Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 - 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 55) mod 5 ≡ (2003 mod 5 - 55 mod 5) mod 5.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(2003 - 55) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 76) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 76) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.

38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 76) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 750128 mod 911.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 750 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7501=750

2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 413 mod 911

4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 212 mod 911

8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 305 mod 911

16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 103 mod 911

32: 75032=75016+16=75016⋅75016 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 588 mod 911

64: 75064=75032+32=75032⋅75032 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 475 mod 911

128: 750128=75064+64=75064⋅75064 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 608 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41263 mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 4121=412

2: 4122=4121+1=4121⋅4121 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 494 mod 677

4: 4124=4122+2=4122⋅4122 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 316 mod 677

8: 4128=4124+4=4124⋅4124 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 337 mod 677

16: 41216=4128+8=4128⋅4128 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 510 mod 677

32: 41232=41216+16=41216⋅41216 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 132 mod 677

41263

= 41232+16+8+4+2+1

= 41232⋅41216⋅4128⋅4124⋅4122⋅4121

132 ⋅ 510 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
67320 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 297 ⋅ 337 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
100089 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 570 ⋅ 316 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
180120 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677 ≡ 38 ⋅ 494 ⋅ 412 mod 677
18772 ⋅ 412 mod 677 ≡ 493 ⋅ 412 mod 677
203116 mod 677 ≡ 16 mod 677

Es gilt also: 41263 ≡ 16 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56

=>79 = 1⋅56 + 23
=>56 = 2⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 56-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23)
= 7⋅56 -17⋅ 23 (=1)
23= 79-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56)
= -17⋅79 +24⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +24⋅56

Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1

Somit 24⋅56 = 1 mod 79

24 ist also das Inverse von 56 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.