langsame Rechnung einblenden$2$·(I) + $1$·(II)

$1$·(I) + $1$·(III)

langsame Rechnung einblenden$2$·(II) + $1$·(III)

Zeile (III): $\begin{array}{cccccc}& & -2x_3& =& -2& \end{array}$

$x_3$ = $1$

eingesetzt in Zeile (II):

$\begin{array}{cccccc}& -2x_2& +($ 1$)& =& -1& \end{array}$ | -$1$
= $-2$ | : $\left(\mathrm{-2}\right)$

$x_2$ = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{array}{cccccc}-2x_1& +4·($ 1$)& +($ 1$)& =& 5& \end{array}$ | -$5$
= $0$ | : $\left(\mathrm{-2}\right)$

$x_1$ = $0$

$L=\{($ 0$\left|$ 1$\right|$ 1$)\}$

langsame Rechnung einblenden$9$·(I) $-8$·(II)

$1$·(I) + $8$·(III)

langsame Rechnung einblenden$1$·(II) $-1$·(III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für $x_3$ jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

langsame Rechnung einblenden$2$·(I) $-1$·(II)

$1$·(I) + $1$·(III)

langsame Rechnung einblenden$1$·(II) + $1$·(III)

Zeile (III): $\begin{array}{cccccc}& & -2x_3& =& -10r& \end{array}$

$x_3$ = $5r$

eingesetzt in Zeile (II):

$\begin{array}{cccccc}& +x_2& -1($ 5r$)& =& -2& \end{array}$
$\begin{array}{cccccc}& +x_2& -5r& =& -2& \end{array}$ | +$5r$
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>x_2$ = $5r-2$ | : 1

$x_2$ = $5r-2$

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{array}{cccccc}4x_1& -2·($ 5r-2$)& -2·($ 5r$)& =& -32& \end{array}$
$\begin{array}{cccccc}4x_1& +\left(-10r+4\right)& -10r& =& -32& \end{array}$ | + $20r-4$
$<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>x_1$ = $20r-36$ | : 4

$x_1$ = $5r-9$

$L=\{($ 5r-9$\left|$ 5r-2$\right|$ 5r$)\}$