Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2500 - 24998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2500 - 24998) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 24998 mod 5) mod 5.
2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500
= 2500
24998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24998
= 24000
Somit gilt:
(2500 - 24998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 46) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 46) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 46 mod 10) mod 10.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 46) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2568 mod 577.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2561=256
2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577
4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 287 mod 577
8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 435 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21280 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 90 mod 547
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 442 mod 547
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 85 mod 547
16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 114 mod 547
32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 415 mod 547
64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 467 mod 547
21280
= 21264+16
= 21264⋅21216
≡ 467 ⋅ 114 mod 547
≡ 53238 mod 547 ≡ 179 mod 547
Es gilt also: 21280 ≡ 179 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52
| =>97 | = 1⋅52 + 45 |
| =>52 | = 1⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1) |
| 45= 97-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52
oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +15⋅97 = +28⋅52
Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1
Somit 28⋅52 = 1 mod 97
28 ist also das Inverse von 52 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.