Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+1$ = $-2\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2+5$ = $-4\cdot 0+5$ = $0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = 0⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 2-4$

= $-8-4$

= $-12$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{12}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{12}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2-4\cdot 2$ = $-2\cdot 4-8$ = $-8-8$ = $-16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16$ = $\frac{1}{12}$⋅ $2$ + c

$-16$ = $\frac{1}{6}$ + c | $-\frac{1}{6}$

$-\frac{97}{6}$ = c

also c= $-\frac{97}{6}$ ≈ -16.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{12}$⋅x $-\frac{97}{6}$ oder y=0.08x -16.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x$

f'(2) = $\frac{3}{2}\cdot 2^2-3\cdot 2$ = $\frac{3}{2}\cdot 4-6$ = $6-6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-31x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-31$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{2}{x}^3-31$	=	$1$	| $+31$
$-\frac{1}{2}{x}^3$	=	$32$	|⋅ $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-5+0$

= $4x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0-5$

= $0-5$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2-5\cdot 0+5$ = $2\cdot 0+0+5$ = $0+0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-5$⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x+5$

$-5x+5$	=	0	| $-5$
$-5x$	=	$-5$	|:($-5$)
$x$	=	$1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{20}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{20}{t}^2$

= $-\frac{3}{20}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{3}{20}\cdot 3^2$

= $-\frac{3}{20}\cdot 9$

= $-\frac{27}{20}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{20}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{20}\cdot 3^3$ = $5-\frac{1}{20}\cdot 27$ = $5-\frac{27}{20}$ = $\frac{100}{20}-\frac{27}{20}$ = $\frac{73}{20}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{73}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{27}{20}$⋅3 + c

$\frac{73}{20}$ = $-\frac{81}{20}$ + c | + $\frac{81}{20}$

$\frac{77}{10}$ = c

also c= $\frac{77}{10}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{20}$⋅t + $\frac{77}{10}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$

$-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}$	=	0	|⋅ 20
$20\left(-\frac{27}{20}t+\frac{77}{10}\right)$	=	0
$-27t+154$	=	0	| $-154$
$-27t$	=	$-154$	|:($-27$)
$t$	=	$\frac{154}{27}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{154}{27}$ ≈ 5.7.