Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(604 - 1805) mod 6 ≡ (604 mod 6 - 1805 mod 6) mod 6.

604 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 604 = 600+4 = 6 ⋅ 100 +4.

1805 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 6 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(604 - 1805) mod 6 ≡ (4 - 5) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 25) mod 7 ≡ (69 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 25) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 328¹=328

2: 328²=328¹⁺¹=328¹⋅328¹ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 265 mod 431

4: 328⁴=328²⁺²=328²⋅328² ≡ 265⋅265=70225 ≡ 403 mod 431

8: 328⁸=328⁴⁺⁴=328⁴⋅328⁴ ≡ 403⋅403=162409 ≡ 353 mod 431

16: 328¹⁶=328⁸⁺⁸=328⁸⋅328⁸ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 50 mod 431

32: 328³²=328¹⁶⁺¹⁶=328¹⁶⋅328¹⁶ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 345 mod 431

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

445²⁵⁵

= 445^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 445¹²⁸⋅445⁶⁴⋅445³²⋅445¹⁶⋅445⁸⋅445⁴⋅445²⋅445¹

≡ 382 ⋅ 456 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 174192 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 349 ⋅ 497 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 173453 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 271 ⋅ 273 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 73983 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 612 ⋅ 70 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 42840 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 536 ⋅ 271 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 145256 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661 ≡ 497 ⋅ 386 ⋅ 445 mod 661
≡ 191842 ⋅ 445 mod 661 ≡ 152 ⋅ 445 mod 661
≡ 67640 mod 661 ≡ 218 mod 661

Es gilt also: 445²⁵⁵ ≡ 218 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61	= 2⋅25 + 11
=>25	= 2⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25) = 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61