Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 - 1003) mod 5 ≡ (2001 mod 5 - 1003 mod 5) mod 5.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(2001 - 1003) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 49) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 49) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 676¹=676

2: 676²=676¹⁺¹=676¹⋅676¹ ≡ 676⋅676=456976 ≡ 565 mod 911

4: 676⁴=676²⁺²=676²⋅676² ≡ 565⋅565=319225 ≡ 375 mod 911

8: 676⁸=676⁴⁺⁴=676⁴⋅676⁴ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 331 mod 911

16: 676¹⁶=676⁸⁺⁸=676⁸⋅676⁸ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 241 mod 911

32: 676³²=676¹⁶⁺¹⁶=676¹⁶⋅676¹⁶ ≡ 241⋅241=58081 ≡ 688 mod 911

64: 676⁶⁴=676³²⁺³²=676³²⋅676³² ≡ 688⋅688=473344 ≡ 535 mod 911

128: 676¹²⁸=676⁶⁴⁺⁶⁴=676⁶⁴⋅676⁶⁴ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 171 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

134¹⁰⁶

= 134^64+32+8+2

= 134⁶⁴⋅134³²⋅134⁸⋅134²

≡ 187 ⋅ 58 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353
≡ 10846 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353 ≡ 256 ⋅ 162 ⋅ 306 mod 353
≡ 41472 ⋅ 306 mod 353 ≡ 171 ⋅ 306 mod 353
≡ 52326 mod 353 ≡ 82 mod 353

Es gilt also: 134¹⁰⁶ ≡ 82 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67