Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (796 + 3192) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(796 + 3192) mod 8 ≡ (796 mod 8 + 3192 mod 8) mod 8.
796 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 800
3192 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3192
= 3200
Somit gilt:
(796 + 3192) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 85) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 85) mod 4 ≡ (60 mod 4 ⋅ 85 mod 4) mod 4.
60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.
85 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 21 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 85) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3628 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 584 mod 593
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 81 mod 593
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 38 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 515219 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 5151=515
2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 142 mod 971
4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 744 mod 971
8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 66 mod 971
16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 472 mod 971
32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 425 mod 971
64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 19 mod 971
128: 515128=51564+64=51564⋅51564 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 971
515219
= 515128+64+16+8+2+1
= 515128⋅51564⋅51516⋅5158⋅5152⋅5151
≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 472 ⋅ 66 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971
≡ 6859 ⋅ 472 ⋅ 66 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971 ≡ 62 ⋅ 472 ⋅ 66 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971
≡ 29264 ⋅ 66 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971 ≡ 134 ⋅ 66 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971
≡ 8844 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971 ≡ 105 ⋅ 142 ⋅ 515 mod 971
≡ 14910 ⋅ 515 mod 971 ≡ 345 ⋅ 515 mod 971
≡ 177675 mod 971 ≡ 953 mod 971
Es gilt also: 515219 ≡ 953 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.
Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85
| =>101 | = 1⋅85 + 16 |
| =>85 | = 5⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,85)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 85-5⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 101-1⋅85 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -19⋅85
-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85
-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1
(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1
82⋅85 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1
Somit 82⋅85 = 1 mod 101
82 ist also das Inverse von 85 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.