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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3)}^{2} - 8$ = $- 8$

${(x - 3)}^{2} - 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + x + 5$ = $(- 9 x + 5) \cdot (x + 4) + 30 x - 12$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + x + 5$	=	$(- 9 x + 5) \cdot (x + 4) + 30 x - 12$
$- 8 x^{2} + x + 5$	=	$- 9 x^{2} - 31 x + 20 + 30 x - 12$
$- 8 x^{2} + x + 5$	=	$- 9 x^{2} - x + 8$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ x$ $- 8$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 25 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 25 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 36}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{25+7}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{25-7}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 25 x + 36$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - 9$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $9$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{576}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

L={ $2,25$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)