Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{1}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^3+0^2-1$ = $0+0-1$ = -1 und
f(1) = $1^3+1^2-1$ = $1+1-1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{35}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 8.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+4-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+4\right)}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+4+3\cdot {\left(-1\right)}^2-4}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-3\left(x-1\right)$ = $-3\left(-1-1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+4-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+4\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+4+3\cdot {\left(-1\right)}^2-4}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+2\right)$ = $3\left(-0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{3x^3+4x-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^3+4\cdot \left(-1\right)\right)}{x+1}$ = $\frac{3x^3+4x+3+4}{x+1}$ = $\frac{3x^3+4x+7}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^3+4\cdot \left(-\mathrm{0,9}\right)+7}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 12.13

x = -0.99: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^3+4\cdot \left(-\mathrm{0,99}\right)+7}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 12.9103

x = -0.999: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^3+4\cdot \left(-\mathrm{0,999}\right)+7}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 12.991

x = -0.9999: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^3+4\cdot \left(-\mathrm{0,9999}\right)+7}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 12.9991

x = -0.99999: $\frac{3\cdot {\left(-1\right)}^3+4\cdot \left(-1\right)+7}{0.00001}$ ≈ 12.99991

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{3x^3+4x+7}{x+1}$ ≈ 13

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+3-\left(u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+3-u^2-3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2\sqrt{x}-5-\left(2\sqrt{u}-5\right)}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}-5-2\sqrt{u}+5}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}-2\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.