= $\pi$ ${\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 3^4+\frac{5}{3}\cdot 3^3+\frac{3}{2}\cdot 3^2-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{5}{3}\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 81+\frac{5}{3}\cdot 27+\frac{3}{2}\cdot 9-\left(\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{81}{4}+45+\frac{27}{2}-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{81}{4}+\frac{180}{4}+\frac{54}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{315}{4}\right)$

= $\frac{315}{4}\pi$

≈ 247,4

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 5^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{375}-\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{12}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{375}-\frac{250}{375}-\left(\frac{1}{12}-\frac{64}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{78}{125}-1·\left(-\frac{21}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{78}{125}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{312}{500}+\frac{2625}{500}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{78}{125}+\frac{21}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{500}$

= $\frac{2313}{500}\pi$

≈ 14,533

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-60e^{\mathrm{0,3}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15-60+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-1·\left(-45\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27+45\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+72\right)$

≈ 47,653