Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23995 - 16001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 16001) mod 8 ≡ (23995 mod 8 - 16001 mod 8) mod 8.

23995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 23000+995 = 8 ⋅ 2875 +995.

16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 8 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(23995 - 16001) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 23) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 23) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 23) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52232 mod 739.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 522 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5221=522

2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 532 mod 739

4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 726 mod 739

8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739

16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739

32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 351 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 656233 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

1: 6561=656

2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 533 mod 953

4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 95 mod 953

8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 448 mod 953

16: 65616=6568+8=6568⋅6568 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 574 mod 953

32: 65632=65616+16=65616⋅65616 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 691 mod 953

64: 65664=65632+32=65632⋅65632 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 28 mod 953

128: 656128=65664+64=65664⋅65664 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 953

656233

= 656128+64+32+8+1

= 656128⋅65664⋅65632⋅6568⋅6561

784 ⋅ 28 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
21952 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953 ≡ 33 ⋅ 691 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
22803 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953 ≡ 884 ⋅ 448 ⋅ 656 mod 953
396032 ⋅ 656 mod 953 ≡ 537 ⋅ 656 mod 953
352272 mod 953 ≡ 615 mod 953

Es gilt also: 656233 ≡ 615 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73 = 2⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25)
= 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.