Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (103 - 1497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(103 - 1497) mod 5 ≡ (103 mod 5 - 1497 mod 5) mod 5.

103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103 = 100+3 = 5 ⋅ 20 +3.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

Somit gilt:

(103 - 1497) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 36) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 36) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.

17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 36) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4618 mod 787.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4611=461

2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 31 mod 787

4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 31⋅31=961 ≡ 174 mod 787

8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 370 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 352119 mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 3521=352

2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 68 mod 373

4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 148 mod 373

8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 270 mod 373

16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373

32: 35232=35216+16=35216⋅35216 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373

64: 35264=35232+32=35232⋅35232 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373

352119

= 35264+32+16+4+2+1

= 35264⋅35232⋅35216⋅3524⋅3522⋅3521

16 ⋅ 369 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
5904 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 309 ⋅ 165 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
50985 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 257 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
38036 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373 ≡ 363 ⋅ 68 ⋅ 352 mod 373
24684 ⋅ 352 mod 373 ≡ 66 ⋅ 352 mod 373
23232 mod 373 ≡ 106 mod 373

Es gilt also: 352119 ≡ 106 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59 = 2⋅23 + 13
=>23 = 1⋅13 + 10
=>13 = 1⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10)
= -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13)
= 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23)
= -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.