= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 3}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-6}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-6}+1\right)$

≈ 3,134

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+4}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{8}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{5}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(2-4-\left(\frac{16}{5}-16\right))$

= $\pi ·(-2-\left(\frac{16}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-2-1·\left(-\frac{64}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-2+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{5}+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-2+\frac{64}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{54}{5}$

= $\frac{54}{5}\pi$

≈ 33,929

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+3\right)}^2+5-{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(1+3\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 4^3}+\frac{25}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{192}+\frac{25}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{675}{5184}+\frac{1600}{5184}\right)$

= $\pi ·\frac{925}{5184}$

= $\frac{925}{5184}\pi$

≈ 0,561