Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24006 - 1600) mod 8 ≡ (24006 mod 8 - 1600 mod 8) mod 8.

24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 8 ⋅ 3000 +6.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(24006 - 1600) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 99) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 99) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 487¹=487

2: 487²=487¹⁺¹=487¹⋅487¹ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 571 mod 839

4: 487⁴=487²⁺²=487²⋅487² ≡ 571⋅571=326041 ≡ 509 mod 839

8: 487⁸=487⁴⁺⁴=487⁴⋅487⁴ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 669 mod 839

16: 487¹⁶=487⁸⁺⁸=487⁸⋅487⁸ ≡ 669⋅669=447561 ≡ 374 mod 839

32: 487³²=487¹⁶⁺¹⁶=487¹⁶⋅487¹⁶ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 602 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:

173 = 128+32+8+4+1

574¹⁷³

= 574^128+32+8+4+1

= 574¹²⁸⋅574³²⋅574⁸⋅574⁴⋅574¹

≡ 451 ⋅ 490 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 220990 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601 ≡ 423 ⋅ 8 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 3384 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601 ≡ 379 ⋅ 157 ⋅ 574 mod 601
≡ 59503 ⋅ 574 mod 601 ≡ 4 ⋅ 574 mod 601
≡ 2296 mod 601 ≡ 493 mod 601

Es gilt also: 574¹⁷³ ≡ 493 mod 601

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57

=>67	= 1⋅57 + 10
=>57	= 5⋅10 + 7
=>10	= 1⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,57)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 57-5⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10) = -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10) = 3⋅57 -17⋅ 10 (=1)
10= 67-1⋅57	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57) = 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57) = -17⋅67 +20⋅ 57 (=1)

Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +20⋅57

Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1

Somit 20⋅57 = 1 mod 67

20 ist also das Inverse von 57 mod 67