= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 4}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-8}+\frac{1}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}{e}^{-2}-\frac{1}{2}{e}^{-8}\right)$

≈ 0,212

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+4}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2+4}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{1+4}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{5}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-\frac{25}{2}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}-\frac{25}{2}-\left(5-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}-\frac{75}{6}-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+20\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+\frac{60}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{35}{3}$

= $\frac{35}{3}\pi$

≈ 36,652

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973