Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (408 - 152) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(408 - 152) mod 8 ≡ (408 mod 8 - 152 mod 8) mod 8.
408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 408
= 400
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
Somit gilt:
(408 - 152) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 18) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 18) mod 9 ≡ (65 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 18) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36832 mod 823.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3681=368
2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 452 mod 823
4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 200 mod 823
8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 496 mod 823
16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 762 mod 823
32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 429 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13880 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 1381=138
2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 172 mod 337
4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 265 mod 337
8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 129 mod 337
16: 13816=1388+8=1388⋅1388 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 128 mod 337
32: 13832=13816+16=13816⋅13816 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
64: 13864=13832+32=13832⋅13832 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
13880
= 13864+16
= 13864⋅13816
≡ 128 ⋅ 128 mod 337
≡ 16384 mod 337 ≡ 208 mod 337
Es gilt also: 13880 ≡ 208 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84
| =>89 | = 1⋅84 + 5 |
| =>84 | = 16⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 84-16⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5) = -1⋅84 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84) = 17⋅89 -18⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -18⋅84
-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84
-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1
(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1
71⋅84 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1
Somit 71⋅84 = 1 mod 89
71 ist also das Inverse von 84 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.