Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 940 ml = ..... mm³
940 ml = 940000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
1250 mm³ + 82 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
82 cm³ = 82000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1250 mm³ + 82 cm³
= 1250 mm³ + 82000 mm³
= 83250 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 4 m³ Wasser eben 4 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 8 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 mm ⋅ 8 mm ⋅ 5 mm
= 320 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 6 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 6 dm = 24 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 6 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 6 m ⋅ 10 m
= 240 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 5 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 dm⋅5 dm + 2⋅8 dm⋅4 dm
+ 2⋅5 dm⋅4 dm
= 80 dm² + 64 dm² + 40 dm²
= 184 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 cm lang, 7 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 cm ⋅ 7 cm ⋅ 10 cm
= 140 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 cm⋅7 cm + 2⋅2 cm⋅10 cm
+ 2⋅7 cm⋅10 cm
= 28 cm² + 40 cm² + 140 cm²
= 208 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+4) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+4) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+4) = H(5|9).