Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 - 602) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 - 602) mod 6 ≡ (12004 mod 6 - 602 mod 6) mod 6.

12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 6 ⋅ 2000 +4.

602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602 = 600+2 = 6 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(12004 - 602) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 41) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 41) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 41) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 80532 mod 829.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 805 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8051=805

2: 8052=8051+1=8051⋅8051 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 576 mod 829

4: 8054=8052+2=8052⋅8052 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 176 mod 829

8: 8058=8054+4=8054⋅8054 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 303 mod 829

16: 80516=8058+8=8058⋅8058 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 619 mod 829

32: 80532=80516+16=80516⋅80516 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 163 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 631224 mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 6311=631

2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 421 mod 947

4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 152 mod 947

8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 376 mod 947

16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 273 mod 947

32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 663 mod 947

64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 161 mod 947

128: 631128=63164+64=63164⋅63164 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 352 mod 947

631224

= 631128+64+32

= 631128⋅63164⋅63132

352 ⋅ 161 ⋅ 663 mod 947
56672 ⋅ 663 mod 947 ≡ 799 ⋅ 663 mod 947
529737 mod 947 ≡ 364 mod 947

Es gilt also: 631224 ≡ 364 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89 = 2⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36)
= 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.