Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (277 - 189) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(277 - 189) mod 9 ≡ (277 mod 9 - 189 mod 9) mod 9.
277 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 277
= 270
189 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 189
= 180
Somit gilt:
(277 - 189) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 74) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 74) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.
63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 74) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1828 mod 239.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 142 mod 239
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 88 mod 239
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 96 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 120137 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 181 mod 241
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
128: 120128=12064+64=12064⋅12064 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
120137
= 120128+8+1
= 120128⋅1208⋅1201
≡ 225 ⋅ 225 ⋅ 120 mod 241
≡ 50625 ⋅ 120 mod 241 ≡ 15 ⋅ 120 mod 241
≡ 1800 mod 241 ≡ 113 mod 241
Es gilt also: 120137 ≡ 113 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.