Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7999 - 31995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7999 - 31995) mod 8 ≡ (7999 mod 8 - 31995 mod 8) mod 8.
7999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999
= 7000
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
Somit gilt:
(7999 - 31995) mod 8 ≡ (7 - 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 75) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 75) mod 10 ≡ (92 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.
92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 75) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10716 mod 233.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 107 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 32 mod 233
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 92 mod 233
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 291140 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 556 mod 673
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 229 mod 673
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 229 mod 673
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673
128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673
291140
= 291128+8+4
= 291128⋅2918⋅2914
≡ 117 ⋅ 620 ⋅ 229 mod 673
≡ 72540 ⋅ 229 mod 673 ≡ 529 ⋅ 229 mod 673
≡ 121141 mod 673 ≡ 1 mod 673
Es gilt also: 291140 ≡ 1 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70
| =>101 | = 1⋅70 + 31 |
| =>70 | = 2⋅31 + 8 |
| =>31 | = 3⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 31-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1) |
| 8= 70-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +13⋅70
Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1
Somit 13⋅70 = 1 mod 101
13 ist also das Inverse von 70 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.