Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(366 - 44999) mod 9 ≡ (366 mod 9 - 44999 mod 9) mod 9.

366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366 = 360+6 = 9 ⋅ 40 +6.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(366 - 44999) mod 9 ≡ (6 - 8) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 39) mod 11 ≡ (58 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 39) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 159¹=159

2: 159²=159¹⁺¹=159¹⋅159¹ ≡ 159⋅159=25281 ≡ 272 mod 281

4: 159⁴=159²⁺²=159²⋅159² ≡ 272⋅272=73984 ≡ 81 mod 281

8: 159⁸=159⁴⁺⁴=159⁴⋅159⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 98 mod 281

16: 159¹⁶=159⁸⁺⁸=159⁸⋅159⁸ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

32: 159³²=159¹⁶⁺¹⁶=159¹⁶⋅159¹⁶ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281

64: 159⁶⁴=159³²⁺³²=159³²⋅159³² ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

225¹⁴¹

= 225^128+8+4+1

= 225¹²⁸⋅225⁸⋅225⁴⋅225¹

≡ 121 ⋅ 145 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 17545 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239 ≡ 98 ⋅ 176 ⋅ 225 mod 239
≡ 17248 ⋅ 225 mod 239 ≡ 40 ⋅ 225 mod 239
≡ 9000 mod 239 ≡ 157 mod 239

Es gilt also: 225¹⁴¹ ≡ 157 mod 239

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

=>71	= 1⋅40 + 31
=>40	= 1⋅31 + 9
=>31	= 3⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 40-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31) = -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1)
31= 71-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40) = 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +16⋅40

Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1

Somit 16⋅40 = 1 mod 71

16 ist also das Inverse von 40 mod 71