Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 - 26991) mod 9 ≡ (900 mod 9 - 26991 mod 9) mod 9.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991 = 27000-9 = 9 ⋅ 3000 -9 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(900 - 26991) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 61) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 61) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 303¹=303

2: 303²=303¹⁺¹=303¹⋅303¹ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797

4: 303⁴=303²⁺²=303²⋅303² ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797

8: 303⁸=303⁴⁺⁴=303⁴⋅303⁴ ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797

16: 303¹⁶=303⁸⁺⁸=303⁸⋅303⁸ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 246 mod 797

32: 303³²=303¹⁶⁺¹⁶=303¹⁶⋅303¹⁶ ≡ 246⋅246=60516 ≡ 741 mod 797

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

148²⁴⁷

= 148^{128+64+32+16+4+2+1}

= 148¹²⁸⋅148⁶⁴⋅148³²⋅148¹⁶⋅148⁴⋅148²⋅148¹

≡ 279 ⋅ 252 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
≡ 70308 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 58 ⋅ 50 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
≡ 2900 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 90 ⋅ 98 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
≡ 8820 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 109 ⋅ 196 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
≡ 21364 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281 ≡ 8 ⋅ 267 ⋅ 148 mod 281
≡ 2136 ⋅ 148 mod 281 ≡ 169 ⋅ 148 mod 281
≡ 25012 mod 281 ≡ 3 mod 281

Es gilt also: 148²⁴⁷ ≡ 3 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79