= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{32}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{224}{3}$

= $\frac{224}{3}\pi$

≈ 234,572

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 4+1\right)}^3}-\frac{3}{4^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(8+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 9^3}-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{3}{64}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{486}-\frac{3}{64}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{32}{15552}-\frac{729}{15552}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{697}{15552}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{697}{15552}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{45095}{15552}$

= $\frac{45095}{15552}\pi$

≈ 9,109

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+4-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x+4-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 64-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973