Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 - 10001) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 - 10001) mod 5 ≡ (202 mod 5 - 10001 mod 5) mod 5.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001 = 10000+1 = 5 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(202 - 10001) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 76) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 76) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 76 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 76) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 386128 mod 947.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 386 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3861=386

2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 317 mod 947

4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 107 mod 947

8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 85 mod 947

16: 38616=3868+8=3868⋅3868 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 596 mod 947

32: 38632=38616+16=38616⋅38616 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 91 mod 947

64: 38664=38632+32=38632⋅38632 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 705 mod 947

128: 386128=38664+64=38664⋅38664 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 797 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 367147 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

1: 3671=367

2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 355 mod 439

4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 32 mod 439

8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 146 mod 439

16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 244 mod 439

32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 271 mod 439

64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 128 mod 439

128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 141 mod 439

367147

= 367128+16+2+1

= 367128⋅36716⋅3672⋅3671

141 ⋅ 244 ⋅ 355 ⋅ 367 mod 439
34404 ⋅ 355 ⋅ 367 mod 439 ≡ 162 ⋅ 355 ⋅ 367 mod 439
57510 ⋅ 367 mod 439 ≡ 1 ⋅ 367 mod 439
367 mod 439

Es gilt also: 367147 ≡ 367 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54

=>61 = 1⋅54 + 7
=>54 = 7⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 54-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7)
= 3⋅54 -23⋅ 7 (=1)
7= 61-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54)
= -23⋅61 +26⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +26⋅54

Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1

Somit 26⋅54 = 1 mod 61

26 ist also das Inverse von 54 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.