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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ = $\frac{25}{36}$

{(x - \frac{1}{3})}^{2}

=

\frac{25}{36}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{1}{3}

=

- \sqrt{\frac{25}{36}}

≈

- \frac{5}{6}

$x - \frac{1}{3}$	=	$- \frac{5}{6}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall

x - \frac{1}{3}

=

\sqrt{\frac{25}{36}}

≈

\frac{5}{6}

$x - \frac{1}{3}$	=	$\frac{5}{6}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₂	=	$\frac{7}{6}$

L={ $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{7}{6}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 21+9}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 21-9}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 21 x + 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $- \frac{12}{10}$ = -1.2

L={ $- 3$ ; $- 1,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{8}$ = $- \frac{5}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (\frac{25}{4})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{25}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{5}{2}$ ± 0 = $- \frac{5}{2}$

L={ $- \frac{5}{2}$ }

$- \frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 1) (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)