Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34999 + 35005) mod 7 ≡ (34999 mod 7 + 35005 mod 7) mod 7.

34999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34999 = 35000-1 = 7 ⋅ 5000 -1 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 6.

35005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35005 = 35000+5 = 7 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(34999 + 35005) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 96) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 96) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 659¹=659

2: 659²=659¹⁺¹=659¹⋅659¹ ≡ 659⋅659=434281 ≡ 829 mod 881

4: 659⁴=659²⁺²=659²⋅659² ≡ 829⋅829=687241 ≡ 61 mod 881

8: 659⁸=659⁴⁺⁴=659⁴⋅659⁴ ≡ 61⋅61=3721 ≡ 197 mod 881

16: 659¹⁶=659⁸⁺⁸=659⁸⋅659⁸ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 45 mod 881

32: 659³²=659¹⁶⁺¹⁶=659¹⁶⋅659¹⁶ ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881

64: 659⁶⁴=659³²⁺³²=659³²⋅659³² ≡ 263⋅263=69169 ≡ 451 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

214¹²⁵

= 214^{64+32+16+8+4+1}

= 214⁶⁴⋅214³²⋅214¹⁶⋅214⁸⋅214⁴⋅214¹

≡ 221 ⋅ 252 ⋅ 323 ⋅ 486 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523
≡ 55692 ⋅ 323 ⋅ 486 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523 ≡ 254 ⋅ 323 ⋅ 486 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523
≡ 82042 ⋅ 486 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523 ≡ 454 ⋅ 486 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523
≡ 220644 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523 ≡ 461 ⋅ 207 ⋅ 214 mod 523
≡ 95427 ⋅ 214 mod 523 ≡ 241 ⋅ 214 mod 523
≡ 51574 mod 523 ≡ 320 mod 523

Es gilt also: 214¹²⁵ ≡ 320 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73