Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 - 117) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 - 117) mod 4 ≡ (7996 mod 4 - 117 mod 4) mod 4.
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(7996 - 117) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 33) mod 3 ≡ (56 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 33) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27016 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 92 mod 479
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 321 mod 479
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 56 mod 479
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 262 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14791 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 240 mod 419
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 197 mod 419
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 261 mod 419
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 243 mod 419
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 62 mod 419
14791
= 14764+16+8+2+1
= 14764⋅14716⋅1478⋅1472⋅1471
≡ 62 ⋅ 243 ⋅ 261 ⋅ 240 ⋅ 147 mod 419
≡ 15066 ⋅ 261 ⋅ 240 ⋅ 147 mod 419 ≡ 401 ⋅ 261 ⋅ 240 ⋅ 147 mod 419
≡ 104661 ⋅ 240 ⋅ 147 mod 419 ≡ 330 ⋅ 240 ⋅ 147 mod 419
≡ 79200 ⋅ 147 mod 419 ≡ 9 ⋅ 147 mod 419
≡ 1323 mod 419 ≡ 66 mod 419
Es gilt also: 14791 ≡ 66 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.