= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 1^3+\frac{3}{2}\cdot 1^2+1-\left(\frac{5}{3}\cdot 0^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{3}{2}\cdot 1+1-\left(\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}+\frac{3}{2}+1-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{10}{6}+\frac{9}{6}+\frac{6}{6}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{25}{6}\right)$

= $\frac{25}{6}\pi$

≈ 13,09

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(9+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {13}^3}-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{19773}-\frac{196}{81}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1764}{177957}-\frac{430612}{177957}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{428848}{177957}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{428848}{177957}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{78304640}{1245699}$

= $\frac{78304640}{1245699}\pi$

≈ 197,481

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·147$

= $147\pi$

≈ 461,814