Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3202 + 1600) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3202 + 1600) mod 8 ≡ (3202 mod 8 + 1600 mod 8) mod 8.
3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202
= 3200
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(3202 + 1600) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 53) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 53) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 53 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 53) mod 11 ≡ (10 ⋅ 9) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1098 mod 229.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 202 mod 229
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 42 mod 229
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 702161 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 7021=702
2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 90 mod 883
4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 153 mod 883
8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 451 mod 883
16: 70216=7028+8=7028⋅7028 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 311 mod 883
32: 70232=70216+16=70216⋅70216 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 474 mod 883
64: 70264=70232+32=70232⋅70232 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 394 mod 883
128: 702128=70264+64=70264⋅70264 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 711 mod 883
702161
= 702128+32+1
= 702128⋅70232⋅7021
≡ 711 ⋅ 474 ⋅ 702 mod 883
≡ 337014 ⋅ 702 mod 883 ≡ 591 ⋅ 702 mod 883
≡ 414882 mod 883 ≡ 755 mod 883
Es gilt also: 702161 ≡ 755 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.