Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2406 - 12002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2406 - 12002) mod 6 ≡ (2406 mod 6 - 12002 mod 6) mod 6.
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(2406 - 12002) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 40) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 40) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6568 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 656 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6561=656
2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 25 mod 661
4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 661
8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 635 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 122189 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 1221=122
2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 58 mod 353
4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353
8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353
16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353
32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
128: 122128=12264+64=12264⋅12264 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
122189
= 122128+32+16+8+4+1
= 122128⋅12232⋅12216⋅1228⋅1224⋅1221
≡ 185 ⋅ 217 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
≡ 40145 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353 ≡ 256 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
≡ 33536 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353 ≡ 1 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
≡ 22 ⋅ 187 ⋅ 122 mod 353
≡ 4114 ⋅ 122 mod 353 ≡ 231 ⋅ 122 mod 353
≡ 28182 mod 353 ≡ 295 mod 353
Es gilt also: 122189 ≡ 295 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.