Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1597 - 7993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1597 - 7993) mod 8 ≡ (1597 mod 8 - 7993 mod 8) mod 8.
1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1600
7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993
= 7000
Somit gilt:
(1597 - 7993) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 62) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 62) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2188 mod 227.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 81 mod 227
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 205 mod 227
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 30 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32865 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 429 mod 739
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 30 mod 739
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 30⋅30=900 ≡ 161 mod 739
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 56 mod 739
32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 180 mod 739
64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 623 mod 739
32865
= 32864+1
= 32864⋅3281
≡ 623 ⋅ 328 mod 739
≡ 204344 mod 739 ≡ 380 mod 739
Es gilt also: 32865 ≡ 380 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.