Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 440000 mm³ = ..... ml
440000 mm³ = 440 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
108 m³ + 760 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
108 m³ + 760 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
108 m³ = 108000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
108 m³ + 760 dm³
= 108000 dm³ + 760 dm³
= 108760 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 18 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 18 mm³ Wasser eben 18 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 10 mm breit und 7 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 mm ⋅ 10 mm ⋅ 7 mm
= 560 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 20 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 5 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 5 m = 20 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 5 cm ⋅ 10 cm
= 500 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 5 m breit und 5 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅5 m + 2⋅4 m⋅5 m
+ 2⋅5 m⋅5 m
= 40 m² + 40 m² + 50 m²
= 130 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 5 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 dm ⋅ 5 dm ⋅ 10 dm
= 100 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 dm⋅5 dm + 2⋅2 dm⋅10 dm
+ 2⋅5 dm⋅10 dm
= 20 dm² + 40 dm² + 100 dm²
= 160 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(6|1), C(7|2) und G(7|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-2 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+4) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+4) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+4) = H(4|6).