Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3497 - 1395) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3497 - 1395) mod 7 ≡ (3497 mod 7 - 1395 mod 7) mod 7.
3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497
= 3500
1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395
= 1400
Somit gilt:
(3497 - 1395) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 99) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 99) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.
63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.
99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 99) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 171128 mod 523.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 476 mod 523
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 117 mod 523
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 91 mod 523
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 436 mod 523
32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 247 mod 523
64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 341 mod 523
128: 171128=17164+64=17164⋅17164 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 175 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 528189 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 5281=528
2: 5282=5281+1=5281⋅5281 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 590 mod 641
4: 5284=5282+2=5282⋅5282 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 37 mod 641
8: 5288=5284+4=5284⋅5284 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 87 mod 641
16: 52816=5288+8=5288⋅5288 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 518 mod 641
32: 52832=52816+16=52816⋅52816 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 386 mod 641
64: 52864=52832+32=52832⋅52832 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 284 mod 641
128: 528128=52864+64=52864⋅52864 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 531 mod 641
528189
= 528128+32+16+8+4+1
= 528128⋅52832⋅52816⋅5288⋅5284⋅5281
≡ 531 ⋅ 386 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 204966 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 487 ⋅ 518 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 252266 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 353 ⋅ 87 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 30711 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641 ≡ 584 ⋅ 37 ⋅ 528 mod 641
≡ 21608 ⋅ 528 mod 641 ≡ 455 ⋅ 528 mod 641
≡ 240240 mod 641 ≡ 506 mod 641
Es gilt also: 528189 ≡ 506 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
