Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (198 - 1003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(198 - 1003) mod 5 ≡ (198 mod 5 - 1003 mod 5) mod 5.
198 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 190
1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003
= 1000
Somit gilt:
(198 - 1003) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 97) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.
29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 97) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67932 mod 929.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 679 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6791=679
2: 6792=6791+1=6791⋅6791 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 257 mod 929
4: 6794=6792+2=6792⋅6792 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 90 mod 929
8: 6798=6794+4=6794⋅6794 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 668 mod 929
16: 67916=6798+8=6798⋅6798 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 304 mod 929
32: 67932=67916+16=67916⋅67916 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 445 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 375144 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:
144 = 128+16
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 258 mod 659
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 5 mod 659
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 659
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 659
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 497 mod 659
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 543 mod 659
128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 276 mod 659
375144
= 375128+16
= 375128⋅37516
≡ 276 ⋅ 625 mod 659
≡ 172500 mod 659 ≡ 501 mod 659
Es gilt also: 375144 ≡ 501 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58
| =>83 | = 1⋅58 + 25 |
| =>58 | = 2⋅25 + 8 |
| =>25 | = 3⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-3⋅8 | |||
| 8= 58-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -10⋅58
-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58
-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1
(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1
73⋅58 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1
Somit 73⋅58 = 1 mod 83
73 ist also das Inverse von 58 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.