= $\pi$ ${\left[-3e^{-x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-3e^{-3}+3e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-3e^{-3}+3\right)$

≈ 8,956

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{3}{3^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{5^3}-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{9}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{1}{9}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1125}-\frac{125}{1125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{98}{1125}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{3250}{1125}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{3152}{1125}$

= $\frac{3152}{1125}\pi$

≈ 8,802

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-24e^{\mathrm{0,5}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(9e^2-24e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(9e^0-24e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(9e^2-24e+8-\left(9-24e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^2-24e+8-\left(9-24+0\right))$

= $\pi ·(9e^2+8-24e-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(9e^2+8-24e+15\right)$

= $\pi ·\left(9e^2+23-24e\right)$

≈ 76,224