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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{- 7 x - 43}{x + 1}$ = $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 7 x - 43}{x + 1}$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 7 x - 43}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 1 \cdot (x + 1)$
$- 7 x - 43$	=	$- (x + 1)$

$- 7 x - 43$	=	$- x - 1$	\| $+ 43$
$- 7 x$	=	$- x + 42$	\| $+ x$
$- 6 x$	=	$42$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$ = $\frac{101}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}

=

\frac{101}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$	=	$\frac{101}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{101}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$101 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$101$
$x^{2} - 5 x + x + 5$	=	$101$
$x^{2} - 4 x + 5$	=	$101$

x^{2} - 4 x + 5

=

101

|

- 101

$x^{2} - 4 x - 96$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{400}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{4+20}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{4-20}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{- 8,25}{x + 3}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12} - \frac{8,25}{x + 3}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{8,25}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{8,25}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 8,25}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- 2 x \cdot (4 (x + 3))$
$x - 33$	=	$- 8 x (x + 3)$
$x - 33$	=	$- 8 x^{2} - 24 x$

x - 33

=

- 8 x^{2} - 24 x

|

+ 8 x^{2}

+ 24 x

$8 x^{2} + 25 x - 33$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 056}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 681}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 25+41}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 25-41}{16}$ = $\frac{- 66}{16}$ = $- 4,125$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,125$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{18}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{80}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 18 x + 80$	=	$- x^{2}$

- 18 x + 80

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{7}{2} - \frac{5}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{7}{2} - \frac{5}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{7}{2} \cdot x - \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- \frac{7}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x + 2 x$

$- \frac{7}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x^{2} + 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x - \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} + 2 x)$
$- 7 x - 5$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11+9}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11-9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 4}{x} + \frac{2 x + 2}{- 2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{2 x + 2}{- 2 x - 6} - \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{- 2 (x + 3)} - \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{- 2 (x + 3)} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{2 x + 2}{- 2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - \frac{4}{x} \cdot (2 (x + 3))$	=
$x - 2 x - 2 - 8 \frac{x + 3}{x}$	=
$x - 2 x - 2 - \frac{8 (x + 3)}{x}$	=
$- \frac{8 (x + 3)}{x} + x - 2 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8 (x + 3)}{x} + x - 2 x - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8 (x + 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 2 x \cdot x - 2 \cdot x$	=
$- 8 x - 24 + x \cdot x - 2 x \cdot x - 2 x$	=
$- 8 x - 24 + x^{2} - 2 x^{2} - 2 x$	=
$- x^{2} - 10 x - 24$	=

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichung (die linear bleibt)

42 Bruchgleichungen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter