Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{1}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+4$ = $-0+4$ = 4 und
f(2) = $-2^3+4$ = $-8+4$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-8}}{2}$

= $-4$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-3-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-3\right)}{x+1}$

= $\frac{-2x^2-3+2\cdot {\left(-1\right)}^2+3}{x+1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-2\left(x-1\right)$ = $-2\left(-1-1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-3-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-3\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-3+2\cdot {\left(-1\right)}^2+3}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+2\right)$ = $2\left(-0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-2x^4+x-\left(-2\cdot 2^4+2\right)}{x-2}$ = $\frac{-2x^4+x+32-2}{x-2}$ = $\frac{-2x^4+x+30}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-2\cdot {\mathrm{2,1}}^4+\mathrm{2,1}+30}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -67.962

x = 2.01: $\frac{-2\cdot {\mathrm{2,01}}^4+\mathrm{2,01}+30}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -63.4816

x = 2.001: $\frac{-2\cdot {\mathrm{2,001}}^4+\mathrm{2,001}+30}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -63.04802

x = 2.0001: $\frac{-2\cdot {\mathrm{2,0001}}^4+\mathrm{2,0001}+30}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -63.0048

x = 2.00001: $\frac{-2\cdot 2^4+\mathrm{2,00001}+30}{0.00001}$ ≈ -63.00048

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-2x^4+x+30}{x-2}$ ≈ -63

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+1-\left(-5u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+1+5u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2-4-\left(5u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2-4-5u^2+4}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.