= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 125-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-9\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-\frac{27}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{98}{3}$

= $\frac{98}{3}\pi$

≈ 102,625

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 4+3}-\frac{4}{4}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8+3}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-1-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-\frac{11}{11}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{11}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{11}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{153}{55}$

= $\frac{153}{55}\pi$

≈ 8,739

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+16}{2x+4}-3$ = $\frac{6x+16}{2x+4}-\frac{3\left(2x+4\right)}{2x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{6x+16}{2x+4}-\frac{3\left(2x+4\right)}{2x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6x+16-6x-12}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+4}+\frac{8}{2\cdot 0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+4}+\frac{8}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{10}+\frac{8}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{5}+\frac{10}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5}\pi$

≈ 3,77