Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14996 + 25005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14996 + 25005) mod 5 ≡ (14996 mod 5 + 25005 mod 5) mod 5.
14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996
= 14000
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
Somit gilt:
(14996 + 25005) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 83) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 83) mod 11 ≡ (49 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.
49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 83) mod 11 ≡ (5 ⋅ 6) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1058 mod 241.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 180 mod 241
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 106 mod 241
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 150 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 245212 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 114 mod 331
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 87 mod 331
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 287 mod 331
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 281 mod 331
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 183 mod 331
64: 24564=24532+32=24532⋅24532 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 58 mod 331
128: 245128=24564+64=24564⋅24564 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 54 mod 331
245212
= 245128+64+16+4
= 245128⋅24564⋅24516⋅2454
≡ 54 ⋅ 58 ⋅ 281 ⋅ 87 mod 331
≡ 3132 ⋅ 281 ⋅ 87 mod 331 ≡ 153 ⋅ 281 ⋅ 87 mod 331
≡ 42993 ⋅ 87 mod 331 ≡ 294 ⋅ 87 mod 331
≡ 25578 mod 331 ≡ 91 mod 331
Es gilt also: 245212 ≡ 91 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.