Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45004 - 458) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45004 - 458) mod 9 ≡ (45004 mod 9 - 458 mod 9) mod 9.
45004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45004
= 45000
458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458
= 450
Somit gilt:
(45004 - 458) mod 9 ≡ (4 - 8) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 48) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 48) mod 6 ≡ (60 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 48) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12916 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 129 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 63 mod 307
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 285 mod 307
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 177 mod 307
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 15 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 988197 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 9881=988
2: 9882=9881+1=9881⋅9881 ≡ 988⋅988=976144 ≡ 81 mod 997
4: 9884=9882+2=9882⋅9882 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 579 mod 997
8: 9888=9884+4=9884⋅9884 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 249 mod 997
16: 98816=9888+8=9888⋅9888 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 187 mod 997
32: 98832=98816+16=98816⋅98816 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 74 mod 997
64: 98864=98832+32=98832⋅98832 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 491 mod 997
128: 988128=98864+64=98864⋅98864 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 804 mod 997
988197
= 988128+64+4+1
= 988128⋅98864⋅9884⋅9881
≡ 804 ⋅ 491 ⋅ 579 ⋅ 988 mod 997
≡ 394764 ⋅ 579 ⋅ 988 mod 997 ≡ 949 ⋅ 579 ⋅ 988 mod 997
≡ 549471 ⋅ 988 mod 997 ≡ 124 ⋅ 988 mod 997
≡ 122512 mod 997 ≡ 878 mod 997
Es gilt also: 988197 ≡ 878 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.