Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2+3x$	=	0
$x\left(2x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-\frac{3}{2}$; 0}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$4x^2-20x$	=	0
$4x\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $5$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+5}}{2}$ = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|y) mit y = $4\cdot {\mathrm{2,5}}^2-20\cdot \mathrm{2,5}$ = $25-50$ = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=5 , Scheitel: S(2.5|-25).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+3$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+3$

= ${\left(x-3\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+3$ = $9-18+3$ = -6

also: S(3|-6).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+3x-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x+9-9\right)-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x+9\right)+\frac{1}{2}·\left(-9\right)-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2-\frac{9}{2}-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2-\frac{13}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+3x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+3x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+3x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+3x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+3x\right)$	=	0
$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+3\cdot \left(-3\right)-2$ = $\frac{9}{2}-9-2$ = -6.5

also: S(-3|-6.5).