Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 - 196) mod 4 ≡ (42 mod 4 - 196 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

Somit gilt:

(42 - 196) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 62) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 62) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 101¹=101

2: 101²=101¹⁺¹=101¹⋅101¹ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 73 mod 211

4: 101⁴=101²⁺²=101²⋅101² ≡ 73⋅73=5329 ≡ 54 mod 211

8: 101⁸=101⁴⁺⁴=101⁴⋅101⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 173 mod 211

16: 101¹⁶=101⁸⁺⁸=101⁸⋅101⁸ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 178 mod 211

32: 101³²=101¹⁶⁺¹⁶=101¹⁶⋅101¹⁶ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 34 mod 211

64: 101⁶⁴=101³²⁺³²=101³²⋅101³² ≡ 34⋅34=1156 ≡ 101 mod 211

128: 101¹²⁸=101⁶⁴⁺⁶⁴=101⁶⁴⋅101⁶⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 73 mod 211

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

534⁷⁹

= 534^64+8+4+2+1

= 534⁶⁴⋅534⁸⋅534⁴⋅534²⋅534¹

≡ 318 ⋅ 798 ⋅ 752 ⋅ 849 ⋅ 534 mod 977
≡ 253764 ⋅ 752 ⋅ 849 ⋅ 534 mod 977 ≡ 721 ⋅ 752 ⋅ 849 ⋅ 534 mod 977
≡ 542192 ⋅ 849 ⋅ 534 mod 977 ≡ 934 ⋅ 849 ⋅ 534 mod 977
≡ 792966 ⋅ 534 mod 977 ≡ 619 ⋅ 534 mod 977
≡ 330546 mod 977 ≡ 320 mod 977

Es gilt also: 534⁷⁹ ≡ 320 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67	= 1⋅50 + 17
=>50	= 2⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50) = -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67