Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 4950000 Liter = ..... m³
4950000 Liter = 4950 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
110 m³ + 670 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
110 m³ = 110000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
110 m³ + 670 dm³
= 110000 dm³ + 670 dm³
= 110670 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 10 ml Wasser eben 10 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 8 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 8 dm ⋅ 5 dm
= 400 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 12 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 12 dm = 48 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm breit, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 420 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 420 mm³ = ⬜ ⋅ 10 mm ⋅ 6 mm
420 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 420 mm³ : 60 mm² = 7 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 2 dm breit und 7 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅2 dm + 2⋅10 dm⋅7 dm
+ 2⋅2 dm⋅7 dm
= 40 dm² + 140 dm² + 28 dm²
= 208 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm breit, 7 dm hoch und hat das Volumen V = 700 dm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 700 dm³ = ⬜ ⋅ 10 dm ⋅ 7 dm
700 dm³ = ⬜ ⋅ 70 dm²
Das Kästchen kann man also mit 700 dm³ : 70 dm² = 10 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅7 dm + 2⋅10 dm⋅10 dm
+ 2⋅7 dm⋅10 dm
= 140 dm² + 200 dm² + 140 dm²
= 480 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(7|3) und G(7|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+2) = E(3|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+2) = F(6|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+2) = H(4|5).