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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x} - 3$ .

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $- 2 e^{x} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x} - 3$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x \cdot e^{x} + x \cdot e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

e-Funktion Graph zu Term finden

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = $4,5 e^{0,1 x} - 4,5 e^{x}$

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Graph der Funktion handeln kann.

1

2

3

4

Lösung einblenden

Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:

y-Achsenabschnitt: f(0) = $4,5 e^{0,1 \cdot 0} - 4,5 e^{0}$ = 0

Nullstellen: f(x) = 0

$4,5 e^{0,1 x} - 4,5 e^{x}$	=	0
$- 4,5 e^{x} + 4,5 e^{0,1 x}$	=	0
$(- 4,5 e^{0,9 x} + 4,5) e^{0,1 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4,5 e^{0,9 x} + 4,5$	=	0	\| $- 4,5$
$- 4,5 e^{0,9 x}$	=	$- 4,5$	\|: $- 4,5$
$e^{0,9 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$0,9 x$	=	0	\|: $0,9$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{0,1 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)= $4,5 e^{0,1 x} - 4,5 e^{x}$ gegen " $0 + 0$ " = $0 + 0$
- Für x → +∞ strebt f(x) = $4,5 e^{0,1 x} - 4,5 e^{x}$ gegen " $\infty - \infty$ " = $- \infty$
  (weil $4,5 e^{0,1 x}$ langsamer gegen $\infty$ strebt als $- 4,5 e^{x}$ gegen $- \infty$ )

Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) =

4,5 e^{0,1 x} \cdot 0,1 - 4,5 e^{x}

=

(- 4,5 e^{0,9 x} + 0,45) e^{0,1 x}

.
f'(x) = 0:

(- 4,5 e^{0,9 x} + 0,45) \cdot e^{0,1 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4,5 e^{0,9 x} + 0,45$	=	0	\| $- 0,45$
$- 4,5 e^{0,9 x}$	=	$- 0,45$	\|: $- 4,5$
$e^{0,9 x}$	=	$0,1$	\|ln(⋅)
$0,9 x$	=	$\ln (0,1)$	\|: $0,9$
x₁	=	$\frac{1}{0,9} \ln (0,1)$	≈ -2.5584

2. Fall:

e^{0,1 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Wir haben somit bei x=-2.56 einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

y-Achsenabschnitt: f(0) = $4,5 e^{0} - 4,5 e^{0,1 \cdot 0}$ = 0
Nullstellen: f(0) = $4,5 e^{0} - 4,5 e^{0,1 \cdot 0}$ =0
Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f₁ = $0 + 0$
- Für x → +∞ strebt f₁ = $\infty$

Damit können wir f₁ ausschließen.

Schaubild 2

y-Achsenabschnitt: f(0) = $- 0 \cdot e^{- 0}$ = 0
Nullstellen: f(0) = $- 0 \cdot e^{- 0}$ =0
Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f₂ = $\infty$
- Für x → +∞ strebt f₂ = 0

Damit können wir f₂ ausschließen.

Schaubild 3

y-Achsenabschnitt: f(0) = $- 4,5 e^{0} + 4,5 e^{0,1 \cdot 0}$ = 0
Nullstellen: f(0) = $- 4,5 e^{0} + 4,5 e^{0,1 \cdot 0}$ =0
Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f₃ = $0 + 0$
- Für x → +∞ strebt f₃ = $- \infty$
Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ -2.56.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₃ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Schaubild 4

y-Achsenabschnitt: f(0) = $- 9 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ = 0
Nullstellen: f(0) = $- 9 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ =0
Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f₄ = $- \infty$
- Für x → +∞ strebt f₄ = 0

Damit können wir f₄ ausschließen.

e-Funktion Term zu Graph finden

Beispiel:

Gegeben ist der Graph einer Funktion f

Einer der sechs gegebenen Funktionsterme gehört zu f.

