Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 2504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 2504) mod 5 ≡ (1500 mod 5 + 2504 mod 5) mod 5.
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
Somit gilt:
(1500 + 2504) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 95) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 95) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 95) mod 10 ≡ (7 ⋅ 5) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70832 mod 757.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 708 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7081=708
2: 7082=7081+1=7081⋅7081 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 130 mod 757
4: 7084=7082+2=7082⋅7082 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 246 mod 757
8: 7088=7084+4=7084⋅7084 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 713 mod 757
16: 70816=7088+8=7088⋅7088 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 422 mod 757
32: 70832=70816+16=70816⋅70816 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 189 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34977 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 35 mod 569
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 87 mod 569
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 172 mod 569
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 565 mod 569
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 16 mod 569
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 569
34977
= 34964+8+4+1
= 34964⋅3498⋅3494⋅3491
≡ 256 ⋅ 172 ⋅ 87 ⋅ 349 mod 569
≡ 44032 ⋅ 87 ⋅ 349 mod 569 ≡ 219 ⋅ 87 ⋅ 349 mod 569
≡ 19053 ⋅ 349 mod 569 ≡ 276 ⋅ 349 mod 569
≡ 96324 mod 569 ≡ 163 mod 569
Es gilt also: 34977 ≡ 163 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.