= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 3+4}+\frac{3}{3\cdot 0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{9+4}+\frac{3}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{13}+\frac{3}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{13}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{13}+\frac{3}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{52}+\frac{39}{52}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{52}$

= $\frac{27}{52}\pi$

≈ 1,631

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+2\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(9+2\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+2\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 11}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\cdot 5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{33}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{15}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{33}-\frac{176}{33}-\left(\frac{16}{15}-\frac{240}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{160}{33}-1·\left(-\frac{224}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{160}{33}+\frac{224}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{1664}{165}$

= $\frac{1664}{165}\pi$

≈ 31,682

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+5-{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2+1\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 3^3}+\frac{25}{6\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+\frac{25}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{162}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{162}+\frac{675}{162}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{81}$

= $\frac{325}{81}\pi$

≈ 12,605