Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25004 + 10002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25004 + 10002) mod 5 ≡ (25004 mod 5 + 10002 mod 5) mod 5.
25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004
= 25000
10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002
= 10000
Somit gilt:
(25004 + 10002) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 30) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 30) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 30 mod 8) mod 8.
31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.
30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 30) mod 8 ≡ (7 ⋅ 6) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63764 mod 733.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 637 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6371=637
2: 6372=6371+1=6371⋅6371 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 420 mod 733
4: 6374=6372+2=6372⋅6372 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 480 mod 733
8: 6378=6374+4=6374⋅6374 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 238 mod 733
16: 63716=6378+8=6378⋅6378 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 203 mod 733
32: 63732=63716+16=63716⋅63716 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 161 mod 733
64: 63764=63732+32=63732⋅63732 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 266 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 320100 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 271 mod 577
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 162 mod 577
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 279 mod 577
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 523 mod 577
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 31 mod 577
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 31⋅31=961 ≡ 384 mod 577
320100
= 32064+32+4
= 32064⋅32032⋅3204
≡ 384 ⋅ 31 ⋅ 162 mod 577
≡ 11904 ⋅ 162 mod 577 ≡ 364 ⋅ 162 mod 577
≡ 58968 mod 577 ≡ 114 mod 577
Es gilt also: 320100 ≡ 114 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37
| =>67 | = 1⋅37 + 30 |
| =>37 | = 1⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 37-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1) |
| 30= 67-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37
oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅67 = +29⋅37
Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1
Somit 29⋅37 = 1 mod 67
29 ist also das Inverse von 37 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.