Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 400) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(120 - 400) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 98) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 98 mod 8) mod 8.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 98) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 418¹=418

2: 418²=418¹⁺¹=418¹⋅418¹ ≡ 418⋅418=174724 ≡ 225 mod 433

4: 418⁴=418²⁺²=418²⋅418² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 397 mod 433

8: 418⁸=418⁴⁺⁴=418⁴⋅418⁴ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 430 mod 433

16: 418¹⁶=418⁸⁺⁸=418⁸⋅418⁸ ≡ 430⋅430=184900 ≡ 9 mod 433

32: 418³²=418¹⁶⁺¹⁶=418¹⁶⋅418¹⁶ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433

64: 418⁶⁴=418³²⁺³²=418³²⋅418³² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

200¹⁵⁵

= 200^128+16+8+2+1

= 200¹²⁸⋅200¹⁶⋅200⁸⋅200²⋅200¹

≡ 256 ⋅ 279 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
≡ 71424 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281 ≡ 50 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
≡ 12600 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281 ≡ 236 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
≡ 23128 ⋅ 200 mod 281 ≡ 86 ⋅ 200 mod 281
≡ 17200 mod 281 ≡ 59 mod 281

Es gilt also: 200¹⁵⁵ ≡ 59 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67