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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - \frac{2}{3}$ = $- \frac{10}{9}$

$- 4 x^{2} - \frac{2}{3}$	=	$- \frac{10}{9}$	\| $+ \frac{2}{3}$
$- 4 x^{2}$	=	$- \frac{4}{9}$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $\frac{1}{3}$

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$42 - 37 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 37 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{37+23}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{37-23}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 37 x + 42$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{37}{5} x + \frac{42}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{10})}^{2} - (\frac{42}{5})$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{42}{5}$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{840}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $\frac{37}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $\frac{37}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

x₂ = $\frac{37}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $1,4$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)