Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 88) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

Somit gilt:

(63 - 88) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 56) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 56) mod 9 ≡ (4 ⋅ 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 217¹=217

2: 217²=217¹⁺¹=217¹⋅217¹ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 501 mod 613

4: 217⁴=217²⁺²=217²⋅217² ≡ 501⋅501=251001 ≡ 284 mod 613

8: 217⁸=217⁴⁺⁴=217⁴⋅217⁴ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 353 mod 613

16: 217¹⁶=217⁸⁺⁸=217⁸⋅217⁸ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 170 mod 613

32: 217³²=217¹⁶⁺¹⁶=217¹⁶⋅217¹⁶ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 89 mod 613

64: 217⁶⁴=217³²⁺³²=217³²⋅217³² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 565 mod 613

128: 217¹²⁸=217⁶⁴⁺⁶⁴=217⁶⁴⋅217⁶⁴ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

543²¹⁶

= 543^128+64+16+8

= 543¹²⁸⋅543⁶⁴⋅543¹⁶⋅543⁸

≡ 231 ⋅ 248 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863
≡ 57288 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863 ≡ 330 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863
≡ 200640 ⋅ 695 mod 863 ≡ 424 ⋅ 695 mod 863
≡ 294680 mod 863 ≡ 397 mod 863

Es gilt also: 543²¹⁶ ≡ 397 mod 863

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101	= 1⋅68 + 33
=>68	= 2⋅33 + 2
=>33	= 16⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33) = 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68) = -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101