Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34999 - 27998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34999 - 27998) mod 7 ≡ (34999 mod 7 - 27998 mod 7) mod 7.
34999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34999
= 35000
27998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27998
= 28000
Somit gilt:
(34999 - 27998) mod 7 ≡ (6 - 5) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 75) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 75) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65632 mod 673.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 656 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6561=656
2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 289 mod 673
4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 69 mod 673
8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 50 mod 673
16: 65616=6568+8=6568⋅6568 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 481 mod 673
32: 65632=65616+16=65616⋅65616 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 522 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 608136 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 760 mod 809
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 783 mod 809
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 676 mod 809
16: 60816=6088+8=6088⋅6088 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 700 mod 809
32: 60832=60816+16=60816⋅60816 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 555 mod 809
64: 60864=60832+32=60832⋅60832 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 605 mod 809
128: 608128=60864+64=60864⋅60864 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 357 mod 809
608136
= 608128+8
= 608128⋅6088
≡ 357 ⋅ 676 mod 809
≡ 241332 mod 809 ≡ 250 mod 809
Es gilt also: 608136 ≡ 250 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.