Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14999 - 2003) mod 5 ≡ (14999 mod 5 - 2003 mod 5) mod 5.

14999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 14000+999 = 5 ⋅ 2800 +999.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(14999 - 2003) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 68) mod 4 ≡ (63 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 68) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 602¹=602

2: 602²=602¹⁺¹=602¹⋅602¹ ≡ 602⋅602=362404 ≡ 795 mod 839

4: 602⁴=602²⁺²=602²⋅602² ≡ 795⋅795=632025 ≡ 258 mod 839

8: 602⁸=602⁴⁺⁴=602⁴⋅602⁴ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 283 mod 839

16: 602¹⁶=602⁸⁺⁸=602⁸⋅602⁸ ≡ 283⋅283=80089 ≡ 384 mod 839

32: 602³²=602¹⁶⁺¹⁶=602¹⁶⋅602¹⁶ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 631 mod 839

64: 602⁶⁴=602³²⁺³²=602³²⋅602³² ≡ 631⋅631=398161 ≡ 475 mod 839

128: 602¹²⁸=602⁶⁴⁺⁶⁴=602⁶⁴⋅602⁶⁴ ≡ 475⋅475=225625 ≡ 773 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

425¹⁶⁷

= 425^128+32+4+2+1

= 425¹²⁸⋅425³²⋅425⁴⋅425²⋅425¹

≡ 56 ⋅ 149 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
≡ 8344 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571 ≡ 350 ⋅ 319 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
≡ 111650 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571 ≡ 305 ⋅ 189 ⋅ 425 mod 571
≡ 57645 ⋅ 425 mod 571 ≡ 545 ⋅ 425 mod 571
≡ 231625 mod 571 ≡ 370 mod 571

Es gilt also: 425¹⁶⁷ ≡ 370 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101