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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 2)}^{2} + 20$
und
$g(x) =$ $45$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 2)}^{2} + 20$	=	$45$	\| $- 20$
${(x + 2)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 2$	=	$- 5$	\| $- 2$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
x₂	=	$3$

L={ $- 7$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $45$

g( $3$ ) = $45$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $45$ ) und S₂( $3$ | $45$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + x - 8$ = $(3 x + 3) \cdot (x - 6) + 10 x + 2$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + x - 8$	=	$(3 x + 3) \cdot (x - 6) + 10 x + 2$
$4 x^{2} + x - 8$	=	$3 x^{2} - 15 x - 18 + 10 x + 2$
$4 x^{2} + x - 8$	=	$3 x^{2} - 5 x - 16$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 5 x$ $+ 16$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{42^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 764 - 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 444}}{10}$

x₁ = $\frac{- 42 + \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 42+38}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 42 - \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 42-38}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{42}{5} x + \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{5})}^{2} - (\frac{16}{5})$ = $\frac{441}{25}$ $-$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{441}{25}$ $-$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{361}{25}$

x_1,2 = $- \frac{21}{5}$ ± $\sqrt{\frac{361}{25}}$

x₁ = $- \frac{21}{5}$ - $\frac{19}{5}$ = $- \frac{40}{5}$ = -8

x₂ = $- \frac{21}{5}$ + $\frac{19}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- 8$ ; $- 0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 4)$ = $- 3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)