Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 - 598) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 - 598) mod 3 ≡ (1199 mod 3 - 598 mod 3) mod 3.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1199 - 598) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 30) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 30) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 30) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 396128 mod 997.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 287 mod 997

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 615 mod 997

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 362 mod 997

16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 437 mod 997

32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 542 mod 997

64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 646 mod 997

128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 570 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 297123 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 2971=297

2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 75 mod 397

4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 122 mod 397

16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 195 mod 397

32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 310 mod 397

64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 26 mod 397

297123

= 29764+32+16+8+2+1

= 29764⋅29732⋅29716⋅2978⋅2972⋅2971

26 ⋅ 310 ⋅ 195 ⋅ 122 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397
8060 ⋅ 195 ⋅ 122 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397 ≡ 120 ⋅ 195 ⋅ 122 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397
23400 ⋅ 122 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397 ≡ 374 ⋅ 122 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397
45628 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397 ≡ 370 ⋅ 75 ⋅ 297 mod 397
27750 ⋅ 297 mod 397 ≡ 357 ⋅ 297 mod 397
106029 mod 397 ≡ 30 mod 397

Es gilt also: 297123 ≡ 30 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36

=>83 = 2⋅36 + 11
=>36 = 3⋅11 + 3
=>11 = 3⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3)
= -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 36-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11)
= 4⋅36 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36)
= 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36)
= -13⋅83 +30⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +30⋅36

Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1

Somit 30⋅36 = 1 mod 83

30 ist also das Inverse von 36 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.