= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+1\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 2+1\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(4+1\right)}+\frac{25}{2\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 5}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·10$

= $10\pi$

≈ 31,416

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+2}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3+2}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{1+2}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{5}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{25}{3}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(5-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{15}{3}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}-\frac{75}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{3}-1·\left(-\frac{50}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{3}+\frac{50}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{40}{3}$

= $\frac{40}{3}\pi$

≈ 41,888

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097