Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $\sqrt{0}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(4) = $\sqrt{4}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(0)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{2,5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{2,5}$) -0 = $\mathrm{4,5}$ |+0

f($\mathrm{2,5}$) = 4.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2-1-\left(-{\left(-1\right)}^2-1\right)}{x+1}$

= $\frac{-x^2-1+{\left(-1\right)}^2+1}{x+1}$

= $\frac{-x^2+{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-\left(x-1\right)$ = $-\left(-1-1\right)$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-1-\left(-{\left(-1\right)}^2-1\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-1+{\left(-1\right)}^2+1}{h}$

= $\frac{-{\left(h-1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h}{h}$

= $\frac{h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+2$ = $-0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\frac{-\sqrt{x}+\sqrt{16}}{x-16}$ = $\frac{-\sqrt{x}+4}{x-16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{-\sqrt{\mathrm{16,1}}+4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.12481

x = 16.01: $\frac{-\sqrt{\mathrm{16,01}}+4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.12498

x = 16.001: $\frac{-\sqrt{\mathrm{16,001}}+4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.125

x = 16.0001: $\frac{-\sqrt{\mathrm{16,0001}}+4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.125

x = 16.00001: $\frac{-\sqrt{16}+4}{0.00001}$ ≈ -0.125

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$ $\frac{-\sqrt{x}+4}{x-16}$ ≈ -0.125

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-1-\left(u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-1-u^2+1}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+5x-\left(2u^2+5u\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+5x-2u^2-5u}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2+5x-5u}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)+5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)+5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2·(x+u)+5$ = $2·(u+u)+5$ = $4u+5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u+5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x+5$.