Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 - 15000) mod 3 ≡ (118 mod 3 - 15000 mod 3) mod 3.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(118 - 15000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 75) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 75) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 495¹=495

2: 495²=495¹⁺¹=495¹⋅495¹ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 502 mod 557

4: 495⁴=495²⁺²=495²⋅495² ≡ 502⋅502=252004 ≡ 240 mod 557

8: 495⁸=495⁴⁺⁴=495⁴⋅495⁴ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 229 mod 557

16: 495¹⁶=495⁸⁺⁸=495⁸⋅495⁸ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 83 mod 557

32: 495³²=495¹⁶⁺¹⁶=495¹⁶⋅495¹⁶ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 205 mod 557

64: 495⁶⁴=495³²⁺³²=495³²⋅495³² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 250 mod 557

128: 495¹²⁸=495⁶⁴⁺⁶⁴=495⁶⁴⋅495⁶⁴ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 116 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

515²⁰⁴

= 515^128+64+8+4

= 515¹²⁸⋅515⁶⁴⋅515⁸⋅515⁴

≡ 43 ⋅ 827 ⋅ 793 ⋅ 58 mod 857
≡ 35561 ⋅ 793 ⋅ 58 mod 857 ≡ 424 ⋅ 793 ⋅ 58 mod 857
≡ 336232 ⋅ 58 mod 857 ≡ 288 ⋅ 58 mod 857
≡ 16704 mod 857 ≡ 421 mod 857

Es gilt also: 515²⁰⁴ ≡ 421 mod 857

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101	= 1⋅92 + 9
=>92	= 10⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92) = -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101