Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
An einem Sommertag wird an einer Kreuzung in der Stadt eine Verkehrszählung durchgeführt. Dabei werden in einer Stunde 33 Autos mit Verbrennungsmotor, 31 Elektroautos, 25 Fahrradfahrer und 11 Fußgänger gezählt.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Verkehrsteilnehmer in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Verkehrsteilnehmer zusammen und erhalten: 33 + 31 + 25 + 11 = 100
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 100 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Verbrennungsmotor-Auto: = 33%
Elektroauto: = 31%
Fahrrad: = 25%
Fußgänger: = 11%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 16 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 135°
C: 45°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=16 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅16 = 6 |
| B | = | ⋅16 = 6 |
| C | = | ⋅16 = 2 |
| D | = | ⋅16 = 2 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 290kg; 150kg; 10kg
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
290kg + 150kg + 10kg = 450kg
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 3, teilen:
Mittelwert m = kg = 150kg
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 100; 6; ⬜ haben den Mittelwert 38.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 38
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 38
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 38.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 38, also 3 ⋅ 38 = 114 sein, also ...
106 + ⬜ = 114
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 114 - 106 sein muss.
⬜ = 8
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
12kg; 11kg; 14kg; 8kg; 12kg; 15kg
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 8kg und der größte Wert, also das Maximum 15kg ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 15kg - 8kg = 7kg.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
12kg + 11kg + 14kg + 8kg + 12kg + 15kg = 72kg
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = kg = 12kg
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 12kg | 2 |
| 11kg | 1 |
| 14kg | 1 |
| 8kg | 1 |
| 15kg | 1 |
Der Modalwert ist also 12kg, weil er als einziger 2 mal auftritt.