Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (805 - 3199) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(805 - 3199) mod 8 ≡ (805 mod 8 - 3199 mod 8) mod 8.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199 = 3200-1 = 8 ⋅ 400 -1 = 8 ⋅ 400 - 8 + 7.

Somit gilt:

(805 - 3199) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 32) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 32) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 32) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13616 mod 409.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 136 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1361=136

2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 91 mod 409

4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 101 mod 409

8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409

16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 79252 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 791=79

2: 792=791+1=791⋅791 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 122 mod 211

4: 794=792+2=792⋅792 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 114 mod 211

8: 798=794+4=794⋅794 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211

16: 7916=798+8=798⋅798 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211

32: 7932=7916+16=7916⋅7916 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 211

64: 7964=7932+32=7932⋅7932 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 82 mod 211

128: 79128=7964+64=7964⋅7964 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211

79252

= 79128+64+32+16+8+4

= 79128⋅7964⋅7932⋅7916⋅798⋅794

183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
15006 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 25 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
3025 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 71 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
781 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 148 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
18500 ⋅ 114 mod 211 ≡ 143 ⋅ 114 mod 211
16302 mod 211 ≡ 55 mod 211

Es gilt also: 79252 ≡ 55 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83 = 1⋅79 + 4
=>79 = 19⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4)
= -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79)
= 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.