Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2402 - 40008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2402 - 40008) mod 8 ≡ (2402 mod 8 - 40008 mod 8) mod 8.
2402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
40008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40008
= 40000
Somit gilt:
(2402 - 40008) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 73) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 73) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 73 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 73) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2608 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 138 mod 379
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 94 mod 379
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 119 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 158119 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 1581=158
2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 15 mod 409
4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 409
8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 318 mod 409
16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 101 mod 409
32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 385 mod 409
64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 167 mod 409
158119
= 15864+32+16+4+2+1
= 15864⋅15832⋅15816⋅1584⋅1582⋅1581
≡ 167 ⋅ 385 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
≡ 64295 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 82 ⋅ 101 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
≡ 8282 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 102 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
≡ 22950 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409 ≡ 46 ⋅ 15 ⋅ 158 mod 409
≡ 690 ⋅ 158 mod 409 ≡ 281 ⋅ 158 mod 409
≡ 44398 mod 409 ≡ 226 mod 409
Es gilt also: 158119 ≡ 226 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.