Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14002 + 356) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14002 + 356) mod 7 ≡ (14002 mod 7 + 356 mod 7) mod 7.
14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002
= 14000
356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356
= 350
Somit gilt:
(14002 + 356) mod 7 ≡ (2 + 6) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 65) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 65) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 65) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31116 mod 509.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 11 mod 509
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 509
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 389 mod 509
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 148 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73860 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 7381=738
2: 7382=7381+1=7381⋅7381 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 38 mod 859
4: 7384=7382+2=7382⋅7382 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 585 mod 859
8: 7388=7384+4=7384⋅7384 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 343 mod 859
16: 73816=7388+8=7388⋅7388 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 825 mod 859
32: 73832=73816+16=73816⋅73816 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 297 mod 859
73860
= 73832+16+8+4
= 73832⋅73816⋅7388⋅7384
≡ 297 ⋅ 825 ⋅ 343 ⋅ 585 mod 859
≡ 245025 ⋅ 343 ⋅ 585 mod 859 ≡ 210 ⋅ 343 ⋅ 585 mod 859
≡ 72030 ⋅ 585 mod 859 ≡ 733 ⋅ 585 mod 859
≡ 428805 mod 859 ≡ 164 mod 859
Es gilt also: 73860 ≡ 164 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.