= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+1\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+1\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+1\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+1\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 7}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 3}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-3-\left(\frac{3}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-\frac{42}{14}-\left(\frac{3}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33}{14}-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33}{14}+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{7}$

= $\frac{36}{7}\pi$

≈ 16,157

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+3-3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(2+3\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{5^3}+\frac{3}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{125}+\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{1125}+\frac{125}{1125}\right)$

= $\pi ·\frac{98}{1125}$

= $\frac{98}{1125}\pi$

≈ 0,274