Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 88000000000 mm³ = ..... dm³
88000000000 mm³ = 88000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
111 l + 1090 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
111 dm³ + 1090 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
111 dm³ = 111000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
111 dm³ + 1090 cm³
= 111000 cm³ + 1090 cm³
= 112090 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 16 ml Wasser eben 16 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 10 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 mm ⋅ 10 mm ⋅ 8 mm
= 320 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 6 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 6 dm = 24 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 600 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 600 cm³ = ⬜ ⋅ 6 cm ⋅ 10 cm
600 cm³ = ⬜ ⋅ 60 cm²
Das Kästchen kann man also mit 600 cm³ : 60 cm² = 10 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und 9 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅6 m + 2⋅10 m⋅9 m
+ 2⋅6 m⋅9 m
= 120 m² + 180 m² + 108 m²
= 408 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 280 cm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 280 cm³ = 4 cm ⋅ ⬜ ⋅ 10 cm
280 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 280 cm³ : 40 cm² = 7 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅10 cm + 2⋅4 cm⋅7 cm
+ 2⋅10 cm⋅7 cm
= 80 cm² + 56 cm² + 140 cm²
= 276 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(4|2), C(5|3) und G(5|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-3|3) = D(2|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+4) = E(1|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(4|2) liegen muss, also bei F(4|2+4) = F(4|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(2|3) liegen muss, also bei H(2|3+4) = H(2|7).