Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 2697) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 2697) mod 9 ≡ (900 mod 9 + 2697 mod 9) mod 9.
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
Somit gilt:
(900 + 2697) mod 9 ≡ (0 + 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 59) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 59) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 59) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55832 mod 659.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 558 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5581=558
2: 5582=5581+1=5581⋅5581 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 316 mod 659
4: 5584=5582+2=5582⋅5582 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 347 mod 659
8: 5588=5584+4=5584⋅5584 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 471 mod 659
16: 55816=5588+8=5588⋅5588 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 417 mod 659
32: 55832=55816+16=55816⋅55816 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 572 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 569134 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 5691=569
2: 5692=5691+1=5691⋅5691 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 672 mod 857
4: 5694=5692+2=5692⋅5692 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 802 mod 857
8: 5698=5694+4=5694⋅5694 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 454 mod 857
16: 56916=5698+8=5698⋅5698 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 436 mod 857
32: 56932=56916+16=56916⋅56916 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 699 mod 857
64: 56964=56932+32=56932⋅56932 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 111 mod 857
128: 569128=56964+64=56964⋅56964 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 323 mod 857
569134
= 569128+4+2
= 569128⋅5694⋅5692
≡ 323 ⋅ 802 ⋅ 672 mod 857
≡ 259046 ⋅ 672 mod 857 ≡ 232 ⋅ 672 mod 857
≡ 155904 mod 857 ≡ 787 mod 857
Es gilt also: 569134 ≡ 787 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.