Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 752 m³ = ..... dm³
752 m³ = 752000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
950 mm³ + 50 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
950 mm³ + 50 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
50 cm³ = 50000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
950 mm³ + 50 cm³
= 950 mm³ + 50000 mm³
= 50950 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 3 mm³ Wasser eben 3 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 10 mm breit und 2 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 mm ⋅ 10 mm ⋅ 2 mm
= 140 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 250 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 5 mm
c = 25 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ 25 mm = 250 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 900 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 900 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 10 cm
900 cm³ = ⬜ ⋅ 100 cm²
Das Kästchen kann man also mit 900 cm³ : 100 cm² = 9 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅10 cm + 2⋅4 cm⋅6 cm
+ 2⋅10 cm⋅6 cm
= 80 cm² + 48 cm² + 120 cm²
= 248 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 8 cm breit und hat das Volumen V = 640 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 cm³ = 8 cm ⋅ 8 cm ⋅ ⬜
640 cm³ = ⬜ ⋅ 64 cm²
Das Kästchen kann man also mit 640 cm³ : 64 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅8 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm
+ 2⋅8 cm⋅10 cm
= 128 cm² + 160 cm² + 160 cm²
= 448 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(9|5) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-3|5) = D(6|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-5 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+3) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+3) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(6|5) liegen muss, also bei H(6|5+3) = H(6|8).