Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 139 m³ = ..... ml
139 m³ = 139000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
113 cm³ - 820 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
113 cm³ = 113000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
113 cm³ - 820 mm³
= 113000 mm³ - 820 mm³
= 112180 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 15 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 15 dm³ Wasser eben 15 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 5 cm breit und 2 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 cm ⋅ 5 cm ⋅ 2 cm
= 30 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 20 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 5 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 5 cm = 20 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm breit, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 280 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 280 mm³ = ⬜ ⋅ 8 mm ⋅ 5 mm
280 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 280 mm³ : 40 mm² = 7 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 5 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅5 cm + 2⋅10 cm⋅8 cm
+ 2⋅5 cm⋅8 cm
= 100 cm² + 160 cm² + 80 cm²
= 340 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 10 m hoch und hat das Volumen V = 300 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 m³ = 5 m ⋅ ⬜ ⋅ 10 m
300 m³ = ⬜ ⋅ 50 m²
Das Kästchen kann man also mit 300 m³ : 50 m² = 6 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅10 m + 2⋅5 m⋅6 m
+ 2⋅10 m⋅6 m
= 100 m² + 60 m² + 120 m²
= 280 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(4|3), C(5|4) und G(5|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+6) = E(2|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(4|3) liegen muss, also bei F(4|3+6) = F(4|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+6) = H(3|10).