Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 - 252) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 - 252) mod 5 ≡ (15002 mod 5 - 252 mod 5) mod 5.

15002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 5 ⋅ 3000 +2.

252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252 = 250+2 = 5 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(15002 - 252) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 77) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 77) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 77) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 199128 mod 311.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1991=199

2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 104 mod 311

4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 242 mod 311

8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 96 mod 311

16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 197 mod 311

32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 245 mod 311

64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 2 mod 311

128: 199128=19964+64=19964⋅19964 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43364 mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 283 mod 761

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 184 mod 761

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 372 mod 761

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 643 mod 761

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 226 mod 761

64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 89 mod 761

43364

= 43364

= 43364

89 mod 761

Es gilt also: 43364 ≡ 89 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69

=>79 = 1⋅69 + 10
=>69 = 6⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 69-6⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10)
= -1⋅69 +7⋅ 10 (=1)
10= 79-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69)
= 7⋅79 -8⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -8⋅69

-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69

-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1

(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1

71⋅69 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1

Somit 71⋅69 = 1 mod 79

71 ist also das Inverse von 69 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.