$\text{f(x)}=$ $-t^{2}x+t^2$

$\text{f'(x)}=$ $-t^2+0$

= $-t^2$

$\text{f(x)}=$ $-tx+4$

$\text{f'(x)}=$ $-t+0$

= $-t$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2t{x}^2+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4tx+2$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$)= $-4t\cdot \left(-2\right)+2$= $8t+2$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($-2$)= $8t+2$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $8t+2$ = 0 nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{4}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-1\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-3tx}+\left(-2x-1\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-2e^{-3tx}+\left(-2x-1\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-2e^{-3tx}-3t\left(-2x-1\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(6tx+3t-2\right)$

= $e^{-3tx}·\left(6tx+3t-2\right)$

= $\left(6tx+3t-2\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-2e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-2\cdot 0-1\right)·e^{-3t\cdot 0}$ = $-2+3t$ = $3t-2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y=0x+4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $3t-2$ soll gleich 0 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $3t-2$ = 0 nach t auf.

Für t= $\frac{2}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.