Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (792 - 152) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(792 - 152) mod 8 ≡ (792 mod 8 - 152 mod 8) mod 8.
792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792
= 800
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
Somit gilt:
(792 - 152) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 24) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 24) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 374128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 252 mod 563
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 448 mod 563
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 276 mod 563
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 171 mod 563
32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 528 mod 563
64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 99 mod 563
128: 374128=37464+64=37464⋅37464 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 230 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 269227 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 6 mod 499
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 499
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 298 mod 499
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 481 mod 499
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 324 mod 499
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 186 mod 499
128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 165 mod 499
269227
= 269128+64+32+2+1
= 269128⋅26964⋅26932⋅2692⋅2691
≡ 165 ⋅ 186 ⋅ 324 ⋅ 6 ⋅ 269 mod 499
≡ 30690 ⋅ 324 ⋅ 6 ⋅ 269 mod 499 ≡ 251 ⋅ 324 ⋅ 6 ⋅ 269 mod 499
≡ 81324 ⋅ 6 ⋅ 269 mod 499 ≡ 486 ⋅ 6 ⋅ 269 mod 499
≡ 2916 ⋅ 269 mod 499 ≡ 421 ⋅ 269 mod 499
≡ 113249 mod 499 ≡ 475 mod 499
Es gilt also: 269227 ≡ 475 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
