Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X\le 3)$ = $P_{0.24}^6(X=0)$ + $P_{0.24}^6(X=1)$ + $P_{0.24}^6(X=2)$ + $P_{0.24}^6(X=3)$ = 0.96743286784 ≈ 0.9674
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.24}^4\cdot {0.76}^2$=0.02874507264≈ 0.0287
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.24}^5\cdot {0.76}^1$=0.003630956544≈ 0.0036
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.24.

$P_{0.24}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.24}^6\cdot {0.76}^0$=0.000191102976≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.24,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	400	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	33	393	2993
P(X=xi)	0.9674	0.0287	0.0036	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,148}$	$\mathrm{1,44}$	$\mathrm{0,6}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{6,7718}$	$\mathrm{0,9471}$	$\mathrm{1,4148}$	$\mathrm{0,5986}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9674 + 40⋅0.0287 + 400⋅0.0036 + 3000⋅0.0002

≈ 3.19

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.19 - 7 = -3.81 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.9674 + 33⋅0.0287 + 393⋅0.0036 + 2993⋅0.0002

≈ -3.81

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{1}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ = $\frac{8}{35}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	450	180	90	25
P(X=xi)	$\frac{1}{105}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{8}{35}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{200}{21}$	$\frac{450}{7}$	$\frac{72}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{40}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{1}{105}$ + 450⋅$\frac{1}{7}$ + 180⋅$\frac{2}{35}$ + 90⋅$\frac{1}{35}$ + 25⋅$\frac{8}{35}$

= $\frac{200}{21}$$+$ $\frac{450}{7}$$+$ $\frac{72}{7}$$+$ $\frac{18}{7}$$+$ $\frac{40}{7}$
= $\frac{200}{21}$$+$ $\frac{1350}{21}$$+$ $\frac{216}{21}$$+$ $\frac{54}{21}$$+$ $\frac{120}{21}$
= $\frac{1940}{21}$

≈ 92.38