Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1808 - 36008) mod 9 ≡ (1808 mod 9 - 36008 mod 9) mod 9.

1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808 = 1800+8 = 9 ⋅ 200 +8.

36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008 = 36000+8 = 9 ⋅ 4000 +8.

Somit gilt:

(1808 - 36008) mod 9 ≡ (8 - 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 66) mod 3 ≡ (36 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 66) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 548¹=548

2: 548²=548¹⁺¹=548¹⋅548¹ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 207 mod 997

4: 548⁴=548²⁺²=548²⋅548² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 975 mod 997

8: 548⁸=548⁴⁺⁴=548⁴⋅548⁴ ≡ 975⋅975=950625 ≡ 484 mod 997

16: 548¹⁶=548⁸⁺⁸=548⁸⋅548⁸ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 958 mod 997

32: 548³²=548¹⁶⁺¹⁶=548¹⁶⋅548¹⁶ ≡ 958⋅958=917764 ≡ 524 mod 997

64: 548⁶⁴=548³²⁺³²=548³²⋅548³² ≡ 524⋅524=274576 ≡ 401 mod 997

128: 548¹²⁸=548⁶⁴⁺⁶⁴=548⁶⁴⋅548⁶⁴ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 284 mod 997

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

915¹⁷⁰

= 915^128+32+8+2

= 915¹²⁸⋅915³²⋅915⁸⋅915²

≡ 807 ⋅ 603 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991
≡ 486621 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991 ≡ 40 ⋅ 155 ⋅ 821 mod 991
≡ 6200 ⋅ 821 mod 991 ≡ 254 ⋅ 821 mod 991
≡ 208534 mod 991 ≡ 424 mod 991

Es gilt also: 915¹⁷⁰ ≡ 424 mod 991

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82

=>97	= 1⋅82 + 15
=>82	= 5⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 82-5⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1)
15= 97-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82) = -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82

oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅97 = -13⋅82

-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82

-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1

(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1

84⋅82 = 71⋅97 + 1

Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1

Somit 84⋅82 = 1 mod 97

84 ist also das Inverse von 82 mod 97