Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7998 - 32006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7998 - 32006) mod 8 ≡ (7998 mod 8 - 32006 mod 8) mod 8.
7998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006
= 32000
Somit gilt:
(7998 - 32006) mod 8 ≡ (6 - 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 42) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 42) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 42) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57932 mod 971.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 246 mod 971
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 314 mod 971
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 525 mod 971
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 832 mod 971
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 872 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 480241 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 118 mod 521
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 378 mod 521
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 130 mod 521
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 228 mod 521
32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 405 mod 521
64: 48064=48032+32=48032⋅48032 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 431 mod 521
128: 480128=48064+64=48064⋅48064 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 285 mod 521
480241
= 480128+64+32+16+1
= 480128⋅48064⋅48032⋅48016⋅4801
≡ 285 ⋅ 431 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 122835 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521 ≡ 400 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 162000 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521 ≡ 490 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 111720 ⋅ 480 mod 521 ≡ 226 ⋅ 480 mod 521
≡ 108480 mod 521 ≡ 112 mod 521
Es gilt also: 480241 ≡ 112 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82
| =>101 | = 1⋅82 + 19 |
| =>82 | = 4⋅19 + 6 |
| =>19 | = 3⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-3⋅6 | |||
| 6= 82-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82)
= -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -16⋅82
-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82
-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1
(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1
85⋅82 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1
Somit 85⋅82 = 1 mod 101
85 ist also das Inverse von 82 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
