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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x - 5}$ = $1$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{7}{x - 5}$	=	$1$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{7}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$1 \cdot (x - 5)$
$7$	=	$x - 5$

$7$	=	$x - 5$	\| $- 7$ $- x$
$- x$	=	$- 12$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$12$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $12$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 22}{x - 2} + 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{22}{x - 2} + 2 x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{22}{x - 2} + 2 x$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{22}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$- 3 \cdot (x - 2)$
$- 22 + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$- 3 (x - 2)$
$- 22 + (2 x^{2} - 4 x)$	=	$- 3 (x - 2)$
$2 x^{2} - 4 x - 22$	=	$- 3 x + 6$

2 x^{2} - 4 x - 22

=

- 3 x + 6

|

+ 3 x

- 6

$2 x^{2} - x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1+15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1-15}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $14$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{6,5}{x + 3} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{6,5}{x + 3} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{6,5}{x + 3} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{6,5}{x + 3} + 3 x$	=	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{6,5}{x + 3} \cdot (4 (x + 3)) + 3 x \cdot (4 (x + 3))$	=
$x + 26 + 12 x \cdot (x + 3)$	=
$x + 26 + (12 x^{2} + 36 x)$	=
$12 x^{2} + 37 x + 26$	=

$12 x^{2} + 37 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 26}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 37+11}{24}$ = $\frac{- 26}{24}$ = $- \frac{13}{12}$ ≈ -1.08

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 37-11}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 37 x + 26$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{37}{12} x + \frac{13}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{24})}^{2} - (\frac{13}{6})$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{13}{6}$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{1248}{576}$ = $\frac{121}{576}$

x_1,2 = $- \frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{121}{576}}$

x₁ = $- \frac{37}{24}$ - $\frac{11}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $- \frac{37}{24}$ + $\frac{11}{24}$ = $- \frac{26}{24}$ = -1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}$ = $- \frac{3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}$	=	$- \frac{3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 4$	=	$- 3 x$

x^{2} - 4

=

- 3 x

|

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x + 10}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 19 x + 10}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 19 x + 10}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 19 x + 10$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 19 x + 10$	=	$3 x^{2} - 6 x$

- 19 x + 10

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 10}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{13+17}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{13-17}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{- 4 x}{3 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{x + 1} - \frac{4 x}{3 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{x + 1} - \frac{4 x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{3 x}{x + 1} \cdot (3 x - 4) - \frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{3 x \cdot (3 x - 4)}{x + 1} - 4 x$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 12 x}{x + 1} - 4 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 12 x}{x + 1} + 2 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 12 x}{x + 1} + 2 x - 4 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} - 12 x + 2 x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1)$	=
$9 x^{2} - 12 x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 4 x^{2} - 4 x)$	=
$7 x^{2} - 14 x$	=

$7 x^{2} - 14 x$	=	0
$7 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{24}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 24$	=	$- x^{2}$
$a x - 24 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):