Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $-1^3+3\cdot 1^2-1$ = $-1+3\cdot 1-1$ = 1 und
f(3) = $-3^3+3\cdot 3^2-1$ = $-27+3\cdot 9-1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 2

f($-\mathrm{0,5}$) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) -3 = $3$ |+3

f($-\mathrm{0,5}$) = 6

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2-3-\left({\left(-2\right)}^2-3\right)}{x+2}$

= $\frac{x^2-3-{\left(-2\right)}^2+3}{x+2}$

= $\frac{x^2-{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{x^2-{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $1·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $x-2$ = $-2-2$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{{\left(-2+h\right)}^2-3-\left({\left(-2\right)}^2-3\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-2+h\right)}^2-3-{\left(-2\right)}^2+3}{h}$

= $\frac{{\left(h-2\right)}^2-4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-4h+4-4}{h}$

= $\frac{h^2-4h}{h}$

= $\frac{h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-4$ = $0-4$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-\frac{2}{x^3}+\frac{2}{1^3}}{x-1}$ = $\frac{-\frac{2}{x^3}+2}{x-1}$ = $\frac{2-\frac{2}{x^3}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2-\frac{2}{{\mathrm{1,1}}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 4.9737

x = 1.01: $\frac{2-\frac{2}{{\mathrm{1,01}}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 5.88197

x = 1.001: $\frac{2-\frac{2}{{\mathrm{1,001}}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 5.98802

x = 1.0001: $\frac{2-\frac{2}{{\mathrm{1,0001}}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 5.9988

x = 1.00001: $\frac{2-\frac{2}{1^3}}{0.00001}$ ≈ 5.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{2-\frac{2}{x^3}}{x-1}$ ≈ 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+4-\left(-5u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+4+5u^2-4}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+4-\left(-5u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+4+5u^2-4}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.