Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23998 - 17994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23998 - 17994) mod 6 ≡ (23998 mod 6 - 17994 mod 6) mod 6.
23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 24000
17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994
= 18000
Somit gilt:
(23998 - 17994) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 69) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 69) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.
50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 69) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52916 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 529 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5291=529
2: 5292=5291+1=5291⋅5291 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 144 mod 541
4: 5294=5292+2=5292⋅5292 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 178 mod 541
8: 5298=5294+4=5294⋅5294 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 306 mod 541
16: 52916=5298+8=5298⋅5298 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 43 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 188216 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 184 mod 293
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 161 mod 293
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 137 mod 293
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 17 mod 293
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 293
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293
128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293
188216
= 188128+64+16+8
= 188128⋅18864⋅18816⋅1888
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293
≡ 4096 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293 ≡ 287 ⋅ 17 ⋅ 137 mod 293
≡ 4879 ⋅ 137 mod 293 ≡ 191 ⋅ 137 mod 293
≡ 26167 mod 293 ≡ 90 mod 293
Es gilt also: 188216 ≡ 90 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.