Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (200 - 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(200 - 150) mod 5 ≡ (200 mod 5 - 150 mod 5) mod 5.
200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(200 - 150) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 47) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 47) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 47 mod 9) mod 9.
52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 47) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21764 mod 223.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 203 mod 223
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 177 mod 223
32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223
64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75961 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 7591=759
2: 7592=7591+1=7591⋅7591 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 306 mod 853
4: 7594=7592+2=7592⋅7592 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 659 mod 853
8: 7598=7594+4=7594⋅7594 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 104 mod 853
16: 75916=7598+8=7598⋅7598 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 580 mod 853
32: 75932=75916+16=75916⋅75916 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 318 mod 853
75961
= 75932+16+8+4+1
= 75932⋅75916⋅7598⋅7594⋅7591
≡ 318 ⋅ 580 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
≡ 184440 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853 ≡ 192 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
≡ 19968 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853 ≡ 349 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
≡ 229991 ⋅ 759 mod 853 ≡ 534 ⋅ 759 mod 853
≡ 405306 mod 853 ≡ 131 mod 853
Es gilt also: 75961 ≡ 131 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.