= $\pi$ ${\left[-e^{-3x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-3\cdot 3}+e^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-9}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-9}+1\right)$

≈ 3,141

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{3}{4^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(8+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 9^3}-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{486}-\frac{3}{64}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{15552}-\frac{729}{15552}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{15552}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{15552}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{15552}$

= $\frac{45095}{15552}\pi$

≈ 9,109

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4-3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 6^3}+\frac{8}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{81}+\frac{1}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{648}+\frac{27}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{648}$

= $\frac{19}{648}\pi$

≈ 0,092