Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 132 m³ = ..... Liter
132 m³ = 132000 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
74 m³ + 660 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
74 m³ = 74000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
74 m³ + 660 dm³
= 74000 dm³ + 660 dm³
= 74660 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 3 ml Wasser eben 3 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 10 cm ⋅ 6 cm
= 480 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 30 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 5 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 5 mm = 30 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 9 cm ⋅ 10 cm ⋅ 10 cm
= 900 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 4 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅4 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅4 m⋅10 m
= 40 m² + 100 m² + 80 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 8 m breit und hat das Volumen V = 640 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 m³ = 8 m ⋅ 8 m ⋅ ⬜
640 m³ = ⬜ ⋅ 64 m²
Das Kästchen kann man also mit 640 m³ : 64 m² = 10 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 m⋅8 m + 2⋅8 m⋅10 m
+ 2⋅8 m⋅10 m
= 128 m² + 160 m² + 160 m²
= 448 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(5|2), C(8|5) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|5) = D(4|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+2) = E(1|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+2) = F(5|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+2) = H(4|7).