= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 2^3-\frac{1}{6}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8-\frac{1}{6}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+2\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 3+2\right)}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(9+2\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+2\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 11}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3\cdot 5}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{15}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{33}-\frac{44}{33}-\left(\frac{4}{15}-\frac{60}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{40}{33}-1·\left(-\frac{56}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{40}{33}+\frac{56}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{416}{165}$

= $\frac{416}{165}\pi$

≈ 7,921

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{3x+5}{3x+1}-1$ = $\frac{3x+5}{3x+1}-\frac{3x+1}{3x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{3x+5}{3x+1}-\frac{3x+1}{3x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3x+5-3x-1}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{3\left(3x+1\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3\cdot 1+1\right)}+\frac{16}{3\left(3\cdot 0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\left(3+1\right)}+\frac{16}{3\left(0+1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3\cdot 4}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{16}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\pi ·4$

= $4\pi$

≈ 12,566