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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 4)}^{2} - 11$
und
$g(x) =$ $- 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 4)}^{2} - 11$	=	$- 2$	\| $+ 11$
${(x + 4)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $- 2$

g( $- 1$ ) = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $- 2$ ) und S₂( $- 1$ | $- 2$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 5))$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x \cdot (x - 5)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)