Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3600 + 369) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3600 + 369) mod 9 ≡ (3600 mod 9 + 369 mod 9) mod 9.
3600 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3600
= 3600
369 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 369
= 360
Somit gilt:
(3600 + 369) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 17) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 17) mod 11 ≡ (59 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.
59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 17) mod 11 ≡ (4 ⋅ 6) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35932 mod 607.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 359 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3591=359
2: 3592=3591+1=3591⋅3591 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 197 mod 607
4: 3594=3592+2=3592⋅3592 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 568 mod 607
8: 3598=3594+4=3594⋅3594 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 307 mod 607
16: 35916=3598+8=3598⋅3598 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 164 mod 607
32: 35932=35916+16=35916⋅35916 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 188 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 117137 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1171=117
2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 239 mod 269
4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 93 mod 269
8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 41 mod 269
16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 67 mod 269
32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 185 mod 269
64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269
128: 117128=11764+64=11764⋅11764 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 78 mod 269
117137
= 117128+8+1
= 117128⋅1178⋅1171
≡ 78 ⋅ 41 ⋅ 117 mod 269
≡ 3198 ⋅ 117 mod 269 ≡ 239 ⋅ 117 mod 269
≡ 27963 mod 269 ≡ 256 mod 269
Es gilt also: 117137 ≡ 256 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50
| =>61 | = 1⋅50 + 11 |
| =>50 | = 4⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 50-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +11⋅50
Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1
Somit 11⋅50 = 1 mod 61
11 ist also das Inverse von 50 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.