Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 123000000 cm³ = ..... m³
123000000 cm³ = 123 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
860 cm³ + 37 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
860 cm³ + 37 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
37 dm³ = 37000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
860 cm³ + 37 dm³
= 860 cm³ + 37000 cm³
= 37860 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 5 ml Wasser eben 5 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 2 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 dm ⋅ 2 dm ⋅ 8 dm
= 80 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 350 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 5 mm
c = 35 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ 35 mm = 350 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 2 m breit und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = 10 m ⋅ 2 m ⋅ ⬜
80 m³ = ⬜ ⋅ 20 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 20 m² = 4 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 4 m breit und 2 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅4 m + 2⋅10 m⋅2 m
+ 2⋅4 m⋅2 m
= 80 m² + 40 m² + 16 m²
= 136 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 30 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 30 mm³ = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
30 mm³ = ⬜ ⋅ 10 mm²
Das Kästchen kann man also mit 30 mm³ : 10 mm² = 3 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅5 mm + 2⋅2 mm⋅3 mm
+ 2⋅5 mm⋅3 mm
= 20 mm² + 12 mm² + 30 mm²
= 62 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(7|4) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+4) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+4) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+4) = H(4|8).