Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-4$ = $1-2-4$ = -5 und
f(2) = $2^2+2\cdot 2-4$ = $4+4-4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 4

f($\mathrm{1,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{1,5}$) +3 = $6$ |-3

f($\mathrm{1,5}$) = 3

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{x^2-1-\left(1^2-1\right)}{x-1}$

= $\frac{x^2-1-1^2+1}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $1·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $x+1$ = $1+1$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2-1-\left(1^2-1\right)}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2-1-1^2+1}{h}$

= $\frac{{\left(h+1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2+2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2+2h}{h}$

= $\frac{h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h+2$ = $0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{\left(-1\right)}}{x+1}$ = $\frac{\frac{3}{x}+3}{x+1}$ = $\frac{3+\frac{3}{x}}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3+\frac{3}{\left(-\mathrm{0,9}\right)}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -3.33333

x = -0.99: $\frac{3+\frac{3}{\left(-\mathrm{0,99}\right)}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -3.0303

x = -0.999: $\frac{3+\frac{3}{\left(-\mathrm{0,999}\right)}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -3.003

x = -0.9999: $\frac{3+\frac{3}{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -3.0003

x = -0.99999: $\frac{3+\frac{3}{\left(-1\right)}}{0.00001}$ ≈ -3.00003

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{3+\frac{3}{x}}{x+1}$ ≈ -3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+5-\left(-5u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5+5u^2-5}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{2}{x}-5-\left(-\frac{2}{u}-5\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{2}{x}-5+\frac{2}{u}+5}{x-u}$

= $\frac{-\frac{2}{x}+\frac{2}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2u}{x·u}+\frac{2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2u+2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2x-2u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 2 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{2(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{2}{xu}$ = $\frac{2}{u·u}$ = $\frac{2}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{2}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{2}{x^2}$.