Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23995 - 314) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 314) mod 8 ≡ (23995 mod 8 - 314 mod 8) mod 8.

23995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 23000+995 = 8 ⋅ 2875 +995.

314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314 = 320-6 = 8 ⋅ 40 -6 = 8 ⋅ 40 - 8 + 2.

Somit gilt:

(23995 - 314) mod 8 ≡ (3 - 2) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 91) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 91) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 91) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10132 mod 271.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 101 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1011=101

2: 1012=1011+1=1011⋅1011 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 174 mod 271

4: 1014=1012+2=1012⋅1012 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 195 mod 271

8: 1018=1014+4=1014⋅1014 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 85 mod 271

16: 10116=1018+8=1018⋅1018 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 179 mod 271

32: 10132=10116+16=10116⋅10116 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 63 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 675236 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 6751=675

2: 6752=6751+1=6751⋅6751 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 676 mod 701

4: 6754=6752+2=6752⋅6752 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 625 mod 701

8: 6758=6754+4=6754⋅6754 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 168 mod 701

16: 67516=6758+8=6758⋅6758 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 184 mod 701

32: 67532=67516+16=67516⋅67516 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 208 mod 701

64: 67564=67532+32=67532⋅67532 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 503 mod 701

128: 675128=67564+64=67564⋅67564 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 649 mod 701

675236

= 675128+64+32+8+4

= 675128⋅67564⋅67532⋅6758⋅6754

649 ⋅ 503 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
326447 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701 ≡ 482 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
100256 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701 ≡ 13 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
2184 ⋅ 625 mod 701 ≡ 81 ⋅ 625 mod 701
50625 mod 701 ≡ 153 mod 701

Es gilt also: 675236 ≡ 153 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53 = 1⋅41 + 12
=>41 = 3⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12)
= 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41)
= -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.