Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 460 m³ = ..... dm³
460 m³ = 460000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
810 mm³ + 43 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
43 cm³ = 43000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
810 mm³ + 43 cm³
= 810 mm³ + 43000 mm³
= 43810 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 2 mm³ Wasser eben 2 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 cm ⋅ 6 cm ⋅ 5 cm
= 120 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 80 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 20 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 20 cm = 80 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 6 dm hoch und hat das Volumen V = 60 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 60 dm³ = 5 dm ⋅ ⬜ ⋅ 6 dm
60 dm³ = ⬜ ⋅ 30 dm²
Das Kästchen kann man also mit 60 dm³ : 30 dm² = 2 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 3 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅3 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅3 m⋅10 m
= 30 m² + 100 m² + 60 m²
= 190 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 8 m breit und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = 2 m ⋅ 8 m ⋅ ⬜
80 m³ = ⬜ ⋅ 16 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 16 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅8 m + 2⋅2 m⋅5 m
+ 2⋅8 m⋅5 m
= 32 m² + 20 m² + 80 m²
= 132 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-5 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+3) = E(3|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+3) = F(6|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+3) = H(5|8).