Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 3 Schritten zwischen a₂ und a₅ kommt ja insgesamt $12$ - 6 = $6$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{6}{3}$ = $2$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $2n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $6$ einsetzen:

$6$ = $2\cdot 2+d$

$6$ = $4+d$ | -4

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $2n+2$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{2}$ und a₂ = $8$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c·1$
II: $8$ = $c·a^2$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $8$ = $\frac{1}{2}{a}^2$

$\frac{1}{2}{a}^2$	=	$8$	|⋅$2$
$a^2$	=	$16$	|
a1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
a2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{2}\cdot 4^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $27$ und a₅ = $729$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $27$ = $c·a^2$
II: $729$ = $c·a^5$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $27$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $729$ = $\frac{27}{a^2}·a^5$

also

II: $729$ = $27a^3$

$27a^3$	=	$729$	|:$27$
$a^3$	=	$27$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Von oben (I) wissen wir bereits: $27$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c

mit a=$3$ eingesetzt erhalten wir so: $3$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $3\cdot 3^n$