Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 - 2000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 - 2000) mod 5 ≡ (197 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.
197 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 190
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
Somit gilt:
(197 - 2000) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 76) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 76) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 76 mod 5) mod 5.
87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.
76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 76) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62216 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6221=622
2: 6222=6221+1=6221⋅6221 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 57 mod 757
4: 6224=6222+2=6222⋅6222 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 221 mod 757
8: 6228=6224+4=6224⋅6224 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 393 mod 757
16: 62216=6228+8=6228⋅6228 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 21 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 183100 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 102 mod 359
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 352 mod 359
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 49 mod 359
16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 247 mod 359
32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 338 mod 359
64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 82 mod 359
183100
= 18364+32+4
= 18364⋅18332⋅1834
≡ 82 ⋅ 338 ⋅ 352 mod 359
≡ 27716 ⋅ 352 mod 359 ≡ 73 ⋅ 352 mod 359
≡ 25696 mod 359 ≡ 207 mod 359
Es gilt also: 183100 ≡ 207 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.