Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 + 1601) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 + 1601) mod 8 ≡ (401 mod 8 + 1601 mod 8) mod 8.
401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
Somit gilt:
(401 + 1601) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 21) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 21) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5638 mod 683.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 563 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 57 mod 683
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 517 mod 683
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 236 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 303188 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 320 mod 479
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 373 mod 479
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 219 mod 479
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 61 mod 479
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 368 mod 479
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 346 mod 479
128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 445 mod 479
303188
= 303128+32+16+8+4
= 303128⋅30332⋅30316⋅3038⋅3034
≡ 445 ⋅ 368 ⋅ 61 ⋅ 219 ⋅ 373 mod 479
≡ 163760 ⋅ 61 ⋅ 219 ⋅ 373 mod 479 ≡ 421 ⋅ 61 ⋅ 219 ⋅ 373 mod 479
≡ 25681 ⋅ 219 ⋅ 373 mod 479 ≡ 294 ⋅ 219 ⋅ 373 mod 479
≡ 64386 ⋅ 373 mod 479 ≡ 200 ⋅ 373 mod 479
≡ 74600 mod 479 ≡ 355 mod 479
Es gilt also: 303188 ≡ 355 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50
| =>67 | = 1⋅50 + 17 |
| =>50 | = 2⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 50-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -4⋅50
-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50
-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1
(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1
63⋅50 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1
Somit 63⋅50 = 1 mod 67
63 ist also das Inverse von 50 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.