Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.5}}$ ≈ 66 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.5⋅66) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=66:
$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.5489 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39 (≈$\frac{1}{6}$⋅234) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4728 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=241 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 241 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 39)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.8}}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.8⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.8}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.4998 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{16}(X\le 3)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{16}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{16}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{16}$⋅16 der Erwartungswert und somit $P_p^{16}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{16}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und n = 82.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{82}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 25 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.3}^{82}(X\le 26)$ nimmt mit 68.09% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.3}^{82}(X\le \mathrm{k})$ < 0.65 ist somit k = 25.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 25 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 14 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le 15)$ nimmt mit 92.47% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{45}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 16.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 16 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und n = 52.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{52}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 26 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.5}^{52}(X\le 27)$ nimmt mit 66.11% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.5}^{52}(X\le \mathrm{k})$ < 0.6 ist somit k = 26.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 26 sein.