Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1400 - 352) mod 7 ≡ (1400 mod 7 - 352 mod 7) mod 7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 350+2 = 7 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(1400 - 352) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 33) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 33) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 383¹=383

2: 383²=383¹⁺¹=383¹⋅383¹ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 56 mod 443

4: 383⁴=383²⁺²=383²⋅383² ≡ 56⋅56=3136 ≡ 35 mod 443

8: 383⁸=383⁴⁺⁴=383⁴⋅383⁴ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 339 mod 443

16: 383¹⁶=383⁸⁺⁸=383⁸⋅383⁸ ≡ 339⋅339=114921 ≡ 184 mod 443

32: 383³²=383¹⁶⁺¹⁶=383¹⁶⋅383¹⁶ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 188 mod 443

64: 383⁶⁴=383³²⁺³²=383³²⋅383³² ≡ 188⋅188=35344 ≡ 347 mod 443

128: 383¹²⁸=383⁶⁴⁺⁶⁴=383⁶⁴⋅383⁶⁴ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 356 mod 443

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

104¹⁷⁰

= 104^128+32+8+2

= 104¹²⁸⋅104³²⋅104⁸⋅104²

≡ 54 ⋅ 94 ⋅ 187 ⋅ 212 mod 241
≡ 5076 ⋅ 187 ⋅ 212 mod 241 ≡ 15 ⋅ 187 ⋅ 212 mod 241
≡ 2805 ⋅ 212 mod 241 ≡ 154 ⋅ 212 mod 241
≡ 32648 mod 241 ≡ 113 mod 241

Es gilt also: 104¹⁷⁰ ≡ 113 mod 241

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61