Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2996 - 2403) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2996 - 2403) mod 6 ≡ (2996 mod 6 - 2403 mod 6) mod 6.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(2996 - 2403) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 43) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 43) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 43) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13264 mod 229.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 132 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1321=132

2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229

32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229

64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 295237 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 37 mod 659

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 51 mod 659

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 624 mod 659

16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 566 mod 659

32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 82 mod 659

64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 134 mod 659

128: 295128=29564+64=29564⋅29564 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 163 mod 659

295237

= 295128+64+32+8+4+1

= 295128⋅29564⋅29532⋅2958⋅2954⋅2951

163 ⋅ 134 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
21842 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 95 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
7790 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 541 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
337584 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 176 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
8976 ⋅ 295 mod 659 ≡ 409 ⋅ 295 mod 659
120655 mod 659 ≡ 58 mod 659

Es gilt also: 295237 ≡ 58 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30

=>73 = 2⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 73-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30)
= 7⋅73 -17⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -17⋅30

-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30

-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1

(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1

56⋅30 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1

Somit 56⋅30 = 1 mod 73

56 ist also das Inverse von 30 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.