Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (117 + 18000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(117 + 18000) mod 6 ≡ (117 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.

117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 6 ⋅ 20 -3 = 6 ⋅ 20 - 6 + 3.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(117 + 18000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 15) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 15) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 15) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 492128 mod 593.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 492 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4921=492

2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 120 mod 593

4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 168 mod 593

8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 353 mod 593

16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 79 mod 593

32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 311 mod 593

64: 49264=49232+32=49232⋅49232 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593

128: 492128=49264+64=49264⋅49264 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 203104 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 27 mod 349

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 27⋅27=729 ≡ 31 mod 349

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 31⋅31=961 ≡ 263 mod 349

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 67 mod 349

32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 301 mod 349

64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 210 mod 349

203104

= 20364+32+8

= 20364⋅20332⋅2038

210 ⋅ 301 ⋅ 263 mod 349
63210 ⋅ 263 mod 349 ≡ 41 ⋅ 263 mod 349
10783 mod 349 ≡ 313 mod 349

Es gilt also: 203104 ≡ 313 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75

=>83 = 1⋅75 + 8
=>75 = 9⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 75-9⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8)
= 3⋅75 -28⋅ 8 (=1)
8= 83-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75)
= -28⋅83 +31⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75

oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅83 = +31⋅75

Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1

Somit 31⋅75 = 1 mod 83

31 ist also das Inverse von 75 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.