Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 - 2505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 - 2505) mod 5 ≡ (20003 mod 5 - 2505 mod 5) mod 5.
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505
= 2500
Somit gilt:
(20003 - 2505) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 50) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 421 mod 521
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 302 mod 521
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 29 mod 521
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 29⋅29=841 ≡ 320 mod 521
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 284 mod 521
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 422 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44582 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 233 mod 883
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 426 mod 883
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 461 mod 883
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 601 mod 883
32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 54 mod 883
64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 267 mod 883
44582
= 44564+16+2
= 44564⋅44516⋅4452
≡ 267 ⋅ 601 ⋅ 233 mod 883
≡ 160467 ⋅ 233 mod 883 ≡ 644 ⋅ 233 mod 883
≡ 150052 mod 883 ≡ 825 mod 883
Es gilt also: 44582 ≡ 825 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.