Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = -4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $2\sqrt{0+1}-3$ = $2\sqrt{1}-3$ = -1 und
f(3) = $2\sqrt{3+1}-3$ = $2\sqrt{4}-3$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{3}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 2

f($\mathrm{2,5}$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{2,5}$) +1 = $3$ |-1

f($\mathrm{2,5}$) = 2

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{2x^2-2-\left(2\cdot 2^2-2\right)}{x-2}$

= $\frac{2x^2-2-2\cdot 2^2+2}{x-2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $2\left(x+2\right)$ = $2\left(2+2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2-2-\left(2\cdot 2^2-2\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(2+h\right)}^2-2-2\cdot 2^2+2}{h}$

= $\frac{2{\left(h+2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2+4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h+4\right)$ = $2\left(0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+2\sqrt{16}}{x-16}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+8}{x-16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{16,1}}+8}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.24961

x = 16.01: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{16,01}}+8}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.24996

x = 16.001: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{16,001}}+8}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.25

x = 16.0001: $\frac{-2\sqrt{\mathrm{16,0001}}+8}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.25

x = 16.00001: $\frac{-2\sqrt{16}+8}{0.00001}$ ≈ -0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(16)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>16</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 16}}{\lim }$ $\frac{-2\sqrt{x}+8}{x-16}$ ≈ -0.25

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-4-\left(-4u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-4+4u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{5}{x}+4-\left(\frac{5}{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{5}{x}+4-\frac{5}{u}-4}{x-u}$

= $\frac{\frac{5}{x}-\frac{5}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5u}{x·u}+\frac{-5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5u-5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5x+5u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-5(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{5}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{5}{xu}$ = $\frac{-5}{u·u}$ = $-\frac{5}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{5}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{5}{x^2}$.