= $\pi$ ${\left[-\frac{196}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{196}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{196}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{196}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{196}{9{\left(6+1\right)}^3}+\frac{196}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{196}{9\cdot 7^3}+\frac{196}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{196}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{63}+\frac{196}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{63}+\frac{1372}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{7}$

= $\frac{152}{7}\pi$

≈ 68,217

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 3+1\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 7}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\cdot 3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{14}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{42}-\frac{350}{42}-\left(\frac{25}{6}-\frac{150}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{275}{42}-1·\left(-\frac{125}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{275}{42}+\frac{125}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{100}{7}$

= $\frac{100}{7}\pi$

≈ 44,88

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071