Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (200 + 11996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(200 + 11996) mod 4 ≡ (200 mod 4 + 11996 mod 4) mod 4.
200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 11000
Somit gilt:
(200 + 11996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 30) mod 4 ≡ (62 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
62 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 15 ⋅ 4 + 2 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 30) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52532 mod 839.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 525 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5251=525
2: 5252=5251+1=5251⋅5251 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 433 mod 839
4: 5254=5252+2=5252⋅5252 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 392 mod 839
8: 5258=5254+4=5254⋅5254 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 127 mod 839
16: 52516=5258+8=5258⋅5258 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 188 mod 839
32: 52532=52516+16=52516⋅52516 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 106 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 194157 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 233 mod 331
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 5 mod 331
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 331
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 25⋅25=625 ≡ 294 mod 331
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 45 mod 331
64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 39 mod 331
128: 194128=19464+64=19464⋅19464 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 197 mod 331
194157
= 194128+16+8+4+1
= 194128⋅19416⋅1948⋅1944⋅1941
≡ 197 ⋅ 294 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 57918 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331 ≡ 324 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 8100 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331 ≡ 156 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 331
≡ 780 ⋅ 194 mod 331 ≡ 118 ⋅ 194 mod 331
≡ 22892 mod 331 ≡ 53 mod 331
Es gilt also: 194157 ≡ 53 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56
| =>73 | = 1⋅56 + 17 |
| =>56 | = 3⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 56-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1) |
| 17= 73-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +30⋅56
Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1
Somit 30⋅56 = 1 mod 73
30 ist also das Inverse von 56 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
