= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 2}+e^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-8}+e^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(e^{-4}-e^{-8}\right)$

≈ 0,056

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{3+2}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-3-\left(9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-3-\left(3-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{5}-\frac{15}{5}-1·\left(-6\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{5}+\frac{30}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{24}{5}$

= $\frac{24}{5}\pi$

≈ 15,08

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+3-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+3-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 8^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 512-\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $\pi ·\left(\frac{256}{3}-\frac{4}{3}\right)$

= $\pi ·84$

= $84\pi$

≈ 263,894