Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 + 31) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 + 31) mod 3 ≡ (31 mod 3 + 31 mod 3) mod 3.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31
= 30
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31
= 30
Somit gilt:
(31 + 31) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 72) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 72) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 72 mod 10) mod 10.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 72) mod 10 ≡ (5 ⋅ 2) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65032 mod 997.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 650 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6501=650
2: 6502=6501+1=6501⋅6501 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 769 mod 997
4: 6504=6502+2=6502⋅6502 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 140 mod 997
8: 6508=6504+4=6504⋅6504 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 657 mod 997
16: 65016=6508+8=6508⋅6508 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 945 mod 997
32: 65032=65016+16=65016⋅65016 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 710 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47580 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 608 mod 911
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 709 mod 911
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 720 mod 911
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 41 mod 911
32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 770 mod 911
64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 750 mod 911
47580
= 47564+16
= 47564⋅47516
≡ 750 ⋅ 41 mod 911
≡ 30750 mod 911 ≡ 687 mod 911
Es gilt also: 47580 ≡ 687 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.