Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 + 1495) mod 5 ≡ (25000 mod 5 + 1495 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495 = 1400+95 = 5 ⋅ 280 +95.

Somit gilt:

(25000 + 1495) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 85) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 85) mod 9 ≡ (7 ⋅ 4) mod 9 ≡ 28 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 71¹=71

2: 71²=71¹⁺¹=71¹⋅71¹ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 135 mod 223

4: 71⁴=71²⁺²=71²⋅71² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 162 mod 223

8: 71⁸=71⁴⁺⁴=71⁴⋅71⁴ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 153 mod 223

16: 71¹⁶=71⁸⁺⁸=71⁸⋅71⁸ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 217 mod 223

32: 71³²=71¹⁶⁺¹⁶=71¹⁶⋅71¹⁶ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223

64: 71⁶⁴=71³²⁺³²=71³²⋅71³² ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

430²⁵¹

= 430^{128+64+32+16+8+2+1}

= 430¹²⁸⋅430⁶⁴⋅430³²⋅430¹⁶⋅430⁸⋅430²⋅430¹

≡ 562 ⋅ 110 ⋅ 148 ⋅ 539 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641
≡ 61820 ⋅ 148 ⋅ 539 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641 ≡ 284 ⋅ 148 ⋅ 539 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641
≡ 42032 ⋅ 539 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641 ≡ 367 ⋅ 539 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641
≡ 197813 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641 ≡ 385 ⋅ 121 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641
≡ 46585 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641 ≡ 433 ⋅ 292 ⋅ 430 mod 641
≡ 126436 ⋅ 430 mod 641 ≡ 159 ⋅ 430 mod 641
≡ 68370 mod 641 ≡ 424 mod 641

Es gilt also: 430²⁵¹ ≡ 424 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61