= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^0+\frac{1}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}\right)$

≈ 10,036

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 4+3\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(12+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 15}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{15}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{9}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{36}-\frac{225}{36}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{205}{36}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{205}{36}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{215}{12}$

= $\frac{215}{12}\pi$

≈ 56,287

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33