= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+2x^2+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 3^4+2\cdot 3^2+3-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+2\cdot 0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 81+2\cdot 9+3-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+2\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{81}{2}+18+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{81}{2}+\frac{36}{2}+\frac{6}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{123}{2}\right)$

= $\frac{123}{2}\pi$

≈ 193,208

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 5^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{375}-\frac{1}{12}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1500}-\frac{125}{1500}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{7000}{1500}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{500}$

= $\frac{2313}{500}\pi$

≈ 14,533

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{4}\right)$

≈ 0,229