Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1803 + 8995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1803 + 8995) mod 9 ≡ (1803 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.
1803 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995
= 9000
Somit gilt:
(1803 + 8995) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 84) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 84) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 84) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58116 mod 953.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 581 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5811=581
2: 5812=5811+1=5811⋅5811 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 199 mod 953
4: 5814=5812+2=5812⋅5812 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 528 mod 953
8: 5818=5814+4=5814⋅5814 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 508 mod 953
16: 58116=5818+8=5818⋅5818 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 754 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315136 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 674 mod 709
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 516 mod 709
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 381 mod 709
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 525 mod 709
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 533 mod 709
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 489 mod 709
128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 188 mod 709
315136
= 315128+8
= 315128⋅3158
≡ 188 ⋅ 381 mod 709
≡ 71628 mod 709 ≡ 19 mod 709
Es gilt also: 315136 ≡ 19 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.