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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 4)}^{2} - 25$
und
$g(x) =$ $- 16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 4)}^{2} - 25$	=	$- 16$	\| $+ 25$
${(x - 4)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

L={ $1$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 16$

g( $7$ ) = $- 16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 16$ ) und S₂( $7$ | $- 16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x + 9)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13+5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13-5}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

L={ $- 4,5$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

L={ $1,5$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)