Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (298 - 6004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(298 - 6004) mod 6 ≡ (298 mod 6 - 6004 mod 6) mod 6.
298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004
= 6000
Somit gilt:
(298 - 6004) mod 6 ≡ (4 - 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 56) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 56) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73128 mod 241.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 73 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 731=73
2: 732=731+1=731⋅731 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 27 mod 241
4: 734=732+2=732⋅732 ≡ 27⋅27=729 ≡ 6 mod 241
8: 738=734+4=734⋅734 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 241
16: 7316=738+8=738⋅738 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 91 mod 241
32: 7332=7316+16=7316⋅7316 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
64: 7364=7332+32=7332⋅7332 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
128: 73128=7364+64=7364⋅7364 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51277 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 222 mod 757
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 79 mod 757
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 185 mod 757
16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 160 mod 757
32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 619 mod 757
64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 119 mod 757
51277
= 51264+8+4+1
= 51264⋅5128⋅5124⋅5121
≡ 119 ⋅ 185 ⋅ 79 ⋅ 512 mod 757
≡ 22015 ⋅ 79 ⋅ 512 mod 757 ≡ 62 ⋅ 79 ⋅ 512 mod 757
≡ 4898 ⋅ 512 mod 757 ≡ 356 ⋅ 512 mod 757
≡ 182272 mod 757 ≡ 592 mod 757
Es gilt also: 51277 ≡ 592 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54
| =>61 | = 1⋅54 + 7 |
| =>54 | = 7⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 54-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +26⋅54
Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1
Somit 26⋅54 = 1 mod 61
26 ist also das Inverse von 54 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.