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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 6)}^{2} - 6$
und
$g(x) =$ $- 6$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 6)}^{2} - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
${(x - 6)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 6$	=	0

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$x$	=	$6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $6$ ) = $- 6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $6$ | $- 6$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x + 50$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

25 x + 50

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25+15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25-15}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - 25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 10$ ; $- 2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 11 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 11 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{11+9}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{11-9}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 11 x + 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{11}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $\frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $\frac{11}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{11}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

L={ $0,2$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)