Entscheide, welcher der sechs Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den fünf anderen Termen einen Nachweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.

f₁(x) = $- 4 x \cdot e^{x}$
f₂(x) = $e^{- 3 x} + x - 1$
f₃(x) = $10 x^{2} \cdot e^{x}$
f₄(x) = $- 8 x^{2} \cdot e^{- x}$
f₅(x) = $- 3,5 e^{- 0,1 x} + 3,5 e^{- x}$
f₆(x) = $- e^{- 3 x} - x + 1$

Lösung einblenden

Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:

Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 0
Für x → -∞ strebt f(x) gegen $\infty$
Für x → +∞ strebt f(x) gegen $\infty$

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f₁(x) = $- 4 x \cdot e^{x}$

f(0) = $- 4 \cdot 0 \cdot e^{0}$ =0
Für x → -∞ strebt f₁ = $- 4 x \cdot e^{x}$ gegen " $- 4 \cdot - \infty \cdot 0$ " = 0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)
Für x → +∞ strebt f₁ = $- 4 x \cdot e^{x}$ gegen " $- 4 \infty \cdot \infty$ " = $- \infty$

Damit können wir f₁ ausschließen.

f₂(x) = $e^{- 3 x} + x - 1$

f(0) = $e^{- 3 \cdot 0} + 0 - 1$ =0
Für x → -∞ strebt f₂ = $e^{- 3 x} + x - 1$ gegen " $\infty - \infty - 1$ " = $\infty$
Für x → +∞ strebt f₂ = $e^{- 3 x} + x - 1$ gegen " $0 + \infty - 1$ " = $\infty$

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₂ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

f₃(x) = $10 x^{2} \cdot e^{x}$

f(0) = $10 \cdot 0^{2} \cdot e^{0}$ =0
Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) = $10 \cdot 2 x \cdot e^{x} + 10 x^{2} \cdot e^{x}$ = $20 x \cdot e^{x} + 10 x^{2} \cdot e^{x}$
f'(0) = $20 \cdot 0 \cdot e^{0} + 10 \cdot 0^{2} \cdot e^{0}$ = 0

Damit können wir f₃ ausschließen.

f₄(x) = $- 8 x^{2} \cdot e^{- x}$

f(0) = $- 8 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ =0
Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) = $- 8 \cdot 2 x \cdot e^{- x} - 8 x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 16 x \cdot e^{- x} + 8 x^{2} \cdot e^{- x}$
f'(0) = $- 16 \cdot 0 \cdot e^{- 0} + 8 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ = 0

Damit können wir f₄ ausschließen.

f₅(x) = $- 3,5 e^{- 0,1 x} + 3,5 e^{- x}$

f(0) = $- 3,5 e^{- 0,1 \cdot 0} + 3,5 e^{- 0}$ =0
Für x → -∞ strebt f₅ = $- 3,5 e^{- 0,1 x} + 3,5 e^{- x}$ gegen " $- \infty + \infty$ " = $\infty$
(weil $- 3,5 e^{- 0,1 x}$ langsamer gegen $- \infty$ strebt als $3,5 e^{- x}$ gegen $\infty$ )
Für x → +∞ strebt f₅ = $- 3,5 e^{- 0,1 x} + 3,5 e^{- x}$ gegen " $0 + 0$ " = $0 + 0$

Damit können wir f₅ ausschließen.

f₆(x) = $- e^{- 3 x} - x + 1$

f(0) = $- e^{- 3 \cdot 0} - 0 + 1$ =0
Für x → -∞ strebt f₆ = $- e^{- 3 x} - x + 1$ gegen " $- \infty + \infty + 1$ " = $- \infty$
Für x → +∞ strebt f₆ = $- e^{- 3 x} - x + 1$ gegen " $0 - \infty + 1$ " = $- \infty$

Damit können wir f₆ ausschließen.

Anwendungen e-Funktion

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 e^{- 0,5 t} - 30 e^{- t}$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 4 m Höhe.

Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
Wann bremst der Fahrstuhl am stärksten ab?
Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl erstmals die Geschwindigkeit von $\frac{88}{15}$ m/s?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $30 e^{- 0,5 \cdot 3} - 30 e^{- 3}$ = $30 e^{- 1,5} - 30 e^{- 3}$ ≈ 5.2

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $1,3863$ |7.5) einblenden

$f(t) =$ $30 e^{- 0,5 t} - 30 e^{- t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $30 e^{- 0,5 t} \cdot (- 0,5) - 30 e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (30 - 15 e^{0,5 t})$

= $(- 15 e^{0,5 t} + 30) e^{- t}$

$f''(t) =$ $(- 15 e^{0,5 t} \cdot 0,5 + 0) \cdot e^{- t} + (- 15 e^{0,5 t} + 30) \cdot e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (15 e^{0,5 t} - 30 - 7,5 e^{0,5 t})$

= $(7,5 e^{0,5 t} - 30) e^{- t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 15 e^{0,5 t} + 30) \cdot e^{- t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 15 e^{0,5 t} + 30$	=	0	\| $- 30$
$- 15 e^{0,5 t}$	=	$- 30$	\|: $- 15$
$e^{0,5 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,5 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,5$
t₁	=	$\frac{1}{0,5} \ln (2)$	≈ 1.3863

2. Fall:

e^{- t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{1}{0,5} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f''( $1,3863$ ) = $e^{- 1,3863} \cdot (15 e^{0,5 \cdot 1,3863} - 30 - 7,5 e^{0,5 \cdot 1,3863})$ = $e^{- 1,3863} \cdot (7,5 e^{0,69315} - 30)$ = $e^{- 1,3863} \cdot (7,5 e^{0,69315} - 30)$ <0

Das heißt bei t = $1,3863$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $1,3863$ ) = $30 e^{- 0,5 \cdot 1,3863} - 30 e^{- 1,3863}$ = $30 e^{- 0,69315} - 30 e^{- 1,3863}$ ≈ 7.5
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1,3863$ | $30 e^{- 0,69315} - 30 e^{- 1,3863}$ )

≈ H:(1.386|7.5)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $30 e^{- 0,5 \cdot 0} - 30 e^{- 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → $0 + 0$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

7.5 ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $30 e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 30 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $15 \cdot e^{- x} (- e^{0,5 x} + 2)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $2,7726$ |-1.87) einblenden

$f'(t) =$ $15 \cdot e^{- t} (- e^{0,5 t} + 2)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $15 e^{- t} \cdot (- 1) \cdot (- e^{0,5 t} + 2) + 15 \cdot e^{- t} \cdot (- e^{0,5 t} \cdot 0,5 + 0)$

= $e^{- t} \cdot (15 e^{0,5 t} - 30 - 7,5 e^{0,5 t})$

= $(7,5 e^{0,5 t} - 30) e^{- t}$

$f'''(t) =$ $(7,5 e^{0,5 t} \cdot 0,5 + 0) \cdot e^{- t} + (7,5 e^{0,5 t} - 30) \cdot e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (- 7,5 e^{0,5 t} + 30 + 3,75 e^{0,5 t})$

= $(- 3,75 e^{0,5 t} + 30) e^{- t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

(7,5 e^{0,5 t} - 30) \cdot e^{- t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7,5 e^{0,5 t} - 30$	=	0	\| $+ 30$
$7,5 e^{0,5 t}$	=	$30$	\|: $7,5$
$e^{0,5 t}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$0,5 t$	=	$\ln (4)$	\|: $0,5$
t₁	=	$\frac{1}{0,5} \ln (4)$	≈ 2.7726
t₁	=	$\frac{2}{0,5} \ln (2)$

2. Fall:

e^{- t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{2}{0,5} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)>0).

