Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2+3\cdot 0$ = $-0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2+1$ = $1+1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-2$⋅( $-1$) + c

$2$ = $2$ + c | $-2$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-12\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)$

= $-12\cdot 4-16$

= $-48-16$

= $-64$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{64}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{64}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^3+4\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-4\cdot \left(-8\right)+4\cdot 4$ = $32+16$ = $48$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $48$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$48$ = $\frac{1}{64}$⋅( $-2$) + c

$48$ = $-\frac{1}{32}$ + c | + $\frac{1}{32}$

$\frac{1537}{32}$ = c

also c= $\frac{1537}{32}$ ≈ 48.03

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{64}$⋅x + $\frac{1537}{32}$ oder y=0.02x +48.03

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3x$

f'(-1) = $\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{3}{2}\cdot 1-3$ = $\frac{3}{2}-3$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-26x+4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-26$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{5}{x}^3-26$	=	$-1$	| $+26$
$-\frac{1}{5}{x}^3$	=	$25$	|⋅ $\left(-5\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2x+0$

= $3x^2+2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1-2$

= $3-2$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-3$ = $\left(-1\right)+1-3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $1$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-1$ + c | + $1$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $x-2$

$x-2$	=	0	| $+2$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $10-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $10-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $10-\frac{9}{4}$ = $\frac{40}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{31}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{31}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{49}{4}$ = c

also c= $\frac{49}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{49}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{49}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{49}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{49}{4}\right)$	=	0
$-6t+49$	=	0	| $-49$
$-6t$	=	$-49$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{49}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{49}{6}$ ≈ 8.17.