Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 - 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 - 14000) mod 7 ≡ (204 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(204 - 14000) mod 7 ≡ (1 - 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 71) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 71) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 71 mod 3) mod 3.
15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 71) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29116 mod 431.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 205 mod 431
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 218 mod 431
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 114 mod 431
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 66 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 136109 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 348 mod 349
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 1 mod 349
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 349
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 349
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 349
64: 13664=13632+32=13632⋅13632 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 349
136109
= 13664+32+8+4+1
= 13664⋅13632⋅1368⋅1364⋅1361
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 136 mod 349
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 136 mod 349
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 136 mod 349
≡ 1 ⋅ 136 mod 349
≡ 136 mod 349
Es gilt also: 136109 ≡ 136 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.