Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5998 + 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5998 + 90) mod 3 ≡ (5998 mod 3 + 90 mod 3) mod 3.
5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(5998 + 90) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 97) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 97) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 97) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9098 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 909 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9091=909
2: 9092=9091+1=9091⋅9091 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 716 mod 977
4: 9094=9092+2=9092⋅9092 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 708 mod 977
8: 9098=9094+4=9094⋅9094 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 63 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 113209 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 1131=113
2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 32 mod 271
4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 211 mod 271
8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 77 mod 271
16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 238 mod 271
32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 5 mod 271
64: 11364=11332+32=11332⋅11332 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 271
128: 113128=11364+64=11364⋅11364 ≡ 25⋅25=625 ≡ 83 mod 271
113209
= 113128+64+16+1
= 113128⋅11364⋅11316⋅1131
≡ 83 ⋅ 25 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271
≡ 2075 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271 ≡ 178 ⋅ 238 ⋅ 113 mod 271
≡ 42364 ⋅ 113 mod 271 ≡ 88 ⋅ 113 mod 271
≡ 9944 mod 271 ≡ 188 mod 271
Es gilt also: 113209 ≡ 188 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24
| =>53 | = 2⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -11⋅24
-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24
-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1
(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1
42⋅24 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1
Somit 42⋅24 = 1 mod 53
42 ist also das Inverse von 24 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.