Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (148 - 122) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(148 - 122) mod 3 ≡ (148 mod 3 - 122 mod 3) mod 3.
148 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 150
122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(148 - 122) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 18) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 18) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.
92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 18) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20116 mod 359.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 193 mod 359
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 272 mod 359
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 30 mod 359
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 30⋅30=900 ≡ 182 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 770216 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 7701=770
2: 7702=7701+1=7701⋅7701 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 407 mod 883
4: 7704=7702+2=7702⋅7702 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 528 mod 883
8: 7708=7704+4=7704⋅7704 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 639 mod 883
16: 77016=7708+8=7708⋅7708 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 375 mod 883
32: 77032=77016+16=77016⋅77016 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 228 mod 883
64: 77064=77032+32=77032⋅77032 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 770 mod 883
128: 770128=77064+64=77064⋅77064 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 407 mod 883
770216
= 770128+64+16+8
= 770128⋅77064⋅77016⋅7708
≡ 407 ⋅ 770 ⋅ 375 ⋅ 639 mod 883
≡ 313390 ⋅ 375 ⋅ 639 mod 883 ≡ 808 ⋅ 375 ⋅ 639 mod 883
≡ 303000 ⋅ 639 mod 883 ≡ 131 ⋅ 639 mod 883
≡ 83709 mod 883 ≡ 707 mod 883
Es gilt also: 770216 ≡ 707 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50
| =>59 | = 1⋅50 + 9 |
| =>50 | = 5⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 50-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9) = 2⋅50 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50) = -11⋅59 +13⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +13⋅50
Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1
Somit 13⋅50 = 1 mod 59
13 ist also das Inverse von 50 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.