= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+2\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+2\right)}+\frac{16}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 5}+\frac{16}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{15}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{15}+\frac{40}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{5}$

= $\frac{8}{5}\pi$

≈ 5,027

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2+1}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{3}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{2}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\frac{9}{2}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-9\right))$

= $\pi ·(3-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{2}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3}{2}-1·\left(-\frac{9}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(e^2-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}+2-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e^2-4e+2-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(e^2-4e+2-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(e^2+2-4e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(e^2+2-4e+3\right)$

= $\pi ·\left(e^2+5-4e\right)$

≈ 4,762