Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2794 - 7000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2794 - 7000) mod 7 ≡ (2794 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.
2794 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2794
= 2800
7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000
= 7000
Somit gilt:
(2794 - 7000) mod 7 ≡ (1 - 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 61) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 61) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 61 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 61) mod 11 ≡ (9 ⋅ 6) mod 11 ≡ 54 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1378 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 236 mod 431
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 97 mod 431
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 358 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 327136 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 892 mod 991
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 892⋅892=795664 ≡ 882 mod 991
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 980 mod 991
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 980⋅980=960400 ≡ 121 mod 991
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 767 mod 991
64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 626 mod 991
128: 327128=32764+64=32764⋅32764 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 431 mod 991
327136
= 327128+8
= 327128⋅3278
≡ 431 ⋅ 980 mod 991
≡ 422380 mod 991 ≡ 214 mod 991
Es gilt also: 327136 ≡ 214 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43
| =>73 | = 1⋅43 + 30 |
| =>43 | = 1⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 43-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1) |
| 30= 73-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43
oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅73 = +17⋅43
Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1
Somit 17⋅43 = 1 mod 73
17 ist also das Inverse von 43 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.