Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ = 1 - $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ oder $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 84 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.45⋅84) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=84:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≈ 0.4753 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 93 sein, damit $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 37)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 38)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 17% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.17}}$ ≈ 147 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.17⋅147) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=147:
$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4667 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=182 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 182 sein, damit $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.88 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.88}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 88% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.88}}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.88⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.88}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.486 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\ge 2)$ = 1- $P_p^{12}(X\le 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\ge 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{1}{2}$.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{7}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{7}}^{40}(X\le 9)$ nimmt mit 94.9% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{7}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.1}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{18}(X\le 4)$ nimmt mit 97.18% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.1}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.1}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.06 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 50.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{50}(X\le 4)$ nimmt mit 34.38% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{50}(X\le \mathrm{k})$ < 0.25 ist somit k = 3.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 3 sein.