Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (176 - 88) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 88) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 88 mod 9) mod 9.

176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 9 ⋅ 20 -4 = 9 ⋅ 20 - 9 + 5.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 9 ⋅ 10 -2 = 9 ⋅ 10 - 9 + 7.

Somit gilt:

(176 - 88) mod 9 ≡ (5 - 7) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 42) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 42) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 42) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 99128 mod 211.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 99 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 991=99

2: 992=991+1=991⋅991 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 95 mod 211

4: 994=992+2=992⋅992 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 163 mod 211

8: 998=994+4=994⋅994 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 194 mod 211

16: 9916=998+8=998⋅998 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211

32: 9932=9916+16=9916⋅9916 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211

64: 9964=9932+32=9932⋅9932 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211

128: 99128=9964+64=9964⋅9964 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14398 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:

98 = 64+32+2

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 399 mod 401

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 4 mod 401

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 401

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 401

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401

14398

= 14364+32+2

= 14364⋅14332⋅1432

255 ⋅ 173 ⋅ 399 mod 401
44115 ⋅ 399 mod 401 ≡ 5 ⋅ 399 mod 401
1995 mod 401 ≡ 391 mod 401

Es gilt also: 14398 ≡ 391 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59

=>101 = 1⋅59 + 42
=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)
42= 101-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59)
= -7⋅101 +12⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59

oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅101 = +12⋅59

Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1

Somit 12⋅59 = 1 mod 101

12 ist also das Inverse von 59 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.