Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 1$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^2-5$ = $4\cdot 1-5$ = $4-5$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $8$⋅ $1$ + c

$-1$ = $8$ + c | $-8$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3+x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2+2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+2\cdot 0$

= $-2\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 0^3+0^2$ = $-\frac{2}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0-3$

= $0-3$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $-4\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=0.33x

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-x$

f'(-2) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-100x+4$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-100$

Es muss gelten:

$-\frac{2}{7}{x}^3-100$	=	$-2$	| $+100$
$-\frac{2}{7}{x}^3$	=	$98$	|⋅ $\left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-4$ = $-1-4$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-5$ = $-2$ + c | + $2$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x-3$

$-2x-3$	=	0	| $+3$
$-2x$	=	$3$	|:($-2$)
$x$	=	$-\frac{3}{2}$ = -1.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{24}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{8}{t}^2$

= $-\frac{1}{8}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{8}\cdot 4^2$

= $-\frac{1}{8}\cdot 16$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $10-\frac{1}{24}\cdot 4^3$ = $10-\frac{1}{24}\cdot 64$ = $10-\frac{8}{3}$ = $\frac{30}{3}-\frac{8}{3}$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{22}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{22}{3}$ = $-2$⋅4 + c

$\frac{22}{3}$ = $-8$ + c | + $8$

$\frac{46}{3}$ = c

also c= $\frac{46}{3}$ ≈ 15.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅t + $\frac{46}{3}$ oder y=-2t +15.33

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2t+\frac{46}{3}$

$-2t+\frac{46}{3}$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-2t+\frac{46}{3}\right)$	=	0
$-6t+46$	=	0	| $-46$
$-6t$	=	$-46$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{23}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{23}{3}$ ≈ 7.67.