Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ = 1 - $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ oder $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 17% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{\mathrm{0.17}}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.17⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≈ 0.4373 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 4)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 5)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>7</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈$\frac{1}{7}$⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.45⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.5532 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{60}(X\ge 16)$ = 1- $P_p^{60}(X\le 15)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{60}(X\ge 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{7}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 10 sein.

Also wären noch 7 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le 13)$ nimmt mit 96.37% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le 9)$ nimmt mit 94.5% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{35}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{60}(X\le 4)$ nimmt mit 27.1% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.1}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 3.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 3 sein.