Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24001 + 239) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24001 + 239) mod 8 ≡ (24001 mod 8 + 239 mod 8) mod 8.
24001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001
= 24000
239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(24001 + 239) mod 8 ≡ (1 + 7) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 39) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 39) mod 9 ≡ (39 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.
39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.
39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 39) mod 9 ≡ (3 ⋅ 3) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41216 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 412 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4121=412
2: 4122=4121+1=4121⋅4121 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 419 mod 521
4: 4124=4122+2=4122⋅4122 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 505 mod 521
8: 4128=4124+4=4124⋅4124 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 256 mod 521
16: 41216=4128+8=4128⋅4128 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 411 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 637232 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 6371=637
2: 6372=6371+1=6371⋅6371 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 195 mod 821
4: 6374=6372+2=6372⋅6372 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 259 mod 821
8: 6378=6374+4=6374⋅6374 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 580 mod 821
16: 63716=6378+8=6378⋅6378 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 611 mod 821
32: 63732=63716+16=63716⋅63716 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 587 mod 821
64: 63764=63732+32=63732⋅63732 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 570 mod 821
128: 637128=63764+64=63764⋅63764 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 605 mod 821
637232
= 637128+64+32+8
= 637128⋅63764⋅63732⋅6378
≡ 605 ⋅ 570 ⋅ 587 ⋅ 580 mod 821
≡ 344850 ⋅ 587 ⋅ 580 mod 821 ≡ 30 ⋅ 587 ⋅ 580 mod 821
≡ 17610 ⋅ 580 mod 821 ≡ 369 ⋅ 580 mod 821
≡ 214020 mod 821 ≡ 560 mod 821
Es gilt also: 637232 ≡ 560 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.