= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {10}^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1000-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·156$

= $156\pi$

≈ 490,088

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(9+3\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+3\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{12}^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{16}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{16}{9}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{108}-\frac{16}{9}-\left(\frac{2}{27}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{108}-\frac{192}{108}-\left(\frac{2}{27}-\frac{1296}{27}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{108}-1·\left(-\frac{1294}{27}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{108}+\frac{1294}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{108}$

= $\frac{4985}{108}\pi$

≈ 145,008

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 2^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 8-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398