Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(212 + 700) mod 7 ≡ (212 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.

212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212 = 210+2 = 7 ⋅ 30 +2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(212 + 700) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 54) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 54) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 483¹=483

2: 483²=483¹⁺¹=483¹⋅483¹ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 450 mod 631

4: 483⁴=483²⁺²=483²⋅483² ≡ 450⋅450=202500 ≡ 580 mod 631

8: 483⁸=483⁴⁺⁴=483⁴⋅483⁴ ≡ 580⋅580=336400 ≡ 77 mod 631

16: 483¹⁶=483⁸⁺⁸=483⁸⋅483⁸ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 250 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

472²²³

= 472^{128+64+16+8+4+2+1}

= 472¹²⁸⋅472⁶⁴⋅472¹⁶⋅472⁸⋅472⁴⋅472²⋅472¹

≡ 68 ⋅ 194 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
≡ 13192 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 278 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
≡ 154290 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 496 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
≡ 171616 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 212 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
≡ 96036 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 355 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
≡ 110405 ⋅ 472 mod 587 ≡ 49 ⋅ 472 mod 587
≡ 23128 mod 587 ≡ 235 mod 587

Es gilt also: 472²²³ ≡ 235 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53