Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (904 + 273) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(904 + 273) mod 9 ≡ (904 mod 9 + 273 mod 9) mod 9.
904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904
= 900
273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273
= 270
Somit gilt:
(904 + 273) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 39) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 39) mod 3 ≡ (32 mod 3 ⋅ 39 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.
39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 39) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2258 mod 443.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 123 mod 443
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 67 mod 443
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 59 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 308149 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 3081=308
2: 3082=3081+1=3081⋅3081 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 265 mod 457
4: 3084=3082+2=3082⋅3082 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 304 mod 457
8: 3088=3084+4=3084⋅3084 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 102 mod 457
16: 30816=3088+8=3088⋅3088 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 350 mod 457
32: 30832=30816+16=30816⋅30816 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 24 mod 457
64: 30864=30832+32=30832⋅30832 ≡ 24⋅24=576 ≡ 119 mod 457
128: 308128=30864+64=30864⋅30864 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 451 mod 457
308149
= 308128+16+4+1
= 308128⋅30816⋅3084⋅3081
≡ 451 ⋅ 350 ⋅ 304 ⋅ 308 mod 457
≡ 157850 ⋅ 304 ⋅ 308 mod 457 ≡ 185 ⋅ 304 ⋅ 308 mod 457
≡ 56240 ⋅ 308 mod 457 ≡ 29 ⋅ 308 mod 457
≡ 8932 mod 457 ≡ 249 mod 457
Es gilt also: 308149 ≡ 249 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.