Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{0.55}}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.55⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.5366 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.45⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.4264 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 53 sein, damit $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.6543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{16}(X\le 3)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{16}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{16}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{16}$⋅16 der Erwartungswert und somit $P_p^{16}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{16}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le 10)$ nimmt mit 94.16% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.06}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.06}^{14}(X\le 2)$ nimmt mit 95.22% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.06}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.06}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und n = 66.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{66}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 25 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.35}^{66}(X\le 26)$ nimmt mit 81.07% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.35}^{66}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8 ist somit k = 25.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 25 sein.