Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>7</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 2 (≈$\frac{1}{7}$⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≈ 0.3851 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 17 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.7 gilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$⋅$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$ und beim zweiten $\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-$\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$⋅$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 10 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{85}(X\le 8)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{85}(X\le 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{8}{85}$. Mit diesem p wäre ja 8=$\frac{8}{85}$⋅85 der Erwartungswert und somit $P_p^{85}(X\le 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{8}{85}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 14 sein.