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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2}$ = $- 180$

$- 5 x^{2}$	=	$- 180$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 6 x - 3$ = $(2 x - 3) \cdot (x + 4) - 14 x + 9$

Lösung einblenden

$3 x^{2} - 6 x - 3$	=	$(2 x - 3) \cdot (x + 4) - 14 x + 9$
$3 x^{2} - 6 x - 3$	=	$2 x^{2} + 5 x - 12 - 14 x + 9$
$3 x^{2} - 6 x - 3$	=	$2 x^{2} - 9 x - 3$	\| $+ 3$
$3 x^{2} - 6 x$	=	$2 x^{2} - 9 x$	\| $- (2 x^{2} - 9 x)$
$3 x^{2} - 2 x^{2} - 6 x + 9 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x - 5)$ .