Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (145 - 21006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(145 - 21006) mod 7 ≡ (145 mod 7 - 21006 mod 7) mod 7.
145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
21006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21006
= 21000
Somit gilt:
(145 - 21006) mod 7 ≡ (5 - 6) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 32) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 32) mod 7 ≡ (24 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.
24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 32) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34716 mod 439.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 123 mod 439
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 203 mod 439
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 382 mod 439
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 176 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 526192 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 5261=526
2: 5262=5261+1=5261⋅5261 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 22 mod 941
4: 5264=5262+2=5262⋅5262 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 941
8: 5268=5264+4=5264⋅5264 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941
16: 52616=5268+8=5268⋅5268 ≡ 888⋅888=788544 ≡ 927 mod 941
32: 52632=52616+16=52616⋅52616 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 196 mod 941
64: 52664=52632+32=52632⋅52632 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 776 mod 941
128: 526128=52664+64=52664⋅52664 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 877 mod 941
526192
= 526128+64
= 526128⋅52664
≡ 877 ⋅ 776 mod 941
≡ 680552 mod 941 ≡ 209 mod 941
Es gilt also: 526192 ≡ 209 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.