Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5001 - 1000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5001 - 1000) mod 5 ≡ (5001 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(5001 - 1000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 93) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 93) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 93 mod 4) mod 4.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 93) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 309128 mod 859.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3091=309

2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 132 mod 859

4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 244 mod 859

8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 265 mod 859

16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 646 mod 859

32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 701 mod 859

64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 53 mod 859

128: 309128=30964+64=30964⋅30964 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 232 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 700229 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 7001=700

2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 818 mod 883

4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 693 mod 883

8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 780 mod 883

16: 70016=7008+8=7008⋅7008 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 13 mod 883

32: 70032=70016+16=70016⋅70016 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 883

64: 70064=70032+32=70032⋅70032 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 305 mod 883

128: 700128=70064+64=70064⋅70064 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 310 mod 883

700229

= 700128+64+32+4+1

= 700128⋅70064⋅70032⋅7004⋅7001

310 ⋅ 305 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
94550 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883 ≡ 69 ⋅ 169 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
11661 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883 ≡ 182 ⋅ 693 ⋅ 700 mod 883
126126 ⋅ 700 mod 883 ≡ 740 ⋅ 700 mod 883
518000 mod 883 ≡ 562 mod 883

Es gilt also: 700229 ≡ 562 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61 = 1⋅42 + 19
=>42 = 2⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19)
= 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42)
= -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.