Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{9}$

= $\frac{2}{3}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $2^3-3\cdot 2^2+2$ = $8-3\cdot 4+2$ = -2 und
f(3) = $3^3-3\cdot 3^2+2$ = $27-3\cdot 9+2$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{4}{1}$

= $4$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{2,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{2,5}$) +4 = $\mathrm{4,5}$ |-4

f($\mathrm{2,5}$) = 0.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{3x^2-5-\left(3\cdot 2^2-5\right)}{x-2}$

= $\frac{3x^2-5-3\cdot 2^2+5}{x-2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $3\left(x+2\right)$ = $3\left(2+2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2-5-\left(3\cdot 2^2-5\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2-5-3\cdot 2^2+5}{h}$

= $\frac{3{\left(h+2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+4\right)$ = $3\left(0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-3x^3-2x^2-\left(-3\cdot 2^3-2\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{-3x^3-2x^2+24+8}{x-2}$ = $\frac{-3x^3-2x^2+32}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,1}}^3-2\cdot {\mathrm{2,1}}^2+32}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -46.03

x = 2.01: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,01}}^3-2\cdot {\mathrm{2,01}}^2+32}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -44.2003

x = 2.001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,001}}^3-2\cdot {\mathrm{2,001}}^2+32}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -44.02

x = 2.0001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,0001}}^3-2\cdot {\mathrm{2,0001}}^2+32}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -44.002

x = 2.00001: $\frac{-3\cdot 2^3-2\cdot 2^2+32}{0.00001}$ ≈ -44.0002

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-3x^3-2x^2+32}{x-2}$ ≈ -44

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-3-\left(u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-3-u^2+3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{5}{x}+4-\left(\frac{5}{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{5}{x}+4-\frac{5}{u}-4}{x-u}$

= $\frac{\frac{5}{x}-\frac{5}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5u}{x·u}+\frac{-5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5u-5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5x+5u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-5(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{5}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{5}{xu}$ = $\frac{-5}{u·u}$ = $-\frac{5}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{5}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{5}{x^2}$.