= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,358

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+1}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+1}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+1}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+1}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+1}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{3}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{21}-\frac{28}{21}-\left(\frac{2}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{22}{21}-1·\left(-\frac{10}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{22}{21}+\frac{10}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{16}{7}$

= $\frac{16}{7}\pi$

≈ 7,181

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(9+0\right)$

= $\pi ·9$

= $9\pi$

≈ 28,274