Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(700 + 276) mod 7 ≡ (700 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 280-4 = 7 ⋅ 40 -4 = 7 ⋅ 40 - 7 + 3.

Somit gilt:

(700 + 276) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 80) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 80) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 144¹=144

2: 144²=144¹⁺¹=144¹⋅144¹ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 77 mod 283

4: 144⁴=144²⁺²=144²⋅144² ≡ 77⋅77=5929 ≡ 269 mod 283

8: 144⁸=144⁴⁺⁴=144⁴⋅144⁴ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 196 mod 283

16: 144¹⁶=144⁸⁺⁸=144⁸⋅144⁸ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 211 mod 283

32: 144³²=144¹⁶⁺¹⁶=144¹⁶⋅144¹⁶ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 90 mod 283

64: 144⁶⁴=144³²⁺³²=144³²⋅144³² ≡ 90⋅90=8100 ≡ 176 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

341¹⁸⁸

= 341^{128+32+16+8+4}

= 341¹²⁸⋅341³²⋅341¹⁶⋅341⁸⋅341⁴

≡ 141 ⋅ 153 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
≡ 21573 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569 ≡ 520 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
≡ 85280 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569 ≡ 499 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
≡ 150698 ⋅ 488 mod 569 ≡ 482 ⋅ 488 mod 569
≡ 235216 mod 569 ≡ 219 mod 569

Es gilt also: 341¹⁸⁸ ≡ 219 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68

=>83	= 1⋅68 + 15
=>68	= 4⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 68-4⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68) = 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +11⋅68

Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1

Somit 11⋅68 = 1 mod 83

11 ist also das Inverse von 68 mod 83