Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-9x$	=	0
$x\left(x-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $9$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2-15x$	=	0
$3x\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $5$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+5}}{2}$ = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|y) mit y = $3\cdot {\mathrm{2,5}}^2-15\cdot \mathrm{2,5}$ = $\mathrm{18,75}-\mathrm{37,5}$ = -18.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=5 , Scheitel: S(2.5|-18.75).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+2$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+2$

= ${\left(x-2\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+2$ = $4-8+2$ = -2

also: S(2|-2).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-8x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2-8x+16-16\right)-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-8x+16\right)+\frac{1}{2}·\left(-16\right)-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2-8-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2-10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2-4x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2-4x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2-4x\right)$	=	0
$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot 4^2-4\cdot 4-2$ = $8-16-2$ = -10

also: S(4|-10).