Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15999 - 158) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15999 - 158) mod 4 ≡ (15999 mod 4 - 158 mod 4) mod 4.
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
Somit gilt:
(15999 - 158) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 45) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 45) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 45) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31916 mod 463.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 364 mod 463
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 78 mod 463
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 65 mod 463
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 58 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82232 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 821=82
2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 34 mod 223
4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 41 mod 223
8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 120 mod 223
16: 8216=828+8=828⋅828 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 128 mod 223
32: 8232=8216+16=8216⋅8216 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 105 mod 223
64: 8264=8232+32=8232⋅8232 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 98 mod 223
128: 82128=8264+64=8264⋅8264 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 15 mod 223
82232
= 82128+64+32+8
= 82128⋅8264⋅8232⋅828
≡ 15 ⋅ 98 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223
≡ 1470 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223 ≡ 132 ⋅ 105 ⋅ 120 mod 223
≡ 13860 ⋅ 120 mod 223 ≡ 34 ⋅ 120 mod 223
≡ 4080 mod 223 ≡ 66 mod 223
Es gilt also: 82232 ≡ 66 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.