Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (135 - 14003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(135 - 14003) mod 7 ≡ (135 mod 7 - 14003 mod 7) mod 7.
135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135
= 140
14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003
= 14000
Somit gilt:
(135 - 14003) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 36) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 36) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 36) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 499128 mod 509.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 100 mod 509
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 329 mod 509
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 333 mod 509
16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 436 mod 509
32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 239 mod 509
64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 113 mod 509
128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 44 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 150146 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 63 mod 277
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 91 mod 277
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 10 mod 277
32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 277
64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 28 mod 277
128: 150128=15064+64=15064⋅15064 ≡ 28⋅28=784 ≡ 230 mod 277
150146
= 150128+16+2
= 150128⋅15016⋅1502
≡ 230 ⋅ 10 ⋅ 63 mod 277
≡ 2300 ⋅ 63 mod 277 ≡ 84 ⋅ 63 mod 277
≡ 5292 mod 277 ≡ 29 mod 277
Es gilt also: 150146 ≡ 29 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69
| =>89 | = 1⋅69 + 20 |
| =>69 | = 3⋅20 + 9 |
| =>20 | = 2⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 20-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 69-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1) |
| 20= 89-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69
oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅89 = +40⋅69
Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1
Somit 40⋅69 = 1 mod 89
40 ist also das Inverse von 69 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.