Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1496 - 195) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1496 - 195) mod 5 ≡ (1496 mod 5 - 195 mod 5) mod 5.
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195
= 190
Somit gilt:
(1496 - 195) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 93) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 93) mod 7 ≡ (22 mod 7 ⋅ 93 mod 7) mod 7.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 93) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38816 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 272 mod 587
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 22 mod 587
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 587
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 43 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246234 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 423 mod 607
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 471 mod 607
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 286 mod 607
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 458 mod 607
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 349 mod 607
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 401 mod 607
128: 246128=24664+64=24664⋅24664 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 553 mod 607
246234
= 246128+64+32+8+2
= 246128⋅24664⋅24632⋅2468⋅2462
≡ 553 ⋅ 401 ⋅ 349 ⋅ 286 ⋅ 423 mod 607
≡ 221753 ⋅ 349 ⋅ 286 ⋅ 423 mod 607 ≡ 198 ⋅ 349 ⋅ 286 ⋅ 423 mod 607
≡ 69102 ⋅ 286 ⋅ 423 mod 607 ≡ 511 ⋅ 286 ⋅ 423 mod 607
≡ 146146 ⋅ 423 mod 607 ≡ 466 ⋅ 423 mod 607
≡ 197118 mod 607 ≡ 450 mod 607
Es gilt also: 246234 ≡ 450 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.