Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ = 1 - $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ oder $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.9⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4462 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 37 sein, damit $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 1)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>7</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈$\frac{1}{7}$⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 8 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 1)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.83}}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.83⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 40)$ ≈ 0.5841 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^8(X\ge 1)$ = 1- $P_p^8(X\le 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^8(X\ge 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{1}{2}$.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 12 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.17}^{80}(X\le 10)$ nimmt mit 17.92% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.17}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le 9)$ nimmt mit 94.5% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 77.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{77}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 59 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{77}(X\le 60)$ nimmt mit 76.2% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{77}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75 ist somit k = 59.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 59 sein.