Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (306 - 17995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(306 - 17995) mod 6 ≡ (306 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.
306 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 306
= 300
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
Somit gilt:
(306 - 17995) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 72) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 72) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 72 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 72) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79716 mod 953.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 797 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 511 mod 953
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 952 mod 953
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 952⋅952=906304 ≡ 1 mod 953
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258118 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 328 mod 571
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 236 mod 571
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 309 mod 571
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 124 mod 571
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 530 mod 571
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 539 mod 571
258118
= 25864+32+16+4+2
= 25864⋅25832⋅25816⋅2584⋅2582
≡ 539 ⋅ 530 ⋅ 124 ⋅ 236 ⋅ 328 mod 571
≡ 285670 ⋅ 124 ⋅ 236 ⋅ 328 mod 571 ≡ 170 ⋅ 124 ⋅ 236 ⋅ 328 mod 571
≡ 21080 ⋅ 236 ⋅ 328 mod 571 ≡ 524 ⋅ 236 ⋅ 328 mod 571
≡ 123664 ⋅ 328 mod 571 ≡ 328 ⋅ 328 mod 571
≡ 107584 mod 571 ≡ 236 mod 571
Es gilt also: 258118 ≡ 236 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.