Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(198 + 20000) mod 4 ≡ (198 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(198 + 20000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 463¹=463

2: 463²=463¹⁺¹=463¹⋅463¹ ≡ 463⋅463=214369 ≡ 313 mod 991

4: 463⁴=463²⁺²=463²⋅463² ≡ 313⋅313=97969 ≡ 851 mod 991

8: 463⁸=463⁴⁺⁴=463⁴⋅463⁴ ≡ 851⋅851=724201 ≡ 771 mod 991

16: 463¹⁶=463⁸⁺⁸=463⁸⋅463⁸ ≡ 771⋅771=594441 ≡ 832 mod 991

32: 463³²=463¹⁶⁺¹⁶=463¹⁶⋅463¹⁶ ≡ 832⋅832=692224 ≡ 506 mod 991

64: 463⁶⁴=463³²⁺³²=463³²⋅463³² ≡ 506⋅506=256036 ≡ 358 mod 991

128: 463¹²⁸=463⁶⁴⁺⁶⁴=463⁶⁴⋅463⁶⁴ ≡ 358⋅358=128164 ≡ 325 mod 991

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

524⁸⁵

= 524^64+16+4+1

= 524⁶⁴⋅524¹⁶⋅524⁴⋅524¹

≡ 1 ⋅ 707 ⋅ 311 ⋅ 524 mod 769
≡ 707 ⋅ 311 ⋅ 524 mod 769
≡ 219877 ⋅ 524 mod 769 ≡ 712 ⋅ 524 mod 769
≡ 373088 mod 769 ≡ 123 mod 769

Es gilt also: 524⁸⁵ ≡ 123 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71	= 2⋅25 + 21
=>25	= 1⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25) = -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71