Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 + 122) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 + 122) mod 4 ≡ (40 mod 4 + 122 mod 4) mod 4.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(40 + 122) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 35) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 35) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 35 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
35 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 27 + 8 = 3 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 35) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31832 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 24 mod 337
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 24⋅24=576 ≡ 239 mod 337
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 168 mod 337
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 253 mod 337
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39786 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 388 mod 647
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 440 mod 647
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 147 mod 647
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 258 mod 647
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 570 mod 647
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 106 mod 647
39786
= 39764+16+4+2
= 39764⋅39716⋅3974⋅3972
≡ 106 ⋅ 258 ⋅ 440 ⋅ 388 mod 647
≡ 27348 ⋅ 440 ⋅ 388 mod 647 ≡ 174 ⋅ 440 ⋅ 388 mod 647
≡ 76560 ⋅ 388 mod 647 ≡ 214 ⋅ 388 mod 647
≡ 83032 mod 647 ≡ 216 mod 647
Es gilt also: 39786 ≡ 216 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.