Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(803 + 403) mod 4 ≡ (803 mod 4 + 403 mod 4) mod 4.

803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803 = 800+3 = 4 ⋅ 200 +3.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(803 + 403) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 34) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 34 mod 11) mod 11.

67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 34) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 767¹=767

2: 767²=767¹⁺¹=767¹⋅767¹ ≡ 767⋅767=588289 ≡ 129 mod 919

4: 767⁴=767²⁺²=767²⋅767² ≡ 129⋅129=16641 ≡ 99 mod 919

8: 767⁸=767⁴⁺⁴=767⁴⋅767⁴ ≡ 99⋅99=9801 ≡ 611 mod 919

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

559²¹⁵

= 559^{128+64+16+4+2+1}

= 559¹²⁸⋅559⁶⁴⋅559¹⁶⋅559⁴⋅559²⋅559¹

≡ 357 ⋅ 169 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 60333 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 79 ⋅ 275 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 21725 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 572 ⋅ 523 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 299156 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641 ≡ 450 ⋅ 314 ⋅ 559 mod 641
≡ 141300 ⋅ 559 mod 641 ≡ 280 ⋅ 559 mod 641
≡ 156520 mod 641 ≡ 116 mod 641

Es gilt also: 559²¹⁵ ≡ 116 mod 641

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101	= 1⋅68 + 33
=>68	= 2⋅33 + 2
=>33	= 16⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33) = 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68) = -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101