= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 1}+e^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(9+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 10}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{50}{6}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{15}{2}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{2}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{185}{12}$

= $\frac{185}{12}\pi$

≈ 48,433

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $2x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097