Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (360 - 442) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(360 - 442) mod 9 ≡ (360 mod 9 - 442 mod 9) mod 9.

360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360 = 360+0 = 9 ⋅ 40 +0.

442 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 442 = 450-8 = 9 ⋅ 50 -8 = 9 ⋅ 50 - 9 + 1.

Somit gilt:

(360 - 442) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 42) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 42) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 42) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47064 mod 607.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 470 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4701=470

2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 559 mod 607

4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 483 mod 607

8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 201 mod 607

16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 339 mod 607

32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 198 mod 607

64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 356 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323123 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 170 mod 557

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 493 mod 557

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 197 mod 557

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 376 mod 557

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 455 mod 557

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 378 mod 557

323123

= 32364+32+16+8+2+1

= 32364⋅32332⋅32316⋅3238⋅3232⋅3231

378 ⋅ 455 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
171990 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 434 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
163184 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 540 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
106380 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 550 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
93500 ⋅ 323 mod 557 ≡ 481 ⋅ 323 mod 557
155363 mod 557 ≡ 517 mod 557

Es gilt also: 323123 ≡ 517 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101 = 2⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42)
= 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.