Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3004 + 240) mod 6 ≡ (3004 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.

3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004 = 3000+4 = 6 ⋅ 500 +4.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(3004 + 240) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 18) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 18) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 105¹=105

2: 105²=105¹⁺¹=105¹⋅105¹ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 185 mod 271

4: 105⁴=105²⁺²=105²⋅105² ≡ 185⋅185=34225 ≡ 79 mod 271

8: 105⁸=105⁴⁺⁴=105⁴⋅105⁴ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 8 mod 271

16: 105¹⁶=105⁸⁺⁸=105⁸⋅105⁸ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 271

32: 105³²=105¹⁶⁺¹⁶=105¹⁶⋅105¹⁶ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 31 mod 271

64: 105⁶⁴=105³²⁺³²=105³²⋅105³² ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

93¹⁷⁹

= 93^{128+32+16+2+1}

= 93¹²⁸⋅93³²⋅93¹⁶⋅93²⋅93¹

≡ 153 ⋅ 117 ⋅ 86 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251
≡ 17901 ⋅ 86 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251 ≡ 80 ⋅ 86 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251
≡ 6880 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251 ≡ 103 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251
≡ 11845 ⋅ 93 mod 251 ≡ 48 ⋅ 93 mod 251
≡ 4464 mod 251 ≡ 197 mod 251

Es gilt also: 93¹⁷⁹ ≡ 197 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61	= 3⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61