= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 2+1\right)}^3}-\frac{3}{2^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(4+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 5^3}-\frac{3}{8}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{3}{8}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{250}-\frac{3}{8}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{1000}-\frac{375}{1000}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{363}{1000}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{363}{1000}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{23233}{9000}$

= $\frac{23233}{9000}\pi$

≈ 8,11

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+3\right)}^2+5-2{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3+3\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot 6^3}+\frac{25}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{1944}+\frac{25}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{1944}+\frac{200}{1944}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{1944}$

= $\frac{175}{1944}\pi$

≈ 0,283