Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-9x$	=	0
$x\left(x-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $9$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$3x^2-3x$	=	0
$3x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+1}}{2}$ = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|y) mit y = $3\cdot {\mathrm{0,5}}^2-3\cdot \mathrm{0,5}$ = $\mathrm{0,75}-\mathrm{1,5}$ = -0.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=1 , Scheitel: S(0.5|-0.75).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4-4$

= ${\left(x+2\right)}^2-4-4$

= ${\left(x+2\right)}^2-8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-4$ = $4-8-4$ = -8

also: S(-2|-8).

1. Weg

$\text{y}=$ $2x^2+12x-1$

= $2\left(x^2+6x\right)-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2+6x+9-9\right)-1$

= $2\left(x^2+6x+9\right)+2·\left(-9\right)-1$

= $2{\left(x+3\right)}^2-18-1$

= $2{\left(x+3\right)}^2-19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2+12x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2+12x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2+12x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2+12x$	=	0
$2x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = $2\cdot {\left(-3\right)}^2+12\cdot \left(-3\right)-1$ = $18-36-1$ = -19

also: S(-3|-19).