Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 610 m³ = ..... cm³
610 m³ = 610000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
113 cm³ - 630 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
113 cm³ = 113000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
113 cm³ - 630 mm³
= 113000 mm³ - 630 mm³
= 112370 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 4 mm³ Wasser eben 4 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 3 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 3 mm ⋅ 6 mm
= 180 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 18 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 3 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 3 mm = 18 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 2 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ 2 mm
= 40 mm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 4 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅4 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅4 m⋅10 m
= 40 m² + 100 m² + 80 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 8 m breit und hat das Volumen V = 480 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 m³ = 6 m ⋅ 8 m ⋅ ⬜
480 m³ = ⬜ ⋅ 48 m²
Das Kästchen kann man also mit 480 m³ : 48 m² = 10 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 m⋅8 m + 2⋅6 m⋅10 m
+ 2⋅8 m⋅10 m
= 96 m² + 120 m² + 160 m²
= 376 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(4|3), C(5|4) und G(5|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-4 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+5) = E(2|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(4|3) liegen muss, also bei F(4|3+5) = F(4|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+5) = H(3|9).