= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^{-6}-\frac{2}{3}{e}^{-12}\right)$

≈ 0,005

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9{\left(6+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9\cdot 7^3}-\frac{8}{3}-\left(\frac{64}{9\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{8}{3}-\left(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3087}-\frac{8}{3}-\left(\frac{1}{9}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3087}-\frac{8232}{3087}-\left(\frac{1}{9}-\frac{192}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{8168}{3087}-1·\left(-\frac{191}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{8168}{3087}+\frac{191}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{19115}{1029}$

= $\frac{19115}{1029}\pi$

≈ 58,359

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469