= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 6^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 216-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(36-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{108}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{76}{3}$

= $\frac{76}{3}\pi$

≈ 79,587

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(8+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{9^3}-\frac{3}{16}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{3}{16}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{243}-\frac{3}{16}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3888}-\frac{729}{3888}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{3888}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{3888}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{3888}$

= $\frac{45095}{3888}\pi$

≈ 36,438

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-180e^{\mathrm{0,1}x}+9x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-180e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+9\cdot 2-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-180e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-180e^{\mathrm{0,2}}+18-\left(45e^0-180e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-180e^{\mathrm{0,2}}+18-\left(45-180+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-180e^{\mathrm{0,2}}+18-1·\left(-135\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,4}}-180e^{\mathrm{0,2}}+18+135\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,4}}-180e^{\mathrm{0,2}}+153\right)$

≈ 0,878