= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+3\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {12}^3-\frac{1}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1728-\frac{1}{9}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(192-3\right)$

= $\pi ·189$

= $189\pi$

≈ 593,761

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+1\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 3+1\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+1\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(6+1\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+1\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 7}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\cdot 3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{14}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{42}-\frac{350}{42}-\left(\frac{25}{6}-\frac{150}{6}\right))$

= $\pi ·(-\frac{275}{42}-1·\left(-\frac{125}{6}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{275}{42}+\frac{125}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{100}{7}$

= $\frac{100}{7}\pi$

≈ 44,88

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(x+2\right)}^2+2}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+2\right)}^2+2-2{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(1+2\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 3^3}+\frac{4}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)+\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{81}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{162}+\frac{27}{162}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{162}$

= $\frac{19}{162}\pi$

≈ 0,368