Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2093 + 13994) mod 7 ≡ (2093 mod 7 + 13994 mod 7) mod 7.

2093 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2093 = 2100-7 = 7 ⋅ 300 -7 = 7 ⋅ 300 - 7 + 0.

13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994 = 14000-6 = 7 ⋅ 2000 -6 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(2093 + 13994) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 28) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 28) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 270¹=270

2: 270²=270¹⁺¹=270¹⋅270¹ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 80 mod 331

4: 270⁴=270²⁺²=270²⋅270² ≡ 80⋅80=6400 ≡ 111 mod 331

8: 270⁸=270⁴⁺⁴=270⁴⋅270⁴ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 74 mod 331

16: 270¹⁶=270⁸⁺⁸=270⁸⋅270⁸ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 180 mod 331

32: 270³²=270¹⁶⁺¹⁶=270¹⁶⋅270¹⁶ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 293 mod 331

64: 270⁶⁴=270³²⁺³²=270³²⋅270³² ≡ 293⋅293=85849 ≡ 120 mod 331

128: 270¹²⁸=270⁶⁴⁺⁶⁴=270⁶⁴⋅270⁶⁴ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 167 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

217¹⁶⁴

= 217^128+32+4

= 217¹²⁸⋅217³²⋅217⁴

≡ 187 ⋅ 231 ⋅ 185 mod 353
≡ 43197 ⋅ 185 mod 353 ≡ 131 ⋅ 185 mod 353
≡ 24235 mod 353 ≡ 231 mod 353

Es gilt also: 217¹⁶⁴ ≡ 231 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79