Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1,4)}^{2}$ = $0,16$

{(x - 1,4)}^{2}

=

0,16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 1,4

=

- \sqrt{0,16}

=

- 0,4

$x - 1,4$	=	$- 0,4$	\| $+ 1,4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 1,4

=

\sqrt{0,16}

=

0,4

$x - 1,4$	=	$0,4$	\| $+ 1,4$
x₂	=	$1,8$

L={ $1$ ; $1,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 30 x + 78$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 30 x + 78

= 0 |:3

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9+11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9-11}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 5$ ; $0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)