= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 3^4+\frac{3}{2}\cdot 3^2+4\cdot 3-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{3}{2}\cdot 0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 81+\frac{3}{2}\cdot 9+12-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{81}{2}+\frac{27}{2}+12-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{81}{2}+\frac{27}{2}+\frac{24}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(66\right)$

= $66\pi$

≈ 207,345

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(9+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {13}^3}-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{19773}-\frac{196}{81}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1764}{177957}-\frac{430612}{177957}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{428848}{177957}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{428848}{177957}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{78304640}{1245699}$

= $\frac{78304640}{1245699}\pi$

≈ 197,481

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-20e^{\mathrm{0,4}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-20e^{\mathrm{0,8}}+8-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-20e^{\mathrm{0,8}}+8-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-20e^{\mathrm{0,8}}+8-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-20e^{\mathrm{0,8}}+8+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-20e^{\mathrm{0,8}}+23\right)$

≈ 10,224