= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·104$

= $104\pi$

≈ 326,726

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+1}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3+1}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{1+1}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{25}{3}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{12}-\frac{100}{12}-\left(\frac{25}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25}{12}-1·\left(-\frac{25}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{150}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{125}{12}$

= $\frac{125}{12}\pi$

≈ 32,725

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-8e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(4e^0-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(4-8e^0+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(4-8+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-4\right))$

= $\pi ·\left(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3+4\right)$

= $\pi ·\left(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+7\right)$

≈ 161,756