= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 1}+e^{-4\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2+4}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{6}-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{9}{5}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-\frac{9}{2}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}-\frac{9}{2}-\left(\frac{9}{5}-9\right))$

= $\pi ·(-3-\left(\frac{9}{5}-\frac{45}{5}\right))$

= $\pi ·(-3-1·\left(-\frac{36}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-3+\frac{36}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{5}+\frac{36}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-3+\frac{36}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{21}{5}$

= $\frac{21}{5}\pi$

≈ 13,195

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+1-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+1-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{4}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{4}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}\pi$

≈ 4,189