Wir können insgesamt 10 Quadrate erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{10}$

Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 8 eingefärbt.

Es sind also 8 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{8}{10}$

Wir haben eine Tabelle mit 6 Spalten und 3 Zeilen, also insgesamt 18 Zellen. $\frac{5}{6}$ von 18 ist 15, weil $\frac{1}{6}$ von 18 ja = 3 ist und 5⋅3 = 15 ist.

Somit müssen 15 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 km sind ja 1000 m.

Also sind ein $\frac{1}{5}$ km doch gerade 1000 m : 5 = 200 m.

Somit sind ein $\frac{3}{5}$ km das gleiche wie 200 m ⋅ 3 = 600 m.

Ein $\frac{1}{2}$ von 100 Mädchen sind 100 : 2 = 50 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{1}{2}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{5}$ von 35 Brötchen sind 35 : 5 = 7 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{10}$ von 1000 m sind 1000 m : 10 = 100 m.

$\frac{9}{10}$ von 1000 m sind also 9 ⋅ 100 m = 900 m.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 60 min sind 60 min : 4 = 15 min.

$\frac{3}{4}$ von 60 min sind also 3 ⋅ 15 min = 45 min.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{3}$ h ist ein $\frac{1}{3}$ von 60 min, also 60 min : 3 = 20 min

0,5 h sind 0 h + $\frac{1}{2}$ h, also 0⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 0 + 30 = 30 min

Insgesamt haben wir somit 20 min + 30 min = 50 min

Weil 50 min kleiner als 1 h à 60 min ist, ist das Ergebnis somit 0 h und 50 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 8}}{\mathrm{3\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{16}{24}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (10) und Nenner (35) sind:

$\frac{10}{35}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{2}{7}$

$\frac{10}{35}$ = $\frac{2}{7}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 54 wird.

Wir müssen also mit 54 : 3 = 18 erweitern.

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 18}}{\mathrm{3\; \cdot \; 18}}$ = $\frac{72}{54}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 3-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 3 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{3}{5}$

40% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

40% = $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{2}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch $-2\frac{2}{3}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-2\frac{2}{3}$ = $-\frac{6}{3}$ $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{8}{3}$

Vergleich von $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{1}{2}$ > $\frac{1}{3}$

Vergleich von $\frac{2}{5}$ und $\frac{1}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{5}$ > $\frac{1}{5}$

Vergleich von $\frac{8}{5}$ und $\frac{4}{3}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{8}{5}$ > $\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{8}{5}$ > $\frac{4}{3}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 7 und 8.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 14 und 16, nämlich 15, somit ist also $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{16}{24}$ und $\frac{11}{8}$ = $\frac{33}{24}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 16 und 33.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{16}{24}$ = $\frac{32}{48}$ und $\frac{33}{24}$ = $\frac{66}{48}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 32 und 66, nämlich $\frac{\mathrm{32\; +\; 66}}{2}$ = 49, somit ist also $\frac{49}{48}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{2}{3}$ = $\frac{32}{48}$ und $\frac{11}{8}$ = $\frac{66}{48}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-\frac{9}{2}$ = $\frac{\mathrm{8\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{8}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $4$ + $\frac{1}{2}$ = $-4\frac{1}{2}$

$-4$

$-4\frac{2}{5}$

Jetzt sieht man sofort, dass $-4$ die betragsmäßig kleinste Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens größte Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-4\frac{2}{5}$ oder $-4\frac{1}{2}$ größer ist.
Da ja beide die -4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{2}{5}$ und $-\frac{1}{2}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $-\frac{2}{5}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein muss. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{2}{5}$ die größere von beiden.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $-\frac{2}{5}$ = $-\frac{4}{10}$ < $-\frac{5}{10}$ = $-\frac{1}{2}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-4\frac{1}{2}$ < $-4\frac{2}{5}$ < $-4$ , also

$-\frac{9}{2}$ < $-4\frac{2}{5}$ < $-4$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

13 = 12 + 1 = 6⋅2 + 1

also gilt:

$\frac{13}{2}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 2\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 2}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 6 + $\frac{1}{2}$

Somit gilt: $\frac{13}{2}$ = $6\frac{1}{2}$