Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16003 + 2408) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16003 + 2408) mod 8 ≡ (16003 mod 8 + 2408 mod 8) mod 8.
16003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
2408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2408
= 2400
Somit gilt:
(16003 + 2408) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 58) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 58) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 58 mod 6) mod 6.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 58) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19832 mod 463.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 312 mod 463
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 114 mod 463
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 32 mod 463
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 98 mod 463
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 344 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 386195 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:
195 = 128+64+2+1
1: 3861=386
2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 652 mod 883
4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 381 mod 883
8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 349 mod 883
16: 38616=3868+8=3868⋅3868 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 830 mod 883
32: 38632=38616+16=38616⋅38616 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 160 mod 883
64: 38664=38632+32=38632⋅38632 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 876 mod 883
128: 386128=38664+64=38664⋅38664 ≡ 876⋅876=767376 ≡ 49 mod 883
386195
= 386128+64+2+1
= 386128⋅38664⋅3862⋅3861
≡ 49 ⋅ 876 ⋅ 652 ⋅ 386 mod 883
≡ 42924 ⋅ 652 ⋅ 386 mod 883 ≡ 540 ⋅ 652 ⋅ 386 mod 883
≡ 352080 ⋅ 386 mod 883 ≡ 646 ⋅ 386 mod 883
≡ 249356 mod 883 ≡ 350 mod 883
Es gilt also: 386195 ≡ 350 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.