Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27002 - 27007) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27002 - 27007) mod 9 ≡ (27002 mod 9 - 27007 mod 9) mod 9.

27002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27002 = 27000+2 = 9 ⋅ 3000 +2.

27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007 = 27000+7 = 9 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(27002 - 27007) mod 9 ≡ (2 - 7) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 77) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 77) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 77) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6018 mod 631.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6011=601

2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 269 mod 631

4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 427 mod 631

8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 601 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 267122 mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 2671=267

2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 124 mod 331

4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331

8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 323 mod 331

16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 64 mod 331

32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 124 mod 331

64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331

267122

= 26764+32+16+8+2

= 26764⋅26732⋅26716⋅2678⋅2672

150 ⋅ 124 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
18600 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331 ≡ 64 ⋅ 64 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
4096 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331 ≡ 124 ⋅ 323 ⋅ 124 mod 331
40052 ⋅ 124 mod 331 ≡ 1 ⋅ 124 mod 331
124 mod 331

Es gilt also: 267122 ≡ 124 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48

=>101 = 2⋅48 + 5
=>48 = 9⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5)
= 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 101-2⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48)
= -19⋅101 +40⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +40⋅48

Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1

Somit 40⋅48 = 1 mod 101

40 ist also das Inverse von 48 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.