Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35007 + 3502) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35007 + 3502) mod 7 ≡ (35007 mod 7 + 3502 mod 7) mod 7.
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
3502 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3502
= 3500
Somit gilt:
(35007 + 3502) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 97) mod 5 ≡ (30 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.
30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 97) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21664 mod 491.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 11 mod 491
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 491
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 402 mod 491
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 65 mod 491
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 297 mod 491
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 320 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310108 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 51 mod 691
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 528 mod 691
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 311 mod 691
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 672 mod 691
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 361 mod 691
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 413 mod 691
310108
= 31064+32+8+4
= 31064⋅31032⋅3108⋅3104
≡ 413 ⋅ 361 ⋅ 311 ⋅ 528 mod 691
≡ 149093 ⋅ 311 ⋅ 528 mod 691 ≡ 528 ⋅ 311 ⋅ 528 mod 691
≡ 164208 ⋅ 528 mod 691 ≡ 441 ⋅ 528 mod 691
≡ 232848 mod 691 ≡ 672 mod 691
Es gilt also: 310108 ≡ 672 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.