Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1497 + 8998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1497 + 8998) mod 3 ≡ (1497 mod 3 + 8998 mod 3) mod 3.
1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1500
8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
Somit gilt:
(1497 + 8998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 39) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 39) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 39) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 215128 mod 631.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 215 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 162 mod 631
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 373 mod 631
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631
32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631
64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631
128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 82 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12289 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 1221=122
2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 89 mod 269
4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 120 mod 269
8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 143 mod 269
16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 5 mod 269
32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 269
64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 25⋅25=625 ≡ 87 mod 269
12289
= 12264+16+8+1
= 12264⋅12216⋅1228⋅1221
≡ 87 ⋅ 5 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269
≡ 435 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269 ≡ 166 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269
≡ 23738 ⋅ 122 mod 269 ≡ 66 ⋅ 122 mod 269
≡ 8052 mod 269 ≡ 251 mod 269
Es gilt also: 12289 ≡ 251 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
