Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (204 + 8004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 + 8004) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 8004 mod 4) mod 4.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(204 + 8004) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 99) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 99) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 99) mod 11 ≡ (2 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17264 mod 271.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 45 mod 271

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 124 mod 271

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 200 mod 271

32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 163 mod 271

64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 11 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 570229 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 5701=570

2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 760 mod 853

4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 119 mod 853

8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 513 mod 853

16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 445 mod 853

32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 129 mod 853

64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 434 mod 853

128: 570128=57064+64=57064⋅57064 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 696 mod 853

570229

= 570128+64+32+4+1

= 570128⋅57064⋅57032⋅5704⋅5701

696 ⋅ 434 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
302064 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853 ≡ 102 ⋅ 129 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
13158 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853 ≡ 363 ⋅ 119 ⋅ 570 mod 853
43197 ⋅ 570 mod 853 ≡ 547 ⋅ 570 mod 853
311790 mod 853 ≡ 445 mod 853

Es gilt also: 570229 ≡ 445 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53 = 1⋅38 + 15
=>38 = 2⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15)
= 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38)
= -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.