Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 20002) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 20002) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 20002 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 4 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(160 - 20002) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 92) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 92) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 92) mod 11 ≡ (1 ⋅ 4) mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 459128 mod 613.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 422 mod 613

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 314 mod 613

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 516 mod 613

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613

32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613

64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613

128: 459128=45964+64=45964⋅45964 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 194163 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 1941=194

2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 5 mod 311

4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 311

8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 25⋅25=625 ≡ 3 mod 311

16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 311

32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 311

64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 30 mod 311

128: 194128=19464+64=19464⋅19464 ≡ 30⋅30=900 ≡ 278 mod 311

194163

= 194128+32+2+1

= 194128⋅19432⋅1942⋅1941

278 ⋅ 81 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311
22518 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311 ≡ 126 ⋅ 5 ⋅ 194 mod 311
630 ⋅ 194 mod 311 ≡ 8 ⋅ 194 mod 311
1552 mod 311 ≡ 308 mod 311

Es gilt also: 194163 ≡ 308 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.