Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 + 3002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 + 3002) mod 3 ≡ (9002 mod 3 + 3002 mod 3) mod 3.
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(9002 + 3002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 66) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 66) mod 5 ≡ (85 mod 5 ⋅ 66 mod 5) mod 5.
85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.
66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 66) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28332 mod 673.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 2 mod 673
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 673
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 673
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 673
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 255 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 638141 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:
141 = 128+8+4+1
1: 6381=638
2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 904 mod 967
4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 101 mod 967
8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 531 mod 967
16: 63816=6388+8=6388⋅6388 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 564 mod 967
32: 63832=63816+16=63816⋅63816 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 920 mod 967
64: 63864=63832+32=63832⋅63832 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 275 mod 967
128: 638128=63864+64=63864⋅63864 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 199 mod 967
638141
= 638128+8+4+1
= 638128⋅6388⋅6384⋅6381
≡ 199 ⋅ 531 ⋅ 101 ⋅ 638 mod 967
≡ 105669 ⋅ 101 ⋅ 638 mod 967 ≡ 266 ⋅ 101 ⋅ 638 mod 967
≡ 26866 ⋅ 638 mod 967 ≡ 757 ⋅ 638 mod 967
≡ 482966 mod 967 ≡ 433 mod 967
Es gilt also: 638141 ≡ 433 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.