Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15003 + 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15003 + 28) mod 3 ≡ (15003 mod 3 + 28 mod 3) mod 3.
15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28
= 30
Somit gilt:
(15003 + 28) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 90) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 90 mod 9) mod 9.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 10 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 90) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20216 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 154 mod 271
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 139 mod 271
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 80 mod 271
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 167 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 422166 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 4221=422
2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 159 mod 647
4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 48 mod 647
8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 363 mod 647
16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 428 mod 647
32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 83 mod 647
64: 42264=42232+32=42232⋅42232 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 419 mod 647
128: 422128=42264+64=42264⋅42264 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 224 mod 647
422166
= 422128+32+4+2
= 422128⋅42232⋅4224⋅4222
≡ 224 ⋅ 83 ⋅ 48 ⋅ 159 mod 647
≡ 18592 ⋅ 48 ⋅ 159 mod 647 ≡ 476 ⋅ 48 ⋅ 159 mod 647
≡ 22848 ⋅ 159 mod 647 ≡ 203 ⋅ 159 mod 647
≡ 32277 mod 647 ≡ 574 mod 647
Es gilt also: 422166 ≡ 574 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.