Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2998 - 1201) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2998 - 1201) mod 3 ≡ (2998 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(2998 - 1201) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 25) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 25) mod 5 ≡ (90 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 25) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6858 mod 787.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 685 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6851=685

2: 6852=6851+1=6851⋅6851 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 173 mod 787

4: 6854=6852+2=6852⋅6852 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 23 mod 787

8: 6858=6854+4=6854⋅6854 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 351189 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 281 mod 439

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 380 mod 439

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 408 mod 439

16: 35116=3518+8=3518⋅3518 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 83 mod 439

32: 35132=35116+16=35116⋅35116 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 304 mod 439

64: 35164=35132+32=35132⋅35132 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 226 mod 439

128: 351128=35164+64=35164⋅35164 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 152 mod 439

351189

= 351128+32+16+8+4+1

= 351128⋅35132⋅35116⋅3518⋅3514⋅3511

152 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
46208 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 113 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
9379 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 160 ⋅ 408 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
65280 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439 ≡ 308 ⋅ 380 ⋅ 351 mod 439
117040 ⋅ 351 mod 439 ≡ 266 ⋅ 351 mod 439
93366 mod 439 ≡ 298 mod 439

Es gilt also: 351189 ≡ 298 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101 = 1⋅92 + 9
=>92 = 10⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9)
= -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92)
= 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.