Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 + 3006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 + 3006) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 3006 mod 6) mod 6.
116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006
= 3000
Somit gilt:
(116 + 3006) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 26) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 26) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 26 mod 4) mod 4.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 26) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43732 mod 487.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4371=437
2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 65 mod 487
4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 329 mod 487
8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 127 mod 487
16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 58 mod 487
32: 43732=43716+16=43716⋅43716 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 442 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 157163 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 60 mod 367
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 297 mod 367
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 129 mod 367
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 126 mod 367
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 95 mod 367
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 217 mod 367
128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 113 mod 367
157163
= 157128+32+2+1
= 157128⋅15732⋅1572⋅1571
≡ 113 ⋅ 95 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367
≡ 10735 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367 ≡ 92 ⋅ 60 ⋅ 157 mod 367
≡ 5520 ⋅ 157 mod 367 ≡ 15 ⋅ 157 mod 367
≡ 2355 mod 367 ≡ 153 mod 367
Es gilt also: 157163 ≡ 153 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38
| =>67 | = 1⋅38 + 29 |
| =>38 | = 1⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 38-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1) |
| 29= 67-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +30⋅38
Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1
Somit 30⋅38 = 1 mod 67
30 ist also das Inverse von 38 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.