Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2004 + 500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2004 + 500) mod 5 ≡ (2004 mod 5 + 500 mod 5) mod 5.
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500
= 500
Somit gilt:
(2004 + 500) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 91) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 91) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2528 mod 743.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 349 mod 743
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 692 mod 743
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 372 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246174 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 273 mod 467
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 276 mod 467
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 159 mod 467
128: 246128=24664+64=24664⋅24664 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 63 mod 467
246174
= 246128+32+8+4+2
= 246128⋅24632⋅2468⋅2464⋅2462
≡ 63 ⋅ 227 ⋅ 55 ⋅ 276 ⋅ 273 mod 467
≡ 14301 ⋅ 55 ⋅ 276 ⋅ 273 mod 467 ≡ 291 ⋅ 55 ⋅ 276 ⋅ 273 mod 467
≡ 16005 ⋅ 276 ⋅ 273 mod 467 ≡ 127 ⋅ 276 ⋅ 273 mod 467
≡ 35052 ⋅ 273 mod 467 ≡ 27 ⋅ 273 mod 467
≡ 7371 mod 467 ≡ 366 mod 467
Es gilt also: 246174 ≡ 366 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.