= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{3}$

= $\frac{158}{3}\pi$

≈ 165,457

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+2\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 14}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{14}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{21}-1-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{21}-\frac{21}{21}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{21}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{21}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{99}{35}$

= $\frac{99}{35}\pi$

≈ 8,886

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+5}{3x+3}-1$ = $\frac{3x+5}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+5}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+5-3x-3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 3+3\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(9+3\right)}+\frac{4}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 12}+\frac{4}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047