= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_{-1}^1$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 1}+e^{-4\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-4}+e^4\right)$

= $\pi ·\left(e^4-e^{-4}\right)$

≈ 171,468

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+2\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{4^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{12}{3^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{2}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{3}{2}-\left(\frac{4}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{16}-\frac{24}{16}-\left(\frac{4}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{21}{16}-1·\left(-\frac{104}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{16}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{144}+\frac{1664}{144}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{21}{16}+\frac{104}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{144}$

= $\frac{1475}{144}\pi$

≈ 32,18

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-2$ = $\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+2}{{\left(2x+2\right)}^2}-\frac{2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2{\left(2x+2\right)}^2+2-2{\left(2x+2\right)}^2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{\left(2x+2\right)}^{-3}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3{\left(2x+2\right)}^3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(2\cdot 0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3{\left(2+2\right)}^3}+\frac{2}{3{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3\cdot 4^3}+\frac{2}{3\cdot 2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{96}+\frac{1}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{96}+\frac{8}{96}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{96}$

= $\frac{7}{96}\pi$

≈ 0,229