Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\left(x-1\right)\left(x-5\right)$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2-4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Der Funktionterm $\left(x-1\right)\left(x-3\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $x^2-4x+3$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{y}=$ $\left(x-1\right)\left(x-3\right)$ bereits der gesuchte Term.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a·\left(2-1\right)·\left(2-3\right)$ = $-a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$-2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·x·\left(x-4\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a·1·\left(1-4\right)$ = $-3a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{3}x\left(x-4\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $-\frac{1}{3}x\left(x-4\right)$

= $-\frac{1}{3}(x·x+x·\left(-4\right))$

= $-\frac{1}{3}(x·x-4x)$

= $-\frac{1}{3}\left(x^2-4x\right)$

= $-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{4}{3}x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{4}{3}x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $5x^2-20$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{y}=$ $a·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-2\right)+2·x+2·\left(-2\right))$

= $a·(x·x-2x+2x-4)$

= $a·\left(x^2-4\right)$

Für a = 5 ergibt sich also tatsächlich:

$5\left(x^2-4\right)$ = $5x^2-20$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{y}=$ $5\left(x+2\right)\left(x-2\right)$