Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 + 1200) mod 3 ≡ (1502 mod 3 + 1200 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(1502 + 1200) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 19) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 19) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 294¹=294

2: 294²=294¹⁺¹=294¹⋅294¹ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 122 mod 419

4: 294⁴=294²⁺²=294²⋅294² ≡ 122⋅122=14884 ≡ 219 mod 419

8: 294⁸=294⁴⁺⁴=294⁴⋅294⁴ ≡ 219⋅219=47961 ≡ 195 mod 419

16: 294¹⁶=294⁸⁺⁸=294⁸⋅294⁸ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 315 mod 419

32: 294³²=294¹⁶⁺¹⁶=294¹⁶⋅294¹⁶ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419

64: 294⁶⁴=294³²⁺³²=294³²⋅294³² ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419

128: 294¹²⁸=294⁶⁴⁺⁶⁴=294⁶⁴⋅294⁶⁴ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

246⁶⁰

= 246^32+16+8+4

= 246³²⋅246¹⁶⋅246⁸⋅246⁴

≡ 14 ⋅ 280 ⋅ 332 ⋅ 480 mod 509
≡ 3920 ⋅ 332 ⋅ 480 mod 509 ≡ 357 ⋅ 332 ⋅ 480 mod 509
≡ 118524 ⋅ 480 mod 509 ≡ 436 ⋅ 480 mod 509
≡ 209280 mod 509 ≡ 81 mod 509

Es gilt also: 246⁶⁰ ≡ 81 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67	= 1⋅63 + 4
=>63	= 15⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63) = -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67