= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+1\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+1\right)}+\frac{16}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 4}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·4$

= $4\pi$

≈ 12,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+4}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+4}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+4}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+4}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+4}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{10}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{6}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{5}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{15}-\frac{20}{15}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{17}{15}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{17}{15}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{38}{15}$

= $\frac{38}{15}\pi$

≈ 7,959

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-120e^{\mathrm{0,1}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}-120e^{\mathrm{0,1}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-120e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-120e^{\mathrm{0,3}}+12-\left(45e^0-120e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-120e^{\mathrm{0,3}}+12-\left(45-120+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-120e^{\mathrm{0,3}}+12-1·\left(-75\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-120e^{\mathrm{0,3}}+12+75\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-120e^{\mathrm{0,3}}+87\right)$

≈ 22,03