= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{49}{3}$

= $\frac{49}{3}\pi$

≈ 51,313

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{108}{2^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(6+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{9^3}-\frac{27}{2}-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{27}{2}-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{81}-\frac{27}{2}-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{162}-\frac{2187}{162}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2179}{162}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2179}{162}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7645}{81}$

= $\frac{7645}{81}\pi$

≈ 296,512

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+3-2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(6+3\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 9^3}+\frac{3}{2\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{1}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{27}{486}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{243}$

= $\frac{13}{243}\pi$

≈ 0,168