Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3992 + 324) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3992 + 324) mod 8 ≡ (3992 mod 8 + 324 mod 8) mod 8.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324 = 320+4 = 8 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(3992 + 324) mod 8 ≡ (0 + 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 54) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 54) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 54 mod 9) mod 9.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 54) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20864 mod 311.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 208 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2081=208

2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311

4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311

8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311

16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 12 mod 311

32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 311

64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 210 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 567190 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 5671=567

2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 32 mod 617

4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 407 mod 617

8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 293 mod 617

16: 56716=5678+8=5678⋅5678 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 86 mod 617

32: 56732=56716+16=56716⋅56716 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 609 mod 617

64: 56764=56732+32=56732⋅56732 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 64 mod 617

128: 567128=56764+64=56764⋅56764 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 394 mod 617

567190

= 567128+32+16+8+4+2

= 567128⋅56732⋅56716⋅5678⋅5674⋅5672

394 ⋅ 609 ⋅ 86 ⋅ 293 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617
239946 ⋅ 86 ⋅ 293 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617 ≡ 550 ⋅ 86 ⋅ 293 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617
47300 ⋅ 293 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617 ≡ 408 ⋅ 293 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617
119544 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617 ≡ 463 ⋅ 407 ⋅ 32 mod 617
188441 ⋅ 32 mod 617 ≡ 256 ⋅ 32 mod 617
8192 mod 617 ≡ 171 mod 617

Es gilt also: 567190 ≡ 171 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75

=>89 = 1⋅75 + 14
=>75 = 5⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 75-5⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14)
= 3⋅75 -16⋅ 14 (=1)
14= 89-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75)
= -16⋅89 +19⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75

oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅89 = +19⋅75

Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1

Somit 19⋅75 = 1 mod 89

19 ist also das Inverse von 75 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.