Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 523 m³ = ..... ml
523 m³ = 523000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
105 dm³ - 950 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
105 dm³ = 105000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
105 dm³ - 950 cm³
= 105000 cm³ - 950 cm³
= 104050 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 16 ml Wasser eben 16 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 8 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 8 m ⋅ 5 m
= 200 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 18 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 18 m = 72 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 4 m hoch und hat das Volumen V = 160 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 m³ = 10 m ⋅ ⬜ ⋅ 4 m
160 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 160 m³ : 40 m² = 4 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 3 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅3 dm + 2⋅5 dm⋅6 dm
+ 2⋅3 dm⋅6 dm
= 30 dm² + 60 dm² + 36 dm²
= 126 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 10 m hoch und hat das Volumen V = 320 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 m³ = 8 m ⋅ ⬜ ⋅ 10 m
320 m³ = ⬜ ⋅ 80 m²
Das Kästchen kann man also mit 320 m³ : 80 m² = 4 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 m⋅10 m + 2⋅8 m⋅4 m
+ 2⋅10 m⋅4 m
= 160 m² + 64 m² + 80 m²
= 304 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|5) = D(3|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+4) = E(1|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+4) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(3|5) liegen muss, also bei H(3|5+4) = H(3|9).