Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9001 + 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9001 + 900) mod 3 ≡ (9001 mod 3 + 900 mod 3) mod 3.
9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(9001 + 900) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 44) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 44) mod 9 ≡ (22 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 44) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 249128 mod 467.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2491=249
2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 357 mod 467
4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 425 mod 467
8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 363 mod 467
16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 75 mod 467
32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 21 mod 467
64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 467
128: 249128=24964+64=24964⋅24964 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 209 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 371132 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 3711=371
2: 3712=3711+1=3711⋅3711 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 217 mod 409
4: 3714=3712+2=3712⋅3712 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 54 mod 409
8: 3718=3714+4=3714⋅3714 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 53 mod 409
16: 37116=3718+8=3718⋅3718 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
32: 37132=37116+16=37116⋅37116 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
64: 37164=37132+32=37132⋅37132 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
128: 371128=37164+64=37164⋅37164 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
371132
= 371128+4
= 371128⋅3714
≡ 53 ⋅ 54 mod 409
≡ 2862 mod 409 ≡ 408 mod 409
Es gilt also: 371132 ≡ 408 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 35
| =>67 | = 1⋅35 + 32 |
| =>35 | = 1⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 35-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(35 -1⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅35 -11⋅ 32) = 11⋅35 -12⋅ 32 (=1) |
| 32= 67-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -12⋅(67 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -12⋅67 +12⋅ 35) = -12⋅67 +23⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,35)=1 = -12⋅67 +23⋅35
oder wenn man -12⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +12⋅67 = +23⋅35
Es gilt also: 23⋅35 = 12⋅67 +1
Somit 23⋅35 = 1 mod 67
23 ist also das Inverse von 35 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.