Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18005 + 892) mod 9 ≡ (18005 mod 9 + 892 mod 9) mod 9.

18005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 9 ⋅ 2000 +5.

892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892 = 900-8 = 9 ⋅ 100 -8 = 9 ⋅ 100 - 9 + 1.

Somit gilt:

(18005 + 892) mod 9 ≡ (5 + 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 97) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 97) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 460¹=460

2: 460²=460¹⁺¹=460¹⋅460¹ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 496 mod 733

4: 460⁴=460²⁺²=460²⋅460² ≡ 496⋅496=246016 ≡ 461 mod 733

8: 460⁸=460⁴⁺⁴=460⁴⋅460⁴ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 684 mod 733

16: 460¹⁶=460⁸⁺⁸=460⁸⋅460⁸ ≡ 684⋅684=467856 ≡ 202 mod 733

32: 460³²=460¹⁶⁺¹⁶=460¹⁶⋅460¹⁶ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 489 mod 733

64: 460⁶⁴=460³²⁺³²=460³²⋅460³² ≡ 489⋅489=239121 ≡ 163 mod 733

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

794¹⁹¹

= 794^{128+32+16+8+4+2+1}

= 794¹²⁸⋅794³²⋅794¹⁶⋅794⁸⋅794⁴⋅794²⋅794¹

≡ 697 ⋅ 772 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827
≡ 538084 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827 ≡ 534 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827
≡ 43254 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827 ≡ 250 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827
≡ 2250 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827 ≡ 596 ⋅ 3 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827
≡ 1788 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827 ≡ 134 ⋅ 262 ⋅ 794 mod 827
≡ 35108 ⋅ 794 mod 827 ≡ 374 ⋅ 794 mod 827
≡ 296956 mod 827 ≡ 63 mod 827

Es gilt also: 794¹⁹¹ ≡ 63 mod 827

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95

=>101	= 1⋅95 + 6
=>95	= 15⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,95)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 95-15⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6) = -1⋅95 +16⋅ 6 (=1)
6= 101-1⋅95	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95) = -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95) = 16⋅101 -17⋅ 95 (=1)

Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -17⋅95

-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95

-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1

(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1

84⋅95 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1

Somit 84⋅95 = 1 mod 101

84 ist also das Inverse von 95 mod 101