Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (250 + 25004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(250 + 25004) mod 5 ≡ (250 mod 5 + 25004 mod 5) mod 5.
250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250
= 250
25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004
= 25000
Somit gilt:
(250 + 25004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 94) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 94) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 94) mod 10 ≡ (4 ⋅ 4) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4308 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 430 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 582 mod 587
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 25 mod 587
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 25⋅25=625 ≡ 38 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 373159 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 82 mod 631
64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 414 mod 631
128: 373128=37364+64=37364⋅37364 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 395 mod 631
373159
= 373128+16+8+4+2+1
= 373128⋅37316⋅3738⋅3734⋅3732⋅3731
≡ 395 ⋅ 433 ⋅ 247 ⋅ 200 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631
≡ 171035 ⋅ 247 ⋅ 200 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631 ≡ 34 ⋅ 247 ⋅ 200 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631
≡ 8398 ⋅ 200 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631 ≡ 195 ⋅ 200 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631
≡ 39000 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631 ≡ 509 ⋅ 309 ⋅ 373 mod 631
≡ 157281 ⋅ 373 mod 631 ≡ 162 ⋅ 373 mod 631
≡ 60426 mod 631 ≡ 481 mod 631
Es gilt also: 373159 ≡ 481 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 31
| =>71 | = 2⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(71 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅71 -14⋅ 31) = 7⋅71 -16⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,31)=1 = 7⋅71 -16⋅31
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -16⋅31
-16⋅31 = -7⋅71 + 1 |+71⋅31
-16⋅31 + 71⋅31 = -7⋅71 + 71⋅31 + 1
(-16 + 71) ⋅ 31 = (-7 + 31) ⋅ 71 + 1
55⋅31 = 24⋅71 + 1
Es gilt also: 55⋅31 = 24⋅71 +1
Somit 55⋅31 = 1 mod 71
55 ist also das Inverse von 31 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.