Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(274 - 2796) mod 7 ≡ (274 mod 7 - 2796 mod 7) mod 7.

274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 280-6 = 7 ⋅ 40 -6 = 7 ⋅ 40 - 7 + 1.

2796 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2796 = 2800-4 = 7 ⋅ 400 -4 = 7 ⋅ 400 - 7 + 3.

Somit gilt:

(274 - 2796) mod 7 ≡ (1 - 3) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 37) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 37 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 37) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 204¹=204

2: 204²=204¹⁺¹=204¹⋅204¹ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 350 mod 439

4: 204⁴=204²⁺²=204²⋅204² ≡ 350⋅350=122500 ≡ 19 mod 439

8: 204⁸=204⁴⁺⁴=204⁴⋅204⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 439

16: 204¹⁶=204⁸⁺⁸=204⁸⋅204⁸ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 377 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

195²²²

= 195^{128+64+16+8+4+2}

= 195¹²⁸⋅195⁶⁴⋅195¹⁶⋅195⁸⋅195⁴⋅195²

≡ 54 ⋅ 190 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
≡ 10260 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 38 ⋅ 136 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
≡ 5168 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 57 ⋅ 58 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
≡ 3306 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269 ≡ 78 ⋅ 70 ⋅ 96 mod 269
≡ 5460 ⋅ 96 mod 269 ≡ 80 ⋅ 96 mod 269
≡ 7680 mod 269 ≡ 148 mod 269

Es gilt also: 195²²² ≡ 148 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71	= 2⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71