Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 + 1394) mod 7 ≡ (68 mod 7 + 1394 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 70-2 = 7 ⋅ 10 -2 = 7 ⋅ 10 - 7 + 5.

1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394 = 1400-6 = 7 ⋅ 200 -6 = 7 ⋅ 200 - 7 + 1.

Somit gilt:

(68 + 1394) mod 7 ≡ (5 + 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 96) mod 5 ≡ (88 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.

88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 96) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 771¹=771

2: 771²=771¹⁺¹=771¹⋅771¹ ≡ 771⋅771=594441 ≡ 753 mod 853

4: 771⁴=771²⁺²=771²⋅771² ≡ 753⋅753=567009 ≡ 617 mod 853

8: 771⁸=771⁴⁺⁴=771⁴⋅771⁴ ≡ 617⋅617=380689 ≡ 251 mod 853

16: 771¹⁶=771⁸⁺⁸=771⁸⋅771⁸ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 732 mod 853

32: 771³²=771¹⁶⁺¹⁶=771¹⁶⋅771¹⁶ ≡ 732⋅732=535824 ≡ 140 mod 853

64: 771⁶⁴=771³²⁺³²=771³²⋅771³² ≡ 140⋅140=19600 ≡ 834 mod 853

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

356¹³⁵

= 356^128+4+2+1

= 356¹²⁸⋅356⁴⋅356²⋅356¹

≡ 216 ⋅ 551 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811
≡ 119016 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811 ≡ 610 ⋅ 220 ⋅ 356 mod 811
≡ 134200 ⋅ 356 mod 811 ≡ 385 ⋅ 356 mod 811
≡ 137060 mod 811 ≡ 1 mod 811

Es gilt also: 356¹³⁵ ≡ 1 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

=>79	= 2⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 79-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32) = 15⋅79 -37⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -37⋅32

-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32

-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1

(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1

42⋅32 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1

Somit 42⋅32 = 1 mod 79

42 ist also das Inverse von 32 mod 79