Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 - 1504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 - 1504) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504
= 1500
Somit gilt:
(246 - 1504) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 58) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 58) mod 4 ≡ (69 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.
69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 58) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48216 mod 523.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 112 mod 523
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 515 mod 523
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 64 mod 523
16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 435 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280253 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:
253 = 128+64+32+16+8+4+1
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 29 mod 719
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 29⋅29=841 ≡ 122 mod 719
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 504 mod 719
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 209 mod 719
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 541 mod 719
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 48 mod 719
128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 147 mod 719
280253
= 280128+64+32+16+8+4+1
= 280128⋅28064⋅28032⋅28016⋅2808⋅2804⋅2801
≡ 147 ⋅ 48 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 7056 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 585 ⋅ 541 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 316485 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 125 ⋅ 209 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 26125 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 241 ⋅ 504 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 121464 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719 ≡ 672 ⋅ 122 ⋅ 280 mod 719
≡ 81984 ⋅ 280 mod 719 ≡ 18 ⋅ 280 mod 719
≡ 5040 mod 719 ≡ 7 mod 719
Es gilt also: 280253 ≡ 7 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
