Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1198 + 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1198 + 30) mod 3 ≡ (1198 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.
1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
Somit gilt:
(1198 + 30) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 82) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 82) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 82) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2868 mod 811.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 696 mod 811
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 249 mod 811
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 365 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 320174 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 139 mod 383
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 171 mod 383
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 133 mod 383
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 71 mod 383
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 62 mod 383
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 14 mod 383
128: 320128=32064+64=32064⋅32064 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 383
320174
= 320128+32+8+4+2
= 320128⋅32032⋅3208⋅3204⋅3202
≡ 196 ⋅ 62 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
≡ 12152 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383 ≡ 279 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
≡ 37107 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383 ≡ 339 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
≡ 57969 ⋅ 139 mod 383 ≡ 136 ⋅ 139 mod 383
≡ 18904 mod 383 ≡ 137 mod 383
Es gilt also: 320174 ≡ 137 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.
Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74
| =>83 | = 1⋅74 + 9 |
| =>74 | = 8⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,74)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 74-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1) |
| 9= 83-1⋅74 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74
oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅83 = -37⋅74
-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74
-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1
(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1
46⋅74 = 41⋅83 + 1
Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1
Somit 46⋅74 = 1 mod 83
46 ist also das Inverse von 74 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.