= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3+3x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 2^4+\frac{5}{3}\cdot 2^3+3\cdot 2-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+\frac{5}{3}\cdot 0^3+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 16+\frac{5}{3}\cdot 8+6-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(20+\frac{40}{3}+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{60}{3}+\frac{40}{3}+\frac{18}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{118}{3}\right)$

= $\frac{118}{3}\pi$

≈ 123,569

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{32}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{32}{3{\left(2\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{32}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3{\left(8+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{32}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3\cdot {10}^3}-\frac{1}{3}-\left(\frac{32}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{1}{3}-\left(\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{6}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{375}-\frac{125}{375}-\left(\frac{1}{6}-\frac{128}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{121}{375}-1·\left(-\frac{127}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{121}{375}+\frac{127}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5211}{250}$

= $\frac{5211}{250}\pi$

≈ 65,483

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717