Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 - 1602) mod 4 ≡ (39 mod 4 - 1602 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(39 - 1602) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 72) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 72) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 212¹=212

2: 212²=212¹⁺¹=212¹⋅212¹ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 41 mod 541

4: 212⁴=212²⁺²=212²⋅212² ≡ 41⋅41=1681 ≡ 58 mod 541

8: 212⁸=212⁴⁺⁴=212⁴⋅212⁴ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541

16: 212¹⁶=212⁸⁺⁸=212⁸⋅212⁸ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541

32: 212³²=212¹⁶⁺¹⁶=212¹⁶⋅212¹⁶ ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

227²⁴²

= 227^{128+64+32+16+2}

= 227¹²⁸⋅227⁶⁴⋅227³²⋅227¹⁶⋅227²

≡ 115 ⋅ 169 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
≡ 19435 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431 ≡ 40 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
≡ 16720 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431 ≡ 342 ⋅ 121 ⋅ 240 mod 431
≡ 41382 ⋅ 240 mod 431 ≡ 6 ⋅ 240 mod 431
≡ 1440 mod 431 ≡ 147 mod 431

Es gilt also: 227²⁴² ≡ 147 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53	= 1⋅28 + 25
=>28	= 1⋅25 + 3
=>25	= 8⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25) = 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28) = -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53