Aufgabenbeispiele von Nullstellen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Nullstellen am Term ablesen

Beispiel:

Gib die Schnittpunkte des Graphen von f mit f(x)= ( 2x +5 ) · ( x -2 ) mit der x-Achse an.

Lösung einblenden

Hier kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden:

( 2x +5 ) ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2x +5 = 0 | -5
2x = -5 |:2
x1 = - 5 2 = -2.5

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={ - 5 2 ; 2 }

Es gibt also 2 Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( - 5 2 |0)

S2( 2 |0)

Nullstellen bestimmen (ohne Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -15 .


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 2 -2x -15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +60 2

x1,2 = +2 ± 64 2

x1 = 2 + 64 2 = 2 +8 2 = 10 2 = 5

x2 = 2 - 64 2 = 2 -8 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 5 }

Nullstellen bestimmen (mit Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -4 x 2 -45 .


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -4 x 2 -45 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u -45 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -45 ) 21

u1,2 = +4 ± 16 +180 2

u1,2 = +4 ± 196 2

u1 = 4 + 196 2 = 4 +14 2 = 18 2 = 9

u2 = 4 - 196 2 = 4 -14 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Nullstellen mit Linearfaktordarstellung

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 6 -6 x 5 +9 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 6 -6 x 5 +9 x 4 = 0
x 4 ( x 2 -6x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -6x +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x2,3 = +6 ± 36 -36 2

x2,3 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

L={0; 3 }

0 ist 4-fache Lösung! 3 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 4 · ( x -3 ) 2 = x 6 -6 x 5 +9 x 4

Term zu Nullstellen finden

Beispiel:

Gib eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 an, die genau die Nullstellen x1 = -1, x2 = -5 und x3 = -4 hat.

Lösung einblenden

Der Funktionsterm f(x)= ( x +1 ) · ( x +5 ) · ( x +4 ) hat die gesuchten Nullstellen und f(x)= ( x +1 ) · ( x +5 ) · ( x +4 ) = x 3 +10 x 2 +29x +20 hat auch den geforderten Grad n=3.

möglicher Term aus Schaubild

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme zu dem gegebenen Graphen einen möglichen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit möglichst kleinem Grad.

(alle Nullstellen des Graphen sind auf dem abgebildeten Intervall sichtbar)

Lösung einblenden

Man erkennt am Graph eine Nullstelle bei x1 = -4 , da der Graph hier die x-Achse ohne Vorzeichenwechsel berührt muss es sich um eine doppelte (oder andere geradzahlige) Nullstelle handeln.

Außerdem erkennt man eine weitere Nullstelle bei x2 = 4 .

Zusammenfassend lässt sich festhalten:

  • 2-fache Nullstelle bei x = -4 => (x+4)2 muss im Term sein
  • 1-fache Nullstelle bei x = 4 => (x-4) muss im Term sein

Ein möglicher Funtionsterm wäre somit f(x)= ( x -4 ) · ( x +4 ) 2 .

Auch wenn man sich das Ausmultiplizieren erspart ( ( x -4 ) · ( x +4 ) 2 = x 3 +4 x 2 -16x -64 ) erkennt man schnell, dass der erste Summand x 3 sein muss. Und da dieser der mit der höchsten Hochzahl ist, hängt von ihm alleine das Verhalten für x → ± ∞ ab.
Es gilt also:

Für x → -∞ gilt: ( x -4 ) · ( x +4 ) 2 = x 3 ± ... → -∞

Für x → +∞ gilt: ( x -4 ) · ( x +4 ) 2 = x 3 ± ... → +∞

Dies entspricht ja auch dem Grenzverhalten des abgebildeten Graphen.

Somit wäre ein möglicher Funtionsterm: f(x)= ( x -4 ) · ( x +4 ) 2

Term am Schaubild erkennen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - 4 9 x 3 - 4 3 x 2 .

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um den Graph von f handeln kann.

1
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
4
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Lösung einblenden

Zuerst klammern wir mal aus: f(x)= - 4 9 x 3 - 4 3 x 2 = - 4 9 x 2 · ( x +3 ) .

Wenn man den Term von f betrachtet, so kann man folgendes erkennen:

  • für x → -∞ :f(x) → und für x → ∞ : f(x) → -
  • f hat eine 2-fache Nullstelle bei x = 0 und eine 1-fache Nullstelle bei x = -3.

zu Schaubild Nr. 1

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → - und für x → ∞ : f(x) →

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen im Ursprung vorliegt.

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil im Schaubild eine weitere Nullstelle bei x = 3 vorliegt.

zu Schaubild Nr. 2

Dieses Schaubild Nr. 2 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen im Ursprung vorliegt.

zu Schaubild Nr. 3

Dieses Schaubild Nr. 3 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → - und für x → ∞ : f(x) →

Dieses Schaubild Nr. 3 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen im Ursprung vorliegt.

zu Schaubild Nr. 4

Hier passen das Grenzverhalten für x → ±∞ und die Nullstellen (incl. ihrer Vielfachheiten) zum Schaubild.

Da wir die anderen drei Schaubilder ausschließen können,
muss Schaubild 4 das richtige Schaubild mit dem Graph von f sein .

Intervalle finden f(x)>0

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, der Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 +8x +16 über bzw. unter der x-Achse verläuft:

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +8x +16

Wir lösen die Gleichung:

x 2 +8x +16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = -8 ± 64 -64 2

x1,2 = -8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -8 2 = -4

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; -4), (-4; ∞)

Da f(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; -4): Wir wählen x=-5∈(-∞ ; -4): f(-5)= ( -5 ) 2 +8( -5 ) +16 = 1 also > 0

(-4; ∞): Wir wählen x=0∈(-4; ∞): f(0)= 0 2 +80 +16 = 16 also > 0