= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(0+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{3}$

= $\frac{19}{3}\pi$

≈ 19,897

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(3+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 4^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{81}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{4}{81}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1296}-\frac{64}{1296}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{1296}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{1512}{1296}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{1296}$

= $\frac{1475}{1296}\pi$

≈ 3,576

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{4x+10}{2x+3}-2$ = $\frac{4x+10}{2x+3}-\frac{2\left(2x+3\right)}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{4x+10}{2x+3}-\frac{2\left(2x+3\right)}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4x+10-4x-6}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+3}+\frac{8}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+3}+\frac{8}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{24}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{16}{9}$

= $\frac{16}{9}\pi$

≈ 5,585