= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{49}{3}$

= $\frac{49}{3}\pi$

≈ 51,313

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 2+2}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{6+2}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{3+2}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{8}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{5}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{9}{2}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{8}-\frac{9}{2}-\left(\frac{3}{5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{8}-\frac{36}{8}-\left(\frac{3}{5}-\frac{45}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33}{8}-1·\left(-\frac{42}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33}{8}+\frac{42}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{171}{40}$

= $\frac{171}{40}\pi$

≈ 13,43

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+7}{3x+2}-1$ = $\frac{3x+7}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3x+7}{3x+2}-\frac{3x+2}{3x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3x+7-3x-2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 2+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(6+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 8}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{24}+\frac{100}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{8}$

= $\frac{25}{8}\pi$

≈ 9,817