Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 + 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 + 40) mod 4 ≡ (78 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
Somit gilt:
(78 + 40) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 28) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 28) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5358 mod 733.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 535 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5351=535
2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 355 mod 733
4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 682 mod 733
8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 402 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19591 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 45 mod 211
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 126 mod 211
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 51 mod 211
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 69 mod 211
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 119 mod 211
64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 24 mod 211
19591
= 19564+16+8+2+1
= 19564⋅19516⋅1958⋅1952⋅1951
≡ 24 ⋅ 69 ⋅ 51 ⋅ 45 ⋅ 195 mod 211
≡ 1656 ⋅ 51 ⋅ 45 ⋅ 195 mod 211 ≡ 179 ⋅ 51 ⋅ 45 ⋅ 195 mod 211
≡ 9129 ⋅ 45 ⋅ 195 mod 211 ≡ 56 ⋅ 45 ⋅ 195 mod 211
≡ 2520 ⋅ 195 mod 211 ≡ 199 ⋅ 195 mod 211
≡ 38805 mod 211 ≡ 192 mod 211
Es gilt also: 19591 ≡ 192 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.