= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{2+4}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{6}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{5}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-8-\left(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-8-\left(\frac{16}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-\frac{24}{3}-\left(\frac{16}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{16}{3}-1·\left(-\frac{64}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{80}{15}+\frac{192}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{112}{15}$

= $\frac{112}{15}\pi$

≈ 23,457

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 1^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 1-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(3+0\right)$

= $\pi ·3$

= $3\pi$

≈ 9,425