= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{125}{9}\right)$

= $\pi ·134$

= $134\pi$

≈ 420,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 4+2}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{12+2}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{3}{3+2}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{14}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{5}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{14}\right)-\frac{9}{4}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{14}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{28}-\frac{63}{28}-\left(\frac{3}{5}-\frac{45}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{57}{28}-1·\left(-\frac{42}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{57}{28}+\frac{42}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{891}{140}$

= $\frac{891}{140}\pi$

≈ 19,994

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+2\right)}^2+2-{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(6+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3\cdot 8^3}+\frac{2}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{768}+\frac{1}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{768}+\frac{64}{768}\right)$

= $\pi ·\frac{21}{256}$

= $\frac{21}{256}\pi$

≈ 0,258