Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1001 - 15004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1001 - 15004) mod 5 ≡ (1001 mod 5 - 15004 mod 5) mod 5.
1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001
= 1000
15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004
= 15000
Somit gilt:
(1001 - 15004) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 97) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 97) mod 11 ≡ (83 mod 11 ⋅ 97 mod 11) mod 11.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 97) mod 11 ≡ (6 ⋅ 9) mod 11 ≡ 54 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 647.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 392 mod 647
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 325 mod 647
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 164 mod 647
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 369 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 322227 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 22 mod 443
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 22⋅22=484 ≡ 41 mod 443
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 352 mod 443
16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 307 mod 443
32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 333 mod 443
64: 32264=32232+32=32232⋅32232 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 139 mod 443
128: 322128=32264+64=32264⋅32264 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 272 mod 443
322227
= 322128+64+32+2+1
= 322128⋅32264⋅32232⋅3222⋅3221
≡ 272 ⋅ 139 ⋅ 333 ⋅ 22 ⋅ 322 mod 443
≡ 37808 ⋅ 333 ⋅ 22 ⋅ 322 mod 443 ≡ 153 ⋅ 333 ⋅ 22 ⋅ 322 mod 443
≡ 50949 ⋅ 22 ⋅ 322 mod 443 ≡ 4 ⋅ 22 ⋅ 322 mod 443
≡ 88 ⋅ 322 mod 443
≡ 28336 mod 443 ≡ 427 mod 443
Es gilt also: 322227 ≡ 427 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.