Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{2}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $\sqrt{-2+2}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(2) = $\sqrt{2+2}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 3

f($-\mathrm{1,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{1,5}$) +3 = $\mathrm{1,5}$ |-3

f($-\mathrm{1,5}$) = -1.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2-3-\left(-{\left(-2\right)}^2-3\right)}{x+2}$

= $\frac{-x^2-3+{\left(-2\right)}^2+3}{x+2}$

= $\frac{-x^2+{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-\left(x-2\right)$ = $-\left(-2-2\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-2+h\right)}^2-3-\left(-{\left(-2\right)}^2-3\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-2+h\right)}^2-3+{\left(-2\right)}^2+3}{h}$

= $\frac{-{\left(h-2\right)}^2+4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-4h+4\right)+4}{h}$

= $\frac{-h^2+4h-4+4}{h}$

= $\frac{-h^2+4h}{h}$

= $\frac{h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+4$ = $-0+4$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+2\sqrt{4}}{x-4}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+4}{x-4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{4,1}}+4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.49691

x = 4.01: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{4,01}}+4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.49969

x = 4.001: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{4,001}}+4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.49997

x = 4.0001: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{4,0001}}+4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.5

x = 4.00001: $\frac{-2\sqrt{4}+4}{0.00001}$ ≈ -0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$ $\frac{-2\sqrt{x}+4}{x-4}$ ≈ -0.5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-2-\left(u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-2-u^2+2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{1}{x}+3-\left(\frac{1}{u}+3\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{1}{x}+3-\frac{1}{u}-3}{x-u}$

= $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{u}{x·u}+\frac{-x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{u-x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-x+u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -1 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{1}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{1}{xu}$ = $\frac{-1}{u·u}$ = $-\frac{1}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{1}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{1}{x^2}$.