Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 + 2501) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 + 2501) mod 5 ≡ (246 mod 5 + 2501 mod 5) mod 5.
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501
= 2500
Somit gilt:
(246 + 2501) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 41) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 41) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 41 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 41) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2448 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 231 mod 409
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 191 mod 409
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 80 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 410162 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 4101=410
2: 4102=4101+1=4101⋅4101 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 458 mod 769
4: 4104=4102+2=4102⋅4102 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 596 mod 769
8: 4108=4104+4=4104⋅4104 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 707 mod 769
16: 41016=4108+8=4108⋅4108 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 768 mod 769
32: 41032=41016+16=41016⋅41016 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 1 mod 769
64: 41064=41032+32=41032⋅41032 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769
128: 410128=41064+64=41064⋅41064 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769
410162
= 410128+32+2
= 410128⋅41032⋅4102
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 458 mod 769
≡ 1 ⋅ 458 mod 769
≡ 458 mod 769
Es gilt also: 410162 ≡ 458 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62
| =>83 | = 1⋅62 + 21 |
| =>62 | = 2⋅21 + 20 |
| =>21 | = 1⋅20 + 1 |
| =>20 | = 20⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-1⋅20 | |||
| 20= 62-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21) = -1⋅62 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62) = 3⋅83 -4⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -4⋅62
-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62
-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1
(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1
79⋅62 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1
Somit 79⋅62 = 1 mod 83
79 ist also das Inverse von 62 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.