Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{36}{49}$

$x^{2}$	=	$\frac{36}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $- \frac{6}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $\frac{6}{7}$

L={ $- \frac{6}{7}$ ; $\frac{6}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 4 x + 6$ = $(x + 3) \cdot (x - 3) - 4 x + 40$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 4 x + 6$	=	$(x + 3) \cdot (x - 3) - 4 x + 40$
$2 x^{2} - 4 x + 6$	=	$x^{2} - 9 - 4 x + 40$
$2 x^{2} - 4 x + 6$	=	$x^{2} - 4 x + 31$	\| $- 6$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$x^{2} - 4 x + 25$	\| $- x^{2}$ $+ 4 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1+11}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1-11}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

L={ $- 2,5$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .