= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 2+2}+\frac{2}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{4+2}+\frac{2}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\pi$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{27}{2^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{4^3}-27\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{27}{8}-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{27}{8}-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{216}{64}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+\frac{1664}{64}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{64}$

= $\frac{1475}{64}\pi$

≈ 72,404

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+5}{x+1}-2$ = $\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+5-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+1}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{1+1}+\frac{9}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+\frac{9}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+9\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+9\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}+\frac{18}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{2}$

= $\frac{9}{2}\pi$

≈ 14,137