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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 7)}^{2} + 3$
und
$g(x) =$ $19$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 7)}^{2} + 3$	=	$19$	\| $- 3$
${(x - 7)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 7$	=	$- 4$	\| $+ 7$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 7$	=	$4$	\| $+ 7$
x₂	=	$11$

L={ $3$ ; $11$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $19$

g( $11$ ) = $19$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $19$ ) und S₂( $11$ | $19$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 35 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 35+37}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 35-37}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 35 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{35}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{72}{8}$ = -9

x₂ = $- \frac{35}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

L={ $- 9$ ; $0,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27+13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27-13}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 10$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 2)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)