Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2495 - 10000) mod 5 ≡ (2495 mod 5 - 10000 mod 5) mod 5.

2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495 = 2400+95 = 5 ⋅ 480 +95.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2495 - 10000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 48) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 48) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 594¹=594

2: 594²=594¹⁺¹=594¹⋅594¹ ≡ 594⋅594=352836 ≡ 119 mod 677

4: 594⁴=594²⁺²=594²⋅594² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 621 mod 677

8: 594⁸=594⁴⁺⁴=594⁴⋅594⁴ ≡ 621⋅621=385641 ≡ 428 mod 677

16: 594¹⁶=594⁸⁺⁸=594⁸⋅594⁸ ≡ 428⋅428=183184 ≡ 394 mod 677

32: 594³²=594¹⁶⁺¹⁶=594¹⁶⋅594¹⁶ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 203 mod 677

64: 594⁶⁴=594³²⁺³²=594³²⋅594³² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 589 mod 677

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

456¹⁶⁷

= 456^128+32+4+2+1

= 456¹²⁸⋅456³²⋅456⁴⋅456²⋅456¹

≡ 152 ⋅ 111 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 16872 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491 ≡ 178 ⋅ 129 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 22962 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491 ≡ 376 ⋅ 243 ⋅ 456 mod 491
≡ 91368 ⋅ 456 mod 491 ≡ 42 ⋅ 456 mod 491
≡ 19152 mod 491 ≡ 3 mod 491

Es gilt also: 456¹⁶⁷ ≡ 3 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53	= 1⋅41 + 12
=>41	= 3⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41) = 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53