Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44997 + 896) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44997 + 896) mod 9 ≡ (44997 mod 9 + 896 mod 9) mod 9.

44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997 = 45000-3 = 9 ⋅ 5000 -3 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 6.

896 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 896 = 900-4 = 9 ⋅ 100 -4 = 9 ⋅ 100 - 9 + 5.

Somit gilt:

(44997 + 896) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 89) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 89) mod 7 ≡ (51 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 89) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2208 mod 601.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 320 mod 601

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 230 mod 601

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 12 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 335199 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 3351=335

2: 3352=3351+1=3351⋅3351 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 217 mod 359

4: 3354=3352+2=3352⋅3352 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 60 mod 359

8: 3358=3354+4=3354⋅3354 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 10 mod 359

16: 33516=3358+8=3358⋅3358 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 359

32: 33532=33516+16=33516⋅33516 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 307 mod 359

64: 33564=33532+32=33532⋅33532 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 191 mod 359

128: 335128=33564+64=33564⋅33564 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 222 mod 359

335199

= 335128+64+4+2+1

= 335128⋅33564⋅3354⋅3352⋅3351

222 ⋅ 191 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
42402 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359 ≡ 40 ⋅ 60 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
2400 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359 ≡ 246 ⋅ 217 ⋅ 335 mod 359
53382 ⋅ 335 mod 359 ≡ 250 ⋅ 335 mod 359
83750 mod 359 ≡ 103 mod 359

Es gilt also: 335199 ≡ 103 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

=>71 = 2⋅28 + 15
=>28 = 1⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 28-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15)
= 7⋅28 -13⋅ 15 (=1)
15= 71-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28)
= -13⋅71 +33⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +33⋅28

Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1

Somit 33⋅28 = 1 mod 71

33 ist also das Inverse von 28 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.