= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 3}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-12}+\frac{1}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^{-4}-\frac{1}{4}{e}^{-12}\right)$

≈ 0,014

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 3+1}-\frac{9}{3}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{9+1}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{3+1}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-3-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-3-\left(3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-3-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{10}-\frac{30}{10}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{27}{10}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{10}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{111}{20}$

= $\frac{111}{20}\pi$

≈ 17,436

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+2-3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 2^3}+\frac{4}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}\pi$

≈ 3,665