= $\pi$ ${\left[-\frac{3136}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3136}{3{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3136}{3{\left(3+4\right)}^3}+\frac{3136}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3136}{3\cdot 7^3}+\frac{3136}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3136}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{3136}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21}+\frac{49}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21}+\frac{343}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{93}{7}$

= $\frac{93}{7}\pi$

≈ 41,738

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+3\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+3\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+3\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+3\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 11}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{22}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{10}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{18}{44}-\frac{99}{44}-\left(\frac{9}{10}-\frac{90}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{81}{44}-1·\left(-\frac{81}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{81}{44}+\frac{81}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{1377}{220}$

= $\frac{1377}{220}\pi$

≈ 19,664

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+11}{x+2}-3$ = $\frac{3x+11}{x+2}-\frac{3\left(x+2\right)}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+11}{x+2}-\frac{3\left(x+2\right)}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+11-3x-6}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3+2}+\frac{25}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{5}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-5+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{2}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{2}$

= $\frac{15}{2}\pi$

≈ 23,562