Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (502 - 25000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(502 - 25000) mod 5 ≡ (502 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.
502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502
= 500
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
Somit gilt:
(502 - 25000) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 36) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 36) mod 11 ≡ (5 ⋅ 3) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 640128 mod 859.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 640 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6401=640
2: 6402=6401+1=6401⋅6401 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 716 mod 859
4: 6404=6402+2=6402⋅6402 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 692 mod 859
8: 6408=6404+4=6404⋅6404 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 401 mod 859
16: 64016=6408+8=6408⋅6408 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 168 mod 859
32: 64032=64016+16=64016⋅64016 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 736 mod 859
64: 64064=64032+32=64032⋅64032 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 526 mod 859
128: 640128=64064+64=64064⋅64064 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 78 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48068 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 238 mod 733
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 203 mod 733
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 161 mod 733
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 266 mod 733
32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 388 mod 733
64: 48064=48032+32=48032⋅48032 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 279 mod 733
48068
= 48064+4
= 48064⋅4804
≡ 279 ⋅ 203 mod 733
≡ 56637 mod 733 ≡ 196 mod 733
Es gilt also: 48068 ≡ 196 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66
| =>83 | = 1⋅66 + 17 |
| =>66 | = 3⋅17 + 15 |
| =>17 | = 1⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 17-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1) |
| 15= 66-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1) |
| 17= 83-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +39⋅66
Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1
Somit 39⋅66 = 1 mod 83
39 ist also das Inverse von 66 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.