Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 306 Liter = ..... mm³
306 Liter = 306000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
45 l + 980 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
45 dm³ + 980 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
45 dm³ = 45000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
45 dm³ + 980 cm³
= 45000 cm³ + 980 cm³
= 45980 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3000 mm³ Wasser ?
3000 mm³ = 3 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 3 cm³ Wasser eben 3 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 9 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 dm ⋅ 9 dm ⋅ 5 dm
= 90 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 140 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 35 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 35 dm = 140 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 200 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
200 cm³ = ⬜ ⋅ 50 cm²
Das Kästchen kann man also mit 200 cm³ : 50 cm² = 4 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 4 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 dm⋅4 dm + 2⋅8 dm⋅5 dm
+ 2⋅4 dm⋅5 dm
= 64 dm² + 80 dm² + 40 dm²
= 184 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 9 dm lang, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 450 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 450 dm³ = 9 dm ⋅ ⬜ ⋅ 10 dm
450 dm³ = ⬜ ⋅ 90 dm²
Das Kästchen kann man also mit 450 dm³ : 90 dm² = 5 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 dm⋅10 dm + 2⋅9 dm⋅5 dm
+ 2⋅10 dm⋅5 dm
= 180 dm² + 90 dm² + 100 dm²
= 370 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(9|5) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+4) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+4) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+4) = H(5|9).