= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 1}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4}+\frac{9}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^4-\frac{9}{4}{e}^{-4}\right)$

≈ 385,802

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{3+4}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{5}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-3-\left(9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-3-\left(\frac{9}{5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-\frac{21}{7}-\left(\frac{9}{5}-\frac{45}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{12}{7}-1·\left(-\frac{36}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+\frac{36}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{60}{35}+\frac{252}{35}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+\frac{36}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{192}{35}$

= $\frac{192}{35}\pi$

≈ 17,234

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33