= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 0}+e^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-e^0+e^4\right)$

= $\pi ·\left(-1+e^4\right)$

= $\pi ·\left(e^4-1\right)$

≈ 168,384

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{21}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{441}{x^4}-\frac{441}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[49{\left(3x+4\right)}^{-3}-147x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{147}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{147}{3^3}-\left(\frac{49}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{147}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{\left(9+4\right)}^3}-147\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{49}{{\left(3+4\right)}^3}-147\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{13}^3}-\frac{49}{9}-\left(\frac{49}{7^3}-147\right))$

= $\pi ·(49\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{49}{9}-\left(49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{2197}-\frac{49}{9}-\left(\frac{1}{7}-147\right))$

= $\pi ·(\frac{441}{19773}-\frac{107653}{19773}-\left(\frac{1}{7}-\frac{1029}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{107212}{19773}-1·\left(-\frac{1028}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{107212}{19773}+\frac{1028}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{19576160}{138411}$

= $\frac{19576160}{138411}\pi$

≈ 444,331

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{4x+6}{2x+1}-2$ = $\frac{4x+6}{2x+1}-\frac{2\left(2x+1\right)}{2x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{4x+6}{2x+1}-\frac{2\left(2x+1\right)}{2x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4x+6-4x-2}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 3+1}+\frac{8}{2\cdot 0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{6+1}+\frac{8}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{7}+\frac{8}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+8\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{7}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{7}+\frac{56}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{48}{7}$

= $\frac{48}{7}\pi$

≈ 21,542