Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (597 - 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(597 - 3000) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(597 - 3000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 24) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 24) mod 3 ≡ (61 mod 3 ⋅ 24 mod 3) mod 3.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 24) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28832 mod 911.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 43 mod 911
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 27 mod 911
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 911
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 328 mod 911
32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 86 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396148 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 7 mod 673
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 673
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 382 mod 673
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 556 mod 673
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 229 mod 673
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673
396148
= 396128+16+4
= 396128⋅39616⋅3964
≡ 117 ⋅ 556 ⋅ 49 mod 673
≡ 65052 ⋅ 49 mod 673 ≡ 444 ⋅ 49 mod 673
≡ 21756 mod 673 ≡ 220 mod 673
Es gilt also: 396148 ≡ 220 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 60
| =>89 | = 1⋅60 + 29 |
| =>60 | = 2⋅29 + 2 |
| =>29 | = 14⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-14⋅2 | |||
| 2= 60-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -14⋅(60 -2⋅ 29)
= 1⋅29 -14⋅60 +28⋅ 29) = -14⋅60 +29⋅ 29 (=1) |
| 29= 89-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅60 +29⋅(89 -1⋅ 60)
= -14⋅60 +29⋅89 -29⋅ 60) = 29⋅89 -43⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,60)=1 = 29⋅89 -43⋅60
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -43⋅60
-43⋅60 = -29⋅89 + 1 |+89⋅60
-43⋅60 + 89⋅60 = -29⋅89 + 89⋅60 + 1
(-43 + 89) ⋅ 60 = (-29 + 60) ⋅ 89 + 1
46⋅60 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 46⋅60 = 31⋅89 +1
Somit 46⋅60 = 1 mod 89
46 ist also das Inverse von 60 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.