Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 1270000000 ml = ..... m³
1270000000 ml = 1270 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
55 l - 1240 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
55 dm³ - 1240 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
55 dm³ = 55000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
55 dm³ - 1240 cm³
= 55000 cm³ - 1240 cm³
= 53760 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 19 m³ Wasser eben 19 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 6 m breit und 9 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 6 m ⋅ 9 m
= 270 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 160 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 40 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 40 dm = 160 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 5 m breit und hat das Volumen V = 210 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 210 m³ = 6 m ⋅ 5 m ⋅ ⬜
210 m³ = ⬜ ⋅ 30 m²
Das Kästchen kann man also mit 210 m³ : 30 m² = 7 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 3 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅10 dm + 2⋅10 dm⋅3 dm
+ 2⋅10 dm⋅3 dm
= 200 dm² + 60 dm² + 60 dm²
= 320 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 8 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 mm ⋅ 8 mm ⋅ 10 mm
= 480 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅8 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅8 mm⋅10 mm
= 96 mm² + 120 mm² + 160 mm²
= 376 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-6|5) = D(3|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-5 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+5) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+5) = F(7|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|5) liegen muss, also bei H(3|5+5) = H(3|10).