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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $0,49$

$x^{2}$	=	$0,49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,49}$	= $- 0,7$
x₂	=	$\sqrt{0,49}$	= $0,7$

L={ $- 0,7$ ; $0,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$42 + 34 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 34 x + 42

= 0 |:2

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17+11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17-11}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)