= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 2+2}+\frac{8}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{4+2}+\frac{8}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6}+\frac{8}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 7}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{21}-2-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{21}-\frac{42}{21}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{38}{21}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{38}{21}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{7}$

= $\frac{13}{7}\pi$

≈ 5,834

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2-2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 2^3}+\frac{4}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}\pi$

≈ 3,665