Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16008 - 393) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16008 - 393) mod 8 ≡ (16008 mod 8 - 393 mod 8) mod 8.
16008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16008
= 16000
393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393
= 400
Somit gilt:
(16008 - 393) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 38) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 38) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 38) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22916 mod 659.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2291=229
2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 380 mod 659
4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 79 mod 659
8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 310 mod 659
16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 545 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 123176 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 1231=123
2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281
4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281
8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281
16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281
32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 162 mod 281
64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281
128: 123128=12364+64=12364⋅12364 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281
123176
= 123128+32+16
= 123128⋅12332⋅12316
≡ 238 ⋅ 162 ⋅ 64 mod 281
≡ 38556 ⋅ 64 mod 281 ≡ 59 ⋅ 64 mod 281
≡ 3776 mod 281 ≡ 123 mod 281
Es gilt also: 123176 ≡ 123 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.