= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(72-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{216}{3}-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{3}$

= $\frac{152}{3}\pi$

≈ 159,174

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{x+2}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{4+2}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{1+2}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{6}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-1-\left(4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-1-\left(\frac{4}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-\frac{3}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1}{3}-1·\left(-\frac{8}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 2^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 8-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398