Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 401) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 401) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 401 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
Somit gilt:
(15997 - 401) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 77) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 77) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 77) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1518 mod 419.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 175 mod 419
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 38 mod 419
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 187 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 348135 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 13 mod 419
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 419
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 69 mod 419
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 152 mod 419
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 59 mod 419
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 129 mod 419
128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 300 mod 419
348135
= 348128+4+2+1
= 348128⋅3484⋅3482⋅3481
≡ 300 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419
≡ 50700 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419 ≡ 1 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419
≡ 13 ⋅ 348 mod 419
≡ 4524 mod 419 ≡ 334 mod 419
Es gilt also: 348135 ≡ 334 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.