Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 286 m³ = ..... ml
286 m³ = 286000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
111 m³ + 620 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
111 m³ + 620 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
111 m³ = 111000 dm³ = 111000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
111 m³ + 620 cm³
= 111000000 cm³ + 620 cm³
= 111000620 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5000 mm³ Wasser ?
5000 mm³ = 5 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 5 cm³ Wasser eben 5 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 4 cm ⋅ 7 cm
= 140 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 6 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 6 dm = 24 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m breit, 5 m hoch und hat das Volumen V = 150 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 150 m³ = ⬜ ⋅ 5 m ⋅ 5 m
150 m³ = ⬜ ⋅ 25 m²
Das Kästchen kann man also mit 150 m³ : 25 m² = 6 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 5 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅5 dm + 2⋅4 dm⋅10 dm
+ 2⋅5 dm⋅10 dm
= 40 dm² + 80 dm² + 100 dm²
= 220 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m breit, 9 m hoch und hat das Volumen V = 90 m³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 m³ = ⬜ ⋅ 2 m ⋅ 9 m
90 m³ = ⬜ ⋅ 18 m²
Das Kästchen kann man also mit 90 m³ : 18 m² = 5 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅9 m + 2⋅2 m⋅5 m
+ 2⋅9 m⋅5 m
= 36 m² + 20 m² + 90 m²
= 146 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(6|1), C(9|4) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-4 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+3) = E(1|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+3) = F(6|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+3) = H(4|7).