Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28007 - 284) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28007 - 284) mod 7 ≡ (28007 mod 7 - 284 mod 7) mod 7.
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
284 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 284
= 280
Somit gilt:
(28007 - 284) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 78) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 78) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 78 mod 3) mod 3.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 78) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74032 mod 911.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 740 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7401=740
2: 7402=7401+1=7401⋅7401 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 89 mod 911
4: 7404=7402+2=7402⋅7402 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 633 mod 911
8: 7408=7404+4=7404⋅7404 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 760 mod 911
16: 74016=7408+8=7408⋅7408 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 26 mod 911
32: 74032=74016+16=74016⋅74016 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83171 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 831=83
2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239
4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239
8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239
16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 125 mod 239
32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 90 mod 239
64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 213 mod 239
128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 198 mod 239
83171
= 83128+32+8+2+1
= 83128⋅8332⋅838⋅832⋅831
≡ 198 ⋅ 90 ⋅ 155 ⋅ 197 ⋅ 83 mod 239
≡ 17820 ⋅ 155 ⋅ 197 ⋅ 83 mod 239 ≡ 134 ⋅ 155 ⋅ 197 ⋅ 83 mod 239
≡ 20770 ⋅ 197 ⋅ 83 mod 239 ≡ 216 ⋅ 197 ⋅ 83 mod 239
≡ 42552 ⋅ 83 mod 239 ≡ 10 ⋅ 83 mod 239
≡ 830 mod 239 ≡ 113 mod 239
Es gilt also: 83171 ≡ 113 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.