Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 + 1203) mod 4 ≡ (15997 mod 4 + 1203 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

1203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 4 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(15997 + 1203) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 34) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 34) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 376¹=376

2: 376²=376¹⁺¹=376¹⋅376¹ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 383 mod 509

4: 376⁴=376²⁺²=376²⋅376² ≡ 383⋅383=146689 ≡ 97 mod 509

8: 376⁸=376⁴⁺⁴=376⁴⋅376⁴ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509

16: 376¹⁶=376⁸⁺⁸=376⁸⋅376⁸ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 438 mod 509

32: 376³²=376¹⁶⁺¹⁶=376¹⁶⋅376¹⁶ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 460 mod 509

64: 376⁶⁴=376³²⁺³²=376³²⋅376³² ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

274¹⁷⁴

= 274^128+32+8+4+2

= 274¹²⁸⋅274³²⋅274⁸⋅274⁴⋅274²

≡ 13 ⋅ 248 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 3224 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443 ≡ 123 ⋅ 409 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 50307 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443 ≡ 248 ⋅ 267 ⋅ 209 mod 443
≡ 66216 ⋅ 209 mod 443 ≡ 209 ⋅ 209 mod 443
≡ 43681 mod 443 ≡ 267 mod 443

Es gilt also: 274¹⁷⁴ ≡ 267 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73	= 2⋅31 + 11
=>31	= 2⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31) = 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73