Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27997 + 13998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27997 + 13998) mod 7 ≡ (27997 mod 7 + 13998 mod 7) mod 7.

27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997 = 28000-3 = 7 ⋅ 4000 -3 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 4.

13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998 = 14000-2 = 7 ⋅ 2000 -2 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(27997 + 13998) mod 7 ≡ (4 + 5) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 20) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 20) mod 7 ≡ (97 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 20) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1708 mod 227.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1701=170

2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 71 mod 227

4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 47 mod 227

8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 166 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 366199 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 3661=366

2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 278 mod 751

4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 682 mod 751

8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 255 mod 751

16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 439 mod 751

32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751

64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751

128: 366128=36664+64=36664⋅36664 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 214 mod 751

366199

= 366128+64+4+2+1

= 366128⋅36664⋅3664⋅3662⋅3661

214 ⋅ 688 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
147232 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751 ≡ 36 ⋅ 682 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
24552 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751 ≡ 520 ⋅ 278 ⋅ 366 mod 751
144560 ⋅ 366 mod 751 ≡ 368 ⋅ 366 mod 751
134688 mod 751 ≡ 259 mod 751

Es gilt also: 366199 ≡ 259 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55

=>59 = 1⋅55 + 4
=>55 = 13⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 55-13⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4)
= -1⋅55 +14⋅ 4 (=1)
4= 59-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55)
= 14⋅59 -15⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55

oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅59 = -15⋅55

-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55

-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1

(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1

44⋅55 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1

Somit 44⋅55 = 1 mod 59

44 ist also das Inverse von 55 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.