Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (168 - 167) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(168 - 167) mod 8 ≡ (168 mod 8 - 167 mod 8) mod 8.
168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168
= 160
167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167
= 160
Somit gilt:
(168 - 167) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 66) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 66) mod 4 ≡ (56 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.
56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 66) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64332 mod 821.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 643 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6431=643
2: 6432=6431+1=6431⋅6431 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 486 mod 821
4: 6434=6432+2=6432⋅6432 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 569 mod 821
8: 6438=6434+4=6434⋅6434 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 287 mod 821
16: 64316=6438+8=6438⋅6438 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 269 mod 821
32: 64332=64316+16=64316⋅64316 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 113 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241245 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:
245 = 128+64+32+16+4+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 574 mod 661
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 298 mod 661
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 230 mod 661
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 20 mod 661
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 661
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 38 mod 661
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 122 mod 661
241245
= 241128+64+32+16+4+1
= 241128⋅24164⋅24132⋅24116⋅2414⋅2411
≡ 122 ⋅ 38 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 4636 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 9 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 3600 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 295 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 5900 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 612 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 182376 ⋅ 241 mod 661 ≡ 601 ⋅ 241 mod 661
≡ 144841 mod 661 ≡ 82 mod 661
Es gilt also: 241245 ≡ 82 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54
| =>61 | = 1⋅54 + 7 |
| =>54 | = 7⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 54-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +26⋅54
Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1
Somit 26⋅54 = 1 mod 61
26 ist also das Inverse von 54 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
