Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 + 246) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 + 246) mod 5 ≡ (45 mod 5 + 246 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45
= 40
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
Somit gilt:
(45 + 246) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 83) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 83) mod 7 ≡ (53 mod 7 ⋅ 83 mod 7) mod 7.
53 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 49 + 4 = 7 ⋅ 7 + 4 ist.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 83) mod 7 ≡ (4 ⋅ 6) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56816 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 568 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5681=568
2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 792 mod 821
4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 792⋅792=627264 ≡ 20 mod 821
8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 821
16: 56816=5688+8=5688⋅5688 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 726 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 388206 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 293 mod 433
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 115 mod 433
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 235 mod 433
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 234 mod 433
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 234 mod 433
128: 388128=38864+64=38864⋅38864 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433
388206
= 388128+64+8+4+2
= 388128⋅38864⋅3888⋅3884⋅3882
≡ 198 ⋅ 234 ⋅ 235 ⋅ 115 ⋅ 293 mod 433
≡ 46332 ⋅ 235 ⋅ 115 ⋅ 293 mod 433 ≡ 1 ⋅ 235 ⋅ 115 ⋅ 293 mod 433
≡ 235 ⋅ 115 ⋅ 293 mod 433
≡ 27025 ⋅ 293 mod 433 ≡ 179 ⋅ 293 mod 433
≡ 52447 mod 433 ≡ 54 mod 433
Es gilt also: 388206 ≡ 54 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.