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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 1$ = 0

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 33 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 33 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11+9}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11-9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)