Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 1198) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 1198) mod 6 ≡ (12000 mod 6 + 1198 mod 6) mod 6.
12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
Somit gilt:
(12000 + 1198) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 64) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 64) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 64 mod 7) mod 7.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 64) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19364 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 157 mod 281
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 202 mod 281
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 59 mod 281
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 109 mod 281
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 936172 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 9361=936
2: 9362=9361+1=9361⋅9361 ≡ 936⋅936=876096 ≡ 243 mod 983
4: 9364=9362+2=9362⋅9362 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 69 mod 983
8: 9368=9364+4=9364⋅9364 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 829 mod 983
16: 93616=9368+8=9368⋅9368 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 124 mod 983
32: 93632=93616+16=93616⋅93616 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 631 mod 983
64: 93664=93632+32=93632⋅93632 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 46 mod 983
128: 936128=93664+64=93664⋅93664 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 150 mod 983
936172
= 936128+32+8+4
= 936128⋅93632⋅9368⋅9364
≡ 150 ⋅ 631 ⋅ 829 ⋅ 69 mod 983
≡ 94650 ⋅ 829 ⋅ 69 mod 983 ≡ 282 ⋅ 829 ⋅ 69 mod 983
≡ 233778 ⋅ 69 mod 983 ≡ 807 ⋅ 69 mod 983
≡ 55683 mod 983 ≡ 635 mod 983
Es gilt also: 936172 ≡ 635 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.