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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 128$ = 0

$2 x^{2} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 x^{2}$	=	$128$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

L={ $- 8$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 5 x + 8$ = $(5 x - 5) \cdot (x - 7) + 42 x - 39$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 5 x + 8$	=	$(5 x - 5) \cdot (x - 7) + 42 x - 39$
$6 x^{2} - 5 x + 8$	=	$5 x^{2} - 40 x + 35 + 42 x - 39$
$6 x^{2} - 5 x + 8$	=	$5 x^{2} + 2 x - 4$	\| $- 5 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25+11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25-11}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - (\frac{63}{2})$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 9$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)