Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = ${\left(-4\right)}^2+3\cdot \left(-4\right)-1$ = $16-12-1$ = 3 und
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-1$ = $1-3-1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($-\mathrm{0,5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) -0 = $6$ |+0

f($-\mathrm{0,5}$) = 6

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-5-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-5\right)}{x+1}$

= $\frac{-2x^2-5+2\cdot {\left(-1\right)}^2+5}{x+1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-2\left(x-1\right)$ = $-2\left(-1-1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-5-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^2-5\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-1+h\right)}^2-5+2\cdot {\left(-1\right)}^2+5}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+2\right)$ = $2\left(-0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{\sqrt{x}-5}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{\sqrt{\mathrm{25,1}}-5}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.0999

x = 25.01: $\frac{\sqrt{\mathrm{25,01}}-5}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.09999

x = 25.001: $\frac{\sqrt{\mathrm{25,001}}-5}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.1

x = 25.0001: $\frac{\sqrt{\mathrm{25,0001}}-5}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.1

x = 25.00001: $\frac{\sqrt{25}-5}{0.00001}$ ≈ 0.1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{\sqrt{x}-5}{x-25}$ ≈ 0.1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+5-\left(u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+5-u^2-5}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{4}{x}+5-\left(\frac{4}{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}+5-\frac{4}{u}-5}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u}{x·u}+\frac{-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4x+4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{4}{xu}$ = $\frac{-4}{u·u}$ = $-\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{4}{x^2}$.