Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25005 - 15005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25005 - 15005) mod 5 ≡ (25005 mod 5 - 15005 mod 5) mod 5.
25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005
= 25000
15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005
= 15000
Somit gilt:
(25005 - 15005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 45) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 45) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 45 mod 6) mod 6.
68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 45) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43364 mod 443.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 100 mod 443
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 254 mod 443
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 281 mod 443
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 107 mod 443
32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 374 mod 443
64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 331 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 500194 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 5001=500
2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 525 mod 587
4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 322 mod 587
8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 372 mod 587
16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 439 mod 587
32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 185 mod 587
64: 50064=50032+32=50032⋅50032 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 179 mod 587
128: 500128=50064+64=50064⋅50064 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 343 mod 587
500194
= 500128+64+2
= 500128⋅50064⋅5002
≡ 343 ⋅ 179 ⋅ 525 mod 587
≡ 61397 ⋅ 525 mod 587 ≡ 349 ⋅ 525 mod 587
≡ 183225 mod 587 ≡ 81 mod 587
Es gilt also: 500194 ≡ 81 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 89.
Also bestimme x, so dass 89 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89
| =>101 | = 1⋅89 + 12 |
| =>89 | = 7⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,89)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-7⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1) |
| 12= 101-1⋅89 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89)
= 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89
oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +37⋅101 = +42⋅89
Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1
Somit 42⋅89 = 1 mod 101
42 ist also das Inverse von 89 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.