Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{30}{x - 3}$ = $5$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{30}{x - 3}$	=	$5$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{30}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$5 \cdot (x - 3)$
$- 30$	=	$5 (x - 3)$

$- 30$	=	$5 x - 15$	\| $+ 30$ $- 5 x$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{9 x}{x + 5} + \frac{22}{2 x + 10}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{9 x}{x + 5} + \frac{22}{2 (x + 5)}

=

- 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{9 x}{x + 5} + \frac{22}{2 (x + 5)}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{9 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + \frac{22}{2 (x + 5)} \cdot (x + 5)$	=	$- 1 \cdot (x + 5)$
$- 9 x + 11$	=	$- (x + 5)$

$- 9 x + 11$	=	$- x - 5$	\| $- 11$
$- 9 x$	=	$- x - 16$	\| $+ x$
$- 8 x$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9} + \frac{8}{6 x - 18} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{3 x - 9} + \frac{8}{6 x - 18} + x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{8}{6 (x - 3)} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{8}{6 (x - 3)} + x$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{8}{6 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + x \cdot (3 (x - 3))$	=
$x + 4 + 3 x (x - 3)$	=
$x + 4 + (3 x^{2} - 9 x)$	=
$3 x^{2} - 8 x + 4$	=

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x + 8}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{6 x + 8}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{6 x + 8}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$6 x + 8$	=	$- x^{2}$

6 x + 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x - 21}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 21}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x - 21}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$- 13 x - 21$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

- 13 x - 21

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - 17 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{17+11}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{17-11}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 17 x - 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(8 x - 1) (x - 1)}{3 x} - 5 x + 5$	=
$4 x + \frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} - 5 x + 5$	=
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 4 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 4 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x \cdot x - 15 x \cdot x + 15 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x^{2} - 15 x^{2} + 15 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (mit Ausklammern)

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):