Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (117 - 19998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(117 - 19998) mod 4 ≡ (117 mod 4 - 19998 mod 4) mod 4.

117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 4 ⋅ 30 -3 = 4 ⋅ 30 - 4 + 1.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

Somit gilt:

(117 - 19998) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 16) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 16) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 16) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25416 mod 269.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 254 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2541=254

2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 225 mod 269

4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 53 mod 269

8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269

16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 491177 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 457 mod 557

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 531 mod 557

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 119 mod 557

16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 236 mod 557

32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 553 mod 557

64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 16 mod 557

128: 491128=49164+64=49164⋅49164 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 557

491177

= 491128+32+16+1

= 491128⋅49132⋅49116⋅4911

256 ⋅ 553 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557
141568 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557 ≡ 90 ⋅ 236 ⋅ 491 mod 557
21240 ⋅ 491 mod 557 ≡ 74 ⋅ 491 mod 557
36334 mod 557 ≡ 129 mod 557

Es gilt also: 491177 ≡ 129 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47

=>53 = 1⋅47 + 6
=>47 = 7⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 47-7⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6)
= -1⋅47 +8⋅ 6 (=1)
6= 53-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47)
= 8⋅53 -9⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47

oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅53 = -9⋅47

-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47

-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1

(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1

44⋅47 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1

Somit 44⋅47 = 1 mod 53

44 ist also das Inverse von 47 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.