= $\pi$ ${\left[-49{\left(3x+1\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{49}{{\left(3x+1\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{49}{{\left(3\cdot 2+1\right)}^3}+\frac{49}{{\left(3\cdot 0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{{\left(6+1\right)}^3}+\frac{49}{{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{49}{7^3}+\frac{49}{1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+49\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7}+49\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{7}+\frac{343}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{342}{7}$

= $\frac{342}{7}\pi$

≈ 153,489

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 13}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-1-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-\frac{39}{39}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{35}{39}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{35}{39}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{13}$

= $\frac{36}{13}\pi$

≈ 8,7

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2x+5}{x+1}-2$ = $\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2x+5}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2x+5-2x-2}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+1}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-9{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{9}{x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{9}{3+1}+\frac{9}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{9}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+9\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+9\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{9}{4}+\frac{36}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{27}{4}$

= $\frac{27}{4}\pi$

≈ 21,206