= $\pi$ ${\left[-3e^{-x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-3e^{-3}+3e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-3e^{-3}+3\right)$

≈ 8,956

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+4\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+4}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 4+4}-\frac{16}{4}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+4}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8+4}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{8}{2+4}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{12}-4-\left(\frac{8}{6}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{12}\right)-4-\left(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-4-\left(\frac{4}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{3}-1·\left(-\frac{44}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{3}+\frac{44}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{34}{3}$

= $\frac{34}{3}\pi$

≈ 35,605

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+4-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+4-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·147$

= $147\pi$

≈ 461,814