Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 - 26994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 - 26994) mod 9 ≡ (96 mod 9 - 26994 mod 9) mod 9.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96
= 90
26994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26994
= 27000
Somit gilt:
(96 - 26994) mod 9 ≡ (6 - 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 50) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 50) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 93632 mod 947.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 936 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9361=936
2: 9362=9361+1=9361⋅9361 ≡ 936⋅936=876096 ≡ 121 mod 947
4: 9364=9362+2=9362⋅9362 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 436 mod 947
8: 9368=9364+4=9364⋅9364 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 696 mod 947
16: 93616=9368+8=9368⋅9368 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 499 mod 947
32: 93632=93616+16=93616⋅93616 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 887 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 120103 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 273 mod 277
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277
32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277
64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277
120103
= 12064+32+4+2+1
= 12064⋅12032⋅1204⋅1202⋅1201
≡ 175 ⋅ 27 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 120 mod 277
≡ 4725 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 120 mod 277 ≡ 16 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 120 mod 277
≡ 256 ⋅ 273 ⋅ 120 mod 277
≡ 69888 ⋅ 120 mod 277 ≡ 84 ⋅ 120 mod 277
≡ 10080 mod 277 ≡ 108 mod 277
Es gilt also: 120103 ≡ 108 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.