Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 - 2399) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 - 2399) mod 6 ≡ (600 mod 6 - 2399 mod 6) mod 6.
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
Somit gilt:
(600 - 2399) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 36) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 36) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8232 mod 223.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 82 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 821=82
2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 34 mod 223
4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 41 mod 223
8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 120 mod 223
16: 8216=828+8=828⋅828 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 128 mod 223
32: 8232=8216+16=8216⋅8216 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 105 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31170 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 249 mod 389
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 150 mod 389
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 327 mod 389
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 343 mod 389
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 171 mod 389
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 66 mod 389
31170
= 31164+4+2
= 31164⋅3114⋅3112
≡ 66 ⋅ 150 ⋅ 249 mod 389
≡ 9900 ⋅ 249 mod 389 ≡ 175 ⋅ 249 mod 389
≡ 43575 mod 389 ≡ 7 mod 389
Es gilt also: 31170 ≡ 7 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.