Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 + 255) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 + 255) mod 5 ≡ (95 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255
= 250
Somit gilt:
(95 + 255) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 61) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 61) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 61 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 61) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 391128 mod 941.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 439 mod 941
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 757 mod 941
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 921 mod 941
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 400 mod 941
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 30 mod 941
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 30⋅30=900 ≡ 900 mod 941
128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 740 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241156 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 249 mod 251
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 4 mod 251
241156
= 241128+16+8+4
= 241128⋅24116⋅2418⋅2414
≡ 4 ⋅ 51 ⋅ 94 ⋅ 211 mod 251
≡ 204 ⋅ 94 ⋅ 211 mod 251
≡ 19176 ⋅ 211 mod 251 ≡ 100 ⋅ 211 mod 251
≡ 21100 mod 251 ≡ 16 mod 251
Es gilt also: 241156 ≡ 16 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83
| =>89 | = 1⋅83 + 6 |
| =>83 | = 13⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 83-13⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1) |
| 6= 89-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83
oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅89 = -15⋅83
-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83
-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1
(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1
74⋅83 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1
Somit 74⋅83 = 1 mod 89
74 ist also das Inverse von 83 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.