Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 - 11997) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 11997 mod 3) mod 3.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(601 - 11997) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 94) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 94) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 369¹=369

2: 369²=369¹⁺¹=369¹⋅369¹ ≡ 369⋅369=136161 ≡ 433 mod 499

4: 369⁴=369²⁺²=369²⋅369² ≡ 433⋅433=187489 ≡ 364 mod 499

8: 369⁸=369⁴⁺⁴=369⁴⋅369⁴ ≡ 364⋅364=132496 ≡ 261 mod 499

16: 369¹⁶=369⁸⁺⁸=369⁸⋅369⁸ ≡ 261⋅261=68121 ≡ 257 mod 499

32: 369³²=369¹⁶⁺¹⁶=369¹⁶⋅369¹⁶ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 181 mod 499

64: 369⁶⁴=369³²⁺³²=369³²⋅369³² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 326 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

763²³⁹

= 763^{128+64+32+8+4+2+1}

= 763¹²⁸⋅763⁶⁴⋅763³²⋅763⁸⋅763⁴⋅763²⋅763¹

≡ 511 ⋅ 116 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 59276 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 592 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 69856 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 816 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 74256 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 38 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 28044 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 428 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 216996 ⋅ 763 mod 863 ≡ 383 ⋅ 763 mod 863
≡ 292229 mod 863 ≡ 535 mod 863

Es gilt also: 763²³⁹ ≡ 535 mod 863

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101	= 2⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101