Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2708 - 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2708 - 81) mod 9 ≡ (2708 mod 9 - 81 mod 9) mod 9.
2708 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2708
= 2700
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 90
Somit gilt:
(2708 - 81) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 53) mod 8 ≡ (24 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 53) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14932 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 149 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85377 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 8531=853
2: 8532=8531+1=8531⋅8531 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 195 mod 907
4: 8534=8532+2=8532⋅8532 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 838 mod 907
8: 8538=8534+4=8534⋅8534 ≡ 838⋅838=702244 ≡ 226 mod 907
16: 85316=8538+8=8538⋅8538 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 284 mod 907
32: 85332=85316+16=85316⋅85316 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 840 mod 907
64: 85364=85332+32=85332⋅85332 ≡ 840⋅840=705600 ≡ 861 mod 907
85377
= 85364+8+4+1
= 85364⋅8538⋅8534⋅8531
≡ 861 ⋅ 226 ⋅ 838 ⋅ 853 mod 907
≡ 194586 ⋅ 838 ⋅ 853 mod 907 ≡ 488 ⋅ 838 ⋅ 853 mod 907
≡ 408944 ⋅ 853 mod 907 ≡ 794 ⋅ 853 mod 907
≡ 677282 mod 907 ≡ 660 mod 907
Es gilt also: 85377 ≡ 660 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41
| =>79 | = 1⋅41 + 38 |
| =>41 | = 1⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 41-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1) |
| 38= 79-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41
oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅79 = +27⋅41
Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1
Somit 27⋅41 = 1 mod 79
27 ist also das Inverse von 41 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.