Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13995 + 283) mod 7 ≡ (13995 mod 7 + 283 mod 7) mod 7.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283 = 280+3 = 7 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(13995 + 283) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 83) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 373¹=373

2: 373²=373¹⁺¹=373¹⋅373¹ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631

4: 373⁴=373²⁺²=373²⋅373² ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631

8: 373⁸=373⁴⁺⁴=373⁴⋅373⁴ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631

16: 373¹⁶=373⁸⁺⁸=373⁸⋅373⁸ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631

32: 373³²=373¹⁶⁺¹⁶=373¹⁶⋅373¹⁶ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 82 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

558²⁴³

= 558^{128+64+32+16+2+1}

= 558¹²⁸⋅558⁶⁴⋅558³²⋅558¹⁶⋅558²⋅558¹

≡ 740 ⋅ 216 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 159840 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 17 ⋅ 564 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 9588 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 758 ⋅ 64 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 48512 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883 ≡ 830 ⋅ 548 ⋅ 558 mod 883
≡ 454840 ⋅ 558 mod 883 ≡ 95 ⋅ 558 mod 883
≡ 53010 mod 883 ≡ 30 mod 883

Es gilt also: 558²⁴³ ≡ 30 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59	= 2⋅23 + 13
=>23	= 1⋅13 + 10
=>13	= 1⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13) = -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23) = 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59