Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 + 163) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 + 163) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 4 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(12004 + 163) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 60) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 60) mod 10 ≡ (86 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3018 mod 491.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3011=301

2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 257 mod 491

4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 255 mod 491

8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 213 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 463218 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 4631=463

2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 749 mod 971

4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 749⋅749=561001 ≡ 734 mod 971

8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 822 mod 971

16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 839 mod 971

32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 917 mod 971

64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 917⋅917=840889 ≡ 3 mod 971

128: 463128=46364+64=46364⋅46364 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 971

463218

= 463128+64+16+8+2

= 463128⋅46364⋅46316⋅4638⋅4632

9 ⋅ 3 ⋅ 839 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
27 ⋅ 839 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
22653 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971 ≡ 320 ⋅ 822 ⋅ 749 mod 971
263040 ⋅ 749 mod 971 ≡ 870 ⋅ 749 mod 971
651630 mod 971 ≡ 89 mod 971

Es gilt also: 463218 ≡ 89 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67 = 1⋅60 + 7
=>60 = 8⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7)
= 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60)
= -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.