Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (998 + 103) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(998 + 103) mod 5 ≡ (998 mod 5 + 103 mod 5) mod 5.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103 = 100+3 = 5 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(998 + 103) mod 5 ≡ (3 + 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 47) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 47) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 47) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26232 mod 857.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 84 mod 857

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 200 mod 857

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 578 mod 857

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 466188 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 4661=466

2: 4662=4661+1=4661⋅4661 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 728 mod 887

4: 4664=4662+2=4662⋅4662 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 445 mod 887

8: 4668=4664+4=4664⋅4664 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 224 mod 887

16: 46616=4668+8=4668⋅4668 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 504 mod 887

32: 46632=46616+16=46616⋅46616 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 334 mod 887

64: 46664=46632+32=46632⋅46632 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 681 mod 887

128: 466128=46664+64=46664⋅46664 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 747 mod 887

466188

= 466128+32+16+8+4

= 466128⋅46632⋅46616⋅4668⋅4664

747 ⋅ 334 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
249498 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887 ≡ 251 ⋅ 504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
126504 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887 ≡ 550 ⋅ 224 ⋅ 445 mod 887
123200 ⋅ 445 mod 887 ≡ 794 ⋅ 445 mod 887
353330 mod 887 ≡ 304 mod 887

Es gilt also: 466188 ≡ 304 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.