Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 + 198) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 + 198) mod 4 ≡ (79 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
Somit gilt:
(79 + 198) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 85) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 85) mod 8 ≡ (43 mod 8 ⋅ 85 mod 8) mod 8.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 85) mod 8 ≡ (3 ⋅ 5) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65332 mod 991.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 653 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6531=653
2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 279 mod 991
4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 543 mod 991
8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 522 mod 991
16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 950 mod 991
32: 65332=65316+16=65316⋅65316 ≡ 950⋅950=902500 ≡ 690 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 863232 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 8631=863
2: 8632=8631+1=8631⋅8631 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 127 mod 1009
4: 8634=8632+2=8632⋅8632 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 994 mod 1009
8: 8638=8634+4=8634⋅8634 ≡ 994⋅994=988036 ≡ 225 mod 1009
16: 86316=8638+8=8638⋅8638 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 175 mod 1009
32: 86332=86316+16=86316⋅86316 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 355 mod 1009
64: 86364=86332+32=86332⋅86332 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 909 mod 1009
128: 863128=86364+64=86364⋅86364 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 919 mod 1009
863232
= 863128+64+32+8
= 863128⋅86364⋅86332⋅8638
≡ 919 ⋅ 909 ⋅ 355 ⋅ 225 mod 1009
≡ 835371 ⋅ 355 ⋅ 225 mod 1009 ≡ 928 ⋅ 355 ⋅ 225 mod 1009
≡ 329440 ⋅ 225 mod 1009 ≡ 506 ⋅ 225 mod 1009
≡ 113850 mod 1009 ≡ 842 mod 1009
Es gilt also: 863232 ≡ 842 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.