Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2800 - 13993) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2800 - 13993) mod 7 ≡ (2800 mod 7 - 13993 mod 7) mod 7.

2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800 = 2800+0 = 7 ⋅ 400 +0.

13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993 = 14000-7 = 7 ⋅ 2000 -7 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 0.

Somit gilt:

(2800 - 13993) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 17) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 17) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 17 mod 5) mod 5.

35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 17) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32164 mod 487.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3211=321

2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 284 mod 487

4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 301 mod 487

8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 19 mod 487

16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 487

32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 292 mod 487

64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 39 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 103114 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 1031=103

2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 128 mod 223

4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 105 mod 223

8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 98 mod 223

16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 15 mod 223

32: 10332=10316+16=10316⋅10316 ≡ 15⋅15=225 ≡ 2 mod 223

64: 10364=10332+32=10332⋅10332 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 223

103114

= 10364+32+16+2

= 10364⋅10332⋅10316⋅1032

4 ⋅ 2 ⋅ 15 ⋅ 128 mod 223
8 ⋅ 15 ⋅ 128 mod 223
120 ⋅ 128 mod 223
15360 mod 223 ≡ 196 mod 223

Es gilt also: 103114 ≡ 196 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97 = 2⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33)
= 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.