Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1002 + 200) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1002 + 200) mod 5 ≡ (1002 mod 5 + 200 mod 5) mod 5.
1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002
= 1000
200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(1002 + 200) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 41) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 41) mod 5 ≡ (95 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 41) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3268 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 326 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 390166 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 209 mod 787
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 396 mod 787
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 203 mod 787
16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 285 mod 787
32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 164 mod 787
64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 138 mod 787
128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 156 mod 787
390166
= 390128+32+4+2
= 390128⋅39032⋅3904⋅3902
≡ 156 ⋅ 164 ⋅ 396 ⋅ 209 mod 787
≡ 25584 ⋅ 396 ⋅ 209 mod 787 ≡ 400 ⋅ 396 ⋅ 209 mod 787
≡ 158400 ⋅ 209 mod 787 ≡ 213 ⋅ 209 mod 787
≡ 44517 mod 787 ≡ 445 mod 787
Es gilt also: 390166 ≡ 445 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.