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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 0,33$ = $- 1,14$

$- 3 x^{2} + 0,33$	=	$- 1,14$	\| $- 0,33$
$- 3 x^{2}$	=	$- 1,47$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$\frac{1,47}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1,47}{3}}$	= $- 0,7$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1,47}{3}}$	= $0,7$

L={ $- 0,7$ ; $0,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 + 4 x^{2} - 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 2 x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $1$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 49$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x - 1) (x - 4)$ .