Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(233 + 808) mod 8 ≡ (233 mod 8 + 808 mod 8) mod 8.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

808 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 808 = 800+8 = 8 ⋅ 100 +8.

Somit gilt:

(233 + 808) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 82) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 82) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 721¹=721

2: 721²=721¹⁺¹=721¹⋅721¹ ≡ 721⋅721=519841 ≡ 499 mod 857

4: 721⁴=721²⁺²=721²⋅721² ≡ 499⋅499=249001 ≡ 471 mod 857

8: 721⁸=721⁴⁺⁴=721⁴⋅721⁴ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 735 mod 857

16: 721¹⁶=721⁸⁺⁸=721⁸⋅721⁸ ≡ 735⋅735=540225 ≡ 315 mod 857

32: 721³²=721¹⁶⁺¹⁶=721¹⁶⋅721¹⁶ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 670 mod 857

64: 721⁶⁴=721³²⁺³²=721³²⋅721³² ≡ 670⋅670=448900 ≡ 689 mod 857

128: 721¹²⁸=721⁶⁴⁺⁶⁴=721⁶⁴⋅721⁶⁴ ≡ 689⋅689=474721 ≡ 800 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

681⁹³

= 681^64+16+8+4+1

= 681⁶⁴⋅681¹⁶⋅681⁸⋅681⁴⋅681¹

≡ 274 ⋅ 32 ⋅ 577 ⋅ 36 ⋅ 681 mod 719
≡ 8768 ⋅ 577 ⋅ 36 ⋅ 681 mod 719 ≡ 140 ⋅ 577 ⋅ 36 ⋅ 681 mod 719
≡ 80780 ⋅ 36 ⋅ 681 mod 719 ≡ 252 ⋅ 36 ⋅ 681 mod 719
≡ 9072 ⋅ 681 mod 719 ≡ 444 ⋅ 681 mod 719
≡ 302364 mod 719 ≡ 384 mod 719

Es gilt also: 681⁹³ ≡ 384 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71	= 1⋅42 + 29
=>42	= 1⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42) = 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71