Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (808 - 792) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(808 - 792) mod 8 ≡ (808 mod 8 - 792 mod 8) mod 8.
808 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 808
= 800
792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792
= 800
Somit gilt:
(808 - 792) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 20) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 20) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 20) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26932 mod 523.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 187 mod 523
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 451 mod 523
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 477 mod 523
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 24 mod 523
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 24⋅24=576 ≡ 53 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 427216 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 4271=427
2: 4272=4271+1=4271⋅4271 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 619 mod 673
4: 4274=4272+2=4272⋅4272 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 224 mod 673
8: 4278=4274+4=4274⋅4274 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 374 mod 673
16: 42716=4278+8=4278⋅4278 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 565 mod 673
32: 42732=42716+16=42716⋅42716 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 223 mod 673
64: 42764=42732+32=42732⋅42732 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673
128: 427128=42764+64=42764⋅42764 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673
427216
= 427128+64+16+8
= 427128⋅42764⋅42716⋅4278
≡ 618 ⋅ 600 ⋅ 565 ⋅ 374 mod 673
≡ 370800 ⋅ 565 ⋅ 374 mod 673 ≡ 650 ⋅ 565 ⋅ 374 mod 673
≡ 367250 ⋅ 374 mod 673 ≡ 465 ⋅ 374 mod 673
≡ 173910 mod 673 ≡ 276 mod 673
Es gilt also: 427216 ≡ 276 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.