Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1196 - 12002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 - 12002) mod 6 ≡ (1196 mod 6 - 12002 mod 6) mod 6.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 6 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(1196 - 12002) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 81) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 81) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 81) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1488 mod 269.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 148 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 115 mod 269

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 44 mod 269

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 53 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 481152 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 4811=481

2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 354 mod 541

4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 345 mod 541

8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 5 mod 541

16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 541

32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 25⋅25=625 ≡ 84 mod 541

64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 23 mod 541

128: 481128=48164+64=48164⋅48164 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 541

481152

= 481128+16+8

= 481128⋅48116⋅4818

529 ⋅ 25 ⋅ 5 mod 541
13225 ⋅ 5 mod 541 ≡ 241 ⋅ 5 mod 541
1205 mod 541 ≡ 123 mod 541

Es gilt also: 481152 ≡ 123 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59 = 1⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38)
= -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.