Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^2-0-3$ = $0+0-3$ = -3 und
f(3) = $3^2-3-3$ = $9-3-3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 4

f($\mathrm{2,5}$) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{2,5}$) -2 = $10$ |+2

f($\mathrm{2,5}$) = 12

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-3x^2-3-\left(-3\cdot 2^2-3\right)}{x-2}$

= $\frac{-3x^2-3+3\cdot 2^2+3}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-3\left(x+2\right)$ = $-3\left(2+2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2-3-\left(-3\cdot 2^2-3\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2-3+3\cdot 2^2+3}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h}{h}$

= $\frac{-3h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+4\right)$ = $-3\left(0+4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{2x^4+2x^2-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{2x^4+2x^2-2-2}{x+1}$ = $\frac{2x^4+2x^2-4}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2-4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -10.678

x = -0.99: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^2-4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -11.8608

x = -0.999: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^2-4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -11.98601

x = -0.9999: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^2-4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -11.9986

x = -0.99999: $\frac{2\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^2-4}{0.00001}$ ≈ -11.99986

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{2x^4+2x^2-4}{x+1}$ ≈ -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2+3-\left(5u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2+3-5u^2-3}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3\sqrt{x}-1-\left(3\sqrt{u}-1\right)}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}-1-3\sqrt{u}+1}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{3}{2\sqrt{x}}$.