Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12002 - 88) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12002 - 88) mod 3 ≡ (12002 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

Somit gilt:

(12002 - 88) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 32) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 32) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 32) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6388 mod 991.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 638 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6381=638

2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 734 mod 991

4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 643 mod 991

8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 202 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 372205 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 235 mod 661

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 362 mod 661

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 166 mod 661

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 455 mod 661

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 132 mod 661

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 238 mod 661

128: 372128=37264+64=37264⋅37264 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 459 mod 661

372205

= 372128+64+8+4+1

= 372128⋅37264⋅3728⋅3724⋅3721

459 ⋅ 238 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
109242 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661 ≡ 177 ⋅ 166 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
29382 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661 ≡ 298 ⋅ 362 ⋅ 372 mod 661
107876 ⋅ 372 mod 661 ≡ 133 ⋅ 372 mod 661
49476 mod 661 ≡ 562 mod 661

Es gilt also: 372205 ≡ 562 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.