Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (240 + 1202) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(240 + 1202) mod 6 ≡ (240 mod 6 + 1202 mod 6) mod 6.
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(240 + 1202) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 91) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 91) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 91) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35716 mod 617.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 347 mod 617
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 94 mod 617
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 198 mod 617
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 333 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 409114 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 652 mod 829
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 656 mod 829
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 85 mod 829
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 593 mod 829
32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 153 mod 829
64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 197 mod 829
409114
= 40964+32+16+2
= 40964⋅40932⋅40916⋅4092
≡ 197 ⋅ 153 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829
≡ 30141 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829 ≡ 297 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829
≡ 176121 ⋅ 652 mod 829 ≡ 373 ⋅ 652 mod 829
≡ 243196 mod 829 ≡ 299 mod 829
Es gilt also: 409114 ≡ 299 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32
| =>59 | = 1⋅32 + 27 |
| =>32 | = 1⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1) |
| 27= 59-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +24⋅32
Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1
Somit 24⋅32 = 1 mod 59
24 ist also das Inverse von 32 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.