Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-5x$	=	0
$x\left(2x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{5}{2}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-x$	=	0
$x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+1}}{2}$ = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|y) mit y = ${\mathrm{0,5}}^2-\mathrm{0,5}$ = $\mathrm{0,25}-\mathrm{0,5}$ = -0.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=1 , Scheitel: S(0.5|-0.25).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-1$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-1$

= ${\left(x+4\right)}^2-17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-1$ = $16-32-1$ = -17

also: S(-4|-17).

1. Weg

$\text{y}=$ $2x^2+16x+2$

= $2\left(x^2+8x\right)+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2+8x+16-16\right)+2$

= $2\left(x^2+8x+16\right)+2·\left(-16\right)+2$

= $2{\left(x+4\right)}^2-32+2$

= $2{\left(x+4\right)}^2-30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2+16x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2+16x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2+16x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2+16x$	=	0
$2x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = $2\cdot {\left(-4\right)}^2+16\cdot \left(-4\right)+2$ = $32-64+2$ = -30

also: S(-4|-30).