Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 5 Schritten zwischen a₁ und a₆ kommt ja insgesamt $-1$ - 4 = $-5$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{\mathrm{-5}}{5}$ = $-1$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $-n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $4$ einsetzen:

$4$ = $-1+d$

$4$ = $-1+d$ | +1

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $-n+5$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $-1$ und a₁ = $-5$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-1$ = $c·1$
II: $-5$ = $c·a$

Aus I ergibt sich ja sofort $-1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-5$ = $-a$

$-a$	=	$-5$	|:($-1$)
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $-1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-5^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $25$ und a₄ = $625$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $25$ = $c·a^2$
II: $625$ = $c·a^4$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $25$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $625$ = $\frac{25}{a^2}·a^4$

also

II: $625$ = $25a^2$

$25a^2$	=	$625$	|:$25$
$a^2$	=	$25$	|
a1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
a2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $25$ ⋅ $\frac{1}{a^2}$ = c

mit a=$5$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $5^n$