Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 - 20001) mod 4 ≡ (403 mod 4 - 20001 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(403 - 20001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 55) mod 3 ≡ (48 mod 3 ⋅ 55 mod 3) mod 3.

48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.

55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 55) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 726¹=726

2: 726²=726¹⁺¹=726¹⋅726¹ ≡ 726⋅726=527076 ≡ 184 mod 839

4: 726⁴=726²⁺²=726²⋅726² ≡ 184⋅184=33856 ≡ 296 mod 839

8: 726⁸=726⁴⁺⁴=726⁴⋅726⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 360 mod 839

16: 726¹⁶=726⁸⁺⁸=726⁸⋅726⁸ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 394 mod 839

32: 726³²=726¹⁶⁺¹⁶=726¹⁶⋅726¹⁶ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 21 mod 839

64: 726⁶⁴=726³²⁺³²=726³²⋅726³² ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 839

128: 726¹²⁸=726⁶⁴⁺⁶⁴=726⁶⁴⋅726⁶⁴ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 672 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

336⁹⁹

= 336^64+32+2+1

= 336⁶⁴⋅336³²⋅336²⋅336¹

≡ 19 ⋅ 171 ⋅ 622 ⋅ 336 mod 769
≡ 3249 ⋅ 622 ⋅ 336 mod 769 ≡ 173 ⋅ 622 ⋅ 336 mod 769
≡ 107606 ⋅ 336 mod 769 ≡ 715 ⋅ 336 mod 769
≡ 240240 mod 769 ≡ 312 mod 769

Es gilt also: 336⁹⁹ ≡ 312 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69

=>79	= 1⋅69 + 10
=>69	= 6⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 69-6⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1)
10= 79-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69) = -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -8⋅69

-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69

-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1

(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1

71⋅69 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1

Somit 71⋅69 = 1 mod 79

71 ist also das Inverse von 69 mod 79