= $\pi$ ${\left[-\frac{32}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{32}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{32}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}+\frac{32}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{32}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{32}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{32}{3\cdot 4^3}+\frac{32}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{32}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}\pi$

≈ 3,665

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 2+3}-\frac{4}{2}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{4+3}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-2-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-2-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-2-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{7}-\frac{14}{7}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{12}{7}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{12}{7}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{66}{35}$

= $\frac{66}{35}\pi$

≈ 5,924

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-30e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+3-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{45}{2}{e}^0-30e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{45}{2}-30+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{45}{2}-\frac{60}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+3-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+3+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-30e^{\mathrm{0,6}}+\frac{21}{2}\right)$

≈ 95,941