= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3+5x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{5}{3}\cdot 1^3+5\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{5}{3}\cdot 0^3+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{5}{3}\cdot 1+5-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}+\frac{5}{3}+5-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{3}{6}+\frac{10}{6}+\frac{30}{6}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{43}{6}\right)$

= $\frac{43}{6}\pi$

≈ 22,515

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(4+2\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{6^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{3}{16}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{18}-\frac{3}{16}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{144}-\frac{27}{144}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{144}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{1664}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{144}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{144}$

= $\frac{1645}{144}\pi$

≈ 35,888

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+7}{x+1}-2$ = $\frac{2x+7}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+7}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+7-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2+1}+\frac{25}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+\frac{25}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+25\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+25\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+\frac{75}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{50}{3}$

= $\frac{50}{3}\pi$

≈ 52,36