Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 4480000 dm³ = ..... m³
4480000 dm³ = 4480 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
79 l + 1240 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
79 dm³ + 1240 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
79 dm³ = 79000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
79 dm³ + 1240 cm³
= 79000 cm³ + 1240 cm³
= 80240 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 8 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 8 mm³ Wasser eben 8 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 10 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 m ⋅ 10 m ⋅ 6 m
= 360 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 14 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 14 m = 56 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 3 m breit, 2 m hoch und hat das Volumen V = 30 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 30 m³ = ⬜ ⋅ 3 m ⋅ 2 m
30 m³ = ⬜ ⋅ 6 m²
Das Kästchen kann man also mit 30 m³ : 6 m² = 5 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 8 m breit und 9 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅8 m + 2⋅10 m⋅9 m
+ 2⋅8 m⋅9 m
= 160 m² + 180 m² + 144 m²
= 484 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 80 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 mm³ = 8 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
80 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 80 mm³ : 40 mm² = 2 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 mm⋅5 mm + 2⋅8 mm⋅2 mm
+ 2⋅5 mm⋅2 mm
= 80 mm² + 32 mm² + 20 mm²
= 132 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(7|2), C(9|4) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-4 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+5) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+5) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+5) = H(4|9).