= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+x^3+\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 2^4+2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 16+8+\frac{1}{2}\cdot 4-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+0+\frac{1}{2}\cdot 0\right))$

= $\pi ·(8+8+2-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(18+0\right)$

= $\pi ·\left(18\right)$

= $18\pi$

≈ 56,549

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+1\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 2+1\right)}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(4+1\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+1\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 5}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\cdot 3}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{10}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{10}-\frac{45}{10}-\left(\frac{3}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{18}{5}-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{18}{5}+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{39}{10}$

= $\frac{39}{10}\pi$

≈ 12,252

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+5}{x+1}-1$ = $\frac{x+5}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{x+5}{x+1}-\frac{x+1}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{x+5-x-1}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{1+1}+\frac{16}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{2}+\frac{16}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+16\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-8+16\right)$

= $\pi ·8$

= $8\pi$

≈ 25,133