Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (800 - 87) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 87) mod 8 ≡ (800 mod 8 - 87 mod 8) mod 8.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80+7 = 8 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(800 - 87) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 65) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 65) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 65) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34264 mod 683.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 342 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3421=342

2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 171 mod 683

4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 555 mod 683

8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 675 mod 683

16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 64 mod 683

32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 681 mod 683

64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 4 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 171126 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 1711=171

2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 132 mod 313

4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313

32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313

64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313

171126

= 17164+32+16+8+4+2

= 17164⋅17132⋅17116⋅1718⋅1714⋅1712

50 ⋅ 26 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
1300 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 48 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
10944 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 302 ⋅ 174 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
52548 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313 ≡ 277 ⋅ 209 ⋅ 132 mod 313
57893 ⋅ 132 mod 313 ≡ 301 ⋅ 132 mod 313
39732 mod 313 ≡ 294 mod 313

Es gilt also: 171126 ≡ 294 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61 = 1⋅45 + 16
=>45 = 2⋅16 + 13
=>16 = 1⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13)
= -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16)
= 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45)
= -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.