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Nullstellen am Term ablesen

Beispiel:

Gib die Schnittpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (x - 1)$ mit der x-Achse an.

Hier kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden:

(x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={ $1$ ; $2$ }

Es gibt also 2 Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

S₂( $2$ |0)

Nullstellen bestimmen (ohne Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} - \frac{15}{2} x$ .

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} - \frac{15}{2} x$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} - \frac{15}{2} x)$	=
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x$	=
$x (x^{2} + 2 x - 15)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $3$ }

Nullstellen bestimmen (mit Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{2} - 24$ .

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x^{4} + 2 x^{2} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Nullstellen mit Linearfaktordarstellung

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (x^{2} - 4 x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={0; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $3 x \cdot {(x - 2)}^{2}$ = $3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$

Term zu Nullstellen finden

Beispiel:

Gib eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 an, die genau die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = -5 hat.

Lösung einblenden

Der Funktionsterm $f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x + 5)$ hat die gesuchten Nullstellen aber $f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x + 5)$ = $x^{2} + 5 x$ hat nur Grad 2.

Für den Grad 3 braucht man auch 3 Linearfaktoren, also z.B. $(x + 0) \cdot {(x + 5)}^{2}$ = $x^{3} + 10 x^{2} + 25 x$ .

möglicher Term aus Schaubild

Beispiel:

Bestimme zu dem gegebenen Graphen einen möglichen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit möglichst kleinem Grad.

(alle Nullstellen des Graphen sind auf dem abgebildeten Intervall sichtbar)

Lösung einblenden

Man erkennt am Graph eine Nullstelle bei x₁ = $2$ , da der Graph hier die x-Achse ohne Vorzeichenwechsel berührt muss es sich um eine doppelte (oder andere geradzahlige) Nullstelle handeln.

Außerdem erkennt man eine weitere Nullstelle bei x₂ = $4$ .

Zusammenfassend lässt sich festhalten:

2-fache Nullstelle bei x = $2$ => (x-2)² muss im Term sein
1-fache Nullstelle bei x = $4$ => (x-4) muss im Term sein

Ein möglicher Funtionsterm wäre somit $f(x) =$ ${(x - 2)}^{2} \cdot (x - 4)$ .

Auch wenn man sich das Ausmultiplizieren erspart ( ${(x - 2)}^{2} \cdot (x - 4)$ = $x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ ) erkennt man schnell, dass der erste Summand $x^{3}$ sein muss. Und da dieser der mit der höchsten Hochzahl ist, hängt von ihm alleine das Verhalten für x → ± ∞ ab.
Es gilt also:

Für x → -∞ gilt: ${(x - 2)}^{2} \cdot (x - 4)$ = $x^{3}$ ± ... → -∞

Für x → +∞ gilt: ${(x - 2)}^{2} \cdot (x - 4)$ = $x^{3}$ ± ... → +∞

Dies ist ja aber genau gegensätzlich zum Grenzverhalten des abgebildeten Graphen. Wenn aber also unseren Term noch mit -1 multipliziert (und somit an der x-Achse spiegelt), erhält man ja genau das Grenzverhalten des abgebildeten Graphen.

Somit wäre ein möglicher Funtionsterm: $f(x) =$ $- {(x - 2)}^{2} \cdot (x - 4)$

Term am Schaubild erkennen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um den Graph von f handeln kann.

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zuerst klammern wir mal aus: $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ = $- 4 x^{2} \cdot (x + 1)$ .

Wenn man den Term von f betrachtet, so kann man folgendes erkennen:

für x → -∞ :f(x) → $\infty$ und für x → ∞ : f(x) → $- \infty$
f hat eine 2-fache Nullstelle bei x = 0 und eine 1-fache Nullstelle bei x = -1.

zu Schaubild Nr. 1

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → $- \infty$ und für x → ∞ : f(x) → $\infty$

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen im Ursprung vorliegt.

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil im Schaubild eine weitere Nullstelle bei x = 1 vorliegt.

zu Schaubild Nr. 2

Dieses Schaubild Nr. 2 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → $- \infty$ und für x → ∞ : f(x) → $\infty$

Dieses Schaubild Nr. 2 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen im Ursprung vorliegt.

zu Schaubild Nr. 3

Hier passen das Grenzverhalten für x → ±∞ und die Nullstellen (incl. ihrer Vielfachheiten) zum Schaubild.

zu Schaubild Nr. 4

Dieses Schaubild Nr. 4 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → $- \infty$ und für x → ∞ : f(x) → $\infty$

Da wir die anderen drei Schaubilder ausschließen können,
muss Schaubild 3 das richtige Schaubild mit dem Graph von f sein .

Intervalle finden f(x)>0

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + x + 6$ über bzw. unter der x-Achse verläuft:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + x + 6$

Wir lösen die Gleichung:

$- x^{2} + x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; -2), (-2 ; 3), (3; ∞)

Da f(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; -2): Wir wählen x=-3∈(-∞ ; -2): f(-3)= $- {(- 3)}^{2} - 3 + 6$ = -6 also < 0

(-2 ; 3): Wir wählen x=0∈(-2 ; 3): f(0)= $- 0^{2} + 0 + 6$ = 6 also > 0

(3; ∞): Wir wählen x=4∈(3; ∞): f(4)= $- 4^{2} + 4 + 6$ = -6 also < 0

Aufgabenbeispiele von Nullstellen

Nullstellen am Term ablesen

Nullstellen bestimmen (ohne Subst.)

Nullstellen bestimmen (mit Subst.)

Nullstellen mit Linearfaktordarstellung

Term zu Nullstellen finden

möglicher Term aus Schaubild

Term am Schaubild erkennen

zu Schaubild Nr. 1

zu Schaubild Nr. 2

zu Schaubild Nr. 3

zu Schaubild Nr. 4

Intervalle finden f(x)>0