Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|-2) liegt.

Die Parabel ist also um -2 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $\text{y}=$ $x^2+e$, in diesem Fall mit e= -2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $\text{y}=$ $x^2-2$.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ $x^2+9$ ist ein Spezialfall von $x^2+e$. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=9. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|9).

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(1|1) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x-d)}^2+e$.

Weil ${(x-d)}^2$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x-d)}^2$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x-d)}^2$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${\left(x-1\right)}^2+1$.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x-3\right)}^2+1$ ist ein Spezialfall von ${(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(3|1).

1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $\text{y}=$ ${(x-d)}^2+e$.

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $\text{y}=$ ${\left(x-3\right)}^2-5$ sein.

Setzt man nun x=5 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${\left(5-3\right)}^2-5$ = $4-5$= $-1$.

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = -5+4 = -1.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(5|-1).