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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3,9)}^{2}$ = $0,01$

{(x - 3,9)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 3,9

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x - 3,9$	=	$- 0,1$	\| $+ 3,9$
x₁	=	$3,8$

2. Fall

x - 3,9

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x - 3,9$	=	$0,1$	\| $+ 3,9$
x₂	=	$4$

L={ $3,8$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 24 + 37 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 37 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 37+43}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 37-43}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 37 x - 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{37}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{10})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{1369}{100}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{1369}{100}$ $+$ $\frac{480}{100}$ = $\frac{1849}{100}$

x_1,2 = $- \frac{37}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{100}}$

x₁ = $- \frac{37}{10}$ - $\frac{43}{10}$ = $- \frac{80}{10}$ = -8

x₂ = $- \frac{37}{10}$ + $\frac{43}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

L={ $- 8$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (\frac{1}{16})$ = $\frac{1}{16}$ $-$ $\frac{1}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{1}{4}$ ± 0 = $\frac{1}{4}$

L={ $\frac{1}{4}$ }

$\frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 4)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x - 2) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)