= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{3}{2}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}{e}^0+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{3}{2}{e}^6-\frac{3}{2}\right)$

≈ 1896,401

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(3+4\right)}^3}-\frac{75}{3^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{7^3}-75\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{9}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{343}-\frac{25}{9}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{675}{3087}-\frac{8575}{3087}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7900}{3087}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{39500}{15435}+\frac{1148364}{15435}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{7900}{3087}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{1108864}{15435}$

= $\frac{1108864}{15435}\pi$

≈ 225,695

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+4}{{\left(3x+4\right)}^2}-\frac{2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(3x+4\right)}^2+4-2{\left(3x+4\right)}^2}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{9{\left(3x+4\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(3\cdot 0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9{\left(9+4\right)}^3}+\frac{16}{9{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9\cdot {13}^3}+\frac{16}{9\cdot 4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)+\frac{16}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{19773}+\frac{1}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{64}{79092}+\frac{2197}{79092}\right)$

= $\pi ·\frac{237}{8788}$

= $\frac{237}{8788}\pi$

≈ 0,085