= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 4}+e^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-16}+e^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(e^{-4}-e^{-16}\right)$

≈ 0,058

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 2+2}-\frac{16}{2}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{4+2}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{8}{2+2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6}-8-\left(\frac{8}{4}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-8-\left(8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-8-\left(2-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-\frac{24}{3}-1·\left(-14\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+14\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+\frac{42}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+14\right)$

= $\pi ·\frac{22}{3}$

= $\frac{22}{3}\pi$

≈ 23,038

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,2}x}-20e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+2-\left(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+17\right)$

≈ 0,098