Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1394 - 14000) mod 7 ≡ (1394 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.

1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394 = 1400-6 = 7 ⋅ 200 -6 = 7 ⋅ 200 - 7 + 1.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(1394 - 14000) mod 7 ≡ (1 - 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 78) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 78) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 763¹=763

2: 763²=763¹⁺¹=763¹⋅763¹ ≡ 763⋅763=582169 ≡ 233 mod 983

4: 763⁴=763²⁺²=763²⋅763² ≡ 233⋅233=54289 ≡ 224 mod 983

8: 763⁸=763⁴⁺⁴=763⁴⋅763⁴ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 43 mod 983

16: 763¹⁶=763⁸⁺⁸=763⁸⋅763⁸ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 866 mod 983

32: 763³²=763¹⁶⁺¹⁶=763¹⁶⋅763¹⁶ ≡ 866⋅866=749956 ≡ 910 mod 983

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

280²¹⁴

= 280^{128+64+16+4+2}

= 280¹²⁸⋅280⁶⁴⋅280¹⁶⋅280⁴⋅280²

≡ 81 ⋅ 9 ⋅ 486 ⋅ 179 ⋅ 270 mod 601
≡ 729 ⋅ 486 ⋅ 179 ⋅ 270 mod 601 ≡ 128 ⋅ 486 ⋅ 179 ⋅ 270 mod 601
≡ 62208 ⋅ 179 ⋅ 270 mod 601 ≡ 305 ⋅ 179 ⋅ 270 mod 601
≡ 54595 ⋅ 270 mod 601 ≡ 505 ⋅ 270 mod 601
≡ 136350 mod 601 ≡ 524 mod 601

Es gilt also: 280²¹⁴ ≡ 524 mod 601

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53	= 1⋅38 + 15
=>38	= 2⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38) = 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53