Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2698 - 2700) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2698 - 2700) mod 9 ≡ (2698 mod 9 - 2700 mod 9) mod 9.
2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698
= 2700
2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700
= 2700
Somit gilt:
(2698 - 2700) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 52) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 52) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 52 mod 7) mod 7.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 52) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12364 mod 373.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 123 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1231=123
2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 209 mod 373
4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 40 mod 373
8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 108 mod 373
16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 101 mod 373
32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 130 mod 373
64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 115 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32364 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 77 mod 389
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 94 mod 389
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 278 mod 389
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 262 mod 389
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 180 mod 389
64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 113 mod 389
32364
= 32364
= 32364
≡ 113 mod 389
Es gilt also: 32364 ≡ 113 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.