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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{49}{144}$

$x^{2}$	=	$\frac{49}{144}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{49}{144}}$	≈ $- \frac{7}{12}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{49}{144}}$	≈ $\frac{7}{12}$

L={ $- \frac{7}{12}$ ; $\frac{7}{12}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x + 7$ = $(x + 3) (x - 9) + 11 x + 36$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 4 x + 7$	=	$(x + 3) (x - 9) + 11 x + 36$
$2 x^{2} + 4 x + 7$	=	$x^{2} - 6 x - 27 + 11 x + 36$
$2 x^{2} + 4 x + 7$	=	$x^{2} + 5 x + 9$	\| $- x^{2}$ $- 5 x$ $- 9$

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 54}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21+3}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21-3}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - 27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

L={ $- 6$ ; $- 4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)