= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 1+2\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2+2\right)}+\frac{25}{2\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 4}+\frac{25}{2\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{8}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{8}+\frac{50}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{8}$

= $\frac{25}{8}\pi$

≈ 9,817

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{2+2}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{4}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-8-\left(16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(4-8-\left(\frac{16}{3}-16\right))$

= $\pi ·(-4-\left(\frac{16}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-4-1·\left(-\frac{32}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{3}+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{20}{3}$

= $\frac{20}{3}\pi$

≈ 20,944

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+3}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+3\right)}^2+3-2{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(1+3\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4^3}+\frac{3}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{64}+\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{576}+\frac{64}{576}\right)$

= $\pi ·\frac{37}{576}$

= $\frac{37}{576}\pi$

≈ 0,202