Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 4 Minuten.
Wie lange braucht sie für 3 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 min mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 km entspricht: 12 min
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 10,00 € für 4 kg Äpfel.
Wie viel kostet 1 kg Äpfel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 10 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Äpfel entspricht: 2,50 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 240 g. Er besteht aus 8 gleichen Scheiben.
Wie schwer sind dann 12 Scheiben Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Scheiben Käse:
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Um von 8 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 4 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 240 g durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Scheiben Käse entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 120 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Scheiben Käse entspricht: 360 g
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 Minuten telefonieren | 40 ct |
| ? | ? |
| 10 Minuten telefonieren | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten telefonieren:
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Um von 8 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 2 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 40 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten telefonieren entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 10 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten telefonieren entspricht: 50 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 16 km braucht sie 96 Minuten.
Wie lange braucht sie für 20 km?
Wie viele km schafft sie in 144 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 16 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 96 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 km entspricht: 120 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 144 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 96 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 96 und von 144 sein, also der ggT(96,144) = 48.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 48 min:
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Um von 96 min in der ersten Zeile auf 48 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 16 km durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 48 min entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 48 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 144 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 144 min entspricht: 24 km
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 95 € den 30 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 95 € war also falsch, richtig wäre 90 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 35 € den 10 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 2
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: 5
⋅ 2
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Der Wert 35 € war also falsch, richtig wäre 30 € gewesen.