Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+7x$	=	0
$x·\left(x+7\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-7$; 0}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2-12x$	=	0
$3x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+4}}{2}$ = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|y) mit y = $3\cdot 2^2-12\cdot 2$ = $12-24$ = -12.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=4 , Scheitel: S(2|-12).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-2$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-2$

= ${\left(x-3\right)}^2-11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-2$ = $9-18-2$ = -11

also: S(3|-11).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x-4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+2x\right)-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+2x+1-1\right)-4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+2x+1\right)+\frac{1}{2}·\left(-1\right)-4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2-\frac{1}{2}-4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2-\frac{9}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+x\right)$	=	0
$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-1-4$ = $\frac{1}{2}-1-4$ = -4.5

also: S(-1|-4.5).