= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(0+4\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-9\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{27}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{3}$

= $\frac{37}{3}\pi$

≈ 38,746

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(6+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{7^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{4}{9}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{343}-\frac{4}{9}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{3087}-\frac{1372}{3087}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1318}{3087}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1318}{3087}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{11680}{1029}$

= $\frac{11680}{1029}\pi$

≈ 35,66

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+13}{x+3}-3$ = $\frac{3x+13}{x+3}-\frac{3\left(x+3\right)}{x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+13}{x+3}-\frac{3\left(x+3\right)}{x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+13-3x-9}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+3}+\frac{16}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{6}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378