= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(2\cdot 3+1\right)}+\frac{9}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\left(6+1\right)}+\frac{9}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2\cdot 7}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{14}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{14}+\frac{63}{14}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{7}$

= $\frac{27}{7}\pi$

≈ 12,118

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 3+4}-\frac{9}{3}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{9+4}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{3+4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-3-\left(3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-\frac{39}{13}-\left(\frac{3}{7}-\frac{63}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{36}{13}-1·\left(-\frac{60}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{13}+\frac{60}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{528}{91}$

= $\frac{528}{91}\pi$

≈ 18,228

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·38$

= $38\pi$

≈ 119,381