Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 297 m³ = ..... cm³
297 m³ = 297000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
53 m³ + 630 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
53 m³ = 53000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
53 m³ + 630 dm³
= 53000 dm³ + 630 dm³
= 53630 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4000 cm³ Wasser ?
4000 cm³ = 4 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 4 dm³ Wasser eben 4 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 4 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 4 mm ⋅ 10 mm
= 400 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 150 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 25 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 25 m = 150 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 cm lang, 6 cm hoch und hat das Volumen V = 270 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 270 cm³ = 9 cm ⋅ ⬜ ⋅ 6 cm
270 cm³ = ⬜ ⋅ 54 cm²
Das Kästchen kann man also mit 270 cm³ : 54 cm² = 5 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 4 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅4 m + 2⋅2 m⋅10 m
+ 2⋅4 m⋅10 m
= 16 m² + 40 m² + 80 m²
= 136 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 10 mm breit und hat das Volumen V = 320 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 mm³ = 8 mm ⋅ 10 mm ⋅ ⬜
320 mm³ = ⬜ ⋅ 80 mm²
Das Kästchen kann man also mit 320 mm³ : 80 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 mm⋅10 mm + 2⋅8 mm⋅4 mm
+ 2⋅10 mm⋅4 mm
= 160 mm² + 64 mm² + 80 mm²
= 304 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(4|1), C(5|2) und G(5|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|2) = D(3|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-2 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+6) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(4|1) liegen muss, also bei F(4|1+6) = F(4|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(3|2) liegen muss, also bei H(3|2+6) = H(3|8).