= $\pi$ ${\left[-\frac{1936}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1936}{9{\left(3x+2\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1936}{9{\left(3\cdot 3+2\right)}^3}+\frac{1936}{9{\left(3\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1936}{9{\left(9+2\right)}^3}+\frac{1936}{9{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1936}{9\cdot {11}^3}+\frac{1936}{9\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1936}{9}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)+\frac{1936}{9}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{99}+\frac{242}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{99}+\frac{2662}{99}\right)$

= $\pi ·\frac{294}{11}$

= $\frac{294}{11}\pi$

≈ 83,966

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[54{\left(2x+4\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{54}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{54}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{108}{4^3}-\left(\frac{54}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{\left(8+4\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{54}{{\left(2+4\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{12}^3}-\frac{27}{16}-\left(\frac{54}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(54\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{27}{16}-\left(54\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{32}-\frac{27}{16}-\left(\frac{1}{4}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{32}-\frac{54}{32}-\left(\frac{1}{4}-\frac{432}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{32}-1·\left(-\frac{431}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{32}+\frac{431}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{32}$

= $\frac{3395}{32}\pi$

≈ 333,303

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $2x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(36+0\right)$

= $\pi ·36$

= $36\pi$

≈ 113,097