Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1203 - 14997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1203 - 14997) mod 3 ≡ (1203 mod 3 - 14997 mod 3) mod 3.

1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 3 ⋅ 400 +3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1203 - 14997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 72) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 72) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 72) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 661128 mod 787.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 661 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6611=661

2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 136 mod 787

4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 395 mod 787

8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 199 mod 787

16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 251 mod 787

32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 41 mod 787

64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 107 mod 787

128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 431 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 697116 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 6971=697

2: 6972=6971+1=6971⋅6971 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 570 mod 769

4: 6974=6972+2=6972⋅6972 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 382 mod 769

8: 6978=6974+4=6974⋅6974 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 583 mod 769

16: 69716=6978+8=6978⋅6978 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 760 mod 769

32: 69732=69716+16=69716⋅69716 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 81 mod 769

64: 69764=69732+32=69732⋅69732 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 409 mod 769

697116

= 69764+32+16+4

= 69764⋅69732⋅69716⋅6974

409 ⋅ 81 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769
33129 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769 ≡ 62 ⋅ 760 ⋅ 382 mod 769
47120 ⋅ 382 mod 769 ≡ 211 ⋅ 382 mod 769
80602 mod 769 ≡ 626 mod 769

Es gilt also: 697116 ≡ 626 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.