Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ oder $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{\mathrm{0.19}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.19⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≈ 0.4148 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 28 sein, damit $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\le 3)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.19}^{\mathrm{n}}(X\ge 4)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.35}}$ ≈ 71 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.35⋅71) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=71:
$P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4703 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 71 sein, damit $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.35}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.65⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.5785 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{18}(X\le 3)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{18}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{18}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{18}$⋅18 der Erwartungswert und somit $P_p^{18}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{18}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 60 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{80}(X\le 61)$ nimmt mit 64.37% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{80}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 60.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 60 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{12}(X\le 2)$ nimmt mit 93.48% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.08 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 53 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.9}^{60}(X\le 54)$ nimmt mit 56.28% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.9}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 53.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 53 sein.