Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3198 + 240) mod 8 ≡ (3198 mod 8 + 240 mod 8) mod 8.

3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198 = 3200-2 = 8 ⋅ 400 -2 = 8 ⋅ 400 - 8 + 6.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(3198 + 240) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 76) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.

49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.

76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 76) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 184¹=184

2: 184²=184¹⁺¹=184¹⋅184¹ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 179 mod 283

4: 184⁴=184²⁺²=184²⋅184² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283

8: 184⁸=184⁴⁺⁴=184⁴⋅184⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283

16: 184¹⁶=184⁸⁺⁸=184⁸⋅184⁸ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 57 mod 283

32: 184³²=184¹⁶⁺¹⁶=184¹⁶⋅184¹⁶ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 136 mod 283

64: 184⁶⁴=184³²⁺³²=184³²⋅184³² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 101 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

228²³⁴

= 228^{128+64+32+8+2}

= 228¹²⁸⋅228⁶⁴⋅228³²⋅228⁸⋅228²

≡ 180 ⋅ 207 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 37260 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431 ≡ 194 ⋅ 352 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 68288 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431 ≡ 190 ⋅ 360 ⋅ 264 mod 431
≡ 68400 ⋅ 264 mod 431 ≡ 302 ⋅ 264 mod 431
≡ 79728 mod 431 ≡ 424 mod 431

Es gilt also: 228²³⁴ ≡ 424 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97	= 1⋅86 + 11
=>86	= 7⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86) = 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97