Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14001 + 14007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14001 + 14007) mod 7 ≡ (14001 mod 7 + 14007 mod 7) mod 7.
14001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14001
= 14000
14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007
= 14000
Somit gilt:
(14001 + 14007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 46) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 46) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 46) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253128 mod 439.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 253 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 354 mod 439
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 201 mod 439
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 13 mod 439
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 439
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 26 mod 439
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 26⋅26=676 ≡ 237 mod 439
128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 416 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43078 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 387 mod 613
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 197 mod 613
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 190 mod 613
16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 546 mod 613
32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 198 mod 613
64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 585 mod 613
43078
= 43064+8+4+2
= 43064⋅4308⋅4304⋅4302
≡ 585 ⋅ 190 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613
≡ 111150 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613 ≡ 197 ⋅ 197 ⋅ 387 mod 613
≡ 38809 ⋅ 387 mod 613 ≡ 190 ⋅ 387 mod 613
≡ 73530 mod 613 ≡ 583 mod 613
Es gilt also: 43078 ≡ 583 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
