Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44997 + 896) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44997 + 896) mod 9 ≡ (44997 mod 9 + 896 mod 9) mod 9.
44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997
= 45000
896 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 896
= 900
Somit gilt:
(44997 + 896) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 89) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 89) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2208 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 320 mod 601
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 230 mod 601
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 12 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 335199 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 3351=335
2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 217 mod 359
4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 60 mod 359
8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 10 mod 359
16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 359
32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 307 mod 359
64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 191 mod 359
128: 335128=33564+64=33564⋅33564 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 222 mod 359
335199
= 335128+64+4+2+1
= 335128⋅33564⋅3354⋅3352⋅3351
≡ 222 ⋅ 191 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
≡ 42402 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359 ≡ 40 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
≡ 2400 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359 ≡ 246 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
≡ 53382 ⋅ 335 mod 359 ≡ 250 ⋅ 335 mod 359
≡ 83750 mod 359 ≡ 103 mod 359
Es gilt also: 335199 ≡ 103 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.