Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 + 241) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 + 241) mod 8 ≡ (152 mod 8 + 241 mod 8) mod 8.
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
Somit gilt:
(152 + 241) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (81 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.
81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 43) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45232 mod 463.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4521=452
2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 121 mod 463
4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 288 mod 463
8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 67 mod 463
16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 322 mod 463
32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 435 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 267200 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 90 mod 293
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 189 mod 293
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 268 mod 293
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 39 mod 293
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293
128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293
267200
= 267128+64+8
= 267128⋅26764⋅2678
≡ 244 ⋅ 206 ⋅ 268 mod 293
≡ 50264 ⋅ 268 mod 293 ≡ 161 ⋅ 268 mod 293
≡ 43148 mod 293 ≡ 77 mod 293
Es gilt also: 267200 ≡ 77 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.