Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 - 20000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 - 20000) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 20000 mod 5) mod 5.
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
Somit gilt:
(1500 - 20000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 55) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 55) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 55) mod 7 ≡ (3 ⋅ 6) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396128 mod 419.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 110 mod 419
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 368 mod 419
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 87 mod 419
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 27 mod 419
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 27⋅27=729 ≡ 310 mod 419
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 149 mod 419
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 413 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51870 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 25 mod 523
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 25⋅25=625 ≡ 102 mod 523
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 467 mod 523
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 521 mod 523
32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 4 mod 523
64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 523
51870
= 51864+4+2
= 51864⋅5184⋅5182
≡ 16 ⋅ 102 ⋅ 25 mod 523
≡ 1632 ⋅ 25 mod 523 ≡ 63 ⋅ 25 mod 523
≡ 1575 mod 523 ≡ 6 mod 523
Es gilt also: 51870 ≡ 6 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.