Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 + 15003) mod 3 ≡ (29 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(29 + 15003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 29) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 29 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 29) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 204¹=204

2: 204²=204¹⁺¹=204¹⋅204¹ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 89 mod 317

4: 204⁴=204²⁺²=204²⋅204² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 313 mod 317

8: 204⁸=204⁴⁺⁴=204⁴⋅204⁴ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 16 mod 317

16: 204¹⁶=204⁸⁺⁸=204⁸⋅204⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 317

32: 204³²=204¹⁶⁺¹⁶=204¹⁶⋅204¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 234 mod 317

64: 204⁶⁴=204³²⁺³²=204³²⋅204³² ≡ 234⋅234=54756 ≡ 232 mod 317

128: 204¹²⁸=204⁶⁴⁺⁶⁴=204⁶⁴⋅204⁶⁴ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 251 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

247¹³¹

= 247^128+2+1

= 247¹²⁸⋅247²⋅247¹

≡ 159 ⋅ 164 ⋅ 247 mod 283
≡ 26076 ⋅ 247 mod 283 ≡ 40 ⋅ 247 mod 283
≡ 9880 mod 283 ≡ 258 mod 283

Es gilt also: 247¹³¹ ≡ 258 mod 283

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52

=>79	= 1⋅52 + 27
=>52	= 1⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 52-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1)
27= 79-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52) = 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52

oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅79 = +38⋅52

Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1

Somit 38⋅52 = 1 mod 79

38 ist also das Inverse von 52 mod 79