Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 - 25000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 - 25000) mod 5 ≡ (1499 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(1499 - 25000) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 76) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 76) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 76) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1778 mod 353.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1771=177

2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 265 mod 353

4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 331 mod 353

8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 729203 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 7291=729

2: 7292=7291+1=7291⋅7291 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 507 mod 827

4: 7294=7292+2=7292⋅7292 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 679 mod 827

8: 7298=7294+4=7294⋅7294 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 402 mod 827

16: 72916=7298+8=7298⋅7298 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 339 mod 827

32: 72932=72916+16=72916⋅72916 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 795 mod 827

64: 72964=72932+32=72932⋅72932 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 197 mod 827

128: 729128=72964+64=72964⋅72964 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 767 mod 827

729203

= 729128+64+8+2+1

= 729128⋅72964⋅7298⋅7292⋅7291

767 ⋅ 197 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
151099 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827 ≡ 585 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
235170 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827 ≡ 302 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
153114 ⋅ 729 mod 827 ≡ 119 ⋅ 729 mod 827
86751 mod 827 ≡ 743 mod 827

Es gilt also: 729203 ≡ 743 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89 = 1⋅53 + 36
=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53)
= -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.