Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3507 - 706) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3507 - 706) mod 7 ≡ (3507 mod 7 - 706 mod 7) mod 7.
3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507
= 3500
706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706
= 700
Somit gilt:
(3507 - 706) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 85) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 85) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25816 mod 547.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 377 mod 547
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 456 mod 547
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 76 mod 547
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 306 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 109108 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 161 mod 293
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 17 mod 293
16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 293
32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293
64: 10964=10932+32=10932⋅10932 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293
109108
= 10964+32+8+4
= 10964⋅10932⋅1098⋅1094
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293
≡ 4096 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293 ≡ 287 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293
≡ 4879 ⋅ 137 mod 293 ≡ 191 ⋅ 137 mod 293
≡ 26167 mod 293 ≡ 90 mod 293
Es gilt also: 109108 ≡ 90 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.