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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 0 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(210 | -120 | 30)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 6s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 450 \\ -240 \\ 60 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(450 | -240 | 60)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | 150 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(800 | 1050 | 550)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 8s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 900 \\ 900 \\ 450 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 900 \\ 900 \\ 450 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -100 \\ 150 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -100 \\ 150 \\ 100 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2300 \\ 2550 \\ 1300 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2300 | 2550 | 1300)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-100 | 150 | 100)$ nach P $(2300 | 2550 | 1300)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 2400 \\ 2400 \\ 1200 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{2400^{2} + 2400^{2} + 1200^{2}} = \sqrt{12960000} = 3600$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | 100 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(800 | 1000 | 550)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 900 \\ 900 \\ 450 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 900 \\ 900 \\ 450 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{300^{2} + 300^{2} + 150^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | 0 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-160 | 210 | 150)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 870m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ 210 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ 210 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 870m (also 840m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{840}{40}$ s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -50 | 30)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 216km/h in Richtung des Punktes B $(330 | 230 | 170)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{216000 m}{3600 s}$ = 60 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 280 \\ 280 \\ 140 \end{matrix})$ ist $\sqrt{280^{2} + 280^{2} + 140^{2}} = \sqrt{176400} = 420$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{420}{60}$ s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(18 | -30 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 2min ist er im Punkt B $(-54 | 42 | 36)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 10,8 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -72 \\ 72 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -72 \\ 72 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 18 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-36)}^{2} + 36^{2} + 18^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{10800}{54}$ min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7182 \\ 7170 \\ 3600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-7182 | 7170 | 3600)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3600 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(31 | 21 | -26)$ . Nach 1s ist sie im Punkt B $(21 | 17 | -14)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 31 \\ 21 \\ -26 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -27 \\ 1 \\ 24 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 31 \\ 21 \\ -26 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 13 \\ -2 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-27 | 1 | 24)

und P₂

(11 | 13 | -2)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 11 - (-27) \\ 13 - 1 \\ -2 - 24 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 38 \\ 12 \\ -26 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 38 \\ 12 \\ -26 \end{matrix}) |

=

\sqrt{38^{2} + 12^{2} + {(-26)}^{2}}

=

\sqrt{2264}

≈ 47.581509013481

Der Abstand ist also ca. 47.58 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(59 | 71 | 1,5)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(23 | 35 | 2,3)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 59 \\ 71 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,2 t + 1,5$	\| $- 0,7$ $- 0,2 t$
$0,1 t$	=	$0,8$	\|: $0,1$
$t$	=	$8$

nach 8 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 8 + 0,7$ = 3.1 = $0,2 \cdot 8 + 1,5$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 1,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 0 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -15 | 0)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-5 | 5 | 1,5)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 45 \\ 20 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 45 \\ 20 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 1.8 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 3 & -8 s & = & -50 & +9 t \\ 5 & +0 s & = & -15 & +4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 8 s & - 9 t & = & - 53 & (I) \\ - 4 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 s & - 9 t & = & - 53 & (I) \\ - 4 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 s & - 9 t & = & - 53 & (I) \\ 0 s & - 4 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 s & - 9 t & = & - 53 & (I) \\ - 4 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 20 \end{matrix}

t = $5$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 8 s & - 9 \cdot (5) & = & - 53 \end{matrix}

| +

45

- 8

s =

- 8

| :

(-8)

s = $1$

$L = {(1 | 5)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 1min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 1min bei $(\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 1.8 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 1.9 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 5min bei $(\begin{matrix} -50 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 1.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.9 - 1.5 = 0.4 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(180 | 140 | 90)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 5min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 450 \\ 320 \\ 150 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(450 | 320 | 150)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(0 | 20 | 50)$ nach P $(450 | 320 | 150)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 450 \\ 300 \\ 100 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{450^{2} + 300^{2} + 100^{2}} = \sqrt{302500} = 550$ m.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 150 | 50)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B $(-1750 | -1650 | 950)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1620000 m}{3600 s}$ = 450 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1800 \\ -1800 \\ 900 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1800)}^{2} + {(-1800)}^{2} + 900^{2}} = \sqrt{7290000} = 2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{2700}{450}$ s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts