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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2}$ = $3$

$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x + 1 + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 5 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 5+3}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 5-3}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 5 x + 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

L={ $- 1$ ; $- 0,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 80}{50}$ = $- \frac{8}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{5})}^{2} - (\frac{64}{25})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{64}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{8}{5}$ ± 0 = $- \frac{8}{5}$

L={ $- \frac{8}{5}$ }

$- \frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 + 1)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 2) (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)