= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 2+1}+\frac{3}{3\cdot 0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6+1}+\frac{3}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{7}+\frac{3}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+3\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{7}+3\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{7}+\frac{21}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{18}{7}$

= $\frac{18}{7}\pi$

≈ 8,078

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{3+1}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-3-\left(9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-3-\left(\frac{9}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-\frac{12}{4}-\left(\frac{9}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3}{4}-1·\left(-\frac{9}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{18}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{4}$

= $\frac{15}{4}\pi$

≈ 11,781

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5-{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(4+1\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 5^3}+\frac{25}{6\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{25}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{30}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{30}+\frac{125}{30}\right)$

= $\pi ·\frac{62}{15}$

= $\frac{62}{15}\pi$

≈ 12,985