Aufgabenbeispiele von Lineare Gleichungssysteme

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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

3x1 +x2 -2x3 = 4 (I) 6x1 +6x2 +2x3 = 10 (II) 3x1 +7x2 +13x3 = 1 (III)

Lösung einblenden
3x1 +x2 -2x3 = 4 (I) 6x1 +6x2 +2x3 = 10 (II) 3x1 +7x2 +13x3 = 1 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) -1·(III)

3x1 1x2 -2x3 = 4 (I) ( 6 -6 )x1 +( 2 -6 )x2 +( -4 -2 )x3 = ( 8 -10 ) (II) ( 3 -3 )x1 +( 1 -7 )x2 +( -2 -13 )x3 = ( 4 -1 ) (III)
3x1 +x2 -2x3 = 4 (I) -4x2 -6x3 = -2 (II) -6x2 -15x3 = 3 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -2·(III)

3x1 1x2 -2x3 = 4 (I) -4x2 -6x3 = -2 (II) +( -12 +12 )x2 +( -18 +30 )x3 = ( -6 -6 ) (III)
3x1 +x2 -2x3 = 4 (I) -4x2 -6x3 = -2 (II) +12x3 = -12 (III)
Zeile (III): +12x3 = -12

x3 = -1

eingesetzt in Zeile (II):

-4x2 -6·(-1 ) = -2 | -6
-4 x2 = -8 | : (-4)

x2 = 2

eingesetzt in Zeile (I):

3x1 +(2 ) -2·(-1 ) = 4 | -4
3 x1 = 0 | : 3

x1 = 0

L={(0 |2 |-1 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

5x1 +5x2 +x3 = 0 (I) -4x1 +x2 -5x3 = 0 (II) 17x1 +2x2 +16x3 = 0 (III)

Lösung einblenden
5x1 +5x2 +x3 = 0 (I) -4x1 +x2 -5x3 = 0 (II) 17x1 +2x2 +16x3 = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(I) + 5·(II)

17·(I) -5·(III)

5x1 5x2 1x3 = 0 (I) ( 20 -20 )x1 +( 20 +5 )x2 +( 4 -25 )x3 = (0+0) (II) ( 85 -85 )x1 +( 85 -10 )x2 +( 17 -80 )x3 = (0+0) (III)
5x1 +5x2 +x3 = 0 (I) +25x2 -21x3 = 0 (II) +75x2 -63x3 = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

5x1 5x2 1x3 = 0 (I) 25x2 -21x3 = 0 (II) +( 75 -75 )x2 +( -63 +63 )x3 = (0+0) (III)
5x1 +5x2 +x3 = 0 (I) +25x2 -21x3 = 0 (II) 0 = 0 (III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für x3 jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 -2x2 +x3 = 14 (I) -2x1 -7x2 -10x3 = -50 (II) 4x1 -1x2 +4x3 = -4r +40 (III)

Lösung einblenden
2x1 -2x2 +x3 = 14 (I) -2x1 -7x2 -10x3 = -50 (II) 4x1 -1x2 +4x3 = -4r +40 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

2x1 -2x2 1x3 = 14 (I) ( 2 -2 )x1 +( -2 -7 )x2 +( 1 -10 )x3 = ( 14 -50 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -4 +1 )x2 +( 2 -4 )x3 = ( 28 + 4r -40 ) (III)
2x1 -2x2 +x3 = 14 (I) -9x2 -9x3 = -36 (II) -3x2 -2x3 = 4r -12 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -3·(III)

2x1 -2x2 1x3 = 14 (I) -9x2 -9x3 = -36 (II) +( -9 +9 )x2 +( -9 +6 )x3 = ( -36 + ( -12r +36 ) ) (III)
2x1 -2x2 +x3 = 14 (I) -9x2 -9x3 = -36 (II) -3x3 = -12 r (III)
Zeile (III): -3x3 = -12 r

x3 = 4 r

eingesetzt in Zeile (II):

-9x2 -9·(4 r ) = -36
-9x2 -36 r = -36 | +36 r
-9 x2 = 36r -36 | : (-9)

x2 = -4r +4

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 -2·( -4r +4 ) +(4 r ) = 14
2x1 + ( 8r -8 ) +4 r = 14 | -12r +8
2 x1 = -12r +22 | : 2

x1 = -6r +11

L={( -6r +11 | -4r +4 |4 r )}