Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}310\\ -260\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(310|-260|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 190\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-200|190|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-10|20\right)$ nach P$\left(-200|190|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 2100m (also 2000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2000}}{\mathrm{100}}$s = 20s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{110}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ 84\\ -72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ 84\\ -72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.26 km braucht es also $\frac{\mathrm{7260}}{\mathrm{33}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3957\\ 4623\\ -3960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3957|4623|-3960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -3960 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-56\\ 0\\ 32\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-56\\ 0\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}27\\ 11\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 7\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 5\\ 15\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}27\\ 11\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 11\\ 14\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.12 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -35\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -35\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 72\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{1,2}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-32\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-104\\ 23\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-104\\ 23\\ 0.5\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-41\\ -33\\ 1.9\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-41\\ -33\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.9 - 1.5 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-540\\ 530\\ 510\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-540|530|510\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-430\\ 250\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-430|250|90\right)$.