Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1504 + 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1504 + 150) mod 5 ≡ (1504 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.
1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504
= 1500
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(1504 + 150) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 22) mod 9 ≡ (59 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 22) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 193128 mod 383.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 98 mod 383
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 29 mod 383
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 29⋅29=841 ≡ 75 mod 383
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 263 mod 383
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 229 mod 383
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 353 mod 383
128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 134 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 175160 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 93 mod 449
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 118 mod 449
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 5 mod 449
16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 449
32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449
64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449
128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449
175160
= 175128+32
= 175128⋅17532
≡ 25 ⋅ 176 mod 449
≡ 4400 mod 449 ≡ 359 mod 449
Es gilt also: 175160 ≡ 359 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.