Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $-{\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)-1$ = $-9+9-1$ = -1 und
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-1$ = $-1+3-1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 12 min eben $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{5}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{5}$

f($\frac{1}{5}$) -0 = $3$ |+0

f($\frac{1}{5}$) = 3

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+5-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+5\right)}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+5+3\cdot {\left(-1\right)}^2-5}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-3\left(x-1\right)$ = $-3\left(-1-1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+5-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2+5\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2+5+3\cdot {\left(-1\right)}^2-5}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+2\right)$ = $3\left(-0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{{\left(-2\right)}^2}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{4}}{x+2}$ = $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{x^2}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.81025

x = -1.99: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.75566

x = -1.999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.75056

x = -1.9999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.75006

x = -1.99999: $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{{\left(-2\right)}^2}}{0.00001}$ ≈ -0.75001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{x^2}}{x+2}$ ≈ -0.75

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-2-\left(2u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2-2u^2+2}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{5}{x}-4-\left(-\frac{5}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}-4+\frac{5}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+\frac{5}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u}{x·u}+\frac{5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u+5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5x-5u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{5(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{5}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{5}{xu}$ = $\frac{5}{u·u}$ = $\frac{5}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{5}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{5}{x^2}$.