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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 0 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(350 | 200 | 350)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 9s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 350 \\ 200 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 350 \\ 200 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 150 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 350 \\ 200 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3150 \\ 1800 \\ 1950 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3150 | 1800 | 1950)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | -40 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(290 | 280 | 170)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 12min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 320 \\ 320 \\ 160 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 320 \\ 320 \\ 160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 930 \\ 920 \\ 490 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(930 | 920 | 490)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-30 | -40 | 10)$ nach P $(930 | 920 | 490)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 960 \\ 960 \\ 480 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{960^{2} + 960^{2} + 480^{2}} = \sqrt{2073600} = 1440$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -200 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(1050 | -800 | 800)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1050 \\ -600 \\ 600 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1050 \\ -600 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 350 \\ -200 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{350^{2} + {(-200)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | -250 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(1400 | 350 | 450)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 5250m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ -250 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 5250m (also 5200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{5200}{100}$ s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -10 | 20)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 216km/h in Richtung des Punktes B $(80 | -50 | 40)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{216000 m}{3600 s}$ = 60 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ ist $\sqrt{40^{2} + {(-40)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{3600} = 60$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{60}{60}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(12 | -18 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 3min ist er im Punkt B $(-114 | -126 | 108)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 6,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -126 \\ -108 \\ 108 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -126 \\ -108 \\ 108 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -42 \\ -36 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 12 \\ -18 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -42 \\ -36 \\ 36 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-42)}^{2} + {(-36)}^{2} + 36^{2}} = \sqrt{4356} = 66$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=66 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also $\frac{6600}{66}$ min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -18 \\ 0 \end{matrix}) + 100 \cdot (\begin{matrix} -42 \\ -36 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4188 \\ -3618 \\ 3600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-4188 | -3618 | 3600)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3600 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-3 | 56 | 9)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(3 | 41 | 7)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -15 \\ 0 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -15 \\ -2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 56 \\ 9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -15 \\ -2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -15 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 14 \\ -6 \\ 0 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -3 \\ 56 \\ 9 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -15 \\ -2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 41 \\ 7 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(14 | -6 | 0)

und P₂

(3 | 41 | 7)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 3 - 14 \\ 41 - (-6) \\ 7 - 0 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -11 \\ 47 \\ 7 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -11 \\ 47 \\ 7 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-11)}^{2} + 47^{2} + 7^{2}}

=

\sqrt{2379}

≈ 48.774993593029

Der Abstand ist also ca. 48.77 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-95 | 5 | 1,1)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(-79 | -7 | 1,7)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 5 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 16 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -95 \\ 5 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,3 t + 1,1$	\| $- 0,6$ $- 0,3 t$
$0,1 t$	=	$0,5$	\|: $0,1$
$t$	=	$5$

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 5 + 0,6$ = 2.6 = $0,3 \cdot 5 + 1,1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -60 \\ -6 \\ 1,1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -5 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-4 | 1 | 0,6)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(-44 | -44 | 2,6)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -45 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -40 \\ -45 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -60 \\ -6 \\ 1.1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -60 & +8 s & = & -4 & -8 t \\ -6 & -5 s & = & 1 & -9 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 8 s & + 8 t & = & 56 & (I) \\ - 5 s & + 9 t & = & 7 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & + 8 t & = & 56 & (I) \\ - 5 s & + 9 t & = & 7 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $5$ ·(I) + $8$ ·(II)

\begin{matrix} 8 s & 8 t & = & 56 & (I) \\ (40 - 40) s & + (40 + 72) t & = & (280 + 56) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & + 8 t & = & 56 & (I) \\ + 112 t & = & 336 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 112 t & = & 336 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 8 s & + 8 \cdot (3) & = & 56 \end{matrix}

| -

24

8

s =

32

| : 8

s = $4$

$L = {(4 | 3)}$

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 4h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 4h bei $(\begin{matrix} -60 \\ -6 \\ 1.1 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -28 \\ -26 \\ 2.3 \end{matrix})$ , während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 0.6 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -28 \\ -26 \\ 1.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.8 = 0.5 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 20 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(180 | -60 | 30)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 270m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 270m (also 260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{260}{10}$ min = 26min lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -8 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-5 | -1 | 1)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-20 | -10 | 13)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -9 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -15 \\ -9 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -10 \\ -8 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -11 \\ 6 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 5 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-14 | -11 | 6)

und P₂

(-10 | -4 | 5)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -10 - (-14) \\ -4 - (-11) \\ 5 - 6 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{4^{2} + 7^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{66}

≈ 8.124038404636

Der Abstand ist also ca. 8.12 km.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Abstand zweier Objekte