Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7995 - 159) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7995 - 159) mod 8 ≡ (7995 mod 8 - 159 mod 8) mod 8.
7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995
= 7000
159 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
Somit gilt:
(7995 - 159) mod 8 ≡ (3 - 7) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 66) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 66) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 66 mod 9) mod 9.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 66) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24232 mod 389.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 214 mod 389
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 283 mod 389
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 344 mod 389
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 80 mod 389
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 176 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 364203 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 191 mod 563
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 449 mod 563
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 47 mod 563
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 520 mod 563
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 160 mod 563
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 265 mod 563
128: 364128=36464+64=36464⋅36464 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 413 mod 563
364203
= 364128+64+8+2+1
= 364128⋅36464⋅3648⋅3642⋅3641
≡ 413 ⋅ 265 ⋅ 47 ⋅ 191 ⋅ 364 mod 563
≡ 109445 ⋅ 47 ⋅ 191 ⋅ 364 mod 563 ≡ 223 ⋅ 47 ⋅ 191 ⋅ 364 mod 563
≡ 10481 ⋅ 191 ⋅ 364 mod 563 ≡ 347 ⋅ 191 ⋅ 364 mod 563
≡ 66277 ⋅ 364 mod 563 ≡ 406 ⋅ 364 mod 563
≡ 147784 mod 563 ≡ 278 mod 563
Es gilt also: 364203 ≡ 278 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67
| =>97 | = 1⋅67 + 30 |
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
| 30= 97-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67
oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +29⋅97 = +42⋅67
Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1
Somit 42⋅67 = 1 mod 97
42 ist also das Inverse von 67 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.