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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 7)}^{2} + 4$
und
$g(x) =$ $8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 7)}^{2} + 4$	=	$8$	\| $- 4$
${(x - 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
x₂	=	$9$

L={ $5$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $8$

g( $9$ ) = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $5$ | $8$ ) und S₂( $9$ | $8$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} + 3 x - 5$ = $(5 x + 9) (x + 6) - 31 x - 65$

Lösung einblenden

$6 x^{2} + 3 x - 5$	=	$(5 x + 9) (x + 6) - 31 x - 65$
$6 x^{2} + 3 x - 5$	=	$5 x^{2} + 39 x + 54 - 31 x - 65$
$6 x^{2} + 3 x - 5$	=	$5 x^{2} + 8 x - 11$	\| $- 5 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 11$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8+22}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8-22}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{8}{5} x - \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (- \frac{21}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $- \frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $- \frac{4}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{4}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

L={ $- 3$ ; $1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 1) \cdot (- 3 - 1)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 1) (x - 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)