Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 50€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 2€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.5787037037037≈ 0.5787(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))
Trefferzahl: 1
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.34722222222222≈ 0.3472(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))
Trefferzahl: 2
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.069444444444444≈ 0.0694(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))
Trefferzahl: 3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.0046296296296296≈ 0.0046(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 2 | 20 | 50 |
P(X=xi) | 0.5787 | 0.3472 | 0.0694 | 0.0046 |
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.5787 + 2⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 50⋅0.0046
≈ 2.31
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Stapel Karten mit 6 Asse, 7 Könige, 5 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 350, 2 Damen 140 und 2 Buben 50 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As | |
As -> König | |
As -> Dame | |
As -> Bube | |
König -> As | |
König -> König | |
König -> Dame | |
König -> Bube | |
Dame -> As | |
Dame -> König | |
Dame -> Dame | |
Dame -> Bube | |
Bube -> As | |
Bube -> König | |
Bube -> Dame | |
Bube -> Bube |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:
P('As'-'As')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:
P('König'-'König')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:
P('Dame'-'Dame')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:
P('Bube'-'Bube')
=
Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:
P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= + =
Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 2 Asse | 2 Könige | 2 Damen | 2 Buben | Paar (D&K) |
Zufallsgröße xi | 500 | 350 | 140 | 50 | 40 |
P(X=xi) | |||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 500⋅ + 350⋅ + 140⋅ + 50⋅ + 40⋅
=
=
=
=
≈ 66.67