Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7998 - 32006) mod 8 ≡ (7998 mod 8 - 32006 mod 8) mod 8.

7998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998 = 7000+998 = 8 ⋅ 875 +998.

32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006 = 32000+6 = 8 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(7998 - 32006) mod 8 ≡ (6 - 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 42) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 42) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 579¹=579

2: 579²=579¹⁺¹=579¹⋅579¹ ≡ 579⋅579=335241 ≡ 246 mod 971

4: 579⁴=579²⁺²=579²⋅579² ≡ 246⋅246=60516 ≡ 314 mod 971

8: 579⁸=579⁴⁺⁴=579⁴⋅579⁴ ≡ 314⋅314=98596 ≡ 525 mod 971

16: 579¹⁶=579⁸⁺⁸=579⁸⋅579⁸ ≡ 525⋅525=275625 ≡ 832 mod 971

32: 579³²=579¹⁶⁺¹⁶=579¹⁶⋅579¹⁶ ≡ 832⋅832=692224 ≡ 872 mod 971

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:

241 = 128+64+32+16+1

480²⁴¹

= 480^{128+64+32+16+1}

= 480¹²⁸⋅480⁶⁴⋅480³²⋅480¹⁶⋅480¹

≡ 285 ⋅ 431 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 122835 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521 ≡ 400 ⋅ 405 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 162000 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521 ≡ 490 ⋅ 228 ⋅ 480 mod 521
≡ 111720 ⋅ 480 mod 521 ≡ 226 ⋅ 480 mod 521
≡ 108480 mod 521 ≡ 112 mod 521

Es gilt also: 480²⁴¹ ≡ 112 mod 521

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101