Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1995 + 202) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1995 + 202) mod 5 ≡ (1995 mod 5 + 202 mod 5) mod 5.
1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995
= 1900
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(1995 + 202) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 49) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 49) mod 11 ≡ (68 mod 11 ⋅ 49 mod 11) mod 11.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 49) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21464 mod 263.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 34 mod 263
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 104 mod 263
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 33 mod 263
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 37 mod 263
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 54 mod 263
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 23 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 244209 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 122 mod 487
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 274 mod 487
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 240 mod 487
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 134 mod 487
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 424 mod 487
128: 244128=24464+64=24464⋅24464 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 73 mod 487
244209
= 244128+64+16+1
= 244128⋅24464⋅24416⋅2441
≡ 73 ⋅ 424 ⋅ 240 ⋅ 244 mod 487
≡ 30952 ⋅ 240 ⋅ 244 mod 487 ≡ 271 ⋅ 240 ⋅ 244 mod 487
≡ 65040 ⋅ 244 mod 487 ≡ 269 ⋅ 244 mod 487
≡ 65636 mod 487 ≡ 378 mod 487
Es gilt also: 244209 ≡ 378 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.