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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$ = $\frac{81}{4}$

{(x + \frac{3}{2})}^{2}

\frac{81}{4}

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{3}{2}

- \sqrt{\frac{81}{4}}

- \frac{9}{2}

$x + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{9}{2}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + \frac{3}{2}

\sqrt{\frac{81}{4}}

\frac{9}{2}

$x + \frac{3}{2}$	=	$\frac{9}{2}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₂	=	$3$

L={ $- 6$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 7 x - 1$ = $(5 x + 6) (x - 2) - 3 x + 36$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 7 x - 1$	=	$(5 x + 6) (x - 2) - 3 x + 36$
$6 x^{2} - 7 x - 1$	=	$5 x^{2} - 4 x - 12 - 3 x + 36$
$6 x^{2} - 7 x - 1$	=	$5 x^{2} - 7 x + 24$	\| $+ 1$
$6 x^{2} - 7 x$	=	$5 x^{2} - 7 x + 25$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 7 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 65$ = $64$ $-$ $65$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) (x - 4)$ .