= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-12}+\frac{3}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-12}+\frac{3}{2}\right)$

≈ 4,712

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{2+1}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{1+1}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{2}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-2-\left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-2-\left(2-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-\frac{6}{3}-1·\left(-2\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{6}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $2x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071