= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 3}+2e^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-6}+2e^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(2e^{-2}-2e^{-6}\right)$

≈ 0,835

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{21}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{21}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{441}{x^4}-\frac{441}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[49{\left(3x+4\right)}^{-3}-147x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{147}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{{\left(3\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{147}{4^3}-\left(\frac{49}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{147}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{\left(12+4\right)}^3}-147\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{49}{{\left(3+4\right)}^3}-147\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{16}^3}-\frac{147}{64}-\left(\frac{49}{7^3}-147\right))$

= $\pi ·(49\cdot \left(\frac{1}{4096}\right)-\frac{147}{64}-\left(49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{4096}-\frac{147}{64}-\left(\frac{1}{7}-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{4096}-\frac{9408}{4096}-\left(\frac{1}{7}-\frac{1029}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9359}{4096}-1·\left(-\frac{1028}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9359}{4096}+\frac{1028}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{4145175}{28672}$

= $\frac{4145175}{28672}\pi$

≈ 454,187

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973