Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 740 m³ = ..... dm³
740 m³ = 740000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
910 cm³ + 19 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
19 dm³ = 19000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
910 cm³ + 19 dm³
= 910 cm³ + 19000 cm³
= 19910 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 2 m³ Wasser eben 2 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 6 dm
= 600 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 6 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 24 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m breit, 2 m hoch und hat das Volumen V = 160 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 m³ = ⬜ ⋅ 10 m ⋅ 2 m
160 m³ = ⬜ ⋅ 20 m²
Das Kästchen kann man also mit 160 m³ : 20 m² = 8 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅8 cm + 2⋅5 cm⋅8 cm
+ 2⋅8 cm⋅8 cm
= 80 cm² + 80 cm² + 128 cm²
= 288 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 4 dm breit und hat das Volumen V = 40 dm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 40 dm³ = 5 dm ⋅ 4 dm ⋅ ⬜
40 dm³ = ⬜ ⋅ 20 dm²
Das Kästchen kann man also mit 40 dm³ : 20 dm² = 2 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅4 dm + 2⋅5 dm⋅2 dm
+ 2⋅4 dm⋅2 dm
= 40 dm² + 20 dm² + 16 dm²
= 76 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(5|2), C(6|3) und G(6|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-3|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+2) = E(2|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+2) = F(5|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+2) = H(3|5).