Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1602 + 7995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1602 + 7995) mod 8 ≡ (1602 mod 8 + 7995 mod 8) mod 8.
1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995
= 7000
Somit gilt:
(1602 + 7995) mod 8 ≡ (2 + 3) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 34) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 34) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 34 mod 8) mod 8.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 34) mod 8 ≡ (7 ⋅ 2) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 99128 mod 271.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 99 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 991=99
2: 992=991+1=991⋅991 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 45 mod 271
4: 994=992+2=992⋅992 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271
8: 998=994+4=994⋅994 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 124 mod 271
16: 9916=998+8=998⋅998 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 200 mod 271
32: 9932=9916+16=9916⋅9916 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 163 mod 271
64: 9964=9932+32=9932⋅9932 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 11 mod 271
128: 99128=9964+64=9964⋅9964 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15495 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:
95 = 64+16+8+4+2+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 227 mod 283
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 23 mod 283
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 23⋅23=529 ≡ 246 mod 283
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 237 mod 283
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 135 mod 283
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 113 mod 283
15495
= 15464+16+8+4+2+1
= 15464⋅15416⋅1548⋅1544⋅1542⋅1541
≡ 113 ⋅ 237 ⋅ 246 ⋅ 23 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283
≡ 26781 ⋅ 246 ⋅ 23 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283 ≡ 179 ⋅ 246 ⋅ 23 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283
≡ 44034 ⋅ 23 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283 ≡ 169 ⋅ 23 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283
≡ 3887 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283 ≡ 208 ⋅ 227 ⋅ 154 mod 283
≡ 47216 ⋅ 154 mod 283 ≡ 238 ⋅ 154 mod 283
≡ 36652 mod 283 ≡ 145 mod 283
Es gilt also: 15495 ≡ 145 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63
| =>79 | = 1⋅63 + 16 |
| =>63 | = 3⋅16 + 15 |
| =>16 | = 1⋅15 + 1 |
| =>15 | = 15⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-1⋅15 | |||
| 15= 63-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16) = -1⋅63 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 79-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63) = 4⋅79 -5⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -5⋅63
-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63
-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1
(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1
74⋅63 = 59⋅79 + 1
Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1
Somit 74⋅63 = 1 mod 79
74 ist also das Inverse von 63 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
