Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (161 + 1202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(161 + 1202) mod 4 ≡ (161 mod 4 + 1202 mod 4) mod 4.
161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(161 + 1202) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 37) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 37) mod 4 ≡ (56 mod 4 ⋅ 37 mod 4) mod 4.
56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 37) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37616 mod 709.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 285 mod 709
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 399 mod 709
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 385 mod 709
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 44 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77778 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 7771=777
2: 7772=7771+1=7771⋅7771 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 294 mod 821
4: 7774=7772+2=7772⋅7772 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 231 mod 821
8: 7778=7774+4=7774⋅7774 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 817 mod 821
16: 77716=7778+8=7778⋅7778 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 16 mod 821
32: 77732=77716+16=77716⋅77716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 821
64: 77764=77732+32=77732⋅77732 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 677 mod 821
77778
= 77764+8+4+2
= 77764⋅7778⋅7774⋅7772
≡ 677 ⋅ 817 ⋅ 231 ⋅ 294 mod 821
≡ 553109 ⋅ 231 ⋅ 294 mod 821 ≡ 576 ⋅ 231 ⋅ 294 mod 821
≡ 133056 ⋅ 294 mod 821 ≡ 54 ⋅ 294 mod 821
≡ 15876 mod 821 ≡ 277 mod 821
Es gilt also: 77778 ≡ 277 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69
| =>83 | = 1⋅69 + 14 |
| =>69 | = 4⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 69-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1) |
| 14= 83-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69
oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅83 = -6⋅69
-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69
-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1
(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1
77⋅69 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1
Somit 77⋅69 = 1 mod 83
77 ist also das Inverse von 69 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.