= $\pi$ ${\left[-e^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-e^{-4\cdot 2}+e^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-e^{-8}+e^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(e^{-4}-e^{-8}\right)$

≈ 0,056

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+2\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 4+2\right)}^3}-\frac{48}{4^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(8+2\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+2\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{10}^3}-\frac{3}{4}-\left(\frac{24}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{3}{4}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{125}-\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{8}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{500}-\frac{375}{500}-\left(\frac{3}{8}-\frac{384}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{363}{500}-1·\left(-\frac{381}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{363}{500}+\frac{381}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{46899}{1000}$

= $\frac{46899}{1000}\pi$

≈ 147,338

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 27-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{13}{3}$

= $\frac{13}{3}\pi$

≈ 13,614