= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,089

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{108}{4^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(12+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{15}^3}-\frac{27}{16}-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{3375}\right)-\frac{27}{16}-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{27}{16}-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{6000}-\frac{10125}{6000}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10061}{6000}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10061}{6000}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{212313}{2000}$

= $\frac{212313}{2000}\pi$

≈ 333,5

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·38$

= $38\pi$

≈ 119,381