Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2101 - 27997) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2101 - 27997) mod 7 ≡ (2101 mod 7 - 27997 mod 7) mod 7.
2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101
= 2100
27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997
= 28000
Somit gilt:
(2101 - 27997) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 35) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 35) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 35 mod 9) mod 9.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
35 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 27 + 8 = 3 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 35) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67416 mod 977.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 674 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6741=674
2: 6742=6741+1=6741⋅6741 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 948 mod 977
4: 6744=6742+2=6742⋅6742 ≡ 948⋅948=898704 ≡ 841 mod 977
8: 6748=6744+4=6744⋅6744 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 910 mod 977
16: 67416=6748+8=6748⋅6748 ≡ 910⋅910=828100 ≡ 581 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 459121 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 553 mod 571
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 324 mod 571
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 483 mod 571
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 321 mod 571
32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 261 mod 571
64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 172 mod 571
459121
= 45964+32+16+8+1
= 45964⋅45932⋅45916⋅4598⋅4591
≡ 172 ⋅ 261 ⋅ 321 ⋅ 483 ⋅ 459 mod 571
≡ 44892 ⋅ 321 ⋅ 483 ⋅ 459 mod 571 ≡ 354 ⋅ 321 ⋅ 483 ⋅ 459 mod 571
≡ 113634 ⋅ 483 ⋅ 459 mod 571 ≡ 5 ⋅ 483 ⋅ 459 mod 571
≡ 2415 ⋅ 459 mod 571 ≡ 131 ⋅ 459 mod 571
≡ 60129 mod 571 ≡ 174 mod 571
Es gilt also: 459121 ≡ 174 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.