Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1499 - 25000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1499 - 25000) mod 5 ≡ (1499 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.
1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1400
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
Somit gilt:
(1499 - 25000) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 76) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 76) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 76) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1778 mod 353.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 265 mod 353
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 331 mod 353
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 729203 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 7291=729
2: 7292=7291+1=7291⋅7291 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 507 mod 827
4: 7294=7292+2=7292⋅7292 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 679 mod 827
8: 7298=7294+4=7294⋅7294 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 402 mod 827
16: 72916=7298+8=7298⋅7298 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 339 mod 827
32: 72932=72916+16=72916⋅72916 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 795 mod 827
64: 72964=72932+32=72932⋅72932 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 197 mod 827
128: 729128=72964+64=72964⋅72964 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 767 mod 827
729203
= 729128+64+8+2+1
= 729128⋅72964⋅7298⋅7292⋅7291
≡ 767 ⋅ 197 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
≡ 151099 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827 ≡ 585 ⋅ 402 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
≡ 235170 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827 ≡ 302 ⋅ 507 ⋅ 729 mod 827
≡ 153114 ⋅ 729 mod 827 ≡ 119 ⋅ 729 mod 827
≡ 86751 mod 827 ≡ 743 mod 827
Es gilt also: 729203 ≡ 743 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53
| =>89 | = 1⋅53 + 36 |
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
| 36= 89-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53
oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅89 = +42⋅53
Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1
Somit 42⋅53 = 1 mod 89
42 ist also das Inverse von 53 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.