Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 3.6) ≈ 0.7881

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.7, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.3 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.7 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.3 liefert der WTR k ≈ 47.902.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 49.2) ≈ 0.9452

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 0.9.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.25 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.25 den Wert k ≈ 2.393.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-5}{1}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-6 ≤ X ≤ -3) ≈ 0.5328

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 0.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(0 ≤ X ≤ 4) entspricht: P(0 ≤ X ≤ 4) = 0.477.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.477 - 0.477 = 0.046

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P( X ≥ 4) = $\frac{\mathrm{0.046}}{2}$= 0.023

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 0 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0443}}$ ≈ 11.287 und runden diesen auf σ₁ = 11.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 0 und σ₁=11) an der gegebenen Stelle x = 0 und erhalten f₁(0) = 0.0363
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=11 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 0 berechnen:

μ = 0	σ = 10	f(0) = 0.0399
μ = 0	σ = 9	f(0) = 0.0443

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 9 sein.

Es gilt: P(209 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,4985≈ $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ + 3⋅σ) ≈ 0.997 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$ sein.
Mit σ = 7 gilt somit: P(μ - 21 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{\mathrm{0.997}}{2}$

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 209 um 21 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 209 + 21 = 230 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.75 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6915

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 802 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 8.2) + P(X ≥ 9.8) < 10% oder eben, dass P(8.2 ≤ X ≤ 9.8) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.8 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.8 weniger als 2 σ entsprechen.

0.8 < 2⋅σ |:2
0.4 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.4 und erhöhen dieses so lange, bis P(8.2 ≤X ≤ 9.8) unter die 0.9 sinkt:

σ = 0.4: P(8.2 ≤ X ≤ 9.8) ≈ 0.9545

σ = 0.5: P(8.2 ≤ X ≤ 9.8) ≈ 0.8904

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.4 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.2 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.2, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.8 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.2 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.8 liefert der WTR k ≈ 112.624.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 115 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 115 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{115}(X\ge 4)$ =

1 - $P_{0.023}^{115}(X\le 3)$ ≈ 1 - 0.7334 = 0.2666

(TI-Befehl: binomcdf(115,0.0228,115) - binomcdf(115,0.0228,3))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 26,7%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 45 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 50.6) ≈ 0.080756 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.080756 annehmen.