Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 + 118) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 + 118) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 118 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
Somit gilt:
(89 + 118) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 81) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 81) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 81) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5418 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 541 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5411=541
2: 5412=5411+1=5411⋅5411 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 858 mod 887
4: 5414=5412+2=5412⋅5412 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 841 mod 887
8: 5418=5414+4=5414⋅5414 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 342 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 718244 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 7181=718
2: 7182=7181+1=7181⋅7181 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 124 mod 859
4: 7184=7182+2=7182⋅7182 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 773 mod 859
8: 7188=7184+4=7184⋅7184 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 524 mod 859
16: 71816=7188+8=7188⋅7188 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 555 mod 859
32: 71832=71816+16=71816⋅71816 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 503 mod 859
64: 71864=71832+32=71832⋅71832 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 463 mod 859
128: 718128=71864+64=71864⋅71864 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 478 mod 859
718244
= 718128+64+32+16+4
= 718128⋅71864⋅71832⋅71816⋅7184
≡ 478 ⋅ 463 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
≡ 221314 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859 ≡ 551 ⋅ 503 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
≡ 277153 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859 ≡ 555 ⋅ 555 ⋅ 773 mod 859
≡ 308025 ⋅ 773 mod 859 ≡ 503 ⋅ 773 mod 859
≡ 388819 mod 859 ≡ 551 mod 859
Es gilt also: 718244 ≡ 551 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84
| =>101 | = 1⋅84 + 17 |
| =>84 | = 4⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 84-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -6⋅84
-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84
-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1
(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1
95⋅84 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1
Somit 95⋅84 = 1 mod 101
95 ist also das Inverse von 84 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.