Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (401 - 247) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 247) mod 8 ≡ (401 mod 8 - 247 mod 8) mod 8.

401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 8 ⋅ 50 +1.

247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247 = 240+7 = 8 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(401 - 247) mod 8 ≡ (1 - 7) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 50) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 50) mod 9 ≡ (78 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.

78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 50) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 90516 mod 997.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 905 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9051=905

2: 9052=9051+1=9051⋅9051 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 488 mod 997

4: 9054=9052+2=9052⋅9052 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 858 mod 997

8: 9058=9054+4=9054⋅9054 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 378 mod 997

16: 90516=9058+8=9058⋅9058 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 313 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19684 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 1961=196

2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 430 mod 487

4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 327 mod 487

8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 276 mod 487

16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 204 mod 487

32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 221 mod 487

64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 141 mod 487

19684

= 19664+16+4

= 19664⋅19616⋅1964

141 ⋅ 204 ⋅ 327 mod 487
28764 ⋅ 327 mod 487 ≡ 31 ⋅ 327 mod 487
10137 mod 487 ≡ 397 mod 487

Es gilt also: 19684 ≡ 397 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59 = 1⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38)
= -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.