Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (158 + 15993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(158 + 15993) mod 8 ≡ (158 mod 8 + 15993 mod 8) mod 8.
158 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
15993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15993
= 15000
Somit gilt:
(158 + 15993) mod 8 ≡ (6 + 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 48) mod 4 ≡ (74 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 48) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7448 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 744 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7441=744
2: 7442=7441+1=7441⋅7441 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 298 mod 919
4: 7444=7442+2=7442⋅7442 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 580 mod 919
8: 7448=7444+4=7444⋅7444 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 46 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299157 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 67 mod 709
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 235 mod 709
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 632 mod 709
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 257 mod 709
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 112 mod 709
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 491 mod 709
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 21 mod 709
299157
= 299128+16+8+4+1
= 299128⋅29916⋅2998⋅2994⋅2991
≡ 21 ⋅ 257 ⋅ 632 ⋅ 235 ⋅ 299 mod 709
≡ 5397 ⋅ 632 ⋅ 235 ⋅ 299 mod 709 ≡ 434 ⋅ 632 ⋅ 235 ⋅ 299 mod 709
≡ 274288 ⋅ 235 ⋅ 299 mod 709 ≡ 614 ⋅ 235 ⋅ 299 mod 709
≡ 144290 ⋅ 299 mod 709 ≡ 363 ⋅ 299 mod 709
≡ 108537 mod 709 ≡ 60 mod 709
Es gilt also: 299157 ≡ 60 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.