Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13995 + 283) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13995 + 283) mod 7 ≡ (13995 mod 7 + 283 mod 7) mod 7.
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283
= 280
Somit gilt:
(13995 + 283) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 83) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 83) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.
25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.
83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37332 mod 631.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 82 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 558243 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 5581=558
2: 5582=5581+1=5581⋅5581 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 548 mod 883
4: 5584=5582+2=5582⋅5582 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 84 mod 883
8: 5588=5584+4=5584⋅5584 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 875 mod 883
16: 55816=5588+8=5588⋅5588 ≡ 875⋅875=765625 ≡ 64 mod 883
32: 55832=55816+16=55816⋅55816 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 564 mod 883
64: 55864=55832+32=55832⋅55832 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 216 mod 883
128: 558128=55864+64=55864⋅55864 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 740 mod 883
558243
= 558128+64+32+16+2+1
= 558128⋅55864⋅55832⋅55816⋅5582⋅5581
≡ 740 ⋅ 216 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 159840 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 17 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 9588 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 758 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 48512 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 830 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 454840 ⋅ 558 mod 883 ≡ 95 ⋅ 558 mod 883
≡ 53010 mod 883 ≡ 30 mod 883
Es gilt also: 558243 ≡ 30 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
=>59 | = 2⋅23 + 13 |
=>23 | = 1⋅13 + 10 |
=>13 | = 1⋅10 + 3 |
=>10 | = 3⋅3 + 1 |
=>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 10-3⋅3 | |||
3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.