= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2+4\cdot 2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{3}{2}\cdot 4+8-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}+6+8-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+\frac{18}{3}+\frac{24}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{50}{3}\right)$

= $\frac{50}{3}\pi$

≈ 52,36

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{21}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{441}{x^4}-\frac{441}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[49{\left(3x+4\right)}^{-3}-147x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{147}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{147}{3^3}-\left(\frac{49}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{147}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{\left(9+4\right)}^3}-147\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{49}{{\left(3+4\right)}^3}-147\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{13}^3}-\frac{49}{9}-\left(\frac{49}{7^3}-147\right))$

= $\pi ·(49\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{49}{9}-\left(49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{2197}-\frac{49}{9}-\left(\frac{1}{7}-147\right))$

= $\pi ·(\frac{441}{19773}-\frac{107653}{19773}-\left(\frac{1}{7}-\frac{1029}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{107212}{19773}-1·\left(-\frac{1028}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{107212}{19773}+\frac{1028}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{19576160}{138411}$

= $\frac{19576160}{138411}\pi$

≈ 444,331

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+28\right)$

≈ 4,851