Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (694 - 2106) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(694 - 2106) mod 7 ≡ (694 mod 7 - 2106 mod 7) mod 7.

694 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 694 = 700-6 = 7 ⋅ 100 -6 = 7 ⋅ 100 - 7 + 1.

2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106 = 2100+6 = 7 ⋅ 300 +6.

Somit gilt:

(694 - 2106) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 71) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 71) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 71) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18716 mod 353.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1871=187

2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 512192 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 5121=512

2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 430 mod 823

4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 548 mod 823

8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 732 mod 823

16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 51 mod 823

32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 132 mod 823

64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 141 mod 823

128: 512128=51264+64=51264⋅51264 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 129 mod 823

512192

= 512128+64

= 512128⋅51264

129 ⋅ 141 mod 823
18189 mod 823 ≡ 83 mod 823

Es gilt also: 512192 ≡ 83 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.