= $\pi$ ${\left[-\frac{147}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{147}{2{\left(2x+3\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{147}{2{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}+\frac{147}{2{\left(2\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2{\left(4+3\right)}^3}+\frac{147}{2{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2\cdot 7^3}+\frac{147}{2\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{147}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{147}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{14}+\frac{49}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{27}{126}+\frac{343}{126}\right)$

= $\pi ·\frac{158}{63}$

= $\frac{158}{63}\pi$

≈ 7,879

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{21}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{21}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{441}{x^4}-\frac{441}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[49{\left(3x+4\right)}^{-3}-147x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{147}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{{\left(3\cdot 2+4\right)}^3}-\frac{147}{2^3}-\left(\frac{49}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{147}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{\left(6+4\right)}^3}-147\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{49}{{\left(3+4\right)}^3}-147\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{10}^3}-\frac{147}{8}-\left(\frac{49}{7^3}-147\right))$

= $\pi ·(49\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{147}{8}-\left(49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{1000}-\frac{147}{8}-\left(\frac{1}{7}-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{1000}-\frac{18375}{1000}-\left(\frac{1}{7}-\frac{1029}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9163}{500}-1·\left(-\frac{1028}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9163}{500}+\frac{1028}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{449859}{3500}$

= $\frac{449859}{3500}\pi$

≈ 403,792

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}x}-5e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 3}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}{e}^0-5e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-5+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-\left(\frac{5}{4}-\frac{20}{4}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3-1·\left(-\frac{15}{4}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+3+\frac{15}{4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{4}{e}^{\mathrm{2,4}}-5e^{\mathrm{1,2}}+\frac{27}{4}\right)$

≈ 12,341