Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (319 - 3207) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(319 - 3207) mod 8 ≡ (319 mod 8 - 3207 mod 8) mod 8.

319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319 = 320-1 = 8 ⋅ 40 -1 = 8 ⋅ 40 - 8 + 7.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

Somit gilt:

(319 - 3207) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 47) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 47) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 47) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7078 mod 863.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 707 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7071=707

2: 7072=7071+1=7071⋅7071 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 172 mod 863

4: 7074=7072+2=7072⋅7072 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 242 mod 863

8: 7078=7074+4=7074⋅7074 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 743 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 498239 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 4981=498

2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 612 mod 859

4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 20 mod 859

8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 859

16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 226 mod 859

32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 395 mod 859

64: 49864=49832+32=49832⋅49832 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 546 mod 859

128: 498128=49864+64=49864⋅49864 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 43 mod 859

498239

= 498128+64+32+8+4+2+1

= 498128⋅49864⋅49832⋅4988⋅4984⋅4982⋅4981

43 ⋅ 546 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
23478 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 285 ⋅ 395 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
112575 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 46 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
18400 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 361 ⋅ 20 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
7220 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859 ≡ 348 ⋅ 612 ⋅ 498 mod 859
212976 ⋅ 498 mod 859 ≡ 803 ⋅ 498 mod 859
399894 mod 859 ≡ 459 mod 859

Es gilt also: 498239 ≡ 459 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101 = 2⋅47 + 7
=>47 = 6⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7)
= 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47)
= -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.