Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20001 - 49) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20001 - 49) mod 5 ≡ (20001 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 5 ⋅ 4000 +1.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(20001 - 49) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 63) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 63) mod 6 ≡ (22 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 63) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14616 mod 449.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 146 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1461=146

2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 213 mod 449

4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 20 mod 449

8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 449

16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 156 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 273223 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 2731=273

2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 105 mod 443

4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 393 mod 443

8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 285 mod 443

16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 156 mod 443

32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 414 mod 443

64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 398 mod 443

128: 273128=27364+64=27364⋅27364 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 253 mod 443

273223

= 273128+64+16+8+4+2+1

= 273128⋅27364⋅27316⋅2738⋅2734⋅2732⋅2731

253 ⋅ 398 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
100694 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 133 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
20748 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 370 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
105450 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 16 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
6288 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 86 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
9030 ⋅ 273 mod 443 ≡ 170 ⋅ 273 mod 443
46410 mod 443 ≡ 338 mod 443

Es gilt also: 273223 ≡ 338 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.