Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 898) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 898 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1201 + 898) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 96) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 165¹=165

2: 165²=165¹⁺¹=165¹⋅165¹ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 422 mod 547

4: 165⁴=165²⁺²=165²⋅165² ≡ 422⋅422=178084 ≡ 309 mod 547

8: 165⁸=165⁴⁺⁴=165⁴⋅165⁴ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 303 mod 547

16: 165¹⁶=165⁸⁺⁸=165⁸⋅165⁸ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 460 mod 547

32: 165³²=165¹⁶⁺¹⁶=165¹⁶⋅165¹⁶ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 458 mod 547

64: 165⁶⁴=165³²⁺³²=165³²⋅165³² ≡ 458⋅458=209764 ≡ 263 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

477²²⁸

= 477^128+64+32+4

= 477¹²⁸⋅477⁶⁴⋅477³²⋅477⁴

≡ 409 ⋅ 688 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769
≡ 281392 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769 ≡ 707 ⋅ 211 ⋅ 566 mod 769
≡ 149177 ⋅ 566 mod 769 ≡ 760 ⋅ 566 mod 769
≡ 430160 mod 769 ≡ 289 mod 769

Es gilt also: 477²²⁸ ≡ 289 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45

=>59	= 1⋅45 + 14
=>45	= 3⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 45-3⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14) = 5⋅45 -16⋅ 14 (=1)
14= 59-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45) = 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45) = -16⋅59 +21⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +21⋅45

Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1

Somit 21⋅45 = 1 mod 59

21 ist also das Inverse von 45 mod 59