Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8002 + 4004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8002 + 4004) mod 8 ≡ (8002 mod 8 + 4004 mod 8) mod 8.
8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002
= 8000
4004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
Somit gilt:
(8002 + 4004) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 74) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 74) mod 9 ≡ (66 mod 9 ⋅ 74 mod 9) mod 9.
66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 74) mod 9 ≡ (3 ⋅ 2) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13316 mod 239.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 133 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 3 mod 239
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 239
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 239
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 108 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 400105 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 4001=400
2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 50 mod 457
4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 215 mod 457
8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 68 mod 457
16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 54 mod 457
32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 174 mod 457
64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 114 mod 457
400105
= 40064+32+8+1
= 40064⋅40032⋅4008⋅4001
≡ 114 ⋅ 174 ⋅ 68 ⋅ 400 mod 457
≡ 19836 ⋅ 68 ⋅ 400 mod 457 ≡ 185 ⋅ 68 ⋅ 400 mod 457
≡ 12580 ⋅ 400 mod 457 ≡ 241 ⋅ 400 mod 457
≡ 96400 mod 457 ≡ 430 mod 457
Es gilt also: 400105 ≡ 430 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58
| =>83 | = 1⋅58 + 25 |
| =>58 | = 2⋅25 + 8 |
| =>25 | = 3⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-3⋅8 | |||
| 8= 58-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -10⋅58
-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58
-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1
(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1
73⋅58 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1
Somit 73⋅58 = 1 mod 83
73 ist also das Inverse von 58 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.