Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (134 - 2095) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(134 - 2095) mod 7 ≡ (134 mod 7 - 2095 mod 7) mod 7.
134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134
= 140
2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095
= 2100
Somit gilt:
(134 - 2095) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 83) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 83) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26664 mod 743.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 171 mod 743
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 264 mod 743
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 597 mod 743
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 512 mod 743
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 608 mod 743
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 393 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 306166 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 210 mod 677
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 95 mod 677
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 224 mod 677
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 78 mod 677
32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 668 mod 677
64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 81 mod 677
128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 468 mod 677
306166
= 306128+32+4+2
= 306128⋅30632⋅3064⋅3062
≡ 468 ⋅ 668 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677
≡ 312624 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677 ≡ 527 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677
≡ 50065 ⋅ 210 mod 677 ≡ 644 ⋅ 210 mod 677
≡ 135240 mod 677 ≡ 517 mod 677
Es gilt also: 306166 ≡ 517 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
