Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 50€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 2€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=0) = ( 3 0 ) ( 1 6 )0 ( 5 6 )3 =0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=1) = ( 3 1 ) ( 1 6 )1 ( 5 6 )2 =0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=2) = ( 3 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )1 =0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=3) = ( 3 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )0 =0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 2 20 50
P(X=xi) 0.5787 0.3472 0.0694 0.0046
xi ⋅ P(X=xi) 0 0,6944 1,388 0,23

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 2⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 50⋅0.0046

2.31

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 6 Asse, 7 Könige, 5 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 350, 2 Damen 140 und 2 Buben 50 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 5 92
As -> König 7 92
As -> Dame 5 92
As -> Bube 3 46
König -> As 7 92
König -> König 7 92
König -> Dame 35 552
König -> Bube 7 92
Dame -> As 5 92
Dame -> König 35 552
Dame -> Dame 5 138
Dame -> Bube 5 92
Bube -> As 3 46
Bube -> König 7 92
Bube -> Dame 5 92
Bube -> Bube 5 92

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 5 92

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 7 92

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 5 138

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 5 92

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 35 552 + 35 552 = 35 276

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 500 350 140 50 40
P(X=xi) 5 92 7 92 5 138 5 92 35 276
xi ⋅ P(X=xi) 625 23 1225 46 350 69 125 46 350 69

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ 5 92 + 350⋅ 7 92 + 140⋅ 5 138 + 50⋅ 5 92 + 40⋅ 35 276

= 625 23 + 1225 46 + 350 69 + 125 46 + 350 69
= 3750 138 + 3675 138 + 700 138 + 375 138 + 700 138
= 9200 138
= 200 3

66.67