Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 - 893) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 - 893) mod 9 ≡ (85 mod 9 - 893 mod 9) mod 9.
85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 90
893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893
= 900
Somit gilt:
(85 - 893) mod 9 ≡ (4 - 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 72) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 72) mod 6 ≡ (73 mod 6 ⋅ 72 mod 6) mod 6.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 72) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80864 mod 863.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 808 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8081=808
2: 8082=8081+1=8081⋅8081 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 436 mod 863
4: 8084=8082+2=8082⋅8082 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 236 mod 863
8: 8088=8084+4=8084⋅8084 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 464 mod 863
16: 80816=8088+8=8088⋅8088 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 409 mod 863
32: 80832=80816+16=80816⋅80816 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 722 mod 863
64: 80864=80832+32=80832⋅80832 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 32 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 340161 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 536 mod 757
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 393 mod 757
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 21 mod 757
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 757
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 689 mod 757
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 82 mod 757
128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 668 mod 757
340161
= 340128+32+1
= 340128⋅34032⋅3401
≡ 668 ⋅ 689 ⋅ 340 mod 757
≡ 460252 ⋅ 340 mod 757 ≡ 753 ⋅ 340 mod 757
≡ 256020 mod 757 ≡ 154 mod 757
Es gilt also: 340161 ≡ 154 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 50
| =>97 | = 1⋅50 + 47 |
| =>50 | = 1⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 50-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(50 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅50 -16⋅ 47) = 16⋅50 -17⋅ 47 (=1) |
| 47= 97-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅50 -17⋅(97 -1⋅ 50)
= 16⋅50 -17⋅97 +17⋅ 50) = -17⋅97 +33⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,50)=1 = -17⋅97 +33⋅50
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +33⋅50
Es gilt also: 33⋅50 = 17⋅97 +1
Somit 33⋅50 = 1 mod 97
33 ist also das Inverse von 50 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.