Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45004 - 895) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45004 - 895) mod 9 ≡ (45004 mod 9 - 895 mod 9) mod 9.
45004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45004
= 45000
895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895
= 900
Somit gilt:
(45004 - 895) mod 9 ≡ (4 - 4) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 92) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 92) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 92) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7538 mod 991.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 753 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7531=753
2: 7532=7531+1=7531⋅7531 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 157 mod 991
4: 7534=7532+2=7532⋅7532 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 865 mod 991
8: 7538=7534+4=7534⋅7534 ≡ 865⋅865=748225 ≡ 20 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7399 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 731=73
2: 732=731+1=731⋅731 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 62 mod 229
4: 734=732+2=732⋅732 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 180 mod 229
8: 738=734+4=734⋅734 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 111 mod 229
16: 7316=738+8=738⋅738 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229
32: 7332=7316+16=7316⋅7316 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229
64: 7364=7332+32=7332⋅7332 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229
7399
= 7364+32+2+1
= 7364⋅7332⋅732⋅731
≡ 151 ⋅ 193 ⋅ 62 ⋅ 73 mod 229
≡ 29143 ⋅ 62 ⋅ 73 mod 229 ≡ 60 ⋅ 62 ⋅ 73 mod 229
≡ 3720 ⋅ 73 mod 229 ≡ 56 ⋅ 73 mod 229
≡ 4088 mod 229 ≡ 195 mod 229
Es gilt also: 7399 ≡ 195 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.