Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (152 - 63) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 - 63) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 63 mod 3) mod 3.

152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 3 ⋅ 50 +2.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(152 - 63) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 24) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (66 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 24) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43716 mod 467.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4371=437

2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 433 mod 467

4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 222 mod 467

8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 249 mod 467

16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 464231 mod 563.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 4641=464

2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 230 mod 563

4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 541 mod 563

8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 484 mod 563

16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 48 mod 563

32: 46432=46416+16=46416⋅46416 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 52 mod 563

64: 46464=46432+32=46432⋅46432 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 452 mod 563

128: 464128=46464+64=46464⋅46464 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 498 mod 563

464231

= 464128+64+32+4+2+1

= 464128⋅46464⋅46432⋅4644⋅4642⋅4641

498 ⋅ 452 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
225096 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 459 ⋅ 52 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
23868 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 222 ⋅ 541 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
120102 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563 ≡ 183 ⋅ 230 ⋅ 464 mod 563
42090 ⋅ 464 mod 563 ≡ 428 ⋅ 464 mod 563
198592 mod 563 ≡ 416 mod 563

Es gilt also: 464231 ≡ 416 mod 563

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.