Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2502 - 2000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2502 - 2000) mod 5 ≡ (2502 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.
2502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2502
= 2500
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(2502 - 2000) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 84) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 84) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8432 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 84 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 186 mod 229
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 17 mod 229
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 17⋅17=289 ≡ 60 mod 229
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 165 mod 229
32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 203 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329119 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 362 mod 463
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 463
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 425 mod 463
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463
329119
= 32964+32+16+4+2+1
= 32964⋅32932⋅32916⋅3294⋅3292⋅3291
≡ 55 ⋅ 425 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 23375 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 225 ⋅ 158 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 35550 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 362 ⋅ 15 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 5430 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463 ≡ 337 ⋅ 362 ⋅ 329 mod 463
≡ 121994 ⋅ 329 mod 463 ≡ 225 ⋅ 329 mod 463
≡ 74025 mod 463 ≡ 408 mod 463
Es gilt also: 329119 ≡ 408 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
