Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 713 m³ = ..... Liter
713 m³ = 713000 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
24 m³ + 830 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
24 m³ = 24000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
24 m³ + 830 dm³
= 24000 dm³ + 830 dm³
= 24830 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 16 l Wasser eben 16 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 4 cm ⋅ 10 cm
= 240 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 64 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 16 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 16 dm = 64 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 9 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 8 cm ⋅ 9 cm
= 360 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 9 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅9 mm + 2⋅10 mm⋅5 mm
+ 2⋅9 mm⋅5 mm
= 180 mm² + 100 mm² + 90 mm²
= 370 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 2 m hoch und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = 5 m ⋅ ⬜ ⋅ 2 m
80 m³ = ⬜ ⋅ 10 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 10 m² = 8 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅2 m + 2⋅5 m⋅8 m
+ 2⋅2 m⋅8 m
= 20 m² + 80 m² + 32 m²
= 132 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(6|1), C(7|2) und G(7|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-2 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+7) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+7) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+7) = H(4|9).