Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35001 + 35003) mod 7 ≡ (35001 mod 7 + 35003 mod 7) mod 7.

35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001 = 35000+1 = 7 ⋅ 5000 +1.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(35001 + 35003) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (3 ⋅ 7) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 216¹=216

2: 216²=216¹⁺¹=216¹⋅216¹ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 69 mod 293

4: 216⁴=216²⁺²=216²⋅216² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 73 mod 293

8: 216⁸=216⁴⁺⁴=216⁴⋅216⁴ ≡ 73⋅73=5329 ≡ 55 mod 293

16: 216¹⁶=216⁸⁺⁸=216⁸⋅216⁸ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 95 mod 293

32: 216³²=216¹⁶⁺¹⁶=216¹⁶⋅216¹⁶ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 235 mod 293

64: 216⁶⁴=216³²⁺³²=216³²⋅216³² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293

128: 216¹²⁸=216⁶⁴⁺⁶⁴=216⁶⁴⋅216⁶⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

214⁶²

= 214^32+16+8+4+2

= 214³²⋅214¹⁶⋅214⁸⋅214⁴⋅214²

≡ 47 ⋅ 82 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
≡ 3854 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607 ≡ 212 ⋅ 36 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
≡ 7632 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607 ≡ 348 ⋅ 601 ⋅ 271 mod 607
≡ 209148 ⋅ 271 mod 607 ≡ 340 ⋅ 271 mod 607
≡ 92140 mod 607 ≡ 483 mod 607

Es gilt also: 214⁶² ≡ 483 mod 607

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101