Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 - 404) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 - 404) mod 4 ≡ (1999 mod 4 - 404 mod 4) mod 4.
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(1999 - 404) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 30) mod 4 ≡ (96 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 30) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5658 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 565 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5651=565
2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 778 mod 863
4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 321 mod 863
8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 344 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 608212 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 137 mod 823
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 663 mod 823
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 87 mod 823
16: 60816=6088+8=6088⋅6088 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 162 mod 823
32: 60832=60816+16=60816⋅60816 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 731 mod 823
64: 60864=60832+32=60832⋅60832 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 234 mod 823
128: 608128=60864+64=60864⋅60864 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 438 mod 823
608212
= 608128+64+16+4
= 608128⋅60864⋅60816⋅6084
≡ 438 ⋅ 234 ⋅ 162 ⋅ 663 mod 823
≡ 102492 ⋅ 162 ⋅ 663 mod 823 ≡ 440 ⋅ 162 ⋅ 663 mod 823
≡ 71280 ⋅ 663 mod 823 ≡ 502 ⋅ 663 mod 823
≡ 332826 mod 823 ≡ 334 mod 823
Es gilt also: 608212 ≡ 334 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.