= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 3+3}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6+3}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{8}{2+3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{16}{3}-\left(8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{48}{9}-\left(\frac{8}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{40}{9}-1·\left(-\frac{72}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{40}{9}+\frac{72}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{448}{45}$

= $\frac{448}{45}\pi$

≈ 31,276

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+9}{3x+2}-3$ = $\frac{9x+9}{3x+2}-\frac{3\left(3x+2\right)}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{9x+9}{3x+2}-\frac{3\left(3x+2\right)}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{9x+9-9x-6}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 1+2}+\frac{3}{3\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{3+2}+\frac{3}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{10}+\frac{15}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{10}$

= $\frac{9}{10}\pi$

≈ 2,827