Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (898 - 9000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(898 - 9000) mod 9 ≡ (898 mod 9 - 9000 mod 9) mod 9.
898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(898 - 9000) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 92) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 92) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 92 mod 9) mod 9.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 92) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1958 mod 257.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 246 mod 257
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 121 mod 257
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 249 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 353240 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 3531=353
2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 190 mod 619
4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 198 mod 619
8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 207 mod 619
16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 138 mod 619
32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 474 mod 619
64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 598 mod 619
128: 353128=35364+64=35364⋅35364 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 441 mod 619
353240
= 353128+64+32+16
= 353128⋅35364⋅35332⋅35316
≡ 441 ⋅ 598 ⋅ 474 ⋅ 138 mod 619
≡ 263718 ⋅ 474 ⋅ 138 mod 619 ≡ 24 ⋅ 474 ⋅ 138 mod 619
≡ 11376 ⋅ 138 mod 619 ≡ 234 ⋅ 138 mod 619
≡ 32292 mod 619 ≡ 104 mod 619
Es gilt also: 353240 ≡ 104 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66
| =>73 | = 1⋅66 + 7 |
| =>66 | = 9⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 66-9⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(66 -9⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅66 +18⋅ 7) = -2⋅66 +19⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅66 +19⋅(73 -1⋅ 66)
= -2⋅66 +19⋅73 -19⋅ 66) = 19⋅73 -21⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,66)=1 = 19⋅73 -21⋅66
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -21⋅66
-21⋅66 = -19⋅73 + 1 |+73⋅66
-21⋅66 + 73⋅66 = -19⋅73 + 73⋅66 + 1
(-21 + 73) ⋅ 66 = (-19 + 66) ⋅ 73 + 1
52⋅66 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 52⋅66 = 47⋅73 +1
Somit 52⋅66 = 1 mod 73
52 ist also das Inverse von 66 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.