Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (121 + 15003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(121 + 15003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 60) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 60) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52464 mod 613.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 524 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5241=524

2: 5242=5241+1=5241⋅5241 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 565 mod 613

4: 5244=5242+2=5242⋅5242 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

8: 5248=5244+4=5244⋅5244 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613

16: 52416=5248+8=5248⋅5248 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613

32: 52432=52416+16=52416⋅52416 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613

64: 52464=52432+32=52432⋅52432 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 283137 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:

137 = 128+8+1

1: 2831=283

2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 191 mod 439

4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 44 mod 439

8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 180 mod 439

16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 353 mod 439

32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 372 mod 439

64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 99 mod 439

128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 143 mod 439

283137

= 283128+8+1

= 283128⋅2838⋅2831

143 ⋅ 180 ⋅ 283 mod 439
25740 ⋅ 283 mod 439 ≡ 278 ⋅ 283 mod 439
78674 mod 439 ≡ 93 mod 439

Es gilt also: 283137 ≡ 93 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71 = 1⋅53 + 18
=>53 = 2⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18)
= -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53)
= 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.