Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 + 15000) mod 3 ≡ (12001 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 3 ⋅ 4000 +1.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(12001 + 15000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 22) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 22) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 119¹=119

2: 119²=119¹⁺¹=119¹⋅119¹ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 105 mod 251

4: 119⁴=119²⁺²=119²⋅119² ≡ 105⋅105=11025 ≡ 232 mod 251

8: 119⁸=119⁴⁺⁴=119⁴⋅119⁴ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 110 mod 251

16: 119¹⁶=119⁸⁺⁸=119⁸⋅119⁸ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 52 mod 251

32: 119³²=119¹⁶⁺¹⁶=119¹⁶⋅119¹⁶ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 194 mod 251

64: 119⁶⁴=119³²⁺³²=119³²⋅119³² ≡ 194⋅194=37636 ≡ 237 mod 251

128: 119¹²⁸=119⁶⁴⁺⁶⁴=119⁶⁴⋅119⁶⁴ ≡ 237⋅237=56169 ≡ 196 mod 251

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:

211 = 128+64+16+2+1

310²¹¹

= 310^{128+64+16+2+1}

= 310¹²⁸⋅310⁶⁴⋅310¹⁶⋅310²⋅310¹

≡ 12 ⋅ 226 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 2712 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491 ≡ 257 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 59624 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491 ≡ 213 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 75615 ⋅ 310 mod 491 ≡ 1 ⋅ 310 mod 491
≡ 310 mod 491

Es gilt also: 310²¹¹ ≡ 310 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83	= 1⋅75 + 8
=>75	= 9⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75) = 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83