= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}\right)$

≈ 0,995

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(3x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9}{\left(3x+2\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{9{\left(3x+2\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{9{\left(3\cdot 2+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{100}{9{\left(3\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9{\left(6+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{100}{9{\left(3+2\right)}^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9\cdot 8^3}-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{25}{6}-\left(\frac{4}{45}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{1152}-\frac{4800}{1152}-\left(\frac{4}{45}-\frac{1500}{45}\right))$

= $\pi ·(-\frac{4775}{1152}-1·\left(-\frac{1496}{45}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{4775}{1152}+\frac{1496}{45}\right)$

= $\pi ·\frac{55871}{1920}$

= $\frac{55871}{1920}\pi$

≈ 91,419

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,2}x}-20e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 3}+3-\left(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,6}}-20e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,6}}-20e^{\mathrm{0,3}}+3-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,6}}-20e^{\mathrm{0,3}}+3-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,6}}-20e^{\mathrm{0,3}}+3+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,6}}-20e^{\mathrm{0,3}}+18\right)$

≈ 0,356