Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 + 7996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 + 7996) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 7996 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
Somit gilt:
(84 + 7996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 48) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 48) mod 3 ≡ (69 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.
69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 48) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14616 mod 331.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 146 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1461=146
2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 132 mod 331
4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 212 mod 331
8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 259 mod 331
16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 219 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36460 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 207 mod 503
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 94 mod 503
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 285 mod 503
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 242 mod 503
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 216 mod 503
36460
= 36432+16+8+4
= 36432⋅36416⋅3648⋅3644
≡ 216 ⋅ 242 ⋅ 285 ⋅ 94 mod 503
≡ 52272 ⋅ 285 ⋅ 94 mod 503 ≡ 463 ⋅ 285 ⋅ 94 mod 503
≡ 131955 ⋅ 94 mod 503 ≡ 169 ⋅ 94 mod 503
≡ 15886 mod 503 ≡ 293 mod 503
Es gilt also: 36460 ≡ 293 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.