Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1999 + 83) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1999 + 83) mod 4 ≡ (1999 mod 4 + 83 mod 4) mod 4.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 4 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(1999 + 83) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 89) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3108 mod 727.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3101=310

2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 136 mod 727

4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 321 mod 727

8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 534 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 344224 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 80 mod 389

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 176 mod 389

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 245 mod 389

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 119 mod 389

32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 157 mod 389

64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389

128: 344128=34464+64=34464⋅34464 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389

344224

= 344128+64+32

= 344128⋅34464⋅34432

325 ⋅ 142 ⋅ 157 mod 389
46150 ⋅ 157 mod 389 ≡ 248 ⋅ 157 mod 389
38936 mod 389 ≡ 36 mod 389

Es gilt also: 344224 ≡ 36 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71 = 1⋅47 + 24
=>47 = 1⋅24 + 23
=>24 = 1⋅23 + 1
=>23 = 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24)
= -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47)
= 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.