Aufgabenbeispiele von zusammengesetzt
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Berechnung von Volumen
Beispiel:
Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.
Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
VZ = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.
V1 = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(2 cm)² ⋅ 3 cm = 12π cm³ ≈ 37,7 cm³
Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V2 = ⋅ π⋅r³ = ⋅ π
⋅(2 cm)³ = π cm³ ≈
16,76 cm³
Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V1 + V2 ≈ 37,7 cm² + 16,76 cm² ≈ 54,5 cm²
Berechnung von Oberflächeninhalt
Beispiel:
Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.
Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:
O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 6 cm⋅5 cm +
2⋅6 cm⋅3 cm + 2⋅5 cm⋅3 cm
=
30 cm² + 36 cm² + 30 cm²
96 cm²
Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 3 cm,
also 2⋅πr² = π⋅3² cm²
≈ 28,27 cm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt)
die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=5 cm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius
r==3 cm, also U = π⋅r = 3π cm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 3²π cm
+ π⋅3⋅5 cm = 24⋅π cm² ≈
75,4 cm².
Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 96 cm² + 75,4 cm² ≈ 171,4 cm²