Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 938 m³ = ..... cm³
938 m³ = 938000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
44 dm³ + 600 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
44 dm³ + 600 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
44 dm³ = 44000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
44 dm³ + 600 cm³
= 44000 cm³ + 600 cm³
= 44600 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 7000 dm³ Wasser ?
7000 dm³ = 7 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 7 m³ Wasser eben 7 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 6 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 dm ⋅ 6 dm ⋅ 10 dm
= 420 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 45 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 cm
b = 3 cm
c = 5 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 cm ⋅ 3 cm ⋅ 5 cm = 45 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm breit, 9 dm hoch und hat das Volumen V = 180 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 dm³ = ⬜ ⋅ 5 dm ⋅ 9 dm
180 dm³ = ⬜ ⋅ 45 dm²
Das Kästchen kann man also mit 180 dm³ : 45 dm² = 4 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 6 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅6 dm + 2⋅5 dm⋅8 dm
+ 2⋅6 dm⋅8 dm
= 60 dm² + 80 dm² + 96 dm²
= 236 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 360 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 6 mm
360 mm³ = ⬜ ⋅ 36 mm²
Das Kästchen kann man also mit 360 mm³ : 36 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅6 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅6 mm⋅10 mm
= 72 mm² + 120 mm² + 120 mm²
= 312 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(7|2), C(8|3) und G(8|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-6|3) = D(2|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+3) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+3) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(2|3) liegen muss, also bei H(2|3+3) = H(2|6).