Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (404 + 1999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(404 + 1999) mod 4 ≡ (404 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.
404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(404 + 1999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 67) mod 5 ≡ (37 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 67) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21632 mod 313.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 19 mod 313
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 19⋅19=361 ≡ 48 mod 313
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57367 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 5731=573
2: 5732=5731+1=5731⋅5731 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 667 mod 947
4: 5734=5732+2=5732⋅5732 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 746 mod 947
8: 5738=5734+4=5734⋅5734 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 627 mod 947
16: 57316=5738+8=5738⋅5738 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 124 mod 947
32: 57332=57316+16=57316⋅57316 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 224 mod 947
64: 57364=57332+32=57332⋅57332 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 932 mod 947
57367
= 57364+2+1
= 57364⋅5732⋅5731
≡ 932 ⋅ 667 ⋅ 573 mod 947
≡ 621644 ⋅ 573 mod 947 ≡ 412 ⋅ 573 mod 947
≡ 236076 mod 947 ≡ 273 mod 947
Es gilt also: 57367 ≡ 273 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.