Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 - 120) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 - 120) mod 3 ≡ (93 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(93 - 120) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 69) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 69) mod 6 ≡ (26 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.
26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 69) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55664 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 556 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5561=556
2: 5562=5561+1=5561⋅5561 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 280 mod 757
4: 5564=5562+2=5562⋅5562 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 429 mod 757
8: 5568=5564+4=5564⋅5564 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 90 mod 757
16: 55616=5568+8=5568⋅5568 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 530 mod 757
32: 55632=55616+16=55616⋅55616 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 53 mod 757
64: 55664=55632+32=55632⋅55632 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 538 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 338214 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:
214 = 128+64+16+4+2
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 59 mod 557
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 139 mod 557
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 383 mod 557
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 198 mod 557
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 214 mod 557
64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 122 mod 557
128: 338128=33864+64=33864⋅33864 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 402 mod 557
338214
= 338128+64+16+4+2
= 338128⋅33864⋅33816⋅3384⋅3382
≡ 402 ⋅ 122 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 49044 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557 ≡ 28 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 5544 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557 ≡ 531 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 73809 ⋅ 59 mod 557 ≡ 285 ⋅ 59 mod 557
≡ 16815 mod 557 ≡ 105 mod 557
Es gilt also: 338214 ≡ 105 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56
| =>73 | = 1⋅56 + 17 |
| =>56 | = 3⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 56-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1) |
| 17= 73-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +30⋅56
Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1
Somit 30⋅56 = 1 mod 73
30 ist also das Inverse von 56 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
