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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{36}{49}$

$x^{2}$	=	$\frac{36}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $- \frac{6}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $\frac{6}{7}$

L={ $- \frac{6}{7}$ ; $\frac{6}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .