Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 + 49) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 + 49) mod 5 ≡ (15000 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49
= 40
Somit gilt:
(15000 + 49) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 60) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 60) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1078 mod 281.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 107 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 209 mod 281
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 126 mod 281
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 140 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 793127 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 7931=793
2: 7932=7931+1=7931⋅7931 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 329 mod 827
4: 7934=7932+2=7932⋅7932 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 731 mod 827
8: 7938=7934+4=7934⋅7934 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 119 mod 827
16: 79316=7938+8=7938⋅7938 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 102 mod 827
32: 79332=79316+16=79316⋅79316 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 480 mod 827
64: 79364=79332+32=79332⋅79332 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 494 mod 827
793127
= 79364+32+16+8+4+2+1
= 79364⋅79332⋅79316⋅7938⋅7934⋅7932⋅7931
≡ 494 ⋅ 480 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 237120 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 598 ⋅ 102 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 60996 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 625 ⋅ 119 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 74375 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 772 ⋅ 731 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 564332 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827 ≡ 318 ⋅ 329 ⋅ 793 mod 827
≡ 104622 ⋅ 793 mod 827 ≡ 420 ⋅ 793 mod 827
≡ 333060 mod 827 ≡ 606 mod 827
Es gilt also: 793127 ≡ 606 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
