Aufgabenbeispiele von Rotationskörper

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Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)= e -x soll im Intervall [1,4] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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V = π 1 4 ( e -x ) 2 x
= π 1 4 e -2x x

= π [ - 1 2 e -2x ] 1 4

= π · ( - 1 2 e -24 + 1 2 e -21 )

= π · ( - 1 2 e -8 + 1 2 e -2 )

= π · ( 1 2 e -2 - 1 2 e -8 )


≈ 0,212

Rotationskörper zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x und g(x)= 5 x +4 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert im Intervall [1,2] um die x-Achse und erzeugt somit einen Drehkörper.
Berechne das Volumen dieses Drehkörpers.

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Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π 1 2 ( 5 x ) 2 x - π 1 2 ( 5 x +4 ) 2 x

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π 1 2 ( ( 5 x ) 2 - ( 5 x +4 ) 2 ) x

= π 1 2 ( 25 x 2 - 25 ( x +4 ) 2 ) x

= π 1 2 ( - 25 ( x +4 ) 2 + 25 x 2 ) x
= π 1 2 ( -25 ( x +4 ) -2 +25 x -2 ) x

= π [ 25 ( x +4 ) -1 -25 x -1 ] 1 2

= π [ 25 x +4 - 25 x ] 1 2

= π · ( 25 2 +4 - 25 2 - ( 25 1 +4 - 25 1 ) )

= π · ( 25 6 -25( 1 2 ) - ( 25 5 -251 ) )

= π · ( 25( 1 6 ) - 25 2 - ( 25( 1 5 ) -25 ) )

= π · ( 25 6 - 25 2 - ( 5 -25 ) )

= π · ( 25 6 - 75 6 -1 · ( -20 ) )

= π · ( - 25 3 +20 )

= π · ( - 25 3 + 60 3 )

= π · 35 3

= 35 3 π


≈ 36,652

Rotationskörper um andere Achse

Beispiel:

Die Fläche zwischen dem Graph von f mit f(x)= x +3 und der Geraden y = 2 rotiert im Intervall [0,3] um diese Gerade y = 2 (nicht um die x-Achse).
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

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Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = x +3 -2
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π 0 3 ( x +3 -2 ) 2 x

= π 0 3 ( x +1 ) 2 x

= π [ 1 3 ( x +1 ) 3 ] 0 3

= π · ( 1 3 ( 3 +1 ) 3 - 1 3 ( 0 +1 ) 3 )

= π · ( 1 3 4 3 - 1 3 1 3 )

= π · ( 1 3 64 - 1 3 1 )

= π · ( 64 3 - 1 3 )

= π · 21

= 21π


≈ 65,973