= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·104$

= $104\pi$

≈ 326,726

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{108}{3^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(9+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{12}^3}-4-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-4-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-4-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{192}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{48}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{48}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{48}$

= $\frac{4985}{48}\pi$

≈ 326,267

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+6}{2x+1}-1$ = $\frac{2x+6}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+6}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+6-2x-1}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 2+1\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(4+1\right)}+\frac{25}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 5}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·10$

= $10\pi$

≈ 31,416