Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(398 - 4003) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 4003 mod 4) mod 4.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 4 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(398 - 4003) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 42) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 42) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 866¹=866

2: 866²=866¹⁺¹=866¹⋅866¹ ≡ 866⋅866=749956 ≡ 203 mod 911

4: 866⁴=866²⁺²=866²⋅866² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 214 mod 911

8: 866⁸=866⁴⁺⁴=866⁴⋅866⁴ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 246 mod 911

16: 866¹⁶=866⁸⁺⁸=866⁸⋅866⁸ ≡ 246⋅246=60516 ≡ 390 mod 911

32: 866³²=866¹⁶⁺¹⁶=866¹⁶⋅866¹⁶ ≡ 390⋅390=152100 ≡ 874 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

369²⁵⁵

= 369^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 369¹²⁸⋅369⁶⁴⋅369³²⋅369¹⁶⋅369⁸⋅369⁴⋅369²⋅369¹

≡ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 42768 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 247 ⋅ 237 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 58539 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 20 ⋅ 229 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 4580 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 370 ⋅ 93 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 34410 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 309 ⋅ 109 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 33681 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421 ≡ 1 ⋅ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 178 ⋅ 369 mod 421
≡ 65682 mod 421 ≡ 6 mod 421

Es gilt also: 369²⁵⁵ ≡ 6 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59

=>89	= 1⋅59 + 30
=>59	= 1⋅30 + 29
=>30	= 1⋅29 + 1
=>29	= 29⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 30-1⋅29
29= 59-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30) = 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1)
30= 89-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59) = -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59

oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅89 = -3⋅59

-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59

-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1

(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1

86⋅59 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1

Somit 86⋅59 = 1 mod 89

86 ist also das Inverse von 59 mod 89