Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (458 + 1800) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(458 + 1800) mod 9 ≡ (458 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.
458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458
= 450
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(458 + 1800) mod 9 ≡ (8 + 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 98) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 98) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 98) mod 9 ≡ (2 ⋅ 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1058 mod 277.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 105 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 222 mod 277
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 255 mod 277
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 207 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396211 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 50 mod 761
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 217 mod 761
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 668 mod 761
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 278 mod 761
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761
396211
= 396128+64+16+2+1
= 396128⋅39664⋅39616⋅3962⋅3961
≡ 465 ⋅ 94 ⋅ 278 ⋅ 50 ⋅ 396 mod 761
≡ 43710 ⋅ 278 ⋅ 50 ⋅ 396 mod 761 ≡ 333 ⋅ 278 ⋅ 50 ⋅ 396 mod 761
≡ 92574 ⋅ 50 ⋅ 396 mod 761 ≡ 493 ⋅ 50 ⋅ 396 mod 761
≡ 24650 ⋅ 396 mod 761 ≡ 298 ⋅ 396 mod 761
≡ 118008 mod 761 ≡ 53 mod 761
Es gilt also: 396211 ≡ 53 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30
| =>97 | = 3⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-3⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -42⋅30
-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30
-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1
(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1
55⋅30 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1
Somit 55⋅30 = 1 mod 97
55 ist also das Inverse von 30 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.