Aufgabenbeispiele von Rotationskörper

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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= 66 ( 3x +2 ) 2 soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 3 ( 66 ( 3x +2 ) 2 ) 2 x
= π 0 3 4356 ( 3x +2 ) 4 x
= π 0 3 4356 ( 3x +2 ) -4 x

= π [ -484 ( 3x +2 ) -3 ] 0 3

= π [ - 484 ( 3x +2 ) 3 ] 0 3

= π · ( - 484 ( 33 +2 ) 3 + 484 ( 30 +2 ) 3 )

= π · ( - 484 ( 9 +2 ) 3 + 484 ( 0 +2 ) 3 )

= π · ( - 484 11 3 + 484 2 3 )

= π · ( -484( 1 1331 ) +484( 1 8 ) )

= π · ( - 4 11 + 121 2 )

= π · ( - 8 22 + 1331 22 )

= π · 1323 22

= 1323 22 π


≈ 188,924

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 12 x 2 und g(x)= 12 ( 3x +3 ) 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,4] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 4 ( 12 x 2 ) 2 x - π 1 4 ( 12 ( 3x +3 ) 2 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 4 ( ( 12 x 2 ) 2 - ( 12 ( 3x +3 ) 2 ) 2 ) x

= π 1 4 ( 144 x 4 - 144 ( 3x +3 ) 4 ) x

= π 1 4 ( - 144 ( 3x +3 ) 4 + 144 x 4 ) x
= π 1 4 ( -144 ( 3x +3 ) -4 +144 x -4 ) x

= π [ 16 ( 3x +3 ) -3 -48 x -3 ] 1 4

= π [ 16 ( 3x +3 ) 3 - 48 x 3 ] 1 4

= π · ( 16 ( 34 +3 ) 3 - 48 4 3 - ( 16 ( 31 +3 ) 3 - 48 1 3 ) )

= π · ( 16 ( 12 +3 ) 3 -48( 1 64 ) - ( 16 ( 3 +3 ) 3 -481 ) )

= π · ( 16 15 3 - 3 4 - ( 16 6 3 -48 ) )

= π · ( 16( 1 3375 ) - 3 4 - ( 16( 1 216 ) -48 ) )

= π · ( 16 3375 - 3 4 - ( 2 27 -48 ) )

= π · ( 64 13500 - 10125 13500 - ( 2 27 - 1296 27 ) )

= π · ( - 10061 13500 -1 · ( - 1294 27 ) )

= π · ( - 10061 13500 + 1294 27 )

= π · 70771 1500

= 70771 1500 π


≈ 148,222

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +2 und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = x +2 -2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( x +2 -2 ) 2 x

= π 0 2 ( x ) 2 x
= π 0 2 x 2 x

= π [ 1 3 x 3 ] 0 2

= π · ( 1 3 2 3 - 1 3 0 3 )

= π · ( 1 3 8 - 1 3 0 )

= π · ( 8 3 +0 )

= π · ( 8 3 +0 )

= π · 8 3

= 8 3 π


≈ 8,378