Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 369 ml = ..... mm³
369 ml = 369000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
800 cm³ + 46 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
46 dm³ = 46000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
800 cm³ + 46 dm³
= 800 cm³ + 46000 cm³
= 46800 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 8000 mm³ Wasser ?
8000 mm³ = 8 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 8 cm³ Wasser eben 8 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 9 m lang, 2 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 9 m ⋅ 2 m ⋅ 5 m
= 90 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 3 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 3 m = 12 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 160 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 dm³ = 4 dm ⋅ ⬜ ⋅ 10 dm
160 dm³ = ⬜ ⋅ 40 dm²
Das Kästchen kann man also mit 160 dm³ : 40 dm² = 4 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 2 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅2 dm + 2⋅4 dm⋅10 dm
+ 2⋅2 dm⋅10 dm
= 16 dm² + 80 dm² + 40 dm²
= 136 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 3 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 3 cm ⋅ 10 cm
= 300 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅3 cm + 2⋅10 cm⋅10 cm
+ 2⋅3 cm⋅10 cm
= 60 cm² + 200 cm² + 60 cm²
= 320 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+2) = E(2|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+2) = F(7|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+2) = H(4|5).