Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{81}{121}$

$x^{2}$	=	$\frac{81}{121}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{81}{121}}$	≈ $- \frac{9}{11}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{81}{121}}$	≈ $\frac{9}{11}$

L={ $- \frac{9}{11}$ ; $\frac{9}{11}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x + 8$ = $(x + 1) \cdot (x + 7) - x + 17$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x + 8$	=	$(x + 1) \cdot (x + 7) - x + 17$
$2 x^{2} + 7 x + 8$	=	$x^{2} + 8 x + 7 - x + 17$
$2 x^{2} + 7 x + 8$	=	$x^{2} + 7 x + 24$	\| $- 8$
$2 x^{2} + 7 x$	=	$x^{2} + 7 x + 16$	\| $- x^{2}$ $- 7 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 40 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 40 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 17}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 700}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 40 x + 17$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{17}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (\frac{17}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{17}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x \cdot (x - 2)$ .