= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+3\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 11}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{22}-\frac{25}{4}-\left(\frac{5}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{44}-\frac{275}{44}-\left(\frac{5}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{225}{44}-1·\left(-\frac{45}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{225}{44}+\frac{45}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{765}{44}$

= $\frac{765}{44}\pi$

≈ 54,621

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-40e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(10-40+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12-1·\left(-30\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+12+30\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{1,2}}-40e^{\mathrm{0,6}}+42\right)$

≈ 7,277