Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 + 400) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 + 400) mod 4 ≡ (160 mod 4 + 400 mod 4) mod 4.
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(160 + 400) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 67) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 67) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 67 mod 9) mod 9.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 67) mod 9 ≡ (0 ⋅ 4) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63164 mod 863.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 631 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6311=631
2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 318 mod 863
4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 153 mod 863
8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 108 mod 863
16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 445 mod 863
32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 398 mod 863
64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 475 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 641150 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 6411=641
2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 351 mod 673
4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 42 mod 673
8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 418 mod 673
16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 417 mod 673
32: 64132=64116+16=64116⋅64116 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 255 mod 673
64: 64164=64132+32=64132⋅64132 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 417 mod 673
128: 641128=64164+64=64164⋅64164 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 255 mod 673
641150
= 641128+16+4+2
= 641128⋅64116⋅6414⋅6412
≡ 255 ⋅ 417 ⋅ 42 ⋅ 351 mod 673
≡ 106335 ⋅ 42 ⋅ 351 mod 673 ≡ 1 ⋅ 42 ⋅ 351 mod 673
≡ 42 ⋅ 351 mod 673
≡ 14742 mod 673 ≡ 609 mod 673
Es gilt also: 641150 ≡ 609 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.