Aufgabenbeispiele von zusammengesetzt

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Berechnung von Volumen

Beispiel:

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Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
VZ = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V1 = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(4 cm)² ⋅ 4 cm = 64π cm³ ≈ 201,06 cm³

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V2 = 1 2 4 3 π⋅r³ = 2 3 ⋅ π ⋅(4 cm)³ = 128 3 π cm³ ≈ 134,04 cm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V1 + V2 ≈ 201,06 cm² + 134,04 cm² ≈ 335,1 cm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

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Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Pyramide bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 7 m⋅7 m + 2⋅7 m⋅2 m + 2⋅7 m⋅2 m
= 49 m² + 28 m² + 28 m²
105 m²

Bei der draufliegenden Pyramide besteht die sichtbare Oberfläche nur aus den 4 gleichen Seitenflächen. Um deren Flächeninhalt zu berechnen, brauchen wir außer der Grundseitenlänge a = 7 m auch noch die Höhe eines Seitendreicks. Diese können wir als Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a 2 = 3.5 m und h = 2 m berechnen, da ja der Fuß der Höhe genau in der Mitte der Grundfläche liegt. Es gilt also:
ha² = ( a 2 )² + h², oder eben ha = ( a 2 )² + h² = 12.25 + 49 = 61.25 ≈ 7,83 m

Damit können wir den Mantel der Pyramide berechnen: O2 = 4 ⋅ 1 2 ⋅a⋅ha = 2⋅a⋅ha ≈ = 2⋅7 m⋅7,83 m ≈ 109,57 m²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 105 m² + 109,57 m² ≈ 214,57 m²