Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 47 dm³ = ..... mm³
47 dm³ = 47000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
85 l + 740 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
85 dm³ + 740 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
85 dm³ = 85000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
85 dm³ + 740 cm³
= 85000 cm³ + 740 cm³
= 85740 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 12 m³ Wasser eben 12 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 3 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 dm ⋅ 3 dm ⋅ 5 dm
= 60 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 160 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 40 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 40 dm = 160 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m breit, 10 m hoch und hat das Volumen V = 280 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 280 m³ = ⬜ ⋅ 4 m ⋅ 10 m
280 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 280 m³ : 40 m² = 7 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 5 m breit und 6 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 m⋅5 m + 2⋅6 m⋅6 m
+ 2⋅5 m⋅6 m
= 60 m² + 72 m² + 60 m²
= 192 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 5 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 cm ⋅ 5 cm ⋅ 8 cm
= 160 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅5 cm + 2⋅4 cm⋅8 cm
+ 2⋅5 cm⋅8 cm
= 40 cm² + 64 cm² + 80 cm²
= 184 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(8|4) und G(8|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+2) = E(3|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+2) = F(6|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+2) = H(5|6).