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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{64}{169}$

$x^{2}$	=	$\frac{64}{169}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{64}{169}}$	≈ $- \frac{8}{13}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{64}{169}}$	≈ $\frac{8}{13}$

L={ $- \frac{8}{13}$ ; $\frac{8}{13}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 36 x - 164$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 36 x - 164

= 0 |:2

$- x^{2} - 18 x - 82$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 82)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 82$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 82$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 82$ = $81$ $-$ $82$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 2+12}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 2-12}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{5})}^{2} - (- \frac{7}{5})$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $- \frac{1}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $- \frac{1}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ = -1.4

x₂ = $- \frac{1}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

L={ $- 1,4$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)