Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 + 4000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 + 4000) mod 4 ≡ (2002 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.
2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(2002 + 4000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 56) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 56) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.
52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.
56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 56) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 360128 mod 499.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3601=360
2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 359 mod 499
4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499
8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499
16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499
32: 36032=36016+16=36016⋅36016 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499
64: 36064=36032+32=36032⋅36032 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 139 mod 499
128: 360128=36064+64=36064⋅36064 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 359 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89184 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 891=89
2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 31 mod 263
4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 31⋅31=961 ≡ 172 mod 263
8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 128 mod 263
16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 78 mod 263
32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 35 mod 263
64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 173 mod 263
128: 89128=8964+64=8964⋅8964 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 210 mod 263
89184
= 89128+32+16+8
= 89128⋅8932⋅8916⋅898
≡ 210 ⋅ 35 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263
≡ 7350 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263 ≡ 249 ⋅ 78 ⋅ 128 mod 263
≡ 19422 ⋅ 128 mod 263 ≡ 223 ⋅ 128 mod 263
≡ 28544 mod 263 ≡ 140 mod 263
Es gilt also: 89184 ≡ 140 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
