Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 - 897) mod 3 ≡ (1499 mod 3 - 897 mod 3) mod 3.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 3 ⋅ 300 -3 = 3 ⋅ 300 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1499 - 897) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 40) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 40 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 40) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 101¹=101

2: 101²=101¹⁺¹=101¹⋅101¹ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 85 mod 281

4: 101⁴=101²⁺²=101²⋅101² ≡ 85⋅85=7225 ≡ 200 mod 281

8: 101⁸=101⁴⁺⁴=101⁴⋅101⁴ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281

16: 101¹⁶=101⁸⁺⁸=101⁸⋅101⁸ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

32: 101³²=101¹⁶⁺¹⁶=101¹⁶⋅101¹⁶ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281

64: 101⁶⁴=101³²⁺³²=101³²⋅101³² ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

431²²³

= 431^{128+64+16+8+4+2+1}

= 431¹²⁸⋅431⁶⁴⋅431¹⁶⋅431⁸⋅431⁴⋅431²⋅431¹

≡ 39 ⋅ 475 ⋅ 145 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757
≡ 18525 ⋅ 145 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757 ≡ 357 ⋅ 145 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757
≡ 51765 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757 ≡ 289 ⋅ 566 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757
≡ 163574 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757 ≡ 62 ⋅ 561 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757
≡ 34782 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757 ≡ 717 ⋅ 296 ⋅ 431 mod 757
≡ 212232 ⋅ 431 mod 757 ≡ 272 ⋅ 431 mod 757
≡ 117232 mod 757 ≡ 654 mod 757

Es gilt also: 431²²³ ≡ 654 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83	= 1⋅63 + 20
=>63	= 3⋅20 + 3
=>20	= 6⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20) = -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63) = 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83