Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $10\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $5\cdot 0^2+2\cdot 0$ = $5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 1^2-4\cdot 1$

= $9\cdot 1-4$

= $9-4$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^3-2\cdot 1^2$ = $3\cdot 1-2\cdot 1$ = $3-2$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $5$⋅ $1$ + c

$1$ = $5$ + c | $-5$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-\frac{1}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 2^2-2$

= $9\cdot 4-2$

= $36-2$

= $34$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{34}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{34}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^3-\frac{1}{2}\cdot 2^2$ = $3\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot 4$ = $24-2$ = $22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$22$ = $-\frac{1}{34}$⋅ $2$ + c

$22$ = $-\frac{1}{17}$ + c | + $\frac{1}{17}$

$\frac{375}{17}$ = c

also c= $\frac{375}{17}$ ≈ 22.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{34}$⋅x + $\frac{375}{17}$ oder y=-0.03x +22.06

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-3x^2$

f'(-2) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-8\right)-3\cdot 4$ = $16-12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{24}{x}^4-35x+5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{6}{x}^3-35$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{6}{x}^3-35$	=	$1$	| $+35$
$-\frac{1}{6}{x}^3$	=	$36$	|⋅ $\left(-6\right)$
$x^3$	=	$-216$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{216}$	= $-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-5$ = $-1-5$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-2$ + c | + $2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x-4$

$-2x-4$	=	0	| $+4$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-2$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{104}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{26}{t}^3$

= $-\frac{1}{26}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{26}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{26}\cdot 64$

= $-\frac{32}{13}$

≈ -2.46

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{32}{13}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $9-\frac{1}{104}\cdot 4^4$ = $9-\frac{1}{104}\cdot 256$ = $9-\frac{32}{13}$ = $\frac{117}{13}-\frac{32}{13}$ = $\frac{85}{13}$ ≈ 6.54

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{85}{13}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{85}{13}$ = $-\frac{32}{13}$⋅4 + c

$\frac{85}{13}$ = $-\frac{128}{13}$ + c | + $\frac{128}{13}$

$\frac{213}{13}$ = c

also c= $\frac{213}{13}$ ≈ 16.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{32}{13}$⋅t + $\frac{213}{13}$ oder y=-2.46t +16.38

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{32}{13}t+\frac{213}{13}$

$-\frac{32}{13}t+\frac{213}{13}$	=	0	|⋅ 13
$13\left(-\frac{32}{13}t+\frac{213}{13}\right)$	=	0
$-32t+213$	=	0	| $-213$
$-32t$	=	$-213$	|:($-32$)
$t$	=	$\frac{213}{32}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{213}{32}$ ≈ 6.66.