= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2}+\frac{9}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^2-\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

≈ 102,547

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 5^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{375}-\frac{1}{12}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1500}-\frac{125}{1500}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{7000}{1500}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{500}$

= $\frac{2313}{500}\pi$

≈ 14,533

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+5}{2x+3}-1$ = $\frac{2x+5}{2x+3}-\frac{2x+3}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2x+5}{2x+3}-\frac{2x+3}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2x+5-2x-3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{6}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{9}$

= $\frac{4}{9}\pi$

≈ 1,396