Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 120) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.

157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 4 ⋅ 40 -3 = 4 ⋅ 40 - 4 + 1.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(157 - 120) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 31) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 31) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 354¹=354

2: 354²=354¹⁺¹=354¹⋅354¹ ≡ 354⋅354=125316 ≡ 125 mod 599

4: 354⁴=354²⁺²=354²⋅354² ≡ 125⋅125=15625 ≡ 51 mod 599

8: 354⁸=354⁴⁺⁴=354⁴⋅354⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 205 mod 599

16: 354¹⁶=354⁸⁺⁸=354⁸⋅354⁸ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 95 mod 599

32: 354³²=354¹⁶⁺¹⁶=354¹⁶⋅354¹⁶ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 40 mod 599

64: 354⁶⁴=354³²⁺³²=354³²⋅354³² ≡ 40⋅40=1600 ≡ 402 mod 599

128: 354¹²⁸=354⁶⁴⁺⁶⁴=354⁶⁴⋅354⁶⁴ ≡ 402⋅402=161604 ≡ 473 mod 599

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

440¹⁷¹

= 440^128+32+8+2+1

= 440¹²⁸⋅440³²⋅440⁸⋅440²⋅440¹

≡ 106 ⋅ 363 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
≡ 38478 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829 ≡ 344 ⋅ 436 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
≡ 149984 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829 ≡ 764 ⋅ 443 ⋅ 440 mod 829
≡ 338452 ⋅ 440 mod 829 ≡ 220 ⋅ 440 mod 829
≡ 96800 mod 829 ≡ 636 mod 829

Es gilt also: 440¹⁷¹ ≡ 636 mod 829

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35

=>67	= 1⋅35 + 32
=>35	= 1⋅32 + 3
=>32	= 10⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 35-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32) = -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32) = 11⋅35 -12⋅ 32 (=1)
32= 67-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35) = 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35) = -12⋅67 +23⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35

oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +12⋅67 = +23⋅35

Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1

Somit 23⋅35 = 1 mod 67

23 ist also das Inverse von 35 mod 67