Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 - 5999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 - 5999) mod 3 ≡ (1197 mod 3 - 5999 mod 3) mod 3.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1197 - 5999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 66) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 66) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 66) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3028 mod 853.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3021=302

2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 786 mod 853

4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 224 mod 853

8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 702 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 503209 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 5031=503

2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 36 mod 509

4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 278 mod 509

8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 425 mod 509

16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 439 mod 509

32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 319 mod 509

64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 470 mod 509

128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 503 mod 509

503209

= 503128+64+16+1

= 503128⋅50364⋅50316⋅5031

503 ⋅ 470 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509
236410 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509 ≡ 234 ⋅ 439 ⋅ 503 mod 509
102726 ⋅ 503 mod 509 ≡ 417 ⋅ 503 mod 509
209751 mod 509 ≡ 43 mod 509

Es gilt also: 503209 ≡ 43 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.