Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (202 - 195) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(202 - 195) mod 5 ≡ (202 mod 5 - 195 mod 5) mod 5.
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195
= 190
Somit gilt:
(202 - 195) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 90) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 90) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 90) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1838 mod 251.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 106 mod 251
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 207250 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 253 mod 463
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 115 mod 463
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 261 mod 463
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 60 mod 463
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 359 mod 463
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 167 mod 463
128: 207128=20764+64=20764⋅20764 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 109 mod 463
207250
= 207128+64+32+16+8+2
= 207128⋅20764⋅20732⋅20716⋅2078⋅2072
≡ 109 ⋅ 167 ⋅ 359 ⋅ 60 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463
≡ 18203 ⋅ 359 ⋅ 60 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463 ≡ 146 ⋅ 359 ⋅ 60 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463
≡ 52414 ⋅ 60 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463 ≡ 95 ⋅ 60 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463
≡ 5700 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463 ≡ 144 ⋅ 261 ⋅ 253 mod 463
≡ 37584 ⋅ 253 mod 463 ≡ 81 ⋅ 253 mod 463
≡ 20493 mod 463 ≡ 121 mod 463
Es gilt also: 207250 ≡ 121 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84
| =>89 | = 1⋅84 + 5 |
| =>84 | = 16⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 84-16⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5) = -1⋅84 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84) = 17⋅89 -18⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -18⋅84
-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84
-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1
(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1
71⋅84 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1
Somit 71⋅84 = 1 mod 89
71 ist also das Inverse von 84 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.