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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$ = $\frac{81}{16}$

{(x + \frac{3}{2})}^{2}

=

\frac{81}{16}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{3}{2}

=

- \sqrt{\frac{81}{16}}

=

- \frac{9}{4}

$x + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{9}{4}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₁	=	$- \frac{15}{4}$ = -3.75

2. Fall

x + \frac{3}{2}

=

\sqrt{\frac{81}{16}}

=

\frac{9}{4}

$x + \frac{3}{2}$	=	$\frac{9}{4}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₂	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

L={ $- \frac{15}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 70}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{3 249 - 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{- 57 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 57+43}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

x₂ = $\frac{- 57 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 57-43}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{57}{5} x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{57}{10})}^{2} - 14$ = $\frac{3249}{100}$ $-$ $14$ = $\frac{3249}{100}$ $-$ $\frac{1400}{100}$ = $\frac{1849}{100}$

x_1,2 = $- \frac{57}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{100}}$

x₁ = $- \frac{57}{10}$ - $\frac{43}{10}$ = $- \frac{100}{10}$ = -10

x₂ = $- \frac{57}{10}$ + $\frac{43}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

L={ $- 10$ ; $- 1,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 640}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27+37}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27-37}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $10$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{640}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

L={ $- 8$ ; $1,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 + 1)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)