= $\pi$ ${\left[-\frac{49}{6}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{49}{6{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{49}{6{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{49}{6{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{6{\left(6+1\right)}^3}+\frac{49}{6{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{6\cdot 7^3}+\frac{49}{6\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{6}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{49}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{42}+\frac{49}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{42}+\frac{343}{42}\right)$

= $\pi ·\frac{57}{7}$

= $\frac{57}{7}\pi$

≈ 25,582

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+2\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(6+2\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+2\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{8^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{24}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{16}{9}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{16}{9}-\left(\frac{3}{8}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{576}-\frac{1024}{576}-\left(\frac{3}{8}-\frac{384}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{997}{576}-1·\left(-\frac{381}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{997}{576}+\frac{381}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{26435}{576}$

= $\frac{26435}{576}\pi$

≈ 144,181

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 2}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}+2-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+2+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{2}\right)$

≈ 0,457