Aufgabenbeispiele von antiproportional
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:
|
⋅ 5
|
 |
|
 |
: 5
|
|
⋅ 5
|
|
|
|
: 5
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 80 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 90 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
|
Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
|
: 5
|
|
|
|
⋅ 5
|
|
: 5
|
|
|
|
⋅ 5
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 5
⋅ 3
|
|
|
|
⋅ 5
: 3
|
Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
|
: 5
⋅ 3
|
|
|
|
⋅ 5
: 3
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 7 Minuten pro Tag | 8 Tage |
| ? | ? |
| 4 Minuten pro Tag | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:
|
Um von 7 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:
|
: 7
|
|
|
|
⋅ 7
|
|
: 7
|
|
|
|
⋅ 7
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 7
⋅ 4
|
|
|
|
⋅ 7
: 4
|
Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
|
: 7
⋅ 4
|
|
|
|
⋅ 7
: 4
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 14 Tage
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 7 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 8 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 7 Tage reichen sollen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:
|
Um von 7 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:
|
: 7
|
|
|
|
⋅ 7
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 7
⋅ 4
|
|
|
|
⋅ 7
: 4
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 14 Tage
Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 7 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:
|
Um von 8 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Minuten pro Tag nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:
|
: 8
|
|
|
|
⋅ 8
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 8
⋅ 7
|
|
|
|
⋅ 8
: 7
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Tage entspricht: 8 Minuten pro Tag
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 79 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.
|
: 4
⋅ 3
|
|
|
|
⋅ 4
: 3
|
Der urpsrünglich vorgegebene Wert 79 € Lohn (für 3 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 80 € Lohn gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 15 € Lohn den 20 Helfer:innen entsprechen.
|
: 1
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 1
: 5
|
Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 € Lohn (für 20 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 12 € Lohn gewesen.