Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 24002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 24002) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 24002 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(2997 + 24002) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 96) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 96) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 96 mod 4) mod 4.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 96) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23064 mod 463.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 118 mod 463
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 34 mod 463
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 230 mod 463
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 118 mod 463
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 34 mod 463
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 230 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 305198 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:
198 = 128+64+4+2
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 262 mod 937
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 243 mod 937
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 18 mod 937
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 937
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 32 mod 937
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 87 mod 937
128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 73 mod 937
305198
= 305128+64+4+2
= 305128⋅30564⋅3054⋅3052
≡ 73 ⋅ 87 ⋅ 243 ⋅ 262 mod 937
≡ 6351 ⋅ 243 ⋅ 262 mod 937 ≡ 729 ⋅ 243 ⋅ 262 mod 937
≡ 177147 ⋅ 262 mod 937 ≡ 54 ⋅ 262 mod 937
≡ 14148 mod 937 ≡ 93 mod 937
Es gilt also: 305198 ≡ 93 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48
| =>73 | = 1⋅48 + 25 |
| =>48 | = 1⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 48-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 73-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +35⋅48
Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1
Somit 35⋅48 = 1 mod 73
35 ist also das Inverse von 48 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
