= $\pi$ ${\left[-\frac{1323}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{1323}{2{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1323}{2{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{1323}{2{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1323}{2{\left(4+3\right)}^3}+\frac{1323}{2{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1323}{2\cdot 7^3}+\frac{1323}{2\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1323}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{1323}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{14}+\frac{49}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{14}+\frac{343}{14}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{7}$

= $\frac{158}{7}\pi$

≈ 70,91

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(x+2\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{3}{2^3}-\left(\frac{3}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4^3}-3\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{3}{3^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{8}-\left(3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{3}{8}-\left(\frac{1}{9}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{24}{64}-\left(\frac{1}{9}-\frac{27}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{21}{64}-1·\left(-\frac{26}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{64}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{576}+\frac{1664}{576}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{64}+\frac{26}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{576}$

= $\frac{1475}{576}\pi$

≈ 8,045

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+4}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+4-3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(9+3\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot {12}^3}+\frac{16}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{972}+\frac{16}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{972}+\frac{64}{972}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{108}$

= $\frac{7}{108}\pi$

≈ 0,204