Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 + 3996) mod 4 ≡ (200 mod 4 + 3996 mod 4) mod 4.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

Somit gilt:

(200 + 3996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 50) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 50) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 441¹=441

2: 441²=441¹⁺¹=441¹⋅441¹ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 245 mod 991

4: 441⁴=441²⁺²=441²⋅441² ≡ 245⋅245=60025 ≡ 565 mod 991

8: 441⁸=441⁴⁺⁴=441⁴⋅441⁴ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 123 mod 991

16: 441¹⁶=441⁸⁺⁸=441⁸⋅441⁸ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 264 mod 991

32: 441³²=441¹⁶⁺¹⁶=441¹⁶⋅441¹⁶ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 326 mod 991

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

485²⁴³

= 485^{128+64+32+16+2+1}

= 485¹²⁸⋅485⁶⁴⋅485³²⋅485¹⁶⋅485²⋅485¹

≡ 520 ⋅ 365 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 189800 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 81 ⋅ 167 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 13527 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 748 ⋅ 777 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 581196 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983 ≡ 243 ⋅ 288 ⋅ 485 mod 983
≡ 69984 ⋅ 485 mod 983 ≡ 191 ⋅ 485 mod 983
≡ 92635 mod 983 ≡ 233 mod 983

Es gilt also: 485²⁴³ ≡ 233 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72

=>97	= 1⋅72 + 25
=>72	= 2⋅25 + 22
=>25	= 1⋅22 + 3
=>22	= 7⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-7⋅3
3= 25-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22) = 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1)
22= 72-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25) = -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1)
25= 97-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72) = 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72

oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅97 = +31⋅72

Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1

Somit 31⋅72 = 1 mod 97

31 ist also das Inverse von 72 mod 97