Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+x+7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+1+0$

= $3x^2-6x+1$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $6$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+1$

= $3\cdot 1-6+1$

= $3-6+1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+1+7$ = $1-3\cdot 1+1+7$ = $1-3+1+7$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅1 + c

$6$ = $-2$ + c | + $2$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+8$	=	0	| $-8$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 8 = $16$.

1. y-Wert bei x = 4

   Hier müssen wir einfach die 4 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(4) = $-\frac{1}{5}\cdot 4^3+\frac{8}{5}\cdot 4^2$ = $-\frac{64}{5}+\frac{128}{5}$ = $\frac{64}{5}$ = 12.8 .

   Nach 4 s beträgt also der Wert 12.8 m/s.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($\frac{16}{3}$| $\frac{2048}{135}$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^3+\frac{8}{5}{x}^2$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{5}{x}^2+\frac{16}{5}x$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{6}{5}x+\frac{16}{5}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{3}{5}{x}^2+\frac{16}{5}x$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{3}{5}{x}^2+\frac{16}{5}x\right)$	=	0
   $-3x^2+16x$	=	0
   $x\left(-3x+16\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $-3x+16$	=	0	| $-16$
   $-3x$	=	$-16$	|:($-3$)
   x2	=	$\frac{16}{3}$

   Die Lösungen 0, $\frac{16}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $-\frac{6}{5}\cdot 0+\frac{16}{5}$= $0+\frac{16}{5}$= $\frac{16}{5}$ >0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $-\frac{1}{5}\cdot 0^3+\frac{8}{5}\cdot 0^2$ = 0
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

   
   

   2.: x=$\frac{16}{3}$

   f''($\frac{16}{3}$) = $-\frac{6}{5}\cdot \left(\frac{16}{3}\right)+\frac{16}{5}$= $-\frac{32}{5}+\frac{16}{5}$= $-\frac{16}{5}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{16}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($\frac{16}{3}$) = $-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{16}{3}\right)}^3+\frac{8}{5}\cdot {\left(\frac{16}{3}\right)}^2$ = $\frac{2048}{135}$ ≈ 15.17
   Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{16}{3}$| $\frac{2048}{135}$)

   ≈ H:(5.333|15.17)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(8) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($\frac{16}{3}$| $\frac{2048}{135}$).

   Der größte Wert beträgt somit $\frac{2048}{135}$ m/s ≈ 15.17 s.

3. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$\frac{8}{3}$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{5}{x}^2+\frac{16}{5}x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{6}{5}x+\frac{16}{5}$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{6}{5}+0$

   = $-\frac{6}{5}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{6}{5}x+\frac{16}{5}$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{6}{5}x+\frac{16}{5}\right)$	=	0
   $-6x+16$	=	0	| $-16$
   $-6x$	=	$-16$	|:($-6$)
   $x$	=	$\frac{8}{3}$

   Die Lösung x= $\frac{8}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($\frac{8}{3}$) = $-\frac{6}{5}$= $-\frac{6}{5}$= $-\frac{6}{5}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{8}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{8}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(8) = -12.8 und f'($\frac{8}{3}$) = 4.27 (Hochpunkt).

   Da f'(0) und f'(8) nicht größer als f'($\frac{8}{3}$) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 2.67.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $\frac{8}{3}$ s ≈ 2.67 s erreicht.