Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 + 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 + 40) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
Somit gilt:
(80 + 40) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 17) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 17) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.
100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 17) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2918 mod 947.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 398 mod 947
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 255 mod 947
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 629 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25478 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 302 mod 331
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 179 mod 331
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 265 mod 331
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 53 mod 331
32: 25432=25416+16=25416⋅25416 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 161 mod 331
64: 25464=25432+32=25432⋅25432 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 103 mod 331
25478
= 25464+8+4+2
= 25464⋅2548⋅2544⋅2542
≡ 103 ⋅ 265 ⋅ 179 ⋅ 302 mod 331
≡ 27295 ⋅ 179 ⋅ 302 mod 331 ≡ 153 ⋅ 179 ⋅ 302 mod 331
≡ 27387 ⋅ 302 mod 331 ≡ 245 ⋅ 302 mod 331
≡ 73990 mod 331 ≡ 177 mod 331
Es gilt also: 25478 ≡ 177 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.