Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3498 - 1398) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3498 - 1398) mod 7 ≡ (3498 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.
3498 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3498
= 3500
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
Somit gilt:
(3498 - 1398) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 50) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 50) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 50 mod 7) mod 7.
41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.
50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 50) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 417128 mod 503.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 417 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4171=417
2: 4172=4171+1=4171⋅4171 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 354 mod 503
4: 4174=4172+2=4172⋅4172 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 69 mod 503
8: 4178=4174+4=4174⋅4174 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 234 mod 503
16: 41716=4178+8=4178⋅4178 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 432 mod 503
32: 41732=41716+16=41716⋅41716 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 11 mod 503
64: 41764=41732+32=41732⋅41732 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 503
128: 417128=41764+64=41764⋅41764 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 54 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 227112 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257
227112
= 22764+32+16
= 22764⋅22732⋅22716
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 256 mod 257
≡ 1 ⋅ 256 mod 257
≡ 256 mod 257
Es gilt also: 227112 ≡ 256 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80
| =>101 | = 1⋅80 + 21 |
| =>80 | = 3⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 80-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +24⋅80
Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1
Somit 24⋅80 = 1 mod 101
24 ist also das Inverse von 80 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.