Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1792 - 1797) mod 9 ≡ (1792 mod 9 - 1797 mod 9) mod 9.

1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792 = 1800-8 = 9 ⋅ 200 -8 = 9 ⋅ 200 - 9 + 1.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

Somit gilt:

(1792 - 1797) mod 9 ≡ (1 - 6) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 50) mod 8 ≡ (91 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 50) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 161¹=161

2: 161²=161¹⁺¹=161¹⋅161¹ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 309 mod 337

4: 161⁴=161²⁺²=161²⋅161² ≡ 309⋅309=95481 ≡ 110 mod 337

8: 161⁸=161⁴⁺⁴=161⁴⋅161⁴ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 305 mod 337

16: 161¹⁶=161⁸⁺⁸=161⁸⋅161⁸ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 13 mod 337

32: 161³²=161¹⁶⁺¹⁶=161¹⁶⋅161¹⁶ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337

64: 161⁶⁴=161³²⁺³²=161³²⋅161³² ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337

128: 161¹²⁸=161⁶⁴⁺⁶⁴=161⁶⁴⋅161⁶⁴ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

286¹⁵⁵

= 286^128+16+8+2+1

= 286¹²⁸⋅286¹⁶⋅286⁸⋅286²⋅286¹

≡ 155 ⋅ 363 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
≡ 56265 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911 ≡ 694 ⋅ 146 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
≡ 101324 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911 ≡ 203 ⋅ 717 ⋅ 286 mod 911
≡ 145551 ⋅ 286 mod 911 ≡ 702 ⋅ 286 mod 911
≡ 200772 mod 911 ≡ 352 mod 911

Es gilt also: 286¹⁵⁵ ≡ 352 mod 911

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59	= 1⋅44 + 15
=>44	= 2⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44) = -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59