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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{10}{9})}^{2}$ = $\frac{4}{81}$

{(x - \frac{10}{9})}^{2}

=

\frac{4}{81}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{10}{9}

=

- \sqrt{\frac{4}{81}}

≈

- \frac{2}{9}

$x - \frac{10}{9}$	=	$- \frac{2}{9}$	\| $+ \frac{10}{9}$
x₁	=	$\frac{8}{9}$

2. Fall

x - \frac{10}{9}

=

\sqrt{\frac{4}{81}}

≈

\frac{2}{9}

$x - \frac{10}{9}$	=	$\frac{2}{9}$	\| $+ \frac{10}{9}$
x₂	=	$\frac{4}{3}$

L={ $\frac{8}{9}$ ; $\frac{4}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 3 x + 7$ = $(3 x - 9) \cdot (x + 7) - 16 x + 82$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$(3 x - 9) \cdot (x + 7) - 16 x + 82$
$4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$3 x^{2} + 12 x - 63 - 16 x + 82$
$4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$3 x^{2} - 4 x + 19$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 19$

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 4$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)