Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35007 + 217) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35007 + 217) mod 7 ≡ (35007 mod 7 + 217 mod 7) mod 7.
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217
= 210
Somit gilt:
(35007 + 217) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 83) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 83) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 83) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4908 mod 883.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 490 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 807 mod 883
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 478 mod 883
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 670 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 286164 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 39 mod 331
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 197 mod 331
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 82 mod 331
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 104 mod 331
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 224 mod 331
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 195 mod 331
128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331
286164
= 286128+32+4
= 286128⋅28632⋅2864
≡ 291 ⋅ 224 ⋅ 197 mod 331
≡ 65184 ⋅ 197 mod 331 ≡ 308 ⋅ 197 mod 331
≡ 60676 mod 331 ≡ 103 mod 331
Es gilt also: 286164 ≡ 103 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31
| =>97 | = 3⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 97-3⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31) = 8⋅97 -25⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31
oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅97 = -25⋅31
-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31
-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1
(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1
72⋅31 = 23⋅97 + 1
Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1
Somit 72⋅31 = 1 mod 97
72 ist also das Inverse von 31 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.