Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 + 8999) mod 3 ≡ (5998 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(5998 + 8999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 96) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.

67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 96) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 605¹=605

2: 605²=605¹⁺¹=605¹⋅605¹ ≡ 605⋅605=366025 ≡ 504 mod 907

4: 605⁴=605²⁺²=605²⋅605² ≡ 504⋅504=254016 ≡ 56 mod 907

8: 605⁸=605⁴⁺⁴=605⁴⋅605⁴ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 415 mod 907

16: 605¹⁶=605⁸⁺⁸=605⁸⋅605⁸ ≡ 415⋅415=172225 ≡ 802 mod 907

32: 605³²=605¹⁶⁺¹⁶=605¹⁶⋅605¹⁶ ≡ 802⋅802=643204 ≡ 141 mod 907

64: 605⁶⁴=605³²⁺³²=605³²⋅605³² ≡ 141⋅141=19881 ≡ 834 mod 907

128: 605¹²⁸=605⁶⁴⁺⁶⁴=605⁶⁴⋅605⁶⁴ ≡ 834⋅834=695556 ≡ 794 mod 907

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

326¹⁴³

= 326^128+8+4+2+1

= 326¹²⁸⋅326⁸⋅326⁴⋅326²⋅326¹

≡ 3 ⋅ 273 ⋅ 144 ⋅ 12 ⋅ 326 mod 359
≡ 819 ⋅ 144 ⋅ 12 ⋅ 326 mod 359 ≡ 101 ⋅ 144 ⋅ 12 ⋅ 326 mod 359
≡ 14544 ⋅ 12 ⋅ 326 mod 359 ≡ 184 ⋅ 12 ⋅ 326 mod 359
≡ 2208 ⋅ 326 mod 359 ≡ 54 ⋅ 326 mod 359
≡ 17604 mod 359 ≡ 13 mod 359

Es gilt also: 326¹⁴³ ≡ 13 mod 359

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61