= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 0,995

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+4}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 4+4}-\frac{4}{4}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+4}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8+4}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{2+4}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{12}-1-\left(\frac{2}{6}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-1-\left(2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-1-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-\frac{6}{6}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{5}{6}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{6}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{17}{6}$

= $\frac{17}{6}\pi$

≈ 8,901

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+5-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(1+2\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 3^3}+\frac{25}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{81}+\frac{25}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{200}{648}+\frac{675}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{475}{648}$

= $\frac{475}{648}\pi$

≈ 2,303