Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 + 15003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 + 15003) mod 3 ≡ (29 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(29 + 15003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 29) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 29) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 29) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 204128 mod 317.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 204 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 89 mod 317

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 313 mod 317

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 16 mod 317

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 317

32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 234 mod 317

64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 232 mod 317

128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 251 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 247131 mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 2471=247

2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 164 mod 283

4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 11 mod 283

8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 283

16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 208 mod 283

32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 248 mod 283

64: 24764=24732+32=24732⋅24732 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 93 mod 283

128: 247128=24764+64=24764⋅24764 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 159 mod 283

247131

= 247128+2+1

= 247128⋅2472⋅2471

159 ⋅ 164 ⋅ 247 mod 283
26076 ⋅ 247 mod 283 ≡ 40 ⋅ 247 mod 283
9880 mod 283 ≡ 258 mod 283

Es gilt also: 247131 ≡ 258 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52

=>79 = 1⋅52 + 27
=>52 = 1⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 52-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27)
= 13⋅52 -25⋅ 27 (=1)
27= 79-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52)
= -25⋅79 +38⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52

oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅79 = +38⋅52

Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1

Somit 38⋅52 = 1 mod 79

38 ist also das Inverse von 52 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.