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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 0,12$ = $- 0,48$

$- 4 x^{2} - 0,12$	=	$- 0,48$	\| $+ 0,12$
$- 4 x^{2}$	=	$- 0,36$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{0,36}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,36}{4}}$	= $- 0,3$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,36}{4}}$	= $0,3$

L={ $- 0,3$ ; $0,3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 36 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 36 x - 81

= 0 |:3

$- x^{2} - 12 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{12+6}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{12-6}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 12 x - 27$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 46 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 46 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 916}}{10}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{2 916}}{10}$ = $\frac{- 46+54}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{2 916}}{10}$ = $\frac{- 46-54}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 46 x - 40$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{46}{5} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{5})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{529}{25}$ $+$ $8$ = $\frac{529}{25}$ $+$ $\frac{200}{25}$ = $\frac{729}{25}$

x_1,2 = $- \frac{23}{5}$ ± $\sqrt{\frac{729}{25}}$

x₁ = $- \frac{23}{5}$ - $\frac{27}{5}$ = $- \frac{50}{5}$ = -10

x₂ = $- \frac{23}{5}$ + $\frac{27}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

L={ $- 10$ ; $0,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)