= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 3}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-9}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-9}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{3}{4^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6^3}-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{3}{64}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{3}{64}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{576}-\frac{27}{576}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{576}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{1664}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{576}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{576}$

= $\frac{1645}{576}\pi$

≈ 8,972

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 2^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 8-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398