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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 26$ = $22$

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$- 4 {(x - 5)}^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 4)$
${(x - 5)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
x₂	=	$6$

L={ $4$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 4 x + 8$ = $(- 5 x - 5) (x - 5) - 19 x - 7$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 4 x + 8$	=	$(- 5 x - 5) (x - 5) - 19 x - 7$
$- 4 x^{2} + 4 x + 8$	=	$- 5 x^{2} + 20 x + 25 - 19 x - 7$
$- 4 x^{2} + 4 x + 8$	=	$- 5 x^{2} + x + 18$	\| $+ 5 x^{2}$ $- x$ $- 18$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 8 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 8 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{8+22}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{8-22}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 8 x - 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{8}{5} x - \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (- \frac{21}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $\frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $\frac{4}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ = -1.4

x₂ = $\frac{4}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $- 1,4$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 5)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 2) (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)