Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14000 + 345) mod 7 ≡ (14000 mod 7 + 345 mod 7) mod 7.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

Somit gilt:

(14000 + 345) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 83) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 193¹=193

2: 193²=193¹⁺¹=193¹⋅193¹ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 122 mod 271

4: 193⁴=193²⁺²=193²⋅193² ≡ 122⋅122=14884 ≡ 250 mod 271

8: 193⁸=193⁴⁺⁴=193⁴⋅193⁴ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 170 mod 271

16: 193¹⁶=193⁸⁺⁸=193⁸⋅193⁸ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 174 mod 271

32: 193³²=193¹⁶⁺¹⁶=193¹⁶⋅193¹⁶ ≡ 174⋅174=30276 ≡ 195 mod 271

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

209¹²³

= 209^{64+32+16+8+2+1}

= 209⁶⁴⋅209³²⋅209¹⁶⋅209⁸⋅209²⋅209¹

≡ 25 ⋅ 5 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
≡ 125 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
≡ 18750 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409 ≡ 345 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
≡ 30705 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409 ≡ 30 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
≡ 9810 ⋅ 209 mod 409 ≡ 403 ⋅ 209 mod 409
≡ 84227 mod 409 ≡ 382 mod 409

Es gilt also: 209¹²³ ≡ 382 mod 409

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53	= 1⋅38 + 15
=>38	= 2⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38) = 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53