Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19996 + 8001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19996 + 8001) mod 4 ≡ (19996 mod 4 + 8001 mod 4) mod 4.
19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996
= 19000
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
Somit gilt:
(19996 + 8001) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 76) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 76) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29964 mod 353.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 299 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 92 mod 353
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 345 mod 353
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 64 mod 353
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 213 mod 353
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 185 mod 353
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 555133 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 5551=555
2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 299 mod 613
4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 516 mod 613
8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613
16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613
32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613
64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613
128: 555128=55564+64=55564⋅55564 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 257 mod 613
555133
= 555128+4+1
= 555128⋅5554⋅5551
≡ 257 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613
≡ 132612 ⋅ 555 mod 613 ≡ 204 ⋅ 555 mod 613
≡ 113220 mod 613 ≡ 428 mod 613
Es gilt also: 555133 ≡ 428 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.