Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 + 11998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 + 11998) mod 3 ≡ (600 mod 3 + 11998 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
Somit gilt:
(600 + 11998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 26) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 26) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 26) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53732 mod 641.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5371=537
2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 560 mod 641
4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 151 mod 641
8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 366 mod 641
16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 628 mod 641
32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 169 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 781160 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 7811=781
2: 7812=7811+1=7811⋅7811 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 93 mod 947
4: 7814=7812+2=7812⋅7812 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 126 mod 947
8: 7818=7814+4=7814⋅7814 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 724 mod 947
16: 78116=7818+8=7818⋅7818 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 485 mod 947
32: 78132=78116+16=78116⋅78116 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 369 mod 947
64: 78164=78132+32=78132⋅78132 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 740 mod 947
128: 781128=78164+64=78164⋅78164 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 234 mod 947
781160
= 781128+32
= 781128⋅78132
≡ 234 ⋅ 369 mod 947
≡ 86346 mod 947 ≡ 169 mod 947
Es gilt also: 781160 ≡ 169 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.
Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85
| =>101 | = 1⋅85 + 16 |
| =>85 | = 5⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,85)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 85-5⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 101-1⋅85 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -19⋅85
-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85
-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1
(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1
82⋅85 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1
Somit 82⋅85 = 1 mod 101
82 ist also das Inverse von 85 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.