Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6998 - 345) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6998 - 345) mod 7 ≡ (6998 mod 7 - 345 mod 7) mod 7.
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345
= 350
Somit gilt:
(6998 - 345) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 66) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 66) mod 3 ≡ (65 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.
65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 66) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22832 mod 461.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 352 mod 461
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 356 mod 461
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 422 mod 461
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 138 mod 461
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 143 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 288215 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:
215 = 128+64+16+4+2+1
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 138 mod 373
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 21 mod 373
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 21⋅21=441 ≡ 68 mod 373
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 148 mod 373
32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 270 mod 373
64: 28864=28832+32=28832⋅28832 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373
128: 288128=28864+64=28864⋅28864 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373
288215
= 288128+64+16+4+2+1
= 288128⋅28864⋅28816⋅2884⋅2882⋅2881
≡ 369 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 60885 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 86 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 12728 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 46 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 966 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 220 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 30360 ⋅ 288 mod 373 ≡ 147 ⋅ 288 mod 373
≡ 42336 mod 373 ≡ 187 mod 373
Es gilt also: 288215 ≡ 187 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39
| =>73 | = 1⋅39 + 34 |
| =>39 | = 1⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 39-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1) |
| 34= 73-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39
oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅73 = +15⋅39
Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1
Somit 15⋅39 = 1 mod 73
15 ist also das Inverse von 39 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
