Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 363 m³ = ..... dm³
363 m³ = 363000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
108 l - 560 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
108 dm³ - 560 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
108 dm³ = 108000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
108 dm³ - 560 cm³
= 108000 cm³ - 560 cm³
= 107440 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 7000 cm³ Wasser ?
7000 cm³ = 7 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 7 dm³ Wasser eben 7 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und 7 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 6 m ⋅ 7 m
= 420 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 6 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 24 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 5 m breit und 4 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 5 m ⋅ 4 m
= 200 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 9 m lang, 6 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 m⋅6 m + 2⋅9 m⋅10 m
+ 2⋅6 m⋅10 m
= 108 m² + 180 m² + 120 m²
= 408 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 4 cm hoch und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = 4 cm ⋅ ⬜ ⋅ 4 cm
160 cm³ = ⬜ ⋅ 16 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 16 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅4 cm + 2⋅4 cm⋅10 cm
+ 2⋅4 cm⋅10 cm
= 32 cm² + 80 cm² + 80 cm²
= 192 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(5|3), C(8|6) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|6) = D(4|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-6 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+3) = E(1|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+3) = F(5|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|6) liegen muss, also bei H(4|6+3) = H(4|9).