Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (399 - 87) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 - 87) mod 8 ≡ (399 mod 8 - 87 mod 8) mod 8.

399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 400-1 = 8 ⋅ 50 -1 = 8 ⋅ 50 - 8 + 7.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80+7 = 8 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(399 - 87) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 60) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 60) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 60) mod 11 ≡ (9 ⋅ 5) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24016 mod 491.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 332 mod 491

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 240 mod 491

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 543246 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 5431=543

2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 74 mod 907

4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 34 mod 907

8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 249 mod 907

16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 325 mod 907

32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 413 mod 907

64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 53 mod 907

128: 543128=54364+64=54364⋅54364 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 88 mod 907

543246

= 543128+64+32+16+4+2

= 543128⋅54364⋅54332⋅54316⋅5434⋅5432

88 ⋅ 53 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
4664 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 129 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
53277 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 671 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
218075 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 395 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
13430 ⋅ 74 mod 907 ≡ 732 ⋅ 74 mod 907
54168 mod 907 ≡ 655 mod 907

Es gilt also: 543246 ≡ 655 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.