Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 98 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.4⋅98) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=98:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4453 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=107 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 107 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.7⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.4007 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{18}(X\le 3)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{18}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{18}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{18}$⋅18 der Erwartungswert und somit $P_p^{18}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{18}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 20 sein.

Also werden noch 17 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 91.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{91}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 71 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{91}(X\le 72)$ nimmt mit 84.87% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{91}(X\le \mathrm{k})$ < 0.8 ist somit k = 71.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 71 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le 10)$ nimmt mit 94.16% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 83.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{83}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 71 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{83}(X\le 72)$ nimmt mit 71.75% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{83}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7 ist somit k = 71.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 71 sein.