Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 66200000000 ml = ..... m³
66200000000 ml = 66200 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
1180 ml + 22 dm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
1180 cm³ + 22 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
22 dm³ = 22000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1180 cm³ + 22 dm³
= 1180 cm³ + 22000 cm³
= 23180 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 15 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 15 l Wasser eben 15 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 5 cm breit und 9 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 cm ⋅ 5 cm ⋅ 9 cm
= 180 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 18 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 3 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 3 m = 18 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 6 dm hoch und hat das Volumen V = 540 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 540 dm³ = 10 dm ⋅ ⬜ ⋅ 6 dm
540 dm³ = ⬜ ⋅ 60 dm²
Das Kästchen kann man also mit 540 dm³ : 60 dm² = 9 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅5 cm + 2⋅6 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 60 cm² + 120 cm² + 100 cm²
= 280 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 500 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 500 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
500 cm³ = ⬜ ⋅ 50 cm²
Das Kästchen kann man also mit 500 cm³ : 50 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅5 cm + 2⋅10 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 100 cm² + 200 cm² + 100 cm²
= 400 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+4) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+4) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+4) = H(5|9).