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Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8

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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1001.1010)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 154

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.1010)2 = 154

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 175 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 175 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

175 = 128 + 47
= 128 + 32 + 15
= 128 + 32 + 8 + 7
= 128 + 32 + 8 + 4 + 3
= 128 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 175 = (1010.1111)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

              (1.0000.1111)2
            + (1.0001.1010)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

              (1.0000.1111)2
            + (1.0001.1010)2
              1    11 11 
             (10 0010 1001)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.0000)2 = 112.

Bestimme -112 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

Lösung einblenden

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0000)2
zu (1000.1111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.1111)2
             + ( 0000.0001)2
                    1 111
               ( 1001 0000)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0111.1100)2
             - ( 0111.0101)2

Lösung einblenden

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0101)2
zu (1000.1010)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.1010)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1000 1011)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.1100)2 und -b = (1000.1011)2 addieren:

               ( 0111.1100)2
             + ( 1000.1011)2
               1 1111    
              (1 0000 0111)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.0111)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(100.1010)2 ⋅ (1010.0100)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (1010.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                      (100)2
                  (10.0000)2
             + ( 1000.0000)2
               ( 1010 0100)2

somit gilt:

(100.1010)2 ⋅ (1010.0100)2 = 100.1010 ⋅ (1000.0000 + 10.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.1010)2 ⋅ (1010.0100)2 = (10.0101.0000.0000)2 + (1001.0100.0000)2 + (1.0010.1000)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

              (1.0010.1000)2
        + ( 1001.0100.0000)2
              1          
          ( 1010 0110 1000)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

          ( 1010.0110.1000)2
     +  (10.0101.0000.0000)2
                         
        (10 1111 0110 1000)2

Das Ergebnis ist somit: (10.1111.0110.1000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 74 ⋅ 164 = 12136)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1100.1100)2 : (1100)2 =

Lösung einblenden
11001100 : 1100 = 10001     
- 1100                        
00001                       
- 0000                       
00011                      
- 0000                      
00110                     
- 0000                     
01100                    
- 1100                    
0000                    
  • Die obige Differenz (1100)2 - (1100)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 12 = 0
  • Die obige Differenz (01100)2 - (1100)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 12 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 204 : 12 = 17)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 238 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 238 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

238 = 128 + 110
= 128 + 64 + 46
= 128 + 64 + 32 + 14
= 128 + 64 + 32 + 8 + 6
= 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 238 = (1110.1110)2

Um die Zahl 238 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 238 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16

(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.1110)2 = (EE)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1010.1011)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 171

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.1011)2 = 171

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.1011)2 = (AB)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (13)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

Lösung einblenden

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2

(3)16 = 3 = 2 + 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0011)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (13)16 = (1.0011)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16= 19

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0011)2 = 19

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1101.1111)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 223

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.1111)2 = 223

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1101)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)16

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1101.1111)2 = (DF)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 72 an:

Lösung einblenden

Wir suchen alle Teiler von 72. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 72 ist, teilen wir 72 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 72 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 72, denn 72 = 1 ⋅ 72, also ist auch 72 ein Teiler.

2 ist Teiler von 72, denn 72 = 2 ⋅ 36, also ist auch 36 ein Teiler.

3 ist Teiler von 72, denn 72 = 3 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

4 ist Teiler von 72, denn 72 = 4 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 5 ⋅ 14 + 2.

6 ist Teiler von 72, denn 72 = 6 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 72, denn 72 = 7 ⋅ 10 + 2.

8 ist Teiler von 72, denn 72 = 8 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 9 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

Lösung einblenden

1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 4⬜.

Bei den 40er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 40, 44, 48 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 140, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 144, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 148, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 9 als Summe von zwei Primzahlen:

Lösung einblenden

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 9 bilden:

2 + 7 = 9, dabei ist 7 auch eine Primzahl

2 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 7 = 9

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 105 :

Lösung einblenden

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 105 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

105
= 3 ⋅ 35
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 56 und 15.

Lösung einblenden

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

56
= 2 ⋅ 28
= 2 ⋅ 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7

15
= 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 56 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 56 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 840 sind nun alle Primteiler von 56 und alle Primteiler von 15 enthalten. Also ist 840 ein Vielfaches von 56 und 15. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 56 oder 15 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 56 und 15 ist somit :
kgV(56,15) = 840

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 144 und 140.

Lösung einblenden

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

144
= 2 ⋅ 72
= 2 ⋅ 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

140
= 2 ⋅ 70
= 2 ⋅ 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 144 als auch 140 insgesamt 2 mal vor)

Da 2 ⋅ 2 = 4 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 4 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 144 und 140 ist somit :
ggT(144,140) = 4

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 86 und 50.

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 86 und 50

=>86 = 1⋅50 + 36
=>50 = 1⋅36 + 14
=>36 = 2⋅14 + 8
=>14 = 1⋅8 + 6
=>8 = 1⋅6 + 2
=>6 = 3⋅2 + 0

also gilt: ggt(86,50)=2