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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + \frac{4}{49}$ = $\frac{40}{49}$

$4 x^{2} + \frac{4}{49}$	=	$\frac{40}{49}$	\| $- \frac{4}{49}$
$4 x^{2}$	=	$\frac{36}{49}$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$\frac{9}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{9}{49}}$	≈ $- \frac{3}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{9}{49}}$	≈ $\frac{3}{7}$

L={ $- \frac{3}{7}$ ; $\frac{3}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 6 x - 6$ = $(- 8 x - 8) \cdot (x + 8) + 78 x + 83$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$(- 8 x - 8) \cdot (x + 8) + 78 x + 83$
$- 7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$- 8 x^{2} - 72 x - 64 + 78 x + 83$
$- 7 x^{2} + 6 x - 6$	=	$- 8 x^{2} + 6 x + 19$	\| $+ 6$
$- 7 x^{2} + 6 x$	=	$- 8 x^{2} + 6 x + 25$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 6 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 14 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 14 x - 60

= 0 |:2

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 10$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 2)$ .