Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1797 - 457) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 - 457) mod 9 ≡ (1797 mod 9 - 457 mod 9) mod 9.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(1797 - 457) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 17) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 17) mod 10 ≡ (57 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 17) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44732 mod 653.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4471=447

2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 644 mod 653

4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 81 mod 653

8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 31 mod 653

16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 31⋅31=961 ≡ 308 mod 653

32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 179 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 332189 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 3321=332

2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883

4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 726 mod 883

8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883

16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 327 mod 883

32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 86 mod 883

64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 332 mod 883

128: 332128=33264+64=33264⋅33264 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883

332189

= 332128+32+16+8+4+1

= 332128⋅33232⋅33216⋅3328⋅3324⋅3321

732 ⋅ 86 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
62952 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 259 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
84693 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 808 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
652864 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883 ≡ 327 ⋅ 726 ⋅ 332 mod 883
237402 ⋅ 332 mod 883 ≡ 758 ⋅ 332 mod 883
251656 mod 883 ≡ 1 mod 883

Es gilt also: 332189 ≡ 1 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.