Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0^2+1$

= $6\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^3+0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{6}{x}^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}x+0$

= $-\frac{1}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^2+4$ = $-\frac{1}{6}\cdot 1+4$ = $-\frac{1}{6}+4$ = $-\frac{1}{6}+\frac{24}{6}$ = $\frac{23}{6}$ ≈ 3.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{23}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{6}$ = $\frac{1}{3}$⋅( $-1$) + c

$\frac{23}{6}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{25}{6}$ = c

also c= $\frac{25}{6}$ ≈ 4.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $\frac{25}{6}$ oder y=0.33x +4.17

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 1-2$

= $8-2$

= $6$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^2-2\cdot 1$ = $4\cdot 1-2$ = $4-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-\frac{1}{6}$⋅ $1$ + c

$2$ = $-\frac{1}{6}$ + c | + $\frac{1}{6}$

$\frac{13}{6}$ = c

also c= $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{6}$⋅x + $\frac{13}{6}$ oder y=-0.17x +2.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+3$

f'(-1) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+3$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+3$ = $-\frac{9}{2}+3$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{16}{x}^4-14x+9$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^3-14$

Es muss gelten:

$\frac{1}{4}{x}^3-14$	=	$2$	| $+14$
$\frac{1}{4}{x}^3$	=	$16$	|⋅$4$
$x^3$	=	$64$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+5$ = $1+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $3$⋅ $1$ + c

$6$ = $3$ + c | $-3$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x+3$

$3x+3$	=	0	| $-3$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{172}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{43}{t}^3$

= $-\frac{1}{43}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{43}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{43}\cdot 64$

= $-\frac{64}{43}$

≈ -1.49

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{64}{43}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $5-\frac{1}{172}\cdot 4^4$ = $5-\frac{1}{172}\cdot 256$ = $5-\frac{64}{43}$ = $\frac{215}{43}-\frac{64}{43}$ = $\frac{151}{43}$ ≈ 3.51

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{151}{43}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{151}{43}$ = $-\frac{64}{43}$⋅4 + c

$\frac{151}{43}$ = $-\frac{256}{43}$ + c | + $\frac{256}{43}$

$\frac{407}{43}$ = c

also c= $\frac{407}{43}$ ≈ 9.47

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{64}{43}$⋅t + $\frac{407}{43}$ oder y=-1.49t +9.47

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{64}{43}t+\frac{407}{43}$

$-\frac{64}{43}t+\frac{407}{43}$	=	0	|⋅ 43
$43\left(-\frac{64}{43}t+\frac{407}{43}\right)$	=	0
$-64t+407$	=	0	| $-407$
$-64t$	=	$-407$	|:($-64$)
$t$	=	$\frac{407}{64}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{407}{64}$ ≈ 6.36.