= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+5x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2+5\cdot 2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{5}{2}\cdot 4+10-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}+10+10-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+\frac{30}{3}+\frac{30}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{68}{3}\right)$

= $\frac{68}{3}\pi$

≈ 71,209

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+3}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{4+3}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{1+3}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{9}{4}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{28}-\frac{63}{28}-\left(\frac{9}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{27}{28}-1·\left(-\frac{27}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{189}{28}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{14}$

= $\frac{81}{14}\pi$

≈ 18,176

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 8^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 512-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{512}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·56$

= $56\pi$

≈ 175,929