Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $2e^{x+1}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $2e^{x+1}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $2e^{x+1}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $2e^{x+1}-1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $2e^{x+1}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+\left(e^{-x}-e^x\right)$ = $-x^3+e^{-x}-e^x$ = $-e^x+e^{-x}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+\left(e^x-e^{-x}\right)$ = $e^x-e^{-x}+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-e^x+e^{-x}-x^3$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-\left(x^3+e^x-e^{-x}\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $10·0^2·e^{-0}$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₁ = $\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₁ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

Schaubild 2

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-0·e^0$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₂ = 0
  • Für x → +∞ strebt f₂ = $-\infty$

Damit können wir f₂ ausschließen.

Schaubild 3

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-e^{-3\cdot 0}-0+1$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₃ = $-\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₃ = $-\infty$

Damit können wir f₃ ausschließen.

Schaubild 4

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $e^{-3\cdot 0}+0-1$ = 0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₄ = $\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₄ = $\infty$
• Punkte mit waagrechter Tangente:
  Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 0.37.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₄ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f₁(x) = $-7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}$

• f(1) = $-7·{\left(1-1\right)}^2·e^{-1}$ =0
• Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 1, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
  f'(x) = $-7·2\left(x-1\right)·\left(1+0\right)·e^{-x}-7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-14\left(x-1\right)·e^{-x}+7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}$
  f'(1) = $-14·\left(1-1\right)·e^{-1}+7·{\left(1-1\right)}^2·e^{-1}$ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

f₂(x) = $4\left(x-1\right)·e^{-x}$

• f(1) = $4·\left(1-1\right)·e^{-1}$ =0
• Für x → -∞ strebt f₂ = $4\left(x-1\right)·e^{-x}$ gegen " $4·-\infty ·\infty$" = $-\infty$
• Für x → +∞ strebt f₂ = $4\left(x-1\right)·e^{-x}$ gegen " $4\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f₂ ausschließen.

f₃(x) = $-11e^{-\mathrm{0,5}x}+11e^{-x}$

• f(1) = $-11e^{-\mathrm{0,5}\cdot 1}+11e^{-1}$ =-2.6251634039531

Damit können wir f₃ ausschließen.

f₄(x) = $7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}$

• f(1) = $7·{\left(1-1\right)}^2·e^{-1}$ =0
• Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 1, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
  f'(x) = $7·2\left(x-1\right)·\left(1+0\right)·e^{-x}+7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $14\left(x-1\right)·e^{-x}-7{\left(x-1\right)}^2·e^{-x}$
  f'(1) = $14·\left(1-1\right)·e^{-1}-7·{\left(1-1\right)}^2·e^{-1}$ = 0

Damit können wir f₄ ausschließen.

f₅(x) = $-2e^{-3x}-x+2$

• f(1) = $-2e^{-3\cdot 1}-1+2$ =0.90042586326427

Damit können wir f₅ ausschließen.

f₆(x) = $3\left(x-1\right)·e^x$

• f(1) = $3·\left(1-1\right)·e$ =0
• Für x → -∞ strebt f₆ = $3\left(x-1\right)·e^x$ gegen " $3·-\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)
• Für x → +∞ strebt f₆ = $3\left(x-1\right)·e^x$ gegen " $3\infty ·\infty$" = $\infty$
• Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
  f'(x) = $3·\left(1+0\right)·e^x+3\left(x-1\right)·e^x$ = $3e^x+3\left(x-1\right)·e^x$ = $3·e^x·\left(x+0\right)$ = 0
  nach x auflösen.

  $3·e^{x}x$	=	0
  $3x·e^x$	=	0

  Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

  1. Fall:

  x1

  =

  0

  
  

  2. Fall:

  $e^x$

  =

  $0$

  Diese Gleichung hat keine Lösung!

