Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21004 + 20994) mod 7 ≡ (21004 mod 7 + 20994 mod 7) mod 7.

21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004 = 21000+4 = 7 ⋅ 3000 +4.

20994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20994 = 21000-6 = 7 ⋅ 3000 -6 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(21004 + 20994) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 42) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 42) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 482¹=482

2: 482²=482¹⁺¹=482¹⋅482¹ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 132 mod 907

4: 482⁴=482²⁺²=482²⋅482² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 191 mod 907

8: 482⁸=482⁴⁺⁴=482⁴⋅482⁴ ≡ 191⋅191=36481 ≡ 201 mod 907

16: 482¹⁶=482⁸⁺⁸=482⁸⋅482⁸ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 493 mod 907

32: 482³²=482¹⁶⁺¹⁶=482¹⁶⋅482¹⁶ ≡ 493⋅493=243049 ≡ 880 mod 907

64: 482⁶⁴=482³²⁺³²=482³²⋅482³² ≡ 880⋅880=774400 ≡ 729 mod 907

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

426¹⁵⁷

= 426^128+16+8+4+1

= 426¹²⁸⋅426¹⁶⋅426⁸⋅426⁴⋅426¹

≡ 528 ⋅ 793 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
≡ 418704 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829 ≡ 59 ⋅ 182 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
≡ 10738 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829 ≡ 790 ⋅ 651 ⋅ 426 mod 829
≡ 514290 ⋅ 426 mod 829 ≡ 310 ⋅ 426 mod 829
≡ 132060 mod 829 ≡ 249 mod 829

Es gilt also: 426¹⁵⁷ ≡ 249 mod 829

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79	= 1⋅70 + 9
=>70	= 7⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70) = 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79