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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 7)}^{2} + 15$
und
$g(x) =$ $19$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 7)}^{2} + 15$	=	$19$	\| $- 15$
${(x + 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 7

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 7$	=	$- 2$	\| $- 7$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 7

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 7$	=	$2$	\| $- 7$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 9$ ) = $19$

g( $- 5$ ) = $19$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 9$ | $19$ ) und S₂( $- 5$ | $19$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$29 x + 20$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

29 x + 20

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} + 29 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 20}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 29+21}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 29-21}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 29 x + 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{29}{5} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{10})}^{2} - 4$ = $\frac{841}{100}$ $-$ $4$ = $\frac{841}{100}$ $-$ $\frac{400}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $- \frac{29}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $- \frac{29}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $- \frac{50}{10}$ = -5

x₂ = $- \frac{29}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $- \frac{8}{10}$ = -0.8

L={ $- 5$ ; $- 0,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 26 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 26 x + 60

= 0 |:2

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)