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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,9)}^{2}$ = $0,09$

{(x + 2,9)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,9

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x + 2,9$	=	$- 0,3$	\| $- 2,9$
x₁	=	$- 3,2$

2. Fall

x + 2,9

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x + 2,9$	=	$0,3$	\| $- 2,9$
x₂	=	$- 2,6$

L={ $- 3,2$ ; $- 2,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 4 x + 6$ = $(- 9 x + 4) (x + 5) + 54 x - 34$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 4 x + 6$	=	$(- 9 x + 4) (x + 5) + 54 x - 34$
$- 8 x^{2} + 4 x + 6$	=	$- 9 x^{2} - 41 x + 20 + 54 x - 34$
$- 8 x^{2} + 4 x + 6$	=	$- 9 x^{2} + 13 x - 14$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 14$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3+21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3-21}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 27)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $27$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

L={ $- 4,5$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)