Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44994 - 354) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 354 mod 9) mod 9.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

354 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354 = 360-6 = 9 ⋅ 40 -6 = 9 ⋅ 40 - 9 + 3.

Somit gilt:

(44994 - 354) mod 9 ≡ (3 - 3) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 74) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 74) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 176¹=176

2: 176²=176¹⁺¹=176¹⋅176¹ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 395 mod 577

4: 176⁴=176²⁺²=176²⋅176² ≡ 395⋅395=156025 ≡ 235 mod 577

8: 176⁸=176⁴⁺⁴=176⁴⋅176⁴ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 410 mod 577

16: 176¹⁶=176⁸⁺⁸=176⁸⋅176⁸ ≡ 410⋅410=168100 ≡ 193 mod 577

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

234²³⁰

= 234^{128+64+32+4+2}

= 234¹²⁸⋅234⁶⁴⋅234³²⋅234⁴⋅234²

≡ 450 ⋅ 399 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 179550 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569 ≡ 315 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 138285 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569 ≡ 18 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 6372 ⋅ 132 mod 569 ≡ 113 ⋅ 132 mod 569
≡ 14916 mod 569 ≡ 122 mod 569

Es gilt also: 234²³⁰ ≡ 122 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79	= 1⋅41 + 38
=>41	= 1⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41) = 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79