Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 1200) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 1200) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 1200 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(120 + 1200) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 99) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 99) mod 11 ≡ (70 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 99) mod 11 ≡ (4 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 317128 mod 359.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 328 mod 359
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 243 mod 359
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 173 mod 359
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 132 mod 359
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 192 mod 359
64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 246 mod 359
128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 204 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 269193 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 357 mod 383
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 293 mod 383
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 57 mod 383
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 185 mod 383
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 138 mod 383
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 277 mod 383
128: 269128=26964+64=26964⋅26964 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 129 mod 383
269193
= 269128+64+1
= 269128⋅26964⋅2691
≡ 129 ⋅ 277 ⋅ 269 mod 383
≡ 35733 ⋅ 269 mod 383 ≡ 114 ⋅ 269 mod 383
≡ 30666 mod 383 ≡ 26 mod 383
Es gilt also: 269193 ≡ 26 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.