= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{3}$

= $\frac{158}{3}\pi$

≈ 165,457

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+4\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(4+4\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+4\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{8^3}-\frac{3}{2}-\left(\frac{6}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{3}{2}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{256}-\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{36}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{256}-\frac{384}{256}-\left(\frac{1}{36}-\frac{432}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{381}{256}-1·\left(-\frac{431}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{381}{256}+\frac{431}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{24155}{2304}$

= $\frac{24155}{2304}\pi$

≈ 32,936

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+4-{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 7^3}+\frac{16}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3087}+\frac{1}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{12348}+\frac{343}{12348}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{1372}$

= $\frac{31}{1372}\pi$

≈ 0,071