= $\pi$ ${\left[-e^{-x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-1}+e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-1}+1\right)$

≈ 1,986

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{2{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{27}{2^3}-\left(\frac{27}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2{\left(4+1\right)}^3}-27\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{27}{2{\left(2+1\right)}^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2\cdot 5^3}-\frac{27}{8}-\left(\frac{27}{2\cdot 3^3}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{27}{8}-\left(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{250}-\frac{27}{8}-\left(\frac{1}{2}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{108}{1000}-\frac{3375}{1000}-\left(\frac{1}{2}-\frac{54}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3267}{1000}-1·\left(-\frac{53}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3267}{1000}+\frac{53}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{23233}{1000}$

= $\frac{23233}{1000}\pi$

≈ 72,989

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-40e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10-40+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-1·\left(-30\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12+30\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+42\right)$

≈ 7,277