= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {10}^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1000-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1000}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·111$

= $111\pi$

≈ 348,717

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+1\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+1}-\frac{25}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2+1}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{1+1}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}-25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{25}{2}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\frac{25}{2}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{3}-\frac{25}{2}-\left(\frac{25}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{6}-\frac{75}{6}-\left(\frac{25}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25}{6}-1·\left(-\frac{25}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{75}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{6}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{3}$

= $\frac{25}{3}\pi$

≈ 26,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+4\right)}^2+3-2{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(3+4\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{7^3}+\frac{3}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{343}+\frac{3}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{192}{21952}+\frac{1029}{21952}\right)$

= $\pi ·\frac{837}{21952}$

= $\frac{837}{21952}\pi$

≈ 0,12