Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1602 + 16000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1602 + 16000) mod 4 ≡ (1602 mod 4 + 16000 mod 4) mod 4.
1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(1602 + 16000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 65) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 65) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 65) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47516 mod 653.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 340 mod 653
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 19 mod 653
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 653
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 374 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 131204 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 181 mod 283
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 216 mod 283
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 244 mod 283
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 106 mod 283
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 199 mod 283
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 264 mod 283
128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 78 mod 283
131204
= 131128+64+8+4
= 131128⋅13164⋅1318⋅1314
≡ 78 ⋅ 264 ⋅ 244 ⋅ 216 mod 283
≡ 20592 ⋅ 244 ⋅ 216 mod 283 ≡ 216 ⋅ 244 ⋅ 216 mod 283
≡ 52704 ⋅ 216 mod 283 ≡ 66 ⋅ 216 mod 283
≡ 14256 mod 283 ≡ 106 mod 283
Es gilt also: 131204 ≡ 106 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38
| =>101 | = 2⋅38 + 25 |
| =>38 | = 1⋅25 + 13 |
| =>25 | = 1⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 25-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1) |
| 13= 38-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1) |
| 25= 101-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38
oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅101 = +8⋅38
Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1
Somit 8⋅38 = 1 mod 101
8 ist also das Inverse von 38 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.