Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 + 158) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 158) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 158 mod 4) mod 4.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 4 ⋅ 40 -2 = 4 ⋅ 40 - 4 + 2.

Somit gilt:

(12003 + 158) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 47) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 47) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 47) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38164 mod 521.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3811=381

2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 323 mod 521

4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 129 mod 521

8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 490 mod 521

16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521

32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521

64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60686 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

1: 6061=606

2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 101 mod 727

4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727

8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 727

16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727

32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727

64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 727

60686

= 60664+16+4+2

= 60664⋅60616⋅6064⋅6062

64 ⋅ 673 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727
43072 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727 ≡ 179 ⋅ 23 ⋅ 101 mod 727
4117 ⋅ 101 mod 727 ≡ 482 ⋅ 101 mod 727
48682 mod 727 ≡ 700 mod 727

Es gilt also: 60686 ≡ 700 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 83

=>97 = 1⋅83 + 14
=>83 = 5⋅14 + 13
=>14 = 1⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 14-1⋅13
13= 83-5⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅14 -1⋅(83 -5⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅83 +5⋅ 14)
= -1⋅83 +6⋅ 14 (=1)
14= 97-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +6⋅(97 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +6⋅97 -6⋅ 83)
= 6⋅97 -7⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(97,83)=1 = 6⋅97 -7⋅83

oder wenn man 6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅97 = -7⋅83

-7⋅83 = -6⋅97 + 1 |+97⋅83

-7⋅83 + 97⋅83 = -6⋅97 + 97⋅83 + 1

(-7 + 97) ⋅ 83 = (-6 + 83) ⋅ 97 + 1

90⋅83 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 90⋅83 = 77⋅97 +1

Somit 90⋅83 = 1 mod 97

90 ist also das Inverse von 83 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.