Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 2003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 2003) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 2003 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
Somit gilt:
(15997 - 2003) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 27) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 27) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 27) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22016 mod 379.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 267 mod 379
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 37 mod 379
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 232 mod 379
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 6 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 257129 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 380 mod 677
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 199 mod 677
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 335 mod 677
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 520 mod 677
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 277 mod 677
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 228 mod 677
128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 532 mod 677
257129
= 257128+1
= 257128⋅2571
≡ 532 ⋅ 257 mod 677
≡ 136724 mod 677 ≡ 647 mod 677
Es gilt also: 257129 ≡ 647 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.