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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2}$ = $12$

$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13+3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13-3}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 4$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)