Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1593 + 402) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1593 + 402) mod 8 ≡ (1593 mod 8 + 402 mod 8) mod 8.
1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593
= 1600
402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(1593 + 402) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 81) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 81) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 81) mod 11 ≡ (7 ⋅ 4) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 649128 mod 823.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 649 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6491=649
2: 6492=6491+1=6491⋅6491 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 648 mod 823
4: 6494=6492+2=6492⋅6492 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 174 mod 823
8: 6498=6494+4=6494⋅6494 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 648 mod 823
16: 64916=6498+8=6498⋅6498 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 174 mod 823
32: 64932=64916+16=64916⋅64916 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 648 mod 823
64: 64964=64932+32=64932⋅64932 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 174 mod 823
128: 649128=64964+64=64964⋅64964 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 648 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57960 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 114 mod 661
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 437 mod 661
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 601 mod 661
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 295 mod 661
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 434 mod 661
57960
= 57932+16+8+4
= 57932⋅57916⋅5798⋅5794
≡ 434 ⋅ 295 ⋅ 601 ⋅ 437 mod 661
≡ 128030 ⋅ 601 ⋅ 437 mod 661 ≡ 457 ⋅ 601 ⋅ 437 mod 661
≡ 274657 ⋅ 437 mod 661 ≡ 342 ⋅ 437 mod 661
≡ 149454 mod 661 ≡ 68 mod 661
Es gilt also: 57960 ≡ 68 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.