Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3204 + 323) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3204 + 323) mod 8 ≡ (3204 mod 8 + 323 mod 8) mod 8.
3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204
= 3200
323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323
= 320
Somit gilt:
(3204 + 323) mod 8 ≡ (4 + 3) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 78) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 78) mod 4 ≡ (61 mod 4 ⋅ 78 mod 4) mod 4.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 78) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44516 mod 457.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 144 mod 457
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 171 mod 457
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 450 mod 457
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216223 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 119 mod 269
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 70 mod 269
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 58 mod 269
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 136 mod 269
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 204 mod 269
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 190 mod 269
216223
= 216128+64+16+8+4+2+1
= 216128⋅21664⋅21616⋅2168⋅2164⋅2162⋅2161
≡ 190 ⋅ 204 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269
≡ 38760 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269 ≡ 24 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269
≡ 1392 ⋅ 70 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269 ≡ 47 ⋅ 70 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269
≡ 3290 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269 ≡ 62 ⋅ 173 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269
≡ 10726 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269 ≡ 235 ⋅ 119 ⋅ 216 mod 269
≡ 27965 ⋅ 216 mod 269 ≡ 258 ⋅ 216 mod 269
≡ 55728 mod 269 ≡ 45 mod 269
Es gilt also: 216223 ≡ 45 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 47
| =>89 | = 1⋅47 + 42 |
| =>47 | = 1⋅42 + 5 |
| =>42 | = 8⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 42-8⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5) = -2⋅42 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +17⋅(47 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅47 -17⋅ 42) = 17⋅47 -19⋅ 42 (=1) |
| 42= 89-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 17⋅47 -19⋅(89 -1⋅ 47)
= 17⋅47 -19⋅89 +19⋅ 47) = -19⋅89 +36⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,47)=1 = -19⋅89 +36⋅47
oder wenn man -19⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅89 = +36⋅47
Es gilt also: 36⋅47 = 19⋅89 +1
Somit 36⋅47 = 1 mod 89
36 ist also das Inverse von 47 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
