Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X\le 1)$ = $P_{0.25}^5(X=0)$ + $P_{0.25}^5(X=1)$ = 0.6328125 ≈ 0.6328
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.25}^2\cdot {0.75}^3$=0.263671875≈ 0.2637
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.25}^3\cdot {0.75}^2$=0.087890625≈ 0.0879
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^1$=0.0146484375≈ 0.0146
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^0$=0.0009765625≈ 0.001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=xi)	0.6328	0.2637	0.0879	0.0146	0.001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,0548}$	$\mathrm{0,7911}$	$\mathrm{0,2336}$	$\mathrm{0,025}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{4,4296}$	$-\mathrm{0,7911}$	$\mathrm{0,1758}$	$\mathrm{0,1314}$	$\mathrm{0,018}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001

≈ 2.1

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 7 = -4.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.6328 + -3⋅0.2637 + 2⋅0.0879 + 9⋅0.0146 + 18⋅0.001

≈ -4.9

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{1}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{1}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{4}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße xi	1	2	3	4
P(X=xi)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$1$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{1}{4}$ + 2⋅$\frac{1}{4}$ + 3⋅$\frac{1}{4}$ + 4⋅$\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}$$+$ $\frac{1}{2}$$+$ $\frac{3}{4}$$+$ $1$
= $\frac{1}{4}$$+$ $\frac{2}{4}$$+$ $\frac{3}{4}$$+$ $\frac{4}{4}$
= $\frac{10}{4}$
= $\frac{5}{2}$

≈ 2.5