Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23996 - 18000) mod 6 ≡ (23996 mod 6 - 18000 mod 6) mod 6.

23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 24000-4 = 6 ⋅ 4000 -4 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 2.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(23996 - 18000) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 100) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.

82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.

100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 100) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 250¹=250

2: 250²=250¹⁺¹=250¹⋅250¹ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 171 mod 397

4: 250⁴=250²⁺²=250²⋅250² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397

8: 250⁸=250⁴⁺⁴=250⁴⋅250⁴ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397

16: 250¹⁶=250⁸⁺⁸=250⁸⋅250⁸ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397

32: 250³²=250¹⁶⁺¹⁶=250¹⁶⋅250¹⁶ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 370 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

380¹⁸³

= 380^{128+32+16+4+2+1}

= 380¹²⁸⋅380³²⋅380¹⁶⋅380⁴⋅380²⋅380¹

≡ 339 ⋅ 379 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 128481 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 515 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 131840 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 352 ⋅ 4 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 1408 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587 ≡ 234 ⋅ 585 ⋅ 380 mod 587
≡ 136890 ⋅ 380 mod 587 ≡ 119 ⋅ 380 mod 587
≡ 45220 mod 587 ≡ 21 mod 587

Es gilt also: 380¹⁸³ ≡ 21 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59