= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 1}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6}+\frac{1}{6}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}{e}^6-\frac{1}{6}{e}^{-6}\right)$

≈ 211,234

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{2\left(2x+3\right)}-\frac{25}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{2\left(2\cdot 4+3\right)}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\left(2\cdot 1+3\right)}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\left(8+3\right)}-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{25}{2\left(2+3\right)}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2\cdot 11}-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2\cdot 5}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{11}\right)-\frac{25}{4}-\left(\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-25\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{22}-\frac{25}{4}-\left(\frac{5}{2}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{50}{44}-\frac{275}{44}-\left(\frac{5}{2}-\frac{50}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{225}{44}-1·\left(-\frac{45}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{225}{44}+\frac{45}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{765}{44}$

= $\frac{765}{44}\pi$

≈ 54,621

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2{\left(x+1\right)}^2+2-2{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3}{\left(x+1\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{3{\left(x+1\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{3{\left(3+1\right)}^3}+\frac{4}{3{\left(0+1\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3\cdot 4^3}+\frac{4}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{4}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{48}+\frac{64}{48}\right)$

= $\pi ·\frac{21}{16}$

= $\frac{21}{16}\pi$

≈ 4,123