= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+4\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+4\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-36\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{148}{3}$

= $\frac{148}{3}\pi$

≈ 154,985

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(12+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot {14}^3}-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{2744}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6174}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{200}{49392}-\frac{25725}{49392}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25525}{49392}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25525}{49392}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{898047}{27440}$

= $\frac{898047}{27440}\pi$

≈ 102,817

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+7}{x+1}-3$ = $\frac{3x+7}{x+1}-\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3x+7}{x+1}-\frac{3\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{2+1}+\frac{16}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{16}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+16\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+16\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{48}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{32}{3}$

= $\frac{32}{3}\pi$

≈ 33,51