Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 60) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(12000 + 60) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 74) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 74) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 74) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50464 mod 809.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 799 mod 809
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 100 mod 809
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 292 mod 809
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809
32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 636 mod 809
64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 805 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19560 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 271 mod 439
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 128 mod 439
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 141 mod 439
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 126 mod 439
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 72 mod 439
19560
= 19532+16+8+4
= 19532⋅19516⋅1958⋅1954
≡ 72 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439
≡ 9072 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439 ≡ 292 ⋅ 141 ⋅ 128 mod 439
≡ 41172 ⋅ 128 mod 439 ≡ 345 ⋅ 128 mod 439
≡ 44160 mod 439 ≡ 260 mod 439
Es gilt also: 19560 ≡ 260 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23
| =>61 | = 2⋅23 + 15 |
| =>23 | = 1⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 23-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1) |
| 15= 61-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23
oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅61 = +8⋅23
Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1
Somit 8⋅23 = 1 mod 61
8 ist also das Inverse von 23 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.