Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23995 - 30006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 30006) mod 6 ≡ (23995 mod 6 - 30006 mod 6) mod 6.

23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 24000-5 = 6 ⋅ 4000 -5 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 1.

30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006 = 30000+6 = 6 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(23995 - 30006) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 99) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 99) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 99) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78632 mod 911.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 786 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7861=786

2: 7862=7861+1=7861⋅7861 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 138 mod 911

4: 7864=7862+2=7862⋅7862 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 824 mod 911

8: 7868=7864+4=7864⋅7864 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 281 mod 911

16: 78616=7868+8=7868⋅7868 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 615 mod 911

32: 78632=78616+16=78616⋅78616 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 160 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425199 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 247 mod 911

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 883 mod 911

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 784 mod 911

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 642 mod 911

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 392 mod 911

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 616 mod 911

128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 480 mod 911

425199

= 425128+64+4+2+1

= 425128⋅42564⋅4254⋅4252⋅4251

480 ⋅ 616 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
295680 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911 ≡ 516 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
455628 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911 ≡ 128 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
31616 ⋅ 425 mod 911 ≡ 642 ⋅ 425 mod 911
272850 mod 911 ≡ 461 mod 911

Es gilt also: 425199 ≡ 461 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59 = 1⋅31 + 28
=>31 = 1⋅28 + 3
=>28 = 9⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28)
= -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31)
= 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.