Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1398 + 13998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1398 + 13998) mod 7 ≡ (1398 mod 7 + 13998 mod 7) mod 7.
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998
= 14000
Somit gilt:
(1398 + 13998) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 62) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 62) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21816 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 45 mod 601
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 222 mod 601
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 2 mod 601
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 192227 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 50 mod 233
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 170 mod 233
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 8 mod 233
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233
128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
192227
= 192128+64+32+2+1
= 192128⋅19264⋅19232⋅1922⋅1921
≡ 38 ⋅ 51 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
≡ 1938 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233 ≡ 74 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
≡ 9990 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233 ≡ 204 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
≡ 10200 ⋅ 192 mod 233 ≡ 181 ⋅ 192 mod 233
≡ 34752 mod 233 ≡ 35 mod 233
Es gilt also: 192227 ≡ 35 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.