Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 - 213) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 - 213) mod 7 ≡ (352 mod 7 - 213 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213
= 210
Somit gilt:
(352 - 213) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 94) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 94) mod 10 ≡ (90 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 94) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24364 mod 751.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 471 mod 751
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 296 mod 751
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 500 mod 751
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 668 mod 751
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 130 mod 751
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 378 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 207162 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 116 mod 283
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 155 mod 283
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 253 mod 283
16: 20716=2078+8=2078⋅2078 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 51 mod 283
32: 20732=20716+16=20716⋅20716 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 54 mod 283
64: 20764=20732+32=20732⋅20732 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 86 mod 283
128: 207128=20764+64=20764⋅20764 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 38 mod 283
207162
= 207128+32+2
= 207128⋅20732⋅2072
≡ 38 ⋅ 54 ⋅ 116 mod 283
≡ 2052 ⋅ 116 mod 283 ≡ 71 ⋅ 116 mod 283
≡ 8236 mod 283 ≡ 29 mod 283
Es gilt also: 207162 ≡ 29 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.