= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-36\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{148}{3}$

= $\frac{148}{3}\pi$

≈ 154,985

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(4+1\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{5^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{3}{16}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{125}-\frac{3}{16}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{192}{2000}-\frac{375}{2000}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{183}{2000}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21000}{2000}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{20817}{2000}$

= $\frac{20817}{2000}\pi$

≈ 32,699

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[20e^{\mathrm{0,2}x}-40e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}-40e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}+1-\left(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(20e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(20-40+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1+20\right)$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+21\right)$

≈ 3,837