Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11995 + 599) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11995 + 599) mod 6 ≡ (11995 mod 6 + 599 mod 6) mod 6.
11995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11995
= 12000
599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
Somit gilt:
(11995 + 599) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 24) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 24) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2508 mod 569.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 479 mod 569
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15394 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 1531=153
2: 1532=1531+1=1531⋅1531 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 22 mod 257
4: 1534=1532+2=1532⋅1532 ≡ 22⋅22=484 ≡ 227 mod 257
8: 1538=1534+4=1534⋅1534 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257
16: 15316=1538+8=1538⋅1538 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257
32: 15332=15316+16=15316⋅15316 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257
64: 15364=15332+32=15332⋅15332 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
15394
= 15364+16+8+4+2
= 15364⋅15316⋅1538⋅1534⋅1532
≡ 256 ⋅ 193 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
≡ 49408 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257 ≡ 64 ⋅ 129 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
≡ 8256 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257 ≡ 32 ⋅ 227 ⋅ 22 mod 257
≡ 7264 ⋅ 22 mod 257 ≡ 68 ⋅ 22 mod 257
≡ 1496 mod 257 ≡ 211 mod 257
Es gilt also: 15394 ≡ 211 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.