  
  Der Graph von f₆(x) = $3\left(x-1\right)·e^x$ hat also bei x = 0 einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₆ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $2^2·e^{-\mathrm{0,1}\cdot 2}$ = $4e^{-\mathrm{0,2}}$ ≈ 3.3

   
   
2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($20$|54.13) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $t^2·e^{-\mathrm{0,1}t}$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $2t·e^{-\mathrm{0,1}t}+t^2·e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(-\mathrm{0,1}\right)$

   = $e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(2t-\mathrm{0,1}{t}^2\right)$

   = $\left(-\mathrm{0,1}{t}^2+2t\right)e^{-\mathrm{0,1}t}$

   $\text{f''(t)}=$ $\left(-\mathrm{0,2}t+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}+\left(-\mathrm{0,1}{t}^2+2t\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(-\mathrm{0,1}\right)$

   = $e^{-\mathrm{0,1}t}·(-\mathrm{0,2}t+2+\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,2}t\right))$

   = $\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2\right)e^{-\mathrm{0,1}t}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\left(-\mathrm{0,1}{t}^2+2t\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}$

   =

   0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $-\mathrm{0,1}{t}^2+2t$	=	0
   $t\left(-\mathrm{0,1}t+2\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   t1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $-\mathrm{0,1}t+2$	=	0	| $-2$
   $-\mathrm{0,1}t$	=	$-2$	|:($-\mathrm{0,1}$)
   t2	=	$20$

   
   

   2. Fall:

   $e^{-\mathrm{0,1}t}$

   =

   $0$

   Diese Gleichung hat keine Lösung!

   Die Lösungen 0, $20$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

   
   

   1.: t=$0$

   f''($0$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}·(-\mathrm{0,2}\cdot 0+2+\left(\mathrm{0,01}\cdot 0^2-\mathrm{0,2}\cdot 0\right))$= $e^0·(0+2+\left(\mathrm{0,01}\cdot 0+0\right))$= $2e^0$ >0

   Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($0$) = $0^2·e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}$ = 0
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

   
   

   2.: t=$20$

   f''($20$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot 20}·(-\mathrm{0,2}\cdot 20+2+\left(\mathrm{0,01}\cdot {20}^2-\mathrm{0,2}\cdot 20\right))$= $e^{-2}·(-4+2+\left(\mathrm{0,01}\cdot 400-4\right))$= $-2e^{-2}$ <0

   Das heißt bei t = $20$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($20$) = ${20}^2·e^{-\mathrm{0,1}\cdot 20}$ = $400e^{-2}$ ≈ 54.134
   Man erhält so den Hochpunkt H:($20$| $400e^{-2}$)

   ≈ H:(20|54.134)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $0^2·e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

   Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

   Bei t = $20$ ist also der größte Wert der Funktion.

   
   
3. t-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.

   Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

   f'(t)= $2x·e^{-\mathrm{0,1}x}+x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)$

   = $e^{-\mathrm{0,1}x}\left(-\mathrm{0,1}{x}^2+2x\right)$

   Wir berechnen also die Extremstellen von f':

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung ($\mathrm{5,8579}$|4.61) einblenden

   $\text{f'(t)}=$ $e^{-\mathrm{0,1}t}\left(-\mathrm{0,1}{t}^2+2t\right)$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(t)}=$ $e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(-\mathrm{0,1}\right)·\left(-\mathrm{0,1}{t}^2+2t\right)+e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(-\mathrm{0,2}t+2\right)$

   = $e^{-\mathrm{0,1}t}·(-\mathrm{0,2}t+2+\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,2}t\right))$

   = $\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2\right)e^{-\mathrm{0,1}t}$

   $\text{f'''(t)}=$ $\left(\mathrm{0,02}t-\mathrm{0,4}+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}+\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(-\mathrm{0,1}\right)$

   = $e^{-\mathrm{0,1}t}·\left(\mathrm{0,02}t-\mathrm{0,4}-\mathrm{0,001}{t}^2+\mathrm{0,04}t-\mathrm{0,2}\right)$

   = $\left(-\mathrm{0,001}{t}^2+\mathrm{0,06}t-\mathrm{0,6}\right)e^{-\mathrm{0,1}t}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}t}$

