Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 0,1$ = $- 0,22$

$- 2 x^{2} + 0,1$	=	$- 0,22$	\| $- 0,1$
$- 2 x^{2}$	=	$- 0,32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$\frac{0,32}{2}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,32}{2}}$	= $- 0,4$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,32}{2}}$	= $0,4$

L={ $- 0,4$ ; $0,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 5 x + 5$ = $(4 x + 2) \cdot (x - 9) + 36 x + 33$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 5 x + 5$	=	$(4 x + 2) \cdot (x - 9) + 36 x + 33$
$5 x^{2} + 5 x + 5$	=	$4 x^{2} - 34 x - 18 + 36 x + 33$
$5 x^{2} + 5 x + 5$	=	$4 x^{2} + 2 x + 15$	\| $- 4 x^{2}$ $- 2 x$ $- 15$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 12 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 12 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{12+18}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{12-18}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 12 x - 9$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x - \frac{9}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (- \frac{9}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $+$ $\frac{9}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $+$ $\frac{45}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $- 0,6$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 2) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)