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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -1,32 = 0,64

Lösung einblenden
4 x 2 -1,32 = 0,64 | +1,32
4 x 2 = 1,96 |:4
x 2 = 1,96 4 | ⋅2
x1 = - 1,96 4 = -0,7
x2 = 1,96 4 = 0,7

L={ -0,7 ; 0,7 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-5x + x 2 +6 = 0

Lösung einblenden

x 2 -5x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 6 2⋅1

x1,2 = +5 ± 25 -24 2

x1,2 = +5 ± 1 2

x1 = 5 + 1 2 = 5 +1 2 = 6 2 = 3

x2 = 5 - 1 2 = 5 -1 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 6 = 25 4 - 6 = 25 4 - 24 4 = 1 4

x1,2 = 5 2 ± 1 4

x1 = 5 2 - 1 2 = 4 2 = 2

x2 = 5 2 + 1 2 = 6 2 = 3

L={ 2 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

16 x 2 -32x +16 = 0

Lösung einblenden
16 x 2 -32x +16 = 0 |:16

x 2 -2x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

L={ 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -3 +4 ) · ( -3 +2 ) = -a =-2.

Hieraus ergibt sich a=2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 2 ( x +4 ) · ( x +2 ) .