Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 597) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 597 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

Somit gilt:

(6000 + 597) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 99) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 99) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 261¹=261

2: 261²=261¹⁺¹=261¹⋅261¹ ≡ 261⋅261=68121 ≡ 119 mod 281

4: 261⁴=261²⁺²=261²⋅261² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 111 mod 281

8: 261⁸=261⁴⁺⁴=261⁴⋅261⁴ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281

16: 261¹⁶=261⁸⁺⁸=261⁸⋅261⁸ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281

32: 261³²=261¹⁶⁺¹⁶=261¹⁶⋅261¹⁶ ≡ 163⋅163=26569 ≡ 155 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

230²³⁹

= 230^{128+64+32+8+4+2+1}

= 230¹²⁸⋅230⁶⁴⋅230³²⋅230⁸⋅230⁴⋅230²⋅230¹

≡ 110 ⋅ 23 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 2530 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 16 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 3792 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 21 ⋅ 63 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 1323 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 66 ⋅ 342 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 22572 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419 ≡ 365 ⋅ 106 ⋅ 230 mod 419
≡ 38690 ⋅ 230 mod 419 ≡ 142 ⋅ 230 mod 419
≡ 32660 mod 419 ≡ 397 mod 419

Es gilt also: 230²³⁹ ≡ 397 mod 419

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67	= 1⋅46 + 21
=>46	= 2⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46) = -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67