= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 2^3-\frac{1}{6}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8-\frac{1}{6}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3+4}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{5}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{16}{3}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{7}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{21}-\frac{112}{21}-\left(\frac{16}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{64}{21}-1·\left(-\frac{64}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{320}{105}+\frac{1344}{105}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{21}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{1024}{105}$

= $\frac{1024}{105}\pi$

≈ 30,638

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2-3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(6+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot 9^3}+\frac{4}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)+\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{6561}+\frac{4}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{6561}+\frac{108}{6561}\right)$

= $\pi ·\frac{104}{6561}$

= $\frac{104}{6561}\pi$

≈ 0,05