Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28000 + 35007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28000 + 35007) mod 7 ≡ (28000 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
Somit gilt:
(28000 + 35007) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 46) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 46) mod 5 ≡ (52 mod 5 ⋅ 46 mod 5) mod 5.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 46) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25816 mod 857.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 575 mod 857
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 680 mod 857
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 477 mod 857
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 424 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152138 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 105 mod 211
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 53 mod 211
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 66 mod 211
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 136 mod 211
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 139 mod 211
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 120 mod 211
128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211
152138
= 152128+8+2
= 152128⋅1528⋅1522
≡ 52 ⋅ 66 ⋅ 105 mod 211
≡ 3432 ⋅ 105 mod 211 ≡ 56 ⋅ 105 mod 211
≡ 5880 mod 211 ≡ 183 mod 211
Es gilt also: 152138 ≡ 183 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.