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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 \cdot 10^{x}$ = $6$

$4 \cdot 10^{x}$	=	$6$	\|: $4$
$10^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	≈ 0.1761

L={ $\lg (\frac{3}{2})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{- 7 x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{- 7 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- e^{- 7 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$e^{- 7 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (4)$	\|: $- 7$
$x$	=	$- \frac{1}{7} \ln (4)$	≈ -0.198
$x$	=	$- \frac{2}{7} \ln (2)$

L={ $- \frac{2}{7} \ln (2)$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $- \frac{4}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot e^{- t x} - 2 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $- \frac{4}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot e^{- t x} - 2 t$ :

$- \frac{4}{3}$ = f( $0$ )

$- \frac{4}{3}$ = $\frac{1}{2} \cdot (0) \cdot e^{- t \cdot (0)} - 2 t$

$- \frac{4}{3}$ = $\frac{1}{2} \cdot (0) \cdot e^{0} - 2 t$

$- \frac{4}{3}$ = $\frac{1}{2} \cdot (0) \cdot 1 - 2 t$

$- \frac{4}{3}$ = $0 - 2 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 2 t$ = $- \frac{4}{3}$ nach t auflösen.

$- 2 t$	=	$- \frac{4}{3}$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$\frac{2}{3}$

Für t= $\frac{2}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }