Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 398) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 398) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 398 mod 4) mod 4.

15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 4 ⋅ 3750 +997.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

Somit gilt:

(15997 - 398) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 39) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 39) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.

38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 39) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3788 mod 587.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 378 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3781=378

2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 243 mod 587

4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 349 mod 587

8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 292 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 215203 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 2151=215

2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 388 mod 463

4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 69 mod 463

8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 131 mod 463

16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 30 mod 463

32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 30⋅30=900 ≡ 437 mod 463

64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 213 mod 463

128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 458 mod 463

215203

= 215128+64+8+2+1

= 215128⋅21564⋅2158⋅2152⋅2151

458 ⋅ 213 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
97554 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463 ≡ 324 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
42444 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463 ≡ 311 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
120668 ⋅ 215 mod 463 ≡ 288 ⋅ 215 mod 463
61920 mod 463 ≡ 341 mod 463

Es gilt also: 215203 ≡ 341 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68

=>83 = 1⋅68 + 15
=>68 = 4⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 68-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15)
= 2⋅68 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68)
= -9⋅83 +11⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +11⋅68

Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1

Somit 11⋅68 = 1 mod 83

11 ist also das Inverse von 68 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.