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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 6)}^{2} - 4$ = 0

${(x + 6)}^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
${(x + 6)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
x₁	=	$- 8$

2. Fall

x + 6

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$60 + 2 x^{2}$ = $26 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 60

=

26 x

|

- 26 x

2 x^{2} - 26 x + 60

= 0 |:2

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $3$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 37 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 37 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 37+35}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 37-35}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 37 x + 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{37}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{1369}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{1369}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{37}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $- \frac{37}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{72}{8}$ = -9

x₂ = $- \frac{37}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

L={ $- 9$ ; $- 0,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 2) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)