Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 - 120) mod 3 ≡ (93 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(93 - 120) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 69) mod 6 ≡ (26 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 69) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 556¹=556

2: 556²=556¹⁺¹=556¹⋅556¹ ≡ 556⋅556=309136 ≡ 280 mod 757

4: 556⁴=556²⁺²=556²⋅556² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 429 mod 757

8: 556⁸=556⁴⁺⁴=556⁴⋅556⁴ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 90 mod 757

16: 556¹⁶=556⁸⁺⁸=556⁸⋅556⁸ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 530 mod 757

32: 556³²=556¹⁶⁺¹⁶=556¹⁶⋅556¹⁶ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 53 mod 757

64: 556⁶⁴=556³²⁺³²=556³²⋅556³² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 538 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

338²¹⁴

= 338^{128+64+16+4+2}

= 338¹²⁸⋅338⁶⁴⋅338¹⁶⋅338⁴⋅338²

≡ 402 ⋅ 122 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 49044 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557 ≡ 28 ⋅ 198 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 5544 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557 ≡ 531 ⋅ 139 ⋅ 59 mod 557
≡ 73809 ⋅ 59 mod 557 ≡ 285 ⋅ 59 mod 557
≡ 16815 mod 557 ≡ 105 mod 557

Es gilt also: 338²¹⁴ ≡ 105 mod 557

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56

=>73	= 1⋅56 + 17
=>56	= 3⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 56-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1)
17= 73-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56) = 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +30⋅56

Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1

Somit 30⋅56 = 1 mod 73

30 ist also das Inverse von 56 mod 73