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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 6}$ = $- 2$

$- \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot 1 + 6}$

= $- \sqrt{- 2 + 6}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 51}$ = $3 \sqrt{2 x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 51}$	=	$3 \sqrt{2 x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 51$	=	${(3 \sqrt{2 x + 6})}^{2}$

$15 x + 51$	=	$9 (2 x + 6)$
$15 x + 51$	=	$18 x + 54$	\| $- 51$
$15 x$	=	$18 x + 3$	\| $- 18 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{15 x + 51}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 1) + 51}$

= $\sqrt{- 15 + 51}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 4}$ = $\sqrt{2 x + 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 4}$	=	$\sqrt{2 x + 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 4$	=	${(\sqrt{2 x + 3} + 1)}^{2}$

$4 x + 4$	=	$2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x + 4$	\| $- 4 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{2 x + 3}$
$- 2 \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 4}$

= $\sqrt{- 4 + 4}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3} + 1$

= $\sqrt{- 2 + 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 4}$

= $\sqrt{12 + 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 1$

= $\sqrt{6 + 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$