Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8008 - 3999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8008 - 3999) mod 8 ≡ (8008 mod 8 - 3999 mod 8) mod 8.
8008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8008
= 8000
3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 4000
Somit gilt:
(8008 - 3999) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 89) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 89) mod 8 ≡ (47 mod 8 ⋅ 89 mod 8) mod 8.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
89 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 11 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 89) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30332 mod 797.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 246 mod 797
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 741 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237205 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 154 mod 659
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 651 mod 659
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 64 mod 659
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 142 mod 659
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 394 mod 659
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 371 mod 659
128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 569 mod 659
237205
= 237128+64+8+4+1
= 237128⋅23764⋅2378⋅2374⋅2371
≡ 569 ⋅ 371 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 237 mod 659
≡ 211099 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 237 mod 659 ≡ 219 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 237 mod 659
≡ 14016 ⋅ 651 ⋅ 237 mod 659 ≡ 177 ⋅ 651 ⋅ 237 mod 659
≡ 115227 ⋅ 237 mod 659 ≡ 561 ⋅ 237 mod 659
≡ 132957 mod 659 ≡ 498 mod 659
Es gilt also: 237205 ≡ 498 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23
| =>61 | = 2⋅23 + 15 |
| =>23 | = 1⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 23-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1) |
| 15= 61-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23
oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅61 = +8⋅23
Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1
Somit 8⋅23 = 1 mod 61
8 ist also das Inverse von 23 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.