Aufgabenbeispiele von Körper

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Volumeneinheiten umrechnen

Beispiel:

Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 752 m³ = ..... dm³

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Die korrekte Antwort lautet:
752 m³ = 752000 dm³

Raumeinheiten verrechnen

Beispiel:

Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:

950 mm³ + 50 ml

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Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:

950 mm³ + 50 cm³

Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:

50 cm³ = 50000 mm³

Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:

950 mm³ + 50 cm³
= 950 mm³ + 50000 mm³
= 50950 mm³

Volumen - Masse bei Wasser

Beispiel:

Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.

Wie viel wiegen 3 mm³ Wasser ?

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1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg

Somit wiegen 3 mm³ Wasser eben 3 mg

Volumen eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 7 mm lang, 10 mm breit und 2 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:

V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 mm ⋅ 10 mm ⋅ 2 mm
= 140 mm³

Quadervolumen offen

Beispiel:

Ein Quader ist hat das Volumen 250 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.

Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.

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Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 5 mm
c = 25 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ 25 mm = 250 mm³.

Volumen auch rückwärts

Beispiel:

Ein Quader ist 10 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 900 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c

Also gilt: 900 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 10 cm

900 cm³ = ⬜ ⋅ 100 cm²

Das Kästchen kann man also mit 900 cm³ : 100 cm² = 9 cm berechnen.

Oberfläche eines Quaders

Beispiel:

Ein Quader ist 4 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.

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Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅10 cm + 2⋅4 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅6 cm
= 80 cm² + 48 cm² + 120 cm²
= 248 cm²

Volumen auch rückwärts + Oberfl.

Beispiel:

Ein Quader ist 8 cm lang, 8 cm breit und hat das Volumen V = 640 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c

Also gilt: 640 cm³ = 8 cm ⋅ 8 cm ⋅ ⬜

640 cm³ = ⬜ ⋅ 64 cm²

Das Kästchen kann man also mit 640 cm³ : 64 cm² = 10 cm berechnen.

Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):

O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅8 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm
= 128 cm² + 160 cm² + 160 cm²
= 448 cm²

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

125 mm³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.

Schrägbild zeichnen

Beispiel:

Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(9|5) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.

Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.

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Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-3|5) = D(6|5).

An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-5 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+3) = E(3|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+3) = F(6|5).

Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(6|5) liegen muss, also bei H(6|5+3) = H(6|8).