Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32008 - 23998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32008 - 23998) mod 8 ≡ (32008 mod 8 - 23998 mod 8) mod 8.
32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008
= 32000
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
Somit gilt:
(32008 - 23998) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 29) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 29) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 29 mod 7) mod 7.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 29) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6788 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 678 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6781=678
2: 6782=6781+1=6781⋅6781 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 185 mod 757
4: 6784=6782+2=6782⋅6782 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 160 mod 757
8: 6788=6784+4=6784⋅6784 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 619 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 232186 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:
186 = 128+32+16+8+2
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487
128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487
232186
= 232128+32+16+8+2
= 232128⋅23232⋅23216⋅2328⋅2322
≡ 254 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 mod 487
≡ 64516 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 mod 487 ≡ 232 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 254 mod 487
≡ 53824 ⋅ 254 ⋅ 254 mod 487 ≡ 254 ⋅ 254 ⋅ 254 mod 487
≡ 64516 ⋅ 254 mod 487 ≡ 232 ⋅ 254 mod 487
≡ 58928 mod 487 ≡ 1 mod 487
Es gilt also: 232186 ≡ 1 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.