Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 - 6001) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 - 6001) mod 3 ≡ (303 mod 3 - 6001 mod 3) mod 3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(303 - 6001) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 99) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 99) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 99 mod 6) mod 6.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 99) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4978 mod 563.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,563) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4971=497

2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 415 mod 563

4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 510 mod 563

8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 557 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9078 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 901=90

2: 902=901+1=901⋅901 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 68 mod 251

4: 904=902+2=902⋅902 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 106 mod 251

8: 908=904+4=904⋅904 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251

16: 9016=908+8=908⋅908 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251

32: 9032=9016+16=9016⋅9016 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 85 mod 251

64: 9064=9032+32=9032⋅9032 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 197 mod 251

9078

= 9064+8+4+2

= 9064⋅908⋅904⋅902

197 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251
37824 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251 ≡ 174 ⋅ 106 ⋅ 68 mod 251
18444 ⋅ 68 mod 251 ≡ 121 ⋅ 68 mod 251
8228 mod 251 ≡ 196 mod 251

Es gilt also: 9078 ≡ 196 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

=>89 = 2⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40)
= 9⋅89 -20⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -20⋅40

-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40

-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1

(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1

69⋅40 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1

Somit 69⋅40 = 1 mod 89

69 ist also das Inverse von 40 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.