Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (352 + 77) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(352 + 77) mod 7 ≡ (352 mod 7 + 77 mod 7) mod 7.

352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 350+2 = 7 ⋅ 50 +2.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70+7 = 7 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(352 + 77) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 28) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 28) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 28) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3558 mod 613.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 360 mod 613

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 257 mod 613

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 458 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 554222 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 5541=554

2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 416 mod 613

4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 190 mod 613

8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 546 mod 613

16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 198 mod 613

32: 55432=55416+16=55416⋅55416 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 585 mod 613

64: 55464=55432+32=55432⋅55432 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 171 mod 613

128: 554128=55464+64=55464⋅55464 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 430 mod 613

554222

= 554128+64+16+8+4+2

= 554128⋅55464⋅55416⋅5548⋅5544⋅5542

430 ⋅ 171 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
73530 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 583 ⋅ 198 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
115434 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 190 ⋅ 546 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
103740 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613 ≡ 143 ⋅ 190 ⋅ 416 mod 613
27170 ⋅ 416 mod 613 ≡ 198 ⋅ 416 mod 613
82368 mod 613 ≡ 226 mod 613

Es gilt also: 554222 ≡ 226 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79 = 1⋅45 + 34
=>45 = 1⋅34 + 11
=>34 = 3⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34)
= -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45)
= 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.