Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1750\\ 3550\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1750|3550|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-170\\ 320\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-170|320|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|50|40\right)$ nach P$\left(-170|320|100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 270\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-180)}}^2+{270}^2+{60}^2}=\sqrt{108900}=330$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 2680m (also 2640m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2640}}{\mathrm{60}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{729}=27$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{27}}{9}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+6^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.52 km braucht es also $\frac{\mathrm{2520}}{\mathrm{18}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1656\\ -1704\\ 840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1656|-1704|840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 840 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -160\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -160\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 127\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -194\\ 25\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ 127\\ -10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -73\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 121.1 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-43\\ -28\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{1,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-28\\ 38\\ 1.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-28\\ 38\\ 1.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 20\\ 2.6\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 90m (also 80m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{10}}$s = 8s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}720\\ -430\\ 460\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(720|-430|460\right)$.