Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23997 + 304) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23997 + 304) mod 6 ≡ (23997 mod 6 + 304 mod 6) mod 6.
23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997
= 24000
304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304
= 300
Somit gilt:
(23997 + 304) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 44) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 44) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 44) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4198 mod 751.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4191=419
2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 578 mod 751
4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 640 mod 751
8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 305 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 446161 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 4461=446
2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 208 mod 571
4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 439 mod 571
8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 294 mod 571
16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 215 mod 571
32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 545 mod 571
64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 105 mod 571
128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 176 mod 571
446161
= 446128+32+1
= 446128⋅44632⋅4461
≡ 176 ⋅ 545 ⋅ 446 mod 571
≡ 95920 ⋅ 446 mod 571 ≡ 563 ⋅ 446 mod 571
≡ 251098 mod 571 ≡ 429 mod 571
Es gilt also: 446161 ≡ 429 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.