= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^{-6}-\frac{2}{3}{e}^{-12}\right)$

≈ 0,005

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{27}{3^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{5^3}-27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-1-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-1-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-\frac{125}{125}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+\frac{3250}{125}\right)$

= $\pi ·\frac{3152}{125}$

= $\frac{3152}{125}\pi$

≈ 79,218

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 2^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{32}{3}$

= $\frac{32}{3}\pi$

≈ 33,51