Aufgabenbeispiele von Differenzenquotient
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Differenzenquotient aus Graph ablesen
Beispiel:
Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;5].
Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -3 und x2 = 5 ab und
berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der
x-Werte 5 -
=
=
=
Differenzenquotient aus Term ablesen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].
Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 0 und x2 = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) =
=
= -2 und
f(3) =
=
= 1 und
berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der
x-Werte 3 -
=
=
=
Differenzenquotient rückwärts
Beispiel:
Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x1=-2 und x2=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(-2) = 3. Bestimme f(-1,5).
Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:
= 5
f(
f(
f(
Ableitung mit Differenzenquotient
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
1. Weg
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:
=
=
=
=
Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:
f'(1) =
2. Weg
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:
=
=
=
Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:
=
=
=
Jetzt können wir mit h kürzen:
=
Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:
f'(1) =
Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:
Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:
x = 4.1:
x = 4.01:
x = 4.001:
x = 4.0001:
x = 4.00001:
Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:
f'(4) =
Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:
=
=
=
=
Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:
f'(u) =
Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) =
Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit
Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:
=
=
=
=
=
=
Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:
=
Jetzt lässt sich der Nenner
=
Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:
f'(u) =
Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) =