Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)-1$ = $4-6-1$ = -3 und
f(1) = $1^2+3\cdot 1-1$ = $1+3-1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{1,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($\mathrm{1,5}$) +3 = $\mathrm{1,5}$ |-3

f($\mathrm{1,5}$) = -1.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3\cdot 1^2-4\right)}{x-1}$

= $\frac{-3x^2-4+3\cdot 1^2+4}{x-1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-3\left(x+1\right)$ = $-3\left(1+1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-4-\left(-3\cdot 1^2-4\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-4+3\cdot 1^2+4}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h}{h}$

= $\frac{-3h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+2\right)$ = $-3\left(0+2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{1}}{x-1}$ = $\frac{\frac{3}{x}-3}{x-1}$ = $\frac{-3+\frac{3}{x}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-3+\frac{3}{\mathrm{1,1}}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -2.72727

x = 1.01: $\frac{-3+\frac{3}{\mathrm{1,01}}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -2.9703

x = 1.001: $\frac{-3+\frac{3}{\mathrm{1,001}}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -2.997

x = 1.0001: $\frac{-3+\frac{3}{\mathrm{1,0001}}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -2.9997

x = 1.00001: $\frac{-3+\frac{3}{1}}{0.00001}$ ≈ -2.99997

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-3+\frac{3}{x}}{x-1}$ ≈ -3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2-1-\left(-2u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2-1+2u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3\sqrt{x}+3-\left(-3\sqrt{u}+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-3\sqrt{x}+3+3\sqrt{u}-3}{x-u}$

= $\frac{-3\sqrt{x}+3\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-3}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{3}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{3}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$.