Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 - 30006) mod 6 ≡ (23995 mod 6 - 30006 mod 6) mod 6.

23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 24000-5 = 6 ⋅ 4000 -5 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 1.

30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006 = 30000+6 = 6 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(23995 - 30006) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 99) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 99) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 786¹=786

2: 786²=786¹⁺¹=786¹⋅786¹ ≡ 786⋅786=617796 ≡ 138 mod 911

4: 786⁴=786²⁺²=786²⋅786² ≡ 138⋅138=19044 ≡ 824 mod 911

8: 786⁸=786⁴⁺⁴=786⁴⋅786⁴ ≡ 824⋅824=678976 ≡ 281 mod 911

16: 786¹⁶=786⁸⁺⁸=786⁸⋅786⁸ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 615 mod 911

32: 786³²=786¹⁶⁺¹⁶=786¹⁶⋅786¹⁶ ≡ 615⋅615=378225 ≡ 160 mod 911

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

425¹⁹⁹

= 425^128+64+4+2+1

= 425¹²⁸⋅425⁶⁴⋅425⁴⋅425²⋅425¹

≡ 480 ⋅ 616 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
≡ 295680 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911 ≡ 516 ⋅ 883 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
≡ 455628 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911 ≡ 128 ⋅ 247 ⋅ 425 mod 911
≡ 31616 ⋅ 425 mod 911 ≡ 642 ⋅ 425 mod 911
≡ 272850 mod 911 ≡ 461 mod 911

Es gilt also: 425¹⁹⁹ ≡ 461 mod 911

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59	= 1⋅31 + 28
=>31	= 1⋅28 + 3
=>28	= 9⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28) = 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31) = -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59