Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 + 3500) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 + 3500) mod 7 ≡ (70 mod 7 + 3500 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(70 + 3500) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 90) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 90) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.

64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.

90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 90) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20716 mod 271.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2071=207

2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 31 mod 271

4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271

8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 224 mod 271

16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 41 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 356113 mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:

113 = 64+32+16+1

1: 3561=356

2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 373 mod 577

4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 72 mod 577

8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 568 mod 577

16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 81 mod 577

32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577

64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577

356113

= 35664+32+16+1

= 35664⋅35632⋅35616⋅3561

213 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577
45582 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577 ≡ 576 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577
46656 ⋅ 356 mod 577 ≡ 496 ⋅ 356 mod 577
176576 mod 577 ≡ 14 mod 577

Es gilt also: 356113 ≡ 14 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.