Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 61) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(1201 + 61) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 33) mod 10 ≡ (9 ⋅ 3) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 265¹=265

2: 265²=265¹⁺¹=265¹⋅265¹ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 252 mod 419

4: 265⁴=265²⁺²=265²⋅265² ≡ 252⋅252=63504 ≡ 235 mod 419

8: 265⁸=265⁴⁺⁴=265⁴⋅265⁴ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 336 mod 419

16: 265¹⁶=265⁸⁺⁸=265⁸⋅265⁸ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419

32: 265³²=265¹⁶⁺¹⁶=265¹⁶⋅265¹⁶ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419

64: 265⁶⁴=265³²⁺³²=265³²⋅265³² ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419

128: 265¹²⁸=265⁶⁴⁺⁶⁴=265⁶⁴⋅265⁶⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

290²³⁸

= 290^{128+64+32+8+4+2}

= 290¹²⁸⋅290⁶⁴⋅290³²⋅290⁸⋅290⁴⋅290²

≡ 29 ⋅ 165 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 4785 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 78 ⋅ 391 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 30498 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 164 ⋅ 235 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 38540 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523 ≡ 361 ⋅ 149 ⋅ 420 mod 523
≡ 53789 ⋅ 420 mod 523 ≡ 443 ⋅ 420 mod 523
≡ 186060 mod 523 ≡ 395 mod 523

Es gilt also: 290²³⁸ ≡ 395 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97	= 1⋅55 + 42
=>55	= 1⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55) = 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97