Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (904 - 1796) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(904 - 1796) mod 9 ≡ (904 mod 9 - 1796 mod 9) mod 9.

904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904 = 900+4 = 9 ⋅ 100 +4.

1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 9 ⋅ 200 -4 = 9 ⋅ 200 - 9 + 5.

Somit gilt:

(904 - 1796) mod 9 ≡ (4 - 5) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 47) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 47) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 47) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 346128 mod 683.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3461=346

2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 191 mod 683

4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 282 mod 683

8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 296 mod 683

16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 192 mod 683

32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 665 mod 683

64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 324 mod 683

128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 477 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 698192 mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 6981=698

2: 6982=6981+1=6981⋅6981 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 441 mod 719

4: 6984=6982+2=6982⋅6982 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 351 mod 719

8: 6988=6984+4=6984⋅6984 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 252 mod 719

16: 69816=6988+8=6988⋅6988 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 232 mod 719

32: 69832=69816+16=69816⋅69816 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 618 mod 719

64: 69864=69832+32=69832⋅69832 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 135 mod 719

128: 698128=69864+64=69864⋅69864 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 250 mod 719

698192

= 698128+64

= 698128⋅69864

250 ⋅ 135 mod 719
33750 mod 719 ≡ 676 mod 719

Es gilt also: 698192 ≡ 676 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54

=>73 = 1⋅54 + 19
=>54 = 2⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 54-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19)
= 6⋅54 -17⋅ 19 (=1)
19= 73-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54)
= -17⋅73 +23⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54

oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅73 = +23⋅54

Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1

Somit 23⋅54 = 1 mod 73

23 ist also das Inverse von 54 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.