= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+2}+\frac{2}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+2}+\frac{2}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{8}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}+\frac{4}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\pi$

≈ 2,356

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+1}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+1}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+1}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-4-\left(8-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{5}-\frac{20}{5}-1·\left(-8\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+\frac{40}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{5}$

= $\frac{36}{5}\pi$

≈ 22,619

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 8^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 512-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{512}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·56$

= $56\pi$

≈ 175,929