= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 2+3}+\frac{8}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{4+3}+\frac{8}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{7}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{7}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{24}{21}+\frac{56}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{32}{21}$

= $\frac{32}{21}\pi$

≈ 4,787

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{75}{2^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(6+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{8^3}-\frac{75}{8}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{8}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{75}{8}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{512}-\frac{4800}{512}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{512}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{512}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{167613}{2560}$

= $\frac{167613}{2560}\pi$

≈ 205,692

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+4-3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 6^3}+\frac{8}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{81}+\frac{1}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{648}+\frac{27}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{648}$

= $\frac{19}{648}\pi$

≈ 0,092