Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3196 - 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3196 - 80) mod 8 ≡ (3196 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.
3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196
= 3200
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(3196 - 80) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 40) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 40) mod 6 ≡ (97 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 40) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5678 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 567 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5671=567
2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 88 mod 971
4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 947 mod 971
8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 947⋅947=896809 ≡ 576 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222117 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 575 mod 727
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 567 mod 727
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 155 mod 727
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 34 mod 727
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 429 mod 727
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 110 mod 727
222117
= 22264+32+16+4+1
= 22264⋅22232⋅22216⋅2224⋅2221
≡ 110 ⋅ 429 ⋅ 34 ⋅ 567 ⋅ 222 mod 727
≡ 47190 ⋅ 34 ⋅ 567 ⋅ 222 mod 727 ≡ 662 ⋅ 34 ⋅ 567 ⋅ 222 mod 727
≡ 22508 ⋅ 567 ⋅ 222 mod 727 ≡ 698 ⋅ 567 ⋅ 222 mod 727
≡ 395766 ⋅ 222 mod 727 ≡ 278 ⋅ 222 mod 727
≡ 61716 mod 727 ≡ 648 mod 727
Es gilt also: 222117 ≡ 648 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.