= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 3^4+\frac{3}{2}\cdot 3^2+3-\left(\frac{5}{4}\cdot 0^4+\frac{3}{2}\cdot 0^2+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}\cdot 81+\frac{3}{2}\cdot 9+3-\left(\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{405}{4}+\frac{27}{2}+3-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{405}{4}+\frac{54}{4}+\frac{12}{4}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{471}{4}\right)$

= $\frac{471}{4}\pi$

≈ 369,923

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+4\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(6+4\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+4\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{10}^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{24}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{16}{9}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{16}{9}-\left(\frac{1}{9}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{1125}-\frac{2000}{1125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{432}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1973}{1125}-1·\left(-\frac{431}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1973}{1125}+\frac{431}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{51902}{1125}$

= $\frac{51902}{1125}\pi$

≈ 144,938

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·38$

= $38\pi$

≈ 119,381