Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 833 m³ = ..... cm³
833 m³ = 833000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
78 l + 930 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
78 dm³ + 930 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
78 dm³ = 78000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
78 dm³ + 930 cm³
= 78000 cm³ + 930 cm³
= 78930 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 9 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 9 l Wasser eben 9 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 4 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 4 dm ⋅ 6 dm
= 240 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 350 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 5 cm
c = 35 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 5 cm ⋅ 35 cm = 350 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 80 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 mm³ = 2 mm ⋅ ⬜ ⋅ 5 mm
80 mm³ = ⬜ ⋅ 10 mm²
Das Kästchen kann man also mit 80 mm³ : 10 mm² = 8 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 8 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅8 mm + 2⋅4 mm⋅5 mm
+ 2⋅8 mm⋅5 mm
= 64 mm² + 40 mm² + 80 mm²
= 184 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 240 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 10 mm
240 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 240 mm³ : 60 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅10 mm + 2⋅6 mm⋅4 mm
+ 2⋅10 mm⋅4 mm
= 120 mm² + 48 mm² + 80 mm²
= 248 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(7|2), C(10|5) und G(10|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-4|5) = D(6|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+2) = E(3|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+2) = F(7|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|5) liegen muss, also bei H(6|5+2) = H(6|7).