Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 + 303) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 + 303) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 303 mod 3) mod 3.
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
Somit gilt:
(121 + 303) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 15) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 15) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 15 mod 11) mod 11.
61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 15) mod 11 ≡ (6 ⋅ 4) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22732 mod 349.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 226 mod 349
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 122 mod 349
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 226 mod 349
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 122 mod 349
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 226 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43674 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 4361=436
2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 79 mod 491
4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 349 mod 491
8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 33 mod 491
16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 107 mod 491
32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 156 mod 491
64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 277 mod 491
43674
= 43664+8+2
= 43664⋅4368⋅4362
≡ 277 ⋅ 33 ⋅ 79 mod 491
≡ 9141 ⋅ 79 mod 491 ≡ 303 ⋅ 79 mod 491
≡ 23937 mod 491 ≡ 369 mod 491
Es gilt also: 43674 ≡ 369 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20
| =>67 | = 3⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20) = 3⋅67 -10⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -10⋅20
-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20
-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1
(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1
57⋅20 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1
Somit 57⋅20 = 1 mod 67
57 ist also das Inverse von 20 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.