= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+5x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 1^3+\frac{1}{2}\cdot 1^2+5\cdot 1-\left(\frac{4}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2+5\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1+5-\left(\frac{4}{3}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}+\frac{1}{2}+5-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{8}{6}+\frac{3}{6}+\frac{30}{6}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{41}{6}\right)$

= $\frac{41}{6}\pi$

≈ 21,468

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{5^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{4}{9}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{125}-\frac{4}{9}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{108}{1125}-\frac{500}{1125}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{392}{1125}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{13000}{1125}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{392}{1125}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{12608}{1125}$

= $\frac{12608}{1125}\pi$

≈ 35,208

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33