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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 5)}^{2}$
und
$g(x) =$ $1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 5)}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
x₂	=	$6$

L={ $4$ ; $6$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $1$

g( $6$ ) = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $1$ ) und S₂( $6$ | $1$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 9 x + 4$ = $(2 x + 4) \cdot (x + 8) - 10 x - 28$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 9 x + 4$	=	$(2 x + 4) \cdot (x + 8) - 10 x - 28$
$3 x^{2} + 9 x + 4$	=	$2 x^{2} + 20 x + 32 - 10 x - 28$
$3 x^{2} + 9 x + 4$	=	$2 x^{2} + 10 x + 4$	\| $- 4$
$3 x^{2} + 9 x$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- (2 x^{2} + 10 x)$
$3 x^{2} - 2 x^{2} + 9 x - 10 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $3$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)