= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 2}+2e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-4}+2e^0\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-4}+2\right)$

≈ 6,168

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(3+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 4^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{81}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{4}{81}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1296}-\frac{64}{1296}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{1296}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{1512}{1296}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{1296}$

= $\frac{1475}{1296}\pi$

≈ 3,576

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+\frac{17}{2}\right)$

≈ 0,049