Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19996 - 995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19996 - 995) mod 5 ≡ (19996 mod 5 - 995 mod 5) mod 5.
19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996
= 19000
995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995
= 900
Somit gilt:
(19996 - 995) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 16) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 16) mod 8 ≡ (22 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.
22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.
16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 16) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11816 mod 229.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 118 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1181=118
2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 184 mod 229
4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229
8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229
16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24471 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 287 mod 331
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 281 mod 331
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 183 mod 331
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 58 mod 331
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 54 mod 331
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 268 mod 331
24471
= 24464+4+2+1
= 24464⋅2444⋅2442⋅2441
≡ 268 ⋅ 281 ⋅ 287 ⋅ 244 mod 331
≡ 75308 ⋅ 287 ⋅ 244 mod 331 ≡ 171 ⋅ 287 ⋅ 244 mod 331
≡ 49077 ⋅ 244 mod 331 ≡ 89 ⋅ 244 mod 331
≡ 21716 mod 331 ≡ 201 mod 331
Es gilt also: 24471 ≡ 201 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.