Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 - 157) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 157) mod 4 ≡ (123 mod 4 - 157 mod 4) mod 4.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 4 ⋅ 40 -3 = 4 ⋅ 40 - 4 + 1.

Somit gilt:

(123 - 157) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 21) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 21) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30132 mod 439.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3011=301

2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 167 mod 439

4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 232 mod 439

8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 266 mod 439

16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 77 mod 439

32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 222 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476184 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 490 mod 769

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 172 mod 769

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 362 mod 769

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 314 mod 769

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 164 mod 769

64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769

128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769

476184

= 476128+32+16+8

= 476128⋅47632⋅47616⋅4768

361 ⋅ 164 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769
59204 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769 ≡ 760 ⋅ 314 ⋅ 362 mod 769
238640 ⋅ 362 mod 769 ≡ 250 ⋅ 362 mod 769
90500 mod 769 ≡ 527 mod 769

Es gilt also: 476184 ≡ 527 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83 = 2⋅34 + 15
=>34 = 2⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15)
= 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34)
= -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.