Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
In einem Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind 300 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 6 Bechern drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 6 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 300 g mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Becher Joghurt entspricht:
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Becher Joghurt entspricht: 1800 g
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 6 km braucht sie 30 Minuten.
Wie lange braucht sie für 1 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 6 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 30 min durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 5 min
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 12,00 € für 30 Eier.
Wie viel kosten 24 Eier?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Eier:
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Um von 30 Eier in der ersten Zeile auf 6 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1200 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Eier entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Eier in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Wir müssen somit auch rechts die 240 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Eier entspricht: 960 ct
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 12 Minuten telefonieren | 300 ct |
| ? | ? |
| 10 Minuten telefonieren | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 10 sein, also der ggT(12,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten telefonieren:
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Um von 12 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 2 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 300 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten telefonieren entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 50 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten telefonieren entspricht: 250 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 20,00 € 10 kg Birnen.
Wie viel kosten 15 kg Birnen?
Wie viel kg Birnen bekommt man für 8 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 kg Birnen:
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Um von 10 kg Birnen in der ersten Zeile auf 5 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 20 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 kg Birnen entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Birnen entspricht: 30,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Birnen bekommt man für 8 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Birnen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 8 sein, also der ggT(20,8) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 €:
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Um von 20 € in der ersten Zeile auf 4 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 10 kg Birnen durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 2
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: 5
⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € entspricht: 4 kg Birnen
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 3600 g den 12 Becher Joghurt entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 3600 g war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 7500 g den 25 Becher Joghurt entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Der Wert 7500 g war also korrekt.