Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (804 - 3207) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 - 3207) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 3207 mod 8) mod 8.

804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 8 ⋅ 100 +4.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

Somit gilt:

(804 - 3207) mod 8 ≡ (4 - 7) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 20) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 155128 mod 277.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 155 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1551=155

2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277

4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 213 mod 277

8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277

16: 15516=1558+8=1558⋅1558 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277

32: 15532=15516+16=15516⋅15516 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277

64: 15564=15532+32=15532⋅15532 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277

128: 155128=15564+64=15564⋅15564 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 182146 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:

146 = 128+16+2

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 318 mod 349

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 263 mod 349

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 67 mod 349

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 301 mod 349

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 210 mod 349

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 126 mod 349

128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 171 mod 349

182146

= 182128+16+2

= 182128⋅18216⋅1822

171 ⋅ 301 ⋅ 318 mod 349
51471 ⋅ 318 mod 349 ≡ 168 ⋅ 318 mod 349
53424 mod 349 ≡ 27 mod 349

Es gilt also: 182146 ≡ 27 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

=>73 = 1⋅39 + 34
=>39 = 1⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 39-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34)
= 7⋅39 -8⋅ 34 (=1)
34= 73-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39)
= -8⋅73 +15⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39

oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅73 = +15⋅39

Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1

Somit 15⋅39 = 1 mod 73

15 ist also das Inverse von 39 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.