Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 96) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 96) mod 5 ≡ (150 mod 5 + 96 mod 5) mod 5.
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96
= 90
Somit gilt:
(150 + 96) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 42) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 42) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 42) mod 10 ≡ (8 ⋅ 2) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1908 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 190 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1901=190
2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 24 mod 311
4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 24⋅24=576 ≡ 265 mod 311
8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 250 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 279254 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 16 mod 283
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 283
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 163 mod 283
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 250 mod 283
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 240 mod 283
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 151 mod 283
128: 279128=27964+64=27964⋅27964 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 161 mod 283
279254
= 279128+64+32+16+8+4+2
= 279128⋅27964⋅27932⋅27916⋅2798⋅2794⋅2792
≡ 161 ⋅ 151 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 24311 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 256 ⋅ 240 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 61440 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 29 ⋅ 250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 7250 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 175 ⋅ 163 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 28525 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283 ≡ 225 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 283
≡ 57600 ⋅ 16 mod 283 ≡ 151 ⋅ 16 mod 283
≡ 2416 mod 283 ≡ 152 mod 283
Es gilt also: 279254 ≡ 152 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
