Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,30 €.
Wie viel kosten 5 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 5 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.3 € mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Brötchen entspricht:
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brötchen entspricht: 1,50 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 12,00 € 4 kg Birnen.
Wie viel kostet 1 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 3,00 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 8 km braucht sie 40 Minuten.
Wie lange braucht sie für 10 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 km:
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Um von 8 km in der ersten Zeile auf 2 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 40 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 km entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 10 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 km entspricht: 50 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 24 Becher Joghurt | 6000 g |
| ? | ? |
| 30 Becher Joghurt | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 30 sein, also der ggT(24,30) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Becher Joghurt:
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Um von 24 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 6 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 6000 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Becher Joghurt entspricht:
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: 4
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: 4
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(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 1500 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Becher Joghurt entspricht: 7500 g
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 21,00 € für 6 kg Äpfel.
Wie viel kosten 4 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 28 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Äpfel:
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Um von 6 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 2 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 21 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Äpfel entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 2
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: 3
⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 kg Äpfel entspricht: 14,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 28 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 21 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 21 und von 28 sein, also der ggT(21,28) = 7.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 7 €:
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Um von 21 € in der ersten Zeile auf 7 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 6 kg Äpfel durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 € entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 7 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 28 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 28 € entspricht: 8 kg Äpfel
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 3000 g Protein den 9 kg Powerdrink entsprechen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Der Wert 3000 g Protein war also falsch, richtig wäre 3600 g Protein gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 8600 g Protein den 20 kg Powerdrink entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 8600 g Protein war also falsch, richtig wäre 8000 g Protein gewesen.