Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1202 + 599) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1202 + 599) mod 3 ≡ (1202 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.
1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
Somit gilt:
(1202 + 599) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 77) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 77) mod 5 ≡ (60 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.
60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 77) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2978 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 819 mod 971
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 771 mod 971
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 189 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237107 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 215 mod 277
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 243 mod 277
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 48 mod 277
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 88 mod 277
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 265 mod 277
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277
237107
= 23764+32+8+2+1
= 23764⋅23732⋅2378⋅2372⋅2371
≡ 144 ⋅ 265 ⋅ 48 ⋅ 215 ⋅ 237 mod 277
≡ 38160 ⋅ 48 ⋅ 215 ⋅ 237 mod 277 ≡ 211 ⋅ 48 ⋅ 215 ⋅ 237 mod 277
≡ 10128 ⋅ 215 ⋅ 237 mod 277 ≡ 156 ⋅ 215 ⋅ 237 mod 277
≡ 33540 ⋅ 237 mod 277 ≡ 23 ⋅ 237 mod 277
≡ 5451 mod 277 ≡ 188 mod 277
Es gilt also: 237107 ≡ 188 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.