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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2)}^{2} - 25$ = 0

${(x - 2)}^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
${(x - 2)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 2$	=	$- 5$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 2$	=	$5$	\| $+ 2$
x₂	=	$7$

L={ $- 3$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x - 1$ = $(- x - 1) \cdot (x - 5) + x - 4$

Lösung einblenden

$6 x - 1$	=	$(- x - 1) \cdot (x - 5) + x - 4$
$6 x - 1$	=	$- x^{2} + 4 x + 5 + x - 4$
$6 x - 1$	=	$- x^{2} + 5 x + 1$	\| $+ x^{2}$ $- 5 x$ $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27+13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27-13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $3,5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 - 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)