= $\pi$ ${\left[x^4+x^3+3x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(1^4+1^3+3\cdot 1-\left(0^4+0^3+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(1+1+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(1+1+3\right)$

= $\pi ·5$

= $5\pi$

≈ 15,708

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{5^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{4}{9}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{125}-\frac{4}{9}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{108}{1125}-\frac{500}{1125}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{392}{1125}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{13000}{1125}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{12608}{1125}$

= $\frac{12608}{1125}\pi$

≈ 35,208

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+10}{2x+2}-3$ = $\frac{6x+10}{2x+2}-\frac{3\left(2x+2\right)}{2x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{6x+10}{2x+2}-\frac{3\left(2x+2\right)}{2x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6x+10-6x-6}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+2}+\frac{8}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+2}+\frac{8}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{8}+\frac{8}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+4\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425