Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2804 + 69) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2804 + 69) mod 7 ≡ (2804 mod 7 + 69 mod 7) mod 7.
2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804
= 2800
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69
= 70
Somit gilt:
(2804 + 69) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 89) mod 7 ≡ (55 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 89) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69616 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 696 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6961=696
2: 6962=6961+1=6961⋅6961 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 21 mod 751
4: 6964=6962+2=6962⋅6962 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 751
8: 6968=6964+4=6964⋅6964 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 723 mod 751
16: 69616=6968+8=6968⋅6968 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 33 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16183 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 1611=161
2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 240 mod 421
4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 344 mod 421
8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 35 mod 421
16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 383 mod 421
32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 181 mod 421
64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 344 mod 421
16183
= 16164+16+2+1
= 16164⋅16116⋅1612⋅1611
≡ 344 ⋅ 383 ⋅ 240 ⋅ 161 mod 421
≡ 131752 ⋅ 240 ⋅ 161 mod 421 ≡ 400 ⋅ 240 ⋅ 161 mod 421
≡ 96000 ⋅ 161 mod 421 ≡ 12 ⋅ 161 mod 421
≡ 1932 mod 421 ≡ 248 mod 421
Es gilt also: 16183 ≡ 248 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.