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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 147$ = 0

$- 3 x^{2} + 147$	=	0	\| $- 147$
$- 3 x^{2}$	=	$- 147$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{19}{2} x + 12)$	=	0

$2 x^{2} + 19 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 19+13}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 19-13}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x + 24$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22+18}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22-18}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $- \frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $- \frac{11}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- 4$ ; $- 0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)