Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 - 16003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 - 16003) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 16003 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43
= 40
16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
Somit gilt:
(43 - 16003) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 28) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4668 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 466 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4661=466
2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 154 mod 613
4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 422 mod 613
8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 314 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 563166 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 659 mod 673
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 196 mod 673
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 55 mod 673
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673
32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673
64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673
128: 563128=56364+64=56364⋅56364 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673
563166
= 563128+32+4+2
= 563128⋅56332⋅5634⋅5632
≡ 223 ⋅ 517 ⋅ 196 ⋅ 659 mod 673
≡ 115291 ⋅ 196 ⋅ 659 mod 673 ≡ 208 ⋅ 196 ⋅ 659 mod 673
≡ 40768 ⋅ 659 mod 673 ≡ 388 ⋅ 659 mod 673
≡ 255692 mod 673 ≡ 625 mod 673
Es gilt also: 563166 ≡ 625 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.