Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 912 Liter = ..... mm³
912 Liter = 912000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
77 m³ + 590 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
77 m³ + 590 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
77 m³ = 77000 dm³ = 77000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
77 m³ + 590 cm³
= 77000000 cm³ + 590 cm³
= 77000590 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4000 cm³ Wasser ?
4000 cm³ = 4 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 4 dm³ Wasser eben 4 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 2 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 dm ⋅ 2 dm ⋅ 6 dm
= 60 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 32 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 8 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 8 cm = 32 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm hoch und hat das Volumen V = 120 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 cm³ = 5 cm ⋅ ⬜ ⋅ 4 cm
120 cm³ = ⬜ ⋅ 20 cm²
Das Kästchen kann man also mit 120 cm³ : 20 cm² = 6 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 6 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 dm⋅6 dm + 2⋅8 dm⋅10 dm
+ 2⋅6 dm⋅10 dm
= 96 dm² + 160 dm² + 120 dm²
= 376 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 3 mm lang, 5 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 mm ⋅ 5 mm ⋅ 4 mm
= 60 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 mm⋅5 mm + 2⋅3 mm⋅4 mm
+ 2⋅5 mm⋅4 mm
= 30 mm² + 24 mm² + 40 mm²
= 94 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(4|3), C(7|6) und G(7|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|6) = D(4|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-6 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+4) = E(1|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(4|3) liegen muss, also bei F(4|3+4) = F(4|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|6) liegen muss, also bei H(4|6+4) = H(4|10).