Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1798 + 3608) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1798 + 3608) mod 9 ≡ (1798 mod 9 + 3608 mod 9) mod 9.
1798 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798
= 1800
3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608
= 3600
Somit gilt:
(1798 + 3608) mod 9 ≡ (7 + 8) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 76) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 76) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 76 mod 3) mod 3.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 76) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34732 mod 647.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 67 mod 647
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 607 mod 647
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 306 mod 647
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 468 mod 647
32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 338 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 294131 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 137 mod 409
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 364 mod 409
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 389 mod 409
16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 400 mod 409
32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 81 mod 409
64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 17 mod 409
128: 294128=29464+64=29464⋅29464 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 409
294131
= 294128+2+1
= 294128⋅2942⋅2941
≡ 289 ⋅ 137 ⋅ 294 mod 409
≡ 39593 ⋅ 294 mod 409 ≡ 329 ⋅ 294 mod 409
≡ 96726 mod 409 ≡ 202 mod 409
Es gilt also: 294131 ≡ 202 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30
| =>97 | = 3⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-3⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -42⋅30
-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30
-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1
(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1
55⋅30 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1
Somit 55⋅30 = 1 mod 97
55 ist also das Inverse von 30 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.