Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1999 + 1596) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1999 + 1596) mod 4 ≡ (1999 mod 4 + 1596 mod 4) mod 4.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

Somit gilt:

(1999 + 1596) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 73) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 73) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 73 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 73) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4328 mod 937.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 432 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4321=432

2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 161 mod 937

4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 622 mod 937

8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 337135 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 500 mod 541

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 58 mod 541

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 510 mod 541

128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 420 mod 541

337135

= 337128+4+2+1

= 337128⋅3374⋅3372⋅3371

420 ⋅ 58 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541
24360 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541 ≡ 15 ⋅ 500 ⋅ 337 mod 541
7500 ⋅ 337 mod 541 ≡ 467 ⋅ 337 mod 541
157379 mod 541 ≡ 489 mod 541

Es gilt also: 337135 ≡ 489 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.