Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 + 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 + 88) mod 3 ≡ (63 mod 3 + 88 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(63 + 88) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 88) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 88) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2268 mod 347.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 67 mod 347
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 325 mod 347
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 137 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266225 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 373 mod 809
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 790 mod 809
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 361 mod 809
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 72 mod 809
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809
266225
= 266128+64+32+1
= 266128⋅26664⋅26632⋅2661
≡ 527 ⋅ 494 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809
≡ 260338 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809 ≡ 649 ⋅ 330 ⋅ 266 mod 809
≡ 214170 ⋅ 266 mod 809 ≡ 594 ⋅ 266 mod 809
≡ 158004 mod 809 ≡ 249 mod 809
Es gilt also: 266225 ≡ 249 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.