Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4}}{1}$

= $-4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = -3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = $3\sqrt{-4+4}-5$ = $3\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-3) = $3\sqrt{-3+4}-5$ = $3\sqrt{1}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-3) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -3 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-3)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 1

f($\mathrm{2,5}$) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{2,5}$) -3 = $\mathrm{2,5}$ |+3

f($\mathrm{2,5}$) = 5.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{x^2-1-\left(2^2-1\right)}{x-2}$

= $\frac{x^2-1-2^2+1}{x-2}$

= $\frac{x^2-2^2}{x-2}$

= $\frac{x^2-2^2}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $1·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $x+2$ = $2+2$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{{\left(2+h\right)}^2-1-\left(2^2-1\right)}{h}$

= $\frac{{\left(2+h\right)}^2-1-2^2+1}{h}$

= $\frac{{\left(h+2\right)}^2-4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2+4h+4-4}{h}$

= $\frac{h^2+4h}{h}$

= $\frac{h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h+4$ = $0+4$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{x^4-x^2-\left({\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{x^4-x^2-1+1}{x+1}$ = $\frac{x^4-x^2}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{{\left(-\mathrm{0,9}\right)}^4-{\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -1.539

x = -0.99: $\frac{{\left(-\mathrm{0,99}\right)}^4-{\left(-\mathrm{0,99}\right)}^2}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -1.9504

x = -0.999: $\frac{{\left(-\mathrm{0,999}\right)}^4-{\left(-\mathrm{0,999}\right)}^2}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -1.995

x = -0.9999: $\frac{{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^4-{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^2}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -1.9995

x = -0.99999: $\frac{{\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^2}{0.00001}$ ≈ -1.99995

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{x^4-x^2}{x+1}$ ≈ -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4x^2-5-\left(4u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{4x^2-5-4u^2+5}{x-u}$

= $\frac{4x^2-4u^2}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $4(x+u)$ = $4·(u+u)$ = $8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{4}{x}+4-\left(\frac{4}{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}+4-\frac{4}{u}-4}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u}{x·u}+\frac{-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4x+4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{4}{xu}$ = $\frac{-4}{u·u}$ = $-\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{4}{x^2}$.