Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3198 + 240) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3198 + 240) mod 8 ≡ (3198 mod 8 + 240 mod 8) mod 8.
3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198
= 3200
240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(3198 + 240) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 76) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 76) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 76) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18464 mod 283.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 179 mod 283
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 57 mod 283
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 136 mod 283
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 101 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228234 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 264 mod 431
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 305 mod 431
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 360 mod 431
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 300 mod 431
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 352 mod 431
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 207 mod 431
128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 180 mod 431
228234
= 228128+64+32+8+2
= 228128⋅22864⋅22832⋅2288⋅2282
≡ 180 ⋅ 207 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 37260 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431 ≡ 194 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 68288 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431 ≡ 190 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 68400 ⋅ 264 mod 431 ≡ 302 ⋅ 264 mod 431
≡ 79728 mod 431 ≡ 424 mod 431
Es gilt also: 228234 ≡ 424 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
