Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 - 8999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 - 8999) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 8999 mod 3) mod 3.
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
Somit gilt:
(601 - 8999) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 62) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 62) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 62 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 62) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5008 mod 547.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 500 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5001=500
2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 21 mod 547
4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 547
8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 296 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39175 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 340 mod 997
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 945 mod 997
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 710 mod 997
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 615 mod 997
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 362 mod 997
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 437 mod 997
39175
= 39164+8+2+1
= 39164⋅3918⋅3912⋅3911
≡ 437 ⋅ 710 ⋅ 340 ⋅ 391 mod 997
≡ 310270 ⋅ 340 ⋅ 391 mod 997 ≡ 203 ⋅ 340 ⋅ 391 mod 997
≡ 69020 ⋅ 391 mod 997 ≡ 227 ⋅ 391 mod 997
≡ 88757 mod 997 ≡ 24 mod 997
Es gilt also: 39175 ≡ 24 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.