= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 2+3\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(6+3\right)}+\frac{4}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 9}+\frac{4}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{27}+\frac{12}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{27}$

= $\frac{8}{27}\pi$

≈ 0,931

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+2\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+2\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+2\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+2\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 10}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{8}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{45}{20}-\left(\frac{9}{8}-\frac{72}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{5}-1·\left(-\frac{63}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{63}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{243}{40}$

= $\frac{243}{40}\pi$

≈ 19,085

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717