Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 + 15999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 + 15999) mod 4 ≡ (16001 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.
16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(16001 + 15999) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 44) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 44) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 44) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3808 mod 439.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 380 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 408 mod 439
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 83 mod 439
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 304 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 163231 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 1631=163
2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 156 mod 433
4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 88 mod 433
8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 383 mod 433
16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 335 mod 433
32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433
64: 16364=16332+32=16332⋅16332 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433
128: 163128=16364+64=16364⋅16364 ≡ 22⋅22=484 ≡ 51 mod 433
163231
= 163128+64+32+4+2+1
= 163128⋅16364⋅16332⋅1634⋅1632⋅1631
≡ 51 ⋅ 22 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 1122 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 256 ⋅ 78 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 19968 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 50 ⋅ 88 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 4400 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433 ≡ 70 ⋅ 156 ⋅ 163 mod 433
≡ 10920 ⋅ 163 mod 433 ≡ 95 ⋅ 163 mod 433
≡ 15485 mod 433 ≡ 330 mod 433
Es gilt also: 163231 ≡ 330 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69
| =>97 | = 1⋅69 + 28 |
| =>69 | = 2⋅28 + 13 |
| =>28 | = 2⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 28-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 69-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1) |
| 28= 97-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69
oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅97 = +45⋅69
Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1
Somit 45⋅69 = 1 mod 97
45 ist also das Inverse von 69 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
