Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 397) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 397) mod 4 ≡ (1199 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
Somit gilt:
(1199 - 397) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 93) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 93) mod 9 ≡ (77 mod 9 ⋅ 93 mod 9) mod 9.
77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 93) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32264 mod 503.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 66 mod 503
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 332 mod 503
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 67 mod 503
16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 465 mod 503
32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 438 mod 503
64: 32264=32232+32=32232⋅32232 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 201 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 363120 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 439 mod 571
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 294 mod 571
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 215 mod 571
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 545 mod 571
32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 105 mod 571
64: 36364=36332+32=36332⋅36332 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 176 mod 571
363120
= 36364+32+16+8
= 36364⋅36332⋅36316⋅3638
≡ 176 ⋅ 105 ⋅ 545 ⋅ 215 mod 571
≡ 18480 ⋅ 545 ⋅ 215 mod 571 ≡ 208 ⋅ 545 ⋅ 215 mod 571
≡ 113360 ⋅ 215 mod 571 ≡ 302 ⋅ 215 mod 571
≡ 64930 mod 571 ≡ 407 mod 571
Es gilt also: 363120 ≡ 407 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.