Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1797 - 1794) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1797 - 1794) mod 6 ≡ (1797 mod 6 - 1794 mod 6) mod 6.
1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
Somit gilt:
(1797 - 1794) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 34) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 34) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.
77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.
34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 34) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 535128 mod 907.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 535 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5351=535
2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 520 mod 907
4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 114 mod 907
8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 298 mod 907
16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 825 mod 907
32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 375 mod 907
64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 40 mod 907
128: 535128=53564+64=53564⋅53564 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 693 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37587 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 539 mod 787
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 118 mod 787
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 545 mod 787
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 326 mod 787
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 31 mod 787
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 31⋅31=961 ≡ 174 mod 787
37587
= 37564+16+4+2+1
= 37564⋅37516⋅3754⋅3752⋅3751
≡ 174 ⋅ 326 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 56724 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787 ≡ 60 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 7080 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787 ≡ 784 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 422576 ⋅ 375 mod 787 ≡ 744 ⋅ 375 mod 787
≡ 279000 mod 787 ≡ 402 mod 787
Es gilt also: 37587 ≡ 402 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
