Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-4$ = $1-2-4$ = -5 und
f(2) = $2^2+2\cdot 2-4$ = $4+4-4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 4

f($-\mathrm{0,5}$) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) -4 = $2$ |+4

f($-\mathrm{0,5}$) = 6

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-2x^2+4-\left(-2\cdot 2^2+4\right)}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+4+2\cdot 2^2-4}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-2\left(x+2\right)$ = $-2\left(2+2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+4-\left(-2\cdot 2^2+4\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+4+2\cdot 2^2-4}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h}{h}$

= $\frac{-2h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+4\right)$ = $-2\left(0+4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{-4\sqrt{x}+4\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{-4\sqrt{x}+20}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,1}}+20}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.3996

x = 25.01: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,01}}+20}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.39996

x = 25.001: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,001}}+20}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.4

x = 25.0001: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,0001}}+20}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.4

x = 25.00001: $\frac{-4\sqrt{25}+20}{0.00001}$ ≈ -0.4

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{-4\sqrt{x}+20}{x-25}$ ≈ -0.4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2+1-\left(-4u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+1+4u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-1-\left(-5u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-1+5u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.