Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.

Der Winkel zwischen 12 Uhr und 9 Uhr ist also 9 ⋅ 30° = 270°.

Der Winkel auf der linken Seite zwischen 9 Uhr und 9 Uhr ist mit 3 ⋅ 30° = 90° jedoch kleiner.

Somit ist der gesucht Winkel 90°.

Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 290° sein muss.

Der blaue Winkel mit 141° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:

141° + α = 180°

Also muss α doch 141° kleiner als 180° sein:

α = 180° - 141° = 39°

Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:

α ≈ 69°

β ≈ 23°

γ ≈ 88°

Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(2|0).

Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:

α ≈ 73°

β ≈ 42°

γ ≈ 65°

Weil der größte Winkel α = 73° < 90° ist, ist das Dreieck spitzwinklig.

Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.

Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(3|0).

Wir können insgesamt 9 gleich große Sektoren erkennen.

Zusammen ergeben die 9 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:

α = $\frac{\mathrm{360°}}{9}$ = 40°

Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 8, B: 7, C: 5, D: 25

Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 8 + 7 + 5 + 25 = 45

Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 45 teilen:

A: $\frac{8}{45}$

B: $\frac{7}{45}$

C: $\frac{5}{45}$

D: $\frac{25}{45}$

Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.

Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 45 mit den 360 kürzen:

A: $\frac{8}{45}$ ⋅ 360° = 8 ⋅ 8° = 64°

B: $\frac{7}{45}$ ⋅ 360° = 7 ⋅ 8° = 56°

C: $\frac{5}{45}$ ⋅ 360° = 5 ⋅ 8° = 40°

D: $\frac{25}{45}$ ⋅ 360° = 25 ⋅ 8° = 200°

Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:

U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 mm
≈ 3,1 ⋅2 mm
≈ 6,2 mm

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
27.9 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 27.9 mm : 3,1
= 9 mm

Man erkennt zwei Viertelskreise mit Radius r = 1 cm.

Setzt man die zwei Viertelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 1 cm = 3.1 cm

Dazu kommen noch die insgesamt 4 Radiuslängen (je zwei bei den zwei Viertelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 4 ⋅ 1 cm = 4 cm.

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 3,1 cm + 4 cm = 7,1 cm.

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 20² m²
≈ 3,1 ⋅ 400 m²
≈ 1240 m²

Man erkennt hier einen Voll-Kreisring, das heißt von einem größeren Voll-Kreis mit Radius r₁ = 3 cm wurde ein kleinerer Voll-Kreis mit Radius r₂ = 2 cm herausgeschnitten.

Für den Flächeninhalt des großen Voll-Kreis gilt A₁ = $1$ ⋅ π ⋅ r₁²
≈ $1$ ⋅ 3,1 ⋅ 3² cm² ≈ $1$ ⋅ 3,1 ⋅ 9 cm² = 27,9 cm² .

Für den Flächeninhalt des kleineren Voll-Kreis, der herausgeschnitten wurde, gilt
A₂ = $1$ ⋅ π ⋅ r₂² ≈ $1$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $1$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm² = 12,4 cm² .

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 27,9 cm² - 12,4 cm² = 15,5 cm².

Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 4 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A₁ = 4 cm ⋅ 2 cm = 8 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks oben kann man berechnen mit:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ g ⋅ h_g = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 cm ⋅ 2 cm = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 cm ²
= 2 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Viertelskreises rechts kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r² berechnen. Weil es ja aber nur ein Viertelskreis ist, müssen wir eben noch alles mit $\frac{1}{4}$ multiplizieren:
A₃ =$\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1² cm² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm²
= 0.775 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A₁ + A₂ + A₃
= 8 cm² + 2 cm² + 0.775 cm²
= 10,775 cm².