Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.91 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 91% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.91}}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.91⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.3293 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.91}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.5 gilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{45}}$⋅$\frac{\mathrm{41}}{\mathrm{44}}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{45}}$ und beim zweiten $\frac{\mathrm{41}}{\mathrm{44}}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-$\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{45}}$⋅$\frac{\mathrm{41}}{\mathrm{44}}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{120}(X\ge 14)$ = 1- $P_p^{120}(X\le 13)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{120}(X\ge 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{\mathrm{17}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{28}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 28 sein.

Also wären noch 24 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.