Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(805 - 3199) mod 8 ≡ (805 mod 8 - 3199 mod 8) mod 8.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199 = 3200-1 = 8 ⋅ 400 -1 = 8 ⋅ 400 - 8 + 7.

Somit gilt:

(805 - 3199) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 32) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 32) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 136¹=136

2: 136²=136¹⁺¹=136¹⋅136¹ ≡ 136⋅136=18496 ≡ 91 mod 409

4: 136⁴=136²⁺²=136²⋅136² ≡ 91⋅91=8281 ≡ 101 mod 409

8: 136⁸=136⁴⁺⁴=136⁴⋅136⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409

16: 136¹⁶=136⁸⁺⁸=136⁸⋅136⁸ ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

79²⁵²

= 79^{128+64+32+16+8+4}

= 79¹²⁸⋅79⁶⁴⋅79³²⋅79¹⁶⋅79⁸⋅79⁴

≡ 183 ⋅ 82 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
≡ 15006 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 25 ⋅ 121 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
≡ 3025 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 71 ⋅ 11 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
≡ 781 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211 ≡ 148 ⋅ 125 ⋅ 114 mod 211
≡ 18500 ⋅ 114 mod 211 ≡ 143 ⋅ 114 mod 211
≡ 16302 mod 211 ≡ 55 mod 211

Es gilt also: 79²⁵² ≡ 55 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83	= 1⋅79 + 4
=>79	= 19⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4) = -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79) = -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79) = 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83