Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 245 m³ = ..... cm³
245 m³ = 245000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
960 ml + 20 dm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
960 cm³ + 20 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
20 dm³ = 20000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
960 cm³ + 20 dm³
= 960 cm³ + 20000 cm³
= 20960 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3000 mm³ Wasser ?
3000 mm³ = 3 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 3 cm³ Wasser eben 3 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 10 mm breit und 7 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 10 mm ⋅ 7 mm
= 700 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 45 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 cm
b = 3 cm
c = 5 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 cm ⋅ 3 cm ⋅ 5 cm = 45 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm hoch und hat das Volumen V = 200 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 cm³ = 5 cm ⋅ ⬜ ⋅ 4 cm
200 cm³ = ⬜ ⋅ 20 cm²
Das Kästchen kann man also mit 200 cm³ : 20 cm² = 10 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅4 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm
+ 2⋅4 cm⋅10 cm
= 64 cm² + 160 cm² + 80 cm²
= 304 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 3 mm lang, 5 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 mm ⋅ 5 mm ⋅ 8 mm
= 120 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 mm⋅5 mm + 2⋅3 mm⋅8 mm
+ 2⋅5 mm⋅8 mm
= 30 mm² + 48 mm² + 80 mm²
= 158 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 600 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
600 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 600 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 600, also 100 ergeben.
100 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|5) = D(4|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-5 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+5) = E(2|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+5) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+5) = H(4|10).