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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 0,69$ = $1,74$

$3 x^{2} - 0,69$	=	$1,74$	\| $+ 0,69$
$3 x^{2}$	=	$2,43$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$0,81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,81}$	= $- 0,9$
x₂	=	$\sqrt{0,81}$	= $0,9$

L={ $- 0,9$ ; $0,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 5 x + 2$ = $(- 2 x - 9) \cdot (x + 1) + 18 x + 11$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 5 x + 2$	=	$(- 2 x - 9) \cdot (x + 1) + 18 x + 11$
$- x^{2} + 5 x + 2$	=	$- 2 x^{2} - 11 x - 9 + 18 x + 11$
$- x^{2} + 5 x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 7 x + 2$	\| $- 2$
$- x^{2} + 5 x$	=	$- 2 x^{2} + 7 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 7 x)$
$- x^{2} + 2 x^{2} + 5 x - 7 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 8 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} - 8 x + 2

= 0 |:2

$8 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 4 x + 1$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (\frac{1}{8})$ = $\frac{1}{16}$ $-$ $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{16}$ $-$ $\frac{2}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x \cdot (x - 5)$ .