= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+1}+\frac{2}{2\cdot 0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+1}+\frac{2}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{7}+\frac{2}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+2\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{7}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{7}+\frac{14}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{12}{7}$

= $\frac{12}{7}\pi$

≈ 5,386

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+4}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 2+4}-\frac{4}{2}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+4}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{4+4}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{2}{2+4}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8}-2-\left(\frac{2}{6}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-2-\left(2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}-2-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}-\frac{8}{4}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7}{4}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7}{4}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{23}{12}$

= $\frac{23}{12}\pi$

≈ 6,021

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $2x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 2^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{32}{3}$

= $\frac{32}{3}\pi$

≈ 33,51