Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45002 + 2694) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45002 + 2694) mod 9 ≡ (45002 mod 9 + 2694 mod 9) mod 9.

45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002 = 45000+2 = 9 ⋅ 5000 +2.

2694 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2694 = 2700-6 = 9 ⋅ 300 -6 = 9 ⋅ 300 - 9 + 3.

Somit gilt:

(45002 + 2694) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 82) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 82) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 82) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 320128 mod 463.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 320 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 77 mod 463

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 373 mod 463

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 229 mod 463

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 122 mod 463

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 68 mod 463

64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 457 mod 463

128: 320128=32064+64=32064⋅32064 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 36 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 264242 mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 2641=264

2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 78 mod 283

4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 141 mod 283

8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 71 mod 283

16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 230 mod 283

32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 262 mod 283

64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 158 mod 283

128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 60 mod 283

264242

= 264128+64+32+16+2

= 264128⋅26464⋅26432⋅26416⋅2642

60 ⋅ 158 ⋅ 262 ⋅ 230 ⋅ 78 mod 283
9480 ⋅ 262 ⋅ 230 ⋅ 78 mod 283 ≡ 141 ⋅ 262 ⋅ 230 ⋅ 78 mod 283
36942 ⋅ 230 ⋅ 78 mod 283 ≡ 152 ⋅ 230 ⋅ 78 mod 283
34960 ⋅ 78 mod 283 ≡ 151 ⋅ 78 mod 283
11778 mod 283 ≡ 175 mod 283

Es gilt also: 264242 ≡ 175 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.