Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (175 - 35997) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(175 - 35997) mod 9 ≡ (175 mod 9 - 35997 mod 9) mod 9.

175 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 9 ⋅ 20 -5 = 9 ⋅ 20 - 9 + 4.

35997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35997 = 36000-3 = 9 ⋅ 4000 -3 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(175 - 35997) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 93) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 93) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 93 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 93) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38932 mod 887.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3891=389

2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 531 mod 887

4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 782 mod 887

8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 381 mod 887

16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 580 mod 887

32: 38932=38916+16=38916⋅38916 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 227 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 823179 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

1: 8231=823

2: 8232=8231+1=8231⋅8231 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 542 mod 971

4: 8234=8232+2=8232⋅8232 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 522 mod 971

8: 8238=8234+4=8234⋅8234 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 604 mod 971

16: 82316=8238+8=8238⋅8238 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 691 mod 971

32: 82332=82316+16=82316⋅82316 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 720 mod 971

64: 82364=82332+32=82332⋅82332 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 857 mod 971

128: 823128=82364+64=82364⋅82364 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 373 mod 971

823179

= 823128+32+16+2+1

= 823128⋅82332⋅82316⋅8232⋅8231

373 ⋅ 720 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
268560 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971 ≡ 564 ⋅ 691 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
389724 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971 ≡ 353 ⋅ 542 ⋅ 823 mod 971
191326 ⋅ 823 mod 971 ≡ 39 ⋅ 823 mod 971
32097 mod 971 ≡ 54 mod 971

Es gilt also: 823179 ≡ 54 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.