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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - \frac{8}{9}$ = $- 1$

$- x^{2} - \frac{8}{9}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{8}{9}$
$- x^{2}$	=	$- \frac{1}{9}$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $\frac{1}{3}$

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - 6 x + 3$ = $(7 x + 7) (x + 9) - 81 x - 66$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - 6 x + 3$	=	$(7 x + 7) (x + 9) - 81 x - 66$
$8 x^{2} - 6 x + 3$	=	$7 x^{2} + 70 x + 63 - 81 x - 66$
$8 x^{2} - 6 x + 3$	=	$7 x^{2} - 11 x - 3$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 11 x$ $+ 3$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 13 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 13+3}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 13-3}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x + 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

L={ $- 2$ ; $- 1,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)