Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 1^2+6\cdot 1$

= $9\cdot 1+6$

= $9+6$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^3+3\cdot 1^2$ = $3\cdot 1+3\cdot 1$ = $3+3$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $15$⋅ $1$ + c

$6$ = $15$ + c | $-15$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 4+3$

= $2+3$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $\frac{1}{6}\cdot \left(-8\right)-\frac{3}{4}\cdot 4$ = $-\frac{4}{3}-3$ = $-\frac{4}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{13}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{13}{3}$ = $5$⋅( $-2$) + c

$-\frac{13}{3}$ = $-10$ + c | + $10$

$\frac{17}{3}$ = c

also c= $\frac{17}{3}$ ≈ 5.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $\frac{17}{3}$ oder y=5x +5.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-1\right)-5$

= $-6-5$

= $-11$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{11}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{11}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)$ = $3\cdot 1+5$ = $3+5$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $\frac{1}{11}$⋅( $-1$) + c

$8$ = $-\frac{1}{11}$ + c | + $\frac{1}{11}$

$\frac{89}{11}$ = c

also c= $\frac{89}{11}$ ≈ 8.09

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{11}$⋅x + $\frac{89}{11}$ oder y=0.09x +8.09

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^2-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2x+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-2\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+4$ ab:

f'(x) = $2x^3$

Es muss gelten:

$2x^3$	=	$2$	|:$2$
$x^3$	=	$1$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 1+1$

= $-10+1$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^2+1$ = $-5\cdot 1+1$ = $-5+1$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-9$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-9$ + c | + $9$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-9x+5$

$-9x+5$	=	0	| $-5$
$-9x$	=	$-5$	|:($-9$)
$x$	=	$\frac{5}{9}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{9}$ ≈ 0.56.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $14-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $14-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $14-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $14-2$ = $12$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$12$ = $-4$⋅2 + c

$12$ = $-8$ + c | + $8$

$20$ = c

also c= $20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $20$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+20$

$-4t+20$	=	0	| $-20$
$-4t$	=	$-20$	|:($-4$)
$t$	=	$5$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $5$.