Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5000 - 10005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5000 - 10005) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 10005 mod 5) mod 5.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

10005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10005 = 10000+5 = 5 ⋅ 2000 +5.

Somit gilt:

(5000 - 10005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 65) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 65) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 65) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7668 mod 881.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 766 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7661=766

2: 7662=7661+1=7661⋅7661 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 10 mod 881

4: 7664=7662+2=7662⋅7662 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 881

8: 7668=7664+4=7664⋅7664 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 309 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327124 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 287 mod 751

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 510 mod 751

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 254 mod 751

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 681 mod 751

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 394 mod 751

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 530 mod 751

327124

= 32764+32+16+8+4

= 32764⋅32732⋅32716⋅3278⋅3274

530 ⋅ 394 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
208820 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751 ≡ 42 ⋅ 681 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
28602 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751 ≡ 64 ⋅ 254 ⋅ 510 mod 751
16256 ⋅ 510 mod 751 ≡ 485 ⋅ 510 mod 751
247350 mod 751 ≡ 271 mod 751

Es gilt also: 327124 ≡ 271 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71 = 1⋅63 + 8
=>63 = 7⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8)
= -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63)
= 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.