Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14997 + 2505) mod 5 ≡ (14997 mod 5 + 2505 mod 5) mod 5.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(14997 + 2505) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 20) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 20) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 220¹=220

2: 220²=220¹⁺¹=220¹⋅220¹ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 357 mod 449

4: 220⁴=220²⁺²=220²⋅220² ≡ 357⋅357=127449 ≡ 382 mod 449

8: 220⁸=220⁴⁺⁴=220⁴⋅220⁴ ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449

16: 220¹⁶=220⁸⁺⁸=220⁸⋅220⁸ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

32: 220³²=220¹⁶⁺¹⁶=220¹⁶⋅220¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

541²⁴³

= 541^{128+64+32+16+2+1}

= 541¹²⁸⋅541⁶⁴⋅541³²⋅541¹⁶⋅541²⋅541¹

≡ 408 ⋅ 360 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
≡ 146880 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769 ≡ 1 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
≡ 6859 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769 ≡ 707 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
≡ 325927 ⋅ 541 mod 769 ≡ 640 ⋅ 541 mod 769
≡ 346240 mod 769 ≡ 190 mod 769

Es gilt also: 541²⁴³ ≡ 190 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71	= 1⋅63 + 8
=>63	= 7⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63) = -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71