Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 828000 mm³ = ..... ml
828000 mm³ = 828 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
800 ml + 43 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
800 cm³ + 43 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
43 dm³ = 43000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
800 cm³ + 43 dm³
= 800 cm³ + 43000 cm³
= 43800 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 16 m³ Wasser eben 16 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 10 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 m ⋅ 10 m ⋅ 5 m
= 300 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 63 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 cm
b = 3 cm
c = 7 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 cm ⋅ 3 cm ⋅ 7 cm = 63 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 500 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 500 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
500 cm³ = ⬜ ⋅ 50 cm²
Das Kästchen kann man also mit 500 cm³ : 50 cm² = 10 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅4 cm + 2⋅10 cm⋅8 cm
+ 2⋅4 cm⋅8 cm
= 80 cm² + 160 cm² + 64 cm²
= 304 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 700 dm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 700 dm³ = ⬜ ⋅ 10 dm ⋅ 10 dm
700 dm³ = ⬜ ⋅ 100 dm²
Das Kästchen kann man also mit 700 dm³ : 100 dm² = 7 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅10 dm + 2⋅10 dm⋅7 dm
+ 2⋅10 dm⋅7 dm
= 200 dm² + 140 dm² + 140 dm²
= 480 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|5) = D(4|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+4) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+4) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+4) = H(4|9).