= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+3\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 4+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(12+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {15}^3-\frac{1}{9}\cdot 6^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 3375-\frac{1}{9}\cdot 216\right)$

= $\pi ·\left(375-24\right)$

= $\pi ·351$

= $351\pi$

≈ 1102,699

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[16{\left(x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{x+2}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{4+2}-\frac{16}{4}-\left(\frac{16}{1+2}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{6}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{16}{3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(16\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4-\left(16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-4-\left(\frac{16}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{3}-\frac{12}{3}-\left(\frac{16}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4}{3}-1·\left(-\frac{32}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}+\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{28}{3}$

= $\frac{28}{3}\pi$

≈ 29,322

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+5}{x+3}-1$ = $\frac{x+5}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{x+5}{x+3}-\frac{x+3}{x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{x+5-x-3}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-4{\left(x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3+3}+\frac{4}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{6}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\pi$

≈ 2,094