Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.8⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4997 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{0.07}}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.07⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4128 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 51 sein, damit $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.07}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.55}}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.55⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.5472 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{75}(X\le 8)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{75}(X\le 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{8}{75}$. Mit diesem p wäre ja 8=$\frac{8}{75}$⋅75 der Erwartungswert und somit $P_p^{75}(X\le 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{8}{75}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le 10)$ nimmt mit 97.03% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{20}(X\le 10)$ nimmt mit 96.24% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 50.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{50}(X\le 3)$ nimmt mit 18.54% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 2.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 2 sein.