Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 546 m³ = ..... cm³
546 m³ = 546000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
95 dm³ + 830 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
95 dm³ = 95000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
95 dm³ + 830 cm³
= 95000 cm³ + 830 cm³
= 95830 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 16 ml Wasser eben 16 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 10 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 dm ⋅ 10 dm ⋅ 10 dm
= 500 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 42 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 3 cm
c = 7 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 7 cm = 42 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 m breit, 2 m hoch und hat das Volumen V = 180 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 m³ = ⬜ ⋅ 9 m ⋅ 2 m
180 m³ = ⬜ ⋅ 18 m²
Das Kästchen kann man also mit 180 m³ : 18 m² = 10 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 10 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅10 mm + 2⋅4 mm⋅6 mm
+ 2⋅10 mm⋅6 mm
= 80 mm² + 48 mm² + 120 mm²
= 248 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 10 dm breit und hat das Volumen V = 180 dm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 dm³ = 6 dm ⋅ 10 dm ⋅ ⬜
180 dm³ = ⬜ ⋅ 60 dm²
Das Kästchen kann man also mit 180 dm³ : 60 dm² = 3 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅10 dm + 2⋅6 dm⋅3 dm
+ 2⋅10 dm⋅3 dm
= 120 dm² + 36 dm² + 60 dm²
= 216 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(4|2), C(5|3) und G(5|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+3) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(4|2) liegen muss, also bei F(4|2+3) = F(4|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+3) = H(3|6).