Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3606 - 17994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3606 - 17994) mod 9 ≡ (3606 mod 9 - 17994 mod 9) mod 9.
3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606
= 3600
17994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994
= 18000
Somit gilt:
(3606 - 17994) mod 9 ≡ (6 - 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 32) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 32) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 32 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 32) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23716 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 446 mod 541
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 369 mod 541
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 370 mod 541
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 27 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 220212 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 299 mod 467
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 204 mod 467
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 53 mod 467
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 7 mod 467
32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 467
64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 66 mod 467
128: 220128=22064+64=22064⋅22064 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 153 mod 467
220212
= 220128+64+16+4
= 220128⋅22064⋅22016⋅2204
≡ 153 ⋅ 66 ⋅ 7 ⋅ 204 mod 467
≡ 10098 ⋅ 7 ⋅ 204 mod 467 ≡ 291 ⋅ 7 ⋅ 204 mod 467
≡ 2037 ⋅ 204 mod 467 ≡ 169 ⋅ 204 mod 467
≡ 34476 mod 467 ≡ 385 mod 467
Es gilt also: 220212 ≡ 385 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.