Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4004 - 124) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4004 - 124) mod 4 ≡ (4004 mod 4 - 124 mod 4) mod 4.
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124
= 120
Somit gilt:
(4004 - 124) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 100) mod 11 ≡ (89 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 100) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 322 mod 349
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 31 mod 349
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 31⋅31=961 ≡ 263 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37182 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 3711=371
2: 3712=3711+1=3711⋅3711 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 208 mod 751
4: 3714=3712+2=3712⋅3712 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 457 mod 751
8: 3718=3714+4=3714⋅3714 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 71 mod 751
16: 37116=3718+8=3718⋅3718 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 535 mod 751
32: 37132=37116+16=37116⋅37116 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 94 mod 751
64: 37164=37132+32=37132⋅37132 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 575 mod 751
37182
= 37164+16+2
= 37164⋅37116⋅3712
≡ 575 ⋅ 535 ⋅ 208 mod 751
≡ 307625 ⋅ 208 mod 751 ≡ 466 ⋅ 208 mod 751
≡ 96928 mod 751 ≡ 49 mod 751
Es gilt also: 37182 ≡ 49 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.