= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{4}{3}{x}^3+5x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 2^4+\frac{4}{3}\cdot 2^3+5\cdot 2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{4}{3}\cdot 0^3+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 16+\frac{4}{3}\cdot 8+10-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{4}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(8+\frac{32}{3}+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{24}{3}+\frac{32}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{86}{3}\right)$

= $\frac{86}{3}\pi$

≈ 90,059

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[48{\left(x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{48}{{\left(x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{48}{{\left(3+3\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{48}{{\left(1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{6^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{48}{4^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(48\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{16}{9}-\left(48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{16}{9}-\left(\frac{3}{4}-48\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{9}-\left(\frac{3}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{9}-1·\left(-\frac{189}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{9}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{56}{36}+\frac{1701}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{9}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{36}$

= $\frac{1645}{36}\pi$

≈ 143,553

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+4}{3x+2}-1$ = $\frac{3x+4}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+4}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+4-3x-2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 3+2\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(9+2\right)}+\frac{4}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 11}+\frac{4}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{33}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{33}+\frac{22}{33}\right)$

= $\pi ·\frac{6}{11}$

= $\frac{6}{11}\pi$

≈ 1,714