Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 3 Schritten zwischen a₁ und a₄ kommt ja insgesamt $7$ - 4 = $3$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{3}{3}$ = $1$.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $n+d$.

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $4$ einsetzen:

$4$ = $1+d$

$4$ = $1+d$ | -1

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $n+3$.

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $-\frac{2}{3}$ und a₁ = $-2$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{2}{3}$ = $c·1$
II: $-2$ = $c·a$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-2$ = $-\frac{2}{3}a$

$-\frac{2}{3}a$	=	$-2$	|⋅ 3
$-2a$	=	$-6$	|:($-2$)
$a$	=	$3$

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{2}{3}\cdot 3^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{4}{3}$ und a₃ = $\frac{16}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $c·a$
II: $\frac{16}{3}$ = $c·a^3$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{16}{3}$ = $\frac{4}{3a}·a^3$

also

II: $\frac{16}{3}$ = $\frac{4}{3}{a}^2$

$\frac{4}{3}{a}^2$	=	$\frac{16}{3}$	|⋅$\frac{3}{4}$
$a^2$	=	$4$	|
a1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
a2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a=$2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{2}{3}\cdot 2^n$