= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 4^3-\frac{1}{9}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 64-\frac{1}{9}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{64}{9}-\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·7$

= $7\pi$

≈ 21,991

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+1}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+1\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+1\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 4+1\right)}-\frac{4}{4}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+1\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(12+1\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+1\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 13}-1-\left(\frac{4}{3\cdot 4}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{13}\right)-1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-1-\left(\frac{1}{3}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{39}-\frac{39}{39}-\left(\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{35}{39}-1·\left(-\frac{11}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{35}{39}+\frac{11}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{36}{13}$

= $\frac{36}{13}\pi$

≈ 8,7

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,2}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,2}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}x}-10e^{\mathrm{0,2}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 3}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 3}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{0,4}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,2}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}{e}^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-10+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-\left(\frac{5}{2}-\frac{20}{2}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3-1·\left(-\frac{15}{2}\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+3+\frac{15}{2}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{2}{e}^{\mathrm{1,2}}-10e^{\mathrm{0,6}}+\frac{21}{2}\right)$

≈ 1,819