Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 + 16002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 + 16002) mod 4 ≡ (11999 mod 4 + 16002 mod 4) mod 4.
11999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 11000
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(11999 + 16002) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 76) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 76) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 76 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 76) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7764 mod 233.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 77 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 771=77
2: 772=771+1=771⋅771 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 104 mod 233
4: 774=772+2=772⋅772 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 98 mod 233
8: 778=774+4=774⋅774 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 51 mod 233
16: 7716=778+8=778⋅778 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
32: 7732=7716+16=7716⋅7716 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
64: 7764=7732+32=7732⋅7732 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 478212 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 4781=478
2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 184 mod 761
4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 372 mod 761
8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 643 mod 761
16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 226 mod 761
32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 89 mod 761
64: 47864=47832+32=47832⋅47832 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 311 mod 761
128: 478128=47864+64=47864⋅47864 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 74 mod 761
478212
= 478128+64+16+4
= 478128⋅47864⋅47816⋅4784
≡ 74 ⋅ 311 ⋅ 226 ⋅ 372 mod 761
≡ 23014 ⋅ 226 ⋅ 372 mod 761 ≡ 184 ⋅ 226 ⋅ 372 mod 761
≡ 41584 ⋅ 372 mod 761 ≡ 490 ⋅ 372 mod 761
≡ 182280 mod 761 ≡ 401 mod 761
Es gilt also: 478212 ≡ 401 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.