= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 2^4+\frac{1}{3}\cdot 2^3+2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{1}{3}\cdot 0^3+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 16+\frac{1}{3}\cdot 8+2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(8+\frac{8}{3}+2-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{24}{3}+\frac{8}{3}+\frac{6}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{38}{3}\right)$

= $\frac{38}{3}\pi$

≈ 39,794

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2+2}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-\left(3-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-1·\left(-6\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{24}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{15}{4}$

= $\frac{15}{4}\pi$

≈ 11,781

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 2^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 8-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398