Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27008 + 2694) mod 9 ≡ (27008 mod 9 + 2694 mod 9) mod 9.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

2694 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2694 = 2700-6 = 9 ⋅ 300 -6 = 9 ⋅ 300 - 9 + 3.

Somit gilt:

(27008 + 2694) mod 9 ≡ (8 + 3) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 47) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 47) mod 10 ≡ (5 ⋅ 7) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 400¹=400

2: 400²=400¹⁺¹=400¹⋅400¹ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 1 mod 401

4: 400⁴=400²⁺²=400²⋅400² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

8: 400⁸=400⁴⁺⁴=400⁴⋅400⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

16: 400¹⁶=400⁸⁺⁸=400⁸⋅400⁸ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

32: 400³²=400¹⁶⁺¹⁶=400¹⁶⋅400¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

64: 400⁶⁴=400³²⁺³²=400³²⋅400³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:

210 = 128+64+16+2

442²¹⁰

= 442^128+64+16+2

= 442¹²⁸⋅442⁶⁴⋅442¹⁶⋅442²

≡ 179 ⋅ 597 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727
≡ 106863 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727 ≡ 721 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727
≡ 258118 ⋅ 528 mod 727 ≡ 33 ⋅ 528 mod 727
≡ 17424 mod 727 ≡ 703 mod 727

Es gilt also: 442²¹⁰ ≡ 703 mod 727

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59	= 1⋅43 + 16
=>43	= 2⋅16 + 11
=>16	= 1⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16) = -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43) = 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59