= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 2+2}+\frac{3}{3\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6+2}+\frac{3}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{12}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{8}$

= $\frac{9}{8}\pi$

≈ 3,534

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+3}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+3}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{12}{9}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{9}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{9}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{112}{45}$

= $\frac{112}{45}\pi$

≈ 7,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-60e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,1}\cdot 3}+3-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(45e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(45-60+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3+15\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+18\right)$

≈ 59,702