Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 778 ml = ..... mm³
778 ml = 778000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
630 cm³ + 62 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
62 dm³ = 62000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
630 cm³ + 62 dm³
= 630 cm³ + 62000 cm³
= 62630 cm³
= 62630000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 6000 cm³ Wasser ?
6000 cm³ = 6 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 6 dm³ Wasser eben 6 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 7 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 m ⋅ 7 m ⋅ 5 m
= 280 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 3 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 3 mm = 12 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 480 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 dm³ = 6 dm ⋅ ⬜ ⋅ 10 dm
480 dm³ = ⬜ ⋅ 60 dm²
Das Kästchen kann man also mit 480 dm³ : 60 dm² = 8 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 5 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 m⋅5 m + 2⋅6 m⋅10 m
+ 2⋅5 m⋅10 m
= 60 m² + 120 m² + 100 m²
= 280 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 400 dm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 400 dm³ = ⬜ ⋅ 5 dm ⋅ 10 dm
400 dm³ = ⬜ ⋅ 50 dm²
Das Kästchen kann man also mit 400 dm³ : 50 dm² = 8 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅10 dm + 2⋅5 dm⋅8 dm
+ 2⋅10 dm⋅8 dm
= 100 dm² + 80 dm² + 160 dm²
= 340 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(7|2), C(8|3) und G(8|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-3 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+7) = E(3|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+7) = F(7|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+7) = H(4|10).