Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(603 + 29) mod 3 ≡ (603 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

Somit gilt:

(603 + 29) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 99) mod 4 ≡ (20 mod 4 ⋅ 99 mod 4) mod 4.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 99) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 369¹=369

2: 369²=369¹⁺¹=369¹⋅369¹ ≡ 369⋅369=136161 ≡ 755 mod 857

4: 369⁴=369²⁺²=369²⋅369² ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857

8: 369⁸=369⁴⁺⁴=369⁴⋅369⁴ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 688 mod 857

16: 369¹⁶=369⁸⁺⁸=369⁸⋅369⁸ ≡ 688⋅688=473344 ≡ 280 mod 857

32: 369³²=369¹⁶⁺¹⁶=369¹⁶⋅369¹⁶ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 413 mod 857

64: 369⁶⁴=369³²⁺³²=369³²⋅369³² ≡ 413⋅413=170569 ≡ 26 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

520²³¹

= 520^{128+64+32+4+2+1}

= 520¹²⁸⋅520⁶⁴⋅520³²⋅520⁴⋅520²⋅520¹

≡ 182 ⋅ 225 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 40950 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 181 ⋅ 676 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 122356 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 49 ⋅ 282 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 13818 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691 ≡ 689 ⋅ 219 ⋅ 520 mod 691
≡ 150891 ⋅ 520 mod 691 ≡ 253 ⋅ 520 mod 691
≡ 131560 mod 691 ≡ 270 mod 691

Es gilt also: 520²³¹ ≡ 270 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67	= 1⋅46 + 21
=>46	= 2⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46) = -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67