Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 + 408) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 + 408) mod 8 ≡ (160 mod 8 + 408 mod 8) mod 8.
160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 408
= 400
Somit gilt:
(160 + 408) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 36) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 36) mod 9 ≡ (46 mod 9 ⋅ 36 mod 9) mod 9.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 36) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36864 mod 431.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3681=368
2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 90 mod 431
4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 342 mod 431
8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 163 mod 431
16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 278 mod 431
32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 135 mod 431
64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 123 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 278134 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 253 mod 317
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 292 mod 317
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 308 mod 317
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 81 mod 317
32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 221 mod 317
64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 23 mod 317
128: 278128=27864+64=27864⋅27864 ≡ 23⋅23=529 ≡ 212 mod 317
278134
= 278128+4+2
= 278128⋅2784⋅2782
≡ 212 ⋅ 292 ⋅ 253 mod 317
≡ 61904 ⋅ 253 mod 317 ≡ 89 ⋅ 253 mod 317
≡ 22517 mod 317 ≡ 10 mod 317
Es gilt also: 278134 ≡ 10 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.