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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3)}^{2} + 2$ = $2$

${(x - 3)}^{2} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 7 x + 5$ = $(- 6 x - 4) \cdot (x - 7) - 45 x + 2$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 7 x + 5$	=	$(- 6 x - 4) \cdot (x - 7) - 45 x + 2$
$- 5 x^{2} - 7 x + 5$	=	$- 6 x^{2} + 38 x + 28 - 45 x + 2$
$- 5 x^{2} - 7 x + 5$	=	$- 6 x^{2} - 7 x + 30$	\| $- 5$
$- 5 x^{2} - 7 x$	=	$- 6 x^{2} - 7 x + 25$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 7 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .