Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24006 - 175) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24006 - 175) mod 6 ≡ (24006 mod 6 - 175 mod 6) mod 6.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

175 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 6 ⋅ 30 -5 = 6 ⋅ 30 - 6 + 1.

Somit gilt:

(24006 - 175) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 32) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 32) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 32) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18932 mod 383.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,383) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1891=189

2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 102 mod 383

4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 63 mod 383

8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 139 mod 383

16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 171 mod 383

32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 133 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 147242 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 1471=147

2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 127 mod 467

4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 251 mod 467

8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 423 mod 467

16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 68 mod 467

32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 421 mod 467

64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 248 mod 467

128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 327 mod 467

147242

= 147128+64+32+16+2

= 147128⋅14764⋅14732⋅14716⋅1472

327 ⋅ 248 ⋅ 421 ⋅ 68 ⋅ 127 mod 467
81096 ⋅ 421 ⋅ 68 ⋅ 127 mod 467 ≡ 305 ⋅ 421 ⋅ 68 ⋅ 127 mod 467
128405 ⋅ 68 ⋅ 127 mod 467 ≡ 447 ⋅ 68 ⋅ 127 mod 467
30396 ⋅ 127 mod 467 ≡ 41 ⋅ 127 mod 467
5207 mod 467 ≡ 70 mod 467

Es gilt also: 147242 ≡ 70 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89 = 1⋅83 + 6
=>83 = 13⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6)
= -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83)
= 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.