Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 63 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.4⋅63) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=63:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4319 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 64 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ = 1 - $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ oder $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{\mathrm{0.14}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.14⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≈ 0.4197 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 37 sein, damit $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{85}(X\le 5)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{85}(X\le 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{5}{85}$. Mit diesem p wäre ja 5=$\frac{5}{85}$⋅85 der Erwartungswert und somit $P_p^{85}(X\le 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{5}{85}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{17}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 24 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.05}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 0 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.05}^{10}(X\le 1)$ nimmt mit 91.39% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.05}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.05}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.12 ist somit k = 2.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 2 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le 12)$ nimmt mit 98.58% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 13.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 13 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 75.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 14 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.2}^{75}(X\le 15)$ nimmt mit 56.85% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.2}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 14.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 14 sein.