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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 0,08$ = $- 0,12$

$- x^{2} - 0,08$	=	$- 0,12$	\| $+ 0,08$
$- x^{2}$	=	$- 0,04$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$0,04$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,04}$	= $- 0,2$
x₂	=	$\sqrt{0,04}$	= $0,2$

L={ $- 0,2$ ; $0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 + 3 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

3 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 6$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 4 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 4 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{4+6}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{4-6}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 4 x - 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{1}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{2}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

x₂ = $\frac{2}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

L={ $- 0,2$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 3)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 4) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)