Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1601 + 4000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1601 + 4000) mod 4 ≡ (1601 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(1601 + 4000) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 78) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 78) mod 6 ≡ (80 mod 6 ⋅ 78 mod 6) mod 6.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 78) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44732 mod 823.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 643 mod 823
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 303 mod 823
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 456 mod 823
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 540 mod 823
32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 258 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70668 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 7061=706
2: 7062=7061+1=7061⋅7061 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 9 mod 709
4: 7064=7062+2=7062⋅7062 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 709
8: 7068=7064+4=7064⋅7064 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709
16: 70616=7068+8=7068⋅7068 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709
32: 70632=70616+16=70616⋅70616 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709
64: 70664=70632+32=70632⋅70632 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 568 mod 709
70668
= 70664+4
= 70664⋅7064
≡ 568 ⋅ 81 mod 709
≡ 46008 mod 709 ≡ 632 mod 709
Es gilt also: 70668 ≡ 632 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.