Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 35)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 35)$ = 1 - $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ oder $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 16% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{0.16}}$ ≈ 219 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.16⋅219) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=219:
$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≈ 0.4686 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=263 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 263 sein, damit $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 35)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.83}}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.83⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.4341 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.08}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{75}(X\le 5)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{75}(X\le 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{5}{75}$. Mit diesem p wäre ja 5=$\frac{5}{75}$⋅75 der Erwartungswert und somit $P_p^{75}(X\le 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{5}{75}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 24 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le 7)$ nimmt mit 96.79% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{7}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{7}}^{25}(X\le 7)$ nimmt mit 98.06% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{7}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 90.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{90}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{90}(X\le 10)$ nimmt mit 26.91% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{90}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.