Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 15002) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(120 + 15002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 57) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 57) mod 5 ≡ (80 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.
80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 57) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2178 mod 373.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 91 mod 373
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 75 mod 373
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 30 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82967 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 8291=829
2: 8292=8291+1=8291⋅8291 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 347 mod 911
4: 8294=8292+2=8292⋅8292 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 157 mod 911
8: 8298=8294+4=8294⋅8294 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 52 mod 911
16: 82916=8298+8=8298⋅8298 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 882 mod 911
32: 82932=82916+16=82916⋅82916 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 841 mod 911
64: 82964=82932+32=82932⋅82932 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 345 mod 911
82967
= 82964+2+1
= 82964⋅8292⋅8291
≡ 345 ⋅ 347 ⋅ 829 mod 911
≡ 119715 ⋅ 829 mod 911 ≡ 374 ⋅ 829 mod 911
≡ 310046 mod 911 ≡ 306 mod 911
Es gilt also: 82967 ≡ 306 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.