Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 + 1999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 + 1999) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 1999 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 5 ⋅ 380 +99.

Somit gilt:

(100 + 1999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 90) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 90) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 90) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8416 mod 257.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 84 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 841=84

2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 117 mod 257

4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 68 mod 257

8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 255 mod 257

16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 129142 mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 1291=129

2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 139 mod 223

4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 143 mod 223

8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 156 mod 223

16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 29 mod 223

32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223

64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223

128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223

129142

= 129128+8+4+2

= 129128⋅1298⋅1294⋅1292

50 ⋅ 156 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223
7800 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223 ≡ 218 ⋅ 143 ⋅ 139 mod 223
31174 ⋅ 139 mod 223 ≡ 177 ⋅ 139 mod 223
24603 mod 223 ≡ 73 mod 223

Es gilt also: 129142 ≡ 73 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89 = 3⋅27 + 8
=>27 = 3⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8)
= 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27)
= -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.