Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2}$ = $192$

$3 x^{2}$	=	$192$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

L={ $- 8$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x - 4)$	=	0

$2 x^{2} - 15 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{15+17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{15-17}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x - 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 0,5$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 1+17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 1-17}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

L={ $- 4,5$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 2) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)