= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+3\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 3+3\right)}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(9+3\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+3\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 12}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\cdot 6}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{9}-\frac{16}{3}-\left(\frac{8}{9}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{9}-\frac{48}{9}-\left(\frac{8}{9}-\frac{144}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{44}{9}-1·\left(-\frac{136}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{44}{9}+\frac{136}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{92}{9}$

= $\frac{92}{9}\pi$

≈ 32,114

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+3\right)}^2+5-{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(3+3\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 6^3}+\frac{25}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{25}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{200}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{648}$

= $\frac{175}{648}\pi$

≈ 0,848