= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+3\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+3\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 6^3-\frac{1}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 216-\frac{1}{9}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(24-3\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{25}{x^4}-\frac{25}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6}{\left(2x+3\right)}^{-3}-\frac{25}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{6{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{25}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{6{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{25}{6{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{25}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6{\left(4+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{25}{6{\left(2+3\right)}^3}-\frac{25}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6\cdot 7^3}-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{6\cdot 5^3}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{25}{24}-\left(\frac{25}{6}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{2058}-\frac{25}{24}-\left(\frac{1}{30}-\frac{25}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{8232}-\frac{8575}{8232}-\left(\frac{1}{30}-\frac{250}{30}\right))$

= $\pi ·(-\frac{2825}{2744}-1·\left(-\frac{83}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{2825}{2744}+\frac{83}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{99751}{13720}$

= $\frac{99751}{13720}\pi$

≈ 22,841

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-30e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 1}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 1}+1-\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-30e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}{e}^0-30e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}-30+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-\left(\frac{45}{2}-\frac{60}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+1+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{45}{2}{e}^{\mathrm{0,4}}-30e^{\mathrm{0,2}}+\frac{17}{2}\right)$

≈ 17,04