= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+2\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 4+2\right)}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(8+2\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+2\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 10}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2\cdot 4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{8}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{45}{20}-\left(\frac{9}{8}-\frac{72}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{5}-1·\left(-\frac{63}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{5}+\frac{63}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{243}{40}$

= $\frac{243}{40}\pi$

≈ 19,085

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+5-2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 6^3}+\frac{25}{6\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{1296}+\frac{25}{384}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{200}{10368}+\frac{675}{10368}\right)$

= $\pi ·\frac{475}{10368}$

= $\frac{475}{10368}\pi$

≈ 0,144