Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 + 5998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 + 5998) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 5998 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
Somit gilt:
(89 + 5998) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 65) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 65) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 65 mod 9) mod 9.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 65) mod 9 ≡ (4 ⋅ 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 91128 mod 241.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 911=91
2: 912=911+1=911⋅911 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
4: 914=912+2=912⋅912 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
8: 918=914+4=914⋅914 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
16: 9116=918+8=918⋅918 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
32: 9132=9116+16=9116⋅9116 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
64: 9164=9132+32=9132⋅9132 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
128: 91128=9164+64=9164⋅9164 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 408237 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:
237 = 128+64+32+8+4+1
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 588 mod 601
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 169 mod 601
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 314 mod 601
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 32 mod 601
32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 423 mod 601
64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 432 mod 601
128: 408128=40864+64=40864⋅40864 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 314 mod 601
408237
= 408128+64+32+8+4+1
= 408128⋅40864⋅40832⋅4088⋅4084⋅4081
≡ 314 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 135648 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 423 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 178929 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 432 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 135648 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 423 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 71487 ⋅ 408 mod 601 ≡ 569 ⋅ 408 mod 601
≡ 232152 mod 601 ≡ 166 mod 601
Es gilt also: 408237 ≡ 166 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
