Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 + 83) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 + 83) mod 4 ≡ (1999 mod 4 + 83 mod 4) mod 4.
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
Somit gilt:
(1999 + 83) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 89) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3108 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 136 mod 727
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 321 mod 727
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 534 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 344224 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 80 mod 389
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 176 mod 389
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 245 mod 389
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 119 mod 389
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 157 mod 389
64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389
128: 344128=34464+64=34464⋅34464 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389
344224
= 344128+64+32
= 344128⋅34464⋅34432
≡ 325 ⋅ 142 ⋅ 157 mod 389
≡ 46150 ⋅ 157 mod 389 ≡ 248 ⋅ 157 mod 389
≡ 38936 mod 389 ≡ 36 mod 389
Es gilt also: 344224 ≡ 36 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47
| =>71 | = 1⋅47 + 24 |
| =>47 | = 1⋅24 + 23 |
| =>24 | = 1⋅23 + 1 |
| =>23 | = 23⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 24-1⋅23 | |||
| 23= 47-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1) |
| 24= 71-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47
oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅71 = -3⋅47
-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47
-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1
(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1
68⋅47 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1
Somit 68⋅47 = 1 mod 71
68 ist also das Inverse von 47 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.