Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(360 - 442) mod 9 ≡ (360 mod 9 - 442 mod 9) mod 9.

360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360 = 360+0 = 9 ⋅ 40 +0.

442 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 442 = 450-8 = 9 ⋅ 50 -8 = 9 ⋅ 50 - 9 + 1.

Somit gilt:

(360 - 442) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 42) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 42) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 470¹=470

2: 470²=470¹⁺¹=470¹⋅470¹ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 559 mod 607

4: 470⁴=470²⁺²=470²⋅470² ≡ 559⋅559=312481 ≡ 483 mod 607

8: 470⁸=470⁴⁺⁴=470⁴⋅470⁴ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 201 mod 607

16: 470¹⁶=470⁸⁺⁸=470⁸⋅470⁸ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 339 mod 607

32: 470³²=470¹⁶⁺¹⁶=470¹⁶⋅470¹⁶ ≡ 339⋅339=114921 ≡ 198 mod 607

64: 470⁶⁴=470³²⁺³²=470³²⋅470³² ≡ 198⋅198=39204 ≡ 356 mod 607

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

323¹²³

= 323^{64+32+16+8+2+1}

= 323⁶⁴⋅323³²⋅323¹⁶⋅323⁸⋅323²⋅323¹

≡ 378 ⋅ 455 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
≡ 171990 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 434 ⋅ 376 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
≡ 163184 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 540 ⋅ 197 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
≡ 106380 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557 ≡ 550 ⋅ 170 ⋅ 323 mod 557
≡ 93500 ⋅ 323 mod 557 ≡ 481 ⋅ 323 mod 557
≡ 155363 mod 557 ≡ 517 mod 557

Es gilt also: 323¹²³ ≡ 517 mod 557

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101	= 2⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101