Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,6 = $\mathrm{0,4}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = ${\mathrm{0,4}}^3$ ≈ 0.064 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (9\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 6!}}$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{3\cdot 8\cdot 7}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{3\cdot 4\cdot 7}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 84

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}30\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{30!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 5 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 5 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 5) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}29\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{29!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 25!}}$ = $\frac{\mathrm{29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 23751.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ergebnisse}}$ = $\frac{\mathrm{23751}}{\mathrm{142506}}$ ≈ 0.1667, also ca. 16.67%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.5.

$P_{0.5}^{55}(X=30)$ = $\left(\begin{array}{c}55\\ 30\end{array}\right)\cdot {0.5}^{30}\cdot {0.5}^{25}$=0.08564957175381≈ 0.0856
(TI-Befehl: binompdf(55,0.5,30))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27
4	≈ 0.24	≈ 0.27 + 0.24 = 0.51

Während P(X ≤ 3) = 0.27 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.51 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{62}(X\le 9)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{62}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{62}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{62}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{62}(X=9)$ = 0.40210020281152 ≈ 0.4021
(TI-Befehl: binomcdf(62,1/6,9))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.35.

...

$P_{0.35}^{53}(X\ge 16)$ = 1 - $P_{0.35}^{53}(X\le 15)$ = 0.8091
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.35,15))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.89.

$P_{0.89}^{89}(82\le X\le 88)$ =

$P_{0.89}^{89}(X\le 88)$ - $P_{0.89}^{89}(X\le 81)$ ≈ 1 - 0.7758 ≈ 0.2242
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.89,88) - binomcdf(89,0.89,81))