Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (280 - 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(280 - 73) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 73 mod 7) mod 7.
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 70
Somit gilt:
(280 - 73) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 62) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 62) mod 4 ≡ (73 mod 4 ⋅ 62 mod 4) mod 4.
73 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 18 ⋅ 4 + 1 ist.
62 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 15 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 62) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39416 mod 997.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 701 mod 997
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 877 mod 997
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 442 mod 997
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 949 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 160118 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 1601=160
2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 130 mod 283
4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 203 mod 283
8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 174 mod 283
16: 16016=1608+8=1608⋅1608 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 278 mod 283
32: 16032=16016+16=16016⋅16016 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 25 mod 283
64: 16064=16032+32=16032⋅16032 ≡ 25⋅25=625 ≡ 59 mod 283
160118
= 16064+32+16+4+2
= 16064⋅16032⋅16016⋅1604⋅1602
≡ 59 ⋅ 25 ⋅ 278 ⋅ 203 ⋅ 130 mod 283
≡ 1475 ⋅ 278 ⋅ 203 ⋅ 130 mod 283 ≡ 60 ⋅ 278 ⋅ 203 ⋅ 130 mod 283
≡ 16680 ⋅ 203 ⋅ 130 mod 283 ≡ 266 ⋅ 203 ⋅ 130 mod 283
≡ 53998 ⋅ 130 mod 283 ≡ 228 ⋅ 130 mod 283
≡ 29640 mod 283 ≡ 208 mod 283
Es gilt also: 160118 ≡ 208 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25
| =>61 | = 2⋅25 + 11 |
| =>25 | = 2⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 25-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +22⋅25
Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1
Somit 22⋅25 = 1 mod 61
22 ist also das Inverse von 25 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.