Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 + 298) mod 6 ≡ (124 mod 6 + 298 mod 6) mod 6.

124 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 6 ⋅ 20 +4.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(124 + 298) mod 6 ≡ (4 + 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 62) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 62) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 524¹=524

2: 524²=524¹⁺¹=524¹⋅524¹ ≡ 524⋅524=274576 ≡ 112 mod 953

4: 524⁴=524²⁺²=524²⋅524² ≡ 112⋅112=12544 ≡ 155 mod 953

8: 524⁸=524⁴⁺⁴=524⁴⋅524⁴ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 200 mod 953

16: 524¹⁶=524⁸⁺⁸=524⁸⋅524⁸ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 927 mod 953

32: 524³²=524¹⁶⁺¹⁶=524¹⁶⋅524¹⁶ ≡ 927⋅927=859329 ≡ 676 mod 953

64: 524⁶⁴=524³²⁺³²=524³²⋅524³² ≡ 676⋅676=456976 ≡ 489 mod 953

128: 524¹²⁸=524⁶⁴⁺⁶⁴=524⁶⁴⋅524⁶⁴ ≡ 489⋅489=239121 ≡ 871 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

876¹⁹³

= 876^128+64+1

= 876¹²⁸⋅876⁶⁴⋅876¹

≡ 211 ⋅ 722 ⋅ 876 mod 919
≡ 152342 ⋅ 876 mod 919 ≡ 707 ⋅ 876 mod 919
≡ 619332 mod 919 ≡ 845 mod 919

Es gilt also: 876¹⁹³ ≡ 845 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48

=>73	= 1⋅48 + 25
=>48	= 1⋅25 + 23
=>25	= 1⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 48-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25) = -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1)
25= 73-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48) = 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +35⋅48

Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1

Somit 35⋅48 = 1 mod 73

35 ist also das Inverse von 48 mod 73