= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {10}^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1000-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·156$

= $156\pi$

≈ 490,088

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(4+4\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{8^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{64}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{75}{64}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{600}{512}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{525}{512}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2625}{2560}+\frac{190464}{2560}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{187839}{2560}$

= $\frac{187839}{2560}\pi$

≈ 230,513

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+8}{x+2}-2$ = $\frac{2x+8}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2x+8}{x+2}-\frac{2\left(x+2\right)}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2x+8-2x-4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+2}+\frac{16}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+\frac{16}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{5}+\frac{40}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{24}{5}$

= $\frac{24}{5}\pi$

≈ 15,08