Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 696 m³ = ..... Liter
696 m³ = 696000 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
98 dm³ - 1170 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
98 dm³ = 98000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
98 dm³ - 1170 cm³
= 98000 cm³ - 1170 cm³
= 96830 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 14 mm³ Wasser eben 14 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 3 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 mm ⋅ 3 mm ⋅ 10 mm
= 180 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 40 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 10 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 10 cm = 40 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = 4 cm ⋅ ⬜ ⋅ 5 cm
160 cm³ = ⬜ ⋅ 20 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 20 cm² = 8 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅4 cm + 2⋅10 cm⋅7 cm
+ 2⋅4 cm⋅7 cm
= 80 cm² + 140 cm² + 56 cm²
= 276 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm breit, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 80 mm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 mm³ = ⬜ ⋅ 2 mm ⋅ 8 mm
80 mm³ = ⬜ ⋅ 16 mm²
Das Kästchen kann man also mit 80 mm³ : 16 mm² = 5 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅8 mm + 2⋅2 mm⋅5 mm
+ 2⋅8 mm⋅5 mm
= 32 mm² + 20 mm² + 80 mm²
= 132 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(4|1), C(6|3) und G(6|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-2|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-3 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+5) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(4|1) liegen muss, also bei F(4|1+5) = F(4|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+5) = H(4|8).