Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4500 - 900) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4500 - 900) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 900 mod 9) mod 9.
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
Somit gilt:
(4500 - 900) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 98) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 98) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 98) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 617.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 469 mod 617
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 309 mod 617
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 463 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230111 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:
111 = 64+32+8+4+2+1
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 431 mod 739
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 272 mod 739
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 84 mod 739
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 405 mod 739
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 706 mod 739
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 350 mod 739
230111
= 23064+32+8+4+2+1
= 23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2302⋅2301
≡ 350 ⋅ 706 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
≡ 247100 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 274 ⋅ 84 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
≡ 23016 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 107 ⋅ 272 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
≡ 29104 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739 ≡ 283 ⋅ 431 ⋅ 230 mod 739
≡ 121973 ⋅ 230 mod 739 ≡ 38 ⋅ 230 mod 739
≡ 8740 mod 739 ≡ 611 mod 739
Es gilt also: 230111 ≡ 611 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.