Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 1997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 1997) mod 5 ≡ (150 mod 5 - 1997 mod 5) mod 5.
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
Somit gilt:
(150 - 1997) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 96) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 96) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 96) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1158 mod 313.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 115 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1151=115
2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 79 mod 313
4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 294 mod 313
8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 688180 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 6881=688
2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 219 mod 757
4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 270 mod 757
8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 228 mod 757
16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 508 mod 757
32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 684 mod 757
64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 30 mod 757
128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 30⋅30=900 ≡ 143 mod 757
688180
= 688128+32+16+4
= 688128⋅68832⋅68816⋅6884
≡ 143 ⋅ 684 ⋅ 508 ⋅ 270 mod 757
≡ 97812 ⋅ 508 ⋅ 270 mod 757 ≡ 159 ⋅ 508 ⋅ 270 mod 757
≡ 80772 ⋅ 270 mod 757 ≡ 530 ⋅ 270 mod 757
≡ 143100 mod 757 ≡ 27 mod 757
Es gilt also: 688180 ≡ 27 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.