Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^3-2$ = $3\cdot \left(-8\right)-2$ = $-24-2$ = $-26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-26$ = $36$⋅( $-2$) + c

$-26$ = $-72$ + c | + $72$

$46$ = c

also c= $46$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x + $46$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0-\frac{1}{3}$

= $0-\frac{1}{3}$

= $0-\frac{1}{3}$

= $-\frac{1}{3}$

≈ -0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2-\frac{1}{3}\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=-0.33x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x+0$

= $3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot \left(-1\right)$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+3$ = $\frac{3}{2}\cdot 1+3$ = $\frac{3}{2}+3$ = $\frac{3}{2}+\frac{6}{2}$ = $\frac{9}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{9}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{1}{3}$⋅( $-1$) + c

$\frac{9}{2}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{29}{6}$ = c

also c= $\frac{29}{6}$ ≈ 4.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $\frac{29}{6}$ oder y=0.33x +4.83

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-3$

f'(2) = $6\cdot 2^3-3$ = $6\cdot 8-3$ = $48-3$ = $45$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $45$)) ≈ 88.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-34x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-34$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{2}{x}^3-34$	=	$-2$	| $+34$
$-\frac{1}{2}{x}^3$	=	$32$	|⋅ $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 3-4$

= $6-4$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3^2-4\cdot 3$ = $9-12$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $2$⋅ $3$ + c

$-3$ = $6$ + c | $-6$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $2x-9$

$2x-9$	=	0	| $+9$
$2x$	=	$9$	|:$2$
$x$	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $7-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $7-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $7-2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-1$⋅4 + c

$5$ = $-4$ + c | + $4$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+9$

$-t+9$	=	0	| $-9$
$-t$	=	$-9$	|:($-1$)
$t$	=	$9$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $9$.