= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(4+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(72-9\right)$

= $\pi ·63$

= $63\pi$

≈ 197,92

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 4+2}-\frac{16}{4}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8+2}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{8}{2+2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{10}-4-\left(\frac{8}{4}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-4-\left(8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{5}-4-\left(2-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{5}-\frac{20}{5}-1·\left(-14\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+14\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+\frac{70}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+14\right)$

= $\pi ·\frac{54}{5}$

= $\frac{54}{5}\pi$

≈ 33,929

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+4-3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 7^3}+\frac{16}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3087}+\frac{1}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{12348}+\frac{343}{12348}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{1372}$

= $\frac{31}{1372}\pi$

≈ 0,071