Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1498 - 1505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1498 - 1505) mod 5 ≡ (1498 mod 5 - 1505 mod 5) mod 5.
1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1400
1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505
= 1500
Somit gilt:
(1498 - 1505) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 56) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 56) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76932 mod 1009.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 769 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7691=769
2: 7692=7691+1=7691⋅7691 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 87 mod 1009
4: 7694=7692+2=7692⋅7692 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 506 mod 1009
8: 7698=7694+4=7694⋅7694 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009
16: 76916=7698+8=7698⋅7698 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 951 mod 1009
32: 76932=76916+16=76916⋅76916 ≡ 951⋅951=904401 ≡ 337 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 324131 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 226 mod 419
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 377 mod 419
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 88 mod 419
16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 202 mod 419
32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 161 mod 419
64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 362 mod 419
128: 324128=32464+64=32464⋅32464 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 316 mod 419
324131
= 324128+2+1
= 324128⋅3242⋅3241
≡ 316 ⋅ 226 ⋅ 324 mod 419
≡ 71416 ⋅ 324 mod 419 ≡ 186 ⋅ 324 mod 419
≡ 60264 mod 419 ≡ 347 mod 419
Es gilt also: 324131 ≡ 347 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75
| =>89 | = 1⋅75 + 14 |
| =>75 | = 5⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 75-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 89-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75
oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅89 = +19⋅75
Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1
Somit 19⋅75 = 1 mod 89
19 ist also das Inverse von 75 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.