= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+3\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 3+3\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(6+3\right)}+\frac{25}{2\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 9}+\frac{25}{2\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{18}+\frac{75}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{9}$

= $\frac{25}{9}\pi$

≈ 8,727

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{3\left(3x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3\left(3\cdot 2+1\right)}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{3\left(3+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3\cdot 7}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3\cdot 4}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{21}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{42}-\frac{525}{42}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{475}{42}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{475}{42}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{325}{28}$

= $\frac{325}{28}\pi$

≈ 36,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{{\left(x+2\right)}^2+5}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2+5-{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{25}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 4^3}+\frac{25}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{192}+\frac{25}{24}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{192}+\frac{200}{192}\right)$

= $\pi ·\frac{175}{192}$

= $\frac{175}{192}\pi$

≈ 2,863