Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (447 + 897) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(447 + 897) mod 9 ≡ (447 mod 9 + 897 mod 9) mod 9.
447 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 447
= 450
897 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(447 + 897) mod 9 ≡ (6 + 6) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 36) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 36) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 36) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7148 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 714 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7141=714
2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 359 mod 823
4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 493 mod 823
8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 264 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 384243 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 3841=384
2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 408 mod 557
4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 478 mod 557
8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 114 mod 557
16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 185 mod 557
32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 248 mod 557
64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 234 mod 557
128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 170 mod 557
384243
= 384128+64+32+16+2+1
= 384128⋅38464⋅38432⋅38416⋅3842⋅3841
≡ 170 ⋅ 234 ⋅ 248 ⋅ 185 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557
≡ 39780 ⋅ 248 ⋅ 185 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557 ≡ 233 ⋅ 248 ⋅ 185 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557
≡ 57784 ⋅ 185 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557 ≡ 413 ⋅ 185 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557
≡ 76405 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557 ≡ 96 ⋅ 408 ⋅ 384 mod 557
≡ 39168 ⋅ 384 mod 557 ≡ 178 ⋅ 384 mod 557
≡ 68352 mod 557 ≡ 398 mod 557
Es gilt also: 384243 ≡ 398 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
