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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3)}^{2} - 23$ = $- 7$

${(x + 3)}^{2} - 23$	=	$- 7$	\| $+ 23$
${(x + 3)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 3$	=	$4$	\| $- 3$
x₂	=	$1$

L={ $- 7$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{27}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{27}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 3 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{3+21}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{3-21}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 27$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{27}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{27}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{432}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

L={ $- 2,25$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 48 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 48 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 37}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 2 368}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{(- 64)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 48 x + 37$ = 0 |: $16$

$x^{2} + 3 x + \frac{37}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (\frac{37}{16})$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{37}{16}$ = $\frac{36}{16}$ $-$ $\frac{37}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)