zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -1,4 ) 2 = 0,09

Lösung einblenden
( x -1,4 ) 2 = 0,09 | ⋅2

1. Fall

x -1,4 = - 0,09 = -0,3
x -1,4 = -0,3 | +1,4
x1 = 1,1

2. Fall

x -1,4 = 0,09 = 0,3
x -1,4 = 0,3 | +1,4
x2 = 1,7

L={ 1,1 ; 1,7 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

65 +25 x 2 +80x = 0

Lösung einblenden
25 x 2 +80x +65 = 0 |:5

5 x 2 +16x +13 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -16 ± 16 2 -4 · 5 · 13 2⋅5

x1,2 = -16 ± 256 -260 10

x1,2 = -16 ± ( -4 ) 10

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +16x +13 = 0 |: 5

x 2 + 16 5 x + 13 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 8 5 ) 2 - ( 13 5 ) = 64 25 - 13 5 = 64 25 - 65 25 = - 1 25

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - x -20 = 0

Lösung einblenden

x 2 - x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +80 2

x1,2 = +1 ± 81 2

x1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

x2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

L={ -4 ; 5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -4 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -4 ) = -2a =-2.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x -1 ) · ( x -4 ) .