= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-4}+\frac{9}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-4}+\frac{9}{2}\right)$

≈ 13,878

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 7^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{1029}-\frac{1}{12}-\left(\frac{1}{12}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{4116}-\frac{343}{4116}-\left(\frac{1}{12}-\frac{64}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{93}{1372}-1·\left(-\frac{21}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{1372}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{1372}+\frac{7203}{1372}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{1372}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3555}{686}$

= $\frac{3555}{686}\pi$

≈ 16,28

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·84$

= $84\pi$

≈ 263,894