Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (179 - 1809) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(179 - 1809) mod 9 ≡ (179 mod 9 - 1809 mod 9) mod 9.

179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 9 ⋅ 20 -1 = 9 ⋅ 20 - 9 + 8.

1809 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1809 = 1800+9 = 9 ⋅ 200 +9.

Somit gilt:

(179 - 1809) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 25) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 25) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 25) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18732 mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1871=187

2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 17 mod 257

4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257

8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 509108 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 558 mod 617

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 396 mod 617

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 98 mod 617

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 252 mod 617

64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 570 mod 617

509108

= 50964+32+8+4

= 50964⋅50932⋅5098⋅5094

570 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617
143640 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617 ≡ 496 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617
48608 ⋅ 396 mod 617 ≡ 482 ⋅ 396 mod 617
190872 mod 617 ≡ 219 mod 617

Es gilt also: 509108 ≡ 219 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.