= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-8}+\frac{9}{4}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-8}+\frac{9}{4}\right)$

≈ 7,066

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{2{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{27}{2^3}-\left(\frac{27}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2{\left(4+1\right)}^3}-27\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{27}{2{\left(2+1\right)}^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2\cdot 5^3}-\frac{27}{8}-\left(\frac{27}{2\cdot 3^3}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{27}{8}-\left(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{250}-\frac{27}{8}-\left(\frac{1}{2}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{108}{1000}-\frac{3375}{1000}-\left(\frac{1}{2}-\frac{54}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{3267}{1000}-1·\left(-\frac{53}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3267}{1000}+\frac{53}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{23233}{1000}$

= $\frac{23233}{1000}\pi$

≈ 72,989

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 4^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 64-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991