Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9998 - 997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9998 - 997) mod 5 ≡ (9998 mod 5 - 997 mod 5) mod 5.
9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998
= 9000
997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 997
= 900
Somit gilt:
(9998 - 997) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 72) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 72) mod 11 ≡ (25 mod 11 ⋅ 72 mod 11) mod 11.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 72) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4218 mod 751.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 5 mod 751
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 751
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16182 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 1611=161
2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 61 mod 431
4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 273 mod 431
8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 397 mod 431
16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 294 mod 431
32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 236 mod 431
64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 97 mod 431
16182
= 16164+16+2
= 16164⋅16116⋅1612
≡ 97 ⋅ 294 ⋅ 61 mod 431
≡ 28518 ⋅ 61 mod 431 ≡ 72 ⋅ 61 mod 431
≡ 4392 mod 431 ≡ 82 mod 431
Es gilt also: 16182 ≡ 82 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.