Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4504 - 87) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4504 - 87) mod 9 ≡ (4504 mod 9 - 87 mod 9) mod 9.
4504 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4504
= 4500
87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
Somit gilt:
(4504 - 87) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 88) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 88) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 88 mod 5) mod 5.
76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 88) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38964 mod 541.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 382 mod 541
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 395 mod 541
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 217 mod 541
16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 22 mod 541
32: 38932=38916+16=38916⋅38916 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 541
64: 38964=38932+32=38932⋅38932 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 3 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 207109 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 128 mod 359
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 229 mod 359
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 27 mod 359
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 27⋅27=729 ≡ 11 mod 359
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 359
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 281 mod 359
207109
= 20764+32+8+4+1
= 20764⋅20732⋅2078⋅2074⋅2071
≡ 281 ⋅ 121 ⋅ 27 ⋅ 229 ⋅ 207 mod 359
≡ 34001 ⋅ 27 ⋅ 229 ⋅ 207 mod 359 ≡ 255 ⋅ 27 ⋅ 229 ⋅ 207 mod 359
≡ 6885 ⋅ 229 ⋅ 207 mod 359 ≡ 64 ⋅ 229 ⋅ 207 mod 359
≡ 14656 ⋅ 207 mod 359 ≡ 296 ⋅ 207 mod 359
≡ 61272 mod 359 ≡ 242 mod 359
Es gilt also: 207109 ≡ 242 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
