Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^3-3\cdot 1^2+1$ = $1-3\cdot 1+1$ = -1 und
f(3) = $3^3-3\cdot 3^2+1$ = $27-3\cdot 9+1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 2

f($\mathrm{3,5}$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{3,5}$) +5 = $3$ |-5

f($\mathrm{3,5}$) = -2

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{2x^2-1-\left(2\cdot 2^2-1\right)}{x-2}$

= $\frac{2x^2-1-2\cdot 2^2+1}{x-2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $2\left(x+2\right)$ = $2\left(2+2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2-1-\left(2\cdot 2^2-1\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2-1-2\cdot 2^2+1}{h}$

= $\frac{2{\left(h+2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+4\right)$ = $2\left(0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{2x^3+4x^2-\left(2\cdot 1^3+4\cdot 1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{2x^3+4x^2-2-4}{x-1}$ = $\frac{2x^3+4x^2-6}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,1}}^3+4\cdot {\mathrm{1,1}}^2-6}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 15.02

x = 1.01: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,01}}^3+4\cdot {\mathrm{1,01}}^2-6}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 14.1002

x = 1.001: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,001}}^3+4\cdot {\mathrm{1,001}}^2-6}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 14.01

x = 1.0001: $\frac{2\cdot {\mathrm{1,0001}}^3+4\cdot {\mathrm{1,0001}}^2-6}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 14.001

x = 1.00001: $\frac{2\cdot 1^3+4\cdot 1^2-6}{0.00001}$ ≈ 14.0001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{2x^3+4x^2-6}{x-1}$ ≈ 14

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2+2-\left(-3u^2+2\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+2+3u^2-2}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-1-\left(-3u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-1+3u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.