= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+4\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3+4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(9+4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(0+4\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {13}^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 2197-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2197}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·237$

= $237\pi$

≈ 744,557

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[12{\left(x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{12}{{\left(x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{12}{{\left(2+1\right)}^3}-\frac{12}{2^3}-\left(\frac{12}{{\left(1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{12}{3^3}-12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{12}{2^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\frac{3}{2}-\left(12\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{9}-\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{8}{18}-\frac{27}{18}-\left(\frac{3}{2}-\frac{24}{2}\right))$

= $\pi ·(-\frac{19}{18}-1·\left(-\frac{21}{2}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{189}{18}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{19}{18}+\frac{21}{2}\right)$

= $\pi ·\frac{85}{9}$

= $\frac{85}{9}\pi$

≈ 29,671

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{6x+11}{2x+3}-3$ = $\frac{6x+11}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{6x+11}{2x+3}-\frac{3\left(2x+3\right)}{2x+3})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{6x+11-6x-9}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+3\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 1+3}+\frac{2}{2\cdot 0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{2+3}+\frac{2}{0+3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{4}{15}$

= $\frac{4}{15}\pi$

≈ 0,838