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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-4 x 2 +100 = 0

Lösung einblenden
-4 x 2 +100 = 0 | -100
-4 x 2 = -100 |: ( -4 )
x 2 = 25 | ⋅2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

L={ -5 ; 5 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 +6 = -31x

Lösung einblenden
5 x 2 +6 = -31x | +31x

5 x 2 +31x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -31 ± 31 2 -4 · 5 · 6 2⋅5

x1,2 = -31 ± 961 -120 10

x1,2 = -31 ± 841 10

x1 = -31 + 841 10 = -31 +29 10 = -2 10 = -0,2

x2 = -31 - 841 10 = -31 -29 10 = -60 10 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +31x +6 = 0 |: 5

x 2 + 31 5 x + 6 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 31 10 ) 2 - ( 6 5 ) = 961 100 - 6 5 = 961 100 - 120 100 = 841 100

x1,2 = - 31 10 ± 841 100

x1 = - 31 10 - 29 10 = - 60 10 = -6

x2 = - 31 10 + 29 10 = - 2 10 = -0.2

L={ -6 ; -0,2 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -26x +60 = 0

Lösung einblenden
2 x 2 -26x +60 = 0 |:2

x 2 -13x +30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 30 2⋅1

x1,2 = +13 ± 169 -120 2

x1,2 = +13 ± 49 2

x1 = 13 + 49 2 = 13 +7 2 = 20 2 = 10

x2 = 13 - 49 2 = 13 -7 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 30 = 169 4 - 30 = 169 4 - 120 4 = 49 4

x1,2 = 13 2 ± 49 4

x1 = 13 2 - 7 2 = 6 2 = 3

x2 = 13 2 + 7 2 = 20 2 = 10

L={ 3 ; 10 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +1 ) · ( x -1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( 0 +1 ) · ( 0 -1 ) = -a =-2.

Hieraus ergibt sich a=2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 2 ( x +1 ) ( x -1 ) .