Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 1.4) ≈ 0.3341

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.6, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.4 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.6 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.4 liefert der WTR k ≈ 38.48.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 103) ≈ 0.4207

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.65 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.65 den Wert k ≈ 2.231.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{5\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-1}{5}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(3 ≤ X ≤ 7) ≈ 0.6827

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 1) entspricht: P( X ≥ 1) = 0.086.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.086 - 0.086 = 0.828

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(-2 ≤ X ≤ 1) = $\frac{\mathrm{0.828}}{2}$= 0.414

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -4 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0363}}$ ≈ 13.774 und runden diesen auf σ₁ = 14.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -4 und σ₁=14) an der gegebenen Stelle x = -4 und erhalten f₁(-4) = 0.0285
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=14 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -4 berechnen:

μ = -4	σ = 13	f(-4) = 0.0307
μ = -4	σ = 12	f(-4) = 0.0332
μ = -4	σ = 11	f(-4) = 0.0363

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 11 sein.

Es gilt: P(μ ≤ X ≤ 250) ≈ 0,477≈ $\frac{\mathrm{0.954}}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{\mathrm{0.954}}{2}$ sein.
Mit σ = 5 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 10) ≈ $\frac{\mathrm{0.954}}{2}$

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 250 um 10 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 250 - 10 = 240 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 45 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 45) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 45) mindestens 0.75 ist:

μ = 45: P(X ≥ 45) = 0.5

μ = 46: P(X ≥ 45) = 0.7625

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 46 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 187) < 5% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 187) < 5% , dass P(173 ≤ X ≤ 187) > 90 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 7 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 7 weniger als 2 σ entsprechen.

7 < 2⋅σ |:2
3.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 3.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 187) über die 0.05 steigt:

σ = 3.5: P( X ≥ 187) ≈ 0.0227

σ = 3.6: P( X ≥ 187) ≈ 0.0259

...

σ = 4: P( X ≥ 187) ≈ 0.0401

σ = 4.1: P( X ≥ 187) ≈ 0.0439

σ = 4.2: P( X ≥ 187) ≈ 0.0478

σ = 4.3: P( X ≥ 187) ≈ 0.0518

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 4.2 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 82) ≈ 0.1151

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 45 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 56.2) ≈ 0.0548 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 60 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 60 und p = 0.0548 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.055}^{60}(2\le X\le 6)$ =

...

$P_{0.055}^{60}(X\le 6)$ - $P_{0.055}^{60}(X\le 1)$ ≈ 0.9548 - 0.1523 = 0.8025

(TI-Befehl: binomcdf(60,0.0548,6) - binomcdf(60,0.0548,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 80,3%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 56.4) ≈ 0.054799 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.054799 annehmen.