Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26995 - 4502) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26995 - 4502) mod 9 ≡ (26995 mod 9 - 4502 mod 9) mod 9.
26995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26995
= 27000
4502 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4502
= 4500
Somit gilt:
(26995 - 4502) mod 9 ≡ (4 - 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 59) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 59) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 59) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2438 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 87 mod 317
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 278 mod 317
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 253 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253181 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 126 mod 331
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 319 mod 331
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 144 mod 331
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 214 mod 331
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 118 mod 331
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 22 mod 331
128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 22⋅22=484 ≡ 153 mod 331
253181
= 253128+32+16+4+1
= 253128⋅25332⋅25316⋅2534⋅2531
≡ 153 ⋅ 118 ⋅ 214 ⋅ 319 ⋅ 253 mod 331
≡ 18054 ⋅ 214 ⋅ 319 ⋅ 253 mod 331 ≡ 180 ⋅ 214 ⋅ 319 ⋅ 253 mod 331
≡ 38520 ⋅ 319 ⋅ 253 mod 331 ≡ 124 ⋅ 319 ⋅ 253 mod 331
≡ 39556 ⋅ 253 mod 331 ≡ 167 ⋅ 253 mod 331
≡ 42251 mod 331 ≡ 214 mod 331
Es gilt also: 253181 ≡ 214 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.