= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 5^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 125-\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{9}+\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·14$

= $14\pi$

≈ 43,982

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 4+4}-\frac{16}{4}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8+4}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{12}-4-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-4-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-4-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{3}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{3}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{34}{3}$

= $\frac{34}{3}\pi$

≈ 35,605

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+7}{x+1}-3$ = $\frac{3x+7}{x+1}-\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3x+7}{x+1}-\frac{3\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{1+1}+\frac{16}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{2}+\frac{16}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+16\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-8+16\right)$

= $\pi ·8$

= $8\pi$

≈ 25,133