= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 3}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}\right)$

≈ 1,567

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{2}{x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3x+3}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x+3\right)}^{-1}-4x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{4}{3\left(3x+3\right)}-\frac{4}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{4}{3\left(3\cdot 2+3\right)}-\frac{4}{2}-\left(\frac{4}{3\left(3\cdot 1+3\right)}-\frac{4}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\left(6+3\right)}-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{4}{3\left(3+3\right)}-4\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3\cdot 9}-2-\left(\frac{4}{3\cdot 6}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)-2-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{27}-2-\left(\frac{2}{9}-4\right))$

= $\pi ·(\frac{4}{27}-\frac{54}{27}-\left(\frac{2}{9}-\frac{36}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{50}{27}-1·\left(-\frac{34}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{50}{27}+\frac{34}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{52}{27}$

= $\frac{52}{27}\pi$

≈ 6,05

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 2 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-2 = $3x+2-2$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+2-2\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469