Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (320 - 23993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(320 - 23993) mod 8 ≡ (320 mod 8 - 23993 mod 8) mod 8.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

Somit gilt:

(320 - 23993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 17) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 17) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 17) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12816 mod 313.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 128 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1281=128

2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 108 mod 313

4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 83 mod 313

8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313

16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 390240 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:

240 = 128+64+32+16

1: 3901=390

2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 49 mod 397

4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 19 mod 397

8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 397

16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397

32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 306 mod 397

64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 341 mod 397

128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 357 mod 397

390240

= 390128+64+32+16

= 390128⋅39064⋅39032⋅39016

357 ⋅ 341 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397
121737 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397 ≡ 255 ⋅ 306 ⋅ 105 mod 397
78030 ⋅ 105 mod 397 ≡ 218 ⋅ 105 mod 397
22890 mod 397 ≡ 261 mod 397

Es gilt also: 390240 ≡ 261 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83 = 2⋅34 + 15
=>34 = 2⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15)
= 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34)
= -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.