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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $8 100$

$x^{2}$	=	$8 100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{8 100}$	= $- 90$
x₂	=	$\sqrt{8 100}$	= $90$

L={ $- 90$ ; $90$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 30 x - 112$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 30 x - 112

= 0 |:2

$- x^{2} - 15 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{15+1}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{15-1}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 56$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)