Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 - 400) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 400) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(120 - 400) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 98) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 98) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 98 mod 8) mod 8.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 98) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41864 mod 433.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 418 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4181=418

2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 225 mod 433

4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 397 mod 433

8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 430 mod 433

16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 9 mod 433

32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433

64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 200155 mod 281.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 4 mod 281

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281

128: 200128=20064+64=20064⋅20064 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 281

200155

= 200128+16+8+2+1

= 200128⋅20016⋅2008⋅2002⋅2001

256 ⋅ 279 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
71424 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281 ≡ 50 ⋅ 252 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
12600 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281 ≡ 236 ⋅ 98 ⋅ 200 mod 281
23128 ⋅ 200 mod 281 ≡ 86 ⋅ 200 mod 281
17200 mod 281 ≡ 59 mod 281

Es gilt also: 200155 ≡ 59 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.