Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18007 + 3593) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 3593 mod 9) mod 9.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593 = 3600-7 = 9 ⋅ 400 -7 = 9 ⋅ 400 - 9 + 2.

Somit gilt:

(18007 + 3593) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 63) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 63) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 387¹=387

2: 387²=387¹⁺¹=387¹⋅387¹ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 786 mod 937

4: 387⁴=387²⁺²=387²⋅387² ≡ 786⋅786=617796 ≡ 313 mod 937

8: 387⁸=387⁴⁺⁴=387⁴⋅387⁴ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 521 mod 937

16: 387¹⁶=387⁸⁺⁸=387⁸⋅387⁸ ≡ 521⋅521=271441 ≡ 648 mod 937

32: 387³²=387¹⁶⁺¹⁶=387¹⁶⋅387¹⁶ ≡ 648⋅648=419904 ≡ 128 mod 937

64: 387⁶⁴=387³²⁺³²=387³²⋅387³² ≡ 128⋅128=16384 ≡ 455 mod 937

128: 387¹²⁸=387⁶⁴⁺⁶⁴=387⁶⁴⋅387⁶⁴ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 885 mod 937

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

229²²⁹

= 229^{128+64+32+4+1}

= 229¹²⁸⋅229⁶⁴⋅229³²⋅229⁴⋅229¹

≡ 295 ⋅ 441 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
≡ 130095 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643 ≡ 209 ⋅ 622 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
≡ 129998 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643 ≡ 112 ⋅ 207 ⋅ 229 mod 643
≡ 23184 ⋅ 229 mod 643 ≡ 36 ⋅ 229 mod 643
≡ 8244 mod 643 ≡ 528 mod 643

Es gilt also: 229²²⁹ ≡ 528 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53