Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 - 357) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 - 357) mod 9 ≡ (89 mod 9 - 357 mod 9) mod 9.
89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 360
Somit gilt:
(89 - 357) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 27) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 27) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 27 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 27) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5928 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 592 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5921=592
2: 5922=5921+1=5921⋅5921 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 1 mod 593
4: 5924=5922+2=5922⋅5922 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 593
8: 5928=5924+4=5924⋅5924 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 465108 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 378 mod 827
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 640 mod 827
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 235 mod 827
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 643 mod 827
32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 776 mod 827
64: 46564=46532+32=46532⋅46532 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 120 mod 827
465108
= 46564+32+8+4
= 46564⋅46532⋅4658⋅4654
≡ 120 ⋅ 776 ⋅ 235 ⋅ 640 mod 827
≡ 93120 ⋅ 235 ⋅ 640 mod 827 ≡ 496 ⋅ 235 ⋅ 640 mod 827
≡ 116560 ⋅ 640 mod 827 ≡ 780 ⋅ 640 mod 827
≡ 499200 mod 827 ≡ 519 mod 827
Es gilt also: 465108 ≡ 519 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26
| =>61 | = 2⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26
oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅61 = -7⋅26
-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26
-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1
(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1
54⋅26 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1
Somit 54⋅26 = 1 mod 61
54 ist also das Inverse von 26 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.