= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-9\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{27}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{3}$

= $\frac{37}{3}\pi$

≈ 38,746

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{2+2}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{4}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-8-\left(16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(4-8-\left(\frac{16}{3}-16\right))$

= $\pi ·(-4-\left(\frac{16}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-4-1·\left(-\frac{32}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{3}+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{20}{3}$

= $\frac{20}{3}\pi$

≈ 20,944

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+11}{3x+2}-3$ = $\frac{9x+11}{3x+2}-\frac{3\left(3x+2\right)}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{9x+11}{3x+2}-\frac{3\left(3x+2\right)}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9x+11-9x-6}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 2+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(6+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 8}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{100}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{8}$

= $\frac{25}{8}\pi$

≈ 9,817