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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4)}^{2} - 23$ = $- 23$

${(x - 4)}^{2} - 23$	=	$- 23$	\| $+ 23$
${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 13 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 13+5}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 13-5}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x + 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

L={ $- 2,25$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) (x - 4)$ .