Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 128 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.25⋅128) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=128:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=137 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 137 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.7 gilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{\mathrm{26}}$⋅$\frac{3}{\mathrm{25}}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{\mathrm{26}}$ und beim zweiten $\frac{3}{\mathrm{25}}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1-$\frac{4}{\mathrm{26}}$⋅$\frac{3}{\mathrm{25}}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/26*(x-1)/25)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 11 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{27}(X\le 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{27}(X\le 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{8}{\mathrm{13}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{25}{30}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 25 sein.