Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1497 - 14999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 - 14999) mod 3 ≡ (1497 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 15000-1 = 3 ⋅ 5000 -1 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1497 - 14999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 32) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 32) mod 5 ≡ (96 mod 5 ⋅ 32 mod 5) mod 5.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.

32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 32) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60916 mod 739.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 609 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6091=609

2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 642 mod 739

4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 541 mod 739

8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 37 mod 739

16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 630 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 654114 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 6541=654

2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 376 mod 929

4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 168 mod 929

8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 354 mod 929

16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 830 mod 929

32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 511 mod 929

64: 65464=65432+32=65432⋅65432 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 72 mod 929

654114

= 65464+32+16+2

= 65464⋅65432⋅65416⋅6542

72 ⋅ 511 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929
36792 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929 ≡ 561 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929
465630 ⋅ 376 mod 929 ≡ 201 ⋅ 376 mod 929
75576 mod 929 ≡ 327 mod 929

Es gilt also: 654114 ≡ 327 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53 = 1⋅50 + 3
=>50 = 16⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3)
= -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50)
= 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.