= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 4+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(12+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {14}^3-\frac{1}{9}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 2744-\frac{1}{9}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2744}{9}-\frac{125}{9}\right)$

= $\pi ·291$

= $291\pi$

≈ 914,203

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+3\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+3\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+3\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+3\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 9}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}-3-\left(\frac{9}{10}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}-\frac{6}{2}-\left(\frac{9}{10}-\frac{90}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{5}{2}-1·\left(-\frac{81}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{81}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{5}$

= $\frac{28}{5}\pi$

≈ 17,593

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+1\right)}^2+3-3{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(6+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 7^3}+\frac{3}{2\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{686}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{686}+\frac{1029}{686}\right)$

= $\pi ·\frac{513}{343}$

= $\frac{513}{343}\pi$

≈ 4,699