Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36004 + 35992) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36004 + 35992) mod 9 ≡ (36004 mod 9 + 35992 mod 9) mod 9.
36004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36004
= 36000
35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992
= 36000
Somit gilt:
(36004 + 35992) mod 9 ≡ (4 + 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 90) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 90) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 90) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25232 mod 449.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 195 mod 449
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 309 mod 449
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 293 mod 449
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 90 mod 449
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 112192 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 1121=112
2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 338 mod 359
4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 82 mod 359
8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 262 mod 359
16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 75 mod 359
32: 11232=11216+16=11216⋅11216 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 240 mod 359
64: 11264=11232+32=11232⋅11232 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 160 mod 359
128: 112128=11264+64=11264⋅11264 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 111 mod 359
112192
= 112128+64
= 112128⋅11264
≡ 111 ⋅ 160 mod 359
≡ 17760 mod 359 ≡ 169 mod 359
Es gilt also: 112192 ≡ 169 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.