Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3600 + 89) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3600 + 89) mod 9 ≡ (3600 mod 9 + 89 mod 9) mod 9.
3600 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3600
= 3600
89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
Somit gilt:
(3600 + 89) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 27) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 27) mod 11 ≡ (72 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 27) mod 11 ≡ (6 ⋅ 5) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1098 mod 331.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 109 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1091=109
2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 296 mod 331
4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 232 mod 331
8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 202 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 246136 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 2461=246
2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 158 mod 293
4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 59 mod 293
8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293
16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293
32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293
64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293
128: 246128=24664+64=24664⋅24664 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 81 mod 293
246136
= 246128+8
= 246128⋅2468
≡ 81 ⋅ 258 mod 293
≡ 20898 mod 293 ≡ 95 mod 293
Es gilt also: 246136 ≡ 95 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.