Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(404 + 20000) mod 4 ≡ (404 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 4 ⋅ 100 +4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(404 + 20000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 52) mod 8 ≡ (46 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 52) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 563¹=563

2: 563²=563¹⁺¹=563¹⋅563¹ ≡ 563⋅563=316969 ≡ 560 mod 797

4: 563⁴=563²⁺²=563²⋅563² ≡ 560⋅560=313600 ≡ 379 mod 797

8: 563⁸=563⁴⁺⁴=563⁴⋅563⁴ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 181 mod 797

16: 563¹⁶=563⁸⁺⁸=563⁸⋅563⁸ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 84 mod 797

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

716¹⁵⁹

= 716^{128+16+8+4+2+1}

= 716¹²⁸⋅716¹⁶⋅716⁸⋅716⁴⋅716²⋅716¹

≡ 134 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 637 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757
≡ 38726 ⋅ 17 ⋅ 637 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757 ≡ 119 ⋅ 17 ⋅ 637 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757
≡ 2023 ⋅ 637 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757 ≡ 509 ⋅ 637 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757
≡ 324233 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757 ≡ 237 ⋅ 167 ⋅ 716 mod 757
≡ 39579 ⋅ 716 mod 757 ≡ 215 ⋅ 716 mod 757
≡ 153940 mod 757 ≡ 269 mod 757

Es gilt also: 716¹⁵⁹ ≡ 269 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97	= 1⋅69 + 28
=>69	= 2⋅28 + 13
=>28	= 2⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28) = -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69) = 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97