Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = -4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $-{\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-\left(-8\right)-2\cdot 4+2$ = 2 und
f(1) = $-1^3-2\cdot 1^2+2$ = $-1-2\cdot 1+2$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

60 min sind 1 h, also sind 12 min eben $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{5}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 25

f($\frac{1}{5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 25 |⋅ $\frac{1}{5}$

f($\frac{1}{5}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{5}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2+3-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+3+2\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-2\left(x-2\right)$ = $-2\left(-2-2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2+3-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2+3+2\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+4\right)$ = $2\left(-0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{\frac{2}{x^2}-\frac{2}{1^2}}{x-1}$ = $\frac{\frac{2}{x^2}-2}{x-1}$ = $\frac{-2+\frac{2}{x^2}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-2+\frac{2}{{\mathrm{1,1}}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -3.47107

x = 1.01: $\frac{-2+\frac{2}{{\mathrm{1,01}}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -3.94079

x = 1.001: $\frac{-2+\frac{2}{{\mathrm{1,001}}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -3.99401

x = 1.0001: $\frac{-2+\frac{2}{{\mathrm{1,0001}}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -3.9994

x = 1.00001: $\frac{-2+\frac{2}{1^2}}{0.00001}$ ≈ -3.99994

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-2+\frac{2}{x^2}}{x-1}$ ≈ -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2-4-\left(-2u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2-4+2u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2\sqrt{x}+4-\left(2\sqrt{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}+4-2\sqrt{u}-4}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}-2\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.