= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{125}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{109}{3}$

= $\frac{109}{3}\pi$

≈ 114,145

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(3+2\right)}^3}-\frac{3}{3^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{5^3}-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{1}{9}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{1}{9}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1125}-\frac{125}{1125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{98}{1125}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{3250}{1125}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{98}{1125}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{3152}{1125}$

= $\frac{3152}{1125}\pi$

≈ 8,802

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33