Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 3000) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.
11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(11999 - 3000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 76) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 76) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55416 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 554 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5541=554
2: 5542=5541+1=5541⋅5541 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 80 mod 971
4: 5544=5542+2=5542⋅5542 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 574 mod 971
8: 5548=5544+4=5544⋅5544 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 307 mod 971
16: 55416=5548+8=5548⋅5548 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 62 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 551171 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 5511=551
2: 5512=5511+1=5511⋅5511 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 408 mod 641
4: 5514=5512+2=5512⋅5512 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 445 mod 641
8: 5518=5514+4=5514⋅5514 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 597 mod 641
16: 55116=5518+8=5518⋅5518 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 13 mod 641
32: 55132=55116+16=55116⋅55116 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 641
64: 55164=55132+32=55132⋅55132 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 357 mod 641
128: 551128=55164+64=55164⋅55164 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
551171
= 551128+32+8+2+1
= 551128⋅55132⋅5518⋅5512⋅5511
≡ 531 ⋅ 169 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
≡ 89739 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641 ≡ 640 ⋅ 597 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
≡ 382080 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641 ≡ 44 ⋅ 408 ⋅ 551 mod 641
≡ 17952 ⋅ 551 mod 641 ≡ 4 ⋅ 551 mod 641
≡ 2204 mod 641 ≡ 281 mod 641
Es gilt also: 551171 ≡ 281 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.