Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 81 cm³ = ..... mm³
81 cm³ = 81000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
920 ml + 100 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
920 cm³ + 100 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
100 dm³ = 100000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
920 cm³ + 100 dm³
= 920 cm³ + 100000 cm³
= 100920 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 10 m³ Wasser eben 10 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 4 cm ⋅ 10 cm
= 320 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 3 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 3 m = 12 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 560 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 560 mm³ = 7 mm ⋅ ⬜ ⋅ 8 mm
560 mm³ = ⬜ ⋅ 56 mm²
Das Kästchen kann man also mit 560 mm³ : 56 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅10 mm
+ 2⋅4 mm⋅10 mm
= 40 mm² + 100 mm² + 80 mm²
= 220 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 5 m breit und 3 m hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 m ⋅ 5 m ⋅ 3 m
= 90 m³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 m⋅5 m + 2⋅6 m⋅3 m
+ 2⋅5 m⋅3 m
= 60 m² + 36 m² + 30 m²
= 126 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(5|1), C(7|3) und G(7|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+2) = E(2|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|1) liegen muss, also bei F(5|1+2) = F(5|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+2) = H(4|5).