= $\pi$ ${\left[\frac{3}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+3x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{3}\cdot 2^3+3\cdot 2-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^4+\frac{1}{3}\cdot 0^3+3\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{4}\cdot 16+\frac{1}{3}\cdot 8+6-\left(\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0+0\right))$

= $\pi ·(12+\frac{8}{3}+6-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{36}{3}+\frac{8}{3}+\frac{18}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{62}{3}\right)$

= $\frac{62}{3}\pi$

≈ 64,926

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+4\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 3+4\right)}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(6+4\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+4\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 10}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2\cdot 6}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{12}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{15}{12}-\frac{100}{12}-\left(\frac{25}{12}-\frac{300}{12}\right))$

= $\pi ·(-\frac{85}{12}-1·\left(-\frac{275}{12}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{85}{12}+\frac{275}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{95}{6}$

= $\frac{95}{6}\pi$

≈ 49,742

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\pi ·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\pi$

≈ 1,047