Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(1)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1}}{1}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ${\left(-2\right)}^2-2-1$ = $4-2-1$ = 1 und
f(0) = $0^2+0-1$ = $0+0-1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 5

f($\mathrm{3,5}$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{3,5}$) +5 = $\mathrm{7,5}$ |-5

f($\mathrm{3,5}$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2-5-\left({\left(-2\right)}^2-5\right)}{x+2}$

= $\frac{x^2-5-{\left(-2\right)}^2+5}{x+2}$

= $\frac{x^2-{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{x^2-{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $1·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $x-2$ = $-2-2$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{{\left(-2+h\right)}^2-5-\left({\left(-2\right)}^2-5\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-2+h\right)}^2-5-{\left(-2\right)}^2+5}{h}$

= $\frac{{\left(h-2\right)}^2-4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-4h+4-4}{h}$

= $\frac{h^2-4h}{h}$

= $\frac{h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-4$ = $0-4$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-\frac{4}{x}+\frac{4}{2}}{x-2}$ = $\frac{-\frac{4}{x}+2}{x-2}$ = $\frac{2-\frac{4}{x}}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{2-\frac{4}{\mathrm{2,1}}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.95238

x = 2.01: $\frac{2-\frac{4}{\mathrm{2,01}}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.99502

x = 2.001: $\frac{2-\frac{4}{\mathrm{2,001}}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.9995

x = 2.0001: $\frac{2-\frac{4}{\mathrm{2,0001}}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.99995

x = 2.00001: $\frac{2-\frac{4}{2}}{0.00001}$ ≈ 1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{2-\frac{4}{x}}{x-2}$ ≈ 1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-3-\left(-u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-3+u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+5x-\left(u^2+5u\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+5x-u^2-5u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+5x-5u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)+5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $1·(x+u)+5$ = $1·(u+u)+5$ = $2u+5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u+5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x+5$.