Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2402 - 40008) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2402 - 40008) mod 8 ≡ (2402 mod 8 - 40008 mod 8) mod 8.

2402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402 = 2400+2 = 8 ⋅ 300 +2.

40008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40008 = 40000+8 = 8 ⋅ 5000 +8.

Somit gilt:

(2402 - 40008) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 73) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 73) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 73 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 73) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2608 mod 379.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2601=260

2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 138 mod 379

4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 94 mod 379

8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 119 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 158119 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 1581=158

2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 15 mod 409

4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 409

8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 318 mod 409

16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 101 mod 409

32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409

64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409

158119

= 15864+32+16+4+2+1

= 15864⋅15832⋅15816⋅1584⋅1582⋅1581

167 ⋅ 385 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
64295 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 82 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
8282 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 102 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
22950 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 46 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
690 ⋅ 158 mod 409 ≡ 281 ⋅ 158 mod 409
44398 mod 409 ≡ 226 mod 409

Es gilt also: 158119 ≡ 226 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44

=>79 = 1⋅44 + 35
=>44 = 1⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 44-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35)
= 4⋅44 -5⋅ 35 (=1)
35= 79-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44)
= -5⋅79 +9⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +9⋅44

Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1

Somit 9⋅44 = 1 mod 79

9 ist also das Inverse von 44 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.