= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{56}{3}$

= $\frac{56}{3}\pi$

≈ 58,643

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^4}-\frac{16}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}-\frac{16}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{3{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{16}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{3{\left(2\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{8}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{16}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3{\left(4+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{8}{3{\left(2+2\right)}^3}-\frac{16}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3\cdot 6^3}-\frac{2}{3}-\left(\frac{8}{3\cdot 4^3}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{2}{3}-\left(\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{81}-\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{24}-\frac{16}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{81}-\frac{54}{81}-\left(\frac{1}{24}-\frac{128}{24}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{81}-1·\left(-\frac{127}{24}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{81}+\frac{127}{24}\right)$

= $\pi ·\frac{3005}{648}$

= $\frac{3005}{648}\pi$

≈ 14,569

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+4}{x+1}-2$ = $\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{2x+4}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2x+4-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+1}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{2+1}+\frac{4}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{4}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+4\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+4\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378