= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+3\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 9}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{27}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{54}-\frac{675}{54}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{625}{54}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{625}{54}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{27}$

= $\frac{325}{27}\pi$

≈ 37,815

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $2x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{62}{3}$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926