Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-1\right)$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2+4$ = $-4\cdot 1+4$ = $-4+4$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $8$⋅( $-1$) + c

0 = $-8$ + c | + $8$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)-1$

= $16-1$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-4\cdot 4+2$ = $-16+2$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $15$⋅( $-2$) + c

$-14$ = $-30$ + c | + $30$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x + $16$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x^2-\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{1}{2}$

= $-4\cdot 1-\frac{1}{2}$

= $-4-\frac{1}{2}$

= $-\frac{8}{2}-\frac{1}{2}$

= $-\frac{9}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{2}{9}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{2}{9}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{3}+\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{6}+\frac{3}{6}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{11}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{6}$ = $\frac{2}{9}$⋅( $-1$) + c

$\frac{11}{6}$ = $-\frac{2}{9}$ + c | + $\frac{2}{9}$

$\frac{37}{18}$ = c

also c= $\frac{37}{18}$ ≈ 2.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{2}{9}$⋅x + $\frac{37}{18}$ oder y=0.22x +2.06

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+\frac{1}{2}$ = $-\left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $1+\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-6x-3$ ab:

f'(x) = $3x-6$

Es muss gelten:

$3x-6$	=	$3$	| $+6$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+0$

= $4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 2$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 2^2+3$ = $2\cdot 4+3$ = $8+3$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $8$⋅ $2$ + c

$11$ = $16$ + c | $-16$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $8x-5$

$8x-5$	=	0	| $+5$
$8x$	=	$5$	|:$8$
$x$	=	$\frac{5}{8}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{8}$ ≈ 0.63.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $11-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $11-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $11-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $11-2$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-4$⋅2 + c

$9$ = $-8$ + c | + $8$

$17$ = c

also c= $17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $17$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+17$

$-4t+17$	=	0	| $-17$
$-4t$	=	$-17$	|:($-4$)
$t$	=	$\frac{17}{4}$ = 4.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{17}{4}$ ≈ 4.25.