= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 4}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-24}+\frac{3}{2}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^{-6}-\frac{3}{2}{e}^{-24}\right)$

≈ 0,012

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+3}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+3}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{48}{9}-\left(\frac{8}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{40}{9}-1·\left(-\frac{72}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{40}{9}+\frac{72}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{448}{45}$

= $\frac{448}{45}\pi$

≈ 31,276

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097