= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {11}^3-\frac{1}{9}\cdot 5^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 1331-\frac{1}{9}\cdot 125\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1331}{9}-\frac{125}{9}\right)$

= $\pi ·134$

= $134\pi$

≈ 420,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(4+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 8^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{25}{48}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{25}{48}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{384}-\frac{200}{384}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{175}{384}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{875}{1920}+\frac{63488}{1920}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{175}{384}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{20871}{640}$

= $\frac{20871}{640}\pi$

≈ 102,45

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,1}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,1}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,2}x}-20e^{\mathrm{0,1}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}+2-\left(5e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,1}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-\left(5-20+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2-1·\left(-15\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+2+15\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{0,4}}-20e^{\mathrm{0,2}}+17\right)$

≈ 0,098