= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2+2}+\frac{9}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{4}$

= $\frac{9}{4}\pi$

≈ 7,069

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+3\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 9}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{27}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{54}-\frac{675}{54}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{625}{54}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{625}{54}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{27}$

= $\frac{325}{27}\pi$

≈ 37,815

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+10}{x+2}-3$ = $\frac{3x+10}{x+2}-\frac{3\left(x+2\right)}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3x+10}{x+2}-\frac{3\left(x+2\right)}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3x+10-3x-6}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{1+2}+\frac{16}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{16}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{24}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378