= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 2}+2e^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-4}+2e^2\right)$

= $\pi ·\left(2e^2-2e^{-4}\right)$

≈ 46,312

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9{\left(6+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9\cdot 8^3}-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{9\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4608}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{45}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4608}-\frac{4800}{4608}-\left(\frac{1}{45}-\frac{375}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{4608}-1·\left(-\frac{374}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{4608}+\frac{374}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{55871}{7680}$

= $\frac{55871}{7680}\pi$

≈ 22,855

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e+3)$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+4+e)$

≈ 0,388