= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2+2\cdot 3-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{1}{3}\cdot 27+\frac{1}{2}\cdot 9+6-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(9+\frac{9}{2}+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{18}{2}+\frac{9}{2}+\frac{12}{2}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{39}{2}\right)$

= $\frac{39}{2}\pi$

≈ 61,261

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[48{\left(x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{48}{{\left(x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{48}{{\left(2+3\right)}^3}-\frac{48}{2^3}-\left(\frac{48}{{\left(1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{5^3}-48\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{48}{4^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(48\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-6-\left(48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{125}-6-\left(\frac{3}{4}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{125}-\frac{750}{125}-\left(\frac{3}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{702}{125}-1·\left(-\frac{189}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{702}{125}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2808}{500}+\frac{23625}{500}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{702}{125}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{20817}{500}$

= $\frac{20817}{500}\pi$

≈ 130,797

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $x+3-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+3-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(1+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{3}$

= $\frac{7}{3}\pi$

≈ 7,33