Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 - 600) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 - 600) mod 3 ≡ (92 mod 3 - 600 mod 3) mod 3.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92
= 90
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(92 - 600) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 24) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 24) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23432 mod 293.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 258 mod 293
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 81 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242164 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 292 mod 607
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 284 mod 607
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 532 mod 607
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 162 mod 607
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 143 mod 607
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 418 mod 607
128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 515 mod 607
242164
= 242128+32+4
= 242128⋅24232⋅2424
≡ 515 ⋅ 143 ⋅ 284 mod 607
≡ 73645 ⋅ 284 mod 607 ≡ 198 ⋅ 284 mod 607
≡ 56232 mod 607 ≡ 388 mod 607
Es gilt also: 242164 ≡ 388 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.