Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1497 - 14999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1497 - 14999) mod 3 ≡ (1497 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.
1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1500
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
Somit gilt:
(1497 - 14999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 32) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 32) mod 5 ≡ (96 mod 5 ⋅ 32 mod 5) mod 5.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 32) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60916 mod 739.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 609 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6091=609
2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 642 mod 739
4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 541 mod 739
8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 37 mod 739
16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 630 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 654114 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 6541=654
2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 376 mod 929
4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 168 mod 929
8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 354 mod 929
16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 830 mod 929
32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 511 mod 929
64: 65464=65432+32=65432⋅65432 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 72 mod 929
654114
= 65464+32+16+2
= 65464⋅65432⋅65416⋅6542
≡ 72 ⋅ 511 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929
≡ 36792 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929 ≡ 561 ⋅ 830 ⋅ 376 mod 929
≡ 465630 ⋅ 376 mod 929 ≡ 201 ⋅ 376 mod 929
≡ 75576 mod 929 ≡ 327 mod 929
Es gilt also: 654114 ≡ 327 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.