Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1501 - 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1501 - 27) mod 3 ≡ (1501 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.
1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
Somit gilt:
(1501 - 27) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 50) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 50) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 50 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 50) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77732 mod 821.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 777 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7771=777
2: 7772=7771+1=7771⋅7771 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 294 mod 821
4: 7774=7772+2=7772⋅7772 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 231 mod 821
8: 7778=7774+4=7774⋅7774 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 817 mod 821
16: 77716=7778+8=7778⋅7778 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 16 mod 821
32: 77732=77716+16=77716⋅77716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 542164 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 5421=542
2: 5422=5421+1=5421⋅5421 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 583 mod 607
4: 5424=5422+2=5422⋅5422 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 576 mod 607
8: 5428=5424+4=5424⋅5424 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 354 mod 607
16: 54216=5428+8=5428⋅5428 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 274 mod 607
32: 54232=54216+16=54216⋅54216 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 415 mod 607
64: 54264=54232+32=54232⋅54232 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 444 mod 607
128: 542128=54264+64=54264⋅54264 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 468 mod 607
542164
= 542128+32+4
= 542128⋅54232⋅5424
≡ 468 ⋅ 415 ⋅ 576 mod 607
≡ 194220 ⋅ 576 mod 607 ≡ 587 ⋅ 576 mod 607
≡ 338112 mod 607 ≡ 13 mod 607
Es gilt also: 542164 ≡ 13 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.