Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 + 3996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 + 3996) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 3996 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996
= 3000
Somit gilt:
(2003 + 3996) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 18) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 18) mod 6 ≡ (79 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.
79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 18) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13716 mod 251.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 195 mod 251
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 124 mod 251
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 65 mod 251
16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 209 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 534240 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 240 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 240 an und zerlegen 240 in eine Summer von 2er-Potenzen:
240 = 128+64+32+16
1: 5341=534
2: 5342=5341+1=5341⋅5341 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 49 mod 541
4: 5344=5342+2=5342⋅5342 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 237 mod 541
8: 5348=5344+4=5344⋅5344 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 446 mod 541
16: 53416=5348+8=5348⋅5348 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 369 mod 541
32: 53432=53416+16=53416⋅53416 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 370 mod 541
64: 53464=53432+32=53432⋅53432 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 27 mod 541
128: 534128=53464+64=53464⋅53464 ≡ 27⋅27=729 ≡ 188 mod 541
534240
= 534128+64+32+16
= 534128⋅53464⋅53432⋅53416
≡ 188 ⋅ 27 ⋅ 370 ⋅ 369 mod 541
≡ 5076 ⋅ 370 ⋅ 369 mod 541 ≡ 207 ⋅ 370 ⋅ 369 mod 541
≡ 76590 ⋅ 369 mod 541 ≡ 309 ⋅ 369 mod 541
≡ 114021 mod 541 ≡ 411 mod 541
Es gilt also: 534240 ≡ 411 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.