Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2695 + 1798) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2695 + 1798) mod 9 ≡ (2695 mod 9 + 1798 mod 9) mod 9.
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
1798 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798
= 1800
Somit gilt:
(2695 + 1798) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 43) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 43) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76564 mod 811.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 765 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7651=765
2: 7652=7651+1=7651⋅7651 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 494 mod 811
4: 7654=7652+2=7652⋅7652 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 736 mod 811
8: 7658=7654+4=7654⋅7654 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 759 mod 811
16: 76516=7658+8=7658⋅7658 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 271 mod 811
32: 76532=76516+16=76516⋅76516 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 451 mod 811
64: 76564=76532+32=76532⋅76532 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 651 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28362 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 349 mod 443
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 419 mod 443
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 133 mod 443
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 412 mod 443
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 75 mod 443
28362
= 28332+16+8+4+2
= 28332⋅28316⋅2838⋅2834⋅2832
≡ 75 ⋅ 412 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 30900 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443 ≡ 333 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 44289 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443 ≡ 432 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 181008 ⋅ 349 mod 443 ≡ 264 ⋅ 349 mod 443
≡ 92136 mod 443 ≡ 435 mod 443
Es gilt also: 28362 ≡ 435 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
