= $\pi$ ${\left[-3e^{-x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-3e^{-3}+3e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-3e^{-3}+3\right)$

≈ 8,956

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+4\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+4\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+4\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+4\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 7}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-2-\left(\frac{4}{21}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{30}{15}-\left(\frac{4}{21}-\frac{84}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{28}{15}-1·\left(-\frac{80}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{28}{15}+\frac{80}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{68}{35}$

= $\frac{68}{35}\pi$

≈ 6,104

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5-2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 6^3}+\frac{25}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{1944}+\frac{25}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{1944}+\frac{200}{1944}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{1944}$

= $\frac{175}{1944}\pi$

≈ 0,283