= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 3}+\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-9}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-9}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(12+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{14}^3}-\frac{75}{64}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{75}{64}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2744}-\frac{75}{64}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{21952}-\frac{25725}{21952}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{21952}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{21952}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{8082423}{109760}$

= $\frac{8082423}{109760}\pi$

≈ 231,338

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+\frac{21}{2}\right)$

≈ 1,819