Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7995 + 40006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7995 + 40006) mod 8 ≡ (7995 mod 8 + 40006 mod 8) mod 8.
7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995
= 7000
40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006
= 40000
Somit gilt:
(7995 + 40006) mod 8 ≡ (3 + 6) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 73) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 73) mod 9 ≡ (54 mod 9 ⋅ 73 mod 9) mod 9.
54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.
73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 73) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17616 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 237 mod 521
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 422 mod 521
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 423 mod 521
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 226 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63293 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 6321=632
2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853
4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853
8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853
16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853
32: 63232=63216+16=63216⋅63216 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 220 mod 853
64: 63264=63232+32=63232⋅63232 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 632 mod 853
63293
= 63264+16+8+4+1
= 63264⋅63216⋅6328⋅6324⋅6321
≡ 632 ⋅ 632 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
≡ 399424 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853 ≡ 220 ⋅ 220 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
≡ 48400 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853 ≡ 632 ⋅ 632 ⋅ 632 mod 853
≡ 399424 ⋅ 632 mod 853 ≡ 220 ⋅ 632 mod 853
≡ 139040 mod 853 ≡ 1 mod 853
Es gilt also: 63293 ≡ 1 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.