= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 1}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-2}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-2}+1\right)$

≈ 2,716

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+2\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 10}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{8}-25\right))$

= $\pi ·(-5-\left(\frac{25}{8}-\frac{200}{8}\right))$

= $\pi ·(-5-1·\left(-\frac{175}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-5+\frac{175}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{135}{8}$

= $\frac{135}{8}\pi$

≈ 53,014

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+4-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{80}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+4-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+4-\left(\frac{20}{3}-\frac{80}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+4-1·\left(-20\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+4+20\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{80}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+24\right)$

≈ 0,475