Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 - 3002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 - 3002) mod 3 ≡ (297 mod 3 - 3002 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(297 - 3002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 87) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 87) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 87) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5678 mod 659.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 567 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5671=567
2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 556 mod 659
4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 65 mod 659
8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 271 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 712204 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 7121=712
2: 7122=7121+1=7121⋅7121 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 729 mod 739
4: 7124=7122+2=7122⋅7122 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 100 mod 739
8: 7128=7124+4=7124⋅7124 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 393 mod 739
16: 71216=7128+8=7128⋅7128 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 737 mod 739
32: 71232=71216+16=71216⋅71216 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 4 mod 739
64: 71264=71232+32=71232⋅71232 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 739
128: 712128=71264+64=71264⋅71264 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 739
712204
= 712128+64+8+4
= 712128⋅71264⋅7128⋅7124
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 393 ⋅ 100 mod 739
≡ 4096 ⋅ 393 ⋅ 100 mod 739 ≡ 401 ⋅ 393 ⋅ 100 mod 739
≡ 157593 ⋅ 100 mod 739 ≡ 186 ⋅ 100 mod 739
≡ 18600 mod 739 ≡ 125 mod 739
Es gilt also: 712204 ≡ 125 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.