= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-36\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{148}{3}$

= $\frac{148}{3}\pi$

≈ 154,985

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+2}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 2+2}-\frac{4}{2}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+2}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{4+2}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{2}{2+2}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6}-2-\left(\frac{2}{4}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-2-\left(2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-2-\left(\frac{1}{2}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-\frac{6}{3}-\left(\frac{1}{2}-\frac{8}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{5}{3}-1·\left(-\frac{7}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{3}+\frac{7}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{11}{6}$

= $\frac{11}{6}\pi$

≈ 5,76

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 4^3}+\frac{4}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{8}{48}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{48}$

= $\frac{7}{48}\pi$

≈ 0,458