Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15999 - 158) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15999 - 158) mod 4 ≡ (15999 mod 4 - 158 mod 4) mod 4.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 4 ⋅ 40 -2 = 4 ⋅ 40 - 4 + 2.

Somit gilt:

(15999 - 158) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 45) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 45) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 45) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31916 mod 463.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3191=319

2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 364 mod 463

4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 78 mod 463

8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 65 mod 463

16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 58 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82232 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 821=82

2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 34 mod 223

4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 41 mod 223

8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 120 mod 223

16: 8216=828+8=828⋅828 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 128 mod 223

32: 8232=8216+16=8216⋅8216 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 105 mod 223

64: 8264=8232+32=8232⋅8232 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 98 mod 223

128: 82128=8264+64=8264⋅8264 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 15 mod 223

82232

= 82128+64+32+8

= 82128⋅8264⋅8232⋅828

15 ⋅ 98 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223
1470 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223 ≡ 132 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223
13860 ⋅ 120 mod 223 ≡ 34 ⋅ 120 mod 223
4080 mod 223 ≡ 66 mod 223

Es gilt also: 82232 ≡ 66 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53 = 1⋅43 + 10
=>43 = 4⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10)
= -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43)
= 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.