= $\pi$ ${\left[-\frac{512}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{512}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{512}{3{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}+\frac{512}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3{\left(6+2\right)}^3}+\frac{512}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3\cdot 8^3}+\frac{512}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{512}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{512}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+1\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(12+1\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+1\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 13}-4-\left(\frac{16}{3\cdot 4}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-4-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{39}-4-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{39}-\frac{156}{39}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{140}{39}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{140}{39}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{144}{13}$

= $\frac{144}{13}\pi$

≈ 34,799

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+12}{x+4}-2$ = $\frac{2x+12}{x+4}-\frac{2\left(x+4\right)}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+12}{x+4}-\frac{2\left(x+4\right)}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+12-2x-8}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+4}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{1+4}+\frac{16}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+\frac{16}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+\frac{20}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5}\pi$

≈ 2,513