Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9998 + 24997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9998 + 24997) mod 5 ≡ (9998 mod 5 + 24997 mod 5) mod 5.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997 = 24000+997 = 5 ⋅ 4800 +997.

Somit gilt:

(9998 + 24997) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 98) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 98) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 98) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7258 mod 821.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 725 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7251=725

2: 7252=7251+1=7251⋅7251 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 185 mod 821

4: 7254=7252+2=7252⋅7252 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 564 mod 821

8: 7258=7254+4=7254⋅7254 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 369 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 470103 mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

1: 4701=470

2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 98 mod 977

4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 811 mod 977

8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 811⋅811=657721 ≡ 200 mod 977

16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 920 mod 977

32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 318 mod 977

64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 493 mod 977

470103

= 47064+32+4+2+1

= 47064⋅47032⋅4704⋅4702⋅4701

493 ⋅ 318 ⋅ 811 ⋅ 98 ⋅ 470 mod 977
156774 ⋅ 811 ⋅ 98 ⋅ 470 mod 977 ≡ 454 ⋅ 811 ⋅ 98 ⋅ 470 mod 977
368194 ⋅ 98 ⋅ 470 mod 977 ≡ 842 ⋅ 98 ⋅ 470 mod 977
82516 ⋅ 470 mod 977 ≡ 448 ⋅ 470 mod 977
210560 mod 977 ≡ 505 mod 977

Es gilt also: 470103 ≡ 505 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.