Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44994 - 354) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44994 - 354) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 354 mod 9) mod 9.
44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994
= 45000
354 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354
= 360
Somit gilt:
(44994 - 354) mod 9 ≡ (3 - 3) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 74) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 74) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 74) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17616 mod 577.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 395 mod 577
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 235 mod 577
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 410 mod 577
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 193 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 234230 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 132 mod 569
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 354 mod 569
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 136 mod 569
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 288 mod 569
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 399 mod 569
128: 234128=23464+64=23464⋅23464 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 450 mod 569
234230
= 234128+64+32+4+2
= 234128⋅23464⋅23432⋅2344⋅2342
≡ 450 ⋅ 399 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 179550 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569 ≡ 315 ⋅ 439 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 138285 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569 ≡ 18 ⋅ 354 ⋅ 132 mod 569
≡ 6372 ⋅ 132 mod 569 ≡ 113 ⋅ 132 mod 569
≡ 14916 mod 569 ≡ 122 mod 569
Es gilt also: 234230 ≡ 122 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41
| =>79 | = 1⋅41 + 38 |
| =>41 | = 1⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 41-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1) |
| 38= 79-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41
oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅79 = +27⋅41
Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1
Somit 27⋅41 = 1 mod 79
27 ist also das Inverse von 41 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
