= $\pi$ ${\left[x^3+\frac{5}{2}{x}^2+2x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-\left(0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0\right))$

= $\pi ·(8+\frac{5}{2}\cdot 4+4-\left(0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(8+10+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(22+0\right)$

= $\pi ·\left(22\right)$

= $22\pi$

≈ 69,115

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{75}{2^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(6+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{8^3}-\frac{75}{8}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{8}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{75}{8}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{4800}{512}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{512}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{512}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{167613}{2560}$

= $\frac{167613}{2560}\pi$

≈ 205,692

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5-2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(4+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 8^3}+\frac{25}{6\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3072}+\frac{25}{384}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3072}+\frac{200}{3072}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{3072}$

= $\frac{175}{3072}\pi$

≈ 0,179