Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (504 - 101) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(504 - 101) mod 5 ≡ (504 mod 5 - 101 mod 5) mod 5.
504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504
= 500
101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101
= 100
Somit gilt:
(504 - 101) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 43) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 43) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21432 mod 431.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 110 mod 431
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 32 mod 431
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 162 mod 431
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 384 mod 431
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 54 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 485205 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 386 mod 577
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 130 mod 577
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 167 mod 577
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 193 mod 577
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 321 mod 577
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 335 mod 577
128: 485128=48564+64=48564⋅48564 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 287 mod 577
485205
= 485128+64+8+4+1
= 485128⋅48564⋅4858⋅4854⋅4851
≡ 287 ⋅ 335 ⋅ 167 ⋅ 130 ⋅ 485 mod 577
≡ 96145 ⋅ 167 ⋅ 130 ⋅ 485 mod 577 ≡ 363 ⋅ 167 ⋅ 130 ⋅ 485 mod 577
≡ 60621 ⋅ 130 ⋅ 485 mod 577 ≡ 36 ⋅ 130 ⋅ 485 mod 577
≡ 4680 ⋅ 485 mod 577 ≡ 64 ⋅ 485 mod 577
≡ 31040 mod 577 ≡ 459 mod 577
Es gilt also: 485205 ≡ 459 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.