Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10000 + 2004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10000 + 2004) mod 5 ≡ (10000 mod 5 + 2004 mod 5) mod 5.
10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000
= 10000
2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(10000 + 2004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 15) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 15) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 15 mod 7) mod 7.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 15) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9248 mod 953.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 924 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9241=924
2: 9242=9241+1=9241⋅9241 ≡ 924⋅924=853776 ≡ 841 mod 953
4: 9244=9242+2=9242⋅9242 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 155 mod 953
8: 9248=9244+4=9244⋅9244 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 200 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15489 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 183 mod 233
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 170 mod 233
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 8 mod 233
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233
15489
= 15464+16+8+1
= 15464⋅15416⋅1548⋅1541
≡ 51 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 154 mod 233
≡ 3264 ⋅ 8 ⋅ 154 mod 233 ≡ 2 ⋅ 8 ⋅ 154 mod 233
≡ 16 ⋅ 154 mod 233
≡ 2464 mod 233 ≡ 134 mod 233
Es gilt also: 15489 ≡ 134 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.