Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35995 - 44993) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35995 - 44993) mod 9 ≡ (35995 mod 9 - 44993 mod 9) mod 9.
35995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35995
= 36000
44993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44993
= 45000
Somit gilt:
(35995 - 44993) mod 9 ≡ (4 - 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 20) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 20) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.
26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 20) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182128 mod 389.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 59 mod 389
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 369 mod 389
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 11 mod 389
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 42 mod 389
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 208 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 504124 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 192 mod 673
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 592 mod 673
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 504 mod 673
504124
= 50464+32+16+8+4
= 50464⋅50432⋅50416⋅5048⋅5044
≡ 504 ⋅ 592 ⋅ 522 ⋅ 192 ⋅ 208 mod 673
≡ 298368 ⋅ 522 ⋅ 192 ⋅ 208 mod 673 ≡ 229 ⋅ 522 ⋅ 192 ⋅ 208 mod 673
≡ 119538 ⋅ 192 ⋅ 208 mod 673 ≡ 417 ⋅ 192 ⋅ 208 mod 673
≡ 80064 ⋅ 208 mod 673 ≡ 650 ⋅ 208 mod 673
≡ 135200 mod 673 ≡ 600 mod 673
Es gilt also: 504124 ≡ 600 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.