Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(242 + 1198) mod 6 ≡ (242 mod 6 + 1198 mod 6) mod 6.

242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242 = 240+2 = 6 ⋅ 40 +2.

1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 6 ⋅ 200 -2 = 6 ⋅ 200 - 6 + 4.

Somit gilt:

(242 + 1198) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 38) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 38) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 812¹=812

2: 812²=812¹⁺¹=812¹⋅812¹ ≡ 812⋅812=659344 ≡ 828 mod 853

4: 812⁴=812²⁺²=812²⋅812² ≡ 828⋅828=685584 ≡ 625 mod 853

8: 812⁸=812⁴⁺⁴=812⁴⋅812⁴ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 804 mod 853

16: 812¹⁶=812⁸⁺⁸=812⁸⋅812⁸ ≡ 804⋅804=646416 ≡ 695 mod 853

32: 812³²=812¹⁶⁺¹⁶=812¹⁶⋅812¹⁶ ≡ 695⋅695=483025 ≡ 227 mod 853

64: 812⁶⁴=812³²⁺³²=812³²⋅812³² ≡ 227⋅227=51529 ≡ 349 mod 853

128: 812¹²⁸=812⁶⁴⁺⁶⁴=812⁶⁴⋅812⁶⁴ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 675 mod 853

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

448²⁴⁴

= 448^{128+64+32+16+4}

= 448¹²⁸⋅448⁶⁴⋅448³²⋅448¹⁶⋅448⁴

≡ 162 ⋅ 40 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 6480 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719 ≡ 9 ⋅ 54 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 486 ⋅ 605 ⋅ 543 mod 719
≡ 294030 ⋅ 543 mod 719 ≡ 678 ⋅ 543 mod 719
≡ 368154 mod 719 ≡ 26 mod 719

Es gilt also: 448²⁴⁴ ≡ 26 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89	= 1⋅48 + 41
=>48	= 1⋅41 + 7
=>41	= 5⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41) = -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48) = 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89