Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2406 - 12002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2406 - 12002) mod 6 ≡ (2406 mod 6 - 12002 mod 6) mod 6.

2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 6 ⋅ 400 +6.

12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 6 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(2406 - 12002) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 40) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 40) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 40) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6568 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 656 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6561=656

2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 25 mod 661

4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 661

8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 635 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 122189 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 1221=122

2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 58 mod 353

4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

128: 122128=12264+64=12264⋅12264 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

122189

= 122128+32+16+8+4+1

= 122128⋅12232⋅12216⋅1228⋅1224⋅1221

185 ⋅ 217 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
40145 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353 ≡ 256 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
33536 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353 ≡ 1 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
4114 ⋅ 122 mod 353 ≡ 231 ⋅ 122 mod 353
28182 mod 353 ≡ 295 mod 353

Es gilt also: 122189 ≡ 295 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.