Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 + 16004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 + 16004) mod 4 ≡ (156 mod 4 + 16004 mod 4) mod 4.
156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
Somit gilt:
(156 + 16004) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 47) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 47) mod 7 ≡ (60 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 47) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46316 mod 487.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 463 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 89 mod 487
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 129 mod 487
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 83 mod 487
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 71 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 321196 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 270 mod 601
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 179 mod 601
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 188 mod 601
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 486 mod 601
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 3 mod 601
64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 601
128: 321128=32164+64=32164⋅32164 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 601
321196
= 321128+64+4
= 321128⋅32164⋅3214
≡ 81 ⋅ 9 ⋅ 179 mod 601
≡ 729 ⋅ 179 mod 601 ≡ 128 ⋅ 179 mod 601
≡ 22912 mod 601 ≡ 74 mod 601
Es gilt also: 321196 ≡ 74 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.