Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 5 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(5)\; -\; f(0)}}{\mathrm{5\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{5\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{5}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = ${\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)-2$ = $9-6-2$ = 1 und
f(0) = $0^2+2\cdot 0-2$ = $0+0-2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 5

f($\mathrm{1,5}$) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{1,5}$) -1 = $\mathrm{7,5}$ |+1

f($\mathrm{1,5}$) = 8.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{2x^2+3-\left(2\cdot 2^2+3\right)}{x-2}$

= $\frac{2x^2+3-2\cdot 2^2-3}{x-2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $2\left(x+2\right)$ = $2\left(2+2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2+3-\left(2\cdot 2^2+3\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2+3-2\cdot 2^2-3}{h}$

= $\frac{2{\left(h+2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+4\right)$ = $2\left(0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-\frac{2}{x}+\frac{2}{2}}{x-2}$ = $\frac{-\frac{2}{x}+1}{x-2}$ = $\frac{1-\frac{2}{x}}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{1-\frac{2}{\mathrm{2,1}}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.47619

x = 2.01: $\frac{1-\frac{2}{\mathrm{2,01}}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.49751

x = 2.001: $\frac{1-\frac{2}{\mathrm{2,001}}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.49975

x = 2.0001: $\frac{1-\frac{2}{\mathrm{2,0001}}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.49998

x = 2.00001: $\frac{1-\frac{2}{2}}{0.00001}$ ≈ 0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{1-\frac{2}{x}}{x-2}$ ≈ 0.5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-2-\left(-4u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-2+4u^2+2}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2-1-\left(3u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2-1-3u^2+1}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3(x+u)$ = $3·(u+u)$ = $6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x$.