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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 ( x -1 ) 2 +33 = 21

Lösung einblenden
-3 ( x -1 ) 2 +33 = 21 | -33
-3 ( x -1 ) 2 = -12 |: ( -3 )
( x -1 ) 2 = 4 | ⋅2

1. Fall

x -1 = - 4 = -2
x -1 = -2 | +1
x1 = -1

2. Fall

x -1 = 4 = 2
x -1 = 2 | +1
x2 = 3

L={ -1 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -8x = 90

Lösung einblenden
2 x 2 -8x = 90 | -90
2 x 2 -8x -90 = 0 |:2

x 2 -4x -45 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -45 ) 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 +180 2

x1,2 = +4 ± 196 2

x1 = 4 + 196 2 = 4 +14 2 = 18 2 = 9

x2 = 4 - 196 2 = 4 -14 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -45 ) = 4+ 45 = 49

x1,2 = 2 ± 49

x1 = 2 - 7 = -5

x2 = 2 + 7 = 9

L={ -5 ; 9 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +9x -56 = 0

Lösung einblenden

2 x 2 +9x -56 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 2 · ( -56 ) 2⋅2

x1,2 = -9 ± 81 +448 4

x1,2 = -9 ± 529 4

x1 = -9 + 529 4 = -9 +23 4 = 14 4 = 3,5

x2 = -9 - 529 4 = -9 -23 4 = -32 4 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 +9x -56 = 0 |: 2

x 2 + 9 2 x -28 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 4 ) 2 - ( -28 ) = 81 16 + 28 = 81 16 + 448 16 = 529 16

x1,2 = - 9 4 ± 529 16

x1 = - 9 4 - 23 4 = - 32 4 = -8

x2 = - 9 4 + 23 4 = 14 4 = 3.5

L={ -8 ; 3,5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2 ( x -1 ) · ( x -3 ) .