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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ = $\frac{36}{9}$

${(x + \frac{1}{3})}^{2}$	=	$\frac{36}{9}$
${(x + \frac{1}{3})}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{1}{3}

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + \frac{1}{3}$	=	$- 2$	\| $- \frac{1}{3}$
x₁	=	$- \frac{7}{3}$

2. Fall

x + \frac{1}{3}

=

\sqrt{4}

=

2

$x + \frac{1}{3}$	=	$2$	\| $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\frac{5}{3}$

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $\frac{5}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 7 x + 4$ = $(- 8 x - 2) \cdot (x + 1) + 4 x + 8$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 7 x + 4$	=	$(- 8 x - 2) \cdot (x + 1) + 4 x + 8$
$- 7 x^{2} - 7 x + 4$	=	$- 8 x^{2} - 10 x - 2 + 4 x + 8$
$- 7 x^{2} - 7 x + 4$	=	$- 8 x^{2} - 6 x + 6$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 6 x$ $- 6$

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 49+31}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 49-31}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{49}{5} x + \frac{72}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{10})}^{2} - (\frac{72}{5})$ = $\frac{2401}{100}$ $-$ $\frac{72}{5}$ = $\frac{2401}{100}$ $-$ $\frac{1440}{100}$ = $\frac{961}{100}$

x_1,2 = $- \frac{49}{10}$ ± $\sqrt{\frac{961}{100}}$

x₁ = $- \frac{49}{10}$ - $\frac{31}{10}$ = $- \frac{80}{10}$ = -8

x₂ = $- \frac{49}{10}$ + $\frac{31}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

L={ $- 8$ ; $- 1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)