Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14000 + 345) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14000 + 345) mod 7 ≡ (14000 mod 7 + 345 mod 7) mod 7.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

Somit gilt:

(14000 + 345) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 83) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 83) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19332 mod 271.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1931=193

2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 122 mod 271

4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 250 mod 271

8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 170 mod 271

16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 174 mod 271

32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 195 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 209123 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 2091=209

2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 327 mod 409

4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 180 mod 409

8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 409

209123

= 20964+32+16+8+2+1

= 20964⋅20932⋅20916⋅2098⋅2092⋅2091

25 ⋅ 5 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
125 ⋅ 150 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
18750 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409 ≡ 345 ⋅ 89 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
30705 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409 ≡ 30 ⋅ 327 ⋅ 209 mod 409
9810 ⋅ 209 mod 409 ≡ 403 ⋅ 209 mod 409
84227 mod 409 ≡ 382 mod 409

Es gilt also: 209123 ≡ 382 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53 = 1⋅38 + 15
=>38 = 2⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15)
= 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38)
= -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.