= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+3}+\frac{25}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{75}{12}+\frac{100}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{12}$

= $\frac{25}{12}\pi$

≈ 6,545

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3{\left(x+1\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3{\left(4+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{16}{3{\left(1+1\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 5^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{16}{3\cdot 2^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{12}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{375}-\frac{1}{12}-\left(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1500}-\frac{125}{1500}-1·\left(-\frac{14}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{14}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{61}{1500}+\frac{7000}{1500}\right)$

= $\pi ·\frac{2313}{500}$

= $\frac{2313}{500}\pi$

≈ 14,533

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-40e^{\mathrm{0,3}x}+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-40e^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+4\cdot 1-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-40e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}}-40e^{\mathrm{0,3}}+4-\left(15e^0-40e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}}-40e^{\mathrm{0,3}}+4-\left(15-40+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}}-40e^{\mathrm{0,3}}+4-1·\left(-25\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{0,6}}-40e^{\mathrm{0,3}}+4+25\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{0,6}}-40e^{\mathrm{0,3}}+29\right)$

≈ 7,343