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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- {(x - 7)}^{2} - 13$ = $- 22$

$- {(x - 7)}^{2} - 13$	=	$- 22$	\| $+ 13$
$- {(x - 7)}^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
${(x - 7)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 7$	=	$3$	\| $+ 7$
x₂	=	$10$

L={ $4$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{41}{5} x - \frac{36}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 41 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{2 401}}{10}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{- 41+49}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{- 41-49}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 41 x - 36$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{10})}^{2} - (- \frac{36}{5})$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{36}{5}$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{720}{100}$ = $\frac{2401}{100}$

x_1,2 = $- \frac{41}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{100}}$

x₁ = $- \frac{41}{10}$ - $\frac{49}{10}$ = $- \frac{90}{10}$ = -9

x₂ = $- \frac{41}{10}$ + $\frac{49}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = 0.8

L={ $- 9$ ; $0,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 4 x - 30

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)