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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 27$ = 0

$- 3 x^{2} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 36$ = $x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 36

=

x

|

- x

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 4$ ; $4,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 3)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)