Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-9x$	=	0
$x·\left(2x-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{9}{2}$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2-9x$	=	0
$3x·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+3}}{2}$ = 1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1.5|y) mit y = $3\cdot {\mathrm{1,5}}^2-9\cdot \mathrm{1,5}$ = $\mathrm{6,75}-\mathrm{13,5}$ = -6.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=3 , Scheitel: S(1.5|-6.75).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+3$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+3$

= ${\left(x-1\right)}^2+2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+3$ = $1-2+3$ = 2

also: S(1|2).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x+1$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x\right)+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25-25\right)+1$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25\right)+\frac{1}{2}·\left(-25\right)+1$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{25}{2}+1$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{23}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-11.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+5x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+5x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+5x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+5x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+5x\right)$	=	0
$x^2+10x$	=	0
$x·\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-5\right)}^2+5\cdot \left(-5\right)+1$ = $\frac{25}{2}-25+1$ = -11.5

also: S(-5|-11.5).