Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 - 245) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 - 245) mod 8 ≡ (16002 mod 8 - 245 mod 8) mod 8.
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
Somit gilt:
(16002 - 245) mod 8 ≡ (2 - 5) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 57) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 57) mod 11 ≡ (99 mod 11 ⋅ 57 mod 11) mod 11.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 57) mod 11 ≡ (0 ⋅ 2) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7832 mod 211.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 78 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 781=78
2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211
4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211
8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211
16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 49 mod 211
32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 80 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 560123 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 5601=560
2: 5602=5601+1=5601⋅5601 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 253 mod 701
4: 5604=5602+2=5602⋅5602 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 218 mod 701
8: 5608=5604+4=5604⋅5604 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 557 mod 701
16: 56016=5608+8=5608⋅5608 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 407 mod 701
32: 56032=56016+16=56016⋅56016 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 213 mod 701
64: 56064=56032+32=56032⋅56032 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 505 mod 701
560123
= 56064+32+16+8+2+1
= 56064⋅56032⋅56016⋅5608⋅5602⋅5601
≡ 505 ⋅ 213 ⋅ 407 ⋅ 557 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701
≡ 107565 ⋅ 407 ⋅ 557 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701 ≡ 312 ⋅ 407 ⋅ 557 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701
≡ 126984 ⋅ 557 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701 ≡ 103 ⋅ 557 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701
≡ 57371 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701 ≡ 590 ⋅ 253 ⋅ 560 mod 701
≡ 149270 ⋅ 560 mod 701 ≡ 658 ⋅ 560 mod 701
≡ 368480 mod 701 ≡ 455 mod 701
Es gilt also: 560123 ≡ 455 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41
| =>79 | = 1⋅41 + 38 |
| =>41 | = 1⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 41-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1) |
| 38= 79-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41
oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅79 = +27⋅41
Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1
Somit 27⋅41 = 1 mod 79
27 ist also das Inverse von 41 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
