Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (343 + 35000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(343 + 35000) mod 7 ≡ (343 mod 7 + 35000 mod 7) mod 7.
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
Somit gilt:
(343 + 35000) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 73) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 73) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 73) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43632 mod 683.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4361=436
2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 222 mod 683
4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 108 mod 683
8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 53 mod 683
16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 77 mod 683
32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 465 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402174 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 320 mod 661
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 381 mod 661
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 402 mod 661
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 320 mod 661
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 381 mod 661
402174
= 402128+32+8+4+2
= 402128⋅40232⋅4028⋅4024⋅4022
≡ 381 ⋅ 320 ⋅ 381 ⋅ 606 ⋅ 320 mod 661
≡ 121920 ⋅ 381 ⋅ 606 ⋅ 320 mod 661 ≡ 296 ⋅ 381 ⋅ 606 ⋅ 320 mod 661
≡ 112776 ⋅ 606 ⋅ 320 mod 661 ≡ 406 ⋅ 606 ⋅ 320 mod 661
≡ 246036 ⋅ 320 mod 661 ≡ 144 ⋅ 320 mod 661
≡ 46080 mod 661 ≡ 471 mod 661
Es gilt also: 402174 ≡ 471 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.
Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85
| =>101 | = 1⋅85 + 16 |
| =>85 | = 5⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,85)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 85-5⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 101-1⋅85 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -19⋅85
-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85
-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1
(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1
82⋅85 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1
Somit 82⋅85 = 1 mod 101
82 ist also das Inverse von 85 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
