Mathebattle EduRandomtasks

37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt{x} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\sqrt{x} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{x}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{1}{2} + 2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

= $x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}}$

= $x^{3}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}$ = $\frac{143}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

$\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}$

=

$\frac{143}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} - \frac{7}{x + 9}$	=	$\frac{143}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{7}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{143}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x + 9) - 7 x + 63$	=	$143 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) - 7 x + 63$	=	$143$
$x^{2} + 9 x - 7 x + 63$	=	$143$
$x^{2} + 2 x + 63$	=	$143$

$x^{2} + 2 x + 63$

=

$143$

|

$- 143$

$x^{2} + 2 x - 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2+18}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2-18}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $8$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(1| $2$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 1 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 1 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(1| $2$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(1) = $2$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(1| $2$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(1)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 1 (y-Achsenabschnitt)
f(1)= $2$ (H(1| $2$ ) liegt auf dem Graph)
f'(1)=0 (Hochpunkt bei x=1)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 1: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 1, also c = 1
f(1)= $2$ : $a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{2} + c$ = $2$ , also 1⋅a + 1⋅b + c = $2$
f'(1)=0: $4 a \cdot 1^{3} + 2 b \cdot 1 + 0$ = 0, also 4a + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 1 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(1)= $2$ 1⋅a + 1⋅b + 1 = $2$ oder umgeformt:
1⋅a + 1⋅b = $1$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

$\begin{matrix} a & + b & = & 1 & (I) \\ 4 a & + 2 b & = & 0 & (II) \end{matrix}$

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 1$ ·(II)

$\begin{matrix} 1 a & 1 b & = & 1 & (I) \\ (4 - 4) a & + (4 - 2) b & = & (4 + 0) & (II) \end{matrix}$

$\begin{matrix} a & + b & = & 1 & (I) \\ + 2 b & = & 4 & (II) \end{matrix}$

Zeile (II):

$\begin{matrix} + 2 b & = & 4 \end{matrix}$

b = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

$\begin{matrix} a & + (2) & = & 1 \end{matrix}$ | -

$2$

$1$ a =

$- 1$ | : 1

a = $- 1$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- x^{4} + 2 x^{2} + 1$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x}$

g(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

$x^{3}$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

$\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

$\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

$\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) =

$\frac{1}{-1}$ = -1. Im Gegensatz zu

$\frac{1}{x^{2}}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von

$\frac{1}{x^{2}}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

$\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

g(x)= $\frac{1}{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\cos (x)$

j(x)= $\ln (x)$

k(x)= $x^{2}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

$x^{3}$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von

$\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) =

$\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) =

$\frac{1}{-1}$ = -1. Im Gegensatz zu

$\frac{1}{x^{2}}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

$\frac{1}{x^{2}}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

$\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

$\ln (x)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

$e^{0}$ = 1 und somit

$\ln (1)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) = $\ln (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)=-tan(x)

g(x)= $- \sin (x)$

h(x)= $\sin (x)$

i(x)=tan(x)

j(x)= $\ln (x)$

k(x)= $- \ln (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph von tan(x) =

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

$\frac{sin(0)}{cos(0)}$ = 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$ , also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

$\frac{π}{2}$ , so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$ strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

$\frac{π}{2}$ wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = -tan(x).

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

$\sin (x)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $- \sin (x)$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

$\ln (x)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

$e^{0}$ = 1 und somit

$\ln (1)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph von tan(x) =

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sieht man viele Asymptoten. Für x=0 ist tan(0)=

$\frac{sin(0)}{cos(0)}$ = 0, da sin(0)=0. Für größer werdende x wird der Bruch

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$ , also der Tangens sehr schnell größer, da sin(x) immer größer und cos(x) immer kleiner wird. Geht x gegen

$\frac{π}{2}$ , so geht der cos(x) gegen 0 und tan(x) =

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$ strebt somit gegen ∞. Daher kommen die Asymptoten. Für x>

$\frac{π}{2}$ wird der Kosinus und damit der Funktionswert negativ, bleibt aber vom Betrag her sehr groß und wird bei x = π wieder 0, da sin(0) = 0. Da sowohl sin(x) als auch cos(x) 2π-periodisch sind, ist auch der tan(x) 2π-periodisch. (aufgrund der Punkt- bzw. Achsen-Symmetrie von sin(x) und cos(x) bezüglich der Mitte einer Periode ist tan(x) sogar π-periodisch).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = tan(x).

Aufgabenbeispiele von MiAnKa

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: