Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1497 + 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1497 + 91) mod 3 ≡ (1497 mod 3 + 91 mod 3) mod 3.
1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1500
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91
= 90
Somit gilt:
(1497 + 91) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 87) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 87) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28232 mod 659.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2821=282
2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 444 mod 659
4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 95 mod 659
8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 458 mod 659
16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 202 mod 659
32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 605 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 272180 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 561 mod 617
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 51 mod 617
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 133 mod 617
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 413 mod 617
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617
128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617
272180
= 272128+32+16+4
= 272128⋅27232⋅27216⋅2724
≡ 98 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617
≡ 27146 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617 ≡ 615 ⋅ 413 ⋅ 51 mod 617
≡ 253995 ⋅ 51 mod 617 ≡ 408 ⋅ 51 mod 617
≡ 20808 mod 617 ≡ 447 mod 617
Es gilt also: 272180 ≡ 447 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.