Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 - 899) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 - 899) mod 3 ≡ (3003 mod 3 - 899 mod 3) mod 3.
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
Somit gilt:
(3003 - 899) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 91) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 91) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 91) mod 8 ≡ (0 ⋅ 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1568 mod 383.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 207 mod 383
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 336 mod 383
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 294 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 401164 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 400 mod 421
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 20 mod 421
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 421
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 20 mod 421
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 421
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 20 mod 421
128: 401128=40164+64=40164⋅40164 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 421
401164
= 401128+32+4
= 401128⋅40132⋅4014
≡ 400 ⋅ 400 ⋅ 20 mod 421
≡ 160000 ⋅ 20 mod 421 ≡ 20 ⋅ 20 mod 421
≡ 400 mod 421
Es gilt also: 401164 ≡ 400 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.