Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(148 + 151) mod 3 ≡ (148 mod 3 + 151 mod 3) mod 3.

148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 150-2 = 3 ⋅ 50 -2 = 3 ⋅ 50 - 3 + 1.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(148 + 151) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 27) mod 8 ≡ (39 mod 8 ⋅ 27 mod 8) mod 8.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 27) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 179¹=179

2: 179²=179¹⁺¹=179¹⋅179¹ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 15 mod 239

4: 179⁴=179²⁺²=179²⋅179² ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 239

8: 179⁸=179⁴⁺⁴=179⁴⋅179⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

16: 179¹⁶=179⁸⁺⁸=179⁸⋅179⁸ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239

32: 179³²=179¹⁶⁺¹⁶=179¹⁶⋅179¹⁶ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

736²³⁴

= 736^{128+64+32+8+2}

= 736¹²⁸⋅736⁶⁴⋅736³²⋅736⁸⋅736²

≡ 254 ⋅ 92 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
≡ 23368 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821 ≡ 380 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
≡ 218880 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821 ≡ 494 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
≡ 109668 ⋅ 657 mod 821 ≡ 475 ⋅ 657 mod 821
≡ 312075 mod 821 ≡ 95 mod 821

Es gilt also: 736²³⁴ ≡ 95 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71	= 1⋅59 + 12
=>59	= 4⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59) = -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71