= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 4}+2e^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-8}+2e^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(2e^{-2}-2e^{-8}\right)$

≈ 0,848

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(6+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot 8^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{25}{6}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{4800}{1152}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{1152}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{1152}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{55871}{1920}$

= $\frac{55871}{1920}\pi$

≈ 91,419

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{56}{3}$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643