Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2$

= $3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^3-1$ = $0-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = 0⋅0 + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{9}{x}^3+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2+0$

= $\frac{2}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 2^2$

= $\frac{2}{3}\cdot 4$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{8}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{9}\cdot 2^3+4$ = $\frac{2}{9}\cdot 8+4$ = $\frac{16}{9}+4$ = $\frac{16}{9}+\frac{36}{9}$ = $\frac{52}{9}$ ≈ 5.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{52}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{52}{9}$ = $\frac{8}{3}$⋅ $2$ + c

$\frac{52}{9}$ = $\frac{16}{3}$ + c | $-\frac{16}{3}$

$\frac{4}{9}$ = c

also c= $\frac{4}{9}$ ≈ 0.44

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{8}{3}$⋅x + $\frac{4}{9}$ oder y=2.67x +0.44

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 2^2-8\cdot 2$

= $3\cdot 4-16$

= $12-16$

= $-4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^3-4\cdot 2^2$ = $8-4\cdot 4$ = $8-16$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $\frac{1}{4}$⋅ $2$ + c

$-8$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{17}{2}$ = c

also c= $-\frac{17}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{17}{2}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $0-\frac{3}{2}$ = $0-\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x-4$ ab:

f'(x) = $x+1$

Es muss gelten:

$x+1$	=	$-2$	| $-1$
$x$	=	$-3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-4$ = $\left(-1\right)-4$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $3$⋅( $-1$) + c

$-5$ = $-3$ + c | + $3$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x-2$

$3x-2$	=	0	| $+2$
$3x$	=	$2$	|:$3$
$x$	=	$\frac{2}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{40}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{40}{t}^2$

= $-\frac{3}{40}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{3}{40}\cdot 4^2$

= $-\frac{3}{40}\cdot 16$

= $-\frac{6}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{6}{5}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $6-\frac{1}{40}\cdot 4^3$ = $6-\frac{1}{40}\cdot 64$ = $6-\frac{8}{5}$ = $\frac{30}{5}-\frac{8}{5}$ = $\frac{22}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{22}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{22}{5}$ = $-\frac{6}{5}$⋅4 + c

$\frac{22}{5}$ = $-\frac{24}{5}$ + c | + $\frac{24}{5}$

$\frac{46}{5}$ = c

also c= $\frac{46}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{6}{5}$⋅t + $\frac{46}{5}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{6}{5}t+\frac{46}{5}$

$-\frac{6}{5}t+\frac{46}{5}$	=	0	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}t+\frac{46}{5}\right)$	=	0
$-6t+46$	=	0	| $-46$
$-6t$	=	$-46$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{23}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{23}{3}$ ≈ 7.67.