= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,358

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+3\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 2+3\right)}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(4+3\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+3\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 7}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2\cdot 5}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{10}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{14}-\frac{63}{14}-\left(\frac{9}{10}-\frac{90}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{27}{7}-1·\left(-\frac{81}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{7}+\frac{81}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{297}{70}$

= $\frac{297}{70}\pi$

≈ 13,329

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-1$ = $\frac{{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+5}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{{\left(3x+4\right)}^2+5-{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9{\left(9+4\right)}^3}+\frac{25}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9\cdot {13}^3}+\frac{25}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)+\frac{25}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{19773}+\frac{25}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1600}{1265472}+\frac{54925}{1265472}\right)$

= $\pi ·\frac{5925}{140608}$

= $\frac{5925}{140608}\pi$

≈ 0,132