= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+1}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+1}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+1}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+1}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+1}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{3}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{21}-\frac{28}{21}-\left(\frac{2}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{22}{21}-1·\left(-\frac{10}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{22}{21}+\frac{10}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{16}{7}$

= $\frac{16}{7}\pi$

≈ 7,181

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-60e^{\mathrm{0,3}x}+9x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+9\cdot 2-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-\left(15e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-\left(15-60+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-1·\left(-45\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18+45\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+63\right)$

≈ 10,916