Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20003 + 81) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 + 81) mod 4 ≡ (20003 mod 4 + 81 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(20003 + 81) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 62) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 62) mod 11 ≡ (28 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

28 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 22 + 6 = 2 ⋅ 11 + 6 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 62) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 535128 mod 937.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 535 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5351=535

2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 440 mod 937

4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 578 mod 937

8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 512 mod 937

16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 721 mod 937

32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 743 mod 937

64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 156 mod 937

128: 535128=53564+64=53564⋅53564 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 911 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 260222 mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 2601=260

2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 577 mod 677

4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 522 mod 677

8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 330 mod 677

16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 580 mod 677

32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 608 mod 677

64: 26064=26032+32=26032⋅26032 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 22 mod 677

128: 260128=26064+64=26064⋅26064 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 677

260222

= 260128+64+16+8+4+2

= 260128⋅26064⋅26016⋅2608⋅2604⋅2602

484 ⋅ 22 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
10648 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 493 ⋅ 580 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
285940 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 246 ⋅ 330 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
81180 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677 ≡ 617 ⋅ 522 ⋅ 577 mod 677
322074 ⋅ 577 mod 677 ≡ 499 ⋅ 577 mod 677
287923 mod 677 ≡ 198 mod 677

Es gilt also: 260222 ≡ 198 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53 = 1⋅43 + 10
=>43 = 4⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10)
= -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43)
= 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.