Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14997 + 2505) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14997 + 2505) mod 5 ≡ (14997 mod 5 + 2505 mod 5) mod 5.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(14997 + 2505) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 20) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 20) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 20) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22032 mod 449.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 357 mod 449

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 382 mod 449

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 541243 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 5411=541

2: 5412=5411+1=5411⋅5411 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 461 mod 769

4: 5414=5412+2=5412⋅5412 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 277 mod 769

8: 5418=5414+4=5414⋅5414 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 598 mod 769

16: 54116=5418+8=5418⋅5418 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

32: 54132=54116+16=54116⋅54116 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769

64: 54164=54132+32=54132⋅54132 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769

128: 541128=54164+64=54164⋅54164 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769

541243

= 541128+64+32+16+2+1

= 541128⋅54164⋅54132⋅54116⋅5412⋅5411

408 ⋅ 360 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
146880 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769 ≡ 1 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
361 ⋅ 19 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
6859 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769 ≡ 707 ⋅ 461 ⋅ 541 mod 769
325927 ⋅ 541 mod 769 ≡ 640 ⋅ 541 mod 769
346240 mod 769 ≡ 190 mod 769

Es gilt also: 541243 ≡ 190 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71 = 1⋅63 + 8
=>63 = 7⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8)
= -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63)
= 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.