Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8001 + 160) mod 4 ≡ (8001 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.

8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001 = 8000+1 = 4 ⋅ 2000 +1.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(8001 + 160) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 53) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.

66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 53) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 247¹=247

2: 247²=247¹⁺¹=247¹⋅247¹ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 100 mod 257

4: 247⁴=247²⁺²=247²⋅247² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 234 mod 257

8: 247⁸=247⁴⁺⁴=247⁴⋅247⁴ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 15 mod 257

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

940²³⁸

= 940^{128+64+32+8+4+2}

= 940¹²⁸⋅940⁶⁴⋅940³²⋅940⁸⋅940⁴⋅940²

≡ 274 ⋅ 172 ⋅ 789 ⋅ 396 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977
≡ 47128 ⋅ 789 ⋅ 396 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977 ≡ 232 ⋅ 789 ⋅ 396 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977
≡ 183048 ⋅ 396 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977 ≡ 349 ⋅ 396 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977
≡ 138204 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977 ≡ 447 ⋅ 275 ⋅ 392 mod 977
≡ 122925 ⋅ 392 mod 977 ≡ 800 ⋅ 392 mod 977
≡ 313600 mod 977 ≡ 960 mod 977

Es gilt also: 940²³⁸ ≡ 960 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71	= 1⋅55 + 16
=>55	= 3⋅16 + 7
=>16	= 2⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16) = -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55) = 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71