Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4003 - 15997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4003 - 15997) mod 4 ≡ (4003 mod 4 - 15997 mod 4) mod 4.
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
Somit gilt:
(4003 - 15997) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 85) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 85) mod 8 ≡ (26 mod 8 ⋅ 85 mod 8) mod 8.
26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 85) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3368 mod 461.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 336 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 412 mod 461
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 96 mod 461
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 457 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 150165 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 134 mod 211
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 21 mod 211
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 21⋅21=441 ≡ 19 mod 211
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 19⋅19=361 ≡ 150 mod 211
32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 134 mod 211
64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 21 mod 211
128: 150128=15064+64=15064⋅15064 ≡ 21⋅21=441 ≡ 19 mod 211
150165
= 150128+32+4+1
= 150128⋅15032⋅1504⋅1501
≡ 19 ⋅ 134 ⋅ 21 ⋅ 150 mod 211
≡ 2546 ⋅ 21 ⋅ 150 mod 211 ≡ 14 ⋅ 21 ⋅ 150 mod 211
≡ 294 ⋅ 150 mod 211 ≡ 83 ⋅ 150 mod 211
≡ 12450 mod 211 ≡ 1 mod 211
Es gilt also: 150165 ≡ 1 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59
| =>101 | = 1⋅59 + 42 |
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
| 42= 101-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59) = -7⋅101 +12⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59
oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅101 = +12⋅59
Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1
Somit 12⋅59 = 1 mod 101
12 ist also das Inverse von 59 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.