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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ = $\frac{25}{9}$

{(x + \frac{1}{3})}^{2}

=

\frac{25}{9}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{1}{3}

=

- \sqrt{\frac{25}{9}}

≈

- \frac{5}{3}

$x + \frac{1}{3}$	=	$- \frac{5}{3}$	\| $- \frac{1}{3}$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x + \frac{1}{3}

=

\sqrt{\frac{25}{9}}

≈

\frac{5}{3}

$x + \frac{1}{3}$	=	$\frac{5}{3}$	\| $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\frac{4}{3}$

L={ $- 2$ ; $\frac{4}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 7 x - 2$ = $(6 x - 6) \cdot (x - 5) + 40 x - 32$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 7 x - 2$	=	$(6 x - 6) \cdot (x - 5) + 40 x - 32$
$7 x^{2} + 7 x - 2$	=	$6 x^{2} - 36 x + 30 + 40 x - 32$
$7 x^{2} + 7 x - 2$	=	$6 x^{2} + 4 x - 2$	\| $+ 2$
$7 x^{2} + 7 x$	=	$6 x^{2} + 4 x$	\| $- (6 x^{2} + 4 x)$
$7 x^{2} - 6 x^{2} + 7 x - 4 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 50 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 50 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{50^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 26}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{2 500 - 2 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 50 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 50 x + 26$ = 0 |: $25$

$x^{2} + 2 x + \frac{26}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (\frac{26}{25})$ = $1$ $-$ $\frac{26}{25}$ = $\frac{25}{25}$ $-$ $\frac{26}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 1)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 2) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)