Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (267 + 44999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(267 + 44999) mod 9 ≡ (267 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.
267 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 267
= 270
44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999
= 45000
Somit gilt:
(267 + 44999) mod 9 ≡ (6 + 8) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 92) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 92) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38332 mod 673.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 383 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3831=383
2: 3832=3831+1=3831⋅3831 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 648 mod 673
4: 3834=3832+2=3832⋅3832 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 625 mod 673
8: 3838=3834+4=3834⋅3834 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 285 mod 673
16: 38316=3838+8=3838⋅3838 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 465 mod 673
32: 38332=38316+16=38316⋅38316 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 192 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 224196 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 178 mod 641
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 275 mod 641
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 628 mod 641
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
128: 224128=22464+64=22464⋅22464 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641
224196
= 224128+64+4
= 224128⋅22464⋅2244
≡ 562 ⋅ 531 ⋅ 275 mod 641
≡ 298422 ⋅ 275 mod 641 ≡ 357 ⋅ 275 mod 641
≡ 98175 mod 641 ≡ 102 mod 641
Es gilt also: 224196 ≡ 102 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38
| =>67 | = 1⋅38 + 29 |
| =>38 | = 1⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 38-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1) |
| 29= 67-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +30⋅38
Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1
Somit 30⋅38 = 1 mod 67
30 ist also das Inverse von 38 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.