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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{13}{7})}^{2}$ = $\frac{81}{49}$

{(x - \frac{13}{7})}^{2}

=

\frac{81}{49}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{13}{7}

=

- \sqrt{\frac{81}{49}}

≈

- \frac{9}{7}

$x - \frac{13}{7}$	=	$- \frac{9}{7}$	\| $+ \frac{13}{7}$
x₁	=	$\frac{4}{7}$

2. Fall

x - \frac{13}{7}

=

\sqrt{\frac{81}{49}}

≈

\frac{9}{7}

$x - \frac{13}{7}$	=	$\frac{9}{7}$	\| $+ \frac{13}{7}$
x₂	=	$\frac{22}{7}$

L={ $\frac{4}{7}$ ; $\frac{22}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + x - 4$ = $(4 x + 7) (x - 2) + x + 10$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + x - 4$	=	$(4 x + 7) (x - 2) + x + 10$
$5 x^{2} + x - 4$	=	$4 x^{2} - x - 14 + x + 10$
$5 x^{2} + x - 4$	=	$4 x^{2} - 4$	\| $+ 4$
$5 x^{2} + x$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4 x^{2}$
$5 x^{2} - 4 x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9+5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9-5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

L={ $- 3,5$ ; $- 1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)