Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{5}{3})}^{2}$ = $\frac{49}{9}$

{(x + \frac{5}{3})}^{2}

=

\frac{49}{9}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{5}{3}

=

- \sqrt{\frac{49}{9}}

≈

- \frac{7}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$- \frac{7}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + \frac{5}{3}

=

\sqrt{\frac{49}{9}}

≈

\frac{7}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$\frac{7}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₂	=	$\frac{2}{3}$

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 7 x - 9$ = $(9 x - 5) (x - 6) + 71 x - 45$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 7 x - 9$	=	$(9 x - 5) (x - 6) + 71 x - 45$
$10 x^{2} + 7 x - 9$	=	$9 x^{2} - 59 x + 30 + 71 x - 45$
$10 x^{2} + 7 x - 9$	=	$9 x^{2} + 12 x - 15$	\| $- 9 x^{2}$ $- 12 x$ $+ 15$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5+9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5-9}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

L={ $- 3,5$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 4 + 2) \cdot (- 4)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)