Aufgabenbeispiele von Flächen

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Spezielles Viereck erkennen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bei dieser Figur handelt es sich um ein/e (besondere(s)):

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An den 4 rechten Winkeln und den 4 gleich langen Seiten kann man erkennen, dass es sich bei diesem Viereck um ein Quadrat handelt.

  • Weil das abgebildete Viereck 2 gegenüber liegende Seiten hat, die parallel sind, ist dieses Viereck auch ein spezielles Trapez.
  • Weil beim abgebildeten Viereck auf beiden Seiten die benachbarten Seiten gleich lang sind, ist dieses Viereck auch ein spezieller Drachen.
  • Weil beim abgebildeten Viereck die gegenüber liegenden Seiten immer jeweils parallel und gleich lang sind, ist dieses Viereck auch ein spezielles Parallelogramm.
  • Weil das abgebildete Viereck 4 gleich lange Seiten hat, ist dieses Viereck auch eine spezielle Raute.
  • Weil das abgebildete Viereck 4 rechte Winkel hat, ist dieses Viereck auch ein spezielles Rechteck.

Das Viereck ist also: Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachen, Trapez, Viereck

Symmetrieachsen

Beispiel:

Finde die Symmetrieachsen.

Zeichne die Symmetrieachsen als Linien in die Abbildung ein.

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Rechts sind die richtigen Symmetrieachsen zu sehen.

Punktsymmetrie erkennen

Beispiel:

Finde das Symmetriezentrum.

Klicke auf den Punkt, der das Symmetriezentrum der Figur ist. Falls die Figur nicht punktsymmetrisch ist, setze den entsprechenden Haken.

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Diese Figur ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum (blauer Punkt) liegt genau in der Mitte.

Flächeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle die Fläche in die angegebene Einheit um: 7500000 cm² = ..... m²

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Die korrekte Antwort lautet:
7500000 cm² = 750 m²

Flächeneinheit finden

Beispiel:

Bestimme die richtige Einheit: 260000 cm² = 26⬜

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Die nächst größere Flächeneinheit ist ja dm², also sind 100 cm² = 1 dm².

Das bedeutet, dass 260000 cm² = 2600 dm² sind.

Die nächst größere Flächeneinheit ist dann ja m², also sind 100 dm² = 1 m², und 10 000 cm² = 1 m².

Das bedeutet, dass 260000 cm² = 26 m² sind.

Flächeneinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in dm² an

15 m² + 55 dm²

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Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

15 m² = 1500 dm²

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

15 m² + 55 dm²
= 1500 dm² + 55 dm²
= 1555 dm²

Flächeninhalt Rechteck

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 10 km, b = 3 km

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Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

A = a ⋅ b
= 10 km ⋅ 3 km
= 30 km²

Umfang Rechteck

Beispiel:

Berechne den Umfang des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 10 cm, b = 3 cm

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Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):

U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 10 cm + 2 ⋅ 3 cm
= 26 cm

Umfang rückwärts

Beispiel:

Ein Rechteck ist 10 cm breit und hat einen Umfang von 30 cm. Wie lang ist es?

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Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seitem, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b

Also gilt: 30 cm = 2⋅⬜ + 2⋅10 cm

30 cm = 2⋅⬜ + 20 cm

Also muss der Abstand zwischen 30 und 20 (=10) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.

10 cm² = 2⋅⬜

Das Kästchen muss also die Hälfte von 10 cm, also 5 cm sein.

Umfang und Flächeninhalt Rechteck

Beispiel:

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 8 cm, b = 11 cm.

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Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):

U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 8 cm + 2 ⋅ 11 cm
= 38 cm

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

A = a ⋅ b
= 8 cm ⋅ 11 cm
= 88 cm²

Flächeninhalt rückwärts

Beispiel:

Ein Rechteck ist 30 dm breit und hat einen Flächeninhalt von 240 dm². Wie lang ist es?

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Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b

Also gilt: 240 dm² = ⬜ ⋅30 dm

Das Kästchen kann man also mit 240 dm : 30 dm = 8 dm berechnen.

