= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{3}$

= $\frac{19}{3}\pi$

≈ 19,897

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(3x+3\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{4}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{\left(9+3\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{4}{{\left(3+3\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{12}^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{4}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{4}{9}-\left(4\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{432}-\frac{4}{9}-\left(\frac{1}{54}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{432}-\frac{192}{432}-\left(\frac{1}{54}-\frac{648}{54}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{432}-1·\left(-\frac{647}{54}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{432}+\frac{647}{54}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{432}$

= $\frac{4985}{432}\pi$

≈ 36,252

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-24e^{\mathrm{0,5}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(9e^2-24e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(9e^0-24e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(9e^2-24e+8-\left(9-24e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^2-24e+8-\left(9-24+0\right))$

= $\pi ·(9e^2+8-24e-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(9e^2+8-24e+15\right)$

= $\pi ·\left(9e^2+23-24e\right)$

≈ 76,224