= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 3+1\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(9+1\right)}+\frac{25}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 10}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{25}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{6}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{6}+\frac{50}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{2}$

= $\frac{15}{2}\pi$

≈ 23,562

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(3x+3\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{4}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{\left(9+3\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{4}{{\left(3+3\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{12}^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{4}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{4}{9}-\left(4\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{432}-\frac{4}{9}-\left(\frac{1}{54}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{432}-\frac{192}{432}-\left(\frac{1}{54}-\frac{648}{54}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{432}-1·\left(-\frac{647}{54}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{432}+\frac{647}{54}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{432}$

= $\frac{4985}{432}\pi$

≈ 36,252

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{6x+9}{3x+2}-2$ = $\frac{6x+9}{3x+2}-\frac{2\left(3x+2\right)}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{6x+9}{3x+2}-\frac{2\left(3x+2\right)}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{6x+9-6x-4}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{3}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{6}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{2}$

= $\frac{5}{2}\pi$

≈ 7,854