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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $22 500$

$x^{2}$	=	$22 500$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{22 500}$	= $- 150$
x₂	=	$\sqrt{22 500}$	= $150$

L={ $- 150$ ; $150$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 8 x - 3$ = $(3 x - 1) \cdot (x + 2) + 6 x + 9$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 8 x - 3$	=	$(3 x - 1) \cdot (x + 2) + 6 x + 9$
$4 x^{2} + 8 x - 3$	=	$3 x^{2} + 5 x - 2 + 6 x + 9$
$4 x^{2} + 8 x - 3$	=	$3 x^{2} + 11 x + 7$	\| $- 3 x^{2}$ $- 11 x$ $- 7$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 19 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 19 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{19+17}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{19-17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 19 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{19}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{19}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $0,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 2)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)