Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (895 - 2703) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(895 - 2703) mod 9 ≡ (895 mod 9 - 2703 mod 9) mod 9.
895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895
= 900
2703 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2703
= 2700
Somit gilt:
(895 - 2703) mod 9 ≡ (4 - 3) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 62) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 62) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55616 mod 743.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 556 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5561=556
2: 5562=5561+1=5561⋅5561 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 48 mod 743
4: 5564=5562+2=5562⋅5562 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 75 mod 743
8: 5568=5564+4=5564⋅5564 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 424 mod 743
16: 55616=5568+8=5568⋅5568 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 713 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32674 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 110 mod 487
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 412 mod 487
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 268 mod 487
16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 235 mod 487
32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 194 mod 487
64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 137 mod 487
32674
= 32664+8+2
= 32664⋅3268⋅3262
≡ 137 ⋅ 268 ⋅ 110 mod 487
≡ 36716 ⋅ 110 mod 487 ≡ 191 ⋅ 110 mod 487
≡ 21010 mod 487 ≡ 69 mod 487
Es gilt also: 32674 ≡ 69 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.