Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 - 1501) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 - 1501) mod 3 ≡ (1201 mod 3 - 1501 mod 3) mod 3.
1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(1201 - 1501) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 84) mod 10 ≡ (29 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 84) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30532 mod 619.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 175 mod 619
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 294 mod 619
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 395 mod 619
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 37 mod 619
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 131 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 497158 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 4971=497
2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 337 mod 571
4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 511 mod 571
8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 174 mod 571
16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 13 mod 571
32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 571
64: 49764=49732+32=49732⋅49732 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 11 mod 571
128: 497128=49764+64=49764⋅49764 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 571
497158
= 497128+16+8+4+2
= 497128⋅49716⋅4978⋅4974⋅4972
≡ 121 ⋅ 13 ⋅ 174 ⋅ 511 ⋅ 337 mod 571
≡ 1573 ⋅ 174 ⋅ 511 ⋅ 337 mod 571 ≡ 431 ⋅ 174 ⋅ 511 ⋅ 337 mod 571
≡ 74994 ⋅ 511 ⋅ 337 mod 571 ≡ 193 ⋅ 511 ⋅ 337 mod 571
≡ 98623 ⋅ 337 mod 571 ≡ 411 ⋅ 337 mod 571
≡ 138507 mod 571 ≡ 325 mod 571
Es gilt also: 497158 ≡ 325 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
