Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 2730000 dm³ = ..... m³
2730000 dm³ = 2730 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
70 cm³ - 780 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
70 cm³ = 70000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
70 cm³ - 780 mm³
= 70000 mm³ - 780 mm³
= 69220 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4000 cm³ Wasser ?
4000 cm³ = 4 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 4 dm³ Wasser eben 4 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 10 m breit und 7 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 10 m ⋅ 7 m
= 280 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 14 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 14 dm = 56 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 640 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 dm³ = ⬜ ⋅ 8 dm ⋅ 10 dm
640 dm³ = ⬜ ⋅ 80 dm²
Das Kästchen kann man also mit 640 dm³ : 80 dm² = 8 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 5 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅5 mm + 2⋅6 mm⋅6 mm
+ 2⋅5 mm⋅6 mm
= 60 mm² + 72 mm² + 60 mm²
= 192 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 4 dm hoch und hat das Volumen V = 80 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 dm³ = 10 dm ⋅ ⬜ ⋅ 4 dm
80 dm³ = ⬜ ⋅ 40 dm²
Das Kästchen kann man also mit 80 dm³ : 40 dm² = 2 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅4 dm + 2⋅10 dm⋅2 dm
+ 2⋅4 dm⋅2 dm
= 80 dm² + 40 dm² + 16 dm²
= 136 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(7|2), C(9|4) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-4 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+3) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+3) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+3) = H(4|7).