= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 64-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+3\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+3\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+3\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+3\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 15}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 6}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{15}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{45}-1-\left(\frac{2}{9}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{45}-\frac{45}{45}-\left(\frac{2}{9}-\frac{36}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{41}{45}-1·\left(-\frac{34}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{41}{45}+\frac{34}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{43}{15}$

= $\frac{43}{15}\pi$

≈ 9,006

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(9+0\right)$

= $\pi ·9$

= $9\pi$

≈ 28,274