= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(72-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{216}{3}-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{3}$

= $\frac{152}{3}\pi$

≈ 159,174

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+3\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+3\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+3\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+3\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 9}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}-3-\left(\frac{9}{10}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}-\frac{6}{2}-\left(\frac{9}{10}-\frac{90}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{5}{2}-1·\left(-\frac{81}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{81}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{5}$

= $\frac{28}{5}\pi$

≈ 17,593

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-120e^{\mathrm{0,1}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-120e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-120e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-120e^{\mathrm{0,2}}+8-\left(45e^0-120e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-120e^{\mathrm{0,2}}+8-\left(45-120+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,4}}-120e^{\mathrm{0,2}}+8-1·\left(-75\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,4}}-120e^{\mathrm{0,2}}+8+75\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,4}}-120e^{\mathrm{0,2}}+83\right)$

≈ 11,196