= $\pi$ ${\left[-192{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{192}{{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{192}{{\left(1+3\right)}^3}+\frac{192}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{192}{4^3}+\frac{192}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-192\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+192\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-3+\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{9}+\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{9}$

= $\frac{37}{9}\pi$

≈ 12,915

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 7}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{21}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{42}-\frac{525}{42}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{475}{42}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{475}{42}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{28}$

= $\frac{325}{28}\pi$

≈ 36,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+5}{x+2}-1$ = $\frac{x+5}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{x+5}{x+2}-\frac{x+2}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{x+5-x-2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{3+2}+\frac{9}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{18}{10}+\frac{45}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{10}$

= $\frac{27}{10}\pi$

≈ 8,482