= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,089

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(9+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {11}^3}-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{11979}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{900}{107811}-\frac{133100}{107811}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{132200}{107811}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{132200}{107811}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{17259584}{539055}$

= $\frac{17259584}{539055}\pi$

≈ 100,588

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-60e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 2}-60e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+8-\left(\frac{45}{2}{e}^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+8-\left(\frac{45}{2}-60+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+8-\left(\frac{45}{2}-\frac{120}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+8-1·\left(-\frac{75}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+8+\frac{75}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,8}}-60e^{\mathrm{0,4}}+\frac{91}{2}\right)$

≈ 19,054