Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2804 - 35003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2804 - 35003) mod 7 ≡ (2804 mod 7 - 35003 mod 7) mod 7.
2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804
= 2800
35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003
= 35000
Somit gilt:
(2804 - 35003) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 70) mod 7 ≡ (94 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 70) mod 7 ≡ (3 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46832 mod 557.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 468 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 123 mod 557
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 90 mod 557
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 302 mod 557
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 413 mod 557
32: 46832=46816+16=46816⋅46816 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 127 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210166 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 202 mod 467
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 175 mod 467
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 270 mod 467
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 48 mod 467
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 436 mod 467
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 27 mod 467
128: 210128=21064+64=21064⋅21064 ≡ 27⋅27=729 ≡ 262 mod 467
210166
= 210128+32+4+2
= 210128⋅21032⋅2104⋅2102
≡ 262 ⋅ 436 ⋅ 175 ⋅ 202 mod 467
≡ 114232 ⋅ 175 ⋅ 202 mod 467 ≡ 284 ⋅ 175 ⋅ 202 mod 467
≡ 49700 ⋅ 202 mod 467 ≡ 198 ⋅ 202 mod 467
≡ 39996 mod 467 ≡ 301 mod 467
Es gilt also: 210166 ≡ 301 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.