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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- {(x - 2)}^{2} + 23$ = $7$

$- {(x - 2)}^{2} + 23$	=	$7$	\| $- 23$
$- {(x - 2)}^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 2)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
x₂	=	$6$

L={ $- 2$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 2 x - 3$ = $(- 5 x - 1) \cdot (x + 1) - x - 6$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 2 x - 3$	=	$(- 5 x - 1) \cdot (x + 1) - x - 6$
$- 4 x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 5 x^{2} - 6 x - 1 - x - 6$
$- 4 x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 5 x^{2} - 7 x - 7$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 7 x$ $+ 7$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9+5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9-5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

L={ $- 3,5$ ; $- 1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (1 + 1) \cdot (1 - 5)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)