Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^3+0^2-1$ = $0+0-1$ = -1 und
f(1) = $1^3+1^2-1$ = $1+1-1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 5

f($\mathrm{1,5}$) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{1,5}$) -5 = $\mathrm{12,5}$ |+5

f($\mathrm{1,5}$) = 17.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{2x^2+1-\left(2\cdot 2^2+1\right)}{x-2}$

= $\frac{2x^2+1-2\cdot 2^2-1}{x-2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $2\left(x+2\right)$ = $2\left(2+2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2+1-\left(2\cdot 2^2+1\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2+1-2\cdot 2^2-1}{h}$

= $\frac{2{\left(h+2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+4\right)$ = $2\left(0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{3x^4-4x^2-\left(3\cdot 2^4-4\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{3x^4-4x^2-48+16}{x-2}$ = $\frac{3x^4-4x^2-32}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,1}}^4-4\cdot {\mathrm{2,1}}^2-32}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 87.043

x = 2.01: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,01}}^4-4\cdot {\mathrm{2,01}}^2-32}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 80.6824

x = 2.001: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,001}}^4-4\cdot {\mathrm{2,001}}^2-32}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 80.06802

x = 2.0001: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,0001}}^4-4\cdot {\mathrm{2,0001}}^2-32}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 80.0068

x = 2.00001: $\frac{3\cdot 2^4-4\cdot 2^2-32}{0.00001}$ ≈ 80.00068

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{3x^4-4x^2-32}{x-2}$ ≈ 80

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-4-\left(-u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-4+u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-5x-\left(-5u^2-5u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-5x+5u^2+5u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2-5x+5u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)-5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)-5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)-5$ = $-5·(u+u)-5$ = $-10u-5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u-5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x-5$.