= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-6}+\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^{-2}-\frac{9}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 1,878

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{27}{3^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{5^3}-27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-1-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-1-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-\frac{125}{125}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+\frac{3250}{125}\right)$

= $\pi ·\frac{3152}{125}$

= $\frac{3152}{125}\pi$

≈ 79,218

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+1\right)}^2+4-3{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 2^3}+\frac{16}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{14}{3}$

= $\frac{14}{3}\pi$

≈ 14,661