Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9009 + 27008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9009 + 27008) mod 9 ≡ (9009 mod 9 + 27008 mod 9) mod 9.

9009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9009 = 9000+9 = 9 ⋅ 1000 +9.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(9009 + 27008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 83) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 83) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 83) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63464 mod 857.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 634 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6341=634

2: 6342=6341+1=6341⋅6341 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 23 mod 857

4: 6344=6342+2=6342⋅6342 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 857

8: 6348=6344+4=6344⋅6344 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 459 mod 857

16: 63416=6348+8=6348⋅6348 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 716 mod 857

32: 63432=63416+16=63416⋅63416 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 170 mod 857

64: 63464=63432+32=63432⋅63432 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 619 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258232 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 63 mod 821

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 685 mod 821

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 434 mod 821

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 347 mod 821

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 543 mod 821

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 110 mod 821

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 606 mod 821

258232

= 258128+64+32+8

= 258128⋅25864⋅25832⋅2588

606 ⋅ 110 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821
66660 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821 ≡ 159 ⋅ 543 ⋅ 434 mod 821
86337 ⋅ 434 mod 821 ≡ 132 ⋅ 434 mod 821
57288 mod 821 ≡ 639 mod 821

Es gilt also: 258232 ≡ 639 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59 = 1⋅43 + 16
=>43 = 2⋅16 + 11
=>16 = 1⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11)
= -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16)
= 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43)
= -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.