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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 1,8)}^{2}$ = $0,09$

{(x + 1,8)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1,8

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x + 1,8$	=	$- 0,3$	\| $- 1,8$
x₁	=	$- 2,1$

2. Fall

x + 1,8

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x + 1,8$	=	$0,3$	\| $- 1,8$
x₂	=	$- 1,5$

L={ $- 2,1$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 4 x + 3$ = $(- 7 x + 3) \cdot (x - 6) - 41 x + 37$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 4 x + 3$	=	$(- 7 x + 3) \cdot (x - 6) - 41 x + 37$
$- 6 x^{2} + 4 x + 3$	=	$- 7 x^{2} + 45 x - 18 - 41 x + 37$
$- 6 x^{2} + 4 x + 3$	=	$- 7 x^{2} + 4 x + 19$	\| $- 3$
$- 6 x^{2} + 4 x$	=	$- 7 x^{2} + 4 x + 16$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 640}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27+37}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27-37}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $10$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{640}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

L={ $- 8$ ; $1,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)