= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^0+\frac{1}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{e}^2\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}\right)$

≈ 10,036

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+1}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 2+1}-\frac{16}{2}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+1}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{4+1}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{8}{2+1}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{5}-8-\left(\frac{8}{3}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-8-\left(8\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{5}-8-\left(\frac{8}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{5}-\frac{40}{5}-\left(\frac{8}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{32}{5}-1·\left(-\frac{40}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{32}{5}+\frac{40}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{104}{15}$

= $\frac{104}{15}\pi$

≈ 21,782

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+4}{{\left(2x+2\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+4}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+4}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(2x+2\right)}^2+4-3{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(2\cdot 2+2\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3{\left(4+2\right)}^3}+\frac{8}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3\cdot 6^3}+\frac{8}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+\frac{8}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{81}+\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{81}+\frac{27}{81}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{81}$

= $\frac{26}{81}\pi$

≈ 1,008