Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^2+5$ = $-0+5$ = 5 und
f(3) = $-3^2+5$ = $-9+5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{2,5}$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($\mathrm{2,5}$) +5 = $\mathrm{1,5}$ |-5

f($\mathrm{2,5}$) = -3.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2+4-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^2+4\right)}{x+1}$

= $\frac{2x^2+4-2\cdot {\left(-1\right)}^2-4}{x+1}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $2\left(x-1\right)$ = $2\left(-1-1\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-1+h\right)}^2+4-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^2+4\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-1+h\right)}^2+4-2\cdot {\left(-1\right)}^2-4}{h}$

= $\frac{2{\left(h-1\right)}^2-2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-2h+1\right)-2}{h}$

= $\frac{2h^2-4h+2-2}{h}$

= $\frac{2h^2-4h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-2\right)$ = $2\left(0-2\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-3x^4+x-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^4-2\right)}{x+2}$ = $\frac{-3x^4+x+48+2}{x+2}$ = $\frac{-3x^4+x+50}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^4-\mathrm{1,9}+50}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 90.037

x = -1.99: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^4-\mathrm{1,99}+50}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 96.2824

x = -1.999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^4-\mathrm{1,999}+50}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 96.92802

x = -1.9999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^4-\mathrm{1,9999}+50}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 96.9928

x = -1.99999: $\frac{-3\cdot {\left(-2\right)}^4-\mathrm{1,99999}+50}{0.00001}$ ≈ 96.99928

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-3x^4+x+50}{x+2}$ ≈ 97

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2+4-\left(-u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2+4+u^2-4}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{2}{x}-4-\left(-\frac{2}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{2}{x}-4+\frac{2}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{2}{x}+\frac{2}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2u}{x·u}+\frac{2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2u+2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2x-2u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 2 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{2(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{2}{xu}$ = $\frac{2}{u·u}$ = $\frac{2}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{2}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{2}{x^2}$.