= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,542

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(12+3\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+3\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{15}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{16}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{3375}\right)-\frac{3}{4}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3375}-\frac{3}{4}-\left(\frac{2}{27}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{13500}-\frac{10125}{13500}-\left(\frac{2}{27}-\frac{1296}{27}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10061}{13500}-1·\left(-\frac{1294}{27}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10061}{13500}+\frac{1294}{27}\right)$

= $\pi ·\frac{70771}{1500}$

= $\frac{70771}{1500}\pi$

≈ 148,222

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+13}{3x+3}-3$ = $\frac{9x+13}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{9x+13}{3x+3}-\frac{3\left(3x+3\right)}{3x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9x+13-9x-9}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+3\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 3+3\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(9+3\right)}+\frac{16}{3\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 12}+\frac{16}{3\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)+\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189