Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28006 + 6997) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28006 + 6997) mod 7 ≡ (28006 mod 7 + 6997 mod 7) mod 7.

28006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28006 = 28000+6 = 7 ⋅ 4000 +6.

6997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6997 = 7000-3 = 7 ⋅ 1000 -3 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(28006 + 6997) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 60) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 60) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 60) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30964 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3091=309

2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 635 mod 1009

4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 634 mod 1009

8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 374 mod 1009

16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 374 mod 1009

64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32094 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 28 mod 449

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 28⋅28=784 ≡ 335 mod 449

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449

32094

= 32064+16+8+4+2

= 32064⋅32016⋅3208⋅3204⋅3202

25 ⋅ 176 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
4400 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449 ≡ 359 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
152216 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449 ≡ 5 ⋅ 335 ⋅ 28 mod 449
1675 ⋅ 28 mod 449 ≡ 328 ⋅ 28 mod 449
9184 mod 449 ≡ 204 mod 449

Es gilt also: 32094 ≡ 204 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.