Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 + 596) mod 6 ≡ (598 mod 6 + 596 mod 6) mod 6.

598 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 6 ⋅ 100 -2 = 6 ⋅ 100 - 6 + 4.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

Somit gilt:

(598 + 596) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 39) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 39) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 283¹=283

2: 283²=283¹⁺¹=283¹⋅283¹ ≡ 283⋅283=80089 ≡ 588 mod 743

4: 283⁴=283²⁺²=283²⋅283² ≡ 588⋅588=345744 ≡ 249 mod 743

8: 283⁸=283⁴⁺⁴=283⁴⋅283⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 332 mod 743

16: 283¹⁶=283⁸⁺⁸=283⁸⋅283⁸ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 260 mod 743

32: 283³²=283¹⁶⁺¹⁶=283¹⁶⋅283¹⁶ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 730 mod 743

64: 283⁶⁴=283³²⁺³²=283³²⋅283³² ≡ 730⋅730=532900 ≡ 169 mod 743

128: 283¹²⁸=283⁶⁴⁺⁶⁴=283⁶⁴⋅283⁶⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 327 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

90²⁵⁴

= 90^{128+64+32+16+8+4+2}

= 90¹²⁸⋅90⁶⁴⋅90³²⋅90¹⁶⋅90⁸⋅90⁴⋅90²

≡ 79 ⋅ 76 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 6004 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 96 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 16224 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 188 ⋅ 13 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 2444 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 123 ⋅ 151 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 18573 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211 ≡ 5 ⋅ 183 ⋅ 82 mod 211
≡ 915 ⋅ 82 mod 211 ≡ 71 ⋅ 82 mod 211
≡ 5822 mod 211 ≡ 125 mod 211

Es gilt also: 90²⁵⁴ ≡ 125 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32

=>71	= 2⋅32 + 7
=>32	= 4⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 32-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1)
7= 71-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32) = 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +20⋅32

Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1

Somit 20⋅32 = 1 mod 71

20 ist also das Inverse von 32 mod 71