Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 + 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 + 29) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.
1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(1201 + 29) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 39) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 39) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 39) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 375128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 375 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 476 mod 521
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 462 mod 521
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 355 mod 521
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 123 mod 521
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 20 mod 521
128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 285165 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 238 mod 743
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 176 mod 743
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 513 mod 743
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 147 mod 743
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 62 mod 743
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 129 mod 743
128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 295 mod 743
285165
= 285128+32+4+1
= 285128⋅28532⋅2854⋅2851
≡ 295 ⋅ 62 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743
≡ 18290 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743 ≡ 458 ⋅ 176 ⋅ 285 mod 743
≡ 80608 ⋅ 285 mod 743 ≡ 364 ⋅ 285 mod 743
≡ 103740 mod 743 ≡ 463 mod 743
Es gilt also: 285165 ≡ 463 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46
| =>53 | = 1⋅46 + 7 |
| =>46 | = 6⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 46-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +15⋅46
Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1
Somit 15⋅46 = 1 mod 53
15 ist also das Inverse von 46 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
