Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ = 1 - $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ oder $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{\mathrm{0.14}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.14⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≈ 0.4197 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 34 sein, damit $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.85⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.409 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 51 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.85⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≈ 0.5675 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{75}(X\le 7)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{75}(X\le 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{7}{75}$. Mit diesem p wäre ja 7=$\frac{7}{75}$⋅75 der Erwartungswert und somit $P_p^{75}(X\le 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{7}{75}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 15 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{55}(X\le 6)$ nimmt mit 33.44% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{16}(X\le 2)$ nimmt mit 86.89% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.17}^{60}(X\le 7)$ nimmt mit 17.78% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.17}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.