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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{- 3 x + 3}$ = $\frac{1}{3}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$3^{- 3 x + 3}$ = $\frac{1}{3}$

$3^{- 3 x + 3}$ = $3^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 3 x + 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 3 x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$- 4$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{4}{3}$

L={ $\frac{4}{3}$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 4$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 4$	=	0	\| $- 4$
$\ln (x)$	=	$- 4$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{4}}

L={ $\frac{1}{e^{4}}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13,3% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 13.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,867 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,867.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.867( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.86 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }