Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 18500000000 ml = ..... m³
18500000000 ml = 18500 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
750 cm³ + 61 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
750 cm³ + 61 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
61 dm³ = 61000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
750 cm³ + 61 dm³
= 750 cm³ + 61000 cm³
= 61750 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 3 mm³ Wasser eben 3 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 9 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 dm ⋅ 9 dm ⋅ 10 dm
= 540 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 12 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 12 m = 48 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 400 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 400 mm³ = 10 mm ⋅ ⬜ ⋅ 10 mm
400 mm³ = ⬜ ⋅ 100 mm²
Das Kästchen kann man also mit 400 mm³ : 100 mm² = 4 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 10 m breit und 4 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 m⋅10 m + 2⋅8 m⋅4 m
+ 2⋅10 m⋅4 m
= 160 m² + 64 m² + 80 m²
= 304 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 10 mm breit und hat das Volumen V = 500 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 500 mm³ = 5 mm ⋅ 10 mm ⋅ ⬜
500 mm³ = ⬜ ⋅ 50 mm²
Das Kästchen kann man also mit 500 mm³ : 50 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅10 mm + 2⋅5 mm⋅10 mm
+ 2⋅10 mm⋅10 mm
= 100 mm² + 100 mm² + 200 mm²
= 400 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|3) = D(5|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+4) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+4) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|3) liegen muss, also bei H(5|3+4) = H(5|7).