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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1,1)}^{2}$ = $0,16$

{(x - 1,1)}^{2}

=

0,16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 1,1

=

- \sqrt{0,16}

=

- 0,4

$x - 1,1$	=	$- 0,4$	\| $+ 1,1$
x₁	=	$0,7$

2. Fall

x - 1,1

=

\sqrt{0,16}

=

0,4

$x - 1,1$	=	$0,4$	\| $+ 1,1$
x₂	=	$1,5$

L={ $0,7$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x + x^{2}$ = $28$

Lösung einblenden

x^{2} - 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $- 4$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17+11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17-11}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 1)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)