Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6006 + 2406) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6006 + 2406) mod 6 ≡ (6006 mod 6 + 2406 mod 6) mod 6.
6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006
= 6000
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
Somit gilt:
(6006 + 2406) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 15) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 15) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 15 mod 3) mod 3.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 15) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67364 mod 857.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 673 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6731=673
2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 433 mod 857
4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 663 mod 857
8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 785 mod 857
16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 42 mod 857
32: 67332=67316+16=67316⋅67316 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 50 mod 857
64: 67364=67332+32=67332⋅67332 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 786 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37488 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 8 mod 479
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 479
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 264 mod 479
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 241 mod 479
32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 122 mod 479
64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 35 mod 479
37488
= 37464+16+8
= 37464⋅37416⋅3748
≡ 35 ⋅ 241 ⋅ 264 mod 479
≡ 8435 ⋅ 264 mod 479 ≡ 292 ⋅ 264 mod 479
≡ 77088 mod 479 ≡ 448 mod 479
Es gilt also: 37488 ≡ 448 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.