Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 {(x - 6)}^{2} + 4$
und
$g(x) =$ $6$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 {(x - 6)}^{2} + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$2 {(x - 6)}^{2}$	=	$2$	\|: $2$
${(x - 6)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 6

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 6$	=	$- 1$	\| $+ 6$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 6

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 6$	=	$1$	\| $+ 6$
x₂	=	$7$

L={ $5$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $6$

g( $7$ ) = $6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $5$ | $6$ ) und S₂( $7$ | $6$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 9 x + 7$ = $(- 4 x - 6) (x + 8) + 37 x + 39$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 9 x + 7$	=	$(- 4 x - 6) (x + 8) + 37 x + 39$
$- 3 x^{2} - 9 x + 7$	=	$- 4 x^{2} - 38 x - 48 + 37 x + 39$
$- 3 x^{2} - 9 x + 7$	=	$- 4 x^{2} - x - 9$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ x$ $+ 9$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 17 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 17 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{17+33}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{17-33}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 17 x - 40$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{17}{5} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{10})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $8$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{800}{100}$ = $\frac{1089}{100}$

x_1,2 = $\frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{100}}$

x₁ = $\frac{17}{10}$ - $\frac{33}{10}$ = $- \frac{16}{10}$ = -1.6

x₂ = $\frac{17}{10}$ + $\frac{33}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = 5

L={ $- 1,6$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 2)$ = $- 3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 2) (x - 2)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)