Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 - 16001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 - 16001) mod 8 ≡ (84 mod 8 - 16001 mod 8) mod 8.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
Somit gilt:
(84 - 16001) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 62) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 62) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 62) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32332 mod 509.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 323 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 493 mod 509
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 256 mod 509
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 384 mod 509
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 355 mod 509
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 302 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 417110 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:
110 = 64+32+8+4+2
1: 4171=417
2: 4172=4171+1=4171⋅4171 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 821 mod 883
4: 4174=4172+2=4172⋅4172 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 312 mod 883
8: 4178=4174+4=4174⋅4174 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 214 mod 883
16: 41716=4178+8=4178⋅4178 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 763 mod 883
32: 41732=41716+16=41716⋅41716 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 272 mod 883
64: 41764=41732+32=41732⋅41732 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 695 mod 883
417110
= 41764+32+8+4+2
= 41764⋅41732⋅4178⋅4174⋅4172
≡ 695 ⋅ 272 ⋅ 214 ⋅ 312 ⋅ 821 mod 883
≡ 189040 ⋅ 214 ⋅ 312 ⋅ 821 mod 883 ≡ 78 ⋅ 214 ⋅ 312 ⋅ 821 mod 883
≡ 16692 ⋅ 312 ⋅ 821 mod 883 ≡ 798 ⋅ 312 ⋅ 821 mod 883
≡ 248976 ⋅ 821 mod 883 ≡ 853 ⋅ 821 mod 883
≡ 700313 mod 883 ≡ 94 mod 883
Es gilt also: 417110 ≡ 94 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 57
| =>83 | = 1⋅57 + 26 |
| =>57 | = 2⋅26 + 5 |
| =>26 | = 5⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 26-5⋅5 | |||
| 5= 57-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅26 -5⋅(57 -2⋅ 26)
= 1⋅26 -5⋅57 +10⋅ 26) = -5⋅57 +11⋅ 26 (=1) |
| 26= 83-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅57 +11⋅(83 -1⋅ 57)
= -5⋅57 +11⋅83 -11⋅ 57) = 11⋅83 -16⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,57)=1 = 11⋅83 -16⋅57
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -16⋅57
-16⋅57 = -11⋅83 + 1 |+83⋅57
-16⋅57 + 83⋅57 = -11⋅83 + 83⋅57 + 1
(-16 + 83) ⋅ 57 = (-11 + 57) ⋅ 83 + 1
67⋅57 = 46⋅83 + 1
Es gilt also: 67⋅57 = 46⋅83 +1
Somit 67⋅57 = 1 mod 83
67 ist also das Inverse von 57 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
