Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23998 - 402) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23998 - 402) mod 8 ≡ (23998 mod 8 - 402 mod 8) mod 8.
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(23998 - 402) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 35) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 35) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 35 mod 5) mod 5.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 35) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22964 mod 491.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2291=229
2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 395 mod 491
4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 378 mod 491
8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 3 mod 491
16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 491
32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 491
64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 178 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248187 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 267 mod 293
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 90 mod 293
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 189 mod 293
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 268 mod 293
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 39 mod 293
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293
248187
= 248128+32+16+8+2+1
= 248128⋅24832⋅24816⋅2488⋅2482⋅2481
≡ 206 ⋅ 39 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 8034 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 123 ⋅ 268 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 32964 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 148 ⋅ 189 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 27972 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293 ≡ 137 ⋅ 267 ⋅ 248 mod 293
≡ 36579 ⋅ 248 mod 293 ≡ 247 ⋅ 248 mod 293
≡ 61256 mod 293 ≡ 19 mod 293
Es gilt also: 248187 ≡ 19 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -7⋅42
-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42
-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1
(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1
52⋅42 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1
Somit 52⋅42 = 1 mod 59
52 ist also das Inverse von 42 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
