Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 + 3994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 + 3994) mod 8 ≡ (87 mod 8 + 3994 mod 8) mod 8.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 80
3994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3994
= 4000
Somit gilt:
(87 + 3994) mod 8 ≡ (7 + 2) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 37) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 37) mod 5 ≡ (80 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.
80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 37) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37832 mod 467.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 378 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 449 mod 467
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 324 mod 467
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 368 mod 467
16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 461 mod 467
32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 36 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12579 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 60 mod 283
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 204 mod 283
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 15 mod 283
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 283
32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 251 mod 283
64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 175 mod 283
12579
= 12564+8+4+2+1
= 12564⋅1258⋅1254⋅1252⋅1251
≡ 175 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 2625 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 78 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 15912 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 64 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 3840 ⋅ 125 mod 283 ≡ 161 ⋅ 125 mod 283
≡ 20125 mod 283 ≡ 32 mod 283
Es gilt also: 12579 ≡ 32 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52
| =>79 | = 1⋅52 + 27 |
| =>52 | = 1⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 52-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1) |
| 27= 79-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52
oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅79 = +38⋅52
Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1
Somit 38⋅52 = 1 mod 79
38 ist also das Inverse von 52 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.