Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (157 - 120) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 120) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.

157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 4 ⋅ 40 -3 = 4 ⋅ 40 - 4 + 1.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(157 - 120) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 31) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 31) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 31) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 354128 mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 354 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3541=354

2: 3542=3541+1=3541⋅3541 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 125 mod 599

4: 3544=3542+2=3542⋅3542 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 51 mod 599

8: 3548=3544+4=3544⋅3544 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 205 mod 599

16: 35416=3548+8=3548⋅3548 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 95 mod 599

32: 35432=35416+16=35416⋅35416 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 40 mod 599

64: 35464=35432+32=35432⋅35432 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 402 mod 599

128: 354128=35464+64=35464⋅35464 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 473 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440171 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 443 mod 829

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 605 mod 829

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 436 mod 829

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 255 mod 829

32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 363 mod 829

64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 787 mod 829

128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 106 mod 829

440171

= 440128+32+8+2+1

= 440128⋅44032⋅4408⋅4402⋅4401

106 ⋅ 363 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
38478 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829 ≡ 344 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
149984 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829 ≡ 764 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
338452 ⋅ 440 mod 829 ≡ 220 ⋅ 440 mod 829
96800 mod 829 ≡ 636 mod 829

Es gilt also: 440171 ≡ 636 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35

=>67 = 1⋅35 + 32
=>35 = 1⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 35-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32)
= 11⋅35 -12⋅ 32 (=1)
32= 67-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35)
= -12⋅67 +23⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35

oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +12⋅67 = +23⋅35

Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1

Somit 23⋅35 = 1 mod 67

23 ist also das Inverse von 35 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.