= $\pi$ ${\left[\frac{2}{3}{x}^3+x^2+3x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{3}\cdot 3^3+3^2+3\cdot 3-\left(\frac{2}{3}\cdot 0^3+0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}\cdot 27+9+9-\left(\frac{2}{3}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(18+9+9-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·\left(36\right)$

= $36\pi$

≈ 113,097

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+4\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 10}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 7}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{21}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{75}{6}-\left(\frac{25}{21}-\frac{525}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{35}{3}-1·\left(-\frac{500}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{35}{3}+\frac{500}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{7}$

= $\frac{85}{7}\pi$

≈ 38,148

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+4}{x+1}-2$ = $\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+4-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{2+1}+\frac{4}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{4}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+4\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378