Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1596 - 12003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1596 - 12003) mod 4 ≡ (1596 mod 4 - 12003 mod 4) mod 4.
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
Somit gilt:
(1596 - 12003) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 58) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 58) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 58 mod 8) mod 8.
59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.
58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 58) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7008 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 700 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 523 mod 977
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 946 mod 977
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 946⋅946=894916 ≡ 961 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12697 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 82 mod 229
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229
12697
= 12664+32+1
= 12664⋅12632⋅1261
≡ 83 ⋅ 82 ⋅ 126 mod 229
≡ 6806 ⋅ 126 mod 229 ≡ 165 ⋅ 126 mod 229
≡ 20790 mod 229 ≡ 180 mod 229
Es gilt also: 12697 ≡ 180 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21
| =>61 | = 2⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -29⋅21
-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21
-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1
(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1
32⋅21 = 11⋅61 + 1
Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1
Somit 32⋅21 = 1 mod 61
32 ist also das Inverse von 21 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.