Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2+25x-19$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x+25+0$

= $3x^2-18x+25$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-18$	=	0	| $+18$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $6+0$= $6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-19$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $3\cdot 3^2-18\cdot 3+25$

= $3\cdot 9-54+25$

= $27-54+25$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-19$ = $27-9\cdot 9+75-19$ = $27-81+75-19$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-2$⋅3 + c

$2$ = $-6$ + c | + $6$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+8$	=	0	| $-8$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 8 = $16$.

1. y-Wert bei x = 5

   Hier müssen wir einfach die 5 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(5) = $-\frac{2}{3}\cdot 5^2+4\cdot 5+1$ = $-\frac{50}{3}+20+1$ = $\frac{13}{3}$ ≈ 4.33 .

   Nach 5 Tage beträgt also der Wert 4.33 Beliebtheitspunkte.

2. x-Wert bei y = $\frac{19}{3}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{19}{3}$ einnimmt:

   $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+1$	=	$\frac{19}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{x}^2+4x+1\right)$	=	$19$
   $-2x^2+12x+3$	=	$19$	| $-19$

   $-2x^2+12x-16$ = 0 |:2

   $-x^2+6x-8$ = 0

   Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

   eingesetzt in x_1,2 = $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4a·c}}{2a}$ ergibt:

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{-2}$

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{-2}$

   x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

   x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

   Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

   Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "$-1$" teilen:

   $-x^2+6x-8$ = 0 |: $-1$

   $x^2-6x+8$ = 0

   vor dem Einsetzen in x_1,2 = $-\frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$
   berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$:

   D = ${\left(-3\right)}^2-8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

   x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

   x₁ = $3$ - $1$ = 2

   x₂ = $3$ + $1$ = 4

   .

   Der erste Wert mit y = $\frac{19}{3}$ Beliebtheitspunkte ist also bei x = 2 Tage.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($3$| $7$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+1$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x+4+0$

   = $-\frac{4}{3}x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{3}+0$

   = $-\frac{4}{3}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{3}x+4$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{4}{3}x+4\right)$	=	0
   $-4x+12$	=	0	| $-12$
   $-4x$	=	$-12$	|:($-4$)
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f''($3$) = $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$ <0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($3$) = $-\frac{2}{3}\cdot 3^2+4\cdot 3+1$ = $7$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $7$)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 1 und f(6) = 1 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($3$| $7$).

   Der größte Wert beträgt somit $7$ Beliebtheitspunkte.