Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (199 + 20004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(199 + 20004) mod 4 ≡ (199 mod 4 + 20004 mod 4) mod 4.
199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 200
20004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
Somit gilt:
(199 + 20004) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 40) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 40) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 40) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 126128 mod 401.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 126 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 237 mod 401
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 29 mod 401
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401
128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 39 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 418251 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 4181=418
2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 559 mod 683
4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 243 mod 683
16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 311 mod 683
32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 418 mod 683
64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 559 mod 683
128: 418128=41864+64=41864⋅41864 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
418251
= 418128+64+32+16+8+2+1
= 418128⋅41864⋅41832⋅41816⋅4188⋅4182⋅4181
≡ 350 ⋅ 559 ⋅ 418 ⋅ 311 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 195650 ⋅ 418 ⋅ 311 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683 ≡ 312 ⋅ 418 ⋅ 311 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 130416 ⋅ 311 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683 ≡ 646 ⋅ 311 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 200906 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683 ≡ 104 ⋅ 243 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 25272 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683 ≡ 1 ⋅ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 559 ⋅ 418 mod 683
≡ 233662 mod 683 ≡ 76 mod 683
Es gilt also: 418251 ≡ 76 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
