Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 861000000 mm³ = ..... dm³
861000000 mm³ = 861 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
102 m³ + 910 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
102 m³ = 102000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
102 m³ + 910 dm³
= 102000 dm³ + 910 dm³
= 102910 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5000 dm³ Wasser ?
5000 dm³ = 5 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 5 m³ Wasser eben 5 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 5 m breit und 7 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 m ⋅ 5 m ⋅ 7 m
= 70 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 18 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 18 m = 72 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 7 m lang, 5 m hoch und hat das Volumen V = 70 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 70 m³ = 7 m ⋅ ⬜ ⋅ 5 m
70 m³ = ⬜ ⋅ 35 m²
Das Kästchen kann man also mit 70 m³ : 35 m² = 2 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 5 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅5 mm + 2⋅10 mm⋅8 mm
+ 2⋅5 mm⋅8 mm
= 100 mm² + 160 mm² + 80 mm²
= 340 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm breit, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 200 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 cm³ = ⬜ ⋅ 8 cm ⋅ 5 cm
200 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 200 cm³ : 40 cm² = 5 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅5 cm + 2⋅8 cm⋅5 cm
+ 2⋅5 cm⋅5 cm
= 80 cm² + 80 cm² + 50 cm²
= 210 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(3|1), C(5|3) und G(5|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-3 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+7) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(3|1) liegen muss, also bei F(3|1+7) = F(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+7) = H(3|10).