Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 120) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 120) mod 6 ≡ (123 mod 6 - 120 mod 6) mod 6.
123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(123 - 120) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 92) mod 8 ≡ (55 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 92) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73716 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 737 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7371=737
2: 7372=7371+1=7371⋅7371 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 682 mod 967
4: 7374=7372+2=7372⋅7372 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 964 mod 967
8: 7378=7374+4=7374⋅7374 ≡ 964⋅964=929296 ≡ 9 mod 967
16: 73716=7378+8=7378⋅7378 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 502153 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 96 mod 887
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 346 mod 887
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 858 mod 887
16: 50216=5028+8=5028⋅5028 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 841 mod 887
32: 50232=50216+16=50216⋅50216 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 342 mod 887
64: 50264=50232+32=50232⋅50232 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 767 mod 887
128: 502128=50264+64=50264⋅50264 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 208 mod 887
502153
= 502128+16+8+1
= 502128⋅50216⋅5028⋅5021
≡ 208 ⋅ 841 ⋅ 858 ⋅ 502 mod 887
≡ 174928 ⋅ 858 ⋅ 502 mod 887 ≡ 189 ⋅ 858 ⋅ 502 mod 887
≡ 162162 ⋅ 502 mod 887 ≡ 728 ⋅ 502 mod 887
≡ 365456 mod 887 ≡ 12 mod 887
Es gilt also: 502153 ≡ 12 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.