Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)$

= $9\cdot 4-16$

= $36-16$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^3+4\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $3\cdot \left(-8\right)+4\cdot 4$ = $-24+16$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $20$⋅( $-2$) + c

$-8$ = $-40$ + c | + $40$

$32$ = c

also c= $32$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x + $32$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2-2$ = $5\cdot 4-2$ = $20-2$ = $18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$18$ = $20$⋅ $2$ + c

$18$ = $40$ + c | $-40$

$-22$ = c

also c= $-22$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x $-22$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 0^2+4$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 0^3+4\cdot 0$ = $-\frac{1}{9}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{4}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x +0

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

f'(1) = $3\cdot 1^2-3\cdot 1$ = $3\cdot 1-3$ = $3-3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-24x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-24$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{5}{x}^3-24$	=	$1$	| $+24$
$-\frac{1}{5}{x}^3$	=	$25$	|⋅ $\left(-5\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 2-4$

= $-8-4$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2-4\cdot 2$ = $-2\cdot 4-8$ = $-8-8$ = $-16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16$ = $-12$⋅ $2$ + c

$-16$ = $-24$ + c | + $24$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-12x+8$

$-12x+8$	=	0	| $-8$
$-12x$	=	$-8$	|:($-12$)
$x$	=	$\frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{12}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{6}t$

= $-\frac{1}{6}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{6}\cdot 4$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{2}{3}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $5-\frac{1}{12}\cdot 4^2$ = $5-\frac{1}{12}\cdot 16$ = $5-\frac{4}{3}$ = $\frac{15}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{2}{3}$⋅4 + c

$\frac{11}{3}$ = $-\frac{8}{3}$ + c | + $\frac{8}{3}$

$\frac{19}{3}$ = c

also c= $\frac{19}{3}$ ≈ 6.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{2}{3}$⋅t + $\frac{19}{3}$ oder y=-0.67t +6.33

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{2}{3}t+\frac{19}{3}$

$-\frac{2}{3}t+\frac{19}{3}$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}t+\frac{19}{3}\right)$	=	0
$-2t+19$	=	0	| $-19$
$-2t$	=	$-19$	|:($-2$)
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.