Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kostet 1 Brezel immer 0,50 €.
Wie viel kosten 6 Brezeln?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brezeln in der ersten Zeile auf 6 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.5 € mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brezeln entspricht:
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Brezeln entspricht: 3,00 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kosten 4 Brezeln immer 2,40 €.
Wie viel kostet 1 Brezel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 2.4 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brezeln entspricht: 0,60 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 30-Minuten-Gespräch hat er nun 90 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 25 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 25 sein, also der ggT(30,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten telefonieren:
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Um von 30 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 90 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:
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: 6
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: 6
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(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 60, und dann noch den Rest (30) durch 6 teilen.)
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 15 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Minuten telefonieren entspricht: 75 ct
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 4 Brezeln | 2,20 € |
| ? | ? |
| 5 Brezeln | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:
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Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 2.2 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 4
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: 4
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(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 0,55 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brezeln entspricht: 2,75 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 20 km braucht sie 120 Minuten.
Wie lange braucht sie für 24 km?
Wie viele km schafft sie in 150 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 20 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 120 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 km entspricht: 144 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 150 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 120 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 120 und von 150 sein, also der ggT(120,150) = 30.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 30 min:
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Um von 120 min in der ersten Zeile auf 30 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 20 km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 30 min entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 30 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 150 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 150 min entspricht: 25 km
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 210 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Der Wert 210 ct war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 315 ct den 48 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 315 ct war also falsch, richtig wäre 336 ct gewesen.