Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 - 161) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 - 161) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 161 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
Somit gilt:
(2003 - 161) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 57) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 57) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 57) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4688 mod 911.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 468 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4681=468
2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 384 mod 911
4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 785 mod 911
8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 389 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41368 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 4131=413
2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 679 mod 809
4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 720 mod 809
8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 640 mod 809
16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 246 mod 809
32: 41332=41316+16=41316⋅41316 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 650 mod 809
64: 41364=41332+32=41332⋅41332 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 202 mod 809
41368
= 41364+4
= 41364⋅4134
≡ 202 ⋅ 720 mod 809
≡ 145440 mod 809 ≡ 629 mod 809
Es gilt also: 41368 ≡ 629 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31
| =>83 | = 2⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31) = 3⋅83 -8⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -8⋅31
-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31
-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1
(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1
75⋅31 = 28⋅83 + 1
Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1
Somit 75⋅31 = 1 mod 83
75 ist also das Inverse von 31 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.