Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (458 + 44992) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(458 + 44992) mod 9 ≡ (458 mod 9 + 44992 mod 9) mod 9.
458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458
= 450
44992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44992
= 45000
Somit gilt:
(458 + 44992) mod 9 ≡ (8 + 1) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 19) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 19) mod 3 ≡ (55 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.
55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 19) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4668 mod 487.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 466 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4661=466
2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 441 mod 487
4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 168 mod 487
8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 465 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 620228 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 6201=620
2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 436 mod 653
4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 73 mod 653
8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 105 mod 653
16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 577 mod 653
32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 552 mod 653
64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 406 mod 653
128: 620128=62064+64=62064⋅62064 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 280 mod 653
620228
= 620128+64+32+4
= 620128⋅62064⋅62032⋅6204
≡ 280 ⋅ 406 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653
≡ 113680 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653 ≡ 58 ⋅ 552 ⋅ 73 mod 653
≡ 32016 ⋅ 73 mod 653 ≡ 19 ⋅ 73 mod 653
≡ 1387 mod 653 ≡ 81 mod 653
Es gilt also: 620228 ≡ 81 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37
| =>67 | = 1⋅37 + 30 |
| =>37 | = 1⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 37-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1) |
| 30= 67-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37
oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅67 = +29⋅37
Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1
Somit 29⋅37 = 1 mod 67
29 ist also das Inverse von 37 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.