= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-8}+\frac{9}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^4-\frac{9}{4}{e}^{-8}\right)$

≈ 385,929

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+2\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 8}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-2-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{6}-\frac{12}{6}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{6}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{6}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{10}$

= $\frac{19}{10}\pi$

≈ 5,969

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+16}{2x+4}-3$ = $\frac{6x+16}{2x+4}-\frac{3\left(2x+4\right)}{2x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{6x+16}{2x+4}-\frac{3\left(2x+4\right)}{2x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6x+16-6x-12}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+4}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 2+4}+\frac{8}{2\cdot 0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{4+4}+\frac{8}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{8}+\frac{8}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+2\right)$

= $\pi ·1$

= $\pi$

≈ 3,142