= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+x^2+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 3^4+3^2+3-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 81+9+3-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{405}{4}+9+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{405}{4}+\frac{36}{4}+\frac{12}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{453}{4}\right)$

= $\frac{453}{4}\pi$

≈ 355,785

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+2\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 8}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{25}{2}-\left(\frac{5}{3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{300}{24}-\left(\frac{5}{3}-\frac{75}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{275}{24}-1·\left(-\frac{70}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{275}{24}+\frac{70}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{95}{8}$

= $\frac{95}{8}\pi$

≈ 37,306

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717