Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1995 - 5002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1995 - 5002) mod 5 ≡ (1995 mod 5 - 5002 mod 5) mod 5.
1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995
= 1900
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
Somit gilt:
(1995 - 5002) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 66) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 66) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 66) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21332 mod 457.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 126 mod 457
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 338 mod 457
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 451 mod 457
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 36 mod 457
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 382 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26368 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 587 mod 647
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 365 mod 647
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 590 mod 647
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 14 mod 647
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 647
64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 243 mod 647
26368
= 26364+4
= 26364⋅2634
≡ 243 ⋅ 365 mod 647
≡ 88695 mod 647 ≡ 56 mod 647
Es gilt also: 26368 ≡ 56 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -7⋅42
-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42
-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1
(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1
52⋅42 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1
Somit 52⋅42 = 1 mod 59
52 ist also das Inverse von 42 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.