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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 200$ = 0

$2 x^{2} - 200$	=	0	\| $+ 200$
$2 x^{2}$	=	$200$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $- 10$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x + 4 x^{2} - 24$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 4 x - 24

= 0 |:4

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{11+3}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{11-3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x + 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $2$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)