Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 + 302) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 + 302) mod 3 ≡ (9002 mod 3 + 302 mod 3) mod 3.
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
Somit gilt:
(9002 + 302) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 83) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 83) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 83) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46116 mod 691.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 384 mod 691
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 273 mod 691
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 592 mod 691
16: 46116=4618+8=4618⋅4618 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 127 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 421204 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 4211=421
2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 382 mod 457
4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 141 mod 457
8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 230 mod 457
16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 345 mod 457
32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 205 mod 457
64: 42164=42132+32=42132⋅42132 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 438 mod 457
128: 421128=42164+64=42164⋅42164 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 361 mod 457
421204
= 421128+64+8+4
= 421128⋅42164⋅4218⋅4214
≡ 361 ⋅ 438 ⋅ 230 ⋅ 141 mod 457
≡ 158118 ⋅ 230 ⋅ 141 mod 457 ≡ 453 ⋅ 230 ⋅ 141 mod 457
≡ 104190 ⋅ 141 mod 457 ≡ 451 ⋅ 141 mod 457
≡ 63591 mod 457 ≡ 68 mod 457
Es gilt also: 421204 ≡ 68 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.