Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27008 + 2694) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27008 + 2694) mod 9 ≡ (27008 mod 9 + 2694 mod 9) mod 9.
27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008
= 27000
2694 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2694
= 2700
Somit gilt:
(27008 + 2694) mod 9 ≡ (8 + 3) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 47) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 47) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 47) mod 10 ≡ (5 ⋅ 7) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40064 mod 401.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 1 mod 401
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 442210 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 528 mod 727
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 343 mod 727
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 602 mod 727
16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 358 mod 727
32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 212 mod 727
64: 44264=44232+32=44232⋅44232 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 597 mod 727
128: 442128=44264+64=44264⋅44264 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 179 mod 727
442210
= 442128+64+16+2
= 442128⋅44264⋅44216⋅4422
≡ 179 ⋅ 597 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727
≡ 106863 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727 ≡ 721 ⋅ 358 ⋅ 528 mod 727
≡ 258118 ⋅ 528 mod 727 ≡ 33 ⋅ 528 mod 727
≡ 17424 mod 727 ≡ 703 mod 727
Es gilt also: 442210 ≡ 703 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
