= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+3\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 3+3\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(6+3\right)}+\frac{25}{2\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 9}+\frac{25}{2\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{75}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{9}$

= $\frac{25}{9}\pi$

≈ 8,727

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(3+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 7^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{1029}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{2700}{27783}-\frac{34300}{27783}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{31600}{27783}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{158000}{138915}+\frac{4593456}{138915}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4435456}{138915}$

= $\frac{4435456}{138915}\pi$

≈ 100,309

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+7}{3x+3}-1$ = $\frac{3x+7}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3x+7}{3x+3}-\frac{3x+3}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+3\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+3\right)}+\frac{16}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 6}+\frac{16}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{9}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{9}\pi$

≈ 2,793