Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2405 + 30004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2405 + 30004) mod 6 ≡ (2405 mod 6 + 30004 mod 6) mod 6.

2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 6 ⋅ 400 +5.

30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004 = 30000+4 = 6 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(2405 + 30004) mod 6 ≡ (5 + 4) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 28) mod 9 ≡ (80 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 28) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3968 mod 601.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 556 mod 601

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 222 mod 601

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 2 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48078 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 4801=480

2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 49 mod 487

4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 453 mod 487

8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 182 mod 487

16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 8 mod 487

32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 487

64: 48064=48032+32=48032⋅48032 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 200 mod 487

48078

= 48064+8+4+2

= 48064⋅4808⋅4804⋅4802

200 ⋅ 182 ⋅ 453 ⋅ 49 mod 487
36400 ⋅ 453 ⋅ 49 mod 487 ≡ 362 ⋅ 453 ⋅ 49 mod 487
163986 ⋅ 49 mod 487 ≡ 354 ⋅ 49 mod 487
17346 mod 487 ≡ 301 mod 487

Es gilt also: 48078 ≡ 301 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56

=>59 = 1⋅56 + 3
=>56 = 18⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 56-18⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3)
= -1⋅56 +19⋅ 3 (=1)
3= 59-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56)
= 19⋅59 -20⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -20⋅56

-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56

-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1

(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1

39⋅56 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1

Somit 39⋅56 = 1 mod 59

39 ist also das Inverse von 56 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.