Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40007 + 85) mod 8 ≡ (40007 mod 8 + 85 mod 8) mod 8.

40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007 = 40000+7 = 8 ⋅ 5000 +7.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80+5 = 8 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(40007 + 85) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 98) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 98 mod 10) mod 10.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 98) mod 10 ≡ (7 ⋅ 8) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 746¹=746

2: 746²=746¹⁺¹=746¹⋅746¹ ≡ 746⋅746=556516 ≡ 133 mod 971

4: 746⁴=746²⁺²=746²⋅746² ≡ 133⋅133=17689 ≡ 211 mod 971

8: 746⁸=746⁴⁺⁴=746⁴⋅746⁴ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 826 mod 971

16: 746¹⁶=746⁸⁺⁸=746⁸⋅746⁸ ≡ 826⋅826=682276 ≡ 634 mod 971

32: 746³²=746¹⁶⁺¹⁶=746¹⁶⋅746¹⁶ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 933 mod 971

64: 746⁶⁴=746³²⁺³²=746³²⋅746³² ≡ 933⋅933=870489 ≡ 473 mod 971

128: 746¹²⁸=746⁶⁴⁺⁶⁴=746⁶⁴⋅746⁶⁴ ≡ 473⋅473=223729 ≡ 399 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

376⁹¹

= 376^64+16+8+2+1

= 376⁶⁴⋅376¹⁶⋅376⁸⋅376²⋅376¹

≡ 252 ⋅ 692 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
≡ 174384 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701 ≡ 536 ⋅ 296 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
≡ 158656 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701 ≡ 230 ⋅ 475 ⋅ 376 mod 701
≡ 109250 ⋅ 376 mod 701 ≡ 595 ⋅ 376 mod 701
≡ 223720 mod 701 ≡ 101 mod 701

Es gilt also: 376⁹¹ ≡ 101 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38

=>97	= 2⋅38 + 21
=>38	= 1⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 97-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38) = 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38) = -9⋅97 +23⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38

oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅97 = +23⋅38

Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1

Somit 23⋅38 = 1 mod 97

23 ist also das Inverse von 38 mod 97