= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6}+\frac{3}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6}+\frac{3}{2}\right)$

≈ 4,701

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{4^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{9}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{4}{9}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{144}-\frac{64}{144}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{144}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{1512}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{144}$

= $\frac{1475}{144}\pi$

≈ 32,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-10e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 2}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 2}+2-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(5e^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(5-10+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2+5\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+7\right)$

≈ 29,876