Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26996 + 900) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26996 + 900) mod 9 ≡ (26996 mod 9 + 900 mod 9) mod 9.
26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996
= 27000
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(26996 + 900) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 24) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 24) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.
52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 24) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25932 mod 457.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 359 mod 457
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 7 mod 457
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 457
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 681192 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 6811=681
2: 6812=6811+1=6811⋅6811 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 156 mod 997
4: 6814=6812+2=6812⋅6812 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 408 mod 997
8: 6818=6814+4=6814⋅6814 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 962 mod 997
16: 68116=6818+8=6818⋅6818 ≡ 962⋅962=925444 ≡ 228 mod 997
32: 68132=68116+16=68116⋅68116 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 140 mod 997
64: 68164=68132+32=68132⋅68132 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 657 mod 997
128: 681128=68164+64=68164⋅68164 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 945 mod 997
681192
= 681128+64
= 681128⋅68164
≡ 945 ⋅ 657 mod 997
≡ 620865 mod 997 ≡ 731 mod 997
Es gilt also: 681192 ≡ 731 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.