= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+x^3+3x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 2^4+2^3+3\cdot 2-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+0^3+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 16+8+6-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(20+8+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(34+0\right)$

= $\pi ·\left(34\right)$

= $34\pi$

≈ 106,814

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{2{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{27}{4^3}-\left(\frac{27}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2{\left(8+1\right)}^3}-27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{27}{2{\left(2+1\right)}^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2\cdot 9^3}-\frac{27}{64}-\left(\frac{27}{2\cdot 3^3}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{27}{64}-\left(\frac{27}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{54}-\frac{27}{64}-\left(\frac{1}{2}-27\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{1728}-\frac{729}{1728}-\left(\frac{1}{2}-\frac{54}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{1728}-1·\left(-\frac{53}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{1728}+\frac{53}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{1728}$

= $\frac{45095}{1728}\pi$

≈ 81,985

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+2\right)}^2+2-3{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 4^3}+\frac{4}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{8}{48}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{48}$

= $\frac{7}{48}\pi$

≈ 0,458