= $\pi$ ${\left[x^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-\left(0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0\right))$

= $\pi ·(8+\frac{1}{2}\cdot 4+4-\left(0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(8+2+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(14+0\right)$

= $\pi ·\left(14\right)$

= $14\pi$

≈ 43,982

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 3+4}-\frac{9}{3}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{9+4}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{3+4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-3-\left(3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-\frac{39}{13}-\left(\frac{3}{7}-\frac{63}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{36}{13}-1·\left(-\frac{60}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{13}+\frac{60}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{528}{91}$

= $\frac{528}{91}\pi$

≈ 18,228

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $2x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097