Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 76000000 mm³ = ..... dm³
76000000 mm³ = 76 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
82 cm³ - 710 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
82 cm³ = 82000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
82 cm³ - 710 mm³
= 82000 mm³ - 710 mm³
= 81290 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 10 l Wasser eben 10 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 4 cm ⋅ 10 cm
= 200 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 54 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 9 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 9 m = 54 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und hat das Volumen V = 320 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 cm³ = 10 cm ⋅ 4 cm ⋅ ⬜
320 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 320 cm³ : 40 cm² = 8 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 8 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅8 mm + 2⋅5 mm⋅10 mm
+ 2⋅8 mm⋅10 mm
= 80 mm² + 100 mm² + 160 mm²
= 340 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm breit, 10 mm hoch und hat das Volumen V = 600 mm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 600 mm³ = ⬜ ⋅ 6 mm ⋅ 10 mm
600 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 600 mm³ : 60 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅10 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅10 mm⋅10 mm
= 120 mm² + 120 mm² + 200 mm²
= 440 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8000 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8000 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(4|3), C(7|6) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|6) = D(4|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+2) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(4|3) liegen muss, also bei F(4|3+2) = F(4|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|6) liegen muss, also bei H(4|6+2) = H(4|8).