= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+4\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 7^3-\frac{1}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 343-\frac{1}{3}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{3}-\frac{64}{3}\right)$

= $\pi ·93$

= $93\pi$

≈ 292,168

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 3+1\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(9+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 10}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{6}-\frac{50}{6}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{15}{2}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{2}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{185}{12}$

= $\frac{185}{12}\pi$

≈ 48,433

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+11}{2x+3}-3$ = $\frac{6x+11}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{6x+11}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6x+11-6x-9}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{6}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{9}$

= $\frac{4}{9}\pi$

≈ 1,396