Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5998 + 305) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5998 + 305) mod 6 ≡ (5998 mod 6 + 305 mod 6) mod 6.
5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305
= 300
Somit gilt:
(5998 + 305) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 78) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 78) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.
91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 78) mod 11 ≡ (3 ⋅ 1) mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 475128 mod 853.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 433 mod 853
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 682 mod 853
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 239 mod 853
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 823 mod 853
32: 47532=47516+16=47516⋅47516 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 47 mod 853
64: 47564=47532+32=47532⋅47532 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 503 mod 853
128: 475128=47564+64=47564⋅47564 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 521 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 206223 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 17 mod 251
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 17⋅17=289 ≡ 38 mod 251
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 189 mod 251
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 79 mod 251
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 217 mod 251
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 152 mod 251
128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 12 mod 251
206223
= 206128+64+16+8+4+2+1
= 206128⋅20664⋅20616⋅2068⋅2064⋅2062⋅2061
≡ 12 ⋅ 152 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 1824 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 67 ⋅ 79 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 5293 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 22 ⋅ 189 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 4158 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 142 ⋅ 38 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 5396 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251 ≡ 125 ⋅ 17 ⋅ 206 mod 251
≡ 2125 ⋅ 206 mod 251 ≡ 117 ⋅ 206 mod 251
≡ 24102 mod 251 ≡ 6 mod 251
Es gilt also: 206223 ≡ 6 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47
| =>89 | = 1⋅47 + 42 |
| =>47 | = 1⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1) |
| 42= 89-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47
oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅89 = +36⋅47
Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1
Somit 36⋅47 = 1 mod 89
36 ist also das Inverse von 47 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
