= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 4+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(8+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {10}^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1000-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·156$

= $156\pi$

≈ 490,088

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+1}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3+1}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{1+1}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{25}{3}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{12}-\frac{100}{12}-\left(\frac{25}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25}{12}-1·\left(-\frac{25}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{150}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{125}{12}$

= $\frac{125}{12}\pi$

≈ 32,725

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047