Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 + 8998) mod 3 ≡ (1497 mod 3 + 8998 mod 3) mod 3.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1497 + 8998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 39) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 39) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 215¹=215

2: 215²=215¹⁺¹=215¹⋅215¹ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 162 mod 631

4: 215⁴=215²⁺²=215²⋅215² ≡ 162⋅162=26244 ≡ 373 mod 631

8: 215⁸=215⁴⁺⁴=215⁴⋅215⁴ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 309 mod 631

16: 215¹⁶=215⁸⁺⁸=215⁸⋅215⁸ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 200 mod 631

32: 215³²=215¹⁶⁺¹⁶=215¹⁶⋅215¹⁶ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 247 mod 631

64: 215⁶⁴=215³²⁺³²=215³²⋅215³² ≡ 247⋅247=61009 ≡ 433 mod 631

128: 215¹²⁸=215⁶⁴⁺⁶⁴=215⁶⁴⋅215⁶⁴ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 82 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

122⁸⁹

= 122^64+16+8+1

= 122⁶⁴⋅122¹⁶⋅122⁸⋅122¹

≡ 87 ⋅ 5 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269
≡ 435 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269 ≡ 166 ⋅ 143 ⋅ 122 mod 269
≡ 23738 ⋅ 122 mod 269 ≡ 66 ⋅ 122 mod 269
≡ 8052 mod 269 ≡ 251 mod 269

Es gilt also: 122⁸⁹ ≡ 251 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53