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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2}$ = 0

$2 x^{2}$	=	$0$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

L={ $4$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 11 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 11 x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{841}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 11+29}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 11-29}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 90$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- 45)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $45$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{720}{16}$ = $\frac{841}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{841}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{29}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{29}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 10$ ; $4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 3)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)