Wir können insgesamt 12 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{12}$

Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 9 eingefärbt.

Es sind also 9 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{9}{10}$

Wir haben eine Tabelle mit 4 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 24 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 24 ist 16, weil $\frac{1}{3}$ von 24 ja = 8 ist und 2⋅8 = 16 ist.

Somit müssen 16 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 2 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind eine Hälfte des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{2}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{2}$ links im Rechteck abgetragen.

1 h sind ja 60 min.

Also sind eine $\frac{1}{3}$ h doch gerade 60 min : 3 = 20 min.

Ein $\frac{1}{2}$ von 60 Apfelbäume sind 60 : 2 = 30 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{1}{2}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{3}$ von 27 Euro sind 27 : 3 = 9 Euro.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 27 Euro 2 ⋅ 9 = 18 Euro.

Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein $\frac{1}{50}$ von 1000 mg sind 1000 mg : 50 = 20 mg.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 60 s sind 60 s : 5 = 12 s.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{3}$ h ist ein $\frac{1}{3}$ von 60 min, also 60 min : 3 = 20 min
Eine $\frac{2}{3}$ h sind also 2 ⋅ 20 min = 40 min

1,5 h sind 1 h + $\frac{1}{2}$ h, also 1⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 60 + 30 = 90 min

Insgesamt haben wir somit 40 min + 90 min = 130 min

Um herauszufinden wie viele volle h in den 130 min stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 130 ist. Wir teilen also 130 als 120 + 10 auf und erhalten somit:
130 min = 2 h und 10 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 4:

$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 4}}{\mathrm{5\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{16}{20}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (42) und Nenner (56) sind:

$\frac{42}{56}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{21}{28}$ $\stackrel{\mathrm{k(7)}}{=}$ $\frac{3}{4}$

$\frac{42}{56}$ = $\frac{3}{4}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 14 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 4 = 25 erweitern.

$\frac{5}{4}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 25}}{\mathrm{4\; \cdot \; 25}}$ = $\frac{125}{100}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

50% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

50% = $\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{1}{2}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 2 und 3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 2 und 3 liegt, muss der gemischte Bruch $2\frac{3}{8}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $2\frac{3}{8}$ = $\frac{16}{8}$ $+\frac{3}{8}$ = $\frac{19}{8}$

Vergleich von $\frac{5}{7}$ und $\frac{5}{6}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{7}$ < $\frac{5}{6}$

Vergleich von $\frac{30}{19}$ und $\frac{31}{19}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 19 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 19 teilt). Es gilt hier also $\frac{30}{19}$ < $\frac{31}{19}$

Vergleich von $\frac{5}{3}$ und $\frac{11}{6}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$

Also gilt: $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$ < $\frac{11}{6}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 3 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{10}$ und $\frac{4}{5}$ = $\frac{8}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 6 und 8, nämlich 7, somit ist also $\frac{7}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{10}$ und $\frac{4}{5}$ = $\frac{8}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{27}{36}$ und $\frac{8}{9}$ = $\frac{32}{36}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 27 und 32.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{27}{36}$ = $\frac{54}{72}$ und $\frac{32}{36}$ = $\frac{64}{72}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 54 und 64, nämlich $\frac{\mathrm{54\; +\; 64}}{2}$ = 59, somit ist also $\frac{59}{72}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{3}{4}$ = $\frac{54}{72}$ und $\frac{8}{9}$ = $\frac{64}{72}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-\frac{16}{7}$ = $\frac{\mathrm{14\; +\; 2}}{7}$ = $\frac{14}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $2$ + $\frac{2}{7}$ = $-2\frac{2}{7}$

$-2\frac{2}{5}$

$-\frac{13}{5}$ = $\frac{\mathrm{10\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{10}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $2$ + $\frac{3}{5}$ = $-2\frac{3}{5}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen -3 und -2 liegen. $-2\frac{3}{5}$ ist dabei aber die betragsmäßig größte Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens kleinste Zahl, weil sie als einzige größer als $-2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{5}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-2\frac{2}{7}$ oder $-2\frac{2}{5}$ größer ist.
Da ja beide die -2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{2}{7}$ und $-\frac{2}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $-\frac{2}{7}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $-\frac{2}{5}$. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{2}{7}$ die größere von beiden.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-2\frac{3}{5}$ < $-2\frac{2}{5}$ < $-2\frac{2}{7}$ , also

$-\frac{13}{5}$ < $-2\frac{2}{5}$ < $-\frac{16}{7}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

25 = 24 + 1 = 4⋅6 + 1

also gilt:

$\frac{25}{6}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 6\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 6}}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = 4 + $\frac{1}{6}$

Somit gilt: $\frac{25}{6}$ = $4\frac{1}{6}$