Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 66 m³ = ..... dm³
66 m³ = 66000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
700 ml + 67 dm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
700 cm³ + 67 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
67 dm³ = 67000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
700 cm³ + 67 dm³
= 700 cm³ + 67000 cm³
= 67700 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 10 mm³ Wasser eben 10 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 3 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 3 cm ⋅ 10 cm
= 240 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 18 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 18 mm = 72 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und hat das Volumen V = 400 dm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 400 dm³ = 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ ⬜
400 dm³ = ⬜ ⋅ 100 dm²
Das Kästchen kann man also mit 400 dm³ : 100 dm² = 4 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 cm⋅10 cm + 2⋅3 cm⋅6 cm
+ 2⋅10 cm⋅6 cm
= 60 cm² + 36 cm² + 120 cm²
= 216 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 9 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 mm ⋅ 9 mm ⋅ 5 mm
= 180 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅9 mm + 2⋅4 mm⋅5 mm
+ 2⋅9 mm⋅5 mm
= 72 mm² + 40 mm² + 90 mm²
= 202 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(5|2), C(7|4) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+4) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+4) = F(5|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+4) = H(4|8).