Aufgabenbeispiele von Körper, Volumen
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 138 Liter = ..... mm³
138 Liter = 138000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
94 dm³ - 610 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
94 dm³ - 610 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
94 dm³ = 94000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
94 dm³ - 610 cm³
= 94000 cm³ - 610 cm³
= 93390 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3000 mm³ Wasser ?
3000 mm³ = 3 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 3 cm³ Wasser eben 3 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 m lang, 5 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 m ⋅ 5 m ⋅ 6 m
= 90 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 42 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 3 cm
c = 7 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 7 cm = 42 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm hoch und hat das Volumen V = 200 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 mm³ = 5 mm ⋅ ⬜ ⋅ 4 mm
200 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 200 mm³ : 20 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 9 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 cm⋅10 cm + 2⋅9 cm⋅10 cm
+ 2⋅10 cm⋅10 cm
= 180 cm² + 180 cm² + 200 cm²
= 560 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 300 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 mm³ = 10 mm ⋅ ⬜ ⋅ 6 mm
300 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 300 mm³ : 60 mm² = 5 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅5 mm
+ 2⋅6 mm⋅5 mm
= 120 mm² + 100 mm² + 60 mm²
= 280 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(8|5) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|5) = D(3|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+2) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|5) liegen muss, also bei H(3|5+2) = H(3|7).