Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44994 - 2698) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 2698 mod 9) mod 9.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698 = 2700-2 = 9 ⋅ 300 -2 = 9 ⋅ 300 - 9 + 7.

Somit gilt:

(44994 - 2698) mod 9 ≡ (3 - 7) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 15) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.

92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.

15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 15) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 272¹=272

2: 272²=272¹⁺¹=272¹⋅272¹ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 695 mod 883

4: 272⁴=272²⁺²=272²⋅272² ≡ 695⋅695=483025 ≡ 24 mod 883

8: 272⁸=272⁴⁺⁴=272⁴⋅272⁴ ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 883

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

198¹⁸⁷

= 198^{128+32+16+8+2+1}

= 198¹²⁸⋅198³²⋅198¹⁶⋅198⁸⋅198²⋅198¹

≡ 57 ⋅ 194 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 11058 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 514 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 100744 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 576 ⋅ 14 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 8064 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659 ≡ 156 ⋅ 323 ⋅ 198 mod 659
≡ 50388 ⋅ 198 mod 659 ≡ 304 ⋅ 198 mod 659
≡ 60192 mod 659 ≡ 223 mod 659

Es gilt also: 198¹⁸⁷ ≡ 223 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79	= 1⋅72 + 7
=>72	= 10⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72) = -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79