Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 + 12000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 + 12000) mod 6 ≡ (57 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(57 + 12000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 31) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 31) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 31 mod 11) mod 11.
18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 31) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70864 mod 829.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 708 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7081=708
2: 7082=7081+1=7081⋅7081 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 548 mod 829
4: 7084=7082+2=7082⋅7082 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 206 mod 829
8: 7088=7084+4=7084⋅7084 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 157 mod 829
16: 70816=7088+8=7088⋅7088 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 608 mod 829
32: 70832=70816+16=70816⋅70816 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 759 mod 829
64: 70864=70832+32=70832⋅70832 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 755 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 744108 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 7441=744
2: 7442=7441+1=7441⋅7441 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 559 mod 911
4: 7444=7442+2=7442⋅7442 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 8 mod 911
8: 7448=7444+4=7444⋅7444 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 911
16: 74416=7448+8=7448⋅7448 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 452 mod 911
32: 74432=74416+16=74416⋅74416 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 240 mod 911
64: 74464=74432+32=74432⋅74432 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 207 mod 911
744108
= 74464+32+8+4
= 74464⋅74432⋅7448⋅7444
≡ 207 ⋅ 240 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911
≡ 49680 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911 ≡ 486 ⋅ 64 ⋅ 8 mod 911
≡ 31104 ⋅ 8 mod 911 ≡ 130 ⋅ 8 mod 911
≡ 1040 mod 911 ≡ 129 mod 911
Es gilt also: 744108 ≡ 129 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
