Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 + 3000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 + 3000) mod 6 ≡ (18000 mod 6 + 3000 mod 6) mod 6.
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(18000 + 3000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 65) mod 11 ≡ (64 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 65) mod 11 ≡ (9 ⋅ 10) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4188 mod 883.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 418 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4181=418
2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 773 mod 883
4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 621 mod 883
8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 653 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 293204 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 2931=293
2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 339 mod 503
4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 237 mod 503
8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 336 mod 503
16: 29316=2938+8=2938⋅2938 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 224 mod 503
32: 29332=29316+16=29316⋅29316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 379 mod 503
64: 29364=29332+32=29332⋅29332 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 286 mod 503
128: 293128=29364+64=29364⋅29364 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 310 mod 503
293204
= 293128+64+8+4
= 293128⋅29364⋅2938⋅2934
≡ 310 ⋅ 286 ⋅ 336 ⋅ 237 mod 503
≡ 88660 ⋅ 336 ⋅ 237 mod 503 ≡ 132 ⋅ 336 ⋅ 237 mod 503
≡ 44352 ⋅ 237 mod 503 ≡ 88 ⋅ 237 mod 503
≡ 20856 mod 503 ≡ 233 mod 503
Es gilt also: 293204 ≡ 233 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.