Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2393 + 32005) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2393 + 32005) mod 8 ≡ (2393 mod 8 + 32005 mod 8) mod 8.
2393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2393
= 2400
32005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32005
= 32000
Somit gilt:
(2393 + 32005) mod 8 ≡ (1 + 5) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 100) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 100) mod 6 ≡ (39 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 100) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23864 mod 641.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2381=238
2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 236 mod 641
4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 570 mod 641
8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 554 mod 641
16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 518 mod 641
32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 386 mod 641
64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 284 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 276252 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 68 mod 359
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 316 mod 359
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 54 mod 359
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 44 mod 359
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 141 mod 359
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 136 mod 359
128: 276128=27664+64=27664⋅27664 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 187 mod 359
276252
= 276128+64+32+16+8+4
= 276128⋅27664⋅27632⋅27616⋅2768⋅2764
≡ 187 ⋅ 136 ⋅ 141 ⋅ 44 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359
≡ 25432 ⋅ 141 ⋅ 44 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359 ≡ 302 ⋅ 141 ⋅ 44 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359
≡ 42582 ⋅ 44 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359 ≡ 220 ⋅ 44 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359
≡ 9680 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359 ≡ 346 ⋅ 54 ⋅ 316 mod 359
≡ 18684 ⋅ 316 mod 359 ≡ 16 ⋅ 316 mod 359
≡ 5056 mod 359 ≡ 30 mod 359
Es gilt also: 276252 ≡ 30 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62
| =>83 | = 1⋅62 + 21 |
| =>62 | = 2⋅21 + 20 |
| =>21 | = 1⋅20 + 1 |
| =>20 | = 20⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-1⋅20 | |||
| 20= 62-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21) = -1⋅62 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62) = 3⋅83 -4⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -4⋅62
-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62
-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1
(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1
79⋅62 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1
Somit 79⋅62 = 1 mod 83
79 ist also das Inverse von 62 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
