= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+4\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 2+4\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(6+4\right)}+\frac{16}{3\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 10}+\frac{16}{3\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{15}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{15}+\frac{20}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5}\pi$

≈ 2,513

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+2\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 14}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{14}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{21}-1-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{21}-\frac{21}{21}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{21}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{21}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{99}{35}$

= $\frac{99}{35}\pi$

≈ 8,886

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+12+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+32\right)$

≈ 21,179