Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{2 x - 5} + \frac{34}{2 x - 5}$ = $3$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{x}{2 x - 5} + \frac{34}{2 x - 5}$	=	$3$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{34}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$3 \cdot (2 x - 5)$
$- x + 34$	=	$3 (2 x - 5)$

$- x + 34$	=	$6 x - 15$	\| $- 34$
$- x$	=	$6 x - 49$	\| $- 6 x$
$- 7 x$	=	$- 49$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 55}{3 x + 2} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

- \frac{55}{3 x + 2} + x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$- \frac{55}{3 x + 2} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$- \frac{55}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + x \cdot (3 x + 2)$	=	$- 2 \cdot (3 x + 2)$
$- 55 + x \cdot (3 x + 2)$	=	$- 2 (3 x + 2)$
$- 55 + (3 x^{2} + 2 x)$	=	$- 2 (3 x + 2)$
$3 x^{2} + 2 x - 55$	=	$- 6 x - 4$

3 x^{2} + 2 x - 55

=

- 6 x - 4

|

+ 6 x

+ 4

$3 x^{2} + 8 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 51)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 612}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 8+26}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 8-26}{6}$ = $\frac{- 34}{6}$ = $- \frac{17}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 51$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 17)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $17$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{153}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{17}{3}$ = -5.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 4$	=	0
$\frac{8 x}{2 (x - 1)} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{2 (x - 1)} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{8 x \cdot (x - 1)}{3 x - 1} - 4 x + 4$	=
$4 x + \frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} - 4 x + 4$	=
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} + 4 x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} + 4 x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1) - 4 x \cdot (3 x - 1) + 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot (3 x - 1) - 4 x \cdot (3 x - 1) + 12 x - 4$	=
$8 x^{2} - 8 x + (12 x^{2} - 4 x) + (- 12 x^{2} + 4 x) + 12 x - 4$	=
$8 x^{2} + 4 x - 4$	=

8 x^{2} + 4 x - 4

= 0 |:4

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 40}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{13 x + 40}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{13 x + 40}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$13 x + 40$	=	$- x^{2}$

13 x + 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x - 7}{x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{4 x - 7}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{4 x - 7}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$4 x - 7$	=	$x \cdot (x - 4)$
$4 x - 7$	=	$x^{2} - 4 x$

4 x - 7

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 7$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 x + 8) - 7 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{(2 x - 1) \cdot (3 x + 8)}{3 (x + 3)} - 21 x - 56$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} - 21 x - 56$	=
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 4 x - 21 x - 56$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 4 x - 21 x - 56$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 4 x \cdot (3 (x + 3)) - 21 x \cdot (3 (x + 3)) - 56 \cdot (3 (x + 3))$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + 12 x \cdot (x + 3) - 63 x \cdot (x + 3) - 168 x - 504$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + (12 x^{2} + 36 x) + (- 63 x^{2} - 189 x) - 168 x - 504$	=
$- 45 x^{2} - 308 x - 512$	=

$- 45 x^{2} - 308 x - 512$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 308 \pm \sqrt{{(- 308)}^{2} - 4 \cdot (- 45) \cdot (- 512)}}{2 \cdot (- 45)}$

x_1,2 = $\frac{+ 308 \pm \sqrt{94 864 - 92 160}}{- 90}$

x_1,2 = $\frac{+ 308 \pm \sqrt{2 704}}{- 90}$

x₁ = $\frac{308 + \sqrt{2 704}}{- 90}$ = $\frac{308+52}{- 90}$ = $\frac{360}{- 90}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{308 - \sqrt{2 704}}{- 90}$ = $\frac{308-52}{- 90}$ = $\frac{256}{- 90}$ = $- \frac{128}{45}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 45$ " teilen:

$- 45 x^{2} - 308 x - 512$ = 0 |: $- 45$

$x^{2} + \frac{308}{45} x + \frac{512}{45}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{154}{45})}^{2} - (\frac{512}{45})$ = $\frac{23716}{2025}$ $-$ $\frac{512}{45}$ = $\frac{23716}{2025}$ $-$ $\frac{23040}{2025}$ = $\frac{676}{2025}$

x_1,2 = $- \frac{154}{45}$ ± $\sqrt{\frac{676}{2025}}$

x₁ = $- \frac{154}{45}$ - $\frac{26}{45}$ = $- \frac{180}{45}$ = -4

x₂ = $- \frac{154}{45}$ + $\frac{26}{45}$ = $- \frac{128}{45}$ = -2.8444444444444

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{128}{45}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 + a x$	=	$- x^{2}$
$6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):