= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}{e}^{-2}-\frac{1}{2}{e}^{-6}\right)$

≈ 0,209

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{4^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{2}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{3}{2}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{24}{16}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{21}{16}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{16}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{144}+\frac{1664}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{16}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{144}$

= $\frac{1475}{144}\pi$

≈ 32,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+2-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+2+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}+7\right)$

≈ 1,213