Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $196$

$x^{2}$	=	$196$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{196}$	= $- 14$
x₂	=	$\sqrt{196}$	= $14$

L={ $- 14$ ; $14$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 60 x + 25 x^{2} + 36$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 60 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{{(- 60)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{3 600 - 3 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{60}{50}$ = $\frac{6}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 60 x + 36$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{36}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{36}{25})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{36}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{6}{5}$ ± 0 = $\frac{6}{5}$

L={ $\frac{6}{5}$ }

$\frac{6}{5}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21+29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21-29}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $4$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{400}{100}$ = $\frac{841}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{841}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{29}{10}$ = $- \frac{8}{10}$ = -0.8

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = 5

L={ $- 0,8$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)