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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - \frac{4}{81}$ = $\frac{44}{9}$

$4 x^{2} - \frac{4}{81}$	=	$\frac{44}{9}$	\| $+ \frac{4}{81}$
$4 x^{2}$	=	$\frac{400}{81}$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$\frac{100}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{100}{81}}$	≈ $- \frac{10}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{100}{81}}$	≈ $\frac{10}{9}$

L={ $- \frac{10}{9}$ ; $\frac{10}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 4 x + 6$ = $(9 x + 8) \cdot (x - 9) + 77 x + 82$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 4 x + 6$	=	$(9 x + 8) \cdot (x - 9) + 77 x + 82$
$10 x^{2} + 4 x + 6$	=	$9 x^{2} - 73 x - 72 + 77 x + 82$
$10 x^{2} + 4 x + 6$	=	$9 x^{2} + 4 x + 10$	\| $- 6$
$10 x^{2} + 4 x$	=	$9 x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 9 x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{9+19}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{9-19}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{35}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $- 2,5$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)