= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2+4\cdot 2-\left(\frac{4}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 8+\frac{5}{2}\cdot 4+8-\left(\frac{4}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{3}+10+8-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{32}{3}+\frac{30}{3}+\frac{24}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{86}{3}\right)$

= $\frac{86}{3}\pi$

≈ 90,059

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+1\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(12+1\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+1\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 13}-4-\left(\frac{16}{3\cdot 4}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-4-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{39}-4-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{39}-\frac{156}{39}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{140}{39}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{140}{39}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{144}{13}$

= $\frac{144}{13}\pi$

≈ 34,799

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,4}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,4}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-45e^{\mathrm{0,4}x}+9x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+9\cdot 1-\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-45e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}{e}^0-45e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}-45+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-\left(\frac{45}{4}-\frac{180}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9-1·\left(-\frac{135}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+9+\frac{135}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-45e^{\mathrm{0,4}}+\frac{171}{4}\right)$

≈ 2,058