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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- {(x + 6)}^{2} + 9$ = 0

$- {(x + 6)}^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- {(x + 6)}^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
${(x + 6)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

- \sqrt{9}

- 3

$x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 6

\sqrt{9}

3

$x + 6$	=	$3$	\| $- 6$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 50$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 50$	=	0	\| $- 50$
$- 2 x^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

L={ $- 5$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) \cdot (x + 2)$ .