Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2+1$ = $-\left(-1\right)-1+1$ = 1 und
f(1) = $-1^3-1^2+1$ = $-1-1+1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 3

f($\mathrm{0,5}$) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{0,5}$) -3 = $\mathrm{7,5}$ |+3

f($\mathrm{0,5}$) = 10.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2+1-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{x+2}$

= $\frac{3x^2+1-3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $3\left(x-2\right)$ = $3\left(-2-2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+1-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+1-3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{3{\left(h-2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h}{h}$

= $\frac{3h·\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-4\right)$ = $3\left(0-4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{{\left(-2\right)}^2}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{4}}{x+2}$ = $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{x^2}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.81025

x = -1.99: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.75566

x = -1.999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.75056

x = -1.9999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.75006

x = -1.99999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-2\right)}^2}}{0.00001}$ ≈ -0.75001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{x^2}}{x+2}$ ≈ -0.75

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-1-\left(-u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-1+u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4x^2-5x-\left(4u^2-5u\right)}{x-u}$

= $\frac{4x^2-5x-4u^2+5u}{x-u}$

= $\frac{4x^2-4u^2-5x+5u}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)-5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $4·(x+u)-5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $4·(x+u)-5$ = $4·(u+u)-5$ = $8u-5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8u-5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8x-5$.