= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+3}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{4+3}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{1+3}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{9}{4}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{7}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{36}{28}-\frac{63}{28}-\left(\frac{9}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{27}{28}-1·\left(-\frac{27}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{189}{28}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{28}+\frac{27}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{81}{14}$

= $\frac{81}{14}\pi$

≈ 18,176

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+1+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-10e^{\mathrm{0,2}}+\frac{17}{2}\right)$

≈ 0,049