Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7992 - 40006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7992 - 40006) mod 8 ≡ (7992 mod 8 - 40006 mod 8) mod 8.
7992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7992
= 7000
40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006
= 40000
Somit gilt:
(7992 - 40006) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 80) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 80) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 80 mod 11) mod 11.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 80) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 698128 mod 997.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 698 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6981=698
2: 6982=6981+1=6981⋅6981 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 668 mod 997
4: 6984=6982+2=6982⋅6982 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 565 mod 997
8: 6988=6984+4=6984⋅6984 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 185 mod 997
16: 69816=6988+8=6988⋅6988 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 327 mod 997
32: 69832=69816+16=69816⋅69816 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 250 mod 997
64: 69864=69832+32=69832⋅69832 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 686 mod 997
128: 698128=69864+64=69864⋅69864 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 12 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396246 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 879 mod 881
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 4 mod 881
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 881
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 881
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 342 mod 881
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 672 mod 881
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 512 mod 881
396246
= 396128+64+32+16+4+2
= 396128⋅39664⋅39632⋅39616⋅3964⋅3962
≡ 512 ⋅ 672 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 344064 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 474 ⋅ 342 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 162108 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 4 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 1024 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881 ≡ 143 ⋅ 4 ⋅ 879 mod 881
≡ 572 ⋅ 879 mod 881
≡ 502788 mod 881 ≡ 618 mod 881
Es gilt also: 396246 ≡ 618 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
