Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 - 23993) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 23993 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

Somit gilt:

(3207 - 23993) mod 8 ≡ (7 - 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 49) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 49) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 503¹=503

2: 503²=503¹⁺¹=503¹⋅503¹ ≡ 503⋅503=253009 ≡ 321 mod 929

4: 503⁴=503²⁺²=503²⋅503² ≡ 321⋅321=103041 ≡ 851 mod 929

8: 503⁸=503⁴⁺⁴=503⁴⋅503⁴ ≡ 851⋅851=724201 ≡ 510 mod 929

16: 503¹⁶=503⁸⁺⁸=503⁸⋅503⁸ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 909 mod 929

32: 503³²=503¹⁶⁺¹⁶=503¹⁶⋅503¹⁶ ≡ 909⋅909=826281 ≡ 400 mod 929

64: 503⁶⁴=503³²⁺³²=503³²⋅503³² ≡ 400⋅400=160000 ≡ 212 mod 929

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

156⁹⁹

= 156^64+32+2+1

= 156⁶⁴⋅156³²⋅156²⋅156¹

≡ 180 ⋅ 258 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461
≡ 46440 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461 ≡ 340 ⋅ 364 ⋅ 156 mod 461
≡ 123760 ⋅ 156 mod 461 ≡ 212 ⋅ 156 mod 461
≡ 33072 mod 461 ≡ 341 mod 461

Es gilt also: 156⁹⁹ ≡ 341 mod 461

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71	= 1⋅55 + 16
=>55	= 3⋅16 + 7
=>16	= 2⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16) = -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55) = 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71