Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1795 + 12000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1795 + 12000) mod 6 ≡ (1795 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.
1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(1795 + 12000) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 94) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 94) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 94) mod 9 ≡ (7 ⋅ 4) mod 9 ≡ 28 mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32732 mod 881.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 327 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 328 mod 881
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 102 mod 881
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 713 mod 881
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 32 mod 881
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 143 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33883 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 121 mod 349
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 332 mod 349
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 110 mod 349
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 234 mod 349
64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 312 mod 349
33883
= 33864+16+2+1
= 33864⋅33816⋅3382⋅3381
≡ 312 ⋅ 110 ⋅ 121 ⋅ 338 mod 349
≡ 34320 ⋅ 121 ⋅ 338 mod 349 ≡ 118 ⋅ 121 ⋅ 338 mod 349
≡ 14278 ⋅ 338 mod 349 ≡ 318 ⋅ 338 mod 349
≡ 107484 mod 349 ≡ 341 mod 349
Es gilt also: 33883 ≡ 341 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.