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Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1111.1010)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 250

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1010)2 = 250

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 95 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 95 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

95 = 64 + 31
= 64 + 16 + 15
= 64 + 16 + 8 + 7
= 64 + 16 + 8 + 4 + 3
= 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 95 = (101.1111)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

                 (110.1100)2
             + ( 1100.1001)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

                 (110.1100)2
             + ( 1100.1001)2
               1 1  1    
              (1 0011 0101)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0100.1111)2 = 79.

Bestimme -79 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

Lösung einblenden

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1111)2
zu (1011.0000)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.0000)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1011 0001)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.1100)2
             - ( 0001.1010)2

Lösung einblenden

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.1010)2
zu (1110.0101)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1110.0101)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1110 0110)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.1100)2 und -b = (1110.0110)2 addieren:

               ( 0101.1100)2
             + ( 1110.0110)2
               1 1111 1  
              (1 0100 0010)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.0010)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.0000)2 ⋅ (111.0000)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (111.0000)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                   (1.0000)2
                  (10.0000)2
              +  (100.0000)2
                 (111 0000)2

somit gilt:

(111.0000)2 ⋅ (111.0000)2 = 111.0000 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 1.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0000)2 ⋅ (111.0000)2 = (1.1100.0000.0000)2 + (1110.0000.0000)2 + (111.0000.0000)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

            (111.0000.0000)2
        + ( 1110.0000.0000)2
          1 11           
         (1 0101 0000 0000)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

         (1.0101.0000.0000)2
       + (1.1100.0000.0000)2
         11 1            
        (11 0001 0000 0000)2

Das Ergebnis ist somit: (11.0001.0000.0000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 112 ⋅ 112 = 12544)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1011.0110)2 : (1110)2 =

Lösung einblenden
10110110 : 1110 = 1101      
- 1110                       
10001                      
- 1110                      
00111                     
- 0000                     
01110                    
- 1110                    
0000                    
  • Die obige Differenz (10110)2 - (1110)2 = (1000)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 22 - 14 = 8
  • Die obige Differenz (10001)2 - (1110)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 17 - 14 = 3
  • Die obige Differenz (01110)2 - (1110)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 14 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 182 : 14 = 13)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 51 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 51 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

51 = 32 + 19
= 32 + 16 + 3
= 32 + 16 + 2 + 1

= 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 51 = (11.0011)2

Um die Zahl 51 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 51 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(11)2 = 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16

(0011)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (11.0011)2 = (33)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.0010.0010)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010.0010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 290

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.0010)2 = 290

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.0010)2 = (122)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (110)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

Lösung einblenden

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2

(1)16 = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)2

(0)16 = 0 = 0 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0000)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (110)16 = (1.0001.0000)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 272

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.0000)2 = 272

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (33)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

Lösung einblenden

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(3)16 = 3 = 2 + 1 = 1⋅2 + 1⋅1 = (11)2

(3)16 = 3 = 2 + 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0011)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (33)16 = (11.0011)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 51

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0011)2 = 51

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 30 an:

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Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.

5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜6 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1416, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 1 + 6 = 12, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1436, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 3 + 6 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1456, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 5 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1476, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 7 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1496, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 9 + 6 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 30 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 30 bilden:

2 + 28 = 30, dabei ist 28 aber keine Primzahl

3 + 27 = 30, dabei ist 27 aber keine Primzahl

5 + 25 = 30, dabei ist 25 aber keine Primzahl

7 + 23 = 30, dabei ist 23 auch eine Primzahl

7 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 23 = 30

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 75 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 75 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 25.

Lösung einblenden

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

20
= 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5

25
= 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 20 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 25 insgesamt 2 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 sind nun alle Primteiler von 20 und alle Primteiler von 25 enthalten. Also ist 100 ein Vielfaches von 20 und 25. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 20 oder 25 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 25 ist somit :
kgV(20,25) = 100

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 180 und 110.

Lösung einblenden

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

180
= 2 ⋅ 90
= 2 ⋅ 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

110
= 2 ⋅ 55
= 2 ⋅ 5 ⋅ 11

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 180 als auch 110 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 180 als auch 110 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 180 und 110 ist somit :
ggT(180,110) = 10

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 312 und 40.

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 312 und 40

=>312 = 7⋅40 + 32
=>40 = 1⋅32 + 8
=>32 = 4⋅8 + 0

also gilt: ggt(312,40)=8