Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+5$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $3$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+5$ = $1-3\cdot 1+5$ = $1-3+5$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-3$⋅1 + c

$3$ = $-3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-3x+6$	=	0	| $-6$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 6 = $6$.

1. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($5$| $10$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{25}{x}^3+3x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{25}{x}^2+3$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{6}{25}x+0$

   = $-\frac{6}{25}x$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{3}{25}{x}^2+3$	=	0	| $-3$
   $-\frac{3}{25}{x}^2$	=	$-3$	|⋅ $\left(-\frac{25}{3}\right)$
   $x^2$	=	$25$	|
   x1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
   x2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

   Die Lösungen $-5$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$-5$

   f''($-5$) = $-\frac{6}{25}\cdot \left(-5\right)$= $\frac{6}{5}$= $\frac{6}{5}$ >0

   Das heißt bei x = $-5$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($-5$) = $-\frac{1}{25}\cdot {\left(-5\right)}^3+3\cdot \left(-5\right)$ = $-10$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($-5$| $-10$)

   
   

   2.: x=$5$

   f''($5$) = $-\frac{6}{25}\cdot 5$= $-\frac{6}{5}$= $-\frac{6}{5}$ <0

   Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($5$) = $-\frac{1}{25}\cdot 5^3+3\cdot 5$ = $10$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $10$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $5$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(8) = 3.52 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $5$ m erreicht.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($5$| $10$).

   Der größte Wert beträgt somit $10$ m.

3. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$0$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{25}{x}^2+3$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{6}{25}x+0$

   = $-\frac{6}{25}x$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{6}{25}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{6}{25}x$	=	0	|⋅ 25
   $-6x$	=	0	|:($-6$)
   $x$	=	0

   Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f'''($0$) = $-\frac{6}{25}$= $-\frac{6}{25}$= $-\frac{6}{25}$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $0$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 3, f'(8) = -4.68 und f'($0$) = 3 (Hochpunkt).

   Da der Hochpunkt von f' am Rand liegt, ist der größte Ableitungswert bei x = 0.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $0$ m erreicht.

4. Maximaler Steigungswinkel

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Steigung oder dem stärksten Gefälle, also die Extremstellen der Ableitungsfunktion bzw. die x-Werte der Wendepunkte.

   Detail-Rechnung für alle Wendestellen von f einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{25}{x}^3+3x$

   Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{25}{x}^2+3$

   
   

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{6}{25}x+0$

   = $-\frac{6}{25}x$

   
   

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{6}{25}$

   Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

   (Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

   Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

   $-\frac{6}{25}x$	=	0	|⋅ 25
   $-6x$	=	0	|:($-6$)
   $x$	=	0

   Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

   Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

   Überprüfung bei x = $0$:

   f'''($0$) = $-\frac{6}{25}$= $-\frac{6}{25}$

   Da f'''($0$)≠0, haben wir bei x = $0$ einen Wendepunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
   f($0$) = $-\frac{1}{25}\cdot {\left(0\right)}^3+3\cdot \left(0\right)$ = 0
   Man erhält so den Wendepunkt: WP($0$|0)

   Jetzt berechnen wir die extremalen Tangentensteigungswerte in den Wendestellen:

   f'($0$) = $-\frac{3}{25}\cdot {\left(0\right)}^2+3$ ≈ 3
   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Tangentensteigungswerte an den Rändern untersuchen:
   f'(0) = $-\frac{3}{25}\cdot 0^2+3$ ≈ 3
   f'(8) = $-\frac{3}{25}\cdot 8^2+3$ ≈ -4.68

   Um jetzt die steilste Stelle zu finden, brauchen wir den betragsmäßig größten Ableitungswert, weil es ja egal ist ob hier der Graph steigt oder fällt. Dieser ist bei x = 8 mit f'(8) ≈ -4.68.

   Für den Steigungswinkel gilt hier: tan(α) = |-4.68|, also α = arctan(4.68) ≈ 77.94° .