= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot \left(-1\right)+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(4+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 5^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 125-\frac{1}{6}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{125}{6}+\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{6{\left(2\cdot 3+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6{\left(6+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6\cdot 9^3}-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{6\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{729}\right)-\frac{25}{81}-\left(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4374}-\frac{25}{81}-\left(\frac{1}{30}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{4374}-\frac{1350}{4374}-\left(\frac{1}{30}-\frac{250}{30}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1325}{4374}-1·\left(-\frac{83}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1325}{4374}+\frac{83}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{87448}{10935}$

= $\frac{87448}{10935}\pi$

≈ 25,124

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[9e^x-12e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(9e^2-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}+2-\left(9e^0-12e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(9e^2-12e+2-\left(9-12e^0+0\right))$

= $\pi ·(9e^2-12e+2-\left(9-12+0\right))$

= $\pi ·(9e^2+2-12e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·\left(9e^2+2-12e+3\right)$

= $\pi ·\left(9e^2+5-12e\right)$

≈ 122,152