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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{25}{49}$

$x^{2}$	=	$\frac{25}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $- \frac{5}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $\frac{5}{7}$

L={ $- \frac{5}{7}$ ; $\frac{5}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 3+13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 3-13}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

L={ $- 2$ ; $1,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)