Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (248 - 2407) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(248 - 2407) mod 8 ≡ (248 mod 8 - 2407 mod 8) mod 8.
248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407
= 2400
Somit gilt:
(248 - 2407) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 26) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 26) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 26) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5918 mod 683.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5911=591
2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 268 mod 683
4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 109 mod 683
8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 270 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 301218 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 85 mod 397
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 79 mod 397
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 286 mod 397
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 14 mod 397
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 397
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 304 mod 397
128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 312 mod 397
301218
= 301128+64+16+8+2
= 301128⋅30164⋅30116⋅3018⋅3012
≡ 312 ⋅ 304 ⋅ 14 ⋅ 286 ⋅ 85 mod 397
≡ 94848 ⋅ 14 ⋅ 286 ⋅ 85 mod 397 ≡ 362 ⋅ 14 ⋅ 286 ⋅ 85 mod 397
≡ 5068 ⋅ 286 ⋅ 85 mod 397 ≡ 304 ⋅ 286 ⋅ 85 mod 397
≡ 86944 ⋅ 85 mod 397 ≡ 1 ⋅ 85 mod 397
≡ 85 mod 397
Es gilt also: 301218 ≡ 85 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.