Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3500 + 28005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3500 + 28005) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 28005 mod 7) mod 7.
3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500
= 3500
28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005
= 28000
Somit gilt:
(3500 + 28005) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 88) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 88 mod 3) mod 3.
82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 88) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13916 mod 337.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 139 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1391=139
2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 112 mod 337
4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 75 mod 337
8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 233 mod 337
16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 32 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 490139 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 418 mod 929
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 72 mod 929
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 539 mod 929
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 561 mod 929
128: 490128=49064+64=49064⋅49064 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929
490139
= 490128+8+2+1
= 490128⋅4908⋅4902⋅4901
≡ 719 ⋅ 539 ⋅ 418 ⋅ 490 mod 929
≡ 387541 ⋅ 418 ⋅ 490 mod 929 ≡ 148 ⋅ 418 ⋅ 490 mod 929
≡ 61864 ⋅ 490 mod 929 ≡ 550 ⋅ 490 mod 929
≡ 269500 mod 929 ≡ 90 mod 929
Es gilt also: 490139 ≡ 90 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.