Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 + 1999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 + 1999) mod 4 ≡ (43 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

Somit gilt:

(43 + 1999) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 43) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 43) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 43) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51964 mod 587.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 519 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5191=519

2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 515 mod 587

4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 488 mod 587

8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 409 mod 587

16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 573 mod 587

32: 51932=51916+16=51916⋅51916 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 196 mod 587

64: 51964=51932+32=51932⋅51932 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 261 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 661151 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 6611=661

2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 172 mod 739

4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 24 mod 739

8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 739

16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 704 mod 739

32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 704⋅704=495616 ≡ 486 mod 739

64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 455 mod 739

128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 105 mod 739

661151

= 661128+16+4+2+1

= 661128⋅66116⋅6614⋅6612⋅6611

105 ⋅ 704 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
73920 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739 ≡ 20 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
480 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
82560 ⋅ 661 mod 739 ≡ 531 ⋅ 661 mod 739
350991 mod 739 ≡ 705 mod 739

Es gilt also: 661151 ≡ 705 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.