Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$4x^2+16x$	=	0
$4x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-4+0}}{2}$ = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|y) mit y = $4\cdot {\left(-2\right)}^2+16\cdot \left(-2\right)$ = $16-32$ = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-4 und x₂=0 , Scheitel: S(-2|-16).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-3$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-3$

= ${\left(x-5\right)}^2-28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-3$ = $25-50-3$ = -28

also: S(5|-28).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25-25\right)-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25\right)+\frac{1}{2}·\left(-25\right)-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{25}{2}-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{29}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-14.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+5x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+5x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+5x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+5x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+5x\right)$	=	0
$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-5\right)}^2+5\cdot \left(-5\right)-2$ = $\frac{25}{2}-25-2$ = -14.5

also: S(-5|-14.5).