= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-6}+\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^{-2}-\frac{9}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 1,878

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 11}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{44}{33}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{40}{33}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{40}{33}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{416}{165}$

= $\frac{416}{165}\pi$

≈ 7,921

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{56}{3}$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643