= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 2}+e^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-8}+e^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(e^{-4}-e^{-8}\right)$

≈ 0,056

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+2}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+2}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{4}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(1-\frac{16}{3}-\left(2-16\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{3}-\frac{16}{3}-1·\left(-14\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{13}{3}+14\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{13}{3}+\frac{42}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{13}{3}+14\right)$

= $\pi ·\frac{29}{3}$

= $\frac{29}{3}\pi$

≈ 30,369

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e+3)$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+4+e)$

≈ 0,388