Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1792 - 1797) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1792 - 1797) mod 9 ≡ (1792 mod 9 - 1797 mod 9) mod 9.

1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792 = 1800-8 = 9 ⋅ 200 -8 = 9 ⋅ 200 - 9 + 1.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

Somit gilt:

(1792 - 1797) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 50) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 50) mod 8 ≡ (91 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 50) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 161128 mod 337.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 161 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1611=161

2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 309 mod 337

4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 110 mod 337

8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 305 mod 337

16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 13 mod 337

32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337

64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337

128: 161128=16164+64=16164⋅16164 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 286155 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 717 mod 911

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 285 mod 911

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 146 mod 911

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 363 mod 911

32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 585 mod 911

64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 600 mod 911

128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 155 mod 911

286155

= 286128+16+8+2+1

= 286128⋅28616⋅2868⋅2862⋅2861

155 ⋅ 363 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
56265 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911 ≡ 694 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
101324 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911 ≡ 203 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
145551 ⋅ 286 mod 911 ≡ 702 ⋅ 286 mod 911
200772 mod 911 ≡ 352 mod 911

Es gilt also: 286155 ≡ 352 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59 = 1⋅44 + 15
=>44 = 2⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15)
= -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44)
= 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.