Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 297) mod 6 ≡ (301 mod 6 - 297 mod 6) mod 6.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

297 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 6 ⋅ 50 -3 = 6 ⋅ 50 - 6 + 3.

Somit gilt:

(301 - 297) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 90) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 90) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 254¹=254

2: 254²=254¹⁺¹=254¹⋅254¹ ≡ 254⋅254=64516 ≡ 605 mod 809

4: 254⁴=254²⁺²=254²⋅254² ≡ 605⋅605=366025 ≡ 357 mod 809

8: 254⁸=254⁴⁺⁴=254⁴⋅254⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 436 mod 809

16: 254¹⁶=254⁸⁺⁸=254⁸⋅254⁸ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 790 mod 809

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

952²²²

= 952^{128+64+16+8+4+2}

= 952¹²⁸⋅952⁶⁴⋅952¹⁶⋅952⁸⋅952⁴⋅952²

≡ 505 ⋅ 576 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 290880 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 895 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 687360 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 243 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 73386 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 644 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 311696 ⋅ 961 mod 983 ≡ 85 ⋅ 961 mod 983
≡ 81685 mod 983 ≡ 96 mod 983

Es gilt also: 952²²² ≡ 96 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71	= 1⋅60 + 11
=>60	= 5⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60) = -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71