Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2+5$ = $5\cdot 1+5$ = $5+5$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $10$⋅ $1$ + c

$10$ = $10$ + c | $-10$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}x+0$

= $-\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{4}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2-1$ = $-\frac{1}{3}\cdot 4-1$ = $-\frac{4}{3}-1$ = $-\frac{4}{3}-\frac{3}{3}$ = $-\frac{7}{3}$ ≈ -2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{4}{3}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{3}$ = $-\frac{8}{3}$ + c | + $\frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}$ = c

also c= $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{4}{3}$⋅x + $\frac{1}{3}$ oder y=1.33x +0.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)$

= $-1-4$

= $-5$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+2\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+2\cdot 1$ = $\frac{1}{3}+2$ = $\frac{1}{3}+\frac{6}{3}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{3}$ = $\frac{1}{5}$⋅( $-1$) + c

$\frac{7}{3}$ = $-\frac{1}{5}$ + c | + $\frac{1}{5}$

$\frac{38}{15}$ = c

also c= $\frac{38}{15}$ ≈ 2.53

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{5}$⋅x + $\frac{38}{15}$ oder y=0.2x +2.53

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-3$

f'(2) = $6\cdot 2^3-3$ = $6\cdot 8-3$ = $48-3$ = $45$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $45$)) ≈ 88.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-2x+3$ ab:

f'(x) = $3x^3-2$

Es muss gelten:

$3x^3-2$	=	$1$	| $+2$
$3x^3$	=	$3$	|:$3$
$x^3$	=	$1$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-1+0$

= $-8x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2-0+3$ = $-4\cdot 0+0+3$ = $0+0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-1$⋅0 + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-x+3$

$-x+3$	=	0	| $-3$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{12}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{3}{t}^3$

= $-\frac{1}{3}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{3}\cdot 8$

= $-\frac{8}{3}$

≈ -2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{8}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $5-\frac{1}{12}\cdot 2^4$ = $5-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $5-\frac{4}{3}$ = $\frac{15}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{8}{3}$⋅2 + c

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{16}{3}$ + c | + $\frac{16}{3}$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{8}{3}$⋅t + $9$ oder y=-2.67t +9

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{8}{3}t+9$

$-\frac{8}{3}t+9$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}t+9\right)$	=	0
$-8t+27$	=	0	| $-27$
$-8t$	=	$-27$	|:($-8$)
$t$	=	$\frac{27}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38.