Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (402 - 202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(402 - 202) mod 4 ≡ (402 mod 4 - 202 mod 4) mod 4.
402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(402 - 202) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 32) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 32) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 32) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61632 mod 853.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 616 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6161=616
2: 6162=6161+1=6161⋅6161 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 724 mod 853
4: 6164=6162+2=6162⋅6162 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 434 mod 853
8: 6168=6164+4=6164⋅6164 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 696 mod 853
16: 61616=6168+8=6168⋅6168 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 765 mod 853
32: 61632=61616+16=61616⋅61616 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 67 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 141130 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 1411=141
2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 156 mod 263
4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 140 mod 263
8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 138 mod 263
16: 14116=1418+8=1418⋅1418 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 108 mod 263
32: 14132=14116+16=14116⋅14116 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 92 mod 263
64: 14164=14132+32=14132⋅14132 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 48 mod 263
128: 141128=14164+64=14164⋅14164 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 200 mod 263
141130
= 141128+2
= 141128⋅1412
≡ 200 ⋅ 156 mod 263
≡ 31200 mod 263 ≡ 166 mod 263
Es gilt also: 141130 ≡ 166 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.