Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 14999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 14999) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 14999 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
Somit gilt:
(1500 + 14999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 21) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 21) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31664 mod 359.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 316 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 54 mod 359
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 44 mod 359
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 141 mod 359
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 136 mod 359
32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 187 mod 359
64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 146 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 331227 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 3311=331
2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 449 mod 593
4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 574 mod 593
8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 361 mod 593
16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 454 mod 593
32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 345 mod 593
64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 425 mod 593
128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 353 mod 593
331227
= 331128+64+32+2+1
= 331128⋅33164⋅33132⋅3312⋅3311
≡ 353 ⋅ 425 ⋅ 345 ⋅ 449 ⋅ 331 mod 593
≡ 150025 ⋅ 345 ⋅ 449 ⋅ 331 mod 593 ≡ 589 ⋅ 345 ⋅ 449 ⋅ 331 mod 593
≡ 203205 ⋅ 449 ⋅ 331 mod 593 ≡ 399 ⋅ 449 ⋅ 331 mod 593
≡ 179151 ⋅ 331 mod 593 ≡ 65 ⋅ 331 mod 593
≡ 21515 mod 593 ≡ 167 mod 593
Es gilt also: 331227 ≡ 167 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88
| =>97 | = 1⋅88 + 9 |
| =>88 | = 9⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 88-9⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +43⋅88
Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1
Somit 43⋅88 = 1 mod 97
43 ist also das Inverse von 88 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
