$\text{f(x)}=$ $-2t^2{x}^3+2t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6t^2{x}^2+4tx$

$\text{f(x)}=$ $-x^3·e^{\left(-3x\right)}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2·e^{\left(-3x\right)}-x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3x^2·e^{-3x}-x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-3x^2·e^{-3x}+3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3x^3-3x^2\right)$

= $\left(3x^3-3x^2\right)·e^{-3x}$

= $-3x^2{e}^{-3x}·\left(-x+1\right)$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $4e^{-tx-2t}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4e^{-tx-2t}·\left(-t\right)-4$

= $-4t{e}^{-tx-2t}-4$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$)= $-4t{e}^{-t\cdot \left(-2\right)-2t}-4$= $-4t-4$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-12$x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $-4t-4$ soll gleich $-12$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-4t-4$ = $-12$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-3t{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12t{x}^3$

In diese Ableitung setzen wir x=$-3$ ein:

f'($-3$) = $-12t\cdot {\left(-3\right)}^3$ = $-12t\cdot \left(-27\right)$ = $324t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $648$x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-3$)= $324t$ soll gleich $648$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $324t$ = $648$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.