Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 902) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 902) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 902 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
Somit gilt:
(1500 + 902) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 26) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 26) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 26 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 26) mod 11 ≡ (10 ⋅ 4) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59416 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 260 mod 787
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 705 mod 787
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 428 mod 787
16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 600 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 472170 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 4721=472
2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 225 mod 487
4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 464 mod 487
8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 42 mod 487
16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 303 mod 487
32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 253 mod 487
64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 212 mod 487
128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 140 mod 487
472170
= 472128+32+8+2
= 472128⋅47232⋅4728⋅4722
≡ 140 ⋅ 253 ⋅ 42 ⋅ 225 mod 487
≡ 35420 ⋅ 42 ⋅ 225 mod 487 ≡ 356 ⋅ 42 ⋅ 225 mod 487
≡ 14952 ⋅ 225 mod 487 ≡ 342 ⋅ 225 mod 487
≡ 76950 mod 487 ≡ 4 mod 487
Es gilt also: 472170 ≡ 4 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.