Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (110.0110)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(110.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 102
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (110.0110)2 = 102
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 220 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 220 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
220 = 128 + 92 = 128 + 64 + 28 = 128 + 64 + 16 + 12 = 128 + 64 + 16 + 8 + 4
= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 220 = (1101.1100)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
negative Binärzahlen
Beispiel:
Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.1000)2 = 120.
Bestimme -120 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0111.1000)2
zu (1000.0111)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0100.1110)2
zu (1011.0001)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0110.0010)2 und -b = (1011.0010)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0001.0100)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(100.1111)2 ⋅ (1110.0100)2 =
Der zweite Faktor (1110.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
somit gilt:
(100.1111)2 ⋅ (1110.0100)2 = 100.1111 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 10.0000 + 100)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(100.1111)2 ⋅ (1110.0100)2 = (10.0111.1000.0000)2 + (1.0011.1100.0000)2 + (1001.1110.0000)2 + (1.0011.1100)2
Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (100.0110.0101.1100)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 79 ⋅ 228 = 18012)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(111.0101)2 : (1001)2 =
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | : | 1 | 0 | 0 | 1 | = | 1 | 1 | 0 | 1 |
| - | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| - | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| - | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1110)2 - (1001)2 = (101)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 9 = 5
- Die obige Differenz (01011)2 - (1001)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 11 - 9 = 2
- Die obige Differenz (01001)2 - (1001)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 9 - 9 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 117 : 9 = 13)
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 46 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 46 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
46 = 32 + 14 = 32 + 8 + 6 = 32 + 8 + 4 + 2
= 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 46 = (10.1110)2
Um die Zahl 46 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 46 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16
(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.1110)2 = (2E)16
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1001)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8= 9
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001)2 = 9
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1001)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1001)2 = (9)16
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (49)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(4)16 = 4 = 4 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (100)2
(9)16 = 9 = 8 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1001)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (49)16 = (100.1001)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(100.1001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 73
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.1001)2 = 73
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 230 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 230 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
230 = 128 + 102 = 128 + 64 + 38 = 128 + 64 + 32 + 6 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2
= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 230 = (1110.0110)2
Um die Zahl 230 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 230 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16
(0110)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.0110)2 = (E6)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 42 an:
Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.
2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.
3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.
5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.
6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 7⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.
Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
1: Dann wäre die Zahl 712, für die Quersumme gilt dann: 7 + 1 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 732, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 752, für die Quersumme gilt dann: 7 + 5 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 772, für die Quersumme gilt dann: 7 + 7 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 792, für die Quersumme gilt dann: 7 + 9 + 2 = 18, also durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 36 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:
2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl
3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl
5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl
5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 30 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 30 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 45.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5
45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt in 50 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 45 insgesamt 2 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 50 insgesamt 2 mal vor)
In 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 450 sind nun alle Primteiler von 50 und alle Primteiler von 45 enthalten. Also ist 450 ein Vielfaches von 50 und 45. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 50 oder 45 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 45 ist somit :
kgV(50,45) = 450
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 125 und 90.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
125
= 5 ⋅ 25
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5
90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
5(die 5 kommt sowohl in 125 als auch 90 insgesamt 1 mal vor)
Da 5 = 5 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 5 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 125 und 90 ist somit :
ggT(125,90) = 5
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 22 und 50.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 22 und 50
| =>22 | = 0⋅50 + 22 |
| =>50 | = 2⋅22 + 6 |
| =>22 | = 3⋅6 + 4 |
| =>6 | = 1⋅4 + 2 |
| =>4 | = 2⋅2 + 0 |
also gilt: ggt(22,50)=2