Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.14}}$ ≈ 286 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.14⋅286) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=286:
$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4715 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=341 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 341 sein, damit $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.25⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.465 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=119 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 119 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 150 Versuchen auch ungefähr 25 (≈$\frac{1}{6}$⋅150) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=150:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 25)$ ≈ 0.5531 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=121 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\le 3)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{12}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{12}$⋅12 der Erwartungswert und somit $P_p^{12}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.06}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.06}^{16}(X\le 2)$ nimmt mit 93.27% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.06}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.06}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{10}(X\le 2)$ nimmt mit 91.16% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.11}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.09 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 69.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{69}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 52 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{69}(X\le 53)$ nimmt mit 68.01% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{69}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6 ist somit k = 52.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 52 sein.