Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 + 1495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 + 1495) mod 5 ≡ (97 mod 5 + 1495 mod 5) mod 5.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495
= 1400
Somit gilt:
(97 + 1495) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 91) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 91) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 91 mod 10) mod 10.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 91) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38932 mod 919.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 605 mod 919
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 263 mod 919
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 244 mod 919
16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 720 mod 919
32: 38932=38916+16=38916⋅38916 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 84 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 628112 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 6281=628
2: 6282=6281+1=6281⋅6281 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 361 mod 647
4: 6284=6282+2=6282⋅6282 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 274 mod 647
8: 6288=6284+4=6284⋅6284 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 24 mod 647
16: 62816=6288+8=6288⋅6288 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 647
32: 62832=62816+16=62816⋅62816 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 512 mod 647
64: 62864=62832+32=62832⋅62832 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 109 mod 647
628112
= 62864+32+16
= 62864⋅62832⋅62816
≡ 109 ⋅ 512 ⋅ 576 mod 647
≡ 55808 ⋅ 576 mod 647 ≡ 166 ⋅ 576 mod 647
≡ 95616 mod 647 ≡ 507 mod 647
Es gilt also: 628112 ≡ 507 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.