Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $2\sqrt{-3+3}-5$ = $2\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-2) = $2\sqrt{-2+3}-5$ = $2\sqrt{1}-5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-2)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{4,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{4,5}$) +4 = $\mathrm{7,5}$ |-4

f($\mathrm{4,5}$) = 3.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-3x^2-5-\left(-3\cdot 2^2-5\right)}{x-2}$

= $\frac{-3x^2-5+3\cdot 2^2+5}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-3\left(x+2\right)$ = $-3\left(2+2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2-5-\left(-3\cdot 2^2-5\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2-5+3\cdot 2^2+5}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h}{h}$

= $\frac{-3h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+4\right)$ = $-3\left(0+4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{3x^4+x-\left(3\cdot 1^4+1\right)}{x-1}$ = $\frac{3x^4+x-3-1}{x-1}$ = $\frac{3x^4+x-4}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,1}}^4+\mathrm{1,1}-4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 14.923

x = 1.01: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,01}}^4+\mathrm{1,01}-4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 13.1812

x = 1.001: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,001}}^4+\mathrm{1,001}-4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 13.01801

x = 1.0001: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,0001}}^4+\mathrm{1,0001}-4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 13.0018

x = 1.00001: $\frac{3\cdot 1^4+\mathrm{1,00001}-4}{0.00001}$ ≈ 13.00018

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{3x^4+x-4}{x-1}$ ≈ 13

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+1-\left(-2u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+1+2u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-1-\left(-5u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-1+5u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.