Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (213 - 210) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(213 - 210) mod 7 ≡ (213 mod 7 - 210 mod 7) mod 7.
213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213
= 210
210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210
= 210
Somit gilt:
(213 - 210) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 48) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 48) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.
38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 48) mod 10 ≡ (8 ⋅ 8) mod 10 ≡ 64 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83116 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 831 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8311=831
2: 8312=8311+1=8311⋅8311 ≡ 831⋅831=690561 ≡ 484 mod 853
4: 8314=8312+2=8312⋅8312 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 534 mod 853
8: 8318=8314+4=8314⋅8314 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 254 mod 853
16: 83116=8318+8=8318⋅8318 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 541 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 371119 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 3711=371
2: 3712=3711+1=3711⋅3711 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 84 mod 457
4: 3714=3712+2=3712⋅3712 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 201 mod 457
8: 3718=3714+4=3714⋅3714 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 185 mod 457
16: 37116=3718+8=3718⋅3718 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 407 mod 457
32: 37132=37116+16=37116⋅37116 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 215 mod 457
64: 37164=37132+32=37132⋅37132 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 68 mod 457
371119
= 37164+32+16+4+2+1
= 37164⋅37132⋅37116⋅3714⋅3712⋅3711
≡ 68 ⋅ 215 ⋅ 407 ⋅ 201 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457
≡ 14620 ⋅ 407 ⋅ 201 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457 ≡ 453 ⋅ 407 ⋅ 201 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457
≡ 184371 ⋅ 201 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457 ≡ 200 ⋅ 201 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457
≡ 40200 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457 ≡ 441 ⋅ 84 ⋅ 371 mod 457
≡ 37044 ⋅ 371 mod 457 ≡ 27 ⋅ 371 mod 457
≡ 10017 mod 457 ≡ 420 mod 457
Es gilt also: 371119 ≡ 420 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52
| =>97 | = 1⋅52 + 45 |
| =>52 | = 1⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1) |
| 45= 97-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52
oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +15⋅97 = +28⋅52
Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1
Somit 28⋅52 = 1 mod 97
28 ist also das Inverse von 52 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
