= $\pi$ ${\left[-384{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{384}{{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{384}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{384}{{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{384}{{\left(2+4\right)}^3}+\frac{384}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{384}{6^3}+\frac{384}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-384\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+384\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}+6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}+\frac{54}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{38}{9}$

= $\frac{38}{9}\pi$

≈ 13,265

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 2+4}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6+4}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{3+4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{9}{2}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-\frac{45}{10}-\left(\frac{3}{7}-\frac{63}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{21}{5}-1·\left(-\frac{60}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{5}+\frac{60}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{153}{35}$

= $\frac{153}{35}\pi$

≈ 13,733

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·147$

= $147\pi$

≈ 461,814