Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 + 80) mod 4 ≡ (1600 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(1600 + 80) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 49) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 49 mod 11) mod 11.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 49) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 681¹=681

2: 681²=681¹⁺¹=681¹⋅681¹ ≡ 681⋅681=463761 ≡ 883 mod 937

4: 681⁴=681²⁺²=681²⋅681² ≡ 883⋅883=779689 ≡ 105 mod 937

8: 681⁸=681⁴⁺⁴=681⁴⋅681⁴ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 718 mod 937

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

453²⁴⁹

= 453^{128+64+32+16+8+1}

= 453¹²⁸⋅453⁶⁴⋅453³²⋅453¹⁶⋅453⁸⋅453¹

≡ 427 ⋅ 387 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 165249 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 805 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 555450 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 32 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 7520 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 808 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 130896 ⋅ 453 mod 839 ≡ 12 ⋅ 453 mod 839
≡ 5436 mod 839 ≡ 402 mod 839

Es gilt also: 453²⁴⁹ ≡ 402 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73	= 1⋅38 + 35
=>38	= 1⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38) = 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73