Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $4$

$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{x}$ = $- 7 e^{- x}$

Lösung einblenden

$- 6 e^{x}$	=	$- 7 e^{- x}$	\| $+ 7 e^{- x}$
$- 6 e^{x} + 7 e^{- x}$	=	0
$(- 6 e^{2 x} + 7) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 6 e^{2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 6$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0771

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{6})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $8$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{- t x - t} + 2 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $8$ ) in f mit $f(x) =$ $2 e^{- t x - t} + 2 t$ :

$8$ = f( $- 1$ )

$8$ = $2 e^{- t \cdot (- 1) - t} + 2 t$

$8$ = $2 e^{t - t} + 2 t$

$8$ = $2 e^{0} + 2 t$

$8$ = $2 + 2 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $2 t + 2$ = $8$ nach t auflösen.

$2 t + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$2 t$	=	$6$	\|: $2$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} + 3 - 10 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} + 3 - 10 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 10 e^{- x} + 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):