Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (891 - 17991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(891 - 17991) mod 9 ≡ (891 mod 9 - 17991 mod 9) mod 9.
891 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 891
= 900
17991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17991
= 18000
Somit gilt:
(891 - 17991) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 78) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 78) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 78) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41332 mod 419.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4131=413
2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 36 mod 419
4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 39 mod 419
8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 264 mod 419
16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 142 mod 419
32: 41332=41316+16=41316⋅41316 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 52 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377166 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 338 mod 839
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 140 mod 839
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 303 mod 839
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 358 mod 839
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 636 mod 839
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 98 mod 839
128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 375 mod 839
377166
= 377128+32+4+2
= 377128⋅37732⋅3774⋅3772
≡ 375 ⋅ 636 ⋅ 140 ⋅ 338 mod 839
≡ 238500 ⋅ 140 ⋅ 338 mod 839 ≡ 224 ⋅ 140 ⋅ 338 mod 839
≡ 31360 ⋅ 338 mod 839 ≡ 317 ⋅ 338 mod 839
≡ 107146 mod 839 ≡ 593 mod 839
Es gilt also: 377166 ≡ 593 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 46
| =>71 | = 1⋅46 + 25 |
| =>46 | = 1⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 46-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(46 -1⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅46 -6⋅ 25) = 6⋅46 -11⋅ 25 (=1) |
| 25= 71-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅46 -11⋅(71 -1⋅ 46)
= 6⋅46 -11⋅71 +11⋅ 46) = -11⋅71 +17⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,46)=1 = -11⋅71 +17⋅46
oder wenn man -11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅71 = +17⋅46
Es gilt also: 17⋅46 = 11⋅71 +1
Somit 17⋅46 = 1 mod 71
17 ist also das Inverse von 46 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.