Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 + 1999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 + 1999) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 1999 mod 5) mod 5.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(100 + 1999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 90) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 90) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 90) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8416 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 84 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 117 mod 257
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 68 mod 257
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 255 mod 257
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 129142 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 139 mod 223
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 143 mod 223
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 156 mod 223
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 29 mod 223
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223
128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223
129142
= 129128+8+4+2
= 129128⋅1298⋅1294⋅1292
≡ 50 ⋅ 156 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223
≡ 7800 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223 ≡ 218 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223
≡ 31174 ⋅ 139 mod 223 ≡ 177 ⋅ 139 mod 223
≡ 24603 mod 223 ≡ 73 mod 223
Es gilt also: 129142 ≡ 73 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.