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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 x 2 +98 = 0

Lösung einblenden
-2 x 2 +98 = 0 | -98
-2 x 2 = -98 |: ( -2 )
x 2 = 49 | ⋅2
x1 = - 49 = -7
x2 = 49 = 7

L={ -7 ; 7 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + 33 4 x - 35 2 = 0

Lösung einblenden
x 2 + 33 4 x - 35 2 = 0 |⋅ 4
4( x 2 + 33 4 x - 35 2 ) = 0

4 x 2 +33x -70 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -33 ± 33 2 -4 · 4 · ( -70 ) 2⋅4

x1,2 = -33 ± 1089 +1120 8

x1,2 = -33 ± 2209 8

x1 = -33 + 2209 8 = -33 +47 8 = 14 8 = 1,75

x2 = -33 - 2209 8 = -33 -47 8 = -80 8 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 +33x -70 = 0 |: 4

x 2 + 33 4 x - 35 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 33 8 ) 2 - ( - 35 2 ) = 1089 64 + 35 2 = 1089 64 + 1120 64 = 2209 64

x1,2 = - 33 8 ± 2209 64

x1 = - 33 8 - 47 8 = - 80 8 = -10

x2 = - 33 8 + 47 8 = 14 8 = 1.75

L={ -10 ; 1,75 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +13x +42 = 0

Lösung einblenden

x 2 +13x +42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 1 · 42 2⋅1

x1,2 = -13 ± 169 -168 2

x1,2 = -13 ± 1 2

x1 = -13 + 1 2 = -13 +1 2 = -12 2 = -6

x2 = -13 - 1 2 = -13 -1 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 2 ) 2 - 42 = 169 4 - 42 = 169 4 - 168 4 = 1 4

x1,2 = - 13 2 ± 1 4

x1 = - 13 2 - 1 2 = - 14 2 = -7

x2 = - 13 2 + 1 2 = - 12 2 = -6

L={ -7 ; -6 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x -4 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -4 +3 ) · ( -4 -4 ) = 8a =-2.

Hieraus ergibt sich a= - 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - 1 4 ( x +3 ) ( x -4 ) .