= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·31$

= $31\pi$

≈ 97,389

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+4\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 2+4\right)}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(6+4\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+4\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 10}-8-\left(\frac{16}{3\cdot 7}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-8-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{15}-8-\left(\frac{16}{21}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{15}-\frac{120}{15}-\left(\frac{16}{21}-\frac{336}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{112}{15}-1·\left(-\frac{320}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{112}{15}+\frac{320}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{272}{35}$

= $\frac{272}{35}\pi$

≈ 24,415

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33