Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 532000 mm³ = ..... ml
532000 mm³ = 532 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
117 ml - 1050 mm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
117 cm³ - 1050 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
117 cm³ = 117000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
117 cm³ - 1050 mm³
= 117000 mm³ - 1050 mm³
= 115950 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 18 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 18 ml Wasser eben 18 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 6 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 dm ⋅ 6 dm ⋅ 2 dm
= 60 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 30 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 5 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 5 mm = 30 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 5 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 5 m ⋅ 10 m
= 250 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 6 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅6 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅6 mm⋅10 mm
= 72 mm² + 120 mm² + 120 mm²
= 312 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 3 mm lang, 2 mm hoch und hat das Volumen V = 30 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 30 mm³ = 3 mm ⋅ ⬜ ⋅ 2 mm
30 mm³ = ⬜ ⋅ 6 mm²
Das Kästchen kann man also mit 30 mm³ : 6 mm² = 5 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 mm⋅2 mm + 2⋅3 mm⋅5 mm
+ 2⋅2 mm⋅5 mm
= 12 mm² + 30 mm² + 20 mm²
= 62 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(7|1), C(8|2) und G(8|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-6|2) = D(2|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-2 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+6) = E(1|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+6) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(2|2) liegen muss, also bei H(2|2+6) = H(2|8).