Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 106 dm³ = ..... ml
106 dm³ = 106000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
103 m³ - 620 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
103 m³ - 620 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
103 m³ = 103000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
103 m³ - 620 dm³
= 103000 dm³ - 620 dm³
= 102380 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 15 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 15 l Wasser eben 15 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 m lang, 10 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 m ⋅ 10 m ⋅ 10 m
= 700 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 12 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 12 m = 48 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 7 m lang, 5 m breit und hat das Volumen V = 70 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 70 m³ = 7 m ⋅ 5 m ⋅ ⬜
70 m³ = ⬜ ⋅ 35 m²
Das Kästchen kann man also mit 70 m³ : 35 m² = 2 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 5 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅5 cm + 2⋅5 cm⋅6 cm
+ 2⋅5 cm⋅6 cm
= 50 cm² + 60 cm² + 60 cm²
= 170 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 80 dm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 dm³ = ⬜ ⋅ 2 dm ⋅ 10 dm
80 dm³ = ⬜ ⋅ 20 dm²
Das Kästchen kann man also mit 80 dm³ : 20 dm² = 4 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 dm⋅10 dm + 2⋅2 dm⋅4 dm
+ 2⋅10 dm⋅4 dm
= 40 dm² + 16 dm² + 80 dm²
= 136 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(5|1), C(7|3) und G(7|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|3) = D(5|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-3 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+7) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(5|1) liegen muss, also bei F(5|1+7) = F(5|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(5|3) liegen muss, also bei H(5|3+7) = H(5|10).