Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\mathrm{0,15}$ ≈ 0.15 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (5\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 2!}}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{5\cdot 2}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{30}}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{\mathrm{<mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 4!}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 34!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 8, die 16 und die 22 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 8, der 16 und der 22 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 8, der 16 und der 22) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}37\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{37!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 34!}}$ = $\frac{\mathrm{37\cdot 36\cdot 35}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 7770.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ergebnisse}}$ = $\frac{\mathrm{7770}}{\mathrm{3838380}}$ ≈ 0.002, also ca. 0.2%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.7.

$P_{0.7}^{26}(X=17)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 17\end{array}\right)\cdot {0.7}^{17}\cdot {0.3}^9$=0.14306897031399≈ 0.1431
(TI-Befehl: binompdf(26,0.7,17))

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.65 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.65 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.65=0.35 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2	≈ 0.28	≈ 0.25 + 0.28 = 0.53

Während P(X ≤ 1) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.53 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.75 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.47 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{83}(X\le 20)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{83}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{83}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{83}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{83}(X=20)$ = 0.97055436821072 ≈ 0.9706
(TI-Befehl: binomcdf(83,1/6,20))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.25.

...

$P_{0.25}^{72}(X>16)$ = $P_{0.25}^{72}(X\ge 17)$ = 1 - $P_{0.25}^{72}(X\le 16)$ = 0.6512
(TI-Befehl: 1-binomcdf(72,0.25,16))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.25.

$P_{0.25}^{74}(12\le X\le 24)$ =

...

$P_{0.25}^{74}(X\le 24)$ - $P_{0.25}^{74}(X\le 11)$ ≈ 0.9431 - 0.0255 ≈ 0.9176
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.25,24) - binomcdf(74,0.25,11))