Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (496 + 24996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(496 + 24996) mod 5 ≡ (496 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
Somit gilt:
(496 + 24996) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 100) mod 11 ≡ (73 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 100) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54364 mod 787.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 543 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5431=543
2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 511 mod 787
4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 624 mod 787
8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 598 mod 787
16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 306 mod 787
32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 770 mod 787
64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 289 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 721225 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 7211=721
2: 7212=7211+1=7211⋅7211 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 528 mod 823
4: 7214=7212+2=7212⋅7212 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 610 mod 823
8: 7218=7214+4=7214⋅7214 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 104 mod 823
16: 72116=7218+8=7218⋅7218 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 117 mod 823
32: 72132=72116+16=72116⋅72116 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 521 mod 823
64: 72164=72132+32=72132⋅72132 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 674 mod 823
128: 721128=72164+64=72164⋅72164 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 803 mod 823
721225
= 721128+64+32+1
= 721128⋅72164⋅72132⋅7211
≡ 803 ⋅ 674 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823
≡ 541222 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823 ≡ 511 ⋅ 521 ⋅ 721 mod 823
≡ 266231 ⋅ 721 mod 823 ≡ 402 ⋅ 721 mod 823
≡ 289842 mod 823 ≡ 146 mod 823
Es gilt also: 721225 ≡ 146 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
