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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 72$ = 0

$2 x^{2} - 72$	=	0	\| $+ 72$
$2 x^{2}$	=	$72$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 4 x + 8$ = $(- 5 x + 6) (x + 5) + 19 x - 25$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$(- 5 x + 6) (x + 5) + 19 x - 25$
$- 4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 19 x - 25$
$- 4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$- 5 x^{2} + 5$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 5$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 47 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 47 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{47+43}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{47-43}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 47 x + 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{47}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{2209}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{2209}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{1849}{100}$

x_1,2 = $\frac{47}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{100}}$

x₁ = $\frac{47}{10}$ - $\frac{43}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = 0.4

x₂ = $\frac{47}{10}$ + $\frac{43}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = 9

L={ $0,4$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)