= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 2^4+\frac{2}{3}\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+\frac{2}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 16+\frac{2}{3}\cdot 8+\frac{5}{2}\cdot 4-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(20+\frac{16}{3}+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{60}{3}+\frac{16}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{106}{3}\right)$

= $\frac{106}{3}\pi$

≈ 111,003

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(4+4\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{8^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{64}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{75}{64}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{600}{512}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{525}{512}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2625}{2560}+\frac{190464}{2560}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{187839}{2560}$

= $\frac{187839}{2560}\pi$

≈ 230,513

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-60e^{\mathrm{0,3}x}+9x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+9\cdot 2-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-\left(15e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-\left(15-60+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18-1·\left(-45\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+18+45\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+63\right)$

≈ 10,916