Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 2970000 dm³ = ..... m³
2970000 dm³ = 2970 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
1030 cm³ + 51 m³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
51 m³ = 51000 dm³ = 51000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1030 cm³ + 51 m³
= 1030 cm³ + 51000000 cm³
= 51001030 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 9000 dm³ Wasser ?
9000 dm³ = 9 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 9 m³ Wasser eben 9 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 2 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 2 mm ⋅ 8 mm
= 160 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 810 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 135 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 3 dm ⋅ 135 dm = 810 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 2 cm hoch und hat das Volumen V = 180 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 cm³ = 10 cm ⋅ ⬜ ⋅ 2 cm
180 cm³ = ⬜ ⋅ 20 cm²
Das Kästchen kann man also mit 180 cm³ : 20 cm² = 9 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 mm lang, 5 mm breit und 9 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 mm⋅5 mm + 2⋅2 mm⋅9 mm
+ 2⋅5 mm⋅9 mm
= 20 mm² + 36 mm² + 90 mm²
= 146 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ 8 mm
= 160 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅8 mm
+ 2⋅4 mm⋅8 mm
= 40 mm² + 80 mm² + 64 mm²
= 184 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|2), B(3|2), C(4|3) und G(4|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(4-2|3) = D(2|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|2) liegen, also bei E(1|2+4) = E(1|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(3|2) liegen muss, also bei F(3|2+4) = F(3|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(2|3) liegen muss, also bei H(2|3+4) = H(2|7).