= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 0,995

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{108}{3^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(9+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{12}^3}-4-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-4-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-4-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{192}{48}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{191}{48}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{191}{48}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{4985}{48}$

= $\frac{4985}{48}\pi$

≈ 326,267

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 3}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+\frac{27}{4}\right)$

≈ 12,341