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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=0.8 .

Berechne P(0.4 ≤ X ≤ 1.2).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(0.4 ≤ X ≤ 1.2) ≈ 0.3721

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=9.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.55. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.55 den Wert k ≈ 31.194.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 90 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube zwischen 89,8 und 90,2 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(89.8 ≤ X ≤ 90.2) ≈ 0.3829

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 3 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1,2 cm. Wie lang muss dann ein solches Insekt mindestens sein, damit es zu den längsten 35% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.35 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.35, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.65 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.35 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.65 liefert der WTR k ≈ 3.462.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 3}{1})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ 8) ≈ 0.7606

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.461.

Bestimme P(X ≤ -1).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 2.

Somit gilt: P( X ≤ 2) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-1 ≤ X ≤ 2) = 0.461 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ -1), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(X ≤ -1) = 0,5 - 0.461 = 0.039

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(0|0.057) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 0.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 0 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.057}$ ≈ 8.772 und runden diesen auf σ₁ = 9.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 0 und σ₁=9) an der gegebenen Stelle x = 0 und erhalten f₁(0) = 0.0443
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=9 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 0 berechnen:

μ = 0	σ = 8	f(0) = 0.0499
μ = 0	σ = 7	f(0) = 0.057

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 7 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 250 und σ. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 232) ≈ 0,023. Bestimme σ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 232) ≈ 0,023
oder anders ausgedrückt:
P(-∞ ≤ X ≤ μ - 18) ≈ 0,5 - 0.477 = 0,5 - $\frac{0.954}{2}$

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(μ - 18 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 18 ≤ X ≤ μ + 18) ≈ 0,954

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ - 2⋅σ) ≈ 0.954
muss also 2⋅σ = 18 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 9 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,4 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 35 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 35 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 35) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 35) mindestens 0.75 ist:

μ = 35: P(X ≥ 35) = 0.5

μ = 36: P(X ≥ 35) = 0.7625

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 36 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 700 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 700 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% um mehr als 7 ml von den geforderten 700 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 693) + P(X ≥ 707) < 5% oder eben, dass P(693 ≤ X ≤ 707) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 7 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 7 weniger als 2 σ entsprechen.

7 < 2⋅σ |:2
3.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 3.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(693 ≤X ≤ 707) unter die 0.95 sinkt:

σ = 3.5: P(693 ≤ X ≤ 707) ≈ 0.9545

σ = 3.6: P(693 ≤ X ≤ 707) ≈ 0.9482

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.5 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 7 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,8 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 40% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 7 und der Standardabweichung σ = 0.8.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.4 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.4 den Wert k ≈ 6.797.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 45 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Ein Forscher entdeckt insgesamt 65 solcher Insekten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2, aber nicht mehr als 10 dieser Insekten größer als 49,4 mm sind.

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 45 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 49.4) ≈ 0.1357 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 65 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 65 und p = 0.1357 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.136}^{65} (2 \leq X \leq 10)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

$P_{0.136}^{65} (X \leq 10)$ - $P_{0.136}^{65} (X \leq 1)$ ≈ 0.7379 - 0.0009 = 0.737

(TI-Befehl: binomcdf(65,0.1357,10) - binomcdf(65,0.1357,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 73,7%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Ist eine Schraube kürzer als 69,6 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90%, mindestens 23 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 69.6) ≈ 0.747508 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.747508 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
31	0.3786
32	0.2744
33	0.1902
34	0.1264
35	0.0808
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.747508 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.748}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.748}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.748}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 74.7508% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.747508}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.747508⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.3786 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 35 sein, damit $P_{0.748}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.748}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.9 gilt.

Aufgabenbeispiele von Normalverteilung

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw