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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $9$

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $3 \sqrt{8 + 1}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x + 114}$ = $2 \sqrt{3 x + 27}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x + 114}$	=	$2 \sqrt{3 x + 27}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x + 114$	=	${(2 \sqrt{3 x + 27})}^{2}$

$13 x + 114$	=	$4 (3 x + 27)$
$13 x + 114$	=	$12 x + 108$	\| $- 114$
$13 x$	=	$12 x - 6$	\| $- 12 x$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{13 x + 114}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot (- 6) + 114}$

= $\sqrt{- 78 + 114}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{3 x + 27}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 6) + 27}$

= $2 \sqrt{- 18 + 27}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 23}$ = $\sqrt{5 x - 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 23}$	=	$\sqrt{5 x - 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 23$	=	${(\sqrt{5 x - 15} + 2)}^{2}$

$9 x - 23$	=	$4 \sqrt{5 x - 15} + 5 x - 11$	\| $- 9 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{5 x - 15}$
$- 4 \sqrt{5 x - 15}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 15}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 15$	=	${(x - 3)}^{2}$

5 x - 15

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{9 x - 23}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 3 - 23}$

= $\sqrt{27 - 23}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 15} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 15} + 2$

= $\sqrt{15 - 15} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{9 x - 23}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 8 - 23}$

= $\sqrt{72 - 23}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{5 x - 15} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 8 - 15} + 2$

= $\sqrt{40 - 15} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$