Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (238 + 602) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(238 + 602) mod 6 ≡ (238 mod 6 + 602 mod 6) mod 6.
238 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238
= 240
602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(238 + 602) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 46) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 46) mod 5 ≡ (82 mod 5 ⋅ 46 mod 5) mod 5.
82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 46) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46716 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 467 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4671=467
2: 4672=4671+1=4671⋅4671 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 299 mod 751
4: 4674=4672+2=4672⋅4672 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 32 mod 751
8: 4678=4674+4=4674⋅4674 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 273 mod 751
16: 46716=4678+8=4678⋅4678 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 180 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 118120 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 1181=118
2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 22 mod 331
4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 22⋅22=484 ≡ 153 mod 331
8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 239 mod 331
16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 189 mod 331
32: 11832=11816+16=11816⋅11816 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 304 mod 331
64: 11864=11832+32=11832⋅11832 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 67 mod 331
118120
= 11864+32+16+8
= 11864⋅11832⋅11816⋅1188
≡ 67 ⋅ 304 ⋅ 189 ⋅ 239 mod 331
≡ 20368 ⋅ 189 ⋅ 239 mod 331 ≡ 177 ⋅ 189 ⋅ 239 mod 331
≡ 33453 ⋅ 239 mod 331 ≡ 22 ⋅ 239 mod 331
≡ 5258 mod 331 ≡ 293 mod 331
Es gilt also: 118120 ≡ 293 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.