Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18004 + 3002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18004 + 3002) mod 6 ≡ (18004 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.
18004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18004
= 18000
3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(18004 + 3002) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 19) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 19) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 19) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38132 mod 431.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 345 mod 431
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 69 mod 431
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 20 mod 431
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 431
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 99 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 170143 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 179 mod 373
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 336 mod 373
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 250 mod 373
16: 17016=1708+8=1708⋅1708 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 209 mod 373
32: 17032=17016+16=17016⋅17016 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 40 mod 373
64: 17064=17032+32=17032⋅17032 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 108 mod 373
128: 170128=17064+64=17064⋅17064 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 101 mod 373
170143
= 170128+8+4+2+1
= 170128⋅1708⋅1704⋅1702⋅1701
≡ 101 ⋅ 250 ⋅ 336 ⋅ 179 ⋅ 170 mod 373
≡ 25250 ⋅ 336 ⋅ 179 ⋅ 170 mod 373 ≡ 259 ⋅ 336 ⋅ 179 ⋅ 170 mod 373
≡ 87024 ⋅ 179 ⋅ 170 mod 373 ≡ 115 ⋅ 179 ⋅ 170 mod 373
≡ 20585 ⋅ 170 mod 373 ≡ 70 ⋅ 170 mod 373
≡ 11900 mod 373 ≡ 337 mod 373
Es gilt also: 170143 ≡ 337 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.