Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (595 - 56) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(595 - 56) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 56 mod 6) mod 6.
595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595
= 600
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56
= 60
Somit gilt:
(595 - 56) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 45) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 45) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 45) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30364 mod 601.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 457 mod 601
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 305 mod 601
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 471 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 185211 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 78 mod 269
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 166 mod 269
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 118 mod 269
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 205 mod 269
64: 18564=18532+32=18532⋅18532 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 61 mod 269
128: 185128=18564+64=18564⋅18564 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 224 mod 269
185211
= 185128+64+16+2+1
= 185128⋅18564⋅18516⋅1852⋅1851
≡ 224 ⋅ 61 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 13664 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269 ≡ 214 ⋅ 118 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 25252 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269 ≡ 235 ⋅ 62 ⋅ 185 mod 269
≡ 14570 ⋅ 185 mod 269 ≡ 44 ⋅ 185 mod 269
≡ 8140 mod 269 ≡ 70 mod 269
Es gilt also: 185211 ≡ 70 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
