Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ oder $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 16% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{\mathrm{0.16}}$ ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.16⋅25) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≈ 0.4163 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{13}(X\le 2)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{13}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{13}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{13}$⋅13 der Erwartungswert und somit $P_p^{13}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 18 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{45}(X\le 19)$ nimmt mit 92.06% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 20.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 20 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{7}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{7}}^{30}(X\le 8)$ nimmt mit 97.92% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{7}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und n = 92.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{92}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 49 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.5}^{92}(X\le 50)$ nimmt mit 82.59% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.5}^{92}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8 ist somit k = 49.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 49 sein.