Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24996 - 5000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24996 - 5000) mod 5 ≡ (24996 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(24996 - 5000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 91) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 91) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 91) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63864 mod 739.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 638 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6381=638

2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 594 mod 739

4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 333 mod 739

8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 39 mod 739

16: 63816=6388+8=6388⋅6388 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 43 mod 739

32: 63832=63816+16=63816⋅63816 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 371 mod 739

64: 63864=63832+32=63832⋅63832 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 187 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23788 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:

88 = 64+16+8

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 351 mod 443

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 47 mod 443

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 437 mod 443

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 36 mod 443

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 410 mod 443

64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 203 mod 443

23788

= 23764+16+8

= 23764⋅23716⋅2378

203 ⋅ 36 ⋅ 437 mod 443
7308 ⋅ 437 mod 443 ≡ 220 ⋅ 437 mod 443
96140 mod 443 ≡ 9 mod 443

Es gilt also: 23788 ≡ 9 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52

=>79 = 1⋅52 + 27
=>52 = 1⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 52-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27)
= 13⋅52 -25⋅ 27 (=1)
27= 79-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52)
= -25⋅79 +38⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52

oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅79 = +38⋅52

Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1

Somit 38⋅52 = 1 mod 79

38 ist also das Inverse von 52 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.