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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{225}{64}$

$x^{2}$	=	$\frac{225}{64}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{225}{64}}$	≈ $- \frac{15}{8}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{225}{64}}$	≈ $\frac{15}{8}$

L={ $- \frac{15}{8}$ ; $\frac{15}{8}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 3 x - 5$ = $(- 6 x + 9) (x - 1) - 18 x + 13$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 3 x - 5$	=	$(- 6 x + 9) (x - 1) - 18 x + 13$
$- 5 x^{2} - 3 x - 5$	=	$- 6 x^{2} + 15 x - 9 - 18 x + 13$
$- 5 x^{2} - 3 x - 5$	=	$- 6 x^{2} - 3 x + 4$	\| $+ 5$
$- 5 x^{2} - 3 x$	=	$- 6 x^{2} - 3 x + 9$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 32$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) (x + 2)$ .