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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 {(x + 5)}^{2} - 18$ = 0

$2 {(x + 5)}^{2} - 18$	=	0	\| $+ 18$
$2 {(x + 5)}^{2}$	=	$18$	\|: $2$
${(x + 5)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 5$	=	$- 3$	\| $- 5$
x₁	=	$- 8$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 5 x + 9$ = $(- 6 x - 9) (x - 4) - 7 x - 29$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 5 x + 9$	=	$(- 6 x - 9) (x - 4) - 7 x - 29$
$- 5 x^{2} + 5 x + 9$	=	$- 6 x^{2} + 15 x + 36 - 7 x - 29$
$- 5 x^{2} + 5 x + 9$	=	$- 6 x^{2} + 8 x + 7$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 8 x$ $- 7$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $4$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)