Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (161 + 3998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(161 + 3998) mod 8 ≡ (161 mod 8 + 3998 mod 8) mod 8.
161 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
3998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 4000
Somit gilt:
(161 + 3998) mod 8 ≡ (1 + 6) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 50) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 50) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 50 mod 7) mod 7.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 50) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36632 mod 557.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 366 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 276 mod 557
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 424 mod 557
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 422 mod 557
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 401 mod 557
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 385 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36767 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 449 mod 839
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 241 mod 839
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 190 mod 839
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 23 mod 839
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 839
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 454 mod 839
36767
= 36764+2+1
= 36764⋅3672⋅3671
≡ 454 ⋅ 449 ⋅ 367 mod 839
≡ 203846 ⋅ 367 mod 839 ≡ 808 ⋅ 367 mod 839
≡ 296536 mod 839 ≡ 369 mod 839
Es gilt also: 36767 ≡ 369 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.