Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30003 - 1200) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30003 - 1200) mod 6 ≡ (30003 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.
30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003
= 30000
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(30003 - 1200) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 74) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 74) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 74) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18932 mod 227.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 82 mod 227
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 141 mod 227
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 132 mod 227
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 172 mod 227
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 74 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 179141 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:
141 = 128+8+4+1
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 210 mod 229
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 132 mod 229
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229
32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229
64: 17964=17932+32=17932⋅17932 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229
128: 179128=17964+64=17964⋅17964 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229
179141
= 179128+8+4+1
= 179128⋅1798⋅1794⋅1791
≡ 9 ⋅ 20 ⋅ 132 ⋅ 179 mod 229
≡ 180 ⋅ 132 ⋅ 179 mod 229
≡ 23760 ⋅ 179 mod 229 ≡ 173 ⋅ 179 mod 229
≡ 30967 mod 229 ≡ 52 mod 229
Es gilt also: 179141 ≡ 52 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.