Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6994 - 697) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6994 - 697) mod 7 ≡ (6994 mod 7 - 697 mod 7) mod 7.

6994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6994 = 7000-6 = 7 ⋅ 1000 -6 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 1.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

Somit gilt:

(6994 - 697) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 72) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 72) mod 7 ≡ (60 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38316 mod 653.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 383 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3831=383

2: 3832=3831+1=3831⋅3831 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 417 mod 653

4: 3834=3832+2=3832⋅3832 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 191 mod 653

8: 3838=3834+4=3834⋅3834 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 566 mod 653

16: 38316=3838+8=3838⋅3838 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 386 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 524190 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 5241=524

2: 5242=5241+1=5241⋅5241 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 565 mod 613

4: 5244=5242+2=5242⋅5242 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

8: 5248=5244+4=5244⋅5244 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613

16: 52416=5248+8=5248⋅5248 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613

32: 52432=52416+16=52416⋅52416 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613

64: 52464=52432+32=52432⋅52432 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

128: 524128=52464+64=52464⋅52464 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 427 mod 613

524190

= 524128+32+16+8+4+2

= 524128⋅52432⋅52416⋅5248⋅5244⋅5242

427 ⋅ 259 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
110593 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 253 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
135861 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 388 ⋅ 449 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
174212 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613 ≡ 120 ⋅ 465 ⋅ 565 mod 613
55800 ⋅ 565 mod 613 ≡ 17 ⋅ 565 mod 613
9605 mod 613 ≡ 410 mod 613

Es gilt also: 524190 ≡ 410 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.