Aufgabenbeispiele von Körper

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Volumeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 64400000 Liter = ..... m³

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Die korrekte Antwort lautet:
64400000 Liter = 64400 m³

Raumeinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:

610 mm³ + 85 cm³

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Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

85 cm³ = 85000 mm³

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

610 mm³ + 85 cm³
= 610 mm³ + 85000 mm³
= 85610 mm³

Volumen - Masse bei Wasser

Beispiel:

Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.

Wie viel wiegen 10 dm³ Wasser ?

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1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg

Somit wiegen 10 dm³ Wasser eben 10 kg

Volumen eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 5 m lang, 7 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 7 m ⋅ 6 m
= 210 m³

Quadervolumen offen

Beispiel:

Ein Quader ist hat das Volumen 12 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.

Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.

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Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 3 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 3 dm = 12 dm³.

Volumen auch rückwärts

Beispiel:

Ein Quader ist 9 mm lang, 5 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 9 mm ⋅ 5 mm ⋅ 6 mm
= 270 mm³

Oberfläche eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.

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Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅10 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
= 120 mm² + 200 mm² + 120 mm²
= 440 mm²

Volumen auch rückwärts + Oberfl.

Beispiel:

Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und hat das Volumen V = 540 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c

Also gilt: 540 m³ = 10 m ⋅ 6 m ⋅ ⬜

540 m³ = ⬜ ⋅ 60 m²

Das Kästchen kann man also mit 540 m³ : 60 m² = 9 m berechnen.

Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅6 m + 2⋅10 m⋅9 m + 2⋅6 m⋅9 m
= 120 m² + 180 m² + 108 m²
= 408 m²

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 dm². Berechne die Kantenlänge.

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Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2

Es gilt somit:

6 dm² = 6 ⋅ ⬜2

Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.

1 dm² = ⬜2

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 dm funktioniert.

Schrägbild zeichnen

Beispiel:

Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(3|2), C(4|3) und G(4|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.

Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.

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Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(4-2|3) = D(2|3).

An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+3) = E(1|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(3|2) liegen muss, also bei F(3|2+3) = F(3|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(2|3) liegen muss, also bei H(2|3+3) = H(2|6).