Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-3x$	=	0
$x·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$}

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$4x^2+8x$	=	0
$4x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-2+0}}{2}$ = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|y) mit y = $4\cdot {\left(-1\right)}^2+8\cdot \left(-1\right)$ = $4-8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-2 und x₂=0 , Scheitel: S(-1|-4).

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x·\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4-5$ = $16-32-5$ = -21

also: S(4|-21).

1. Weg

$\text{y}=$ $3x^2-18x+1$

= $3\left(x^2-6x\right)+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3\left(x^2-6x+9-9\right)+1$

= $3\left(x^2-6x+9\right)+3·\left(-9\right)+1$

= $3{\left(x-3\right)}^2-27+1$

= $3{\left(x-3\right)}^2-26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3x^2-18x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3x^2-18x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3x^2-18x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3x^2-18x$	=	0
$3x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3\cdot 3^2-18\cdot 3+1$ = $27-54+1$ = -26

also: S(3|-26).