zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -0,9 ) 2 = 0,49

Lösung einblenden
( x -0,9 ) 2 = 0,49 | ⋅2

1. Fall

x -0,9 = - 0,49 = -0,7
x -0,9 = -0,7 | +0,9
x1 = 0,2

2. Fall

x -0,9 = 0,49 = 0,7
x -0,9 = 0,7 | +0,9
x2 = 1,6

L={ 0,2 ; 1,6 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-4 x 2 -8x +7 = ( -5x -3 ) · ( x +7 ) +30x +37

Lösung einblenden
-4 x 2 -8x +7 = ( -5x -3 ) · ( x +7 ) +30x +37
-4 x 2 -8x +7 = -5 x 2 -38x -21 +30x +37
-4 x 2 -8x +7 = -5 x 2 -8x +16 | -7
-4 x 2 -8x = -5 x 2 -8x +9 | +5 x 2 +8x
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 +37x +40 = 0

Lösung einblenden

4 x 2 +37x +40 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -37 ± 37 2 -4 · 4 · 40 2⋅4

x1,2 = -37 ± 1369 -640 8

x1,2 = -37 ± 729 8

x1 = -37 + 729 8 = -37 +27 8 = -10 8 = -1,25

x2 = -37 - 729 8 = -37 -27 8 = -64 8 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 +37x +40 = 0 |: 4

x 2 + 37 4 x +10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 37 8 ) 2 - 10 = 1369 64 - 10 = 1369 64 - 640 64 = 729 64

x1,2 = - 37 8 ± 729 64

x1 = - 37 8 - 27 8 = - 64 8 = -8

x2 = - 37 8 + 27 8 = - 10 8 = -1.25

L={ -8 ; -1,25 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x -1 ) · ( x -3 ) .