= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+1}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{4+1}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{1+1}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{5}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{25}{4}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-25\right))$

= $\pi ·(5-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{4}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{5}{4}-1·\left(-\frac{25}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{4}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{4}+\frac{50}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{4}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{45}{4}$

= $\frac{45}{4}\pi$

≈ 35,343

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,4}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,4}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-45e^{\mathrm{0,4}x}+9x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+9\cdot 1-\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}{e}^0-45e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}-45+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}-\frac{180}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-1·\left(-\frac{135}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9+\frac{135}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+\frac{171}{4}\right)$

≈ 2,058