Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1599 - 2407) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1599 - 2407) mod 8 ≡ (1599 mod 8 - 2407 mod 8) mod 8.
1599 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599
= 1600
2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407
= 2400
Somit gilt:
(1599 - 2407) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 49) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 49) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 49) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29264 mod 691.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 271 mod 691
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 195 mod 691
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 20 mod 691
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 691
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 379 mod 691
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 604 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59262 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 5921=592
2: 5922=5921+1=5921⋅5921 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 796 mod 883
4: 5924=5922+2=5922⋅5922 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 505 mod 883
8: 5928=5924+4=5924⋅5924 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 721 mod 883
16: 59216=5928+8=5928⋅5928 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 637 mod 883
32: 59232=59216+16=59216⋅59216 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 472 mod 883
59262
= 59232+16+8+4+2
= 59232⋅59216⋅5928⋅5924⋅5922
≡ 472 ⋅ 637 ⋅ 721 ⋅ 505 ⋅ 796 mod 883
≡ 300664 ⋅ 721 ⋅ 505 ⋅ 796 mod 883 ≡ 444 ⋅ 721 ⋅ 505 ⋅ 796 mod 883
≡ 320124 ⋅ 505 ⋅ 796 mod 883 ≡ 478 ⋅ 505 ⋅ 796 mod 883
≡ 241390 ⋅ 796 mod 883 ≡ 331 ⋅ 796 mod 883
≡ 263476 mod 883 ≡ 342 mod 883
Es gilt also: 59262 ≡ 342 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.