Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 + 195) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 195 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

Somit gilt:

(100 + 195) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 41) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 41) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 353¹=353

2: 353²=353¹⁺¹=353¹⋅353¹ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 202 mod 601

4: 353⁴=353²⁺²=353²⋅353² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 537 mod 601

8: 353⁸=353⁴⁺⁴=353⁴⋅353⁴ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 490 mod 601

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

646²⁵¹

= 646^{128+64+32+16+8+2+1}

= 646¹²⁸⋅646⁶⁴⋅646³²⋅646¹⁶⋅646⁸⋅646²⋅646¹

≡ 329 ⋅ 382 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
≡ 125678 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 545 ⋅ 503 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
≡ 274135 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 259 ⋅ 411 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
≡ 106449 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 204 ⋅ 696 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
≡ 141984 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787 ≡ 324 ⋅ 206 ⋅ 646 mod 787
≡ 66744 ⋅ 646 mod 787 ≡ 636 ⋅ 646 mod 787
≡ 410856 mod 787 ≡ 42 mod 787

Es gilt also: 646²⁵¹ ≡ 42 mod 787

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101	= 1⋅84 + 17
=>84	= 4⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84) = -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101