= $\pi$ ${\left[-2e^{-x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2}+2e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-2}+2\right)$

≈ 5,433

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[54{\left(2x+4\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{54}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{54}{{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{108}{3^3}-\left(\frac{54}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{\left(6+4\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{54}{{\left(2+4\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{10}^3}-4-\left(\frac{54}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(54\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-4-\left(54\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{500}-4-\left(\frac{1}{4}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{500}-\frac{2000}{500}-\left(\frac{1}{4}-\frac{432}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1973}{500}-1·\left(-\frac{431}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1973}{500}+\frac{431}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{25951}{250}$

= $\frac{25951}{250}\pi$

≈ 326,11

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+\frac{17}{2}\right)$

≈ 0,049