= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-8}+\frac{1}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^4-\frac{1}{4}{e}^{-8}\right)$

≈ 42,881

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+4}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+4}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+4}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+4}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+4}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{10}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{6}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{5}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{15}-\frac{20}{15}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{17}{15}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{17}{15}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{38}{15}$

= $\frac{38}{15}\pi$

≈ 7,959

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+5}{{\left(2x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+5}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+5}{{\left(2x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+3\right)}^2+5-2{\left(2x+3\right)}^2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 5^3}+\frac{25}{6\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{30}+\frac{25}{162}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{810}+\frac{125}{810}\right)$

= $\pi ·\frac{49}{405}$

= $\frac{49}{405}\pi$

≈ 0,38