Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1794 + 29998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1794 + 29998) mod 6 ≡ (1794 mod 6 + 29998 mod 6) mod 6.
1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998
= 30000
Somit gilt:
(1794 + 29998) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 74) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 74) mod 8 ≡ (84 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 74) mod 8 ≡ (4 ⋅ 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4958 mod 853.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4951=495
2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 214 mod 853
4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 587 mod 853
8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 810 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 303173 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 277 mod 467
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 141 mod 467
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 267 mod 467
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 305 mod 467
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 92 mod 467
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 58 mod 467
128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 95 mod 467
303173
= 303128+32+8+4+1
= 303128⋅30332⋅3038⋅3034⋅3031
≡ 95 ⋅ 92 ⋅ 267 ⋅ 141 ⋅ 303 mod 467
≡ 8740 ⋅ 267 ⋅ 141 ⋅ 303 mod 467 ≡ 334 ⋅ 267 ⋅ 141 ⋅ 303 mod 467
≡ 89178 ⋅ 141 ⋅ 303 mod 467 ≡ 448 ⋅ 141 ⋅ 303 mod 467
≡ 63168 ⋅ 303 mod 467 ≡ 123 ⋅ 303 mod 467
≡ 37269 mod 467 ≡ 376 mod 467
Es gilt also: 303173 ≡ 376 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.