= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+x^2+3x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 3^3+3^2+3\cdot 3-\left(\frac{5}{3}\cdot 0^3+0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 27+9+9-\left(\frac{5}{3}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(45+9+9-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(63+0\right)$

= $\pi ·\left(63\right)$

= $63\pi$

≈ 197,92

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+4\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(4+4\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+4\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{8^3}-\frac{3}{2}-\left(\frac{6}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{3}{2}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{256}-\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{36}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{256}-\frac{384}{256}-\left(\frac{1}{36}-\frac{432}{36}\right))$

= $\pi ·(-\frac{381}{256}-1·\left(-\frac{431}{36}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{381}{256}+\frac{431}{36}\right)$

= $\pi ·\frac{24155}{2304}$

= $\frac{24155}{2304}\pi$

≈ 32,936

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 6^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 216-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(36-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{108}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{104}{3}$

= $\frac{104}{3}\pi$

≈ 108,909