= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{9}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{9}+\frac{6}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{9}$

= $\frac{4}{9}\pi$

≈ 1,396

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{18}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{18}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{324}{x^4}-\frac{324}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[54{\left(2x+4\right)}^{-3}-108x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{54}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{108}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{54}{{\left(2\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{108}{4^3}-\left(\frac{54}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{108}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{\left(8+4\right)}^3}-108\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{54}{{\left(2+4\right)}^3}-108\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{{12}^3}-\frac{27}{16}-\left(\frac{54}{6^3}-108\right))$

= $\pi ·(54\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)-\frac{27}{16}-\left(54\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{32}-\frac{27}{16}-\left(\frac{1}{4}-108\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{32}-\frac{54}{32}-\left(\frac{1}{4}-\frac{432}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{53}{32}-1·\left(-\frac{431}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{53}{32}+\frac{431}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3395}{32}$

= $\frac{3395}{32}\pi$

≈ 333,303

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 4 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-4 = $x+4-4$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+4-4\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378