Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 - 304) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 - 304) mod 6 ≡ (246 mod 6 - 304 mod 6) mod 6.
246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304
= 300
Somit gilt:
(246 - 304) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 72) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 72) mod 4 ≡ (81 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 72) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34032 mod 919.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 340 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 725 mod 919
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 876 mod 919
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 11 mod 919
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 919
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 856 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 806209 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 8061=806
2: 8062=8061+1=8061⋅8061 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 441 mod 827
4: 8064=8062+2=8062⋅8062 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 136 mod 827
8: 8068=8064+4=8064⋅8064 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 302 mod 827
16: 80616=8068+8=8068⋅8068 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 234 mod 827
32: 80632=80616+16=80616⋅80616 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 174 mod 827
64: 80664=80632+32=80632⋅80632 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 504 mod 827
128: 806128=80664+64=80664⋅80664 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 127 mod 827
806209
= 806128+64+16+1
= 806128⋅80664⋅80616⋅8061
≡ 127 ⋅ 504 ⋅ 234 ⋅ 806 mod 827
≡ 64008 ⋅ 234 ⋅ 806 mod 827 ≡ 329 ⋅ 234 ⋅ 806 mod 827
≡ 76986 ⋅ 806 mod 827 ≡ 75 ⋅ 806 mod 827
≡ 60450 mod 827 ≡ 79 mod 827
Es gilt also: 806209 ≡ 79 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 33
| =>83 | = 2⋅33 + 17 |
| =>33 | = 1⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 33-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17) = -1⋅33 +2⋅ 17 (=1) |
| 17= 83-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅33 +2⋅(83 -2⋅ 33)
= -1⋅33 +2⋅83 -4⋅ 33) = 2⋅83 -5⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,33)=1 = 2⋅83 -5⋅33
oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅83 = -5⋅33
-5⋅33 = -2⋅83 + 1 |+83⋅33
-5⋅33 + 83⋅33 = -2⋅83 + 83⋅33 + 1
(-5 + 83) ⋅ 33 = (-2 + 33) ⋅ 83 + 1
78⋅33 = 31⋅83 + 1
Es gilt also: 78⋅33 = 31⋅83 +1
Somit 78⋅33 = 1 mod 83
78 ist also das Inverse von 33 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.