Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 + 11998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 + 11998) mod 4 ≡ (19997 mod 4 + 11998 mod 4) mod 4.
19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 11000
Somit gilt:
(19997 + 11998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 43) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 43) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 43 mod 11) mod 11.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 43) mod 11 ≡ (2 ⋅ 10) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25632 mod 541.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2561=256
2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 75 mod 541
4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541
8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 240 mod 541
16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 254 mod 541
32: 25632=25616+16=25616⋅25616 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 137 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26780 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 171 mod 439
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 267 mod 439
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 171 mod 439
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 267 mod 439
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 171 mod 439
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 267 mod 439
26780
= 26764+16
= 26764⋅26716
≡ 267 ⋅ 267 mod 439
≡ 71289 mod 439 ≡ 171 mod 439
Es gilt also: 26780 ≡ 171 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32
| =>59 | = 1⋅32 + 27 |
| =>32 | = 1⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1) |
| 27= 59-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +24⋅32
Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1
Somit 24⋅32 = 1 mod 59
24 ist also das Inverse von 32 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.