= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{1+1}+\frac{4}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{2}+\frac{4}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-2+4\right)$

= $\pi ·2$

= $2\pi$

≈ 6,283

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{6{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6{\left(4+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6\cdot 7^3}-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{6\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2058}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{30}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{8232}-\frac{8575}{8232}-\left(\frac{1}{30}-\frac{250}{30}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2825}{2744}-1·\left(-\frac{83}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2825}{2744}+\frac{83}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{99751}{13720}$

= $\frac{99751}{13720}\pi$

≈ 22,841

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3-2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\left(\frac{1}{343}\right)+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{343}+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21952}+\frac{343}{21952}\right)$

= $\pi ·\frac{279}{21952}$

= $\frac{279}{21952}\pi$

≈ 0,04