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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{2}{5})}^{2}$ = $\frac{4}{25}$

{(x - \frac{2}{5})}^{2}

=

\frac{4}{25}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{2}{5}

=

- \sqrt{\frac{4}{25}}

=

- \frac{2}{5}

$x - \frac{2}{5}$	=	$- \frac{2}{5}$	\| $+ \frac{2}{5}$
x₁	=	0

2. Fall

x - \frac{2}{5}

=

\sqrt{\frac{4}{25}}

=

\frac{2}{5}

$x - \frac{2}{5}$	=	$\frac{2}{5}$	\| $+ \frac{2}{5}$
x₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

L={0; $\frac{4}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 50 - 5 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

- 5 x - 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $- 5$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 40 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} + 40 x + 26

= 0 |:2

$8 x^{2} + 20 x + 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 13}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 416}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 20 x + 13$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{13}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{13}{8})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{13}{8}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{26}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 + 1)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)