= $\pi$ ${\left[-2e^{-x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-1}+2e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-1}+2\right)$

≈ 3,972

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{3+2}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-3-\left(9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-3-\left(3-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-\frac{15}{5}-1·\left(-6\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{30}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{24}{5}$

= $\frac{24}{5}\pi$

≈ 15,08

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+3}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+3}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+3}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+3-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{3^3}+\frac{3}{2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{9}+\frac{3}{8}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{72}+\frac{27}{72}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{72}$

= $\frac{19}{72}\pi$

≈ 0,829