Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7004 + 216) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7004 + 216) mod 7 ≡ (7004 mod 7 + 216 mod 7) mod 7.
7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004
= 7000
216 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 216
= 210
Somit gilt:
(7004 + 216) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 32) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 32) mod 9 ≡ (0 ⋅ 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 595128 mod 643.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 595 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5951=595
2: 5952=5951+1=5951⋅5951 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 375 mod 643
4: 5954=5952+2=5952⋅5952 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 451 mod 643
8: 5958=5954+4=5954⋅5954 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 213 mod 643
16: 59516=5958+8=5958⋅5958 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 359 mod 643
32: 59532=59516+16=59516⋅59516 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 281 mod 643
64: 59564=59532+32=59532⋅59532 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 515 mod 643
128: 595128=59564+64=59564⋅59564 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 309 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30564 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 170 mod 379
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 96 mod 379
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 120 mod 379
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 377 mod 379
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 4 mod 379
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 379
30564
= 30564
= 30564
≡ 16 mod 379
Es gilt also: 30564 ≡ 16 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.