Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9003 + 903) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 + 903) mod 9 ≡ (9003 mod 9 + 903 mod 9) mod 9.

9003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 9 ⋅ 1000 +3.

903 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 9 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(9003 + 903) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 86) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 86) mod 9 ≡ (99 mod 9 ⋅ 86 mod 9) mod 9.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 86) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6798 mod 983.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 679 -> x
2. mod(x²,983) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6791=679

2: 6792=6791+1=6791⋅6791 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 14 mod 983

4: 6794=6792+2=6792⋅6792 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 983

8: 6798=6794+4=6794⋅6794 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 79 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 578239 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 5781=578

2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857

8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 740 mod 857

16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 834 mod 857

32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 529 mod 857

64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 459 mod 857

128: 578128=57864+64=57864⋅57864 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 716 mod 857

578239

= 578128+64+32+8+4+2+1

= 578128⋅57864⋅57832⋅5788⋅5784⋅5782⋅5781

716 ⋅ 459 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
328644 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 413 ⋅ 529 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
218477 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 799 ⋅ 740 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
591260 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 787 ⋅ 748 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
588676 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 774 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
550314 ⋅ 578 mod 857 ≡ 120 ⋅ 578 mod 857
69360 mod 857 ≡ 800 mod 857

Es gilt also: 578239 ≡ 800 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54

=>61 = 1⋅54 + 7
=>54 = 7⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 54-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7)
= 3⋅54 -23⋅ 7 (=1)
7= 61-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54)
= -23⋅61 +26⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +26⋅54

Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1

Somit 26⋅54 = 1 mod 61

26 ist also das Inverse von 54 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.