$\text{f(x)}=$ $3x·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $3·e^{3tx}+3x·e^{3tx}·3t$

= $3e^{3tx}+3x·3t{e}^{3tx}$

= $3e^{3tx}+9tx·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(3+9tx\right)$

= $e^{3tx}·\left(9tx+3\right)$

= $\left(9tx+3\right)·e^{3tx}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^4-t^2{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3-3t^2{x}^2$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $5e^{-2tx}+20x$

$\text{f'(x)}=$ $5e^{-2tx}·\left(-2t\right)+20$

= $-10t{e}^{-2tx}+20$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-10t{e}^{-2t\cdot \left(0\right)}+20$= $-10t+20$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $10$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $-10t+20$ soll gleich $10$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-10t+20$ = $10$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2tx$

$\text{f'(x)}=$ $-2t$

In diese Ableitung setzen wir x=$3$ ein:

f'($3$) = $-2t$ = $-2t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-6$x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($3$)= $-2t$ soll gleich $-6$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-2t$ = $-6$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.