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Aufgabenbeispiele von mit Parameter

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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 5 e^{- t x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 e^{- t x^{2}}$

$f'(x) =$ $- 5 e^{- t x^{2}} \cdot (- 2 t x)$

= $10 t \cdot e^{- t x^{2}} x$

= $10 t x e^{- t x^{2}}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x - 4}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} + 2 t x^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{55}{3} x + 8$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 4 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 t \cdot (- 1)$ = $- 4 t - 9$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{55}{3}$ x+8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 4 t - 9$ soll gleich $- \frac{55}{3}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 4 t - 9$ = $- \frac{55}{3}$ nach t auf.

$- 4 t - 9$	=	$- \frac{55}{3}$	\| $+ 9$
$- 4 t$	=	$- \frac{28}{3}$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{7}{3}$

Für t= $\frac{7}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- x + 3) \cdot e^{2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $8 x + 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- x + 3) \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{2 t x} + (- x + 3) \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $- e^{2 t x} + (- x + 3) \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $- e^{2 t x} + 2 t (- x + 3) \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (- 1 - 2 t x + 6 t)$

= $e^{2 t x} \cdot (- 2 t x + 6 t - 1)$

= $(- 2 t x + 6 t - 1) \cdot e^{2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $- e^{2 t \cdot 0} + 2 t \cdot (- 0 + 3) \cdot e^{2 t \cdot 0}$ = $- 1 + 6 t$ = $6 t - 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $8$ x+8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $6 t - 1$ soll gleich $8$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $6 t - 1$ = $8$ nach t auf.

$6 t - 1$	=	$8$	\| $+ 1$
$6 t$	=	$9$	\|: $6$
$t$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

Für t= $\frac{3}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.