= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 1}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4}+\frac{1}{4}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4}+\frac{1}{4}\right)$

≈ 0,771

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(2+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 3^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{81}-\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{81}-\frac{54}{81}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{81}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{81}+\frac{378}{81}\right)$

= $\pi ·\frac{340}{81}$

= $\frac{340}{81}\pi$

≈ 13,187

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-60e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,1}\cdot 3}+3-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(45e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(45-60+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+3+15\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-60e^{\mathrm{0,3}}+18\right)$

≈ 59,702