= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,542

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[48{\left(x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{48}{{\left(x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{48}{{\left(2+3\right)}^3}-\frac{48}{2^3}-\left(\frac{48}{{\left(1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{5^3}-48\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{48}{4^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(48\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-6-\left(48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{125}-6-\left(\frac{3}{4}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{125}-\frac{750}{125}-\left(\frac{3}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{702}{125}-1·\left(-\frac{189}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{702}{125}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2808}{500}+\frac{23625}{500}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{702}{125}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{20817}{500}$

= $\frac{20817}{500}\pi$

≈ 130,797

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{3}$

= $\frac{19}{3}\pi$

≈ 19,897