= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9{\left(9+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9\cdot {10}^3}-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{1125}-\frac{64}{81}-\left(\frac{1}{9}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{72}{10125}-\frac{8000}{10125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{192}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7928}{10125}-1·\left(-\frac{191}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7928}{10125}+\frac{191}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{206947}{10125}$

= $\frac{206947}{10125}\pi$

≈ 64,212

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189