Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 248000 dm³ = ..... m³
248000 dm³ = 248 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
93 m³ + 920 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
93 m³ + 920 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
93 m³ = 93000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
93 m³ + 920 dm³
= 93000 dm³ + 920 dm³
= 93920 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 7000 mm³ Wasser ?
7000 mm³ = 7 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 7 cm³ Wasser eben 7 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 cm ⋅ 6 cm ⋅ 5 cm
= 210 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 350 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 5 mm
c = 35 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ 35 mm = 350 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 mm breit, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 270 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 270 mm³ = ⬜ ⋅ 9 mm ⋅ 5 mm
270 mm³ = ⬜ ⋅ 45 mm²
Das Kästchen kann man also mit 270 mm³ : 45 mm² = 6 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 10 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅10 mm + 2⋅6 mm⋅4 mm
+ 2⋅10 mm⋅4 mm
= 120 mm² + 48 mm² + 80 mm²
= 248 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 8 mm breit und hat das Volumen V = 800 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 800 mm³ = 10 mm ⋅ 8 mm ⋅ ⬜
800 mm³ = ⬜ ⋅ 80 mm²
Das Kästchen kann man also mit 800 mm³ : 80 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅8 mm + 2⋅10 mm⋅10 mm
+ 2⋅8 mm⋅10 mm
= 160 mm² + 200 mm² + 160 mm²
= 520 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(7|2), C(10|5) und G(10|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-5|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-5 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+5) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+5) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+5) = H(5|10).