Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (212 + 700) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(212 + 700) mod 7 ≡ (212 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.

212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212 = 210+2 = 7 ⋅ 30 +2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(212 + 700) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 54) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 54) mod 4 ≡ (46 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 54) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48316 mod 631.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 483 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4831=483

2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 450 mod 631

4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 580 mod 631

8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 77 mod 631

16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 250 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 472223 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 4721=472

2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 311 mod 587

4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 453 mod 587

8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 346 mod 587

16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 555 mod 587

32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 437 mod 587

64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 194 mod 587

128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 68 mod 587

472223

= 472128+64+16+8+4+2+1

= 472128⋅47264⋅47216⋅4728⋅4724⋅4722⋅4721

68 ⋅ 194 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
13192 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 278 ⋅ 555 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
154290 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 496 ⋅ 346 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
171616 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 212 ⋅ 453 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
96036 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587 ≡ 355 ⋅ 311 ⋅ 472 mod 587
110405 ⋅ 472 mod 587 ≡ 49 ⋅ 472 mod 587
23128 mod 587 ≡ 235 mod 587

Es gilt also: 472223 ≡ 235 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53 = 1⋅29 + 24
=>29 = 1⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24)
= 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29)
= -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.