Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (173 + 3605) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(173 + 3605) mod 9 ≡ (173 mod 9 + 3605 mod 9) mod 9.
173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173
= 180
3605 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3605
= 3600
Somit gilt:
(173 + 3605) mod 9 ≡ (2 + 5) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 77) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 77) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71216 mod 733.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 712 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7121=712
2: 7122=7121+1=7121⋅7121 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 441 mod 733
4: 7124=7122+2=7122⋅7122 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 236 mod 733
8: 7128=7124+4=7124⋅7124 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 721 mod 733
16: 71216=7128+8=7128⋅7128 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 144 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181133 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 41 mod 409
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 45 mod 409
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 389 mod 409
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 400 mod 409
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 81 mod 409
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 17 mod 409
128: 181128=18164+64=18164⋅18164 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 409
181133
= 181128+4+1
= 181128⋅1814⋅1811
≡ 289 ⋅ 45 ⋅ 181 mod 409
≡ 13005 ⋅ 181 mod 409 ≡ 326 ⋅ 181 mod 409
≡ 59006 mod 409 ≡ 110 mod 409
Es gilt also: 181133 ≡ 110 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.