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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{31}{9}$ = $\frac{5}{9}$

$x^{2} - \frac{31}{9}$	=	$\frac{5}{9}$	\| $+ \frac{31}{9}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 5 x + 3$ = $(- 4 x - 2) \cdot (x - 3) - 15 x - 28$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 5 x + 3$	=	$(- 4 x - 2) \cdot (x - 3) - 15 x - 28$
$- 3 x^{2} + 5 x + 3$	=	$- 4 x^{2} + 10 x + 6 - 15 x - 28$
$- 3 x^{2} + 5 x + 3$	=	$- 4 x^{2} - 5 x - 22$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$ $+ 22$

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{{(- 48)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 64}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{2 304 - 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{48 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{48+32}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{48 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{48-32}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{48}{5} x + \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{24}{5})}^{2} - (\frac{64}{5})$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $\frac{24}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $\frac{24}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

x₂ = $\frac{24}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $\frac{40}{5}$ = 8

L={ $1,6$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)