Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 58 Liter = ..... mm³
58 Liter = 58000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
710 ml + 15 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
710 cm³ + 15 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
15 dm³ = 15000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
710 cm³ + 15 dm³
= 710 cm³ + 15000 cm³
= 15710 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 16 m³ Wasser eben 16 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 8 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 8 cm ⋅ 10 cm
= 480 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 12 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 12 cm = 48 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 70 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 70 mm³ = 2 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
70 mm³ = ⬜ ⋅ 10 mm²
Das Kästchen kann man also mit 70 mm³ : 10 mm² = 7 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅5 cm + 2⋅6 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 60 cm² + 120 cm² + 100 cm²
= 280 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 900 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 900 mm³ = 10 mm ⋅ ⬜ ⋅ 10 mm
900 mm³ = ⬜ ⋅ 100 mm²
Das Kästchen kann man also mit 900 mm³ : 100 mm² = 9 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅10 mm + 2⋅10 mm⋅9 mm
+ 2⋅10 mm⋅9 mm
= 200 mm² + 180 mm² + 180 mm²
= 560 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(4|1), C(6|3) und G(6|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-3|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-3 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+7) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(4|1) liegen muss, also bei F(4|1+7) = F(4|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+7) = H(3|10).