Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ = 1 - $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ oder $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{\mathrm{0.08}}$ ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.08⋅25) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
$P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≈ 0.3947 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 30 sein, damit $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ = 1 - $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ oder $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{0.3}}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.3⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 86 sein, damit $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.83}}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.83⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.83}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.5587 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{11}(X\le 3)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{11}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{11}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{11}$⋅11 der Erwartungswert und somit $P_p^{11}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{11}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le 7)$ nimmt mit 96.79% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{20}(X\le 8)$ nimmt mit 95.91% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{20}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{20}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 20 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.35}^{55}(X\le 21)$ nimmt mit 74.02% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.35}^{55}(X\le \mathrm{k})$ < 0.7 ist somit k = 20.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 20 sein.