Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36008 - 8991) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36008 - 8991) mod 9 ≡ (36008 mod 9 - 8991 mod 9) mod 9.

36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008 = 36000+8 = 9 ⋅ 4000 +8.

8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991 = 9000-9 = 9 ⋅ 1000 -9 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(36008 - 8991) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 59) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 59) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 59) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7738 mod 857.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 773 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7731=773

2: 7732=7731+1=7731⋅7731 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 200 mod 857

4: 7734=7732+2=7732⋅7732 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 578 mod 857

8: 7738=7734+4=7734⋅7734 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130242 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 15 mod 307

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 307

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 277 mod 307

16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 286 mod 307

32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 134 mod 307

64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 150 mod 307

128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 89 mod 307

130242

= 130128+64+32+16+2

= 130128⋅13064⋅13032⋅13016⋅1302

89 ⋅ 150 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
13350 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307 ≡ 149 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
19966 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307 ≡ 11 ⋅ 286 ⋅ 15 mod 307
3146 ⋅ 15 mod 307 ≡ 76 ⋅ 15 mod 307
1140 mod 307 ≡ 219 mod 307

Es gilt also: 130242 ≡ 219 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.