Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 80) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.
15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(15997 - 80) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 41) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 41) mod 8 ≡ (15 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.
15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 41) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43716 mod 467.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4371=437
2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 433 mod 467
4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 222 mod 467
8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 249 mod 467
16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 483158 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 4831=483
2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 73 mod 911
4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 774 mod 911
8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 549 mod 911
16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 771 mod 911
32: 48332=48316+16=48316⋅48316 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 469 mod 911
64: 48364=48332+32=48332⋅48332 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 410 mod 911
128: 483128=48364+64=48364⋅48364 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 476 mod 911
483158
= 483128+16+8+4+2
= 483128⋅48316⋅4838⋅4834⋅4832
≡ 476 ⋅ 771 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 366996 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911 ≡ 774 ⋅ 549 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 424926 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911 ≡ 400 ⋅ 774 ⋅ 73 mod 911
≡ 309600 ⋅ 73 mod 911 ≡ 771 ⋅ 73 mod 911
≡ 56283 mod 911 ≡ 712 mod 911
Es gilt also: 483158 ≡ 712 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.