= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{2}{3}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{3}{e}^{-12}+\frac{2}{3}\right)$

≈ 2,094

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{8}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{{\left(3x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{64}{x^4}-\frac{64}{{\left(3x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9}{\left(3x+1\right)}^{-3}-\frac{64}{3}{x}^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{64}{9{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{64}{3x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{64}{9{\left(3\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 3^3}-\left(\frac{64}{9{\left(3\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{64}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9{\left(9+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{64}{9{\left(3+1\right)}^3}-\frac{64}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9\cdot {10}^3}-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9\cdot 4^3}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{1000}\right)-\frac{64}{81}-\left(\frac{64}{9}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{1125}-\frac{64}{81}-\left(\frac{1}{9}-\frac{64}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{72}{10125}-\frac{8000}{10125}-\left(\frac{1}{9}-\frac{192}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{7928}{10125}-1·\left(-\frac{191}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{7928}{10125}+\frac{191}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{206947}{10125}$

= $\frac{206947}{10125}\pi$

≈ 64,212

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,4}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,4}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[5e^{\mathrm{0,8}x}-10e^{\mathrm{0,4}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 2}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 2}+2-\left(5e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}-10e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(5e^0-10e^0+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-\left(5-10+0\right))$

= $\pi ·(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+2+5\right)$

= $\pi ·\left(5e^{\mathrm{1,6}}-10e^{\mathrm{0,8}}+7\right)$

≈ 29,876