Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10005 - 9998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10005 - 9998) mod 5 ≡ (10005 mod 5 - 9998 mod 5) mod 5.
10005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10005
= 10000
9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998
= 9000
Somit gilt:
(10005 - 9998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 57) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 57) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 57) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70932 mod 859.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 709 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7091=709
2: 7092=7091+1=7091⋅7091 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 166 mod 859
4: 7094=7092+2=7092⋅7092 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 68 mod 859
8: 7098=7094+4=7094⋅7094 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 329 mod 859
16: 70916=7098+8=7098⋅7098 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 7 mod 859
32: 70932=70916+16=70916⋅70916 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29889 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 580 mod 919
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 46 mod 919
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 278 mod 919
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 88 mod 919
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 392 mod 919
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 191 mod 919
29889
= 29864+16+8+1
= 29864⋅29816⋅2988⋅2981
≡ 191 ⋅ 88 ⋅ 278 ⋅ 298 mod 919
≡ 16808 ⋅ 278 ⋅ 298 mod 919 ≡ 266 ⋅ 278 ⋅ 298 mod 919
≡ 73948 ⋅ 298 mod 919 ≡ 428 ⋅ 298 mod 919
≡ 127544 mod 919 ≡ 722 mod 919
Es gilt also: 29889 ≡ 722 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.