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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + \frac{9}{32}$ = $- \frac{15}{32}$

$- 3 x^{2} + \frac{9}{32}$	=	$- \frac{15}{32}$	\| $- \frac{9}{32}$
$- 3 x^{2}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{4}}$	= $- \frac{1}{2}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 45$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

x^{2} - 45

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 2$ - $7$ = -9

x₂ = $- 2$ + $7$ = 5

L={ $- 9$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 14 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 14 x + 10

= 0 |:2

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7+3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7-3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $1$ ; $2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)