Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1403 - 21004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1403 - 21004) mod 7 ≡ (1403 mod 7 - 21004 mod 7) mod 7.
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004
= 21000
Somit gilt:
(1403 - 21004) mod 7 ≡ (3 - 4) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 53) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 53) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 53) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49232 mod 647.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 492 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4921=492
2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 86 mod 647
4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 279 mod 647
8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 201 mod 647
16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 287 mod 647
32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 200 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266220 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:
220 = 128+64+16+8+4
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 225 mod 281
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 45 mod 281
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 58 mod 281
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 162 mod 281
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281
266220
= 266128+64+16+8+4
= 266128⋅26664⋅26616⋅2668⋅2664
≡ 111 ⋅ 162 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 17982 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281 ≡ 279 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 76167 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281 ≡ 16 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 928 ⋅ 45 mod 281 ≡ 85 ⋅ 45 mod 281
≡ 3825 mod 281 ≡ 172 mod 281
Es gilt also: 266220 ≡ 172 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
