Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3497 + 207) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3497 + 207) mod 7 ≡ (3497 mod 7 + 207 mod 7) mod 7.
3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497
= 3500
207 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 207
= 210
Somit gilt:
(3497 + 207) mod 7 ≡ (4 + 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 26) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 26) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 26 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 26) mod 8 ≡ (4 ⋅ 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13432 mod 281.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 134 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 253 mod 281
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 222 mod 281
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 109 mod 281
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 355201 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 379 mod 487
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 463 mod 487
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 89 mod 487
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 129 mod 487
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 83 mod 487
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 71 mod 487
128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 171 mod 487
355201
= 355128+64+8+1
= 355128⋅35564⋅3558⋅3551
≡ 171 ⋅ 71 ⋅ 89 ⋅ 355 mod 487
≡ 12141 ⋅ 89 ⋅ 355 mod 487 ≡ 453 ⋅ 89 ⋅ 355 mod 487
≡ 40317 ⋅ 355 mod 487 ≡ 383 ⋅ 355 mod 487
≡ 135965 mod 487 ≡ 92 mod 487
Es gilt also: 355201 ≡ 92 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62
| =>67 | = 1⋅62 + 5 |
| =>62 | = 12⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 62-12⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5) = -2⋅62 +25⋅ 5 (=1) |
| 5= 67-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62) = 25⋅67 -27⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -27⋅62
-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62
-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1
(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1
40⋅62 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1
Somit 40⋅62 = 1 mod 67
40 ist also das Inverse von 62 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.