Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(268 + 355) mod 9 ≡ (268 mod 9 + 355 mod 9) mod 9.

268 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 268 = 270-2 = 9 ⋅ 30 -2 = 9 ⋅ 30 - 9 + 7.

355 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 360-5 = 9 ⋅ 40 -5 = 9 ⋅ 40 - 9 + 4.

Somit gilt:

(268 + 355) mod 9 ≡ (7 + 4) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 55) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 55) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 222¹=222

2: 222²=222¹⁺¹=222¹⋅222¹ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 260 mod 383

4: 222⁴=222²⁺²=222²⋅222² ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383

8: 222⁸=222⁴⁺⁴=222⁴⋅222⁴ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383

16: 222¹⁶=222⁸⁺⁸=222⁸⋅222⁸ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383

32: 222³²=222¹⁶⁺¹⁶=222¹⁶⋅222¹⁶ ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

457²⁰³

= 457^128+64+8+2+1

= 457¹²⁸⋅457⁶⁴⋅457⁸⋅457²⋅457¹

≡ 127 ⋅ 104 ⋅ 57 ⋅ 159 ⋅ 457 mod 509
≡ 13208 ⋅ 57 ⋅ 159 ⋅ 457 mod 509 ≡ 483 ⋅ 57 ⋅ 159 ⋅ 457 mod 509
≡ 27531 ⋅ 159 ⋅ 457 mod 509 ≡ 45 ⋅ 159 ⋅ 457 mod 509
≡ 7155 ⋅ 457 mod 509 ≡ 29 ⋅ 457 mod 509
≡ 13253 mod 509 ≡ 19 mod 509

Es gilt also: 457²⁰³ ≡ 19 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97	= 1⋅54 + 43
=>54	= 1⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43) = 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54) = 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54) = -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97