Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≥ 0.5 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 22 (≈$\frac{1}{6}$⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≈ 0.4638 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=130 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 130 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 21)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 22)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.85⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4131 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 29 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.7⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.5827 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{27}(X\le 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{27}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{5}{\mathrm{10}}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{11}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le 9)$ nimmt mit 94.5% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.14}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{18}(X\le 4)$ nimmt mit 90.41% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.14}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.14}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.12 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 88.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{88}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 76 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{88}(X\le 77)$ nimmt mit 78.64% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{88}(X\le \mathrm{k})$ < 0.75 ist somit k = 76.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 76 sein.