Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9002 + 35996) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 + 35996) mod 9 ≡ (9002 mod 9 + 35996 mod 9) mod 9.

9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 9 ⋅ 1000 +2.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(9002 + 35996) mod 9 ≡ (2 + 5) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 75) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 75) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 84264 mod 947.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 842 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8421=842

2: 8422=8421+1=8421⋅8421 ≡ 842⋅842=708964 ≡ 608 mod 947

4: 8424=8422+2=8422⋅8422 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 334 mod 947

8: 8428=8424+4=8424⋅8424 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 757 mod 947

16: 84216=8428+8=8428⋅8428 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 114 mod 947

32: 84232=84216+16=84216⋅84216 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 685 mod 947

64: 84264=84232+32=84232⋅84232 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 460 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 175183 mod 337.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 1751=175

2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 295 mod 337

4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337

8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 175 mod 337

16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 295 mod 337

32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337

64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 175 mod 337

128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 295 mod 337

175183

= 175128+32+16+4+2+1

= 175128⋅17532⋅17516⋅1754⋅1752⋅1751

295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
23305 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 52 ⋅ 295 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
15340 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 175 ⋅ 79 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
13825 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337 ≡ 8 ⋅ 295 ⋅ 175 mod 337
2360 ⋅ 175 mod 337 ≡ 1 ⋅ 175 mod 337
175 mod 337

Es gilt also: 175183 ≡ 175 mod 337

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67 = 1⋅44 + 23
=>44 = 1⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23)
= 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44)
= -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.