= $\pi$ ${\left[-e^{-x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-3}+e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-3}+1\right)$

≈ 2,985

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 2+4\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(4+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 8}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{16}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{16}-\frac{200}{16}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{16}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{16}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{575}{48}$

= $\frac{575}{48}\pi$

≈ 37,634

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(9+0\right)$

= $\pi ·9$

= $9\pi$

≈ 28,274