Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20001 - 49) mod 5 ≡ (20001 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 5 ⋅ 4000 +1.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(20001 - 49) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 63) mod 6 ≡ (22 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 63) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 146¹=146

2: 146²=146¹⁺¹=146¹⋅146¹ ≡ 146⋅146=21316 ≡ 213 mod 449

4: 146⁴=146²⁺²=146²⋅146² ≡ 213⋅213=45369 ≡ 20 mod 449

8: 146⁸=146⁴⁺⁴=146⁴⋅146⁴ ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 449

16: 146¹⁶=146⁸⁺⁸=146⁸⋅146⁸ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 156 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

273²²³

= 273^{128+64+16+8+4+2+1}

= 273¹²⁸⋅273⁶⁴⋅273¹⁶⋅273⁸⋅273⁴⋅273²⋅273¹

≡ 253 ⋅ 398 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
≡ 100694 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 133 ⋅ 156 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
≡ 20748 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 370 ⋅ 285 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
≡ 105450 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 16 ⋅ 393 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
≡ 6288 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443 ≡ 86 ⋅ 105 ⋅ 273 mod 443
≡ 9030 ⋅ 273 mod 443 ≡ 170 ⋅ 273 mod 443
≡ 46410 mod 443 ≡ 338 mod 443

Es gilt also: 273²²³ ≡ 338 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79