Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 + 11996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 + 11996) mod 6 ≡ (60 mod 6 + 11996 mod 6) mod 6.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(60 + 11996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 16) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 16) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 16 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 16) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3368 mod 347.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 336 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 121 mod 347

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 67 mod 347

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 325 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213176 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277

16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277

32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277

128: 213128=21364+64=21364⋅21364 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 27 mod 277

213176

= 213128+32+16

= 213128⋅21332⋅21316

27 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 277
6912 ⋅ 16 mod 277 ≡ 264 ⋅ 16 mod 277
4224 mod 277 ≡ 69 mod 277

Es gilt also: 213176 ≡ 69 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35

=>73 = 2⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 73-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35)
= 12⋅73 -25⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -25⋅35

-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35

-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1

(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1

48⋅35 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1

Somit 48⋅35 = 1 mod 73

48 ist also das Inverse von 35 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.