Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36009 - 45001) mod 9 ≡ (36009 mod 9 - 45001 mod 9) mod 9.

36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009 = 36000+9 = 9 ⋅ 4000 +9.

45001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45001 = 45000+1 = 9 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(36009 - 45001) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 71) mod 11 ≡ (57 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 71) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 206¹=206

2: 206²=206¹⁺¹=206¹⋅206¹ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 5 mod 281

4: 206⁴=206²⁺²=206²⋅206² ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 281

8: 206⁸=206⁴⁺⁴=206⁴⋅206⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 63 mod 281

16: 206¹⁶=206⁸⁺⁸=206⁸⋅206⁸ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

230²⁴⁷

= 230^{128+64+32+16+4+2+1}

= 230¹²⁸⋅230⁶⁴⋅230³²⋅230¹⁶⋅230⁴⋅230²⋅230¹

≡ 153 ⋅ 54 ⋅ 19 ⋅ 68 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307
≡ 8262 ⋅ 19 ⋅ 68 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307 ≡ 280 ⋅ 19 ⋅ 68 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307
≡ 5320 ⋅ 68 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307 ≡ 101 ⋅ 68 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307
≡ 6868 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307 ≡ 114 ⋅ 6 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307
≡ 684 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307 ≡ 70 ⋅ 96 ⋅ 230 mod 307
≡ 6720 ⋅ 230 mod 307 ≡ 273 ⋅ 230 mod 307
≡ 62790 mod 307 ≡ 162 mod 307

Es gilt also: 230²⁴⁷ ≡ 162 mod 307

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101