= $\pi$ ${\left[-432{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{432}{{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{432}{{\left(1+3\right)}^3}+\frac{432}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{432}{4^3}+\frac{432}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-432\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+432\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{4}+16\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{4}+\frac{64}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{4}$

= $\frac{37}{4}\pi$

≈ 29,06

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(9+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 11}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{33}-\frac{25}{3}-\left(\frac{5}{3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{33}-\frac{275}{33}-\left(\frac{5}{3}-\frac{75}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{250}{33}-1·\left(-\frac{70}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{250}{33}+\frac{70}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{520}{33}$

= $\frac{520}{33}\pi$

≈ 49,504

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 1^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 1-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(3+0\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425