Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (135 - 1400) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(135 - 1400) mod 7 ≡ (135 mod 7 - 1400 mod 7) mod 7.
135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135
= 140
1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400
= 1400
Somit gilt:
(135 - 1400) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 76) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 76) mod 9 ≡ (38 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 76) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 517128 mod 571.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 517 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5171=517
2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 61 mod 571
4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 295 mod 571
8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 233 mod 571
16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 44 mod 571
32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 223 mod 571
64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 52 mod 571
128: 517128=51764+64=51764⋅51764 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 420 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11073 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 1101=110
2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 73 mod 211
4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 54 mod 211
8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 173 mod 211
16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 178 mod 211
32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 34 mod 211
64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 101 mod 211
11073
= 11064+8+1
= 11064⋅1108⋅1101
≡ 101 ⋅ 173 ⋅ 110 mod 211
≡ 17473 ⋅ 110 mod 211 ≡ 171 ⋅ 110 mod 211
≡ 18810 mod 211 ≡ 31 mod 211
Es gilt also: 11073 ≡ 31 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.