Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{9 x}{x + 10}$ = $4$

D=R\{ $- 10$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 10$ weg!

$\frac{9 x}{x + 10}$	=	$4$	\|⋅( $x + 10$ )
$\frac{9 x}{x + 10} \cdot (x + 10)$	=	$4 \cdot (x + 10)$
$9 x$	=	$4 (x + 10)$

$9 x$	=	$4 x + 40$	\| $- 4 x$
$5 x$	=	$40$	\|: $5$
$x$	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$ = $\frac{57}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}

=

\frac{57}{(x + 3) (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x - 3}$	=	$\frac{57}{(x + 3) (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) (x - 3) - \frac{1}{x - 3} \cdot (x + 3) (x - 3)$	=	$\frac{57}{(x + 3) (x - 3)} \cdot (x + 3) (x - 3)$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$57 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) - x - 3$	=	$57$
$x^{2} - 3 x - x - 3$	=	$57$
$x^{2} - 4 x - 3$	=	$57$

x^{2} - 4 x - 3

=

57

|

- 57

$x^{2} - 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4+16}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4-16}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $2$ - $8$ = -6

x₂ = $2$ + $8$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{680}{6 x - 18} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{680}{6 x - 18} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{680}{6 (x - 3)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{680}{6 (x - 3)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{- 680}{6 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 4 x \cdot (3 (x - 3))$
=	$- x - 340 + 12 x (x - 3)$
=	$12 x^{2} - 37 x - 340$

0

=

12 x^{2} - 37 x - 340

|

- 12 x^{2}

+ 37 x

+ 340

$- 12 x^{2} + 37 x + 340$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 340}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 16 320}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{17 689}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{17 689}}{- 24}$ = $\frac{- 37+133}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{17 689}}{- 24}$ = $\frac{- 37-133}{- 24}$ = $\frac{- 170}{- 24}$ = $\frac{85}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 37 x + 340$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{37}{12} x - \frac{85}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{24})}^{2} - (- \frac{85}{3})$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{85}{3}$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{16320}{576}$ = $\frac{17689}{576}$

x_1,2 = $\frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{17689}{576}}$

x₁ = $\frac{37}{24}$ - $\frac{133}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $\frac{37}{24}$ + $\frac{133}{24}$ = $\frac{170}{24}$ = 7.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{85}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 42}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- x - 42}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- x - 42}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- x - 42$	=	$- x^{2}$

- x - 42

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$x \cdot x - 3 x$

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$x^{2} - 3 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (x^{2} - 3 x)$
$- x - 2$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 6 x$

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{4 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 1) (x + 2)}{x + 1} - 5 x - 10$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} - 5 x - 10$	=
$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} + 4 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} + 4 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) - 10 \cdot (x + 1)$	=
$5 x^{2} + 9 x - 2 + 4 x (x + 1) - 5 x (x + 1) - 10 x - 10$	=
$5 x^{2} + 9 x - 2 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) - 10 x - 10$	=
$4 x^{2} - 2 x - 12$	=

4 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$7 x + x^{2}$	=	$- a$
$7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Linearterme im Nenner

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):