Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2803 + 35002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2803 + 35002) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 35002 mod 7) mod 7.
2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803
= 2800
35002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35002
= 35000
Somit gilt:
(2803 + 35002) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 63) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 63) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 63) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1368 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 136 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 91 mod 409
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 101 mod 409
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 562246 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 5621=562
2: 5622=5621+1=5621⋅5621 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 183 mod 659
4: 5624=5622+2=5622⋅5622 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 539 mod 659
8: 5628=5624+4=5624⋅5624 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 561 mod 659
16: 56216=5628+8=5628⋅5628 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 378 mod 659
32: 56232=56216+16=56216⋅56216 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 540 mod 659
64: 56264=56232+32=56232⋅56232 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 322 mod 659
128: 562128=56264+64=56264⋅56264 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 221 mod 659
562246
= 562128+64+32+16+4+2
= 562128⋅56264⋅56232⋅56216⋅5624⋅5622
≡ 221 ⋅ 322 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 71162 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 649 ⋅ 540 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 350460 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 531 ⋅ 378 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 200718 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659 ≡ 382 ⋅ 539 ⋅ 183 mod 659
≡ 205898 ⋅ 183 mod 659 ≡ 290 ⋅ 183 mod 659
≡ 53070 mod 659 ≡ 350 mod 659
Es gilt also: 562246 ≡ 350 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48
| =>67 | = 1⋅48 + 19 |
| =>48 | = 2⋅19 + 10 |
| =>19 | = 1⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 19-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1) |
| 10= 48-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +7⋅48
Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1
Somit 7⋅48 = 1 mod 67
7 ist also das Inverse von 48 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
