Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 + 8995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 + 8995) mod 9 ≡ (85 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.
85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 90
8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995
= 9000
Somit gilt:
(85 + 8995) mod 9 ≡ (4 + 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 81) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.
71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 81) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 427128 mod 827.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 427 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4271=427
2: 4272=4271+1=4271⋅4271 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 389 mod 827
4: 4274=4272+2=4272⋅4272 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 807 mod 827
8: 4278=4274+4=4274⋅4274 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 400 mod 827
16: 42716=4278+8=4278⋅4278 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 389 mod 827
32: 42732=42716+16=42716⋅42716 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 807 mod 827
64: 42764=42732+32=42732⋅42732 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 400 mod 827
128: 427128=42764+64=42764⋅42764 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 389 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 713128 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 7131=713
2: 7132=7131+1=7131⋅7131 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 683 mod 811
4: 7134=7132+2=7132⋅7132 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 164 mod 811
8: 7138=7134+4=7134⋅7134 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 133 mod 811
16: 71316=7138+8=7138⋅7138 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 658 mod 811
32: 71332=71316+16=71316⋅71316 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 701 mod 811
64: 71364=71332+32=71332⋅71332 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 746 mod 811
128: 713128=71364+64=71364⋅71364 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 170 mod 811
713128
= 713128
= 713128
≡ 170 mod 811
Es gilt also: 713128 ≡ 170 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31
| =>89 | = 2⋅31 + 27 |
| =>31 | = 1⋅27 + 4 |
| =>27 | = 6⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 27-6⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4) = -1⋅27 +7⋅ 4 (=1) |
| 4= 31-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27) = 7⋅31 -8⋅ 27 (=1) |
| 27= 89-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31) = -8⋅89 +23⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31
oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅89 = +23⋅31
Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1
Somit 23⋅31 = 1 mod 89
23 ist also das Inverse von 31 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.