Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (176 - 1796) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(176 - 1796) mod 9 ≡ (176 mod 9 - 1796 mod 9) mod 9.
176 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176
= 180
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
Somit gilt:
(176 - 1796) mod 9 ≡ (5 - 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 51) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 51) mod 10 ≡ (78 mod 10 ⋅ 51 mod 10) mod 10.
78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.
51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 51) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36516 mod 947.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 365 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 645 mod 947
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 292 mod 947
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 34 mod 947
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 209 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 281204 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 627 mod 739
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 720 mod 739
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 361 mod 739
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 257 mod 739
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 278 mod 739
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 428 mod 739
128: 281128=28164+64=28164⋅28164 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 651 mod 739
281204
= 281128+64+8+4
= 281128⋅28164⋅2818⋅2814
≡ 651 ⋅ 428 ⋅ 361 ⋅ 720 mod 739
≡ 278628 ⋅ 361 ⋅ 720 mod 739 ≡ 25 ⋅ 361 ⋅ 720 mod 739
≡ 9025 ⋅ 720 mod 739 ≡ 157 ⋅ 720 mod 739
≡ 113040 mod 739 ≡ 712 mod 739
Es gilt also: 281204 ≡ 712 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.