Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2400 + 7994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2400 + 7994) mod 8 ≡ (2400 mod 8 + 7994 mod 8) mod 8.
2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
7994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7994
= 7000
Somit gilt:
(2400 + 7994) mod 8 ≡ (0 + 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 100) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 100) mod 11 ≡ (0 ⋅ 1) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34932 mod 719.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 290 mod 719
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 696 mod 719
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 529 mod 719
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 150 mod 719
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 211 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 581140 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 5811=581
2: 5812=5811+1=5811⋅5811 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 334 mod 929
4: 5814=5812+2=5812⋅5812 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 76 mod 929
8: 5818=5814+4=5814⋅5814 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 202 mod 929
16: 58116=5818+8=5818⋅5818 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 857 mod 929
32: 58132=58116+16=58116⋅58116 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929
64: 58164=58132+32=58132⋅58132 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
128: 581128=58164+64=58164⋅58164 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
581140
= 581128+8+4
= 581128⋅5818⋅5814
≡ 506 ⋅ 202 ⋅ 76 mod 929
≡ 102212 ⋅ 76 mod 929 ≡ 22 ⋅ 76 mod 929
≡ 1672 mod 929 ≡ 743 mod 929
Es gilt also: 581140 ≡ 743 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.