Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27002 + 3603) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27002 + 3603) mod 9 ≡ (27002 mod 9 + 3603 mod 9) mod 9.
27002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27002
= 27000
3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603
= 3600
Somit gilt:
(27002 + 3603) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 48) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 48) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 48) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27316 mod 331.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 273 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 54 mod 331
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 268 mod 331
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 328 mod 331
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 9 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 192221 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 203 mod 601
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 341 mod 601
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 288 mod 601
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 6 mod 601
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 601
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 94 mod 601
128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 422 mod 601
192221
= 192128+64+16+8+4+1
= 192128⋅19264⋅19216⋅1928⋅1924⋅1921
≡ 422 ⋅ 94 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 39668 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601 ≡ 2 ⋅ 6 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 12 ⋅ 288 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 3456 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601 ≡ 451 ⋅ 341 ⋅ 192 mod 601
≡ 153791 ⋅ 192 mod 601 ≡ 536 ⋅ 192 mod 601
≡ 102912 mod 601 ≡ 141 mod 601
Es gilt also: 192221 ≡ 141 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
