Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 - 30) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 - 30) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
Somit gilt:
(301 - 30) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 24) mod 10 ≡ (37 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 24) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29732 mod 907.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 230 mod 907
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 294 mod 907
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 271 mod 907
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 881 mod 907
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 676 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84173 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 8411=841
2: 8412=8411+1=8411⋅8411 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 324 mod 859
4: 8414=8412+2=8412⋅8412 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 178 mod 859
8: 8418=8414+4=8414⋅8414 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 760 mod 859
16: 84116=8418+8=8418⋅8418 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 352 mod 859
32: 84132=84116+16=84116⋅84116 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 208 mod 859
64: 84164=84132+32=84132⋅84132 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 314 mod 859
84173
= 84164+8+1
= 84164⋅8418⋅8411
≡ 314 ⋅ 760 ⋅ 841 mod 859
≡ 238640 ⋅ 841 mod 859 ≡ 697 ⋅ 841 mod 859
≡ 586177 mod 859 ≡ 339 mod 859
Es gilt also: 84173 ≡ 339 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67
| =>97 | = 1⋅67 + 30 |
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
| 30= 97-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67
oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +29⋅97 = +42⋅67
Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1
Somit 42⋅67 = 1 mod 97
42 ist also das Inverse von 67 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.