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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,3)}^{2}$ = $0,64$

{(x - 4,3)}^{2}

=

0,64

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,3

=

- \sqrt{0,64}

=

- 0,8

$x - 4,3$	=	$- 0,8$	\| $+ 4,3$
x₁	=	$3,5$

2. Fall

x - 4,3

=

\sqrt{0,64}

=

0,8

$x - 4,3$	=	$0,8$	\| $+ 4,3$
x₂	=	$5,1$

L={ $3,5$ ; $5,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$49 - 14 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

L={ $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3+17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3-17}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{35}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 3,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)