Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.0001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 113

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0001)₂ = 113

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 198 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

198 = 128 + 70
= 128 + 64 + 6
= 128 + 64 + 4 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 198 = (1100.0110)₂

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1111)₂
zu (1011.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0000)₂
zu (1000.1111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

Jetzt können wir einfach a=(0111.1000)₂ und -b = (1001.0000)₂ addieren:

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1000)₂

Der zweite Faktor (1101.0000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

somit gilt:

(110.0001)₂ ⋅ (1101.0000)₂ = 110.0001 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 1.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.0001)₂ ⋅ (1101.0000)₂ = (11.0000.1000.0000)₂ + (1.1000.0100.0000)₂ + (110.0001.0000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

Das Ergebnis ist somit: (100.1110.1101.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 97 ⋅ 208 = 20176)

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 187 : 11 = 17)

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 73 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

73 = 64 + 9
= 64 + 8 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 73 = (100.1001)₂

Um die Zahl 73 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 73 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(100)₂ = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)₁₆

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (100.1001)₂ = (49)₁₆

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.1001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 233

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.1001)₂ = 233

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)₁₆

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.1001)₂ = (E9)₁₆

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(4)₁₆ = 4 = 4 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (100)₂

(3)₁₆ = 3 = 2 + 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0011)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (43)₁₆ = (100.0011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.0011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 67

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.0011)₂ = 67

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 73 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

73 = 64 + 9
= 64 + 8 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 73 = (100.1001)₂

Um die Zahl 73 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 73 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(100)₂ = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)₁₆

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (100.1001)₂ = (49)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 22. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 22 ist, teilen wir 22 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 22 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 22, denn 22 = 1 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

2 ist Teiler von 22, denn 22 = 2 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 22, denn 22 = 3 ⋅ 7 + 1.

4 ist kein Teiler von 22, denn 22 = 4 ⋅ 5 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 22, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 22:
1, 2, 11, 22

1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 904, für die Quersumme gilt dann: 9 + 0 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 924, für die Quersumme gilt dann: 9 + 2 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 944, für die Quersumme gilt dann: 9 + 4 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 964, für die Quersumme gilt dann: 9 + 6 + 4 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 984, für die Quersumme gilt dann: 9 + 8 + 4 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 30 bilden:

2 + 28 = 30, dabei ist 28 aber keine Primzahl

3 + 27 = 30, dabei ist 27 aber keine Primzahl

5 + 25 = 30, dabei ist 25 aber keine Primzahl

7 + 23 = 30, dabei ist 23 auch eine Primzahl

7 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 23 = 30

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 105 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

105
= 3 ⋅ 35
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 56 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5(die 5 kommt in 20 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 56 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 280 sind nun alle Primteiler von 56 und alle Primteiler von 20 enthalten. Also ist 280 ein Vielfaches von 56 und 20. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 56 oder 20 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 56 und 20 ist somit :
kgV(56,20) = 280

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

7(die 7 kommt sowohl in 77 als auch 154 insgesamt 1 mal vor)

7 ⋅ 11(die 11 kommt sowohl in 77 als auch 154 insgesamt 1 mal vor)

Da 7 ⋅ 11 = 77 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 77 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 154 ist somit :
ggT(77,154) = 77

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 255 und 57

also gilt: ggt(255,57)=3