= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(8+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 9^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 729-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{243}{2}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·117$

= $117\pi$

≈ 367,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+3}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 2+3}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+3}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6+3}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{3+3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{9}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{6}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{9}{2}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-\frac{9}{2}-\left(\frac{1}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6}-\frac{27}{6}-\left(\frac{1}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25}{6}-1·\left(-\frac{17}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{17}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{3}$

= $\frac{13}{3}\pi$

≈ 13,614

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(e^3-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e^3-4e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(e^3-4e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(e^3-4e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(e^3-4e^{\mathrm{1,5}}+3+3\right)$

= $\pi ·\left(e^3-4e^{\mathrm{1,5}}+6\right)$

≈ 25,632