Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 - 3998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 - 3998) mod 8 ≡ (16001 mod 8 - 3998 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
3998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 4000
Somit gilt:
(16001 - 3998) mod 8 ≡ (1 - 6) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 76) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 76) mod 9 ≡ (65 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 76) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22316 mod 409.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 240 mod 409
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 340 mod 409
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 262 mod 409
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 311147 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 739 mod 941
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 341 mod 941
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 538 mod 941
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 557 mod 941
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 660 mod 941
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 858 mod 941
128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 302 mod 941
311147
= 311128+16+2+1
= 311128⋅31116⋅3112⋅3111
≡ 302 ⋅ 557 ⋅ 739 ⋅ 311 mod 941
≡ 168214 ⋅ 739 ⋅ 311 mod 941 ≡ 716 ⋅ 739 ⋅ 311 mod 941
≡ 529124 ⋅ 311 mod 941 ≡ 282 ⋅ 311 mod 941
≡ 87702 mod 941 ≡ 189 mod 941
Es gilt also: 311147 ≡ 189 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47
| =>79 | = 1⋅47 + 32 |
| =>47 | = 1⋅32 + 15 |
| =>32 | = 2⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 32-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1) |
| 15= 47-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1) |
| 32= 79-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47
oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅79 = +37⋅47
Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1
Somit 37⋅47 = 1 mod 79
37 ist also das Inverse von 47 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.