f'''( $2,7726$ ) = $e^{- 2,7726} \cdot (- 7,5 e^{0,5 \cdot 2,7726} + 30 + 3,75 e^{0,5 \cdot 2,7726})$ = $e^{- 2,7726} \cdot (- 7,5 e^{1,3863} + 30 + 3,75 e^{1,3863})$ = $e^{- 2,7726} \cdot (- 3,75 e^{1,3863} + 30)$ >0

Das heißt bei t = $2,7726$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $2,7726$ ) = $15 \cdot e^{- 2,7726} \cdot (- e^{0,5 \cdot 2,7726} + 2)$ = $15 \cdot e^{- 2,7726} \cdot (- e^{1,3863} + 2)$ ≈ -1.875
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2,7726$ | $15 \cdot e^{- 2,7726} \cdot (- e^{1,3863} + 2)$ )

≈ T:(2.773|-1.875)

Randwertuntersuchung

Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $15 \cdot e^{- 0} \cdot (- e^{0,5 \cdot 0} + 2)$ = $15$ . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → 0.

Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.

Bei t = $2,7726$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

Erster t-Wert bei y = $\frac{88}{15}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{88}{15}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{88}{15}$ und lösen nach t auf:

30 e^{- 0,5 t} - 30 e^{- t}

=

\frac{88}{15}

|

- \frac{88}{15}

30 e^{- 0,5 t} - 30 e^{- t} - \frac{88}{15}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$30 e^{- 0,5 t} - 30 e^{- t} - \frac{88}{15}$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$- \frac{88}{15} e^{t} + 30 e^{0,5 t} - 30$	=	0

Setze u = $e^{0,5 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{88}{15} u^{2} + 30 u - 30$	=	0	\|⋅ 15
$15 (- \frac{88}{15} u^{2} + 30 u - 30)$	=	0

- 88 u^{2} + 450 u - 450

= 0 |:2

$- 44 u^{2} + 225 u - 225$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 225 \pm \sqrt{225^{2} - 4 \cdot (- 44) \cdot (- 225)}}{2 \cdot (- 44)}$

u_1,2 = $\frac{- 225 \pm \sqrt{50 625 - 39 600}}{- 88}$

u_1,2 = $\frac{- 225 \pm \sqrt{11 025}}{- 88}$

u₁ = $\frac{- 225 + \sqrt{11 025}}{- 88}$ = $\frac{- 225+105}{- 88}$ = $\frac{- 120}{- 88}$ = $\frac{15}{11}$ ≈ 1.36

u₂ = $\frac{- 225 - \sqrt{11 025}}{- 88}$ = $\frac{- 225-105}{- 88}$ = $\frac{- 330}{- 88}$ = $3,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 44$ " teilen:

$- 44 u^{2} + 225 u - 225$ = 0 |: $- 44$

$u^{2} - \frac{225}{44} u + \frac{225}{44}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{225}{88})}^{2} - (\frac{225}{44})$ = $\frac{50625}{7744}$ $-$ $\frac{225}{44}$ = $\frac{50625}{7744}$ $-$ $\frac{39600}{7744}$ = $\frac{11025}{7744}$

x_1,2 = $\frac{225}{88}$ ± $\sqrt{\frac{11025}{7744}}$

x₁ = $\frac{225}{88}$ - $\frac{105}{88}$ = $\frac{120}{88}$ = 1.3636363636364

x₂ = $\frac{225}{88}$ + $\frac{105}{88}$ = $\frac{330}{88}$ = 3.75

Rücksubstitution:

u₁: $e^{0,5 x}$ = $\frac{15}{11}$

$e^{0,5 x}$	=	$\frac{15}{11}$	\|ln(⋅)
$0,5 x$	=	$\ln (\frac{15}{11})$	\|: $0,5$
x₁	=	$\frac{1}{0,5} \ln (\frac{15}{11})$	≈ 0.6203

u₂: $e^{0,5 x}$ = $3,75$

$e^{0,5 x}$	=	$3,75$	\|ln(⋅)
$0,5 x$	=	$\ln (3,75)$	\|: $0,5$
x₂	=	$\frac{1}{0,5} \ln (3,75)$	≈ 2.6435

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert $\frac{88}{15}$ annimmt, ist also nach 0.62 s.

