Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 - 1396) mod 7 ≡ (13996 mod 7 - 1396 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396 = 1400-4 = 7 ⋅ 200 -4 = 7 ⋅ 200 - 7 + 3.

Somit gilt:

(13996 - 1396) mod 7 ≡ (3 - 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 65) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 65 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

65 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 16 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 65) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 458¹=458

2: 458²=458¹⁺¹=458¹⋅458¹ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 535 mod 719

4: 458⁴=458²⁺²=458²⋅458² ≡ 535⋅535=286225 ≡ 63 mod 719

8: 458⁸=458⁴⁺⁴=458⁴⋅458⁴ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 374 mod 719

16: 458¹⁶=458⁸⁺⁸=458⁸⋅458⁸ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 390 mod 719

32: 458³²=458¹⁶⁺¹⁶=458¹⁶⋅458¹⁶ ≡ 390⋅390=152100 ≡ 391 mod 719

64: 458⁶⁴=458³²⁺³²=458³²⋅458³² ≡ 391⋅391=152881 ≡ 453 mod 719

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

305¹⁷⁵

= 305^{128+32+8+4+2+1}

= 305¹²⁸⋅305³²⋅305⁸⋅305⁴⋅305²⋅305¹

≡ 22 ⋅ 180 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
≡ 3960 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 81 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
≡ 28512 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 66 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
≡ 19800 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 405 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
≡ 145800 ⋅ 305 mod 431 ≡ 122 ⋅ 305 mod 431
≡ 37210 mod 431 ≡ 144 mod 431

Es gilt also: 305¹⁷⁵ ≡ 144 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59	= 1⋅44 + 15
=>44	= 2⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44) = -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59