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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 {(x - 3)}^{2} + 11$
und
$g(x) =$ $47$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4 {(x - 3)}^{2} + 11$	=	$47$	\| $- 11$
$4 {(x - 3)}^{2}$	=	$36$	\|: $4$
${(x - 3)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
x₁	=	0

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
x₂	=	$6$

L={0; $6$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $47$

g( $6$ ) = $47$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $47$ ) und S₂( $6$ | $47$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{10}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 3+7}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 3-7}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{10})}^{2} - (- \frac{2}{5})$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{49}{100}$

x_1,2 = $- \frac{3}{10}$ ± $\sqrt{\frac{49}{100}}$

x₁ = $- \frac{3}{10}$ - $\frac{7}{10}$ = $- \frac{10}{10}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{10}$ + $\frac{7}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = 0.4

L={ $- 1$ ; $0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)