Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 4000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 4000) mod 4 ≡ (120 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(120 + 4000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 97) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 97) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 97 mod 6) mod 6.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 97) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18232 mod 277.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 161 mod 277
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 160 mod 277
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 160 mod 277
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 116 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 154145 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 140 mod 421
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 234 mod 421
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 26 mod 421
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 26⋅26=676 ≡ 255 mod 421
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 191 mod 421
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 275 mod 421
128: 154128=15464+64=15464⋅15464 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 266 mod 421
154145
= 154128+16+1
= 154128⋅15416⋅1541
≡ 266 ⋅ 255 ⋅ 154 mod 421
≡ 67830 ⋅ 154 mod 421 ≡ 49 ⋅ 154 mod 421
≡ 7546 mod 421 ≡ 389 mod 421
Es gilt also: 154145 ≡ 389 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.