= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(8+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 9^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 729-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{243}{2}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·117$

= $117\pi$

≈ 367,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(4+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{5^3}-\frac{3}{2}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{3}{2}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{125}-\frac{3}{2}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{250}-\frac{375}{250}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{363}{250}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{363}{250}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{23233}{2250}$

= $\frac{23233}{2250}\pi$

≈ 32,439

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+12}{3x+3}-3$ = $\frac{9x+12}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{9x+12}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9x+12-9x-9}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 2+3}+\frac{3}{3\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6+3}+\frac{3}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{9}+\frac{3}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\pi$

≈ 2,094