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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{196}{64}$

$x^{2}$	=	$\frac{196}{64}$
$x^{2}$	=	$\frac{49}{16}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{49}{16}}$	= $- \frac{7}{4}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{49}{16}}$	= $\frac{7}{4}$

L={ $- \frac{7}{4}$ ; $\frac{7}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 9 x + 9$ = $(8 x - 6) \cdot (x + 3) - 4 x + 27$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 9 x + 9$	=	$(8 x - 6) \cdot (x + 3) - 4 x + 27$
$9 x^{2} + 9 x + 9$	=	$8 x^{2} + 18 x - 18 - 4 x + 27$
$9 x^{2} + 9 x + 9$	=	$8 x^{2} + 14 x + 9$	\| $- 9$
$9 x^{2} + 9 x$	=	$8 x^{2} + 14 x$	\| $- (8 x^{2} + 14 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} + 9 x - 14 x$	=	0
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={0; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) \cdot (x - 3)$ .