Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2800 - 13993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2800 - 13993) mod 7 ≡ (2800 mod 7 - 13993 mod 7) mod 7.
2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800
= 2800
13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993
= 14000
Somit gilt:
(2800 - 13993) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 17) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 17) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 17 mod 5) mod 5.
35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 17) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32164 mod 487.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 284 mod 487
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 301 mod 487
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 19 mod 487
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 487
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 292 mod 487
64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 39 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 103114 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 1031=103
2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 128 mod 223
4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 105 mod 223
8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 98 mod 223
16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 15 mod 223
32: 10332=10316+16=10316⋅10316 ≡ 15⋅15=225 ≡ 2 mod 223
64: 10364=10332+32=10332⋅10332 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 223
103114
= 10364+32+16+2
= 10364⋅10332⋅10316⋅1032
≡ 4 ⋅ 2 ⋅ 15 ⋅ 128 mod 223
≡ 8 ⋅ 15 ⋅ 128 mod 223
≡ 120 ⋅ 128 mod 223
≡ 15360 mod 223 ≡ 196 mod 223
Es gilt also: 103114 ≡ 196 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.