Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2704 - 4508) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2704 - 4508) mod 9 ≡ (2704 mod 9 - 4508 mod 9) mod 9.
2704 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2704
= 2700
4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508
= 4500
Somit gilt:
(2704 - 4508) mod 9 ≡ (4 - 8) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 87) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 87) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 87 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 87) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24064 mod 257.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 32 mod 257
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71150 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 711=71
2: 712=711+1=711⋅711 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 3 mod 229
4: 714=712+2=712⋅712 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229
8: 718=714+4=714⋅714 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229
16: 7116=718+8=718⋅718 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229
32: 7132=7116+16=7116⋅7116 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
64: 7164=7132+32=7132⋅7132 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229
128: 71128=7164+64=7164⋅7164 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229
71150
= 71128+16+4+2
= 71128⋅7116⋅714⋅712
≡ 126 ⋅ 149 ⋅ 9 ⋅ 3 mod 229
≡ 18774 ⋅ 9 ⋅ 3 mod 229 ≡ 225 ⋅ 9 ⋅ 3 mod 229
≡ 2025 ⋅ 3 mod 229 ≡ 193 ⋅ 3 mod 229
≡ 579 mod 229 ≡ 121 mod 229
Es gilt also: 71150 ≡ 121 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41
| =>79 | = 1⋅41 + 38 |
| =>41 | = 1⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 41-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1) |
| 38= 79-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41
oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅79 = +27⋅41
Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1
Somit 27⋅41 = 1 mod 79
27 ist also das Inverse von 41 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.