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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2}$ = $- 25$

$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x + 5)$	=	0

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9+1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9-1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $2$ ; $2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27+13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27-13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{27}{5} x + \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{10})}^{2} - (\frac{28}{5})$ = $\frac{729}{100}$ $-$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{729}{100}$ $-$ $\frac{560}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $\frac{27}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $\frac{27}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

x₂ = $\frac{27}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

L={ $1,4$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 4)$ = $- 3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)