Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 - 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 - 88) mod 3 ≡ (12002 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.
12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(12002 - 88) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 32) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 32) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 32) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6388 mod 991.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 638 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6381=638
2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 734 mod 991
4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 643 mod 991
8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 202 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 372205 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 235 mod 661
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 362 mod 661
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 166 mod 661
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 455 mod 661
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 132 mod 661
64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 238 mod 661
128: 372128=37264+64=37264⋅37264 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 459 mod 661
372205
= 372128+64+8+4+1
= 372128⋅37264⋅3728⋅3724⋅3721
≡ 459 ⋅ 238 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
≡ 109242 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661 ≡ 177 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
≡ 29382 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661 ≡ 298 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
≡ 107876 ⋅ 372 mod 661 ≡ 133 ⋅ 372 mod 661
≡ 49476 mod 661 ≡ 562 mod 661
Es gilt also: 372205 ≡ 562 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.