Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (353 - 35998) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(353 - 35998) mod 9 ≡ (353 mod 9 - 35998 mod 9) mod 9.
353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353
= 360
35998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35998
= 36000
Somit gilt:
(353 - 35998) mod 9 ≡ (2 - 7) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 53) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 53) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 53) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35564 mod 409.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 355 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83086 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 8301=830
2: 8302=8301+1=8301⋅8301 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 396 mod 967
4: 8304=8302+2=8302⋅8302 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 162 mod 967
8: 8308=8304+4=8304⋅8304 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 135 mod 967
16: 83016=8308+8=8308⋅8308 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 819 mod 967
32: 83032=83016+16=83016⋅83016 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 630 mod 967
64: 83064=83032+32=83032⋅83032 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 430 mod 967
83086
= 83064+16+4+2
= 83064⋅83016⋅8304⋅8302
≡ 430 ⋅ 819 ⋅ 162 ⋅ 396 mod 967
≡ 352170 ⋅ 162 ⋅ 396 mod 967 ≡ 182 ⋅ 162 ⋅ 396 mod 967
≡ 29484 ⋅ 396 mod 967 ≡ 474 ⋅ 396 mod 967
≡ 187704 mod 967 ≡ 106 mod 967
Es gilt also: 83086 ≡ 106 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58
| =>83 | = 1⋅58 + 25 |
| =>58 | = 2⋅25 + 8 |
| =>25 | = 3⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-3⋅8 | |||
| 8= 58-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -10⋅58
-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58
-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1
(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1
73⋅58 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1
Somit 73⋅58 = 1 mod 83
73 ist also das Inverse von 58 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.