Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (505 + 19999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(505 + 19999) mod 5 ≡ (505 mod 5 + 19999 mod 5) mod 5.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

19999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 5 ⋅ 3800 +999.

Somit gilt:

(505 + 19999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 37) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 37) mod 6 ≡ (32 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 37) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242128 mod 431.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2421=242

2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 379 mod 431

4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 118 mod 431

8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 132 mod 431

16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 184 mod 431

32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 238 mod 431

64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 183 mod 431

128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 302 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 269193 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 838 mod 883

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 838⋅838=702244 ≡ 259 mod 883

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 856 mod 883

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 729 mod 883

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 758 mod 883

64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 614 mod 883

128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 838 mod 883

269193

= 269128+64+1

= 269128⋅26964⋅2691

838 ⋅ 614 ⋅ 269 mod 883
514532 ⋅ 269 mod 883 ≡ 626 ⋅ 269 mod 883
168394 mod 883 ≡ 624 mod 883

Es gilt also: 269193 ≡ 624 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.