Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(283 - 35006) mod 7 ≡ (283 mod 7 - 35006 mod 7) mod 7.

283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283 = 280+3 = 7 ⋅ 40 +3.

35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006 = 35000+6 = 7 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(283 - 35006) mod 7 ≡ (3 - 6) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 21) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 21) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 133¹=133

2: 133²=133¹⁺¹=133¹⋅133¹ ≡ 133⋅133=17689 ≡ 221 mod 397

4: 133⁴=133²⁺²=133²⋅133² ≡ 221⋅221=48841 ≡ 10 mod 397

8: 133⁸=133⁴⁺⁴=133⁴⋅133⁴ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 397

16: 133¹⁶=133⁸⁺⁸=133⁸⋅133⁸ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

32: 133³²=133¹⁶⁺¹⁶=133¹⁶⋅133¹⁶ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

393⁷⁹

= 393^64+8+4+2+1

= 393⁶⁴⋅393⁸⋅393⁴⋅393²⋅393¹

≡ 496 ⋅ 516 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
≡ 255936 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877 ≡ 729 ⋅ 639 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
≡ 465831 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877 ≡ 144 ⋅ 97 ⋅ 393 mod 877
≡ 13968 ⋅ 393 mod 877 ≡ 813 ⋅ 393 mod 877
≡ 319509 mod 877 ≡ 281 mod 877

Es gilt also: 393⁷⁹ ≡ 281 mod 877

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69

=>83	= 1⋅69 + 14
=>69	= 4⋅14 + 13
=>14	= 1⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 69-4⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14) = 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1)
14= 83-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69) = -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69

oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅83 = -6⋅69

-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69

-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1

(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1

77⋅69 = 64⋅83 + 1

Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1

Somit 77⋅69 = 1 mod 83

77 ist also das Inverse von 69 mod 83