Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 - 123) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 - 123) mod 3 ≡ (1500 mod 3 - 123 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
Somit gilt:
(1500 - 123) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 47) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 47) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 47 mod 5) mod 5.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 47) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3958 mod 541.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 217 mod 541
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 22 mod 541
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 445177 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:
177 = 128+32+16+1
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 455 mod 859
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 6 mod 859
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 859
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 437 mod 859
32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 271 mod 859
64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 426 mod 859
128: 445128=44564+64=44564⋅44564 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 227 mod 859
445177
= 445128+32+16+1
= 445128⋅44532⋅44516⋅4451
≡ 227 ⋅ 271 ⋅ 437 ⋅ 445 mod 859
≡ 61517 ⋅ 437 ⋅ 445 mod 859 ≡ 528 ⋅ 437 ⋅ 445 mod 859
≡ 230736 ⋅ 445 mod 859 ≡ 524 ⋅ 445 mod 859
≡ 233180 mod 859 ≡ 391 mod 859
Es gilt also: 445177 ≡ 391 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 76
| =>83 | = 1⋅76 + 7 |
| =>76 | = 10⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 76-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(76 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅76 +10⋅ 7) = -1⋅76 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅76 +11⋅(83 -1⋅ 76)
= -1⋅76 +11⋅83 -11⋅ 76) = 11⋅83 -12⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,76)=1 = 11⋅83 -12⋅76
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -12⋅76
-12⋅76 = -11⋅83 + 1 |+83⋅76
-12⋅76 + 83⋅76 = -11⋅83 + 83⋅76 + 1
(-12 + 83) ⋅ 76 = (-11 + 76) ⋅ 83 + 1
71⋅76 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 71⋅76 = 65⋅83 +1
Somit 71⋅76 = 1 mod 83
71 ist also das Inverse von 76 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.