= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+x^2\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 1^4+\frac{2}{3}\cdot 1^3+1^2-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+\frac{2}{3}\cdot 0^3+0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1+1-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}+\frac{2}{3}+1-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{15}{12}+\frac{8}{12}+\frac{12}{12}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{35}{12}\right)$

= $\frac{35}{12}\pi$

≈ 9,163

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+3\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 4+3\right)}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(12+3\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+3\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 15}-4-\left(\frac{16}{3\cdot 6}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{15}\right)-4-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{45}-4-\left(\frac{8}{9}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{45}-\frac{180}{45}-\left(\frac{8}{9}-\frac{144}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{164}{45}-1·\left(-\frac{136}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{164}{45}+\frac{136}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{172}{15}$

= $\frac{172}{15}\pi$

≈ 36,024

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+17}{x+4}-3$ = $\frac{3x+17}{x+4}-\frac{3\left(x+4\right)}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3x+17}{x+4}-\frac{3\left(x+4\right)}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3x+17-3x-12}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+4}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+4}+\frac{25}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{5}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-5+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{4}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{4}$

= $\frac{5}{4}\pi$

≈ 3,927