Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (299 - 1201) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(299 - 1201) mod 3 ≡ (299 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.
299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299
= 300
1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(299 - 1201) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 17) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 17) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 17 mod 7) mod 7.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 17) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 701128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 701 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7011=701
2: 7012=7011+1=7011⋅7011 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 705 mod 739
4: 7014=7012+2=7012⋅7012 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 417 mod 739
8: 7018=7014+4=7014⋅7014 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 224 mod 739
16: 70116=7018+8=7018⋅7018 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 663 mod 739
32: 70132=70116+16=70116⋅70116 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 603 mod 739
64: 70164=70132+32=70132⋅70132 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 21 mod 739
128: 701128=70164+64=70164⋅70164 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 179166 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 205 mod 379
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 335 mod 379
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 41 mod 379
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 165 mod 379
32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 316 mod 379
64: 17964=17932+32=17932⋅17932 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 179 mod 379
128: 179128=17964+64=17964⋅17964 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 205 mod 379
179166
= 179128+32+4+2
= 179128⋅17932⋅1794⋅1792
≡ 205 ⋅ 316 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379
≡ 64780 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379 ≡ 350 ⋅ 335 ⋅ 205 mod 379
≡ 117250 ⋅ 205 mod 379 ≡ 139 ⋅ 205 mod 379
≡ 28495 mod 379 ≡ 70 mod 379
Es gilt also: 179166 ≡ 70 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24
| =>53 | = 2⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -11⋅24
-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24
-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1
(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1
42⋅24 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1
Somit 42⋅24 = 1 mod 53
42 ist also das Inverse von 24 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
