= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,089

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{2{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{75}{2{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2{\left(6+3\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{75}{2{\left(2+3\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2\cdot 9^3}-\frac{25}{9}-\left(\frac{75}{2\cdot 5^3}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{25}{9}-\left(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{486}-\frac{25}{9}-\left(\frac{3}{10}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{486}-\frac{1350}{486}-\left(\frac{3}{10}-\frac{750}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1325}{486}-1·\left(-\frac{747}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1325}{486}+\frac{747}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{87448}{1215}$

= $\frac{87448}{1215}\pi$

≈ 226,112

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+2-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+7\right)$

≈ 1,213