Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (318 - 241) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(318 - 241) mod 8 ≡ (318 mod 8 - 241 mod 8) mod 8.
318 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 318
= 320
241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
Somit gilt:
(318 - 241) mod 8 ≡ (6 - 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 70) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 70) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 70 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 70) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18232 mod 373.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 300 mod 373
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 107 mod 373
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 259 mod 373
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 314 mod 373
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 124 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402140 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 374 mod 701
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 377 mod 701
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 527 mod 701
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 133 mod 701
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 164 mod 701
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 258 mod 701
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 670 mod 701
402140
= 402128+8+4
= 402128⋅4028⋅4024
≡ 670 ⋅ 527 ⋅ 377 mod 701
≡ 353090 ⋅ 377 mod 701 ≡ 487 ⋅ 377 mod 701
≡ 183599 mod 701 ≡ 638 mod 701
Es gilt also: 402140 ≡ 638 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.