Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 902) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 902) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 902 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902
= 900
Somit gilt:
(900 + 902) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 58) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 58) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 58 mod 6) mod 6.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 58) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2188 mod 257.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 236 mod 257
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 184 mod 257
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 189 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 168234 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 1681=168
2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 151 mod 419
4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 175 mod 419
8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 38 mod 419
16: 16816=1688+8=1688⋅1688 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 187 mod 419
32: 16832=16816+16=16816⋅16816 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 192 mod 419
64: 16864=16832+32=16832⋅16832 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 411 mod 419
128: 168128=16864+64=16864⋅16864 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 64 mod 419
168234
= 168128+64+32+8+2
= 168128⋅16864⋅16832⋅1688⋅1682
≡ 64 ⋅ 411 ⋅ 192 ⋅ 38 ⋅ 151 mod 419
≡ 26304 ⋅ 192 ⋅ 38 ⋅ 151 mod 419 ≡ 326 ⋅ 192 ⋅ 38 ⋅ 151 mod 419
≡ 62592 ⋅ 38 ⋅ 151 mod 419 ≡ 161 ⋅ 38 ⋅ 151 mod 419
≡ 6118 ⋅ 151 mod 419 ≡ 252 ⋅ 151 mod 419
≡ 38052 mod 419 ≡ 342 mod 419
Es gilt also: 168234 ≡ 342 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.