Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 - 16004) mod 4 ≡ (1196 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(1196 - 16004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 84) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 84) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 288¹=288

2: 288²=288¹⁺¹=288¹⋅288¹ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 207 mod 317

4: 288⁴=288²⁺²=288²⋅288² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 54 mod 317

8: 288⁸=288⁴⁺⁴=288⁴⋅288⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 63 mod 317

16: 288¹⁶=288⁸⁺⁸=288⁸⋅288⁸ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 165 mod 317

32: 288³²=288¹⁶⁺¹⁶=288¹⁶⋅288¹⁶ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

400¹⁸⁸

= 400^{128+32+16+8+4}

= 400¹²⁸⋅400³²⋅400¹⁶⋅400⁸⋅400⁴

≡ 400 ⋅ 23 ⋅ 351 ⋅ 472 ⋅ 245 mod 509
≡ 9200 ⋅ 351 ⋅ 472 ⋅ 245 mod 509 ≡ 38 ⋅ 351 ⋅ 472 ⋅ 245 mod 509
≡ 13338 ⋅ 472 ⋅ 245 mod 509 ≡ 104 ⋅ 472 ⋅ 245 mod 509
≡ 49088 ⋅ 245 mod 509 ≡ 224 ⋅ 245 mod 509
≡ 54880 mod 509 ≡ 417 mod 509

Es gilt also: 400¹⁸⁸ ≡ 417 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56

=>101	= 1⋅56 + 45
=>56	= 1⋅45 + 11
=>45	= 4⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 45-4⋅11
11= 56-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45) = 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45) = -4⋅56 +5⋅ 45 (=1)
45= 101-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56) = -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56) = 5⋅101 -9⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -9⋅56

-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56

-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1

(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1

92⋅56 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1

Somit 92⋅56 = 1 mod 101

92 ist also das Inverse von 56 mod 101