Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 51) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 51) mod 5 ≡ (150 mod 5 - 51 mod 5) mod 5.
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51
= 50
Somit gilt:
(150 - 51) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 62) mod 6 ≡ (65 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 62) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7378 mod 743.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 737 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7371=737
2: 7372=7371+1=7371⋅7371 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 36 mod 743
4: 7374=7372+2=7372⋅7372 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 553 mod 743
8: 7378=7374+4=7374⋅7374 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 436 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 445151 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 152 mod 491
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 27 mod 491
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 27⋅27=729 ≡ 238 mod 491
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 179 mod 491
32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 126 mod 491
64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 164 mod 491
128: 445128=44564+64=44564⋅44564 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 382 mod 491
445151
= 445128+16+4+2+1
= 445128⋅44516⋅4454⋅4452⋅4451
≡ 382 ⋅ 179 ⋅ 27 ⋅ 152 ⋅ 445 mod 491
≡ 68378 ⋅ 27 ⋅ 152 ⋅ 445 mod 491 ≡ 129 ⋅ 27 ⋅ 152 ⋅ 445 mod 491
≡ 3483 ⋅ 152 ⋅ 445 mod 491 ≡ 46 ⋅ 152 ⋅ 445 mod 491
≡ 6992 ⋅ 445 mod 491 ≡ 118 ⋅ 445 mod 491
≡ 52510 mod 491 ≡ 464 mod 491
Es gilt also: 445151 ≡ 464 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.