Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19998 + 1497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19998 + 1497) mod 5 ≡ (19998 mod 5 + 1497 mod 5) mod 5.
19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1400
Somit gilt:
(19998 + 1497) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 18) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 18) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 18) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1628 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 162 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1621=162
2: 1622=1621+1=1621⋅1621 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 250 mod 317
4: 1624=1622+2=1622⋅1622 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 51 mod 317
8: 1628=1624+4=1624⋅1624 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 65 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37692 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 271 mod 409
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 230 mod 409
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 139 mod 409
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 98 mod 409
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 197 mod 409
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409
37692
= 37664+16+8+4
= 37664⋅37616⋅3768⋅3764
≡ 363 ⋅ 98 ⋅ 139 ⋅ 230 mod 409
≡ 35574 ⋅ 139 ⋅ 230 mod 409 ≡ 400 ⋅ 139 ⋅ 230 mod 409
≡ 55600 ⋅ 230 mod 409 ≡ 385 ⋅ 230 mod 409
≡ 88550 mod 409 ≡ 206 mod 409
Es gilt also: 37692 ≡ 206 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.