Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x - 6)}^{2}$
und
$g(x) =$ $12$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x - 6)}^{2}$	=	$12$	\|: $3$
${(x - 6)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 6

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 6

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
x₂	=	$8$

L={ $4$ ; $8$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $12$

g( $8$ ) = $12$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $12$ ) und S₂( $8$ | $12$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 50 + 2 x^{2} + 15 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15+25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15-25}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $25$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 10$ ; $2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)