$\text{f(x)}=$ $t^2{x}^3+t^{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $3t^2{x}^2+t^2$

$\text{f(x)}=$ $-x·e^{2x-2t}$

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{2x-2t}-x·e^{2x-2t}·2$

= $-e^{2x-2t}-x·2e^{2x-2t}$

= $-e^{2x-2t}-2x·e^{2x-2t}$

= $e^{2x-2t}·\left(-1-2x\right)$

= $e^{2x-2t}·\left(-2x-1\right)$

= $\left(-2x-1\right)·e^{2x-2t}$

= $-e^{2x-2t}·\left(2x+1\right)$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+2tx$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$)= $9\cdot {\left(-1\right)}^2+2t\cdot \left(-1\right)$= $-2t+9$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $6$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $-2t+9$ soll gleich $6$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-2t+9$ = $6$ nach t auf.

Für t= $\frac{3}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $3e^{t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{t^{2}x}·t^2$

= $3t^2{e}^{t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $3t^2{e}^{t^2\cdot 0}$ = $3t^2{e}^0$ = $3t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{75}{4}$x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $3t^2$ soll gleich $\frac{75}{4}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $3t^2$ = $\frac{75}{4}$ nach t auf.

Für t= $-\frac{5}{2}$ und t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.