Aufgabenbeispiele von Tangenten

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 2 x 3 -3 an der Stelle x= -1 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 x 3 -3 ,
also

f'(x)= 6 x 2 +0

= 6 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -1 )= 6 ( -1 ) 2

= 61

= 6

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 6 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -1 )= 2 ( -1 ) 3 -3 = 2( -1 ) -3 = -2 -3 = -5

Wir erhalten so also den Punkt B( -1 | -5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-5 = 6 ⋅( -1 ) + c

-5 = -6 + c | + 6

1 = c

also c= 1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 6 ⋅x + 1

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 2 -3x an der Stelle x=0:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - 3 2 x 2 -3x ,
also

f'(x)= -3x -3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= -30 -3

= 0 -3

= -3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= - 3 2 0 2 -30 = - 3 2 0 +0 = 0+0 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = -3 0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -3 ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= -3 x 2 +2x an der Stelle x=0:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 x 2 +2x ,
also

f'(x)= -6x +2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= -60 +2

= 0 +2

= 2

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= - 1 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 1 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= -3 0 2 +20 = -30 +0 = 0+0 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = - 1 2 0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 1 2 ⋅x +0

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 3 +3 x 2 +6 im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 3 +3 x 2 +6

=>f'(x)= 9 2 x 2 +6x +0

f'(-1) = 9 2 ( -1 ) 2 +6( -1 ) = 9 2 1 -6 = 9 2 -6 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( - 3 2 )) ≈ -56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 x 4 +22x -7 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 4 x 4 +22x -7 ab:

f'(x) = 3 x 3 +22

Es muss gelten:

3 x 3 +22 = -2 | -22
3 x 3 = -24 |:3
x 3 = -8 | 3
x = - 8 3 = -2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -2.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 -3 x 2 im Punkt B( 1 |f( 1 )) die x-Achse schneidet:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 -3 x 2 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -6x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= 3 1 2 -61

= 31 -6

= 3 -6

= -3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= 1 3 -3 1 2 = 1 -31 = 1 -3 = -2

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-2 = -3 1 + c

-2 = -3 + c | + 3

1 = c

also c= 1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -3 ⋅x + 1

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = -3x +1

-3x +1 = 0 | -1
-3x = -1 |:(-3 )
x = 1 3

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = 1 3 ≈ 0.33.

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term f(t)= 5 - 1 8 t 3 beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 2 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=2s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

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Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(t)= 5 - 1 8 t 3 ,
also

f'(t)= 0 - 3 8 t 2

= - 3 8 t 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(2)= - 3 8 2 2

= - 3 8 4

= - 3 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= - 3 2 t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(2)= 5 - 1 8 2 3 = 5 - 1 8 8 = 5 -1 = 4

Wir erhalten so also den Punkt B(2| 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4 = - 3 2 ⋅2 + c

4 = -3 + c | + 3

7 = c

also c= 7

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= - 3 2 ⋅t + 7

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = - 3 2 t +7

- 3 2 t +7 = 0 |⋅ 2
2( - 3 2 t +7 ) = 0
-3t +14 = 0 | -14
-3t = -14 |:(-3 )
t = 14 3

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = 14 3 ≈ 4.67.