Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 + 61) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 + 61) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.
1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
Somit gilt:
(1201 + 61) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 33) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.
69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (9 ⋅ 3) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 265128 mod 419.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 252 mod 419
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 235 mod 419
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 336 mod 419
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419
128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 290238 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 420 mod 523
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 149 mod 523
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 235 mod 523
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 310 mod 523
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 391 mod 523
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 165 mod 523
128: 290128=29064+64=29064⋅29064 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 29 mod 523
290238
= 290128+64+32+8+4+2
= 290128⋅29064⋅29032⋅2908⋅2904⋅2902
≡ 29 ⋅ 165 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 4785 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 78 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 30498 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 164 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 38540 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 361 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 53789 ⋅ 420 mod 523 ≡ 443 ⋅ 420 mod 523
≡ 186060 mod 523 ≡ 395 mod 523
Es gilt also: 290238 ≡ 395 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55
=>97 | = 1⋅55 + 42 |
=>55 | = 1⋅42 + 13 |
=>42 | = 3⋅13 + 3 |
=>13 | = 4⋅3 + 1 |
=>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 13-4⋅3 | |||
3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
13= 55-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1) |
42= 97-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +30⋅55
Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1
Somit 30⋅55 = 1 mod 97
30 ist also das Inverse von 55 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.