Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16001 + 15999) mod 4 ≡ (16001 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

Somit gilt:

(16001 + 15999) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 44) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.

71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 44) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 380¹=380

2: 380²=380¹⁺¹=380¹⋅380¹ ≡ 380⋅380=144400 ≡ 408 mod 439

4: 380⁴=380²⁺²=380²⋅380² ≡ 408⋅408=166464 ≡ 83 mod 439

8: 380⁸=380⁴⁺⁴=380⁴⋅380⁴ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 304 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

163²³¹

= 163^{128+64+32+4+2+1}

= 163¹²⁸⋅163⁶⁴⋅163³²⋅163⁴⋅163²⋅163¹

≡ 51 ⋅ 22 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 1122 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 256 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 19968 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 50 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 4400 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 70 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 10920 ⋅ 163 mod 433 ≡ 95 ⋅ 163 mod 433
≡ 15485 mod 433 ≡ 330 mod 433

Es gilt also: 163²³¹ ≡ 330 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97	= 1⋅69 + 28
=>69	= 2⋅28 + 13
=>28	= 2⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28) = -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69) = 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97