Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19995 + 10000) mod 5 ≡ (19995 mod 5 + 10000 mod 5) mod 5.

19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995 = 19000+995 = 5 ⋅ 3800 +995.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(19995 + 10000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 67) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 67) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 375¹=375

2: 375²=375¹⁺¹=375¹⋅375¹ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 198 mod 743

4: 375⁴=375²⁺²=375²⋅375² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 568 mod 743

8: 375⁸=375⁴⁺⁴=375⁴⋅375⁴ ≡ 568⋅568=322624 ≡ 162 mod 743

16: 375¹⁶=375⁸⁺⁸=375⁸⋅375⁸ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 239 mod 743

32: 375³²=375¹⁶⁺¹⁶=375¹⁶⋅375¹⁶ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 653 mod 743

64: 375⁶⁴=375³²⁺³²=375³²⋅375³² ≡ 653⋅653=426409 ≡ 670 mod 743

128: 375¹²⁸=375⁶⁴⁺⁶⁴=375⁶⁴⋅375⁶⁴ ≡ 670⋅670=448900 ≡ 128 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:

148 = 128+16+4

305¹⁴⁸

= 305^128+16+4

= 305¹²⁸⋅305¹⁶⋅305⁴

≡ 124 ⋅ 66 ⋅ 64 mod 487
≡ 8184 ⋅ 64 mod 487 ≡ 392 ⋅ 64 mod 487
≡ 25088 mod 487 ≡ 251 mod 487

Es gilt also: 305¹⁴⁸ ≡ 251 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59	= 1⋅44 + 15
=>44	= 2⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44) = -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59