Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(174 + 24001) mod 6 ≡ (174 mod 6 + 24001 mod 6) mod 6.

174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174 = 180-6 = 6 ⋅ 30 -6 = 6 ⋅ 30 - 6 + 0.

24001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001 = 24000+1 = 6 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(174 + 24001) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 81) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 81) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 561¹=561

2: 561²=561¹⁺¹=561¹⋅561¹ ≡ 561⋅561=314721 ≡ 423 mod 919

4: 561⁴=561²⁺²=561²⋅561² ≡ 423⋅423=178929 ≡ 643 mod 919

8: 561⁸=561⁴⁺⁴=561⁴⋅561⁴ ≡ 643⋅643=413449 ≡ 818 mod 919

16: 561¹⁶=561⁸⁺⁸=561⁸⋅561⁸ ≡ 818⋅818=669124 ≡ 92 mod 919

32: 561³²=561¹⁶⁺¹⁶=561¹⁶⋅561¹⁶ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 193 mod 919

64: 561⁶⁴=561³²⁺³²=561³²⋅561³² ≡ 193⋅193=37249 ≡ 489 mod 919

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

591²²⁵

= 591^128+64+32+1

= 591¹²⁸⋅591⁶⁴⋅591³²⋅591¹

≡ 124 ⋅ 365 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643
≡ 45260 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643 ≡ 250 ⋅ 528 ⋅ 591 mod 643
≡ 132000 ⋅ 591 mod 643 ≡ 185 ⋅ 591 mod 643
≡ 109335 mod 643 ≡ 25 mod 643

Es gilt also: 591²²⁵ ≡ 25 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59	= 1⋅31 + 28
=>31	= 1⋅28 + 3
=>28	= 9⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28) = 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31) = -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59