= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+3\right)}+\frac{25}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 6}+\frac{25}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{25}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{50}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{18}$

= $\frac{25}{18}\pi$

≈ 4,363

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{75}{2^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(6+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{8^3}-\frac{75}{8}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{8}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{75}{8}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{4800}{512}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{512}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{512}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{167613}{2560}$

= $\frac{167613}{2560}\pi$

≈ 205,692

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469