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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2}$ = $- 3$

$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 28 x + 15 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 28 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 15}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{28+22}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{28-22}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 28 x + 15$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{28}{5} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{5})}^{2} - 3$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $3$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{75}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $\frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $\frac{14}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

x₂ = $\frac{14}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5

L={ $0,6$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 27 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 27 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 35}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{27+13}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{27-13}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 27 x + 35$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{35}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{8})}^{2} - (\frac{35}{4})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{35}{4}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{560}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{27}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{27}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

L={ $1,75$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)