Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (158 + 42) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(158 + 42) mod 4 ≡ (158 mod 4 + 42 mod 4) mod 4.
158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42
= 40
Somit gilt:
(158 + 42) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 73) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 73) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 73) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55216 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 552 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5521=552
2: 5522=5521+1=5521⋅5521 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 995 mod 1009
4: 5524=5522+2=5522⋅5522 ≡ 995⋅995=990025 ≡ 196 mod 1009
8: 5528=5524+4=5524⋅5524 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 74 mod 1009
16: 55216=5528+8=5528⋅5528 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 431 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 382183 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 1 mod 383
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
64: 38264=38232+32=38232⋅38232 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
128: 382128=38264+64=38264⋅38264 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 383
382183
= 382128+32+16+4+2+1
= 382128⋅38232⋅38216⋅3824⋅3822⋅3821
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 382 mod 383
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 382 mod 383
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 382 mod 383
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 382 mod 383
≡ 1 ⋅ 382 mod 383
≡ 382 mod 383
Es gilt also: 382183 ≡ 382 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.