Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (316 - 31999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(316 - 31999) mod 8 ≡ (316 mod 8 - 31999 mod 8) mod 8.
316 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 316
= 320
31999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31999
= 31000
Somit gilt:
(316 - 31999) mod 8 ≡ (4 - 7) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 65) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 65) mod 9 ≡ (42 mod 9 ⋅ 65 mod 9) mod 9.
42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 65) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55432 mod 809.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 554 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5541=554
2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 305 mod 809
4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 799 mod 809
8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 100 mod 809
16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 292 mod 809
32: 55432=55416+16=55416⋅55416 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 469147 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 35 mod 683
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 542 mod 683
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 74 mod 683
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 12 mod 683
32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 683
64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 246 mod 683
128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 412 mod 683
469147
= 469128+16+2+1
= 469128⋅46916⋅4692⋅4691
≡ 412 ⋅ 12 ⋅ 35 ⋅ 469 mod 683
≡ 4944 ⋅ 35 ⋅ 469 mod 683 ≡ 163 ⋅ 35 ⋅ 469 mod 683
≡ 5705 ⋅ 469 mod 683 ≡ 241 ⋅ 469 mod 683
≡ 113029 mod 683 ≡ 334 mod 683
Es gilt also: 469147 ≡ 334 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.