Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 328 Liter = ..... mm³
328 Liter = 328000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
114 dm³ - 1120 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
114 dm³ = 114000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
114 dm³ - 1120 cm³
= 114000 cm³ - 1120 cm³
= 112880 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 14 l Wasser eben 14 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm
= 240 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 18 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 18 cm = 72 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m breit, 6 m hoch und hat das Volumen V = 360 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 m³ = ⬜ ⋅ 6 m ⋅ 6 m
360 m³ = ⬜ ⋅ 36 m²
Das Kästchen kann man also mit 360 m³ : 36 m² = 10 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 10 dm breit und 9 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅10 dm + 2⋅6 dm⋅9 dm
+ 2⋅10 dm⋅9 dm
= 120 dm² + 108 dm² + 180 dm²
= 408 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und hat das Volumen V = 400 dm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 400 dm³ = 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ ⬜
400 dm³ = ⬜ ⋅ 100 dm²
Das Kästchen kann man also mit 400 dm³ : 100 dm² = 4 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅10 dm + 2⋅10 dm⋅4 dm
+ 2⋅10 dm⋅4 dm
= 200 dm² + 80 dm² + 80 dm²
= 360 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 600 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
600 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 600 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 600, also 100 ergeben.
100 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-6|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-3 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+5) = E(1|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+5) = F(7|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+5) = H(3|8).