Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 551 m³ = ..... dm³
551 m³ = 551000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
670 cm³ + 6 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
670 cm³ + 6 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
6 dm³ = 6000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
670 cm³ + 6 dm³
= 670 cm³ + 6000 cm³
= 6670 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 2 m³ Wasser eben 2 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 cm ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
= 200 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 9 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 9 dm = 36 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm breit, 2 dm hoch und hat das Volumen V = 40 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 40 dm³ = ⬜ ⋅ 5 dm ⋅ 2 dm
40 dm³ = ⬜ ⋅ 10 dm²
Das Kästchen kann man also mit 40 dm³ : 10 dm² = 4 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅5 mm + 2⋅4 mm⋅5 mm
+ 2⋅5 mm⋅5 mm
= 40 mm² + 40 mm² + 50 mm²
= 130 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 5 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 5 m ⋅ 10 m
= 200 m³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅5 m + 2⋅4 m⋅10 m
+ 2⋅5 m⋅10 m
= 40 m² + 80 m² + 100 m²
= 220 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(6|1), C(9|4) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-4 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+3) = E(1|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+3) = F(6|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+3) = H(4|7).