Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1498 + 297) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1498 + 297) mod 3 ≡ (1498 mod 3 + 297 mod 3) mod 3.
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
Somit gilt:
(1498 + 297) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 32) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 32) mod 7 ≡ (80 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 32) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1718 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 7 mod 311
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 311
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 224 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32197 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 386 mod 419
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 251 mod 419
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 151 mod 419
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 175 mod 419
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 38 mod 419
64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 187 mod 419
32197
= 32164+32+1
= 32164⋅32132⋅3211
≡ 187 ⋅ 38 ⋅ 321 mod 419
≡ 7106 ⋅ 321 mod 419 ≡ 402 ⋅ 321 mod 419
≡ 129042 mod 419 ≡ 409 mod 419
Es gilt also: 32197 ≡ 409 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.