Umfang und Flächeninhalt gemischt

Beispiel:

Ein Rechteck ist 10 dm lang und hat den Flächeninhalt A=60 dm². Bestimme die Breite b und den Umfang U des Rechetcks.

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Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b

Also gilt: 60 dm² = ⬜ ⋅10 dm

Das Kästchen kann man also mit 60 dm² : 10 dm = 6 dm berechnen.

Beim Umfang des Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):

U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 6 dm + 2 ⋅ 10 dm
= 32 dm

Flächeninhalt und Umfang - Knobeln

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt A = 90 cm² und den Umfang U = 38 cm. Bestimme die Seitenlängen a und b.

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Der Flächeninhalt A = 90 des Rechtecks berechnet sich ja durch Multiplizieren der Seitenlängen. Also probieren wir alle Teiler von 90 cm² durch:

90 = 1 ⋅ 90, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 90 = 182

90 = 2 ⋅ 45, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 45 = 94

90 = 3 ⋅ 30, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 30 = 66

90 = 5 ⋅ 18, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 18 = 46

90 = 6 ⋅ 15, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 15 = 42

90 = 9 ⋅ 10, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 10 = 38

Mit den Seitenlängen 10 cm und 9 cm ist also der Flächeninhalt des Rechtecks A = 90 cm² und der Umfang U=38 cm.

Umfang von Figuren

Beispiel:

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Bestimme den Umfang der Figur in cm. (2 Kästchen sind 1 cm lang)

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Wir zählen einfach alle Teilstrecken - beginnend links unten gegen den Uhrzeigersinn - der Reihe nach zusammen,:

U = 3 cm + 2 cm + 1 cm + 1 cm + 3 cm + 1 cm + 1 cm + 2 cm = 14 cm.

Umfang im KoSy

Beispiel:

Zeichne das Viereck ABCD mit A(0|4), B(4|1), C(10|1) und D(10|4) in eine Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Bestimme den Umfang des Vierecks.

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Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:

U = AB + BC + CD + DA +
= 5 cm + 6 cm + 3 cm + 10 cm
=24 cm

Spezielle Dreiecke zeichnen

Beispiel:

Ergänze die Strecke AB zu einem Dreieck 𝐴𝐵𝐶 mit drei gleich langen Seiten.

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Um ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten zu bekommen, muss der x-Wert des Punkts C genau über der Mitte der Strecke AB liegen, damit AC und BC gleich lang sind. Dabei muss man dann eben noch soweit nach oben gehen, bis diese beiden Strecken AC und BC auch noch gleichlang wie die Strecke AB ist.

Umfang und Inhalt von Figuren

Beispiel:

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Gib den Flächeninhalt A der folgenden Figuren erst mithilfe von Kästchen und anschließend in der Einheit cm² an.

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Wir unterteilen die Gesamtfläche in Rechtecke und Dreiecke (siehe Abbildung rechts):

Man kann an der Abbildung erkennen, dass das rechte Dreieck gerade den halben Flächeninhalt des roten Rechtecks auf der rechten Seite besitzt.
Dieses rote Rechteck, ist ja 2 Kästchen oder 1 cm breit und 6 Kästchen oder 3 cm hoch und besitzt somit den Flächeninhalt von 2⋅6 = 12 Kästchen oder 1 cm ⋅ 3 cm = 3 cm².


Das lila Dreieck, also das halbe rote Rechteck, besteht somit aus 12 : 2 = 6 Kästchen und hat den Flächeninhalt somit: A2 = 3 : 2 = 1,5 cm².

Für das restliche rein lila Rechteck kann man eine Breite von 6 Kästchen oder 3 cm und eine Höhe von 6 Kästchen oder 3 cm erkennen.
Es besitzt somit den Flächeninhalt von 6⋅6 = 36 Kästchen oder A1 = 3 cm ⋅ 3 cm = 9 cm².

Somit besteht der gesamte Flächeninhalt aus 36 + 6 = 42 Kästchen. oder eben
A = 9 cm² + 1,5 cm² = 10,5 cm² ( = 42 : 4, weil ja immer 4 Kästchen einem cm² entsprechen).