Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (705 - 20993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(705 - 20993) mod 7 ≡ (705 mod 7 - 20993 mod 7) mod 7.
705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705
= 700
20993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20993
= 21000
Somit gilt:
(705 - 20993) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 48) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 48) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 48 mod 11) mod 11.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 48) mod 11 ≡ (3 ⋅ 4) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24332 mod 283.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 185 mod 283
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 265 mod 283
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 41 mod 283
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 266 mod 283
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 6 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 257180 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 728 mod 787
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 333 mod 787
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 709 mod 787
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 575 mod 787
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 85 mod 787
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 142 mod 787
128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 489 mod 787
257180
= 257128+32+16+4
= 257128⋅25732⋅25716⋅2574
≡ 489 ⋅ 85 ⋅ 575 ⋅ 333 mod 787
≡ 41565 ⋅ 575 ⋅ 333 mod 787 ≡ 641 ⋅ 575 ⋅ 333 mod 787
≡ 368575 ⋅ 333 mod 787 ≡ 259 ⋅ 333 mod 787
≡ 86247 mod 787 ≡ 464 mod 787
Es gilt also: 257180 ≡ 464 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.