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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 ( x -7 ) 2 -62 = -12

Lösung einblenden
2 ( x -7 ) 2 -62 = -12 | +62
2 ( x -7 ) 2 = 50 |:2
( x -7 ) 2 = 25 | ⋅2

1. Fall

x -7 = - 25 = -5
x -7 = -5 | +7
x1 = 2

2. Fall

x -7 = 25 = 5
x -7 = 5 | +7
x2 = 12

L={ 2 ; 12 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

10 x 2 - x -6 = ( 9x +5 ) ( x -5 ) +43x +16

Lösung einblenden
10 x 2 - x -6 = ( 9x +5 ) ( x -5 ) +43x +16
10 x 2 - x -6 = 9 x 2 -40x -25 +43x +16
10 x 2 - x -6 = 9 x 2 +3x -9 | -9 x 2 -3x +9

x 2 -4x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

L={ 1 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +12x +20 = 0

Lösung einblenden

x 2 +12x +20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -12 ± 12 2 -4 · 1 · 20 2⋅1

x1,2 = -12 ± 144 -80 2

x1,2 = -12 ± 64 2

x1 = -12 + 64 2 = -12 +8 2 = -4 2 = -2

x2 = -12 - 64 2 = -12 -8 2 = -20 2 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 6 2 - 20 = 36 - 20 = 16

x1,2 = -6 ± 16

x1 = -6 - 4 = -10

x2 = -6 + 4 = -2

L={ -10 ; -2 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x -1 ) ( x -3 ) .