Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6993 + 2100) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6993 + 2100) mod 7 ≡ (6993 mod 7 + 2100 mod 7) mod 7.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(6993 + 2100) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 88) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 88) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 88) mod 11 ≡ (7 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 495128 mod 829.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4951=495

2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 470 mod 829

4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 386 mod 829

8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 605 mod 829

16: 49516=4958+8=4958⋅4958 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 436 mod 829

32: 49532=49516+16=49516⋅49516 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 255 mod 829

64: 49564=49532+32=49532⋅49532 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 363 mod 829

128: 495128=49564+64=49564⋅49564 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 787 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 709179 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

1: 7091=709

2: 7092=7091+1=7091⋅7091 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 674 mod 971

4: 7094=7092+2=7092⋅7092 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 819 mod 971

8: 7098=7094+4=7094⋅7094 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 771 mod 971

16: 70916=7098+8=7098⋅7098 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 189 mod 971

32: 70932=70916+16=70916⋅70916 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 765 mod 971

64: 70964=70932+32=70932⋅70932 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 683 mod 971

128: 709128=70964+64=70964⋅70964 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 409 mod 971

709179

= 709128+32+16+2+1

= 709128⋅70932⋅70916⋅7092⋅7091

409 ⋅ 765 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
312885 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971 ≡ 223 ⋅ 189 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
42147 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971 ≡ 394 ⋅ 674 ⋅ 709 mod 971
265556 ⋅ 709 mod 971 ≡ 473 ⋅ 709 mod 971
335357 mod 971 ≡ 362 mod 971

Es gilt also: 709179 ≡ 362 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51

=>59 = 1⋅51 + 8
=>51 = 6⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 51-6⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8)
= 3⋅51 -19⋅ 8 (=1)
8= 59-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51)
= -19⋅59 +22⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51

oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅59 = +22⋅51

Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1

Somit 22⋅51 = 1 mod 59

22 ist also das Inverse von 51 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.