= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 1}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-2}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-2}+1\right)$

≈ 2,716

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(4+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{5^3}-\frac{3}{2}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{3}{2}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{125}-\frac{3}{2}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{250}-\frac{375}{250}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{363}{250}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{363}{250}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{23233}{2250}$

= $\frac{23233}{2250}\pi$

≈ 32,439

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+6}{x+2}-2$ = $\frac{2x+6}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+6}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+6-2x-4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{2+2}+\frac{4}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{4}+\frac{4}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+2\right)$

= $\pi ·1$

= $\pi$

≈ 3,142