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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{13}{10})}^{2}$ = $\frac{1}{100}$

{(x - \frac{13}{10})}^{2}

=

\frac{1}{100}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{13}{10}

=

- \sqrt{\frac{1}{100}}

=

- \frac{1}{10}

$x - \frac{13}{10}$	=	$- \frac{1}{10}$	\| $+ \frac{13}{10}$
x₁	=	$\frac{6}{5}$ = 1.2

2. Fall

x - \frac{13}{10}

=

\sqrt{\frac{1}{100}}

=

\frac{1}{10}

$x - \frac{13}{10}$	=	$\frac{1}{10}$	\| $+ \frac{13}{10}$
x₂	=	$\frac{7}{5}$ = 1.4

L={ $\frac{6}{5}$ ; $\frac{7}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - 3 x - 2$ = $(7 x + 4) \cdot (x + 8) - 62 x - 14$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - 3 x - 2$	=	$(7 x + 4) \cdot (x + 8) - 62 x - 14$
$8 x^{2} - 3 x - 2$	=	$7 x^{2} + 60 x + 32 - 62 x - 14$
$8 x^{2} - 3 x - 2$	=	$7 x^{2} - 2 x + 18$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 18$

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 4$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17+33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17-33}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $8$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{800}{100}$ = $\frac{1089}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{33}{10}$ = $- \frac{50}{10}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = 1.6

L={ $- 5$ ; $1,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)