Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 + 30002) mod 6 ≡ (11997 mod 6 + 30002 mod 6) mod 6.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002 = 30000+2 = 6 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(11997 + 30002) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 56) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 56 mod 7) mod 7.

48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 56) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 283¹=283

2: 283²=283¹⁺¹=283¹⋅283¹ ≡ 283⋅283=80089 ≡ 34 mod 593

4: 283⁴=283²⁺²=283²⋅283² ≡ 34⋅34=1156 ≡ 563 mod 593

8: 283⁸=283⁴⁺⁴=283⁴⋅283⁴ ≡ 563⋅563=316969 ≡ 307 mod 593

16: 283¹⁶=283⁸⁺⁸=283⁸⋅283⁸ ≡ 307⋅307=94249 ≡ 555 mod 593

32: 283³²=283¹⁶⁺¹⁶=283¹⁶⋅283¹⁶ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593

64: 283⁶⁴=283³²⁺³²=283³²⋅283³² ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593

128: 283¹²⁸=283⁶⁴⁺⁶⁴=283⁶⁴⋅283⁶⁴ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 556 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

301¹⁵⁸

= 301^128+16+8+4+2

= 301¹²⁸⋅301¹⁶⋅301⁸⋅301⁴⋅301²

≡ 472 ⋅ 370 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 174640 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641 ≡ 288 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 144288 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641 ≡ 63 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 20475 ⋅ 220 mod 641 ≡ 604 ⋅ 220 mod 641
≡ 132880 mod 641 ≡ 193 mod 641

Es gilt also: 301¹⁵⁸ ≡ 193 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61