Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 - 15997) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 - 15997) mod 4 ≡ (1197 mod 4 - 15997 mod 4) mod 4.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

Somit gilt:

(1197 - 15997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 70) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 70) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 70) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8168 mod 971.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 816 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8161=816

2: 8162=8161+1=8161⋅8161 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 721 mod 971

4: 8164=8162+2=8162⋅8162 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 356 mod 971

8: 8168=8164+4=8164⋅8164 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 506 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 752248 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

1: 7521=752

2: 7522=7521+1=7521⋅7521 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 818 mod 853

4: 7524=7522+2=7522⋅7522 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 372 mod 853

8: 7528=7524+4=7524⋅7524 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 198 mod 853

16: 75216=7528+8=7528⋅7528 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 819 mod 853

32: 75232=75216+16=75216⋅75216 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 303 mod 853

64: 75264=75232+32=75232⋅75232 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 538 mod 853

128: 752128=75264+64=75264⋅75264 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 277 mod 853

752248

= 752128+64+32+16+8

= 752128⋅75264⋅75232⋅75216⋅7528

277 ⋅ 538 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
149026 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 604 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
183012 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 470 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
384930 ⋅ 198 mod 853 ≡ 227 ⋅ 198 mod 853
44946 mod 853 ≡ 590 mod 853

Es gilt also: 752248 ≡ 590 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73 = 2⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25)
= 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.