Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 + 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 + 80) mod 4 ≡ (1600 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(1600 + 80) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 49) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 49) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 49 mod 11) mod 11.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 49) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6818 mod 937.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 681 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6811=681
2: 6812=6811+1=6811⋅6811 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 883 mod 937
4: 6814=6812+2=6812⋅6812 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 105 mod 937
8: 6818=6814+4=6814⋅6814 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 718 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 453249 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 4531=453
2: 4532=4531+1=4531⋅4531 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 493 mod 839
4: 4534=4532+2=4532⋅4532 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 578 mod 839
8: 4538=4534+4=4534⋅4534 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 162 mod 839
16: 45316=4538+8=4538⋅4538 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 235 mod 839
32: 45332=45316+16=45316⋅45316 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 690 mod 839
64: 45364=45332+32=45332⋅45332 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 387 mod 839
128: 453128=45364+64=45364⋅45364 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 427 mod 839
453249
= 453128+64+32+16+8+1
= 453128⋅45364⋅45332⋅45316⋅4538⋅4531
≡ 427 ⋅ 387 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 165249 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 805 ⋅ 690 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 555450 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 32 ⋅ 235 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 7520 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839 ≡ 808 ⋅ 162 ⋅ 453 mod 839
≡ 130896 ⋅ 453 mod 839 ≡ 12 ⋅ 453 mod 839
≡ 5436 mod 839 ≡ 402 mod 839
Es gilt also: 453249 ≡ 402 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
