= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{2+2}+\frac{16}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{4}+\frac{16}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-4+8\right)$

= $\pi ·4$

= $4\pi$

≈ 12,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+3}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2+3}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{1+3}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{9}{2}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{18}{10}-\frac{45}{10}-\left(\frac{9}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{27}{10}-1·\left(-\frac{27}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{10}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{54}{20}+\frac{135}{20}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{10}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{20}$

= $\frac{81}{20}\pi$

≈ 12,723

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378