= $\pi$ ${\left[-216{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{216}{{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{216}{{\left(2\cdot 2+2\right)}^3}+\frac{216}{{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{216}{{\left(4+2\right)}^3}+\frac{216}{{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{216}{6^3}+\frac{216}{2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-216\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+216\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+27\right)$

= $\pi ·26$

= $26\pi$

≈ 81,681

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+4\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+4\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+4\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+4\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 12}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 6}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{8}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{8}-\frac{18}{8}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{15}{8}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{8}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{51}{8}$

= $\frac{51}{8}\pi$

≈ 20,028

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e+3)$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+4+e)$

≈ 0,388