Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 36 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 180 | 0.9009 |
| 181 | 0.8947 |
| 182 | 0.8882 |
| 183 | 0.8815 |
| 184 | 0.8745 |
| 185 | 0.8673 |
| 186 | 0.8598 |
| 187 | 0.8521 |
| 188 | 0.8441 |
| 189 | 0.8359 |
| 190 | 0.8274 |
| 191 | 0.8187 |
| 192 | 0.8097 |
| 193 | 0.8006 |
| 194 | 0.7912 |
| 195 | 0.7816 |
| 196 | 0.7717 |
| 197 | 0.7617 |
| 198 | 0.7515 |
| 199 | 0.7411 |
| 200 | 0.7305 |
| 201 | 0.7197 |
| 202 | 0.7088 |
| 203 | 0.6977 |
| 204 | 0.6864 |
| 205 | 0.6751 |
| 206 | 0.6636 |
| 207 | 0.652 |
| 208 | 0.6403 |
| 209 | 0.6285 |
| 210 | 0.6166 |
| 211 | 0.6047 |
| 212 | 0.5927 |
| 213 | 0.5806 |
| 214 | 0.5686 |
| 215 | 0.5565 |
| 216 | 0.5444 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 216 Versuchen auch ungefähr 36
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=216:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=180 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 4 | 0.5398 |
| 5 | 0.4627 |
| 6 | 0.3966 |
| 7 | 0.3399 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p =
Es muss gelten:
Weil man ja aber
0.5 ≥
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden
Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 5 sein, damit
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 17% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 31-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 35 | 0.8685 |
| 36 | 0.756 |
| 37 | 0.6182 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei
Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥1)=1-P(X≤0) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9961 | |
| 0.961 | |
| 0.8999 | |
| 0.8322 | |
| 0.7674 | |
| 0.7086 | |
| 0.6564 | |
| 0.6103 | |
| 0.5695 | |
| 0.5335 | |
| 0.5015 | |
| 0.4729 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
12 sein.
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 75 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 25% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 0.0024 |
| 4 | 0.0084 |
| 5 | 0.0234 |
| 6 | 0.0544 |
| 7 | 0.1082 |
| 8 | 0.1889 |
| 9 | 0.2949 |
| 10 | 0.4184 |
| 11 | 0.5472 |
| 12 | 0.6684 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 75.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
8 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 8 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (mind.)
Beispiel:
Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 10%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 14% ausgegeben werden muss?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| 0 | 0.1501 |
| 1 | 0.4503 |
| 2 | 0.7338 |
| 3 | 0.9018 |
| 4 | 0.9718 |
| 5 | 0.9936 |
| 6 | 0.9988 |
| 7 | 0.9998 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 18.
Es muss gelten:
oder andersrum ausgedrückt:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
2 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das kleinstmögliche k mit
Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85. Das Zufallsexperiment soll 97 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 97 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 77 | 0.0836 |
| 78 | 0.132 |
| 79 | 0.1979 |
| 80 | 0.2819 |
| 81 | 0.3818 |
| 82 | 0.4923 |
| 83 | 0.6055 |
| 84 | 0.7123 |
| 85 | 0.805 |
| 86 | 0.8782 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 97.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
82 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
größtmöglicher Wert für k muss somit k = 82 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
