= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3+2}+\frac{25}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{5}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-5+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{2}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{2}$

= $\frac{15}{2}\pi$

≈ 23,562

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{7}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{7}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{49}{x^4}-\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{49}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{49}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{9{\left(3\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{49}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9{\left(12+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{49}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9\cdot {16}^3}-\frac{49}{192}-\left(\frac{49}{9\cdot 7^3}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{4096}\right)-\frac{49}{192}-\left(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{36864}-\frac{49}{192}-\left(\frac{1}{63}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{36864}-\frac{9408}{36864}-\left(\frac{1}{63}-\frac{1029}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9359}{36864}-1·\left(-\frac{1028}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9359}{36864}+\frac{1028}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{460575}{28672}$

= $\frac{460575}{28672}\pi$

≈ 50,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+8\right)$

≈ 5,295