Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 + 20002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 + 20002) mod 4 ≡ (12001 mod 4 + 20002 mod 4) mod 4.
12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
Somit gilt:
(12001 + 20002) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 62) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 62) mod 10 ≡ (9 ⋅ 2) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 90216 mod 919.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 902 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9021=902
2: 9022=9021+1=9021⋅9021 ≡ 902⋅902=813604 ≡ 289 mod 919
4: 9024=9022+2=9022⋅9022 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 811 mod 919
8: 9028=9024+4=9024⋅9024 ≡ 811⋅811=657721 ≡ 636 mod 919
16: 90216=9028+8=9028⋅9028 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 136 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 787128 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 7871=787
2: 7872=7871+1=7871⋅7871 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 598 mod 863
4: 7874=7872+2=7872⋅7872 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 322 mod 863
8: 7878=7874+4=7874⋅7874 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 124 mod 863
16: 78716=7878+8=7878⋅7878 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 705 mod 863
32: 78732=78716+16=78716⋅78716 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 800 mod 863
64: 78764=78732+32=78732⋅78732 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 517 mod 863
128: 787128=78764+64=78764⋅78764 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 622 mod 863
787128
= 787128
= 787128
≡ 622 mod 863
Es gilt also: 787128 ≡ 622 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21
| =>61 | = 2⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -29⋅21
-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21
-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1
(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1
32⋅21 = 11⋅61 + 1
Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1
Somit 32⋅21 = 1 mod 61
32 ist also das Inverse von 21 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.