= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}{e}^{-12}\right)$

≈ 844,939

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+2\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(9+2\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+2\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 11}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3\cdot 5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{33}-\frac{16}{3}-\left(\frac{16}{15}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{33}-\frac{176}{33}-\left(\frac{16}{15}-\frac{240}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{160}{33}-1·\left(-\frac{224}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{160}{33}+\frac{224}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{1664}{165}$

= $\frac{1664}{165}\pi$

≈ 31,682

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-90e^{\mathrm{0,2}x}+9x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-90e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+9\cdot 1-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-90e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+9-\left(\frac{45}{2}{e}^0-90e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+9-\left(\frac{45}{2}-90+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+9-\left(\frac{45}{2}-\frac{180}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+9-1·\left(-\frac{135}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+9+\frac{135}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-90e^{\mathrm{0,2}}+\frac{153}{2}\right)$

≈ 0,439