Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 + 28003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 + 28003) mod 7 ≡ (68 mod 7 + 28003 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68
= 70
28003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28003
= 28000
Somit gilt:
(68 + 28003) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 92) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 92) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 92 mod 3) mod 3.
26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 92) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6068 mod 797.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 616 mod 797
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 84 mod 797
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 680 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32969 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 340 mod 631
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 127 mod 631
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 354 mod 631
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 378 mod 631
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 278 mod 631
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 302 mod 631
32969
= 32964+4+1
= 32964⋅3294⋅3291
≡ 302 ⋅ 127 ⋅ 329 mod 631
≡ 38354 ⋅ 329 mod 631 ≡ 494 ⋅ 329 mod 631
≡ 162526 mod 631 ≡ 359 mod 631
Es gilt also: 32969 ≡ 359 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.