Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 - 297) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 - 297) mod 6 ≡ (301 mod 6 - 297 mod 6) mod 6.
301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
297 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
Somit gilt:
(301 - 297) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 90) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 90) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 90) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25416 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 254 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 605 mod 809
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 357 mod 809
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 436 mod 809
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 790 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 952222 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 9521=952
2: 9522=9521+1=9521⋅9521 ≡ 952⋅952=906304 ≡ 961 mod 983
4: 9524=9522+2=9522⋅9522 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 484 mod 983
8: 9528=9524+4=9524⋅9524 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 302 mod 983
16: 95216=9528+8=9528⋅9528 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 768 mod 983
32: 95232=95216+16=95216⋅95216 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 24 mod 983
64: 95264=95232+32=95232⋅95232 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 983
128: 952128=95264+64=95264⋅95264 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 505 mod 983
952222
= 952128+64+16+8+4+2
= 952128⋅95264⋅95216⋅9528⋅9524⋅9522
≡ 505 ⋅ 576 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 290880 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 895 ⋅ 768 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 687360 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 243 ⋅ 302 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 73386 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983 ≡ 644 ⋅ 484 ⋅ 961 mod 983
≡ 311696 ⋅ 961 mod 983 ≡ 85 ⋅ 961 mod 983
≡ 81685 mod 983 ≡ 96 mod 983
Es gilt also: 952222 ≡ 96 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
