Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 - 900) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 - 900) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 900 mod 3) mod 3.
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(1503 - 900) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 79) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 79) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.
56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 79) mod 11 ≡ (1 ⋅ 2) mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 359128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 359 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3591=359
2: 3592=3591+1=3591⋅3591 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 202 mod 727
4: 3594=3592+2=3592⋅3592 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 92 mod 727
8: 3598=3594+4=3594⋅3594 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 467 mod 727
16: 35916=3598+8=3598⋅3598 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 716 mod 727
32: 35932=35916+16=35916⋅35916 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 121 mod 727
64: 35964=35932+32=35932⋅35932 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 101 mod 727
128: 359128=35964+64=35964⋅35964 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 244111 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:
111 = 64+32+8+4+2+1
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 174 mod 443
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 194 mod 443
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 424 mod 443
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 361 mod 443
244111
= 24464+32+8+4+2+1
= 24464⋅24432⋅2448⋅2444⋅2442⋅2441
≡ 361 ⋅ 424 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 153064 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 229 ⋅ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 15572 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 67 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 10184 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443 ≡ 438 ⋅ 174 ⋅ 244 mod 443
≡ 76212 ⋅ 244 mod 443 ≡ 16 ⋅ 244 mod 443
≡ 3904 mod 443 ≡ 360 mod 443
Es gilt also: 244111 ≡ 360 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 80
| =>83 | = 1⋅80 + 3 |
| =>80 | = 26⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 80-26⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(80 -26⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅80 +26⋅ 3) = -1⋅80 +27⋅ 3 (=1) |
| 3= 83-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +27⋅(83 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +27⋅83 -27⋅ 80) = 27⋅83 -28⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,80)=1 = 27⋅83 -28⋅80
oder wenn man 27⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅83 = -28⋅80
-28⋅80 = -27⋅83 + 1 |+83⋅80
-28⋅80 + 83⋅80 = -27⋅83 + 83⋅80 + 1
(-28 + 83) ⋅ 80 = (-27 + 80) ⋅ 83 + 1
55⋅80 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 55⋅80 = 53⋅83 +1
Somit 55⋅80 = 1 mod 83
55 ist also das Inverse von 80 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
