Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (453 + 902) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(453 + 902) mod 9 ≡ (453 mod 9 + 902 mod 9) mod 9.

453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453 = 450+3 = 9 ⋅ 50 +3.

902 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902 = 900+2 = 9 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(453 + 902) mod 9 ≡ (3 + 2) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 32) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 32) mod 6 ≡ (64 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 32) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 436128 mod 967.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 564 mod 967

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 920 mod 967

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 920⋅920=846400 ≡ 275 mod 967

16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 199 mod 967

32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 921 mod 967

64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 182 mod 967

128: 436128=43664+64=43664⋅43664 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 246 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 411104 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 4111=411

2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 288 mod 457

4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 227 mod 457

8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 345 mod 457

16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 205 mod 457

32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 438 mod 457

64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 361 mod 457

411104

= 41164+32+8

= 41164⋅41132⋅4118

361 ⋅ 438 ⋅ 345 mod 457
158118 ⋅ 345 mod 457 ≡ 453 ⋅ 345 mod 457
156285 mod 457 ≡ 448 mod 457

Es gilt also: 411104 ≡ 448 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.