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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + \frac{6}{49}$ = $- \frac{10}{49}$

$- x^{2} + \frac{6}{49}$	=	$- \frac{10}{49}$	\| $- \frac{6}{49}$
$- x^{2}$	=	$- \frac{16}{49}$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$\frac{16}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{49}}$	≈ $- \frac{4}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{16}{49}}$	≈ $\frac{4}{7}$

L={ $- \frac{4}{7}$ ; $\frac{4}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 80 x + 25 x^{2}$ = $- 65$

Lösung einblenden

25 x^{2} - 80 x

=

- 65

|

+ 65

25 x^{2} - 80 x + 65

= 0 |:5

$5 x^{2} - 16 x + 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 13}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{10}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 16 x + 13$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{13}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (\frac{13}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{13}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{65}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3+17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3-17}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{35}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 3,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)