Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 995000 dm³ = ..... m³
995000 dm³ = 995 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
620 ml + 95 m³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
620 cm³ + 95 m³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
95 m³ = 95000 dm³ = 95000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
620 cm³ + 95 m³
= 620 cm³ + 95000000 cm³
= 95000620 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 14 ml Wasser eben 14 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 10 cm breit und 4 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 10 cm ⋅ 4 cm
= 240 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 32 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 8 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 8 m = 32 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 cm lang, 5 cm breit und hat das Volumen V = 90 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 cm³ = 9 cm ⋅ 5 cm ⋅ ⬜
90 cm³ = ⬜ ⋅ 45 cm²
Das Kästchen kann man also mit 90 cm³ : 45 cm² = 2 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 10 mm breit und 9 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅10 mm + 2⋅2 mm⋅9 mm
+ 2⋅10 mm⋅9 mm
= 40 mm² + 36 mm² + 180 mm²
= 256 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 9 mm lang, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 900 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 900 mm³ = 9 mm ⋅ ⬜ ⋅ 10 mm
900 mm³ = ⬜ ⋅ 90 mm²
Das Kästchen kann man also mit 900 mm³ : 90 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 mm⋅10 mm + 2⋅9 mm⋅10 mm
+ 2⋅10 mm⋅10 mm
= 180 mm² + 180 mm² + 200 mm²
= 560 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(6|1), C(7|2) und G(7|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-5|2) = D(2|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-2 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+7) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+7) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(2|2) liegen muss, also bei H(2|2+7) = H(2|9).