Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 94 m³ = ..... dm³
94 m³ = 94000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
61 dm³ + 600 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
61 dm³ + 600 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
61 dm³ = 61000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
61 dm³ + 600 cm³
= 61000 cm³ + 600 cm³
= 61600 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 9000 mm³ Wasser ?
9000 mm³ = 9 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 9 cm³ Wasser eben 9 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 10 m breit und 7 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 10 m ⋅ 7 m
= 350 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 63 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 cm
b = 3 cm
c = 7 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 cm ⋅ 3 cm ⋅ 7 cm = 63 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 7 cm hoch und hat das Volumen V = 420 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 420 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 7 cm
420 cm³ = ⬜ ⋅ 70 cm²
Das Kästchen kann man also mit 420 cm³ : 70 cm² = 6 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 dm lang, 5 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 dm⋅5 dm + 2⋅3 dm⋅4 dm
+ 2⋅5 dm⋅4 dm
= 30 dm² + 24 dm² + 40 dm²
= 94 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 8 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 8 mm ⋅ 5 mm
= 400 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅8 mm + 2⋅10 mm⋅5 mm
+ 2⋅8 mm⋅5 mm
= 160 mm² + 100 mm² + 80 mm²
= 340 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(6|1), C(9|4) und G(9|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+2) = E(1|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+2) = F(6|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+2) = H(4|6).