Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (251 - 25004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(251 - 25004) mod 5 ≡ (251 mod 5 - 25004 mod 5) mod 5.
251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251
= 250
25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004
= 25000
Somit gilt:
(251 - 25004) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 68) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 68) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53832 mod 613.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 538 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5381=538
2: 5382=5381+1=5381⋅5381 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 108 mod 613
4: 5384=5382+2=5382⋅5382 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 17 mod 613
8: 5388=5384+4=5384⋅5384 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 613
16: 53816=5388+8=5388⋅5388 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 153 mod 613
32: 53832=53816+16=53816⋅53816 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 115 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 384204 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 3841=384
2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 289 mod 401
4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 113 mod 401
8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 338 mod 401
16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 360 mod 401
32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401
64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 315 mod 401
128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 178 mod 401
384204
= 384128+64+8+4
= 384128⋅38464⋅3848⋅3844
≡ 178 ⋅ 315 ⋅ 338 ⋅ 113 mod 401
≡ 56070 ⋅ 338 ⋅ 113 mod 401 ≡ 331 ⋅ 338 ⋅ 113 mod 401
≡ 111878 ⋅ 113 mod 401 ≡ 400 ⋅ 113 mod 401
≡ 45200 mod 401 ≡ 288 mod 401
Es gilt also: 384204 ≡ 288 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.