Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(209 + 14007) mod 7 ≡ (209 mod 7 + 14007 mod 7) mod 7.

209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209 = 210-1 = 7 ⋅ 30 -1 = 7 ⋅ 30 - 7 + 6.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(209 + 14007) mod 7 ≡ (6 + 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 47) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 47) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 373¹=373

2: 373²=373¹⁺¹=373¹⋅373¹ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 69 mod 409

4: 373⁴=373²⁺²=373²⋅373² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409

8: 373⁸=373⁴⁺⁴=373⁴⋅373⁴ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409

16: 373¹⁶=373⁸⁺⁸=373⁸⋅373⁸ ≡ 341⋅341=116281 ≡ 125 mod 409

32: 373³²=373¹⁶⁺¹⁶=373¹⁶⋅373¹⁶ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 83 mod 409

64: 373⁶⁴=373³²⁺³²=373³²⋅373³² ≡ 83⋅83=6889 ≡ 345 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

270²⁵⁵

= 270^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 270¹²⁸⋅270⁶⁴⋅270³²⋅270¹⁶⋅270⁸⋅270⁴⋅270²⋅270¹

≡ 620 ⋅ 229 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 141980 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 650 ⋅ 117 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 76050 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 1 ⋅ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 53 ⋅ 178 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 9434 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 12 ⋅ 219 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 2628 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673 ≡ 609 ⋅ 216 ⋅ 270 mod 673
≡ 131544 ⋅ 270 mod 673 ≡ 309 ⋅ 270 mod 673
≡ 83430 mod 673 ≡ 651 mod 673

Es gilt also: 270²⁵⁵ ≡ 651 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79	= 1⋅72 + 7
=>72	= 10⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72) = -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79