= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+2\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 1+2\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3+2\right)}+\frac{25}{3\left(0+2\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 5}+\frac{25}{3\cdot 2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{3}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{6}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{2}$

= $\frac{5}{2}\pi$

≈ 7,854

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{4^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{4}{9}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{4}{9}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{144}-\frac{64}{144}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{37}{144}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{1512}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{37}{144}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{144}$

= $\frac{1475}{144}\pi$

≈ 32,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·84$

= $84\pi$

≈ 263,894