≡ 144 mod 463

8: 377⁸=377⁴⁺⁴=377⁴⋅377⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 364 mod 463

16: 377¹⁶=377⁸⁺⁸=377⁸⋅377⁸ ≡ 364⋅364=132496 ≡ 78 mod 463

32: 377³²=377¹⁶⁺¹⁶=377¹⁶⋅377¹⁶ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 65 mod 463

64: 377⁶⁴=377³²⁺³²=377³²⋅377³² ≡ 65⋅65=4225 ≡ 58 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

118¹⁷³

= 118^128+32+8+4+1

= 118¹²⁸⋅118³²⋅118⁸⋅118⁴⋅118¹

≡ 169 ⋅ 21 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
≡ 3549 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227 ≡ 144 ⋅ 48 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
≡ 6912 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227 ≡ 102 ⋅ 27 ⋅ 118 mod 227
≡ 2754 ⋅ 118 mod 227 ≡ 30 ⋅ 118 mod 227
≡ 3540 mod 227 ≡ 135 mod 227

Es gilt also: 118¹⁷³ ≡ 135 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59