Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (799 + 20001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(799 + 20001) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001
= 20000
Somit gilt:
(799 + 20001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 97) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 97) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 97) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1098 mod 233.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 231 mod 233
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 583236 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 5831=583
2: 5832=5831+1=5831⋅5831 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 517 mod 857
4: 5834=5832+2=5832⋅5832 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 762 mod 857
8: 5838=5834+4=5834⋅5834 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 455 mod 857
16: 58316=5838+8=5838⋅5838 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 488 mod 857
32: 58332=58316+16=58316⋅58316 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 755 mod 857
64: 58364=58332+32=58332⋅58332 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857
128: 583128=58364+64=58364⋅58364 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 688 mod 857
583236
= 583128+64+32+8+4
= 583128⋅58364⋅58332⋅5838⋅5834
≡ 688 ⋅ 120 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
≡ 82560 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857 ≡ 288 ⋅ 755 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
≡ 217440 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857 ≡ 619 ⋅ 455 ⋅ 762 mod 857
≡ 281645 ⋅ 762 mod 857 ≡ 549 ⋅ 762 mod 857
≡ 418338 mod 857 ≡ 122 mod 857
Es gilt also: 583236 ≡ 122 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.