Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 + 12003) mod 4 ≡ (20003 mod 4 + 12003 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(20003 + 12003) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 30) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.

48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 30) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 347¹=347

2: 347²=347¹⁺¹=347¹⋅347¹ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 147 mod 383

4: 347⁴=347²⁺²=347²⋅347² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 161 mod 383

8: 347⁸=347⁴⁺⁴=347⁴⋅347⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 260 mod 383

16: 347¹⁶=347⁸⁺⁸=347⁸⋅347⁸ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383

32: 347³²=347¹⁶⁺¹⁶=347¹⁶⋅347¹⁶ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383

64: 347⁶⁴=347³²⁺³²=347³²⋅347³² ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383

128: 347¹²⁸=347⁶⁴⁺⁶⁴=347⁶⁴⋅347⁶⁴ ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

291¹⁶³

= 291^128+32+2+1

= 291¹²⁸⋅291³²⋅291²⋅291¹

≡ 168 ⋅ 382 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659
≡ 64176 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659 ≡ 253 ⋅ 329 ⋅ 291 mod 659
≡ 83237 ⋅ 291 mod 659 ≡ 203 ⋅ 291 mod 659
≡ 59073 mod 659 ≡ 422 mod 659

Es gilt also: 291¹⁶³ ≡ 422 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53	= 1⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53