Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 - 801) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 - 801) mod 8 ≡ (72 mod 8 - 801 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72
= 80
801 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801
= 800
Somit gilt:
(72 - 801) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 97) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 97) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 97) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84764 mod 907.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 847 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8471=847
2: 8472=8471+1=8471⋅8471 ≡ 847⋅847=717409 ≡ 879 mod 907
4: 8474=8472+2=8472⋅8472 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 784 mod 907
8: 8478=8474+4=8474⋅8474 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 617 mod 907
16: 84716=8478+8=8478⋅8478 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 656 mod 907
32: 84732=84716+16=84716⋅84716 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 418 mod 907
64: 84764=84732+32=84732⋅84732 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 580 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 206201 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 462 mod 677
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 189 mod 677
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 517 mod 677
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 551 mod 677
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 305 mod 677
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 276 mod 677
128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 352 mod 677
206201
= 206128+64+8+1
= 206128⋅20664⋅2068⋅2061
≡ 352 ⋅ 276 ⋅ 517 ⋅ 206 mod 677
≡ 97152 ⋅ 517 ⋅ 206 mod 677 ≡ 341 ⋅ 517 ⋅ 206 mod 677
≡ 176297 ⋅ 206 mod 677 ≡ 277 ⋅ 206 mod 677
≡ 57062 mod 677 ≡ 194 mod 677
Es gilt also: 206201 ≡ 194 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
