Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2795 + 700) mod 7 ≡ (2795 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(2795 + 700) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 23) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 23) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 278¹=278

2: 278²=278¹⁺¹=278¹⋅278¹ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 195 mod 607

4: 278⁴=278²⁺²=278²⋅278² ≡ 195⋅195=38025 ≡ 391 mod 607

8: 278⁸=278⁴⁺⁴=278⁴⋅278⁴ ≡ 391⋅391=152881 ≡ 524 mod 607

16: 278¹⁶=278⁸⁺⁸=278⁸⋅278⁸ ≡ 524⋅524=274576 ≡ 212 mod 607

32: 278³²=278¹⁶⁺¹⁶=278¹⁶⋅278¹⁶ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 26 mod 607

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

374²³⁰

= 374^{128+64+32+4+2}

= 374¹²⁸⋅374⁶⁴⋅374³²⋅374⁴⋅374²

≡ 330 ⋅ 617 ⋅ 163 ⋅ 665 ⋅ 384 mod 811
≡ 203610 ⋅ 163 ⋅ 665 ⋅ 384 mod 811 ≡ 49 ⋅ 163 ⋅ 665 ⋅ 384 mod 811
≡ 7987 ⋅ 665 ⋅ 384 mod 811 ≡ 688 ⋅ 665 ⋅ 384 mod 811
≡ 457520 ⋅ 384 mod 811 ≡ 116 ⋅ 384 mod 811
≡ 44544 mod 811 ≡ 750 mod 811

Es gilt also: 374²³⁰ ≡ 750 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71	= 1⋅58 + 13
=>58	= 4⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58) = -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71