Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1001 + 50) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1001 + 50) mod 5 ≡ (1001 mod 5 + 50 mod 5) mod 5.

1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001 = 1000+1 = 5 ⋅ 200 +1.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(1001 + 50) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 21) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 21) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 21 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 21) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14516 mod 227.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 145 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 141 mod 227

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 132 mod 227

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 172 mod 227

16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 74 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 352245 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 3521=352

2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 806 mod 1009

4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 849 mod 1009

8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 375 mod 1009

16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 374 mod 1009

32: 35232=35216+16=35216⋅35216 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

64: 35264=35232+32=35232⋅35232 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 374 mod 1009

128: 352128=35264+64=35264⋅35264 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 634 mod 1009

352245

= 352128+64+32+16+4+1

= 352128⋅35264⋅35232⋅35216⋅3524⋅3521

634 ⋅ 374 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
237116 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009 ≡ 1 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
237116 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009 ≡ 1 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
849 ⋅ 352 mod 1009
298848 mod 1009 ≡ 184 mod 1009

Es gilt also: 352245 ≡ 184 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.