Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 + 4999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 + 4999) mod 5 ≡ (197 mod 5 + 4999 mod 5) mod 5.
197 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 190
4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999
= 4000
Somit gilt:
(197 + 4999) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 22) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 22) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 22 mod 7) mod 7.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 22) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 247128 mod 263.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 247 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 256 mod 263
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 49 mod 263
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 34 mod 263
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 104 mod 263
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 33 mod 263
64: 24764=24732+32=24732⋅24732 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 37 mod 263
128: 247128=24764+64=24764⋅24764 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 54 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 124176 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 1241=124
2: 1242=1241+1=1241⋅1241 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331
4: 1244=1242+2=1242⋅1242 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 323 mod 331
8: 1248=1244+4=1244⋅1244 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 64 mod 331
16: 12416=1248+8=1248⋅1248 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 124 mod 331
32: 12432=12416+16=12416⋅12416 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331
64: 12464=12432+32=12432⋅12432 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 323 mod 331
128: 124128=12464+64=12464⋅12464 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 64 mod 331
124176
= 124128+32+16
= 124128⋅12432⋅12416
≡ 64 ⋅ 150 ⋅ 124 mod 331
≡ 9600 ⋅ 124 mod 331 ≡ 1 ⋅ 124 mod 331
≡ 124 mod 331
Es gilt also: 124176 ≡ 124 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.