= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}{e}^{-4}\right)$

≈ 11,578

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{3}{4^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(8+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 9^3}-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{486}-\frac{3}{64}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{15552}-\frac{729}{15552}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{15552}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{15552}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{15552}$

= $\frac{45095}{15552}\pi$

≈ 9,109

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378