Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 + 1196) mod 6 ≡ (177 mod 6 + 1196 mod 6) mod 6.

177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 6 ⋅ 30 -3 = 6 ⋅ 30 - 6 + 3.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

Somit gilt:

(177 + 1196) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 36) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 36) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 265¹=265

2: 265²=265¹⁺¹=265¹⋅265¹ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 251 mod 593

4: 265⁴=265²⁺²=265²⋅265² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 143 mod 593

8: 265⁸=265⁴⁺⁴=265⁴⋅265⁴ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 287 mod 593

16: 265¹⁶=265⁸⁺⁸=265⁸⋅265⁸ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 535 mod 593

32: 265³²=265¹⁶⁺¹⁶=265¹⁶⋅265¹⁶ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 399 mod 593

64: 265⁶⁴=265³²⁺³²=265³²⋅265³² ≡ 399⋅399=159201 ≡ 277 mod 593

128: 265¹²⁸=265⁶⁴⁺⁶⁴=265⁶⁴⋅265⁶⁴ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 232 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

274⁹⁰

= 274^64+16+8+2

= 274⁶⁴⋅274¹⁶⋅274⁸⋅274²

≡ 57 ⋅ 159 ⋅ 209 ⋅ 70 mod 463
≡ 9063 ⋅ 209 ⋅ 70 mod 463 ≡ 266 ⋅ 209 ⋅ 70 mod 463
≡ 55594 ⋅ 70 mod 463 ≡ 34 ⋅ 70 mod 463
≡ 2380 mod 463 ≡ 65 mod 463

Es gilt also: 274⁹⁰ ≡ 65 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89