Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8000 - 2004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8000 - 2004) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(8000 - 2004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 23) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 23) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 23) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5978 mod 947.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 597 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5971=597
2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 337 mod 947
4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 876 mod 947
8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 306 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 635116 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 6351=635
2: 6352=6351+1=6351⋅6351 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 324 mod 653
4: 6354=6352+2=6352⋅6352 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 496 mod 653
8: 6358=6354+4=6354⋅6354 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 488 mod 653
16: 63516=6358+8=6358⋅6358 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 452 mod 653
32: 63532=63516+16=63516⋅63516 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 568 mod 653
64: 63564=63532+32=63532⋅63532 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 42 mod 653
635116
= 63564+32+16+4
= 63564⋅63532⋅63516⋅6354
≡ 42 ⋅ 568 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653
≡ 23856 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653 ≡ 348 ⋅ 452 ⋅ 496 mod 653
≡ 157296 ⋅ 496 mod 653 ≡ 576 ⋅ 496 mod 653
≡ 285696 mod 653 ≡ 335 mod 653
Es gilt also: 635116 ≡ 335 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50
| =>59 | = 1⋅50 + 9 |
| =>50 | = 5⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 50-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9) = 2⋅50 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50) = -11⋅59 +13⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +13⋅50
Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1
Somit 13⋅50 = 1 mod 59
13 ist also das Inverse von 50 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.