= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 4}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-24}+\frac{1}{6}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}{e}^{-6}-\frac{1}{6}{e}^{-24}\right)$

≈ 0,001

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(3x+2\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{25}{{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{\left(9+2\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{{\left(3+2\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{{11}^3}-\frac{25}{9}-\left(\frac{25}{5^3}-75\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{9}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1331}-\frac{25}{9}-\left(\frac{1}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{225}{11979}-\frac{33275}{11979}-\left(\frac{1}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{33050}{11979}-1·\left(-\frac{374}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{33050}{11979}+\frac{374}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{4314896}{59895}$

= $\frac{4314896}{59895}\pi$

≈ 226,323

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-10e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+1-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(5e^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(5-10+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,8}}-10e^{\mathrm{0,4}}+6\right)$

≈ 6,941