= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}\right)$

≈ 0,524

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{3x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[3{\left(3x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{3x+4}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{3\cdot 3+4}-\frac{9}{3}-\left(\frac{3}{3\cdot 1+4}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{9+4}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{3+4}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(3\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-3-\left(3\cdot \left(\frac{1}{7}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-3-\left(\frac{3}{7}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{13}-\frac{39}{13}-\left(\frac{3}{7}-\frac{63}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{36}{13}-1·\left(-\frac{60}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{13}+\frac{60}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{528}{91}$

= $\frac{528}{91}\pi$

≈ 18,228

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-8e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(4e-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(4e^0-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(4e-8e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(4-8e^0+0\right))$

= $\pi ·(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e-\left(4-8+0\right))$

= $\pi ·(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e-1·\left(-4\right))$

= $\pi ·\left(-8e^{\mathrm{0,5}}+1+4e+4\right)$

= $\pi ·\left(-8e^{\mathrm{0,5}}+5+4e\right)$

≈ 8,43