Ableiten e-Funktion mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{- 2 t^{2} x + t^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 t^{2} x + t^{2}}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 t^{2} x + t^{2}} \cdot (- 2 t^{2})$

= $2 t^{2} e^{- 2 t^{2} x + t^{2}}$

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $55$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $5 x \cdot e^{- 2 t x - 2 t} + 20 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $55$ ) in f mit $f(x) =$ $5 x \cdot e^{- 2 t x - 2 t} + 20 t$ :

$55$ = f( $- 1$ )

$55$ = $5 \cdot (- 1) \cdot e^{- 2 t \cdot (- 1) - 2 t} + 20 t$

$55$ = $5 \cdot (- 1) \cdot e^{2 t - 2 t} + 20 t$

$55$ = $5 \cdot (- 1) \cdot e^{0} + 20 t$

$55$ = $5 \cdot (- 1) \cdot 1 + 20 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $20 t - 5$ = $55$ nach t auflösen.

$20 t - 5$	=	$55$	\| $+ 5$
$20 t$	=	$60$	\|: $20$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $4 e^{t x - 2 t}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $12 x + 4$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $4 e^{t x - 2 t}$

$f'(x) =$ $4 e^{t x - 2 t} \cdot t$

= $4 t e^{t x - 2 t}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $4 t e^{t \cdot 2 - 2 t}$ = $4 t e^{2 t - 2 t}$ = $4 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $12$ x+4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $4 t$ soll gleich $12$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4 t$ = $12$ nach t auf.

$4 t$	=	$12$	\|: $4$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 3 k$ = $3 k$ = -3

$3 k$ = $- 3$ |: $3$

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Parameter für stärkste Steigung

Beispiel:

Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion f_t mit f_t(x)= $t e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$ mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 30° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.

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Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier m_max=tan(30°) ≈ 0.577.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von f_t .

$f(x) =$ $t e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $t e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} \cdot (- t^{2} x)$

= $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} x$

= $- t^{3} x e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

$f''(x) =$ $- t^{3} e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} \cdot (- t^{2} x) \cdot x - t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} \cdot 1$

= $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} \cdot (- t^{2} x \cdot x) - t^{3} e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

= $t^{5} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} x \cdot x - t^{3} e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

= $t^{5} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} x^{2} - t^{3} e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

= $e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} \cdot (t^{5} x^{2} - t^{3})$

= $(t^{5} x^{2} - t^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} (t^{5} x^{2} - t^{3})$	=	0
$(t^{5} x^{2} - t^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{5} x^{2} - t^{3}$	=	0	\| - ( $- t^{3}$ )
$t^{5} x^{2}$	=	$t^{3}$	\|: $t^{5}$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{t^{2}}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{1}{t^{2}})}$	= $- \frac{1}{t}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{1}{t^{2}})}$	= $\frac{1}{t}$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- \frac{1}{t}$ , $\frac{1}{t}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen $- 1 \cdot \frac{1}{t}$ und $\frac{1}{t}$ in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
f_t'( $- 1 \cdot \frac{1}{t}$ ) = $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} {(- 1 \cdot \frac{1}{t})}^{2}} \cdot (- 1 \cdot \frac{1}{t})$ = $t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$
f_t'( $\frac{1}{t}$ ) = $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} {(\frac{1}{t})}^{2}} \cdot (\frac{1}{t})$ = $- t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt f_t'(x) = $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} x$ → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt f_t'(x) = $- t^{3} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2} x^{2}} x$ → 0 für alle t

