Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 + 1203) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 + 1203) mod 4 ≡ (15997 mod 4 + 1203 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
1203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(15997 + 1203) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 34) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 34) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 34) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37664 mod 509.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 376 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 383 mod 509
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 97 mod 509
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 438 mod 509
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 274174 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 209 mod 443
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 267 mod 443
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 409 mod 443
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 270 mod 443
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 248 mod 443
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 370 mod 443
128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 13 mod 443
274174
= 274128+32+8+4+2
= 274128⋅27432⋅2748⋅2744⋅2742
≡ 13 ⋅ 248 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 3224 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443 ≡ 123 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 50307 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443 ≡ 248 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 66216 ⋅ 209 mod 443 ≡ 209 ⋅ 209 mod 443
≡ 43681 mod 443 ≡ 267 mod 443
Es gilt also: 274174 ≡ 267 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31
| =>73 | = 2⋅31 + 11 |
| =>31 | = 2⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1) |
| 11= 73-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +33⋅31
Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1
Somit 33⋅31 = 1 mod 73
33 ist also das Inverse von 31 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
