Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20994 - 2795) mod 7 ≡ (20994 mod 7 - 2795 mod 7) mod 7.

20994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20994 = 21000-6 = 7 ⋅ 3000 -6 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 1.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

Somit gilt:

(20994 - 2795) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 53) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 53) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 452¹=452

2: 452²=452¹⁺¹=452¹⋅452¹ ≡ 452⋅452=204304 ≡ 370 mod 829

4: 452⁴=452²⁺²=452²⋅452² ≡ 370⋅370=136900 ≡ 115 mod 829

8: 452⁸=452⁴⁺⁴=452⁴⋅452⁴ ≡ 115⋅115=13225 ≡ 790 mod 829

16: 452¹⁶=452⁸⁺⁸=452⁸⋅452⁸ ≡ 790⋅790=624100 ≡ 692 mod 829

32: 452³²=452¹⁶⁺¹⁶=452¹⁶⋅452¹⁶ ≡ 692⋅692=478864 ≡ 531 mod 829

64: 452⁶⁴=452³²⁺³²=452³²⋅452³² ≡ 531⋅531=281961 ≡ 101 mod 829

128: 452¹²⁸=452⁶⁴⁺⁶⁴=452⁶⁴⋅452⁶⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 253 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

89¹⁷⁹

= 89^{128+32+16+2+1}

= 89¹²⁸⋅89³²⋅89¹⁶⋅89²⋅89¹

≡ 37 ⋅ 180 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 6660 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271 ≡ 156 ⋅ 198 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 30888 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271 ≡ 265 ⋅ 62 ⋅ 89 mod 271
≡ 16430 ⋅ 89 mod 271 ≡ 170 ⋅ 89 mod 271
≡ 15130 mod 271 ≡ 225 mod 271

Es gilt also: 89¹⁷⁹ ≡ 225 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32

=>53	= 1⋅32 + 21
=>32	= 1⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 32-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1)
21= 53-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32) = 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +5⋅32

Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1

Somit 5⋅32 = 1 mod 53

5 ist also das Inverse von 32 mod 53