= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 3^3+\frac{5}{2}\cdot 3^2+3-\left(\frac{5}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 27+\frac{5}{2}\cdot 9+3-\left(\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(45+\frac{45}{2}+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{90}{2}+\frac{45}{2}+\frac{6}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{141}{2}\right)$

= $\frac{141}{2}\pi$

≈ 221,482

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{50}{3{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{50}{3{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{50}{3{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{50}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3\cdot 7^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{50}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{1029}-\frac{25}{6}-\left(\frac{2}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{2058}-\frac{8575}{2058}-\left(\frac{2}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2825}{686}-1·\left(-\frac{166}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2825}{686}+\frac{166}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{99751}{3430}$

= $\frac{99751}{3430}\pi$

≈ 91,364

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3+3\right)$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+6\right)$

≈ 417,799