Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1496 - 499) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1496 - 499) mod 5 ≡ (1496 mod 5 - 499 mod 5) mod 5.
1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496
= 1400
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
Somit gilt:
(1496 - 499) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 99) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 99) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 99 mod 7) mod 7.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 99) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6218 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 621 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6211=621
2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 575 mod 761
4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 351 mod 761
8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 680 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66577 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 84 mod 761
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 207 mod 761
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 233 mod 761
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 258 mod 761
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 357 mod 761
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 362 mod 761
66577
= 66564+8+4+1
= 66564⋅6658⋅6654⋅6651
≡ 362 ⋅ 233 ⋅ 207 ⋅ 665 mod 761
≡ 84346 ⋅ 207 ⋅ 665 mod 761 ≡ 636 ⋅ 207 ⋅ 665 mod 761
≡ 131652 ⋅ 665 mod 761 ≡ 760 ⋅ 665 mod 761
≡ 505400 mod 761 ≡ 96 mod 761
Es gilt also: 66577 ≡ 96 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28
| =>53 | = 1⋅28 + 25 |
| =>28 | = 1⋅25 + 3 |
| =>25 | = 8⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-8⋅3 | |||
| 3= 28-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1) |
| 25= 53-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28
oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅53 = -17⋅28
-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28
-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1
(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1
36⋅28 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1
Somit 36⋅28 = 1 mod 53
36 ist also das Inverse von 28 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.