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Aufgabenbeispiele von Versch. Parabel -> y statt f(x)

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Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(0|-3) liegt.

Die Parabel ist also um -3 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -3.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 3$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x - 3)}^{2}$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x - 3)}^{2}$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2}$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(3|0).

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(1|-1) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil - ${(x - d)}^{2}$ nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= $- {(x - 1)}^{2} - 1$ .

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 3)}^{2} - 4$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 3)}^{2} - 4$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -4. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-3|-4).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-1|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(-2|3). Bestimme die y-Koordinate von P.

Lösung einblenden

1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 2)}^{2} + 3$ sein.

Setzt man nun x=-1 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 1 + 2)}^{2} + 3$ = $1 + 3$ = $4$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-1|4).