Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8005 + 168) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8005 + 168) mod 8 ≡ (8005 mod 8 + 168 mod 8) mod 8.

8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005 = 8000+5 = 8 ⋅ 1000 +5.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

Somit gilt:

(8005 + 168) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 65) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 65) mod 6 ≡ (82 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 65) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 517128 mod 613.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 517 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5171=517

2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 21 mod 613

4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 613

8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 160 mod 613

16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 467 mod 613

32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 474 mod 613

64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 318 mod 613

128: 517128=51764+64=51764⋅51764 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 592 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 514139 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 5141=514

2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 551 mod 787

4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 606 mod 787

8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 494 mod 787

16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 66 mod 787

32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 421 mod 787

64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 166 mod 787

128: 514128=51464+64=51464⋅51464 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 11 mod 787

514139

= 514128+8+2+1

= 514128⋅5148⋅5142⋅5141

11 ⋅ 494 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787
5434 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787 ≡ 712 ⋅ 551 ⋅ 514 mod 787
392312 ⋅ 514 mod 787 ≡ 386 ⋅ 514 mod 787
198404 mod 787 ≡ 80 mod 787

Es gilt also: 514139 ≡ 80 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71 = 1⋅63 + 8
=>63 = 7⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8)
= -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63)
= 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.