Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 180) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 180) mod 6 ≡ (6000 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.
6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(6000 + 180) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 97) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 97) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 97) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2538 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 253 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 303 mod 601
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 457 mod 601
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38564 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 282 mod 439
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 65 mod 439
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 274 mod 439
16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 7 mod 439
32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 439
64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 206 mod 439
38564
= 38564
= 38564
≡ 206 mod 439
Es gilt also: 38564 ≡ 206 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.