Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2394 + 3202) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2394 + 3202) mod 8 ≡ (2394 mod 8 + 3202 mod 8) mod 8.
2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394
= 2400
3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202
= 3200
Somit gilt:
(2394 + 3202) mod 8 ≡ (2 + 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 53) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 53) mod 11 ≡ (60 mod 11 ⋅ 53 mod 11) mod 11.
60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 53) mod 11 ≡ (5 ⋅ 9) mod 11 ≡ 45 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1968 mod 353.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 292 mod 353
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 191 mod 353
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 122 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15970 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 1591=159
2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 325 mod 367
4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 296 mod 367
8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 270 mod 367
16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 234 mod 367
32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 73 mod 367
64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 191 mod 367
15970
= 15964+4+2
= 15964⋅1594⋅1592
≡ 191 ⋅ 296 ⋅ 325 mod 367
≡ 56536 ⋅ 325 mod 367 ≡ 18 ⋅ 325 mod 367
≡ 5850 mod 367 ≡ 345 mod 367
Es gilt also: 15970 ≡ 345 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.