Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 870 m³ = ..... dm³
870 m³ = 870000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
97 l + 560 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
97 dm³ + 560 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
97 dm³ = 97000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
97 dm³ + 560 cm³
= 97000 cm³ + 560 cm³
= 97560 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 14 m³ Wasser eben 14 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 4 dm
= 400 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 45 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 mm
b = 3 mm
c = 5 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 mm ⋅ 3 mm ⋅ 5 mm = 45 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 8 m hoch und hat das Volumen V = 640 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 m³ = 10 m ⋅ ⬜ ⋅ 8 m
640 m³ = ⬜ ⋅ 80 m²
Das Kästchen kann man also mit 640 m³ : 80 m² = 8 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 6 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 dm⋅6 dm + 2⋅8 dm⋅5 dm
+ 2⋅6 dm⋅5 dm
= 96 dm² + 80 dm² + 60 dm²
= 236 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 6 dm hoch und hat das Volumen V = 120 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 dm³ = 4 dm ⋅ ⬜ ⋅ 6 dm
120 dm³ = ⬜ ⋅ 24 dm²
Das Kästchen kann man also mit 120 dm³ : 24 dm² = 5 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅6 dm + 2⋅4 dm⋅5 dm
+ 2⋅6 dm⋅5 dm
= 48 dm² + 40 dm² + 60 dm²
= 148 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(6|1), C(9|4) und G(9|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-3|4) = D(6|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+2) = E(3|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+2) = F(6|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|4) liegen muss, also bei H(6|4+2) = H(6|6).