Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11995 + 599) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11995 + 599) mod 6 ≡ (11995 mod 6 + 599 mod 6) mod 6.

11995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11995 = 12000-5 = 6 ⋅ 2000 -5 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 1.

599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 6 ⋅ 100 -1 = 6 ⋅ 100 - 6 + 5.

Somit gilt:

(11995 + 599) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 24) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 24) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 24) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2508 mod 569.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 479 mod 569

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15394 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 1531=153

2: 1532=1531+1=1531⋅1531 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 22 mod 257

4: 1534=1532+2=1532⋅1532 ≡ 22⋅22=484 ≡ 227 mod 257

8: 1538=1534+4=1534⋅1534 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

16: 15316=1538+8=1538⋅1538 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

32: 15332=15316+16=15316⋅15316 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

64: 15364=15332+32=15332⋅15332 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

15394

= 15364+16+8+4+2

= 15364⋅15316⋅1538⋅1534⋅1532

256 ⋅ 193 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
49408 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257 ≡ 64 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
8256 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257 ≡ 32 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
7264 ⋅ 22 mod 257 ≡ 68 ⋅ 22 mod 257
1496 mod 257 ≡ 211 mod 257

Es gilt also: 15394 ≡ 211 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.