Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (366 - 276) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(366 - 276) mod 9 ≡ (366 mod 9 - 276 mod 9) mod 9.
366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366
= 360
276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 270
Somit gilt:
(366 - 276) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 86) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 86) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 86) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 292128 mod 919.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 716 mod 919
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 773 mod 919
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 179 mod 919
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 795 mod 919
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 672 mod 919
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 355 mod 919
128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 122 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 626112 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 6261=626
2: 6262=6261+1=6261⋅6261 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 549 mod 797
4: 6264=6262+2=6262⋅6262 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 135 mod 797
8: 6268=6264+4=6264⋅6264 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 691 mod 797
16: 62616=6268+8=6268⋅6268 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 78 mod 797
32: 62632=62616+16=62616⋅62616 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 505 mod 797
64: 62664=62632+32=62632⋅62632 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 782 mod 797
626112
= 62664+32+16
= 62664⋅62632⋅62616
≡ 782 ⋅ 505 ⋅ 78 mod 797
≡ 394910 ⋅ 78 mod 797 ≡ 395 ⋅ 78 mod 797
≡ 30810 mod 797 ≡ 524 mod 797
Es gilt also: 626112 ≡ 524 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.