Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 8007) mod 8 ≡ (80 mod 8 - 8007 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007 = 8000+7 = 8 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(80 - 8007) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 92) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 92) mod 11 ≡ (3 ⋅ 4) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 439¹=439

2: 439²=439¹⁺¹=439¹⋅439¹ ≡ 439⋅439=192721 ≡ 212 mod 619

4: 439⁴=439²⁺²=439²⋅439² ≡ 212⋅212=44944 ≡ 376 mod 619

8: 439⁸=439⁴⁺⁴=439⁴⋅439⁴ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 244 mod 619

16: 439¹⁶=439⁸⁺⁸=439⁸⋅439⁸ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 112 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

619²⁵⁰

= 619^{128+64+32+16+8+2}

= 619¹²⁸⋅619⁶⁴⋅619³²⋅619¹⁶⋅619⁸⋅619²

≡ 764 ⋅ 643 ⋅ 58 ⋅ 779 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907
≡ 491252 ⋅ 58 ⋅ 779 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907 ≡ 565 ⋅ 58 ⋅ 779 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907
≡ 32770 ⋅ 779 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907 ≡ 118 ⋅ 779 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907
≡ 91922 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907 ≡ 315 ⋅ 477 ⋅ 407 mod 907
≡ 150255 ⋅ 407 mod 907 ≡ 600 ⋅ 407 mod 907
≡ 244200 mod 907 ≡ 217 mod 907

Es gilt also: 619²⁵⁰ ≡ 217 mod 907

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53