$-2\sqrt{-3x+15}$

=

$6$

|:($-2$)

$\sqrt{-3x+15}$ = $-3$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{2x+7}$	=	$-x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+7$	=	${\left(-x-2\right)}^2$

$2x+7$

=

$x^2+4x+4$

| $-x^2$ $-4x$ $-4$

$-x^2-2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{2x+7}$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-3\right)+7}$ = $\sqrt{-6+7}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-3$ in $-x-2$ $=$ $-\left(-3\right)-2$ = $3-2$ = $1$

Also 1 = 1

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{2x+7}$ $=$ $\sqrt{2\cdot 1+7}$ = $\sqrt{2+7}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $1$ in $-x-2$ $=$ $-1-2$ = $-3$

Also 3 ≠ -3

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{9x+112}$	=	$\sqrt{5x+60}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+112$	=	${\left(\sqrt{5x+60}+2\right)}^2$

$9x+112$	=	$4\sqrt{5x+60}+5x+64$	| $-9x$ $-112$ $-4\sqrt{5x+60}$
$-4\sqrt{5x+60}$	=	$-4x-48$	|:($-4$)
$\sqrt{5x+60}$	=	$x+12$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+60$	=	${\left(x+12\right)}^2$

$5x+60$

=

$x^2+24x+144$

| $-x^2$ $-24x$ $-144$

$-x^2-19x-84$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{{\left(-19\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-84\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{361-336}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{19+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{-2}$ = $-12$

x₂ = $\frac{19-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{-2}$ = $-7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-12$

Linke Seite: x = $-12$ in $\sqrt{9x+112}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-12\right)+112}$ = $\sqrt{-108+112}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-12$ in $\sqrt{5x+60}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-12\right)+60}+2$ = $\sqrt{-60+60}+2$ = $\sqrt{0}+2$ = $0+2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-12$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-7$

Linke Seite: x = $-7$ in $\sqrt{9x+112}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-7\right)+112}$ = $\sqrt{-63+112}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $-7$ in $\sqrt{5x+60}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-7\right)+60}+2$ = $\sqrt{-35+60}+2$ = $\sqrt{25}+2$ = $5+2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $-7$ ist somit eine Lösung !

L={ $-12$; $-7$}