Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 + 12003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 + 12003) mod 6 ≡ (600 mod 6 + 12003 mod 6) mod 6.
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
12003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
Somit gilt:
(600 + 12003) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 73) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 73) mod 5 ≡ (22 mod 5 ⋅ 73 mod 5) mod 5.
22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.
73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 73) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 394128 mod 463.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 131 mod 463
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 30 mod 463
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 30⋅30=900 ≡ 437 mod 463
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 213 mod 463
32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 458 mod 463
64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 25 mod 463
128: 394128=39464+64=39464⋅39464 ≡ 25⋅25=625 ≡ 162 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 261174 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 119 mod 281
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 111 mod 281
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 155 mod 281
64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 140 mod 281
128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 211 mod 281
261174
= 261128+32+8+4+2
= 261128⋅26132⋅2618⋅2614⋅2612
≡ 211 ⋅ 155 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 119 mod 281
≡ 32705 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 119 mod 281 ≡ 109 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 119 mod 281
≡ 25942 ⋅ 111 ⋅ 119 mod 281 ≡ 90 ⋅ 111 ⋅ 119 mod 281
≡ 9990 ⋅ 119 mod 281 ≡ 155 ⋅ 119 mod 281
≡ 18445 mod 281 ≡ 180 mod 281
Es gilt also: 261174 ≡ 180 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72
| =>101 | = 1⋅72 + 29 |
| =>72 | = 2⋅29 + 14 |
| =>29 | = 2⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-2⋅14 | |||
| 14= 72-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29) = -2⋅72 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 101-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72)
= -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72) = 5⋅101 -7⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -7⋅72
-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72
-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1
(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1
94⋅72 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1
Somit 94⋅72 = 1 mod 101
94 ist also das Inverse von 72 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
