Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1496 + 497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1496 + 497) mod 5 ≡ (1496 mod 5 + 497 mod 5) mod 5.
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 497
= 400
Somit gilt:
(1496 + 497) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 48) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 48) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 48 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.
48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 48) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65216 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 652 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6521=652
2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 310 mod 853
4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 564 mod 853
8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 780 mod 853
16: 65216=6528+8=6528⋅6528 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 211 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57671 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 5761=576
2: 5762=5761+1=5761⋅5761 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 24 mod 601
4: 5764=5762+2=5762⋅5762 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 601
8: 5768=5764+4=5764⋅5764 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 24 mod 601
16: 57616=5768+8=5768⋅5768 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 601
32: 57632=57616+16=57616⋅57616 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 24 mod 601
64: 57664=57632+32=57632⋅57632 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 601
57671
= 57664+4+2+1
= 57664⋅5764⋅5762⋅5761
≡ 576 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 576 mod 601
≡ 331776 ⋅ 24 ⋅ 576 mod 601 ≡ 24 ⋅ 24 ⋅ 576 mod 601
≡ 576 ⋅ 576 mod 601
≡ 331776 mod 601 ≡ 24 mod 601
Es gilt also: 57671 ≡ 24 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.