D=R\{ $-5$; $5$}

$\frac{x}{x-5}+\frac{10}{x+5}$

=

$\frac{4}{\left(x+5\right)·\left(x-5\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+5\right)·\left(x-5\right)$ weg!

$\frac{x}{x-5}+\frac{10}{x+5}$	=	$\frac{4}{\left(x+5\right)·\left(x-5\right)}$	|⋅( $\left(x+5\right)·\left(x-5\right)$)
$\frac{x}{x-5}·\left(x+5\right)·\left(x-5\right)+\frac{10}{x+5}·\left(x+5\right)·\left(x-5\right)$	=	$\frac{4}{\left(x+5\right)·\left(x-5\right)}·\left(x+5\right)·\left(x-5\right)$
$x\left(x+5\right)+10x-50$	=	$4\frac{x+5}{x+5}$
$x\left(x+5\right)+10x-50$	=	$4$
$x^2+5x+10x-50$	=	$4$
$x^2+15x-50$	=	$4$

$x^2+15x-50$

=

$4$

| $-4$

$x^2+15x-54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-15\pm \sqrt{{15}^2-4·1·\left(-54\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-15\pm \sqrt{225+216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-15\pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{-15+\sqrt{441}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-15-\sqrt{441}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-36}{2}$ = $-18$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-18$; $3$}

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 4 Einheiten unterhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = -4 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2|$-2$) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $-2$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2|$-2$) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

1. f(0) = -4 (y-Achsenabschnitt)
2. f(2)=$-2$ (H(2|$-2$) liegt auf dem Graph)
3. f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$
$\text{f(x)}=$ $4a{x}^3+2bx+0$

Daraus ergibt sich:

1. f(0) = -4: $a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c$ = -4, also c = -4
2. f(2)=$-2$: $a\cdot 2^4+b\cdot 2^2+c$ = $-2$, also 16⋅a + 4⋅b + c = $-2$
3. f'(2)=0: $4a\cdot 2^3+2b\cdot 2+0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = -4 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)=$-2$ 16⋅a + 4⋅b + (-4) = $-2$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $2$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem: