Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 + 2995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 + 2995) mod 6 ≡ (300 mod 6 + 2995 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995
= 3000
Somit gilt:
(300 + 2995) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 89) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 89) mod 10 ≡ (2 ⋅ 9) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 212 mod 521
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 138 mod 521
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 288 mod 521
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 105 mod 521
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 84 mod 521
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 283 mod 521
128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 376 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 187115 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 268 mod 269
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 1 mod 269
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 269
187115
= 18764+32+16+2+1
= 18764⋅18732⋅18716⋅1872⋅1871
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 268 ⋅ 187 mod 269
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 268 ⋅ 187 mod 269
≡ 1 ⋅ 268 ⋅ 187 mod 269
≡ 268 ⋅ 187 mod 269
≡ 50116 mod 269 ≡ 82 mod 269
Es gilt also: 187115 ≡ 82 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.