Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2698 - 36008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2698 - 36008) mod 9 ≡ (2698 mod 9 - 36008 mod 9) mod 9.
2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698
= 2700
36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008
= 36000
Somit gilt:
(2698 - 36008) mod 9 ≡ (7 - 8) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 59) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 59) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 438128 mod 607.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 438 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 32 mod 607
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 417 mod 607
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 287 mod 607
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 424 mod 607
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 104 mod 607
64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 497 mod 607
128: 438128=43864+64=43864⋅43864 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 567 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 279227 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 57 mod 463
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 8 mod 463
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 463
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 392 mod 463
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 411 mod 463
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 389 mod 463
128: 279128=27964+64=27964⋅27964 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 383 mod 463
279227
= 279128+64+32+2+1
= 279128⋅27964⋅27932⋅2792⋅2791
≡ 383 ⋅ 389 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 148987 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463 ≡ 364 ⋅ 411 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 149604 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463 ≡ 55 ⋅ 57 ⋅ 279 mod 463
≡ 3135 ⋅ 279 mod 463 ≡ 357 ⋅ 279 mod 463
≡ 99603 mod 463 ≡ 58 mod 463
Es gilt also: 279227 ≡ 58 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
