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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

L={ $- 8$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{17}{2} x - 15)$	=	0

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17+23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17-23}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $15$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 10$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{{(- 70)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{70}{50}$ = $\frac{7}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (\frac{49}{25})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{49}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{7}{5}$ ± 0 = $\frac{7}{5}$

L={ $\frac{7}{5}$ }

$\frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)