= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{3}$

= $\frac{19}{3}\pi$

≈ 19,897

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 2+1}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6+1}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{3+1}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{7}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{9}{2}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{7}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{14}-\frac{63}{14}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{57}{14}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{57}{14}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{117}{28}$

= $\frac{117}{28}\pi$

≈ 13,127

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+5}{x+1}-2$ = $\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+5-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{1+1}+\frac{9}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+\frac{9}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+9\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+9\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+\frac{18}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{2}$

= $\frac{9}{2}\pi$

≈ 14,137