Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24005 + 233) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24005 + 233) mod 8 ≡ (24005 mod 8 + 233 mod 8) mod 8.
24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233
= 240
Somit gilt:
(24005 + 233) mod 8 ≡ (5 + 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 17) mod 6 ≡ (64 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 17) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 78732 mod 859.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 787 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7871=787
2: 7872=7871+1=7871⋅7871 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 30 mod 859
4: 7874=7872+2=7872⋅7872 ≡ 30⋅30=900 ≡ 41 mod 859
8: 7878=7874+4=7874⋅7874 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 822 mod 859
16: 78716=7878+8=7878⋅7878 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 510 mod 859
32: 78732=78716+16=78716⋅78716 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 682 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 369161 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 364 mod 593
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 257 mod 593
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 226 mod 593
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 78 mod 593
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 589 mod 593
128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 16 mod 593
369161
= 369128+32+1
= 369128⋅36932⋅3691
≡ 16 ⋅ 154 ⋅ 369 mod 593
≡ 2464 ⋅ 369 mod 593 ≡ 92 ⋅ 369 mod 593
≡ 33948 mod 593 ≡ 147 mod 593
Es gilt also: 369161 ≡ 147 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.