Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 + 1797) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 + 1797) mod 6 ≡ (56 mod 6 + 1797 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56
= 60
1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797
= 1800
Somit gilt:
(56 + 1797) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 33) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 33) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 33) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31616 mod 421.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 316 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 79 mod 421
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 347 mod 421
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 3 mod 421
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 305192 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 667 mod 733
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 691 mod 733
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 298 mod 733
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 111 mod 733
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 593 mod 733
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 542 mod 733
128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 564 mod 733
305192
= 305128+64
= 305128⋅30564
≡ 564 ⋅ 542 mod 733
≡ 305688 mod 733 ≡ 27 mod 733
Es gilt also: 305192 ≡ 27 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.