Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1404 - 203) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1404 - 203) mod 7 ≡ (1404 mod 7 - 203 mod 7) mod 7.
1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404
= 1400
203 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 210
Somit gilt:
(1404 - 203) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 17) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 17) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66232 mod 701.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 662 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6621=662
2: 6622=6621+1=6621⋅6621 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 119 mod 701
4: 6624=6622+2=6622⋅6622 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 141 mod 701
8: 6628=6624+4=6624⋅6624 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 253 mod 701
16: 66216=6628+8=6628⋅6628 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 218 mod 701
32: 66232=66216+16=66216⋅66216 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 557 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 415212 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 82 mod 617
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 554 mod 617
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 267 mod 617
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 334 mod 617
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 496 mod 617
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 450 mod 617
128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 124 mod 617
415212
= 415128+64+16+4
= 415128⋅41564⋅41516⋅4154
≡ 124 ⋅ 450 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617
≡ 55800 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617 ≡ 270 ⋅ 334 ⋅ 554 mod 617
≡ 90180 ⋅ 554 mod 617 ≡ 98 ⋅ 554 mod 617
≡ 54292 mod 617 ≡ 613 mod 617
Es gilt also: 415212 ≡ 613 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.