Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X\le 3)$ = $P_{0.23}^6(X=0)$ + $P_{0.23}^6(X=1)$ + $P_{0.23}^6(X=2)$ + $P_{0.23}^6(X=3)$ = 0.97199071431 ≈ 0.972
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.23}^4\cdot {0.77}^2$=0.024887659335≈ 0.0249
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.23}^5\cdot {0.77}^1$=0.002973590466≈ 0.003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.

$P_{0.23}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.23}^6\cdot {0.77}^0$=0.000148035889≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	35	185	985
P(X=xi)	0.972	0.0249	0.003	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{1,245}$	$\mathrm{0,6}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{14,58}$	$\mathrm{0,8715}$	$\mathrm{0,555}$	$\mathrm{0,0985}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.972 + 50⋅0.0249 + 200⋅0.003 + 1000⋅0.0001

≈ 1.95

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.95 - 15 = -13.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.972 + 35⋅0.0249 + 185⋅0.003 + 985⋅0.0001

≈ -13.06

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{14}{165}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{7}{330}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{330}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{7}{11}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{14}{165}$	$\frac{7}{330}$	$\frac{1}{330}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{7}{11}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{14}{165}$	$\frac{1}{66}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{7}{11}$ + 2⋅$\frac{14}{55}$ + 3⋅$\frac{14}{165}$ + 4⋅$\frac{7}{330}$ + 5⋅$\frac{1}{330}$

= $\frac{7}{11}$$+$ $\frac{28}{55}$$+$ $\frac{14}{55}$$+$ $\frac{14}{165}$$+$ $\frac{1}{66}$
= $\frac{210}{330}$$+$ $\frac{168}{330}$$+$ $\frac{84}{330}$$+$ $\frac{28}{330}$$+$ $\frac{5}{330}$
= $\frac{495}{330}$
= $\frac{3}{2}$

≈ 1.5