= $\pi$ ${\left[-3{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{3x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{3\cdot 2+2}+\frac{3}{3\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6+2}+\frac{3}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{8}+\frac{12}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{9}{8}$

= $\frac{9}{8}\pi$

≈ 3,534

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(3x+1\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{16}{{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{\left(9+1\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{16}{{\left(3+1\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{{10}^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{16}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{16}{9}-\left(16\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{125}-\frac{16}{9}-\left(\frac{1}{4}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{18}{1125}-\frac{2000}{1125}-\left(\frac{1}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1982}{1125}-1·\left(-\frac{191}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1982}{1125}+\frac{191}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{206947}{4500}$

= $\frac{206947}{4500}\pi$

≈ 144,476

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+1\right)}^2+3-2{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(4+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 5^3}+\frac{3}{2\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{250}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{250}+\frac{375}{250}\right)$

= $\pi ·\frac{186}{125}$

= $\frac{186}{125}\pi$

≈ 4,675