Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8998 - 603) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 - 603) mod 3 ≡ (8998 mod 3 - 603 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(8998 - 603) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 55) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 55) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32464 mod 467.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3241=324

2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 368 mod 467

4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 461 mod 467

8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 36 mod 467

16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 362 mod 467

32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 284 mod 467

64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 332 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 336243 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 897 mod 1009

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 897⋅897=804609 ≡ 436 mod 1009

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 404 mod 1009

16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 767 mod 1009

32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 42 mod 1009

64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 755 mod 1009

128: 336128=33664+64=33664⋅33664 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 949 mod 1009

336243

= 336128+64+32+16+2+1

= 336128⋅33664⋅33632⋅33616⋅3362⋅3361

949 ⋅ 755 ⋅ 42 ⋅ 767 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009
716495 ⋅ 42 ⋅ 767 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009 ≡ 105 ⋅ 42 ⋅ 767 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009
4410 ⋅ 767 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009 ≡ 374 ⋅ 767 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009
286858 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009 ≡ 302 ⋅ 897 ⋅ 336 mod 1009
270894 ⋅ 336 mod 1009 ≡ 482 ⋅ 336 mod 1009
161952 mod 1009 ≡ 512 mod 1009

Es gilt also: 336243 ≡ 512 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.