Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2995 - 6004) mod 6 ≡ (2995 mod 6 - 6004 mod 6) mod 6.

2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995 = 3000-5 = 6 ⋅ 500 -5 = 6 ⋅ 500 - 6 + 1.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(2995 - 6004) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 55) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 55) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 711¹=711

2: 711²=711¹⁺¹=711¹⋅711¹ ≡ 711⋅711=505521 ≡ 288 mod 769

4: 711⁴=711²⁺²=711²⋅711² ≡ 288⋅288=82944 ≡ 661 mod 769

8: 711⁸=711⁴⁺⁴=711⁴⋅711⁴ ≡ 661⋅661=436921 ≡ 129 mod 769

16: 711¹⁶=711⁸⁺⁸=711⁸⋅711⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 492 mod 769

32: 711³²=711¹⁶⁺¹⁶=711¹⁶⋅711¹⁶ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769

64: 711⁶⁴=711³²⁺³²=711³²⋅711³² ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

348²²³

= 348^{128+64+16+8+4+2+1}

= 348¹²⁸⋅348⁶⁴⋅348¹⁶⋅348⁸⋅348⁴⋅348²⋅348¹

≡ 82 ⋅ 107 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
≡ 8774 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 354 ⋅ 409 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
≡ 144786 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 383 ⋅ 82 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
≡ 31406 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 252 ⋅ 107 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
≡ 26964 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421 ≡ 20 ⋅ 277 ⋅ 348 mod 421
≡ 5540 ⋅ 348 mod 421 ≡ 67 ⋅ 348 mod 421
≡ 23316 mod 421 ≡ 161 mod 421

Es gilt also: 348²²³ ≡ 161 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53	= 1⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53