= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(4+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(72-9\right)$

= $\pi ·63$

= $63\pi$

≈ 197,92

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+4\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(8+4\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+4\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{12}^3}-\frac{3}{16}-\left(\frac{6}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{3}{16}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{288}-\frac{3}{16}-\left(\frac{1}{36}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{288}-\frac{54}{288}-\left(\frac{1}{36}-\frac{432}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{288}-1·\left(-\frac{431}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{288}+\frac{431}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{288}$

= $\frac{3395}{288}\pi$

≈ 37,034

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+5-3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(9+1\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot {10}^3}+\frac{25}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{25}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{360}+\frac{25}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{360}+\frac{1000}{360}\right)$

= $\pi ·\frac{111}{40}$

= $\frac{111}{40}\pi$

≈ 8,718