Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 {(x - 2)}^{2} + 7$ = $23$

$4 {(x - 2)}^{2} + 7$	=	$23$	\| $- 7$
$4 {(x - 2)}^{2}$	=	$16$	\|: $4$
${(x - 2)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
x₁	=	0

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₂	=	$4$

L={0; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 11+19}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 11-19}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 11 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{11}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{10})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{240}{100}$ = $\frac{361}{100}$

x_1,2 = $- \frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{361}{100}}$

x₁ = $- \frac{11}{10}$ - $\frac{19}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{10}$ + $\frac{19}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = 0.8

L={ $- 3$ ; $0,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)