zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x - 9 7 ) 2 = 49 49

Lösung einblenden
( x - 9 7 ) 2 = 49 49
( x - 9 7 ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

x - 9 7 = - 1 = -1
x - 9 7 = -1 | + 9 7
x1 = 2 7

2. Fall

x - 9 7 = 1 = 1
x - 9 7 = 1 | + 9 7
x2 = 16 7

L={ 2 7 ; 16 7 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -13x +36 = 0

Lösung einblenden

x 2 -13x +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

x1,2 = +13 ± 169 -144 2

x1,2 = +13 ± 25 2

x1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

x2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

L={ 4 ; 9 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -3x -10 = 0

Lösung einblenden

4 x 2 -3x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 4 · ( -10 ) 2⋅4

x1,2 = +3 ± 9 +160 8

x1,2 = +3 ± 169 8

x1 = 3 + 169 8 = 3 +13 8 = 16 8 = 2

x2 = 3 - 169 8 = 3 -13 8 = -10 8 = -1,25

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 -3x -10 = 0 |: 4

x 2 - 3 4 x - 5 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 8 ) 2 - ( - 5 2 ) = 9 64 + 5 2 = 9 64 + 160 64 = 169 64

x1,2 = 3 8 ± 169 64

x1 = 3 8 - 13 8 = - 10 8 = -1.25

x2 = 3 8 + 13 8 = 16 8 = 2

L={ -1,25 ; 2 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( -3 +4 ) · ( -3 +2 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x +4 ) ( x +2 ) .