Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (457 - 17998) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(457 - 17998) mod 9 ≡ (457 mod 9 - 17998 mod 9) mod 9.
457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457
= 450
17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
Somit gilt:
(457 - 17998) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 97) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 97) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41432 mod 673.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 414 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 454 mod 673
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 178 mod 673
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 53 mod 673
16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 117 mod 673
32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 229 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40662 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 675 mod 983
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 496 mod 983
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 266 mod 983
16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 963 mod 983
32: 40632=40616+16=40616⋅40616 ≡ 963⋅963=927369 ≡ 400 mod 983
40662
= 40632+16+8+4+2
= 40632⋅40616⋅4068⋅4064⋅4062
≡ 400 ⋅ 963 ⋅ 266 ⋅ 496 ⋅ 675 mod 983
≡ 385200 ⋅ 266 ⋅ 496 ⋅ 675 mod 983 ≡ 847 ⋅ 266 ⋅ 496 ⋅ 675 mod 983
≡ 225302 ⋅ 496 ⋅ 675 mod 983 ≡ 195 ⋅ 496 ⋅ 675 mod 983
≡ 96720 ⋅ 675 mod 983 ≡ 386 ⋅ 675 mod 983
≡ 260550 mod 983 ≡ 55 mod 983
Es gilt also: 40662 ≡ 55 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.