= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 3+2\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(9+2\right)}+\frac{4}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 11}+\frac{4}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{33}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{33}+\frac{22}{33}\right)$

= $\pi ·\frac{6}{11}$

= $\frac{6}{11}\pi$

≈ 1,714

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(4+4\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{8^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{64}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{75}{64}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{600}{512}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{525}{512}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2625}{2560}+\frac{190464}{2560}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{187839}{2560}$

= $\frac{187839}{2560}\pi$

≈ 230,513

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+11}{3x+3}-3$ = $\frac{9x+11}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{9x+11}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9x+11-9x-9}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 2+3\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(6+3\right)}+\frac{4}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 9}+\frac{4}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{27}+\frac{12}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{27}$

= $\frac{8}{27}\pi$

≈ 0,931