Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5001 - 1000) mod 5 ≡ (5001 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(5001 - 1000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 93) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 93 mod 4) mod 4.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 93) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 309¹=309

2: 309²=309¹⁺¹=309¹⋅309¹ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 132 mod 859

4: 309⁴=309²⁺²=309²⋅309² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 244 mod 859

8: 309⁸=309⁴⁺⁴=309⁴⋅309⁴ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 265 mod 859

16: 309¹⁶=309⁸⁺⁸=309⁸⋅309⁸ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 646 mod 859

32: 309³²=309¹⁶⁺¹⁶=309¹⁶⋅309¹⁶ ≡ 646⋅646=417316 ≡ 701 mod 859

64: 309⁶⁴=309³²⁺³²=309³²⋅309³² ≡ 701⋅701=491401 ≡ 53 mod 859

128: 309¹²⁸=309⁶⁴⁺⁶⁴=309⁶⁴⋅309⁶⁴ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 232 mod 859

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

700²²⁹

= 700^{128+64+32+4+1}

= 700¹²⁸⋅700⁶⁴⋅700³²⋅700⁴⋅700¹

≡ 310 ⋅ 305 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
≡ 94550 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883 ≡ 69 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
≡ 11661 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883 ≡ 182 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
≡ 126126 ⋅ 700 mod 883 ≡ 740 ⋅ 700 mod 883
≡ 518000 mod 883 ≡ 562 mod 883

Es gilt also: 700²²⁹ ≡ 562 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61	= 1⋅42 + 19
=>42	= 2⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42) = 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61