= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 0}+e^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-e^0+e^4\right)$

= $\pi ·\left(-1+e^4\right)$

= $\pi ·\left(e^4-1\right)$

≈ 168,384

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+3}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+3}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{12}{9}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{9}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{9}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{112}{45}$

= $\frac{112}{45}\pi$

≈ 7,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+4\right)}^2+3-{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(1+4\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{5^3}+\frac{3}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{125}+\frac{3}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{192}{8000}+\frac{375}{8000}\right)$

= $\pi ·\frac{183}{8000}$

= $\frac{183}{8000}\pi$

≈ 0,072