= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{224}{3}$

= $\frac{224}{3}\pi$

≈ 234,572

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 2+3\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(4+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 7}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{14}-\frac{25}{2}-\left(\frac{5}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{14}-\frac{175}{14}-\left(\frac{5}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{75}{7}-1·\left(-\frac{45}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{75}{7}+\frac{45}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{165}{14}$

= $\frac{165}{14}\pi$

≈ 37,026

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227