Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(319 - 3207) mod 8 ≡ (319 mod 8 - 3207 mod 8) mod 8.

319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319 = 320-1 = 8 ⋅ 40 -1 = 8 ⋅ 40 - 8 + 7.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

Somit gilt:

(319 - 3207) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 47) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 47) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 707¹=707

2: 707²=707¹⁺¹=707¹⋅707¹ ≡ 707⋅707=499849 ≡ 172 mod 863

4: 707⁴=707²⁺²=707²⋅707² ≡ 172⋅172=29584 ≡ 242 mod 863

8: 707⁸=707⁴⁺⁴=707⁴⋅707⁴ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 743 mod 863

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

498²³⁹

= 498^{128+64+32+8+4+2+1}

= 498¹²⁸⋅498⁶⁴⋅498³²⋅498⁸⋅498⁴⋅498²⋅498¹

≡ 43 ⋅ 546 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
≡ 23478 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 285 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
≡ 112575 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 46 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
≡ 18400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 361 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
≡ 7220 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 348 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
≡ 212976 ⋅ 498 mod 859 ≡ 803 ⋅ 498 mod 859
≡ 399894 mod 859 ≡ 459 mod 859

Es gilt also: 498²³⁹ ≡ 459 mod 859

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101	= 2⋅47 + 7
=>47	= 6⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47) = 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101