Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 3 ct.
Wie viel kosten ihn 4 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3 ct mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten telefonieren entspricht: 12 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kosten 9 Brötchen immer 4,50 €.
Wie viel kostet 1 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 9 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 4.5 € durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:
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: 9
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: 9
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: 9
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: 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,50 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 7-Minuten-Gespräch hat er nun 42 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 8 sein, also der ggT(7,8) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten telefonieren:
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Um von 7 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 42 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 7
⋅ 8
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: 7
⋅ 8
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Wir müssen somit auch rechts die 6 ct in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren:
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: 7
⋅ 8
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: 7
⋅ 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 48 ct
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Brötchen | 2,10 € |
| ? | ? |
| 7 Brötchen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brötchen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Brötchen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 7 sein, also der ggT(6,7) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brötchen:
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Um von 6 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 2.1 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:
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: 6
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: 6
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(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 0, und dann noch den Rest (2.1) durch 6 teilen.)
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brötchen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Brötchen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 7
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: 6
⋅ 7
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Wir müssen somit auch rechts die 0,35 € in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren:
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: 6
⋅ 7
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: 6
⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Brötchen entspricht: 2,45 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 32,00 € 16 kg Birnen.
Wie viel kosten 20 kg Birnen?
Wie viel kg Birnen bekommt man für 12 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Birnen:
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Um von 16 kg Birnen in der ersten Zeile auf 4 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 32 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Birnen entspricht: 40,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Birnen bekommt man für 12 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Birnen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 32 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 32 und von 12 sein, also der ggT(32,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 €:
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Um von 32 € in der ersten Zeile auf 4 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 16 kg Birnen durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € entspricht:
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: 8
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: 8
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 8
⋅ 3
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: 8
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € entspricht: 6 kg Birnen
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 37.5 € den 15 kg Äpfel entsprechen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Der Wert 37.5 € war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 60 € den 24 kg Äpfel entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 60 € war also korrekt.