Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11994 - 603) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11994 - 603) mod 6 ≡ (11994 mod 6 - 603 mod 6) mod 6.
11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994
= 12000
603 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
Somit gilt:
(11994 - 603) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 22) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 22) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25416 mod 421.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 254 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 103 mod 421
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 84 mod 421
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 320 mod 421
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 97 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89172 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 891=89
2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 53 mod 281
4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 280 mod 281
8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 1 mod 281
16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281
32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281
64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281
128: 89128=8964+64=8964⋅8964 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281
89172
= 89128+32+8+4
= 89128⋅8932⋅898⋅894
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 280 mod 281
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 280 mod 281
≡ 1 ⋅ 280 mod 281
≡ 280 mod 281
Es gilt also: 89172 ≡ 280 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41
| =>101 | = 2⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -32⋅41
-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41
-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1
(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1
69⋅41 = 28⋅101 + 1
Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1
Somit 69⋅41 = 1 mod 101
69 ist also das Inverse von 41 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.