Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^2+1}{{\left(-x\right)}^2}$ = $\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^2+1}{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $-3x^4$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $-3x^4$ gerade ist, hat $x^4$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $-3$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $-3x^4$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $-3x^4+4x^3-4$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^4$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $-3$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $-3x^4$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $-3x^4+4x^3-4$ → $-\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = $-x^3$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^3$ = -1 ist aber leider nicht -4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -4 -( - 1 ) = -3 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^3$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^3-3$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet