= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^0+\frac{2}{3}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}\right)$

≈ 842,845

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9{\left(9+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9\cdot {11}^3}-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{9\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{11979}-\frac{25}{81}-\left(\frac{1}{45}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{225}{107811}-\frac{33275}{107811}-\left(\frac{1}{45}-\frac{375}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33050}{107811}-1·\left(-\frac{374}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33050}{107811}+\frac{374}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{4314896}{539055}$

= $\frac{4314896}{539055}\pi$

≈ 25,147

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,4}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,4}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-45e^{\mathrm{0,4}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 3}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+27-\left(\frac{45}{4}{e}^0-45e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+27-\left(\frac{45}{4}-45+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+27-\left(\frac{45}{4}-\frac{180}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+27-1·\left(-\frac{135}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+27+\frac{135}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-45e^{\mathrm{1,2}}+\frac{243}{4}\right)$

≈ 111,072