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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{2}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{2}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} + \frac{8}{x - 5}$ = $\frac{44}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} + \frac{8}{x - 5}

=

\frac{44}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} + \frac{8}{x - 5}$	=	$\frac{44}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) + \frac{8}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{44}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x (x - 5) + 8 x + 40$	=	$44 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) + 8 x + 40$	=	$44$
$x^{2} - 5 x + 8 x + 40$	=	$44$
$x^{2} + 3 x + 40$	=	$44$

x^{2} + 3 x + 40

=

44

|

- 44

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(4| $9$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 1 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(4| $9$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(4) = $9$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(4| $9$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(4)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 1 (y-Achsenabschnitt)
f(4)= $9$ (H(4| $9$ ) liegt auf dem Graph)
f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 1: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 1, also c = 1
f(4)= $9$ : $a \cdot 4^{4} + b \cdot 4^{2} + c$ = $9$ , also 256⋅a + 16⋅b + c = $9$
f'(4)=0: $4 a \cdot 4^{3} + 2 b \cdot 4 + 0$ = 0, also 256a + 8b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(4)= $9$ 256⋅a + 16⋅b + 1 = $9$ oder umgeformt:
256⋅a + 16⋅b = $8$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 256 a & + 16 b & = & 8 & (I) \\ 256 a & + 8 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 256 a & 16 b & = & 8 & (I) \\ (256 - 256) a & + (16 - 8) b & = & (8 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 256 a & + 16 b & = & 8 & (I) \\ + 8 b & = & 8 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 8 b & = & 8 \end{matrix}

b = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 256 a & + 16 \cdot (1) & = & 8 \end{matrix}

| -

16

256

a =

- 8

| : 256

a = $- \frac{1}{32}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{32} x^{4} + x^{2} + 1$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x}$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\sin (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x}$

g(x)= $\sqrt{x}$

h(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

i(x)= $\sin (x)$

j(x)= $e^{x}$

k(x)= $\ln (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $- \ln (x)$

g(x)= $- \cos (x)$

h(x)= $\frac{1}{x}$

i(x)= $\ln (x)$

j(x)= $- \frac{1}{x}$

k(x)= $\cos (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $- \cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\ln (x)$ .

Aufgabenbeispiele von MiAnKa

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: