Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 + 15999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 + 15999) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(80 + 15999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 100) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 100) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 100 mod 7) mod 7.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 100) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60616 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 465 mod 683
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 397 mod 683
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 519 mod 683
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 259 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356152 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 728 mod 829
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 253 mod 829
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 176 mod 829
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 303 mod 829
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 619 mod 829
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 163 mod 829
128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 41 mod 829
356152
= 356128+16+8
= 356128⋅35616⋅3568
≡ 41 ⋅ 303 ⋅ 176 mod 829
≡ 12423 ⋅ 176 mod 829 ≡ 817 ⋅ 176 mod 829
≡ 143792 mod 829 ≡ 375 mod 829
Es gilt also: 356152 ≡ 375 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.