Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 + 3500) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 + 3500) mod 7 ≡ (70 mod 7 + 3500 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500
= 3500
Somit gilt:
(70 + 3500) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 90) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 90) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 90) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20716 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 31 mod 271
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 224 mod 271
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 41 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356113 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 373 mod 577
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 72 mod 577
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 568 mod 577
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 81 mod 577
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577
356113
= 35664+32+16+1
= 35664⋅35632⋅35616⋅3561
≡ 213 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577
≡ 45582 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577 ≡ 576 ⋅ 81 ⋅ 356 mod 577
≡ 46656 ⋅ 356 mod 577 ≡ 496 ⋅ 356 mod 577
≡ 176576 mod 577 ≡ 14 mod 577
Es gilt also: 356113 ≡ 14 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.