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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - \frac{34}{9}$ = $\frac{38}{9}$

$2 x^{2} - \frac{34}{9}$	=	$\frac{38}{9}$	\| $+ \frac{34}{9}$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 + 21 x$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

21 x + 4

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} + 21 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 21+19}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 21-19}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 21 x + 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{80}{100}$ = $\frac{361}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{361}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{19}{10}$ = $- \frac{40}{10}$ = -4

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{19}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

L={ $- 4$ ; $- 0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7+5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7-5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

L={ $0,5$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)