Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1198 + 1201) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1198 + 1201) mod 4 ≡ (1198 mod 4 + 1201 mod 4) mod 4.
1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1100
1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(1198 + 1201) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 77) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 77) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 77) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36516 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 365 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 164 mod 491
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 382 mod 491
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 97 mod 491
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 80 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 658169 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 6581=658
2: 6582=6581+1=6581⋅6581 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 297 mod 821
4: 6584=6582+2=6582⋅6582 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 362 mod 821
8: 6588=6584+4=6584⋅6584 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 505 mod 821
16: 65816=6588+8=6588⋅6588 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 515 mod 821
32: 65832=65816+16=65816⋅65816 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 42 mod 821
64: 65864=65832+32=65832⋅65832 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 122 mod 821
128: 658128=65864+64=65864⋅65864 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 106 mod 821
658169
= 658128+32+8+1
= 658128⋅65832⋅6588⋅6581
≡ 106 ⋅ 42 ⋅ 505 ⋅ 658 mod 821
≡ 4452 ⋅ 505 ⋅ 658 mod 821 ≡ 347 ⋅ 505 ⋅ 658 mod 821
≡ 175235 ⋅ 658 mod 821 ≡ 362 ⋅ 658 mod 821
≡ 238196 mod 821 ≡ 106 mod 821
Es gilt also: 658169 ≡ 106 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 55
| =>101 | = 1⋅55 + 46 |
| =>55 | = 1⋅46 + 9 |
| =>46 | = 5⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-5⋅9 | |||
| 9= 55-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -5⋅(55 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -5⋅55 +5⋅ 46) = -5⋅55 +6⋅ 46 (=1) |
| 46= 101-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅55 +6⋅(101 -1⋅ 55)
= -5⋅55 +6⋅101 -6⋅ 55) = 6⋅101 -11⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,55)=1 = 6⋅101 -11⋅55
oder wenn man 6⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅101 = -11⋅55
-11⋅55 = -6⋅101 + 1 |+101⋅55
-11⋅55 + 101⋅55 = -6⋅101 + 101⋅55 + 1
(-11 + 101) ⋅ 55 = (-6 + 55) ⋅ 101 + 1
90⋅55 = 49⋅101 + 1
Es gilt also: 90⋅55 = 49⋅101 +1
Somit 90⋅55 = 1 mod 101
90 ist also das Inverse von 55 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.