= $\pi$ ${\left[-150{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{150}{{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{150}{{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}+\frac{150}{{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{150}{{\left(2+3\right)}^3}+\frac{150}{{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{150}{5^3}+\frac{150}{3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-150\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+150\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{50}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{54}{45}+\frac{250}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{196}{45}$

= $\frac{196}{45}\pi$

≈ 13,683

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(4+1\right)}^3}-\frac{12}{4^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{5^3}-12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{3}{16}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{125}-\frac{3}{16}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{192}{2000}-\frac{375}{2000}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{183}{2000}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21000}{2000}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{183}{2000}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{20817}{2000}$

= $\frac{20817}{2000}\pi$

≈ 32,699

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 4^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 64-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991