Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 118) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 118) mod 3 ≡ (300 mod 3 - 118 mod 3) mod 3.
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
Somit gilt:
(300 - 118) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 49) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 49) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 49) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4098 mod 523.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 409 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 444 mod 523
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 488 mod 523
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 179 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 544126 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 752 mod 971
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 382 mod 971
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 274 mod 971
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 309 mod 971
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 323 mod 971
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 432 mod 971
544126
= 54464+32+16+8+4+2
= 54464⋅54432⋅54416⋅5448⋅5444⋅5442
≡ 432 ⋅ 323 ⋅ 309 ⋅ 274 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971
≡ 139536 ⋅ 309 ⋅ 274 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971 ≡ 683 ⋅ 309 ⋅ 274 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971
≡ 211047 ⋅ 274 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971 ≡ 340 ⋅ 274 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971
≡ 93160 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971 ≡ 915 ⋅ 382 ⋅ 752 mod 971
≡ 349530 ⋅ 752 mod 971 ≡ 941 ⋅ 752 mod 971
≡ 707632 mod 971 ≡ 744 mod 971
Es gilt also: 544126 ≡ 744 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.