= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{3}$

= $\frac{158}{3}\pi$

≈ 165,457

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 7}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{21}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{42}-\frac{525}{42}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{475}{42}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{475}{42}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{28}$

= $\frac{325}{28}\pi$

≈ 36,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+1+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,4}}+\frac{19}{4}\right)$

≈ 0,229