Aufgabenbeispiele von Rotationskörper

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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= x +1 soll im Intervall [0,3] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 0 3 ( x +1 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +1 ) 3 ] 0 3

= π · ( 1 3 ( 3 +1 ) 3 - 1 3 ( 0 +1 ) 3 )

= π · ( 1 3 4 3 - 1 3 1 3 )

= π · ( 1 3 64 - 1 3 1 )

= π · ( 64 3 - 1 3 )

= π · 21

= 21π


≈ 65,973

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x und g(x)= 3 2x +1 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,3] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 3 ( 3 x ) 2 x - π 1 3 ( 3 2x +1 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 3 ( ( 3 x ) 2 - ( 3 2x +1 ) 2 ) x

= π 1 3 ( 9 x 2 - 9 ( 2x +1 ) 2 ) x

= π 1 3 ( - 9 ( 2x +1 ) 2 + 9 x 2 ) x
= π 1 3 ( -9 ( 2x +1 ) -2 +9 x -2 ) x

= π [ 9 2 ( 2x +1 ) -1 -9 x -1 ] 1 3

= π [ 9 2( 2x +1 ) - 9 x ] 1 3

= π · ( 9 2( 23 +1 ) - 9 3 - ( 9 2( 21 +1 ) - 9 1 ) )

= π · ( 9 2( 6 +1 ) -9( 1 3 ) - ( 9 2( 2 +1 ) -91 ) )

= π · ( 9 2 7 -3 - ( 9 2 3 -9 ) )

= π · ( 9 2 ( 1 7 ) -3 - ( 9 2 ( 1 3 ) -9 ) )

= π · ( 9 14 -3 - ( 3 2 -9 ) )

= π · ( 9 14 - 42 14 - ( 3 2 - 18 2 ) )

= π · ( - 33 14 -1 · ( - 15 2 ) )

= π · ( - 33 14 + 15 2 )

= π · 36 7

= 36 7 π


≈ 16,157

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= 3 ( x +3 ) 2 +3 ( x +3 ) 2 und der Geraden y = 3 rotiert im Intervall [0,2] um diese Gerade y = 3 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = 3 ( x +3 ) 2 +3 ( x +3 ) 2 -3 = 3 ( x +3 ) 2 +3 ( x +3 ) 2 - 3 ( x +3 ) 2 ( x +3 ) 2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 2 ( 3 ( x +3 ) 2 +3 ( x +3 ) 2 - 3 ( x +3 ) 2 ( x +3 ) 2 ) 2 x

= π 0 2 ( 3 ( x +3 ) 2 +3 -3 ( x +3 ) 2 ( x +3 ) 2 ) 2 x

= π 0 2 ( 3 ( x +3 ) 2 ) 2 x

= π 0 2 3 2 · 1 ( x +3 ) 4 x

= π 0 2 9 ( x +3 ) 4 x
= π 0 2 9 ( x +3 ) -4 x

= π [ -3 ( x +3 ) -3 ] 0 2

= π [ - 3 ( x +3 ) 3 ] 0 2

= π · ( - 3 ( 2 +3 ) 3 + 3 ( 0 +3 ) 3 )

= π · ( - 3 5 3 + 3 3 3 )

= π · ( -3( 1 125 ) +3( 1 27 ) )

= π · ( - 3 125 + 1 9 )

= π · ( - 27 1125 + 125 1125 )

= π · 98 1125

= 98 1125 π


≈ 0,274