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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 0,36$ = $0,12$

$3 x^{2} - 0,36$	=	$0,12$	\| $+ 0,36$
$3 x^{2}$	=	$0,48$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$\frac{0,48}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,48}{3}}$	= $- 0,4$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,48}{3}}$	= $0,4$

L={ $- 0,4$ ; $0,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + x$ = $3$

Lösung einblenden

4 x^{2} + x

=

3

|

- 3

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 9 x - 28$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 9 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 9+23}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 9-23}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 28$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $7$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{448}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

L={ $- 4$ ; $1,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)