Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(134 - 2095) mod 7 ≡ (134 mod 7 - 2095 mod 7) mod 7.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095 = 2100-5 = 7 ⋅ 300 -5 = 7 ⋅ 300 - 7 + 2.

Somit gilt:

(134 - 2095) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 83) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 83) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 266¹=266

2: 266²=266¹⁺¹=266¹⋅266¹ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 171 mod 743

4: 266⁴=266²⁺²=266²⋅266² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 264 mod 743

8: 266⁸=266⁴⁺⁴=266⁴⋅266⁴ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 597 mod 743

16: 266¹⁶=266⁸⁺⁸=266⁸⋅266⁸ ≡ 597⋅597=356409 ≡ 512 mod 743

32: 266³²=266¹⁶⁺¹⁶=266¹⁶⋅266¹⁶ ≡ 512⋅512=262144 ≡ 608 mod 743

64: 266⁶⁴=266³²⁺³²=266³²⋅266³² ≡ 608⋅608=369664 ≡ 393 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

306¹⁶⁶

= 306^128+32+4+2

= 306¹²⁸⋅306³²⋅306⁴⋅306²

≡ 468 ⋅ 668 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677
≡ 312624 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677 ≡ 527 ⋅ 95 ⋅ 210 mod 677
≡ 50065 ⋅ 210 mod 677 ≡ 644 ⋅ 210 mod 677
≡ 135240 mod 677 ≡ 517 mod 677

Es gilt also: 306¹⁶⁶ ≡ 517 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48

=>101	= 2⋅48 + 5
=>48	= 9⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 101-2⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48) = 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +40⋅48

Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1

Somit 40⋅48 = 1 mod 101

40 ist also das Inverse von 48 mod 101