= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 2^3-\frac{1}{6}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8-\frac{1}{6}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+4\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+4\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+4\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+4\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+4\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 10}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 7}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-2-\left(\frac{4}{21}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{15}-\frac{30}{15}-\left(\frac{4}{21}-\frac{84}{21}\right))$

= $\pi ·(-\frac{28}{15}-1·\left(-\frac{80}{21}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{28}{15}+\frac{80}{21}\right)$

= $\pi ·\frac{68}{35}$

= $\frac{68}{35}\pi$

≈ 6,104

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+5}{x+1}-2$ = $\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2x+5-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{3+1}+\frac{9}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+9\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+9\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{36}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{4}$

= $\frac{27}{4}\pi$

≈ 21,206