Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 + 35996) mod 9 ≡ (9002 mod 9 + 35996 mod 9) mod 9.

9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 9 ⋅ 1000 +2.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(9002 + 35996) mod 9 ≡ (2 + 5) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 842¹=842

2: 842²=842¹⁺¹=842¹⋅842¹ ≡ 842⋅842=708964 ≡ 608 mod 947

4: 842⁴=842²⁺²=842²⋅842² ≡ 608⋅608=369664 ≡ 334 mod 947

8: 842⁸=842⁴⁺⁴=842⁴⋅842⁴ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 757 mod 947

16: 842¹⁶=842⁸⁺⁸=842⁸⋅842⁸ ≡ 757⋅757=573049 ≡ 114 mod 947

32: 842³²=842¹⁶⁺¹⁶=842¹⁶⋅842¹⁶ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 685 mod 947

64: 842⁶⁴=842³²⁺³²=842³²⋅842³² ≡ 685⋅685=469225 ≡ 460 mod 947

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

175¹⁸³

= 175^{128+32+16+4+2+1}

= 175¹²⁸⋅175³²⋅175¹⁶⋅175⁴⋅175²⋅175¹

≡ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
≡ 23305 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 52 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
≡ 15340 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 175 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
≡ 13825 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 8 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
≡ 2360 ⋅ 175 mod 337 ≡ 1 ⋅ 175 mod 337
≡ 175 mod 337

Es gilt also: 175¹⁸³ ≡ 175 mod 337

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67