Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (806 + 3205) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(806 + 3205) mod 8 ≡ (806 mod 8 + 3205 mod 8) mod 8.
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205
= 3200
Somit gilt:
(806 + 3205) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 16) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 16) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 16 mod 3) mod 3.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 16) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 274128 mod 421.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 274 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 138 mod 421
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 99 mod 421
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 118 mod 421
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 31 mod 421
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 31⋅31=961 ≡ 119 mod 421
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 268 mod 421
128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 254 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 231219 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 158 mod 641
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 606 mod 641
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 584 mod 641
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 44 mod 641
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 13 mod 641
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 641
128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
231219
= 231128+64+16+8+2+1
= 231128⋅23164⋅23116⋅2318⋅2312⋅2311
≡ 357 ⋅ 169 ⋅ 44 ⋅ 584 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641
≡ 60333 ⋅ 44 ⋅ 584 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641 ≡ 79 ⋅ 44 ⋅ 584 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641
≡ 3476 ⋅ 584 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641 ≡ 271 ⋅ 584 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641
≡ 158264 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641 ≡ 578 ⋅ 158 ⋅ 231 mod 641
≡ 91324 ⋅ 231 mod 641 ≡ 302 ⋅ 231 mod 641
≡ 69762 mod 641 ≡ 534 mod 641
Es gilt also: 231219 ≡ 534 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
