Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (365 + 17991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(365 + 17991) mod 9 ≡ (365 mod 9 + 17991 mod 9) mod 9.
365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365
= 360
17991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17991
= 18000
Somit gilt:
(365 + 17991) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 90) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 90) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 90 mod 11) mod 11.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 90) mod 11 ≡ (1 ⋅ 2) mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1338 mod 293.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 133 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 109 mod 293
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59577 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 5951=595
2: 5952=5951+1=5951⋅5951 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 375 mod 643
4: 5954=5952+2=5952⋅5952 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 451 mod 643
8: 5958=5954+4=5954⋅5954 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 213 mod 643
16: 59516=5958+8=5958⋅5958 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 359 mod 643
32: 59532=59516+16=59516⋅59516 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 281 mod 643
64: 59564=59532+32=59532⋅59532 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 515 mod 643
59577
= 59564+8+4+1
= 59564⋅5958⋅5954⋅5951
≡ 515 ⋅ 213 ⋅ 451 ⋅ 595 mod 643
≡ 109695 ⋅ 451 ⋅ 595 mod 643 ≡ 385 ⋅ 451 ⋅ 595 mod 643
≡ 173635 ⋅ 595 mod 643 ≡ 25 ⋅ 595 mod 643
≡ 14875 mod 643 ≡ 86 mod 643
Es gilt also: 59577 ≡ 86 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.