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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 1,32$ = $- 2,68$

$- 4 x^{2} + 1,32$	=	$- 2,68$	\| $- 1,32$
$- 4 x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{7}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{7}{5} x + \frac{2}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{7}{5} x + \frac{2}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{7+3}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{7-3}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 7 x + 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{7}{5} x + \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{10})}^{2} - (\frac{2}{5})$ = $\frac{49}{100}$ $-$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{49}{100}$ $-$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{9}{100}$

x_1,2 = $\frac{7}{10}$ ± $\sqrt{\frac{9}{100}}$

x₁ = $\frac{7}{10}$ - $\frac{3}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = 0.4

x₂ = $\frac{7}{10}$ + $\frac{3}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = 1

L={ $0,4$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 5)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x - 2) \cdot (x - 5)$ .