Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 2.6) ≈ 0.3694

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.5 den Wert k ≈ 40.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 89.4) ≈ 0.9332

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.9.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.45 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.45 den Wert k ≈ 1.887.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{5\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x+3}{5}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.4772

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -1.

Somit gilt: P( X ≥ -1) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-1 ≤ X ≤ 0) = 0.162 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 0), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P( X ≥ 0) = 0,5 - 0.162 = 0.338

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 4 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0399}}$ ≈ 12.531 und runden diesen auf σ₁ = 13.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 4 und σ₁=13) an der gegebenen Stelle x = 4 und erhalten f₁(4) = 0.0307
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=13 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 4 berechnen:

μ = 4	σ = 12	f(4) = 0.0332
μ = 4	σ = 11	f(4) = 0.0363
μ = 4	σ = 10	f(4) = 0.0399

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 10 sein.

Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 124) ≈ 0,1585
oder anders ausgedrückt:
P(-∞ ≤ X ≤ μ - 6) ≈ 0,5 - 0.3415 = 0,5 - $\frac{\mathrm{0.683}}{2}$

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(μ - 6 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{\mathrm{0.683}}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 6 ≤ X ≤ μ + 6) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 6 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 6 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.9 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6306

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7475

μ = 243: P(X ≥ 240) = 0.8413

μ = 244: P(X ≥ 240) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 244 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 129) < 10% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 129) < 10% , dass P(111 ≤ X ≤ 129) > 80 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 9 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 9 weniger als 2 σ entsprechen.

9 < 2⋅σ |:2
4.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 129) über die 0.1 steigt:

σ = 4.5: P( X ≥ 129) ≈ 0.0227

σ = 4.6: P( X ≥ 129) ≈ 0.0252

...

σ = 6.7: P( X ≥ 129) ≈ 0.0896

σ = 6.8: P( X ≥ 129) ≈ 0.0928

σ = 6.9: P( X ≥ 129) ≈ 0.0961

σ = 7: P( X ≥ 129) ≈ 0.0993

σ = 7.1: P( X ≥ 129) ≈ 0.1025

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 7 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 700 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 700) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 700) mindestens 0.9 ist:

μ = 700: P(X ≥ 700) = 0.5

μ = 701: P(X ≥ 700) = 0.6125

μ = 702: P(X ≥ 700) = 0.7161

μ = 703: P(X ≥ 700) = 0.8043

μ = 704: P(X ≥ 700) = 0.8735

μ = 705: P(X ≥ 700) = 0.9234

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 705 einstellen.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 85 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 85 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{85}(X\ge 4)$ =

1 - $P_{0.023}^{85}(X\le 3)$ ≈ 1 - 0.871 = 0.129

(TI-Befehl: binomcdf(85,0.0228,85) - binomcdf(85,0.0228,3))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 12,9%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.