Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 + 163) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 + 163) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163
= 160
Somit gilt:
(12004 + 163) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 60) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3018 mod 491.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 257 mod 491
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 255 mod 491
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 213 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 463218 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 749 mod 971
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 734 mod 971
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 822 mod 971
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 839 mod 971
32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 917 mod 971
64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 917⋅917=840889 ≡ 3 mod 971
128: 463128=46364+64=46364⋅46364 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 971
463218
= 463128+64+16+8+2
= 463128⋅46364⋅46316⋅4638⋅4632
≡ 9 ⋅ 3 ⋅ 839 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
≡ 27 ⋅ 839 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
≡ 22653 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971 ≡ 320 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
≡ 263040 ⋅ 749 mod 971 ≡ 870 ⋅ 749 mod 971
≡ 651630 mod 971 ≡ 89 mod 971
Es gilt also: 463218 ≡ 89 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.