Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{4}{1}$

= $4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3$ = $-1+1+3$ = 3 und
f(2) = $-2^2-2+3$ = $-4-2+3$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2-4-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^2-4\right)}{x+1}$

= $\frac{2x^2-4-2\cdot {\left(-1\right)}^2+4}{x+1}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $2·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $2\left(x-1\right)$ = $2\left(-1-1\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-1+h\right)}^2-4-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^2-4\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-1+h\right)}^2-4-2\cdot {\left(-1\right)}^2+4}{h}$

= $\frac{2{\left(h-1\right)}^2-2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-2h+1\right)-2}{h}$

= $\frac{2h^2-4h+2-2}{h}$

= $\frac{2h^2-4h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-2\right)$ = $2\left(0-2\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{\frac{2}{x^3}-\frac{2}{2^3}}{x-2}$ = $\frac{\frac{2}{x^3}-\frac{1}{4}}{x-2}$ = $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{x^3}}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{{\mathrm{2,1}}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.34041

x = 2.01: $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{{\mathrm{2,01}}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.37128

x = 2.001: $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{{\mathrm{2,001}}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.37463

x = 2.0001: $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{{\mathrm{2,0001}}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.37496

x = 2.00001: $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{2^3}}{0.00001}$ ≈ -0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-\frac{1}{4}+\frac{2}{x^3}}{x-2}$ ≈ -0.375

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-1-\left(2u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-1-2u^2+1}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3\sqrt{x}+2-\left(3\sqrt{u}+2\right)}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}+2-3\sqrt{u}-2}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{3}{2\sqrt{x}}$.