= $\pi$ ${\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+2x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{3}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{3}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}\cdot 16+\frac{3}{2}\cdot 4+4-\left(\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(4+6+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(14+0\right)$

= $\pi ·\left(14\right)$

= $14\pi$

≈ 43,982

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9{\left(6+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9\cdot 7^3}-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{9\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3087}-\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{36}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3087}-\frac{2058}{3087}-\left(\frac{1}{36}-\frac{192}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2042}{3087}-1·\left(-\frac{191}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2042}{3087}+\frac{191}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{19115}{4116}$

= $\frac{19115}{4116}\pi$

≈ 14,59

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-20e^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-20e^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-20e^{\mathrm{0,9}}+3-\left(15e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-20e^{\mathrm{0,9}}+3-\left(15-20+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-20e^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-20e^{\mathrm{0,9}}+3+5\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-20e^{\mathrm{0,9}}+8\right)$

≈ 155,674