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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 1)}^{2} + 13$
und
$g(x) =$ $38$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 1)}^{2} + 13$	=	$38$	\| $- 13$
${(x - 1)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 1$	=	$- 5$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
x₂	=	$6$

L={ $- 4$ ; $6$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $38$

g( $6$ ) = $38$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $38$ ) und S₂( $6$ | $38$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 19 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 19 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{19+29}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{19-29}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 19 x - 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $- 1,25$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 + 1)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)