Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2+1$

= $4+1$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^2+2$ = $4+2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $5$⋅ $2$ + c

$6$ = $10$ + c | $-10$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2-4$ = $5\cdot 1-4$ = $5-4$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $10$⋅ $1$ + c

$1$ = $10$ + c | $-10$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}x+0$

= $\frac{3}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-5$ = $\frac{3}{4}\cdot 4-5$ = $3-5$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $\frac{1}{3}$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $-\frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$-\frac{4}{3}$ = c

also c= $-\frac{4}{3}$ ≈ -1.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{4}{3}$ oder y=0.33x -1.33

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{3}{2}$

f'(-3) = $2\cdot \left(-3\right)+\frac{3}{2}$ = $-6+\frac{3}{2}$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{9}{2}$)) ≈ -77.5°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -77.5° + 180° = 102.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+19x-9$ ab:

f'(x) = $3x+19$

Es muss gelten:

$3x+19$	=	$1$	| $-19$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+5x-15$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+5+0$

= $-6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2+5\cdot 0-15$ = $-3\cdot 0+0-15$ = $0+0-15$ = $-15$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15$ = $5$⋅0 + c

$-15$ = 0 + c

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-15$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x-15$

$5x-15$	=	0	| $+15$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{36}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{9}{t}^3$

= $-\frac{1}{9}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{9}\cdot 27$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $8-\frac{1}{36}\cdot 3^4$ = $8-\frac{1}{36}\cdot 81$ = $8-\frac{9}{4}$ = $\frac{32}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{23}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{23}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{23}{4}$ = $-3$⋅3 + c

$\frac{23}{4}$ = $-9$ + c | + $9$

$\frac{59}{4}$ = c

also c= $\frac{59}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $\frac{59}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+\frac{59}{4}$

$-3t+\frac{59}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-3t+\frac{59}{4}\right)$	=	0
$-12t+59$	=	0	| $-59$
$-12t$	=	$-59$	|:($-12$)
$t$	=	$\frac{59}{12}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{59}{12}$ ≈ 4.92.