Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 2,00 € für 1 kg Äpfel.
Wie viel kosten 3 kg Äpfel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 3 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 2 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Äpfel entspricht:
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 kg Äpfel entspricht: 6,00 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 12,00 € 4 kg Birnen.
Wie viel kostet 1 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 3,00 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2400 g Protein in dessen 6kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein sind in 9 kg Powerdrink?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:
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Um von 6 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 2400 g Protein durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 1200 g Protein in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Powerdrink entspricht: 3600 g Protein
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 20 Brezeln | 9,00 € |
| ? | ? |
| 16 Brezeln | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 16 sein, also der ggT(20,16) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Brezeln:
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Um von 20 Brezeln in der ersten Zeile auf 4 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 9 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Brezeln entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Brezeln in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 1,80 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Brezeln entspricht: 7,20 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 20-Minuten-Gespräch hat er nun 120 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 24 min telefonieren?
Wie lange kann er für 300 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten telefonieren:
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Um von 20 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 120 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Minuten telefonieren entspricht: 144 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 300 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 120 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 120 und von 300 sein, also der ggT(120,300) = 60.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 60 ct:
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Um von 120 ct in der ersten Zeile auf 60 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 20 Minuten telefonieren durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 60 ct entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 60 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 300 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 300 ct entspricht: 50 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 84 ct den 16 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Der Wert 84 ct war also falsch, richtig wäre 96 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 180 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 180 ct war also korrekt.