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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(40 | 110 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 4min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ -30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -30 \\ 50 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 120 \\ 250 \\ 210 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(120 | 250 | 210)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | -150 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-600 | 650 | 650)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 4s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -800 \\ 800 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -800 \\ 800 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ -150 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 200 \\ -150 \\ 250 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1400 \\ 1450 \\ 1050 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1400 | 1450 | 1050)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(200 | -150 | 250)$ nach P $(-1400 | 1450 | 1050)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -1600 \\ 1600 \\ 800 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-1600)}^{2} + 1600^{2} + 800^{2}} = \sqrt{5760000} = 2400$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -50 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(170 | 70 | 60)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{60^{2} + 60^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$ = 324 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -30 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-130 | 50 | 80)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 360m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -30 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 360m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{320}{10}$ min = 32min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(2 | -4 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-30 | 60 | 646)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -32 \\ 64 \\ -8 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-32)}^{2} + 64^{2} + {(-8)}^{2}} = \sqrt{5184} = 72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{72}{9}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -40 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-100 | -160 | 60)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 21,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -40 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + {(-60)}^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{21600}{90}$ s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -40 \\ 0 \end{matrix}) + 240 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14380 \\ -14440 \\ 7200 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-14380 | -14440 | 7200)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7200 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(15 | 7 | -7)$ (alle Angaben in Meter). Nach 5min ist er im Punkt B $(-10 | -8 | 13)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -25 \\ -15 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -25 \\ -15 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 15 \\ 7 \\ -7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 2 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 15 \\ 7 \\ -7 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(1 | -6 | 2)

und P₂

(10 | 4 | -3)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 10 - 1 \\ 4 - (-6) \\ -3 - 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 9 \\ 10 \\ -5 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 9 \\ 10 \\ -5 \end{matrix}) |

=

\sqrt{9^{2} + 10^{2} + {(-5)}^{2}}

=

\sqrt{206}

≈ 14.352700094407

Der Abstand ist also ca. 14.35 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(16 | 57 | 0)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(52 | 37 | 1,2)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 7 \\ 1,2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 9 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ -20 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ -20 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 16 \\ 57 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 1,2$	=	$0,3 t + 0$
$0,1 t + 1,2$	=	$0,3 t$	\| $- 1,2$ $- 0,3 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$6$

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 6 + 1,2$ = 1.8 = $0,3 \cdot 6 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 10 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-58 | 108 | 1,5)$ . Nach 3h ist er im Punkt B $(-55 | 90 | 2,7)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -18 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 3 \\ -18 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -58 \\ 108 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -58 \\ 108 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 10 & -8 s & = & -58 & +1 t \\ 4 & +10 s & = & 108 & -6 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 8 s & - 1 t & = & - 68 & (I) \\ 10 s & + 6 t & = & 104 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 s & - 1 t & = & - 68 & (I) \\ 10 s & + 6 t & = & 104 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $5$ ·(I) + $4$ ·(II)

\begin{matrix} - 8 s & - 1 t & = & - 68 & (I) \\ (- 40 + 40) s & + (- 5 + 24) t & = & (- 340 + 416) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 s & - 1 t & = & - 68 & (I) \\ + 19 t & = & 76 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 19 t & = & 76 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 8 s & - 1 (4) & = & - 68 \end{matrix}

| +

4

- 8

s =

- 64

| :

(-8)

s = $8$

$L = {(8 | 4)}$

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 0.5 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -54 \\ 84 \\ 4.5 \end{matrix})$ , während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $(\begin{matrix} -58 \\ 108 \\ 1.5 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -54 \\ 84 \\ 3.1 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.5 - 3.1 = 1.4 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-340 | 230 | 90)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 12s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -360 \\ 240 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -360 \\ 240 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1060 \\ 710 \\ 250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1060 | 710 | 250)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(20 | -10 | 10)$ nach P $(-1060 | 710 | 250)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -1080 \\ 720 \\ 240 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-1080)}^{2} + 720^{2} + 240^{2}} = \sqrt{1742400} = 1320$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 20 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(70 | -60 | 50)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{20^{2} + {(-20)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{900} = 30$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=30 $\frac{m}{s}$ = 108 $\frac{km}{h}$

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h