= $\pi$ ${\left[-\frac{484}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{484}{9{\left(3x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{484}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}+\frac{484}{9{\left(3\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{484}{9{\left(9+2\right)}^3}+\frac{484}{9{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{484}{9\cdot {11}^3}+\frac{484}{9\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{484}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)+\frac{484}{9}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{99}+\frac{121}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{198}+\frac{1331}{198}\right)$

= $\pi ·\frac{147}{22}$

= $\frac{147}{22}\pi$

≈ 20,992

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(3x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(3x+3\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{{\left(3\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{4}{{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{\left(12+3\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{4}{{\left(3+3\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{{15}^3}-\frac{3}{16}-\left(\frac{4}{6^3}-12\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{3375}\right)-\frac{3}{16}-\left(4\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3375}-\frac{3}{16}-\left(\frac{1}{54}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{54000}-\frac{10125}{54000}-\left(\frac{1}{54}-\frac{648}{54}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10061}{54000}-1·\left(-\frac{647}{54}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10061}{54000}+\frac{647}{54}\right)$

= $\pi ·\frac{70771}{6000}$

= $\frac{70771}{6000}\pi$

≈ 37,056

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+2-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{40}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-1·\left(-\frac{20}{3}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2+\frac{20}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+\frac{26}{3}\right)$

≈ 20,439