= $\pi$ ${\left[-\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{64}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}+\frac{64}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{9\cdot 4^3}+\frac{64}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{64}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{9}+\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(3+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 7^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{1029}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{2700}{27783}-\frac{34300}{27783}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{31600}{27783}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{158000}{138915}+\frac{4593456}{138915}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4435456}{138915}$

= $\frac{4435456}{138915}\pi$

≈ 100,309

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+4}{{\left(x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+4}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+4}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+4-2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(1+3\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 4^3}+\frac{16}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{12}+\frac{16}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{324}+\frac{64}{324}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{324}$

= $\frac{37}{324}\pi$

≈ 0,359