= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-36\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{148}{3}$

= $\frac{148}{3}\pi$

≈ 154,985

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{20}{15}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{6}{5}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{15}$

= $\frac{37}{15}\pi$

≈ 7,749

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $2x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 2^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{32}{3}$

= $\frac{32}{3}\pi$

≈ 33,51