Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (806 - 395) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(806 - 395) mod 8 ≡ (806 mod 8 - 395 mod 8) mod 8.
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 395
= 400
Somit gilt:
(806 - 395) mod 8 ≡ (6 - 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 21) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 21) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63016 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 630 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6301=630
2: 6302=6301+1=6301⋅6301 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 638 mod 829
4: 6304=6302+2=6302⋅6302 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 5 mod 829
8: 6308=6304+4=6304⋅6304 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 829
16: 63016=6308+8=6308⋅6308 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 227100 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 319 mod 569
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 479 mod 569
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 104 mod 569
227100
= 22764+32+4
= 22764⋅22732⋅2274
≡ 104 ⋅ 345 ⋅ 479 mod 569
≡ 35880 ⋅ 479 mod 569 ≡ 33 ⋅ 479 mod 569
≡ 15807 mod 569 ≡ 444 mod 569
Es gilt also: 227100 ≡ 444 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92
| =>101 | = 1⋅92 + 9 |
| =>92 | = 10⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 92-10⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1) |
| 9= 101-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -45⋅92
-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92
-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1
(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1
56⋅92 = 51⋅101 + 1
Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1
Somit 56⋅92 = 1 mod 101
56 ist also das Inverse von 92 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.