= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 3}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-18}+\frac{1}{6}{e}^{-6}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}{e}^{-6}-\frac{1}{6}{e}^{-18}\right)$

≈ 0,001

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2x+4}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^2}-\frac{9}{{\left(2x+4\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2}{\left(2x+4\right)}^{-1}-9x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{9}{2\left(2x+4\right)}-\frac{9}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{9}{2\left(2\cdot 3+4\right)}-\frac{9}{3}-\left(\frac{9}{2\left(2\cdot 1+4\right)}-\frac{9}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\left(6+4\right)}-9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{9}{2\left(2+4\right)}-9\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2\cdot 10}-3-\left(\frac{9}{2\cdot 6}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)-3-\left(\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-3-\left(\frac{3}{4}-9\right))$

= $\pi ·(\frac{9}{20}-\frac{60}{20}-\left(\frac{3}{4}-\frac{36}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{51}{20}-1·\left(-\frac{33}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{51}{20}+\frac{33}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{57}{10}$

= $\frac{57}{10}\pi$

≈ 17,907

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $\frac{4x+11}{2x+3}-2$ = $\frac{4x+11}{2x+3}-\frac{2\left(2x+3\right)}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{4x+11}{2x+3}-\frac{2\left(2x+3\right)}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4x+11-4x-6}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{5}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2}{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{2\left(2x+3\right)}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2\cdot 1+3\right)}+\frac{25}{2\left(2\cdot 0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\left(2+3\right)}+\frac{25}{2\left(0+3\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2\cdot 5}+\frac{25}{2\cdot 3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{25}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{2}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{15}{6}+\frac{25}{6}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{3}$

= $\frac{5}{3}\pi$

≈ 5,236