= $\pi$ ${\left[\frac{2}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+2x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{2}{3}\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-\left(\frac{2}{3}\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}\cdot 8+\frac{5}{2}\cdot 4+4-\left(\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{5}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}+10+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{16}{3}+\frac{30}{3}+\frac{12}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{58}{3}\right)$

= $\frac{58}{3}\pi$

≈ 60,737

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3}{\left(x+3\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{3{\left(x+3\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{3{\left(4+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{64}{3{\left(1+3\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3\cdot 7^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{64}{3\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{3}-\left(\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1029}-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{1029}-\frac{343}{1029}-1·\left(-21\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{343}+21\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{93}{343}+\frac{7203}{343}\right)$

= $\pi ·\frac{7110}{343}$

= $\frac{7110}{343}\pi$

≈ 65,122

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3e^{\mathrm{0,1}x}-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,1}x}-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[45e^{\mathrm{0,2}x}-180e^{\mathrm{0,1}x}+9x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}-180e^{\mathrm{0,1}\cdot 3}+9\cdot 3-\left(45e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-180e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+9\cdot 0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-180e^{\mathrm{0,3}}+27-\left(45e^0-180e^0+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-180e^{\mathrm{0,3}}+27-\left(45-180+0\right))$

= $\pi ·(45e^{\mathrm{0,6}}-180e^{\mathrm{0,3}}+27-1·\left(-135\right))$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-180e^{\mathrm{0,3}}+27+135\right)$

= $\pi ·\left(45e^{\mathrm{0,6}}-180e^{\mathrm{0,3}}+162\right)$

≈ 3,207