= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{1+3}+\frac{4}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{4}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-1+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{3}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(2+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 3^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{81}-\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{81}-\frac{54}{81}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{81}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{81}+\frac{378}{81}\right)$

= $\pi ·\frac{340}{81}$

= $\frac{340}{81}\pi$

≈ 13,187

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(9+0\right)$

= $\pi ·9$

= $9\pi$

≈ 28,274