= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{49}{3}$

= $\frac{49}{3}\pi$

≈ 51,313

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(12+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {14}^3}-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6174}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{49392}-\frac{25725}{49392}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{49392}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{49392}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{898047}{27440}$

= $\frac{898047}{27440}\pi$

≈ 102,817

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(9e-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e-12e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e+3\right)$

= $\pi ·\left(-12e^{\mathrm{0,5}}+4+9e\right)$

≈ 27,269