= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{9}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{2}{e}^{-6}+\frac{9}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}{e}^{-2}-\frac{9}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 1,878

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{4^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{9}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{4}{9}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{144}-\frac{64}{144}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{144}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{1512}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{144}$

= $\frac{1475}{144}\pi$

≈ 32,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+5}{{\left(2x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+4\right)}^2+5-3{\left(2x+4\right)}^2}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6}{\left(2x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{6{\left(2x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(2\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6{\left(4+4\right)}^3}+\frac{25}{6{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6\cdot 8^3}+\frac{25}{6\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3072}+\frac{25}{384}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3072}+\frac{200}{3072}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{3072}$

= $\frac{175}{3072}\pi$

≈ 0,179