Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9998 + 997) mod 5 ≡ (9998 mod 5 + 997 mod 5) mod 5.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 997 = 900+97 = 5 ⋅ 180 +97.

Somit gilt:

(9998 + 997) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 24) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 24) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 495¹=495

2: 495²=495¹⁺¹=495¹⋅495¹ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 374 mod 967

4: 495⁴=495²⁺²=495²⋅495² ≡ 374⋅374=139876 ≡ 628 mod 967

8: 495⁸=495⁴⁺⁴=495⁴⋅495⁴ ≡ 628⋅628=394384 ≡ 815 mod 967

16: 495¹⁶=495⁸⁺⁸=495⁸⋅495⁸ ≡ 815⋅815=664225 ≡ 863 mod 967

32: 495³²=495¹⁶⁺¹⁶=495¹⁶⋅495¹⁶ ≡ 863⋅863=744769 ≡ 179 mod 967

64: 495⁶⁴=495³²⁺³²=495³²⋅495³² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 130 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 198 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 198 an und zerlegen 198 in eine Summer von 2er-Potenzen:

198 = 128+64+4+2

729¹⁹⁸

= 729^128+64+4+2

= 729¹²⁸⋅729⁶⁴⋅729⁴⋅729²

≡ 625 ⋅ 25 ⋅ 478 ⋅ 254 mod 821
≡ 15625 ⋅ 478 ⋅ 254 mod 821 ≡ 26 ⋅ 478 ⋅ 254 mod 821
≡ 12428 ⋅ 254 mod 821 ≡ 113 ⋅ 254 mod 821
≡ 28702 mod 821 ≡ 788 mod 821

Es gilt also: 729¹⁹⁸ ≡ 788 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52

=>83	= 1⋅52 + 31
=>52	= 1⋅31 + 21
=>31	= 1⋅21 + 10
=>21	= 2⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21) = 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 52-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31) = -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1)
31= 83-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52) = 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +8⋅52

Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1

Somit 8⋅52 = 1 mod 83

8 ist also das Inverse von 52 mod 83