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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=1.6 .

Berechne P(X ≤ 1.7).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 1.7) ≈ 0.6691

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=8 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.95. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.95, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.05 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.95 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.05 liefert der WTR k ≈ 16.841.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 100 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 99,4 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 99.4) ≈ 0.8413

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 15% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.15 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.15, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.85 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.15 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.85 liefert der WTR k ≈ 115.546.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 3}{3})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ 0) ≈ 0.3721

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.477.

Bestimme P( X ≥ 4).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -1.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(-1 ≤ X ≤ 4) entspricht: P(-1 ≤ X ≤ 4) = 0.477.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.477 - 0.477 = 0.046

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P( X ≥ 4) = $\frac{0.046}{2}$ = 0.023

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(1|0.0266) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 1.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 1 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0266}$ ≈ 18.797 und runden diesen auf σ₁ = 19.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 1 und σ₁=19) an der gegebenen Stelle x = 1 und erhalten f₁(1) = 0.021
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=19 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 1 berechnen:

μ = 1	σ = 18	f(1) = 0.0222
μ = 1	σ = 17	f(1) = 0.0235
μ = 1	σ = 16	f(1) = 0.0249
μ = 1	σ = 15	f(1) = 0.0266

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 15 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 190 und σ. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 187) ≈ 0,1585. Bestimme σ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 187) ≈ 0,1585
oder anders ausgedrückt:
P(-∞ ≤ X ≤ μ - 3) ≈ 0,5 - 0.3415 = 0,5 - $\frac{0.683}{2}$

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(μ - 3 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.683}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 3 ≤ X ≤ μ + 3) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 3 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 3 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.75 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.7475

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 242 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 700 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 700 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% um mehr als 2,5 ml von den geforderten 700 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 697.5) + P(X ≥ 702.5) < 5% oder eben, dass P(697.5 ≤ X ≤ 702.5) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 2.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 2.5 weniger als 2 σ entsprechen.

2.5 < 2⋅σ |:2
1.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 1.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(697.5 ≤X ≤ 702.5) unter die 0.95 sinkt:

σ = 1.2: P(697.5 ≤ X ≤ 702.5) ≈ 0.9628

σ = 1.3: P(697.5 ≤ X ≤ 702.5) ≈ 0.9455

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 1.2 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 600 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.75 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.7475

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 602 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Es werden 115 Menschen zufällig ausgesucht und getestet. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 3 Hochbegabte, also mit einem IQ von mindestens 130, sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 115 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 115 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{115} (X \geq 3)$ =

1 - $P_{0.023}^{115} (X \leq 2)$ ≈ 1 - 0.5126 = 0.4874

(TI-Befehl: binomcdf(115,0.0228,115) - binomcdf(115,0.0228,2))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 48,7%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 90 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Ist eine Schraube kürzer als 89,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75%, mindestens 16 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 89.8) ≈ 0.691463 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.691463 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
23	0.4169
24	0.3069
25	0.2164
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.691463 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.691}^{n} (X \geq 16)$ ≥ 0.75

Weil man ja aber $P_{0.691}^{n} (X \geq 16)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.691}^{n} (X \geq 16)$ = 1 - $P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ ≥ 0.75 |+ $P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ - 0.75

0.25 ≥ $P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ oder $P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ ≤ 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 69.1463% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{16}{0.691463}$ ≈ 23 Versuchen auch ungefähr 16 (≈0.691463⋅23) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=23:
$P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ ≈ 0.4169 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.25 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.25 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.25 ist.

n muss also mindestens 25 sein, damit $P_{0.691}^{n} (X \leq 15)$ ≤ 0.25 oder eben $P_{0.691}^{n} (X \geq 16)$ ≥ 0.75 gilt.

Aufgabenbeispiele von Normalverteilung

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw