Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 2-3$

= $12-3$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^2-3\cdot 2$ = $3\cdot 4-6$ = $12-6$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $9$⋅ $2$ + c

$6$ = $18$ + c | $-18$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x $-12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $15x^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $15\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$

= $15\cdot 4+8$

= $60+8$

= $68$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $68$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $5\cdot \left(-8\right)-2\cdot 4$ = $-40-8$ = $-48$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-48$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-48$ = $68$⋅( $-2$) + c

$-48$ = $-136$ + c | + $136$

$88$ = c

also c= $88$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $68$⋅x + $88$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-9\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $-9\cdot 4$

= $-36$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{36}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^3+3$ = $-3\cdot \left(-8\right)+3$ = $24+3$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $\frac{1}{36}$⋅( $-2$) + c

$27$ = $-\frac{1}{18}$ + c | + $\frac{1}{18}$

$\frac{487}{18}$ = c

also c= $\frac{487}{18}$ ≈ 27.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{36}$⋅x + $\frac{487}{18}$ oder y=0.03x +27.06

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x-\frac{3}{2}+0$

f'(-3) = $-\left(-3\right)-\frac{3}{2}$ = $3-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-111x+4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-111$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{2}{x}^3-111$	=	$-3$	| $+111$
$-\frac{1}{2}{x}^3$	=	$108$	|⋅ $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-216$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{216}$	= $-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2-4$ = $-3\cdot 1-4$ = $-3-4$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-6$ + c | + $6$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-6x-1$

$-6x-1$	=	0	| $+1$
$-6x$	=	$1$	|:($-6$)
$x$	=	$-\frac{1}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{6}$ ≈ -0.17.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $9-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $9-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $9-2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-1$⋅4 + c

$7$ = $-4$ + c | + $4$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+11$

$-t+11$	=	0	| $-11$
$-t$	=	$-11$	|:($-1$)
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$.