Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (275 + 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(275 + 96) mod 9 ≡ (275 mod 9 + 96 mod 9) mod 9.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(275 + 96) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 90) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 90) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 90) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 433128 mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 2 mod 599

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 599

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 599

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 599

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 245 mod 599

64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 125 mod 599

128: 433128=43364+64=43364⋅43364 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 51 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 270183 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 67 mod 421

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 279 mod 421

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 377 mod 421

16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 252 mod 421

32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 354 mod 421

64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 279 mod 421

128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 377 mod 421

270183

= 270128+32+16+4+2+1

= 270128⋅27032⋅27016⋅2704⋅2702⋅2701

377 ⋅ 354 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
133458 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421 ≡ 1 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
252 ⋅ 279 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
70308 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421 ≡ 1 ⋅ 67 ⋅ 270 mod 421
67 ⋅ 270 mod 421
18090 mod 421 ≡ 408 mod 421

Es gilt also: 270183 ≡ 408 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59

=>89 = 1⋅59 + 30
=>59 = 1⋅30 + 29
=>30 = 1⋅29 + 1
=>29 = 29⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 30-1⋅29
29= 59-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30)
= -1⋅59 +2⋅ 30 (=1)
30= 89-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59)
= 2⋅89 -3⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59

oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅89 = -3⋅59

-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59

-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1

(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1

86⋅59 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1

Somit 86⋅59 = 1 mod 89

86 ist also das Inverse von 59 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.