Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|-150|0) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-450|-550|200) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 11s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -400 -400 200 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -400 -400 200 ) = ( -100 -100 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 -150 0 ) +t ( -100 -100 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 -150 0 ) +11 ( -100 -100 50 ) = ( -1150 -1250 550 ) , also im Punkt P(-1150|-1250|550).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|150|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (1150|1550|1250) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 9s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 1200 1400 1200 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 1200 1400 1200 ) = ( 300 350 300 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 150 50 ) +t ( 300 350 300 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 150 50 ) +9 ( 300 350 300 ) = ( 2650 3300 2750 ) , also im Punkt P(2650|3300|2750).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|150|50) nach P(2650|3300|2750) bewegt, also um den Vektor AP = ( 2700 3150 2700 ) . Dessen Länge ist 2700 2 + 31502 + 2700 2 = 24502500 = 4950m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|50|30) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-200|210|110) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -160 160 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -160 160 80 ) = ( -40 40 20 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-40) 2 + 402 + 20 2 = 3600 = 60.
Die Geschwindigkeit ist also v=60 m min = 3.6 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-50|250) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (400|750|350) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1350m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( 400 800 100 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 400 800 100 ) = ( 200 400 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -50 250 ) +t ( 200 400 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 250 auf 1350m (also 1100m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1100 50 s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|150|0) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1080km/h in Richtung des Punktes B (2050|-1650|900) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1080000 m 3600 s = 300 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 1800 -1800 900 ) ist 1800 2 + (-1800)2 + 900 2 = 7290000 = 2700 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300 m s . braucht er für diese Strecke 2700 300 s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (18|-6|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 3min ist er im Punkt B (144|66|72) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 6,48 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( 126 72 72 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 126 72 72 ) = ( 42 24 24 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 18 -6 0 ) +t ( 42 24 24 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 42 2 + 242 + 24 2 = 2916 = 54.
Die Geschwindigkeit ist also v=54 m min
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also 6480 54 min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 18 -6 0 ) +120 ( 42 24 24 ) = ( 5058 2874 2880 ) , also im Punkt P(5058|2874|2880).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2880 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 8 -8 2 ) +t ( -20 29 3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (77|-92|4) . Nach 1s ist sie im Punkt B (57|-62|4) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 4s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( -20 30 0 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 77 -92 4 ) +t ( -20 30 0 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P1 ( 8 -8 2 ) +4 ( -20 29 3 ) = ( -72 108 14 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 77 -92 4 ) +4 ( -20 30 0 ) = ( -3 28 4 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-72|108|14) und P2(-3|28|4):
P1P2 = ( -3-( - 72 ) 28-108 4-14 ) = ( 69 -80 -10 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 69 -80 -10 ) | = 69 2 + (-80)2 + (-10) 2 = 11261 ≈ 106.11785900592

Der Abstand ist also ca. 106.12 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 -10 0,6 ) +t ( 1 -4 0,4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-28|-76|2,2) . Nach 2min ist es im Punkt B (-14|-66|2,6) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor AB = ( 14 10 0.4 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 14 10 0.4 ) = ( 7 5 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -28 -76 2.2 ) +t ( 7 5 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,4t +0,6 = 0,2t +2,2 | -0,6 -0,2t
0,2t = 1,6 |:0,2
t = 8

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,48 +0,6 = 3.8 = 0,28 +2,2


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (8|-5|0,6) . Nach 2s ist sie im Punkt B (8|1|1,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 4 -5 1,6 ) +t ( 1 3 0,2 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( 0 6 0.8 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 0 6 0.8 ) = ( 0 3 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 8 -5 0.6 ) +t ( 0 3 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 4 -5 1.6 ) +s ( 1 3 0.2 ) = ( 8 -5 0.6 ) +t ( 0 3 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

4+1s= 8+0t-5+3s= -5+3t

s = 4 (I) 3s -3t = 0 (II)
s = 4 (I) 3s -3t = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden3·(I) -1·(II)

1s = 4 (I) ( 3 -3 )s +(0 +3 )t = ( 12 +0) (II)
s = 4 (I) +3t = 12 (II)
Zeile (II): +3t = 12

t = 4

eingesetzt in Zeile (I):

s = 4

s = 4

L={(4 |4 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei ( 4 -5 1.6 ) +4 ( 1 3 0.2 ) = ( 8 7 2.4 ) , während die Seilbahngondel nach 4s bei ( 8 -5 0.6 ) +4 ( 0 3 0.4 ) = ( 8 7 2.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 2.2 = 0.2 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 7 -8 -1 ) +t ( 0 -5 5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (16|13|-13) . Nach 4min ist es im Punkt B (8|-7|11) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor AB = ( -8 -20 24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -8 -20 24 ) = ( -2 -5 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 16 13 -13 ) +t ( -2 -5 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P1 ( 7 -8 -1 ) +2 ( 0 -5 5 ) = ( 7 -18 9 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 16 13 -13 ) +2 ( -2 -5 6 ) = ( 12 3 -1 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(7|-18|9) und P2(12|3|-1):
P1P2 = ( 12-7 3-( - 18 ) -1-9 ) = ( 5 21 -10 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 5 21 -10 ) | = 5 2 + 212 + (-10) 2 = 566 ≈ 23.790754506741

Der Abstand ist also ca. 23.79 km.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-15|-6|0) (alle Angaben in Meter). Nach 4min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-99|-78|-72) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 6,6 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor AB = ( -84 -72 -72 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -84 -72 -72 ) = ( -21 -18 -18 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -15 -6 0 ) +t ( -21 -18 -18 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-21) 2 + (-18)2 + (-18) 2 = 1089 = 33.
Die Geschwindigkeit ist also v=33 m min
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also 6600 33 min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -15 -6 0 ) +200 ( -21 -18 -18 ) = ( -4215 -3606 -3600 ) , also im Punkt P(-4215|-3606|-3600).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -3600 (in m).