= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{62}{3}$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+3}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-4-\left(4-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-\frac{28}{7}-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+12\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+\frac{84}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{72}{7}$

= $\frac{72}{7}\pi$

≈ 32,314

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 125-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·39$

= $39\pi$

≈ 122,522