Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 2003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 2003) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 2003 mod 4) mod 4.
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
Somit gilt:
(122 - 2003) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 45) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 45) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 45) mod 10 ≡ (9 ⋅ 5) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27616 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 436 mod 541
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 205 mod 541
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 368 mod 541
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 174 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20072 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 2001=200
2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 111 mod 353
4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 319 mod 353
8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 97 mod 353
16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 231 mod 353
32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353
64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353
20072
= 20064+8
= 20064⋅2008
≡ 187 ⋅ 97 mod 353
≡ 18139 mod 353 ≡ 136 mod 353
Es gilt also: 20072 ≡ 136 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.