Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5998 + 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5998 + 60) mod 3 ≡ (5998 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.
5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(5998 + 60) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 53) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 53) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 53) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23016 mod 409.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 139 mod 409
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 98 mod 409
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 197 mod 409
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22361 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 212 mod 293
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 115 mod 293
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 40 mod 293
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 135 mod 293
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 59 mod 293
22361
= 22332+16+8+4+1
= 22332⋅22316⋅2238⋅2234⋅2231
≡ 59 ⋅ 135 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
≡ 7965 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293 ≡ 54 ⋅ 40 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
≡ 2160 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293 ≡ 109 ⋅ 115 ⋅ 223 mod 293
≡ 12535 ⋅ 223 mod 293 ≡ 229 ⋅ 223 mod 293
≡ 51067 mod 293 ≡ 85 mod 293
Es gilt also: 22361 ≡ 85 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55
| =>97 | = 1⋅55 + 42 |
| =>55 | = 1⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 55-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1) |
| 42= 97-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +30⋅55
Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1
Somit 30⋅55 = 1 mod 97
30 ist also das Inverse von 55 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.