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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = 0

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$63 + 25 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25+11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25-11}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - (\frac{63}{2})$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 9$ ; $- 3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 30 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 30 x + 14

= 0 |:2

$2 x^{2} + 15 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 15+13}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 15-13}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

L={ $- 7$ ; $- 0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 5)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 2) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)