Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18001 - 1204) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18001 - 1204) mod 6 ≡ (18001 mod 6 - 1204 mod 6) mod 6.
18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001
= 18000
1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(18001 - 1204) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 42) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 42) mod 7 ≡ (36 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 42) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 622128 mod 823.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6221=622
2: 6222=6221+1=6221⋅6221 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 74 mod 823
4: 6224=6222+2=6222⋅6222 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 538 mod 823
8: 6228=6224+4=6224⋅6224 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 571 mod 823
16: 62216=6228+8=6228⋅6228 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 133 mod 823
32: 62232=62216+16=62216⋅62216 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 406 mod 823
64: 62264=62232+32=62232⋅62232 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 236 mod 823
128: 622128=62264+64=62264⋅62264 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 555 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 209212 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 406 mod 577
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 391 mod 577
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 553 mod 577
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 577
128: 209128=20964+64=20964⋅20964 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 577
209212
= 209128+64+16+4
= 209128⋅20964⋅20916⋅2094
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 576 ⋅ 391 mod 577
≡ 1 ⋅ 576 ⋅ 391 mod 577
≡ 576 ⋅ 391 mod 577
≡ 225216 mod 577 ≡ 186 mod 577
Es gilt also: 209212 ≡ 186 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 62
| =>83 | = 1⋅62 + 21 |
| =>62 | = 2⋅21 + 20 |
| =>21 | = 1⋅20 + 1 |
| =>20 | = 20⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-1⋅20 | |||
| 20= 62-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -1⋅(62 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -1⋅62 +2⋅ 21) = -1⋅62 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +3⋅(83 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +3⋅83 -3⋅ 62) = 3⋅83 -4⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,62)=1 = 3⋅83 -4⋅62
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -4⋅62
-4⋅62 = -3⋅83 + 1 |+83⋅62
-4⋅62 + 83⋅62 = -3⋅83 + 83⋅62 + 1
(-4 + 83) ⋅ 62 = (-3 + 62) ⋅ 83 + 1
79⋅62 = 59⋅83 + 1
Es gilt also: 79⋅62 = 59⋅83 +1
Somit 79⋅62 = 1 mod 83
79 ist also das Inverse von 62 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
