Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2+2x$	=	0
$2x·\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2+15x$	=	0
$3x·\left(x+5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-5+0}}{2}$ = -2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2.5|y) mit y = $3\cdot {\left(-\mathrm{2,5}\right)}^2+15\cdot \left(-\mathrm{2,5}\right)$ = $\mathrm{18,75}-\mathrm{37,5}$ = -18.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-5 und x₂=0 , Scheitel: S(-2.5|-18.75).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+2$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+2$

= ${\left(x+4\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x·\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+2$ = $16-32+2$ = -14

also: S(-4|-14).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+3x+4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x\right)+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x+9-9\right)+4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+6x+9\right)+\frac{1}{2}·\left(-9\right)+4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2-\frac{9}{2}+4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2-\frac{1}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-0.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+3x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+3x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+3x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+3x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+3x\right)$	=	0
$x^2+6x$	=	0
$x·\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+3\cdot \left(-3\right)+4$ = $\frac{9}{2}-9+4$ = -0.5

also: S(-3|-0.5).