Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 + 4000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 4000) mod 4 ≡ (120 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(120 + 4000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 97) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 97) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 97) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18232 mod 277.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 161 mod 277

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 160 mod 277

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 160 mod 277

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 154145 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 1541=154

2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 140 mod 421

4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 234 mod 421

8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 26 mod 421

16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 26⋅26=676 ≡ 255 mod 421

32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 191 mod 421

64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 275 mod 421

128: 154128=15464+64=15464⋅15464 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 266 mod 421

154145

= 154128+16+1

= 154128⋅15416⋅1541

266 ⋅ 255 ⋅ 154 mod 421
67830 ⋅ 154 mod 421 ≡ 49 ⋅ 154 mod 421
7546 mod 421 ≡ 389 mod 421

Es gilt also: 154145 ≡ 389 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.