Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2695 + 1798) mod 9 ≡ (2695 mod 9 + 1798 mod 9) mod 9.

2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695 = 2700-5 = 9 ⋅ 300 -5 = 9 ⋅ 300 - 9 + 4.

1798 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798 = 1800-2 = 9 ⋅ 200 -2 = 9 ⋅ 200 - 9 + 7.

Somit gilt:

(2695 + 1798) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 43) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 43) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 765¹=765

2: 765²=765¹⁺¹=765¹⋅765¹ ≡ 765⋅765=585225 ≡ 494 mod 811

4: 765⁴=765²⁺²=765²⋅765² ≡ 494⋅494=244036 ≡ 736 mod 811

8: 765⁸=765⁴⁺⁴=765⁴⋅765⁴ ≡ 736⋅736=541696 ≡ 759 mod 811

16: 765¹⁶=765⁸⁺⁸=765⁸⋅765⁸ ≡ 759⋅759=576081 ≡ 271 mod 811

32: 765³²=765¹⁶⁺¹⁶=765¹⁶⋅765¹⁶ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 451 mod 811

64: 765⁶⁴=765³²⁺³²=765³²⋅765³² ≡ 451⋅451=203401 ≡ 651 mod 811

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

283⁶²

= 283^32+16+8+4+2

= 283³²⋅283¹⁶⋅283⁸⋅283⁴⋅283²

≡ 75 ⋅ 412 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 30900 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443 ≡ 333 ⋅ 133 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 44289 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443 ≡ 432 ⋅ 419 ⋅ 349 mod 443
≡ 181008 ⋅ 349 mod 443 ≡ 264 ⋅ 349 mod 443
≡ 92136 mod 443 ≡ 435 mod 443

Es gilt also: 283⁶² ≡ 435 mod 443

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97	= 1⋅86 + 11
=>86	= 7⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86) = 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97