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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 = 144 121

Lösung einblenden
x 2 = 144 121 | ⋅2
x1 = - 144 121 ≈ - 12 11
x2 = 144 121 ≈ 12 11

L={ - 12 11 ; 12 11 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - 32 5 x - 64 5 = 0

Lösung einblenden
x 2 - 32 5 x - 64 5 = 0 |⋅ 5
5( x 2 - 32 5 x - 64 5 ) = 0

5 x 2 -32x -64 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +32 ± ( -32 ) 2 -4 · 5 · ( -64 ) 2⋅5

x1,2 = +32 ± 1024 +1280 10

x1,2 = +32 ± 2304 10

x1 = 32 + 2304 10 = 32 +48 10 = 80 10 = 8

x2 = 32 - 2304 10 = 32 -48 10 = -16 10 = -1,6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -32x -64 = 0 |: 5

x 2 - 32 5 x - 64 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 16 5 ) 2 - ( - 64 5 ) = 256 25 + 64 5 = 256 25 + 320 25 = 576 25

x1,2 = 16 5 ± 576 25

x1 = 16 5 - 24 5 = - 8 5 = -1.6

x2 = 16 5 + 24 5 = 40 5 = 8

L={ -1,6 ; 8 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +9x -5 = 0

Lösung einblenden

2 x 2 +9x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 2 · ( -5 ) 2⋅2

x1,2 = -9 ± 81 +40 4

x1,2 = -9 ± 121 4

x1 = -9 + 121 4 = -9 +11 4 = 2 4 = 0,5

x2 = -9 - 121 4 = -9 -11 4 = -20 4 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 +9x -5 = 0 |: 2

x 2 + 9 2 x - 5 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 4 ) 2 - ( - 5 2 ) = 81 16 + 5 2 = 81 16 + 40 16 = 121 16

x1,2 = - 9 4 ± 121 16

x1 = - 9 4 - 11 4 = - 20 4 = -5

x2 = - 9 4 + 11 4 = 2 4 = 0.5

L={ -5 ; 0,5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( -3 +4 ) · ( -3 +2 ) = -a =2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2 ( x +4 ) · ( x +2 ) .