Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 + 5998) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 5998 mod 3) mod 3.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(89 + 5998) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 65) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 65 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 65) mod 9 ≡ (4 ⋅ 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 91¹=91

2: 91²=91¹⁺¹=91¹⋅91¹ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241

4: 91⁴=91²⁺²=91²⋅91² ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241

8: 91⁸=91⁴⁺⁴=91⁴⋅91⁴ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241

16: 91¹⁶=91⁸⁺⁸=91⁸⋅91⁸ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241

32: 91³²=91¹⁶⁺¹⁶=91¹⁶⋅91¹⁶ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241

64: 91⁶⁴=91³²⁺³²=91³²⋅91³² ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241

128: 91¹²⁸=91⁶⁴⁺⁶⁴=91⁶⁴⋅91⁶⁴ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

408²³⁷

= 408^{128+64+32+8+4+1}

= 408¹²⁸⋅408⁶⁴⋅408³²⋅408⁸⋅408⁴⋅408¹

≡ 314 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 135648 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 423 ⋅ 423 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 178929 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 432 ⋅ 314 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 135648 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601 ≡ 423 ⋅ 169 ⋅ 408 mod 601
≡ 71487 ⋅ 408 mod 601 ≡ 569 ⋅ 408 mod 601
≡ 232152 mod 601 ≡ 166 mod 601

Es gilt also: 408²³⁷ ≡ 166 mod 601

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61	= 3⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61