Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.1100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 156

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.1100)₂ = 156

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 143 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

143 = 128 + 15
= 128 + 8 + 7
= 128 + 8 + 4 + 3
= 128 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 143 = (1000.1111)₂

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0101)₂
zu (1000.1010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.0111)₂
zu (1101.1000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

Jetzt können wir einfach a=(0100.0101)₂ und -b = (1101.1001)₂ addieren:

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.1110)₂

Der zweite Faktor (111.0000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

somit gilt:

(111.0001)₂ ⋅ (111.0000)₂ = 111.0001 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 1.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0001)₂ ⋅ (111.0000)₂ = (1.1100.0100.0000)₂ + (1110.0010.0000)₂ + (111.0001.0000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

Das Ergebnis ist somit: (11.0001.0111.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 113 ⋅ 112 = 12656)

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 204 : 12 = 17)

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 22 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

22 = 16 + 6
= 16 + 4 + 2

= 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 22 = (1.0110)₂

Um die Zahl 22 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 22 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0110)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0110)₂ = (16)₁₆

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.0110)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 230

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.0110)₂ = 230

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)₁₆

(0110)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.0110)₂ = (E6)₁₆

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(B)₁₆ = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)₂

(1)₁₆ = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (B1)₁₆ = (1011.0001)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.0001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 177

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.0001)₂ = 177

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 124

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1100)₂ = 124

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(111)₂ = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)₁₆

(1100)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (111.1100)₂ = (7C)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 21. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 21 ist, teilen wir 21 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 21 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 21, denn 21 = 1 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 2 ⋅ 10 + 1.

3 ist Teiler von 21, denn 21 = 3 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 4 ⋅ 5 + 1.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 21, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 21:
1, 3, 7, 21

1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.

Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1660, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 6 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1664, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 6 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1668, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 6 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 16 bilden:

2 + 14 = 16, dabei ist 14 aber keine Primzahl

3 + 13 = 16, dabei ist 13 auch eine Primzahl

3 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 13 = 16

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 80 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

80
= 2 ⋅ 40
= 2 ⋅ 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 54 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 54 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 15 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 270 sind nun alle Primteiler von 15 und alle Primteiler von 54 enthalten. Also ist 270 ein Vielfaches von 15 und 54. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 15 oder 54 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 54 ist somit :
kgV(15,54) = 270

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 54 als auch 165 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 = 3 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 3 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 54 und 165 ist somit :
ggT(54,165) = 3

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 96 und 20

also gilt: ggt(96,20)=4