= $\pi$ ${\left[-2e^{-x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-1}+2e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-1}+2\right)$

≈ 3,972

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 4+3}-\frac{4}{4}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8+3}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-1-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-\frac{11}{11}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{11}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{11}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{153}{55}$

= $\frac{153}{55}\pi$

≈ 8,739

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+8+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+28\right)$

≈ 4,851