= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 1}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4}+\frac{9}{4}{e}^4\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{4}{e}^4-\frac{9}{4}{e}^{-4}\right)$

≈ 385,802

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3+3}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{6}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{4}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-\frac{4}{3}-\left(4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}-\left(1-4\right))$

= $\pi ·(-\frac{2}{3}-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+3\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{9}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,1}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,1}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[20e^{\mathrm{0,2}x}-80e^{\mathrm{0,1}x}+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-80e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+4\cdot 2-\left(20e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-80e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,4}}-80e^{\mathrm{0,2}}+8-\left(20e^0-80e^0+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,4}}-80e^{\mathrm{0,2}}+8-\left(20-80+0\right))$

= $\pi ·(20e^{\mathrm{0,4}}-80e^{\mathrm{0,2}}+8-1·\left(-60\right))$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,4}}-80e^{\mathrm{0,2}}+8+60\right)$

= $\pi ·\left(20e^{\mathrm{0,4}}-80e^{\mathrm{0,2}}+68\right)$

≈ 0,39