Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 - 1794) mod 6 ≡ (1797 mod 6 - 1794 mod 6) mod 6.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 6 ⋅ 300 -6 = 6 ⋅ 300 - 6 + 0.

Somit gilt:

(1797 - 1794) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 34) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 34) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 535¹=535

2: 535²=535¹⁺¹=535¹⋅535¹ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 520 mod 907

4: 535⁴=535²⁺²=535²⋅535² ≡ 520⋅520=270400 ≡ 114 mod 907

8: 535⁸=535⁴⁺⁴=535⁴⋅535⁴ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 298 mod 907

16: 535¹⁶=535⁸⁺⁸=535⁸⋅535⁸ ≡ 298⋅298=88804 ≡ 825 mod 907

32: 535³²=535¹⁶⁺¹⁶=535¹⁶⋅535¹⁶ ≡ 825⋅825=680625 ≡ 375 mod 907

64: 535⁶⁴=535³²⁺³²=535³²⋅535³² ≡ 375⋅375=140625 ≡ 40 mod 907

128: 535¹²⁸=535⁶⁴⁺⁶⁴=535⁶⁴⋅535⁶⁴ ≡ 40⋅40=1600 ≡ 693 mod 907

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

375⁸⁷

= 375^64+16+4+2+1

= 375⁶⁴⋅375¹⁶⋅375⁴⋅375²⋅375¹

≡ 174 ⋅ 326 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 56724 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787 ≡ 60 ⋅ 118 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 7080 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787 ≡ 784 ⋅ 539 ⋅ 375 mod 787
≡ 422576 ⋅ 375 mod 787 ≡ 744 ⋅ 375 mod 787
≡ 279000 mod 787 ≡ 402 mod 787

Es gilt also: 375⁸⁷ ≡ 402 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71	= 1⋅48 + 23
=>48	= 2⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48) = -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71