= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,542

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{2+3}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-8-\left(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-8-\left(4-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-\frac{40}{5}-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{24}{5}+12\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{24}{5}+\frac{60}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{5}$

= $\frac{36}{5}\pi$

≈ 22,619

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+11}{x+3}-2$ = $\frac{2x+11}{x+3}-\frac{2\left(x+3\right)}{x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+11}{x+3}-\frac{2\left(x+3\right)}{x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+11-2x-6}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+3}+\frac{25}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{75}{12}+\frac{100}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{12}$

= $\frac{25}{12}\pi$

≈ 6,545