Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26994 - 44997) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26994 - 44997) mod 9 ≡ (26994 mod 9 - 44997 mod 9) mod 9.
26994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26994
= 27000
44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997
= 45000
Somit gilt:
(26994 - 44997) mod 9 ≡ (3 - 6) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 24) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 24) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5298 mod 883.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 529 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5291=529
2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 813 mod 883
4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 485 mod 883
8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 347 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 126167 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 82 mod 229
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229
128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 19 mod 229
126167
= 126128+32+4+2+1
= 126128⋅12632⋅1264⋅1262⋅1261
≡ 19 ⋅ 82 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 mod 229
≡ 1558 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 mod 229 ≡ 184 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 mod 229
≡ 23736 ⋅ 75 ⋅ 126 mod 229 ≡ 149 ⋅ 75 ⋅ 126 mod 229
≡ 11175 ⋅ 126 mod 229 ≡ 183 ⋅ 126 mod 229
≡ 23058 mod 229 ≡ 158 mod 229
Es gilt also: 126167 ≡ 158 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.