Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2695 + 44999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2695 + 44999) mod 9 ≡ (2695 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999
= 45000
Somit gilt:
(2695 + 44999) mod 9 ≡ (4 + 8) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 97) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 97) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 97) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191128 mod 401.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 391 mod 401
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 100 mod 401
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 376 mod 401
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52385 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 5231=523
2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 782 mod 877
4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 255 mod 877
8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 127 mod 877
16: 52316=5238+8=5238⋅5238 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 343 mod 877
32: 52332=52316+16=52316⋅52316 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 131 mod 877
64: 52364=52332+32=52332⋅52332 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 498 mod 877
52385
= 52364+16+4+1
= 52364⋅52316⋅5234⋅5231
≡ 498 ⋅ 343 ⋅ 255 ⋅ 523 mod 877
≡ 170814 ⋅ 255 ⋅ 523 mod 877 ≡ 676 ⋅ 255 ⋅ 523 mod 877
≡ 172380 ⋅ 523 mod 877 ≡ 488 ⋅ 523 mod 877
≡ 255224 mod 877 ≡ 17 mod 877
Es gilt also: 52385 ≡ 17 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
