Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 - 298) mod 3 ≡ (121 mod 3 - 298 mod 3) mod 3.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 3 ⋅ 100 -2 = 3 ⋅ 100 - 3 + 1.

Somit gilt:

(121 - 298) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 65) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 65) mod 10 ≡ (6 ⋅ 5) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 153¹=153

2: 153²=153¹⁺¹=153¹⋅153¹ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 226 mod 239

4: 153⁴=153²⁺²=153²⋅153² ≡ 226⋅226=51076 ≡ 169 mod 239

8: 153⁸=153⁴⁺⁴=153⁴⋅153⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 120 mod 239

16: 153¹⁶=153⁸⁺⁸=153⁸⋅153⁸ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 60 mod 239

32: 153³²=153¹⁶⁺¹⁶=153¹⁶⋅153¹⁶ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 15 mod 239

64: 153⁶⁴=153³²⁺³²=153³²⋅153³² ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 239

128: 153¹²⁸=153⁶⁴⁺⁶⁴=153⁶⁴⋅153⁶⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

281⁶¹

= 281^32+16+8+4+1

= 281³²⋅281¹⁶⋅281⁸⋅281⁴⋅281¹

≡ 204 ⋅ 404 ⋅ 125 ⋅ 244 ⋅ 281 mod 491
≡ 82416 ⋅ 125 ⋅ 244 ⋅ 281 mod 491 ≡ 419 ⋅ 125 ⋅ 244 ⋅ 281 mod 491
≡ 52375 ⋅ 244 ⋅ 281 mod 491 ≡ 329 ⋅ 244 ⋅ 281 mod 491
≡ 80276 ⋅ 281 mod 491 ≡ 243 ⋅ 281 mod 491
≡ 68283 mod 491 ≡ 34 mod 491

Es gilt also: 281⁶¹ ≡ 34 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49

=>89	= 1⋅49 + 40
=>49	= 1⋅40 + 9
=>40	= 4⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 49-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40) = -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1)
40= 89-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49) = 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +20⋅49

Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1

Somit 20⋅49 = 1 mod 89

20 ist also das Inverse von 49 mod 89