Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 64400000 Liter = ..... m³
64400000 Liter = 64400 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
610 mm³ + 85 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
85 cm³ = 85000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
610 mm³ + 85 cm³
= 610 mm³ + 85000 mm³
= 85610 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 10 dm³ Wasser eben 10 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 7 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 7 m ⋅ 6 m
= 210 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 3 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 3 dm = 12 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 mm lang, 5 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 9 mm ⋅ 5 mm ⋅ 6 mm
= 270 mm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅10 mm
+ 2⋅6 mm⋅10 mm
= 120 mm² + 200 mm² + 120 mm²
= 440 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und hat das Volumen V = 540 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 540 m³ = 10 m ⋅ 6 m ⋅ ⬜
540 m³ = ⬜ ⋅ 60 m²
Das Kästchen kann man also mit 540 m³ : 60 m² = 9 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅6 m + 2⋅10 m⋅9 m
+ 2⋅6 m⋅9 m
= 120 m² + 180 m² + 108 m²
= 408 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(3|2), C(4|3) und G(4|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(4-2|3) = D(2|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+3) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(3|2) liegen muss, also bei F(3|2+3) = F(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(2|3) liegen muss, also bei H(2|3+3) = H(2|6).