Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 - 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 - 27) mod 3 ≡ (12001 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
Somit gilt:
(12001 - 27) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 87) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 87) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 87 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
87 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 8 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 87) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42564 mod 457.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 110 mod 457
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 218 mod 457
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 457
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 185 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 367160 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 215 mod 947
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 769 mod 947
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 433 mod 947
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 930 mod 947
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 930⋅930=864900 ≡ 289 mod 947
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 185 mod 947
128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 133 mod 947
367160
= 367128+32
= 367128⋅36732
≡ 133 ⋅ 289 mod 947
≡ 38437 mod 947 ≡ 557 mod 947
Es gilt also: 367160 ≡ 557 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39
| =>59 | = 1⋅39 + 20 |
| =>39 | = 1⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 39-1⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1) |
| 20= 59-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39
oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅59 = -3⋅39
-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39
-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1
(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1
56⋅39 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1
Somit 56⋅39 = 1 mod 59
56 ist also das Inverse von 39 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.