Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 711 m³ = ..... cm³
711 m³ = 711000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
63 dm³ - 1070 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
63 dm³ = 63000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
63 dm³ - 1070 cm³
= 63000 cm³ - 1070 cm³
= 61930 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 18 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 18 mm³ Wasser eben 18 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 10 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 10 mm ⋅ 6 mm
= 600 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 3 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 3 cm = 12 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 3 mm breit und hat das Volumen V = 120 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 mm³ = 10 mm ⋅ 3 mm ⋅ ⬜
120 mm³ = ⬜ ⋅ 30 mm²
Das Kästchen kann man also mit 120 mm³ : 30 mm² = 4 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 9 dm lang, 5 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 dm⋅5 dm + 2⋅9 dm⋅2 dm
+ 2⋅5 dm⋅2 dm
= 90 dm² + 36 dm² + 20 dm²
= 146 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 10 mm breit und hat das Volumen V = 700 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 700 mm³ = 7 mm ⋅ 10 mm ⋅ ⬜
700 mm³ = ⬜ ⋅ 70 mm²
Das Kästchen kann man also mit 700 mm³ : 70 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 mm⋅10 mm + 2⋅7 mm⋅10 mm
+ 2⋅10 mm⋅10 mm
= 140 mm² + 140 mm² + 200 mm²
= 480 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(7|2), C(8|3) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+4) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+4) = F(7|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+4) = H(3|7).