= $\pi$ ${\left[-e^{-x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2}+e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-2}+1\right)$

≈ 2,716

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[4{\left(x+2\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{x+2}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{2+2}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{1+2}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{4}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-2-\left(4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-4\right))$

= $\pi ·(1-2-\left(\frac{4}{3}-4\right))$

= $\pi ·(-1-\left(\frac{4}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-1-1·\left(-\frac{8}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-1+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{3}+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-1+\frac{8}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{3}$

= $\frac{5}{3}\pi$

≈ 5,236

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+6}{x+3}-1$ = $\frac{x+6}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{x+6}{x+3}-\frac{x+3}{x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{x+6-x-3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{1+3}+\frac{9}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+3\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{12}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\pi$

≈ 2,356