Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11997 + 30002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11997 + 30002) mod 6 ≡ (11997 mod 6 + 30002 mod 6) mod 6.
11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002
= 30000
Somit gilt:
(11997 + 30002) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 56) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 56) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 56 mod 7) mod 7.
48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 56) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 283128 mod 593.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 283 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2831=283
2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 34 mod 593
4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 563 mod 593
8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 307 mod 593
16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 555 mod 593
32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593
64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593
128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 556 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 301158 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 220 mod 641
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 325 mod 641
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 501 mod 641
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 370 mod 641
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 367 mod 641
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 79 mod 641
128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641
301158
= 301128+16+8+4+2
= 301128⋅30116⋅3018⋅3014⋅3012
≡ 472 ⋅ 370 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 174640 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641 ≡ 288 ⋅ 501 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 144288 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641 ≡ 63 ⋅ 325 ⋅ 220 mod 641
≡ 20475 ⋅ 220 mod 641 ≡ 604 ⋅ 220 mod 641
≡ 132880 mod 641 ≡ 193 mod 641
Es gilt also: 301158 ≡ 193 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
