Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1203 - 14997) mod 3 ≡ (1203 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.

1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 3 ⋅ 400 +3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1203 - 14997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 72) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 72) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 661¹=661

2: 661²=661¹⁺¹=661¹⋅661¹ ≡ 661⋅661=436921 ≡ 136 mod 787

4: 661⁴=661²⁺²=661²⋅661² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 395 mod 787

8: 661⁸=661⁴⁺⁴=661⁴⋅661⁴ ≡ 395⋅395=156025 ≡ 199 mod 787

16: 661¹⁶=661⁸⁺⁸=661⁸⋅661⁸ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 251 mod 787

32: 661³²=661¹⁶⁺¹⁶=661¹⁶⋅661¹⁶ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 41 mod 787

64: 661⁶⁴=661³²⁺³²=661³²⋅661³² ≡ 41⋅41=1681 ≡ 107 mod 787

128: 661¹²⁸=661⁶⁴⁺⁶⁴=661⁶⁴⋅661⁶⁴ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 431 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

697¹¹⁶

= 697^64+32+16+4

= 697⁶⁴⋅697³²⋅697¹⁶⋅697⁴

≡ 409 ⋅ 81 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769
≡ 33129 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769 ≡ 62 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769
≡ 47120 ⋅ 382 mod 769 ≡ 211 ⋅ 382 mod 769
≡ 80602 mod 769 ≡ 626 mod 769

Es gilt also: 697¹¹⁶ ≡ 626 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59	= 2⋅26 + 7
=>26	= 3⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26) = 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59