Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ = 1 - $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ oder $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.5}}$ ≈ 52 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.5⋅52) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=52:
$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.4449 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 55 sein, damit $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 26)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ = 1 - $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ oder $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.65⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.4448 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.09}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.09}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{28}(X\le 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{28}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{9}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{10}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.07}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.07}^{16}(X\le 2)$ nimmt mit 90.31% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.07}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.07}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 13 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{40}(X\le 14)$ nimmt mit 94.56% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 15.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 15 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{65}(X\le 6)$ nimmt mit 24.31% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.13}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.