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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{27}{2} x + 35)$	=	0

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27+13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27-13}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 10$ ; $- 3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 65$ = $64$ $-$ $65$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)