Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-20|30) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-160|260|190) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 8s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -160 280 160 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -160 280 160 ) = ( -40 70 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -20 30 ) +t ( -40 70 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 -20 30 ) +8 ( -40 70 40 ) = ( -320 540 350 ) , also im Punkt P(-320|540|350).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|100|150) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (50|300|250) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 10s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -200 200 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 250 100 150 ) +t ( -200 200 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 250 100 150 ) +10 ( -200 200 100 ) = ( -1750 2100 1150 ) , also im Punkt P(-1750|2100|1150).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(250|100|150) nach P(-1750|2100|1150) bewegt, also um den Vektor AP = ( -2000 2000 1000 ) . Dessen Länge ist (-2000) 2 + 20002 + 1000 2 = 9000000 = 3000m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|50|30) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (-130|140|90) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor AB = ( -180 90 60 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -180 90 60 ) = ( -60 30 20 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-60) 2 + 302 + 20 2 = 4900 = 70.
Die Geschwindigkeit ist also v=70 m min = 4.2 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|-30|30) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-210|90|110) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1070m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -240 120 80 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -240 120 80 ) = ( -60 30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 30 -30 30 ) +t ( -60 30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 30 auf 1070m (also 1040m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1040 20 s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-10|-50|40) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 324km/h in Richtung des Punktes B (-410|-250|90) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 324000 m 3600 s = 90 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -400 -200 50 ) ist (-400) 2 + (-200)2 + 50 2 = 202500 = 450 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90 m s . braucht er für diese Strecke 450 90 s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|6|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-21|18|-12) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 5,94 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor AB = ( -21 12 -12 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 0 6 0 ) +t ( -21 12 -12 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-21) 2 + 122 + (-12) 2 = 729 = 27.
Die Geschwindigkeit ist also v=27 m min
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also 5940 27 min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 6 0 ) +220 ( -21 12 -12 ) = ( -4620 2646 -2640 ) , also im Punkt P(-4620|2646|-2640).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -2640 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -6 6 1 ) +t ( 29 -20 3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-60|55|3) . Nach 5min ist es im Punkt B (90|-45|3) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?

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F2 legt in 5min den Vektor AB = ( 150 -100 0 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( 150 -100 0 ) = ( 30 -20 0 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -60 55 3 ) +t ( 30 -20 0 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P1 ( -6 6 1 ) +3 ( 29 -20 3 ) = ( 81 -54 10 ) ; F2 an der Stelle P2 ( -60 55 3 ) +3 ( 30 -20 0 ) = ( 30 -5 3 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(81|-54|10) und P2(30|-5|3):
P1P2 = ( 30-81 -5-( - 54 ) 3-10 ) = ( -51 49 -7 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -51 49 -7 ) | = (-51) 2 + 492 + (-7) 2 = 5051 ≈ 71.070387644926

Der Abstand ist also ca. 71.07 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 10 0,6 ) +t ( 4 6 0,4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-15|70|2) . Nach 1min ist es im Punkt B (-10|64|2,2) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor AB = ( 5 -6 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -15 70 2 ) +t ( 5 -6 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,4t +0,6 = 0,2t +2 | -0,6 -0,2t
0,2t = 1,4 |:0,2
t = 7

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,47 +0,6 = 3.4 = 0,27 +2


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-24|81|0) . Nach 2s ist sie im Punkt B (-38|61|0,6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -4 1 ) +t ( -7 5 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( -14 -20 0.6 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -14 -20 0.6 ) = ( -7 -10 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -24 81 0 ) +t ( -7 -10 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -10 -4 1 ) +s ( -7 5 0.1 ) = ( -24 81 0 ) +t ( -7 -10 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10-7s= -24-7t-4+5s= 81-10t

-7s +7t = -14 (I) 5s +10t = 85 (II)
-7s +7t = -14 (I) 5s +10t = 85 (II)

langsame Rechnung einblenden5·(I) + 7·(II)

-7s 7t = -14 (I) ( -35 +35 )s +( 35 +70 )t = ( -70 +595 ) (II)
-7s +7t = -14 (I) +105t = 525 (II)
Zeile (II): +105t = 525

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

-7s +7·(5 ) = -14 | -35
-7 s = -49 | : (-7)

s = 7

L={(7 |5 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei ( -10 -4 1 ) +7 ( -7 5 0.1 ) = ( -59 31 1.7 ) , während die Seilbahngondel nach 5s bei ( -24 81 0 ) +5 ( -7 -10 0.3 ) = ( -59 31 1.5 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1.5 = 0.2 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -6 -9 0 ) +t ( -10 11 -2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (12|-13|8) . Nach 4min ist es im Punkt B (-28|35|-8) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor AB = ( -40 48 -16 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -40 48 -16 ) = ( -10 12 -4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 12 -13 8 ) +t ( -10 12 -4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P1 ( -6 -9 0 ) +3 ( -10 11 -2 ) = ( -36 24 -6 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 12 -13 8 ) +3 ( -10 12 -4 ) = ( -18 23 -4 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-36|24|-6) und P2(-18|23|-4):
P1P2 = ( -18-( - 36 ) 23-24 -4-( - 6 ) ) = ( 18 -1 2 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 18 -1 2 ) | = 18 2 + (-1)2 + 2 2 = 329 ≈ 18.138357147217

Der Abstand ist also ca. 18.14 km.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|20|40) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 324km/h in Richtung des Punktes B (-350|380|220) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 324000 m 3600 s = 90 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -360 360 180 ) ist (-360) 2 + 3602 + 180 2 = 291600 = 540 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90 m s . braucht er für diese Strecke 540 90 s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.