Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(168 - 167) mod 8 ≡ (168 mod 8 - 167 mod 8) mod 8.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167 = 160+7 = 8 ⋅ 20 +7.

Somit gilt:

(168 - 167) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 66) mod 4 ≡ (56 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 66) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 643¹=643

2: 643²=643¹⁺¹=643¹⋅643¹ ≡ 643⋅643=413449 ≡ 486 mod 821

4: 643⁴=643²⁺²=643²⋅643² ≡ 486⋅486=236196 ≡ 569 mod 821

8: 643⁸=643⁴⁺⁴=643⁴⋅643⁴ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 287 mod 821

16: 643¹⁶=643⁸⁺⁸=643⁸⋅643⁸ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 269 mod 821

32: 643³²=643¹⁶⁺¹⁶=643¹⁶⋅643¹⁶ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 113 mod 821

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

241²⁴⁵

= 241^{128+64+32+16+4+1}

= 241¹²⁸⋅241⁶⁴⋅241³²⋅241¹⁶⋅241⁴⋅241¹

≡ 122 ⋅ 38 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 4636 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 9 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 3600 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 295 ⋅ 20 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 5900 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661 ≡ 612 ⋅ 298 ⋅ 241 mod 661
≡ 182376 ⋅ 241 mod 661 ≡ 601 ⋅ 241 mod 661
≡ 144841 mod 661 ≡ 82 mod 661

Es gilt also: 241²⁴⁵ ≡ 82 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54

=>61	= 1⋅54 + 7
=>54	= 7⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 54-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1)
7= 61-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54) = 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +26⋅54

Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1

Somit 26⋅54 = 1 mod 61

26 ist also das Inverse von 54 mod 61