= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 0,995

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+1\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(9+1\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+1\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 10}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\cdot 4}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{15}-\frac{16}{3}-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{15}-\frac{80}{15}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{24}{5}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{24}{5}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{148}{15}$

= $\frac{148}{15}\pi$

≈ 30,997

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+1\right)}^2+2-2{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(9+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot {10}^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2250}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2250}+\frac{1000}{2250}\right)$

= $\pi ·\frac{111}{250}$

= $\frac{111}{250}\pi$

≈ 1,395