Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-8}}{2}$

= $-4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -5 und x₂ = -4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-5) = $2\sqrt{-5+5}-5$ = $2\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-4) = $2\sqrt{-4+5}-5$ = $2\sqrt{1}-5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 5

f($-\mathrm{1,5}$) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{1,5}$) -5 = $\mathrm{2,5}$ |+5

f($-\mathrm{1,5}$) = 7.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3\cdot 2^2+3\right)}{x-2}$

= $\frac{3x^2+3-3\cdot 2^2-3}{x-2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $3\left(x+2\right)$ = $3\left(2+2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2+3-\left(3\cdot 2^2+3\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(2+h\right)}^2+3-3\cdot 2^2-3}{h}$

= $\frac{3{\left(h+2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h·\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+4\right)$ = $3\left(0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{-4\sqrt{x}+4\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{-4\sqrt{x}+20}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,1}}+20}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.3996

x = 25.01: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,01}}+20}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.39996

x = 25.001: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,001}}+20}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.4

x = 25.0001: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{25,0001}}+20}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.4

x = 25.00001: $\frac{-4\sqrt{25}+20}{0.00001}$ ≈ -0.4

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{-4\sqrt{x}+20}{x-25}$ ≈ -0.4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4x^2-3-\left(4u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{4x^2-3-4u^2+3}{x-u}$

= $\frac{4x^2-4u^2}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $4(x+u)$ = $4·(u+u)$ = $8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-2x-\left(-5u^2-2u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-2x+5u^2+2u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2-2x+2u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)-2\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)-2$ = $-5·(u+u)-2$ = $-10u-2$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u-2$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x-2$.