Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(137 - 2100) mod 7 ≡ (137 mod 7 - 2100 mod 7) mod 7.

137 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 137 = 140-3 = 7 ⋅ 20 -3 = 7 ⋅ 20 - 7 + 4.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(137 - 2100) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 54) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 54) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 340¹=340

2: 340²=340¹⁺¹=340¹⋅340¹ ≡ 340⋅340=115600 ≡ 689 mod 761

4: 340⁴=340²⁺²=340²⋅340² ≡ 689⋅689=474721 ≡ 618 mod 761

8: 340⁸=340⁴⁺⁴=340⁴⋅340⁴ ≡ 618⋅618=381924 ≡ 663 mod 761

16: 340¹⁶=340⁸⁺⁸=340⁸⋅340⁸ ≡ 663⋅663=439569 ≡ 472 mod 761

32: 340³²=340¹⁶⁺¹⁶=340¹⁶⋅340¹⁶ ≡ 472⋅472=222784 ≡ 572 mod 761

64: 340⁶⁴=340³²⁺³²=340³²⋅340³² ≡ 572⋅572=327184 ≡ 715 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

244⁸⁶

= 244^64+16+4+2

= 244⁶⁴⋅244¹⁶⋅244⁴⋅244²

≡ 496 ⋅ 583 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653
≡ 289168 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653 ≡ 542 ⋅ 362 ⋅ 113 mod 653
≡ 196204 ⋅ 113 mod 653 ≡ 304 ⋅ 113 mod 653
≡ 34352 mod 653 ≡ 396 mod 653

Es gilt also: 244⁸⁶ ≡ 396 mod 653

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89	= 1⋅70 + 19
=>70	= 3⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70) = 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89