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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x - 12}$ = $1$

Lösung einblenden

$e^{6 x - 12}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x - 12}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + \frac{1}{3}$

Lösung einblenden

$\ln (x) + \frac{1}{3}$	=	0	\| $- \frac{1}{3}$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{3}$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{\sqrt[3]{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt[3]{e}}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $26 \cdot {(\frac{7}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $26$

f(1) = $26$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $26$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $26$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $26$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{140}{100}$ -fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + e^{2 x} - 2 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + e^{2 x} - 2 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}