Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 898) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 898) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 898 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1201 + 898) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 96) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 96) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16564 mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 165 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 422 mod 547

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 309 mod 547

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 303 mod 547

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 460 mod 547

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 458 mod 547

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 263 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477228 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 4771=477

2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 674 mod 769

4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 566 mod 769

8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 452 mod 769

16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 519 mod 769

32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 211 mod 769

64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 688 mod 769

128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

477228

= 477128+64+32+4

= 477128⋅47764⋅47732⋅4774

409 ⋅ 688 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769
281392 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769 ≡ 707 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769
149177 ⋅ 566 mod 769 ≡ 760 ⋅ 566 mod 769
430160 mod 769 ≡ 289 mod 769

Es gilt also: 477228 ≡ 289 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45

=>59 = 1⋅45 + 14
=>45 = 3⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 45-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14)
= 5⋅45 -16⋅ 14 (=1)
14= 59-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45)
= -16⋅59 +21⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +21⋅45

Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1

Somit 21⋅45 = 1 mod 59

21 ist also das Inverse von 45 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.