Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-1$ = $1+1-1$ = 1 und
f(1) = $1^2-1-1$ = $1-1-1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{35}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 8.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-x^2+4-\left(-1^2+4\right)}{x-1}$

= $\frac{-x^2+4+1^2-4}{x-1}$

= $\frac{-x^2+1^2}{x-1}$

= $\frac{-\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-\left(x+1\right)$ = $-\left(1+1\right)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(1+h\right)}^2+4-\left(-1^2+4\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(1+h\right)}^2+4+1^2-4}{h}$

= $\frac{-{\left(h+1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2+2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2-2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2-2h}{h}$

= $\frac{-h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-\left(h+2\right)$ = $-\left(0+2\right)$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(-1\right)}^2}}{x+1}$ = $\frac{\frac{4}{x^2}-4}{x+1}$ = $\frac{-4+\frac{4}{x^2}}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-4+\frac{4}{{\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 9.38272

x = -0.99: $\frac{-4+\frac{4}{{\left(-\mathrm{0,99}\right)}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 8.12162

x = -0.999: $\frac{-4+\frac{4}{{\left(-\mathrm{0,999}\right)}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 8.01202

x = -0.9999: $\frac{-4+\frac{4}{{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 8.0012

x = -0.99999: $\frac{-4+\frac{4}{{\left(-1\right)}^2}}{0.00001}$ ≈ 8.00012

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-4+\frac{4}{x^2}}{x+1}$ ≈ 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+2-\left(-5u^2+2\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+2+5u^2-2}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{2}{x}-2-\left(\frac{2}{u}-2\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}-2-\frac{2}{u}+2}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u}{x·u}+\frac{-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2x+2u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -2 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-2(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{2}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{2}{xu}$ = $\frac{-2}{u·u}$ = $-\frac{2}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{2}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{2}{x^2}$.