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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $4 900$

$x^{2}$	=	$4 900$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4 900}$	= $- 70$
x₂	=	$\sqrt{4 900}$	= $70$

L={ $- 70$ ; $70$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + x + 6$ = $(6 x - 6) (x - 5) + 33 x - 27$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + x + 6$	=	$(6 x - 6) (x - 5) + 33 x - 27$
$7 x^{2} + x + 6$	=	$6 x^{2} - 36 x + 30 + 33 x - 27$
$7 x^{2} + x + 6$	=	$6 x^{2} - 3 x + 3$	\| $- 6 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 3$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 49}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 21+7}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 21-7}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 49$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - (\frac{49}{2})$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{392}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 7$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)