Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1398 - 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1398 - 67) mod 7 ≡ (1398 mod 7 - 67 mod 7) mod 7.
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67
= 70
Somit gilt:
(1398 - 67) mod 7 ≡ (5 - 4) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 54) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 54) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 54 mod 7) mod 7.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 54) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39816 mod 607.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 584 mod 607
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 529 mod 607
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 14 mod 607
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 365119 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 642 mod 709
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 235 mod 709
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 632 mod 709
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 257 mod 709
32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 112 mod 709
64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 491 mod 709
365119
= 36564+32+16+4+2+1
= 36564⋅36532⋅36516⋅3654⋅3652⋅3651
≡ 491 ⋅ 112 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
≡ 54992 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 399 ⋅ 257 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
≡ 102543 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 447 ⋅ 235 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
≡ 105045 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709 ≡ 113 ⋅ 642 ⋅ 365 mod 709
≡ 72546 ⋅ 365 mod 709 ≡ 228 ⋅ 365 mod 709
≡ 83220 mod 709 ≡ 267 mod 709
Es gilt also: 365119 ≡ 267 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.