Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2+25x-15$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x+25+0$

= $3x^2-18x+25$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-18$	=	0	| $+18$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $6+0$= $6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-15$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $6$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $3\cdot 3^2-18\cdot 3+25$

= $3\cdot 9-54+25$

= $27-54+25$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-15$ = $27-9\cdot 9+75-15$ = $27-81+75-15$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅3 + c

$6$ = $-6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $12$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 12.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+12$	=	0	| $-12$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $6$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 12 und $6$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $6$ ⋅ 12 = $36$.

1. y-Wert bei x = 2

   Hier müssen wir einfach die 2 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(2) = $-\frac{1}{6}\cdot 2^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2$ = $-\frac{4}{3}+6$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67 .

   Nach 2 s beträgt also der Wert 4.67 m/s.

2. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($6$| $18$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+3x$

   $\text{f''(x)}=$ $-x+3$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{1}{2}{x}^2+3x$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{1}{2}{x}^2+3x\right)$	=	0
   $-x^2+6x$	=	0
   $x\left(-x+6\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $-x+6$	=	0	| $-6$
   $-x$	=	$-6$	|:($-1$)
   x2	=	$6$

   Die Lösungen 0, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $-0+3$= $0+3$= $3$ >0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $-\frac{1}{6}\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2$ = 0
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

   
   

   2.: x=$6$

   f''($6$) = $-6+3$= $-6+3$= $-3$ <0

   Das heißt bei x = $6$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($6$) = $-\frac{1}{6}\cdot 6^3+\frac{3}{2}\cdot 6^2$ = $18$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($6$| $18$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $6$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(9) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $6$ s erreicht.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($6$| $18$).

   Der größte Wert beträgt somit $18$ m/s.

4. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$3$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+3x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-x+3$

   $\text{f'''(x)}=$ $-1+0$

   = $-1$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-x+3$	=	0	| $-3$
   $-x$	=	$-3$	|:($-1$)
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($3$) = $-1$= $-1$= $-1$ <0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(9) = -13.5 und f'($3$) = 4.5 (Hochpunkt).

   Da f'(0) und f'(9) nicht größer als f'($3$) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 3.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $3$ s erreicht.