Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 63 und p = 0.3 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 63 ⋅ 0.3 = 18.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{63\; \cdot \; 0.3\; \cdot \; 0.7}}$ = $\sqrt{\mathrm{13.23}}$ ≈ 3.64

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=73⋅0.75 = 54.75

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 54.75, also 0.85⋅ 54.75 = 46.538 und 115% von 54.75, also 1.15⋅ 54.75 = 62.963

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 54.75 entfernt sein darf als 46.538 bzw. 62.963, muss sie also zwischen 47 und 62 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.75.

$P_{0.75}^{73}(47\le X\le 62)$ =

...

$P_{0.75}^{73}(X\le 62)$ - $P_{0.75}^{73}(X\le 46)$ ≈ 0.9859 - 0.0154 ≈ 0.9705
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.75,62) - binomcdf(73,0.75,46))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 83⋅0.4 ≈ 33.2,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>83</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.4\; <mo>\cdot </mo>\; 0.6}}$ ≈ 4.46

37.66 (33.2 + 4.46) und 28.74 (33.2 - 4.46) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 33.2 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 29 und 37 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 29 und 37 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.4.

$P_{0.4}^{83}(29\le X\le 37)$ =

...

$P_{0.4}^{83}(X\le 37)$ - $P_{0.4}^{83}(X\le 28)$ ≈ 0.8325 - 0.1459 ≈ 0.6866
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.4,37) - binomcdf(83,0.4,28))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 18. Somit gilt:

18 = 21 ⋅ p |:21

p = $\frac{18}{21}$ = $\frac{6}{7}$

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.56 + 0.5+ 0.38 ≈ 1.44 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 11 ⋅ 0.75 = 8.25 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 12 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 12 Treffer bei 11 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=5)⋅5 + P(X=7)⋅7 + P(X=15)⋅15
= 0,4⋅5 + 0,3⋅7 + 0,3⋅15
= 2 + 2,1 + 4,5

= 8,6

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=5)⋅(8,6-5)² + P(X=7)⋅(8,6-7)² + P(X=15)⋅(8,6-15)²
= 0,4⋅(3,6)² + 0,3⋅(1,6)² + 0,3⋅(-6,4)²
= 0,4⋅12,96 + 0,3⋅2,56 + 0,3⋅40,96
= 5,184 + 0,768 + 12,288
= 18.24

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{18.24}}$ ≈ 4,271

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.6⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.2 + 0.4

= 0.6

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(0.6-0)² + P(X=1)⋅(0.6-1)² + P(X=2)⋅(0.6-2)²
= 0.6⋅(0.6)² + 0.2⋅(-0.4)² + 0.2⋅(-1.4)²
= 0.6⋅0.36 + 0.2⋅0.16 + 0.2⋅1.96
= 0.216 + 0.032 + 0.392
= 0.64

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{0.64}}$ ≈ 0.8