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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 8 x + 7$	=	$- x^{2}$

- 8 x + 7

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 + \frac{7}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$8 + \frac{7}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$8 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$8 x + 7$	=	$x \cdot x + 2 x$

8 x + 7

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{63 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{63 x}{- 3 x - 6}$	=	0
$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{63 x}{- 3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{63 x}{- 3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x + 2) + \frac{63 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{8 x (x + 2)}{3 x - 1} - 21 x$	=
$9 x + \frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} - 21 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} + 9 x - 21 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} + 9 x - 21 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 9 x \cdot (3 x - 1) - 21 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 9 x (3 x - 1) - 21 x (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + (27 x^{2} - 9 x) + (- 63 x^{2} + 21 x)$	=
$- 28 x^{2} + 28 x$	=

$- 28 x^{2} + 28 x$	=	0
$28 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$2 x$
$a + x^{2} - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter