Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 + 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 + 77) mod 7 ≡ (352 mod 7 + 77 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 70
Somit gilt:
(352 + 77) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 28) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 28) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 360 mod 613
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 257 mod 613
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 458 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 554222 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 5541=554
2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 416 mod 613
4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 190 mod 613
8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 546 mod 613
16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 198 mod 613
32: 55432=55416+16=55416⋅55416 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 585 mod 613
64: 55464=55432+32=55432⋅55432 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 171 mod 613
128: 554128=55464+64=55464⋅55464 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 430 mod 613
554222
= 554128+64+16+8+4+2
= 554128⋅55464⋅55416⋅5548⋅5544⋅5542
≡ 430 ⋅ 171 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
≡ 73530 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 583 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
≡ 115434 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 190 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
≡ 103740 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 143 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
≡ 27170 ⋅ 416 mod 613 ≡ 198 ⋅ 416 mod 613
≡ 82368 mod 613 ≡ 226 mod 613
Es gilt also: 554222 ≡ 226 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45
| =>79 | = 1⋅45 + 34 |
| =>45 | = 1⋅34 + 11 |
| =>34 | = 3⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-3⋅11 | |||
| 11= 45-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1) |
| 34= 79-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -7⋅45
-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45
-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1
(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1
72⋅45 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1
Somit 72⋅45 = 1 mod 79
72 ist also das Inverse von 45 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.