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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 = 0

Lösung einblenden
4 x 2 = 0 |:4
x 2 = 0 | ⋅2
x = 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -8x +4 = ( x -1 ) ( x -2 ) -6x +22

Lösung einblenden
2 x 2 -8x +4 = ( x -1 ) ( x -2 ) -6x +22
2 x 2 -8x +4 = x 2 -3x +2 -6x +22
2 x 2 -8x +4 = x 2 -9x +24 | - x 2 +9x -24

x 2 + x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +80 2

x1,2 = -1 ± 81 2

x1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

x2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

L={ -5 ; 4 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 + x -15 = 0

Lösung einblenden

2 x 2 + x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -15 ) 2⋅2

x1,2 = -1 ± 1 +120 4

x1,2 = -1 ± 121 4

x1 = -1 + 121 4 = -1 +11 4 = 10 4 = 2,5

x2 = -1 - 121 4 = -1 -11 4 = -12 4 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 + x -15 = 0 |: 2

x 2 + 1 2 x - 15 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 15 2 ) = 1 16 + 15 2 = 1 16 + 120 16 = 121 16

x1,2 = - 1 4 ± 121 16

x1 = - 1 4 - 11 4 = - 12 4 = -3

x2 = - 1 4 + 11 4 = 10 4 = 2.5

L={ -3 ; 2,5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · x · ( x -2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · 1 · ( 1 -2 ) = -a =-2.

Hieraus ergibt sich a=2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 2 x ( x -2 ) .