= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+4\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 2+4\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(6+4\right)}+\frac{4}{3\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 10}+\frac{4}{3\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{15}+\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{15}+\frac{5}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{5}$

= $\frac{1}{5}\pi$

≈ 0,628

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+3}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-4-\left(4-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-\frac{28}{7}-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+12\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+\frac{84}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{72}{7}$

= $\frac{72}{7}\pi$

≈ 32,314

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-20e^{\mathrm{0,4}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+4-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+4-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+4-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+4+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,8}}-20e^{\mathrm{0,4}}+19\right)$

≈ 0,915