Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1805 + 177) mod 9 ≡ (1805 mod 9 + 177 mod 9) mod 9.

1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 9 ⋅ 200 +5.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

Somit gilt:

(1805 + 177) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 69) mod 7 ≡ (47 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 69) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 121¹=121

2: 121²=121¹⁺¹=121¹⋅121¹ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 349 mod 397

4: 121⁴=121²⁺²=121²⋅121² ≡ 349⋅349=121801 ≡ 319 mod 397

8: 121⁸=121⁴⁺⁴=121⁴⋅121⁴ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 129 mod 397

16: 121¹⁶=121⁸⁺⁸=121⁸⋅121⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 364 mod 397

32: 121³²=121¹⁶⁺¹⁶=121¹⁶⋅121¹⁶ ≡ 364⋅364=132496 ≡ 295 mod 397

64: 121⁶⁴=121³²⁺³²=121³²⋅121³² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 82 mod 397

128: 121¹²⁸=121⁶⁴⁺⁶⁴=121⁶⁴⋅121⁶⁴ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 372 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

451¹⁴¹

= 451^128+8+4+1

= 451¹²⁸⋅451⁸⋅451⁴⋅451¹

≡ 105 ⋅ 439 ⋅ 208 ⋅ 451 mod 571
≡ 46095 ⋅ 208 ⋅ 451 mod 571 ≡ 415 ⋅ 208 ⋅ 451 mod 571
≡ 86320 ⋅ 451 mod 571 ≡ 99 ⋅ 451 mod 571
≡ 44649 mod 571 ≡ 111 mod 571

Es gilt also: 451¹⁴¹ ≡ 111 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59	= 1⋅54 + 5
=>54	= 10⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54) = -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59