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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -2 ) 2 -1 = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) 2 -1 = 0 | +1
( x -2 ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

x -2 = - 1 = -1
x -2 = -1 | +2
x1 = 1

2. Fall

x -2 = 1 = 1
x -2 = 1 | +2
x2 = 3

L={ 1 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -8x +6 = 0

Lösung einblenden
2 x 2 -8x +6 = 0 |:2

x 2 -4x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

L={ 1 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -14x -30 = 0

Lösung einblenden
4 x 2 -14x -30 = 0 |:2

2 x 2 -7x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 2 · ( -15 ) 2⋅2

x1,2 = +7 ± 49 +120 4

x1,2 = +7 ± 169 4

x1 = 7 + 169 4 = 7 +13 4 = 20 4 = 5

x2 = 7 - 169 4 = 7 -13 4 = -6 4 = -1,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 -7x -15 = 0 |: 2

x 2 - 7 2 x - 15 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 4 ) 2 - ( - 15 2 ) = 49 16 + 15 2 = 49 16 + 120 16 = 169 16

x1,2 = 7 4 ± 169 16

x1 = 7 4 - 13 4 = - 6 4 = -1.5

x2 = 7 4 + 13 4 = 20 4 = 5

L={ -1,5 ; 5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =-2.

Hieraus ergibt sich a=2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 2 ( x -1 ) ( x -3 ) .