Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 + 285) mod 7 ≡ (35000 mod 7 + 285 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

Somit gilt:

(35000 + 285) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 16) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 16) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 334¹=334

2: 334²=334¹⁺¹=334¹⋅334¹ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 266 mod 359

4: 334⁴=334²⁺²=334²⋅334² ≡ 266⋅266=70756 ≡ 33 mod 359

8: 334⁸=334⁴⁺⁴=334⁴⋅334⁴ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 12 mod 359

16: 334¹⁶=334⁸⁺⁸=334⁸⋅334⁸ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 359

32: 334³²=334¹⁶⁺¹⁶=334¹⁶⋅334¹⁶ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 273 mod 359

64: 334⁶⁴=334³²⁺³²=334³²⋅334³² ≡ 273⋅273=74529 ≡ 216 mod 359

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

312¹⁵⁷

= 312^128+16+8+4+1

= 312¹²⁸⋅312¹⁶⋅312⁸⋅312⁴⋅312¹

≡ 411 ⋅ 108 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 44388 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479 ≡ 320 ⋅ 293 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 93760 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479 ≡ 355 ⋅ 432 ⋅ 312 mod 479
≡ 153360 ⋅ 312 mod 479 ≡ 80 ⋅ 312 mod 479
≡ 24960 mod 479 ≡ 52 mod 479

Es gilt also: 312¹⁵⁷ ≡ 52 mod 479

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59	= 1⋅54 + 5
=>54	= 10⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54) = -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59