Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ = 1 - $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ oder $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.45⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.4611 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 64 sein, damit $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ oder $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.6}}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.6⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.4357 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 46 sein, damit $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{27}(X\le 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{27}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{8}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{11}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.07}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.07}^{12}(X\le 2)$ nimmt mit 95.32% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.07}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.07}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.07 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.05}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.93 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.93 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.05}^{12}(X\le 2)$ nimmt mit 98.04% einen Wert über 0.93 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.05}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.05}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.07 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{70}(X\le 6)$ nimmt mit 33.83% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{70}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.