Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(-0.2 ≤ X ≤ 1.8) ≈ 0.3812

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.05 den Wert k ≈ 21.776.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 1.3) ≈ 0.9217

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.8 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.8 den Wert k ≈ 4.842.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-5}{3}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(1 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.0441

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -4) entspricht: P( X ≤ -4) = 0.062.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.062 - 0.062 = 0.876

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(-4 ≤ X ≤ -2) = $\frac{\mathrm{0.876}}{2}$= 0.438

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 0 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.057}}$ ≈ 8.772 und runden diesen auf σ₁ = 9.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 0 und σ₁=9) an der gegebenen Stelle x = 0 und erhalten f₁(0) = 0.0443
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=9 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 0 berechnen:

μ = 0	σ = 8	f(0) = 0.0499
μ = 0	σ = 7	f(0) = 0.057

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 7 sein.

Es gilt: P(242 ≤ X ≤ 258) ≈ 0,683
oder anders ausgedrückt:
P(μ - 8 ≤ X ≤ μ + 8) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 8 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 8 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 480 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 480) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 480) mindestens 0.75 ist:

μ = 480: P(X ≥ 480) = 0.5

μ = 481: P(X ≥ 480) = 0.6306

μ = 482: P(X ≥ 480) = 0.7475

μ = 483: P(X ≥ 480) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 483 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 595) + P(X ≥ 605) < 15% oder eben, dass P(595 ≤ X ≤ 605) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion. Wir starten also mit einem sehr kleinen σ und erhöhen dieses so lange, bis P(595 ≤ X ≤ 605) unter die 0.85 sinkt:

σ = 0.1: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 1

...

σ = 3.1: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 0.8932

σ = 3.2: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 0.8818

σ = 3.3: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 0.8703

σ = 3.4: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 0.8586

σ = 3.5: P(595 ≤ X ≤ 605) ≈ 0.8469

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.4 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.9 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.6554

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.7881

μ = 603: P(X ≥ 600) = 0.8849

μ = 604: P(X ≥ 600) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 604 einstellen.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 10.1 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4401 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 85 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 85 und p = 0.44 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.44}^{85}(X\ge 34)$ =

1 - $P_{0.44}^{85}(X\le 33)$ ≈ 1 - 0.1968 = 0.8032

(TI-Befehl: binomcdf(85,0.44,85) - binomcdf(85,0.44,33))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 80,3%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.