Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 802 m³ = ..... cm³
802 m³ = 802000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
18 dm³ + 960 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
18 dm³ + 960 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
18 dm³ = 18000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
18 dm³ + 960 cm³
= 18000 cm³ + 960 cm³
= 18960 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 9000 cm³ Wasser ?
9000 cm³ = 9 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 9 dm³ Wasser eben 9 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 5 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ 8 mm
= 80 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 14 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 14 m = 56 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und hat das Volumen V = 200 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 cm³ = 10 cm ⋅ 4 cm ⋅ ⬜
200 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 200 cm³ : 40 cm² = 5 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 10 m breit und 8 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅10 m + 2⋅10 m⋅8 m
+ 2⋅10 m⋅8 m
= 200 m² + 160 m² + 160 m²
= 520 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 10 cm breit und 3 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 10 cm ⋅ 3 cm
= 180 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅10 cm + 2⋅6 cm⋅3 cm
+ 2⋅10 cm⋅3 cm
= 120 cm² + 36 cm² + 60 cm²
= 216 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(10|6) und G(10|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-4|6) = D(6|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|6) liegen muss, also bei H(6|6+2) = H(6|8).