Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10002 - 2502) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10002 - 2502) mod 5 ≡ (10002 mod 5 - 2502 mod 5) mod 5.
10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002
= 10000
2502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2502
= 2500
Somit gilt:
(10002 - 2502) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 31) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 31) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 31) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23932 mod 263.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 50 mod 263
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 133 mod 263
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 68 mod 263
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 153 mod 263
32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 2 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29887 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 136 mod 821
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 434 mod 821
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 347 mod 821
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 543 mod 821
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 110 mod 821
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 606 mod 821
29887
= 29864+16+4+2+1
= 29864⋅29816⋅2984⋅2982⋅2981
≡ 606 ⋅ 543 ⋅ 434 ⋅ 136 ⋅ 298 mod 821
≡ 329058 ⋅ 434 ⋅ 136 ⋅ 298 mod 821 ≡ 658 ⋅ 434 ⋅ 136 ⋅ 298 mod 821
≡ 285572 ⋅ 136 ⋅ 298 mod 821 ≡ 685 ⋅ 136 ⋅ 298 mod 821
≡ 93160 ⋅ 298 mod 821 ≡ 387 ⋅ 298 mod 821
≡ 115326 mod 821 ≡ 386 mod 821
Es gilt also: 29887 ≡ 386 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66
| =>73 | = 1⋅66 + 7 |
| =>66 | = 9⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 66-9⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(66 -9⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅66 +18⋅ 7) = -2⋅66 +19⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅66 +19⋅(73 -1⋅ 66)
= -2⋅66 +19⋅73 -19⋅ 66) = 19⋅73 -21⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,66)=1 = 19⋅73 -21⋅66
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -21⋅66
-21⋅66 = -19⋅73 + 1 |+73⋅66
-21⋅66 + 73⋅66 = -19⋅73 + 73⋅66 + 1
(-21 + 73) ⋅ 66 = (-19 + 66) ⋅ 73 + 1
52⋅66 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 52⋅66 = 47⋅73 +1
Somit 52⋅66 = 1 mod 73
52 ist also das Inverse von 66 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.