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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $1,69$

$x^{2}$	=	$1,69$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1,69}$	= $- 1,3$
x₂	=	$\sqrt{1,69}$	= $1,3$

L={ $- 1,3$ ; $1,3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 5 + 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9+1}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9-1}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

L={ $- 1,25$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 + 2)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 3) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)