Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5004 - 14998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5004 - 14998) mod 5 ≡ (5004 mod 5 - 14998 mod 5) mod 5.
5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004
= 5000
14998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 14000
Somit gilt:
(5004 - 14998) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 25) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 25) mod 9 ≡ (20 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.
20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.
25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 25) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43364 mod 787.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 183 mod 787
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 435 mod 787
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 345 mod 787
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 188 mod 787
32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 716 mod 787
64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 319 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60581 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 6051=605
2: 6052=6051+1=6051⋅6051 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 595 mod 937
4: 6054=6052+2=6052⋅6052 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 776 mod 937
8: 6058=6054+4=6054⋅6054 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 622 mod 937
16: 60516=6058+8=6058⋅6058 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937
32: 60532=60516+16=60516⋅60516 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 39 mod 937
64: 60564=60532+32=60532⋅60532 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 584 mod 937
60581
= 60564+16+1
= 60564⋅60516⋅6051
≡ 584 ⋅ 840 ⋅ 605 mod 937
≡ 490560 ⋅ 605 mod 937 ≡ 509 ⋅ 605 mod 937
≡ 307945 mod 937 ≡ 609 mod 937
Es gilt also: 60581 ≡ 609 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.