Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2005 - 999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2005 - 999) mod 5 ≡ (2005 mod 5 - 999 mod 5) mod 5.
2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005
= 2000
999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999
= 900
Somit gilt:
(2005 - 999) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 42) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 42) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.
68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.
42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 42) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20216 mod 229.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 42 mod 229
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 161 mod 229
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 44 mod 229
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 180224 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 137 mod 419
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 333 mod 419
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 273 mod 419
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 366 mod 419
32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 295 mod 419
64: 18064=18032+32=18032⋅18032 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 292 mod 419
128: 180128=18064+64=18064⋅18064 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 207 mod 419
180224
= 180128+64+32
= 180128⋅18064⋅18032
≡ 207 ⋅ 292 ⋅ 295 mod 419
≡ 60444 ⋅ 295 mod 419 ≡ 108 ⋅ 295 mod 419
≡ 31860 mod 419 ≡ 16 mod 419
Es gilt also: 180224 ≡ 16 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.