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Aufgabenbeispiele von Versch. Parabel -> y statt f(x)

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Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(0|-3) liegt.

Die Parabel ist also um -3 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -3.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 3$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x - 2)}^{2}$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x - 2)}^{2}$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2}$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(2|0).

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(4|2) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x - 4)}^{2} + 2$ .

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 2)}^{2} - 5$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 2)}^{2} - 5$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -5. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-2|-5).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-1|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(2|-4). Bestimme die y-Koordinate von P.

Lösung einblenden

1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x - 2)}^{2} - 4$ sein.

Setzt man nun x=-1 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 1 - 2)}^{2} - 4$ = $9 - 4$ = $5$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 3 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 3²=9 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 9 drauf addiert, also y = -4+9 = 5.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-1|5).