Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 + 83) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 + 83) mod 4 ≡ (123 mod 4 + 83 mod 4) mod 4.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 4 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(123 + 83) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 52) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 52 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 76232 mod 877.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 762 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7621=762

2: 7622=7621+1=7621⋅7621 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 70 mod 877

4: 7624=7622+2=7622⋅7622 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 515 mod 877

8: 7628=7624+4=7624⋅7624 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 371 mod 877

16: 76216=7628+8=7628⋅7628 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 829 mod 877

32: 76232=76216+16=76216⋅76216 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 550 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 195206 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 315 mod 419

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419

32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419

64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419

128: 195128=19564+64=19564⋅19564 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 4 mod 419

195206

= 195128+64+8+4+2

= 195128⋅19564⋅1958⋅1954⋅1952

4 ⋅ 417 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
1668 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419 ≡ 411 ⋅ 218 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
89598 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419 ≡ 351 ⋅ 341 ⋅ 315 mod 419
119691 ⋅ 315 mod 419 ≡ 276 ⋅ 315 mod 419
86940 mod 419 ≡ 207 mod 419

Es gilt also: 195206 ≡ 207 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38

=>89 = 2⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 89-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38)
= 3⋅89 -7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38

oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅89 = -7⋅38

-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38

-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1

(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1

82⋅38 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1

Somit 82⋅38 = 1 mod 89

82 ist also das Inverse von 38 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.