Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6998 + 13995) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6998 + 13995) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 13995 mod 7) mod 7.
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
Somit gilt:
(6998 + 13995) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 56) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 56) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59016 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 637 mod 757
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 17 mod 757
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 757
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 251 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 142163 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 1421=142
2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 114 mod 401
4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 164 mod 401
8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 29 mod 401
16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401
32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401
64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401
128: 142128=14264+64=14264⋅14264 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401
142163
= 142128+32+2+1
= 142128⋅14232⋅1422⋅1421
≡ 372 ⋅ 318 ⋅ 114 ⋅ 142 mod 401
≡ 118296 ⋅ 114 ⋅ 142 mod 401 ≡ 1 ⋅ 114 ⋅ 142 mod 401
≡ 114 ⋅ 142 mod 401
≡ 16188 mod 401 ≡ 148 mod 401
Es gilt also: 142163 ≡ 148 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.