= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+x^2+4x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 1^3+1^2+4\cdot 1-\left(\frac{5}{3}\cdot 0^3+0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 1+1+4-\left(\frac{5}{3}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}+1+4-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}+\frac{3}{3}+\frac{12}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{20}{3}\right)$

= $\frac{20}{3}\pi$

≈ 20,944

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+4\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+4\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{48}{2^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(4+4\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+4\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{8^3}-6-\left(\frac{24}{6^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-6-\left(24\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-6-\left(\frac{1}{9}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{384}{64}-\left(\frac{1}{9}-\frac{432}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{381}{64}-1·\left(-\frac{431}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{381}{64}+\frac{431}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{24155}{576}$

= $\frac{24155}{576}\pi$

≈ 131,745

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+6\right)$

≈ 0,119