Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (296 + 3006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(296 + 3006) mod 6 ≡ (296 mod 6 + 3006 mod 6) mod 6.
296 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 296
= 300
3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006
= 3000
Somit gilt:
(296 + 3006) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 59) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 59) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 59) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3278 mod 593.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 189 mod 593
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 141 mod 593
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 312 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46877 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 822 mod 887
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 677 mod 887
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 637 mod 887
16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 410 mod 887
32: 46832=46816+16=46816⋅46816 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 457 mod 887
64: 46864=46832+32=46832⋅46832 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 404 mod 887
46877
= 46864+8+4+1
= 46864⋅4688⋅4684⋅4681
≡ 404 ⋅ 637 ⋅ 677 ⋅ 468 mod 887
≡ 257348 ⋅ 677 ⋅ 468 mod 887 ≡ 118 ⋅ 677 ⋅ 468 mod 887
≡ 79886 ⋅ 468 mod 887 ≡ 56 ⋅ 468 mod 887
≡ 26208 mod 887 ≡ 485 mod 887
Es gilt also: 46877 ≡ 485 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.