Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 - 351) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 - 351) mod 7 ≡ (70 mod 7 - 351 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
Somit gilt:
(70 - 351) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 59) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 59) mod 6 ≡ (43 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.
43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.
59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 59) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5468 mod 571.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 546 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5461=546
2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 54 mod 571
4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 61 mod 571
8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 295 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 645143 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 6451=645
2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 720 mod 839
4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 737 mod 839
8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 336 mod 839
16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 470 mod 839
32: 64532=64516+16=64516⋅64516 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 243 mod 839
64: 64564=64532+32=64532⋅64532 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 319 mod 839
128: 645128=64564+64=64564⋅64564 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 242 mod 839
645143
= 645128+8+4+2+1
= 645128⋅6458⋅6454⋅6452⋅6451
≡ 242 ⋅ 336 ⋅ 737 ⋅ 720 ⋅ 645 mod 839
≡ 81312 ⋅ 737 ⋅ 720 ⋅ 645 mod 839 ≡ 768 ⋅ 737 ⋅ 720 ⋅ 645 mod 839
≡ 566016 ⋅ 720 ⋅ 645 mod 839 ≡ 530 ⋅ 720 ⋅ 645 mod 839
≡ 381600 ⋅ 645 mod 839 ≡ 694 ⋅ 645 mod 839
≡ 447630 mod 839 ≡ 443 mod 839
Es gilt also: 645143 ≡ 443 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.