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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ = $\frac{4}{9}$

{(x - \frac{1}{3})}^{2}

=

\frac{4}{9}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{1}{3}

=

- \sqrt{\frac{4}{9}}

≈

- \frac{2}{3}

$x - \frac{1}{3}$	=	$- \frac{2}{3}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall

x - \frac{1}{3}

=

\sqrt{\frac{4}{9}}

≈

\frac{2}{3}

$x - \frac{1}{3}$	=	$\frac{2}{3}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₂	=	$1$

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 27$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{21}{2} x + 27)$	=	0

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 54}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21+3}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21-3}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - 27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $27$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

L={ $- 6$ ; $- 4,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)