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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 1,9)}^{2}$ = $0,25$

{(x + 1,9)}^{2}

=

0,25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1,9

=

- \sqrt{0,25}

=

- 0,5

$x + 1,9$	=	$- 0,5$	\| $- 1,9$
x₁	=	$- 2,4$

2. Fall

x + 1,9

=

\sqrt{0,25}

=

0,5

$x + 1,9$	=	$0,5$	\| $- 1,9$
x₂	=	$- 1,4$

L={ $- 2,4$ ; $- 1,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 25$ = $- 10 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 25

=

- 10 x

|

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 37 x + 42$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 37 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{37+23}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{37-23}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 37 x + 42$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{37}{5} x + \frac{42}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{10})}^{2} - (\frac{42}{5})$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{42}{5}$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{840}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $\frac{37}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $\frac{37}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

x₂ = $\frac{37}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $1,4$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (1 + 1) \cdot (1 - 5)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)