= $\pi$ ${\left[-3e^{-x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-3e^{-1}+3e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-3e^{-1}+3\right)$

≈ 5,958

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(6+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{7^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{4}{9}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{343}-\frac{4}{9}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{3087}-\frac{1372}{3087}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1318}{3087}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1318}{3087}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{11680}{1029}$

= $\frac{11680}{1029}\pi$

≈ 35,66

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 64-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322