Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- {(x + 2)}^{2} - 24$
und
$g(x) =$ $- 40$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- {(x + 2)}^{2} - 24$	=	$- 40$	\| $+ 24$
$- {(x + 2)}^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
x₂	=	$2$

L={ $- 6$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = $- 40$

g( $2$ ) = $- 40$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 6$ | $- 40$ ) und S₂( $2$ | $- 40$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + x - 4$ = $(6 x - 8) (x - 4) + 35 x - 28$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + x - 4$	=	$(6 x - 8) (x - 4) + 35 x - 28$
$7 x^{2} + x - 4$	=	$6 x^{2} - 32 x + 32 + 35 x - 28$
$7 x^{2} + x - 4$	=	$6 x^{2} + 3 x + 4$	\| $- 6 x^{2}$ $- 3 x$ $- 4$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 52 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 52 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{{(- 52)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 20}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{2 704 - 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{2 304}}{10}$

x₁ = $\frac{52 + \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{52+48}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{52 - \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{52-48}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 52 x + 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{52}{5} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{26}{5})}^{2} - 4$ = $\frac{676}{25}$ $-$ $4$ = $\frac{676}{25}$ $-$ $\frac{100}{25}$ = $\frac{576}{25}$

x_1,2 = $\frac{26}{5}$ ± $\sqrt{\frac{576}{25}}$

x₁ = $\frac{26}{5}$ - $\frac{24}{5}$ = $\frac{2}{5}$ = 0.4

x₂ = $\frac{26}{5}$ + $\frac{24}{5}$ = $\frac{50}{5}$ = 10

L={ $0,4$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)