Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 + 240) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 + 240) mod 6 ≡ (55 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55
= 60
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(55 + 240) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 96) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 96) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.
55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.
96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 96) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33116 mod 739.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 189 mod 739
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 249 mod 739
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 664 mod 739
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 452 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259234 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 47 mod 277
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 270 mod 277
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 49 mod 277
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 185 mod 277
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 154 mod 277
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 171 mod 277
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277
259234
= 259128+64+32+8+2
= 259128⋅25964⋅25932⋅2598⋅2592
≡ 156 ⋅ 171 ⋅ 154 ⋅ 49 ⋅ 47 mod 277
≡ 26676 ⋅ 154 ⋅ 49 ⋅ 47 mod 277 ≡ 84 ⋅ 154 ⋅ 49 ⋅ 47 mod 277
≡ 12936 ⋅ 49 ⋅ 47 mod 277 ≡ 194 ⋅ 49 ⋅ 47 mod 277
≡ 9506 ⋅ 47 mod 277 ≡ 88 ⋅ 47 mod 277
≡ 4136 mod 277 ≡ 258 mod 277
Es gilt also: 259234 ≡ 258 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.