Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 - 50) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 - 50) mod 5 ≡ (1503 mod 5 - 50 mod 5) mod 5.
1503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50
= 50
Somit gilt:
(1503 - 50) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 99) mod 8 ≡ (57 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 99) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2138 mod 251.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 189 mod 251
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 79 mod 251
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 217 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235231 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 80 mod 269
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 213 mod 269
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 177 mod 269
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 125 mod 269
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 23 mod 269
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 23⋅23=529 ≡ 260 mod 269
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 81 mod 269
235231
= 235128+64+32+4+2+1
= 235128⋅23564⋅23532⋅2354⋅2352⋅2351
≡ 81 ⋅ 260 ⋅ 23 ⋅ 213 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269
≡ 21060 ⋅ 23 ⋅ 213 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269 ≡ 78 ⋅ 23 ⋅ 213 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269
≡ 1794 ⋅ 213 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269 ≡ 180 ⋅ 213 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269
≡ 38340 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269 ≡ 142 ⋅ 80 ⋅ 235 mod 269
≡ 11360 ⋅ 235 mod 269 ≡ 62 ⋅ 235 mod 269
≡ 14570 mod 269 ≡ 44 mod 269
Es gilt also: 235231 ≡ 44 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.