Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 59100000000 mm³ = ..... dm³
59100000000 mm³ = 59100 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
105 dm³ + 610 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
105 dm³ = 105000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
105 dm³ + 610 cm³
= 105000 cm³ + 610 cm³
= 105610 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 3 mm³ Wasser eben 3 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 8 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 dm ⋅ 8 dm ⋅ 10 dm
= 400 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 9 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 9 m = 36 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 9 dm breit und hat das Volumen V = 360 dm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 dm³ = 5 dm ⋅ 9 dm ⋅ ⬜
360 dm³ = ⬜ ⋅ 45 dm²
Das Kästchen kann man also mit 360 dm³ : 45 dm² = 8 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 5 mm breit und 9 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅5 mm + 2⋅6 mm⋅9 mm
+ 2⋅5 mm⋅9 mm
= 60 mm² + 108 mm² + 90 mm²
= 258 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 140 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 140 mm³ = 2 mm ⋅ ⬜ ⋅ 10 mm
140 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 140 mm³ : 20 mm² = 7 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅10 mm + 2⋅2 mm⋅7 mm
+ 2⋅10 mm⋅7 mm
= 40 mm² + 28 mm² + 140 mm²
= 208 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 600 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
600 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 600 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 600, also 100 ergeben.
100 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(7|2), C(9|4) und G(9|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-6|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+6) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+6) = F(7|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+6) = H(3|10).