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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(100 | -60 | 40)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 12s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 280 \\ -240 \\ 130 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(280 | -240 | 130)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 10 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(-50 | 80 | 60)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 9min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 10 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 10 \\ 20 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -370 \\ 640 \\ 380 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-370 | 640 | 380)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | 10 | 20)$ nach P $(-370 | 640 | 380)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -360 \\ 630 \\ 360 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-360)}^{2} + 630^{2} + 360^{2}} = \sqrt{656100} = 810$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(100 | -50 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-100 | 150 | 150)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 200 \\ 100 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-200)}^{2} + 200^{2} + 100^{2}} = \sqrt{90000} = 300$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=300 $\frac{m}{s}$ = 1080 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | -50 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-150 | 250 | 350)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 2750m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -350 \\ 300 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ -50 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -350 \\ 300 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 2750m (also 2700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{2700}{300}$ s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 2 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 39,6km/h in Richtung des Punktes B $(59 | 38 | 642)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{39600 m}{3600 s}$ = 11 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 54 \\ 36 \\ -12 \end{matrix})$ ist $\sqrt{54^{2} + 36^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{4356} = 66$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{66}{11}$ s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -40 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-230 | 170 | 180)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 17,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -40 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + 70^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 17.6 km braucht es also $\frac{17600}{110}$ s = 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -40 \\ 0 \end{matrix}) + 160 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9650 \\ 11160 \\ 9600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-9650 | 11160 | 9600)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 9600 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -80 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 164 | -15)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-11 | -156 | 33)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ -320 \\ 48 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -16 \\ -320 \\ 48 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -80 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 164 \\ -15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -80 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -80 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -17 \\ -397 \\ 56 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 5 \\ 164 \\ -15 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -80 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -236 \\ 45 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-17 | -397 | 56)

und P₂

(-15 | -236 | 45)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -15 - (-17) \\ -236 - (-397) \\ 45 - 56 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 2 \\ 161 \\ -11 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 2 \\ 161 \\ -11 \end{matrix}) |

=

\sqrt{2^{2} + 161^{2} + {(-11)}^{2}}

=

\sqrt{26046}

≈ 161.38773187575

Der Abstand ist also ca. 161.39 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 36 | 1,2)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(10 | -4 | 2,2)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -40 \\ 1 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 20 \\ -40 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 36 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,2 t + 1,2$	\| $- 0,6$ $- 0,2 t$
$0,2 t$	=	$0,6$	\|: $0,2$
$t$	=	$3$

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 3 + 0,6$ = 1.8 = $0,2 \cdot 3 + 1,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-24 | 56 | 1)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(21 | 21 | 3)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 45 \\ -35 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 45 \\ -35 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -24 \\ 56 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 56 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 6 & +3 s & = & -24 & +9 t \\ 6 & +3 s & = & 56 & -7 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 3 s & - 9 t & = & - 30 & (I) \\ 3 s & + 7 t & = & 50 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 3 s & - 9 t & = & - 30 & (I) \\ 3 s & + 7 t & = & 50 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 3 s & - 9 t & = & - 30 & (I) \\ (3 - 3) s & + (- 9 - 7) t & = & (- 30 - 50) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 3 s & - 9 t & = & - 30 & (I) \\ - 16 t & = & - 80 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 16 t & = & - 80 \end{matrix}

t = $5$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 3 s & - 9 \cdot (5) & = & - 30 \end{matrix}

| +

45

3

s =

15

| : 3

s = $5$

$L = {(5 | 5)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0.5 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 21 \\ 3 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 5s bei $(\begin{matrix} -24 \\ 56 \\ 1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 21 \\ 3 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 3 = 0 m

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | -50 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-290 | 270 | 210)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 10min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -320 \\ 320 \\ 160 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -320 \\ 320 \\ 160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ -50 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -50 \\ 50 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -770 \\ 750 \\ 450 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-770 | 750 | 450)$ .

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -80 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-15 | 6 | 163)$ . Nach 1s ist sie im Punkt B $(-3 | 2 | 83)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -80 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -15 \\ 6 \\ 163 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -80 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 2 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 34 \\ -12 \\ -238 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -15 \\ 6 \\ 163 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ -6 \\ -77 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(34 | -12 | -238)

und P₂

(21 | -6 | -77)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 21 - 34 \\ -6 - (-12) \\ -77 - (-238) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -13 \\ 6 \\ 161 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -13 \\ 6 \\ 161 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-13)}^{2} + 6^{2} + 161^{2}}

=

\sqrt{26126}

≈ 161.63539216397

Der Abstand ist also ca. 161.64 m.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Abstand zweier Objekte