Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 15002) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 15002 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(150 - 15002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 24) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 24) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14232 mod 353.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 142 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1421=142
2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 43 mod 353
4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 84 mod 353
8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 349 mod 353
16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 16 mod 353
32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74129 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 741=74
2: 742=741+1=741⋅741 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 209 mod 229
4: 744=742+2=742⋅742 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 171 mod 229
8: 748=744+4=744⋅744 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229
16: 7416=748+8=748⋅748 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229
32: 7432=7416+16=7416⋅7416 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229
64: 7464=7432+32=7432⋅7432 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229
128: 74128=7464+64=7464⋅7464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229
74129
= 74128+1
= 74128⋅741
≡ 149 ⋅ 74 mod 229
≡ 11026 mod 229 ≡ 34 mod 229
Es gilt also: 74129 ≡ 34 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.