Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 - 897) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 - 897) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 897 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(6000 - 897) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 84) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 84) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 84) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65764 mod 719.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 657 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6571=657
2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 249 mod 719
4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 167 mod 719
8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 567 mod 719
16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 96 mod 719
32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 588 mod 719
64: 65764=65732+32=65732⋅65732 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 624 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 189133 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 8 mod 503
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 503
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 72 mod 503
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 154 mod 503
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 75 mod 503
64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 92 mod 503
128: 189128=18964+64=18964⋅18964 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 416 mod 503
189133
= 189128+4+1
= 189128⋅1894⋅1891
≡ 416 ⋅ 64 ⋅ 189 mod 503
≡ 26624 ⋅ 189 mod 503 ≡ 468 ⋅ 189 mod 503
≡ 88452 mod 503 ≡ 427 mod 503
Es gilt also: 189133 ≡ 427 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39
| =>89 | = 2⋅39 + 11 |
| =>39 | = 3⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 39-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11) = 2⋅39 -7⋅ 11 (=1) |
| 11= 89-2⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39) = -7⋅89 +16⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +16⋅39
Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1
Somit 16⋅39 = 1 mod 89
16 ist also das Inverse von 39 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.