Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2996 - 2403) mod 6 ≡ (2996 mod 6 - 2403 mod 6) mod 6.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(2996 - 2403) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 43) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 43) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 132¹=132

2: 132²=132¹⁺¹=132¹⋅132¹ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

4: 132⁴=132²⁺²=132²⋅132² ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

8: 132⁸=132⁴⁺⁴=132⁴⋅132⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

16: 132¹⁶=132⁸⁺⁸=132⁸⋅132⁸ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229

32: 132³²=132¹⁶⁺¹⁶=132¹⁶⋅132¹⁶ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229

64: 132⁶⁴=132³²⁺³²=132³²⋅132³² ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

295²³⁷

= 295^{128+64+32+8+4+1}

= 295¹²⁸⋅295⁶⁴⋅295³²⋅295⁸⋅295⁴⋅295¹

≡ 163 ⋅ 134 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
≡ 21842 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 95 ⋅ 82 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
≡ 7790 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 541 ⋅ 624 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
≡ 337584 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659 ≡ 176 ⋅ 51 ⋅ 295 mod 659
≡ 8976 ⋅ 295 mod 659 ≡ 409 ⋅ 295 mod 659
≡ 120655 mod 659 ≡ 58 mod 659

Es gilt also: 295²³⁷ ≡ 58 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30

=>73	= 2⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 73-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -17⋅30

-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30

-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1

(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1

56⋅30 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1

Somit 56⋅30 = 1 mod 73

56 ist also das Inverse von 30 mod 73