Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+4$ = $-0+4$ = 4 und
f(2) = $-2^3+4$ = $-8+4$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-8}}{2}$

= $-4$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 2

f($\mathrm{0,5}$) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{0,5}$) +2 = $5$ |-2

f($\mathrm{0,5}$) = 3

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^2+3\right)}{x+1}$

= $\frac{3x^2+3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3}{x+1}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $3\left(x-1\right)$ = $3\left(-1-1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-1+h\right)}^2+3-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-1+h\right)}^2+3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{3{\left(h-1\right)}^2-3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-2h+1\right)-3}{h}$

= $\frac{3h^2-6h+3-3}{h}$

= $\frac{3h^2-6h}{h}$

= $\frac{3h·\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-2\right)$ = $3\left(0-2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{2x^3-5x-\left(2\cdot 1^3-5\cdot 1\right)}{x-1}$ = $\frac{2x^3-5x-2+5}{x-1}$ = $\frac{2x^3-5x+3}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,1}}^3-5\cdot \mathrm{1,1}+3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 1.62

x = 1.01: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,01}}^3-5\cdot \mathrm{1,01}+3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 1.0602

x = 1.001: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,001}}^3-5\cdot \mathrm{1,001}+3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 1.006

x = 1.0001: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,0001}}^3-5\cdot \mathrm{1,0001}+3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 1.0006

x = 1.00001: $\frac{2\cdot 1^3-5\cdot 1+3}{0.00001}$ ≈ 1.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{2x^3-5x+3}{x-1}$ ≈ 1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+4-\left(2u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+4-2u^2-4}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-x-(-5u^2-u)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-x+5u^2+u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2-x+u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)-\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)-1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)-1$ = $-5·(u+u)-1$ = $-10u-1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u-1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x-1$.