Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1101.1011)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1101.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 219
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.1011)2 = 219
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 148 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 148 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
148 = 128 + 20 = 128 + 16 + 4
= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 148 = (1001.0100)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 | ||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 |
negative Binärzahlen
Beispiel:
Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1001)2 = 105.
Bestimme -105 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0110.1001)2
zu (1001.0110)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0010.0000)2
zu (1101.1111)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0110.1000)2 und -b = (1110.0000)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0100.1000)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(101.1100)2 ⋅ (10.1010)2 =
Der zweite Faktor (10.1010)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | ||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
somit gilt:
(101.1100)2 ⋅ (10.1010)2 = 101.1100 ⋅ (10.0000 + 1000 + 10)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(101.1100)2 ⋅ (10.1010)2 = (1011.1000.0000)2 + (10.1110.0000)2 + (1011.1000)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | ||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (1111.0001.1000)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 92 ⋅ 42 = 3864)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(111.1000)2 : (1000)2 =
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | : | 1 | 0 | 0 | 0 | = | 1 | 1 | 1 | 1 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1111)2 - (1000)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 8 = 7
- Die obige Differenz (01110)2 - (1000)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 8 = 6
- Die obige Differenz (01100)2 - (1000)2 = (100)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 8 = 4
- Die obige Differenz (01000)2 - (1000)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 8 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 120 : 8 = 15)
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 105 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 105 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
105 = 64 + 41 = 64 + 32 + 9 = 64 + 32 + 8 + 1
= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 105 = (110.1001)2
Um die Zahl 105 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 105 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(110)2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16
(1001)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (110.1001)2 = (69)16
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100.0000)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 192
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.0000)2 = 192
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.0000)2 = (C0)16
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (77)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)2
(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0111)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (77)16 = (111.0111)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(111.0111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 119
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0111)2 = 119
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (16)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2
(6)16 = 6 = 4 + 2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0110)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (16)16 = (1.0110)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16= 22
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0110)2 = 22
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 60 an:
Wir suchen alle Teiler von 60. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 60 ist, teilen wir 60 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 60 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 60, denn 60 = 1 ⋅ 60, also ist auch 60 ein Teiler.
2 ist Teiler von 60, denn 60 = 2 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
3 ist Teiler von 60, denn 60 = 3 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.
4 ist Teiler von 60, denn 60 = 4 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
5 ist Teiler von 60, denn 60 = 5 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.
6 ist Teiler von 60, denn 60 = 6 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 60, denn 60 = 7 ⋅ 8 + 4.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8
= 64 > 60, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 60:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 106⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.
Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 1060, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1064, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 4 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1068, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 6 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 6 bilden:
2 + 4 = 6, dabei ist 4 aber keine Primzahl
3 + 3 = 6, dabei ist 3 auch eine Primzahl
3 und 3 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 3 = 6
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 120 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 42.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3(die 3 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 7(die 7 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 462 sind nun alle Primteiler von 77 und alle Primteiler von 42 enthalten. Also ist 462 ein Vielfaches von 77 und 42. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 77 oder 42 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 77 und 42 ist somit :
kgV(77,42) = 462
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 77 und 180.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
77
= 7 ⋅ 11
180
= 2 ⋅ 90
= 2 ⋅ 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 77 als auch in 180 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 180 ist somit :
ggT(77,180) = 1
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 80 und 38.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 80 und 38
| =>80 | = 2⋅38 + 4 |
| =>38 | = 9⋅4 + 2 |
| =>4 | = 2⋅2 + 0 |
also gilt: ggt(80,38)=2