Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$5x^2-7x$	=	0
$x\left(5x-7\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{7}{5}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$4x^2+4x$	=	0
$4x\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-1+0}}{2}$ = -0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-0.5|y) mit y = $4\cdot {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2+4\cdot \left(-\mathrm{0,5}\right)$ = $1-2$ = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-1 und x₂=0 , Scheitel: S(-0.5|-1).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+1$ = $1-2+1$ = 0

also: S(1|0).

1. Weg

$\text{y}=$ $3x^2+24x+5$

= $3\left(x^2+8x\right)+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3\left(x^2+8x+16-16\right)+5$

= $3\left(x^2+8x+16\right)+3·\left(-16\right)+5$

= $3{\left(x+4\right)}^2-48+5$

= $3{\left(x+4\right)}^2-43$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-43).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3x^2+24x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3x^2+24x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3x^2+24x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3x^2+24x$	=	0
$3x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = $3\cdot {\left(-4\right)}^2+24\cdot \left(-4\right)+5$ = $48-96+5$ = -43

also: S(-4|-43).