Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 - 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 - 11997) mod 3 ≡ (601 mod 3 - 11997 mod 3) mod 3.
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(601 - 11997) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 94) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 94) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 94) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36964 mod 499.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 369 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 433 mod 499
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 364 mod 499
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 261 mod 499
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 257 mod 499
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 181 mod 499
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 326 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 763239 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:
239 = 128+64+32+8+4+2+1
1: 7631=763
2: 7632=7631+1=7631⋅7631 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 507 mod 863
4: 7634=7632+2=7632⋅7632 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 738 mod 863
8: 7638=7634+4=7634⋅7634 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 91 mod 863
16: 76316=7638+8=7638⋅7638 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 514 mod 863
32: 76332=76316+16=76316⋅76316 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 118 mod 863
64: 76364=76332+32=76332⋅76332 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 116 mod 863
128: 763128=76364+64=76364⋅76364 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 511 mod 863
763239
= 763128+64+32+8+4+2+1
= 763128⋅76364⋅76332⋅7638⋅7634⋅7632⋅7631
≡ 511 ⋅ 116 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 59276 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 592 ⋅ 118 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 69856 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 816 ⋅ 91 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 74256 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 38 ⋅ 738 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 28044 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863 ≡ 428 ⋅ 507 ⋅ 763 mod 863
≡ 216996 ⋅ 763 mod 863 ≡ 383 ⋅ 763 mod 863
≡ 292229 mod 863 ≡ 535 mod 863
Es gilt also: 763239 ≡ 535 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41
| =>101 | = 2⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -32⋅41
-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41
-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1
(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1
69⋅41 = 28⋅101 + 1
Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1
Somit 69⋅41 = 1 mod 101
69 ist also das Inverse von 41 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
