Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3001 - 1201) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3001 - 1201) mod 6 ≡ (3001 mod 6 - 1201 mod 6) mod 6.
3001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(3001 - 1201) mod 6 ≡ (1 - 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 25) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 25) mod 9 ≡ (16 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.
16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.
25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 25) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16864 mod 367.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 168 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1681=168
2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 332 mod 367
4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 124 mod 367
8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 329 mod 367
16: 16816=1688+8=1688⋅1688 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 343 mod 367
32: 16832=16816+16=16816⋅16816 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 209 mod 367
64: 16864=16832+32=16832⋅16832 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 8 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 190147 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 1901=190
2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 94 mod 353
4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 11 mod 353
8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 353
16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 168 mod 353
32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 337 mod 353
64: 19064=19032+32=19032⋅19032 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
128: 190128=19064+64=19064⋅19064 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 231 mod 353
190147
= 190128+16+2+1
= 190128⋅19016⋅1902⋅1901
≡ 231 ⋅ 168 ⋅ 94 ⋅ 190 mod 353
≡ 38808 ⋅ 94 ⋅ 190 mod 353 ≡ 331 ⋅ 94 ⋅ 190 mod 353
≡ 31114 ⋅ 190 mod 353 ≡ 50 ⋅ 190 mod 353
≡ 9500 mod 353 ≡ 322 mod 353
Es gilt also: 190147 ≡ 322 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.