Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44994 - 2698) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44994 - 2698) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 2698 mod 9) mod 9.
44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994
= 45000
2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698
= 2700
Somit gilt:
(44994 - 2698) mod 9 ≡ (3 - 7) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 15) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 15) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 15) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2728 mod 883.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 695 mod 883
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 24 mod 883
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198187 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 323 mod 659
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 207 mod 659
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 14 mod 659
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 659
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 194 mod 659
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 73 mod 659
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 57 mod 659
198187
= 198128+32+16+8+2+1
= 198128⋅19832⋅19816⋅1988⋅1982⋅1981
≡ 57 ⋅ 194 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 11058 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 514 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 100744 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 576 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 8064 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 156 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 50388 ⋅ 198 mod 659 ≡ 304 ⋅ 198 mod 659
≡ 60192 mod 659 ≡ 223 mod 659
Es gilt also: 198187 ≡ 223 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
