Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1802 + 175) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1802 + 175) mod 6 ≡ (1802 mod 6 + 175 mod 6) mod 6.
1802 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802
= 1800
175 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175
= 180
Somit gilt:
(1802 + 175) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 98) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 98) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 98) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458128 mod 479.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 458 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 441 mod 479
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 7 mod 479
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 479
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 6 mod 479
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 479
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 338 mod 479
128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 242 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 333143 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 177 mod 659
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 356 mod 659
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 208 mod 659
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 429 mod 659
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 180 mod 659
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 109 mod 659
128: 333128=33364+64=33364⋅33364 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 19 mod 659
333143
= 333128+8+4+2+1
= 333128⋅3338⋅3334⋅3332⋅3331
≡ 19 ⋅ 208 ⋅ 356 ⋅ 177 ⋅ 333 mod 659
≡ 3952 ⋅ 356 ⋅ 177 ⋅ 333 mod 659 ≡ 657 ⋅ 356 ⋅ 177 ⋅ 333 mod 659
≡ 233892 ⋅ 177 ⋅ 333 mod 659 ≡ 606 ⋅ 177 ⋅ 333 mod 659
≡ 107262 ⋅ 333 mod 659 ≡ 504 ⋅ 333 mod 659
≡ 167832 mod 659 ≡ 446 mod 659
Es gilt also: 333143 ≡ 446 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
