= $\pi$ ${\left[\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+3x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{1}{2}\cdot 1^2+3\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1+3-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{6}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(4\right)$

= $4\pi$

≈ 12,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9{\left(9+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9\cdot {10}^3}-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{1125}-\frac{64}{81}-\left(\frac{1}{9}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{72}{10125}-\frac{8000}{10125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{192}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7928}{10125}-1·\left(-\frac{191}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7928}{10125}+\frac{191}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{206947}{10125}$

= $\frac{206947}{10125}\pi$

≈ 64,212

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+3-2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{\left(6+4\right)}^3}+\frac{1}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\left(\frac{1}{1000}\right)+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{1000}+\frac{1}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{8000}+\frac{125}{8000}\right)$

= $\pi ·\frac{117}{8000}$

= $\frac{117}{8000}\pi$

≈ 0,046