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Aufgabenbeispiele von Lineare Gleichungssysteme

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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +2x2 +4x3 = 21 (I) -2x1 -3x2 -11x3 = -55 (II) x1 +3x2 +2x3 = 13 (III)

Lösung einblenden
x1 +2x2 +4x3 = 21 (I) -2x1 -3x2 -11x3 = -55 (II) x1 +3x2 +2x3 = 13 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

1x1 2x2 4x3 = 21 (I) ( 2 -2 )x1 +( 4 -3 )x2 +( 8 -11 )x3 = ( 42 -55 ) (II) ( 1 -1 )x1 +( 2 -3 )x2 +( 4 -2 )x3 = ( 21 -13 ) (III)
x1 +2x2 +4x3 = 21 (I) +x2 -3x3 = -13 (II) -1x2 +2x3 = 8 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

1x1 2x2 4x3 = 21 (I) 1x2 -3x3 = -13 (II) +( 1 -1 )x2 +( -3 +2 )x3 = ( -13 +8 ) (III)
x1 +2x2 +4x3 = 21 (I) +x2 -3x3 = -13 (II) -1x3 = -5 (III)
Zeile (III): -1x3 = -5

x3 = 5

eingesetzt in Zeile (II):

+x2 -3·(5 ) = -13 | +15
1 x2 = 2 | : 1

x2 = 2

eingesetzt in Zeile (I):

x1 +2·(2 ) +4·(5 ) = 21 | -24
1 x1 = -3 | : 1

x1 = -3

L={(-3 |2 |5 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-9x1 +3x2 +x3 = 0 (I) x1 +8x2 +3x3 = 2025 (II) -11x1 -13x2 -5x3 = -4050 (III)

Lösung einblenden
-9x1 +3x2 +x3 = 0 (I) x1 +8x2 +3x3 = 2025 (II) -11x1 -13x2 -5x3 = -4050 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 9·(II)

11·(I) -9·(III)

-9x1 3x2 1x3 = 0 (I) ( -9 +9 )x1 +( 3 +72 )x2 +( 1 +27 )x3 = (0 +18225 ) (II) ( -99 +99 )x1 +( 33 +117 )x2 +( 11 +45 )x3 = (0 +36450 ) (III)
-9x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +75x2 +28x3 = 18225 (II) +150x2 +56x3 = 36450 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-9x1 3x2 1x3 = 0 (I) 75x2 28x3 = 18225 (II) +( 150 -150 )x2 +( 56 -56 )x3 = ( 36450 -36450 ) (III)
-9x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +75x2 +28x3 = 18225 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+75x2 +28·(0+t ) = 18225 | -0-28 t
75 x2 = 18225 -28 t | : 75

x2 = 243 - 28 75 t

eingesetzt in Zeile (I):

-9x1 +3·(243 - 28 75 t ) +(0+t ) = 0 | -729 + 3 25 t
-9 x1 = -729 + 3 25 t | : (-9)

x1 = 81 - 1 75 t

L={(81 - 1 75 t|243 - 28 75 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 75s:

L={(81 -s|243 -28 s|0+75 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 -2x2 +3x3 = 27 (I) -4x1 -8x2 +9x3 = 39 (II) 4x1 +14x2 -11x3 = 12r -51 (III)

Lösung einblenden
-4x1 -2x2 +3x3 = 27 (I) -4x1 -8x2 +9x3 = 39 (II) 4x1 +14x2 -11x3 = 12r -51 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-4x1 -2x2 3x3 = 27 (I) ( -4 +4 )x1 +( -2 +8 )x2 +( 3 -9 )x3 = ( 27 -39 ) (II) ( -4 +4 )x1 +( -2 +14 )x2 +( 3 -11 )x3 = ( 27 + 12r -51 ) (III)
-4x1 -2x2 +3x3 = 27 (I) +6x2 -6x3 = -12 (II) +12x2 -8x3 = 12r -24 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-4x1 -2x2 3x3 = 27 (I) 6x2 -6x3 = -12 (II) +( 12 -12 )x2 +( -12 +8 )x3 = ( -24 + ( -12r +24 ) ) (III)
-4x1 -2x2 +3x3 = 27 (I) +6x2 -6x3 = -12 (II) -4x3 = -12 r (III)
Zeile (III): -4x3 = -12 r

x3 = 3 r

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 -6·(3 r ) = -12
+6x2 -18 r = -12 | +18 r
6 x2 = 18r -12 | : 6

x2 = 3r -2

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 -2·( 3r -2 ) +3·(3 r ) = 27
-4x1 + ( -6r +4 ) +9 r = 27 | -3r -4
-4 x1 = -3r +23 | : (-4)

x1 = 3 4 r - 23 4

L={( 3 4 r - 23 4 | 3r -2 |3 r )}