Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(597 - 14998) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(597 - 14998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 43) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 43 mod 4) mod 4.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 43) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 571¹=571

2: 571²=571¹⁺¹=571¹⋅571¹ ≡ 571⋅571=326041 ≡ 19 mod 811

4: 571⁴=571²⁺²=571²⋅571² ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 811

8: 571⁸=571⁴⁺⁴=571⁴⋅571⁴ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 561 mod 811

16: 571¹⁶=571⁸⁺⁸=571⁸⋅571⁸ ≡ 561⋅561=314721 ≡ 53 mod 811

32: 571³²=571¹⁶⁺¹⁶=571¹⁶⋅571¹⁶ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 376 mod 811

64: 571⁶⁴=571³²⁺³²=571³²⋅571³² ≡ 376⋅376=141376 ≡ 262 mod 811

128: 571¹²⁸=571⁶⁴⁺⁶⁴=571⁶⁴⋅571⁶⁴ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 520 mod 811

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

264¹⁶⁴

= 264^128+32+4

= 264¹²⁸⋅264³²⋅264⁴

≡ 80 ⋅ 157 ⋅ 14 mod 571
≡ 12560 ⋅ 14 mod 571 ≡ 569 ⋅ 14 mod 571
≡ 7966 mod 571 ≡ 543 mod 571

Es gilt also: 264¹⁶⁴ ≡ 543 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97	= 1⋅67 + 30
=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67) = 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97