Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 + 181) mod 6 ≡ (1797 mod 6 + 181 mod 6) mod 6.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(1797 + 181) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 40) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 407¹=407

2: 407²=407¹⁺¹=407¹⋅407¹ ≡ 407⋅407=165649 ≡ 429 mod 751

4: 407⁴=407²⁺²=407²⋅407² ≡ 429⋅429=184041 ≡ 46 mod 751

8: 407⁸=407⁴⁺⁴=407⁴⋅407⁴ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 614 mod 751

16: 407¹⁶=407⁸⁺⁸=407⁸⋅407⁸ ≡ 614⋅614=376996 ≡ 745 mod 751

32: 407³²=407¹⁶⁺¹⁶=407¹⁶⋅407¹⁶ ≡ 745⋅745=555025 ≡ 36 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

795²⁵¹

= 795^{128+64+32+16+8+2+1}

= 795¹²⁸⋅795⁶⁴⋅795³²⋅795¹⁶⋅795⁸⋅795²⋅795¹

≡ 792 ⋅ 85 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 67320 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 233 ⋅ 235 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 54755 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 534 ⋅ 180 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 96120 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 544 ⋅ 122 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 66368 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919 ≡ 200 ⋅ 672 ⋅ 795 mod 919
≡ 134400 ⋅ 795 mod 919 ≡ 226 ⋅ 795 mod 919
≡ 179670 mod 919 ≡ 465 mod 919

Es gilt also: 795²⁵¹ ≡ 465 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52

=>61	= 1⋅52 + 9
=>52	= 5⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 52-5⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1)
9= 61-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52) = 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +27⋅52

Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1

Somit 27⋅52 = 1 mod 61

27 ist also das Inverse von 52 mod 61