Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 315 m³ = ..... dm³
315 m³ = 315000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
800 mm³ + 107 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
800 mm³ + 107 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
107 cm³ = 107000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
800 mm³ + 107 cm³
= 800 mm³ + 107000 mm³
= 107800 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 17 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 17 m³ Wasser eben 17 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 3 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 3 dm
= 300 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 150 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 3 cm
c = 25 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 25 cm = 150 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm breit, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 200 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 mm³ = ⬜ ⋅ 5 mm ⋅ 8 mm
200 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 200 mm³ : 40 mm² = 5 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 9 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 dm⋅9 dm + 2⋅2 dm⋅5 dm
+ 2⋅9 dm⋅5 dm
= 36 dm² + 20 dm² + 90 dm²
= 146 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 300 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
300 cm³ = ⬜ ⋅ 50 cm²
Das Kästchen kann man also mit 300 cm³ : 50 cm² = 6 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅5 cm + 2⋅10 cm⋅6 cm
+ 2⋅5 cm⋅6 cm
= 100 cm² + 120 cm² + 60 cm²
= 280 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(6|3), C(7|4) und G(7|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-4|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+2) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+2) = H(3|6).