Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (706 - 69) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(706 - 69) mod 7 ≡ (706 mod 7 - 69 mod 7) mod 7.
706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706
= 700
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69
= 70
Somit gilt:
(706 - 69) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 49) mod 3 ≡ (73 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 49) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40016 mod 463.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 265 mod 463
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 312 mod 463
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 114 mod 463
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 32 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53067 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 5301=530
2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 172 mod 557
4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 63 mod 557
8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 70 mod 557
16: 53016=5308+8=5308⋅5308 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 444 mod 557
32: 53032=53016+16=53016⋅53016 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 515 mod 557
64: 53064=53032+32=53032⋅53032 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 93 mod 557
53067
= 53064+2+1
= 53064⋅5302⋅5301
≡ 93 ⋅ 172 ⋅ 530 mod 557
≡ 15996 ⋅ 530 mod 557 ≡ 400 ⋅ 530 mod 557
≡ 212000 mod 557 ≡ 340 mod 557
Es gilt also: 53067 ≡ 340 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.