Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 - 4004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 - 4004) mod 4 ≡ (79 mod 4 - 4004 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
Somit gilt:
(79 - 4004) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 43) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 43) mod 3 ≡ (74 mod 3 ⋅ 43 mod 3) mod 3.
74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 43) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28164 mod 349.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 87 mod 349
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 240 mod 349
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 20⋅20=400 ≡ 51 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20888 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 2081=208
2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 184 mod 359
4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 110 mod 359
8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 253 mod 359
16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 107 mod 359
32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 320 mod 359
64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 85 mod 359
20888
= 20864+16+8
= 20864⋅20816⋅2088
≡ 85 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359
≡ 9095 ⋅ 253 mod 359 ≡ 120 ⋅ 253 mod 359
≡ 30360 mod 359 ≡ 204 mod 359
Es gilt also: 20888 ≡ 204 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.