Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1497 + 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 + 91) mod 3 ≡ (1497 mod 3 + 91 mod 3) mod 3.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(1497 + 91) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 87) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28232 mod 659.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2821=282

2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 444 mod 659

4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 95 mod 659

8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 458 mod 659

16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 202 mod 659

32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 605 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 272180 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 2721=272

2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 561 mod 617

4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 51 mod 617

8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 133 mod 617

16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 413 mod 617

32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617

64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617

128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617

272180

= 272128+32+16+4

= 272128⋅27232⋅27216⋅2724

98 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617
27146 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617 ≡ 615 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617
253995 ⋅ 51 mod 617 ≡ 408 ⋅ 51 mod 617
20808 mod 617 ≡ 447 mod 617

Es gilt also: 272180 ≡ 447 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67

=>71 = 1⋅67 + 4
=>67 = 16⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 67-16⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4)
= -1⋅67 +17⋅ 4 (=1)
4= 71-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67)
= 17⋅71 -18⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67

oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅71 = -18⋅67

-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67

-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1

(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1

53⋅67 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1

Somit 53⋅67 = 1 mod 71

53 ist also das Inverse von 67 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.