Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10003 + 20003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10003 + 20003) mod 5 ≡ (10003 mod 5 + 20003 mod 5) mod 5.
10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003
= 10000
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
Somit gilt:
(10003 + 20003) mod 5 ≡ (3 + 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 70) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 70) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 70 mod 4) mod 4.
31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.
70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 70) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12716 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 127 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1271=127
2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 195 mod 257
4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 246 mod 257
8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 121 mod 257
16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 249 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 135180 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 1351=135
2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 65 mod 227
4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 139 mod 227
8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 26 mod 227
16: 13516=1358+8=1358⋅1358 ≡ 26⋅26=676 ≡ 222 mod 227
32: 13532=13516+16=13516⋅13516 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227
64: 13564=13532+32=13532⋅13532 ≡ 25⋅25=625 ≡ 171 mod 227
128: 135128=13564+64=13564⋅13564 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 185 mod 227
135180
= 135128+32+16+4
= 135128⋅13532⋅13516⋅1354
≡ 185 ⋅ 25 ⋅ 222 ⋅ 139 mod 227
≡ 4625 ⋅ 222 ⋅ 139 mod 227 ≡ 85 ⋅ 222 ⋅ 139 mod 227
≡ 18870 ⋅ 139 mod 227 ≡ 29 ⋅ 139 mod 227
≡ 4031 mod 227 ≡ 172 mod 227
Es gilt also: 135180 ≡ 172 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.