Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30000 - 3004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30000 - 3004) mod 6 ≡ (30000 mod 6 - 3004 mod 6) mod 6.
30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000
= 30000
3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004
= 3000
Somit gilt:
(30000 - 3004) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 27) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 27) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 27 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 27) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39116 mod 467.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 172 mod 467
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 163 mod 467
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 417 mod 467
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 165 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 279217 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 185 mod 571
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 536 mod 571
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 83 mod 571
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 37 mod 571
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 227 mod 571
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 139 mod 571
128: 279128=27964+64=27964⋅27964 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 478 mod 571
279217
= 279128+64+16+8+1
= 279128⋅27964⋅27916⋅2798⋅2791
≡ 478 ⋅ 139 ⋅ 37 ⋅ 83 ⋅ 279 mod 571
≡ 66442 ⋅ 37 ⋅ 83 ⋅ 279 mod 571 ≡ 206 ⋅ 37 ⋅ 83 ⋅ 279 mod 571
≡ 7622 ⋅ 83 ⋅ 279 mod 571 ≡ 199 ⋅ 83 ⋅ 279 mod 571
≡ 16517 ⋅ 279 mod 571 ≡ 529 ⋅ 279 mod 571
≡ 147591 mod 571 ≡ 273 mod 571
Es gilt also: 279217 ≡ 273 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.