Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23994 + 1794) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23994 + 1794) mod 6 ≡ (23994 mod 6 + 1794 mod 6) mod 6.
23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994
= 24000
1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
Somit gilt:
(23994 + 1794) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 91) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 91) mod 7 ≡ (85 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.
85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 91) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27816 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 278 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 105 mod 683
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 97 mod 683
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 530 mod 683
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 187 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280123 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 41 mod 617
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 447 mod 617
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 518 mod 617
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 546 mod 617
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 105 mod 617
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 536 mod 617
280123
= 28064+32+16+8+2+1
= 28064⋅28032⋅28016⋅2808⋅2802⋅2801
≡ 536 ⋅ 105 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 56280 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 133 ⋅ 546 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 72618 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 429 ⋅ 518 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 222222 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617 ≡ 102 ⋅ 41 ⋅ 280 mod 617
≡ 4182 ⋅ 280 mod 617 ≡ 480 ⋅ 280 mod 617
≡ 134400 mod 617 ≡ 511 mod 617
Es gilt also: 280123 ≡ 511 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25
| =>61 | = 2⋅25 + 11 |
| =>25 | = 2⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 25-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +22⋅25
Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1
Somit 22⋅25 = 1 mod 61
22 ist also das Inverse von 25 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
