Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+x+7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+1+0$

= $3x^2-6x+1$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $6$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+1$

= $3\cdot 1-6+1$

= $3-6+1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $1-3\cdot 1+1+7$ = $1-3+1+7$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅1 + c

$6$ = $-2$ + c | + $2$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+8$	=	0	| $-8$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 8 = $16$.

1. y-Wert bei x = 5

   Hier müssen wir einfach die 5 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(5) = $\frac{2}{3}\cdot 5^2-4\cdot 5+7$ = $\frac{50}{3}-20+7$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67 .

   Nach 5 Tage beträgt also der Wert 3.67 Beliebtheitspunkte.

2. x-Bereich, wo f(x) <$\frac{5}{3}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{5}{3}$ einnimmt:

   $\frac{2}{3}{x}^2-4x+7$	=	$\frac{5}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(\frac{2}{3}{x}^2-4x+7\right)$	=	$5$
   $2x^2-12x+21$	=	$5$	| $-5$

   $2x^2-12x+16$ = 0 |:2

   $x^2-6x+8$ = 0

   Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

   eingesetzt in x_1,2 = $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4a·c}}{2a}$ ergibt:

   x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

   x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

   x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

   x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

   x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

   Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

   vor dem Einsetzen in x_1,2 = $-\frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$
   berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$:

   D = ${\left(-3\right)}^2-8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

   x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

   x₁ = $3$ - $1$ = 2

   x₂ = $3$ + $1$ = 4

   .

   Bei $2$ und $4$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(3) = $\frac{2}{3}\cdot 3^2-4\cdot 3+7$ = 1 ist kleiner.

   In den 2 Tage zwischen $2$ Tage und $4$ Tage beträgt der Wert höchstens $\frac{5}{3}$ Beliebtheitspunkte.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($3$| $1$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-4x+7$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x-4+0$

   = $\frac{4}{3}x-4$

   $\text{f''(x)}=$ $\frac{4}{3}+0$

   = $\frac{4}{3}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\frac{4}{3}x-4$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(\frac{4}{3}x-4\right)$	=	0
   $4x-12$	=	0	| $+12$
   $4x$	=	$12$	|:$4$
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f''($3$) = $\frac{4}{3}$= $\frac{4}{3}$= $\frac{4}{3}$ >0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($3$) = $\frac{2}{3}\cdot 3^2-4\cdot 3+7$ = $1$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $1$)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 7 und f(6) = 7 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($3$| $1$).

   Der kleinste Wert beträgt somit $1$ Beliebtheitspunkte.