Aufgabenbeispiele von MiAnKa
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37 Wurzelterme vereinfachen
Beispiel:
Vereinfache den folgenden Term:
Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!
Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:
=
=
=
=
=
=
=
42 Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ ; }
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
= | |⋅( ) | ||
= | |||
= | |||
= | |||
= | |||
= |
= | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Funktionstermbestimmung (Grad 4)
Beispiel:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(4|
Bestimme den Term der Funktion f.
Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.
f(-x) = f(x)
Der gesuchte Funktionsterm muss also
Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 1 gelten.
Und weil der (Hoch-)Punkt H(4|
Außerdem wissen wir ja, dass H(4|
Somit haben wir drei Informationen:
- f(0) = 1 (y-Achsenabschnitt)
- f(4)=
(H(4|9 ) liegt auf dem Graph)9 - f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)
Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
Daraus ergibt sich:
- f(0) = 1:
a ⋅ 0 4 + b ⋅ 0 2 + c - f(4)=
:9 a ⋅ 4 4 + b ⋅ 4 2 + c , also 256⋅a + 16⋅b + c =9 9 - f'(4)=0:
4 a ⋅ 4 3 + 2 b ⋅ 4 + 0
Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:
2. f(4)=
256⋅a + 16⋅b =
Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:
langsame Rechnung einblenden
b =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 4:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 2:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Den Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) =