= $\pi$ ${\left[\frac{3}{4}{x}^4+x^3+x^2\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1^4+1^3+1^2-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^4+0^3+0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1+1+1-\left(\frac{3}{4}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}+1+1-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{4}+\frac{4}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{11}{4}\right)$

= $\frac{11}{4}\pi$

≈ 8,639

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{3{\left(2\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3{\left(8+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{8}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3\cdot {10}^3}-\frac{1}{12}-\left(\frac{8}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{375}-\frac{1}{12}-\left(\frac{1}{24}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{1500}-\frac{125}{1500}-\left(\frac{1}{24}-\frac{128}{24}\right))$

= $\pi ·(-\frac{121}{1500}-1·\left(-\frac{127}{24}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{121}{1500}+\frac{127}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{5211}{1000}$

= $\frac{5211}{1000}\pi$

≈ 16,371

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{6x+9}{3x+3}-2$ = $\frac{6x+9}{3x+3}-\frac{2\left(3x+3\right)}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{6x+9}{3x+3}-\frac{2\left(3x+3\right)}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6x+9-6x-6}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 2+3}+\frac{3}{3\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6+3}+\frac{3}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{9}+\frac{3}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\pi$

≈ 2,094