Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13996 - 1396) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 - 1396) mod 7 ≡ (13996 mod 7 - 1396 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396 = 1400-4 = 7 ⋅ 200 -4 = 7 ⋅ 200 - 7 + 3.

Somit gilt:

(13996 - 1396) mod 7 ≡ (3 - 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 65) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 65) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 65 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

65 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 16 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 65) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45864 mod 719.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 458 -> x
2. mod(x²,719) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4581=458

2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 535 mod 719

4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 63 mod 719

8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 374 mod 719

16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 390 mod 719

32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 391 mod 719

64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 453 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 305175 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 360 mod 431

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 300 mod 431

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 352 mod 431

16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 207 mod 431

32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 180 mod 431

64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 75 mod 431

128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 22 mod 431

305175

= 305128+32+8+4+2+1

= 305128⋅30532⋅3058⋅3054⋅3052⋅3051

22 ⋅ 180 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
3960 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 81 ⋅ 352 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
28512 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 66 ⋅ 300 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
19800 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431 ≡ 405 ⋅ 360 ⋅ 305 mod 431
145800 ⋅ 305 mod 431 ≡ 122 ⋅ 305 mod 431
37210 mod 431 ≡ 144 mod 431

Es gilt also: 305175 ≡ 144 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59 = 1⋅44 + 15
=>44 = 2⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15)
= -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44)
= 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.