Aufgabenbeispiele von Versch. Parabel -> y statt f(x)
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Term aus Schaubild (einfach)
Beispiel:
Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(0|1) liegt.
Die Parabel ist also um 1 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach y= x2+e, in diesem Fall mit e= 1.
Der gesuchte Funktionsterm ist also: y= x2+1.
Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen
Beispiel:
Die Funktion f mit y= x2+4 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.
Der gesuchte Funktionsterm y= x2+4 ist ein Spezialfall von x2+e. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=4. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|4).
Term aus Schaubild - Normalparabel
Beispiel:
Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(2|-5) liegt.
Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± (x-d)2+e.
Weil (x-d)2 nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier (x-d)2 gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu (x-d)2 noch e addieren.
Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= (x-2)2-5.
Scheitel von (x-d)²+e ablesen
Beispiel:
Die Funktion f mit y= (x+9)2-7 ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.
Der gesuchte Funktionsterm y= (x+9)2-7 ist ein Spezialfall von (x-d)2+e. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-9 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-9|-7).
Weiterer Wert bei Normalparabel
Beispiel:
Der Punkt P(-3|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(-1|-5). Bestimme die y-Koordinate von P.
1. Weg
Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= (x-d)2+e.
Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel y= (x+1)2-5 sein.
Setzt man nun x=-3 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = (-3+1)2-5 = 4-5= -1.
2. Weg
Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = -5+4 = -1.
Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-3|-1).