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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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einfache trigonometrische Gleichungen

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen innerhalb einer Periode [0;2π).
sin( x ) = 0,05

Lösung einblenden
canvas
sin( x ) = 0,05 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.05002085680577

1. Fall:

x1 = 0,05

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,05 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,05 = 3,092 liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3,092

L={ 0,05 ; 3,092 }

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
sin( x - π) = -1

Lösung einblenden
canvas
sin( x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
3⋅ sin( 3x + π) +3 = 2,4

Lösung einblenden
3⋅ sin( 3x + π) +3 = 2,4 | -3
3⋅ sin( 3x + π) = -0,6 |:3
canvas
sin( 3x + π) = -0,2 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2 3 π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,082

1. Fall:

3x + π = 6,082 | - π
3x = 6,082 - π
3x = 2,9404 |:3
x1 = 0,9801

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x + π) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,082 =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= 3,343 liegen muss.

2. Fall:

3x + π = 3,343 | - π
3x = 3,343 - π
3x = 0,2014 |:3
x2 = 0,0671

L={ 0,0671 ; 0,9801 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ sin( x ) = -1 |:2
canvas
sin( x ) = -0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 11 6 π

1. Fall:

x1 = 11 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 11 6 π =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= 7 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 7 6 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 7 6 π ; 3 2 π ; 11 6 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 +4 ( sin( x ) ) 2 +3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 +4 ( sin( x ) ) 2 +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 -12 2

u1,2 = -4 ± 4 2

u1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

u2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = -1

( sin( x ) ) 2 = -1 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = -3

( sin( x ) ) 2 = -3 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( - sin( 2x + π) +1 ) · ( x 3 -3 x 2 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( 2x + π) +1 ) · ( x 3 -3 x 2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( 2x + π) +1 = 0 | -1
- sin( 2x + π) = -1 |:-1
canvas
sin( 2x + π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + π = 1 2 π

oder

2x + π = 1 2 π+2π
2x + π = 5 2 π | - π
2x = 3 2 π |:2
x1 = 3 4 π

2. Fall:

x 3 -3 x 2 = 0
x 2 · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x2 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x3 = 3

L={0; 3 4 π ; 3 }

0 ist 2-fache Lösung!