= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2+4\cdot 2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 8+2\cdot 4+8-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+2\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}+8+8-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+\frac{24}{3}+\frac{24}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{56}{3}\right)$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3{\left(2+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 6^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{3\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{15}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{648}-\frac{675}{648}-\left(\frac{1}{15}-\frac{125}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{324}-1·\left(-\frac{124}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1625}{1620}+\frac{13392}{1620}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{324}+\frac{124}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{11767}{1620}$

= $\frac{11767}{1620}\pi$

≈ 22,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-16e^{\mathrm{0,5}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(4e^0-16e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-\left(4-16e^0+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-\left(4-16+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12+12\right)$

= $\pi ·\left(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+24\right)$

≈ 102,526