Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (240 + 1202) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 1202) mod 6 ≡ (240 mod 6 + 1202 mod 6) mod 6.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

1202 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 6 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(240 + 1202) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 91) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 91) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 91 mod 6) mod 6.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 91) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35716 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 347 mod 617

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 94 mod 617

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 198 mod 617

16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 333 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 409114 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 652 mod 829

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 656 mod 829

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 85 mod 829

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 593 mod 829

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 153 mod 829

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 197 mod 829

409114

= 40964+32+16+2

= 40964⋅40932⋅40916⋅4092

197 ⋅ 153 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829
30141 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829 ≡ 297 ⋅ 593 ⋅ 652 mod 829
176121 ⋅ 652 mod 829 ≡ 373 ⋅ 652 mod 829
243196 mod 829 ≡ 299 mod 829

Es gilt also: 409114 ≡ 299 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59 = 1⋅32 + 27
=>32 = 1⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27)
= 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32)
= -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.