Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+1$ = $-\left(-1\right)+1+1$ = 3 und
f(2) = $-2^3+2^2+1$ = $-8+4+1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{3}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{3}$

f($\frac{1}{3}$) -0 = $\frac{35}{3}$ |+0

f($\frac{1}{3}$) ≈ 11.667

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{3x^2-2-\left(3\cdot 2^2-2\right)}{x-2}$

= $\frac{3x^2-2-3\cdot 2^2+2}{x-2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $3\left(x+2\right)$ = $3\left(2+2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2-2-\left(3\cdot 2^2-2\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2-2-3\cdot 2^2+2}{h}$

= $\frac{3{\left(h+2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+4\right)$ = $3\left(0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\frac{4\sqrt{x}-4\sqrt{4}}{x-4}$ = $\frac{4\sqrt{x}-8}{x-4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,1}}-8}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.99383

x = 4.01: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,01}}-8}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.99938

x = 4.001: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,001}}-8}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.99994

x = 4.0001: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,0001}}-8}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.99999

x = 4.00001: $\frac{4\sqrt{4}-8}{0.00001}$ ≈ 1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$ $\frac{4\sqrt{x}-8}{x-4}$ ≈ 1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2+5-\left(5u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2+5-5u^2-5}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-5x-\left(-5u^2-5u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-5x+5u^2+5u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2-5x+5u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)-5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)-5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)-5$ = $-5·(u+u)-5$ = $-10u-5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u-5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x-5$.