Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2799 + 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2799 + 76) mod 7 ≡ (2799 mod 7 + 76 mod 7) mod 7.
2799 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2799
= 2800
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 70
Somit gilt:
(2799 + 76) mod 7 ≡ (6 + 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 68) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 68) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5128 mod 563.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 512 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 349 mod 563
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 193 mod 563
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 91 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 662158 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 6621=662
2: 6622=6621+1=6621⋅6621 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 800 mod 919
4: 6624=6622+2=6622⋅6622 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 376 mod 919
8: 6628=6624+4=6624⋅6624 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 769 mod 919
16: 66216=6628+8=6628⋅6628 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 444 mod 919
32: 66232=66216+16=66216⋅66216 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 470 mod 919
64: 66264=66232+32=66232⋅66232 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 340 mod 919
128: 662128=66264+64=66264⋅66264 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 725 mod 919
662158
= 662128+16+8+4+2
= 662128⋅66216⋅6628⋅6624⋅6622
≡ 725 ⋅ 444 ⋅ 769 ⋅ 376 ⋅ 800 mod 919
≡ 321900 ⋅ 769 ⋅ 376 ⋅ 800 mod 919 ≡ 250 ⋅ 769 ⋅ 376 ⋅ 800 mod 919
≡ 192250 ⋅ 376 ⋅ 800 mod 919 ≡ 179 ⋅ 376 ⋅ 800 mod 919
≡ 67304 ⋅ 800 mod 919 ≡ 217 ⋅ 800 mod 919
≡ 173600 mod 919 ≡ 828 mod 919
Es gilt also: 662158 ≡ 828 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.