= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}{e}^{-6}\right)$

≈ 844,934

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{27}{2^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{4^3}-27\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{27}{8}-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{27}{8}-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{216}{64}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+\frac{1664}{64}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{64}$

= $\frac{1475}{64}\pi$

≈ 72,404

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(9+0\right)$

= $\pi ·9$

= $9\pi$

≈ 28,274