Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 + 3207) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 + 3207) mod 8 ≡ (85 mod 8 + 3207 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 80
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
Somit gilt:
(85 + 3207) mod 8 ≡ (5 + 7) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 94) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 94) mod 7 ≡ (22 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 94) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37932 mod 457.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 143 mod 457
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 341 mod 457
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 203 mod 457
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 79 mod 457
32: 37932=37916+16=37916⋅37916 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 300 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 615128 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 6151=615
2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 122 mod 929
4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 20 mod 929
8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 929
16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 212 mod 929
32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 352 mod 929
64: 61564=61532+32=61532⋅61532 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 347 mod 929
128: 615128=61564+64=61564⋅61564 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 568 mod 929
615128
= 615128
= 615128
≡ 568 mod 929
Es gilt also: 615128 ≡ 568 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.