= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 4}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-16}+\frac{1}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^{-4}-\frac{1}{4}{e}^{-16}\right)$

≈ 0,014

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{108}{3^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(9+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{12}^3}-4-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-4-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-4-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{192}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{48}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{48}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{48}$

= $\frac{4985}{48}\pi$

≈ 326,267

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+4}{2x+2}-1$ = $\frac{2x+4}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+4}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+4-2x-2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 1+2}+\frac{2}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{2+2}+\frac{2}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{4}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}\pi$

≈ 1,571