= $\pi$ ${\left[-3e^{-x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-3e^{-2}+3e^{-0}\right)$

= $\pi ·\left(-3e^{-2}+3\right)$

≈ 8,149

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[8{\left(2x+1\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{8}{2x+1}-\frac{16}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{8}{2\cdot 4+1}-\frac{16}{4}-\left(\frac{8}{2\cdot 1+1}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{8+1}-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{8}{2+1}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-4-\left(\frac{8}{3}-16\right))$

= $\pi ·(8\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-4-\left(8\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-4-\left(\frac{8}{3}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{9}-\frac{36}{9}-\left(\frac{8}{3}-\frac{48}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{28}{9}-1·\left(-\frac{40}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{28}{9}+\frac{40}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{92}{9}$

= $\frac{92}{9}\pi$

≈ 32,114

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(2+1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(9-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{26}{3}$

= $\frac{26}{3}\pi$

≈ 27,227