$e^{x-1}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x-1}$ = $e^{-1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$-9\cdot 5^{x-1}+500$ = $-5^x$ | $+5^x$ $-500$

$-9\cdot 5^{x-1}+5^x$ = $-500$

Wir müssen $-9\cdot 5^{x-1}$ in $-9\cdot 5^x·5^{-1}$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$-9\cdot 5^x·5^{-1}+5^x$ = $-500$

$-\frac{9}{5}\cdot 5^x+5^x$ = $-500$ | ⋅ 5

$-9\cdot 5^x+5\cdot 5^x$ = $-2500$

L={ $4$}

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A($-1$| $5$) in f mit $\text{f(x)}=$ $2tx·e^{x+1}+6$ :

$5$ = f($-1$)

$5$ = $2t·\left(-1\right)·e^{-1+1}+6$

$5$ = $2t·\left(-1\right)·e^0+6$

$5$ = $2t·\left(-1\right)·1+6$

$5$ = $-2t+6$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $-2t+6$ = $5$ nach t auflösen.

Für t= $\frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^x$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $e^x$ = $5$

u₂: $e^x$ = $3$

L={ $\ln \left(3\right)$; $\ln \left(5\right)$}