Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6994 - 697) mod 7 ≡ (6994 mod 7 - 697 mod 7) mod 7.

6994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6994 = 7000-6 = 7 ⋅ 1000 -6 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 1.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

Somit gilt:

(6994 - 697) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 72) mod 7 ≡ (60 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 383¹=383

2: 383²=383¹⁺¹=383¹⋅383¹ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 417 mod 653

4: 383⁴=383²⁺²=383²⋅383² ≡ 417⋅417=173889 ≡ 191 mod 653

8: 383⁸=383⁴⁺⁴=383⁴⋅383⁴ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 566 mod 653

16: 383¹⁶=383⁸⁺⁸=383⁸⋅383⁸ ≡ 566⋅566=320356 ≡ 386 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

524¹⁹⁰

= 524^{128+32+16+8+4+2}

= 524¹²⁸⋅524³²⋅524¹⁶⋅524⁸⋅524⁴⋅524²

≡ 427 ⋅ 259 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
≡ 110593 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 253 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
≡ 135861 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 388 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
≡ 174212 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 120 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
≡ 55800 ⋅ 565 mod 613 ≡ 17 ⋅ 565 mod 613
≡ 9605 mod 613 ≡ 410 mod 613

Es gilt also: 524¹⁹⁰ ≡ 410 mod 613

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53	= 1⋅35 + 18
=>35	= 1⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35) = -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53