Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (604 + 126) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(604 + 126) mod 6 ≡ (604 mod 6 + 126 mod 6) mod 6.

604 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 604 = 600+4 = 6 ⋅ 100 +4.

126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126 = 120+6 = 6 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(604 + 126) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 59) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 59) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 59) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20164 mod 251.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2011=201

2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251

4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251

8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251

16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251

32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251

64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 615165 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 6151=615

2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 753 mod 983

4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 801 mod 983

8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 801⋅801=641601 ≡ 685 mod 983

16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 334 mod 983

32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 477 mod 983

64: 61564=61532+32=61532⋅61532 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 456 mod 983

128: 615128=61564+64=61564⋅61564 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 523 mod 983

615165

= 615128+32+4+1

= 615128⋅61532⋅6154⋅6151

523 ⋅ 477 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983
249471 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983 ≡ 772 ⋅ 801 ⋅ 615 mod 983
618372 ⋅ 615 mod 983 ≡ 65 ⋅ 615 mod 983
39975 mod 983 ≡ 655 mod 983

Es gilt also: 615165 ≡ 655 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.