Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 + 15000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 + 15000) mod 3 ≡ (12001 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(12001 + 15000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 22) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 22) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 22) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 119128 mod 251.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 119 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1191=119
2: 1192=1191+1=1191⋅1191 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 105 mod 251
4: 1194=1192+2=1192⋅1192 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 232 mod 251
8: 1198=1194+4=1194⋅1194 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 110 mod 251
16: 11916=1198+8=1198⋅1198 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 52 mod 251
32: 11932=11916+16=11916⋅11916 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 194 mod 251
64: 11964=11932+32=11932⋅11932 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 237 mod 251
128: 119128=11964+64=11964⋅11964 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 196 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310211 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 355 mod 491
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 329 mod 491
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 221 mod 491
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 232 mod 491
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 305 mod 491
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 226 mod 491
128: 310128=31064+64=31064⋅31064 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 12 mod 491
310211
= 310128+64+16+2+1
= 310128⋅31064⋅31016⋅3102⋅3101
≡ 12 ⋅ 226 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 2712 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491 ≡ 257 ⋅ 232 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 59624 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491 ≡ 213 ⋅ 355 ⋅ 310 mod 491
≡ 75615 ⋅ 310 mod 491 ≡ 1 ⋅ 310 mod 491
≡ 310 mod 491
Es gilt also: 310211 ≡ 310 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
