Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9995 - 503) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9995 - 503) mod 5 ≡ (9995 mod 5 - 503 mod 5) mod 5.
9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995
= 9000
503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 503
= 500
Somit gilt:
(9995 - 503) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 76) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 76) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 76 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 76) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62916 mod 631.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 629 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6291=629
2: 6292=6291+1=6291⋅6291 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 4 mod 631
4: 6294=6292+2=6292⋅6292 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 631
8: 6298=6294+4=6294⋅6294 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 631
16: 62916=6298+8=6298⋅6298 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 543 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 187224 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 80 mod 251
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251
16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 204 mod 251
32: 18732=18716+16=18716⋅18716 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251
64: 18764=18732+32=18732⋅18732 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251
128: 187128=18764+64=18764⋅18764 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251
187224
= 187128+64+32
= 187128⋅18764⋅18732
≡ 100 ⋅ 241 ⋅ 201 mod 251
≡ 24100 ⋅ 201 mod 251 ≡ 4 ⋅ 201 mod 251
≡ 804 mod 251 ≡ 51 mod 251
Es gilt also: 187224 ≡ 51 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.