Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 56) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 56) mod 6 ≡ (12000 mod 6 - 56 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 60-4 = 6 ⋅ 10 -4 = 6 ⋅ 10 - 6 + 2.

Somit gilt:

(12000 - 56) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 50) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 50) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 50) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65564 mod 757.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 655 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6551=655

2: 6552=6551+1=6551⋅6551 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 563 mod 757

4: 6554=6552+2=6552⋅6552 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 543 mod 757

8: 6558=6554+4=6554⋅6554 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 376 mod 757

16: 65516=6558+8=6558⋅6558 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 574 mod 757

32: 65532=65516+16=65516⋅65516 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 181 mod 757

64: 65564=65532+32=65532⋅65532 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 210 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 375175 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 3751=375

2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 275 mod 401

4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 237 mod 401

8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 29 mod 401

16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401

32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401

64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401

128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401

375175

= 375128+32+8+4+2+1

= 375128⋅37532⋅3758⋅3754⋅3752⋅3751

372 ⋅ 318 ⋅ 29 ⋅ 237 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401
118296 ⋅ 29 ⋅ 237 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401 ≡ 1 ⋅ 29 ⋅ 237 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401
29 ⋅ 237 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401
6873 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401 ≡ 56 ⋅ 275 ⋅ 375 mod 401
15400 ⋅ 375 mod 401 ≡ 162 ⋅ 375 mod 401
60750 mod 401 ≡ 199 mod 401

Es gilt also: 375175 ≡ 199 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73 = 2⋅33 + 7
=>33 = 4⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7)
= 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33)
= -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.