= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 1+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{2+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{15}$

= $\frac{4}{15}\pi$

≈ 0,838

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+2\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 10}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{8}-25\right))$

= $\pi ·(-5-\left(\frac{25}{8}-\frac{200}{8}\right))$

= $\pi ·(-5-1·\left(-\frac{175}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-5+\frac{175}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{135}{8}$

= $\frac{135}{8}\pi$

≈ 53,014

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+3\right)}^2+2-{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot 6^3}+\frac{4}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{4}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{486}+\frac{8}{486}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{486}$

= $\frac{7}{486}\pi$

≈ 0,045