Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $-{\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+2$ = $-4+4+2$ = 2 und
f(1) = $-1^2-2\cdot 1+2$ = $-1-2+2$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 5

f($-\mathrm{1,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{1,5}$) +3 = $\mathrm{2,5}$ |-3

f($-\mathrm{1,5}$) = -0.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-3x^2+3-\left(-3\cdot 1^2+3\right)}{x-1}$

= $\frac{-3x^2+3+3\cdot 1^2-3}{x-1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-3\left(x+1\right)$ = $-3\left(1+1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2+3-\left(-3\cdot 1^2+3\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2+3+3\cdot 1^2-3}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h}{h}$

= $\frac{-3h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+2\right)$ = $-3\left(0+2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-2x^3+x^2-\left(-2\cdot 1^3+1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{-2x^3+x^2+2-1}{x-1}$ = $\frac{-2x^3+x^2+1}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-2\cdot {\mathrm{1,1}}^3+{\mathrm{1,1}}^2+1}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -4.52

x = 1.01: $\frac{-2\cdot {\mathrm{1,01}}^3+{\mathrm{1,01}}^2+1}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -4.0502

x = 1.001: $\frac{-2\cdot {\mathrm{1,001}}^3+{\mathrm{1,001}}^2+1}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -4.005

x = 1.0001: $\frac{-2\cdot {\mathrm{1,0001}}^3+{\mathrm{1,0001}}^2+1}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -4.0005

x = 1.00001: $\frac{-2\cdot 1^3+1^2+1}{0.00001}$ ≈ -4.00005

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-2x^3+x^2+1}{x-1}$ ≈ -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2+3-\left(-4u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+3+4u^2-3}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{2}{x}+5-\left(\frac{2}{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}+5-\frac{2}{u}-5}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u}{x·u}+\frac{-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2x+2u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -2 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-2(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{2}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{2}{xu}$ = $\frac{-2}{u·u}$ = $-\frac{2}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{2}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{2}{x^2}$.