Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24999 - 2501) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24999 - 2501) mod 5 ≡ (24999 mod 5 - 2501 mod 5) mod 5.

24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999 = 24000+999 = 5 ⋅ 4800 +999.

2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501 = 2500+1 = 5 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(24999 - 2501) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 63) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 63) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 63) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3348 mod 359.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 266 mod 359

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 33 mod 359

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 12 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280255 mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 9 mod 283

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 283

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 52 mod 283

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 157 mod 283

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 28 mod 283

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 28⋅28=784 ≡ 218 mod 283

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 263 mod 283

280255

= 280128+64+32+16+8+4+2+1

= 280128⋅28064⋅28032⋅28016⋅2808⋅2804⋅2802⋅2801

263 ⋅ 218 ⋅ 28 ⋅ 157 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
57334 ⋅ 28 ⋅ 157 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283 ≡ 168 ⋅ 28 ⋅ 157 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
4704 ⋅ 157 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283 ≡ 176 ⋅ 157 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
27632 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283 ≡ 181 ⋅ 52 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
9412 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283 ≡ 73 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
5913 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283 ≡ 253 ⋅ 9 ⋅ 280 mod 283
2277 ⋅ 280 mod 283 ≡ 13 ⋅ 280 mod 283
3640 mod 283 ≡ 244 mod 283

Es gilt also: 280255 ≡ 244 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59

=>73 = 1⋅59 + 14
=>59 = 4⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 59-4⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14)
= 5⋅59 -21⋅ 14 (=1)
14= 73-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59)
= -21⋅73 +26⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59

oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅73 = +26⋅59

Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1

Somit 26⋅59 = 1 mod 73

26 ist also das Inverse von 59 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.