Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1805 - 905) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1805 - 905) mod 9 ≡ (1805 mod 9 - 905 mod 9) mod 9.
1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805
= 1800
905 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 905
= 900
Somit gilt:
(1805 - 905) mod 9 ≡ (5 - 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 17) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 17) mod 8 ≡ (56 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 17) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 599.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 125 mod 599
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 51 mod 599
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 205 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 392174 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 209 mod 653
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 583 mod 653
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 329 mod 653
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 496 mod 653
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 488 mod 653
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 452 mod 653
128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 568 mod 653
392174
= 392128+32+8+4+2
= 392128⋅39232⋅3928⋅3924⋅3922
≡ 568 ⋅ 488 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 209 mod 653
≡ 277184 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 209 mod 653 ≡ 312 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 209 mod 653
≡ 102648 ⋅ 583 ⋅ 209 mod 653 ≡ 127 ⋅ 583 ⋅ 209 mod 653
≡ 74041 ⋅ 209 mod 653 ≡ 252 ⋅ 209 mod 653
≡ 52668 mod 653 ≡ 428 mod 653
Es gilt also: 392174 ≡ 428 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.