= $\pi$ ${\left[x^3+x^2+5x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(3^3+3^2+5\cdot 3-\left(0^3+0^2+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(27+9+15-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(27+9+15\right)$

= $\pi ·51$

= $51\pi$

≈ 160,221

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(9+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {11}^3}-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{11979}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{900}{107811}-\frac{133100}{107811}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{132200}{107811}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{132200}{107811}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{17259584}{539055}$

= $\frac{17259584}{539055}\pi$

≈ 100,588

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+5}{{\left(x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+4\right)}^2+5}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(x+4\right)}^2+5}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+4\right)}^2+5-{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5^3}+\frac{25}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{15}+\frac{25}{192}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{960}+\frac{125}{960}\right)$

= $\pi ·\frac{61}{960}$

= $\frac{61}{960}\pi$

≈ 0,2