Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14001 + 7007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14001 + 7007) mod 7 ≡ (14001 mod 7 + 7007 mod 7) mod 7.
14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001
= 14000
7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007
= 7000
Somit gilt:
(14001 + 7007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 96) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 96) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 96) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23016 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 30 mod 311
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 30⋅30=900 ≡ 278 mod 311
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 156 mod 311
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 78 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35597 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 168 mod 991
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 476 mod 991
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 628 mod 991
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 957 mod 991
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 957⋅957=915849 ≡ 165 mod 991
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 468 mod 991
35597
= 35564+32+1
= 35564⋅35532⋅3551
≡ 468 ⋅ 165 ⋅ 355 mod 991
≡ 77220 ⋅ 355 mod 991 ≡ 913 ⋅ 355 mod 991
≡ 324115 mod 991 ≡ 58 mod 991
Es gilt also: 35597 ≡ 58 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.