Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 550 m³ = ..... ml
550 m³ = 550000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
630 mm³ + 42 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
42 cm³ = 42000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
630 mm³ + 42 cm³
= 630 mm³ + 42000 mm³
= 42630 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 11 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 11 mm³ Wasser eben 11 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 9 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 9 dm ⋅ 6 dm
= 540 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 250 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 5 cm
c = 25 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 5 cm ⋅ 25 cm = 250 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm breit, 8 cm hoch und hat das Volumen V = 200 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 cm³ = ⬜ ⋅ 5 cm ⋅ 8 cm
200 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 200 cm³ : 40 cm² = 5 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅4 cm + 2⋅10 cm⋅8 cm
+ 2⋅4 cm⋅8 cm
= 80 cm² + 160 cm² + 64 cm²
= 304 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 2 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 dm ⋅ 2 dm ⋅ 10 dm
= 140 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 dm⋅2 dm + 2⋅7 dm⋅10 dm
+ 2⋅2 dm⋅10 dm
= 28 dm² + 140 dm² + 40 dm²
= 208 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+2) = H(5|7).