= $\pi$ ${\left[-1600{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1600}{{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1600}{{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{1600}{{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1600}{{\left(6+4\right)}^3}+\frac{1600}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1600}{{10}^3}+\frac{1600}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-1600\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+1600\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{5}+25\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{5}+\frac{125}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{117}{5}$

= $\frac{117}{5}\pi$

≈ 73,513

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+4}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{8}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{5}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(2-4-\left(\frac{16}{5}-16\right))$

= $\pi ·(-2-\left(\frac{16}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-2-1·\left(-\frac{64}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-2+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{5}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-2+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{54}{5}$

= $\frac{54}{5}\pi$

≈ 33,929

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 2}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 2}+2-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+2-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+2+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{1,6}}-5e^{\mathrm{0,8}}+\frac{23}{4}\right)$

≈ 2,556