Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1796 + 4502) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1796 + 4502) mod 9 ≡ (1796 mod 9 + 4502 mod 9) mod 9.
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
4502 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4502
= 4500
Somit gilt:
(1796 + 4502) mod 9 ≡ (5 + 2) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 30) mod 7 ≡ (27 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 30) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54832 mod 677.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 548 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5481=548
2: 5482=5481+1=5481⋅5481 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 393 mod 677
4: 5484=5482+2=5482⋅5482 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 93 mod 677
8: 5488=5484+4=5484⋅5484 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 525 mod 677
16: 54816=5488+8=5488⋅5488 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 86 mod 677
32: 54832=54816+16=54816⋅54816 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 626 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241184 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 106 mod 773
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 414 mod 773
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 563 mod 773
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 39 mod 773
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 748 mod 773
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 625 mod 773
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 260 mod 773
241184
= 241128+32+16+8
= 241128⋅24132⋅24116⋅2418
≡ 260 ⋅ 748 ⋅ 39 ⋅ 563 mod 773
≡ 194480 ⋅ 39 ⋅ 563 mod 773 ≡ 457 ⋅ 39 ⋅ 563 mod 773
≡ 17823 ⋅ 563 mod 773 ≡ 44 ⋅ 563 mod 773
≡ 24772 mod 773 ≡ 36 mod 773
Es gilt also: 241184 ≡ 36 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.