= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(3\cdot 3+1\right)}+\frac{4}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\left(9+1\right)}+\frac{4}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 10}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{15}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{15}+\frac{20}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5}\pi$

≈ 3,77

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 2+2}-\frac{16}{2}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{4+2}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{8}{2+2}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{6}-8-\left(\frac{8}{4}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-8-\left(8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-8-\left(2-16\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}-\frac{24}{3}-1·\left(-14\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+14\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+\frac{42}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{20}{3}+14\right)$

= $\pi ·\frac{22}{3}$

= $\frac{22}{3}\pi$

≈ 23,038

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+3}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(2x+1\right)}^2+3-{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(2\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2{\left(6+1\right)}^3}+\frac{3}{2{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2\cdot 7^3}+\frac{3}{2\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{686}+\frac{3}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{686}+\frac{1029}{686}\right)$

= $\pi ·\frac{513}{343}$

= $\frac{513}{343}\pi$

≈ 4,699