Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 - 24003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 - 24003) mod 6 ≡ (12002 mod 6 - 24003 mod 6) mod 6.
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003
= 24000
Somit gilt:
(12002 - 24003) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 19) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 19) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 19 mod 10) mod 10.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 19) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28664 mod 691.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 258 mod 691
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 228 mod 691
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 159 mod 691
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 405 mod 691
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 258 mod 691
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 228 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 284211 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 422 mod 521
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 423 mod 521
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 226 mod 521
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 18 mod 521
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 521
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 255 mod 521
128: 284128=28464+64=28464⋅28464 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521
284211
= 284128+64+16+2+1
= 284128⋅28464⋅28416⋅2842⋅2841
≡ 421 ⋅ 255 ⋅ 18 ⋅ 422 ⋅ 284 mod 521
≡ 107355 ⋅ 18 ⋅ 422 ⋅ 284 mod 521 ≡ 29 ⋅ 18 ⋅ 422 ⋅ 284 mod 521
≡ 522 ⋅ 422 ⋅ 284 mod 521 ≡ 1 ⋅ 422 ⋅ 284 mod 521
≡ 422 ⋅ 284 mod 521
≡ 119848 mod 521 ≡ 18 mod 521
Es gilt also: 284211 ≡ 18 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
