Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18003 + 270) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18003 + 270) mod 9 ≡ (18003 mod 9 + 270 mod 9) mod 9.
18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
Somit gilt:
(18003 + 270) mod 9 ≡ (3 + 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 16) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 16) mod 6 ≡ (73 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 16) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 132128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 132 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1321=132
2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 250 mod 277
4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 175 mod 277
8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277
16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277
32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 213 mod 277
64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277
128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 211231 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 518 mod 557
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 407 mod 557
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 220 mod 557
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 498 mod 557
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 139 mod 557
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 383 mod 557
128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 198 mod 557
211231
= 211128+64+32+4+2+1
= 211128⋅21164⋅21132⋅2114⋅2112⋅2111
≡ 198 ⋅ 383 ⋅ 139 ⋅ 407 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557
≡ 75834 ⋅ 139 ⋅ 407 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557 ≡ 82 ⋅ 139 ⋅ 407 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557
≡ 11398 ⋅ 407 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557 ≡ 258 ⋅ 407 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557
≡ 105006 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557 ≡ 290 ⋅ 518 ⋅ 211 mod 557
≡ 150220 ⋅ 211 mod 557 ≡ 387 ⋅ 211 mod 557
≡ 81657 mod 557 ≡ 335 mod 557
Es gilt also: 211231 ≡ 335 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38
| =>83 | = 2⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38) = 11⋅83 -24⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -24⋅38
-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38
-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1
(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1
59⋅38 = 27⋅83 + 1
Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1
Somit 59⋅38 = 1 mod 83
59 ist also das Inverse von 38 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
