Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (603 + 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(603 + 29) mod 3 ≡ (603 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(603 + 29) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 99) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 99) mod 4 ≡ (20 mod 4 ⋅ 99 mod 4) mod 4.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 99) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36964 mod 857.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 369 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 755 mod 857
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 688 mod 857
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 280 mod 857
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 413 mod 857
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 26 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 520231 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 219 mod 691
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 282 mod 691
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 59 mod 691
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 26 mod 691
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 691
64: 52064=52032+32=52032⋅52032 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 225 mod 691
128: 520128=52064+64=52064⋅52064 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 182 mod 691
520231
= 520128+64+32+4+2+1
= 520128⋅52064⋅52032⋅5204⋅5202⋅5201
≡ 182 ⋅ 225 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 40950 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 181 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 122356 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 49 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 13818 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 689 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 150891 ⋅ 520 mod 691 ≡ 253 ⋅ 520 mod 691
≡ 131560 mod 691 ≡ 270 mod 691
Es gilt also: 520231 ≡ 270 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
