Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(147 + 9001) mod 3 ≡ (147 mod 3 + 9001 mod 3) mod 3.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 3 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(147 + 9001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 16) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.

51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 16) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 347¹=347

2: 347²=347¹⁺¹=347¹⋅347¹ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 691 mod 739

4: 347⁴=347²⁺²=347²⋅347² ≡ 691⋅691=477481 ≡ 87 mod 739

8: 347⁸=347⁴⁺⁴=347⁴⋅347⁴ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 179 mod 739

16: 347¹⁶=347⁸⁺⁸=347⁸⋅347⁸ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 264 mod 739

32: 347³²=347¹⁶⁺¹⁶=347¹⁶⋅347¹⁶ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 230 mod 739

64: 347⁶⁴=347³²⁺³²=347³²⋅347³² ≡ 230⋅230=52900 ≡ 431 mod 739

128: 347¹²⁸=347⁶⁴⁺⁶⁴=347⁶⁴⋅347⁶⁴ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 272 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

848¹⁹⁶

= 848^128+64+4

= 848¹²⁸⋅848⁶⁴⋅848⁴

≡ 691 ⋅ 574 ⋅ 240 mod 953
≡ 396634 ⋅ 240 mod 953 ≡ 186 ⋅ 240 mod 953
≡ 44640 mod 953 ≡ 802 mod 953

Es gilt also: 848¹⁹⁶ ≡ 802 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25

=>67	= 2⋅25 + 17
=>25	= 1⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25) = -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -8⋅25

-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25

-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1

(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1

59⋅25 = 22⋅67 + 1

Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1

Somit 59⋅25 = 1 mod 67

59 ist also das Inverse von 25 mod 67