Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27006 - 95) mod 9 ≡ (27006 mod 9 - 95 mod 9) mod 9.

27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006 = 27000+6 = 9 ⋅ 3000 +6.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(27006 - 95) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 54) mod 10 ≡ (70 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 54) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 224¹=224

2: 224²=224¹⁺¹=224¹⋅224¹ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 208 mod 347

4: 224⁴=224²⁺²=224²⋅224² ≡ 208⋅208=43264 ≡ 236 mod 347

8: 224⁸=224⁴⁺⁴=224⁴⋅224⁴ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 176 mod 347

16: 224¹⁶=224⁸⁺⁸=224⁸⋅224⁸ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 93 mod 347

32: 224³²=224¹⁶⁺¹⁶=224¹⁶⋅224¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 321 mod 347

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

375⁶³

= 375^{32+16+8+4+2+1}

= 375³²⋅375¹⁶⋅375⁸⋅375⁴⋅375²⋅375¹

≡ 221 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 61217 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 134 ⋅ 413 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 55342 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 429 ⋅ 133 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 57057 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617 ≡ 293 ⋅ 566 ⋅ 375 mod 617
≡ 165838 ⋅ 375 mod 617 ≡ 482 ⋅ 375 mod 617
≡ 180750 mod 617 ≡ 586 mod 617

Es gilt also: 375⁶³ ≡ 586 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59	= 1⋅32 + 27
=>32	= 1⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32) = 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59