= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_{-1}^0$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 0}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot \left(-1\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^0+\frac{1}{6}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}{e}^6\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}{e}^6-\frac{1}{6}\right)$

≈ 210,711

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[9{\left(x+2\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{x+2}-\frac{9}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{4+2}-\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{1+2}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{6}-9\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{9}{3}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(9\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-\frac{9}{4}-\left(9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}-\frac{9}{4}-\left(3-9\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{4}-\frac{9}{4}-1·\left(-6\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+6\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{4}+\frac{24}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{21}{4}$

= $\frac{21}{4}\pi$

≈ 16,493

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{x+7}{x+2}-1$ = $\frac{x+7}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{x+7}{x+2}-\frac{x+2}{x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{x+7-x-2}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{1+2}+\frac{25}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}+\frac{25}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{50}{6}+\frac{75}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{25}{6}$

= $\frac{25}{6}\pi$

≈ 13,09