Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21003 + 2796) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21003 + 2796) mod 7 ≡ (21003 mod 7 + 2796 mod 7) mod 7.
21003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21003
= 21000
2796 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2796
= 2800
Somit gilt:
(21003 + 2796) mod 7 ≡ (3 + 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 22) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 22) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 22 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 22) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59932 mod 937.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 599 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5991=599
2: 5992=5991+1=5991⋅5991 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 867 mod 937
4: 5994=5992+2=5992⋅5992 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 215 mod 937
8: 5998=5994+4=5994⋅5994 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 312 mod 937
16: 59916=5998+8=5998⋅5998 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 833 mod 937
32: 59932=59916+16=59916⋅59916 ≡ 833⋅833=693889 ≡ 509 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 371142 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 3711=371
2: 3712=3711+1=3711⋅3711 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 97 mod 521
4: 3714=3712+2=3712⋅3712 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 31 mod 521
8: 3718=3714+4=3714⋅3714 ≡ 31⋅31=961 ≡ 440 mod 521
16: 37116=3718+8=3718⋅3718 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521
32: 37132=37116+16=37116⋅37116 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
64: 37164=37132+32=37132⋅37132 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 288 mod 521
128: 371128=37164+64=37164⋅37164 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521
371142
= 371128+8+4+2
= 371128⋅3718⋅3714⋅3712
≡ 105 ⋅ 440 ⋅ 31 ⋅ 97 mod 521
≡ 46200 ⋅ 31 ⋅ 97 mod 521 ≡ 352 ⋅ 31 ⋅ 97 mod 521
≡ 10912 ⋅ 97 mod 521 ≡ 492 ⋅ 97 mod 521
≡ 47724 mod 521 ≡ 313 mod 521
Es gilt also: 371142 ≡ 313 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.