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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 1,38$ = $- 0,09$

$- 3 x^{2} + 1,38$	=	$- 0,09$	\| $- 1,38$
$- 3 x^{2}$	=	$- 1,47$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$\frac{1,47}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1,47}{3}}$	= $- 0,7$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1,47}{3}}$	= $0,7$

L={ $- 0,7$ ; $0,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x + 7) \cdot (x - 4) + 6 x + 20$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 4 x - 8$	=	$(x + 7) \cdot (x - 4) + 6 x + 20$
$2 x^{2} + 4 x - 8$	=	$x^{2} + 3 x - 28 + 6 x + 20$
$2 x^{2} + 4 x - 8$	=	$x^{2} + 9 x - 8$	\| $+ 8$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$x^{2} + 9 x$	\| $- (x^{2} + 9 x)$
$2 x^{2} - x^{2} + 4 x - 9 x$	=	0
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={0; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{40}{32}$ = $\frac{5}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (\frac{25}{16})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{25}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{5}{4}$ ± 0 = $\frac{5}{4}$

L={ $\frac{5}{4}$ }

$\frac{5}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 5))$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 5)$ .