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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $1,21$

$x^{2}$	=	$1,21$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1,21}$	= $- 1,1$
x₂	=	$\sqrt{1,21}$	= $1,1$

L={ $- 1,1$ ; $1,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x - 24 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 7 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 7+23}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 7-23}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 7 x - 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{7}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{10})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{49}{100}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{49}{100}$ $+$ $\frac{480}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $- \frac{7}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $- \frac{7}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = 1.6

L={ $- 3$ ; $1,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25+15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25-15}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - 25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 10$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)