Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 + 83) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 + 83) mod 4 ≡ (123 mod 4 + 83 mod 4) mod 4.
123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
Somit gilt:
(123 + 83) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 52) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 52 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76232 mod 877.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 762 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7621=762
2: 7622=7621+1=7621⋅7621 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 70 mod 877
4: 7624=7622+2=7622⋅7622 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 515 mod 877
8: 7628=7624+4=7624⋅7624 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 371 mod 877
16: 76216=7628+8=7628⋅7628 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 829 mod 877
32: 76232=76216+16=76216⋅76216 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 550 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 195206 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 315 mod 419
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419
64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419
128: 195128=19564+64=19564⋅19564 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 4 mod 419
195206
= 195128+64+8+4+2
= 195128⋅19564⋅1958⋅1954⋅1952
≡ 4 ⋅ 417 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
≡ 1668 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419 ≡ 411 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
≡ 89598 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419 ≡ 351 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
≡ 119691 ⋅ 315 mod 419 ≡ 276 ⋅ 315 mod 419
≡ 86940 mod 419 ≡ 207 mod 419
Es gilt also: 195206 ≡ 207 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38
| =>89 | = 2⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38) = 3⋅89 -7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38
oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅89 = -7⋅38
-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38
-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1
(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1
82⋅38 = 35⋅89 + 1
Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1
Somit 82⋅38 = 1 mod 89
82 ist also das Inverse von 38 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.