Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 - 247) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 - 247) mod 8 ≡ (401 mod 8 - 247 mod 8) mod 8.
401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
Somit gilt:
(401 - 247) mod 8 ≡ (1 - 7) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 50) mod 9 ≡ (78 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 50) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 90516 mod 997.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 905 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9051=905
2: 9052=9051+1=9051⋅9051 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 488 mod 997
4: 9054=9052+2=9052⋅9052 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 858 mod 997
8: 9058=9054+4=9054⋅9054 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 378 mod 997
16: 90516=9058+8=9058⋅9058 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 313 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19684 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 430 mod 487
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 327 mod 487
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 276 mod 487
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 204 mod 487
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 221 mod 487
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 141 mod 487
19684
= 19664+16+4
= 19664⋅19616⋅1964
≡ 141 ⋅ 204 ⋅ 327 mod 487
≡ 28764 ⋅ 327 mod 487 ≡ 31 ⋅ 327 mod 487
≡ 10137 mod 487 ≡ 397 mod 487
Es gilt also: 19684 ≡ 397 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.