Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (161 - 1597) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(161 - 1597) mod 4 ≡ (161 mod 4 - 1597 mod 4) mod 4.
161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1500
Somit gilt:
(161 - 1597) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 61) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 61) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 61) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 482128 mod 487.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 25 mod 487
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 25⋅25=625 ≡ 138 mod 487
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 51 mod 487
16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 166 mod 487
32: 48232=48216+16=48216⋅48216 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 284 mod 487
64: 48264=48232+32=48232⋅48232 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 301 mod 487
128: 482128=48264+64=48264⋅48264 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 19 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 132226 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 1321=132
2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 184 mod 431
4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 238 mod 431
8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 183 mod 431
16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 302 mod 431
32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 263 mod 431
64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 209 mod 431
128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 150 mod 431
132226
= 132128+64+32+2
= 132128⋅13264⋅13232⋅1322
≡ 150 ⋅ 209 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431
≡ 31350 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431 ≡ 318 ⋅ 263 ⋅ 184 mod 431
≡ 83634 ⋅ 184 mod 431 ≡ 20 ⋅ 184 mod 431
≡ 3680 mod 431 ≡ 232 mod 431
Es gilt also: 132226 ≡ 232 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
