Aufgabenbeispiele von Körper
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 483 cm³ = ..... mm³
483 cm³ = 483000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
11 ml - 1100 mm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
11 cm³ - 1100 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
11 cm³ = 11000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
11 cm³ - 1100 mm³
= 11000 mm³ - 1100 mm³
= 9900 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 14 m³ Wasser eben 14 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 5 cm ⋅ 10 cm
= 300 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 45 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 m
b = 3 m
c = 5 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 m ⋅ 3 m ⋅ 5 m = 45 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 10 m hoch und hat das Volumen V = 480 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 m³ = 8 m ⋅ ⬜ ⋅ 10 m
480 m³ = ⬜ ⋅ 80 m²
Das Kästchen kann man also mit 480 m³ : 80 m² = 6 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 6 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅6 dm + 2⋅5 dm⋅4 dm
+ 2⋅6 dm⋅4 dm
= 60 dm² + 40 dm² + 48 dm²
= 148 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 7 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 m ⋅ 7 m ⋅ 10 m
= 140 m³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅7 m + 2⋅2 m⋅10 m
+ 2⋅7 m⋅10 m
= 28 m² + 40 m² + 140 m²
= 208 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(5|2), C(7|4) und G(7|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+6) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+6) = F(5|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+6) = H(5|10).