Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14006 + 141) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14006 + 141) mod 7 ≡ (14006 mod 7 + 141 mod 7) mod 7.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(14006 + 141) mod 7 ≡ (6 + 1) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 97) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 97) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 97) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3708 mod 607.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 370 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3701=370

2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 325 mod 607

4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 7 mod 607

8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 248217 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 2481=248

2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 9 mod 251

4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 251

8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 35 mod 251

16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 221 mod 251

32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 147 mod 251

64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 23 mod 251

128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 23⋅23=529 ≡ 27 mod 251

248217

= 248128+64+16+8+1

= 248128⋅24864⋅24816⋅2488⋅2481

27 ⋅ 23 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
621 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251 ≡ 119 ⋅ 221 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
26299 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251 ≡ 195 ⋅ 35 ⋅ 248 mod 251
6825 ⋅ 248 mod 251 ≡ 48 ⋅ 248 mod 251
11904 mod 251 ≡ 107 mod 251

Es gilt also: 248217 ≡ 107 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.