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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 0,04$ = $0,12$

$2 x^{2} + 0,04$	=	$0,12$	\| $- 0,04$
$2 x^{2}$	=	$0,08$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$\frac{0,08}{2}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,08}{2}}$	= $- 0,2$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,08}{2}}$	= $0,2$

L={ $- 0,2$ ; $0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 5 x + 1$ = $(- 3 x - 6) (x - 4) - 12 x - 23$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$(- 3 x - 6) (x - 4) - 12 x - 23$
$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$- 3 x^{2} + 6 x + 24 - 12 x - 23$
$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$- 3 x^{2} - 6 x + 1$	\| $- 1$
$- 2 x^{2} - 5 x$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 6 x)$
$- 2 x^{2} + 3 x^{2} - 5 x + 6 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 23 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 23 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{23+17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{23-17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 23 x + 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

L={ $0,75$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 1) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)