Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14001 + 14007) mod 7 ≡ (14001 mod 7 + 14007 mod 7) mod 7.

14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001 = 14000+1 = 7 ⋅ 2000 +1.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(14001 + 14007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 46) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 46) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 253¹=253

2: 253²=253¹⁺¹=253¹⋅253¹ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 354 mod 439

4: 253⁴=253²⁺²=253²⋅253² ≡ 354⋅354=125316 ≡ 201 mod 439

8: 253⁸=253⁴⁺⁴=253⁴⋅253⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 13 mod 439

16: 253¹⁶=253⁸⁺⁸=253⁸⋅253⁸ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 439

32: 253³²=253¹⁶⁺¹⁶=253¹⁶⋅253¹⁶ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 26 mod 439

64: 253⁶⁴=253³²⁺³²=253³²⋅253³² ≡ 26⋅26=676 ≡ 237 mod 439

128: 253¹²⁸=253⁶⁴⁺⁶⁴=253⁶⁴⋅253⁶⁴ ≡ 237⋅237=56169 ≡ 416 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

430⁷⁸

= 430^64+8+4+2

= 430⁶⁴⋅430⁸⋅430⁴⋅430²

≡ 585 ⋅ 190 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613
≡ 111150 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613 ≡ 197 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613
≡ 38809 ⋅ 387 mod 613 ≡ 190 ⋅ 387 mod 613
≡ 73530 mod 613 ≡ 583 mod 613

Es gilt also: 430⁷⁸ ≡ 583 mod 613

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83