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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{3 x}{x - 10}$ = $1$

D=R\{ $10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 10$ weg!

$\frac{3 x}{x - 10}$	=	$1$	\|⋅( $x - 10$ )
$\frac{3 x}{x - 10} \cdot (x - 10)$	=	$1 \cdot (x - 10)$
$3 x$	=	$x - 10$

$3 x$	=	$x - 10$	\| $- x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 24 x}{2 x - 4} - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$x$	=	$\frac{24 x}{2 x - 4} - 5$
$x$	=	$\frac{24 x}{2 (x - 2)} - 5$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$x$	=	$\frac{24 x}{2 (x - 2)} - 5$	\|⋅( $x - 2$ )
$x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{24 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$
$x (x - 2)$	=	$12 x - 5 x + 10$
$x \cdot x + x \cdot (- 2)$	=	$12 x - 5 x + 10$
$x \cdot x - 2 x$	=	$12 x - 5 x + 10$
$x^{2} - 2 x$	=	$7 x + 10$

x^{2} - 2 x

=

7 x + 10

|

- 7 x

- 10

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{50}{3 x + 12} + 4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{50}{3 x + 12} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 x + 12}$
$\frac{50}{3 (x + 4)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{50}{3 (x + 4)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 4)}$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{50}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + 4 x \cdot (3 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$
$50 + 12 x (x + 4)$	=	$- x$
$50 + (12 x^{2} + 48 x)$	=	$- x$
$12 x^{2} + 48 x + 50$	=	$- x$

12 x^{2} + 48 x + 50

=

- x

|

+ x

$12 x^{2} + 49 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 50}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 2 400}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{- 49+1}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{- 49-1}{24}$ = $\frac{- 50}{24}$ = $- \frac{25}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x + 50$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x + \frac{25}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (\frac{25}{6})$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{25}{6}$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{2400}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $- \frac{50}{24}$ = -2.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{12}$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{16}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{10}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{10}{x} \cdot x^{2}$
$16$	=	$- x^{2} - 10 x$

16

=

- x^{2} - 10 x

|

+ x^{2}

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $\frac{14 x - 8}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$x$	=	$\frac{14 x - 8}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{14 x - 8}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$x (x + 5)$	=	$14 x - 8$
$x \cdot x + x \cdot 5$	=	$14 x - 8$
$x \cdot x + 5 x$	=	$14 x - 8$
$x^{2} + 5 x$	=	$14 x - 8$

x^{2} + 5 x

=

14 x - 8

|

- 14 x

+ 8

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{4 x}{2 (x - 1)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$2 x - 4 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$7 x$
$a + x^{2} - 7 x$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):