Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-6x^2+9x+1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-12x+9+0$

= $3x^2-12x+9$

$\text{f''(x)}=$ $6x-12+0$

= $6x-12$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-12$	=	0	| $+12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$:

f'''($2$) = $6+0$= $6$

Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($2$) = $2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+1$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $3$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $3\cdot 2^2-12\cdot 2+9$

= $3\cdot 4-24+9$

= $12-24+9$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+1$ = $8-6\cdot 4+18+1$ = $8-24+18+1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-3$⋅2 + c

$3$ = $-6$ + c | + $6$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 9.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-3x+9$	=	0	| $-9$
$-3x$	=	$-9$	|:($-3$)
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 9 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 9 = $\frac{27}{2}$.

1. y-Wert bei x = 8

   Hier müssen wir einfach die 8 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(8) = $-\frac{2}{5}\cdot 8^2+4\cdot 8+1$ = $-\frac{128}{5}+32+1$ = $\frac{37}{5}$ ≈ 7.4 .

   Nach 8 m beträgt also der Wert 7.4 m.

2. x-Bereich, wo f(x) >$\frac{37}{5}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{37}{5}$ einnimmt:

   $-\frac{2}{5}{x}^2+4x+1$	=	$\frac{37}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{x}^2+4x+1\right)$	=	$37$
   $-2x^2+20x+5$	=	$37$	| $-37$

   $-2x^2+20x-32$ = 0 |:2

   $-x^2+10x-16$ = 0

   Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

   eingesetzt in x_1,2 = $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4a·c}}{2a}$ ergibt:

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·\left(-1\right)·\left(-16\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-64}}{-2}$

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{36}}{-2}$

   x₁ = $\frac{-10+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

   x₂ = $\frac{-10-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{-2}$ = $8$

   Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

   Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "$-1$" teilen:

   $-x^2+10x-16$ = 0 |: $-1$

   $x^2-10x+16$ = 0

   vor dem Einsetzen in x_1,2 = $-\frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$
   berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$:

   D = ${\left(-5\right)}^2-16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

   x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

   x₁ = $5$ - $3$ = 2

   x₂ = $5$ + $3$ = 8

   .

   Bei $2$ und $8$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(5) = $-\frac{2}{5}\cdot 5^2+4\cdot 5+1$ = 11 ist größer.

   In den 6 m zwischen $2$ m und $8$ m beträgt der Wert mindestens $\frac{37}{5}$ m.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($5$| $11$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^2+4x+1$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{5}x+4+0$

   = $-\frac{4}{5}x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{5}+0$

   = $-\frac{4}{5}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{5}x+4$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{4}{5}x+4\right)$	=	0
   $-4x+20$	=	0	| $-20$
   $-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
   $x$	=	$5$

   Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f''($5$) = $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$ <0

   Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($5$) = $-\frac{2}{5}\cdot 5^2+4\cdot 5+1$ = $11$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $11$)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 1 und f(10) = 1 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($5$| $11$).

   Der größte Wert beträgt somit $11$ m.