Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3003 - 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3003 - 1500) mod 3 ≡ (3003 mod 3 - 1500 mod 3) mod 3.

3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003 = 3000+3 = 3 ⋅ 1000 +3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(3003 - 1500) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 20) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 3 ≡ (100 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.

100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2988 mod 449.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 298 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2981=298

2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 351 mod 449

4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 175 mod 449

8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 93 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17564 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 1751=175

2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 362 mod 571

4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 285 mod 571

8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 143 mod 571

16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 464 mod 571

32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 29 mod 571

64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 29⋅29=841 ≡ 270 mod 571

17564

= 17564

= 17564

270 mod 571

Es gilt also: 17564 ≡ 270 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61 = 1⋅48 + 13
=>48 = 3⋅13 + 9
=>13 = 1⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9)
= -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13)
= 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48)
= -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.