Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11997 - 151) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 - 151) mod 3 ≡ (11997 mod 3 - 151 mod 3) mod 3.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(11997 - 151) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2288 mod 281.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2281=228

2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 280 mod 281

4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 1 mod 281

8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54275 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 5421=542

2: 5422=5421+1=5421⋅5421 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 137 mod 613

4: 5424=5422+2=5422⋅5422 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 379 mod 613

8: 5428=5424+4=5424⋅5424 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 199 mod 613

16: 54216=5428+8=5428⋅5428 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 369 mod 613

32: 54232=54216+16=54216⋅54216 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 75 mod 613

64: 54264=54232+32=54232⋅54232 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 108 mod 613

54275

= 54264+8+2+1

= 54264⋅5428⋅5422⋅5421

108 ⋅ 199 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613
21492 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613 ≡ 37 ⋅ 137 ⋅ 542 mod 613
5069 ⋅ 542 mod 613 ≡ 165 ⋅ 542 mod 613
89430 mod 613 ≡ 545 mod 613

Es gilt also: 54275 ≡ 545 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59 = 1⋅52 + 7
=>52 = 7⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7)
= -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52)
= 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.