Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 80 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 73 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 73) = ( a b ) 0.7c de

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 73 mal getroffen und 7 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=73 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 80 73 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 73 Treffer und 7 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.7730.37

Somit muss d = 0.3, sowie c = 73 und e = 7 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 15 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 0.315 + ( 15 a ) 0.71 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand 0.315 steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.71, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Y: keine Treffer:
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥14)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Mindestens 14 mal wird eine rote Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 15 1 ) , also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Ein Lehrer verteilt bei einer Klassenarbeit an alle seine 26 Schülerinnen und Schüler jeweils einen Glückskeks. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 8 Mädchen genau 0 einen Glückskeks mit einer Peperoni und von den Jungs genau 1 einen Glückskeks mit einer Peperoni erwischen .

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 8 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=8 und p= 1 8 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P 1 8 8 (X=0) ≈ 0.3436.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p= 1 8 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P 1 8 18 (Y=1) ≈ 0.2324.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P 1 8 8 (X=0) P 1 8 18 (Y=1) = 0.3436 ⋅ 0.2324 ≈ 0.0799

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 91% und im Stehen 89%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

  • 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

P0.915 (X=4) = ( 5 4 ) 0.914 0.091 ≈ 0.3086
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=5) = ( 5 5 ) 0.895 0.110 ≈ 0.5584
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3086 ⋅ 0.5584 = 0.17232224

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

P0.915 (X=5) = ( 5 5 ) 0.915 0.090 ≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=4) = ( 5 4 ) 0.894 0.111 ≈ 0.3451
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.624 ⋅ 0.3451 = 0.2153424

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

P0.915 (X=5) = ( 5 5 ) 0.915 0.090 ≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.89.

P0.895 (X=5) = ( 5 5 ) 0.895 0.110 ≈ 0.5584
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.624 ⋅ 0.5584 = 0.3484416


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1723 + 0.2153 + 0.3484 = 0.7361

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 8% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 25 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 2 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.08, also P0.0825 (X2)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.08.

P0.0825 (X2) = P0.0825 (X=0) + P0.0825 (X=1) + P0.0825 (X=2) = 0.67683323573499 ≈ 0.6768
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.08,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.6768) und 'nicht ok'(p=0.3232).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

EreignisP
kiste ok -> kiste ok0,4581
kiste ok -> nicht ok0,2187
nicht ok -> kiste ok0,2187
nicht ok -> nicht ok0,1045

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("kiste ok")=0,6768; P("nicht ok")=0,3232;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'kiste ok'-'kiste ok' (P=0,4581)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,4581 = 0,4581


feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

10 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 10 3 ) ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 7

Dabei gibt ja ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 7 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 7 Nicht-Treffern und ( 10 3 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 10 3 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOOO

OXXXOOOOOO

OOXXXOOOOO

OOOXXXOOOO

OOOOXXXOOO

OOOOOXXXOO

OOOOOOXXXO

OOOOOOOXXX

Es gibt also genau 8 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 8 ⋅ ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 7 ≈ 0.0103