Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 - 120) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 - 120) mod 4 ≡ (2001 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(2001 - 120) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 98) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 98) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.
56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 98) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70564 mod 937.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 705 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7051=705
2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 415 mod 937
4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 754 mod 937
8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 694 mod 937
16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 18 mod 937
32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 937
64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 32 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 676132 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 6761=676
2: 6762=6761+1=6761⋅6761 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 847 mod 859
4: 6764=6762+2=6762⋅6762 ≡ 847⋅847=717409 ≡ 144 mod 859
8: 6768=6764+4=6764⋅6764 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 120 mod 859
16: 67616=6768+8=6768⋅6768 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 656 mod 859
32: 67632=67616+16=67616⋅67616 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 836 mod 859
64: 67664=67632+32=67632⋅67632 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 529 mod 859
128: 676128=67664+64=67664⋅67664 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 666 mod 859
676132
= 676128+4
= 676128⋅6764
≡ 666 ⋅ 144 mod 859
≡ 95904 mod 859 ≡ 555 mod 859
Es gilt also: 676132 ≡ 555 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.