= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2}+\frac{9}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^2-\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

≈ 102,547

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+4\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 4+4\right)}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(12+4\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+4\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 16}-4-\left(\frac{16}{3\cdot 7}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)-4-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-4-\left(\frac{16}{21}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{16}{21}-\frac{336}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{3}-1·\left(-\frac{320}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{3}+\frac{320}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{7}$

= $\frac{81}{7}\pi$

≈ 36,353

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-36e^{\mathrm{0,5}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(9e^3-36e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(9e^0-36e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(9e^3-36e^{\mathrm{1,5}}+27-\left(9-36e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-36e^{\mathrm{1,5}}+27-\left(9-36+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-36e^{\mathrm{1,5}}+27-1·\left(-27\right))$

= $\pi ·\left(9e^3-36e^{\mathrm{1,5}}+27+27\right)$

= $\pi ·\left(9e^3-36e^{\mathrm{1,5}}+54\right)$

≈ 230,684