Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14998 + 15000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 + 15000) mod 3 ≡ (14998 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(14998 + 15000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 25) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 25) mod 10 ≡ (39 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 25) mod 10 ≡ (9 ⋅ 5) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 76564 mod 821.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 765 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7651=765

2: 7652=7651+1=7651⋅7651 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 673 mod 821

4: 7654=7652+2=7652⋅7652 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 558 mod 821

8: 7658=7654+4=7654⋅7654 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 205 mod 821

16: 76516=7658+8=7658⋅7658 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 154 mod 821

32: 76532=76516+16=76516⋅76516 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 728 mod 821

64: 76564=76532+32=76532⋅76532 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 439 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 684115 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 6841=684

2: 6842=6841+1=6841⋅6841 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 69 mod 739

4: 6844=6842+2=6842⋅6842 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 327 mod 739

8: 6848=6844+4=6844⋅6844 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 513 mod 739

16: 68416=6848+8=6848⋅6848 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 85 mod 739

32: 68432=68416+16=68416⋅68416 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 574 mod 739

64: 68464=68432+32=68432⋅68432 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 621 mod 739

684115

= 68464+32+16+2+1

= 68464⋅68432⋅68416⋅6842⋅6841

621 ⋅ 574 ⋅ 85 ⋅ 69 ⋅ 684 mod 739
356454 ⋅ 85 ⋅ 69 ⋅ 684 mod 739 ≡ 256 ⋅ 85 ⋅ 69 ⋅ 684 mod 739
21760 ⋅ 69 ⋅ 684 mod 739 ≡ 329 ⋅ 69 ⋅ 684 mod 739
22701 ⋅ 684 mod 739 ≡ 531 ⋅ 684 mod 739
363204 mod 739 ≡ 355 mod 739

Es gilt also: 684115 ≡ 355 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47

=>61 = 1⋅47 + 14
=>47 = 3⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14)
= 3⋅47 -10⋅ 14 (=1)
14= 61-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47)
= -10⋅61 +13⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47

oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅61 = +13⋅47

Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1

Somit 13⋅47 = 1 mod 61

13 ist also das Inverse von 47 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.