Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27001 - 4493) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27001 - 4493) mod 9 ≡ (27001 mod 9 - 4493 mod 9) mod 9.
27001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27001
= 27000
4493 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4493
= 4500
Somit gilt:
(27001 - 4493) mod 9 ≡ (1 - 2) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 78) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 78) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 78) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62064 mod 941.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 620 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6201=620
2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 472 mod 941
4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 708 mod 941
8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 652 mod 941
16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 713 mod 941
32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 229 mod 941
64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 686 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 471131 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 4711=471
2: 4712=4711+1=4711⋅4711 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 475 mod 733
4: 4714=4712+2=4712⋅4712 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 594 mod 733
8: 4718=4714+4=4714⋅4714 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 263 mod 733
16: 47116=4718+8=4718⋅4718 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 267 mod 733
32: 47132=47116+16=47116⋅47116 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 188 mod 733
64: 47164=47132+32=47132⋅47132 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 160 mod 733
128: 471128=47164+64=47164⋅47164 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 678 mod 733
471131
= 471128+2+1
= 471128⋅4712⋅4711
≡ 678 ⋅ 475 ⋅ 471 mod 733
≡ 322050 ⋅ 471 mod 733 ≡ 263 ⋅ 471 mod 733
≡ 123873 mod 733 ≡ 729 mod 733
Es gilt also: 471131 ≡ 729 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 50
| =>97 | = 1⋅50 + 47 |
| =>50 | = 1⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 50-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(50 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅50 -16⋅ 47) = 16⋅50 -17⋅ 47 (=1) |
| 47= 97-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅50 -17⋅(97 -1⋅ 50)
= 16⋅50 -17⋅97 +17⋅ 50) = -17⋅97 +33⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,50)=1 = -17⋅97 +33⋅50
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +33⋅50
Es gilt also: 33⋅50 = 17⋅97 +1
Somit 33⋅50 = 1 mod 97
33 ist also das Inverse von 50 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.