= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3+2x^2+5x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2+5\cdot 2-\left(\frac{4}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 8+2\cdot 4+10-\left(\frac{4}{3}\cdot 0+2\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3}+8+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+\frac{24}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{86}{3}\right)$

= $\frac{86}{3}\pi$

≈ 90,059

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+4\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 12}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{150}{24}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{125}{24}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{125}{24}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{425}{24}$

= $\frac{425}{24}\pi$

≈ 55,632

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+8}{x+4}-1$ = $\frac{x+8}{x+4}-\frac{x+4}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{x+8}{x+4}-\frac{x+4}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{x+8-x-4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+4}+\frac{16}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+\frac{16}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{7}+\frac{28}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{12}{7}$

= $\frac{12}{7}\pi$

≈ 5,386