= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}\right)$

≈ 0,524

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{2+2}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{4}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-8-\left(16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(4-8-\left(\frac{16}{3}-16\right))$

= $\pi ·(-4-\left(\frac{16}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-4-1·\left(-\frac{32}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{3}+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{20}{3}$

= $\frac{20}{3}\pi$

≈ 20,944

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{4}\right)$

≈ 0,229