Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2406 + 29997) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2406 + 29997) mod 6 ≡ (2406 mod 6 + 29997 mod 6) mod 6.
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
29997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29997
= 30000
Somit gilt:
(2406 + 29997) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 61) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 61) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 61) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30216 mod 349.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 302 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 115 mod 349
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 312 mod 349
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 322 mod 349
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 31 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 392160 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 467 mod 733
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 388 mod 733
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 279 mod 733
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 143 mod 733
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 658 mod 733
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 494 mod 733
128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 680 mod 733
392160
= 392128+32
= 392128⋅39232
≡ 680 ⋅ 658 mod 733
≡ 447440 mod 733 ≡ 310 mod 733
Es gilt also: 392160 ≡ 310 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35
| =>73 | = 2⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 73-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -25⋅35
-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35
-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1
(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1
48⋅35 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1
Somit 48⋅35 = 1 mod 73
48 ist also das Inverse von 35 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.