Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 20\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-110\\ -170\\ 60\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-110|-170|60\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 250\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2000\\ -2650\\ 2350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2000|-2650|2350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|-200|250\right)$ nach P$\left(-2000|-2650|2350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2100\\ -2450\\ 2100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2100)}}^2+{\mathrm{(-2450)}}^2+{2100}^2}=\sqrt{14822500}=3850$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{450}^2+{300}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 720m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{20}}$min = 36min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1200}^2+{1200}^2+{600}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{450}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{24}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{54}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3828\\ 1908\\ 480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3828|1908|480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 480 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}90\\ 0\\ -60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}90\\ 0\\ -60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ -20\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-54\\ -2\\ 47\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ -20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}29\\ 3\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}145\\ 11\\ -102\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-54\\ -2\\ 47\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}96\\ -2\\ -53\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 70.51 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -66\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-88\\ -31\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-88\\ -31\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 1\\ 3.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 1\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 1.3 = 1.9 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}280\\ -550\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(280|-550|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{54}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5730\\ -2886\\ 720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5730|-2886|720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 720 (in m).