Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 314) mod 8 ≡ (23995 mod 8 - 314 mod 8) mod 8.

23995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 23000+995 = 8 ⋅ 2875 +995.

314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314 = 320-6 = 8 ⋅ 40 -6 = 8 ⋅ 40 - 8 + 2.

Somit gilt:

(23995 - 314) mod 8 ≡ (3 - 2) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 91) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 91) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 101¹=101

2: 101²=101¹⁺¹=101¹⋅101¹ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 174 mod 271

4: 101⁴=101²⁺²=101²⋅101² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 195 mod 271

8: 101⁸=101⁴⁺⁴=101⁴⋅101⁴ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 85 mod 271

16: 101¹⁶=101⁸⁺⁸=101⁸⋅101⁸ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 179 mod 271

32: 101³²=101¹⁶⁺¹⁶=101¹⁶⋅101¹⁶ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 63 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

675²³⁶

= 675^{128+64+32+8+4}

= 675¹²⁸⋅675⁶⁴⋅675³²⋅675⁸⋅675⁴

≡ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
≡ 326447 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701 ≡ 482 ⋅ 208 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
≡ 100256 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701 ≡ 13 ⋅ 168 ⋅ 625 mod 701
≡ 2184 ⋅ 625 mod 701 ≡ 81 ⋅ 625 mod 701
≡ 50625 mod 701 ≡ 153 mod 701

Es gilt also: 675²³⁶ ≡ 153 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53	= 1⋅41 + 12
=>41	= 3⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41) = 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53