Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12001 + 18003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12001 + 18003) mod 6 ≡ (12001 mod 6 + 18003 mod 6) mod 6.
12001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
18003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
Somit gilt:
(12001 + 18003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 75) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 75) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1148 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 114 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1141=114
2: 1142=1141+1=1141⋅1141 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 110 mod 379
4: 1144=1142+2=1142⋅1142 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 351 mod 379
8: 1148=1144+4=1144⋅1144 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 26 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51280 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 109 mod 647
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 235 mod 647
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 230 mod 647
16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 493 mod 647
32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 424 mod 647
64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 557 mod 647
51280
= 51264+16
= 51264⋅51216
≡ 557 ⋅ 493 mod 647
≡ 274601 mod 647 ≡ 273 mod 647
Es gilt also: 51280 ≡ 273 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.