Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 7090000 mm³ = ..... cm³
7090000 mm³ = 7090 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
109 m³ + 690 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
109 m³ + 690 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
109 m³ = 109000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
109 m³ + 690 dm³
= 109000 dm³ + 690 dm³
= 109690 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 17 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 17 m³ Wasser eben 17 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 7 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 7 m ⋅ 6 m
= 420 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 3 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 3 mm = 12 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm breit, 3 mm hoch und hat das Volumen V = 60 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 60 mm³ = ⬜ ⋅ 2 mm ⋅ 3 mm
60 mm³ = ⬜ ⋅ 6 mm²
Das Kästchen kann man also mit 60 mm³ : 6 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 4 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅4 dm + 2⋅5 dm⋅8 dm
+ 2⋅4 dm⋅8 dm
= 40 dm² + 80 dm² + 64 dm²
= 184 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 4 dm hoch und hat das Volumen V = 80 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 dm³ = 4 dm ⋅ ⬜ ⋅ 4 dm
80 dm³ = ⬜ ⋅ 16 dm²
Das Kästchen kann man also mit 80 dm³ : 16 dm² = 5 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅4 dm + 2⋅4 dm⋅5 dm
+ 2⋅4 dm⋅5 dm
= 32 dm² + 40 dm² + 40 dm²
= 112 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(5|2), C(8|5) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|5) = D(4|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+2) = E(1|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+2) = F(5|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+2) = H(4|7).