Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1403 - 21004) mod 7 ≡ (1403 mod 7 - 21004 mod 7) mod 7.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004 = 21000+4 = 7 ⋅ 3000 +4.

Somit gilt:

(1403 - 21004) mod 7 ≡ (3 - 4) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 53) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 53) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 492¹=492

2: 492²=492¹⁺¹=492¹⋅492¹ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 86 mod 647

4: 492⁴=492²⁺²=492²⋅492² ≡ 86⋅86=7396 ≡ 279 mod 647

8: 492⁸=492⁴⁺⁴=492⁴⋅492⁴ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 201 mod 647

16: 492¹⁶=492⁸⁺⁸=492⁸⋅492⁸ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 287 mod 647

32: 492³²=492¹⁶⁺¹⁶=492¹⁶⋅492¹⁶ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 200 mod 647

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

266²²⁰

= 266^{128+64+16+8+4}

= 266¹²⁸⋅266⁶⁴⋅266¹⁶⋅266⁸⋅266⁴

≡ 111 ⋅ 162 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 17982 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281 ≡ 279 ⋅ 273 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 76167 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281 ≡ 16 ⋅ 58 ⋅ 45 mod 281
≡ 928 ⋅ 45 mod 281 ≡ 85 ⋅ 45 mod 281
≡ 3825 mod 281 ≡ 172 mod 281

Es gilt also: 266²²⁰ ≡ 172 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64

=>79	= 1⋅64 + 15
=>64	= 4⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 64-4⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1)
15= 79-1⋅64	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64) = 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +21⋅64

Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1

Somit 21⋅64 = 1 mod 79

21 ist also das Inverse von 64 mod 79