Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (298 + 9000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(298 + 9000) mod 3 ≡ (298 mod 3 + 9000 mod 3) mod 3.
298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(298 + 9000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 23) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 23) mod 10 ≡ (73 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.
73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 23) mod 10 ≡ (3 ⋅ 3) mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44564 mod 859.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 455 mod 859
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 6 mod 859
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 859
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 437 mod 859
32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 271 mod 859
64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 426 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 763113 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 7631=763
2: 7632=7631+1=7631⋅7631 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 80 mod 821
4: 7634=7632+2=7632⋅7632 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 653 mod 821
8: 7638=7634+4=7634⋅7634 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 310 mod 821
16: 76316=7638+8=7638⋅7638 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 43 mod 821
32: 76332=76316+16=76316⋅76316 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 207 mod 821
64: 76364=76332+32=76332⋅76332 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 157 mod 821
763113
= 76364+32+16+1
= 76364⋅76332⋅76316⋅7631
≡ 157 ⋅ 207 ⋅ 43 ⋅ 763 mod 821
≡ 32499 ⋅ 43 ⋅ 763 mod 821 ≡ 480 ⋅ 43 ⋅ 763 mod 821
≡ 20640 ⋅ 763 mod 821 ≡ 115 ⋅ 763 mod 821
≡ 87745 mod 821 ≡ 719 mod 821
Es gilt also: 763113 ≡ 719 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.