Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3001 - 598) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 598) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 598 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

Somit gilt:

(3001 - 598) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 34) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 34) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 34) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 282128 mod 631.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2821=282

2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 18 mod 631

4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 631

8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 230 mod 631

16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 527 mod 631

32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 89 mod 631

64: 28264=28232+32=28232⋅28232 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 349 mod 631

128: 282128=28264+64=28264⋅28264 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 18 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 97100 mod 241.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:

100 = 64+32+4

1: 971=97

2: 972=971+1=971⋅971 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 10 mod 241

4: 974=972+2=972⋅972 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 241

8: 978=974+4=974⋅974 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241

16: 9716=978+8=978⋅978 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241

32: 9732=9716+16=9716⋅9716 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241

64: 9764=9732+32=9732⋅9732 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

97100

= 9764+32+4

= 9764⋅9732⋅974

100 ⋅ 231 ⋅ 100 mod 241
23100 ⋅ 100 mod 241 ≡ 205 ⋅ 100 mod 241
20500 mod 241 ≡ 15 mod 241

Es gilt also: 97100 ≡ 15 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73 = 2⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25)
= 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.