= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 3}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-9}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-9}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{9{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9{\left(12+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{25}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9\cdot {14}^3}-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{9\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24696}-\frac{25}{192}-\left(\frac{1}{45}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{197568}-\frac{25725}{197568}-\left(\frac{1}{45}-\frac{375}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{197568}-1·\left(-\frac{374}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{197568}+\frac{374}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{898047}{109760}$

= $\frac{898047}{109760}\pi$

≈ 25,704

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $3x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 1^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 1-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(3+0\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425