Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 2395) mod 8 ≡ (80 mod 8 - 2395 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

2395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 8 ⋅ 300 -5 = 8 ⋅ 300 - 8 + 3.

Somit gilt:

(80 - 2395) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 100) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 100 mod 9) mod 9.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 100) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 431¹=431

2: 431²=431¹⁺¹=431¹⋅431¹ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 264 mod 751

4: 431⁴=431²⁺²=431²⋅431² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 604 mod 751

8: 431⁸=431⁴⁺⁴=431⁴⋅431⁴ ≡ 604⋅604=364816 ≡ 581 mod 751

16: 431¹⁶=431⁸⁺⁸=431⁸⋅431⁸ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 362 mod 751

32: 431³²=431¹⁶⁺¹⁶=431¹⁶⋅431¹⁶ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 370 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

298¹⁵¹

= 298^128+16+4+2+1

= 298¹²⁸⋅298¹⁶⋅298⁴⋅298²⋅298¹

≡ 136 ⋅ 209 ⋅ 462 ⋅ 40 ⋅ 298 mod 569
≡ 28424 ⋅ 462 ⋅ 40 ⋅ 298 mod 569 ≡ 543 ⋅ 462 ⋅ 40 ⋅ 298 mod 569
≡ 250866 ⋅ 40 ⋅ 298 mod 569 ≡ 506 ⋅ 40 ⋅ 298 mod 569
≡ 20240 ⋅ 298 mod 569 ≡ 325 ⋅ 298 mod 569
≡ 96850 mod 569 ≡ 120 mod 569

Es gilt also: 298¹⁵¹ ≡ 120 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

=>101	= 1⋅90 + 11
=>90	= 8⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 90-8⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1)
11= 101-1⋅90	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90) = -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -46⋅90

-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90

-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1

(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1

55⋅90 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1

Somit 55⋅90 = 1 mod 101

55 ist also das Inverse von 90 mod 101