Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2996 + 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2996 + 62) mod 6 ≡ (2996 mod 6 + 62 mod 6) mod 6.
2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996
= 3000
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62
= 60
Somit gilt:
(2996 + 62) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 83) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 83) mod 9 ≡ (26 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.
26 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 18 + 8 = 2 ⋅ 9 + 8 ist.
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 83) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25216 mod 353.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 317 mod 353
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 237 mod 353
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 42 mod 353
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 352 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 804104 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 8041=804
2: 8042=8041+1=8041⋅8041 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 289 mod 821
4: 8044=8042+2=8042⋅8042 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 600 mod 821
8: 8048=8044+4=8044⋅8044 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 402 mod 821
16: 80416=8048+8=8048⋅8048 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 688 mod 821
32: 80432=80416+16=80416⋅80416 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 448 mod 821
64: 80464=80432+32=80432⋅80432 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 380 mod 821
804104
= 80464+32+8
= 80464⋅80432⋅8048
≡ 380 ⋅ 448 ⋅ 402 mod 821
≡ 170240 ⋅ 402 mod 821 ≡ 293 ⋅ 402 mod 821
≡ 117786 mod 821 ≡ 383 mod 821
Es gilt also: 804104 ≡ 383 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59
| =>89 | = 1⋅59 + 30 |
| =>59 | = 1⋅30 + 29 |
| =>30 | = 1⋅29 + 1 |
| =>29 | = 29⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 30-1⋅29 | |||
| 29= 59-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1) |
| 30= 89-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59
oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅89 = -3⋅59
-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59
-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1
(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1
86⋅59 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1
Somit 86⋅59 = 1 mod 89
86 ist also das Inverse von 59 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.