= $\pi$ ${\left[x^4+\frac{1}{2}{x}^2+3x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(2^4+\frac{1}{2}\cdot 2^2+3\cdot 2-\left(0^4+\frac{1}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(16+\frac{1}{2}\cdot 4+6-\left(0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(16+2+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·\left(24\right)$

= $24\pi$

≈ 75,398

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+4\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(8+4\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+4\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{12}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{24}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{3}{4}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{9}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{72}-\frac{54}{72}-\left(\frac{1}{9}-\frac{432}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{72}-1·\left(-\frac{431}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{72}+\frac{431}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{72}$

= $\frac{3395}{72}\pi$

≈ 148,135

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097