= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 1+3\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3+3\right)}+\frac{4}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 6}+\frac{4}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{9}$

= $\frac{2}{9}\pi$

≈ 0,698

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+4}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+4}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{10}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{5}-\frac{16}{3}-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{15}-\frac{80}{15}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{68}{15}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{68}{15}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{15}$

= $\frac{152}{15}\pi$

≈ 31,835

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3+3\right)$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+6\right)$

≈ 417,799