Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (498 + 1000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(498 + 1000) mod 5 ≡ (498 mod 5 + 1000 mod 5) mod 5.
498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498
= 400
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
Somit gilt:
(498 + 1000) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 68) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 68) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 68 mod 8) mod 8.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 68) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3858 mod 853.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3851=385
2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 656 mod 853
4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 424 mod 853
8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 646 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 606196 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 381 mod 661
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 402 mod 661
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 320 mod 661
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 381 mod 661
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 402 mod 661
128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 320 mod 661
606196
= 606128+64+4
= 606128⋅60664⋅6064
≡ 320 ⋅ 402 ⋅ 402 mod 661
≡ 128640 ⋅ 402 mod 661 ≡ 406 ⋅ 402 mod 661
≡ 163212 mod 661 ≡ 606 mod 661
Es gilt also: 606196 ≡ 606 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35
| =>53 | = 1⋅35 + 18 |
| =>35 | = 1⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 35-1⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1) |
| 18= 53-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -3⋅35
-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35
-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1
(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1
50⋅35 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1
Somit 50⋅35 = 1 mod 53
50 ist also das Inverse von 35 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.