Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17997 + 359) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17997 + 359) mod 9 ≡ (17997 mod 9 + 359 mod 9) mod 9.
17997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997
= 18000
359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359
= 360
Somit gilt:
(17997 + 359) mod 9 ≡ (6 + 8) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 70) mod 11 ≡ (25 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 70) mod 11 ≡ (3 ⋅ 4) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16664 mod 479.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 166 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 253 mod 479
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 302 mod 479
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 194 mod 479
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 274 mod 479
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 352 mod 479
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 322 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56083 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 5601=560
2: 5602=5601+1=5601⋅5601 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 496 mod 593
4: 5604=5602+2=5602⋅5602 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 514 mod 593
8: 5608=5604+4=5604⋅5604 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 311 mod 593
16: 56016=5608+8=5608⋅5608 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593
32: 56032=56016+16=56016⋅56016 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593
64: 56064=56032+32=56032⋅56032 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593
56083
= 56064+16+2+1
= 56064⋅56016⋅5602⋅5601
≡ 555 ⋅ 62 ⋅ 496 ⋅ 560 mod 593
≡ 34410 ⋅ 496 ⋅ 560 mod 593 ≡ 16 ⋅ 496 ⋅ 560 mod 593
≡ 7936 ⋅ 560 mod 593 ≡ 227 ⋅ 560 mod 593
≡ 127120 mod 593 ≡ 218 mod 593
Es gilt also: 56083 ≡ 218 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -6⋅44
-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44
-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1
(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1
47⋅44 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1
Somit 47⋅44 = 1 mod 53
47 ist also das Inverse von 44 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.