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Aufgabenbeispiele von mit Parameter

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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{- t x^{3} + t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- t x^{3} + t}$

$f'(x) =$ $- e^{- t x^{3} + t} \cdot (- 3 t x^{2})$

= $3 t \cdot e^{- t x^{3} + t} x^{2}$

= $3 t x^{2} e^{- t x^{3} + t}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{2 t x - t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{2 t x - t}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x - t} - 3 x^{3} \cdot e^{2 t x - t} \cdot 2 t$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x - t} - 3 x^{3} \cdot 2 t e^{2 t x - t}$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x - t} - 6 t x^{3} \cdot e^{2 t x - t}$

= $e^{2 t x - t} \cdot (- 9 x^{2} - 6 t x^{3})$

= $e^{2 t x - t} \cdot (- 6 t x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 6 t x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 t x - t}$

= $- 3 x^{2} e^{2 t x - t} (2 t x + 3)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- t e^{x} + x$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 2 x - 7$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- t e^{x} + x$

$f'(x) =$ $- t e^{x} + 1$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $- t e^{0} + 1$ = $- t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 2$ x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- t + 1$ soll gleich $- 2$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- t + 1$ = $- 2$ nach t auf.

$- t + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$- t$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $5 e^{t x^{2} - 2 t x}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $20 x - 2$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $5 e^{t x^{2} - 2 t x}$

$f'(x) =$ $5 e^{t x^{2} - 2 t x} \cdot (2 t x - 2 t)$

= $5 \cdot e^{t x^{2} - 2 t x} (2 t x - 2 t)$

= $5 (2 t x - 2 t) e^{t x^{2} - 2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $5 \cdot e^{t \cdot 2^{2} - 2 t \cdot 2} \cdot (2 t \cdot 2 - 2 t)$ = $5 \cdot e^{0} \cdot (4 t - 2 t)$ = $10 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $20$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $10 t$ soll gleich $20$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $10 t$ = $20$ nach t auf.

$10 t$	=	$20$	\|: $10$
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.