Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14999 + 8997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14999 + 8997) mod 3 ≡ (14999 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
Somit gilt:
(14999 + 8997) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 33) mod 3 ≡ (62 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 33) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 550128 mod 821.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 550 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5501=550
2: 5502=5501+1=5501⋅5501 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 372 mod 821
4: 5504=5502+2=5502⋅5502 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 456 mod 821
8: 5508=5504+4=5504⋅5504 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 223 mod 821
16: 55016=5508+8=5508⋅5508 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 469 mod 821
32: 55032=55016+16=55016⋅55016 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 754 mod 821
64: 55064=55032+32=55032⋅55032 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 384 mod 821
128: 550128=55064+64=55064⋅55064 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 497 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 167208 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 162 mod 233
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 148 mod 233
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 2 mod 233
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 233
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
128: 167128=16764+64=16764⋅16764 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
167208
= 167128+64+16
= 167128⋅16764⋅16716
≡ 63 ⋅ 23 ⋅ 4 mod 233
≡ 1449 ⋅ 4 mod 233 ≡ 51 ⋅ 4 mod 233
≡ 204 mod 233
Es gilt also: 167208 ≡ 204 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.