Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (285 + 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(285 + 77) mod 7 ≡ (285 mod 7 + 77 mod 7) mod 7.
285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285
= 280
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 70
Somit gilt:
(285 + 77) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 64) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 64) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 64) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1668 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 166 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 294 mod 317
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 212 mod 317
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 247 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 370151 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 3701=370
2: 3702=3701+1=3701⋅3701 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 385 mod 479
4: 3704=3702+2=3702⋅3702 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479
8: 3708=3704+4=3704⋅3704 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 291 mod 479
16: 37016=3708+8=3708⋅3708 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 377 mod 479
32: 37032=37016+16=37016⋅37016 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479
64: 37064=37032+32=37032⋅37032 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 233 mod 479
128: 370128=37064+64=37064⋅37064 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 162 mod 479
370151
= 370128+16+4+2+1
= 370128⋅37016⋅3704⋅3702⋅3701
≡ 162 ⋅ 377 ⋅ 214 ⋅ 385 ⋅ 370 mod 479
≡ 61074 ⋅ 214 ⋅ 385 ⋅ 370 mod 479 ≡ 241 ⋅ 214 ⋅ 385 ⋅ 370 mod 479
≡ 51574 ⋅ 385 ⋅ 370 mod 479 ≡ 321 ⋅ 385 ⋅ 370 mod 479
≡ 123585 ⋅ 370 mod 479 ≡ 3 ⋅ 370 mod 479
≡ 1110 mod 479 ≡ 152 mod 479
Es gilt also: 370151 ≡ 152 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.