Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3-0^2+1$ = $-0-0+1$ = 1 und
f(1) = $-1^3-1^2+1$ = $-1-1+1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{1}$

= $-2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 3

f($\mathrm{4,5}$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{4,5}$) +5 = $\mathrm{7,5}$ |-5

f($\mathrm{4,5}$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{2x^2+5-\left(2\cdot 1^2+5\right)}{x-1}$

= $\frac{2x^2+5-2\cdot 1^2-5}{x-1}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{2\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $2·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $2\left(x+1\right)$ = $2\left(1+1\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{2{\left(1+h\right)}^2+5-\left(2\cdot 1^2+5\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(1+h\right)}^2+5-2\cdot 1^2-5}{h}$

= $\frac{2{\left(h+1\right)}^2-2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+2h+1\right)-2}{h}$

= $\frac{2h^2+4h+2-2}{h}$

= $\frac{2h^2+4h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+2\right)$ = $2\left(0+2\right)$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-x^4+4x^2-\left(-{\left(-1\right)}^4+4\cdot {\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{-x^4+4x^2+1-4}{x+1}$ = $\frac{-x^4+4x^2-3}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-{\left(-\mathrm{0,9}\right)}^4+4\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2-3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -4.161

x = -0.99: $\frac{-{\left(-\mathrm{0,99}\right)}^4+4\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^2-3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -4.0196

x = -0.999: $\frac{-{\left(-\mathrm{0,999}\right)}^4+4\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^2-3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -4.002

x = -0.9999: $\frac{-{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^4+4\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^2-3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -4.0002

x = -0.99999: $\frac{-{\left(-1\right)}^4+4\cdot {\left(-1\right)}^2-3}{0.00001}$ ≈ -4.00002

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-x^4+4x^2-3}{x+1}$ ≈ -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+1-\left(2u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+1-2u^2-1}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+3x-\left(-5u^2+3u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+3x+5u^2-3u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2+3x-3u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)+3\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)+3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)+3$ = $-5·(u+u)+3$ = $-10u+3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u+3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x+3$.