Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 + 2999) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 2999 mod 6) mod 6.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 6 ⋅ 500 -1 = 6 ⋅ 500 - 6 + 5.

Somit gilt:

(116 + 2999) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 78) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 78) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 196¹=196

2: 196²=196¹⁺¹=196¹⋅196¹ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 53 mod 227

4: 196⁴=196²⁺²=196²⋅196² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 85 mod 227

8: 196⁸=196⁴⁺⁴=196⁴⋅196⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 188 mod 227

16: 196¹⁶=196⁸⁺⁸=196⁸⋅196⁸ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 159 mod 227

32: 196³²=196¹⁶⁺¹⁶=196¹⁶⋅196¹⁶ ≡ 159⋅159=25281 ≡ 84 mod 227

64: 196⁶⁴=196³²⁺³²=196³²⋅196³² ≡ 84⋅84=7056 ≡ 19 mod 227

128: 196¹²⁸=196⁶⁴⁺⁶⁴=196⁶⁴⋅196⁶⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 134 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

294²⁰²

= 294^128+64+8+2

= 294¹²⁸⋅294⁶⁴⋅294⁸⋅294²

≡ 826 ⋅ 211 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971
≡ 174286 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971 ≡ 477 ⋅ 15 ⋅ 17 mod 971
≡ 7155 ⋅ 17 mod 971 ≡ 358 ⋅ 17 mod 971
≡ 6086 mod 971 ≡ 260 mod 971

Es gilt also: 294²⁰² ≡ 260 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79