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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 7)}^{2} - 2$
und
$g(x) =$ $23$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 7)}^{2} - 2$	=	$23$	\| $+ 2$
${(x - 7)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 7$	=	$- 5$	\| $+ 7$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 7$	=	$5$	\| $+ 7$
x₂	=	$12$

L={ $2$ ; $12$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $23$

g( $12$ ) = $23$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $23$ ) und S₂( $12$ | $23$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$100 + x^{2} - 20 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 10)}^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $10$ ± 0 = $10$

L={ $10$ }

$10$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 64}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 48+32}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 48-32}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{48}{5} x + \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{24}{5})}^{2} - (\frac{64}{5})$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $- \frac{24}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $- \frac{24}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $- \frac{40}{5}$ = -8

x₂ = $- \frac{24}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

L={ $- 8$ ; $- 1,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)