Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 + 59) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 + 59) mod 3 ≡ (1503 mod 3 + 59 mod 3) mod 3.
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59
= 60
Somit gilt:
(1503 + 59) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 83) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 83) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51964 mod 991.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 519 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5191=519
2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 800 mod 991
4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 805 mod 991
8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 902 mod 991
16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 902⋅902=813604 ≡ 984 mod 991
32: 51932=51916+16=51916⋅51916 ≡ 984⋅984=968256 ≡ 49 mod 991
64: 51964=51932+32=51932⋅51932 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 419 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33784 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 27 mod 397
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 27⋅27=729 ≡ 332 mod 397
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 255 mod 397
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 314 mod 397
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397
33784
= 33764+16+4
= 33764⋅33716⋅3374
≡ 147 ⋅ 314 ⋅ 332 mod 397
≡ 46158 ⋅ 332 mod 397 ≡ 106 ⋅ 332 mod 397
≡ 35192 mod 397 ≡ 256 mod 397
Es gilt also: 33784 ≡ 256 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.