Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 - 13995) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 - 13995) mod 7 ≡ (204 mod 7 - 13995 mod 7) mod 7.
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
Somit gilt:
(204 - 13995) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 90) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 90) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 90) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5948 mod 821.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 627 mod 821
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 691 mod 821
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 480 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 429137 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 468 mod 523
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 410 mod 523
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 217 mod 523
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 19 mod 523
32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 523
64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 94 mod 523
128: 429128=42964+64=42964⋅42964 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 468 mod 523
429137
= 429128+8+1
= 429128⋅4298⋅4291
≡ 468 ⋅ 217 ⋅ 429 mod 523
≡ 101556 ⋅ 429 mod 523 ≡ 94 ⋅ 429 mod 523
≡ 40326 mod 523 ≡ 55 mod 523
Es gilt also: 429137 ≡ 55 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.