Aufgabenbeispiele von Körper
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 718 cm³ = ..... mm³
718 cm³ = 718000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
112 m³ - 1010 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
112 m³ - 1010 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
112 m³ = 112000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
112 m³ - 1010 dm³
= 112000 dm³ - 1010 dm³
= 110990 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 19 m³ Wasser eben 19 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 5 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 m ⋅ 5 m ⋅ 5 m
= 50 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 12 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 12 mm = 48 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 10 mm breit und hat das Volumen V = 360 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 mm³ = 6 mm ⋅ 10 mm ⋅ ⬜
360 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 360 mm³ : 60 mm² = 6 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 5 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 mm⋅5 mm + 2⋅8 mm⋅8 mm
+ 2⋅5 mm⋅8 mm
= 80 mm² + 128 mm² + 80 mm²
= 288 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 10 m breit und hat das Volumen V = 120 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 m³ = 4 m ⋅ 10 m ⋅ ⬜
120 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 120 m³ : 40 m² = 3 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅10 m + 2⋅4 m⋅3 m
+ 2⋅10 m⋅3 m
= 80 m² + 24 m² + 60 m²
= 164 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(9|6) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-3|6) = D(6|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|6) liegen muss, also bei H(6|6+2) = H(6|8).