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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{49}{81}$

$x^{2}$	=	$\frac{49}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{49}{81}}$	≈ $- \frac{7}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{49}{81}}$	≈ $\frac{7}{9}$

L={ $- \frac{7}{9}$ ; $\frac{7}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 48 x - 180$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 48 x - 180

= 0 |:3

$- x^{2} + 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 16+4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 16-4}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $8$ - $2$ = 6

x₂ = $8$ + $2$ = 10

L={ $6$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 21+27}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 21-27}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 21 x - 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 6$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 1) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)