Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(114 - 3000) mod 6 ≡ (114 mod 6 - 3000 mod 6) mod 6.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 6 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(114 - 3000) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 30) mod 10 ≡ (32 mod 10 ⋅ 30 mod 10) mod 10.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

30 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 3 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 30) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 569¹=569

2: 569²=569¹⁺¹=569¹⋅569¹ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 881 mod 1009

4: 569⁴=569²⁺²=569²⋅569² ≡ 881⋅881=776161 ≡ 240 mod 1009

8: 569⁸=569⁴⁺⁴=569⁴⋅569⁴ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 87 mod 1009

16: 569¹⁶=569⁸⁺⁸=569⁸⋅569⁸ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 506 mod 1009

32: 569³²=569¹⁶⁺¹⁶=569¹⁶⋅569¹⁶ ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009

64: 569⁶⁴=569³²⁺³²=569³²⋅569³² ≡ 759⋅759=576081 ≡ 951 mod 1009

128: 569¹²⁸=569⁶⁴⁺⁶⁴=569⁶⁴⋅569⁶⁴ ≡ 951⋅951=904401 ≡ 337 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

343¹⁷⁸

= 343^128+32+16+2

= 343¹²⁸⋅343³²⋅343¹⁶⋅343²

≡ 306 ⋅ 7 ⋅ 114 ⋅ 329 mod 419
≡ 2142 ⋅ 114 ⋅ 329 mod 419 ≡ 47 ⋅ 114 ⋅ 329 mod 419
≡ 5358 ⋅ 329 mod 419 ≡ 330 ⋅ 329 mod 419
≡ 108570 mod 419 ≡ 49 mod 419

Es gilt also: 343¹⁷⁸ ≡ 49 mod 419

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59