Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 - 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 - 30) mod 3 ≡ (58 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58
= 60
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
Somit gilt:
(58 - 30) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 52) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 52) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 52) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37416 mod 953.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 738 mod 953
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 481 mod 953
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 735 mod 953
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 827 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20993 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 7 mod 251
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 251
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 142 mod 251
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 84 mod 251
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 28 mod 251
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 28⋅28=784 ≡ 31 mod 251
20993
= 20964+16+8+4+1
= 20964⋅20916⋅2098⋅2094⋅2091
≡ 31 ⋅ 84 ⋅ 142 ⋅ 49 ⋅ 209 mod 251
≡ 2604 ⋅ 142 ⋅ 49 ⋅ 209 mod 251 ≡ 94 ⋅ 142 ⋅ 49 ⋅ 209 mod 251
≡ 13348 ⋅ 49 ⋅ 209 mod 251 ≡ 45 ⋅ 49 ⋅ 209 mod 251
≡ 2205 ⋅ 209 mod 251 ≡ 197 ⋅ 209 mod 251
≡ 41173 mod 251 ≡ 9 mod 251
Es gilt also: 20993 ≡ 9 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.