= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 1}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-2}+\frac{3}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-2}+\frac{3}{2}\right)$

≈ 4,075

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+3\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+3}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 4+3}-\frac{16}{4}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+3}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8+3}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{8}{2+3}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{11}-4-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-4-\left(8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{11}-4-\left(\frac{8}{5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{11}-\frac{44}{11}-\left(\frac{8}{5}-\frac{80}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{36}{11}-1·\left(-\frac{72}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{36}{11}+\frac{72}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{612}{55}$

= $\frac{612}{55}\pi$

≈ 34,957

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469