= $\pi$ ${\left[-\frac{784}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{784}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{784}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{784}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{784}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9\cdot 7^3}+\frac{784}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{784}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{784}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{63}+\frac{49}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{252}+\frac{343}{252}\right)$

= $\pi ·\frac{31}{28}$

= $\frac{31}{28}\pi$

≈ 3,478

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9{\left(9+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9\cdot {11}^3}-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{9\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{11979}-\frac{25}{81}-\left(\frac{1}{45}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{225}{107811}-\frac{33275}{107811}-\left(\frac{1}{45}-\frac{375}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33050}{107811}-1·\left(-\frac{374}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33050}{107811}+\frac{374}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{4314896}{539055}$

= $\frac{4314896}{539055}\pi$

≈ 25,147

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071