= $\pi$ ${\left[x^4+\frac{2}{3}{x}^3+3x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(1^4+\frac{2}{3}\cdot 1^3+3\cdot 1-\left(0^4+\frac{2}{3}\cdot 0^3+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(1+\frac{2}{3}\cdot 1+3-\left(0+\frac{2}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(1+\frac{2}{3}+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3}+\frac{9}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{14}{3}\right)$

= $\frac{14}{3}\pi$

≈ 14,661

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+1\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+1\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+1\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+1\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 7}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 3}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-3-\left(\frac{3}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-\frac{42}{14}-\left(\frac{3}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33}{14}-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33}{14}+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{7}$

= $\frac{36}{7}\pi$

≈ 16,157

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+7}{3x+3}-1$ = $\frac{3x+7}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+7}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 3+3\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(9+3\right)}+\frac{16}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 12}+\frac{16}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189