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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$
und
$g(x) =$ $16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x + 1)}^{2}

=

16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
x₂	=	$3$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $16$

g( $3$ ) = $16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $16$ ) und S₂( $3$ | $16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14+6}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14-6}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{7}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

x₂ = $\frac{7}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

L={ $0,8$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9+1}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9-1}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

L={ $- 1,25$ ; $- 1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)