Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6998 - 345) mod 7 ≡ (6998 mod 7 - 345 mod 7) mod 7.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

Somit gilt:

(6998 - 345) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 66) mod 3 ≡ (65 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 66) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 352 mod 461

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 352⋅352=123904 ≡ 356 mod 461

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 356⋅356=126736 ≡ 422 mod 461

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 138 mod 461

32: 228³²=228¹⁶⁺¹⁶=228¹⁶⋅228¹⁶ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 143 mod 461

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

288²¹⁵

= 288^{128+64+16+4+2+1}

= 288¹²⁸⋅288⁶⁴⋅288¹⁶⋅288⁴⋅288²⋅288¹

≡ 369 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 60885 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 86 ⋅ 148 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 12728 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 46 ⋅ 21 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 966 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373 ≡ 220 ⋅ 138 ⋅ 288 mod 373
≡ 30360 ⋅ 288 mod 373 ≡ 147 ⋅ 288 mod 373
≡ 42336 mod 373 ≡ 187 mod 373

Es gilt also: 288²¹⁵ ≡ 187 mod 373

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

=>73	= 1⋅39 + 34
=>39	= 1⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 39-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1)
34= 73-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39) = 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39

oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅73 = +15⋅39

Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1

Somit 15⋅39 = 1 mod 73

15 ist also das Inverse von 39 mod 73