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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ = $\frac{9}{16}$

{(x + \frac{3}{4})}^{2}

=

\frac{9}{16}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{3}{4}

=

- \sqrt{\frac{9}{16}}

=

- \frac{3}{4}

$x + \frac{3}{4}$	=	$- \frac{3}{4}$	\| $- \frac{3}{4}$
x₁	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

2. Fall

x + \frac{3}{4}

=

\sqrt{\frac{9}{16}}

=

\frac{3}{4}

$x + \frac{3}{4}$	=	$\frac{3}{4}$	\| $- \frac{3}{4}$
x₂	=	0

L={ $- \frac{3}{2}$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$21 - 17 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 17 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17+11}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17-11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x + 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $1,5$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 4 + 2) \cdot (- 4)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)