Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (280 - 138) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(280 - 138) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 138 mod 7) mod 7.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

138 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 138 = 140-2 = 7 ⋅ 20 -2 = 7 ⋅ 20 - 7 + 5.

Somit gilt:

(280 - 138) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 87) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (52 mod 6 ⋅ 87 mod 6) mod 6.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18864 mod 389.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,389) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 334 mod 389

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 302 mod 389

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 178 mod 389

16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 175 mod 389

32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 283 mod 389

64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 344 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 454236 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 4541=454

2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 143 mod 733

4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 658 mod 733

8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 494 mod 733

16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 680 mod 733

32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 610 mod 733

64: 45464=45432+32=45432⋅45432 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 469 mod 733

128: 454128=45464+64=45464⋅45464 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 61 mod 733

454236

= 454128+64+32+8+4

= 454128⋅45464⋅45432⋅4548⋅4544

61 ⋅ 469 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
28609 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733 ≡ 22 ⋅ 610 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
13420 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733 ≡ 226 ⋅ 494 ⋅ 658 mod 733
111644 ⋅ 658 mod 733 ≡ 228 ⋅ 658 mod 733
150024 mod 733 ≡ 492 mod 733

Es gilt also: 454236 ≡ 492 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73 = 1⋅51 + 22
=>51 = 2⋅22 + 7
=>22 = 3⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22)
= -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51)
= 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.