Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24006 - 793) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24006 - 793) mod 8 ≡ (24006 mod 8 - 793 mod 8) mod 8.
24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006
= 24000
793 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 793
= 800
Somit gilt:
(24006 - 793) mod 8 ≡ (6 - 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 87) mod 3 ≡ (78 mod 3 ⋅ 87 mod 3) mod 3.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 87) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 302128 mod 619.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 211 mod 619
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 572 mod 619
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 352 mod 619
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 104 mod 619
32: 30232=30216+16=30216⋅30216 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 293 mod 619
64: 30264=30232+32=30232⋅30232 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 427 mod 619
128: 302128=30264+64=30264⋅30264 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 343 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 555192 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 5551=555
2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 675 mod 683
4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 64 mod 683
8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 681 mod 683
16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 4 mod 683
32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 683
64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 683
128: 555128=55564+64=55564⋅55564 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 651 mod 683
555192
= 555128+64
= 555128⋅55564
≡ 651 ⋅ 256 mod 683
≡ 166656 mod 683 ≡ 4 mod 683
Es gilt also: 555192 ≡ 4 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.