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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 6)}^{2} + 2$ = $6$

${(x + 6)}^{2} + 2$	=	$6$	\| $- 2$
${(x + 6)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

- \sqrt{4}

- 2

$x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
x₁	=	$- 8$

2. Fall

x + 6

\sqrt{4}

2

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 5 x - 4$ = $(- 4 x + 4) (x - 3) - 7 x + 8$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 5 x - 4$	=	$(- 4 x + 4) (x - 3) - 7 x + 8$
$- 3 x^{2} + 5 x - 4$	=	$- 4 x^{2} + 16 x - 12 - 7 x + 8$
$- 3 x^{2} + 5 x - 4$	=	$- 4 x^{2} + 9 x - 4$	\| $+ 4$
$- 3 x^{2} + 5 x$	=	$- 4 x^{2} + 9 x$	\| $- (- 4 x^{2} + 9 x)$
$- 3 x^{2} + 4 x^{2} + 5 x - 9 x$	=	0
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

L={0; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 64 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} + 64 x + 64

= 0 |:16

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) (x - 2)$ .