Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (200 - 150) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 - 150) mod 5 ≡ (200 mod 5 - 150 mod 5) mod 5.

200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 5 ⋅ 40 +0.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(200 - 150) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 47) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 47) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 47 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 47) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21764 mod 223.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 203 mod 223

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 177 mod 223

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 75961 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 7591=759

2: 7592=7591+1=7591⋅7591 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 306 mod 853

4: 7594=7592+2=7592⋅7592 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 659 mod 853

8: 7598=7594+4=7594⋅7594 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 104 mod 853

16: 75916=7598+8=7598⋅7598 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 580 mod 853

32: 75932=75916+16=75916⋅75916 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 318 mod 853

75961

= 75932+16+8+4+1

= 75932⋅75916⋅7598⋅7594⋅7591

318 ⋅ 580 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
184440 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853 ≡ 192 ⋅ 104 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
19968 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853 ≡ 349 ⋅ 659 ⋅ 759 mod 853
229991 ⋅ 759 mod 853 ≡ 534 ⋅ 759 mod 853
405306 mod 853 ≡ 131 mod 853

Es gilt also: 75961 ≡ 131 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97 = 2⋅47 + 3
=>47 = 15⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3)
= -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47)
= 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.