Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ = 1 - $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ oder $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 187 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.15⋅187) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=187:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.4646 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=213 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 213 sein, damit $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.4⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 59 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.9⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.565 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{90}(X\ge 10)$ = 1- $P_p^{90}(X\le 9)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{90}(X\ge 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{\mathrm{16}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{27}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 27 sein.

Also wären noch 23 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 88.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{88}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 80 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.9}^{88}(X\le 81)$ nimmt mit 78.87% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.9}^{88}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7 ist somit k = 80.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 80 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le 12)$ nimmt mit 90.05% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 13.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 13 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{65}(X\le 6)$ nimmt mit 17.75% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{65}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.