Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\left(x+4\right)\left(x+2\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{y}=$ $x\left(x-3\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a·\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $-a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$-1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·x·\left(x-3\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a·(-1·\left(-1-3\right))$ = $4a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{4}x\left(x-3\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $\frac{1}{4}x\left(x-3\right)$

= $\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-3\right))$

= $\frac{1}{4}(x·x-3x)$

= $\frac{1}{4}\left(x^2-3x\right)$

= $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{4}x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{4}x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2-2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+3\right)·\left(x-1\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $-4x^2-8x+12$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{y}=$ $a·\left(x+3\right)·\left(x-1\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-1\right)+3·x+3·\left(-1\right))$

= $a·(x·x-x+3x-3)$

= $a·\left(x^2+2x-3\right)$

Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:

$-4\left(x^2+2x-3\right)$ = $-4x^2-8x+12$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{y}=$ $-4\left(x+3\right)\left(x-1\right)$