Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 - 15003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 - 15003) mod 5 ≡ (15000 mod 5 - 15003 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
Somit gilt:
(15000 - 15003) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 94) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 94) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 94) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37332 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 72 mod 577
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 568 mod 577
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 81 mod 577
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 148202 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 1481=148
2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 349 mod 479
4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 135 mod 479
8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 23 mod 479
16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 23⋅23=529 ≡ 50 mod 479
32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 105 mod 479
64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 8 mod 479
128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 479
148202
= 148128+64+8+2
= 148128⋅14864⋅1488⋅1482
≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 23 ⋅ 349 mod 479
≡ 512 ⋅ 23 ⋅ 349 mod 479 ≡ 33 ⋅ 23 ⋅ 349 mod 479
≡ 759 ⋅ 349 mod 479 ≡ 280 ⋅ 349 mod 479
≡ 97720 mod 479 ≡ 4 mod 479
Es gilt also: 148202 ≡ 4 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.