Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{4}{1}$

= $4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $3\sqrt{-1+1}-5$ = $3\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(0) = $3\sqrt{0+1}-5$ = $3\sqrt{1}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 1

f($\mathrm{2,5}$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{2,5}$) +4 = $\mathrm{1,5}$ |-4

f($\mathrm{2,5}$) = -2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2-2-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2\right)}{x+2}$

= $\frac{-3x^2-2+3\cdot {\left(-2\right)}^2+2}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-3\left(x-2\right)$ = $-3\left(-2-2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2-2-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2-2+3\cdot {\left(-2\right)}^2+2}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h·\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+4\right)$ = $3\left(-0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{\frac{3}{x^3}-\frac{3}{2^3}}{x-2}$ = $\frac{\frac{3}{x^3}-\frac{3}{8}}{x-2}$ = $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{x^3}}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{{\mathrm{2,1}}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.51061

x = 2.01: $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{{\mathrm{2,01}}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.55692

x = 2.001: $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{{\mathrm{2,001}}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.56194

x = 2.0001: $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{{\mathrm{2,0001}}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.56244

x = 2.00001: $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{2^3}}{0.00001}$ ≈ -0.56249

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-\frac{3}{8}+\frac{3}{x^3}}{x-2}$ ≈ -0.5625

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2+5-\left(-3u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+5+3u^2-5}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\sqrt{x}-2-\left(-\sqrt{u}-2\right)}{x-u}$

= $\frac{-\sqrt{x}-2+\sqrt{u}+2}{x-u}$

= $\frac{-\sqrt{x}+\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-1}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{1}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{1}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.