= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+1\right)}+\frac{25}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{25}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{12}+\frac{100}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{4}$

= $\frac{25}{4}\pi$

≈ 19,635

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+2}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+2}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+2}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+2}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+2}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{8}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{4}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{4}-\frac{4}{3}-\left(\frac{1}{2}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{12}-\frac{16}{12}-\left(\frac{1}{2}-\frac{8}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{13}{12}-1·\left(-\frac{7}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{13}{12}+\frac{7}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{29}{12}$

= $\frac{29}{12}\pi$

≈ 7,592

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 2^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 8-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398