Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 280\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 280\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}710\\ 850\\ 770\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(710|850|770\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}390\\ -150\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(390|-150|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|50|40\right)$ nach P$\left(390|-150|90\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{400}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{100}^2+{\mathrm{(-100)}}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 210m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{20}}$s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{450}}{\mathrm{90}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7206\\ -7194\\ 3600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7206|-7194|3600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3600 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ -13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 39\\ -54\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 16\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 38\\ -40\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.16 m.

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 28\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 28\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 21\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,8}$ = 1.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,4}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}56\\ 32\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}56\\ 32\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 44\\ 1.5\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}56\\ 32\\ 0.1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 44\\ 0.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.5 - 0.7 = 0.8 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 50\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}280\\ -370\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(280|-370|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|50|50\right)$ nach P$\left(280|-370|290\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -420\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{240}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 40\\ 20\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}270\\ -520\\ 340\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(270|-520|340\right)$.