Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7995 + 320) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7995 + 320) mod 8 ≡ (7995 mod 8 + 320 mod 8) mod 8.
7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995
= 7000
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
Somit gilt:
(7995 + 320) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 57) mod 6 ≡ (72 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.
72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 57) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43164 mod 907.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 431 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 733 mod 907
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 345 mod 907
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 208 mod 907
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 635 mod 907
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 517 mod 907
64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 631 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 414241 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 579 mod 587
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 64 mod 587
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 574 mod 587
16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 169 mod 587
32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 385 mod 587
64: 41464=41432+32=41432⋅41432 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 301 mod 587
128: 414128=41464+64=41464⋅41464 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 203 mod 587
414241
= 414128+64+32+16+1
= 414128⋅41464⋅41432⋅41416⋅4141
≡ 203 ⋅ 301 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 61103 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587 ≡ 55 ⋅ 385 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 21175 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587 ≡ 43 ⋅ 169 ⋅ 414 mod 587
≡ 7267 ⋅ 414 mod 587 ≡ 223 ⋅ 414 mod 587
≡ 92322 mod 587 ≡ 163 mod 587
Es gilt also: 414241 ≡ 163 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
