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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 = 9 36

Lösung einblenden
x 2 = 9 36
x 2 = 1 4 | ⋅2
x1 = - 1 4 = - 1 2
x2 = 1 4 = 1 2

L={ - 1 2 ; 1 2 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-7 x 2 - x -2 = ( -8x +5 ) ( x +9 ) +71x -53

Lösung einblenden
-7 x 2 - x -2 = ( -8x +5 ) ( x +9 ) +71x -53
-7 x 2 - x -2 = -8 x 2 -67x +45 +71x -53
-7 x 2 - x -2 = -8 x 2 +4x -8 | +8 x 2 -4x +8

x 2 -5x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 6 2⋅1

x1,2 = +5 ± 25 -24 2

x1,2 = +5 ± 1 2

x1 = 5 + 1 2 = 5 +1 2 = 6 2 = 3

x2 = 5 - 1 2 = 5 -1 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 6 = 25 4 - 6 = 25 4 - 24 4 = 1 4

x1,2 = 5 2 ± 1 4

x1 = 5 2 - 1 2 = 4 2 = 2

x2 = 5 2 + 1 2 = 6 2 = 3

L={ 2 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 +28x -49 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 +28x -49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -28 ± 28 2 -4 · 5 · ( -49 ) 2⋅5

x1,2 = -28 ± 784 +980 10

x1,2 = -28 ± 1764 10

x1 = -28 + 1764 10 = -28 +42 10 = 14 10 = 1,4

x2 = -28 - 1764 10 = -28 -42 10 = -70 10 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +28x -49 = 0 |: 5

x 2 + 28 5 x - 49 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 14 5 ) 2 - ( - 49 5 ) = 196 25 + 49 5 = 196 25 + 245 25 = 441 25

x1,2 = - 14 5 ± 441 25

x1 = - 14 5 - 21 5 = - 35 5 = -7

x2 = - 14 5 + 21 5 = 7 5 = 1.4

L={ -7 ; 1,4 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x +1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( -2 +3 ) · ( -2 +1 ) = -a =2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2 ( x +3 ) ( x +1 ) .