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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot \frac{{(\sqrt{x})}^{3}}{{(\sqrt{x})}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$x^{2} \cdot \frac{{(\sqrt{x})}^{3}}{{(\sqrt{x})}^{5}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $x^{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{2}}{x^{\frac{5}{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{2} + 2}}{x^{\frac{5}{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}$

= $x^{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}}$

= $x$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}$ = $\frac{21}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}

=

\frac{21}{(x + 6) (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} - \frac{2}{x - 6}$	=	$\frac{21}{(x + 6) (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) (x - 6) - \frac{2}{x - 6} \cdot (x + 6) (x - 6)$	=	$\frac{21}{(x + 6) (x - 6)} \cdot (x + 6) (x - 6)$
$x (x - 6) - 2 x - 12$	=	$21 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x - 6) - 2 x - 12$	=	$21$
$x^{2} - 6 x - 2 x - 12$	=	$21$
$x^{2} - 8 x - 12$	=	$21$

x^{2} - 8 x - 12

=

21

|

- 21

$x^{2} - 8 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 132}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{8+14}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{8-14}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 33)$ = $16$ $+$ $33$ = $49$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $4$ - $7$ = -3

x₂ = $4$ + $7$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $11$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(4| $22$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 6 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(4| $22$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(4) = $22$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(4| $22$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(4)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 6 (y-Achsenabschnitt)
f(4)= $22$ (H(4| $22$ ) liegt auf dem Graph)
f'(4)=0 (Hochpunkt bei x=4)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 6: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 6, also c = 6
f(4)= $22$ : $a \cdot 4^{4} + b \cdot 4^{2} + c$ = $22$ , also 256⋅a + 16⋅b + c = $22$
f'(4)=0: $4 a \cdot 4^{3} + 2 b \cdot 4 + 0$ = 0, also 256a + 8b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 6 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(4)= $22$ 256⋅a + 16⋅b + 6 = $22$ oder umgeformt:
256⋅a + 16⋅b = $16$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 256 a & + 16 b & = & 16 & (I) \\ 256 a & + 8 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 256 a & 16 b & = & 16 & (I) \\ (256 - 256) a & + (16 - 8) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 256 a & + 16 b & = & 16 & (I) \\ + 8 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 8 b & = & 16 \end{matrix}

b = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 256 a & + 16 \cdot (2) & = & 16 \end{matrix}

| -

32

256

a =

- 16

| : 256

a = $- \frac{1}{16}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{16} x^{4} + 2 x^{2} + 6$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x}$

g(x)= $\sqrt{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\cos (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sin (x)$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $x^{2}$

i(x)= $x^{3}$

j(x)= $\frac{1}{x}$

k(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\sin (x)

zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\sin (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $e^{x} + 1$

g(x)= $\frac{1}{x} + 1$

h(x)= $e^{x}$

i(x)= $\sqrt{x} + 1$

j(x)= $\frac{1}{x}$

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x} + 1$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

\frac{1}{x}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

\frac{1}{1}

= 1 und f(-1) =

\frac{1}{-1}

= -1. Im Gegensatz zu

\frac{1}{x^{2}}

hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $e^{x} + 1$ .

Aufgabenbeispiele von MiAnKa

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: