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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,2 x^{2} + 200$ = $- 120$

$- 0,2 x^{2} + 200$	=	$- 120$	\| $- 200$
$- 0,2 x^{2}$	=	$- 320$	\|: $(- 0,2)$
$x^{2}$	=	$1 600$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1 600}$	= $- 40$
x₂	=	$\sqrt{1 600}$	= $40$

L={ $- 40$ ; $40$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 40 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 40 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 40}{50}$ = $- \frac{4}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 40 x + 16$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{16}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (\frac{16}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{16}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{4}{5}$ ± 0 = $- \frac{4}{5}$

L={ $- \frac{4}{5}$ }

$- \frac{4}{5}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3+13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3-13}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 4$ ; $2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)