= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{1}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1+4-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{8}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(5\right)$

= $5\pi$

≈ 15,708

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+4\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+4\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+4\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+4\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 16}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 7}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{12}-1-\left(\frac{4}{21}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{12}-\frac{12}{12}-\left(\frac{4}{21}-\frac{84}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{12}-1·\left(-\frac{80}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{12}+\frac{80}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{28}$

= $\frac{81}{28}\pi$

≈ 9,088

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378