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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=1.8 .

Berechne P(X = 0.8).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

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Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, kann man nur Wahrscheinlichkeiten von Intervallen berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert ist immer =0, somit gilt auch hier: P(X = 0.8) = 0.

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=2.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.45. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.45 den Wert k ≈ 29.686.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 4 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1,3 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt größer oder gleich 4 cm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 1.3.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 4) ≈ 0.5

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 7 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm. Wie lang muss dann ein solches Insekt mindestens sein, damit es zu den längsten 55% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 7 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.55 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.55, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.45 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.55 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.45 liefert der WTR k ≈ 6.874.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 0}{4})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-11 ≤ X ≤ -7) ≈ 0.1866

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.234.

Bestimme P(X ≤ -2).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -1.

Somit gilt: P( X ≤ -1) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-2 ≤ X ≤ -1) = 0.234 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ -2), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(X ≤ -2) = 0,5 - 0.234 = 0.266

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-2|0.0665) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -2.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -2 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0665}$ ≈ 7.519 und runden diesen auf σ₁ = 8.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -2 und σ₁=8) an der gegebenen Stelle x = -2 und erhalten f₁(-2) = 0.0499
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=8 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -2 berechnen:

μ = -2	σ = 7	f(-2) = 0.057
μ = -2	σ = 6	f(-2) = 0.0665

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 6 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 6. Es gilt P(222 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023. Bestimme μ.

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Es gilt: P(222 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ 222) ≈ 0,5 - 0,023 ≈ 0.477 ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 6 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 12) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 222 um 12 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 222 - 12 = 210 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 8 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 8 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 480 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 480) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 480) mindestens 0.75 ist:

μ = 480: P(X ≥ 480) = 0.5

μ = 481: P(X ≥ 480) = 0.6125

μ = 482: P(X ≥ 480) = 0.7161

μ = 483: P(X ≥ 480) = 0.8043

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 483 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 800 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 800 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 15% um mehr als 3,5 ml von den geforderten 800 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 796.5) + P(X ≥ 803.5) < 15% oder eben, dass P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 3.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 3.5 weniger als 2 σ entsprechen.

3.5 < 2⋅σ |:2
1.75 < σ

Wir starten also mal bei σ = 1.75 und erhöhen dieses so lange, bis P(796.5 ≤X ≤ 803.5) unter die 0.85 sinkt:

σ = 1.7: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.9605

σ = 1.8: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.9482

...

σ = 2.1: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.9044

σ = 2.2: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.8884

σ = 2.3: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.8719

σ = 2.4: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.8553

σ = 2.5: P(796.5 ≤ X ≤ 803.5) ≈ 0.8385

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 2.4 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,6 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 60 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 60 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 60) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 60) mindestens 0.9 ist:

μ = 60: P(X ≥ 60) = 0.5

μ = 61: P(X ≥ 60) = 0.734

μ = 62: P(X ≥ 60) = 0.8944

μ = 63: P(X ≥ 60) = 0.9696

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 63 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 9,2 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 1,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 125 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 89 Stück in den Großhandel kommen?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.2 und der Standardabweichung σ = 1.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.6731 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 125 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 125 und p = 0.6731 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.673}^{125} (X \geq 89)$ =

1 - $P_{0.673}^{125} (X \leq 88)$ ≈ 1 - 0.7964 = 0.2036

(TI-Befehl: binomcdf(125,0.6731,125) - binomcdf(125,0.6731,88))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 20,4%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Mittel einen "Durchmesser" von 9,1 cm und eine Standardabweichung von 2 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie viele Äpfel muss man mindestens ernten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% mindestens 55 Stück an den Großhandel verkaufen zu können?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.1 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.537784 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.537784 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
107	0.2772
108	0.2444
109	0.2142
110	0.1865
111	0.1614
112	0.1387
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Äpfel im geforderten Größenbereich an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.537784 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.538}^{n} (X \geq 55)$ ≥ 0.85

Weil man ja aber $P_{0.538}^{n} (X \geq 55)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.538}^{n} (X \geq 55)$ = 1 - $P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ ≥ 0.85 |+ $P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ - 0.85

0.15 ≥ $P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ oder $P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ ≤ 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 53.7784% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{55}{0.537784}$ ≈ 102 Versuchen auch ungefähr 55 (≈0.537784⋅102) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=102:
$P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ ≈ 0.471 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.15 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.15 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=112 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.15 ist.

n muss also mindestens 112 sein, damit $P_{0.538}^{n} (X \leq 54)$ ≤ 0.15 oder eben $P_{0.538}^{n} (X \geq 55)$ ≥ 0.85 gilt.

Aufgabenbeispiele von Normalverteilung

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw