Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 662 m³ = ..... ml
662 m³ = 662000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
64 ml - 830 mm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
64 cm³ - 830 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
64 cm³ = 64000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
64 cm³ - 830 mm³
= 64000 mm³ - 830 mm³
= 63170 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4000 cm³ Wasser ?
4000 cm³ = 4 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 4 dm³ Wasser eben 4 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 5 cm ⋅ 4 cm
= 120 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 60 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 15 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 15 mm = 60 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm breit, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 300 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 mm³ = ⬜ ⋅ 5 mm ⋅ 6 mm
300 mm³ = ⬜ ⋅ 30 mm²
Das Kästchen kann man also mit 300 mm³ : 30 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 5 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅5 cm + 2⋅10 cm⋅5 cm
+ 2⋅5 cm⋅5 cm
= 100 cm² + 100 cm² + 50 cm²
= 250 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m breit, 7 m hoch und hat das Volumen V = 140 m³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 140 m³ = ⬜ ⋅ 4 m ⋅ 7 m
140 m³ = ⬜ ⋅ 28 m²
Das Kästchen kann man also mit 140 m³ : 28 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅7 m + 2⋅4 m⋅5 m
+ 2⋅7 m⋅5 m
= 56 m² + 40 m² + 70 m²
= 166 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(7|3) und G(7|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-3 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+6) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+6) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+6) = H(4|9).