Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 - 120) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 - 120) mod 4 ≡ (1601 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(1601 - 120) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 74) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 74) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 74) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6338 mod 727.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6331=633

2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 112 mod 727

4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 185 mod 727

8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 56 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 232231 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 2321=232

2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487

4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487

8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487

16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487

32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487

64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 232 mod 487

128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 254 mod 487

232231

= 232128+64+32+4+2+1

= 232128⋅23264⋅23232⋅2324⋅2322⋅2321

254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
58928 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
254 ⋅ 232 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
58928 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487 ≡ 1 ⋅ 254 ⋅ 232 mod 487
254 ⋅ 232 mod 487
58928 mod 487 ≡ 1 mod 487

Es gilt also: 232231 ≡ 1 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.