Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 869 dm³ = ..... ml
869 dm³ = 869000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
860 ml + 96 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
860 cm³ + 96 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
96 dm³ = 96000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
860 cm³ + 96 dm³
= 860 cm³ + 96000 cm³
= 96860 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 8000 mm³ Wasser ?
8000 mm³ = 8 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 8 cm³ Wasser eben 8 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 4 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 4 dm ⋅ 2 dm
= 80 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 150 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 25 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 25 mm = 150 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 dm breit, 5 dm hoch und hat das Volumen V = 90 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 dm³ = ⬜ ⋅ 9 dm ⋅ 5 dm
90 dm³ = ⬜ ⋅ 45 dm²
Das Kästchen kann man also mit 90 dm³ : 45 dm² = 2 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅5 cm + 2⋅6 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 60 cm² + 120 cm² + 100 cm²
= 280 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 7 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 7 mm ⋅ 6 mm
= 210 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅7 mm + 2⋅5 mm⋅6 mm
+ 2⋅7 mm⋅6 mm
= 70 mm² + 60 mm² + 84 mm²
= 214 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(7|1), C(10|4) und G(10|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-5|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+6) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+6) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+6) = H(5|10).