Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+x+7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+1+0$

= $3x^2-6x+1$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $6$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+1$

= $3\cdot 1-6+1$

= $3-6+1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $1-3\cdot 1+1+7$ = $1-3+1+7$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅1 + c

$6$ = $-2$ + c | + $2$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+8$	=	0	| $-8$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 8 = $16$.

1. y-Wert bei x = 2

   Hier müssen wir einfach die 2 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(2) = $-\frac{1}{16}\cdot 2^3+3\cdot 2$ = $-\frac{1}{2}+6$ = $\frac{11}{2}$ = 5.5 .

   Nach 2 s beträgt also der Wert 5.5 m/s.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($4$| $8$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{16}{x}^3+3x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^2+3$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{8}x+0$

   = $-\frac{3}{8}x$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{3}{16}{x}^2+3$	=	0	| $-3$
   $-\frac{3}{16}{x}^2$	=	$-3$	|⋅ $\left(-\frac{16}{3}\right)$
   $x^2$	=	$16$	|
   x1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
   x2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

   Die Lösungen $-4$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$-4$

   f''($-4$) = $-\frac{3}{8}\cdot \left(-4\right)$= $\frac{3}{2}$= $\frac{3}{2}$ >0

   Das heißt bei x = $-4$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($-4$) = $-\frac{1}{16}\cdot {\left(-4\right)}^3+3\cdot \left(-4\right)$ = $-8$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($-4$| $-8$)

   
   

   2.: x=$4$

   f''($4$) = $-\frac{3}{8}\cdot 4$= $-\frac{3}{2}$= $-\frac{3}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($4$) = $-\frac{1}{16}\cdot 4^3+3\cdot 4$ = $8$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($4$| $8$)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(6) = 4.5 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($4$| $8$).

   Der größte Wert beträgt somit $8$ m/s.

3. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$0$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^2+3$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{8}x+0$

   = $-\frac{3}{8}x$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{3}{8}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{3}{8}x$	=	0	|⋅ 8
   $-3x$	=	0	|:($-3$)
   $x$	=	0

   Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($0$) = $-\frac{3}{8}$= $-\frac{3}{8}$= $-\frac{3}{8}$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $0$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 3, f'(6) = -3.75 und f'($0$) = 3 (Hochpunkt).

   Da der Hochpunkt von f' am Rand liegt, ist der größte Ableitungswert bei x = 0.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $0$ s erreicht.