Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+1$ = $-\left(-1\right)+1+1$ = 3 und
f(2) = $-2^3+2^2+1$ = $-8+4+1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{35}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 8.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2-2-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2-2\right)}{x+2}$

= $\frac{2x^2-2-2\cdot {\left(-2\right)}^2+2}{x+2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $2\left(x-2\right)$ = $2\left(-2-2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2-2-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2-2\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2-2-2\cdot {\left(-2\right)}^2+2}{h}$

= $\frac{2{\left(h-2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-4\right)$ = $2\left(0-4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-3x^4-4x^2-\left(-3\cdot 2^4-4\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{-3x^4-4x^2+48+16}{x-2}$ = $\frac{-3x^4-4x^2+64}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,1}}^4-4\cdot {\mathrm{2,1}}^2+64}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -119.843

x = 2.01: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,01}}^4-4\cdot {\mathrm{2,01}}^2+64}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -112.7624

x = 2.001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,001}}^4-4\cdot {\mathrm{2,001}}^2+64}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -112.07602

x = 2.0001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{2,0001}}^4-4\cdot {\mathrm{2,0001}}^2+64}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -112.0076

x = 2.00001: $\frac{-3\cdot 2^4-4\cdot 2^2+64}{0.00001}$ ≈ -112.00076

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-3x^4-4x^2+64}{x-2}$ ≈ -112

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-5-\left(-3u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-5+3u^2+5}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2+3x-\left(-3u^2+3u\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3x+3u^2-3u}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2+3x-3u}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)+3\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)+3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3·(x+u)+3$ = $-3·(u+u)+3$ = $-6u+3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u+3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x+3$.