= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,542

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+1\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 9}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{18}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{36}-\frac{225}{36}-\left(\frac{25}{6}-\frac{150}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{36}-1·\left(-\frac{125}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{36}+\frac{125}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{575}{36}$

= $\frac{575}{36}\pi$

≈ 50,178

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047