Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = 5 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = $\sqrt{-4+4}-5$ = $\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(5) = $\sqrt{5+4}-5$ = $\sqrt{9}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(5)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{9}$

= $\frac{1}{3}$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $5$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2+5-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2+5\right)}{x+2}$

= $\frac{2x^2+5-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5}{x+2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $2\left(x-2\right)$ = $2\left(-2-2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2+5-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2+5\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2+5-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5}{h}$

= $\frac{2{\left(h-2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-4\right)$ = $2\left(0-4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{16}}{x-16}$ = $\frac{3\sqrt{x}-12}{x-16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{3\sqrt{\mathrm{16,1}}-12}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.37442

x = 16.01: $\frac{3\sqrt{\mathrm{16,01}}-12}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.37494

x = 16.001: $\frac{3\sqrt{\mathrm{16,001}}-12}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.37499

x = 16.0001: $\frac{3\sqrt{\mathrm{16,0001}}-12}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.375

x = 16.00001: $\frac{3\sqrt{16}-12}{0.00001}$ ≈ 0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$ $\frac{3\sqrt{x}-12}{x-16}$ ≈ 0.375

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+3-\left(u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+3-u^2-3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{u}-1\right)}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-1-\sqrt{u}+1}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.