Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (147 + 9001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(147 + 9001) mod 3 ≡ (147 mod 3 + 9001 mod 3) mod 3.
147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 150
9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
Somit gilt:
(147 + 9001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 16) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 16) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 16) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 347128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 691 mod 739
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 87 mod 739
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 179 mod 739
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 264 mod 739
32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 230 mod 739
64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 431 mod 739
128: 347128=34764+64=34764⋅34764 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 272 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 848196 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 8481=848
2: 8482=8481+1=8481⋅8481 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 542 mod 953
4: 8484=8482+2=8482⋅8482 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 240 mod 953
8: 8488=8484+4=8484⋅8484 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 420 mod 953
16: 84816=8488+8=8488⋅8488 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 95 mod 953
32: 84832=84816+16=84816⋅84816 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 448 mod 953
64: 84864=84832+32=84832⋅84832 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 574 mod 953
128: 848128=84864+64=84864⋅84864 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 691 mod 953
848196
= 848128+64+4
= 848128⋅84864⋅8484
≡ 691 ⋅ 574 ⋅ 240 mod 953
≡ 396634 ⋅ 240 mod 953 ≡ 186 ⋅ 240 mod 953
≡ 44640 mod 953 ≡ 802 mod 953
Es gilt also: 848196 ≡ 802 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
