Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 + 8997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 + 8997) mod 3 ≡ (32 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30+2 = 3 ⋅ 10 +2.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(32 + 8997) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 92) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 92) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 92) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74964 mod 809.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 749 -> x
2. mod(x²,809) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7491=749

2: 7492=7491+1=7491⋅7491 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 364 mod 809

4: 7494=7492+2=7492⋅7492 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 629 mod 809

8: 7498=7494+4=7494⋅7494 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 40 mod 809

16: 74916=7498+8=7498⋅7498 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 791 mod 809

32: 74932=74916+16=74916⋅74916 ≡ 791⋅791=625681 ≡ 324 mod 809

64: 74964=74932+32=74932⋅74932 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 615 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29568 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 434 mod 661

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 632 mod 661

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 180 mod 661

16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 11 mod 661

32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 661

64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 99 mod 661

29568

= 29564+4

= 29564⋅2954

99 ⋅ 632 mod 661
62568 mod 661 ≡ 434 mod 661

Es gilt also: 29568 ≡ 434 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.