Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45005 + 4492) mod 9 ≡ (45005 mod 9 + 4492 mod 9) mod 9.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

4492 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4492 = 4500-8 = 9 ⋅ 500 -8 = 9 ⋅ 500 - 9 + 1.

Somit gilt:

(45005 + 4492) mod 9 ≡ (5 + 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 15) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 15 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 15) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 633¹=633

2: 633²=633¹⁺¹=633¹⋅633¹ ≡ 633⋅633=400689 ≡ 236 mod 757

4: 633⁴=633²⁺²=633²⋅633² ≡ 236⋅236=55696 ≡ 435 mod 757

8: 633⁸=633⁴⁺⁴=633⁴⋅633⁴ ≡ 435⋅435=189225 ≡ 732 mod 757

16: 633¹⁶=633⁸⁺⁸=633⁸⋅633⁸ ≡ 732⋅732=535824 ≡ 625 mod 757

32: 633³²=633¹⁶⁺¹⁶=633¹⁶⋅633¹⁶ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 13 mod 757

64: 633⁶⁴=633³²⁺³²=633³²⋅633³² ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

186²³⁶

= 186^{128+64+32+8+4}

= 186¹²⁸⋅186⁶⁴⋅186³²⋅186⁸⋅186⁴

≡ 96 ⋅ 112 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
≡ 10752 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389 ≡ 249 ⋅ 91 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
≡ 22659 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389 ≡ 97 ⋅ 69 ⋅ 236 mod 389
≡ 6693 ⋅ 236 mod 389 ≡ 80 ⋅ 236 mod 389
≡ 18880 mod 389 ≡ 208 mod 389

Es gilt also: 186²³⁶ ≡ 208 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73