Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-9x$	=	0
$x\left(2x-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{9}{2}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2+12x$	=	0
$3x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-4+0}}{2}$ = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|y) mit y = $3\cdot {\left(-2\right)}^2+12\cdot \left(-2\right)$ = $12-24$ = -12.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-4 und x₂=0 , Scheitel: S(-2|-12).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+3$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+3$

= ${\left(x-4\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4+3$ = $16-32+3$ = -13

also: S(4|-13).

1. Weg

$\text{y}=$ $3x^2+6x+4$

= $3\left(x^2+2x\right)+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3\left(x^2+2x+1-1\right)+4$

= $3\left(x^2+2x+1\right)+3·\left(-1\right)+4$

= $3{\left(x+1\right)}^2-3+4$

= $3{\left(x+1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3x^2+6x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3x^2+6x$	=	0
$3x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = $3\cdot {\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)+4$ = $3-6+4$ = 1

also: S(-1|1).