Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27002 - 4496) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27002 - 4496) mod 9 ≡ (27002 mod 9 - 4496 mod 9) mod 9.
27002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27002
= 27000
4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496
= 4500
Somit gilt:
(27002 - 4496) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 84) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 84) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 84) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13164 mod 367.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 131 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 279 mod 367
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 37 mod 367
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 268 mod 367
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 259 mod 367
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 287 mod 367
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 161 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315146 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 375 mod 659
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 258 mod 659
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 5 mod 659
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 659
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 659
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 497 mod 659
128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 543 mod 659
315146
= 315128+16+2
= 315128⋅31516⋅3152
≡ 543 ⋅ 25 ⋅ 375 mod 659
≡ 13575 ⋅ 375 mod 659 ≡ 395 ⋅ 375 mod 659
≡ 148125 mod 659 ≡ 509 mod 659
Es gilt also: 315146 ≡ 509 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.