= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3+3}+\frac{25}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{50}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{6}$

= $\frac{25}{6}\pi$

≈ 13,09

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+4\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+4\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+4\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+4\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 10}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 6}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-3-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{60}{20}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{51}{20}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{51}{20}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{57}{10}$

= $\frac{57}{10}\pi$

≈ 17,907

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-40e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-40e^{\mathrm{0,2}}+4-\left(10e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-40e^{\mathrm{0,2}}+4-\left(10-40+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-40e^{\mathrm{0,2}}+4-1·\left(-30\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,4}}-40e^{\mathrm{0,2}}+4+30\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,4}}-40e^{\mathrm{0,2}}+34\right)$

≈ 0,195