= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 0}+2e^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^0+2e^2\right)$

= $\pi ·\left(-2+2e^2\right)$

= $\pi ·\left(2e^2-2\right)$

≈ 40,144

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+3\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 9}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{27}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{18}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{54}-\frac{675}{54}-\left(\frac{25}{18}-\frac{450}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{625}{54}-1·\left(-\frac{425}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{625}{54}+\frac{425}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{27}$

= $\frac{325}{27}\pi$

≈ 37,815

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-16e^{\mathrm{0,5}x}+4x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+4\cdot 3-\left(4e^0-16e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-\left(4-16e^0+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-\left(4-16+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12-1·\left(-12\right))$

= $\pi ·\left(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+12+12\right)$

= $\pi ·\left(4e^3-16e^{\mathrm{1,5}}+24\right)$

≈ 102,526