= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{4}{3}{x}^3+5x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 3^4+\frac{4}{3}\cdot 3^3+5\cdot 3-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{4}{3}\cdot 0^3+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 81+\frac{4}{3}\cdot 27+15-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{4}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{81}{2}+36+15-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{81}{2}+\frac{72}{2}+\frac{30}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{183}{2}\right)$

= $\frac{183}{2}\pi$

≈ 287,456

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 7}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{21}-2-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{21}-\frac{42}{21}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{38}{21}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{21}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{7}$

= $\frac{13}{7}\pi$

≈ 5,834

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 27-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{3}$

= $\frac{13}{3}\pi$

≈ 13,614