Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 1.6) ≈ 0.3446

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.9, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.1 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.9 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.1 liefert der WTR k ≈ 27.185.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 79.2) ≈ 0.8735

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.45 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.45 den Wert k ≈ 59.912.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-2}{1}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-7 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.5586

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 5.

Somit gilt: P( X ≥ 5) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P( X ≥ 6) = 0.278 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(5 ≤ X ≤ 6), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(5 ≤ X ≤ 6) = 0,5 - 0.278 = 0.222

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -1 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0399}}$ ≈ 12.531 und runden diesen auf σ₁ = 13.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -1 und σ₁=13) an der gegebenen Stelle x = -1 und erhalten f₁(-1) = 0.0307
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=13 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -1 berechnen:

μ = -1	σ = 12	f(-1) = 0.0332
μ = -1	σ = 11	f(-1) = 0.0363
μ = -1	σ = 10	f(-1) = 0.0399

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 10 sein.

Es gilt: P(302 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,0015
oder anders ausgedrückt:
P(μ + 12 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,5 - 0.4985 = 0,5 - $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ μ + 12) ≈ $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 12 ≤ X ≤ μ + 12) ≈ 0,997

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ - 3⋅σ) ≈ 0.997
muss also 3⋅σ = 12 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 4 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.75 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6554

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7881

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 242 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 7.2) + P(X ≥ 8.8) < 20% oder eben, dass P(7.2 ≤ X ≤ 8.8) ≥ 0.8 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.8 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.8 weniger als 2 σ entsprechen.

0.8 < 2⋅σ |:2
0.4 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.4 und erhöhen dieses so lange, bis P(7.2 ≤X ≤ 8.8) unter die 0.8 sinkt:

σ = 0.4: P(7.2 ≤ X ≤ 8.8) ≈ 0.9545

σ = 0.5: P(7.2 ≤ X ≤ 8.8) ≈ 0.8904

σ = 0.6: P(7.2 ≤ X ≤ 8.8) ≈ 0.8176

σ = 0.7: P(7.2 ≤ X ≤ 8.8) ≈ 0.7469

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.6 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.6 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.6, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.4 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.6 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.4 liefert der WTR k ≈ 1.823.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 85 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 85 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{85}(X\ge 4)$ =

1 - $P_{0.023}^{85}(X\le 3)$ ≈ 1 - 0.871 = 0.129

(TI-Befehl: binomcdf(85,0.0228,85) - binomcdf(85,0.0228,3))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 12,9%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.