Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 + 202) mod 5 ≡ (1497 mod 5 + 202 mod 5) mod 5.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(1497 + 202) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 39) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 39) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 271¹=271

2: 271²=271¹⁺¹=271¹⋅271¹ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 191 mod 293

4: 271⁴=271²⁺²=271²⋅271² ≡ 191⋅191=36481 ≡ 149 mod 293

8: 271⁸=271⁴⁺⁴=271⁴⋅271⁴ ≡ 149⋅149=22201 ≡ 226 mod 293

16: 271¹⁶=271⁸⁺⁸=271⁸⋅271⁸ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 94 mod 293

32: 271³²=271¹⁶⁺¹⁶=271¹⁶⋅271¹⁶ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 46 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

546²²⁰

= 546^{128+64+16+8+4}

= 546¹²⁸⋅546⁶⁴⋅546¹⁶⋅546⁸⋅546⁴

≡ 192 ⋅ 336 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 64512 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587 ≡ 529 ⋅ 567 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 299943 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587 ≡ 573 ⋅ 314 ⋅ 530 mod 587
≡ 179922 ⋅ 530 mod 587 ≡ 300 ⋅ 530 mod 587
≡ 159000 mod 587 ≡ 510 mod 587

Es gilt also: 546²²⁰ ≡ 510 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59	= 3⋅18 + 5
=>18	= 3⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18) = 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59