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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t^{2} x^{4} + t x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 t^{2} x^{4} + t x^{3}$

$f'(x) =$ $8 t^{2} x^{3} + 3 t x^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $e^{- 2 t x - 5}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $e^{- 2 t x - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 t x - 5} \cdot (- 2 t)$

= $- 2 t e^{- 2 t x - 5}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{3} + 2 x^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 8 x - 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t x^{3} + 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 t x^{2} + 4 x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $- 6 t \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1)$ = $- 6 t - 4$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 8$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 6 t - 4$ soll gleich $- 8$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 6 t - 4$ = $- 8$ nach t auf.

$- 6 t - 4$	=	$- 8$	\| $+ 4$
$- 6 t$	=	$- 4$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{2}{3}$

Für t= $\frac{2}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{4} + 2 t x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{2032}{3} x - 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{4} + 2 t x$

$f'(x) =$ $12 t^{2} x^{3} + 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ ) = $12 t^{2} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 t$ = $- 96 t^{2} + 2 t$ = $- 96 t^{2} + 2 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{2032}{3}$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 96 t^{2} + 2 t$ soll gleich $- \frac{2032}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 96 t^{2} + 2 t$ = $- \frac{2032}{3}$ nach t auf.

- 96 t^{2} + 2 t

=

- \frac{2032}{3}

|

+ \frac{2032}{3}

$- 96 t^{2} + 2 t + \frac{2032}{3}$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 96) \cdot \frac{2032}{3}}}{2 \cdot (- 96)}$

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 260 096}}{- 192}$

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{260 100}}{- 192}$

t₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{260 100}}{- 192}$ = $\frac{- 2+510}{- 192}$ = $\frac{508}{- 192}$ = $- \frac{127}{48}$ ≈ -2.65

t₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{260 100}}{- 192}$ = $\frac{- 2-510}{- 192}$ = $\frac{- 512}{- 192}$ = $\frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 96$ " teilen:

$- 96 t^{2} + 2 t + \frac{2032}{3}$ = 0 |: $- 96$

$t^{2} - \frac{1}{48} t - \frac{127}{18}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{96})}^{2} - (- \frac{127}{18})$ = $\frac{1}{9216}$ $+$ $\frac{127}{18}$ = $\frac{1}{9216}$ $+$ $\frac{65024}{9216}$ = $\frac{65025}{9216}$ = $\frac{7225}{1024}$

x_1,2 = $\frac{1}{96}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{1024}}$

x₁ = $\frac{1}{96}$ - $\frac{85}{32}$ = $- \frac{84}{96}$ = -0.875

x₂ = $\frac{1}{96}$ + $\frac{85}{32}$ = $\frac{86}{96}$ = 0.89583333333333

Für t= $- \frac{127}{48}$ und t= $\frac{8}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Aufgabenbeispiele von mit Parameter

Ableiten mit Parameter

Ableiten mit Parameter (BF)

gegeb. Tangentensteigung (BF)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):