Aufgabenbeispiele von Körper

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Volumeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 166 m³ = ..... cm³

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Die korrekte Antwort lautet:
166 m³ = 166000000 cm³

Raumeinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:

580 mm³ + 55 ml

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Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:

580 mm³ + 55 cm³

Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

55 cm³ = 55000 mm³

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

580 mm³ + 55 cm³
= 580 mm³ + 55000 mm³
= 55580 mm³

Volumen - Masse bei Wasser

Beispiel:

Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.

Wie viel wiegen 13 ml Wasser ?

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1 ml entspricht ja 1 cm³

1 cm³ ≙ 1 g

Somit wiegen 13 ml Wasser eben 13 g

Volumen eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 5 m lang, 9 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 9 m ⋅ 6 m
= 270 m³

Quadervolumen offen

Beispiel:

Ein Quader ist hat das Volumen 24 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.

Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.

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Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 6 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 6 mm = 24 mm³.

Volumen auch rückwärts

Beispiel:

Ein Quader ist 5 cm lang, 10 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 10 cm ⋅ 7 cm
= 350 cm³

Oberfläche eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 10 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.

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Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅10 cm + 2⋅10 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅6 cm
= 200 cm² + 120 cm² + 120 cm²
= 440 cm²

Volumen auch rückwärts + Oberfl.

Beispiel:

Ein Quader ist 5 dm lang, 4 dm breit und hat das Volumen V = 80 dm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c

Also gilt: 80 dm³ = 5 dm ⋅ 4 dm ⋅ ⬜

80 dm³ = ⬜ ⋅ 20 dm²

Das Kästchen kann man also mit 80 dm³ : 20 dm² = 4 dm berechnen.

Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅4 dm + 2⋅5 dm⋅4 dm + 2⋅4 dm⋅4 dm
= 40 dm² + 40 dm² + 32 dm²
= 112 dm²

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 m². Berechne die Kantenlänge.

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Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2

Es gilt somit:

54 m² = 6 ⋅ ⬜2

Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.

9 m² = ⬜2

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 m funktioniert.

Schrägbild zeichnen

Beispiel:

Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(5|2), C(7|4) und G(7|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.

Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.

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Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-4|4) = D(3|4).

An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-4 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+5) = E(1|7).

Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+5) = F(5|7).

Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+5) = H(3|9).