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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,8)}^{2}$ = $0,49$

{(x + 2,8)}^{2}

=

0,49

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,8

=

- \sqrt{0,49}

=

- 0,7

$x + 2,8$	=	$- 0,7$	\| $- 2,8$
x₁	=	$- 3,5$

2. Fall

x + 2,8

=

\sqrt{0,49}

=

0,7

$x + 2,8$	=	$0,7$	\| $- 2,8$
x₂	=	$- 2,1$

L={ $- 3,5$ ; $- 2,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{27}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{27}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{27}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 15+33}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 15-33}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 15 x - 54$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (- \frac{27}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{864}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

L={ $- 6$ ; $2,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L={ $- 3$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (1 + 1) \cdot (1 - 5)$ = $- 8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)