Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2098 + 74) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2098 + 74) mod 7 ≡ (2098 mod 7 + 74 mod 7) mod 7.

2098 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2098 = 2100-2 = 7 ⋅ 300 -2 = 7 ⋅ 300 - 7 + 5.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70+4 = 7 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(2098 + 74) mod 7 ≡ (5 + 4) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 69) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 69) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 69) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 382128 mod 619.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3821=382

2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 459 mod 619

4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 221 mod 619

8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 559 mod 619

16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 505 mod 619

32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 616 mod 619

64: 38264=38232+32=38232⋅38232 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 9 mod 619

128: 382128=38264+64=38264⋅38264 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 436217 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 429 mod 787

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 670 mod 787

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 310 mod 787

16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 86 mod 787

32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 313 mod 787

64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 381 mod 787

128: 436128=43664+64=43664⋅43664 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 353 mod 787

436217

= 436128+64+16+8+1

= 436128⋅43664⋅43616⋅4368⋅4361

353 ⋅ 381 ⋅ 86 ⋅ 310 ⋅ 436 mod 787
134493 ⋅ 86 ⋅ 310 ⋅ 436 mod 787 ≡ 703 ⋅ 86 ⋅ 310 ⋅ 436 mod 787
60458 ⋅ 310 ⋅ 436 mod 787 ≡ 646 ⋅ 310 ⋅ 436 mod 787
200260 ⋅ 436 mod 787 ≡ 362 ⋅ 436 mod 787
157832 mod 787 ≡ 432 mod 787

Es gilt also: 436217 ≡ 432 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.