Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1498 - 1502) mod 3 ≡ (1498 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(1498 - 1502) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 19) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 19) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 763 mod 769

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 763⋅763=582169 ≡ 36 mod 769

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 527 mod 769

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 527⋅527=277729 ≡ 120 mod 769

32: 537³²=537¹⁶⁺¹⁶=537¹⁶⋅537¹⁶ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 558 mod 769

64: 537⁶⁴=537³²⁺³²=537³²⋅537³² ≡ 558⋅558=311364 ≡ 688 mod 769

128: 537¹²⁸=537⁶⁴⁺⁶⁴=537⁶⁴⋅537⁶⁴ ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

419²⁴⁷

= 419^{128+64+32+16+4+2+1}

= 419¹²⁸⋅419⁶⁴⋅419³²⋅419¹⁶⋅419⁴⋅419²⋅419¹

≡ 210 ⋅ 291 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
≡ 61110 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 230 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
≡ 160310 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 500 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
≡ 156000 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 756 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
≡ 295596 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 328 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
≡ 174168 ⋅ 419 mod 761 ≡ 660 ⋅ 419 mod 761
≡ 276540 mod 761 ≡ 297 mod 761

Es gilt also: 419²⁴⁷ ≡ 297 mod 761

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67	= 1⋅59 + 8
=>59	= 7⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8) = 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59) = 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59) = -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67