Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (179 - 1809) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(179 - 1809) mod 9 ≡ (179 mod 9 - 1809 mod 9) mod 9.
179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179
= 180
1809 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1809
= 1800
Somit gilt:
(179 - 1809) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 25) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 25) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 25) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18732 mod 257.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 17 mod 257
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 509108 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 558 mod 617
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 396 mod 617
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 98 mod 617
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617
32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 252 mod 617
64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 570 mod 617
509108
= 50964+32+8+4
= 50964⋅50932⋅5098⋅5094
≡ 570 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617
≡ 143640 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617 ≡ 496 ⋅ 98 ⋅ 396 mod 617
≡ 48608 ⋅ 396 mod 617 ≡ 482 ⋅ 396 mod 617
≡ 190872 mod 617 ≡ 219 mod 617
Es gilt also: 509108 ≡ 219 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.