Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+2$ = $-3\cdot 1+2$ = $-3+2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-6$ + c | + $6$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $\frac{1}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^2$

= $\frac{1}{3}\cdot 1$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot 1^3-1$ = $\frac{1}{9}\cdot 1-1$ = $\frac{1}{9}-1$ = $\frac{1}{9}-\frac{9}{9}$ = $-\frac{8}{9}$ ≈ -0.89

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{8}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{8}{9}$ = $\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{8}{9}$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{11}{9}$ = c

also c= $-\frac{11}{9}$ ≈ -1.22

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{11}{9}$ oder y=0.33x -1.22

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-12\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$

= $-12\cdot 4+8$

= $-48+8$

= $-40$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{40}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{40}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-4\cdot \left(-8\right)-2\cdot 4$ = $32-8$ = $24$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $24$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$24$ = $\frac{1}{40}$⋅( $-2$) + c

$24$ = $-\frac{1}{20}$ + c | + $\frac{1}{20}$

$\frac{481}{20}$ = c

also c= $\frac{481}{20}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{40}$⋅x + $\frac{481}{20}$ oder y=0.03x +24.05

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-1+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-1$ = $2\cdot 0-1$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+24x-2$ ab:

f'(x) = $x^3+24$

Es muss gelten:

$x^3+24$	=	$-3$	| $-24$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2-5$ = $-3\cdot 1-5$ = $-3-5$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-8$ = $-6$ + c | + $6$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-6x-2$

$-6x-2$	=	0	| $+2$
$-6x$	=	$2$	|:($-6$)
$x$	=	$-\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $7-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $7-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $7-2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-1$⋅4 + c

$5$ = $-4$ + c | + $4$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+9$

$-t+9$	=	0	| $-9$
$-t$	=	$-9$	|:($-1$)
$t$	=	$9$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $9$.