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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 2)}^{2}$
und
$g(x) =$ $16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 2)}^{2}

=

16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
x₂	=	$6$

L={ $- 2$ ; $6$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $16$

g( $6$ ) = $16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $16$ ) und S₂( $6$ | $16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{26}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{26}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{26}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 26 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{26+14}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{26-14}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 26 x + 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{26}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{5})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $\frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $\frac{13}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

x₂ = $\frac{13}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

L={ $1,2$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 60 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 60 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{{(- 60)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{3 600 - 3 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{60}{50}$ = $\frac{6}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 60 x + 36$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{36}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{36}{25})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{36}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{6}{5}$ ± 0 = $\frac{6}{5}$

L={ $\frac{6}{5}$ }

$\frac{6}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)