Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 + 237) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 + 237) mod 8 ≡ (401 mod 8 + 237 mod 8) mod 8.
401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
237 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237
= 240
Somit gilt:
(401 + 237) mod 8 ≡ (1 + 5) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 73) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 73) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 73 mod 6) mod 6.
77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 73) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57732 mod 631.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 577 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5771=577
2: 5772=5771+1=5771⋅5771 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 392 mod 631
4: 5774=5772+2=5772⋅5772 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 331 mod 631
8: 5778=5774+4=5774⋅5774 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 398 mod 631
16: 57716=5778+8=5778⋅5778 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 23 mod 631
32: 57732=57716+16=57716⋅57716 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 397150 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 564 mod 641
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 160 mod 641
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 601 mod 641
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 318 mod 641
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 487 mod 641
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 640 mod 641
128: 397128=39764+64=39764⋅39764 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 1 mod 641
397150
= 397128+16+4+2
= 397128⋅39716⋅3974⋅3972
≡ 1 ⋅ 318 ⋅ 160 ⋅ 564 mod 641
≡ 318 ⋅ 160 ⋅ 564 mod 641
≡ 50880 ⋅ 564 mod 641 ≡ 241 ⋅ 564 mod 641
≡ 135924 mod 641 ≡ 32 mod 641
Es gilt also: 397150 ≡ 32 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.