= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 0}+e^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-e^0+e^4\right)$

= $\pi ·\left(-1+e^4\right)$

= $\pi ·\left(e^4-1\right)$

≈ 168,384

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+2}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 4+2}-\frac{4}{4}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+2}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8+2}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{2+2}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{10}-1-\left(\frac{2}{4}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-1-\left(2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{5}-1-\left(\frac{1}{2}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{5}-\frac{5}{5}-\left(\frac{1}{2}-\frac{8}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4}{5}-1·\left(-\frac{7}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+\frac{7}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{10}$

= $\frac{27}{10}\pi$

≈ 8,482

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-20e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}+2-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(10e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(10-20+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+2-1·\left(-10\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+2+10\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+12\right)$

≈ 13,882