Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2801 + 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2801 + 77) mod 7 ≡ (2801 mod 7 + 77 mod 7) mod 7.
2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801
= 2800
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 70
Somit gilt:
(2801 + 77) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 36) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 36) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 36) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26716 mod 631.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 267 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 617 mod 631
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 196 mod 631
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 556 mod 631
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 577 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31869 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 718 mod 823
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 326 mod 823
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 109 mod 823
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 359 mod 823
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 493 mod 823
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 264 mod 823
31869
= 31864+4+1
= 31864⋅3184⋅3181
≡ 264 ⋅ 326 ⋅ 318 mod 823
≡ 86064 ⋅ 318 mod 823 ≡ 472 ⋅ 318 mod 823
≡ 150096 mod 823 ≡ 310 mod 823
Es gilt also: 31869 ≡ 310 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.