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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 {(x - 4)}^{2} - 1$
und
$g(x) =$ $- 76$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 {(x - 4)}^{2} - 1$	=	$- 76$	\| $+ 1$
$- 3 {(x - 4)}^{2}$	=	$- 75$	\|: $(- 3)$
${(x - 4)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
x₂	=	$9$

L={ $- 1$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 76$

g( $9$ ) = $- 76$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 76$ ) und S₂( $9$ | $- 76$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 33 x - 27 + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 33 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 + 432}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33+39}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33-39}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 33 x - 27$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{8})}^{2} - (- \frac{27}{4})$ = $\frac{1089}{64}$ $+$ $\frac{27}{4}$ = $\frac{1089}{64}$ $+$ $\frac{432}{64}$ = $\frac{1521}{64}$

x_1,2 = $\frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{64}}$

x₁ = $\frac{33}{8}$ - $\frac{39}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{33}{8}$ + $\frac{39}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $- 0,75$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $- 7$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)