= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^0+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}\right)$

≈ 1896,401

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3+1}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{1+1}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{4}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{2}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{4}{3}-\left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-4\right))$

= $\pi ·(1-\frac{4}{3}-\left(2-4\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{3}-\frac{4}{3}-1·\left(-2\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{6}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{3}$

= $\frac{5}{3}\pi$

≈ 5,236

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-8e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(4e-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(4e^0-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(4e-8e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(4-8e^0+0\right))$

= $\pi ·(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e-\left(4-8+0\right))$

= $\pi ·(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e-1·\left(-4\right))$

= $\pi ·\left(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e+4\right)$

= $\pi ·\left(-8e^{\mathrm{0,5}}+5+4e\right)$

≈ 8,43