Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1397 + 276) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1397 + 276) mod 7 ≡ (1397 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.
1397 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1397
= 1400
276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 280
Somit gilt:
(1397 + 276) mod 7 ≡ (4 + 3) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 44) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 44) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 44) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19932 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 213 mod 229
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 27 mod 229
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 27⋅27=729 ≡ 42 mod 229
16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229
32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 117206 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 1171=117
2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 178 mod 229
4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 82 mod 229
8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229
16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 19 mod 229
32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229
64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229
128: 117128=11764+64=11764⋅11764 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229
117206
= 117128+64+8+4+2
= 117128⋅11764⋅1178⋅1174⋅1172
≡ 171 ⋅ 20 ⋅ 83 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229
≡ 3420 ⋅ 83 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229 ≡ 214 ⋅ 83 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229
≡ 17762 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229 ≡ 129 ⋅ 82 ⋅ 178 mod 229
≡ 10578 ⋅ 178 mod 229 ≡ 44 ⋅ 178 mod 229
≡ 7832 mod 229 ≡ 46 mod 229
Es gilt also: 117206 ≡ 46 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21
| =>61 | = 2⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -29⋅21
-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21
-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1
(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1
32⋅21 = 11⋅61 + 1
Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1
Somit 32⋅21 = 1 mod 61
32 ist also das Inverse von 21 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.