= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^0+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}\right)$

≈ 1896,401

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{6^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{3}{16}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{18}-\frac{3}{16}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{144}-\frac{27}{144}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{144}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{1664}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{144}$

= $\frac{1645}{144}\pi$

≈ 35,888

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071