= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^{-6}-\frac{2}{3}{e}^{-12}\right)$

≈ 0,005

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+4\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 4+4\right)}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(12+4\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+4\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 16}-4-\left(\frac{16}{3\cdot 7}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)-4-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-4-\left(\frac{16}{21}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{16}{21}-\frac{336}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{11}{3}-1·\left(-\frac{320}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{11}{3}+\frac{320}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{7}$

= $\frac{81}{7}\pi$

≈ 36,353

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+6\right)$

≈ 0,119