Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 - 88) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 - 88) mod 8 ≡ (797 mod 8 - 88 mod 8) mod 8.
797 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 800
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 80
Somit gilt:
(797 - 88) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 85) mod 10 ≡ (99 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 85) mod 10 ≡ (9 ⋅ 5) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31716 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 404 mod 541
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 375 mod 541
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 506 mod 541
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 143 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31761 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 48 mod 397
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 319 mod 397
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 129 mod 397
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 364 mod 397
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 295 mod 397
31761
= 31732+16+8+4+1
= 31732⋅31716⋅3178⋅3174⋅3171
≡ 295 ⋅ 364 ⋅ 129 ⋅ 319 ⋅ 317 mod 397
≡ 107380 ⋅ 129 ⋅ 319 ⋅ 317 mod 397 ≡ 190 ⋅ 129 ⋅ 319 ⋅ 317 mod 397
≡ 24510 ⋅ 319 ⋅ 317 mod 397 ≡ 293 ⋅ 319 ⋅ 317 mod 397
≡ 93467 ⋅ 317 mod 397 ≡ 172 ⋅ 317 mod 397
≡ 54524 mod 397 ≡ 135 mod 397
Es gilt also: 31761 ≡ 135 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92
| =>101 | = 1⋅92 + 9 |
| =>92 | = 10⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 92-10⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1) |
| 9= 101-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -45⋅92
-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92
-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1
(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1
56⋅92 = 51⋅101 + 1
Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1
Somit 56⋅92 = 1 mod 101
56 ist also das Inverse von 92 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.