Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 + 799) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 + 799) mod 8 ≡ (8002 mod 8 + 799 mod 8) mod 8.

8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 8 ⋅ 1000 +2.

799 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 800-1 = 8 ⋅ 100 -1 = 8 ⋅ 100 - 8 + 7.

Somit gilt:

(8002 + 799) mod 8 ≡ (2 + 7) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 59) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 59) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 59 mod 11) mod 11.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 59) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12816 mod 337.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 128 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1281=128

2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337

4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337

16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 123219 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 1231=123

2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 223 mod 257

4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 128 mod 257

8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 193 mod 257

16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

128: 123128=12364+64=12364⋅12364 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

123219

= 123128+64+16+8+2+1

= 123128⋅12364⋅12316⋅1238⋅1232⋅1231

1 ⋅ 1 ⋅ 241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
1 ⋅ 241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
46513 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257 ≡ 253 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
56419 ⋅ 123 mod 257 ≡ 136 ⋅ 123 mod 257
16728 mod 257 ≡ 23 mod 257

Es gilt also: 123219 ≡ 23 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68

=>89 = 1⋅68 + 21
=>68 = 3⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 68-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21)
= -4⋅68 +13⋅ 21 (=1)
21= 89-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68)
= -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68)
= 13⋅89 -17⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68

oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅89 = -17⋅68

-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68

-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1

(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1

72⋅68 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1

Somit 72⋅68 = 1 mod 89

72 ist also das Inverse von 68 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.