Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2701 + 4492) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2701 + 4492) mod 9 ≡ (2701 mod 9 + 4492 mod 9) mod 9.

2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701 = 2700+1 = 9 ⋅ 300 +1.

4492 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4492 = 4500-8 = 9 ⋅ 500 -8 = 9 ⋅ 500 - 9 + 1.

Somit gilt:

(2701 + 4492) mod 9 ≡ (1 + 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 91) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 91) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 91) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25532 mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2551=255

2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257

4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257

8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 197127 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 1971=197

2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 107 mod 523

4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 466 mod 523

8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 111 mod 523

16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 292 mod 523

32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 15 mod 523

64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 523

197127

= 19764+32+16+8+4+2+1

= 19764⋅19732⋅19716⋅1978⋅1974⋅1972⋅1971

225 ⋅ 15 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
3375 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 237 ⋅ 292 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
69204 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 168 ⋅ 111 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
18648 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 343 ⋅ 466 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
159838 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523 ≡ 323 ⋅ 107 ⋅ 197 mod 523
34561 ⋅ 197 mod 523 ≡ 43 ⋅ 197 mod 523
8471 mod 523 ≡ 103 mod 523

Es gilt also: 197127 ≡ 103 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59 = 2⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24)
= 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.