= $\pi$ ${\left[-2e^{-2x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-2e^{-2\cdot 2}+2e^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-2e^{-4}+2e^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(2e^{-2}-2e^{-4}\right)$

≈ 0,735

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+3}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 4+3}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+3}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{12+3}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{3}{3+3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{15}-\frac{9}{4}-\left(\frac{3}{6}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{15}\right)-\frac{9}{4}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{5}-\frac{9}{4}-\left(\frac{1}{2}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{20}-\frac{45}{20}-\left(\frac{1}{2}-\frac{18}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{41}{20}-1·\left(-\frac{17}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{41}{20}+\frac{17}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{129}{20}$

= $\frac{129}{20}\pi$

≈ 20,263

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·38$

= $38\pi$

≈ 119,381