Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{0.6}}$ ≈ 57 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.6⋅57) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=57:
$P_{0.6}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≈ 0.5287 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.85⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.3456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.15⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.5443 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=214 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{15}(X\le 6)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{15}(X\le 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{6}{15}$. Mit diesem p wäre ja 6=$\frac{6}{15}$⋅15 der Erwartungswert und somit $P_p^{15}(X\le 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{6}{15}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{2}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{16}(X\le 3)$ nimmt mit 96.58% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{16}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{16}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.12}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{18}(X\le 4)$ nimmt mit 94.42% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.12}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.12}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.13 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{60}(X\le 5)$ nimmt mit 25.9% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.12}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.