Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (792 - 16006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(792 - 16006) mod 8 ≡ (792 mod 8 - 16006 mod 8) mod 8.
792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792
= 800
16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006
= 16000
Somit gilt:
(792 - 16006) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 43) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 43) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 43 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 43) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1068 mod 307.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1061=106
2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 184 mod 307
4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 86 mod 307
8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 28 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 276171 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 111 mod 461
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 335 mod 461
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 202 mod 461
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 236 mod 461
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 376 mod 461
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 310 mod 461
128: 276128=27664+64=27664⋅27664 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 212 mod 461
276171
= 276128+32+8+2+1
= 276128⋅27632⋅2768⋅2762⋅2761
≡ 212 ⋅ 376 ⋅ 202 ⋅ 111 ⋅ 276 mod 461
≡ 79712 ⋅ 202 ⋅ 111 ⋅ 276 mod 461 ≡ 420 ⋅ 202 ⋅ 111 ⋅ 276 mod 461
≡ 84840 ⋅ 111 ⋅ 276 mod 461 ≡ 16 ⋅ 111 ⋅ 276 mod 461
≡ 1776 ⋅ 276 mod 461 ≡ 393 ⋅ 276 mod 461
≡ 108468 mod 461 ≡ 133 mod 461
Es gilt also: 276171 ≡ 133 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 32
| =>101 | = 3⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-3⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(101 -3⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅101 -39⋅ 32) = 13⋅101 -41⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,32)=1 = 13⋅101 -41⋅32
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -41⋅32
-41⋅32 = -13⋅101 + 1 |+101⋅32
-41⋅32 + 101⋅32 = -13⋅101 + 101⋅32 + 1
(-41 + 101) ⋅ 32 = (-13 + 32) ⋅ 101 + 1
60⋅32 = 19⋅101 + 1
Es gilt also: 60⋅32 = 19⋅101 +1
Somit 60⋅32 = 1 mod 101
60 ist also das Inverse von 32 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.