Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(102 - 4998) mod 5 ≡ (102 mod 5 - 4998 mod 5) mod 5.

102 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 102 = 100+2 = 5 ⋅ 20 +2.

4998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4998 = 4000+998 = 5 ⋅ 800 +998.

Somit gilt:

(102 - 4998) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 84) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 84) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 447¹=447

2: 447²=447¹⁺¹=447¹⋅447¹ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 4 mod 449

4: 447⁴=447²⁺²=447²⋅447² ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 449

8: 447⁸=447⁴⁺⁴=447⁴⋅447⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 449

16: 447¹⁶=447⁸⁺⁸=447⁸⋅447⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 431 mod 449

32: 447³²=447¹⁶⁺¹⁶=447¹⁶⋅447¹⁶ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449

64: 447⁶⁴=447³²⁺³²=447³²⋅447³² ≡ 324⋅324=104976 ≡ 359 mod 449

128: 447¹²⁸=447⁶⁴⁺⁶⁴=447⁶⁴⋅447⁶⁴ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 18 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

484¹⁵⁹

= 484^{128+16+8+4+2+1}

= 484¹²⁸⋅484¹⁶⋅484⁸⋅484⁴⋅484²⋅484¹

≡ 693 ⋅ 442 ⋅ 432 ⋅ 58 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733
≡ 306306 ⋅ 432 ⋅ 58 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733 ≡ 645 ⋅ 432 ⋅ 58 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733
≡ 278640 ⋅ 58 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733 ≡ 100 ⋅ 58 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733
≡ 5800 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733 ≡ 669 ⋅ 429 ⋅ 484 mod 733
≡ 287001 ⋅ 484 mod 733 ≡ 398 ⋅ 484 mod 733
≡ 192632 mod 733 ≡ 586 mod 733

Es gilt also: 484¹⁵⁹ ≡ 586 mod 733

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67	= 1⋅63 + 4
=>63	= 15⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63) = -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67