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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{18}{49}$ = $\frac{1}{7}$

$x^{2} - \frac{18}{49}$	=	$\frac{1}{7}$	\| $+ \frac{18}{49}$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $- \frac{5}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $\frac{5}{7}$

L={ $- \frac{5}{7}$ ; $\frac{5}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{27}{2} x + 35)$	=	0

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27+13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27-13}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 10$ ; $- 3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)