Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20994 - 2795) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20994 - 2795) mod 7 ≡ (20994 mod 7 - 2795 mod 7) mod 7.
20994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20994
= 21000
2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795
= 2800
Somit gilt:
(20994 - 2795) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 53) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 53) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 452128 mod 829.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4521=452
2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 370 mod 829
4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 115 mod 829
8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 790 mod 829
16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 692 mod 829
32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 531 mod 829
64: 45264=45232+32=45232⋅45232 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 101 mod 829
128: 452128=45264+64=45264⋅45264 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 253 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89179 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:
179 = 128+32+16+2+1
1: 891=89
2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271
4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271
8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271
16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 198 mod 271
32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 180 mod 271
64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 151 mod 271
128: 89128=8964+64=8964⋅8964 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 37 mod 271
89179
= 89128+32+16+2+1
= 89128⋅8932⋅8916⋅892⋅891
≡ 37 ⋅ 180 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 6660 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271 ≡ 156 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 30888 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271 ≡ 265 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 16430 ⋅ 89 mod 271 ≡ 170 ⋅ 89 mod 271
≡ 15130 mod 271 ≡ 225 mod 271
Es gilt also: 89179 ≡ 225 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
