Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26997 - 2697) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26997 - 2697) mod 9 ≡ (26997 mod 9 - 2697 mod 9) mod 9.

26997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26997 = 27000-3 = 9 ⋅ 3000 -3 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 6.

2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697 = 2700-3 = 9 ⋅ 300 -3 = 9 ⋅ 300 - 9 + 6.

Somit gilt:

(26997 - 2697) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 66) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 66) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 66) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32532 mod 547.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3251=325

2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 54 mod 547

4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 181 mod 547

8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 488 mod 547

16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 199 mod 547

32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 217 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33673 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:

73 = 64+8+1

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419

16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419

32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 164 mod 419

64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 80 mod 419

33673

= 33664+8+1

= 33664⋅3368⋅3361

80 ⋅ 91 ⋅ 336 mod 419
7280 ⋅ 336 mod 419 ≡ 157 ⋅ 336 mod 419
52752 mod 419 ≡ 377 mod 419

Es gilt also: 33673 ≡ 377 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.