Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8002 + 156) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8002 + 156) mod 8 ≡ (8002 mod 8 + 156 mod 8) mod 8.
8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002
= 8000
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
Somit gilt:
(8002 + 156) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 34) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 34) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.
68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.
34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 34) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4098 mod 787.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 409 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 437 mod 787
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 515 mod 787
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 6 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 464150 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 4641=464
2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 459 mod 653
4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 415 mod 653
8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 486 mod 653
16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 463 mod 653
32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 185 mod 653
64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 269 mod 653
128: 464128=46464+64=46464⋅46464 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 531 mod 653
464150
= 464128+16+4+2
= 464128⋅46416⋅4644⋅4642
≡ 531 ⋅ 463 ⋅ 415 ⋅ 459 mod 653
≡ 245853 ⋅ 415 ⋅ 459 mod 653 ≡ 325 ⋅ 415 ⋅ 459 mod 653
≡ 134875 ⋅ 459 mod 653 ≡ 357 ⋅ 459 mod 653
≡ 163863 mod 653 ≡ 613 mod 653
Es gilt also: 464150 ≡ 613 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.