Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (454 - 904) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(454 - 904) mod 9 ≡ (454 mod 9 - 904 mod 9) mod 9.
454 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 454
= 450
904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904
= 900
Somit gilt:
(454 - 904) mod 9 ≡ (4 - 4) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 82) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23764 mod 467.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 129 mod 467
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 296 mod 467
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 287 mod 467
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 177 mod 467
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 40 mod 467
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 199 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 768209 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 7681=768
2: 7682=7681+1=7681⋅7681 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 556 mod 823
4: 7684=7682+2=7682⋅7682 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 511 mod 823
8: 7688=7684+4=7684⋅7684 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 230 mod 823
16: 76816=7688+8=7688⋅7688 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 228 mod 823
32: 76832=76816+16=76816⋅76816 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 135 mod 823
64: 76864=76832+32=76832⋅76832 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 119 mod 823
128: 768128=76864+64=76864⋅76864 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 170 mod 823
768209
= 768128+64+16+1
= 768128⋅76864⋅76816⋅7681
≡ 170 ⋅ 119 ⋅ 228 ⋅ 768 mod 823
≡ 20230 ⋅ 228 ⋅ 768 mod 823 ≡ 478 ⋅ 228 ⋅ 768 mod 823
≡ 108984 ⋅ 768 mod 823 ≡ 348 ⋅ 768 mod 823
≡ 267264 mod 823 ≡ 612 mod 823
Es gilt also: 768209 ≡ 612 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.