Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7997 - 1598) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7997 - 1598) mod 4 ≡ (7997 mod 4 - 1598 mod 4) mod 4.
7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
1598 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598
= 1500
Somit gilt:
(7997 - 1598) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 99) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 99) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25716 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 196 mod 271
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 88118 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 881=88
2: 882=881+1=881⋅881 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 214 mod 251
4: 884=882+2=882⋅882 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 114 mod 251
8: 888=884+4=884⋅884 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 195 mod 251
16: 8816=888+8=888⋅888 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 124 mod 251
32: 8832=8816+16=8816⋅8816 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 65 mod 251
64: 8864=8832+32=8832⋅8832 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 209 mod 251
88118
= 8864+32+16+4+2
= 8864⋅8832⋅8816⋅884⋅882
≡ 209 ⋅ 65 ⋅ 124 ⋅ 114 ⋅ 214 mod 251
≡ 13585 ⋅ 124 ⋅ 114 ⋅ 214 mod 251 ≡ 31 ⋅ 124 ⋅ 114 ⋅ 214 mod 251
≡ 3844 ⋅ 114 ⋅ 214 mod 251 ≡ 79 ⋅ 114 ⋅ 214 mod 251
≡ 9006 ⋅ 214 mod 251 ≡ 221 ⋅ 214 mod 251
≡ 47294 mod 251 ≡ 106 mod 251
Es gilt also: 88118 ≡ 106 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -7⋅42
-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42
-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1
(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1
52⋅42 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1
Somit 52⋅42 = 1 mod 59
52 ist also das Inverse von 42 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.