Aufgabenbeispiele von MiAnKa

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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 3 x 2 · ( x 3 ) 2

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

x 3 x 2 · ( x 3 ) 2

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= x 1 3 x 2 · x 2 3

= x 1 3 · x 2 3 x 2

= x 1 3 + 2 3 x 2

= x x 2

= x 1 -2

= x -1

= 1 x

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x x +5 + 8 x -5 = 44 x 2 -25

Lösung einblenden

D=R\{ -5 ; 5 }

x x +5 + 8 x -5 = 44 ( x +5 ) · ( x -5 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner ( x +5 ) · ( x -5 ) weg!

x x +5 + 8 x -5 = 44 ( x +5 ) · ( x -5 ) |⋅( ( x +5 ) · ( x -5 ) )
x x +5 · ( x +5 ) · ( x -5 ) + 8 x -5 · ( x +5 ) · ( x -5 ) = 44 ( x +5 ) · ( x -5 ) · ( x +5 ) · ( x -5 )
x ( x -5 ) +8x +40 = 44 x +5 x +5
x ( x -5 ) +8x +40 = 44
x 2 -5x +8x +40 = 44
x 2 +3x +40 = 44
x 2 +3x +40 = 44 | -44

x 2 +3x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x1,2 = -3 ± 9 +16 2

x1,2 = -3 ± 25 2

x1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

x2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = - 3 2 ± 25 4

x1 = - 3 2 - 5 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 3 2 + 5 2 = 2 2 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 1 }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(4|9 ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= a x 4 + b x 2 + c für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 1 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(4|9 ) auf dem Graph von f liegt, muss f(4) = 9 gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(4|9 ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(4)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

  1. f(0) = 1 (y-Achsenabschnitt)
  2. f(4)=9 (H(4|9 ) liegt auf dem Graph)
  3. f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)= a x 4 + b x 2 + c
f(x)= 4 a x 3 +2 b x +0

Daraus ergibt sich:

  1. f(0) = 1: a 0 4 + b 0 2 + c = 1, also c = 1
  2. f(4)=9 : a 4 4 + b 4 2 + c = 9 , also 256⋅a + 16⋅b + c = 9
  3. f'(4)=0: 4 a 4 3 +2 b 4 +0 = 0, also 256a + 8b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(4)=9 256⋅a + 16⋅b + 1 = 9 oder umgeformt:
256⋅a + 16⋅b = 8


Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

256a +16b = 8 (I) 256a +8b = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

256a 16b = 8 (I) ( 256 -256 )a +( 16 -8 )b = ( 8 +0) (II)
256a +16b = 8 (I) +8b = 8 (II)
Zeile (II): +8b = 8

b = 1

eingesetzt in Zeile (I):

256a +16·(1 ) = 8 | -16
256 a = -8 | : 256

a = - 1 32

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - 1 32 x 4 + x 2 +1

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= 1 x

g(x)= e x

h(x)= x 3

i(x)= sin( x )

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Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = 1 x .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von x 3 erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = x 3 .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = e x .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = sin( x ) .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= 1 x

g(x)= x

h(x)= 1 x 2

i(x)= sin( x )

j(x)= e x

k(x)= ln( x )

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = sin( x ) .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = e x .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von ln( x ) besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da e 0 = 1 und somit ln( 1 ) = 0 ist.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = ln( x ) .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = x .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= - ln( x )

g(x)= - cos( x )

h(x)= 1 x

i(x)= ln( x )

j(x)= - 1 x

k(x)= cos( x )

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = cos( x ) .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = - cos( x ) .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = 1 x .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von ln( x ) besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da e 0 = 1 und somit ln( 1 ) = 0 ist.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = ln( x ) .