Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19997 - 802) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 - 802) mod 4 ≡ (19997 mod 4 - 802 mod 4) mod 4.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

802 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 4 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(19997 - 802) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 45) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 45) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 45) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 660128 mod 823.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,823) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6601=660

2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 233 mod 823

4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 794 mod 823

8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 18 mod 823

16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 823

32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 455 mod 823

64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 452 mod 823

128: 660128=66064+64=66064⋅66064 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 200 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49876 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:

76 = 64+8+4

1: 4981=498

2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 1 mod 499

4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499

8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499

16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499

32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499

64: 49864=49832+32=49832⋅49832 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 499

49876

= 49864+8+4

= 49864⋅4988⋅4984

1 ⋅ 1 ⋅ 1 mod 499
1 ⋅ 1 mod 499
1 mod 499

Es gilt also: 49876 ≡ 1 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

=>97 = 2⋅40 + 17
=>40 = 2⋅17 + 6
=>17 = 2⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 17-2⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6)
= -1⋅17 +3⋅ 6 (=1)
6= 40-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17)
= 3⋅40 -7⋅ 17 (=1)
17= 97-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40)
= -7⋅97 +17⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +17⋅40

Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1

Somit 17⋅40 = 1 mod 97

17 ist also das Inverse von 40 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.