Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (180 - 30001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(180 - 30001) mod 6 ≡ (180 mod 6 - 30001 mod 6) mod 6.
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
30001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30001
= 30000
Somit gilt:
(180 - 30001) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 72) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 72) mod 4 ≡ (100 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.
100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 72) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82316 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 823 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8231=823
2: 8232=8231+1=8231⋅8231 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 42 mod 983
4: 8234=8232+2=8232⋅8232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 781 mod 983
8: 8238=8234+4=8234⋅8234 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 501 mod 983
16: 82316=8238+8=8238⋅8238 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 336 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 613211 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 6131=613
2: 6132=6131+1=6131⋅6131 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 386 mod 859
4: 6134=6132+2=6132⋅6132 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 389 mod 859
8: 6138=6134+4=6134⋅6134 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 137 mod 859
16: 61316=6138+8=6138⋅6138 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 730 mod 859
32: 61332=61316+16=61316⋅61316 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 320 mod 859
64: 61364=61332+32=61332⋅61332 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 179 mod 859
128: 613128=61364+64=61364⋅61364 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 258 mod 859
613211
= 613128+64+16+2+1
= 613128⋅61364⋅61316⋅6132⋅6131
≡ 258 ⋅ 179 ⋅ 730 ⋅ 386 ⋅ 613 mod 859
≡ 46182 ⋅ 730 ⋅ 386 ⋅ 613 mod 859 ≡ 655 ⋅ 730 ⋅ 386 ⋅ 613 mod 859
≡ 478150 ⋅ 386 ⋅ 613 mod 859 ≡ 546 ⋅ 386 ⋅ 613 mod 859
≡ 210756 ⋅ 613 mod 859 ≡ 301 ⋅ 613 mod 859
≡ 184513 mod 859 ≡ 687 mod 859
Es gilt also: 613211 ≡ 687 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.