= $\pi$ ${\left[-e^{-3x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-3\cdot 3}+e^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-9}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-9}+1\right)$

≈ 3,141

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 4+2\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(12+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 14}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{14}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{42}-\frac{25}{4}-\left(\frac{5}{3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{84}-\frac{525}{84}-\left(\frac{5}{3}-\frac{75}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{475}{84}-1·\left(-\frac{70}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{475}{84}+\frac{70}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{495}{28}$

= $\frac{495}{28}\pi$

≈ 55,539

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 5^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 125-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·13$

= $13\pi$

≈ 40,841