= $\pi$ ${\left[-\frac{512}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{512}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{512}{3{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}+\frac{512}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3{\left(6+2\right)}^3}+\frac{512}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3\cdot 8^3}+\frac{512}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{512}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{27}{4^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{6^3}-27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{27}{64}-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{8}-\frac{27}{64}-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{64}-\frac{27}{64}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{64}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{64}+\frac{1664}{64}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{64}$

= $\frac{1645}{64}\pi$

≈ 80,749

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{62}{3}$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926