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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 6)}^{2} + 19$
und
$g(x) =$ $20$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 6)}^{2} + 19$	=	$20$	\| $- 19$
${(x - 6)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 6

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 6$	=	$- 1$	\| $+ 6$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 6

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 6$	=	$1$	\| $+ 6$
x₂	=	$7$

L={ $5$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $20$

g( $7$ ) = $20$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $5$ | $20$ ) und S₂( $7$ | $20$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 2 x + 6$ = $(7 x - 1) (x + 2) - x - 17$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 2 x + 6$	=	$(7 x - 1) (x + 2) - x - 17$
$8 x^{2} + 2 x + 6$	=	$7 x^{2} + 13 x - 2 - x - 17$
$8 x^{2} + 2 x + 6$	=	$7 x^{2} + 12 x - 19$	\| $- 7 x^{2}$ $- 12 x$ $+ 19$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)