Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 - 102) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 - 102) mod 5 ≡ (100 mod 5 - 102 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

102 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 102 = 100+2 = 5 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(100 - 102) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 89) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 89) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 89) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4868 mod 677.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,677) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4861=486

2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 600 mod 677

4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 513 mod 677

8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 493 mod 677

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 316155 mod 433.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 3161=316

2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 266 mod 433

4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 177 mod 433

8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 153 mod 433

16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433

32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433

64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433

128: 316128=31664+64=31664⋅31664 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433

316155

= 316128+16+8+2+1

= 316128⋅31616⋅3168⋅3162⋅3161

417 ⋅ 27 ⋅ 153 ⋅ 266 ⋅ 316 mod 433
11259 ⋅ 153 ⋅ 266 ⋅ 316 mod 433 ≡ 1 ⋅ 153 ⋅ 266 ⋅ 316 mod 433
153 ⋅ 266 ⋅ 316 mod 433
40698 ⋅ 316 mod 433 ≡ 429 ⋅ 316 mod 433
135564 mod 433 ≡ 35 mod 433

Es gilt also: 316155 ≡ 35 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49

=>89 = 1⋅49 + 40
=>49 = 1⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 49-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40)
= 9⋅49 -11⋅ 40 (=1)
40= 89-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49)
= -11⋅89 +20⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +20⋅49

Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1

Somit 20⋅49 = 1 mod 89

20 ist also das Inverse von 49 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.