Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 + 401) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 401) mod 4 ≡ (1197 mod 4 + 401 mod 4) mod 4.

1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1100+97 = 4 ⋅ 275 +97.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(1197 + 401) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 68) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 503128 mod 587.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 503 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5031=503

2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 12 mod 587

4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 587

8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 191 mod 587

16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 87 mod 587

32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 525 mod 587

64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 322 mod 587

128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 372 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 405251 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 4051=405

2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 393 mod 487

4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 70 mod 487

8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 30 mod 487

16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 30⋅30=900 ≡ 413 mod 487

32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 119 mod 487

64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 38 mod 487

128: 405128=40564+64=40564⋅40564 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 470 mod 487

405251

= 405128+64+32+16+8+2+1

= 405128⋅40564⋅40532⋅40516⋅4058⋅4052⋅4051

≡ 470 ⋅ 38 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 17860 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 328 ⋅ 119 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 39032 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 72 ⋅ 413 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 29736 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 29 ⋅ 30 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 870 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487 ≡ 383 ⋅ 393 ⋅ 405 mod 487
≡ 150519 ⋅ 405 mod 487 ≡ 36 ⋅ 405 mod 487
≡ 14580 mod 487 ≡ 457 mod 487

Es gilt also: 405251 ≡ 457 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.