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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 1$ = 0

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 36 x + 4 x^{2} + 81$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 36 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{36}{8}$ = $\frac{9}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 36 x + 81$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 9 x + \frac{81}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (\frac{81}{4})$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{81}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{9}{2}$ ± 0 = $\frac{9}{2}$

L={ $\frac{9}{2}$ }

$\frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 23 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 23 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23+37}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23-37}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 23 x - 42$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{10})}^{2} - (- \frac{42}{5})$ = $\frac{529}{100}$ $+$ $\frac{42}{5}$ = $\frac{529}{100}$ $+$ $\frac{840}{100}$ = $\frac{1369}{100}$

x_1,2 = $\frac{23}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{100}}$

x₁ = $\frac{23}{10}$ - $\frac{37}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

x₂ = $\frac{23}{10}$ + $\frac{37}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $- 1,4$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)