= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 1-\frac{1}{6}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[2{\left(2x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{2}{2x+3}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{2\cdot 3+3}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{2\cdot 1+3}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{6+3}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{2+3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-\frac{4}{3}-\left(2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}-\left(\frac{2}{5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{12}{9}-\left(\frac{2}{5}-\frac{20}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{9}-1·\left(-\frac{18}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{9}+\frac{18}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{112}{45}$

= $\frac{112}{45}\pi$

≈ 7,819

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+8\right)$

≈ 5,295