Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 653 cm³ = ..... mm³
653 cm³ = 653000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
7 l + 900 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
7 dm³ + 900 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
7 dm³ = 7000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
7 dm³ + 900 cm³
= 7000 cm³ + 900 cm³
= 7900 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 2 mm³ Wasser eben 2 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 10 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 mm ⋅ 10 mm ⋅ 8 mm
= 560 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 490 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 5 cm
c = 49 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 5 cm ⋅ 49 cm = 490 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und 4 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 6 m ⋅ 4 m
= 240 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 8 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅8 mm + 2⋅5 mm⋅6 mm
+ 2⋅8 mm⋅6 mm
= 80 mm² + 60 mm² + 96 mm²
= 236 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 480 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 mm³ = 10 mm ⋅ ⬜ ⋅ 6 mm
480 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 480 mm³ : 60 mm² = 8 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅8 mm
+ 2⋅6 mm⋅8 mm
= 120 mm² + 160 mm² + 96 mm²
= 376 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1 m³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1 m³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(7|1), C(8|2) und G(8|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-6|2) = D(2|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-2 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+3) = E(1|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+3) = F(7|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(2|2) liegen muss, also bei H(2|2+3) = H(2|5).