Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (700 + 276) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(700 + 276) mod 7 ≡ (700 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 280-4 = 7 ⋅ 40 -4 = 7 ⋅ 40 - 7 + 3.

Somit gilt:

(700 + 276) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 80) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 80) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 80) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14464 mod 283.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 77 mod 283

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 269 mod 283

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 196 mod 283

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 211 mod 283

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 90 mod 283

64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 176 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 341188 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 205 mod 569

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 488 mod 569

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 302 mod 569

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 153 mod 569

64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 80 mod 569

128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 141 mod 569

341188

= 341128+32+16+8+4

= 341128⋅34132⋅34116⋅3418⋅3414

141 ⋅ 153 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
21573 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569 ≡ 520 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
85280 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569 ≡ 499 ⋅ 302 ⋅ 488 mod 569
150698 ⋅ 488 mod 569 ≡ 482 ⋅ 488 mod 569
235216 mod 569 ≡ 219 mod 569

Es gilt also: 341188 ≡ 219 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68

=>83 = 1⋅68 + 15
=>68 = 4⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 68-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15)
= 2⋅68 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68)
= -9⋅83 +11⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +11⋅68

Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1

Somit 11⋅68 = 1 mod 83

11 ist also das Inverse von 68 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.