$\frac{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4·{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^7}{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^{31}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}·x^{\frac{7}{5}}}{x^{\frac{31}{5}}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}+\frac{7}{5}}}{x^{\frac{31}{5}}}$

= $\frac{x^{\frac{11}{5}}}{x^{\frac{31}{5}}}$

= $x^{\frac{11}{5}-\frac{31}{5}}$

= $x^{-4}$

= $\frac{1}{x^4}$

D=R\{ $-3$; $3$}

$\frac{x}{x-3}-\frac{8}{x+3}$

=

$\frac{24}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ weg!

$\frac{x}{x-3}-\frac{8}{x+3}$	=	$\frac{24}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$	|⋅( $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$)
$\frac{x}{x-3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)-\frac{8}{x+3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$	=	$\frac{24}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$
$x·\left(x+3\right)-8x+24$	=	$24\frac{x+3}{x+3}$
$x·\left(x+3\right)-8x+24$	=	$24$
$x^2+3x-8x+24$	=	$24$
$x^2-5x+24$	=	$24$

$x^2-5x+24$	=	$24$	| $-24$
$x^2-5x+24-24$	=	0
$x^2-5x$	=	0
$x·\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$}

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 8 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -8 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(4|$24$) auf dem Graph von f liegt, muss f(4) = $24$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(4|$24$) ein Hochpunkt ist, also muss f'(4)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

1. f(0) = -8 (y-Achsenabschnitt)
2. f(4)=$24$ (H(4|$24$) liegt auf dem Graph)
3. f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$
$\text{f '(x)}=$ $4a{x}^3+2bx+0$

Daraus ergibt sich:

1. f(0) = -8: $a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c$ = -8, also c = -8
2. f(4)=$24$: $a\cdot 4^4+b\cdot 4^2+c$ = $24$, also 256⋅a + 16⋅b + c = $24$
3. f'(4)=0: $4a\cdot 4^3+2b\cdot 4+0$ = 0, also 256a + 8b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -8 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(4)=$24$ 256⋅a + 16⋅b + (-8) = $24$ oder umgeformt:
256⋅a + 16⋅b = $32$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\ln \left(x\right)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da $e^0$ = 1 und somit $\ln \left(1\right)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\ln \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph von tan(x) = $\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$ sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=$\frac{\mathrm{sin(0)}}{\mathrm{cos(0)}}$ = 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch $\frac{\mathrm{sin(x)}}{\mathrm{cos(x)}}$, also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen $\frac{\pi }{2}$, so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) = $\frac{\mathrm{sin(x)}}{\mathrm{cos(x)}}$ strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>$\frac{\pi }{2}$ wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = tan(x).

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $e^x+1$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\sin \left(x\right)+1$.