Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 8 eingefärbt.

Es sind also 8 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{8}{10}$

Wir können insgesamt 9 Sektoren erkennen.

Davon sind 7 eingefärbt.

Es sind also 7 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{7}{9}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 42 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 42 ist 28, weil $\frac{1}{3}$ von 42 ja = 14 ist und 2⋅14 = 28 ist.

Somit müssen 28 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 cm² sind ja 100 mm².

Also sind ein $\frac{1}{4}$ cm² doch gerade 100 mm² : 4 = 25 mm².

Ein $\frac{1}{3}$ von 60 Mädchen sind 60 : 3 = 20 Mädchen.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 60 Mädchen 2 ⋅ 20 = 40 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{2}{3}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{3}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{3}$

Ein $\frac{1}{4}$ von 8 Birnen sind 8 : 4 = 2 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1cm in 10 mm um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 10 mm sind 10 mm : 2 = 5 mm.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{15}$ von 60 s sind 60 s : 15 = 4 s.

$\frac{14}{15}$ von 60 s sind also 14 ⋅ 4 s = 56 s.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{4}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{4}$ von 24 h, also 24 h : 4 = 6 h
Ein $\frac{3}{4}$ d(Tage) sind also 3 ⋅ 6 h = 18 h

1,5 d(Tage) sind 1 d(Tage) + $\frac{1}{2}$ d(Tage), also 1⋅24 + $\frac{1}{2}$⋅24 = 24 + 12 = 36 h

Insgesamt haben wir somit 18 h + 36 h = 54 h

Um herauszufinden wie viele volle d(Tage) in den 54 h stecken, suchen wir das größte Vielfache von 24, das nicht größer als 54 ist. Wir teilen also 54 als 48 + 6 auf und erhalten somit:
54 h = 2 d(Tage) und 6 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{9}{8}$ = $\frac{\mathrm{9\; \cdot \; 3}}{\mathrm{8\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{27}{24}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (36) und Nenner (30) sind:

$\frac{36}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{18}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{6}{5}$

$\frac{36}{30}$ = $\frac{6}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 35 wird.

Wir müssen also mit 35 : 7 = 5 erweitern.

$\frac{3}{7}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}{\mathrm{7\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{15}{35}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{4}$

15% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

15% = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch $-2\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-2\frac{1}{4}$ = $-\frac{8}{4}$ $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{9}{4}$

Vergleich von $\frac{7}{8}$ und $\frac{7}{9}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{8}$ > $\frac{7}{9}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{8}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{15}{10}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$

Also gilt: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ < $\frac{15}{10}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{5}{7}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{4}{7}$ und $\frac{6}{7}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 4 im neunen Nenner steht:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $\frac{2}{4}$ = $\frac{4}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$2$

$2\frac{2}{3}$

$\frac{12}{5}$ = $\frac{\mathrm{10\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{10}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $2$ + $\frac{2}{5}$ = $2\frac{2}{5}$

Jetzt sieht man sofort, dass $2$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{2}{5}$ oder $2\frac{2}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $\frac{2}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{2}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2$ < $2\frac{2}{5}$ < $2\frac{2}{3}$ , also

$2$ < $\frac{12}{5}$ < $2\frac{2}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

23 = 18 + 5 = 3⋅6 + 5

also gilt:

$\frac{23}{6}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 6\; +\; 5}}{6}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 6}}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = 3 + $\frac{5}{6}$

Somit gilt: $\frac{23}{6}$ = $3\frac{5}{6}$