Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.5 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>7</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈$\frac{1}{7}$⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 19 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈$\frac{1}{6}$⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.4709 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=210 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 210 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.65⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.5484 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{17}(X\le 2)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{17}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{17}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{17}$⋅17 der Erwartungswert und somit $P_p^{17}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{17}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le 9)$ nimmt mit 93.89% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.12 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.13}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.88 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.88 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{12}(X\le 3)$ nimmt mit 94.03% einen Wert über 0.88 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.13}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.13}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.12 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und n = 53.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{53}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 36 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.7}^{53}(X\le 37)$ nimmt mit 53.97% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.7}^{53}(X\le \mathrm{k})$ < 0.5 ist somit k = 36.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 36 sein.