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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 7)}^{2} - 18$
und
$g(x) =$ $- 9$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 7)}^{2} - 18$	=	$- 9$	\| $+ 18$
${(x + 7)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 7

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 7$	=	$- 3$	\| $- 7$
x₁	=	$- 10$

2. Fall

x + 7

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 7$	=	$3$	\| $- 7$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 10$ ) = $- 9$

g( $- 4$ ) = $- 9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 10$ | $- 9$ ) und S₂( $- 4$ | $- 9$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 40 x + 16$ = $- 25 x^{2}$

Lösung einblenden

- 40 x + 16

=

- 25 x^{2}

|

+ 25 x^{2}

$25 x^{2} - 40 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{40}{50}$ = $\frac{4}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 40 x + 16$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{16}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{16}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{16}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{4}{5}$ ± 0 = $\frac{4}{5}$

L={ $\frac{4}{5}$ }

$\frac{4}{5}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 14 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 14 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 14+26}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 14-26}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 14 x - 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{14}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{5})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{169}{25}$

x_1,2 = $- \frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{169}{25}}$

x₁ = $- \frac{7}{5}$ - $\frac{13}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{5}$ + $\frac{13}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

L={ $- 4$ ; $1,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 4)$ = $- 3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)