= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 1}+e^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{27}{4^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{6^3}-27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{27}{64}-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{8}-\frac{27}{64}-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{64}-\frac{27}{64}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{64}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{64}+\frac{1664}{64}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{64}$

= $\frac{1645}{64}\pi$

≈ 80,749

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33