Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 - 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 - 29) mod 3 ≡ (90 mod 3 - 29 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(90 - 29) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 90) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 90) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.
38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 90) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1348 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 134 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 143 mod 379
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44885 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 4481=448
2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 60 mod 487
4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 191 mod 487
8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 443 mod 487
16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 475 mod 487
32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 144 mod 487
64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 282 mod 487
44885
= 44864+16+4+1
= 44864⋅44816⋅4484⋅4481
≡ 282 ⋅ 475 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487
≡ 133950 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487 ≡ 25 ⋅ 191 ⋅ 448 mod 487
≡ 4775 ⋅ 448 mod 487 ≡ 392 ⋅ 448 mod 487
≡ 175616 mod 487 ≡ 296 mod 487
Es gilt also: 44885 ≡ 296 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.