Aufgabenbeispiele von Rotationskörper

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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 3 e -x soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 3 ( 3 e -x ) 2 x
= π 0 3 3 e -x x

= π [ -3 e -x ] 0 3

= π · ( -3 e -3 +3 e -0 )

= π · ( -3 e -3 +3 )


≈ 8,956

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x 2 und g(x)= 3 ( x +2 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 3 ( 3 x 2 ) 2 x - π 1 3 ( 3 ( x +2 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 3 ( ( 3 x 2 ) 2 - ( 3 ( x +2 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 3 ( 9 x 4 - 9 ( x +2 ) 4 ) x

= π 1 3 ( - 9 ( x +2 ) 4 + 9 x 4 ) x
= π 1 3 ( -9 ( x +2 ) -4 +9 x -4 ) x

= π [ 3 ( x +2 ) -3 -3 x -3 ] 1 3

= π [ 3 ( x +2 ) 3 - 3 x 3 ] 1 3

= π · ( 3 ( 3 +2 ) 3 - 3 3 3 - ( 3 ( 1 +2 ) 3 - 3 1 3 ) )

= π · ( 3 5 3 -3( 1 27 ) - ( 3 3 3 -31 ) )

= π · ( 3( 1 125 ) - 1 9 - ( 3( 1 27 ) -3 ) )

= π · ( 3 125 - 1 9 - ( 1 9 -3 ) )

= π · ( 27 1125 - 125 1125 - ( 1 9 - 27 9 ) )

= π · ( - 98 1125 -1 · ( - 26 9 ) )

= π · ( - 98 1125 + 26 9 )

= π · ( - 98 1125 + 3250 1125 )

= π · ( - 98 1125 + 26 9 )

= π · 3152 1125

= 3152 1125 π


≈ 8,802

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 3 e 0,5x und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = 3 e 0,5x -2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( 3 e 0,5x -2 ) 2 x

= π 0 2 ( 9 e x -12 e 0,5x +4 ) x

= π [ 9 e x -24 e 0,5x +4x ] 0 2

= π · ( 9 e 2 -24 e 0,52 +42 - ( 9 e 0 -24 e 0,50 +40 ) )

= π · ( 9 e 2 -24e +8 - ( 9 -24 e 0 +0) )

= π · ( 9 e 2 -24e +8 - ( 9 -24 +0) )

= π · ( 9 e 2 +8 -24e -1 · ( -15 ) )

= π · ( 9 e 2 +8 -24e +15 )

= π · ( 9 e 2 +23 -24e )


≈ 76,224