Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11997 + 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11997 + 82) mod 4 ≡ (11997 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.
11997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 11000
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(11997 + 82) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 61) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 61) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.
42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 61) mod 10 ≡ (2 ⋅ 1) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34116 mod 827.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 501 mod 827
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 420 mod 827
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 249 mod 827
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 803 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 717142 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 7171=717
2: 7172=7171+1=7171⋅7171 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 422 mod 953
4: 7174=7172+2=7172⋅7172 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 826 mod 953
8: 7178=7174+4=7174⋅7174 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 881 mod 953
16: 71716=7178+8=7178⋅7178 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 419 mod 953
32: 71732=71716+16=71716⋅71716 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 209 mod 953
64: 71764=71732+32=71732⋅71732 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 796 mod 953
128: 717128=71764+64=71764⋅71764 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 824 mod 953
717142
= 717128+8+4+2
= 717128⋅7178⋅7174⋅7172
≡ 824 ⋅ 881 ⋅ 826 ⋅ 422 mod 953
≡ 725944 ⋅ 826 ⋅ 422 mod 953 ≡ 711 ⋅ 826 ⋅ 422 mod 953
≡ 587286 ⋅ 422 mod 953 ≡ 238 ⋅ 422 mod 953
≡ 100436 mod 953 ≡ 371 mod 953
Es gilt also: 717142 ≡ 371 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19
| =>53 | = 2⋅19 + 15 |
| =>19 | = 1⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 19-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +14⋅19
Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1
Somit 14⋅19 = 1 mod 53
14 ist also das Inverse von 19 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.