Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 + 118) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 + 118) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 118 mod 3) mod 3.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

Somit gilt:

(89 + 118) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 81) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 81) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 81) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5418 mod 887.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 541 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5411=541

2: 5412=5411+1=5411⋅5411 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 858 mod 887

4: 5414=5412+2=5412⋅5412 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 841 mod 887

8: 5418=5414+4=5414⋅5414 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 342 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 718244 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 7181=718

2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 124 mod 859

4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 773 mod 859

8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 524 mod 859

16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 555 mod 859

32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 503 mod 859

64: 71864=71832+32=71832⋅71832 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 463 mod 859

128: 718128=71864+64=71864⋅71864 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 478 mod 859

718244

= 718128+64+32+16+4

= 718128⋅71864⋅71832⋅71816⋅7184

478 ⋅ 463 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
221314 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859 ≡ 551 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
277153 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859 ≡ 555 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
308025 ⋅ 773 mod 859 ≡ 503 ⋅ 773 mod 859
388819 mod 859 ≡ 551 mod 859

Es gilt also: 718244 ≡ 551 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.