Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (604 + 126) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(604 + 126) mod 6 ≡ (604 mod 6 + 126 mod 6) mod 6.
604 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 604
= 600
126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126
= 120
Somit gilt:
(604 + 126) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 59) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 59) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 59) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20164 mod 251.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251
64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 615165 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 6151=615
2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 753 mod 983
4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 801 mod 983
8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 801⋅801=641601 ≡ 685 mod 983
16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 334 mod 983
32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 477 mod 983
64: 61564=61532+32=61532⋅61532 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 456 mod 983
128: 615128=61564+64=61564⋅61564 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 523 mod 983
615165
= 615128+32+4+1
= 615128⋅61532⋅6154⋅6151
≡ 523 ⋅ 477 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983
≡ 249471 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983 ≡ 772 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983
≡ 618372 ⋅ 615 mod 983 ≡ 65 ⋅ 615 mod 983
≡ 39975 mod 983 ≡ 655 mod 983
Es gilt also: 615165 ≡ 655 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.