Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (147 - 120) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(147 - 120) mod 3 ≡ (147 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(147 - 120) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2768 mod 797.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2761=276

2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 461 mod 797

4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 519 mod 797

8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 772 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 214176 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 141 mod 397

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 31 mod 397

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 31⋅31=961 ≡ 167 mod 397

16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 99 mod 397

32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 273 mod 397

64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 290 mod 397

128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 333 mod 397

214176

= 214128+32+16

= 214128⋅21432⋅21416

333 ⋅ 273 ⋅ 99 mod 397
90909 ⋅ 99 mod 397 ≡ 393 ⋅ 99 mod 397
38907 mod 397 ≡ 1 mod 397

Es gilt also: 214176 ≡ 1 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52

=>67 = 1⋅52 + 15
=>52 = 3⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 52-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15)
= -2⋅52 +7⋅ 15 (=1)
15= 67-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52)
= 7⋅67 -9⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -9⋅52

-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52

-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1

(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1

58⋅52 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1

Somit 58⋅52 = 1 mod 67

58 ist also das Inverse von 52 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.