= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+2}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{6}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-4-\left(\frac{16}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{16}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4}{3}-1·\left(-\frac{32}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+3\right)}^2+3-{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(2+3\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{5^3}+\frac{3}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{125}+\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{1125}+\frac{125}{1125}\right)$

= $\pi ·\frac{98}{1125}$

= $\frac{98}{1125}\pi$

≈ 0,274