= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 3}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-18}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-18}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[54{\left(2x+4\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{54}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{54}{{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{108}{2^3}-\left(\frac{54}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{\left(4+4\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{54}{{\left(2+4\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{8^3}-\frac{27}{2}-\left(\frac{54}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(54\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{27}{2}-\left(54\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{256}-\frac{27}{2}-\left(\frac{1}{4}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{256}-\frac{3456}{256}-\left(\frac{1}{4}-\frac{432}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3429}{256}-1·\left(-\frac{431}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3429}{256}+\frac{431}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{24155}{256}$

= $\frac{24155}{256}\pi$

≈ 296,426

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2}{{\left(3x+1\right)}^2}-\frac{{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+1\right)}^2+2-{\left(3x+1\right)}^2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(6+1\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot 7^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3087}+\frac{4}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3087}+\frac{1372}{3087}\right)$

= $\pi ·\frac{152}{343}$

= $\frac{152}{343}\pi$

≈ 1,392