= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 2}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{2{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{27}{4^3}-\left(\frac{27}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2{\left(8+1\right)}^3}-27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{27}{2{\left(2+1\right)}^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2\cdot 9^3}-\frac{27}{64}-\left(\frac{27}{2\cdot 3^3}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{27}{64}-\left(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{54}-\frac{27}{64}-\left(\frac{1}{2}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{1728}-\frac{729}{1728}-\left(\frac{1}{2}-\frac{54}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{1728}-1·\left(-\frac{53}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{1728}+\frac{53}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{1728}$

= $\frac{45095}{1728}\pi$

≈ 81,985

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+16}{3x+4}-3$ = $\frac{9x+16}{3x+4}-\frac{3\left(3x+4\right)}{3x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{9x+16}{3x+4}-\frac{3\left(3x+4\right)}{3x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{9x+16-9x-12}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+4\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+4\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+4\right)}+\frac{16}{3\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 7}+\frac{16}{3\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{21}+\frac{28}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{7}$

= $\frac{4}{7}\pi$

≈ 1,795