Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (238 - 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(238 - 80) mod 8 ≡ (238 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.
238 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238
= 240
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(238 - 80) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 72) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 72) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 72) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14532 mod 283.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 145 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1451=145
2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 83 mod 283
4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 97 mod 283
8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 70 mod 283
16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 89 mod 283
32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 280 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 545172 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 5451=545
2: 5452=5451+1=5451⋅5451 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 663 mod 709
4: 5454=5452+2=5452⋅5452 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 698 mod 709
8: 5458=5454+4=5454⋅5454 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 121 mod 709
16: 54516=5458+8=5458⋅5458 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 461 mod 709
32: 54532=54516+16=54516⋅54516 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 530 mod 709
64: 54564=54532+32=54532⋅54532 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 136 mod 709
128: 545128=54564+64=54564⋅54564 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 62 mod 709
545172
= 545128+32+8+4
= 545128⋅54532⋅5458⋅5454
≡ 62 ⋅ 530 ⋅ 121 ⋅ 698 mod 709
≡ 32860 ⋅ 121 ⋅ 698 mod 709 ≡ 246 ⋅ 121 ⋅ 698 mod 709
≡ 29766 ⋅ 698 mod 709 ≡ 697 ⋅ 698 mod 709
≡ 486506 mod 709 ≡ 132 mod 709
Es gilt also: 545172 ≡ 132 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88
| =>97 | = 1⋅88 + 9 |
| =>88 | = 9⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 88-9⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +43⋅88
Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1
Somit 43⋅88 = 1 mod 97
43 ist also das Inverse von 88 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.