Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1398 + 13998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1398 + 13998) mod 7 ≡ (1398 mod 7 + 13998 mod 7) mod 7.

1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398 = 1400-2 = 7 ⋅ 200 -2 = 7 ⋅ 200 - 7 + 5.

13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998 = 14000-2 = 7 ⋅ 2000 -2 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(1398 + 13998) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 62) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 62) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 62) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21816 mod 601.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2181=218

2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 45 mod 601

4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 222 mod 601

8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 2 mod 601

16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192227 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 50 mod 233

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 170 mod 233

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 8 mod 233

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233

192227

= 192128+64+32+2+1

= 192128⋅19264⋅19232⋅1922⋅1921

38 ⋅ 51 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
1938 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233 ≡ 74 ⋅ 135 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
9990 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233 ≡ 204 ⋅ 50 ⋅ 192 mod 233
10200 ⋅ 192 mod 233 ≡ 181 ⋅ 192 mod 233
34752 mod 233 ≡ 35 mod 233

Es gilt also: 192227 ≡ 35 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75

=>97 = 1⋅75 + 22
=>75 = 3⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 75-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22)
= 5⋅75 -17⋅ 22 (=1)
22= 97-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75)
= -17⋅97 +22⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +22⋅75

Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1

Somit 22⋅75 = 1 mod 97

22 ist also das Inverse von 75 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.