Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7995 + 40006) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7995 + 40006) mod 8 ≡ (7995 mod 8 + 40006 mod 8) mod 8.

7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995 = 7000+995 = 8 ⋅ 875 +995.

40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006 = 40000+6 = 8 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(7995 + 40006) mod 8 ≡ (3 + 6) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 73) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 73) mod 9 ≡ (54 mod 9 ⋅ 73 mod 9) mod 9.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 73) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17616 mod 521.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 237 mod 521

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 422 mod 521

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 423 mod 521

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 226 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63293 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

1: 6321=632

2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853

4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853

8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853

16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853

32: 63232=63216+16=63216⋅63216 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853

64: 63264=63232+32=63232⋅63232 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853

63293

= 63264+16+8+4+1

= 63264⋅63216⋅6328⋅6324⋅6321

632 ⋅ 632 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
399424 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853 ≡ 220 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
48400 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853 ≡ 632 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
399424 ⋅ 632 mod 853 ≡ 220 ⋅ 632 mod 853
139040 mod 853 ≡ 1 mod 853

Es gilt also: 63293 ≡ 1 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.