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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 5)}^{2} - 4$ = 0

${(x + 5)}^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
${(x + 5)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

- \sqrt{4}

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

\sqrt{4}

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5+15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5-15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 2,5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 20$	=	0	\| $+ 20$
$5 x^{2}$	=	$20$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .