Mathebattle EduRandomtasks

Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{7}{x}$ = $\frac{7}{2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x$	=	$\frac{7}{2} \cdot x$
$- 7$	=	$\frac{7}{2} x$

$- 7$	=	$\frac{7}{2} x$	\|⋅ 2
$- 14$	=	$7 x$	\| $+ 14$ $- 7 x$
$- 7 x$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{7}{x - 9}$ = $\frac{206}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{7}{x - 9}

=

\frac{206}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{7}{x - 9}$	=	$\frac{206}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{7}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{206}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x - 9) + 7 x + 63$	=	$206 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) + 7 x + 63$	=	$206$
$x^{2} - 9 x + 7 x + 63$	=	$206$
$x^{2} - 2 x + 63$	=	$206$

x^{2} - 2 x + 63

=

206

|

- 206

$x^{2} - 2 x - 143$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 143)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{2+24}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{2-24}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $13$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{38}{3 x - 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{38}{3 x - 3} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{38}{3 (x - 1)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} - \frac{38}{3 (x - 1)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - \frac{38}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 2 x \cdot (3 (x - 1))$
=	$- x - 38 + 6 x (x - 1)$
=	$6 x^{2} - 7 x - 38$

0

=

6 x^{2} - 7 x - 38

|

- 6 x^{2}

+ 7 x

+ 38

$- 6 x^{2} + 7 x + 38$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 38}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 912}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{961}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 7+31}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 7-31}{- 12}$ = $\frac{- 38}{- 12}$ = $\frac{19}{6}$ ≈ 3.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{19}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{19}{x} - \frac{90}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{19}{x} - \frac{90}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{19}{x} \cdot x^{2} - \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 19 x - 90$

0

=

- x^{2} + 19 x - 90

|

+ x^{2}

- 19 x

+ 90

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19+1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19-1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{2} + \frac{1}{2 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{2} + \frac{1}{2 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$\frac{7}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x + 4 x$

$\frac{7}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x^{2} + 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x + \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} + 4 x)$
$7 x + 1$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{x + 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{x + 4}{x} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(x + 4) (x - 2)}{x} - 6 x + 12$	=
$2 x + \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} - 6 x + 12$	=
$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} + 2 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} + 2 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 12 \cdot x$	=
$x^{2} + 2 x - 8 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 12 x$	=
$x^{2} + 2 x - 8 + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 12 x$	=
$- 3 x^{2} + 14 x - 8$	=

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14+10}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14-10}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Verhältnisgleichung

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter