Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈$\frac{1}{6}$⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=159 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 159 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈$\frac{1}{6}$⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.469 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=186 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 186 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.9⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≈ 0.6534 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{75}(X\le 5)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{75}(X\le 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{5}{75}$. Mit diesem p wäre ja 5=$\frac{5}{75}$⋅75 der Erwartungswert und somit $P_p^{75}(X\le 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{5}{75}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 24 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{70}(X\le 8)$ nimmt mit 25.88% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.15}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 7.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 7 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.06}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.06}^{12}(X\le 2)$ nimmt mit 96.84% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.06}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.06}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{60}(X\le 7)$ nimmt mit 30.47% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.15}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.