Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 + 9000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 + 9000) mod 3 ≡ (90 mod 3 + 9000 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(90 + 9000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 15) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 15) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 15) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39732 mod 971.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 397 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3971=397

2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 307 mod 971

4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 62 mod 971

8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 931 mod 971

16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 931⋅931=866761 ≡ 629 mod 971

32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 444 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 129129 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 1291=129

2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 303 mod 389

4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 5 mod 389

8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 389

16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 25⋅25=625 ≡ 236 mod 389

32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 69 mod 389

64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 93 mod 389

128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 91 mod 389

129129

= 129128+1

= 129128⋅1291

91 ⋅ 129 mod 389
11739 mod 389 ≡ 69 mod 389

Es gilt also: 129129 ≡ 69 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42

=>79 = 1⋅42 + 37
=>42 = 1⋅37 + 5
=>37 = 7⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5)
= -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 42-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37)
= 15⋅42 -17⋅ 37 (=1)
37= 79-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42)
= -17⋅79 +32⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +32⋅42

Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1

Somit 32⋅42 = 1 mod 79

32 ist also das Inverse von 42 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.