Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 17% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.17}}$ ≈ 135 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.17⋅135) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=135:
$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.469 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=134 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 134 sein, damit $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ = 1 - $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ oder $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 67 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.45⋅67) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=67:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≈ 0.4383 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 66 sein, damit $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 29)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 30)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈$\frac{1}{6}$⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.5486 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=168 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{11}(X\le 3)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{11}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{11}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{11}$⋅11 der Erwartungswert und somit $P_p^{11}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{11}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{12}(X\le 2)$ nimmt mit 93.48% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.13 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{12}(X\le 3)$ nimmt mit 96.49% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.11}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.09 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und n = 95.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 39 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.4}^{95}(X\le 40)$ nimmt mit 70.14% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.4}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65 ist somit k = 39.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 39 sein.