Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35993 - 8991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35993 - 8991) mod 9 ≡ (35993 mod 9 - 8991 mod 9) mod 9.
35993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35993
= 36000
8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991
= 9000
Somit gilt:
(35993 - 8991) mod 9 ≡ (2 - 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 22) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 22) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1408 mod 257.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 68 mod 257
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 255 mod 257
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 156168 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 47 mod 227
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 166 mod 227
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 89 mod 227
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 203 mod 227
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 122 mod 227
64: 15664=15632+32=15632⋅15632 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 129 mod 227
128: 156128=15664+64=15664⋅15664 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 70 mod 227
156168
= 156128+32+8
= 156128⋅15632⋅1568
≡ 70 ⋅ 122 ⋅ 89 mod 227
≡ 8540 ⋅ 89 mod 227 ≡ 141 ⋅ 89 mod 227
≡ 12549 mod 227 ≡ 64 mod 227
Es gilt also: 156168 ≡ 64 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.