Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1403 + 346) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1403 + 346) mod 7 ≡ (1403 mod 7 + 346 mod 7) mod 7.
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346
= 350
Somit gilt:
(1403 + 346) mod 7 ≡ (3 + 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 65) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 65) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 65 mod 9) mod 9.
37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 65) mod 9 ≡ (1 ⋅ 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50616 mod 557.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 506 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 373 mod 557
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 436 mod 557
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 159 mod 557
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 216 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 520142 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 242 mod 839
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 673 mod 839
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 708 mod 839
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 381 mod 839
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 14 mod 839
64: 52064=52032+32=52032⋅52032 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 839
128: 520128=52064+64=52064⋅52064 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 661 mod 839
520142
= 520128+8+4+2
= 520128⋅5208⋅5204⋅5202
≡ 661 ⋅ 708 ⋅ 673 ⋅ 242 mod 839
≡ 467988 ⋅ 673 ⋅ 242 mod 839 ≡ 665 ⋅ 673 ⋅ 242 mod 839
≡ 447545 ⋅ 242 mod 839 ≡ 358 ⋅ 242 mod 839
≡ 86636 mod 839 ≡ 219 mod 839
Es gilt also: 520142 ≡ 219 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35
| =>67 | = 1⋅35 + 32 |
| =>35 | = 1⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 35-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32) = 11⋅35 -12⋅ 32 (=1) |
| 32= 67-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35) = -12⋅67 +23⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35
oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +12⋅67 = +23⋅35
Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1
Somit 23⋅35 = 1 mod 67
23 ist also das Inverse von 35 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.