Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (201 + 2498) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(201 + 2498) mod 5 ≡ (201 mod 5 + 2498 mod 5) mod 5.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498 = 2400+98 = 5 ⋅ 480 +98.

Somit gilt:

(201 + 2498) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 18) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 18) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 18 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 18) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22532 mod 443.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 123 mod 443

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 67 mod 443

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 59 mod 443

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 380 mod 443

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 425 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 125115 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 1251=125

2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 83 mod 409

4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 345 mod 409

8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 6 mod 409

16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 409

32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 69 mod 409

64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409

125115

= 12564+32+16+2+1

= 12564⋅12532⋅12516⋅1252⋅1251

262 ⋅ 69 ⋅ 36 ⋅ 83 ⋅ 125 mod 409
18078 ⋅ 36 ⋅ 83 ⋅ 125 mod 409 ≡ 82 ⋅ 36 ⋅ 83 ⋅ 125 mod 409
2952 ⋅ 83 ⋅ 125 mod 409 ≡ 89 ⋅ 83 ⋅ 125 mod 409
7387 ⋅ 125 mod 409 ≡ 25 ⋅ 125 mod 409
3125 mod 409 ≡ 262 mod 409

Es gilt also: 125115 ≡ 262 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89 = 1⋅51 + 38
=>51 = 1⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38)
= 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51)
= -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.