Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3609 + 8995) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3609 + 8995) mod 9 ≡ (3609 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.

3609 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3609 = 3600+9 = 9 ⋅ 400 +9.

8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995 = 9000-5 = 9 ⋅ 1000 -5 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 4.

Somit gilt:

(3609 + 8995) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 38) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 38) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 38) mod 11 ≡ (6 ⋅ 5) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32932 mod 499.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3291=329

2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 457 mod 499

4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 267 mod 499

8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 431 mod 499

16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 133 mod 499

32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 224 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 295158 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 444 mod 463

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 361 mod 463

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 218 mod 463

16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 298 mod 463

32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 371 mod 463

64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 130 mod 463

128: 295128=29564+64=29564⋅29564 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 232 mod 463

295158

= 295128+16+8+4+2

= 295128⋅29516⋅2958⋅2954⋅2952

232 ⋅ 298 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
69136 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463 ≡ 149 ⋅ 218 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
32482 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463 ≡ 72 ⋅ 361 ⋅ 444 mod 463
25992 ⋅ 444 mod 463 ≡ 64 ⋅ 444 mod 463
28416 mod 463 ≡ 173 mod 463

Es gilt also: 295158 ≡ 173 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.