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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 {(x + 2)}^{2} - 15$
und
$g(x) =$ $- 51$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 4 {(x + 2)}^{2} - 15$	=	$- 51$	\| $+ 15$
$- 4 {(x + 2)}^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
${(x + 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 51$

g( $1$ ) = $- 51$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 51$ ) und S₂( $1$ | $- 51$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{9}{4} x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{9}{4} x - 7$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{9}{4} x - 7)$	=	0

$4 x^{2} - 9 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{9+23}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{9-23}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 9 x - 28$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $7$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{448}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

L={ $- 1,75$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 28}{8}$ = $- \frac{7}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (\frac{49}{4})$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{2}$ ± 0 = $- \frac{7}{2}$

L={ $- \frac{7}{2}$ }

$- \frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 3) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)