Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3207 - 23993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3207 - 23993) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 23993 mod 8) mod 8.
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
Somit gilt:
(3207 - 23993) mod 8 ≡ (7 - 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 49) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 49) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.
16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.
49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 49) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50364 mod 929.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 503 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 321 mod 929
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 851 mod 929
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 851⋅851=724201 ≡ 510 mod 929
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 909 mod 929
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 400 mod 929
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 212 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15699 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 364 mod 461
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 189 mod 461
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 224 mod 461
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 388 mod 461
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 258 mod 461
64: 15664=15632+32=15632⋅15632 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 180 mod 461
15699
= 15664+32+2+1
= 15664⋅15632⋅1562⋅1561
≡ 180 ⋅ 258 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461
≡ 46440 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461 ≡ 340 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461
≡ 123760 ⋅ 156 mod 461 ≡ 212 ⋅ 156 mod 461
≡ 33072 mod 461 ≡ 341 mod 461
Es gilt also: 15699 ≡ 341 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55
| =>71 | = 1⋅55 + 16 |
| =>55 | = 3⋅16 + 7 |
| =>16 | = 2⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 16-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1) |
| 16= 71-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55
oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +24⋅71 = +31⋅55
Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1
Somit 31⋅55 = 1 mod 71
31 ist also das Inverse von 55 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
