Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 - 1498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 - 1498) mod 5 ≡ (2504 mod 5 - 1498 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1400
Somit gilt:
(2504 - 1498) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 53) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 53) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36016 mod 421.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3601=360
2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 353 mod 421
4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 414 mod 421
8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 49 mod 421
16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 296 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 197230 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 1971=197
2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 56 mod 271
4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 155 mod 271
8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 177 mod 271
16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 164 mod 271
32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 67 mod 271
64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 153 mod 271
128: 197128=19764+64=19764⋅19764 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 103 mod 271
197230
= 197128+64+32+4+2
= 197128⋅19764⋅19732⋅1974⋅1972
≡ 103 ⋅ 153 ⋅ 67 ⋅ 155 ⋅ 56 mod 271
≡ 15759 ⋅ 67 ⋅ 155 ⋅ 56 mod 271 ≡ 41 ⋅ 67 ⋅ 155 ⋅ 56 mod 271
≡ 2747 ⋅ 155 ⋅ 56 mod 271 ≡ 37 ⋅ 155 ⋅ 56 mod 271
≡ 5735 ⋅ 56 mod 271 ≡ 44 ⋅ 56 mod 271
≡ 2464 mod 271 ≡ 25 mod 271
Es gilt also: 197230 ≡ 25 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.