Aufgabenbeispiele von Körper

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Volumeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 138 m³ = ..... dm³

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Die korrekte Antwort lautet:
138 m³ = 138000 dm³

Raumeinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:

40 dm³ - 1020 cm³

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Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

40 dm³ = 40000 cm³

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

40 dm³ - 1020 cm³
= 40000 cm³ - 1020 cm³
= 38980 cm³

Volumen - Masse bei Wasser

Beispiel:

Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.

Wie viel wiegen 2000 mm³ Wasser ?

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2000 mm³ = 2 cm³

1 cm³ ≙ 1 g

Somit wiegen 2 cm³ Wasser eben 2 g

Volumen eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 4 dm lang, 6 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 dm ⋅ 6 dm ⋅ 10 dm
= 240 dm³

Quadervolumen offen

Beispiel:

Ein Quader ist hat das Volumen 100 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.

Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.

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Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 25 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 25 m = 100 m³.

Volumen auch rückwärts

Beispiel:

Ein Quader ist 3 m lang, 10 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 m ⋅ 10 m ⋅ 5 m
= 150 m³

Oberfläche eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.

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Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅4 mm⋅4 mm
= 40 mm² + 40 mm² + 32 mm²
= 112 mm²

Volumen auch rückwärts + Oberfl.

Beispiel:

Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ 5 mm
= 100 mm³

Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅5 mm + 2⋅4 mm⋅5 mm
= 40 mm² + 50 mm² + 40 mm²
= 130 mm²

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 27 cm³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

27 cm³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 cm funktioniert.

Schrägbild zeichnen

Beispiel:

Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.

Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.

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Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|5) = D(4|5).

An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+4) = E(2|7).

Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+4) = F(7|7).

Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+4) = H(4|9).