Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x + 2)}^{2} + 12$
und
$g(x) =$ $15$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x + 2)}^{2} + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$3 {(x + 2)}^{2}$	=	$3$	\|: $3$
${(x + 2)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{1}

=

1

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $15$

g( $- 1$ ) = $15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $15$ ) und S₂( $- 1$ | $15$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 43 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43+37}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43-37}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 43 x + 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{43}{10})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{1849}{100}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{1849}{100}$ $-$ $\frac{480}{100}$ = $\frac{1369}{100}$

x_1,2 = $- \frac{43}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{100}}$

x₁ = $- \frac{43}{10}$ - $\frac{37}{10}$ = $- \frac{80}{10}$ = -8

x₂ = $- \frac{43}{10}$ + $\frac{37}{10}$ = $- \frac{6}{10}$ = -0.6

L={ $- 8$ ; $- 0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 45 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

5 x^{2} - 45 x + 70

= 0 |:5

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)