Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3002 + 12002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3002 + 12002) mod 3 ≡ (3002 mod 3 + 12002 mod 3) mod 3.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(3002 + 12002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 46) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 46) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.

51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 46) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60532 mod 937.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 605 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6051=605

2: 6052=6051+1=6051⋅6051 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 595 mod 937

4: 6054=6052+2=6052⋅6052 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 776 mod 937

8: 6058=6054+4=6054⋅6054 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 622 mod 937

16: 60516=6058+8=6058⋅6058 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937

32: 60532=60516+16=60516⋅60516 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 39 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45597 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:

97 = 64+32+1

1: 4551=455

2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 416 mod 691

4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 306 mod 691

8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 351 mod 691

16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 203 mod 691

32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 440 mod 691

64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 120 mod 691

45597

= 45564+32+1

= 45564⋅45532⋅4551

120 ⋅ 440 ⋅ 455 mod 691
52800 ⋅ 455 mod 691 ≡ 284 ⋅ 455 mod 691
129220 mod 691 ≡ 3 mod 691

Es gilt also: 45597 ≡ 3 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89 = 1⋅46 + 43
=>46 = 1⋅43 + 3
=>43 = 14⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43)
= -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46)
= 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.