= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+3}+\frac{8}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+3}+\frac{8}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{24}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{16}{9}$

= $\frac{16}{9}\pi$

≈ 5,585

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+1}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 4+1}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+1}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{12+1}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{3}{3+1}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-\frac{9}{4}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{52}-\frac{117}{52}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{105}{52}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{105}{52}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{13}$

= $\frac{81}{13}\pi$

≈ 19,575

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189