Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2701 + 4492) mod 9 ≡ (2701 mod 9 + 4492 mod 9) mod 9.

2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701 = 2700+1 = 9 ⋅ 300 +1.

4492 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4492 = 4500-8 = 9 ⋅ 500 -8 = 9 ⋅ 500 - 9 + 1.

Somit gilt:

(2701 + 4492) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 91) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 91) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 255¹=255

2: 255²=255¹⁺¹=255¹⋅255¹ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257

4: 255⁴=255²⁺²=255²⋅255² ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257

8: 255⁸=255⁴⁺⁴=255⁴⋅255⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

16: 255¹⁶=255⁸⁺⁸=255⁸⋅255⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

32: 255³²=255¹⁶⁺¹⁶=255¹⁶⋅255¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

197¹²⁷

= 197^{64+32+16+8+4+2+1}

= 197⁶⁴⋅197³²⋅197¹⁶⋅197⁸⋅197⁴⋅197²⋅197¹

≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
≡ 3375 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 237 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
≡ 69204 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 168 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
≡ 18648 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 343 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
≡ 159838 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 323 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
≡ 34561 ⋅ 197 mod 523 ≡ 43 ⋅ 197 mod 523
≡ 8471 mod 523 ≡ 103 mod 523

Es gilt also: 197¹²⁷ ≡ 103 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59