Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 228000 ml = ..... Liter
228000 ml = 228 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
44 dm³ + 500 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
44 dm³ + 500 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
44 dm³ = 44000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
44 dm³ + 500 cm³
= 44000 cm³ + 500 cm³
= 44500 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 11 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 11 mm³ Wasser eben 11 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ 6 mm
= 120 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 32 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 8 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 8 cm = 32 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm breit, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 100 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 100 mm³ = ⬜ ⋅ 4 mm ⋅ 5 mm
100 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 100 mm³ : 20 mm² = 5 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 5 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅5 cm + 2⋅5 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 50 cm² + 100 cm² + 100 cm²
= 250 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 7 mm hoch und hat das Volumen V = 420 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 420 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 7 mm
420 mm³ = ⬜ ⋅ 42 mm²
Das Kästchen kann man also mit 420 mm³ : 42 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅7 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅7 mm⋅10 mm
= 84 mm² + 120 mm² + 140 mm²
= 344 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(5|3), C(6|4) und G(6|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-2|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+6) = E(3|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+6) = F(5|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+6) = H(4|10).