Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (242 + 120) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(242 + 120) mod 6 ≡ (242 mod 6 + 120 mod 6) mod 6.
242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242
= 240
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(242 + 120) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 59) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 59) mod 10 ≡ (2 ⋅ 9) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4638 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 762 mod 941
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 47 mod 941
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 327 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 208119 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 476 mod 563
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 250 mod 563
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 7 mod 563
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 563
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 149 mod 563
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 244 mod 563
208119
= 20864+32+16+4+2+1
= 20864⋅20832⋅20816⋅2084⋅2082⋅2081
≡ 244 ⋅ 149 ⋅ 49 ⋅ 250 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563
≡ 36356 ⋅ 49 ⋅ 250 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563 ≡ 324 ⋅ 49 ⋅ 250 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563
≡ 15876 ⋅ 250 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563 ≡ 112 ⋅ 250 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563
≡ 28000 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563 ≡ 413 ⋅ 476 ⋅ 208 mod 563
≡ 196588 ⋅ 208 mod 563 ≡ 101 ⋅ 208 mod 563
≡ 21008 mod 563 ≡ 177 mod 563
Es gilt also: 208119 ≡ 177 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.