Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3002 + 12002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3002 + 12002) mod 3 ≡ (3002 mod 3 + 12002 mod 3) mod 3.
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(3002 + 12002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 46) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 46) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.
51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 46) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60532 mod 937.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 605 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6051=605
2: 6052=6051+1=6051⋅6051 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 595 mod 937
4: 6054=6052+2=6052⋅6052 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 776 mod 937
8: 6058=6054+4=6054⋅6054 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 622 mod 937
16: 60516=6058+8=6058⋅6058 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 840 mod 937
32: 60532=60516+16=60516⋅60516 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 39 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45597 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 4551=455
2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 416 mod 691
4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 306 mod 691
8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 351 mod 691
16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 203 mod 691
32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 440 mod 691
64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 120 mod 691
45597
= 45564+32+1
= 45564⋅45532⋅4551
≡ 120 ⋅ 440 ⋅ 455 mod 691
≡ 52800 ⋅ 455 mod 691 ≡ 284 ⋅ 455 mod 691
≡ 129220 mod 691 ≡ 3 mod 691
Es gilt also: 45597 ≡ 3 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.