Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.7⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.4211 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 57 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈$\frac{1}{6}$⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=159 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 159 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{0.89}}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.89⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.6326 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{90}(X\le 5)$=0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{90}(X\le 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{5}{90}$. Mit diesem p wäre ja 5=$\frac{5}{90}$⋅90 der Erwartungswert und somit $P_p^{90}(X\le 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{5}{90}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{34}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 34 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.1}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{14}(X\le 3)$ nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.1}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.1}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.09 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le 10)$ nimmt mit 97.03% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{25}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.04 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 95.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{95}(X\le 12)$ nimmt mit 22.91% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 11.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 11 sein.