Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4501 + 8995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4501 + 8995) mod 9 ≡ (4501 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.
4501 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4501
= 4500
8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995
= 9000
Somit gilt:
(4501 + 8995) mod 9 ≡ (1 + 4) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 74) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 74) mod 4 ≡ (90 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 74) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31216 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 448 mod 757
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 99 mod 757
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 717 mod 757
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 86 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198206 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 585 mod 613
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 171 mod 613
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 430 mod 613
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 387 mod 613
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 197 mod 613
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 190 mod 613
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 546 mod 613
198206
= 198128+64+8+4+2
= 198128⋅19864⋅1988⋅1984⋅1982
≡ 546 ⋅ 190 ⋅ 430 ⋅ 171 ⋅ 585 mod 613
≡ 103740 ⋅ 430 ⋅ 171 ⋅ 585 mod 613 ≡ 143 ⋅ 430 ⋅ 171 ⋅ 585 mod 613
≡ 61490 ⋅ 171 ⋅ 585 mod 613 ≡ 190 ⋅ 171 ⋅ 585 mod 613
≡ 32490 ⋅ 585 mod 613 ≡ 1 ⋅ 585 mod 613
≡ 585 mod 613
Es gilt also: 198206 ≡ 585 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.