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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x +0,6 ) 2 = 0,36

Lösung einblenden
( x +0,6 ) 2 = 0,36 | ⋅2

1. Fall

x +0,6 = - 0,36 = -0,6
x +0,6 = -0,6 | -0,6
x1 = -1,2

2. Fall

x +0,6 = 0,36 = 0,6
x +0,6 = 0,6 | -0,6
x2 = 0

L={ -1,2 ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

10 +5 x 2 = 51x

Lösung einblenden
5 x 2 +10 = 51x | -51x

5 x 2 -51x +10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +51 ± ( -51 ) 2 -4 · 5 · 10 2⋅5

x1,2 = +51 ± 2601 -200 10

x1,2 = +51 ± 2401 10

x1 = 51 + 2401 10 = 51 +49 10 = 100 10 = 10

x2 = 51 - 2401 10 = 51 -49 10 = 2 10 = 0,2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -51x +10 = 0 |: 5

x 2 - 51 5 x +2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 51 10 ) 2 - 2 = 2601 100 - 2 = 2601 100 - 200 100 = 2401 100

x1,2 = 51 10 ± 2401 100

x1 = 51 10 - 49 10 = 2 10 = 0.2

x2 = 51 10 + 49 10 = 100 10 = 10

L={ 0,2 ; 10 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 +47x -30 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 +47x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -47 ± 47 2 -4 · 5 · ( -30 ) 2⋅5

x1,2 = -47 ± 2209 +600 10

x1,2 = -47 ± 2809 10

x1 = -47 + 2809 10 = -47 +53 10 = 6 10 = 0,6

x2 = -47 - 2809 10 = -47 -53 10 = -100 10 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +47x -30 = 0 |: 5

x 2 + 47 5 x -6 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 47 10 ) 2 - ( -6 ) = 2209 100 + 6 = 2209 100 + 600 100 = 2809 100

x1,2 = - 47 10 ± 2809 100

x1 = - 47 10 - 53 10 = - 100 10 = -10

x2 = - 47 10 + 53 10 = 6 10 = 0.6

L={ -10 ; 0,6 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · x sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -2 +3 ) · ( -2 ) = -2a =-2.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x +3 ) x .