= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 2}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{3}{2^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4^3}-3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{8}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{3}{8}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{24}{64}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{21}{64}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{64}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{576}+\frac{1664}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{64}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{576}$

= $\frac{1475}{576}\pi$

≈ 8,045

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+2\right)}^2+4}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+2\right)}^2+4-2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3{\left(1+2\right)}^3}+\frac{16}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 3^3}+\frac{16}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{81}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{81}+\frac{54}{81}\right)$

= $\pi ·\frac{38}{81}$

= $\frac{38}{81}\pi$

≈ 1,474