Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3493 + 206) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3493 + 206) mod 7 ≡ (3493 mod 7 + 206 mod 7) mod 7.
3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493
= 3500
206 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 206
= 210
Somit gilt:
(3493 + 206) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 41) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 41) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.
55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 41) mod 11 ≡ (0 ⋅ 8) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14432 mod 457.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 171 mod 457
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 450 mod 457
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457
16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457
32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258193 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 397 mod 521
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 267 mod 521
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 427 mod 521
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 500 mod 521
258193
= 258128+64+1
= 258128⋅25864⋅2581
≡ 500 ⋅ 427 ⋅ 258 mod 521
≡ 213500 ⋅ 258 mod 521 ≡ 411 ⋅ 258 mod 521
≡ 106038 mod 521 ≡ 275 mod 521
Es gilt also: 258193 ≡ 275 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.