Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27997 + 13998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27997 + 13998) mod 7 ≡ (27997 mod 7 + 13998 mod 7) mod 7.
27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997
= 28000
13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998
= 14000
Somit gilt:
(27997 + 13998) mod 7 ≡ (4 + 5) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 20) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 20) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1708 mod 227.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 71 mod 227
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 47 mod 227
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 166 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 366199 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 278 mod 751
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 682 mod 751
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 255 mod 751
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 439 mod 751
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751
64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751
128: 366128=36664+64=36664⋅36664 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 214 mod 751
366199
= 366128+64+4+2+1
= 366128⋅36664⋅3664⋅3662⋅3661
≡ 214 ⋅ 688 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
≡ 147232 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751 ≡ 36 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
≡ 24552 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751 ≡ 520 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
≡ 144560 ⋅ 366 mod 751 ≡ 368 ⋅ 366 mod 751
≡ 134688 mod 751 ≡ 259 mod 751
Es gilt also: 366199 ≡ 259 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55
| =>59 | = 1⋅55 + 4 |
| =>55 | = 13⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 55-13⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4) = -1⋅55 +14⋅ 4 (=1) |
| 4= 59-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55) = 14⋅59 -15⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55
oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅59 = -15⋅55
-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55
-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1
(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1
44⋅55 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1
Somit 44⋅55 = 1 mod 59
44 ist also das Inverse von 55 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.