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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- x 2 +1 = 0

Lösung einblenden
- x 2 +1 = 0 | -1
- x 2 = -1 |: ( -1 )
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - 7 4 x -9 = 0

Lösung einblenden
x 2 - 7 4 x -9 = 0 |⋅ 4
4( x 2 - 7 4 x -9 ) = 0

4 x 2 -7x -36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 4 · ( -36 ) 2⋅4

x1,2 = +7 ± 49 +576 8

x1,2 = +7 ± 625 8

x1 = 7 + 625 8 = 7 +25 8 = 32 8 = 4

x2 = 7 - 625 8 = 7 -25 8 = -18 8 = -2,25

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 -7x -36 = 0 |: 4

x 2 - 7 4 x -9 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 8 ) 2 - ( -9 ) = 49 64 + 9 = 49 64 + 576 64 = 625 64

x1,2 = 7 8 ± 625 64

x1 = 7 8 - 25 8 = - 18 8 = -2.25

x2 = 7 8 + 25 8 = 32 8 = 4

L={ -2,25 ; 4 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -42x -27 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 -42x -27 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +42 ± ( -42 ) 2 -4 · 5 · ( -27 ) 2⋅5

x1,2 = +42 ± 1764 +540 10

x1,2 = +42 ± 2304 10

x1 = 42 + 2304 10 = 42 +48 10 = 90 10 = 9

x2 = 42 - 2304 10 = 42 -48 10 = -6 10 = -0,6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -42x -27 = 0 |: 5

x 2 - 42 5 x - 27 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 21 5 ) 2 - ( - 27 5 ) = 441 25 + 27 5 = 441 25 + 135 25 = 576 25

x1,2 = 21 5 ± 576 25

x1 = 21 5 - 24 5 = - 3 5 = -0.6

x2 = 21 5 + 24 5 = 45 5 = 9

L={ -0,6 ; 9 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(5|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +2 ) · ( x -5 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -3 +2 ) · ( -3 -5 ) = 8a =-2.

Hieraus ergibt sich a= - 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - 1 4 ( x +2 ) ( x -5 ) .