Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 - 88) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 88) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

Somit gilt:

(63 - 88) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 56) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 56) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 56) mod 9 ≡ (4 ⋅ 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 217128 mod 613.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 501 mod 613

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 284 mod 613

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 353 mod 613

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 170 mod 613

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 89 mod 613

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 565 mod 613

128: 217128=21764+64=21764⋅21764 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 543216 mod 863.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

1: 5431=543

2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 566 mod 863

4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 183 mod 863

8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 695 mod 863

16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 608 mod 863

32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 300 mod 863

64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 248 mod 863

128: 543128=54364+64=54364⋅54364 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 231 mod 863

543216

= 543128+64+16+8

= 543128⋅54364⋅54316⋅5438

231 ⋅ 248 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863
57288 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863 ≡ 330 ⋅ 608 ⋅ 695 mod 863
200640 ⋅ 695 mod 863 ≡ 424 ⋅ 695 mod 863
294680 mod 863 ≡ 397 mod 863

Es gilt also: 543216 ≡ 397 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101 = 1⋅68 + 33
=>68 = 2⋅33 + 2
=>33 = 16⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33)
= -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68)
= 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.