Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4500 - 459) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4500 - 459) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 459 mod 9) mod 9.
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459
= 450
Somit gilt:
(4500 - 459) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 86) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 86) mod 4 ≡ (23 mod 4 ⋅ 86 mod 4) mod 4.
23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.
86 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 21 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 86) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34764 mod 419.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 347 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 156 mod 419
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 34 mod 419
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 318 mod 419
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 145 mod 419
32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419
64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 178 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 131137 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 213 mod 223
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 100 mod 223
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 188 mod 223
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 110 mod 223
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 58 mod 223
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 19 mod 223
128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 19⋅19=361 ≡ 138 mod 223
131137
= 131128+8+1
= 131128⋅1318⋅1311
≡ 138 ⋅ 188 ⋅ 131 mod 223
≡ 25944 ⋅ 131 mod 223 ≡ 76 ⋅ 131 mod 223
≡ 9956 mod 223 ≡ 144 mod 223
Es gilt also: 131137 ≡ 144 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.