= $\pi$ ${\left[x^4+\frac{5}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(3^4+\frac{5}{3}\cdot 3^3+\frac{5}{2}\cdot 3^2-\left(0^4+\frac{5}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(81+\frac{5}{3}\cdot 27+\frac{5}{2}\cdot 9-\left(0+\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(81+45+\frac{45}{2}-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{162}{2}+\frac{90}{2}+\frac{45}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{297}{2}\right)$

= $\frac{297}{2}\pi$

≈ 466,527

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+4}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+4}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{10}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{5}-\frac{16}{3}-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{15}-\frac{80}{15}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{68}{15}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{68}{15}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{15}$

= $\frac{152}{15}\pi$

≈ 31,835

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+4}{x+1}-2$ = $\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+4-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{1+1}+\frac{4}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{2}+\frac{4}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-2+4\right)$

= $\pi ·2$

= $2\pi$

≈ 6,283