Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15992 - 160) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15992 - 160) mod 8 ≡ (15992 mod 8 - 160 mod 8) mod 8.
15992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15992
= 15000
160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(15992 - 160) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 51) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 51) mod 3 ≡ (88 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 51) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 883128 mod 967.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 883 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8831=883
2: 8832=8831+1=8831⋅8831 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 287 mod 967
4: 8834=8832+2=8832⋅8832 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 174 mod 967
8: 8838=8834+4=8834⋅8834 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 299 mod 967
16: 88316=8838+8=8838⋅8838 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 437 mod 967
32: 88332=88316+16=88316⋅88316 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 470 mod 967
64: 88364=88332+32=88332⋅88332 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 424 mod 967
128: 883128=88364+64=88364⋅88364 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 881 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 395104 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 217 mod 541
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 22 mod 541
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 541
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 3 mod 541
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 541
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 541
395104
= 39564+32+8
= 39564⋅39532⋅3958
≡ 81 ⋅ 9 ⋅ 484 mod 541
≡ 729 ⋅ 484 mod 541 ≡ 188 ⋅ 484 mod 541
≡ 90992 mod 541 ≡ 104 mod 541
Es gilt also: 395104 ≡ 104 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 50
| =>83 | = 1⋅50 + 33 |
| =>50 | = 1⋅33 + 17 |
| =>33 | = 1⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 33-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17) = -1⋅33 +2⋅ 17 (=1) |
| 17= 50-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅33 +2⋅(50 -1⋅ 33)
= -1⋅33 +2⋅50 -2⋅ 33) = 2⋅50 -3⋅ 33 (=1) |
| 33= 83-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -3⋅(83 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -3⋅83 +3⋅ 50) = -3⋅83 +5⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,50)=1 = -3⋅83 +5⋅50
oder wenn man -3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅83 = +5⋅50
Es gilt also: 5⋅50 = 3⋅83 +1
Somit 5⋅50 = 1 mod 83
5 ist also das Inverse von 50 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.