Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (162 + 8000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(162 + 8000) mod 4 ≡ (162 mod 4 + 8000 mod 4) mod 4.
162 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162
= 160
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
Somit gilt:
(162 + 8000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 41) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 41) mod 6 ≡ (66 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.
41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 41) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40316 mod 461.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 137 mod 461
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 329 mod 461
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 77 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 876208 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 8761=876
2: 8762=8761+1=8761⋅8761 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 54 mod 907
4: 8764=8762+2=8762⋅8762 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 195 mod 907
8: 8768=8764+4=8764⋅8764 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 838 mod 907
16: 87616=8768+8=8768⋅8768 ≡ 838⋅838=702244 ≡ 226 mod 907
32: 87632=87616+16=87616⋅87616 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 284 mod 907
64: 87664=87632+32=87632⋅87632 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 840 mod 907
128: 876128=87664+64=87664⋅87664 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 861 mod 907
876208
= 876128+64+16
= 876128⋅87664⋅87616
≡ 861 ⋅ 840 ⋅ 226 mod 907
≡ 723240 ⋅ 226 mod 907 ≡ 361 ⋅ 226 mod 907
≡ 81586 mod 907 ≡ 863 mod 907
Es gilt also: 876208 ≡ 863 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48
| =>67 | = 1⋅48 + 19 |
| =>48 | = 2⋅19 + 10 |
| =>19 | = 1⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 19-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10) = -1⋅19 +2⋅ 10 (=1) |
| 10= 48-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19) = 2⋅48 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48) = -5⋅67 +7⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +7⋅48
Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1
Somit 7⋅48 = 1 mod 67
7 ist also das Inverse von 48 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.