Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 248 m³ = ..... Liter
248 m³ = 248000 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
73 cm³ - 890 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
73 cm³ = 73000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
73 cm³ - 890 mm³
= 73000 mm³ - 890 mm³
= 72110 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 13 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 13 dm³ Wasser eben 13 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 cm ⋅ 10 cm ⋅ 10 cm
= 400 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 32 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 8 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 8 cm = 32 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 5 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 dm ⋅ 5 dm ⋅ 5 dm
= 150 dm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 9 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 mm⋅9 mm + 2⋅8 mm⋅10 mm
+ 2⋅9 mm⋅10 mm
= 144 mm² + 160 mm² + 180 mm²
= 484 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 160 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 mm³ = 4 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
160 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 160 mm³ : 20 mm² = 8 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅5 mm + 2⋅4 mm⋅8 mm
+ 2⋅5 mm⋅8 mm
= 40 mm² + 64 mm² + 80 mm²
= 184 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(4|2), C(6|4) und G(6|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-2|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+4) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(4|2) liegen muss, also bei F(4|2+4) = F(4|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+4) = H(4|8).