Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (151 - 101) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(151 - 101) mod 5 ≡ (151 mod 5 - 101 mod 5) mod 5.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(151 - 101) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 96) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 96) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 96 mod 8) mod 8.

79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.

96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 96) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 329128 mod 431.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3291=329

2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 60 mod 431

4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 152 mod 431

8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 261 mod 431

16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 23 mod 431

32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 23⋅23=529 ≡ 98 mod 431

64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 122 mod 431

128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 230 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369144 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:

144 = 128+16

1: 3691=369

2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 387 mod 397

4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 100 mod 397

8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 122 mod 397

64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 195 mod 397

128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 310 mod 397

369144

= 369128+16

= 369128⋅36916

310 ⋅ 67 mod 397
20770 mod 397 ≡ 126 mod 397

Es gilt also: 369144 ≡ 126 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.