Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3598 - 3601) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3598 - 3601) mod 9 ≡ (3598 mod 9 - 3601 mod 9) mod 9.

3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598 = 3600-2 = 9 ⋅ 400 -2 = 9 ⋅ 400 - 9 + 7.

3601 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3601 = 3600+1 = 9 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(3598 - 3601) mod 9 ≡ (7 - 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 20) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 20) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 20) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 228128 mod 293.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2281=228

2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 123 mod 293

4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 186 mod 293

8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 22 mod 293

16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 22⋅22=484 ≡ 191 mod 293

32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 149 mod 293

64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 226 mod 293

128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 94 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229242 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 16 mod 233

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

128: 229128=22964+64=22964⋅22964 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

229242

= 229128+64+32+16+2

= 229128⋅22964⋅22932⋅22916⋅2292

51 ⋅ 135 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 16 mod 233
6885 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 16 mod 233 ≡ 128 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 16 mod 233
8192 ⋅ 8 ⋅ 16 mod 233 ≡ 37 ⋅ 8 ⋅ 16 mod 233
296 ⋅ 16 mod 233 ≡ 63 ⋅ 16 mod 233
1008 mod 233 ≡ 76 mod 233

Es gilt also: 229242 ≡ 76 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 54

=>83 = 1⋅54 + 29
=>54 = 1⋅29 + 25
=>29 = 1⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25)
= -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 54-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅29 +7⋅(54 -1⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅54 -7⋅ 29)
= 7⋅54 -13⋅ 29 (=1)
29= 83-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅54 -13⋅(83 -1⋅ 54)
= 7⋅54 -13⋅83 +13⋅ 54)
= -13⋅83 +20⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(83,54)=1 = -13⋅83 +20⋅54

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +20⋅54

Es gilt also: 20⋅54 = 13⋅83 +1

Somit 20⋅54 = 1 mod 83

20 ist also das Inverse von 54 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.