Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (142 + 21002) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(142 + 21002) mod 7 ≡ (142 mod 7 + 21002 mod 7) mod 7.

142 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 142 = 140+2 = 7 ⋅ 20 +2.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(142 + 21002) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 26) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 26) mod 5 ≡ (69 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 26) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7016 mod 227.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 70 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 701=70

2: 702=701+1=701⋅701 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 133 mod 227

4: 704=702+2=702⋅702 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227

8: 708=704+4=704⋅704 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227

16: 7016=708+8=708⋅708 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28491 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 240 mod 359

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 160 mod 359

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 111 mod 359

16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 115 mod 359

32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359

64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359

28491

= 28464+16+8+2+1

= 28464⋅28416⋅2848⋅2842⋅2841

133 ⋅ 115 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
15295 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359 ≡ 217 ⋅ 111 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
24087 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359 ≡ 34 ⋅ 240 ⋅ 284 mod 359
8160 ⋅ 284 mod 359 ≡ 262 ⋅ 284 mod 359
74408 mod 359 ≡ 95 mod 359

Es gilt also: 28491 ≡ 95 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36

=>83 = 2⋅36 + 11
=>36 = 3⋅11 + 3
=>11 = 3⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3)
= -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 36-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11)
= 4⋅36 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36)
= 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36)
= -13⋅83 +30⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +30⋅36

Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1

Somit 30⋅36 = 1 mod 83

30 ist also das Inverse von 36 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.