Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2697 - 1800) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2697 - 1800) mod 9 ≡ (2697 mod 9 - 1800 mod 9) mod 9.
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(2697 - 1800) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 96) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 96) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 96) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 544128 mod 733.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 537 mod 733
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 300 mod 733
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 574 mod 733
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 359 mod 733
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 606 mod 733
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 3 mod 733
128: 544128=54464+64=54464⋅54464 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 497157 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 313 mod 541
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 48 mod 541
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 140 mod 541
16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 124 mod 541
32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 228 mod 541
64: 49764=49732+32=49732⋅49732 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 48 mod 541
128: 497128=49764+64=49764⋅49764 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 140 mod 541
497157
= 497128+16+8+4+1
= 497128⋅49716⋅4978⋅4974⋅4971
≡ 140 ⋅ 124 ⋅ 140 ⋅ 48 ⋅ 497 mod 541
≡ 17360 ⋅ 140 ⋅ 48 ⋅ 497 mod 541 ≡ 48 ⋅ 140 ⋅ 48 ⋅ 497 mod 541
≡ 6720 ⋅ 48 ⋅ 497 mod 541 ≡ 228 ⋅ 48 ⋅ 497 mod 541
≡ 10944 ⋅ 497 mod 541 ≡ 124 ⋅ 497 mod 541
≡ 61628 mod 541 ≡ 495 mod 541
Es gilt also: 497157 ≡ 495 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
