Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 1) ≈ 0.5

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.65, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.35 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.65 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.35 liefert der WTR k ≈ 17.881.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 1.1.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 2) ≈ 0.5

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.3 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.3 den Wert k ≈ 92.134.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= -1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{5\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x+1}{5}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(1 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.6247

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -4.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ -3) entspricht: P( X ≥ -3) = 0.266.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.266 - 0.266 = 0.468,

also P(-5 ≤ X ≤ -3) = 0.468

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -3 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0199}}$ ≈ 25.126 und runden diesen auf σ₁ = 25.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -3 und σ₁=25) an der gegebenen Stelle x = -3 und erhalten f₁(-3) = 0.016
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=25 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -3 berechnen:

μ = -3	σ = 24	f(-3) = 0.0166
μ = -3	σ = 23	f(-3) = 0.0173
μ = -3	σ = 22	f(-3) = 0.0181
μ = -3	σ = 21	f(-3) = 0.019
μ = -3	σ = 20	f(-3) = 0.0199

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 20 sein.

Es gilt: P(200 ≤ X ≤ 242) ≈ 0,4985
oder anders ausgedrückt:
P(μ ≤ X ≤ μ + 42) ≈ $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 42 ≤ X ≤ μ + 42) ≈ 0,997

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ - 3⋅σ) ≈ 0.997
muss also 3⋅σ = 42 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 14 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.75 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.7475

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 602 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 696) + P(X ≥ 704) < 20% oder eben, dass P(696 ≤ X ≤ 704) ≥ 0.8 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 4 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 4 weniger als 2 σ entsprechen.

4 < 2⋅σ |:2
2 < σ

Wir starten also mal bei σ = 2 und erhöhen dieses so lange, bis P(696 ≤X ≤ 704) unter die 0.8 sinkt:

σ = 2: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.9545

σ = 2.1: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.9432

...

σ = 2.9: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.8322

σ = 3: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.8176

σ = 3.1: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.8031

σ = 3.2: P(696 ≤ X ≤ 704) ≈ 0.7887

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.1 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 70 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 70) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 70) mindestens 0.9 ist:

μ = 70: P(X ≥ 70) = 0.5

μ = 71: P(X ≥ 70) = 0.7475

μ = 72: P(X ≥ 70) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 72 einstellen.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.5 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.5467 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 80 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 80 und p = 0.5467 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.547}^{80}(X\ge 40)$ =

1 - $P_{0.547}^{80}(X\le 39)$ ≈ 1 - 0.1704 = 0.8296

(TI-Befehl: binomcdf(80,0.5467,80) - binomcdf(80,0.5467,39))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 83%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 10 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.532807 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.532807 annehmen.