Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+3x$	=	0
$x\left(x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-3+0}}{2}$ = -1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1.5|y) mit y = ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2+3\cdot \left(-\mathrm{1,5}\right)$ = $\mathrm{2,25}-\mathrm{4,5}$ = -2.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-3 und x₂=0 , Scheitel: S(-1.5|-2.25).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-4$ = $16-32-4$ = -20

also: S(-4|-20).

1. Weg

$\text{y}=$ $3x^2+24x-3$

= $3\left(x^2+8x\right)-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3\left(x^2+8x+16-16\right)-3$

= $3\left(x^2+8x+16\right)+3·\left(-16\right)-3$

= $3{\left(x+4\right)}^2-48-3$

= $3{\left(x+4\right)}^2-51$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-51).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3x^2+24x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3x^2+24x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3x^2+24x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3x^2+24x$	=	0
$3x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = $3\cdot {\left(-4\right)}^2+24\cdot \left(-4\right)-3$ = $48-96-3$ = -51

also: S(-4|-51).