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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $10 000$

$x^{2}$	=	$10 000$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{10 000}$	= $- 100$
x₂	=	$\sqrt{10 000}$	= $100$

L={ $- 100$ ; $100$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{63}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{63}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{63}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 11 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 11+25}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 11-25}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{63}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 9$ ; $3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

L={ $- 8$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)