Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ -1.4) ≈ 0.9641

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.25 den Wert k ≈ 38.314.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 5 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(4.8 ≤ X ≤ 5.8) ≈ 0.3137

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 0.2.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.2 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.2, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.8 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.2 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.8 liefert der WTR k ≈ 60.168.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-5}{3}\right)}^2}$

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-10 ≤ X ≤ -7) ≈ 0.1359

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ -1) entspricht: P( X ≥ -1) = 0.278.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.278 - 0.278 = 0.444,

also P(-3 ≤ X ≤ -1) = 0.444

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -9 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0249}}$ ≈ 20.08 und runden diesen auf σ₁ = 20.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -9 und σ₁=20) an der gegebenen Stelle x = -9 und erhalten f₁(-9) = 0.0199
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=20 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -9 berechnen:

μ = -9	σ = 19	f(-9) = 0.021
μ = -9	σ = 18	f(-9) = 0.0222
μ = -9	σ = 17	f(-9) = 0.0235
μ = -9	σ = 16	f(-9) = 0.0249

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 16 sein.

Es gilt: P(208 ≤ X ≤ 232) ≈ 0,997

Die entsprechende Sigma-Regel ist P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ + 3⋅σ) ≈ 0.997.

Und da die 6 σ Abstand zwischen μ - 3⋅σ und μ + 3⋅σ genau den 6⋅4 = 24 zwischen 208 und 232 entspricht, muss der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 208 und 232 liegen.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = $\frac{\mathrm{208+232}}{2}$ = 220 .

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 65 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 65) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 65) mindestens 0.75 ist:

μ = 65: P(X ≥ 65) = 0.5

μ = 66: P(X ≥ 65) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 66 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 8.3) + P(X ≥ 9.7) < 15% oder eben, dass P(8.3 ≤ X ≤ 9.7) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.7 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.7 weniger als 2 σ entsprechen.

0.7 < 2⋅σ |:2
0.35 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.35 und erhöhen dieses so lange, bis P(8.3 ≤X ≤ 9.7) unter die 0.85 sinkt:

σ = 0.3: P(8.3 ≤ X ≤ 9.7) ≈ 0.9804

σ = 0.4: P(8.3 ≤ X ≤ 9.7) ≈ 0.9199

σ = 0.5: P(8.3 ≤ X ≤ 9.7) ≈ 0.8385

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.4 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 5 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 5.5) ≈ 0.6615

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.1 und der Standardabweichung σ = 1.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.6657 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 95 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 95 und p = 0.6657 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.666}^{95}(X\ge 59)$ =

1 - $P_{0.666}^{95}(X\le 58)$ ≈ 1 - 0.1514 = 0.8486

(TI-Befehl: binomcdf(95,0.6657,95) - binomcdf(95,0.6657,58))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 84,9%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.