Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9008 - 187) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9008 - 187) mod 9 ≡ (9008 mod 9 - 187 mod 9) mod 9.
9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008
= 9000
187 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 187
= 180
Somit gilt:
(9008 - 187) mod 9 ≡ (8 - 7) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 41) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 41) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 41 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 41) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46632 mod 479.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 466 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4661=466
2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 169 mod 479
4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 300 mod 479
8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 427 mod 479
16: 46616=4668+8=4668⋅4668 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 309 mod 479
32: 46632=46616+16=46616⋅46616 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 160 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 296135 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 586 mod 967
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 111 mod 967
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 717 mod 967
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 612 mod 967
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 315 mod 967
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 591 mod 967
128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 194 mod 967
296135
= 296128+4+2+1
= 296128⋅2964⋅2962⋅2961
≡ 194 ⋅ 111 ⋅ 586 ⋅ 296 mod 967
≡ 21534 ⋅ 586 ⋅ 296 mod 967 ≡ 260 ⋅ 586 ⋅ 296 mod 967
≡ 152360 ⋅ 296 mod 967 ≡ 541 ⋅ 296 mod 967
≡ 160136 mod 967 ≡ 581 mod 967
Es gilt also: 296135 ≡ 581 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.