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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x + 1)}^{2} + 9$
und
$g(x) =$ $36$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x + 1)}^{2} + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$3 {(x + 1)}^{2}$	=	$27$	\|: $3$
${(x + 1)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₂	=	$2$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $36$

g( $2$ ) = $36$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $36$ ) und S₂( $2$ | $36$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$36 x + 4 x^{2} + 56$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 36 x + 56

= 0 |:4

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 20 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 20 x + 26

= 0 |:2

$2 x^{2} + 10 x + 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 10 x + 13$ = 0 |: $2$

$x^{2} + 5 x + \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (\frac{13}{2})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{26}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (3 - 2) \cdot (3 - 5)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 2) (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)