   =

   0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 = $\frac{+\mathrm{0,4}\pm \sqrt{{\left(-\mathrm{0,4}\right)}^2-4·\mathrm{0,01}·2}}{2\cdot \mathrm{0,01}}$

   t_1,2 = $\frac{+\mathrm{0,4}\pm \sqrt{\mathrm{0,16}-\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$

   t_1,2 = $\frac{+\mathrm{0,4}\pm \sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$

   t₁ = $\frac{\mathrm{0,4}+\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$ ≈ 34.14

   t₂ = $\frac{\mathrm{0,4}-\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$ ≈ 5.86

   
   

   2. Fall:

   $e^{-\mathrm{0,1}t}$

   =

   $0$

   Diese Gleichung hat keine Lösung!

   Die Lösungen $\frac{\mathrm{0,4}-\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$, $\frac{\mathrm{0,4}+\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

   Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)>0).

   
   

   1.: t=$\mathrm{5,8579}$

   f'''($\mathrm{5,8579}$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{5,8579}}·\left(\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{5,8579}-\mathrm{0,4}-\mathrm{0,001}\cdot {\mathrm{5,8579}}^2+\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{5,8579}-\mathrm{0,2}\right)$= $e^{-\mathrm{0,58579}}·\left(\mathrm{0,1172}-\mathrm{0,4}-\mathrm{0,001}\cdot \mathrm{34,315}+\mathrm{0,2343}-\mathrm{0,2}\right)$= $-\mathrm{0,2828}{e}^{-\mathrm{0,58579}}$ <0

   Das heißt bei t = $\mathrm{5,8579}$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
   f'($\mathrm{5,8579}$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{5,8579}}·\left(-\mathrm{0,1}\cdot {\mathrm{5,8579}}^2+2\cdot \mathrm{5,8579}\right)$ = $\mathrm{8,2843}{e}^{-\mathrm{0,58579}}$ ≈ 4.612
   Man erhält so den Hochpunkt H:($\mathrm{5,8579}$| $\mathrm{8,2843}{e}^{-\mathrm{0,58579}}$)

   ≈ H:(5.858|4.612)

   
   

   2.: t=$\mathrm{34,1421}$

   f'''($\mathrm{34,1421}$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{34,1421}}·\left(\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{34,1421}-\mathrm{0,4}-\mathrm{0,001}\cdot {\mathrm{34,1421}}^2+\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{34,1421}-\mathrm{0,2}\right)$= $e^{-\mathrm{3,41421}}·\left(\mathrm{0,6828}-\mathrm{0,4}-\mathrm{0,001}\cdot \mathrm{1165,683}+\mathrm{1,3657}-\mathrm{0,2}\right)$= $\mathrm{0,2828}{e}^{-\mathrm{3,41421}}$ >0

   Das heißt bei t = $\mathrm{34,1421}$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
   f'($\mathrm{34,1421}$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{34,1421}}·\left(-\mathrm{0,1}\cdot {\mathrm{34,1421}}^2+2\cdot \mathrm{34,1421}\right)$ = $-\mathrm{48,2841}{e}^{-\mathrm{3,41421}}$ ≈ -1.589
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{34,1421}$| $-\mathrm{48,2841}{e}^{-\mathrm{3,41421}}$)

   ≈ T:(34.142|-1.589)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0}·\left(-\mathrm{0,1}\cdot 0^2+2\cdot 0\right)$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → 0.

   Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

   Bei t = $\mathrm{5,8579}$ ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.

$\text{f(x)}=$ $4e^{3t^{2}x+t}$

$\text{f'(x)}=$ $4e^{3t^{2}x+t}·3t^2$

= $12t^2{e}^{3t^{2}x+t}$

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A($2$| $35$) in f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}x·e^{-2tx+4t}+30t$ :

$35$ = f($2$)

$35$ = $\frac{5}{2}·2·e^{-2t\cdot 2+4t}+30t$

$35$ = $\frac{5}{2}·2·e^{-4t+4t}+30t$

$35$ = $\frac{5}{2}·2·e^0+30t$

$35$ = $\frac{5}{2}·2·1+30t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $30t+5$ = $35$ nach t auflösen.

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $e^{t^2{x}^2-t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{t^2{x}^2-t^{2}x}·\left(2t^{2}x-t^2\right)$

= $\left(2t^{2}x-t^2\right)e^{t^2{x}^2-t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$) = $e^{t^2\cdot 1^2-t^2\cdot 1}·\left(2t^2\cdot 1-t^2\right)$ = $e^0·\left(2t^2-t^2\right)$ = $t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $4$x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $t^2$ soll gleich $4$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t^2$ = $4$ nach t auf.

Für t= $-2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{9}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $2k$ = -1 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier m_max=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von f_t .

$\text{f(x)}=$ $3t^2{e}^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3t^2{e}^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-4\cdot \frac{1}{t^2}x\right)$

= $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$

= $-12x{e}^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

$\text{f''(x)}=$ $-12e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-4\cdot \frac{1}{t^2}x\right)·x-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·1$

= $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·(-4\cdot \frac{1}{t^2}x·x)-12e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $48\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x·x-12e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $48\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}{x}^2-12e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(48\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-12\right)$

= $\left(48\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-12\right)·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-\frac{1}{2}t$, $\frac{1}{2}t$ sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen $-\frac{1}{2}t$ und $\frac{1}{2}t$ in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
f_t'($-\frac{1}{2}t$) = $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{\left(-\frac{1}{2}t\right)}^2}·\left(-\frac{1}{2}t\right)$ = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$
f_t'($\frac{1}{2}t$) = $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{\left(\frac{1}{2}t\right)}^2}·\left(\frac{1}{2}t\right)$ = $-6t{e}^{-\frac{1}{2}}$

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt f_t'(x) = $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt f_t'(x) = $-12·e^{-2\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t

Da die stetige Funktion f_t' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen $-\frac{1}{2}t$ und $\frac{1}{2}t$ waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit f_t'($-\frac{1}{2}t$) = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$
Die minimale Steigung ist somit f_t'($\frac{1}{2}t$) = $-6t{e}^{-\frac{1}{2}}$

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung m_max = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ ≈ $6t·\mathrm{0,607}$ zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ = 1 gilt:

Für t = 0.275 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.

Und weil ja die maximale Steigung m_max = f_t'($-\frac{1}{2}t$) = $6t{e}^{-\frac{1}{2}}$ mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 0.275 zulässig.

L={ $e^{10}$}

Für die Nullstellen muss gelten: f_t(x)=0, also hier :
$x^2-tx-6t$ = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x_1,2 = $\frac{+1t\pm \sqrt{{\left(-1t\right)}^2-4·1·\left(-6t\right)}}{$ 2\cdot 1$}$ = $\frac{+1t\pm \sqrt{t^2+24t}}{$ 2$}$

An der Diskriminante $t^2+24t$, also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Jetzt können wir drei Fälle unterscheiden:

• Für $-24$ < t < 0 hat f_t keine Nullstelle, weil dort $t^2+24t$ < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung $x^2-tx-6t$ keine reele Lösung hat.
  (z.B. bei t=-12 ist die Diskriminante ${\left(-12\right)}^2+24\cdot \left(-12\right)$ = $-144$)
• Für t = $-24$ oder t =0 hat f_t genau eine Nullstelle, weil dort ja die Diskriminante $t^2+24t$ = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
• Für t < $-24$ oder t > 0 hat f_t genau zwei Nullstellen, weil dort $t^2+24t$ > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung $x^2-tx-6t$ je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
  (z.B. bei t = -25 ist die Diskriminante ${\left(-25\right)}^2+24\cdot \left(-25\right)$ = $25$ und bei t = 1 ist die Diskriminante $1^2+24\cdot 1$ = $25$)

Der gesuchte Bereich mit "genau zwei Nullstellen" ist somit: t < $-24$ oder t > 0