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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2}$ = $- 405$

$- 5 x^{2}$	=	$- 405$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

L={ $- 9$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{21}{2} x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{21}{2} x + 27$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{21}{2} x + 27)$	=	0

$2 x^{2} - 21 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 54}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{21+3}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{21-3}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 21 x + 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{21}{2} x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{4})}^{2} - 27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{21}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

x₂ = $\frac{21}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

L={ $4,5$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 26 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 26 x - 90

= 0 |:2

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13+23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13-23}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 2,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)