Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 - 122) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 - 122) mod 4 ≡ (37 mod 4 - 122 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37
= 40
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(37 - 122) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 62) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 62) mod 7 ≡ (85 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.
85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 62) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198128 mod 487.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 244 mod 487
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 122 mod 487
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 274 mod 487
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 240 mod 487
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 134 mod 487
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 424 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 252208 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 255 mod 727
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 322 mod 727
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 450 mod 727
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 394 mod 727
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 385 mod 727
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 644 mod 727
128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 346 mod 727
252208
= 252128+64+16
= 252128⋅25264⋅25216
≡ 346 ⋅ 644 ⋅ 394 mod 727
≡ 222824 ⋅ 394 mod 727 ≡ 362 ⋅ 394 mod 727
≡ 142628 mod 727 ≡ 136 mod 727
Es gilt also: 252208 ≡ 136 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54
| =>73 | = 1⋅54 + 19 |
| =>54 | = 2⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 54-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1) |
| 19= 73-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54
oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅73 = +23⋅54
Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1
Somit 23⋅54 = 1 mod 73
23 ist also das Inverse von 54 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
