Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 638 m³ = ..... ml
638 m³ = 638000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
74 l + 690 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
74 dm³ + 690 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
74 dm³ = 74000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
74 dm³ + 690 cm³
= 74000 cm³ + 690 cm³
= 74690 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 12 mm³ Wasser eben 12 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 dm lang, 8 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 dm ⋅ 8 dm ⋅ 5 dm
= 120 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 14 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 14 m = 56 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 800 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 800 cm³ = 10 cm ⋅ ⬜ ⋅ 10 cm
800 cm³ = ⬜ ⋅ 100 cm²
Das Kästchen kann man also mit 800 cm³ : 100 cm² = 8 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 9 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅9 dm + 2⋅10 dm⋅8 dm
+ 2⋅9 dm⋅8 dm
= 180 dm² + 160 dm² + 144 dm²
= 484 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 140 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 140 dm³ = 7 dm ⋅ ⬜ ⋅ 10 dm
140 dm³ = ⬜ ⋅ 70 dm²
Das Kästchen kann man also mit 140 dm³ : 70 dm² = 2 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 dm⋅10 dm + 2⋅7 dm⋅2 dm
+ 2⋅10 dm⋅2 dm
= 140 dm² + 28 dm² + 40 dm²
= 208 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(5|3), C(6|4) und G(6|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-4|4) = D(2|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+4) = E(1|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+4) = F(5|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(2|4) liegen muss, also bei H(2|4+4) = H(2|8).