Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen
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quadr. Linearterm als Graph
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
und
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | | ||
| = |
| = | | | ||
| = |
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g(
) =
Der einzige Schnittpunkt ist also S(
|
a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
a-b-c-Formel (MNF) - alles links
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).
Also muss der Funktionsterm sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y =
=
=2.
Hieraus ergibt sich a=.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit .