Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.93 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 93% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.93}}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.93⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.2298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.93}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ oder $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.15⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≈ 0.4072 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.55}}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.55⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.5513 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{55}(X\le 7)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{55}(X\le 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{7}{55}$. Mit diesem p wäre ja 7=$\frac{7}{55}$⋅55 der Erwartungswert und somit $P_p^{55}(X\le 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{7}{55}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{65}(X\le 5)$ nimmt mit 13.54% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.13}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 14 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{35}(X\le 15)$ nimmt mit 91.33% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 16.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 16 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 85.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{85}(X\le 9)$ nimmt mit 23.16% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{85}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 8.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 8 sein.