Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(343 + 1404) mod 7 ≡ (343 mod 7 + 1404 mod 7) mod 7.

343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343 = 350-7 = 7 ⋅ 50 -7 = 7 ⋅ 50 - 7 + 0.

1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404 = 1400+4 = 7 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(343 + 1404) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 73) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 73) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 145¹=145

2: 145²=145¹⁺¹=145¹⋅145¹ ≡ 145⋅145=21025 ≡ 103 mod 317

4: 145⁴=145²⁺²=145²⋅145² ≡ 103⋅103=10609 ≡ 148 mod 317

8: 145⁸=145⁴⁺⁴=145⁴⋅145⁴ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 31 mod 317

16: 145¹⁶=145⁸⁺⁸=145⁸⋅145⁸ ≡ 31⋅31=961 ≡ 10 mod 317

32: 145³²=145¹⁶⁺¹⁶=145¹⁶⋅145¹⁶ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 317

64: 145⁶⁴=145³²⁺³²=145³²⋅145³² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 173 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

160²⁴⁸

= 160^{128+64+32+16+8}

= 160¹²⁸⋅160⁶⁴⋅160³²⋅160¹⁶⋅160⁸

≡ 217 ⋅ 131 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 mod 353
≡ 28427 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 mod 353 ≡ 187 ⋅ 22 ⋅ 166 ⋅ 318 mod 353
≡ 4114 ⋅ 166 ⋅ 318 mod 353 ≡ 231 ⋅ 166 ⋅ 318 mod 353
≡ 38346 ⋅ 318 mod 353 ≡ 222 ⋅ 318 mod 353
≡ 70596 mod 353 ≡ 349 mod 353

Es gilt also: 160²⁴⁸ ≡ 349 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71	= 1⋅47 + 24
=>47	= 1⋅24 + 23
=>24	= 1⋅23 + 1
=>23	= 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24) = 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47) = -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71