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Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7 x}{x + 2}$ = $5$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{7 x}{x + 2}$	=	$5$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{7 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$5 \cdot (x + 2)$
$7 x$	=	$5 (x + 2)$

$7 x$	=	$5 x + 10$	\| $- 5 x$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{2 x - 2} + 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{10}{2 x - 2} + 5$	=	$- x$
$\frac{10}{2 (x - 1)} + 5$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{10}{2 (x - 1)} + 5$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{10}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + 5 \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$5 + 5 x - 5$	=	$- x (x - 1)$
$5 x$	=	$- x^{2} + x$

$5 x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} + 5 x - x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x - 4} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} - 1$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x - 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 1 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x - 1 - 2 x + 4$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{13}{x} + \frac{40}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{13}{x} + \frac{40}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{13}{x} \cdot x^{2} + \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 13 x + 40$	=

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + \frac{3}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{3}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- x + 3$	=	$x \cdot x - 3 x$

- x + 3

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x - 1}{2 x} - 2$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x - 1}{2 x} \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=
$3 x - 1 - 4 x$	=
$- x - 1$	=

$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Einfache Linearterme im Nenner

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):