Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 + 3001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 + 3001) mod 3 ≡ (118 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
Somit gilt:
(118 + 3001) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 31) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 31) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 31) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51816 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 482 mod 853
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 308 mod 853
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 181 mod 853
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 347 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 166204 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 133 mod 277
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 238 mod 277
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 91 mod 277
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277
128: 166128=16664+64=16664⋅16664 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 10 mod 277
166204
= 166128+64+8+4
= 166128⋅16664⋅1668⋅1664
≡ 10 ⋅ 248 ⋅ 136 ⋅ 238 mod 277
≡ 2480 ⋅ 136 ⋅ 238 mod 277 ≡ 264 ⋅ 136 ⋅ 238 mod 277
≡ 35904 ⋅ 238 mod 277 ≡ 171 ⋅ 238 mod 277
≡ 40698 mod 277 ≡ 256 mod 277
Es gilt also: 166204 ≡ 256 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.