= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+5x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2+5\cdot 2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 8+2\cdot 4+10-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+2\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}+8+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+\frac{24}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{62}{3}\right)$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 2+1\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(4+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 5}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\cdot 3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{6}-25\right))$

= $\pi ·(-10-\left(\frac{25}{6}-\frac{150}{6}\right))$

= $\pi ·(-10-1·\left(-\frac{125}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-10+\frac{125}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{65}{6}$

= $\frac{65}{6}\pi$

≈ 34,034

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 6^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 216-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(36-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{108}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{104}{3}$

= $\frac{104}{3}\pi$

≈ 108,909