Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15999 + 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15999 + 80) mod 4 ≡ (15999 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(15999 + 80) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 46) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 46) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.
21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 46) mod 9 ≡ (3 ⋅ 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33364 mod 479.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 240 mod 479
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 120 mod 479
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 30 mod 479
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 30⋅30=900 ≡ 421 mod 479
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 11 mod 479
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 264137 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 49 mod 271
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271
32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 50 mod 271
64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 61 mod 271
128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 198 mod 271
264137
= 264128+8+1
= 264128⋅2648⋅2641
≡ 198 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271
≡ 17622 ⋅ 264 mod 271 ≡ 7 ⋅ 264 mod 271
≡ 1848 mod 271 ≡ 222 mod 271
Es gilt also: 264137 ≡ 222 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.