Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20000 - 1000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 - 1000) mod 5 ≡ (20000 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(20000 - 1000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 83) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 83) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 83) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57116 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 571 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5711=571

2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 134 mod 1009

4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 803 mod 1009

8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 58 mod 1009

16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 337 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20283 mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:

83 = 64+16+2+1

1: 2021=202

2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 91 mod 331

4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 6 mod 331

8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 331

16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 303 mod 331

32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 122 mod 331

64: 20264=20232+32=20232⋅20232 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 320 mod 331

20283

= 20264+16+2+1

= 20264⋅20216⋅2022⋅2021

320 ⋅ 303 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331
96960 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331 ≡ 308 ⋅ 91 ⋅ 202 mod 331
28028 ⋅ 202 mod 331 ≡ 224 ⋅ 202 mod 331
45248 mod 331 ≡ 232 mod 331

Es gilt also: 20283 ≡ 232 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44

=>97 = 2⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 97-2⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44)
= 5⋅97 -11⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44

oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅97 = -11⋅44

-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44

-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1

(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1

86⋅44 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1

Somit 86⋅44 = 1 mod 97

86 ist also das Inverse von 44 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.