Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (242 + 11995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(242 + 11995) mod 6 ≡ (242 mod 6 + 11995 mod 6) mod 6.
242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242
= 240
11995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11995
= 12000
Somit gilt:
(242 + 11995) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 98) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 98) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 98) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4198 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 419 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4191=419
2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 325 mod 859
4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 827 mod 859
8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 165 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 257165 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 147 mod 397
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 370 mod 397
128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 332 mod 397
257165
= 257128+32+4+1
= 257128⋅25732⋅2574⋅2571
≡ 332 ⋅ 190 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397
≡ 63080 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397 ≡ 354 ⋅ 171 ⋅ 257 mod 397
≡ 60534 ⋅ 257 mod 397 ≡ 190 ⋅ 257 mod 397
≡ 48830 mod 397 ≡ 396 mod 397
Es gilt also: 257165 ≡ 396 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83
| =>89 | = 1⋅83 + 6 |
| =>83 | = 13⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 83-13⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1) |
| 6= 89-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83
oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅89 = -15⋅83
-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83
-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1
(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1
74⋅83 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1
Somit 74⋅83 = 1 mod 89
74 ist also das Inverse von 83 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.