Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 - 457) mod 9 ≡ (1797 mod 9 - 457 mod 9) mod 9.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(1797 - 457) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 17) mod 10 ≡ (57 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 17) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 447¹=447

2: 447²=447¹⁺¹=447¹⋅447¹ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 644 mod 653

4: 447⁴=447²⁺²=447²⋅447² ≡ 644⋅644=414736 ≡ 81 mod 653

8: 447⁸=447⁴⁺⁴=447⁴⋅447⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 31 mod 653

16: 447¹⁶=447⁸⁺⁸=447⁸⋅447⁸ ≡ 31⋅31=961 ≡ 308 mod 653

32: 447³²=447¹⁶⁺¹⁶=447¹⁶⋅447¹⁶ ≡ 308⋅308=94864 ≡ 179 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

332¹⁸⁹

= 332^{128+32+16+8+4+1}

= 332¹²⁸⋅332³²⋅332¹⁶⋅332⁸⋅332⁴⋅332¹

≡ 732 ⋅ 86 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
≡ 62952 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 259 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
≡ 84693 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 808 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
≡ 652864 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 327 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
≡ 237402 ⋅ 332 mod 883 ≡ 758 ⋅ 332 mod 883
≡ 251656 mod 883 ≡ 1 mod 883

Es gilt also: 332¹⁸⁹ ≡ 1 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53	= 2⋅19 + 15
=>19	= 1⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19) = 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53