Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 867000 mm³ = ..... ml
867000 mm³ = 867 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
84 dm³ - 1190 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
84 dm³ = 84000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
84 dm³ - 1190 cm³
= 84000 cm³ - 1190 cm³
= 82810 cm³
= 82810000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 17 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 17 m³ Wasser eben 17 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 5 m breit und 9 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 5 m ⋅ 9 m
= 450 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 60 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 15 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 15 m = 60 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 4 m breit und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = 5 m ⋅ 4 m ⋅ ⬜
80 m³ = ⬜ ⋅ 20 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 20 m² = 4 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 10 m breit und 4 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅10 m + 2⋅5 m⋅4 m
+ 2⋅10 m⋅4 m
= 100 m² + 40 m² + 80 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 9 m lang, 8 m breit und hat das Volumen V = 360 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 m³ = 9 m ⋅ 8 m ⋅ ⬜
360 m³ = ⬜ ⋅ 72 m²
Das Kästchen kann man also mit 360 m³ : 72 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 m⋅8 m + 2⋅9 m⋅5 m
+ 2⋅8 m⋅5 m
= 144 m² + 90 m² + 80 m²
= 314 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+2) = H(5|7).