Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27996 + 344) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27996 + 344) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 344 mod 7) mod 7.
27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996
= 28000
344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344
= 350
Somit gilt:
(27996 + 344) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 38) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 38) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 38 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 38) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1938 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 469 mod 613
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 507 mod 613
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 202 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 328176 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 272 mod 353
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 207 mod 353
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 136 mod 353
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353
32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
128: 328128=32864+64=32864⋅32864 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
328176
= 328128+32+16
= 328128⋅32832⋅32816
≡ 256 ⋅ 185 ⋅ 140 mod 353
≡ 47360 ⋅ 140 mod 353 ≡ 58 ⋅ 140 mod 353
≡ 8120 mod 353 ≡ 1 mod 353
Es gilt also: 328176 ≡ 1 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.