Aufgabenbeispiele von MiAnKa

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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( x 5 ) 4 · ( x 5 ) 3 · ( x 5 ) 3

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

( x 5 ) 4 · ( x 5 ) 3 · ( x 5 ) 3

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= x 4 5 · x 3 5 · x 3 5

= x 4 5 + 3 5 · x 3 5

= x 7 5 · x 3 5

= x 7 5 + 3 5

= x 2

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x -7 - 1 x +7 = 79 x 2 -49

Lösung einblenden

D=R\{ -7 ; 7 }

x x -7 - 1 x +7 = 79 ( x +7 ) · ( x -7 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +7 ) · ( x -7 ) weg!

x x -7 - 1 x +7 = 79 ( x +7 ) · ( x -7 ) |⋅( ( x +7 ) · ( x -7 ) )
x x -7 · ( x +7 ) · ( x -7 ) - 1 x +7 · ( x +7 ) · ( x -7 ) = 79 ( x +7 ) · ( x -7 ) · ( x +7 ) · ( x -7 )
x ( x +7 ) - x +7 = 79 x +7 x +7
x ( x +7 ) - x +7 = 79
x 2 +7x - x +7 = 79
x 2 +6x +7 = 79
x 2 +6x +7 = 79 | -79

x 2 +6x -72 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -72 ) 21

x1,2 = -6 ± 36 +288 2

x1,2 = -6 ± 324 2

x1 = -6 + 324 2 = -6 +18 2 = 12 2 = 6

x2 = -6 - 324 2 = -6 -18 2 = -24 2 = -12

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - ( -72 ) = 9+ 72 = 81

x1,2 = -3 ± 81

x1 = -3 - 9 = -12

x2 = -3 + 9 = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -12 ; 6 }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 8 Einheiten unterhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| 11 2 ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= a x 4 + b x 2 + c für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 8 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -8 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| 11 2 ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = 11 2 gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| 11 2 ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

  1. f(0) = -8 (y-Achsenabschnitt)
  2. f(3)= 11 2 (H(3| 11 2 ) liegt auf dem Graph)
  3. f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)= a x 4 + b x 2 + c
f(x)= 4 a x 3 +2 b x +0

Daraus ergibt sich:

  1. f(0) = -8: a 0 4 + b 0 2 + c = -8, also c = -8
  2. f(3)= 11 2 : a 3 4 + b 3 2 + c = 11 2 , also 81⋅a + 9⋅b + c = 11 2
  3. f'(3)=0: 4 a 3 3 +2 b 3 +0 = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -8 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= 11 2 81⋅a + 9⋅b + (-8) = 11 2 oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = 13,5


Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

81a +9b = 13,5 (I) 108a +6b = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -3·(II)

81a 9b = 13,5 (I) ( 324 -324 )a +( 36 -18 )b = ( 54 +0) (II)
81a +9b = 13,5 (I) +18b = 54 (II)
Zeile (II): +18b = 54

b = 3

eingesetzt in Zeile (I):

81a +9·(3 ) = 13,5 | -27
81 a = -13,5 | : 81

a = - 13,5 81

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - 13,5 81 x 4 +3 x 2 -8

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= x

g(x)= e x

h(x)= ln( x )

i(x)=tan(x)

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Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph von tan(x) = sin( x ) cos( x ) sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)= sin(0) cos(0) = 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch sin(x) cos(x) , also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen π 2 , so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) = sin(x) cos(x) strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x> π 2 wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = tan(x).

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von ln( x ) besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da e 0 = 1 und somit ln( 1 ) = 0 ist.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = ln( x ) .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = e x .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = x .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= 1 x

g(x)= e x

h(x)= cos( x )

i(x)= ln( x )

j(x)= sin( x )

k(x)= x 3

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von ln( x ) besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da e 0 = 1 und somit ln( 1 ) = 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = ln( x ) .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von x 3 erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = x 3 .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = sin( x ) .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = 1 x .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= ln( x )

g(x)= 1 x +1

h(x)=tan(x)

i(x)= ln( x ) +1

j(x)=tan(x)+1

k(x)= 1 x

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Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph von tan(x) = sin( x ) cos( x ) sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)= sin(0) cos(0) = 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch sin(x) cos(x) , also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen π 2 , so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) = sin(x) cos(x) strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x> π 2 wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = tan(x)+1.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von ln( x ) besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da e 0 = 1 und somit ln( 1 ) = 0 ist.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = ln( x ) +1 .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = 1 x +1 .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion k(x) = 1 x .