= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+4\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 7^3-\frac{1}{3}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 343-\frac{1}{3}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{3}-\frac{125}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{218}{3}$

= $\frac{218}{3}\pi$

≈ 228,289

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{32}{3{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{32}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3{\left(6+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{32}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3\cdot 8^3}-\frac{64}{81}-\left(\frac{32}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{64}{81}-\left(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{64}{81}-\left(\frac{1}{6}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1296}-\frac{1024}{1296}-\left(\frac{1}{6}-\frac{128}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{997}{1296}-1·\left(-\frac{127}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{997}{1296}+\frac{127}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{26435}{1296}$

= $\frac{26435}{1296}\pi$

≈ 64,08

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189