= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 1}+2e^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-2}+2e^2\right)$

= $\pi ·\left(2e^2-2e^{-2}\right)$

≈ 45,576

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+4\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+4\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+4\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+4\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 16}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 7}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{12}-1-\left(\frac{4}{21}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{12}-\frac{12}{12}-\left(\frac{4}{21}-\frac{84}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{12}-1·\left(-\frac{80}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{12}+\frac{80}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{28}$

= $\frac{81}{28}\pi$

≈ 9,088

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-60e^{\mathrm{0,2}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(\frac{45}{2}{e}^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(\frac{45}{2}-60+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+12-\left(\frac{45}{2}-\frac{120}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+12-1·\left(-\frac{75}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+12+\frac{75}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-60e^{\mathrm{0,6}}+\frac{99}{2}\right)$

≈ 46,733