Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 + 799) mod 8 ≡ (8002 mod 8 + 799 mod 8) mod 8.

8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 8 ⋅ 1000 +2.

799 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 800-1 = 8 ⋅ 100 -1 = 8 ⋅ 100 - 8 + 7.

Somit gilt:

(8002 + 799) mod 8 ≡ (2 + 7) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 59) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 59 mod 11) mod 11.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 59) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 128¹=128

2: 128²=128¹⁺¹=128¹⋅128¹ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337

4: 128⁴=128²⁺²=128²⋅128² ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

8: 128⁸=128⁴⁺⁴=128⁴⋅128⁴ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337

16: 128¹⁶=128⁸⁺⁸=128⁸⋅128⁸ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

123²¹⁹

= 123^{128+64+16+8+2+1}

= 123¹²⁸⋅123⁶⁴⋅123¹⁶⋅123⁸⋅123²⋅123¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
≡ 1 ⋅ 241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
≡ 241 ⋅ 193 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
≡ 46513 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257 ≡ 253 ⋅ 223 ⋅ 123 mod 257
≡ 56419 ⋅ 123 mod 257 ≡ 136 ⋅ 123 mod 257
≡ 16728 mod 257 ≡ 23 mod 257

Es gilt also: 123²¹⁹ ≡ 23 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68

=>89	= 1⋅68 + 21
=>68	= 3⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 68-3⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21) = -4⋅68 +13⋅ 21 (=1)
21= 89-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68) = -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68) = 13⋅89 -17⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68

oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅89 = -17⋅68

-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68

-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1

(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1

72⋅68 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1

Somit 72⋅68 = 1 mod 89

72 ist also das Inverse von 68 mod 89