Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 1504) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(246 - 1504) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 58) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 58) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 482¹=482

2: 482²=482¹⁺¹=482¹⋅482¹ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 112 mod 523

4: 482⁴=482²⁺²=482²⋅482² ≡ 112⋅112=12544 ≡ 515 mod 523

8: 482⁸=482⁴⁺⁴=482⁴⋅482⁴ ≡ 515⋅515=265225 ≡ 64 mod 523

16: 482¹⁶=482⁸⁺⁸=482⁸⋅482⁸ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 435 mod 523

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

280²⁵³

= 280^{128+64+32+16+8+4+1}

= 280¹²⁸⋅280⁶⁴⋅280³²⋅280¹⁶⋅280⁸⋅280⁴⋅280¹

≡ 147 ⋅ 48 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 7056 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 585 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 316485 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 125 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 26125 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 241 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 121464 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 672 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 81984 ⋅ 280 mod 719 ≡ 18 ⋅ 280 mod 719
≡ 5040 mod 719 ≡ 7 mod 719

Es gilt also: 280²⁵³ ≡ 7 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73	= 2⋅25 + 23
=>25	= 1⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25) = -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73