= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-12}+\frac{3}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-12}+\frac{3}{2}\right)$

≈ 4,712

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 13}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-1-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-\frac{39}{39}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{35}{39}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{35}{39}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{13}$

= $\frac{36}{13}\pi$

≈ 8,7

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+4\right)}^2+4-{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(4+4\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 8^3}+\frac{8}{3\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{192}+\frac{1}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{192}+\frac{8}{192}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{192}$

= $\frac{7}{192}\pi$

≈ 0,115