Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 167 m³ = ..... ml
167 m³ = 167000000 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
94 l + 560 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
94 dm³ + 560 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
94 dm³ = 94000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
94 dm³ + 560 cm³
= 94000 cm³ + 560 cm³
= 94560 cm³
= 94560000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 5 mm³ Wasser eben 5 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
= 500 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 9 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 9 dm = 36 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 3 mm lang, 10 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 mm ⋅ 10 mm ⋅ 10 mm
= 300 mm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 6 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 mm⋅6 mm + 2⋅8 mm⋅5 mm
+ 2⋅6 mm⋅5 mm
= 96 mm² + 80 mm² + 60 mm²
= 236 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 10 mm breit und 3 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 mm ⋅ 10 mm ⋅ 3 mm
= 120 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅10 mm + 2⋅4 mm⋅3 mm
+ 2⋅10 mm⋅3 mm
= 80 mm² + 24 mm² + 60 mm²
= 164 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(7|2), C(8|3) und G(8|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-3 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+5) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+5) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+5) = H(4|8).