Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11999 - 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 - 3000) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(11999 - 3000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 76) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 76) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 76) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 55416 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 554 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5541=554

2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 80 mod 971

4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 574 mod 971

8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 307 mod 971

16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 62 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 551171 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 5511=551

2: 5512=5511+1=5511⋅5511 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 408 mod 641

4: 5514=5512+2=5512⋅5512 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 445 mod 641

8: 5518=5514+4=5514⋅5514 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 597 mod 641

16: 55116=5518+8=5518⋅5518 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 13 mod 641

32: 55132=55116+16=55116⋅55116 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 641

64: 55164=55132+32=55132⋅55132 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641

128: 551128=55164+64=55164⋅55164 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

551171

= 551128+32+8+2+1

= 551128⋅55132⋅5518⋅5512⋅5511

531 ⋅ 169 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
89739 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641 ≡ 640 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
382080 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641 ≡ 44 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
17952 ⋅ 551 mod 641 ≡ 4 ⋅ 551 mod 641
2204 mod 641 ≡ 281 mod 641

Es gilt also: 551171 ≡ 281 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.