Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14997 + 897) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14997 + 897) mod 3 ≡ (14997 mod 3 + 897 mod 3) mod 3.
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(14997 + 897) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 17) mod 6 ≡ (49 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
49 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 8 ⋅ 6 + 1 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 17) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36816 mod 487.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3681=368
2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 38 mod 487
4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 470 mod 487
8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 289 mod 487
16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 244 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 504139 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 429 mod 617
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 175 mod 617
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 392 mod 617
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 31 mod 617
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 31⋅31=961 ≡ 344 mod 617
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 489 mod 617
128: 504128=50464+64=50464⋅50464 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 342 mod 617
504139
= 504128+8+2+1
= 504128⋅5048⋅5042⋅5041
≡ 342 ⋅ 392 ⋅ 429 ⋅ 504 mod 617
≡ 134064 ⋅ 429 ⋅ 504 mod 617 ≡ 175 ⋅ 429 ⋅ 504 mod 617
≡ 75075 ⋅ 504 mod 617 ≡ 418 ⋅ 504 mod 617
≡ 210672 mod 617 ≡ 275 mod 617
Es gilt also: 504139 ≡ 275 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.