Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-1$ = $1+1-1$ = 1 und
f(1) = $1^2-1-1$ = $1-1-1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 5

f($\mathrm{4,5}$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{4,5}$) +5 = $\mathrm{12,5}$ |-5

f($\mathrm{4,5}$) = 7.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{x^2-1-\left(1^2-1\right)}{x-1}$

= $\frac{x^2-1-1^2+1}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $1·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $x+1$ = $1+1$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2-1-\left(1^2-1\right)}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2-1-1^2+1}{h}$

= $\frac{{\left(h+1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2+2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2+2h}{h}$

= $\frac{h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h+2$ = $0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\frac{4\sqrt{x}-4\sqrt{4}}{x-4}$ = $\frac{4\sqrt{x}-8}{x-4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,1}}-8}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.99383

x = 4.01: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,01}}-8}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.99938

x = 4.001: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,001}}-8}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.99994

x = 4.0001: $\frac{4\sqrt{\mathrm{4,0001}}-8}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.99999

x = 4.00001: $\frac{4\sqrt{4}-8}{0.00001}$ ≈ 1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$ $\frac{4\sqrt{x}-8}{x-4}$ ≈ 1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+5-\left(2u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+5-2u^2-5}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2+3x-\left(3u^2+3u\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2+3x-3u^2-3u}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2+3x-3u}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)+3\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)+3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3·(x+u)+3$ = $3·(u+u)+3$ = $6u+3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u+3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x+3$.