= $\pi$ ${\left[x^3+\frac{5}{2}{x}^2+3x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2+3\cdot 2-\left(0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(8+\frac{5}{2}\cdot 4+6-\left(0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(8+10+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·\left(24\right)$

= $24\pi$

≈ 75,398

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 7}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{21}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{42}-\frac{525}{42}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{475}{42}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{475}{42}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{28}$

= $\frac{325}{28}\pi$

≈ 36,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,4}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,4}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-30e^{\mathrm{0,4}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-30e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-30e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+4-\left(\frac{45}{4}{e}^0-30e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+4-\left(\frac{45}{4}-30+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+4-\left(\frac{45}{4}-\frac{120}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+4-1·\left(-\frac{75}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+4+\frac{75}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-30e^{\mathrm{0,4}}+\frac{91}{4}\right)$

≈ 9,527