= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 3^4+\frac{2}{3}\cdot 3^3+\frac{5}{2}\cdot 3^2-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+\frac{2}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 81+\frac{2}{3}\cdot 27+\frac{5}{2}\cdot 9-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{405}{4}+18+\frac{45}{2}-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{405}{4}+\frac{72}{4}+\frac{90}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{567}{4}\right)$

= $\frac{567}{4}\pi$

≈ 445,321

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 4+3}-\frac{4}{4}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8+3}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-1-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-1-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{11}-\frac{11}{11}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9}{11}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{11}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{153}{55}$

= $\frac{153}{55}\pi$

≈ 8,739

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+2}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+4\right)}^2+2-2{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2+4\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3\cdot 6^3}+\frac{2}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{324}+\frac{1}{96}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{2592}+\frac{27}{2592}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{2592}$

= $\frac{19}{2592}\pi$

≈ 0,023