Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5005 + 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5005 + 95) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 95 mod 5) mod 5.
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(5005 + 95) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 89) mod 7 ≡ (71 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 89) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3278 mod 997.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 250 mod 997
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 686 mod 997
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 12 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 503236 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 13 mod 727
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 727
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 208 mod 727
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 371 mod 727
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 238 mod 727
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 665 mod 727
128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 209 mod 727
503236
= 503128+64+32+8+4
= 503128⋅50364⋅50332⋅5038⋅5034
≡ 209 ⋅ 665 ⋅ 238 ⋅ 208 ⋅ 169 mod 727
≡ 138985 ⋅ 238 ⋅ 208 ⋅ 169 mod 727 ≡ 128 ⋅ 238 ⋅ 208 ⋅ 169 mod 727
≡ 30464 ⋅ 208 ⋅ 169 mod 727 ≡ 657 ⋅ 208 ⋅ 169 mod 727
≡ 136656 ⋅ 169 mod 727 ≡ 707 ⋅ 169 mod 727
≡ 119483 mod 727 ≡ 255 mod 727
Es gilt also: 503236 ≡ 255 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.