Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9000 + 30) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 + 30) mod 3 ≡ (9000 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(9000 + 30) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 100) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 100) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 100 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 100) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 127128 mod 227.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 127 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1271=127

2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 12 mod 227

4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 227

8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 79 mod 227

16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 112 mod 227

32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 59 mod 227

64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 76 mod 227

128: 127128=12764+64=12764⋅12764 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 101 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 175244 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 1751=175

2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 149 mod 401

4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 146 mod 401

8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 63 mod 401

16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 360 mod 401

32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401

64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 315 mod 401

128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 178 mod 401

175244

= 175128+64+32+16+4

= 175128⋅17564⋅17532⋅17516⋅1754

178 ⋅ 315 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
56070 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401 ≡ 331 ⋅ 77 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
25487 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401 ≡ 224 ⋅ 360 ⋅ 146 mod 401
80640 ⋅ 146 mod 401 ≡ 39 ⋅ 146 mod 401
5694 mod 401 ≡ 80 mod 401

Es gilt also: 175244 ≡ 80 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53 = 1⋅37 + 16
=>37 = 2⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16)
= -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37)
= 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.