= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 1901,102

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+4\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 12}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{24}-\frac{150}{24}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{125}{24}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{125}{24}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{425}{24}$

= $\frac{425}{24}\pi$

≈ 55,632

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+7}{3x+2}-1$ = $\frac{3x+7}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+7}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 3+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(9+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 11}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{33}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{50}{66}+\frac{275}{66}\right)$

= $\pi ·\frac{75}{22}$

= $\frac{75}{22}\pi$

≈ 10,71