Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (793 + 2400) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(793 + 2400) mod 8 ≡ (793 mod 8 + 2400 mod 8) mod 8.
793 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 793
= 800
2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
Somit gilt:
(793 + 2400) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 45) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 45) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 45 mod 8) mod 8.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.
45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 45) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 461128 mod 487.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 189 mod 487
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 170 mod 487
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 167 mod 487
16: 46116=4618+8=4618⋅4618 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 130 mod 487
32: 46132=46116+16=46116⋅46116 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 342 mod 487
64: 46164=46132+32=46132⋅46132 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 84 mod 487
128: 461128=46164+64=46164⋅46164 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 238 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 128201 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 1281=128
2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 345 mod 373
4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 38 mod 373
8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 325 mod 373
16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 66 mod 373
32: 12832=12816+16=12816⋅12816 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 253 mod 373
64: 12864=12832+32=12832⋅12832 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 226 mod 373
128: 128128=12864+64=12864⋅12864 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 348 mod 373
128201
= 128128+64+8+1
= 128128⋅12864⋅1288⋅1281
≡ 348 ⋅ 226 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373
≡ 78648 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373 ≡ 318 ⋅ 325 ⋅ 128 mod 373
≡ 103350 ⋅ 128 mod 373 ≡ 29 ⋅ 128 mod 373
≡ 3712 mod 373 ≡ 355 mod 373
Es gilt also: 128201 ≡ 355 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
