Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20001 + 201) mod 5 ≡ (20001 mod 5 + 201 mod 5) mod 5.

20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 5 ⋅ 4000 +1.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(20001 + 201) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 64) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 64 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 64) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 322¹=322

2: 322²=322¹⁺¹=322¹⋅322¹ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 161 mod 643

4: 322⁴=322²⁺²=322²⋅322² ≡ 161⋅161=25921 ≡ 201 mod 643

8: 322⁸=322⁴⁺⁴=322⁴⋅322⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 535 mod 643

16: 322¹⁶=322⁸⁺⁸=322⁸⋅322⁸ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 90 mod 643

32: 322³²=322¹⁶⁺¹⁶=322¹⁶⋅322¹⁶ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 384 mod 643

64: 322⁶⁴=322³²⁺³²=322³²⋅322³² ≡ 384⋅384=147456 ≡ 209 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

353²¹²

= 353^128+64+16+4

= 353¹²⁸⋅353⁶⁴⋅353¹⁶⋅353⁴

≡ 281 ⋅ 115 ⋅ 475 ⋅ 529 mod 809
≡ 32315 ⋅ 475 ⋅ 529 mod 809 ≡ 764 ⋅ 475 ⋅ 529 mod 809
≡ 362900 ⋅ 529 mod 809 ≡ 468 ⋅ 529 mod 809
≡ 247572 mod 809 ≡ 18 mod 809

Es gilt also: 353²¹² ≡ 18 mod 809

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101