Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 + 18000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 + 18000) mod 6 ≡ (117 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(117 + 18000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 15) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 15) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 15) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 492128 mod 593.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 492 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4921=492
2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 120 mod 593
4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 168 mod 593
8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 353 mod 593
16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 79 mod 593
32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 311 mod 593
64: 49264=49232+32=49232⋅49232 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593
128: 492128=49264+64=49264⋅49264 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 203104 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 2031=203
2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 27 mod 349
4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 27⋅27=729 ≡ 31 mod 349
8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 31⋅31=961 ≡ 263 mod 349
16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 67 mod 349
32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 301 mod 349
64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 210 mod 349
203104
= 20364+32+8
= 20364⋅20332⋅2038
≡ 210 ⋅ 301 ⋅ 263 mod 349
≡ 63210 ⋅ 263 mod 349 ≡ 41 ⋅ 263 mod 349
≡ 10783 mod 349 ≡ 313 mod 349
Es gilt also: 203104 ≡ 313 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.