Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16000 + 4007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 + 4007) mod 8 ≡ (16000 mod 8 + 4007 mod 8) mod 8.

16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 8 ⋅ 2000 +0.

4007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4007 = 4000+7 = 8 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(16000 + 4007) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 77) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 77) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 77 mod 11) mod 11.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

77 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 7 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 77) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3948 mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 912 mod 941

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 912⋅912=831744 ≡ 841 mod 941

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 590 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 519225 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 5191=519

2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 371 mod 727

4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 238 mod 727

8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 665 mod 727

16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 209 mod 727

32: 51932=51916+16=51916⋅51916 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 61 mod 727

64: 51964=51932+32=51932⋅51932 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 86 mod 727

128: 519128=51964+64=51964⋅51964 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 126 mod 727

519225

= 519128+64+32+1

= 519128⋅51964⋅51932⋅5191

126 ⋅ 86 ⋅ 61 ⋅ 519 mod 727
10836 ⋅ 61 ⋅ 519 mod 727 ≡ 658 ⋅ 61 ⋅ 519 mod 727
40138 ⋅ 519 mod 727 ≡ 153 ⋅ 519 mod 727
79407 mod 727 ≡ 164 mod 727

Es gilt also: 519225 ≡ 164 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32

=>71 = 2⋅32 + 7
=>32 = 4⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 32-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7)
= 2⋅32 -9⋅ 7 (=1)
7= 71-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32)
= -9⋅71 +20⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +20⋅32

Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1

Somit 20⋅32 = 1 mod 71

20 ist also das Inverse von 32 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.