Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $3\sqrt{-2+2}-5$ = $3\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-1) = $3\sqrt{-1+2}-5$ = $3\sqrt{1}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $\frac{35}{2}$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 17.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2+1-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{x+2}$

= $\frac{2x^2+1-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{x+2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $2\left(x-2\right)$ = $2\left(-2-2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2+1-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2+1-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{2{\left(h-2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-4\right)$ = $2\left(0-4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-2x^3-x-\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^3-\left(-1\right)\right)}{x+1}$ = $\frac{-2x^3-x-2-1}{x+1}$ = $\frac{-2x^3-x-3}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-2\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^3-\left(-\mathrm{0,9}\right)-3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -6.42

x = -0.99: $\frac{-2\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^3-\left(-\mathrm{0,99}\right)-3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -6.9402

x = -0.999: $\frac{-2\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^3-\left(-\mathrm{0,999}\right)-3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -6.994

x = -0.9999: $\frac{-2\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^3-\left(-\mathrm{0,9999}\right)-3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -6.9994

x = -0.99999: $\frac{-2\cdot {\left(-1\right)}^3-\left(-1\right)-3}{0.00001}$ ≈ -6.99994

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-2x^3-x-3}{x+1}$ ≈ -7

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-3-\left(-u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-3+u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-x-(-u^2-u)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-x+u^2+u}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2-x+u}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)-\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)-1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-1·(x+u)-1$ = $-1·(u+u)-1$ = $-2u-1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u-1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x-1$.