Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 + 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 + 82) mod 4 ≡ (83 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(83 + 82) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (91 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 49) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25764 mod 383.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 173 mod 383
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 55 mod 383
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 344 mod 383
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 372 mod 383
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 121 mod 383
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 87 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 693251 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 6931=693
2: 6932=6931+1=6931⋅6931 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 605 mod 991
4: 6934=6932+2=6932⋅6932 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 346 mod 991
8: 6938=6934+4=6934⋅6934 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 796 mod 991
16: 69316=6938+8=6938⋅6938 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 367 mod 991
32: 69332=69316+16=69316⋅69316 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 904 mod 991
64: 69364=69332+32=69332⋅69332 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 632 mod 991
128: 693128=69364+64=69364⋅69364 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 51 mod 991
693251
= 693128+64+32+16+8+2+1
= 693128⋅69364⋅69332⋅69316⋅6938⋅6932⋅6931
≡ 51 ⋅ 632 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 32232 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 520 ⋅ 904 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 470080 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 346 ⋅ 367 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 126982 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 134 ⋅ 796 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 106664 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991 ≡ 627 ⋅ 605 ⋅ 693 mod 991
≡ 379335 ⋅ 693 mod 991 ≡ 773 ⋅ 693 mod 991
≡ 535689 mod 991 ≡ 549 mod 991
Es gilt also: 693251 ≡ 549 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
