= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{4}{e}^{-4x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 3}+\frac{9}{4}{e}^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-12}+\frac{9}{4}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}{e}^{-12}+\frac{9}{4}\right)$

≈ 7,069

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^4}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{4}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{4}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3{\left(3+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{4}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{4}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 4^3}-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{4}{3\cdot 2^3}-\frac{4}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{81}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{48}-\frac{4}{81}-\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1296}-\frac{64}{1296}-\left(\frac{1}{6}-\frac{8}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{1296}-1·\left(-\frac{7}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{1512}{1296}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{1296}+\frac{7}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{1296}$

= $\frac{1475}{1296}\pi$

≈ 3,576

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5}{{\left(x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+3\right)}^2+5-3{\left(x+3\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(3+3\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 6^3}+\frac{25}{3\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{25}{81}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{648}+\frac{200}{648}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{648}$

= $\frac{175}{648}\pi$

≈ 0,848