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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x + 1)}^{2} - 6$
und
$g(x) =$ $- 56$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x + 1)}^{2} - 6$	=	$- 56$	\| $+ 6$
$- 2 {(x + 1)}^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
${(x + 1)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
x₂	=	$4$

L={ $- 6$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = $- 56$

g( $4$ ) = $- 56$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 6$ | $- 56$ ) und S₂( $4$ | $- 56$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 10$ = $9$ $-$ $10$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 14 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 14 x - 30

= 0 |:2

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7+13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7-13}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 1,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 3) (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)