Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 55) mod 5 ≡ (2003 mod 5 - 55 mod 5) mod 5.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(2003 - 55) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 76) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.

38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 76) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 750¹=750

2: 750²=750¹⁺¹=750¹⋅750¹ ≡ 750⋅750=562500 ≡ 413 mod 911

4: 750⁴=750²⁺²=750²⋅750² ≡ 413⋅413=170569 ≡ 212 mod 911

8: 750⁸=750⁴⁺⁴=750⁴⋅750⁴ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 305 mod 911

16: 750¹⁶=750⁸⁺⁸=750⁸⋅750⁸ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 103 mod 911

32: 750³²=750¹⁶⁺¹⁶=750¹⁶⋅750¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 588 mod 911

64: 750⁶⁴=750³²⁺³²=750³²⋅750³² ≡ 588⋅588=345744 ≡ 475 mod 911

128: 750¹²⁸=750⁶⁴⁺⁶⁴=750⁶⁴⋅750⁶⁴ ≡ 475⋅475=225625 ≡ 608 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

412⁶³

= 412^{32+16+8+4+2+1}

= 412³²⋅412¹⁶⋅412⁸⋅412⁴⋅412²⋅412¹

≡ 132 ⋅ 510 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
≡ 67320 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 297 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
≡ 100089 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 570 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
≡ 180120 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 38 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
≡ 18772 ⋅ 412 mod 677 ≡ 493 ⋅ 412 mod 677
≡ 203116 mod 677 ≡ 16 mod 677

Es gilt also: 412⁶³ ≡ 16 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56

=>79	= 1⋅56 + 23
=>56	= 2⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 56-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1)
23= 79-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56) = 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +24⋅56

Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1

Somit 24⋅56 = 1 mod 79

24 ist also das Inverse von 56 mod 79