Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27998 - 74) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27998 - 74) mod 7 ≡ (27998 mod 7 - 74 mod 7) mod 7.
27998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27998
= 28000
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74
= 70
Somit gilt:
(27998 - 74) mod 7 ≡ (5 - 4) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 58) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 58) mod 11 ≡ (69 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 58) mod 11 ≡ (3 ⋅ 3) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 653128 mod 941.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 653 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6531=653
2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 136 mod 941
4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 617 mod 941
8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 525 mod 941
16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 853 mod 941
32: 65332=65316+16=65316⋅65316 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 216 mod 941
64: 65364=65332+32=65332⋅65332 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 547 mod 941
128: 653128=65364+64=65364⋅65364 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 912 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 173177 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 295 mod 449
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449
128: 173128=17364+64=17364⋅17364 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 359 mod 449
173177
= 173128+32+16+1
= 173128⋅17332⋅17316⋅1731
≡ 359 ⋅ 431 ⋅ 193 ⋅ 173 mod 449
≡ 154729 ⋅ 193 ⋅ 173 mod 449 ≡ 273 ⋅ 193 ⋅ 173 mod 449
≡ 52689 ⋅ 173 mod 449 ≡ 156 ⋅ 173 mod 449
≡ 26988 mod 449 ≡ 48 mod 449
Es gilt also: 173177 ≡ 48 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
