= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 125-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·39$

= $39\pi$

≈ 122,522

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{64}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3\cdot 7^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{64}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{3}-\left(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1029}-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1029}-\frac{343}{1029}-1·\left(-21\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{343}+21\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{343}+\frac{7203}{343}\right)$

= $\pi ·\frac{7110}{343}$

= $\frac{7110}{343}\pi$

≈ 65,122

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,2}x}-20e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+2-\left(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+17\right)$

≈ 0,098