Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 5700000 mm³ = ..... ml
5700000 mm³ = 5700 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
38 m³ + 1070 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
38 m³ = 38000 dm³ = 38000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
38 m³ + 1070 cm³
= 38000000 cm³ + 1070 cm³
= 38001070 cm³
= 38001070000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 19 ml Wasser eben 19 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 7 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 dm ⋅ 7 dm ⋅ 5 dm
= 70 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 14 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 14 m = 56 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 7 cm breit und hat das Volumen V = 420 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 420 cm³ = 6 cm ⋅ 7 cm ⋅ ⬜
420 cm³ = ⬜ ⋅ 42 cm²
Das Kästchen kann man also mit 420 cm³ : 42 cm² = 10 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 5 mm breit und 3 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅5 mm + 2⋅6 mm⋅3 mm
+ 2⋅5 mm⋅3 mm
= 60 mm² + 36 mm² + 30 mm²
= 126 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 4 m breit und hat das Volumen V = 120 m³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 m³ = 5 m ⋅ 4 m ⋅ ⬜
120 m³ = ⬜ ⋅ 20 m²
Das Kästchen kann man also mit 120 m³ : 20 m² = 6 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅4 m + 2⋅5 m⋅6 m
+ 2⋅4 m⋅6 m
= 40 m² + 60 m² + 48 m²
= 148 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(7|3) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-3 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+5) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+5) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+5) = H(4|8).