Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|30|10) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (370|-290|170) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 9s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 320 -320 160 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 320 -320 160 ) = ( 80 -80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 50 30 10 ) +t ( 80 -80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 50 30 10 ) +9 ( 80 -80 40 ) = ( 770 -690 370 ) , also im Punkt P(770|-690|370).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|100|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (1450|-1100|650) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 6s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 1200 -1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 1200 -1200 600 ) = ( 400 -400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 250 100 50 ) +t ( 400 -400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 250 100 50 ) +6 ( 400 -400 200 ) = ( 2650 -2300 1250 ) , also im Punkt P(2650|-2300|1250).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(250|100|50) nach P(2650|-2300|1250) bewegt, also um den Vektor AP = ( 2400 -2400 1200 ) . Dessen Länge ist 2400 2 + (-2400)2 + 1200 2 = 12960000 = 3600m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|100|200) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-1450|1000|500) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -1350 900 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -1350 900 300 ) = ( -450 300 100 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-450) 2 + 3002 + 100 2 = 302500 = 550.
Die Geschwindigkeit ist also v=550 m s = 1980 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|40|50) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-70|100|110) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 470m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -70 60 60 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 40 50 ) +t ( -70 60 60 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 470m (also 420m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 420 60 s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|-40|10) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 252km/h in Richtung des Punktes B (-140|-100|50) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 252000 m 3600 s = 70 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -120 -60 40 ) ist (-120) 2 + (-60)2 + 40 2 = 19600 = 140 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70 m s . braucht er für diese Strecke 140 70 s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|30|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 1min ist er im Punkt B (72|-6|36) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 9,24 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor AB = ( 42 -36 36 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 30 30 0 ) +t ( 42 -36 36 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 42 2 + (-36)2 + 36 2 = 4356 = 66.
Die Geschwindigkeit ist also v=66 m min
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also 9240 66 min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 30 30 0 ) +140 ( 42 -36 36 ) = ( 5910 -5010 5040 ) , also im Punkt P(5910|-5010|5040).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 5040 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 9 -10 0 ) +t ( 0 5 -15 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (16|-16|32) . Nach 1min ist es im Punkt B (14|-10|17) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 1min den Vektor AB = ( -2 6 -15 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 16 -16 32 ) +t ( -2 6 -15 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P1 ( 9 -10 0 ) +2 ( 0 5 -15 ) = ( 9 0 -30 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 16 -16 32 ) +2 ( -2 6 -15 ) = ( 12 -4 2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(9|0|-30) und P2(12|-4|2):
P1P2 = ( 12-9 -4-0 2-( - 30 ) ) = ( 3 -4 32 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 3 -4 32 ) | = 3 2 + (-4)2 + 32 2 = 1049 ≈ 32.388269481403

Der Abstand ist also ca. 32.39 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 8 9 0,5 ) +t ( -1 -9 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (60|-99|1,3) . Nach 5min ist es im Punkt B (10|-69|2,8) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor AB = ( -50 30 1.5 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( -50 30 1.5 ) = ( -10 6 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 60 -99 1.3 ) +t ( -10 6 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,3t +1,3 | -0,5 -0,3t
0,2t = 0,8 |:0,2
t = 4

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,54 +0,5 = 2.5 = 0,34 +1,3


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 7 3 1,2 ) +t ( -2 1 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-1|20|0) . Nach 3min ist es im Punkt B (-25|-7|1,2) angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor AB = ( -24 -27 1.2 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -24 -27 1.2 ) = ( -8 -9 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -1 20 0 ) +t ( -8 -9 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 7 3 1.2 ) +s ( -2 1 0.2 ) = ( -1 20 0 ) +t ( -8 -9 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

7-2s= -1-8t3+1s= 20-9t

-2s +8t = -8 (I) s +9t = 17 (II)
-2s +8t = -8 (I) s +9t = 17 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 2·(II)

-2s 8t = -8 (I) ( -2 +2 )s +( 8 +18 )t = ( -8 +34 ) (II)
-2s +8t = -8 (I) +26t = 26 (II)
Zeile (II): +26t = 26

t = 1

eingesetzt in Zeile (I):

-2s +8·(1 ) = -8 | -8
-2 s = -16 | : (-2)

s = 8

L={(8 |1 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei ( 7 3 1.2 ) +8 ( -2 1 0.2 ) = ( -9 11 2.8 ) , während das Flugzeug F2 nach 1min bei ( -1 20 0 ) +1 ( -8 -9 0.4 ) = ( -9 11 0.4 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 0.4 = 2.4 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|30|20) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (-210|190|100) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 740m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( -160 160 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( -160 160 80 ) = ( -80 80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 30 20 ) +t ( -80 80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 20 auf 740m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 720 40 min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -30 33 1,3 ) +t ( 8 -1 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|7|0,7) . Nach 3min ist es im Punkt B (-14|31|1,6) angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor AB = ( -24 24 0.9 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -24 24 0.9 ) = ( -8 8 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 10 7 0.7 ) +t ( -8 8 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -30 33 1.3 ) +s ( 8 -1 0.2 ) = ( 10 7 0.7 ) +t ( -8 8 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-30+8s= 10-8t33-1s= 7+8t

8s +8t = 40 (I) -1s -8t = -26 (II)
8s +8t = 40 (I) -1s -8t = -26 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 8·(II)

8s 8t = 40 (I) ( 8 -8 )s +( 8 -64 )t = ( 40 -208 ) (II)
8s +8t = 40 (I) -56t = -168 (II)
Zeile (II): -56t = -168

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

8s +8·(3 ) = 40 | -24
8 s = 16 | : 8

s = 2

L={(2 |3 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 2min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 2min bei ( -30 33 1.3 ) +2 ( 8 -1 0.2 ) = ( -14 31 1.7 ) , während das Flugzeug F2 nach 3min bei ( 10 7 0.7 ) +3 ( -8 8 0.3 ) = ( -14 31 1.6 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1.6 = 0.1 km