= $\pi$ ${\left[-e^{-2x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-2\cdot 2}+e^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^0\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+1\right)$

≈ 3,084

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{14}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{14}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{196}{x^4}-\frac{196}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{196}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{196}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{196}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{196}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{196}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{196}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9{\left(9+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{196}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{196}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9\cdot {13}^3}-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9\cdot 7^3}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{196}{81}-\left(\frac{196}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{196}{19773}-\frac{196}{81}-\left(\frac{4}{63}-\frac{196}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{1764}{177957}-\frac{430612}{177957}-\left(\frac{4}{63}-\frac{4116}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{428848}{177957}-1·\left(-\frac{4112}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{428848}{177957}+\frac{4112}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{78304640}{1245699}$

= $\frac{78304640}{1245699}\pi$

≈ 197,481

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(9e-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e-12e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(-12e^{\mathrm{0,5}}+1+9e+3\right)$

= $\pi ·\left(-12e^{\mathrm{0,5}}+4+9e\right)$

≈ 27,269