$\text{f(x)}=$ $3x^3·e^{-tx}$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·e^{-tx}+3x^3·e^{-tx}·\left(-t\right)$

= $9x^2·e^{-tx}+3x^3·\left(-t{e}^{-tx}\right)$

= $9x^2·e^{-tx}-3t{x}^3·e^{-tx}$

= $e^{-tx}·\left(-3t{x}^3+9x^2\right)$

= $\left(-3t{x}^3+9x^2\right)·e^{-tx}$

$\text{f(x)}=$ $t{e}^{-2tx+3}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{-2tx+3}·\left(-2t\right)$

= $-2t^2{e}^{-2tx+3}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $5e^{-tx-t}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $5e^{-tx-t}·\left(-t\right)+5$

= $-5t{e}^{-tx-t}+5$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$)= $-5t{e}^{-t\cdot \left(-1\right)-t}+5$= $-5t+5$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{5}{2}$x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $-5t+5$ soll gleich $-\frac{5}{2}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-5t+5$ = $-\frac{5}{2}$ nach t auf.

Für t= $\frac{3}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-tx}+\left(x+3\right)·e^{-tx}·\left(-t\right)$

= $e^{-tx}+\left(x+3\right)·\left(-t{e}^{-tx}\right)$

= $e^{-tx}-t\left(x+3\right)·e^{-tx}$

= $e^{-tx}·\left(1-tx-3t\right)$

= $e^{-tx}·\left(-tx+\left(-3t+1\right)\right)$

= $\left(-tx+\left(-3t+1\right)\right)·e^{-tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $e^{-t\cdot 0}-t·\left(0+3\right)·e^{-t\cdot 0}$ = $1-3t$ = $-3t+1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{13}{2}$x+7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $-3t+1$ soll gleich $-\frac{13}{2}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-3t+1$ = $-\frac{13}{2}$ nach t auf.

Für t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.