= $\pi$ ${\left[\frac{3}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1^4+\frac{2}{3}\cdot 1^3+\frac{5}{2}\cdot 1^2-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^4+\frac{2}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{5}{2}\cdot 1-\left(\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}+\frac{5}{2}-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}+\frac{30}{12}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{47}{12}\right)$

= $\frac{47}{12}\pi$

≈ 12,305

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(2+1\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{3^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{3}{2}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{9}-\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{18}-\frac{27}{18}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{18}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{189}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{9}$

= $\frac{85}{9}\pi$

≈ 29,671

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469