Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(793 + 2400) mod 8 ≡ (793 mod 8 + 2400 mod 8) mod 8.

793 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 793 = 800-7 = 8 ⋅ 100 -7 = 8 ⋅ 100 - 8 + 1.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(793 + 2400) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 45) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 45 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 45) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 461¹=461

2: 461²=461¹⁺¹=461¹⋅461¹ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 189 mod 487

4: 461⁴=461²⁺²=461²⋅461² ≡ 189⋅189=35721 ≡ 170 mod 487

8: 461⁸=461⁴⁺⁴=461⁴⋅461⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 167 mod 487

16: 461¹⁶=461⁸⁺⁸=461⁸⋅461⁸ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 130 mod 487

32: 461³²=461¹⁶⁺¹⁶=461¹⁶⋅461¹⁶ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 342 mod 487

64: 461⁶⁴=461³²⁺³²=461³²⋅461³² ≡ 342⋅342=116964 ≡ 84 mod 487

128: 461¹²⁸=461⁶⁴⁺⁶⁴=461⁶⁴⋅461⁶⁴ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 238 mod 487

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

128²⁰¹

= 128^128+64+8+1

= 128¹²⁸⋅128⁶⁴⋅128⁸⋅128¹

≡ 348 ⋅ 226 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373
≡ 78648 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373 ≡ 318 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373
≡ 103350 ⋅ 128 mod 373 ≡ 29 ⋅ 128 mod 373
≡ 3712 mod 373 ≡ 355 mod 373

Es gilt also: 128²⁰¹ ≡ 355 mod 373

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71