Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1796 + 1199) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1796 + 1199) mod 6 ≡ (1796 mod 6 + 1199 mod 6) mod 6.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 6 ⋅ 200 -1 = 6 ⋅ 200 - 6 + 5.

Somit gilt:

(1796 + 1199) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 76) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 76) mod 5 ≡ (19 mod 5 ⋅ 76 mod 5) mod 5.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 76) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 639128 mod 773.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 639 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6391=639

2: 6392=6391+1=6391⋅6391 ≡ 639⋅639=408321 ≡ 177 mod 773

4: 6394=6392+2=6392⋅6392 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 409 mod 773

8: 6398=6394+4=6394⋅6394 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 313 mod 773

16: 63916=6398+8=6398⋅6398 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 571 mod 773

32: 63932=63916+16=63916⋅63916 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 608 mod 773

64: 63964=63932+32=63932⋅63932 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 170 mod 773

128: 639128=63964+64=63964⋅63964 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 299 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 872197 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:

197 = 128+64+4+1

1: 8721=872

2: 8722=8721+1=8721⋅8721 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 322 mod 967

4: 8724=8722+2=8722⋅8722 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 215 mod 967

8: 8728=8724+4=8724⋅8724 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 776 mod 967

16: 87216=8728+8=8728⋅8728 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 702 mod 967

32: 87232=87216+16=87216⋅87216 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 601 mod 967

64: 87264=87232+32=87232⋅87232 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 510 mod 967

128: 872128=87264+64=87264⋅87264 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 944 mod 967

872197

= 872128+64+4+1

= 872128⋅87264⋅8724⋅8721

944 ⋅ 510 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967
481440 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967 ≡ 841 ⋅ 215 ⋅ 872 mod 967
180815 ⋅ 872 mod 967 ≡ 953 ⋅ 872 mod 967
831016 mod 967 ≡ 363 mod 967

Es gilt also: 872197 ≡ 363 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53

=>97 = 1⋅53 + 44
=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)
44= 97-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53)
= -6⋅97 +11⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53

oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅97 = +11⋅53

Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1

Somit 11⋅53 = 1 mod 97

11 ist also das Inverse von 53 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.