Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,40 €.
Wie viel kosten 9 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 9 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.4 € mit 9 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Brötchen entspricht:
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Brötchen entspricht: 3,60 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 30 g. Er besteht aus 3 gleichen Scheiben.
Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 3 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 30 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 3
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: 3
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: 3
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: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 10 g
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 120 g. Er besteht aus 12 gleichen Scheiben.
Wie schwer sind dann 18 Scheiben Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:
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Um von 12 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 120 g durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 60 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Scheiben Käse entspricht: 180 g
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 12 kg Äpfel | 42,00 € |
| ? | ? |
| 18 kg Äpfel | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Äpfel:
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Um von 12 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 6 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 42 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Äpfel entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 21,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 kg Äpfel entspricht: 63,00 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 18-Minuten-Gespräch hat er nun 54 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 30 min telefonieren?
Wie lange kann er für 81 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 30 sein, also der ggT(18,30) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:
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Um von 18 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 54 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 5
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: 3
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Minuten telefonieren entspricht: 90 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 81 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 54 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 54 und von 81 sein, also der ggT(54,81) = 27.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 27 ct:
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Um von 54 ct in der ersten Zeile auf 27 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 18 Minuten telefonieren durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 27 ct entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 27 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 81 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 81 ct entspricht: 27 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 300 ct den 8 Eier entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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: 3
⋅ 2
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Der Wert 300 ct war also falsch, richtig wäre 240 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 600 ct den 18 Eier entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 600 ct war also falsch, richtig wäre 540 ct gewesen.