Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 + 1596) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 + 1596) mod 4 ≡ (1999 mod 4 + 1596 mod 4) mod 4.
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
Somit gilt:
(1999 + 1596) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 73) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 73) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 73 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 73) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4328 mod 937.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 161 mod 937
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 622 mod 937
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337135 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 500 mod 541
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 58 mod 541
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 510 mod 541
128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 420 mod 541
337135
= 337128+4+2+1
= 337128⋅3374⋅3372⋅3371
≡ 420 ⋅ 58 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541
≡ 24360 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541 ≡ 15 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541
≡ 7500 ⋅ 337 mod 541 ≡ 467 ⋅ 337 mod 541
≡ 157379 mod 541 ≡ 489 mod 541
Es gilt also: 337135 ≡ 489 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.