Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (357 - 18006) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(357 - 18006) mod 9 ≡ (357 mod 9 - 18006 mod 9) mod 9.
357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 360
18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
Somit gilt:
(357 - 18006) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 30) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 30) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4938 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 493 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4931=493
2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 52 mod 757
4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 433 mod 757
8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 510 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 364155 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 88 mod 613
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 388 mod 613
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 359 mod 613
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 151 mod 613
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 120 mod 613
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 301 mod 613
128: 364128=36464+64=36464⋅36464 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 490 mod 613
364155
= 364128+16+8+2+1
= 364128⋅36416⋅3648⋅3642⋅3641
≡ 490 ⋅ 151 ⋅ 359 ⋅ 88 ⋅ 364 mod 613
≡ 73990 ⋅ 359 ⋅ 88 ⋅ 364 mod 613 ≡ 430 ⋅ 359 ⋅ 88 ⋅ 364 mod 613
≡ 154370 ⋅ 88 ⋅ 364 mod 613 ≡ 507 ⋅ 88 ⋅ 364 mod 613
≡ 44616 ⋅ 364 mod 613 ≡ 480 ⋅ 364 mod 613
≡ 174720 mod 613 ≡ 15 mod 613
Es gilt also: 364155 ≡ 15 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.