$3\sqrt{-3x+3}$	=	$9$	|:$3$
$\sqrt{-3x+3}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-3x+3$	=	$3^2$

$-3x+3$	=	$9$	| $-3$
$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $3\sqrt{-3x+3}$ $=$ $3\sqrt{-3\cdot \left(-2\right)+3}$ = $3\sqrt{6+3}$ = $3\sqrt{9}$ = $9$

Rechte Seite: x = $-2$ in $9$ $=$ $9$

Also 9 = 9

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{37x+65}$	=	$3\sqrt{4x+8}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37x+65$	=	${\left(3\sqrt{4x+8}\right)}^2$

$37x+65$	=	$9\left(4x+8\right)$
$37x+65$	=	$36x+72$	| $-65$
$37x$	=	$36x+7$	| $-36x$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite: x = $7$ in $\sqrt{37x+65}$ $=$ $\sqrt{37\cdot 7+65}$ = $\sqrt{259+65}$ = $\sqrt{324}$ = $18$

Rechte Seite: x = $7$ in $3\sqrt{4x+8}$ $=$ $3\sqrt{4\cdot 7+8}$ = $3\sqrt{28+8}$ = $3\sqrt{36}$ = $18$

Also 18 = 18

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$}

$\sqrt{5x+6}$	=	$\sqrt{x+2}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+6$	=	${\left(\sqrt{x+2}+2\right)}^2$

$5x+6$	=	$4\sqrt{x+2}+x+6$	| $-5x$ $-6$ $-4\sqrt{x+2}$
$-4\sqrt{x+2}$	=	$-4x$	|:($-4$)
$\sqrt{x+2}$	=	$x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+2$	=	${\left(x\right)}^2$

$x+2$

=

$x^2$

| $-x^2$

$-x^2+x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-1\right)·2}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{5x+6}$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-1\right)+6}$ = $\sqrt{-5+6}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{x+2}+2$ $=$ $\sqrt{-1+2}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 1 ≠ 3

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{5x+6}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 2+6}$ = $\sqrt{10+6}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{x+2}+2$ $=$ $\sqrt{2+2}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}