Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(1)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-7}}{1}$

= $-7$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $\sqrt{0}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(1) = $\sqrt{1}$ = $\sqrt{1}$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 3

f($-\mathrm{0,5}$) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) -1 = $\mathrm{4,5}$ |+1

f($-\mathrm{0,5}$) = 5.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3\cdot 1^2-4\right)}{x-1}$

= $\frac{-3x^2-4+3\cdot 1^2+4}{x-1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-3\left(x+1\right)$ = $-3\left(1+1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-4-\left(-3\cdot 1^2-4\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-4+3\cdot 1^2+4}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h}{h}$

= $\frac{-3h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+2\right)$ = $-3\left(0+2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-x^4-2x-\left(-1^4-2\cdot 1\right)}{x-1}$ = $\frac{-x^4-2x+1+2}{x-1}$ = $\frac{-x^4-2x+3}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-{\mathrm{1,1}}^4-2\cdot \mathrm{1,1}+3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -6.641

x = 1.01: $\frac{-{\mathrm{1,01}}^4-2\cdot \mathrm{1,01}+3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -6.0604

x = 1.001: $\frac{-{\mathrm{1,001}}^4-2\cdot \mathrm{1,001}+3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -6.006

x = 1.0001: $\frac{-{\mathrm{1,0001}}^4-2\cdot \mathrm{1,0001}+3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -6.0006

x = 1.00001: $\frac{-1^4-2\cdot 1+3}{0.00001}$ ≈ -6.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-x^4-2x+3}{x-1}$ ≈ -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-3-\left(u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-3-u^2+3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2-5-\left(5u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5-5u^2+5}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.