$-2\sqrt{x+1}$	=	$-4$	|:($-2$)
$\sqrt{x+1}$	=	$2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+1$	=	$2^2$

$x+1$	=	$4$	| $-1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $-2\sqrt{x+1}$ $=$ $-2\sqrt{3+1}$ = $-2\sqrt{4}$ = $-4$

Rechte Seite: x = $3$ in $-4$ $=$ $-4$

Also -4 = -4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{-5x+11}+3$	=	$x$	| $-3$
$\sqrt{-5x+11}$	=	$x-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-5x+11$	=	${\left(x-3\right)}^2$

$-5x+11$

=

$x^2-6x+9$

| $-x^2$ $+6x$ $-9$

$-x^2+x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-1\right)·2}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{-5x+11}+3$ $=$ $\sqrt{-5\cdot \left(-1\right)+11}+3$ = $\sqrt{5+11}+3$ = $\sqrt{16}+3$ = $4+3$ = $7$

Rechte Seite: x = $-1$ in $x$ $=$ $-1$

Also 7 ≠ -1

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{-5x+11}+3$ $=$ $\sqrt{-5\cdot 2+11}+3$ = $\sqrt{-10+11}+3$ = $\sqrt{1}+3$ = $1+3$ = $4$

Rechte Seite: x = $2$ in $x$ $=$ $2$

Also 4 ≠ 2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{8x-20}$	=	$\sqrt{4x-12}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8x-20$	=	${\left(\sqrt{4x-12}+2\right)}^2$

$8x-20$	=	$4\sqrt{4x-12}+4x-8$	| $-8x$ $+20$ $-4\sqrt{4x-12}$
$-4\sqrt{4x-12}$	=	$-4x+12$	|:($-4$)
$\sqrt{4x-12}$	=	$x-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x-12$	=	${\left(x-3\right)}^2$

$4x-12$

=

$x^2-6x+9$

| $-x^2$ $+6x$ $-9$

$-x^2+10x-21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·\left(-1\right)·\left(-21\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-84}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-10+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-10-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{8x-20}$ $=$ $\sqrt{8\cdot 3-20}$ = $\sqrt{24-20}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $3$ in $\sqrt{4x-12}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot 3-12}+2$ = $\sqrt{12-12}+2$ = $\sqrt{0}+2$ = $0+2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite: x = $7$ in $\sqrt{8x-20}$ $=$ $\sqrt{8\cdot 7-20}$ = $\sqrt{56-20}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $7$ in $\sqrt{4x-12}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot 7-12}+2$ = $\sqrt{28-12}+2$ = $\sqrt{16}+2$ = $4+2$ = $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$; $7$}