Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21003 + 347) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21003 + 347) mod 7 ≡ (21003 mod 7 + 347 mod 7) mod 7.
21003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21003
= 21000
347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347
= 350
Somit gilt:
(21003 + 347) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 17) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 17) mod 5 ≡ (33 mod 5 ⋅ 17 mod 5) mod 5.
33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 17) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7768 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 776 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7761=776
2: 7762=7761+1=7761⋅7761 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 156 mod 971
4: 7764=7762+2=7762⋅7762 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 61 mod 971
8: 7768=7764+4=7764⋅7764 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 808 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271104 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 151 mod 349
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 116 mod 349
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 194 mod 349
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 293 mod 349
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 344 mod 349
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 25 mod 349
271104
= 27164+32+8
= 27164⋅27132⋅2718
≡ 25 ⋅ 344 ⋅ 194 mod 349
≡ 8600 ⋅ 194 mod 349 ≡ 224 ⋅ 194 mod 349
≡ 43456 mod 349 ≡ 180 mod 349
Es gilt also: 271104 ≡ 180 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84
| =>97 | = 1⋅84 + 13 |
| =>84 | = 6⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 84-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -15⋅84
-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84
-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1
(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1
82⋅84 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1
Somit 82⋅84 = 1 mod 97
82 ist also das Inverse von 84 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.