Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$5x^2-7x$	=	0
$x·\left(5x-7\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{7}{5}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+x$	=	0
$x·\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-1+0}}{2}$ = -0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-0.5|y) mit y = ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2-\mathrm{0,5}$ = $\mathrm{0,25}-\mathrm{0,5}$ = -0.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-1 und x₂=0 , Scheitel: S(-0.5|-0.25).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-2$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-2$

= ${\left(x-5\right)}^2-27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-2$ = $25-50-2$ = -27

also: S(5|-27).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-5x-4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-10x\right)-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2-10x+25-25\right)-4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-10x+25\right)+\frac{1}{2}·\left(-25\right)-4$

= $\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^2-\frac{25}{2}-4$

= $\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^2-\frac{33}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-16.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2-5x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2-5x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2-5x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2-5x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2-5x\right)$	=	0
$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot 5^2-5\cdot 5-4$ = $\frac{25}{2}-25-4$ = -16.5

also: S(5|-16.5).