Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ oder $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{\mathrm{0.06}}$ ≈ 67 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.06⋅67) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=67:
$P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≈ 0.4234 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 61 sein, damit $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.06}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>7</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈$\frac{1}{7}$⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 29 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{50}(X\le 8)$=0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{50}(X\le 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{8}{50}$. Mit diesem p wäre ja 8=$\frac{8}{50}$⋅50 der Erwartungswert und somit $P_p^{50}(X\le 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{8}{50}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 66.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{66}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 50 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{66}(X\le 51)$ nimmt mit 70.94% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{66}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65 ist somit k = 50.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 50 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le 13)$ nimmt mit 98.06% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{80}(X\le 7)$ nimmt mit 11.23% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.