Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^2-5$ = $1-5$ = -4 und
f(3) = $3^2-5$ = $9-5$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{8}{2}$

= $4$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($-\mathrm{0,5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) -0 = $6$ |+0

f($-\mathrm{0,5}$) = 6

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-x^2-1-\left(-1^2-1\right)}{x-1}$

= $\frac{-x^2-1+1^2+1}{x-1}$

= $\frac{-x^2+1^2}{x-1}$

= $\frac{-\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-\left(x+1\right)$ = $-\left(1+1\right)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(1+h\right)}^2-1-\left(-1^2-1\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(1+h\right)}^2-1+1^2+1}{h}$

= $\frac{-{\left(h+1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2+2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2-2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2-2h}{h}$

= $\frac{-h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-\left(h+2\right)$ = $-\left(0+2\right)$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{3x^4-5x^2-\left(3\cdot 1^4-5\cdot 1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{3x^4-5x^2-3+5}{x-1}$ = $\frac{3x^4-5x^2+2}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,1}}^4-5\cdot {\mathrm{1,1}}^2+2}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 3.423

x = 1.01: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,01}}^4-5\cdot {\mathrm{1,01}}^2+2}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 2.1312

x = 1.001: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,001}}^4-5\cdot {\mathrm{1,001}}^2+2}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 2.01301

x = 1.0001: $\frac{3\cdot {\mathrm{1,0001}}^4-5\cdot {\mathrm{1,0001}}^2+2}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 2.0013

x = 1.00001: $\frac{3\cdot 1^4-5\cdot 1^2+2}{0.00001}$ ≈ 2.00013

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{3x^4-5x^2+2}{x-1}$ ≈ 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-4-\left(2u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-4-2u^2+4}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-5-\left(2u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-5-2u^2+5}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.