Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (366 - 446) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(366 - 446) mod 9 ≡ (366 mod 9 - 446 mod 9) mod 9.
366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366
= 360
446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446
= 450
Somit gilt:
(366 - 446) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 81) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 81) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.
80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.
81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 81) mod 10 ≡ (0 ⋅ 1) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41716 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 417 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4171=417
2: 4172=4171+1=4171⋅4171 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 75 mod 491
4: 4174=4172+2=4172⋅4172 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 224 mod 491
8: 4178=4174+4=4174⋅4174 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 94 mod 491
16: 41716=4178+8=4178⋅4178 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 489 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 559232 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 5591=559
2: 5592=5591+1=5591⋅5591 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
4: 5594=5592+2=5592⋅5592 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 243 mod 683
8: 5598=5594+4=5594⋅5594 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 311 mod 683
16: 55916=5598+8=5598⋅5598 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 418 mod 683
32: 55932=55916+16=55916⋅55916 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 559 mod 683
64: 55964=55932+32=55932⋅55932 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
128: 559128=55964+64=55964⋅55964 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 243 mod 683
559232
= 559128+64+32+8
= 559128⋅55964⋅55932⋅5598
≡ 243 ⋅ 350 ⋅ 559 ⋅ 311 mod 683
≡ 85050 ⋅ 559 ⋅ 311 mod 683 ≡ 358 ⋅ 559 ⋅ 311 mod 683
≡ 200122 ⋅ 311 mod 683 ≡ 3 ⋅ 311 mod 683
≡ 933 mod 683 ≡ 250 mod 683
Es gilt also: 559232 ≡ 250 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.