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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 6)}^{2}$
und
$g(x) =$ 0.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 6)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 6$	=	0

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
$x$	=	$- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = 0

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 6$ |0).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 40}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 21+11}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 21-11}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 40$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - 20$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $20$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{320}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 8$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ .