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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 49$ = $- 15$

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 49$	=	$- 15$	\| $- 49$
$- 4 {(x + 3)}^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
${(x + 3)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 3$	=	$4$	\| $- 3$
x₂	=	$1$

L={ $- 7$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 24 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 24 x - 36

= 0 |:3

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 23 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 23 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 23+9}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 23-9}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 23 x + 56$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{23}{2} x + 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{4})}^{2} - 28$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $28$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{448}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{23}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 8$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)