= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 4}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-8}+\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^{-2}-\frac{9}{2}{e}^{-8}\right)$

≈ 1,909

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(2+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 6^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{675}{648}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{324}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1625}{1620}+\frac{13392}{1620}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{11767}{1620}$

= $\frac{11767}{1620}\pi$

≈ 22,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071