Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34993 + 2805) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34993 + 2805) mod 7 ≡ (34993 mod 7 + 2805 mod 7) mod 7.
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
2805 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2805
= 2800
Somit gilt:
(34993 + 2805) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 18) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 18) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 18) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 219128 mod 347.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 219 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2191=219
2: 2192=2191+1=2191⋅2191 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 75 mod 347
4: 2194=2192+2=2192⋅2192 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 73 mod 347
8: 2198=2194+4=2194⋅2194 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 124 mod 347
16: 21916=2198+8=2198⋅2198 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 108 mod 347
32: 21932=21916+16=21916⋅21916 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 213 mod 347
64: 21964=21932+32=21932⋅21932 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 259 mod 347
128: 219128=21964+64=21964⋅21964 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 110 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 468219 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 106 mod 823
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 537 mod 823
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 319 mod 823
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 532 mod 823
32: 46832=46816+16=46816⋅46816 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 735 mod 823
64: 46864=46832+32=46832⋅46832 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 337 mod 823
128: 468128=46864+64=46864⋅46864 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 818 mod 823
468219
= 468128+64+16+8+2+1
= 468128⋅46864⋅46816⋅4688⋅4682⋅4681
≡ 818 ⋅ 337 ⋅ 532 ⋅ 319 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823
≡ 275666 ⋅ 532 ⋅ 319 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823 ≡ 784 ⋅ 532 ⋅ 319 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823
≡ 417088 ⋅ 319 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823 ≡ 650 ⋅ 319 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823
≡ 207350 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823 ≡ 777 ⋅ 106 ⋅ 468 mod 823
≡ 82362 ⋅ 468 mod 823 ≡ 62 ⋅ 468 mod 823
≡ 29016 mod 823 ≡ 211 mod 823
Es gilt also: 468219 ≡ 211 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
