Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈$\frac{1}{6}$⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=146 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 146 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 138 Versuchen auch ungefähr 23 (≈$\frac{1}{6}$⋅138) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=138:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.4646 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=159 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 159 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.88 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.88}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 88% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{0.88}}$ ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.88⋅25) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
$P_{0.88}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.5912 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{27}(X\le 21)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{27}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{5}{\mathrm{10}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{13}{18}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 13 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{70}(X\le 5)$ nimmt mit 14.06% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.12}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le 11)$ nimmt mit 96.56% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 12.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 12 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und n = 72.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{72}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 52 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.7}^{72}(X\le 53)$ nimmt mit 78.54% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.7}^{72}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75 ist somit k = 52.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 52 sein.