Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (269 + 2697) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(269 + 2697) mod 9 ≡ (269 mod 9 + 2697 mod 9) mod 9.
269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269
= 270
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
Somit gilt:
(269 + 2697) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 61) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 61) mod 8 ≡ (70 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 61) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8164 mod 227.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 81 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 811=81
2: 812=811+1=811⋅811 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 205 mod 227
4: 814=812+2=812⋅812 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 30 mod 227
8: 818=814+4=814⋅814 ≡ 30⋅30=900 ≡ 219 mod 227
16: 8116=818+8=818⋅818 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 64 mod 227
32: 8132=8116+16=8116⋅8116 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 10 mod 227
64: 8164=8132+32=8132⋅8132 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26771 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 371 mod 601
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 12 mod 601
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 601
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 302 mod 601
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601
26771
= 26764+4+2+1
= 26764⋅2674⋅2672⋅2671
≡ 268 ⋅ 12 ⋅ 371 ⋅ 267 mod 601
≡ 3216 ⋅ 371 ⋅ 267 mod 601 ≡ 211 ⋅ 371 ⋅ 267 mod 601
≡ 78281 ⋅ 267 mod 601 ≡ 151 ⋅ 267 mod 601
≡ 40317 mod 601 ≡ 50 mod 601
Es gilt also: 26771 ≡ 50 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.