Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2495 - 10000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2495 - 10000) mod 5 ≡ (2495 mod 5 - 10000 mod 5) mod 5.
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000
= 10000
Somit gilt:
(2495 - 10000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 48) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 48) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 48) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59464 mod 677.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 119 mod 677
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 621 mod 677
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 428 mod 677
16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 394 mod 677
32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 203 mod 677
64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 589 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 456167 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 4561=456
2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 243 mod 491
4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 129 mod 491
8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 438 mod 491
16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 354 mod 491
32: 45632=45616+16=45616⋅45616 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 111 mod 491
64: 45664=45632+32=45632⋅45632 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 46 mod 491
128: 456128=45664+64=45664⋅45664 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 152 mod 491
456167
= 456128+32+4+2+1
= 456128⋅45632⋅4564⋅4562⋅4561
≡ 152 ⋅ 111 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 16872 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491 ≡ 178 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 22962 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491 ≡ 376 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 91368 ⋅ 456 mod 491 ≡ 42 ⋅ 456 mod 491
≡ 19152 mod 491 ≡ 3 mod 491
Es gilt also: 456167 ≡ 3 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
