= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+3\right)}^3\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 6^3-\frac{1}{9}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 216-\frac{1}{9}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(24+0\right)$

= $\pi ·24$

= $24\pi$

≈ 75,398

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{6{\left(2\cdot 4+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6{\left(8+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6\cdot {11}^3}-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{6\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{1331}\right)-\frac{25}{192}-\left(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{7986}-\frac{25}{192}-\left(\frac{1}{30}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{800}{255552}-\frac{33275}{255552}-\left(\frac{1}{30}-\frac{250}{30}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10825}{85184}-1·\left(-\frac{83}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10825}{85184}+\frac{83}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{3481011}{425920}$

= $\frac{3481011}{425920}\pi$

≈ 25,676

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 3}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 3}+3-\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}{e}^0-\frac{40}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-\left(\frac{20}{3}-\frac{40}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3-1·\left(-\frac{20}{3}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+3+\frac{20}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{1,8}}-\frac{40}{3}{e}^{\mathrm{0,9}}+\frac{29}{3}\right)$

≈ 54,045