= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+4}+\frac{8}{2\cdot 0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+4}+\frac{8}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{10}+\frac{8}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+\frac{10}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5}\pi$

≈ 3,77

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(3+4\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{7^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{9}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{343}-\frac{25}{9}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{675}{3087}-\frac{8575}{3087}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7900}{3087}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{39500}{15435}+\frac{1148364}{15435}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{1108864}{15435}$

= $\frac{1108864}{15435}\pi$

≈ 225,695

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-60e^{\mathrm{0,3}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15-60+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-1·\left(-45\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27+45\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+72\right)$

≈ 47,653