Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 2997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 2997) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 2997 mod 3) mod 3.
11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
Somit gilt:
(11999 - 2997) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 99) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 99) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 99) mod 11 ≡ (9 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49816 mod 647.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 203 mod 647
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 448 mod 647
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 134 mod 647
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 487 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 276149 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 76 mod 761
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 449 mod 761
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 697 mod 761
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 291 mod 761
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 210 mod 761
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 723 mod 761
128: 276128=27664+64=27664⋅27664 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 683 mod 761
276149
= 276128+16+4+1
= 276128⋅27616⋅2764⋅2761
≡ 683 ⋅ 291 ⋅ 449 ⋅ 276 mod 761
≡ 198753 ⋅ 449 ⋅ 276 mod 761 ≡ 132 ⋅ 449 ⋅ 276 mod 761
≡ 59268 ⋅ 276 mod 761 ≡ 671 ⋅ 276 mod 761
≡ 185196 mod 761 ≡ 273 mod 761
Es gilt also: 276149 ≡ 273 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.