Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5995 + 2397) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5995 + 2397) mod 6 ≡ (5995 mod 6 + 2397 mod 6) mod 6.

5995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5995 = 6000-5 = 6 ⋅ 1000 -5 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 1.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

Somit gilt:

(5995 + 2397) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 31) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 31) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 31 mod 4) mod 4.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 31) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82464 mod 883.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 824 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8241=824

2: 8242=8241+1=8241⋅8241 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 832 mod 883

4: 8244=8242+2=8242⋅8242 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 835 mod 883

8: 8248=8244+4=8244⋅8244 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 538 mod 883

16: 82416=8248+8=8248⋅8248 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 703 mod 883

32: 82432=82416+16=82416⋅82416 ≡ 703⋅703=494209 ≡ 612 mod 883

64: 82464=82432+32=82432⋅82432 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 152 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 200249 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 165 mod 257

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 240 mod 257

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 32 mod 257

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

128: 200128=20064+64=20064⋅20064 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

200249

= 200128+64+32+16+8+1

= 200128⋅20064⋅20032⋅20016⋅2008⋅2001

1 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257
256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257
4096 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257
60973 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257 ≡ 64 ⋅ 32 ⋅ 200 mod 257
2048 ⋅ 200 mod 257 ≡ 249 ⋅ 200 mod 257
49800 mod 257 ≡ 199 mod 257

Es gilt also: 200249 ≡ 199 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.