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37 Wurzelterme vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sqrt{x}}{x^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

$\frac{{(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sqrt{x}}{x^{7}}$

Wir schreiben zuerst die Wurzelterme in Potenzterme mit rationalen Hochzahlen um:

= $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{7}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{7}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{7}}$

= $x^{2 - 7}$

= $x^{- 5}$

= $\frac{1}{x^{5}}$

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} - \frac{4}{x - 7}$ = $\frac{182}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} - \frac{4}{x - 7}

=

\frac{182}{(x + 7) (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} - \frac{4}{x - 7}$	=	$\frac{182}{(x + 7) (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) (x - 7) - \frac{4}{x - 7} \cdot (x + 7) (x - 7)$	=	$\frac{182}{(x + 7) (x - 7)} \cdot (x + 7) (x - 7)$
$x (x - 7) - 4 x - 28$	=	$182 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x - 7) - 4 x - 28$	=	$182$
$x^{2} - 7 x - 4 x - 28$	=	$182$
$x^{2} - 11 x - 28$	=	$182$

x^{2} - 11 x - 28

=

182

|

- 182

$x^{2} - 11 x - 210$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 210)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 840}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{961}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{11+31}{2}$ = $\frac{42}{2}$ = $21$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{961}}{2}$ = $\frac{11-31}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - (- 210)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $210$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{840}{4}$ = $\frac{961}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{961}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{31}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{31}{2}$ = $\frac{42}{2}$ = 21

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $21$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(3| $\frac{39}{2}$ ).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 6 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(3| $\frac{39}{2}$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(3) = $\frac{39}{2}$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(3| $\frac{39}{2}$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 6 (y-Achsenabschnitt)
f(3)= $\frac{39}{2}$ (H(3| $\frac{39}{2}$ ) liegt auf dem Graph)
f'(3)=0 (Hochpunkt bei x=3)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 6: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 6, also c = 6
f(3)= $\frac{39}{2}$ : $a \cdot 3^{4} + b \cdot 3^{2} + c$ = $\frac{39}{2}$ , also 81⋅a + 9⋅b + c = $\frac{39}{2}$
f'(3)=0: $4 a \cdot 3^{3} + 2 b \cdot 3 + 0$ = 0, also 108a + 6b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 6 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(3)= $\frac{39}{2}$ 81⋅a + 9⋅b + 6 = $\frac{39}{2}$ oder umgeformt:
81⋅a + 9⋅b = $13,5$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 13,5 & (I) \\ 108 a & + 6 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} 81 a & 9 b & = & 13,5 & (I) \\ (324 - 324) a & + (36 - 18) b & = & (54 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 81 a & + 9 b & = & 13,5 & (I) \\ + 18 b & = & 54 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 18 b & = & 54 \end{matrix}

b = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 81 a & + 9 \cdot (3) & = & 13,5 \end{matrix}

| -

27

81

a =

- 13,5

| : 81

a = $- \frac{13,5}{81}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{13,5}{81} x^{4} + 3 x^{2} + 6$

65 Graph-Term-Zuordnung

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $x^{3}$

g(x)= $\cos (x)$

h(x)= $e^{x}$

i(x)= $\ln (x)$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\cos (x)

schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\cos (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $e^{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\ln (x)$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $x^{2}$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $x^{3}$

i(x)= $\frac{1}{x^{2}}$

j(x)= $\cos (x)$

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von

\frac{1}{x^{2}}

erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu

\frac{1}{x}

hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^{2}}$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von

x^{3}

erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $x^{3}$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $e^{x}$ .

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= $\sqrt{x} + 1$

g(x)= $e^{x}$

h(x)= $\ln (x) + 1$

i(x)= $e^{x} + 1$

j(x)= $\ln (x)$

k(x)= $\sqrt{x}$

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $\ln (x)$ .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von

\sqrt{x}

hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$ .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von

\ln (x)

besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da

e^{0}

= 1 und somit

\ln (1)

= 0 ist.

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\ln (x) + 1$ .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von

e^{x}

nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da

e^{0}

= 1.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $e^{x} + 1$ .

Aufgabenbeispiele von MiAnKa

37 Wurzelterme vereinfachen

42 Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

65 Graph-Term-Zuordnung

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4:

65 Graph-Term-Zuordnung 2 + Trans.

Zu Graph Nr. 1:

Zu Graph Nr. 2:

Zu Graph Nr. 3:

Zu Graph Nr. 4: