Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 398) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 398) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 398 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 300
Somit gilt:
(15997 - 398) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 39) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 39) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.
38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.
39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 39) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3788 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 378 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 243 mod 587
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 349 mod 587
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 292 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 215203 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 388 mod 463
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 69 mod 463
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 131 mod 463
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 30 mod 463
32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 30⋅30=900 ≡ 437 mod 463
64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 213 mod 463
128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 458 mod 463
215203
= 215128+64+8+2+1
= 215128⋅21564⋅2158⋅2152⋅2151
≡ 458 ⋅ 213 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
≡ 97554 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463 ≡ 324 ⋅ 131 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
≡ 42444 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463 ≡ 311 ⋅ 388 ⋅ 215 mod 463
≡ 120668 ⋅ 215 mod 463 ≡ 288 ⋅ 215 mod 463
≡ 61920 mod 463 ≡ 341 mod 463
Es gilt also: 215203 ≡ 341 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.