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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 0,2)}^{2}$ = $0,09$

{(x - 0,2)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 0,2

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x - 0,2$	=	$- 0,3$	\| $+ 0,2$
x₁	=	$- 0,1$

2. Fall

x - 0,2

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x - 0,2$	=	$0,3$	\| $+ 0,2$
x₂	=	$0,5$

L={ $- 0,1$ ; $0,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 7 x - 5$ = $(- 6 x + 9) \cdot (x - 9) - 50 x + 71$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$(- 6 x + 9) \cdot (x - 9) - 50 x + 71$
$- 5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$- 6 x^{2} + 63 x - 81 - 50 x + 71$
$- 5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$- 6 x^{2} + 13 x - 10$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 10$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 10 x - 50$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 10 x - 50

= 0 |:2

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5+15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5-15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 2,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 2)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)