Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+5x$	=	0
$x\left(x+5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-x$	=	0
$x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+1}}{2}$ = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|y) mit y = ${\mathrm{0,5}}^2-\mathrm{0,5}$ = $\mathrm{0,25}-\mathrm{0,5}$ = -0.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=1 , Scheitel: S(0.5|-0.25).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-5$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-5$

= ${\left(x+5\right)}^2-30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-5$ = $25-50-5$ = -30

also: S(-5|-30).

1. Weg

$\text{y}=$ $3x^2-24x+5$

= $3\left(x^2-8x\right)+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3\left(x^2-8x+16-16\right)+5$

= $3\left(x^2-8x+16\right)+3·\left(-16\right)+5$

= $3{\left(x-4\right)}^2-48+5$

= $3{\left(x-4\right)}^2-43$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-43).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3x^2-24x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3x^2-24x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3x^2-24x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3x^2-24x$	=	0
$3x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $3\cdot 4^2-24\cdot 4+5$ = $48-96+5$ = -43

also: S(4|-43).