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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + \frac{18}{25}$ = $- \frac{54}{25}$

$- 2 x^{2} + \frac{18}{25}$	=	$- \frac{54}{25}$	\| $- \frac{18}{25}$
$- 2 x^{2}$	=	$- \frac{72}{25}$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$\frac{36}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{36}{25}}$	= $- \frac{6}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{36}{25}}$	= $\frac{6}{5}$

L={ $- \frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 13+7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 13-7}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 5$ ; $- 1,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 4)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x - 2) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)