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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 5)}^{2} + 7$ = $7$

${(x - 5)}^{2} + 7$	=	$7$	\| $- 7$
${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
$x$	=	$5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 5 x + 7$ = $(- 2 x + 4) (x + 5) + 10 x - 7$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 5 x + 7$	=	$(- 2 x + 4) (x + 5) + 10 x - 7$
$- x^{2} + 5 x + 7$	=	$- 2 x^{2} - 6 x + 20 + 10 x - 7$
$- x^{2} + 5 x + 7$	=	$- 2 x^{2} + 4 x + 13$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 4 x$ $- 13$

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3+17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3-17}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{35}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 3,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 1)$ = $- 4 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 4) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)