Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 + 1999) mod 4 ≡ (43 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

Somit gilt:

(43 + 1999) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 43) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 43) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 519¹=519

2: 519²=519¹⁺¹=519¹⋅519¹ ≡ 519⋅519=269361 ≡ 515 mod 587

4: 519⁴=519²⁺²=519²⋅519² ≡ 515⋅515=265225 ≡ 488 mod 587

8: 519⁸=519⁴⁺⁴=519⁴⋅519⁴ ≡ 488⋅488=238144 ≡ 409 mod 587

16: 519¹⁶=519⁸⁺⁸=519⁸⋅519⁸ ≡ 409⋅409=167281 ≡ 573 mod 587

32: 519³²=519¹⁶⁺¹⁶=519¹⁶⋅519¹⁶ ≡ 573⋅573=328329 ≡ 196 mod 587

64: 519⁶⁴=519³²⁺³²=519³²⋅519³² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 261 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

661¹⁵¹

= 661^128+16+4+2+1

= 661¹²⁸⋅661¹⁶⋅661⁴⋅661²⋅661¹

≡ 105 ⋅ 704 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
≡ 73920 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739 ≡ 20 ⋅ 24 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
≡ 480 ⋅ 172 ⋅ 661 mod 739
≡ 82560 ⋅ 661 mod 739 ≡ 531 ⋅ 661 mod 739
≡ 350991 mod 739 ≡ 705 mod 739

Es gilt also: 661¹⁵¹ ≡ 705 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61