= $\pi$ ${\left[-\frac{400}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{400}{9{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{400}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{400}{9{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{400}{9{\left(9+1\right)}^3}+\frac{400}{9{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{400}{9\cdot {10}^3}+\frac{400}{9\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{400}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{400}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{45}+\frac{400}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{45}+\frac{2000}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{222}{5}$

= $\frac{222}{5}\pi$

≈ 139,487

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+2\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 3+2\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+2\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(6+2\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+2\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 8}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{16}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{8}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{48}-\frac{400}{48}-\left(\frac{25}{8}-\frac{200}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{48}-1·\left(-\frac{175}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{48}+\frac{175}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{725}{48}$

= $\frac{725}{48}\pi$

≈ 47,451

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 27-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{3}$

= $\frac{13}{3}\pi$

≈ 13,614