Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (200|-250|100) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (1400|-1450|700) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 12s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 1200 -1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 1200 -1200 600 ) = ( 400 -400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 200 -250 100 ) +t ( 400 -400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 200 -250 100 ) +12 ( 400 -400 200 ) = ( 5000 -5050 2500 ) , also im Punkt P(5000|-5050|2500).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (40|20|30) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (120|100|70) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 12min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 80 80 40 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 80 80 40 ) = ( 40 40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 40 20 30 ) +t ( 40 40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 40 20 30 ) +12 ( 40 40 20 ) = ( 520 500 270 ) , also im Punkt P(520|500|270).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(40|20|30) nach P(520|500|270) bewegt, also um den Vektor AP = ( 480 480 240 ) . Dessen Länge ist 480 2 + 4802 + 240 2 = 518400 = 720m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (200|200|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (800|800|350) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 600 600 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 600 600 300 ) = ( 200 200 100 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 200 2 + 2002 + 100 2 = 90000 = 300.
Die Geschwindigkeit ist also v=300 m s = 1080 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-10|-30|30) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-90|-110|70) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 430m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -80 -80 40 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -80 -80 40 ) = ( -40 -40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -10 -30 30 ) +t ( -40 -40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 30 auf 430m (also 400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 400 20 s = 20s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (5|-1|654) in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10,8km/h in Richtung des Punktes B (-11|-17|646) (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 10800 m 3600 s = 3 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -16 -16 -8 ) ist (-16) 2 + (-16)2 + (-8) 2 = 576 = 24 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3 m s . braucht er für diese Strecke 24 3 s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (6|-18|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 4min ist er im Punkt B (150|-90|48) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 6,72 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor AB = ( 144 -72 48 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 144 -72 48 ) = ( 36 -18 12 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 6 -18 0 ) +t ( 36 -18 12 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 36 2 + (-18)2 + 12 2 = 1764 = 42.
Die Geschwindigkeit ist also v=42 m min
Für die Strecke von 6.72 km braucht es also 6720 42 min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 6 -18 0 ) +160 ( 36 -18 12 ) = ( 5766 -2898 1920 ) , also im Punkt P(5766|-2898|1920).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 1920m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 2 2 ) +t ( -24 15 13 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (69|-40|-28) . Nach 2s ist sie im Punkt B (21|-8|-4) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( -48 32 24 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -48 32 24 ) = ( -24 16 12 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 69 -40 -28 ) +t ( -24 16 12 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P1 ( -10 2 2 ) +3 ( -24 15 13 ) = ( -82 47 41 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 69 -40 -28 ) +3 ( -24 16 12 ) = ( -3 8 8 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-82|47|41) und P2(-3|8|8):
P1P2 = ( -3-( - 82 ) 8-47 8-41 ) = ( 79 -39 -33 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 79 -39 -33 ) | = 79 2 + (-39)2 + (-33) 2 = 8851 ≈ 94.079753401037

Der Abstand ist also ca. 94.08 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -7 6 0,9 ) +t ( 10 -1 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-23|44|0,6) . Nach 1h ist er im Punkt B (-15|38|0,8) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor AB = ( 8 -6 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -23 44 0.6 ) +t ( 8 -6 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,1t +0,9 = 0,2t +0,6 | -0,9 -0,2t
-0,1t = -0,3 |:(-0,1 )
t = 3

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,13 +0,9 = 1.2 = 0,23 +0,6


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|3|0,9) . Nach 5s ist sie im Punkt B (29|3|1,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 110 -15 0,5 ) +t ( -9 2 0,2 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor AB = ( 20 0 0.5 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 5 ( 20 0 0.5 ) = ( 4 0 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 9 3 0.9 ) +t ( 4 0 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 110 -15 0.5 ) +s ( -9 2 0.2 ) = ( 9 3 0.9 ) +t ( 4 0 0.1 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

110-9s= 9+4t-15+2s= 3+0t

-9 s -4 t = -101 (I) 2 s = 18 (II)
-9 s -4 t = -101 (I) 2 s = 18 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 9·(II)

-9 s -4 t = -101 (I) ( -18 +18 )s +( -8 +0 )t = ( -202 +162 ) (II)
-9 s -4 t = -101 (I) -8 t = -40 (II)
Zeile (II): -8 t = -40

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

-9 s -4 ·(5 ) = -101 | +20
-9 s = -81 | : (-9)

s = 9

L={(9 |5 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei ( 110 -15 0.5 ) +9 ( -9 2 0.2 ) = ( 29 3 2.3 ) , während die Seilbahngondel nach 5s bei ( 9 3 0.9 ) +5 ( 4 0 0.1 ) = ( 29 3 1.4 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.4 = 0.9 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -7 6 -1 ) +t ( 5 -5 0 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-11|24|7) . Nach 3min ist es im Punkt B (7|9|1) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 3min den Vektor AB = ( 18 -15 -6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 18 -15 -6 ) = ( 6 -5 -2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -11 24 7 ) +t ( 6 -5 -2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P1 ( -7 6 -1 ) +2 ( 5 -5 0 ) = ( 3 -4 -1 ) ; F2 an der Stelle P2 ( -11 24 7 ) +2 ( 6 -5 -2 ) = ( 1 14 3 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(3|-4|-1) und P2(1|14|3):
P1P2 = ( 1-3 14-( - 4 ) 3-( - 1 ) ) = ( -2 18 4 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -2 18 4 ) | = (-2) 2 + 182 + 4 2 = 344 ≈ 18.547236990991

Der Abstand ist also ca. 18.55 km.

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-23|102|0,2) . Nach 2s ist sie im Punkt B (-41|82|0,6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 -4 0,9 ) +t ( -10 8 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( -18 -20 0.4 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -18 -20 0.4 ) = ( -9 -10 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -23 102 0.2 ) +t ( -9 -10 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 2 -4 0.9 ) +s ( -10 8 0.1 ) = ( -23 102 0.2 ) +t ( -9 -10 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

2-10s= -23-9t-4+8s= 102-10t

-10 s +9 t = -25 (I) 8 s +10 t = 106 (II)
-10 s +9 t = -25 (I) 8 s +10 t = 106 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) + 5·(II)

-10 s 9 t = -25 (I) ( -40 +40 )s +( 36 +50 )t = ( -100 +530 ) (II)
-10 s +9 t = -25 (I) +86 t = 430 (II)
Zeile (II): +86 t = 430

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

-10 s +9 ·(5 ) = -25 | -45
-10 s = -70 | : (-10)

s = 7

L={(7 |5 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei ( 2 -4 0.9 ) +7 ( -10 8 0.1 ) = ( -68 52 1.6 ) , während die Seilbahngondel nach 5s bei ( -23 102 0.2 ) +5 ( -9 -10 0.2 ) = ( -68 52 1.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.6 - 1.2 = 0.4 m