= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+1}+\frac{25}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}+\frac{25}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+25\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}+25\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}+\frac{50}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{2}$

= $\frac{25}{2}\pi$

≈ 39,27

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+2\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+2\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+2\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+2\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 8}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{16}-3-\left(\frac{9}{8}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{16}-\frac{48}{16}-\left(\frac{9}{8}-\frac{72}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{39}{16}-1·\left(-\frac{63}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{39}{16}+\frac{63}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{87}{16}$

= $\frac{87}{16}\pi$

≈ 17,082

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·147$

= $147\pi$

≈ 461,814