Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 3960000 mm³ = ..... ml
3960000 mm³ = 3960 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
111 dm³ - 1250 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
111 dm³ - 1250 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
111 dm³ = 111000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
111 dm³ - 1250 cm³
= 111000 cm³ - 1250 cm³
= 109750 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4000 dm³ Wasser ?
4000 dm³ = 4 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 4 m³ Wasser eben 4 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 9 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 dm ⋅ 9 dm ⋅ 5 dm
= 90 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 30 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 5 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 5 m = 30 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 2 cm lang, 10 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 cm ⋅ 10 cm ⋅ 8 cm
= 160 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 4 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅4 dm + 2⋅5 dm⋅8 dm
+ 2⋅4 dm⋅8 dm
= 40 dm² + 80 dm² + 64 dm²
= 184 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m breit, 9 m hoch und hat das Volumen V = 90 m³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 m³ = ⬜ ⋅ 2 m ⋅ 9 m
90 m³ = ⬜ ⋅ 18 m²
Das Kästchen kann man also mit 90 m³ : 18 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅9 m + 2⋅2 m⋅5 m
+ 2⋅9 m⋅5 m
= 36 m² + 20 m² + 90 m²
= 146 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(6|3), C(7|4) und G(7|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+2) = H(4|6).