= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{3}{3^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(6+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 7^3}-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{686}-\frac{1}{9}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{6174}-\frac{686}{6174}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{659}{6174}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{659}{6174}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{2920}{1029}$

= $\frac{2920}{1029}\pi$

≈ 8,915

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[20e^{\mathrm{0,2}x}-40e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}-40e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}+1-\left(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(20e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-\left(20-40+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+1+20\right)$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,2}}-40e^{\mathrm{0,1}}+21\right)$

≈ 3,837