= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-8}+\frac{1}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^{-4}-\frac{1}{4}{e}^{-8}\right)$

≈ 0,014

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(12+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 13}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{39}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{156}-\frac{975}{156}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{875}{156}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{156}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{225}{13}$

= $\frac{225}{13}\pi$

≈ 54,374

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+6}{2x+1}-1$ = $\frac{2x+6}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+6}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+6-2x-1}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 2+1\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(4+1\right)}+\frac{25}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 5}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·10$

= $10\pi$

≈ 31,416