Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2501 - 2505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2501 - 2505) mod 5 ≡ (2501 mod 5 - 2505 mod 5) mod 5.
2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501
= 2500
2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505
= 2500
Somit gilt:
(2501 - 2505) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 23) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 23) mod 7 ≡ (78 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 23) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1848 mod 271.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 252 mod 271
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 90 mod 271
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 241 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19865 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 214 mod 557
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 122 mod 557
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 402 mod 557
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 74 mod 557
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 463 mod 557
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 481 mod 557
19865
= 19864+1
= 19864⋅1981
≡ 481 ⋅ 198 mod 557
≡ 95238 mod 557 ≡ 548 mod 557
Es gilt also: 19865 ≡ 548 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.