Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 + 122) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 + 122) mod 4 ≡ (4000 mod 4 + 122 mod 4) mod 4.
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(4000 + 122) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 36) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 36) mod 7 ≡ (80 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 36) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23516 mod 293.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 91 mod 293
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 77 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 366151 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 3661=366
2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 394 mod 467
4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 192 mod 467
8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 438 mod 467
16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 374 mod 467
32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 243 mod 467
64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 207 mod 467
128: 366128=36664+64=36664⋅36664 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 352 mod 467
366151
= 366128+16+4+2+1
= 366128⋅36616⋅3664⋅3662⋅3661
≡ 352 ⋅ 374 ⋅ 192 ⋅ 394 ⋅ 366 mod 467
≡ 131648 ⋅ 192 ⋅ 394 ⋅ 366 mod 467 ≡ 421 ⋅ 192 ⋅ 394 ⋅ 366 mod 467
≡ 80832 ⋅ 394 ⋅ 366 mod 467 ≡ 41 ⋅ 394 ⋅ 366 mod 467
≡ 16154 ⋅ 366 mod 467 ≡ 276 ⋅ 366 mod 467
≡ 101016 mod 467 ≡ 144 mod 467
Es gilt also: 366151 ≡ 144 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.
Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85
| =>101 | = 1⋅85 + 16 |
| =>85 | = 5⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,85)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 85-5⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 101-1⋅85 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -19⋅85
-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85
-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1
(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1
82⋅85 = 69⋅101 + 1
Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1
Somit 82⋅85 = 1 mod 101
82 ist also das Inverse von 85 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.