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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,2 x^{2}$ = $- 0,8$

$- 0,2 x^{2}$	=	$- 0,8$	\|: $(- 0,2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 2 x - 7$ = $(- 7 x - 6) \cdot (x + 8) + 59 x + 61$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 2 x - 7$	=	$(- 7 x - 6) \cdot (x + 8) + 59 x + 61$
$- 6 x^{2} - 2 x - 7$	=	$- 7 x^{2} - 62 x - 48 + 59 x + 61$
$- 6 x^{2} - 2 x - 7$	=	$- 7 x^{2} - 3 x + 13$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 13$

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 100}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26+24}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26-24}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{26}{5} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{5})}^{2} - 1$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $1$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{25}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $\frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $\frac{13}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{13}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5

L={ $0,2$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 5)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 2) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)