Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(998 + 103) mod 5 ≡ (998 mod 5 + 103 mod 5) mod 5.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103 = 100+3 = 5 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(998 + 103) mod 5 ≡ (3 + 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 47) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 47) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 262¹=262

2: 262²=262¹⁺¹=262¹⋅262¹ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 84 mod 857

4: 262⁴=262²⁺²=262²⋅262² ≡ 84⋅84=7056 ≡ 200 mod 857

8: 262⁸=262⁴⁺⁴=262⁴⋅262⁴ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 578 mod 857

16: 262¹⁶=262⁸⁺⁸=262⁸⋅262⁸ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

32: 262³²=262¹⁶⁺¹⁶=262¹⁶⋅262¹⁶ ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

466¹⁸⁸

= 466^{128+32+16+8+4}

= 466¹²⁸⋅466³²⋅466¹⁶⋅466⁸⋅466⁴

≡ 747 ⋅ 334 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
≡ 249498 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887 ≡ 251 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
≡ 126504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887 ≡ 550 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
≡ 123200 ⋅ 445 mod 887 ≡ 794 ⋅ 445 mod 887
≡ 353330 mod 887 ≡ 304 mod 887

Es gilt also: 466¹⁸⁸ ≡ 304 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97