Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2002 + 4000) mod 4 ≡ (2002 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.

2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 4 ⋅ 500 +2.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(2002 + 4000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 56) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 56) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 360¹=360

2: 360²=360¹⁺¹=360¹⋅360¹ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 359 mod 499

4: 360⁴=360²⁺²=360²⋅360² ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499

8: 360⁸=360⁴⁺⁴=360⁴⋅360⁴ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499

16: 360¹⁶=360⁸⁺⁸=360⁸⋅360⁸ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499

32: 360³²=360¹⁶⁺¹⁶=360¹⁶⋅360¹⁶ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499

64: 360⁶⁴=360³²⁺³²=360³²⋅360³² ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499

128: 360¹²⁸=360⁶⁴⁺⁶⁴=360⁶⁴⋅360⁶⁴ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

89¹⁸⁴

= 89^128+32+16+8

= 89¹²⁸⋅89³²⋅89¹⁶⋅89⁸

≡ 210 ⋅ 35 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263
≡ 7350 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263 ≡ 249 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263
≡ 19422 ⋅ 128 mod 263 ≡ 223 ⋅ 128 mod 263
≡ 28544 mod 263 ≡ 140 mod 263

Es gilt also: 89¹⁸⁴ ≡ 140 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53