= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 4^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 64-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+1}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3+1}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{1+1}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{4}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{16}{3}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-16\right))$

= $\pi ·(4-\frac{16}{3}-\left(8-16\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{3}-\frac{16}{3}-1·\left(-8\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{24}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{20}{3}$

= $\frac{20}{3}\pi$

≈ 20,944

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[10e^{\mathrm{0,4}x}-20e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-20e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(10e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(10-20+0\right))$

= $\pi ·(10e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-10\right))$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+1+10\right)$

= $\pi ·\left(10e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+11\right)$

≈ 4,682