= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+4\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(72-9\right)$

= $\pi ·63$

= $63\pi$

≈ 197,92

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(12+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 13}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{39}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{156}-\frac{975}{156}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{875}{156}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{156}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{225}{13}$

= $\frac{225}{13}\pi$

≈ 54,374

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717