= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 2+1\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(6+1\right)}+\frac{25}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 7}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+\frac{25}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{21}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{21}+\frac{175}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{50}{7}$

= $\frac{50}{7}\pi$

≈ 22,44

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+4\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 2+4\right)}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(4+4\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+4\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 8}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\cdot 6}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{16}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{16}-\frac{72}{16}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{63}{16}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{63}{16}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{69}{16}$

= $\frac{69}{16}\pi$

≈ 13,548

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{56}{3}$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643