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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4,4)}^{2}$ = $0,25$

{(x + 4,4)}^{2}

0,25

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 4,4

- \sqrt{0,25}

- 0,5

$x + 4,4$	=	$- 0,5$	\| $- 4,4$
x₁	=	$- 4,9$

2. Fall

x + 4,4

\sqrt{0,25}

0,5

$x + 4,4$	=	$0,5$	\| $- 4,4$
x₂	=	$- 3,9$

L={ $- 4,9$ ; $- 3,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 6 x - 6$ = $(6 x - 1) (x + 5) - 24 x - 1$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$(6 x - 1) (x + 5) - 24 x - 1$
$7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$6 x^{2} + 29 x - 5 - 24 x - 1$
$7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$6 x^{2} + 5 x - 6$	\| $+ 6$
$7 x^{2} + 6 x$	=	$6 x^{2} + 5 x$	\| $- (6 x^{2} + 5 x)$
$7 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x - 5 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 17}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 4 x + \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (\frac{17}{4})$ = $4$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 5))$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x (x - 5)$ .