= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{1+2}+\frac{9}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{3}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-3+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{2}+\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{2}\pi$

≈ 4,712

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{3{\left(2+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{64}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3\cdot 5^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{64}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{8}{3}-\left(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{375}-\frac{8}{3}-\left(\frac{1}{3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{375}-\frac{1000}{375}-1·\left(-21\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{312}{125}+21\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{312}{125}+\frac{2625}{125}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{125}$

= $\frac{2313}{125}\pi$

≈ 58,132

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+3+3\right)$

= $\pi ·\left(9e^3-12e^{\mathrm{1,5}}+6\right)$

≈ 417,799