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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 4)}^{2}$
und
$g(x) =$ $25$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 4)}^{2}

=

25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
x₂	=	$9$

L={ $- 1$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $25$

g( $9$ ) = $25$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $25$ ) und S₂( $9$ | $25$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 40 x + 200$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 40 x + 200

= 0 |:2

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 10$ ± 0 = $- 10$

L={ $- 10$ }

$- 10$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 26 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 26 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{26+44}{10}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{26-44}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 26 x - 63$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{5})}^{2} - (- \frac{63}{5})$ = $\frac{169}{25}$ $+$ $\frac{63}{5}$ = $\frac{169}{25}$ $+$ $\frac{315}{25}$ = $\frac{484}{25}$

x_1,2 = $\frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{484}{25}}$

x₁ = $\frac{13}{5}$ - $\frac{22}{5}$ = $- \frac{9}{5}$ = -1.8

x₂ = $\frac{13}{5}$ + $\frac{22}{5}$ = $\frac{35}{5}$ = 7

L={ $- 1,8$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)