Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.5563 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{0.07}}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.07⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4128 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 51 sein, damit $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39 (≈$\frac{1}{6}$⋅234) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.5426 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=220 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{18}(X\le 3)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{18}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{18}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{18}$⋅18 der Erwartungswert und somit $P_p^{18}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{18}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 24 sein.

Also werden noch 21 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.14}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{14}(X\le 4)$ nimmt mit 96.41% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.14}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.14}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.05 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le 10)$ nimmt mit 97.44% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.17}^{55}(X\le 6)$ nimmt mit 15.21% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.17}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.