= $\pi$ ${\left[-\frac{147}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{147}{2{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{147}{2{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{147}{2{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2{\left(4+3\right)}^3}+\frac{147}{2{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2\cdot 7^3}+\frac{147}{2\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{147}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{14}+\frac{49}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{126}+\frac{343}{126}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{63}$

= $\frac{158}{63}\pi$

≈ 7,879

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[36{\left(3x+3\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{36}{{\left(3\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{108}{2^3}-\left(\frac{36}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{{\left(6+3\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{36}{{\left(3+3\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{9^3}-\frac{27}{2}-\left(\frac{36}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(36\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{27}{2}-\left(36\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{81}-\frac{27}{2}-\left(\frac{1}{6}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{162}-\frac{2187}{162}-\left(\frac{1}{6}-\frac{648}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2179}{162}-1·\left(-\frac{647}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2179}{162}+\frac{647}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7645}{81}$

= $\frac{7645}{81}\pi$

≈ 296,512

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{6x+10}{3x+3}-2$ = $\frac{6x+10}{3x+3}-\frac{2\left(3x+3\right)}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{6x+10}{3x+3}-\frac{2\left(3x+3\right)}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6x+10-6x-6}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 2+3\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(6+3\right)}+\frac{16}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 9}+\frac{16}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{27}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{27}+\frac{48}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{32}{27}$

= $\frac{32}{27}\pi$

≈ 3,723