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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 x 2 + 29 4 = - 13 12

Lösung einblenden
-3 x 2 + 29 4 = - 13 12 | - 29 4
-3 x 2 = - 25 3 |: ( -3 )
x 2 = 25 9 | ⋅2
x1 = - 25 9 ≈ - 5 3
x2 = 25 9 ≈ 5 3

L={ - 5 3 ; 5 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + 13 2 x - 45 2 = 0

Lösung einblenden
x 2 + 13 2 x - 45 2 = 0 |⋅ 2
2( x 2 + 13 2 x - 45 2 ) = 0

2 x 2 +13x -45 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 2 · ( -45 ) 2⋅2

x1,2 = -13 ± 169 +360 4

x1,2 = -13 ± 529 4

x1 = -13 + 529 4 = -13 +23 4 = 10 4 = 2,5

x2 = -13 - 529 4 = -13 -23 4 = -36 4 = -9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 +13x -45 = 0 |: 2

x 2 + 13 2 x - 45 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 4 ) 2 - ( - 45 2 ) = 169 16 + 45 2 = 169 16 + 360 16 = 529 16

x1,2 = - 13 4 ± 529 16

x1 = - 13 4 - 23 4 = - 36 4 = -9

x2 = - 13 4 + 23 4 = 10 4 = 2.5

L={ -9 ; 2,5 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -44x +72 = 0

Lösung einblenden
4 x 2 -44x +72 = 0 |:4

x 2 -11x +18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 1 · 18 2⋅1

x1,2 = +11 ± 121 -72 2

x1,2 = +11 ± 49 2

x1 = 11 + 49 2 = 11 +7 2 = 18 2 = 9

x2 = 11 - 49 2 = 11 -7 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 2 ) 2 - 18 = 121 4 - 18 = 121 4 - 72 4 = 49 4

x1,2 = 11 2 ± 49 4

x1 = 11 2 - 7 2 = 4 2 = 2

x2 = 11 2 + 7 2 = 18 2 = 9

L={ 2 ; 9 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x -1 ) · ( x -3 ) .