Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (242 + 11995) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(242 + 11995) mod 6 ≡ (242 mod 6 + 11995 mod 6) mod 6.

242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242 = 240+2 = 6 ⋅ 40 +2.

11995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11995 = 12000-5 = 6 ⋅ 2000 -5 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 1.

Somit gilt:

(242 + 11995) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 98) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 98) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 98) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4198 mod 859.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 325 mod 859

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 827 mod 859

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 165 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 257165 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 147 mod 397

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397

16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397

32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397

64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 370 mod 397

128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 332 mod 397

257165

= 257128+32+4+1

= 257128⋅25732⋅2574⋅2571

332 ⋅ 190 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397
63080 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397 ≡ 354 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397
60534 ⋅ 257 mod 397 ≡ 190 ⋅ 257 mod 397
48830 mod 397 ≡ 396 mod 397

Es gilt also: 257165 ≡ 396 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89 = 1⋅83 + 6
=>83 = 13⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6)
= -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83)
= 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.