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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{1}{25}$

$x^{2}$	=	$\frac{1}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{25}}$	= $- \frac{1}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{25}}$	= $\frac{1}{5}$

L={ $- \frac{1}{5}$ ; $\frac{1}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 8 x + 6$ = $(- 6 x - 1) \cdot (x - 6) - 27 x + 9$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 8 x + 6$	=	$(- 6 x - 1) \cdot (x - 6) - 27 x + 9$
$- 5 x^{2} + 8 x + 6$	=	$- 6 x^{2} + 35 x + 6 - 27 x + 9$
$- 5 x^{2} + 8 x + 6$	=	$- 6 x^{2} + 8 x + 15$	\| $- 6$
$- 5 x^{2} + 8 x$	=	$- 6 x^{2} + 8 x + 9$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 8 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 9 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{9+15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{9-15}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 9 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 1) \cdot (x - 4)$ .