Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34993 - 141) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34993 - 141) mod 7 ≡ (34993 mod 7 - 141 mod 7) mod 7.
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141
= 140
Somit gilt:
(34993 - 141) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 81) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 81) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.
41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 81) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 334128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 325 mod 727
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 210 mod 727
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 480 mod 727
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 668 mod 727
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 573 mod 727
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 452 mod 727
128: 334128=33464+64=33464⋅33464 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 17 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 406196 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 654 mod 797
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 524 mod 797
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 408 mod 797
16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 688 mod 797
32: 40632=40616+16=40616⋅40616 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 723 mod 797
64: 40664=40632+32=40632⋅40632 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 694 mod 797
128: 406128=40664+64=40664⋅40664 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 248 mod 797
406196
= 406128+64+4
= 406128⋅40664⋅4064
≡ 248 ⋅ 694 ⋅ 524 mod 797
≡ 172112 ⋅ 524 mod 797 ≡ 757 ⋅ 524 mod 797
≡ 396668 mod 797 ≡ 559 mod 797
Es gilt also: 406196 ≡ 559 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
