Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2800 + 209) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2800 + 209) mod 7 ≡ (2800 mod 7 + 209 mod 7) mod 7.
2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800
= 2800
209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209
= 210
Somit gilt:
(2800 + 209) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 88) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 88) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 88 mod 5) mod 5.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 88) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7108 mod 883.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 710 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7101=710
2: 7102=7101+1=7101⋅7101 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 790 mod 883
4: 7104=7102+2=7102⋅7102 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 702 mod 883
8: 7108=7104+4=7104⋅7104 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 90 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 700177 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 634 mod 877
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 290 mod 877
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 785 mod 877
16: 70016=7008+8=7008⋅7008 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 571 mod 877
32: 70032=70016+16=70016⋅70016 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 674 mod 877
64: 70064=70032+32=70032⋅70032 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 867 mod 877
128: 700128=70064+64=70064⋅70064 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 100 mod 877
700177
= 700128+32+16+1
= 700128⋅70032⋅70016⋅7001
≡ 100 ⋅ 674 ⋅ 571 ⋅ 700 mod 877
≡ 67400 ⋅ 571 ⋅ 700 mod 877 ≡ 748 ⋅ 571 ⋅ 700 mod 877
≡ 427108 ⋅ 700 mod 877 ≡ 9 ⋅ 700 mod 877
≡ 6300 mod 877 ≡ 161 mod 877
Es gilt also: 700177 ≡ 161 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.