Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 + 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 + 15002) mod 3 ≡ (302 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(302 + 15002) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 26) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 26) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 26) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 330128 mod 421.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 282 mod 421
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 376 mod 421
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 341 mod 421
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 85 mod 421
32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 68 mod 421
64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 414 mod 421
128: 330128=33064+64=33064⋅33064 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 49 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216124 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 571 mod 709
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 610 mod 709
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 584 mod 709
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 27 mod 709
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 27⋅27=729 ≡ 20 mod 709
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 709
216124
= 21664+32+16+8+4
= 21664⋅21632⋅21616⋅2168⋅2164
≡ 400 ⋅ 20 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 mod 709
≡ 8000 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 mod 709 ≡ 201 ⋅ 27 ⋅ 584 ⋅ 610 mod 709
≡ 5427 ⋅ 584 ⋅ 610 mod 709 ≡ 464 ⋅ 584 ⋅ 610 mod 709
≡ 270976 ⋅ 610 mod 709 ≡ 138 ⋅ 610 mod 709
≡ 84180 mod 709 ≡ 518 mod 709
Es gilt also: 216124 ≡ 518 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
