Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 - 600) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 - 600) mod 3 ≡ (92 mod 3 - 600 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(92 - 600) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 24) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 24) mod 5 ≡ (59 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 24) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23432 mod 293.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 258 mod 293

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293

16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293

32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 81 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242164 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2421=242

2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 292 mod 607

4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 284 mod 607

8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 532 mod 607

16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 162 mod 607

32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 143 mod 607

64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 418 mod 607

128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 515 mod 607

242164

= 242128+32+4

= 242128⋅24232⋅2424

515 ⋅ 143 ⋅ 284 mod 607
73645 ⋅ 284 mod 607 ≡ 198 ⋅ 284 mod 607
56232 mod 607 ≡ 388 mod 607

Es gilt also: 242164 ≡ 388 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67 = 1⋅60 + 7
=>60 = 8⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7)
= 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60)
= -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.