Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(161 - 1597) mod 4 ≡ (161 mod 4 - 1597 mod 4) mod 4.

161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161 = 160+1 = 4 ⋅ 40 +1.

1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1500+97 = 4 ⋅ 375 +97.

Somit gilt:

(161 - 1597) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 61) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 61) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 482¹=482

2: 482²=482¹⁺¹=482¹⋅482¹ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 25 mod 487

4: 482⁴=482²⁺²=482²⋅482² ≡ 25⋅25=625 ≡ 138 mod 487

8: 482⁸=482⁴⁺⁴=482⁴⋅482⁴ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 51 mod 487

16: 482¹⁶=482⁸⁺⁸=482⁸⋅482⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 166 mod 487

32: 482³²=482¹⁶⁺¹⁶=482¹⁶⋅482¹⁶ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 284 mod 487

64: 482⁶⁴=482³²⁺³²=482³²⋅482³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 301 mod 487

128: 482¹²⁸=482⁶⁴⁺⁶⁴=482⁶⁴⋅482⁶⁴ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 19 mod 487

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

132²²⁶

= 132^128+64+32+2

= 132¹²⁸⋅132⁶⁴⋅132³²⋅132²

≡ 150 ⋅ 209 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431
≡ 31350 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431 ≡ 318 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431
≡ 83634 ⋅ 184 mod 431 ≡ 20 ⋅ 184 mod 431
≡ 3680 mod 431 ≡ 232 mod 431

Es gilt also: 132²²⁶ ≡ 232 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61