Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2103 - 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2103 - 14000) mod 7 ≡ (2103 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.
2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103
= 2100
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(2103 - 14000) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 24) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 24) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 24) mod 11 ≡ (3 ⋅ 2) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25864 mod 643.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 335 mod 643
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 343 mod 643
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 623 mod 643
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 400 mod 643
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 536 mod 643
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 518 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 177146 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 306 mod 383
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 184 mod 383
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 152 mod 383
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 124 mod 383
32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 56 mod 383
64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 72 mod 383
128: 177128=17764+64=17764⋅17764 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 205 mod 383
177146
= 177128+16+2
= 177128⋅17716⋅1772
≡ 205 ⋅ 124 ⋅ 306 mod 383
≡ 25420 ⋅ 306 mod 383 ≡ 142 ⋅ 306 mod 383
≡ 43452 mod 383 ≡ 173 mod 383
Es gilt also: 177146 ≡ 173 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.