Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 401) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 401) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 401 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(15997 - 401) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 77) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 77) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 77) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1518 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1511=151

2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 175 mod 419

4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 38 mod 419

8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 187 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 348135 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

1: 3481=348

2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 13 mod 419

4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 419

8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 69 mod 419

16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 152 mod 419

32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 59 mod 419

64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 129 mod 419

128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 300 mod 419

348135

= 348128+4+2+1

= 348128⋅3484⋅3482⋅3481

300 ⋅ 169 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419
50700 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419 ≡ 1 ⋅ 13 ⋅ 348 mod 419
13 ⋅ 348 mod 419
4524 mod 419 ≡ 334 mod 419

Es gilt also: 348135 ≡ 334 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.