Aufgabenbeispiele von Körper
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 236 m³ = ..... cm³
236 m³ = 236000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
1160 ml + 109 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
1160 cm³ + 109 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
109 dm³ = 109000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1160 cm³ + 109 dm³
= 1160 cm³ + 109000 cm³
= 110160 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 17 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 17 mm³ Wasser eben 17 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 9 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 mm ⋅ 9 mm ⋅ 10 mm
= 720 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 3 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 3 mm = 12 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 7 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 m ⋅ 7 m ⋅ 5 m
= 280 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 4 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅4 dm + 2⋅10 dm⋅10 dm
+ 2⋅4 dm⋅10 dm
= 80 dm² + 200 dm² + 80 dm²
= 360 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 10 m breit und hat das Volumen V = 900 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 900 m³ = 10 m ⋅ 10 m ⋅ ⬜
900 m³ = ⬜ ⋅ 100 m²
Das Kästchen kann man also mit 900 m³ : 100 m² = 9 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅10 m + 2⋅10 m⋅9 m
+ 2⋅10 m⋅9 m
= 200 m² + 180 m² + 180 m²
= 560 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(6|1), C(8|3) und G(8|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+3) = E(2|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+3) = F(6|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+3) = H(4|6).