Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 + 24004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 + 24004) mod 8 ≡ (159 mod 8 + 24004 mod 8) mod 8.
159 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
Somit gilt:
(159 + 24004) mod 8 ≡ (7 + 4) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 57) mod 6 ≡ (41 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.
41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 57) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38232 mod 839.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3821=382
2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 777 mod 839
4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 488 mod 839
8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 707 mod 839
16: 38216=3828+8=3828⋅3828 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 644 mod 839
32: 38232=38216+16=38216⋅38216 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 270 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 223210 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 51 mod 421
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 75 mod 421
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 370 mod 421
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 75 mod 421
64: 22364=22332+32=22332⋅22332 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 152 mod 421
128: 223128=22364+64=22364⋅22364 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 370 mod 421
223210
= 223128+64+16+2
= 223128⋅22364⋅22316⋅2232
≡ 370 ⋅ 152 ⋅ 370 ⋅ 51 mod 421
≡ 56240 ⋅ 370 ⋅ 51 mod 421 ≡ 247 ⋅ 370 ⋅ 51 mod 421
≡ 91390 ⋅ 51 mod 421 ≡ 33 ⋅ 51 mod 421
≡ 1683 mod 421 ≡ 420 mod 421
Es gilt also: 223210 ≡ 420 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.