Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 + 147) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 + 147) mod 3 ≡ (57 mod 3 + 147 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 3 ⋅ 20 -3 = 3 ⋅ 20 - 3 + 0.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

Somit gilt:

(57 + 147) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 40) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 40) mod 9 ≡ (44 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 40) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67132 mod 919.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 671 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6711=671

2: 6712=6711+1=6711⋅6711 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 850 mod 919

4: 6714=6712+2=6712⋅6712 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 166 mod 919

8: 6718=6714+4=6714⋅6714 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 905 mod 919

16: 67116=6718+8=6718⋅6718 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 196 mod 919

32: 67132=67116+16=67116⋅67116 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 737 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 350252 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 3501=350

2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 104 mod 827

4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 65 mod 827

8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 90 mod 827

16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 657 mod 827

32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 782 mod 827

64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 371 mod 827

128: 350128=35064+64=35064⋅35064 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 359 mod 827

350252

= 350128+64+32+16+8+4

= 350128⋅35064⋅35032⋅35016⋅3508⋅3504

359 ⋅ 371 ⋅ 782 ⋅ 657 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827
133189 ⋅ 782 ⋅ 657 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827 ≡ 42 ⋅ 782 ⋅ 657 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827
32844 ⋅ 657 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827 ≡ 591 ⋅ 657 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827
388287 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827 ≡ 424 ⋅ 90 ⋅ 65 mod 827
38160 ⋅ 65 mod 827 ≡ 118 ⋅ 65 mod 827
7670 mod 827 ≡ 227 mod 827

Es gilt also: 350252 ≡ 227 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89 = 3⋅27 + 8
=>27 = 3⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8)
= 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27)
= -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.