Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(0)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+2\cdot 0^2+5$ = $-0+2\cdot 0+5$ = 5 und
f(3) = $-3^3+2\cdot 3^2+5$ = $-27+2\cdot 9+5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 30

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $15$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 15

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-3x^2+2-\left(-3\cdot 2^2+2\right)}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+2+3\cdot 2^2-2}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-3\left(x+2\right)$ = $-3\left(2+2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+2-\left(-3\cdot 2^2+2\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+2+3\cdot 2^2-2}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h}{h}$

= $\frac{-3h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+4\right)$ = $-3\left(0+4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-3x^3-3x^2-\left(-3\cdot 1^3-3\cdot 1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{-3x^3-3x^2+3+3}{x-1}$ = $\frac{-3x^3-3x^2+6}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-3\cdot {\mathrm{1,1}}^3-3\cdot {\mathrm{1,1}}^2+6}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -16.23

x = 1.01: $\frac{-3\cdot {\mathrm{1,01}}^3-3\cdot {\mathrm{1,01}}^2+6}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -15.1203

x = 1.001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{1,001}}^3-3\cdot {\mathrm{1,001}}^2+6}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -15.012

x = 1.0001: $\frac{-3\cdot {\mathrm{1,0001}}^3-3\cdot {\mathrm{1,0001}}^2+6}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -15.0012

x = 1.00001: $\frac{-3\cdot 1^3-3\cdot 1^2+6}{0.00001}$ ≈ -15.00012

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-3x^3-3x^2+6}{x-1}$ ≈ -15

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+1-\left(-5u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+1+5u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-4x-\left(-4u^2-4u\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-4x+4u^2+4u}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2-4x+4u}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)-4\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)-4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4·(x+u)-4$ = $-4·(u+u)-4$ = $-8u-4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u-4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x-4$.