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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1)}^{2} + 4$ = $20$

${(x - 1)}^{2} + 4$	=	$20$	\| $- 4$
${(x - 1)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 1$	=	$- 4$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 1$	=	$4$	\| $+ 1$
x₂	=	$5$

L={ $- 3$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 2 x + 5$ = $(- 4 x + 9) (x - 8) - 46 x + 65$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$(- 4 x + 9) (x - 8) - 46 x + 65$
$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$- 4 x^{2} + 41 x - 72 - 46 x + 65$
$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$- 4 x^{2} - 5 x - 7$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$ $+ 7$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 17}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 16 x + 17$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 4 x + \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (\frac{17}{4})$ = $4$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)