Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 + 30) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 + 30) mod 3 ≡ (1198 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(1198 + 30) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 82) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 82) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 82) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2868 mod 811.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,811) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 696 mod 811

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 249 mod 811

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 365 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 320174 mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 139 mod 383

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 171 mod 383

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 133 mod 383

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 71 mod 383

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 62 mod 383

64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 14 mod 383

128: 320128=32064+64=32064⋅32064 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 383

320174

= 320128+32+8+4+2

= 320128⋅32032⋅3208⋅3204⋅3202

196 ⋅ 62 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
12152 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383 ≡ 279 ⋅ 133 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
37107 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383 ≡ 339 ⋅ 171 ⋅ 139 mod 383
57969 ⋅ 139 mod 383 ≡ 136 ⋅ 139 mod 383
18904 mod 383 ≡ 137 mod 383

Es gilt also: 320174 ≡ 137 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

=>83 = 1⋅74 + 9
=>74 = 8⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 74-8⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9)
= -4⋅74 +33⋅ 9 (=1)
9= 83-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74)
= 33⋅83 -37⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74

oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅83 = -37⋅74

-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74

-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1

(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1

46⋅74 = 41⋅83 + 1

Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1

Somit 46⋅74 = 1 mod 83

46 ist also das Inverse von 74 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.