Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 194 m³ = ..... cm³
194 m³ = 194000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
117 m³ + 1140 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
117 m³ = 117000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
117 m³ + 1140 dm³
= 117000 dm³ + 1140 dm³
= 118140 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 3 dm³ Wasser eben 3 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 10 mm breit und 7 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 mm ⋅ 10 mm ⋅ 7 mm
= 140 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 3 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 3 dm = 12 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 700 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 700 dm³ = ⬜ ⋅ 7 dm ⋅ 10 dm
700 dm³ = ⬜ ⋅ 70 dm²
Das Kästchen kann man also mit 700 dm³ : 70 dm² = 10 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 3 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅3 dm + 2⋅10 dm⋅10 dm
+ 2⋅3 dm⋅10 dm
= 60 dm² + 200 dm² + 60 dm²
= 320 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 10 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 10 cm ⋅ 7 cm
= 700 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅10 cm + 2⋅10 cm⋅7 cm
+ 2⋅10 cm⋅7 cm
= 200 cm² + 140 cm² + 140 cm²
= 480 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(3|3), C(5|5) und G(5|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|5) = D(3|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+2) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(3|3) liegen muss, also bei F(3|3+2) = F(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|5) liegen muss, also bei H(3|5+2) = H(3|7).