Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21004 + 20994) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21004 + 20994) mod 7 ≡ (21004 mod 7 + 20994 mod 7) mod 7.

21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004 = 21000+4 = 7 ⋅ 3000 +4.

20994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20994 = 21000-6 = 7 ⋅ 3000 -6 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(21004 + 20994) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 42) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 42) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 42) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48264 mod 907.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,907) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4821=482

2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 132 mod 907

4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 191 mod 907

8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 201 mod 907

16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 493 mod 907

32: 48232=48216+16=48216⋅48216 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 880 mod 907

64: 48264=48232+32=48232⋅48232 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 729 mod 907

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 426157 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

1: 4261=426

2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 754 mod 829

4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 651 mod 829

8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 182 mod 829

16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 793 mod 829

32: 42632=42616+16=42616⋅42616 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 467 mod 829

64: 42664=42632+32=42632⋅42632 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 62 mod 829

128: 426128=42664+64=42664⋅42664 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 528 mod 829

426157

= 426128+16+8+4+1

= 426128⋅42616⋅4268⋅4264⋅4261

528 ⋅ 793 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
418704 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829 ≡ 59 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
10738 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829 ≡ 790 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
514290 ⋅ 426 mod 829 ≡ 310 ⋅ 426 mod 829
132060 mod 829 ≡ 249 mod 829

Es gilt also: 426157 ≡ 249 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.