Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2496 + 252) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2496 + 252) mod 5 ≡ (2496 mod 5 + 252 mod 5) mod 5.
2496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2496
= 2400
252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252
= 250
Somit gilt:
(2496 + 252) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 23) mod 3 ≡ (50 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 23) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3528 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 352 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3521=352
2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 350 mod 379
4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 83 mod 379
8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 67 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 519201 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 5191=519
2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 105 mod 863
4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 669 mod 863
8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 527 mod 863
16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 706 mod 863
32: 51932=51916+16=51916⋅51916 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 485 mod 863
64: 51964=51932+32=51932⋅51932 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 489 mod 863
128: 519128=51964+64=51964⋅51964 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 70 mod 863
519201
= 519128+64+8+1
= 519128⋅51964⋅5198⋅5191
≡ 70 ⋅ 489 ⋅ 527 ⋅ 519 mod 863
≡ 34230 ⋅ 527 ⋅ 519 mod 863 ≡ 573 ⋅ 527 ⋅ 519 mod 863
≡ 301971 ⋅ 519 mod 863 ≡ 784 ⋅ 519 mod 863
≡ 406896 mod 863 ≡ 423 mod 863
Es gilt also: 519201 ≡ 423 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21
| =>59 | = 2⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -14⋅21
-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21
-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1
(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1
45⋅21 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1
Somit 45⋅21 = 1 mod 59
45 ist also das Inverse von 21 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.