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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7 x}{x - 4} + \frac{22}{x - 4}$ = $- 1$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{7 x}{x - 4} + \frac{22}{x - 4}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{7 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + \frac{22}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 1 \cdot (x - 4)$
$- 7 x + 22$	=	$- (x - 4)$

$- 7 x + 22$	=	$- x + 4$	\| $- 22$
$- 7 x$	=	$- x - 18$	\| $+ x$
$- 6 x$	=	$- 18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x + 5$ = $- \frac{3 x}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$2 x + 5$	=	$\frac{- 3 x}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$2 x \cdot (x + 2) + 5 \cdot (x + 2)$	=	$\frac{- 3 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$2 x \cdot (x + 2) + 5 x + 10$	=	$- \frac{3 x}{1}$
$2 x \cdot (x + 2) + 5 x + 10$	=	$- 3 x$
$2 x^{2} + 4 x + 5 x + 10$	=	$- 3 x$
$2 x^{2} + 9 x + 10$	=	$- 3 x$

2 x^{2} + 9 x + 10

=

- 3 x

|

+ 3 x

2 x^{2} + 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x + 1}{3 x} - 3$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$	=
$8 x + 1 - 9 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{14}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$- 14$	=	$- x^{2} - 5 x$

- 14

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 6}{x + 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{7 x + 6}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{7 x + 6}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$7 x + 6$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$7 x + 6$	=	$2 x^{2} + 8 x$

7 x + 6

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1+7}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{1-7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{- 5 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{- 5 x - 1}{x} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 5 x - 1}{x} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 5 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{2 x}{3 x + 1} \cdot 3 x$	=
$- 15 x - 3 + 8 x - 1 + 3 \frac{2 x \cdot x}{3 x + 1}$	=
$- 15 x - 3 + 8 x - 1 + \frac{6 x^{2}}{3 x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2}}{3 x + 1} - 15 x + 8 x - 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{3 x + 1} - 15 x + 8 x - 3 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2}}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 15 x \cdot (3 x + 1) + 8 x \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot (3 x + 1) - 1 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x^{2} - 15 x \cdot (3 x + 1) + 8 x \cdot (3 x + 1) - 9 x - 3 - 3 x - 1$	=
$6 x^{2} + (- 45 x^{2} - 15 x) + (24 x^{2} + 8 x) - 9 x - 3 - 3 x - 1$	=
$- 15 x^{2} - 19 x - 4$	=

$- 15 x^{2} - 19 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 240}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{121}}{- 30}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{121}}{- 30}$ = $\frac{19+11}{- 30}$ = $\frac{30}{- 30}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{121}}{- 30}$ = $\frac{19-11}{- 30}$ = $\frac{8}{- 30}$ = $- \frac{4}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 19 x - 4$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{19}{15} x + \frac{4}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{30})}^{2} - (\frac{4}{15})$ = $\frac{361}{900}$ $-$ $\frac{4}{15}$ = $\frac{361}{900}$ $-$ $\frac{240}{900}$ = $\frac{121}{900}$

x_1,2 = $- \frac{19}{30}$ ± $\sqrt{\frac{121}{900}}$

x₁ = $- \frac{19}{30}$ - $\frac{11}{30}$ = $- \frac{30}{30}$ = -1

x₂ = $- \frac{19}{30}$ + $\frac{11}{30}$ = $- \frac{8}{30}$ = -0.26666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{4}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{15}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{15}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{15}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 15$	=	$- a x$
$x^{2} + 15 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):