Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1001 + 50) mod 5 ≡ (1001 mod 5 + 50 mod 5) mod 5.

1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001 = 1000+1 = 5 ⋅ 200 +1.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(1001 + 50) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 21) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 21 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 21) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 145¹=145

2: 145²=145¹⁺¹=145¹⋅145¹ ≡ 145⋅145=21025 ≡ 141 mod 227

4: 145⁴=145²⁺²=145²⋅145² ≡ 141⋅141=19881 ≡ 132 mod 227

8: 145⁸=145⁴⁺⁴=145⁴⋅145⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 172 mod 227

16: 145¹⁶=145⁸⁺⁸=145⁸⋅145⁸ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 74 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

352²⁴⁵

= 352^{128+64+32+16+4+1}

= 352¹²⁸⋅352⁶⁴⋅352³²⋅352¹⁶⋅352⁴⋅352¹

≡ 634 ⋅ 374 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
≡ 237116 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009 ≡ 1 ⋅ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
≡ 634 ⋅ 374 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
≡ 237116 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009 ≡ 1 ⋅ 849 ⋅ 352 mod 1009
≡ 849 ⋅ 352 mod 1009
≡ 298848 mod 1009 ≡ 184 mod 1009

Es gilt also: 352²⁴⁵ ≡ 184 mod 1009

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67