= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1-\frac{1}{6}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+4\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+4\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+4\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+4\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 7}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-2-\left(\frac{4}{21}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{30}{15}-\left(\frac{4}{21}-\frac{84}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{28}{15}-1·\left(-\frac{80}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{28}{15}+\frac{80}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{68}{35}$

= $\frac{68}{35}\pi$

≈ 6,104

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3-3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(4+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 5^3}+\frac{3}{2\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{250}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{250}+\frac{375}{250}\right)$

= $\pi ·\frac{186}{125}$

= $\frac{186}{125}\pi$

≈ 4,675