Aufgabenbeispiele von MiAnKa
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37 Wurzelterme vereinfachen
Beispiel:
Vereinfache den folgenden Term:
Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!
Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:
=
=
=
=
=
=
=
42 Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ ; }
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
= | |⋅( ) | ||
= | |||
= | |||
= | |||
= | |||
= |
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ }
Funktionstermbestimmung (Grad 4)
Beispiel:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3|).
Bestimme den Term der Funktion f.
Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.
f(-x) = f(x)
Der gesuchte Funktionsterm muss also für bestimmte Werte für a, b und c sein.
Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 7 gelten.
Und weil der (Hoch-)Punkt H(3|) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = gelten.
Außerdem wissen wir ja, dass H(3|) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.
Somit haben wir drei Informationen:
- f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
- f(3)= (H(3|) liegt auf dem Graph)
- f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)
Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
Daraus ergibt sich:
- f(0) = 7: = 7, also c = 7
- f(3)=: = , also 81⋅a + 9⋅b + c =
- f'(3)=0: = 0, also 108a + 6b = 0
Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:
2. f(3)= 81⋅a + 9⋅b +
7 = oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b =
Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:
langsame Rechnung einblenden·(I) ·(II)
b =
eingesetzt in Zeile (I):
| -
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=tan(x)
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = tan(x).
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 2:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Den Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) =
65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=tan(x)
g(x)=-tan(x)
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = tan(x).
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph vonAm Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) =