Aufgabenbeispiele von Körper
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 3250000 mm³ = ..... cm³
3250000 mm³ = 3250 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
550 cm³ + 25 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
550 cm³ + 25 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
25 dm³ = 25000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
550 cm³ + 25 dm³
= 550 cm³ + 25000 cm³
= 25550 cm³
= 25550000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 19 dm³ Wasser eben 19 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 cm ⋅ 10 cm ⋅ 10 cm
= 300 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 90 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 15 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 15 mm = 90 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 4 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 4 m ⋅ 5 m
= 80 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 3 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 dm⋅3 dm + 2⋅2 dm⋅10 dm
+ 2⋅3 dm⋅10 dm
= 12 dm² + 40 dm² + 60 dm²
= 112 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 3 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 3 dm
= 300 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅10 dm + 2⋅10 dm⋅3 dm
+ 2⋅10 dm⋅3 dm
= 200 dm² + 60 dm² + 60 dm²
= 320 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(7|3) und G(7|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+4) = E(3|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+4) = F(6|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+4) = H(4|7).