Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24996 + 195) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24996 + 195) mod 5 ≡ (24996 mod 5 + 195 mod 5) mod 5.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

Somit gilt:

(24996 + 195) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 20) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 20) mod 3 ≡ (55 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.

55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 20) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 501128 mod 937.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 822 mod 937

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 107 mod 937

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 205 mod 937

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 797 mod 937

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 860 mod 937

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 307 mod 937

128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 549 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 231208 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 467 mod 499

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 26 mod 499

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 26⋅26=676 ≡ 177 mod 499

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 391 mod 499

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 187 mod 499

64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 39 mod 499

128: 231128=23164+64=23164⋅23164 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 24 mod 499

231208

= 231128+64+16

= 231128⋅23164⋅23116

24 ⋅ 39 ⋅ 391 mod 499
936 ⋅ 391 mod 499 ≡ 437 ⋅ 391 mod 499
170867 mod 499 ≡ 209 mod 499

Es gilt also: 231208 ≡ 209 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.