= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{1}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 125-\frac{1}{3}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{3}-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{61}{3}$

= $\frac{61}{3}\pi$

≈ 63,879

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{27}{3^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{5^3}-27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-1-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-1-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{125}-\frac{125}{125}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{125}+\frac{3250}{125}\right)$

= $\pi ·\frac{3152}{125}$

= $\frac{3152}{125}\pi$

≈ 79,218

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+4\right)}^2+5-3{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3+4\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 7^3}+\frac{25}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3087}+\frac{25}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1600}{197568}+\frac{8575}{197568}\right)$

= $\pi ·\frac{775}{21952}$

= $\frac{775}{21952}\pi$

≈ 0,111