Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15002 - 902) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15002 - 902) mod 3 ≡ (15002 mod 3 - 902 mod 3) mod 3.
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
Somit gilt:
(15002 - 902) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 30) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 30) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15216 mod 503.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 152 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 469 mod 503
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 150 mod 503
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 368 mod 503
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 117 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266110 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:
110 = 64+32+8+4+2
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 90 mod 397
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 160 mod 397
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 192 mod 397
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 340 mod 397
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 73 mod 397
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 168 mod 397
266110
= 26664+32+8+4+2
= 26664⋅26632⋅2668⋅2664⋅2662
≡ 168 ⋅ 73 ⋅ 192 ⋅ 160 ⋅ 90 mod 397
≡ 12264 ⋅ 192 ⋅ 160 ⋅ 90 mod 397 ≡ 354 ⋅ 192 ⋅ 160 ⋅ 90 mod 397
≡ 67968 ⋅ 160 ⋅ 90 mod 397 ≡ 81 ⋅ 160 ⋅ 90 mod 397
≡ 12960 ⋅ 90 mod 397 ≡ 256 ⋅ 90 mod 397
≡ 23040 mod 397 ≡ 14 mod 397
Es gilt also: 266110 ≡ 14 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.