Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4497 - 36000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4497 - 36000) mod 9 ≡ (4497 mod 9 - 36000 mod 9) mod 9.
4497 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4497
= 4500
36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000
= 36000
Somit gilt:
(4497 - 36000) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 17) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 17) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 17 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 17) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22416 mod 227.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 9 mod 227
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 227
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 205 mod 227
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 30 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 444133 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 23 mod 971
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 971
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 193 mod 971
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 351 mod 971
32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 855 mod 971
64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 833 mod 971
128: 444128=44464+64=44464⋅44464 ≡ 833⋅833=693889 ≡ 595 mod 971
444133
= 444128+4+1
= 444128⋅4444⋅4441
≡ 595 ⋅ 529 ⋅ 444 mod 971
≡ 314755 ⋅ 444 mod 971 ≡ 151 ⋅ 444 mod 971
≡ 67044 mod 971 ≡ 45 mod 971
Es gilt also: 444133 ≡ 45 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.