Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45000 + 44994) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 44994 mod 9) mod 9.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(45000 + 44994) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 79) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 79) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 112¹=112

2: 112²=112¹⁺¹=112¹⋅112¹ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 238 mod 293

4: 112⁴=112²⁺²=112²⋅112² ≡ 238⋅238=56644 ≡ 95 mod 293

8: 112⁸=112⁴⁺⁴=112⁴⋅112⁴ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 235 mod 293

16: 112¹⁶=112⁸⁺⁸=112⁸⋅112⁸ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293

32: 112³²=112¹⁶⁺¹⁶=112¹⁶⋅112¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293

64: 112⁶⁴=112³²⁺³²=112³²⋅112³² ≡ 250⋅250=62500 ≡ 91 mod 293

128: 112¹²⁸=112⁶⁴⁺⁶⁴=112⁶⁴⋅112⁶⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 77 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

377¹⁷⁵

= 377^{128+32+8+4+2+1}

= 377¹²⁸⋅377³²⋅377⁸⋅377⁴⋅377²⋅377¹

≡ 650 ⋅ 529 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
≡ 343850 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 620 ⋅ 127 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
≡ 78740 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 672 ⋅ 397 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
≡ 266784 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673 ≡ 276 ⋅ 126 ⋅ 377 mod 673
≡ 34776 ⋅ 377 mod 673 ≡ 453 ⋅ 377 mod 673
≡ 170781 mod 673 ≡ 512 mod 673

Es gilt also: 377¹⁷⁵ ≡ 512 mod 673

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101