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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 3)}^{2}$
und
$g(x) =$ $1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 3)}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
x₂	=	$4$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $1$

g( $4$ ) = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $1$ ) und S₂( $4$ | $1$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 35 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 35 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 35+21}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 35-21}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 35 x + 49$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{35}{4} x + \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{8})}^{2} - (\frac{49}{4})$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{784}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{35}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{35}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

L={ $- 7$ ; $- 1,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)