= $\pi$ ${\left[-150{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{150}{{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{150}{{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{150}{{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{150}{{\left(2+3\right)}^3}+\frac{150}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{150}{5^3}+\frac{150}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-150\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+150\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{50}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{54}{45}+\frac{250}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{196}{45}$

= $\frac{196}{45}\pi$

≈ 13,683

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{2{\left(2\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{75}{2{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2{\left(8+3\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{75}{2{\left(2+3\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2\cdot {11}^3}-\frac{75}{64}-\left(\frac{75}{2\cdot 5^3}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{75}{64}-\left(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2662}-\frac{75}{64}-\left(\frac{3}{10}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{2400}{85184}-\frac{99825}{85184}-\left(\frac{3}{10}-\frac{750}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{97425}{85184}-1·\left(-\frac{747}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{97425}{85184}+\frac{747}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{31329099}{425920}$

= $\frac{31329099}{425920}\pi$

≈ 231,084

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,2}x}-20e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}+1-\left(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}}-20e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}}-20e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}}-20e^{\mathrm{0,1}}+1-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,2}}-20e^{\mathrm{0,1}}+1+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,2}}-20e^{\mathrm{0,1}}+16\right)$

≈ 0,011