= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,567

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+4}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+4}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{10}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{5}-\frac{16}{3}-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{15}-\frac{80}{15}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{68}{15}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{68}{15}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{15}$

= $\frac{152}{15}\pi$

≈ 31,835

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 1^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 1-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(3+0\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425