Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 + 9000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 + 9000) mod 3 ≡ (3003 mod 3 + 9000 mod 3) mod 3.
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(3003 + 9000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 50) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 50) mod 11 ≡ (90 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 50) mod 11 ≡ (2 ⋅ 6) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64816 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 648 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6481=648
2: 6482=6481+1=6481⋅6481 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 526 mod 757
4: 6484=6482+2=6482⋅6482 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 371 mod 757
8: 6488=6484+4=6484⋅6484 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 624 mod 757
16: 64816=6488+8=6488⋅6488 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 278 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15960 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 1591=159
2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 241 mod 313
4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 176 mod 313
8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 302 mod 313
16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 121 mod 313
32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313
15960
= 15932+16+8+4
= 15932⋅15916⋅1598⋅1594
≡ 243 ⋅ 121 ⋅ 302 ⋅ 176 mod 313
≡ 29403 ⋅ 302 ⋅ 176 mod 313 ≡ 294 ⋅ 302 ⋅ 176 mod 313
≡ 88788 ⋅ 176 mod 313 ≡ 209 ⋅ 176 mod 313
≡ 36784 mod 313 ≡ 163 mod 313
Es gilt also: 15960 ≡ 163 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.