Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 - 87) mod 8 ≡ (399 mod 8 - 87 mod 8) mod 8.

399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 400-1 = 8 ⋅ 50 -1 = 8 ⋅ 50 - 8 + 7.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80+7 = 8 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(399 - 87) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 60) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 60) mod 11 ≡ (9 ⋅ 5) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 332 mod 491

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 240 mod 491

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 153 mod 491

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

543²⁴⁶

= 543^{128+64+32+16+4+2}

= 543¹²⁸⋅543⁶⁴⋅543³²⋅543¹⁶⋅543⁴⋅543²

≡ 88 ⋅ 53 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
≡ 4664 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 129 ⋅ 413 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
≡ 53277 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 671 ⋅ 325 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
≡ 218075 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907 ≡ 395 ⋅ 34 ⋅ 74 mod 907
≡ 13430 ⋅ 74 mod 907 ≡ 732 ⋅ 74 mod 907
≡ 54168 mod 907 ≡ 655 mod 907

Es gilt also: 543²⁴⁶ ≡ 655 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71