Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (398 - 16003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(398 - 16003) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 16003 mod 4) mod 4.
398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 300
16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
Somit gilt:
(398 - 16003) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 36) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 36) mod 6 ≡ (29 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.
29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 36) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31864 mod 607.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 362 mod 607
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 539 mod 607
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 375 mod 607
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 408 mod 607
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 146 mod 607
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 71 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21685 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 386 mod 661
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 271 mod 661
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 70 mod 661
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 273 mod 661
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 497 mod 661
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 456 mod 661
21685
= 21664+16+4+1
= 21664⋅21616⋅2164⋅2161
≡ 456 ⋅ 273 ⋅ 271 ⋅ 216 mod 661
≡ 124488 ⋅ 271 ⋅ 216 mod 661 ≡ 220 ⋅ 271 ⋅ 216 mod 661
≡ 59620 ⋅ 216 mod 661 ≡ 130 ⋅ 216 mod 661
≡ 28080 mod 661 ≡ 318 mod 661
Es gilt also: 21685 ≡ 318 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.