Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (155 + 199) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(155 + 199) mod 5 ≡ (155 mod 5 + 199 mod 5) mod 5.
155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155
= 150
199 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 190
Somit gilt:
(155 + 199) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 86) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 86) mod 10 ≡ (78 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.
78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 86) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4148 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 414 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 197 mod 661
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 471 mod 661
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 406 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11877 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 1181=118
2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 187 mod 241
4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
32: 11832=11816+16=11816⋅11816 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
64: 11864=11832+32=11832⋅11832 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
11877
= 11864+8+4+1
= 11864⋅1188⋅1184⋅1181
≡ 24 ⋅ 94 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 2256 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241 ≡ 87 ⋅ 24 ⋅ 118 mod 241
≡ 2088 ⋅ 118 mod 241 ≡ 160 ⋅ 118 mod 241
≡ 18880 mod 241 ≡ 82 mod 241
Es gilt also: 11877 ≡ 82 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83
| =>97 | = 1⋅83 + 14 |
| =>83 | = 5⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 83-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14) = -1⋅83 +6⋅ 14 (=1) |
| 14= 97-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83) = 6⋅97 -7⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83
oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅97 = -7⋅83
-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83
-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1
(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1
90⋅83 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1
Somit 90⋅83 = 1 mod 97
90 ist also das Inverse von 83 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.