= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {10}^3-\frac{1}{6}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1000-\frac{1}{6}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-36\right)$

= $\pi ·\left(\frac{500}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{392}{3}$

= $\frac{392}{3}\pi$

≈ 410,501

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(2+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 3^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{1}{6}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{81}-\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{162}-\frac{27}{162}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{162}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{189}{162}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{81}$

= $\frac{85}{81}\pi$

≈ 3,297

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973