Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 478 Liter = ..... cm³
478 Liter = 478000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
710 mm³ + 42 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
710 mm³ + 42 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
42 dm³ = 42000 cm³ = 42000000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
710 mm³ + 42 dm³
= 710 mm³ + 42000000 mm³
= 42000710 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 14 ml Wasser eben 14 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 cm ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
= 300 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 14 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 14 mm = 56 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 7 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 140 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 140 cm³ = ⬜ ⋅ 7 cm ⋅ 10 cm
140 cm³ = ⬜ ⋅ 70 cm²
Das Kästchen kann man also mit 140 cm³ : 70 cm² = 2 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 10 mm breit und 7 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅10 mm + 2⋅2 mm⋅7 mm
+ 2⋅10 mm⋅7 mm
= 40 mm² + 28 mm² + 140 mm²
= 208 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = ⬜ ⋅ 8 cm ⋅ 5 cm
160 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 40 cm² = 4 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅5 cm + 2⋅8 cm⋅4 cm
+ 2⋅5 cm⋅4 cm
= 80 cm² + 64 cm² + 40 cm²
= 184 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(5|2), C(6|3) und G(6|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-2|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+4) = E(3|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+4) = F(5|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+4) = H(4|7).