Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ = 1 - $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ oder $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 133 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.15⋅133) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=133:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≈ 0.4677 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=170 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 170 sein, damit $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.7⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.4228 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 24 (≈$\frac{1}{6}$⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.5542 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=140 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{60}(X\le 6)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{60}(X\le 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{6}{60}$. Mit diesem p wäre ja 6=$\frac{6}{60}$⋅60 der Erwartungswert und somit $P_p^{60}(X\le 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{6}{60}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.1}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{10}(X\le 3)$ nimmt mit 98.72% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.1}^{10}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.1}^{10}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.05 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{14}(X\le 2)$ nimmt mit 90.42% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.14 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 75.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{75}(X\le 5)$ nimmt mit 22.71% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.1}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.2 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.