Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 + 11996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 + 11996) mod 6 ≡ (60 mod 6 + 11996 mod 6) mod 6.
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 12000
Somit gilt:
(60 + 11996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 16) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 16) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 16 mod 7) mod 7.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 16) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3368 mod 347.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 336 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 121 mod 347
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 67 mod 347
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 325 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 213176 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277
128: 213128=21364+64=21364⋅21364 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277
213176
= 213128+32+16
= 213128⋅21332⋅21316
≡ 27 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 277
≡ 6912 ⋅ 16 mod 277 ≡ 264 ⋅ 16 mod 277
≡ 4224 mod 277 ≡ 69 mod 277
Es gilt also: 213176 ≡ 69 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35
| =>73 | = 2⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 73-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -25⋅35
-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35
-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1
(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1
48⋅35 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1
Somit 48⋅35 = 1 mod 73
48 ist also das Inverse von 35 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.