Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (148 + 151) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(148 + 151) mod 3 ≡ (148 mod 3 + 151 mod 3) mod 3.

148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 150-2 = 3 ⋅ 50 -2 = 3 ⋅ 50 - 3 + 1.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(148 + 151) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 27) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 27) mod 8 ≡ (39 mod 8 ⋅ 27 mod 8) mod 8.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 27) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17932 mod 239.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1791=179

2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 15 mod 239

4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 239

8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239

32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 736234 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

1: 7361=736

2: 7362=7361+1=7361⋅7361 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 657 mod 821

4: 7364=7362+2=7362⋅7362 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 624 mod 821

8: 7368=7364+4=7364⋅7364 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 222 mod 821

16: 73616=7368+8=7368⋅7368 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 24 mod 821

32: 73632=73616+16=73616⋅73616 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 821

64: 73664=73632+32=73632⋅73632 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 92 mod 821

128: 736128=73664+64=73664⋅73664 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 254 mod 821

736234

= 736128+64+32+8+2

= 736128⋅73664⋅73632⋅7368⋅7362

254 ⋅ 92 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
23368 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821 ≡ 380 ⋅ 576 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
218880 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821 ≡ 494 ⋅ 222 ⋅ 657 mod 821
109668 ⋅ 657 mod 821 ≡ 475 ⋅ 657 mod 821
312075 mod 821 ≡ 95 mod 821

Es gilt also: 736234 ≡ 95 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.