= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+3\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+3\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{9}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{27}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{3}$

= $\frac{158}{3}\pi$

≈ 165,457

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{7}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{7}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{49}{x^4}-\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{49}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{49}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{9{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{49}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9{\left(6+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{49}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9\cdot {10}^3}-\frac{49}{24}-\left(\frac{49}{9\cdot 7^3}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{49}{24}-\left(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9000}-\frac{49}{24}-\left(\frac{1}{63}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9000}-\frac{18375}{9000}-\left(\frac{1}{63}-\frac{1029}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9163}{4500}-1·\left(-\frac{1028}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9163}{4500}+\frac{1028}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{149953}{10500}$

= $\frac{149953}{10500}\pi$

≈ 44,866

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-60e^{\mathrm{0,3}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-60e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15e^0-60e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-\left(15-60+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27-1·\left(-45\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+27+45\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,8}}-60e^{\mathrm{0,9}}+72\right)$

≈ 47,653