Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (597 - 14998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(597 - 14998) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(597 - 14998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 43) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 43) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 43 mod 4) mod 4.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 43) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 571128 mod 811.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 571 -> x
2. mod(x²,811) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5711=571

2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 19 mod 811

4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 811

8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 561 mod 811

16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 53 mod 811

32: 57132=57116+16=57116⋅57116 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 376 mod 811

64: 57164=57132+32=57132⋅57132 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 262 mod 811

128: 571128=57164+64=57164⋅57164 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 520 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 264164 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2641=264

2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 34 mod 571

4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 14 mod 571

8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 571

16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 159 mod 571

32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 157 mod 571

64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 96 mod 571

128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 80 mod 571

264164

= 264128+32+4

= 264128⋅26432⋅2644

80 ⋅ 157 ⋅ 14 mod 571
12560 ⋅ 14 mod 571 ≡ 569 ⋅ 14 mod 571
7966 mod 571 ≡ 543 mod 571

Es gilt also: 264164 ≡ 543 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67

=>97 = 1⋅67 + 30
=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)
30= 97-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67)
= -29⋅97 +42⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67

oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +29⋅97 = +42⋅67

Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1

Somit 42⋅67 = 1 mod 97

42 ist also das Inverse von 67 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.