Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 8999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 8999) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
Somit gilt:
(150 + 8999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 70) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 70) mod 11 ≡ (9 ⋅ 4) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16432 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 164 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 103 mod 229
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 75 mod 229
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 223151 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 146 mod 277
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 264 mod 277
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 169 mod 277
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 30 mod 277
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 30⋅30=900 ≡ 69 mod 277
64: 22364=22332+32=22332⋅22332 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 52 mod 277
128: 223128=22364+64=22364⋅22364 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 211 mod 277
223151
= 223128+16+4+2+1
= 223128⋅22316⋅2234⋅2232⋅2231
≡ 211 ⋅ 30 ⋅ 264 ⋅ 146 ⋅ 223 mod 277
≡ 6330 ⋅ 264 ⋅ 146 ⋅ 223 mod 277 ≡ 236 ⋅ 264 ⋅ 146 ⋅ 223 mod 277
≡ 62304 ⋅ 146 ⋅ 223 mod 277 ≡ 256 ⋅ 146 ⋅ 223 mod 277
≡ 37376 ⋅ 223 mod 277 ≡ 258 ⋅ 223 mod 277
≡ 57534 mod 277 ≡ 195 mod 277
Es gilt also: 223151 ≡ 195 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
