Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (350 - 2097) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(350 - 2097) mod 7 ≡ (350 mod 7 - 2097 mod 7) mod 7.

350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350 = 350+0 = 7 ⋅ 50 +0.

2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097 = 2100-3 = 7 ⋅ 300 -3 = 7 ⋅ 300 - 7 + 4.

Somit gilt:

(350 - 2097) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 49) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 49) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 49) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5328 mod 653.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 532 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5321=532

2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 275 mod 653

4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 530 mod 653

8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 110 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 281189 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 2811=281

2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 380 mod 439

4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 408 mod 439

8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 83 mod 439

16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 304 mod 439

32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 226 mod 439

64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 152 mod 439

128: 281128=28164+64=28164⋅28164 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 276 mod 439

281189

= 281128+32+16+8+4+1

= 281128⋅28132⋅28116⋅2818⋅2814⋅2811

276 ⋅ 226 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
62376 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 38 ⋅ 304 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
11552 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 138 ⋅ 83 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
11454 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439 ≡ 40 ⋅ 408 ⋅ 281 mod 439
16320 ⋅ 281 mod 439 ≡ 77 ⋅ 281 mod 439
21637 mod 439 ≡ 126 mod 439

Es gilt also: 281189 ≡ 126 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49

=>59 = 1⋅49 + 10
=>49 = 4⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 49-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10)
= -1⋅49 +5⋅ 10 (=1)
10= 59-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49)
= 5⋅59 -6⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -6⋅49

-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49

-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1

(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1

53⋅49 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1

Somit 53⋅49 = 1 mod 59

53 ist also das Inverse von 49 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.