Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35001 + 35003) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35001 + 35003) mod 7 ≡ (35001 mod 7 + 35003 mod 7) mod 7.

35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001 = 35000+1 = 7 ⋅ 5000 +1.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(35001 + 35003) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 71) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (3 ⋅ 7) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216128 mod 293.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2161=216

2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 69 mod 293

4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 73 mod 293

8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 55 mod 293

16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 95 mod 293

32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 235 mod 293

64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293

128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21462 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 271 mod 607

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 601 mod 607

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 36 mod 607

16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 82 mod 607

32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 47 mod 607

21462

= 21432+16+8+4+2

= 21432⋅21416⋅2148⋅2144⋅2142

47 ⋅ 82 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
3854 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607 ≡ 212 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
7632 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607 ≡ 348 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
209148 ⋅ 271 mod 607 ≡ 340 ⋅ 271 mod 607
92140 mod 607 ≡ 483 mod 607

Es gilt also: 21462 ≡ 483 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101 = 1⋅70 + 31
=>70 = 2⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31)
= 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70)
= -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.