= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 9^3-\frac{1}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 729-\frac{1}{9}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(81-3\right)$

= $\pi ·78$

= $78\pi$

≈ 245,044

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(2+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 3^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{1}{6}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{81}-\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{162}-\frac{27}{162}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{162}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{189}{162}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{162}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{81}$

= $\frac{85}{81}\pi$

≈ 3,297

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+7}{x+4}-1$ = $\frac{x+7}{x+4}-\frac{x+4}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{x+7}{x+4}-\frac{x+4}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{x+7-x-4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+4}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2+4}+\frac{9}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{6}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{4}+\frac{9}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\pi$

≈ 2,356