Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2+25x-17$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x+25+0$

= $3x^2-18x+25$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-18$	=	0	| $+18$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $6+0$= $6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-17$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $4$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $3\cdot 3^2-18\cdot 3+25$

= $3\cdot 9-54+25$

= $27-54+25$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3^3-9\cdot 3^2+25\cdot 3-17$ = $27-9\cdot 9+75-17$ = $27-81+75-17$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-2$⋅3 + c

$4$ = $-6$ + c | + $6$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $10$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 10.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+10$	=	0	| $-10$
$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $5$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 10 und $5$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $5$ ⋅ 10 = $25$.

1. x-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($4$| $\frac{10}{3}$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+14$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $x^2-4x+0$

   = $x^2-4x$

   $\text{f''(x)}=$ $2x-4$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $x^2-4x$	=	0
   $x\left(x-4\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $x-4$	=	0	| $+4$
   x2	=	$4$

   Die Lösungen 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $2\cdot 0-4$= $0-4$= $-4$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $\frac{1}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+14$ = $14$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $14$)

   
   

   2.: x=$4$

   f''($4$) = $2\cdot 4-4$= $8-4$= $4$ >0

   Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($4$) = $\frac{1}{3}\cdot 4^3-2\cdot 4^2+14$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.333
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $\frac{10}{3}$)

   ≈ T:(4|3.333)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $4$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 14 und f(6) = 14 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

   Der kleinste Wert wird also nach $4$ m erreicht.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($4$| $\frac{10}{3}$).

   Der kleinste Wert beträgt somit $\frac{10}{3}$ m ≈ 3.33 m.

3. x-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Abnahme, also der x-Wert mit der stärksten negativen Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Tiefpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt von f' bei x=$2$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $x^2-4x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $2x-4$

   $\text{f'''(x)}=$ $2+0$

   = $2$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $2x-4$	=	0	| $+4$
   $2x$	=	$4$	|:$2$
   $x$	=	$2$

   Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($2$) = $2$= $2$= $2$ >0

   Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
   

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $2$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(6) = 12 und f'($2$) = -4 (Tiefpunkt).

   Da f'(0) und f'(6) nicht kleiner als f'($2$) ist, ist der kleinste Ableitungswert bei x = 2.

   Die stärkste Abnahme wird also nach $2$ m erreicht.

4. Maximaler Steigungswinkel

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Steigung oder dem stärksten Gefälle, also die Extremstellen der Ableitungsfunktion bzw. die x-Werte der Wendepunkte.

   Detail-Rechnung für alle Wendestellen von f einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+14$

   Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

   $\text{f'(x)}=$ $x^2-4x+0$

   = $x^2-4x$

   
   

   $\text{f''(x)}=$ $2x-4$

   
   

   $\text{f'''(x)}=$ $2+0$

   = $2$

   Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

   (Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

   Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

   $2x-4$	=	0	| $+4$
   $2x$	=	$4$	|:$2$
   $x$	=	$2$

   Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

   Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

   Überprüfung bei x = $2$:

   f'''($2$) = $2+0$= $2$

   Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
   f($2$) = $\frac{1}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2^2+14$ = $\frac{26}{3}$
   Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $\frac{26}{3}$)

   Jetzt berechnen wir die extremalen Tangentensteigungswerte in den Wendestellen:

   f'($2$) = $2^2-4\cdot 2$ ≈ -4
   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Tangentensteigungswerte an den Rändern untersuchen:
   f'(0) = $0^2-4\cdot 0$ ≈ 0
   f'(6) = $6^2-4\cdot 6$ ≈ 12

   Um jetzt die steilste Stelle zu finden, brauchen wir den betragsmäßig größten Ableitungswert, weil es ja egal ist ob hier der Graph steigt oder fällt. Dieser ist bei x = 6 mit f'(6) ≈ 12.

   Für den Steigungswinkel gilt hier: tan(α) = |12|, also α = arctan(12) ≈ 85.24° .