Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (804 - 3207) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(804 - 3207) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 3207 mod 8) mod 8.
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
Somit gilt:
(804 - 3207) mod 8 ≡ (4 - 7) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 155128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 155 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1551=155
2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277
4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 213 mod 277
8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277
16: 15516=1558+8=1558⋅1558 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277
32: 15532=15516+16=15516⋅15516 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277
64: 15564=15532+32=15532⋅15532 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277
128: 155128=15564+64=15564⋅15564 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182146 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 318 mod 349
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 263 mod 349
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 67 mod 349
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 301 mod 349
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 210 mod 349
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 126 mod 349
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 171 mod 349
182146
= 182128+16+2
= 182128⋅18216⋅1822
≡ 171 ⋅ 301 ⋅ 318 mod 349
≡ 51471 ⋅ 318 mod 349 ≡ 168 ⋅ 318 mod 349
≡ 53424 mod 349 ≡ 27 mod 349
Es gilt also: 182146 ≡ 27 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39
| =>73 | = 1⋅39 + 34 |
| =>39 | = 1⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 39-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1) |
| 34= 73-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39
oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅73 = +15⋅39
Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1
Somit 15⋅39 = 1 mod 73
15 ist also das Inverse von 39 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.