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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + \frac{70}{27}$ = $- \frac{10}{9}$

$- 3 x^{2} + \frac{70}{27}$	=	$- \frac{10}{9}$	\| $- \frac{70}{27}$
$- 3 x^{2}$	=	$- \frac{100}{27}$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$\frac{100}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{100}{81}}$	≈ $- \frac{10}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{100}{81}}$	≈ $\frac{10}{9}$

L={ $- \frac{10}{9}$ ; $\frac{10}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 6 x + 9$ = $(- 9 x + 1) \cdot (x - 7) - 63 x + 4$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 6 x + 9$	=	$(- 9 x + 1) \cdot (x - 7) - 63 x + 4$
$- 8 x^{2} - 6 x + 9$	=	$- 9 x^{2} + 64 x - 7 - 63 x + 4$
$- 8 x^{2} - 6 x + 9$	=	$- 9 x^{2} + x - 3$	\| $+ 9 x^{2}$ $- x$ $+ 3$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15+25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15-25}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $25$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 10$ ; $2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)