= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 3}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-12}+\frac{9}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^{-4}-\frac{9}{4}{e}^{-12}\right)$

≈ 0,129

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 2+4}-\frac{16}{2}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{4+4}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8}-8-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-8-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(1-8-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(-7-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-7-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-7+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{23}{3}$

= $\frac{23}{3}\pi$

≈ 24,086

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot 4^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{144}+\frac{64}{144}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{16}$

= $\frac{7}{16}\pi$

≈ 1,374