Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1498 - 1502) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1498 - 1502) mod 3 ≡ (1498 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(1498 - 1502) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 19) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 19) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 19) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537128 mod 769.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5371=537

2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 763 mod 769

4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 36 mod 769

8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 527 mod 769

16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 120 mod 769

32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 558 mod 769

64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 688 mod 769

128: 537128=53764+64=53764⋅53764 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 419247 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 531 mod 761

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 391 mod 761

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 681 mod 761

16: 41916=4198+8=4198⋅4198 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 312 mod 761

32: 41932=41916+16=41916⋅41916 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 697 mod 761

64: 41964=41932+32=41932⋅41932 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 291 mod 761

128: 419128=41964+64=41964⋅41964 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 210 mod 761

419247

= 419128+64+32+16+4+2+1

= 419128⋅41964⋅41932⋅41916⋅4194⋅4192⋅4191

210 ⋅ 291 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
61110 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 230 ⋅ 697 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
160310 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 500 ⋅ 312 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
156000 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 756 ⋅ 391 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
295596 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761 ≡ 328 ⋅ 531 ⋅ 419 mod 761
174168 ⋅ 419 mod 761 ≡ 660 ⋅ 419 mod 761
276540 mod 761 ≡ 297 mod 761

Es gilt also: 419247 ≡ 297 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.