Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3494 - 34994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3494 - 34994) mod 7 ≡ (3494 mod 7 - 34994 mod 7) mod 7.
3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494
= 3500
34994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34994
= 35000
Somit gilt:
(3494 - 34994) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 76) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 76) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43216 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 293 mod 479
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 108 mod 479
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 168 mod 479
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 442 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 366154 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 268 mod 983
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 65 mod 983
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 293 mod 983
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 328 mod 983
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 437 mod 983
64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 267 mod 983
128: 366128=36664+64=36664⋅36664 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 513 mod 983
366154
= 366128+16+8+2
= 366128⋅36616⋅3668⋅3662
≡ 513 ⋅ 328 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 983
≡ 168264 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 983 ≡ 171 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 983
≡ 50103 ⋅ 268 mod 983 ≡ 953 ⋅ 268 mod 983
≡ 255404 mod 983 ≡ 807 mod 983
Es gilt also: 366154 ≡ 807 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.