Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(505 + 19999) mod 5 ≡ (505 mod 5 + 19999 mod 5) mod 5.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

19999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 5 ⋅ 3800 +999.

Somit gilt:

(505 + 19999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 37) mod 6 ≡ (32 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 37) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 242¹=242

2: 242²=242¹⁺¹=242¹⋅242¹ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 379 mod 431

4: 242⁴=242²⁺²=242²⋅242² ≡ 379⋅379=143641 ≡ 118 mod 431

8: 242⁸=242⁴⁺⁴=242⁴⋅242⁴ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 132 mod 431

16: 242¹⁶=242⁸⁺⁸=242⁸⋅242⁸ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 184 mod 431

32: 242³²=242¹⁶⁺¹⁶=242¹⁶⋅242¹⁶ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 238 mod 431

64: 242⁶⁴=242³²⁺³²=242³²⋅242³² ≡ 238⋅238=56644 ≡ 183 mod 431

128: 242¹²⁸=242⁶⁴⁺⁶⁴=242⁶⁴⋅242⁶⁴ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 302 mod 431

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

269¹⁹³

= 269^128+64+1

= 269¹²⁸⋅269⁶⁴⋅269¹

≡ 838 ⋅ 614 ⋅ 269 mod 883
≡ 514532 ⋅ 269 mod 883 ≡ 626 ⋅ 269 mod 883
≡ 168394 mod 883 ≡ 624 mod 883

Es gilt also: 269¹⁹³ ≡ 624 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61