Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14001 - 2803) mod 7 ≡ (14001 mod 7 - 2803 mod 7) mod 7.

14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001 = 14000+1 = 7 ⋅ 2000 +1.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(14001 - 2803) mod 7 ≡ (1 - 3) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 48) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 48 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 48) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 224¹=224

2: 224²=224¹⁺¹=224¹⋅224¹ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 395 mod 743

4: 224⁴=224²⁺²=224²⋅224² ≡ 395⋅395=156025 ≡ 738 mod 743

8: 224⁸=224⁴⁺⁴=224⁴⋅224⁴ ≡ 738⋅738=544644 ≡ 25 mod 743

16: 224¹⁶=224⁸⁺⁸=224⁸⋅224⁸ ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 743

32: 224³²=224¹⁶⁺¹⁶=224¹⁶⋅224¹⁶ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 550 mod 743

64: 224⁶⁴=224³²⁺³²=224³²⋅224³² ≡ 550⋅550=302500 ≡ 99 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

466¹³⁹

= 466^128+8+2+1

= 466¹²⁸⋅466⁸⋅466²⋅466¹

≡ 614 ⋅ 554 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691
≡ 340156 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691 ≡ 184 ⋅ 182 ⋅ 466 mod 691
≡ 33488 ⋅ 466 mod 691 ≡ 320 ⋅ 466 mod 691
≡ 149120 mod 691 ≡ 555 mod 691

Es gilt also: 466¹³⁹ ≡ 555 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54

=>61	= 1⋅54 + 7
=>54	= 7⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 54-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1)
7= 61-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54) = 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +26⋅54

Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1

Somit 26⋅54 = 1 mod 61

26 ist also das Inverse von 54 mod 61