Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 + 20000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 + 20000) mod 4 ≡ (156 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.
156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
Somit gilt:
(156 + 20000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 24) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 24) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.
23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.
24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 24) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37364 mod 503.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 301 mod 503
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 61 mod 503
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 200 mod 503
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 263 mod 503
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 258 mod 503
64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 168 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 364162 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 518 mod 857
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 83 mod 857
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 33 mod 857
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 232 mod 857
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 690 mod 857
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 465 mod 857
128: 364128=36464+64=36464⋅36464 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 261 mod 857
364162
= 364128+32+2
= 364128⋅36432⋅3642
≡ 261 ⋅ 690 ⋅ 518 mod 857
≡ 180090 ⋅ 518 mod 857 ≡ 120 ⋅ 518 mod 857
≡ 62160 mod 857 ≡ 456 mod 857
Es gilt also: 364162 ≡ 456 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.