Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40002 - 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40002 - 3200) mod 8 ≡ (40002 mod 8 - 3200 mod 8) mod 8.
40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002
= 40000
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(40002 - 3200) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 70) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 70) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 70 mod 8) mod 8.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 70) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30316 mod 599.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 162 mod 599
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 487 mod 599
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 564 mod 599
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 27 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19478 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 274 mod 479
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 352 mod 479
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 322 mod 479
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 220 mod 479
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 21 mod 479
64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 479
19478
= 19464+8+4+2
= 19464⋅1948⋅1944⋅1942
≡ 441 ⋅ 322 ⋅ 352 ⋅ 274 mod 479
≡ 142002 ⋅ 352 ⋅ 274 mod 479 ≡ 218 ⋅ 352 ⋅ 274 mod 479
≡ 76736 ⋅ 274 mod 479 ≡ 96 ⋅ 274 mod 479
≡ 26304 mod 479 ≡ 438 mod 479
Es gilt also: 19478 ≡ 438 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.