Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-8}}{2}$

= $-4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $2\sqrt{-2+2}-3$ = $2\sqrt{0}-3$ = -3 und
f(2) = $2\sqrt{2+2}-3$ = $2\sqrt{4}-3$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+2-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2\right)}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+2+3\cdot {\left(-1\right)}^2-2}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-3\left(x-1\right)$ = $-3\left(-1-1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+2-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+2+3\cdot {\left(-1\right)}^2-2}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+2\right)$ = $3\left(-0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{1}}{x-1}$ = $\frac{3\sqrt{x}-3}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3\sqrt{\mathrm{1,1}}-3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 1.46427

x = 1.01: $\frac{3\sqrt{\mathrm{1,01}}-3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 1.49627

x = 1.001: $\frac{3\sqrt{\mathrm{1,001}}-3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 1.49963

x = 1.0001: $\frac{3\sqrt{\mathrm{1,0001}}-3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 1.49996

x = 1.00001: $\frac{3\sqrt{1}-3}{0.00001}$ ≈ 1.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{3\sqrt{x}-3}{x-1}$ ≈ 1.5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-3-\left(u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-3-u^2+3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{1}{x}-4-\left(-\frac{1}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}-4+\frac{1}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+\frac{1}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u}{x·u}+\frac{x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u+x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{x-u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{x-u}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{1}{xu}$ = $\frac{1}{u·u}$ = $\frac{1}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{x^2}$.