Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ = 1 - $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ oder $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{\mathrm{0.13}}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.13⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≈ 0.4394 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.13}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6 gilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$⋅$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$ und beim zweiten $\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-$\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{20}}$⋅$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{19}}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 6 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{18}(X\le 2)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{18}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{18}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{18}$⋅18 der Erwartungswert und somit $P_p^{18}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{18}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 12 sein.