Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (172 + 3608) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(172 + 3608) mod 9 ≡ (172 mod 9 + 3608 mod 9) mod 9.

172 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 172 = 180-8 = 9 ⋅ 20 -8 = 9 ⋅ 20 - 9 + 1.

3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608 = 3600+8 = 9 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(172 + 3608) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 38) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39064 mod 619.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 390 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3901=390

2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 445 mod 619

4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 564 mod 619

8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 549 mod 619

16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 567 mod 619

32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 228 mod 619

64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 607 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 254245 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 2541=254

2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 154 mod 631

4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 369 mod 631

8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 496 mod 631

16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 557 mod 631

32: 25432=25416+16=25416⋅25416 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 428 mod 631

64: 25464=25432+32=25432⋅25432 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 194 mod 631

128: 254128=25464+64=25464⋅25464 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 407 mod 631

254245

= 254128+64+32+16+4+1

= 254128⋅25464⋅25432⋅25416⋅2544⋅2541

≡ 407 ⋅ 194 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 78958 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 83 ⋅ 428 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 35524 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 188 ⋅ 557 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 104716 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631 ≡ 601 ⋅ 369 ⋅ 254 mod 631
≡ 221769 ⋅ 254 mod 631 ≡ 288 ⋅ 254 mod 631
≡ 73152 mod 631 ≡ 587 mod 631

Es gilt also: 254245 ≡ 587 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.