Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2406 - 16004) mod 8 ≡ (2406 mod 8 - 16004 mod 8) mod 8.

2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 8 ⋅ 300 +6.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(2406 - 16004) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 47) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 47 mod 8) mod 8.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 47) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 497¹=497

2: 497²=497¹⁺¹=497¹⋅497¹ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 469 mod 587

4: 497⁴=497²⁺²=497²⋅497² ≡ 469⋅469=219961 ≡ 423 mod 587

8: 497⁸=497⁴⁺⁴=497⁴⋅497⁴ ≡ 423⋅423=178929 ≡ 481 mod 587

16: 497¹⁶=497⁸⁺⁸=497⁸⋅497⁸ ≡ 481⋅481=231361 ≡ 83 mod 587

32: 497³²=497¹⁶⁺¹⁶=497¹⁶⋅497¹⁶ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 432 mod 587

64: 497⁶⁴=497³²⁺³²=497³²⋅497³² ≡ 432⋅432=186624 ≡ 545 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

291²²⁰

= 291^{128+64+16+8+4}

= 291¹²⁸⋅291⁶⁴⋅291¹⁶⋅291⁸⋅291⁴

≡ 122 ⋅ 301 ⋅ 454 ⋅ 305 ⋅ 456 mod 523
≡ 36722 ⋅ 454 ⋅ 305 ⋅ 456 mod 523 ≡ 112 ⋅ 454 ⋅ 305 ⋅ 456 mod 523
≡ 50848 ⋅ 305 ⋅ 456 mod 523 ≡ 117 ⋅ 305 ⋅ 456 mod 523
≡ 35685 ⋅ 456 mod 523 ≡ 121 ⋅ 456 mod 523
≡ 55176 mod 523 ≡ 261 mod 523

Es gilt also: 291²²⁰ ≡ 261 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67	= 1⋅59 + 8
=>59	= 7⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59) = 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67