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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{4}{3})}^{2}$ = $\frac{81}{36}$

${(x + \frac{4}{3})}^{2}$	=	$\frac{81}{36}$
${(x + \frac{4}{3})}^{2}$	=	$\frac{9}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{4}{3}

=

- \sqrt{\frac{9}{4}}

=

- \frac{3}{2}

$x + \frac{4}{3}$	=	$- \frac{3}{2}$	\| $- \frac{4}{3}$
x₁	=	$- \frac{17}{6}$

2. Fall

x + \frac{4}{3}

=

\sqrt{\frac{9}{4}}

=

\frac{3}{2}

$x + \frac{4}{3}$	=	$\frac{3}{2}$	\| $- \frac{4}{3}$
x₂	=	$\frac{1}{6}$

L={ $- \frac{17}{6}$ ; $\frac{1}{6}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$13 x - 45 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 13+23}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 13-23}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 9$ ; $2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19+1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19-1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $9$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)