Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19999 - 101) mod 5 ≡ (19999 mod 5 - 101 mod 5) mod 5.

19999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 5 ⋅ 3800 +999.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(19999 - 101) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 31) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 31 mod 10) mod 10.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 31) mod 10 ≡ (7 ⋅ 1) mod 10 ≡ 7 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 338¹=338

2: 338²=338¹⁺¹=338¹⋅338¹ ≡ 338⋅338=114244 ≡ 507 mod 673

4: 338⁴=338²⁺²=338²⋅338² ≡ 507⋅507=257049 ≡ 636 mod 673

8: 338⁸=338⁴⁺⁴=338⁴⋅338⁴ ≡ 636⋅636=404496 ≡ 23 mod 673

16: 338¹⁶=338⁸⁺⁸=338⁸⋅338⁸ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 673

32: 338³²=338¹⁶⁺¹⁶=338¹⁶⋅338¹⁶ ≡ 529⋅529=279841 ≡ 546 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

336²¹⁴

= 336^{128+64+16+4+2}

= 336¹²⁸⋅336⁶⁴⋅336¹⁶⋅336⁴⋅336²

≡ 196 ⋅ 387 ⋅ 88 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 75852 ⋅ 88 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401 ≡ 63 ⋅ 88 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 5544 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401 ≡ 331 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 36410 ⋅ 215 mod 401 ≡ 320 ⋅ 215 mod 401
≡ 68800 mod 401 ≡ 229 mod 401

Es gilt also: 336²¹⁴ ≡ 229 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71	= 1⋅58 + 13
=>58	= 4⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58) = -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71