= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-8}+\frac{1}{4}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-8}+\frac{1}{4}\right)$

≈ 0,785

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 5^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{48}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{1}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{6000}-\frac{125}{6000}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{61}{6000}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7000}{6000}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{6000}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{2000}$

= $\frac{2313}{2000}\pi$

≈ 3,633

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+12}{2x+3}-3$ = $\frac{6x+12}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{6x+12}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{6x+12-6x-9}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+3\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2+3\right)}+\frac{9}{2\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 5}+\frac{9}{2\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{10}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{10}+\frac{15}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}\pi$

≈ 1,885