Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (184 - 24000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(184 - 24000) mod 6 ≡ (184 mod 6 - 24000 mod 6) mod 6.
184 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184
= 180
24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(184 - 24000) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 42) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 42) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 42) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55316 mod 719.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 553 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5531=553
2: 5532=5531+1=5531⋅5531 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 234 mod 719
4: 5534=5532+2=5532⋅5532 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 112 mod 719
8: 5538=5534+4=5534⋅5534 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 321 mod 719
16: 55316=5538+8=5538⋅5538 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 224 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71869 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 7181=718
2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 313 mod 863
4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 450 mod 863
8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 558 mod 863
16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863
32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863
64: 71864=71832+32=71832⋅71832 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 18 mod 863
71869
= 71864+4+1
= 71864⋅7184⋅7181
≡ 18 ⋅ 450 ⋅ 718 mod 863
≡ 8100 ⋅ 718 mod 863 ≡ 333 ⋅ 718 mod 863
≡ 239094 mod 863 ≡ 43 mod 863
Es gilt also: 71869 ≡ 43 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.