Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(496 + 24996) mod 5 ≡ (496 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.

496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496 = 400+96 = 5 ⋅ 80 +96.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

Somit gilt:

(496 + 24996) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 100) mod 11 ≡ (73 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.

73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 100) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 543¹=543

2: 543²=543¹⁺¹=543¹⋅543¹ ≡ 543⋅543=294849 ≡ 511 mod 787

4: 543⁴=543²⁺²=543²⋅543² ≡ 511⋅511=261121 ≡ 624 mod 787

8: 543⁸=543⁴⁺⁴=543⁴⋅543⁴ ≡ 624⋅624=389376 ≡ 598 mod 787

16: 543¹⁶=543⁸⁺⁸=543⁸⋅543⁸ ≡ 598⋅598=357604 ≡ 306 mod 787

32: 543³²=543¹⁶⁺¹⁶=543¹⁶⋅543¹⁶ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 770 mod 787

64: 543⁶⁴=543³²⁺³²=543³²⋅543³² ≡ 770⋅770=592900 ≡ 289 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

721²²⁵

= 721^128+64+32+1

= 721¹²⁸⋅721⁶⁴⋅721³²⋅721¹

≡ 803 ⋅ 674 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823
≡ 541222 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823 ≡ 511 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823
≡ 266231 ⋅ 721 mod 823 ≡ 402 ⋅ 721 mod 823
≡ 289842 mod 823 ≡ 146 mod 823

Es gilt also: 721²²⁵ ≡ 146 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

=>67	= 1⋅58 + 9
=>58	= 6⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 58-6⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58) = -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -15⋅58

-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58

-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1

(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1

52⋅58 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1

Somit 52⋅58 = 1 mod 67

52 ist also das Inverse von 58 mod 67