= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^0+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}\right)$

≈ 1896,401

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(12+3\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+3\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{15}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{16}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{3375}\right)-\frac{3}{4}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3375}-\frac{3}{4}-\left(\frac{2}{27}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{13500}-\frac{10125}{13500}-\left(\frac{2}{27}-\frac{1296}{27}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10061}{13500}-1·\left(-\frac{1294}{27}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10061}{13500}+\frac{1294}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{70771}{1500}$

= $\frac{70771}{1500}\pi$

≈ 148,222

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+4}{2x+2}-1$ = $\frac{2x+4}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+4}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+4-2x-2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 1+2}+\frac{2}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{2+2}+\frac{2}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{4}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}\pi$

≈ 1,571