Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35000 - 213) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35000 - 213) mod 7 ≡ (35000 mod 7 - 213 mod 7) mod 7.
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213
= 210
Somit gilt:
(35000 - 213) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 39) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 39) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 39) mod 11 ≡ (2 ⋅ 6) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27132 mod 313.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 271 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 199 mod 313
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 163 mod 313
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 277 mod 313
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 44 mod 313
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 58 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43773 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 4371=437
2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 66 mod 547
4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 527 mod 547
8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 400 mod 547
16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 276 mod 547
32: 43732=43716+16=43716⋅43716 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 143 mod 547
64: 43764=43732+32=43732⋅43732 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 210 mod 547
43773
= 43764+8+1
= 43764⋅4378⋅4371
≡ 210 ⋅ 400 ⋅ 437 mod 547
≡ 84000 ⋅ 437 mod 547 ≡ 309 ⋅ 437 mod 547
≡ 135033 mod 547 ≡ 471 mod 547
Es gilt also: 43773 ≡ 471 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.