Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 + 40002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 + 40002) mod 8 ≡ (8004 mod 8 + 40002 mod 8) mod 8.
8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002
= 40000
Somit gilt:
(8004 + 40002) mod 8 ≡ (4 + 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 38) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 38) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 38 mod 4) mod 4.
99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 38) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63264 mod 641.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 632 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6321=632
2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 81 mod 641
4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 151 mod 641
8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 366 mod 641
16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 628 mod 641
32: 63232=63216+16=63216⋅63216 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
64: 63264=63232+32=63232⋅63232 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 854148 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 8541=854
2: 8542=8541+1=8541⋅8541 ≡ 854⋅854=729316 ≡ 95 mod 971
4: 8544=8542+2=8542⋅8542 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 286 mod 971
8: 8548=8544+4=8544⋅8544 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 232 mod 971
16: 85416=8548+8=8548⋅8548 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 419 mod 971
32: 85432=85416+16=85416⋅85416 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 781 mod 971
64: 85464=85432+32=85432⋅85432 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 173 mod 971
128: 854128=85464+64=85464⋅85464 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 799 mod 971
854148
= 854128+16+4
= 854128⋅85416⋅8544
≡ 799 ⋅ 419 ⋅ 286 mod 971
≡ 334781 ⋅ 286 mod 971 ≡ 757 ⋅ 286 mod 971
≡ 216502 mod 971 ≡ 940 mod 971
Es gilt also: 854148 ≡ 940 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37
| =>53 | = 1⋅37 + 16 |
| =>37 | = 2⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 37-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1) |
| 16= 53-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37
oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅53 = -10⋅37
-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37
-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1
(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1
43⋅37 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1
Somit 43⋅37 = 1 mod 53
43 ist also das Inverse von 37 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.