= $\pi$ ${\left[-1728{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1728}{{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1728}{{\left(2+4\right)}^3}+\frac{1728}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1728}{6^3}+\frac{1728}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-1728\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+1728\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-8+27\right)$

= $\pi ·19$

= $19\pi$

≈ 59,69

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+1}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3+1}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{1+1}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{25}{3}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{12}-\frac{100}{12}-\left(\frac{25}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25}{12}-1·\left(-\frac{25}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{150}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{125}{12}$

= $\frac{125}{12}\pi$

≈ 32,725

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+4}{{\left(3x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+4}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+4}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+1\right)}^2+4-3{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3+1\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot 4^3}+\frac{16}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{16}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{36}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{36}+\frac{64}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4}\pi$

≈ 5,498