Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28004 - 217) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28004 - 217) mod 7 ≡ (28004 mod 7 - 217 mod 7) mod 7.
28004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28004
= 28000
217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217
= 210
Somit gilt:
(28004 - 217) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 56) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 56) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 56) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28416 mod 877.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 849 mod 877
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 784 mod 877
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 756 mod 877
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 609 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377113 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 329 mod 709
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 473 mod 709
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 394 mod 709
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 674 mod 709
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 516 mod 709
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 381 mod 709
377113
= 37764+32+16+1
= 37764⋅37732⋅37716⋅3771
≡ 381 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 377 mod 709
≡ 196596 ⋅ 674 ⋅ 377 mod 709 ≡ 203 ⋅ 674 ⋅ 377 mod 709
≡ 136822 ⋅ 377 mod 709 ≡ 694 ⋅ 377 mod 709
≡ 261638 mod 709 ≡ 17 mod 709
Es gilt also: 377113 ≡ 17 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.