= $\pi$ ${\left[-49{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{49}{{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{49}{{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{49}{{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{{\left(6+1\right)}^3}+\frac{49}{{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{7^3}+\frac{49}{1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+49\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7}+49\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7}+\frac{343}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{342}{7}$

= $\frac{342}{7}\pi$

≈ 153,489

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(3+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 7^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{100}{81}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{1029}-\frac{100}{81}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{2700}{27783}-\frac{34300}{27783}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{31600}{27783}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{158000}{138915}+\frac{4593456}{138915}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{31600}{27783}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4435456}{138915}$

= $\frac{4435456}{138915}\pi$

≈ 100,309

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+6}{x+2}-1$ = $\frac{x+6}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{x+6}{x+2}-\frac{x+2}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{x+6-x-2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{1+2}+\frac{16}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{16}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+8\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{3}+\frac{24}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3}\pi$

≈ 8,378