Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 - 119) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 - 119) mod 4 ≡ (7996 mod 4 - 119 mod 4) mod 4.
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(7996 - 119) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 34) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 34) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.
45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 34) mod 9 ≡ (0 ⋅ 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56416 mod 701.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 564 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 543 mod 701
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 429 mod 701
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 379 mod 701
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 637 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 378251 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 238 mod 443
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 383 mod 443
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 56 mod 443
16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 35 mod 443
32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 339 mod 443
64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 184 mod 443
128: 378128=37864+64=37864⋅37864 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 188 mod 443
378251
= 378128+64+32+16+8+2+1
= 378128⋅37864⋅37832⋅37816⋅3788⋅3782⋅3781
≡ 188 ⋅ 184 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 34592 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 38 ⋅ 339 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 12882 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 35 ⋅ 35 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 1225 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 339 ⋅ 56 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 18984 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443 ≡ 378 ⋅ 238 ⋅ 378 mod 443
≡ 89964 ⋅ 378 mod 443 ≡ 35 ⋅ 378 mod 443
≡ 13230 mod 443 ≡ 383 mod 443
Es gilt also: 378251 ≡ 383 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
