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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{1}{9}$

$x^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $\frac{1}{3}$

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x - 1$ = $(8 x + 2) \cdot (x - 1) + 11 x + 1$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x - 1$	=	$(8 x + 2) \cdot (x - 1) + 11 x + 1$
$9 x^{2} + 6 x - 1$	=	$8 x^{2} - 6 x - 2 + 11 x + 1$
$9 x^{2} + 6 x - 1$	=	$8 x^{2} + 5 x - 1$	\| $+ 1$
$9 x^{2} + 6 x$	=	$8 x^{2} + 5 x$	\| $- (8 x^{2} + 5 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 5 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 32 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 32 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 35}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 700}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{32+18}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{32-18}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 32 x + 35$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - 7$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $7$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{175}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5

L={ $1,4$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 3)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)