Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,6)}^{2}$ = $0,81$

{(x - 4,6)}^{2}

=

0,81

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,6

=

- \sqrt{0,81}

=

- 0,9

$x - 4,6$	=	$- 0,9$	\| $+ 4,6$
x₁	=	$3,7$

2. Fall

x - 4,6

=

\sqrt{0,81}

=

0,9

$x - 4,6$	=	$0,9$	\| $+ 4,6$
x₂	=	$5,5$

L={ $3,7$ ; $5,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 3 x - 1$ = $(- 7 x + 7) \cdot (x - 4) - 42 x + 27$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$(- 7 x + 7) \cdot (x - 4) - 42 x + 27$
$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 7 x^{2} + 35 x - 28 - 42 x + 27$
$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 7 x^{2} - 7 x - 1$	\| $+ 1$
$- 6 x^{2} - 3 x$	=	$- 7 x^{2} - 7 x$	\| $- (- 7 x^{2} - 7 x)$
$- 6 x^{2} + 7 x^{2} - 3 x + 7 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 37}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 6 x + \frac{37}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (\frac{37}{4})$ = $9$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $\frac{36}{4}$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)