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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $1,96$

$x^{2}$	=	$1,96$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1,96}$	= $- 1,4$
x₂	=	$\sqrt{1,96}$	= $1,4$

L={ $- 1,4$ ; $1,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 18$ = $- 34 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 18

=

- 34 x

|

+ 34 x

4 x^{2} + 34 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17+19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17-19}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 9$ ; $0,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 22 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 22 x + 48

= 0 |:2

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L={ $3$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)