Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (176 - 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(176 - 90) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 90 mod 9) mod 9.
176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(176 - 90) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 66) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 66) mod 8 ≡ (25 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 66) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51616 mod 947.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 516 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5161=516
2: 5162=5161+1=5161⋅5161 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 149 mod 947
4: 5164=5162+2=5162⋅5162 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 420 mod 947
8: 5168=5164+4=5164⋅5164 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 258 mod 947
16: 51616=5168+8=5168⋅5168 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 274 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248254 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 237 mod 311
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311
248254
= 248128+64+32+16+8+4+2
= 248128⋅24864⋅24832⋅24816⋅2488⋅2484⋅2482
≡ 273 ⋅ 178 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 48594 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 78 ⋅ 235 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 18330 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 292 ⋅ 70 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 20440 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 225 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 60075 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 52 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 9828 ⋅ 237 mod 311 ≡ 187 ⋅ 237 mod 311
≡ 44319 mod 311 ≡ 157 mod 311
Es gilt also: 248254 ≡ 157 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.