Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10004 + 251) mod 5 ≡ (10004 mod 5 + 251 mod 5) mod 5.

10004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10004 = 10000+4 = 5 ⋅ 2000 +4.

251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251 = 250+1 = 5 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(10004 + 251) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 69) mod 3 ≡ (61 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 69) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 184¹=184

2: 184²=184¹⁺¹=184¹⋅184¹ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 179 mod 283

4: 184⁴=184²⁺²=184²⋅184² ≡ 179⋅179=32041 ≡ 62 mod 283

8: 184⁸=184⁴⁺⁴=184⁴⋅184⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 165 mod 283

16: 184¹⁶=184⁸⁺⁸=184⁸⋅184⁸ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 57 mod 283

32: 184³²=184¹⁶⁺¹⁶=184¹⁶⋅184¹⁶ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 136 mod 283

64: 184⁶⁴=184³²⁺³²=184³²⋅184³² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 101 mod 283

128: 184¹²⁸=184⁶⁴⁺⁶⁴=184⁶⁴⋅184⁶⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 13 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

205²³⁴

= 205^{128+64+32+8+2}

= 205¹²⁸⋅205⁶⁴⋅205³²⋅205⁸⋅205²

≡ 279 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 245 ⋅ 145 mod 349
≡ 22599 ⋅ 9 ⋅ 245 ⋅ 145 mod 349 ≡ 263 ⋅ 9 ⋅ 245 ⋅ 145 mod 349
≡ 2367 ⋅ 245 ⋅ 145 mod 349 ≡ 273 ⋅ 245 ⋅ 145 mod 349
≡ 66885 ⋅ 145 mod 349 ≡ 226 ⋅ 145 mod 349
≡ 32770 mod 349 ≡ 313 mod 349

Es gilt also: 205²³⁴ ≡ 313 mod 349

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59	= 3⋅18 + 5
=>18	= 3⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18) = 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59