Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 60 Liter = ..... cm³
60 Liter = 60000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
106 m³ - 500 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
106 m³ - 500 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
106 m³ = 106000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
106 m³ - 500 dm³
= 106000 dm³ - 500 dm³
= 105500 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 12 ml Wasser eben 12 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 6 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 6 cm ⋅ 10 cm
= 600 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 140 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 35 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 35 dm = 140 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 4 dm hoch und hat das Volumen V = 160 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 dm³ = 8 dm ⋅ ⬜ ⋅ 4 dm
160 dm³ = ⬜ ⋅ 32 dm²
Das Kästchen kann man also mit 160 dm³ : 32 dm² = 5 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 8 m breit und 8 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅8 m + 2⋅10 m⋅8 m
+ 2⋅8 m⋅8 m
= 160 m² + 160 m² + 128 m²
= 448 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 10 m hoch und hat das Volumen V = 240 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 m³ = 4 m ⋅ ⬜ ⋅ 10 m
240 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 240 m³ : 40 m² = 6 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅10 m + 2⋅4 m⋅6 m
+ 2⋅10 m⋅6 m
= 80 m² + 48 m² + 120 m²
= 248 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(10|6) und G(10|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-4|6) = D(6|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|6) liegen muss, also bei H(6|6+2) = H(6|8).