Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1998 - 117) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1998 - 117) mod 4 ≡ (1998 mod 4 - 117 mod 4) mod 4.
1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998
= 1900
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(1998 - 117) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 31) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 31) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 31 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 31) mod 11 ≡ (0 ⋅ 9) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 448128 mod 463.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 448 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4481=448
2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 225 mod 463
4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463
8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 425 mod 463
16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463
32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463
64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463
128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 779232 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 7791=779
2: 7792=7791+1=7791⋅7791 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 213 mod 811
4: 7794=7792+2=7792⋅7792 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 764 mod 811
8: 7798=7794+4=7794⋅7794 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 587 mod 811
16: 77916=7798+8=7798⋅7798 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 705 mod 811
32: 77932=77916+16=77916⋅77916 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 693 mod 811
64: 77964=77932+32=77932⋅77932 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 137 mod 811
128: 779128=77964+64=77964⋅77964 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 116 mod 811
779232
= 779128+64+32+8
= 779128⋅77964⋅77932⋅7798
≡ 116 ⋅ 137 ⋅ 693 ⋅ 587 mod 811
≡ 15892 ⋅ 693 ⋅ 587 mod 811 ≡ 483 ⋅ 693 ⋅ 587 mod 811
≡ 334719 ⋅ 587 mod 811 ≡ 587 ⋅ 587 mod 811
≡ 344569 mod 811 ≡ 705 mod 811
Es gilt also: 779232 ≡ 705 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.