= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6}+\frac{1}{6}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}{e}^6-\frac{1}{6}{e}^{-6}\right)$

≈ 211,234

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 2+3}-\frac{16}{2}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{4+3}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{8}{2+3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{7}-8-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-8-\left(8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{7}-8-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{7}-\frac{56}{7}-\left(\frac{8}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{48}{7}-1·\left(-\frac{72}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{48}{7}+\frac{72}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{264}{35}$

= $\frac{264}{35}\pi$

≈ 23,697

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+8\right)$

≈ 5,295