Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (266 - 4500) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(266 - 4500) mod 9 ≡ (266 mod 9 - 4500 mod 9) mod 9.
266 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 266
= 270
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
Somit gilt:
(266 - 4500) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 75) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 75) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13016 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 106 mod 311
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 40 mod 311
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 45 mod 311
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 159 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 102138 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 1021=102
2: 1022=1021+1=1021⋅1021 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 273 mod 307
4: 1024=1022+2=1022⋅1022 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 235 mod 307
8: 1028=1024+4=1024⋅1024 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 272 mod 307
16: 10216=1028+8=1028⋅1028 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 304 mod 307
32: 10232=10216+16=10216⋅10216 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 9 mod 307
64: 10264=10232+32=10232⋅10232 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 307
128: 102128=10264+64=10264⋅10264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 114 mod 307
102138
= 102128+8+2
= 102128⋅1028⋅1022
≡ 114 ⋅ 272 ⋅ 273 mod 307
≡ 31008 ⋅ 273 mod 307 ≡ 1 ⋅ 273 mod 307
≡ 273 mod 307
Es gilt also: 102138 ≡ 273 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.