Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 + 350) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 + 350) mod 7 ≡ (67 mod 7 + 350 mod 7) mod 7.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67
= 70
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
Somit gilt:
(67 + 350) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 71) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 71) mod 3 ≡ (30 mod 3 ⋅ 71 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 71) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20732 mod 353.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 136 mod 353
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 261106 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 376 mod 797
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 307 mod 797
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 203 mod 797
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 562 mod 797
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 232 mod 797
64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 425 mod 797
261106
= 26164+32+8+2
= 26164⋅26132⋅2618⋅2612
≡ 425 ⋅ 232 ⋅ 203 ⋅ 376 mod 797
≡ 98600 ⋅ 203 ⋅ 376 mod 797 ≡ 569 ⋅ 203 ⋅ 376 mod 797
≡ 115507 ⋅ 376 mod 797 ≡ 739 ⋅ 376 mod 797
≡ 277864 mod 797 ≡ 508 mod 797
Es gilt also: 261106 ≡ 508 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.