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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,4 x^{2} - 0,4$ = $3,2$

$0,4 x^{2} - 0,4$	=	$3,2$	\| $+ 0,4$
$0,4 x^{2}$	=	$3,6$	\|: $0,4$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{41}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{41}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{41}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 40 x + 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 41}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 4 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{(- 2 500)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 40 x + 41$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{41}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{41}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{41}{25}$ = $- \frac{25}{25}$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 19+17}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 19-17}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

L={ $- 9$ ; $- 0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)