Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 + 1394) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 + 1394) mod 7 ≡ (68 mod 7 + 1394 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68
= 70
1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394
= 1400
Somit gilt:
(68 + 1394) mod 7 ≡ (5 + 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 96) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 96) mod 5 ≡ (88 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 96) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77164 mod 853.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 771 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7711=771
2: 7712=7711+1=7711⋅7711 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 753 mod 853
4: 7714=7712+2=7712⋅7712 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 617 mod 853
8: 7718=7714+4=7714⋅7714 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 251 mod 853
16: 77116=7718+8=7718⋅7718 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 732 mod 853
32: 77132=77116+16=77116⋅77116 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 140 mod 853
64: 77164=77132+32=77132⋅77132 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 834 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356135 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 220 mod 811
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 551 mod 811
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 287 mod 811
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 458 mod 811
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 526 mod 811
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 125 mod 811
128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 216 mod 811
356135
= 356128+4+2+1
= 356128⋅3564⋅3562⋅3561
≡ 216 ⋅ 551 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811
≡ 119016 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811 ≡ 610 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811
≡ 134200 ⋅ 356 mod 811 ≡ 385 ⋅ 356 mod 811
≡ 137060 mod 811 ≡ 1 mod 811
Es gilt also: 356135 ≡ 1 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32
| =>79 | = 2⋅32 + 15 |
| =>32 | = 2⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 32-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32) = 15⋅79 -37⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -37⋅32
-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32
-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1
(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1
42⋅32 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1
Somit 42⋅32 = 1 mod 79
42 ist also das Inverse von 32 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
