Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 + 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 + 60) mod 3 ≡ (59 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59
= 60
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(59 + 60) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 73) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 73) mod 5 ≡ (37 mod 5 ⋅ 73 mod 5) mod 5.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 73) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17016 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 42 mod 307
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 229 mod 307
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 251 mod 307
16: 17016=1708+8=1708⋅1708 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 66 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 679221 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 6791=679
2: 6792=6791+1=6791⋅6791 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 117 mod 829
4: 6794=6792+2=6792⋅6792 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 425 mod 829
8: 6798=6794+4=6794⋅6794 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 732 mod 829
16: 67916=6798+8=6798⋅6798 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 290 mod 829
32: 67932=67916+16=67916⋅67916 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 371 mod 829
64: 67964=67932+32=67932⋅67932 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 27 mod 829
128: 679128=67964+64=67964⋅67964 ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 829
679221
= 679128+64+16+8+4+1
= 679128⋅67964⋅67916⋅6798⋅6794⋅6791
≡ 729 ⋅ 27 ⋅ 290 ⋅ 732 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829
≡ 19683 ⋅ 290 ⋅ 732 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829 ≡ 616 ⋅ 290 ⋅ 732 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829
≡ 178640 ⋅ 732 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829 ≡ 405 ⋅ 732 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829
≡ 296460 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829 ≡ 507 ⋅ 425 ⋅ 679 mod 829
≡ 215475 ⋅ 679 mod 829 ≡ 764 ⋅ 679 mod 829
≡ 518756 mod 829 ≡ 631 mod 829
Es gilt also: 679221 ≡ 631 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
