Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2103 + 2094) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2103 + 2094) mod 7 ≡ (2103 mod 7 + 2094 mod 7) mod 7.
2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103
= 2100
2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094
= 2100
Somit gilt:
(2103 + 2094) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 93) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 93) mod 10 ≡ (59 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 93) mod 10 ≡ (9 ⋅ 3) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15216 mod 431.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 152 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 261 mod 431
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 23 mod 431
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 23⋅23=529 ≡ 98 mod 431
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 122 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12790 mod 211.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 1271=127
2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 93 mod 211
4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 209 mod 211
8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 4 mod 211
16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 211
32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 16⋅16=256 ≡ 45 mod 211
64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 126 mod 211
12790
= 12764+16+8+2
= 12764⋅12716⋅1278⋅1272
≡ 126 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 93 mod 211
≡ 2016 ⋅ 4 ⋅ 93 mod 211 ≡ 117 ⋅ 4 ⋅ 93 mod 211
≡ 468 ⋅ 93 mod 211 ≡ 46 ⋅ 93 mod 211
≡ 4278 mod 211 ≡ 58 mod 211
Es gilt also: 12790 ≡ 58 mod 211
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.