Da die stetige Funktion f_t' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen $- 1 \cdot \frac{1}{t}$ und $\frac{1}{t}$ waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit f_t'( $- 1 \cdot \frac{1}{t}$ ) = $t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$
Die minimale Steigung ist somit f_t'( $\frac{1}{t}$ ) = $- t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung m_max = $t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$ ≈ $t^{2} \cdot 0,607$ zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 30° höchstens 0.577 sein, also berechnen wir das t für das $t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$ = 0.577 gilt:

$t^{2} \cdot 0,607$	=	$0,577$
$0,607 t^{2}$	=	$0,577$	\|: $0,607$
$t^{2}$	=	$0,95058$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{0,95058}$	≈ $- 0,975$
t₂	=	$\sqrt{0,95058}$	≈ $0,975$

Für t = 0.975 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 30° erreicht. (Es sind ja nur positive Werte für t zugelassen.)

Und weil ja die maximale Steigung m_max = f_t'( $- 1 \cdot \frac{1}{t}$ ) = $t^{2} e^{- \frac{1}{2}}$ mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 0.975 zulässig.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 9$

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$\ln (x) - 9$	=	0	\| $+ 9$
$\ln (x)$	=	$9$	\|e^(⋅)

x

=

e^{9}

L={ $e^{9}$ }

Parameter finden für Anzahl Nullstellen

Beispiel:

Bestimme diejenigen Werte von t, für die f_t mit f_t(x)= $t x^{5} + 12 x^{4} + t x^{3}$ genau zwei Nullstellen hat.

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Für die Nullstellen muss gelten: f_t(x)=0, also hier :
$t x^{5} + 12 x^{4} + t x^{3}$ = 0

$x^{3} \cdot (t x^{2} + 12 x + t)$ = 0

1. Fall : $x^{3}$ = 0
also x₁ = 0

2. Fall : $t x^{2} + 12 x + t$ = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot t \cdot t}}{2 (t)}$ = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 t^{2}}}{2 t}$

An der Diskriminante $144 - 4 t^{2}$ , also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

$144 - 4 t^{2}$	=	0
$- 4 t^{2} + 144$	=	0	\| $- 144$
$- 4 t^{2}$	=	$- 144$	\|: $(- 4)$
$t^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
t₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da ja x₁ = 0 unabhängig von t immer eine Nullstelle von f_t ist, können wir jetzt drei Fälle unterscheiden:

Für t < $- 6$ oder t > $6$ hat f_t genau eine Nullstelle, weil dort $144 - 4 t^{2}$ < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung $t x^{2} + 12 x + t$ keine reele Lösung hat.
(z.B. bei t = -7 ist die Diskriminante $144 - 4 \cdot {(- 7)}^{2}$ = $- 52$ und bei t = 7 ist die Diskriminante $144 - 4 \cdot 7^{2}$ = $- 52$ )
Für t = $- 6$ oder t = $6$ hat f_t genau zwei Nullstellen, weil dort ja die Diskriminante $144 - 4 t^{2}$ = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
Für $- 6$ < t < $6$ hat f_t genau drei Nullstellen, weil dort $144 - 4 t^{2}$ > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung $t x^{2} + 12 x + t$ je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
(z.B. bei t=0 ist die Diskriminante $144 - 4 \cdot 0^{2}$ = $144$ )

Der gesuchte Bereich mit "genau zwei Nullstellen" ist somit: t = $- 6$ oder t = $6$

$3 k$	=	$- 3$	\|: $3$
$k$	=	$- 1$

Aufgabenbeispiele von e-Funktion

Eigenschaften von e-Funktionen

Symmetrie e-Funktionen

e-Funktion Graph zu Term finden

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

e-Funktion Term zu Graph finden

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

Anwendungen e-Funktion

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten e-Funktion mit Parameter

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)

Parameter mit Graph bestimmen

Parameter für stärkste Steigung

Nullstellen bei ln-Funktionen

Parameter finden für Anzahl Nullstellen