= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·84$

= $84\pi$

≈ 263,894

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3+3}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{6}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-\frac{16}{3}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-\frac{16}{3}-\left(4-16\right))$

= $\pi ·(-\frac{8}{3}-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+12\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}+\frac{36}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+11}{x+4}-2$ = $\frac{2x+11}{x+4}-\frac{2\left(x+4\right)}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+11}{x+4}-\frac{2\left(x+4\right)}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+11-2x-8}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+4}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2+4}+\frac{9}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{6}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{4}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\pi$

≈ 2,356