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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,3)}^{2}$ = $0,16$

{(x + 2,3)}^{2}

0,16

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,3

- \sqrt{0,16}

- 0,4

$x + 2,3$	=	$- 0,4$	\| $- 2,3$
x₁	=	$- 2,7$

2. Fall

x + 2,3

\sqrt{0,16}

0,4

$x + 2,3$	=	$0,4$	\| $- 2,3$
x₂	=	$- 1,9$

L={ $- 2,7$ ; $- 1,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 6 x - 9$ = $(- 8 x - 8) (x + 7) + 70 x + 63$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 6 x - 9$	=	$(- 8 x - 8) (x + 7) + 70 x + 63$
$- 7 x^{2} + 6 x - 9$	=	$- 8 x^{2} - 64 x - 56 + 70 x + 63$
$- 7 x^{2} + 6 x - 9$	=	$- 8 x^{2} + 6 x + 7$	\| $+ 9$
$- 7 x^{2} + 6 x$	=	$- 8 x^{2} + 6 x + 16$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 6 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 32 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} - 32 x + 16

= 0 |:16

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 3) (x + 1)$ .